Capitulo h 3

Universidad Autnoma de Quertaro Facultad de Ingeniera

ANLISIS ESTRUCTURAL

MI Lorenzo Jaime Alvarado Balleza

90

CAPITULO 3

MTODO DE LAS FUERZAS

3.1 INTRODUCCIN Las estructuras hiperestticas (estructuras isostticas indeterminadas) requieren ecuaciones adicionales a las requeridas en estructuras isostticas ya que el nmero de incgnitas o fuerzas internas es mayor al nmero de ecuaciones de equilibrio. Se tienen ventajas y desventajas en la utilizacin de estructuras estticamente indeterminadas. Ya que se tienen esfuerzos y deflexiones ms pequeos, las redundantes pueden evitar el colapso, secciones ms pequeas; Pero sin embrago si se tienen desplazamientos en los apoyos, por cambios de temperatura o mala fabricacin se generan esfuerzos mayores en los apoyos. Mtodo de anlisis En el anlisis de las estructuras es necesario que se cumplan las condiciones de equilibrio, compatibilidad y fuerza desplazamiento. El equilibrio se da cuando las reacciones mantienen en reposos a la estructura, la compatibilidad cuando los segmentos de la estructura se ajusta sin tener roturas o traslapes y los requerimientos de fuerza desplazamiento dependen de la respuesta de los materiales, que por ahora solo trabajaremos con material elstico lineal. Se tienen dos enfoques para la obtencin de ecuaciones complementarias de estructuras hiperestticas. Los cuales son. 1.-) Mtodo de las Fuerzas o Mtodo Flexibilidades y 2.-) Mtodo de los Momentos o Mtodo de las Deformaciones (Mtodos de Rigidez) 1.-) Mtodo de la Fuerzas o Mtodo de Flexibilidades. El mtodo fue desarrollado en 1864 por Janes Clerk Maxwell y refinado por Otto Mohr Mler. El cual consiste en obtener ecuaciones lineales que satisfagan la compatibilidad y los requisitos de fuerza-desplazamiento en la estructura, y contienen como incgnitas las fuerzas redundantes. El mtodo consiste en que la estructura hiperesttica se convierte en una isosttica, estructura primaria, en la cual no se satisfacen las condiciones de compatibilidad de las deformaciones o continuidad geomtrica en la estructura original. Los errores de incompatibilidades geomtricas que resultan de sta se corrigen en una segunda etapa con estructuras secundarias que corrijan las deformaciones, considerando y conservando el equilibrio. 2.-) Mtodo de los Momentos o Mtodo de las Deformaciones. La estructura hiperesttica se transforma en otra estructura en la que se satisfacen las condiciones de deformacin o continuidad geomtrica, pero no las condiciones de equilibrio. En la segunda etapa se corrigen las condiciones de equilibrio sin alterar las condiciones de continuidad, que se ver en los mtodos de Rigidez. 3.2) Grados de hiperestaticidad. El grado de hiperestaticidad (Gh) de una estructura es la diferencia del nmero de incgnitas con respecto al nmero de ecuaciones de condicin de equilibrio isosttico.

E-I Gh =


ANLISIS ESTRUCTURAL


91

Esto nos permitir definir el nmero de ecuaciones que deberemos de plantear para la solucin de las incgnitas excedente en la estructura, definidas como redundantes. Se pueden presentar varias combinaciones para la eleccin de las redundantes. 3.3) Compatibilidad de las deformaciones La Compatibilidad refiere a las condiciones de deformacin o continuidad de la estructura hiperesttica que debern de cumplirse segn los tipos de apoyos. Para el anlisis de una estructura hiperesttica esta se convierte en una estructura primaria o fundamental isosttica con las cargas reales y otras estructuras isostticas en la que se han eliminado las redundantes, siendo las redundantes fuerzas (f M) como incgnitas sin cargas reales. En la estructura primaria se generan deformaciones que son incompatibles con la viga real hieresttica, para corregir la incompatibilidad se proponen estructuras secundaria isostticas con fuerzas virtuales (una por cada redundante) que corregirn la incompatibilidad generada por la estructura primaria. De tal manera que todas en conjunto deben de cumplir la compatibilidad de la estructura hiperesttica. Que visto desde otro punto, es el principio de superposicin que deber de cumplir la compatibilidad de la estructura hiperesttica. 3.4) Coeficientes de Flexibilidad.

Coeficiente de flexibilidad (ij

f ): Se definen como la medida de la deflexin o rotacin generada por una

carga o momento unitarios, siendo sus unidades (distancia/fuerza) pj (m/N), (ft/lb). La tabla 3.4.1 Muestran algunos coeficientes de flexibilidad, adems la aplicacin de las integrales de Morh y las tabla 2.5.1 nos permiten determinar dichos coeficientes. P.J As en la figura 3.4.1 se tienen, aplicando una carga unitaria y un momento unitario respectivamente, obtenemos los dos coeficientes de flexibilidad de deflexin y de rotacin.

Los valores se obtienen del la tabla 3.4.1.

Fig 3.4.1

rotacin por adflexibilid

de ecoeficient

EI24

Lf

;1siW

1W siEI24

WL

deflexin por adflexibilid

de ecoeficient

EI3

Lf

1P si EI3

PL

3

3

a

3

3

=

=

==

=

==

a

w

P


ANLISIS ESTRUCTURAL


92

Procedimiento general para la aplicacin del Mtodo de las Flexibilidades: Es necesario calcular las deformaciones para la aplicacin del mtodo de flexibilidad, esto es dominar el clculo de deformaciones. Existen numerosas variantes en la aplicacin del mtodo pero todas ellas se distinguen los siguientes pasos:

La estructura hiperesttica original se transforma en una isosttica eliminando algunas restricciones contra deformacin o rotacin, en general el nmero de redundantes es igual al grado de hiperasticidad, la estructura que resulte de la eliminacin de restricciones se denomina Estructura Primaria o Fundamental.

Se calculan las deformaciones de la estructura primaria bajo la accin de cargas externas, dichas deformaciones se conocen como deformaciones de incompatibilidad.

Se aplican las fuerzas correctivas en las secciones donde se eliminan las redundantes y se calculan las deformaciones producidas por estas fuerzas correctivas. Es necesario aplicar una fuerza o par (momento) por cada restriccin eliminada, a estas estructuras se le conoce como estructuras secundarias o complementarias.

Se plantea un sistema de ecuaciones lineales, aplicando el principio de superposicin, para determinar el valor que deben de tener las fuerzas correctivas de tal manera que se corrijan las deformaciones y se cumplan las condiciones de continuidad geomtrica o de deformacin en la estructura hiperesttica

De la solucin de las ecuaciones se obtienen los valores de las redundantes como reacciones, cortantes, normales o momentos, segn el caso, sumndolas a la estructura primaria por lo que se tiene una estructura isosttica y se obtiene el equilibrio final de la estructura, por condiciones de equilibrio isosttico.

Ejemplo 3.4.1 De la viga mostrada fig 3.4.2 determine una de las reacciones excedentes. Se plantea su solucin por deflexin: En la estructura hiperesttica donde el grado de hiperestaticidad es Gh = 1. Se elimina la reaccin de fuerza redundante en el apoyo de rodillo. Se sustituye por dos estructuras primaria y secundaria isostticas en las cuales se tiene deformaciones verticales en el punto b. La suma de los desplazamientos generados por las dos vigas isostticas en el punto b deber ser compatible con la viga real, as que podemos determinar la reaccin excedente.

Fig 3.4.2

0=b

= +

Wfbbo 0=

bbb Rf 11=

bbbobbob Rf 11 0 +==+=


ANLISIS ESTRUCTURAL


93

Que se puede plantear como una solucin matricial:

Ahora se plantea su solucin por rotacin: En la estructura fig 3.4.3 se elimina la reaccin de momento en el empotramiento, por lo que si se tiene una estructura que se sustituye por dos isostticas donde la condicin de rotaciones en el punto a se deba de cumplir al sumar la rotaciones de ambas isotticas en referencia a la original

Fig 3.4.3 Ejemplo 3.4.2 de la viga determina las redundantes. a) Se plantea su solucin por continuidad: La estructura con grado Gh=2 se corta en su continuidad en el apoyo centra, se convierten en dos estructuras isotticas fig 3.4.4, por lo que se tiene la necesidad de aplicar dos momentos, uno en el extremo y otro en el punto medio de las dos vigas, que son las redundantes o incgnitas por deformacin, por lo que la suma de rotaciones en cada punto deber ser cero, por ser un empotramiento y en el punto medio la

suma de las rotaciones. Por lo que la ecuacin de condicin es:

= +a 0a

1a

01a0aa

=+=

Fig 3.4.4.

020

010

=+=

=+=

bbb

aaa

condicin de Ecuacin

0

1

1

1

1

1

1 0

bb

bbo

b

bo

bbob

fR

ff

R

Rf

=

=

=

=+=

1

1a1a

1a

1a

1a0a

ff

M

Mf0

=

=

+=


ANLISIS ESTRUCTURAL


94

b) se plantea su solucin por deformacin. Quitamos el empotramiento y aplicamos un momento

unitario M, y la reaccin del apoyo del punto medio aplicamos una fuerza unitaria R, y la ecuacin

de condicin es:

0

0

0

aabaaa

bbbbab

condicin de Ecuacin

++=

++=

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

b

a

bbba

abaa

bbba

abaa

b

a

bbba

abaa

b

a

bbbab

abaaa

ff

ff

R

M

solucindeMatriz

ff

ffR

M

incognitas las despejamos

R

M

ff

ff

vectores como

RfMf

RfMf

adflexibilid de

escoeficient con cond. de Ec.

=

=

=

++=

++=


ANLISIS ESTRUCTURAL


95

Los ejemplos anteriores nos permiten visualizar cuando y cuales sern las redundantes de ms fcil de aplicacin. Ejemplo 3.4.3 La viga empotrada y apoyada esta sujeta a una carga uniforme w. Determinacin de las reacciones en los apoyos. La viga es hiperesttica de primer grado Gh=1, por lo que consideramos a la reaccin R en el rodamiento como redundante. Requerimos de una ecuacin de compatibilidad. Veamos algunos tipos de soluciones: a) Consideramos como redundante el apoyo de rodamiento. Podemos determinar la solucin con la aplicacin de las tablas 3.4.1 al final del captulo, conociendo los coeficientes de flexibilidad para la estructura secundaria:

= 0

2 20 22

20 22

4 3

4

3

0

_

0 /8 ( / 3 )

3 3( )

8 8

Rf

por tabla

wl EI R l EI

wl wlR

l

= +

= +

= +

= =

b) Consideremos como redundante el momento de empotramiento, podemos resolver el problema por Carga Unitaria con las Tablas Mohr tabla 2.5.1. los diagramas de momentos de las estructuras primaria y secundaria se muestran:


ANLISIS ESTRUCTURAL


96

l

( )8

3wlR R

lwl=+

=

380

34

b) Considerando la reaccin en el apoyo de rodamiento podemos resolver con Integracin del Mtodo de la Carga Unitaria. Se muestran los cortes para los momentos internos de las estructuras primaria

y secundaria, = Mmdli

c) Podemos considerar como redundante el momento de empotramiento M, donde 0=a Aplicamos tablas 3.4.1 coeficientes de flexibilidad.

1=R( ) 2/2wL

=20 EI

=22EIf33

3lmm

l==

84

4wlMm

l==

1=R

M

M

( )( )2

2xw

M =

xm =

8380

3

3)(

8

8)(

2

34

3

22

00

3

22

4

20

0

4

0

2

20

3wlR

Rlwl

RlEI

xdxxRxEI

wlEI

wldxx

wxEI

ll

ll

=+

=

=

==

=

==

a a

a


ANLISIS ESTRUCTURAL


97

0

3

3 2

0

( ) 024 3

3( )

24 8

a aa a

wl lM

EI EI

wl EI wlM

EI l

+ = =

+ =

= =

e) Considerando el momento de empotramiento como redundante, podemos aplicar tambin las tablas de integracin de Mohr. Se muestran los diagramas de momentos intrenos de la estructura primaria y la secundaria:

Ejemplo 3.4.4 Por el mtodo de flexibilidades utilizando las tablas ( Gere Ttimosenko).

Determinamos las reacciones y los diagramas de fuerzas internas (V, M).

Por deformacin:

Reacciones 3 - Ecuaciones 2 = G.H. 1

02222022202 =+=+= fR

Por tablas de Deflexiones y Pendientes (capitulo 1)

EIEIEIal

EI

Pa

EI

wlpw

5.229)3)6(3(

6

)3(3

8

)6(6)3(

68

2424

20 ==+=+=

EIEIEI

lf

72

3

6

3

3

22 === ; Sustituyendo EI

R

EI

2725.2290 += t1875.372

5.229R

2==

8

0)1)(1(3

)1)(8

(3

033

0

2

2

0

wlM

lwll

mml

Mml

aaa

=

=+

=+

=+

2M= wl 8

m= 1

aa =

a0=

3 T o n

1 T o n / n

2

2 0

3 m3 m1

1

2

3 T o n


ANLISIS ESTRUCTURAL


98

5.8125tAy 1(6) - 3- 3.1875 +Ay = 0 = Fy =

m-t 7.875 = MA MA+ (3.1875) 6 + 6(3) - 3(3)- = 0 = M A

Diagramas

3 ton

1ton/m

3.1875

M A

AY

M t - m

7 . 8 7 5

5 . 0 6 2 5

3 . 1 8 7 5

5 . 8 1 2 5

2 . 8 1 2 5 V t

0 . 1 8 7 5

Ejemplo3.4.5 determinacin de diagramas V y M. en la viga considere EI = cte

Por deformacin, consideramos como redundante By que llamaremos R1:

Grado de

hiperestaticidad Gh = 1


ANLISIS ESTRUCTURAL


99

25455.0545.0

45018.742.130018.1481.44

100

2

1

==

+===

xm xm

55x25 25x0

xx M x M xM

55x25 25x10 x

32y 1

32

0111101110 =+=+= fRB

dxxxxdxxxdxxxEI )25455.0()45018.742.1()545.0)(30018.14()545.0)(18.44(

10

0

25

10

55

25

2

10 ++++=

295.21442610 =EI

dxxdxxEI +=55

25

2

25

0

2

11 )25455.0()545.0( 011.340011 =EI

lbf

R 066.63011.3400

295.214426

11

10

1 ===

Se determina el equilibrio, pues ahora es una viga isosttica

klbC y 15.2955

)25(07.63)10(30)40)(30(4.2=

+=

Ay=9.78klb

Trazando los diagramas:

ejes


ANLISIS ESTRUCTURAL


100

Ejemplo 3.4.6 Determinacin de fuerzas internas. Considere EI = cte,

Problema Continuidad geomtrica Gh = 4, esto es, cortaremos la continuidad de la viga en los

apoyos y quitamos los momentos de empotramiento. Siendo las redundantes cuatro momentos.


ANLISIS ESTRUCTURAL


101

4 m

4

2

6 to n

1

4 m 5 m 3

2 to n /n

3 to n

M4M3M2M1

4m5m4m

6t

2t/m

3t

V(t)-

- -

+++

3

3

5

5

1.5

1.5

66.253

+++

M(t)


ANLISIS ESTRUCTURAL


102

+

+

+

+

+

+

M4=1

1=M3=1

M1=1

1=M2=1

Ecuaciones de continuidad o compatibilidad:

Teorema de Maxwell

32

1)3(

3

231)

2

1(2

3

210 =+

+=EI 3

41)1(

3

411 ==EIf

3

21)1(

6

42112 === EIfEIf

1/2

2

+

3

2

+

+2

3

1

2

1/2+

+

+

4

1

+

4

1

1+

+

4

1

4

1= 10+ 11+12+ 13+ 14= 10+ f11M1+ f12M2+ f13M3+ f14M4=0

2= 20+ 21+22+ 23+ 24= 20+ f21M1+ f22M2+ f23M3+ f24M4=0

3= 30+ 31+32+ 33+ 34= 30+ f31M1+ f32M2+ f33M3+ f34M4=0

4= 40+ 41+42+ 43+ 44= 40+ f41M1+ f42M2+ f43M3+ f44M4=0

f23=f32 f24=f42

f12=f21 f34=f43

f13=f31 f14=f41


ANLISIS ESTRUCTURAL


103

4166.131)25.6(3

531)

2

1(2

6

2

2

1)3(

3

220 =+

++== EI 31)1(3

51)1(

3

422 =+=EIf

1/21/2

3

+

5

1

5

+

6.25

+

2

1

3

2

+

2

+

2

+

++

+

+

5

1

5

1

+

+

4

+

4

1

6

51)1(

6

53223 === EIfEIf 4166.16

2

1)6(

3

261)

2

1(2

6

21)25.6(

3

530 =+

++=EI

+

+ 1

5

1

5

+

2

6

1/2

2

+1/211

6

2

+

+ +

2

+

+

5

6.25

+

5

1

31)1(3

51)1(

3

433 =+=EIf

3

21)1(

6

44334 === EIfEIf

+

+

5

1

5

1

+

+

4

+

4

1

+

+ 1

4

1

4

661)2

1(2

6

2

2

1)6(

3

240 =

++=EI 3

41)1(

3

444 ==EIf

+

2

1

2

+

1/2

+

1/2

2

+1

6

2

+

+

4

1

+

4

1

Ecuaciones de compatibilidad


ANLISIS ESTRUCTURAL


104

4...............................3

4

3

26

3.............3

23

6

542.16

2..............3

53

3

242.13

3

2

3

43

43

432

321

21

MM

MMM

MMM

..1..............................MM

+=

++=

++=

+=

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

M1= -0.65t-m M2= -3.21t-m M3= -4.03t-m M4= -2.49tm

Equilibrio de la viga:

2.613.395.164.842.140.86

3t

2t/m

6t

4m 5m 4m

0.65 3.21 4.03 2.49

V ( t)

---

+++

2 .4 2 m 2 .6 1

3 .3 9

5 .1 6

4 .8 4

2 .1 4

0 .8 6

-

--

-

+++

2 .5

2 .7

4

2 .6 4

3 .2

1 .0 7

0 .6 5

M (tm )


ANLISIS ESTRUCTURAL


105

Ejemplo 3.4.7 Determinacin de fuerzas internas, considere EI=cte. Por continuidad, consideramos como redundantes los cuatro momentos.

1 10 11 12 13 14

2 20 21 22 23 24

3 30 31 32 33 34

4

_6

_2

. 4

requiero de 4 ecuaciones.

las ecuaciones las daran las reacciones resultantes

Ecuacin:

0

0

0

reacciones

ecuacciones

gradohiper

=

= + + + + =

= + + + + =

= + + + + =

=

[ ]

[ ]

40 41 42 43 44

10 1 11 2 12 3 13 4 14

20 1 21 2 22 3 23 4 24

30 1 31 2 32 3 33 4 34

40 1 41 2 42 3 43 4 44

ij

1

ij

0

:

ij i

i ij

M f M f M f M f

M f M f M f M f

M f M f M f M f

M f M f M f M f

simplificando

f M

M f

+ + + + =

= + + +

= + + +

= + + +

= + + +

=

=


ANLISIS ESTRUCTURAL


106

Deformaciones por cargas reales

= 8

00

= 25+4(6)(1)= 57 4 3 4

0

= 16+5(5)(1)= 139 3 4 12

0

= 4(4)(1)= 16 3 3

=14

=13

=12

10 =


ANLISIS ESTRUCTURAL


107

Para coeficientes de flexibilidad

= 4 (1 )(1 )= 4

3 3

= 4 (1 )(4 )= 2 = f 6 3

= 5 (1 )(1 )+ 4 (1 )(1 )= 3 3 3

= 5 (1 )(1 )= 5 = f

6 6

= 4 (1 )(1 )= 2 = f 6 3

= 4 (1 )(1 )= 4 3 3

0

0

0

00

00

=

=

=

=

=

=

=


ANLISIS ESTRUCTURAL


108

e

dcb

a

4m

2m 2m

2m

2t

4t

mt

M

M

M

M

=

=

950.4

100.3

331.2

810.2

8

4/52

12/139

3/16

3/43/200

3/236/50

06/533/2

003/23/41

4

3

2

1

A partir de los valores de los momentos podremos trazar las graficas de fuerzas internas. Se deja al lector.

Aplicaciones en marcos. Ejemplo 3.4.8 Determinacin del equilibrio externo en le marco mostrado. Aplicando las tablas de integrales de Mohr.

El marco tiene por reacciones ax, ay, Ma, y ey: es de Gh = 1, consideramos Ma como redundante y la

llamamos M1

Consideramos los equilibrios, donde en la estructura primaria ax=2t, ay=0 y ey=2t. y Aplicamos

un par unitario Ma=1 a las secundaria y construimos sus diagramas de momentos:


ANLISIS ESTRUCTURAL


109

0 10

8/E I

8 /E I0

eyax

ay

4 t

2 t

1/EI

1/EI

1/EI

0 11

11/4

1/4

1

As la ecuacin de compatibilidad es: 01111011101 =+=+= Mf

Aplicamos las tablas de integracin de Mohr

+

+

2

1/2

2

8

+

+ 1/2

2

1

+8

2

+

+

1

4

+

8

4

33.51)1(3

41)1(

1

411 =+=f

Sustituyendo en la ecuacin de compatibilidad, por lo tanto

0=30.67+5.33M1

M1= -5.75 ton.m

Conocida la redundante podemos conocer el equilibrio externo

67.302

1)8(

3

28)

2

11(

2

21)8(

2

410 =+++= EI

4

4

4

4 1

1

1

1


ANLISIS ESTRUCTURAL


110

Equilibrio externo 2.5625t8)(1/4)8(-5.75 ey =++= 2t ax ; 1.4375t2.5625-4 Ay ===

aax

ay

Ejemplo .3.4. 9 Determinando los diagramas de N, V y M, del marco siguiente, con EI=cte.

Considerando como redundantes Bx y By, esto es que en las estructuras primaria y secundaria omitimos el apoyo B.

2

1

0

A y

A xM A

R 2 = 1

R 1 = 1

M AA x

A y

M A

A y

A x

1 . 2 k l b / p i e2 0 k l b

2 0 k l b

DC

BA

1 . 2 k l b / p i e

15

pie

2 0 p i e


ANLISIS ESTRUCTURAL


111

0;0;1)2

20;1;0)1

540;24;20)0

===

===

===

AyX

AyX

AyX

MAA

MAA

MAA

Consideraremos los elementos AC, CD y DB como 01,02 y 03, para simplificar los cortes de fuerzas internas. Para fuerzas reales (M0i), para la redundante By como R1 (m0i) y para la redundante Bx como R2 (m2i)


ANLISIS ESTRUCTURAL


112

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

489.6

2.20

62250

141000

67505250

5250667.8666

67501515

5250152020

667.86662020

6225015240246.054020

14100020240246.02054020

0

0

1515

15

02020

20

20

010202.11520202024540

240246.0

5402

2.1241520

54020

2

1

2

1

15

0

220

0

215

0

2

22

20

0

15

0

12

20

0

215

0

2

11

20

0

2

15

0

20

20

0

2

15

0

10

222211202221201

122111101211101

23

22

21

13

12

11

03

2

02

01

=

=

=

=++=

=+=

=+=

=++=

=++=

=++=++=

=++=++=

==

=

=

=+=

=

=

=+++=

+=

+=

=

R

R

R

R

dyydxdyyEI

dxxdyyEI

dxxdyEI

dxxxdyyyEI

dxxxxdyyEI

fRfR

fRfR

yym

m

ym

m

xm

m

yyM

xx

xxxM

yM

Por lo que las fuerzas internas las ecuaciones de AC utilizamos el subndice 1, para CD el subndice 2 y para DB el subndice 3


ANLISIS ESTRUCTURAL


113

( )

( ) ( ) ( )( ) 335.97489.613610202.12015511.13208.3489.62.20

665.668.36.02

2.115511.138.3136

8.32.1489.6511.1320

136511.13511.138.3

3

33

2

2

22

111

=++=

==

++=

++=

+==+=

===

yyyM

V N

xxx

xxM

xV N

yM V N

M(klb*pie)

-97.335

-97.335

72.681266.665

3.16766.665

-136

V(klb)

3.167

6.489

-20.2

3.8

13.511

N(klb)

-20.2

-6.489

-3.8


ANLISIS ESTRUCTURAL


114

3.4 ANLISIS EN ARMADURAS. MTODO DE LAS FLEXIBILIDADES. Las armaduras estn construidas por elementos cortos y rectos unidos en sus extremos por pernos, remaches y soldadura y que la base de unin entre ellos es por tringulos, pudiendo ser armaduras simples y compuestas. Como se sabe las fuerzas que actan en dichas armaduras son aplicadas en los puntos de unin, por lo que los elementos que las componen estn sujetos exclusivamente a esfuerzos normales de tensin o compresin. Este tipo de elementos solo desarrollan energa de deformacin por esfuerzos normales. Miembros sujetos a dos fuerzas. La condicin necesaria y suficiente es que las fuerzas sean colineales de la misma magnitud y de sentido contrario. Como se muestra: Las armaduras se pueden presentarse tanto en el plano como en el espacio, las cuales pueden ser hipostticas, Isostticas e hiperestticas internamente y externamente. Las estructuras hipostticas son inestables y no permiten que dicha estructura pueda permanecer equilibrio bajo un sistema general de fuerzas. Las estructuras isostticas pueden ser determinadas sus fuerzas internas y externamente mediante las condiciones de equilibrio. Las estructuras hiperestticas son aquellas que no cumplen la condicin de igualdad de sus incgnitas con el nmero de ecuaciones de la esttica, puesto que el nmero de elementos y/o el nmero de apoyos es mayor que la condicin que se requiere en las estructuras isostaticas.

aHoposttic n

Isosttica n-j

aHiposttic nj

32

32

32

>

=

=

Capitulo h 3

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