Capitulo i

DINÁMICA DE ESTRUCTURASCON CEINCI-LAB

DR. ROBERTO AGUIAR


DR. ROBERTO AGUIAR

CAPITULO I

SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD


DR. ROBERTO AGUIAR

EQUILIBRIO ESTÁTICO

FR = k*d

k

P.I.

d P.E.E.m

M*g

(1) (2)

SF = 0m*g = k*d


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ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO

SF = 0

P.E.E.

(3)

m

c

𝑞0 , �̇�0

K*(q+ )d

m

m*g

F A=c∗q̇

m∗ q̈

(4)


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VIBRACIÓN LIBRE

𝐦∗ �̈�+𝐜∗ �̇�+𝐤∗𝐪=𝟎Definiciones:

W n=√ km T=

2 πW n

ξ=c

2√𝑚∗𝑘

Al dividir para “m”

�̈�+𝒄𝒎∗�̇�+

𝒌𝒎∗𝐪=𝟎 c

m= c∗2√m∗ k

2√m∗ k∗m=2 ξ W n

�̈�+𝟐𝛏𝐖𝐧∗�̇�+𝐖𝐧𝟐∗𝐪=𝟎


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SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL

�̈�+𝟐𝛏𝐖𝐧∗�̇�+𝐖𝐧𝟐∗𝐪=𝟎

q (t )=a∗𝑒𝜆 . 𝑡

𝜆=−𝜉𝑊 𝑛±𝑊 𝑛√𝜉 2−1

• Vibración Libre sin Amortiguamiento = 0x• Vibración Libre Sub Amortiguada 0 x 1• Vibración Libre Sobre Amortiguada x 1• Vibración Libre Críticamente Amortiguada = 1x


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VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO𝐪 (𝐭 )=𝐀𝐂𝐨𝐬 (𝑾𝒏∗𝒕 )+𝑩𝑺𝒆𝒏 (𝑾𝒏∗𝒕 )

q (t )=𝐶∗𝑆𝑒𝑛 (𝑊 𝑛∗𝑡+𝛾 )

𝛾=𝑡𝑔−1 𝐵𝐴𝐶=√ 𝐴2+𝐵2


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VIBRACIÓN LIBRE SUB AMORTIGUADA

q (t )=𝑒−𝜉𝑊 𝑛 𝑡 [ 𝐴𝑠𝑒𝑛 (𝑊 𝑎𝑡 )+𝐵𝑐𝑜𝑠 (𝑊𝑎 𝑡 ) ]Primera forma:

q (t )=𝑒𝑥𝑝 (−𝜉𝑊𝑛𝑡 ) [𝐴𝑠𝑒𝑛 (𝑊𝑎 𝑡 )+𝐵𝑐𝑜𝑠 (𝑊 𝑎𝑡 ) ]Segunda forma:

q (t )=𝐶𝑒𝑥𝑝 (−𝜉𝑊𝑛𝑡 ) [𝑠𝑒𝑛 (−𝜉𝑊 𝑎𝑡 ) ] 𝐶=√ 𝐴2+𝐵2


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VIBRACIÓN LIBRE SOBRE AMORTIGUADA

𝐪 (𝐭 )=𝑨𝒆𝒙𝒑 [(−𝝃𝑾𝒏+𝑾𝒏√𝝃 𝟐−𝟏) 𝒕 ]+𝑩𝒆𝒙𝒑 [(−𝝃𝑾𝒏+𝑾𝒏√𝝃𝟐−𝟏 )𝒕 ]


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VIBRACIÓN LIBRE CRITICAMENTE AMORTIGUADA

𝐪 (𝐭 )=(𝑨𝒕+𝑩 )𝒆𝒙𝒑 (−𝑾 𝒏𝒕 )


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FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO x

Δ𝜉=1

2𝜋𝑛𝑙𝑛( 𝑞 (𝑡 )

𝑞 (𝑡+𝑛𝑇𝑎 ) )Δ𝜉=

𝜉

√1−𝜉 2


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MATERIAL Y/O SISTEMA ESTRUTURAL

NIVEL DE ESFUERZOS O DEFORMACIONES x (%)

Columnas aisladoras de porcelana Deformaciones elásticas 0.5 a 1

Sistemas de tuberías que pueden vibrar libremente

Esfuerzos admisibles; < 0,5 sy 1 a 2

Cercanos a sy, sin excederlo 2 a 3

Sistemas estructurales de acero soldado Esfuerzos admisibles; < 0,5 sy 2 a 3

Cercanos a sy, sin excederlo 5 a 6

Concreto Pretensado Esfuerzos admisibles; < 0,5 sy 2 a 3

Cercanos a estados últimos, sin perdida de pretensión. 5 a 7

Sin pretensión residual 7 a 10

Sistemas estructurales de Hormigón Armado

Esfuerzos admisibles sin agrietamiento visible 2 a 3

Agrietamiento visible generalizado 3 a 5

Cercanos a estados últimos 7 a 10

Estructuras de acero apernadas Esfuerzos admisibles; < 0,5 sy 5 a 6

Esfuerzos a nivel de cadencia 8 a 12

Sistemas estructurales de madera, con elementos clavados o apernados

Esfuerzos admisibles 5 a 7

Cercano a estados últimos, con juntas apernadas 10 a 15

Estado de agotamiento con juntas clavadas 15 a 20


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VIBRACIÓN FORZADA EXCITACIÓN ARMÓNICA

𝐦∗ �̈�+𝐜∗ �̇�+𝐤∗𝐪=𝑭 𝟎𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕

𝑓 (𝑡)=𝐹 0𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡

m

c

q(t)

k


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𝐪 (𝐭 )=𝒒𝒉 (𝒕 )+𝒒𝒑 (𝒕 )Homogénea:

m∗ q̈h+c∗ q̇h+k∗𝑞h=0Particular:

m∗ q̈𝑝+c∗ q̇𝑝+k∗𝑞𝑝=𝐹 0𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡

𝑞𝑝=𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡+𝐵𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡

A=𝐹0 (𝑘−𝑚𝜔2 )

(𝑘−𝑚𝜔2 )2+(𝑐𝜔 )2

Despreciando :

B=−𝑐𝜔𝐹 0

(𝑘−𝑚𝜔2)2+(𝑐𝜔 )2


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XB

A

g

A = X cos g

B = X sen g

𝑞𝑝=𝐴𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡+𝐵𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝑞𝑝=𝑋∗𝑐𝑜𝑠𝛾∗𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡+𝑋∗𝑠𝑒𝑛𝛾∗𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡

𝑞𝑝=𝑋∗𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡+𝛾)

𝑋=√𝐴2+𝐵2 𝑋=𝐹 0

√ (𝑘−𝑚𝜔2 )2+(𝑐𝜔 )2


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APLICACIÓN DE VIBRACIÓN FORZADA EXCITACIÓN ARMÓNICA


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9,59m

21,49 m

CM

1 2 3 4

A

B

C

D

E

F

G

H

I

5m5m

5m5m

5m5m

5m5m

7,4m5m7,4m

35


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Portico 1

1 15m 5m 5m 5m 5m 5m 5m 5m

3,75

3,45

3,45

3,45

1

2

3

4

5

3,45

9,59m

21,49 m

CM

1 2 3 4

A

B

C

D

E

F

G

H

I

5m5m

5m5m

5m5m

5m5m

7,4m5m7,4m

35


DR. ROBERTO AGUIAR


9,59m

21,49 m

CM

1 2 3 4

A

B

C

D

E

F

G

H

I

5m5m

5m5m

5m5m

5m5m

7,4m5m7,4m

35

5m 5m 5m 5m 5m 5m 5m

3,75

3,45

3,45

3,45

3,45

Portico 4

1

2

3

4

5


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CÁLCULO DE LA DEFORMACIÓN VERTICAL


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DESPLAZAMIENTO VERTICAL ENCONTRADO


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MODELO DE CÁLCULO

L

EI m

𝑃0∗𝑠𝑒𝑛(Ω 𝑡)

m

m

mq(t)


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𝑚�̈�+𝑘𝑞=𝐹 0𝑠𝑒𝑛Ω𝑡

𝑞=𝑞h+𝑞𝑝𝑞h=𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑤¿¿𝑛𝑡)+𝐵 cos (𝑤𝑛𝑡)¿

𝑞 (𝑡 )=𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑤¿¿𝑛𝑡)+𝐵 cos(𝑤𝑛𝑡¿)+𝐹0

(𝑘−𝑚Ω2 )𝑠𝑒𝑛(Ω𝑡)¿¿

𝑘=3𝐸 𝐼𝐿3

𝐴=−𝐹 0 Ω

(𝑘−𝑚Ω2 )𝑤𝑛

𝐵=𝑞0

𝑞 (𝑡 )=−𝐹 0 Ω

(𝑘−𝑚Ω2 )𝑤𝑛

𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑛𝑡)+𝑞0 cos (𝑤¿¿𝑛𝑡 )+¿𝐹 0

(𝑘−𝑚Ω2 )𝑠𝑒𝑛(Ω 𝑡)¿¿



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APLICACIÓN A NERVIO

Dato Valor

Ancho y peralte del nervio

Condiciones iniciales

Longitud de nervio y masa puntual

Fuerza y Frecuencia de excitación armónica

DATOS:


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APLICACIÓN A NERVIORESULTADOS: 𝑞𝑚𝑎𝑥=

𝐿480

𝑞𝑚𝑎𝑥=1,65480

=3,44𝑚𝑚


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FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICAF0=k∗ X0Sin Amplificación:

Con Amplificación: X=α∗ X0

𝛂=𝟏

√ (𝟏−𝒓𝟐 )𝟐+(𝟐𝝃 𝒓 )𝟐

𝐅=𝐤∗𝐗


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APLICACIÓN FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA

5,0 m 4,0 m

0,4/0,4 m 0,4/0,4 m

0,4/0,5 m 0,5/0,5 m 0,4/0,5 m

Po = 4,0 T/m

2,8

m

q1m

c k


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APLICACIÓN FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA

SUELO 1

SUELO 2

0,4/0,4 m 0,4/0,4 m

0,4/0,5 m 0,5/0,5 m 0,4/0,5 m

Po = 4,0 T/m

4,0

m2,

0 m

6,0

m

Vs1 = 280m/s

Vs2 = 300m/s


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APLICACIÓN FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICAh1

𝑉 𝑠1

+h2

𝑉 𝑠2

= 𝐻𝑉 𝑠

4280

+2

300=

6𝑉 𝑠

⟹𝑉 𝑠=286.4𝑚𝑠

𝑇 𝑠=4𝐻𝑉 𝑠

=4∗6286.4

=0.084 𝑠𝑒𝑔 . =

𝑊𝑛=√ 𝑘𝑚=√ 4388.63.673

=34.5661𝑠

𝑟=𝜔𝑊 𝑛

=74.97

34.566=2.17

𝛼=1

√ (1 −𝑟2 )2+ (2𝜉 𝑟 )2=

1

√ (1 −2.172 )2+(2∗0.05∗2.17 )2=0.28

𝜶=𝟎 .𝟐𝟖


DR. ROBERTO AGUIAR

EXITACIONES ARBITRARIAS

𝑓 (𝑡)

m

c

q(t)

k

𝐦∗ �̈�+𝐜∗ �̇�+𝐤∗𝐪=𝐟 (𝒕 )


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ESCALÓN UNITARIO

-t

1

f(t)

t0

2

3

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

𝐟 (𝒕 )=𝟏𝒕 ≥𝟎

m q̈+c q̇+kq=1

m q̈+c q̇+k (𝑞−1𝑘 )=0

Artificio: 𝑞−1𝑘=z

𝐦�̈�+𝐜 �̇�+𝐤𝐳=𝟎


DR. ROBERTO AGUIAR

EJEMPLO DE APLICACIÓN

Fo

f(t)

t

0

t-T

Encontrar la respuesta en el tiempo para la fuerza f(t) que se indica en la figura en que la fuerza empieza en el tiempo T y tiene una magnitud

Solución:

𝒒 (𝒕 )=𝑭𝟎∗𝒈 (𝒕−𝑻 )


DR. ROBERTO AGUIAR

PULSO RECTANGULAR

Fo

f(t)

t

0T

𝐦∗ �̈�+𝐜∗ �̇�+𝐤∗𝐪=𝑭 𝟎𝟎<𝒕<𝑻

𝐦∗ �̈�+𝐜∗ �̇�+𝐤∗𝐪=𝟎𝒕 ≥𝑻


DR. ROBERTO AGUIAR

ARTIFICIO PARA RESOLVER UN PULSO RECTANGULAR

Fo

f(t)

t0

T

Fo

f(t)

t0

+

=

-Fo

f(t)

t0

𝐪 (𝐭 )=𝑭𝟎∗𝒈(𝒕)𝟎<𝒕<𝑻

𝐪 (𝐭 )=𝑭𝟎∗𝒈 (𝒕 ) −𝑭 𝟎∗𝒈 (𝒕−𝑻 ) 𝒕 ≥𝑻

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