CAPITULO I

Cálculo Numérico CAPITULO I – Análisis del Error

CAPITULO I

ANÁLISIS DEL ERROR 1.1 - INTRODUCCIÓN Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Hay muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica común: invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos. Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para a solución de problemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas, comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos. Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala. Los métodos numéricos sirven para la resolución de problemas que surgen en las más diversas áreas. La resolución de tales problemas envuelven varias fases o etapas que pueden ser estructuradas: Problema Recolección Real de datos

Ing. Hugo Franco Paats 3

Construcción del elección del Implementar en modelo matemático mét. Numérico computador adecuado

análisis de reformular modelo los resultados o elegir otro método Cada etapa puede presentar una serie de errores asociados al proceso como:

• Error en la recolección de datos • Errores de apreciación • Precisión de los equipos • Errores en la secuencia de operaciones

Uno de los principales errores se debe a la representación de los números reales dentro del computador. La representación de los números se realiza por medio de un número limitado de dígitos lo que produce una pérdida de la precisión.

1.2 - REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS REALES: Los computadores representan los números en notación científica normalizada o aritmética de coma flotante (A.C.F). Un número está representado en notación científica normalizada cuando todos los dígitos del número están a la derecha de la coma decimal y este primer dígito es diferente de cero.

Ejemplo 1.1: 1411 10785321,010321,785 ×=×

Cálculo Numérico CAPITULO I – Análisis del Error Por lo tanto cualquier número real diferente de cero, puede representarse en notación científica normalizada o Aritmética de Coma Flotante, de la siguiente forma: ; emI 10×±=donde es un número comprendido entre 0 y 1 en el sistema decimal, denominado mantisa, y “e” es un número positivo o negativo llamado exponente. Para la representación de un número en la base

mβ en

aritmética de coma flotante de “ ” dígitos para la mantisa, se realiza de la siguiente forma: te

tddddI ββ ×= )...,0( 321

La mantisa ( es una fracción en la base )...,0 321 tdddd β , donde cada dígito está comprendido

por 10 −≤≤ βjd , y tj ,...,3,2=∀ 01 ≠d

El exponente “e” varía en el intervalo , siendo esto valores determinados por la capacidad de la

máquina, y por lo general . El número máximo de dígitos “ t ” de la mantisa está limitado por la longitud de la palabra que el computador puede representar.

[ mM ; ]mM −=

La representación de los números en un computador simple que utiliza 32 bits es la siguiente: 32 bits 1 23 1 7

SM Mantisa SE Exponente SM = signo de la mantisa SE = signo del exponente

)...()1(02122

062)....,1.()1( eeSM SE

mmmI −−= Observemos que el exponente se encuentra en el rango [-127, 127]. Entonces, esta máquina no puede manejar números con una magnitud mayor que ( ) 38127127 102211...111,0 ≅≅× , ni menor que

. ( ) 38127127 1022....100,0 −−− ≅≅La conversión del sistema decimal a binario para efectuar los cálculos en los computadores, acarrean una serie de errores asociados con el número limitado de dígitos con los que se representan los números (bits). Dado un número “N”, su representación en ACF de “ ” dígitos está hecha por truncamiento o redondeo. Este número podrá ser representado en el sistema, si el exponente “e” estuviese dentro de los límites “m” y “M”.

t

EXACTITUD Y PRECISIÓN La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros. La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores. 1.3 – ERRORES

La presencia de errores en el resultado de cualquier proceso numérico es inevitable, pueden haber errores en los datos, pero aún con los datos exactos el propio proceso de cálculo puede ser fuente de error. Por lo tanto, existen errores en:

• Datos • Operaciones • Procedimientos

En este capítulo vamos a analizar los dos primeros. 1.3.1 - ERRORES DE REDONDEO Y TRUNCAMIENTO Cuando un número “ x ” no tiene representación exacta en su base numérica o si la longitud de la palabra del computador es inferior a “ x ”, se realiza una aproximación al número por redondeo o truncamiento.

♦ Truncamiento: en este caso, la máquina representa el número y se queda con los dígitos de precisión de la mantisa a la vez que descarta el resto.

4 Ing Hugo Franco Paats


♦ Redondeo: se utiliza el redondeo simétrico: si el primer dígito a descartar es mayor o igual a 5, entonces sumamos una unidad al dígito que está a la izquierda, si es menor que 5 se mantiene igual.

Ejemplo 1.2: representar los siguientes números en un sistema de ACF de 3 dígitos para 10=β , m = -4 y M= 4, de los siguientes números:

Número representación por trucamiento por redondeo

25,1 110125,0 × 110125,0 ×15,238− 310238,0 ×− 310238,0 ×−

1828,27 210271,0 × 210272,0 × Error….exponente menor que –4 error... 000007,0 Error….exponente mayor que 4 error... 82,221.185.7 ERROR NUMERICO TOTAL El error numérico total se entiende como la suma de todos los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo. Pero aquí surge un gran problema. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración (o sea mayor número de cálculos, seguramente mayor error de redondeo). En la práctica debemos considerar que hoy por hoy los computadores tienen un manejo de cifras significativas mucho mayor que antes por lo que el error de redondeo se minimiza enormemente, aunque no se debe dejar olvidar su aporte al error total. 1.3.2 - ERRORES ABSOLUTOS Y RELATIVOS Error Absoluto: Definimos como error absoluto: a la diferencia entre el valor exacto de un número “ x ” y su valor aproximado “ x ”.

xxEAx −=

En general apenas el valor aproximado x es conocido, siendo que estamos en la búsqueda del valor exacto, por lo que es de interés conocer un “límite superior” o una “estimativa” para valor del error absoluto, a la que denominamos “cota del error absoluto” AXδ y que veremos mas adelante.

Ejemplo 1.3: considerando los siguientes números aproximados 9,119.2=x con error absoluto

1,0<AxE y el número aproximado 3,5=y con 1,0<AxE ¿Se puede concluir que los dos números tienen la misma precisión en la representación? Siendo que ambos tienen el mismo error absoluto no es posible determinar la precisión de cada representación.

Si el valor aproximado x es mayor que el valor exacto x , el error absoluto será negativo, entonces decimos que la aproximación es por exceso. Si el valor aproximado x es menor que el valor exacto x el error absoluto será positivo y la aproximación será por defecto. Error Relativo: El Error Relativo vamos a definirlo como el cociente entre el error absoluto del número y su valor aproximado:

x

xxx

EE Ax

Rx−

==



del ejemplo anterior 5107,49,199.2

1,0 −×≅<RxE y 02,03,51,0≅=AyE

por lo que vemos que AyAx EE < , por lo que concluimos que el número x esta mejor representado que

el valor de . y El error absoluto no es más que la distancia entre el valor exacto y el valor aproximado, mientras que el error relativo mide el error entendido como una porción del valor exacto o del valor aproximado, para este caso, ya que nos encontramos en la búsqueda del valor exacto.

Ejemplo 1.4: encontrar el error absoluto y el error relativo al aproximar el número

por

141592,3=x14,3=x

001592,014,3141592,3 =−=AxE

00507,0141592,3001592,0

===x

EE Ax

Rx

Error Porcentual: El error porcentual no es otra cosa que el error relativo multiplicado por 100

. Del ejemplo anterior: %100% ×= RxEE %507,0% =E Cota del Error Absoluto: La cota de error es el error máximo que se puede cometer al realizar una medida o tomar una aproximación. Si el error cometido al tomar 2,718 es menor que una milésima entonces diremos que 0,001 es una cota de dicho error. Se llama cota del error absoluto AXδ de un valor

aproximado x a cualquier número no menor que el error absoluto: AxAxE δ≤

Cota del Error Relativo: Se llama cota del error relativo de un valor aproximado x cualquier número no menor que el valor del error relativo RxRxE δ≤

1.4- ANÁLISIS DEL ERROR EN ARITMÉTICA DE COMA FLOTANTE En un sistema que opera en ACF de “t” dígitos en base decimal, cualquier número puede ser representado de la forma: siendo que te

xe

x gfx −×+×= 1010 11,0 <≤ xf y 11,0 <≤ xg

Ejemplo 1.5: sea el número y t = 4 el número 56,234=x x al ser representado por la forma anterior será equivalente a:

13 106,0102345,0 −×+×=x , siendo 2345,0=xf y 6,0=xg para este caso Para realizar un análisis general de los errores absoluto y relativo en la representación de los números y utilizando la aproximación por truncamiento, el número será aproximado eliminando el término , que representa los dígitos descartados justamente por el truncamiento.

texg −×10

Calculamos el error absoluto:

xxEAx −= tex

tex

ex

tex

ex ggfgf −−− ×=×=×−×+×= 1010101010

De las condiciones iniciales y dado que 1<xg , el valor máximo del error absoluto será , por lo que

podemos definir como cota del error absoluto por truncamiento

te−< 10

AXδ , siendo: te

Ax−< 10δ



El error relativo será:

ex

texAx

Rx fg

xE

E1010××

==−

como el error es máximo cuando 1,0=xf y 1<xg , por lo que el máximo error

o cota del error relativo cuando la representación es por truncamiento, será: t

Rx−< 110δ

Cuando se utiliza el redondeo simétrico es modificado para llevar en consideración tomando

como valor aproximado xf xg

x analizamos los siguientes casos:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥>−+×

<>−×

=− 2/11010

2/110

xtee

x

xe

x

gsif

gsifx

♦ Si 2/1<xg

Error absoluto es xxEAx −= tex

tex

ex

tex

ex ggfgf −−− ×=×=×−×+×= 1010101010

Error relativos es ex

texAx

Rx fg

xE

E1010

||||

××

==−

considerando que el error es máximo cuando 1,0=xf y

dado que , la cota del error absoluto es 2/1<xg teAx

−×< 1021δ

La cota del error relativo es tRx

−×< 11021δ

♦ Si 2/1≥xg

Error absoluto tex

teex

tex

ex gfgf −−− ×−=+×−×+×= 10)1()1010(1010

como la diferencia 2/1≥xg 1−xg será siempre 2/1≤ , por lo que tomamos como cota del

error absoluto: teAx

−×< 1021δ

El error relativo será:

ex

tex

teex

texAx

Rx fg

fg

x

EE

10101

1010101

×

×−≤

+×

×−==

−

−

−

Siendo que para que el error sea máximo 2/1≥xg y 1,0=xf , tenemos que la cota del error relativo será:

tRx

−×< 11021δ



Por lo tanto, para cualquiera de los casos para el redondeo simétrico tenemos que las cotas del error absoluto y el relativo es:

te

Ax−×< 10

21δ t

Rx−×< 110

21δ

1.4.1- Cifras Significativas Se considera que las cifras significativas de un número a aquellas que tienen significado real o aportan alguna información. Las cifras no significativas aparecen como resultado de los cálculos y no tienen significado alguno. Las cifras significativas de un número vienen determinadas por su error. Son cifras significativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error.

Por ejemplo, consideremos una medida de longitud que arroja un valor de 2345,6789 m con un error de 0,5 m. El error es por tanto del orden de décimas de metro. Es evidente que todas las cifras del número que ocupan una posición menor que las décimas no aportan ninguna información. En efecto, ¿qué sentido tiene dar el número con precisión de diezmilésimas si afirmamos que el error es de casi 1 metro? Las cifras significativas en el número serán por tanto las que ocupan la posición de las décimas, unidades, decenas, etc., pero no las centésimas, milésimas y diezmilésimas.

Utilizando nuestra nomenclatura y la definición de error, denominando tp −= 1 , definimos que el número

x es una aproximación a x con cifras decimales significativas si es el mayor número natural tal que: p p

pRxE 10

21×<

Ejemplo 1.6: Determinar el número de cifras significativas del ejemplo 1.4

Si aproximamos por 141592,3=x 14,3=x , entonces 21021000507,0 −×<=RxE ; por lo tanto,

x es una aproximación a x con dos cifras significativas.

Reglas para contar correctamente el número de cifras significativas: 1) Todos los dígitos a ambos lados del punto decimal son significativos, si no hay ceros. 23.742 5 cifras significativas 332 3 cifras significativas 1.4 2 cifras significativas 2) Ceros usados para localizar un punto decimal no son significativos. 0.023 2 cifras significativas 0.23 2 cifras significativas 0.0000023 2 cifras significativas 3) Ceros entre números son significativos. 2.003 4 cifras significativas 1.0008 5 cifras significativas 0.002034 4 cifras significativas 4) Ceros a la derecha del último dígito que no es cero y a la derecha del punto decimal son significativos. 0.00000230 3 cifras significativas 0.043000 5 cifras significativas 1.00 3 cifras significativas 10.0 3 cifras significativas

Las reglas para definir el número de cifras significativas para multiplicación y división son diferentes que para suma y resta.



Para multiplicación y división el número de cifras significativas en el resultado final será igual al número de cifras significativas de la medición menos precisa. Ejemplo 1.7: Calcular la energía cinética de un cuerpo con una masa de 5.0 g viajando a la velocidad de 1.15 cm/s. La energía cinética es obtenida de la fórmula E.C. = ½mv2

en donde m = masa del cuerpo

v = velocidad del objeto

La respuesta es E.C. = ½(5.0 g)(1.15 cm/s)2 =3.3 g-cm2/s2

¿Cuál número es el menos preciso?

½ no es un número medido, es parte de la fórmula y por lo tanto tiene un número infinito de dígitos significativos

5.0 tiene 2 cifras significativas 1.15 tiene 3 cifras significativas

El número menos preciso tiene dos cifras significativas, así que la respuesta debe tener dos cifras significativas. En sumas y restas el último dígito que se conserva deberá corresponder a la primera incertidumbre en el lugar decimal. Ejemplo 1.8: en la siguiente suma

320.0 4 80.2 20.0 20 20.0

440.2 60 Por lo tanto para la suma tenemos el hasta el primer dígito después de la coma 1.5- ANÁLISIS DEL ERROR EN LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS Dada una secuencia de operaciones es importante tener la noción de cómo el error se propaga a lo largo de las operaciones. El error total en una operación es compuesta por las diferentes partes de las operaciones y por el resultado de la operación. Ciertos errores como los motivados por truncamiento y redondeo, reciben también el nombre de errores generados. Al combinar un dato que ya posee un error generado con otros en las mismas condiciones, los errores se propagan. Entonces, error absoluto total será la suma de los errores generados y propagados. El hecho de considerar los errores generados complica excesivamente el cálculo con errores. Por ello, la regla a tener en cuenta es que el error generado es despreciable siempre que sea cien veces más pequeño que el error propagado por hacer intervenir tal término. 1.5.1- Forma General

Considerando AxExx += e AyEyy += , para la operación de: ♦ Suma

AyAx EEyxyx +++=+ ; siendo que yxyx +=+ y el error absoluto de la operación

AyAxyAx EEE +=+



El error relativo yx

Eyx

EyxEE

yxE

E AyAxAyAxyAxyRx +

++

=+

+=

+= +

+ =

yxyE

yxxE

yxy

yE

yxx

xE

RyRxAyAx

++

+=

++

+= ....

El error relativo de la suma es: yx

yEyx

xEE RyRxyRx ++

+=+ ..

♦ Resta AyAx EyExyx −−+=− donde:

Valor aproximado de la diferencia

yxyx −=− y el Error absoluto de la diferencia es AyAxyAx EEE −=− la diferencia de los errores absolutos de x e . El error Relativo de y yx − será:

yxyE

yxxE

yxE

yxE

yxE

E RyRxAyAxyAx

yRx −−

−=

−−

−=

−= −

− ..

yxyE

yxxEE RyRxyRx −

−−

=− ..

♦ Multiplicación ( )AyAx EyExyx ++= ).(.

Valor aproximado del producto es igual al producto de los valores aproximados yxyx .. = y el

error absoluto de yx. es AxAyyAx EyExE ... += El error Relativo

RyRxAxAyAxAyyAx

yRx EEx

Ey

Eyx

EyExyx

EE +=+=

+==

...

..

.

♦ División

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+=

++

=÷

yEy

ExEyEx

yxAY

AX

AY

AX

1

1.

Representando

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+y

EAY1

1. por la serie: ...132

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

yE

yE

yE AYAYAY

Considerando los dos primeros términos de la serie son significativos, nos queda 0

22

..1

1

1.y

EEyEx

yE

yx

yE

yEx

yEy

Exyx AYAXAYAXAYAX

AY

AX −−+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+=



2

.

y

Exy

Eyx

yx AYAX −−= por lo que el valor aproximado del cociente es

yxyx =÷ y el error absoluto 2/

..y

ExEyE AYAXyAx

−=

RyRxAYAXAYAX

yRx EEy

Ex

Exy

y

ExEyE −=−=−

= ...2/

Ejemplo 1.9: Calcula los errores absoluto y relativo causado por el redondeo simétrico al efectuar, manejando únicamente tres dígitos para las mantisas, la operación yx + , si e 4,765=x 362,7=y .

310765,0 ×=x ; 0104,0 ×=AxE 410229,5 −×=RxE110736,0 ×=y ; ; 2102,0 −×=AyE 4107174,2 −×=RyE 310772,0 ×=+ yx

Por tanto el error absoluto 402,0002,04,0 =+=+=+ AyAxyAx EEE

el error relativo:

0005207493,010772.010736,0107174,2

10772,010765,010229,5.. 3

14

3

34 =

××

×+××

×=+

++

= −−+ yx

yEyx

xEE RyRxyRx

de otra manera

0005207253,010772,0

402,03 =

×=

+=+ yx

EE Ax

yRx

1.6- Ejercicios 1.1- Expresa las siguientes cantidades en sistema de A.C.F. de tres cifras significativas, por redondeo y

truncamiento: a) 74,24 b) 8.200,02 c)-1.863,55 c)0,005 d)-13.485 e)0,02475

1.1- Considerando las cantidades 28.294 y –13.485 y sus respectivas cantidades redondeadas a cuatro y

tres cifras significativas, 28.290 y -13.500 encontrar las cotas de los errores absolutos y relativos de tales redondeos.

1.2- Si para 265625,06417

==x se toma como valores 0,26 ó 0,27, ¿qué error absoluto se comete en

cada caso? Calcula también las cotas del error absoluto para ambos resultados. 1.3- A una cinta métrica defectuosa le falta el primer centímetro. Después de medir la longitud con la

misma, se obtiene 15 cm. Determina la verdadera longitud de la magnitud medida, el error absoluto de la medición, el relativo y el porcentual.

1.4- Un voltímetro marca las lecturas con un error de +0,05. Se toma una lectura de 60 V. Calcular los

errores absolutos y relativos. 1.5- Deducir los dígitos correctos de la cantidad aproximada 48,361 que tiene un error relativo máximo del

1%. 1.6- Considerando la operación de suma de 1,015 + 0,3572 en el que ambos sumandos tienen todas sus

cifras correctas. Calcula la cota del error absoluto y relativo de la operación


Cálculo Numérico CAPITULO I – Análisis del Error 1.8.- Hallar las cifras correctas de la cantidad aproximada 52,135 que posee una cota de error relativo de

valor 4101,0 −×1.9 - Probar con un ejemplo que, si una cantidad aproximada x tiene cifras significativas correctas y la

primera de ellas es , una cota del error relativo viene dada por la expresión n

d

1101

−×= nx d

δ

1.10- Dadas las cantidades redondeadas que se indican: 01018234,0 ×=x ; 314,12=y 00377,0=z , aplicando la expresión de la cota del error absoluto en el redondeo simétrico para cantidades expresadas en coma flotante, calcula el límite máximo de dicho error.

1.11- Se miden dos longitudes, x 3.32 e y ≅ ≅ 5.39. Calcula el valor de las siguientes operaciones,

manteniendo tres dígitos significativos en las sumas. a) x + y b) x + 0.1 y c) x + 0.01 y Determine las fuentes de error y magnitudes de los mismos y su incidencia en los resultados. 1.12- Evaluar en x = 4.71 usando aritmética de punto flotante con tres

dígitos. Comparar los resultados haciendo truncamiento y redondeo. Calcular el error relativo en cada caso considerando como valor exacto

5.12.31.6)( 23 ++−= xxxxf

263899.14)71.4( −=f . 1.13- Determinar las cotas del error absoluto y Relativo en los resultados de las operaciones

siguientes, donde x = 2.00, y = 3.00 y z = 4.00 han sido correctamente redondeados

a) zyxf ++= 3 b) zyxf ×= c) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

40yxsenf

1.14- Sea x = 0.045682138, y una cota de su error absoluto. Dar un intervalo donde se

encuentre el número exacto

5105,0 −×=Axδx . ¿Cuántos dígitos son significativos?


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