CAPITULO I LOGICA MATEMATICA

• Objetivo General

Motivar el uso de la “lógica matemática”, que permita relacionar los diferentes esquemas de aprendizaje, que conlleve a una buena estructura cognitiva.

• Definición.

La lógica matemática es la ciencia que estudia la forma del razonamiento a través de reglas y técnicas determinando si un argumento es válido.

LOGICA MATEMATICAImportancia.La lógica es ampliamente aplicada en varias ciencias, principalmente en la filosofía, matemáticas, computación, física, ciencias naturales y ciencias sociales. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticos para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas, en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas.

Proposiciones

• Definición.-

• Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.

• Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha.

Ejemplos :

Proposiciones

• p: La tierra es plana.

• q: -17 + 38 = 21

• r: x > y-9

• s: El Ecuador pasará la primera ronda eliminatoria del

mundial Brasil 2014

• t: Hola ¿como estas?

• w: Lava el coche por favor.

Clasificación de las Proposiciones

PROPOSICION

VALOR DE VERDAD N.- DE PROPOSICIONES

CERRADA ABIERTA SIMPLE COMPUESTA

Clasificación por Valor de Verdad• Proposicion Cerrada.- Es aquella cuyo valor de verdad no cambia.

Ejemplos:

• 2 + 3 = 7 P.C.F.

• La luna es satélite natural P.C.V.

• Proposicion Abierta.- Es aquella cuyo valor de verdad no se encuentra definido y depende de un conjunto universo referencial. Ejemplos:

• Hoy voy a clase puede ser P.A.V. ó P.A.F.

• x – y = y – x , para toda x, y E R

• 2 – 3 = 3 – 2

- 1 = 1 P.A.F.

Clasificación por N.- Proposiciones• Proposición Simple ó Atómica

• Es aquella que no tiene nexo con otra proposición. Ejemplos:

• b = Soy ibarreño

• c = Soy ecuatoriano

• Proposición Compuesta ó Molecular

• Es aquella conformada por dos o más proposiciones simples y al menos un NEXO llamado operador ó conector lógico. Ejemplo:

• b = Bailo salsa

• c = Canto salsa

• b y c = Bailo y canto salsa

Ejercicios de Proposiciones1 Escriba en el paréntesis V si el enunciado es una proposición y F si no lo es .

• ( ) Hoy es viernes• ( ) 4 no es menor que 2 • ( ) ¡ Vete ! • ( ) Mañana se acabará el mundo• ( ) No hace sol• ( ) ¿ Estás cansada ?• ( ) Yo juego tenis los sábados• ( ) Ayúdame

Ejercicios de Proposiciones

2 Para cada enunciado identificar las proposiciones simples y expresar la proposición compuesta.

a) Bertha es atractiva, también Claudiab) Ni fumar ni beber es bueno para la salud c) La lógica es fácil y le gusta a los estudiantesd) No es cierto que está haciendo frío o que no esté lloviendo

Ejercicios de Proposiciones

3 En las siguientes expresiones, de acuerdo a la clasificación de las proposiciones escribir en los paréntesis su naturaleza.

( ) Hay poca humedad( ) Si hace sol entonces juego tenis por la tarde.( ) Ecuador está ubicado en el continente Americano( ) Guayaquil es la capital del Guayas y la luna es de queso

Valor de verdad y Forma ProposicionalForma Proposicional : es una expresión formal cuyos símbolos representan variables proposicionales que pueden ser simples o compuestas.

Una proposición simple o atómica tiene dos posibles valores de verdad.

Una proposición compuesta por dos proposiciones simples tiene 4 posibles casos de valores de verdad.

Operadores o Conectores lógicos

• Definición : son aquellos que permiten realizar operaciones lógicas con las proposiciones.

OPERADORES BASICOS :

• Negación• Disjunción• Conjunción• Condicional• Bicondicional

La Negación• Concepto .- Es aquella que cambia el valor de verdad de una proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se aplica éste operador, se obtendrá como respuesta su complemento o negación (falso). • Regla : cambia el valor de verdad de una proposición.• Símbología: ┐ , ˜ , ʹ

La negación se presenta con los términos : No, ni, No es verdad que, No es cierto que, Es falso que, y toda expresión que indique una negativa ó contradicción a la proposición.

Tabla de verdad de la Negación• Dentro de los conectores lógicos negativos se puede utilizar

antónimos para enunciar lo contrario.

• Tabla de verdad:

• La negación no enlaza proposiciones simples

p ┐ p

1 0

0 1

Ejercicios

1. Determinar la negación de las siguientes proposiciones:

• p: Ibarra es ciudad blanca• n: Jorge es alto• X: 2 + 3 < 6• Invierto mi dinero en bonos del Gobierno 2. Determinar ¿ Cuál de las siguientes alternativas es la negación de la proposición siguiente:

Ejercicios

h: ¨Los solteros no mueren jóvenes.¨

• a) Es falso que los solteros mueren jóvenes• b) Los solteros mueren viejos• c) No es verdad que los solteros mueren jóvenes• d) Los solteros mueren jóvenes

• e) Ninguna respuesta anterior es correcta.

Ejercicios

• Dada la proposición a: (10/2) + 3 = 2, marque la alternativa correcta.

a) a ≡ 0b) a ≡ 1c) ┐a ≡ 0d) Ninguna

Ejercicios

• ¿Cuál de las siguientes alternativas es la negación de “Apruebo el año” ?

a) No repruebo el añob) No es verdad que repruebo el añoc) Es falso que repruebo el añod) No es cierto que repruebo el añoe) Ninguna respuesta es correcta

Ejercicios

• ¿ Cuál de las siguientes alternativas es la negación de: “ 2 + 4 = 5”

a) 2 + 4 > 5b) 2 + 4 < 5c) No es verdad que 2 + 4 ≠ 5d) 2 +4 ≠ 5e) Ninguna es correcta

Ejercicios• Sean las expresiones “Pedro es mi amigo” y “Juan es valiente”.

La negación de cada proposición es :

• a) “Es falso que Pedro sea mi enemigo” y “Juan es cobarde”• b) “Pedro es mi enemigo” y “ Juan no es cobarde”. • c) “Pedro no es mi enemigo” y “Juan no es valiente”• d) “Pedro es mi enemigo” y “Juan es cobarde”• e) “No es verdad que Pedro es mi enemigo” y “Juan es cobarde”

La Conjunción ( Y )• Llamada también multiplicación lógica y se utiliza para

conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero.

• Simbología utilizada : {Ù, un punto (.), ^, un paréntesis}.

• Ejemplo.

• Sea el siguiente enunciado “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería”

La Conjunción

Sean:

• p: El coche enciende.

• q: Tiene gasolina el tanque.

• r: Tiene corriente la batería.

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:

p = q ^ r

La Conjunción• Tabla de verdad:

Donde.

• 1 = verdadero

• 0 = falso

q r p = q ^ r

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

La Conjunción

• En la tabla anterior:

• el valor de q=1 significa que el tanque tiene gasolina.

• r=1 significa que la batería tiene corriente

• p = q ^ r = 1 significa que el coche puede encender.

• Se puede notar que si q o r valen cero implica que el auto no tiene gasolina y no tiene batería, por lo tanto no puede encender.

Ejercicios• Sean las proposiciones a: “Carlos es feliz” y b: “Carlos es casado”.Marque con una “x” la expresión que representa: a ^ btraducida al lenguaje gramatical.

( ) Carlos es feliz y Carlos es casado( ) Carlos es feliz y casado( ) Carlos es infeliz, casado( ) Carlos es feliz, Carlos es soltero( ) Carlos es tanto casado como feliz( ) Carlos es feliz pero casado( ) Carlos es feliz también soltero( ) Carlos es feliz también casado

Ejercicios• Sea p: “ La ley es justa”; q: “El hombre es honesto”• La traducción de la expresión: “ La ley es injusta y el

hombre es honesto” es:

a) p ^ qb) ┐p ^ q c) p ^ ┐qd) ┐p ^ ┐qe) Ninguna alternativa

Ejercicios

Sean las expresiones: a: “2 (3 + 5 ) = 16 y b: “42 = 2 (3 + 5 )”La traducción al lenguaje gramatical o común de ┐a ^ ┐b es:

a) 2 (3 + 5 ) = 16 y 42 = 2 (3 + 5 )b) 2 (3 + 5 ) ≠ 16 y 42 ≠ 2 (3 + 5 )c) 2 (3 + 5 ) > 16 y 42 = 2 (3 + 5 )d) 2 (3 + 5 ) < 16 y 42 = 2 (3 + 5 )e) Ninguna es correcta

Ejercicios

• Si la expresión p ^ ┐ q es verdadera, entonces exprese si es Verdadero ó falso que:

• a) ┐ p ≡ 0• b) ┐ q ≡ 1• c) q ≡ 0• d) p ≡ 1 y q ≡ 1

La Disjunción• Conocida también como la suma lógica • Regla : Sólo es falso, si todas sus proposiciones son falsas.• Simbología utilizada : { v, Ú ,+ ,È}. y su lectura es “ ó ”.

• Ejemplo.

• Sea el siguiente enunciado “Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase”. Donde.

• p: Entra al cine.

• q: Compra su boleto.

• r: Obtiene un pase.

La Disjunción

• Tabla de Verdad

q r p = q v r

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

EjerciciosSean las proposiciones siguientes:a: Pedro habla inglésb: Pedro habla francés • Determinar gramaticalmente la siguiente simbología: a v b• La expresión: Pedro no habla inglés y si Francés adquiere un

valor de verdadero ó falso.• Determinar si el valor de la expresión: “Pedro no habla inglés

ó no habla Francés” es verdadero o falso.

Ejercicios• Sean las siguientes proposiciones: r: La suma de dos números impares es un número par t: El cuadrado de todo numero mayor o menor que cero tiene como resultado un valor numérico superior a cero.Determinar la expresión correcta:

a) ┐ r v 1 = 1b) r v t ≡ ┐ rc) r v ┐t ≡ ┐ r v td) Ninguna de las anteriores

Condicional (Enunciación Hipotética )Es considerado como el conector de causa y efecto ó enunciación hipotética.

Regla: Solo es falsa ( 0 ), cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

La simbología utilizada comúnmente es : ( →, )

Su lectura simbólica se la interpreta como: “ Si ….. entonces …. ” ; “ Si …. implica ……” , “ …. Implica …. ” , “ ….. Sólo si …..”

Ejemplos:

• q : El triángulo es rectángulo

• r : El triángulo tiene un ángulo de 90 grados.

CondicionalDeducción :

Si el triángulo es rectángulo implica que el triángulo tiene un ángulo de 90 grados.

Ejemplo :

• a: Yo tomo

• b: no manejo

Deducción :

• Si tomo no manejo

Condicional• Su tabla de verdad es :

q r p = q → r

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Ejercicios• Determinar gramaticalmente 3 formas de expresar la

condicional de las siguientes proposiciones. a: Yo pienso b: Yo existo

a ) ……………………………b) ……………………………c ) ……………………………

Ejercicios• Siendo las proposiciones: s: El número es divisible para 6 t: el número es divisible para 3 La traducción a lenguaje simbólico de “Basta que un número sea divisible para 6 para que sea divisible para 3” es : a ) s → (┐ t) b ) ┐s → t c ) s → t d ) t → (┐ s)

Bicondicional ( ↔ )

Regla : Solo es verdad cuando las dos proposiciones tienen el mismo valor de verdad.Simbología utilizada : ↔ ≡

Se lo considera como equivalencia y se lo expresa como :• Si y solo si• Es condición suficiente y necesaria para • Es equivalente

Ejemplo :La traducción equivalente de: El polígono es un triángulo sí y solo si tiene tres lados, sería :

Bicondicional ( ↔ )

El polígono es un triángulo, es suficiente para que tenga tres lados. m: El polígono es un triángulo (m → n ) ^ ( n → m )

n: El polígono tiene tres lados 1 ^ 1

Bicondicional ( ↔ )TABLA DE VERDAD

a b a ↔ b a → b b → a (a → b) ^ ( b → a)

1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0

0 0 1 1 1 1

Ejercicios de Proposiciones Bicondicionales

• En las siguientes expresiones escriba en el paréntesis V si es verdadera y F si es falsa

a) ( ) Cuando p ≡ 1, ┐q ≡ 1 ; ┐p ↔ ( p v q ) ≡ 1

b) ( ) x = 5 si y solo si x2 > 2x + 3

c) ( ) 3x + 2 = 11 es equivalente a 2x = 6

Resoluciones

a) ( ) Cuando p ≡ 1, ┐q ≡ 1; ┐p ↔ ( p v q ) ≡ 1

•┐p ↔ ( p v q ) ≡ 1

•┐(1) ↔ ( 1 v q ) ≡ 1

•0 ↔ 1 ≡ 1

•0 ≡ 1 R = Falso

Resoluciones

• x = 5 si y solo si x2 > 2x + 3

X ≡ 5 → x2 > 2x + 3

1 → ( 5 )2 > 2 (5) + 31 → 25 > 13

1 → 1 R = Verdadero

Resoluciones

3x + 2 = 11 es equivalente a 2x = 6

3x = 9 es equivalente a x = 3

x = 3 ≡ x = 3

R = Verdadero

TABLA DE VERDAD DE OPERADORES LOGICOS

1ra Propos

2da Propos

Negación Conjunción Disjunción Condicional Bicondicional

p q ┐p p ^ q p v q p → q p ↔ q

1 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 1 0

0 0 1 0 0 1 1

EJERCICIO DE FORMA PROPOSICIONAL

Dada la siguiente forma proposicional:A: [(p∧q)→(r ¬∨ p)]∧r

FORMAS PROPOSICIONALES

• Concepto.- Son aquellas determinadas por los valores de verdad encontrados en el operador principal de las tablas de verdad.

Clasificación :

TAUTOLOGIA CONTRADICCION FALACIA O CONTINGENCIA

FORMAS PROPOSICIONALES• Tautología .- Es la forma proposicional siempre verdadera

para cualquier valor de verdad de las proposiciones simples ó atómicas.

Ejemplo :

La proposición ¨p o no p¨ , es decir p v ┐p es una tautología , la misma que se verifica al construir la tabla de verdad :

p ┐p p v ┐p

1 0 1

0 1 1

FORMAS PROPOSICIONALES• Contradicción .- Es la forma proposicional siempre falsa que se

de a las proposiciones simples ó atómicas que la componen.

Ejemplo :

La proposición ¨p y no p¨ , es decir p ^ ┐p es una contradicción,

la cual se ve por la tabla de verdad formulada a continuación :p ┐p p ^ ┐p

1 0 0

0 1 0

FORMAS PROPOSICIONALES

• Falacia o Contingencia .- Forma proposicional que tiene en el operador principal valores de verdad verdadero ( 1 ) y falso ( 0 ).

p ┐p

1 0

0 1

Leyes del álgebra de Proposiciones

1.- Leyes de Idempotencia :

• 1a. p v p ≡ p

• 1b. p ^ p ≡ p

2.- Leyes Asociativas

• 2a. ( p v q ) v r ≡ p v ( q v r )

• 2b. ( p ^ q ) ^ r ≡ p ^ ( q ^ r )

Leyes del álgebra de Proposiciones3.- Leyes conmutativas

• 3a. p v q ≡ q v p

• 3b. p ^ q ≡ q ^ p

4.- Leyes distributivas

• 4a. p v ( q ^ r ) ≡ ( p v q ) ^ ( p v r )

• 4b. p ^ ( q v r ) ≡ ( p ^ q ) v ( p ^ r )

Leyes del álgebra de Proposiciones

5.- Leyes de identidad

• 5a. p v F ≡ p

• 5b. p ^ V ≡ p

• 5c.p v V ≡ V

• 5d. p ^ F ≡ F

6.- Leyes del complemento

• 6a. p v ┐p ≡ V

• 6b. p ^ ┐p ≡ F

Leyes del álgebra de Proposiciones• 6c. ┐ ┐p ≡ p

• 6d. ┐V ≡ F, ┐F ≡ V

7.- Leyes de De Morgan

• 7a. ┐ ( p v q ) ≡ ┐ p ^ ┐ q

• 7b. ┐ ( p ^ q ) ≡ ┐ p v ┐ q

• 7c. ┐ ( p → q ) ≡ p ^ ┐ q

• 7d. ┐ ( p ↔ q ) ≡ p ↔ ┐ q ≡ ┐ p ↔ q

Aplicaciones TautológicasLa Tautología es importante en el análisis de expresiones lógicas, para lo cual se consideran ocho leyes lógicas como las básicas de la tautología.

• 1.- Tautología Trivial

Si: p ↔ p se tendría p → p Ξ 1

• 2.- Ley de la doble negación:

Si p Ξ ¬ ( ¬ p ) se tendría p → ¬ ( ¬ p ) Ξ 1

• 3.- Ley del tercer excluído

p v ¬ p Ξ 1

• 4.- Razonamiento directo

[ ( p → q ) ^ p ] → q Ξ 1

Aplicaciones Tautológicas• 5.- Razonamiento Indirecto

[ ( p → q ) ^ ¬ q ] → ¬ p Ξ 1

• 6.- Ley de transitividad o silogismo hipotético

[ ( p → q ) ^ ( q → r ) ] → ( p → r ) Ξ 1

• 7.- Ley de la contrarecíproca

Si ( p → q ) Ξ ( ¬ q → ¬ p ) se tendría ( p → q ) → ( ¬ q → ¬ p ) Ξ 1

• 8.- Silogismo disjuntivo

Si [ ( p v q ) ^ ¬ p ] → q Ξ 1

Simplificación de Expresiones:

• Al igual que los signos algebraicos mantienen un orden jerárquico, de la misma manera los operadores lógicos tienen su orden establecido y se lo detalla a continuación:

1. ¬

2. ^ v

3. →

4. ↔

• Este orden permitirá operar de manera lógica de las diferentes proposiciones expuestas.

Simplificación de Expresiones

• Ejemplo:

• p ^ ¬ q → ¬ r

• Esto implicaría:

• ( p ^ ( ¬ q ) ) → ( ¬ r )

Equivalencia Lógica

• Dos proposiciones se dicen lógicamente equivalentes si sus tablas de identidad son idénticas.

• Ejemplo:

• Sea la expresión p → q y ┐p v q, determinar si las dos proposiciones son equivalentes.

p q p → q ┐p ┐p v q1 1 1 0 11 0 0 0 00 1 1 1 10 0 1 1 1

RAZONAMIENTO LOGICOProposiciones compuestas que pueden ser representadas por la conjunción de proposiciones denominadas premisas o hipótesis, la condicional como operador lógico principal; y, una proposición final denominada conclusión.Las premisas o hipótesis corresponden al antecedente de la implicación, mientras que la conclusión es su consecuente.

VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO

Un razonamiento es válido cuando la forma proposicional que representa su estructura lógica es una tautología. Si dicha forma proposicional es una contradicción o contingencia, entonces el razonamiento no es válido.

Determine si el siguiente razonamiento es válido:“Si Pablo recibió el e-mail, entonces tomó el avión y estará aquí al mediodía. Pablo no tomó el avión. Luego, Pablo no recibió el e-mail”.

RAZONAMIENTO LOGICO

Solución:1 ) Se procede primero a identificar las proposiciones simples:• p: Pablo recibió el e-mail.• q: Pablo tomó el avión.• r: Pablo estará aquí al mediodía.

2 ) Se identifican las hipótesis y la conclusión:• H1: p→(q∧r) • H2: ¬q• C: ¬p

RAZONAMIENTO LOGICO

3) Se estructura la lógica del razonamiento:• [ H1 H2 ] → C∧• [(p→(q∧r)) ¬∧ q]→¬p

RAZONAMIENTO LOGICO

Determine si el siguiente razonamiento es válido:

“Si el crimen ocurrió después de las 04h00, entonces Pepe nopudo haberlo cometido. Si el crimen ocurrió a las 04h00 o antes,entonces Carlos no pudo haberlo cometido. El crimen involucraa dos personas, si Carlos no lo cometió. Por lo tanto, el crimeninvolucra a dos personas”.

Solución:p: El crimen ocurrió después de las 04h00.q: Pepe pudo haber cometido el crimen.r: Carlos pudo haber cometido el crimen.s: El crimen involucra a dos personas.

RAZONAMIENTO LOGICO

Identificación de hipótesis y conclusión:• H1: p→(¬q) • H2: (¬p)→(¬r) • H3: (¬r)→s• C : sEstructuración lógica del razonamiento:• [ H1 H2 H3 ]→C∧ ∧• [(p→(¬q)) ((¬∧ p)→(¬r)) ((¬∧ r)→s)]→s

RAZONAMIENTO LOGICO

La forma proposicional resultante es una contingencia, por lo que se concluye que el razonamiento no es válido.

RAZONAMIENTO LOGICODetermine la validez del razonamiento:“Si llueve, hay producción; si hay granizo, no hay producción; hay granizo o no hay nevada. Por lo tanto, no llueve”.

Solución:1) Identificación de las proposiciones simples :p: Llueve.q: Hay producción.r: Hay granizo.s: Hay nevada.

RAZONAMIENTO LOGICO2) Identificación de hipótesis y conclusión.• H1: p→q• H2: r→¬q• H3: r ¬s∨• C : ¬p

3) Estructura lógica del razonamiento:• [(p→q) (r→¬q) (r ¬s)]→¬p∧ ∧ ∨

RAZONAMIENTO LOGICO4) Negación de la conclusión:5) Afirmación de hipótesis:

RAZONAMIENTO LOGICOSi a partir del supuesto valor de verdad de la conclusión, que es falso, se determinó que el valor de verdad del antecedente es verdadero, la forma proposicional no es tautológica. Por lo tanto, el razonamiento no es válido.