CAPITULO II

VECTORES Y ESTÁTICA

2.1 ESCALARES Y VECTORES - DEFINICIONES

Escalares, son las que están plenamente determinadas por su magnitud, es decir

por un número que expresa su “cantidad” y por una especia o unidad que expresa su

“calidad”. Se pueden combinar aritméticamente.

Ejemplo: 20 m, -10 N vertical hacia arriba.

Se denomina pseudovectores o vectores axiales aquellos cuyo sentido se liga con

la dirección de rotación. Los giros a ángulos finitos, representados por segmentos

dirigidos, no poseen las propiedades de los vectores. Al variar la condición, los sentidos

de los pseudovectores se cambian pro los opuestos.

Tensores, son aquellas cantidades que poseen magnitud pero requieren de dos ó

más aspectos direccionales para describirlas completamente.

Ejemplo: tensor de inercia, tensor de esfuerzos, gradiente de deformaciones. El número

de direcciones para describir totalmente un tensor se llama orden del tensor. Un vector

es un tensor de primer orden con cada componente dependiente de una sola dirección en

el espacio. Una cantidad escalar es un tensor de orden cero sin orientación espacial.

Los tensores de segundo orden: tensor de esfuerzos, tensor de inercia y tensor de

deformaciones.

Clases de vectores.-

a) Vectores libres .- aquellos que no tienen una única línea de acción, poseen sólo

dirección, y pueden ser trazados de cualquier punto del espacio.

Ejemplo: aceleración de la gravedad, par o cupla.

b) Vector localizados .- tenemos:

b.1. Vector deslizante, aquél que tiene una determinada línea de acción, su

origen puede ser ubicado en cualquier punto de la recta, a lo largo de la cual

está dirigido el vector.

Ejemplo: fuerzas en los cuerpos rígidos.

b.2. Vector aplicado, o fijo, es el vector deslizante con un punto determinado de

aplicación.

La base del Cálculo Vectorial es la noción del vector libre, que por regla es

denominado simplemente vector.

2.2. VECTOR UNITARIO, POSICIÓN. COMPONENTES.

Vector Unitario o versor del vector, es aquél vector caracterizado por tener como

magnitud a la unidad.

Ejemplo: Sea el vector A, su magnitud A=A, su vector unitario.

AU = ------- A

; entonces A= Au = A u

Vectores unitarios principales.-

Z i = ux = (1,0,0)

k j = uy = (0,1,0)

o k = uz = (0,0,1)

Vectores paralelos.-

A___________

e A = A.e ; B.e B___________

=> A = A.B = A . B = .B,

B B

donde es un escalar.

Vector posición o radio vector.- vector trazado desde el origen de coordenadas

hasta el punto dado. Describe la ubicación del punto. Si éste da la posición de una

partícula en movimiento que partió del origen, el vector representará el desplazamiento

de la partícula desde su posición inicial.

Componentes de un vector.- (rectangulares)

a) En el plano.- de la fig. A = Ax + Ay

A=A x y + Ay.j = (Acos) i + (Asen)j

=> A=(A cos) y + (A sen)j

donde A = A= Ax² + Ay²

Vector Suma o Adición.-

V = V1 + V2; donde V1 = V1i,

V2 = (V2 cos) i + (V2sen)j

V= (V1 + V2 cos) i + (V2sen)j

V = (V1+V2cos)² + (V2sen)²

de la última expresión efectuando operaciones se obtiene:

V= V1 + V2=V1²+V2²+2V1.V2.cos

De la fig. + =

sen = (sen - )= sen

V sen = V2senß

V2 sen = V sen = V2sen

de ambas expresiones tenemos:

V = V1 = V2 sen sen sen Ley de Senos

Vector Diferencia.-

D = V1 - V2

D= V1 i - (V2cos i + V2senj)

D= (V1 - V2 cos) i - (V2 sen) j

D=(V1-V2 cos)² + (V2sen)², efectuando operaciones

D = V1 - V2 =V1² + V2² - 2V1.V2 cos

b) En el espacio.- ángulos y cosenos directores.

Sabemos que : A = Ax + Ay + Az = Ax.i + Ayj + Az.K

donde A= A= Ax² + Ay² + Az² ; de la fig. Obtenemos:

Ax = A sen. cos ; Ay = Asen . sen; Az = A cos

A= (sen.cos ) i + (Asen .sen ) j +

(Acos )K

Expresando el vector A en función de ,,

A = Acos .i + Acos + Acos .K; por lo tanto:

A=A=A²cos² + A²cos² + A²cos² , de donde

cos² + cos² + cos² = 1

donde , , se denomina ángulos directores y a cos , cos , cos. se les denomina

cosenosdirectores.

2.3 OPERACIONS CON VECTORES. Vectores concurrentes.

a) Adición y diferencia. Regla de polígonos .

Sean los vectores A y B, definidos:

A= Ax.i + Ay.j + Az.K ; B= Bx.i + By.j + Bz.k ;

Se define la adición : A + B = (Ax +Bx)i + (Ay+By)j + (Az+Bz)k

Se define la diferencia: A - B = (Ax - Bx)i + (Ay - By)j + (Az - Bz)k

Adición y Diferencia Adición de varios vectores

de dos vectores Polígono cerrado

b) Producto Escalar .- de dos vectores A y B, da una magnitud escalar. Así

tenemos “A producto escalar B”:

A.B = A.B cos = B.A

Sea A = Ax.i + Ay.j + Az.k ; B = Bxi + By.j + Bzk =>

A.B = Ax.Bx + Ay.By +Az.Bz = B.A

Si A.B = 0 si y solo si A┴ B.

Propiedades:

* A.A = A² ** A.B = B.A ***mA.nB = mnA.B

* C.(A+B) = C.A + C.B ; donde m y n son escalares. Ciertas magnitudes

físicas tales como trabajo, potencia, flujo eléctrico, etc., se expresan

mediante un producto escalar.

c) Producto Vectorial .- de dos vectores A y B, da un vector normal al plano

definido por los vectores, tal como se aprecia en la figura su sentido se

determina por la regla de la mano derecha.

Sea A = Ax.i + Ay.j + Az.k

B = Bx.i + By.j + Bz.k

A x B = A.B.sen

i j k

A x B = Ax Ay Az = y (AyBz - ByAz) - j (AxBz-BxAz) + k (AxBy-BxAy)

Bx By Bz

Propiedades:

* A x B = -B x A ** m (A x B)=mAxB = AxmB; m escalar

*** C x (A + B)= C x A + C x B

El torque o momento de una fuerza, el momentum angular, etc. son expresados

mediante un producto vectorial.

d) Proyección Ortogonal .- componente de un vector sobre otro.

La proyección ortogonal de A sobre B:

ProyAB + Acos.µB = A cos . B.B B B

ProyA = ABcos . B = A.B .B

B B² B²La componente de A sobre B:

CompA = A cos . B = ABcos ; B B B

Comp A = A . B B B

e) Area o Superficie de un paralelogramo .-

S = Base x altura

S = A.Bsen = A x B

S = A x B

Luego el vector área o superficie S = A x B

f) Volumen de un Paralelepípedo .- (Vol.)

Vol. = Area - Base x altura

Vol. = BxC. A cos = A BxC cos

Vol. = A. (B x C)

2.4 DERIVADAS E INTEGRALES DE VECTORES.-

Sean A y B vectores en función del tiempo t; donde :

A = Ax.i + Ay.j + Az.k ; B= Bx.i + By.j + Bz.k , entonces:

dA dAx dAy dAz---- = A’ = A = -------- i + ------- j + ------ k dt dt dt dt

Derivada de un producto escalar.-

d dB dA ---- (A.B) = A’.------ + ----- . B dt dt dt

Derivada de un producto vectorial.-

d dB dA ---- (AxB) = A x ----- + ----- x B dt dt dt

Integral de un vector.-

Sea A = d B = Ax.i + Ay.j + Az.k; entonces dt

B = dB = Ax.i.dt + Ay.jdt + Az.kdt

Relación Producto Escalar.- Cosenos directores.-

Sea A = A (cos1.i + cosß1.j + cos 1.k

B = A (cos2.i + cosß2.j + cos2.k, entonces

A.Bcos = ------ = cos1.cos2 + cosß1.cosß2 + cos1.cos2

AB

Producto Mixto : A x B.C = A.B x C

Doble producto vectorial : A x (B x C) = A.C B - A.B C

Gradiente.- Sea una función escalar de las coordenadas x, y , z, se denomina

gradiente de la función y se designa por a la siguiente expresión:

= ----- . i + ---- .j + ----- .k x y z

2.5. ESTÁTICA. FUERZA Y SISTEMA DE FUERZAS. MOMENTO DE UNA

FUERZA. TEOREMA VARIGNON.

Estática, es la parte de la Mecánica que se encarga del estudio de las fuerzas, su

composición y reducción del sistema de fuerzas aplicadas a su reducción más simple, y

de la determinación de las condiciones de equilibrio de los sistemas de fuerzas que

actúan sobre el cuerpo sólido.

La fuerza es una magnitud vectorial que es el resultado de la interacción entre

los cuerpos; siempre origina un efecto sobre los cuerpos, dicho efecto puede ser:

traslación, rotación, deformación, torsión, esfuerzos sobre los cuerpos. Según sea la

naturaleza de la interacción entre los cuerpos, las fuerzas se clasifican en fuerzas

gravitacionales, fuerzas electromagnéticas, fuerzas nucleares y fuerzas débiles. Una

fuerza tiende a desplazar un cuerpo, además es necesario conocer el punto de aplicación

de dicha fuerza. Según la acción de la fuerza podemos decir que puede descomponerse

en dos efectos:

a) Exterior : reacción o fuerza ejercida a consecuencia de la acción de la fuerza,

por lo que son de dos clases las fuerzas reactivas y las fuerzas aplicadas o

activas.

b) Interior : son los movimientos internos resultantes y las fuerzas distribuídas

por todo el material. La relación entre las fuerzas internas y los movimientos

internos exige tener en cuenta las propiedades de los materiales del cuerpo.

AXIOMAS DE LA ESTÁTICA.-

1. El cuerpo rígido permanece en equilibrio.

2. Principio de superposición.- cuando a un cuerpo rígido que se encuentra en

equilibrio se le agrega o se le quita un sistema de fuerzas balanceadas sigue

permaneciendo en equilibrio. Esto nos lleva a manifestar que, la acción de una

fuerza sobre un cuerpo rígido no se modificará si el punto de aplicación de la

fuerza se traslada a lo largo de la línea de acción a cualquier punto del cuerpo.

3. Axioma del paralelogramo de fuerzas.- la resultante de dos fuerzas no paralelas

aplicadas a un punto común, está aplicada en el mismo punto y representada en

magnitud y dirección por la diagonal del paralelogramo construido sobre estas

fuerzas como lados.

4. Ley de acción y reacción.- cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste

reacciona sobre el primero con una fuerza de la misma magnitud, misma

dirección pero de sentido contrario. La acción y reacción no constituyen un

sistema de fuerzas, pues una de ellas actúa sobre un cuerpo y la otra sobre el otro

cuerpo.

Denominaremos la resultante de un sistema de fuerzas a la combinación más

sencilla de fuerzas que pueda sustituir a las fuerzas originales sin alterar el efecto

exterior del sistema sobre un cuerpo rígido al que se puedan aplicar las fuerzas.

Fuerzas Paralelas

Fuerzas concurrentes Fuerzas no concurrentes

y no paralelas.

Momento o torque de una fuerza.- el cuerpo rota alrededor del punto O, debido

al efecto de la fuerza, y se aplica la regla de la mano derecha.

0 = Frsen = r x F

Momento producido por:

Par o cupla .- un parte de fuerzas de igual módulo y dirección, pero de sentidos

contrarios.

F = F - F = 0 (No hay traslación).

0 = rAx F + rBx (-F) = rAx F - FBx F

0 = (rA rB) x F = d x F O

Existe rotación, independiente del centro de momentos. No depende de a.

Teorema de Varignon del momento de una fuerza resultante.- el torque o

momento de la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes, respecto de un

punto cualquiera es igual a la suma algebraica de los torques o momentos de las

componentes respecto a dicho punto.

Sistema de Fuerzas concurrentes.-

* R = F = F1 + F2 + ……. Fn

* 0 = r x R = r x [F1 +F2 + …… + Fn]

0 = 0R = r x R = rx F1 + rxF2 + … + r x Fn = 0

F1 + …0Fn

R F1 F2 Fn

= + + … + 0 0 0 0

Un sistema de fuerzas concurrentes puede reemplazarse por una sola fuerza, su

resultante, la que es completamente equivalente al sistema en lo que respecta a

efectos de traslación y rotación.

Torsor.- cuando el momento resultante es paralelo a la fuerza resultante se dice

que la resultante es un torsor.

Torsor positivo Torsor negativo

Sistema de Fuerzas Paralelas.- su resultante es R y está ubicada en el punto cuyo

vector posición es rc.

n nR = Fi = F1 + F2 + … Fn = Fi u …. (1); ri = vector posición de la fuerza Fi

1 1

n n n n = i = ri x Fi = ri + (Fi) u = (ri Fi) x u …. (2) 1 1 1 1

n npero = rc x R = rc x = rc (Fi) x u …… (3)

1 2

n n n nDe (2) y (3) rc (Fi ) x u = (ri Fi) x u => rc (Fi) = (ri Fi )

1 1 1 1

de donde:

n

ri . Fi

1rc = ----------------

n Fi

1

xi Fi zi Fi

xc ------------ zc --------------- Fi Fi

yi Fi

yc ----------- Fi

Centro de Gravedad.- estamos dentro del caso de fuerzas paralelas.

ri . Wi

rCG = ----------- n Wi

1

W = peso = mg

si g = cte. => el elemento de gravedad coincide con el centro de masa.

ri.mi

FcM = ----------- mi

ridw ri.dm ri dvolurCG= ---------; si g = cte => rCG = rCM = ----------- = -------------

dw dm dvolu

ri . dvolu ; = densidad, = peso específico también rcG = ---------------- dw = d(mg)

dvolu

dw = gdm + mdg, cuando g es variable.

Se utiliza CG cuando se hace referencia al efecto de las fuerzas de gravedad

sobre un cuerpo.

Se utiliza C.M. cuando se hace referencia a la influencia de distribución de la

masa sobre la respuesta mecánica-dinámica de un cuerpo a fuerzas no

equilibradas.

Sistema de fuerzas coplanarias.- la fuerza resultante de un sistema de fuerzas

coplanarias puede aplicarse a un punto cualquiera que no esté sobre su recta

soporte única, añadiendo el par correspondiente.

R = Fi = F1 + F2 + … + Fn; 0 = i = 1 o + 2 o + … + n o

donde : 0 = dR ; 0 = r1 x F1 + r2 x F2 + … + rn x Fn

Sistema de fuerzas cualesquiera.- en el caso de un sistema de fuerzas

cualesquiera en el espacio, como cada una de ellas puede trasladarse

paralelamente así misma, a un mismo punto O con tal de añadir un par por cada

una de las fuerzas trasladadas, entonces todo sistema general de fuerzas puede

representarse por un torsor aplicado a lo largo de una recta soporte única; suele

ser más conveniente utilizar como punto de referencia un cierto punto O tal

como el C.M. del cuerpo, tal que no se halle sobre el eje único del torsor.

2.6 FUERZAS DISTRIBUIDAS

Una fuerza aplicada a un cuerpo se distribuye sobre un área o volumen finitos,

por lo que debe tenerse en cuenta la variación de la distribución de la fuerza. Se

denomina campo de fuerzas a la distribución de la fuerza sobre una región, pudiendo ser

la distribución lineal superficial o volumétrica. La fuerza de atracción gravitacional

terrestre es una fuerza distribuida y su resultante es el peso, este caso es el

correspondiente a fuerzas paralelas y se aplica en lo que se denomina el centro de

gravedad, ya estudiado.

Centroides de líneas, superficies y volúmenes.- se refiere solamente a la forma

geométrica de los cuerpos. Si el peso específico es el mismo en todos los puntos,

las posiciones del centroide y del centro de gravedad coinciden. El centroide

puede estar dentro o fuera del cuerpo.

Dos líneas:

xdl ydl zdlx = ------- ; y = ------- ; z = ----- L L L

De superficies:

xdA ydA zdAx = -------- ; y = ------- ; z = ----- A A A

De volúmenes:

xdV ydV zdVx = -------- ; y = ------- ; z = ----- V V V

Método de la viga equivalente.- sea que se tiene una fuerza distribuida x carga

distribuida por una unidad de longitud (N/m, Kgf/m), tal como se aprecia en la

figura, se puede representar por una fuerza P ubicada en una posición xg.

Viga equivalente

A ___________________ B

L

P = peso total o fuerza total.

P = dP = x .

dx

la ubicación de dicha fuerza estará dada por :

xg = xdP = x x . dx P P

2.7 EQUILIBRIO ESTÁTICO

Se denomina cuerpo libre a aquél que puede desplazarse por el espacio

libremente.

Cuerpo ligado o no libre es aquél en que sus desplazamientos están restringidos

sea por encontrarse enlazados con otros cuerpos, o sea por encontrarse en contacto con

ellos. Todo lo que restringe el movimiento de un cuerpo dado en el espacio se denomina

ligadura o ligazón.

Reacciones en ligaduras:

a) Superficies lisas b) Superficies rugosas

c) Hilo flexible e inextensible d) Apoyo de rodillo

e) Unión articulada f) Empotramiento o apoyo fijo

Equilibrio es la condición para la cual la resultante de las fuerzas ejercidas sobre

un cuerpo es nula. Dado de que un sistema de fuerza cualesquiera puede reemplazarse

por una fuerza resultante R y un par resultante , para que el cuerpo esté en equilibrio

deben satisfacerse las siguientes condiciones:

a) Polígono de fuerzas cerrado, equilibrio de traslación.

R = F = O : Fx = O , Fy = O , Fz = O

b) Polígono de torques o momentos cerrados, equilibrio de rotación.

= i = O ; x = O , y = O , z = O

Son condiciones necesarias porque si no se cumplieran no habría compensación

de fuerzas o momentos, y son suficientes porque si se satisfacen no puede haber

descompensación.

Se denomina equilibrio estático cuando el cuerpo está en reposo, y se denomina

equilibrio dinámico cuando el cuerpo se encuentra en movimiento rectilíneo uniforme.

Si un cuerpo se encuentra en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas

concurrentes y coplanares se sumple que el módulo de cada uno de ellas es directamente

proporcional al seno del ángulo de oposición formado por las otras dos (ver pág. 13 ley

de senos).

Se denomina equilibrio estable cuando el cuerpo, con las fuerzas que actúan

sobre él, recobra su posición original después de ser ligeramente desplazado de dicha

posición (fig. A). Se denomina equilibrio inestable cuando el cuerpo tiende a separarse

más de su posición original cuando se le da un ligero desplazamiento inicial (fig. b), y

se denomina equilibrio indiferente o neutro cuando las fuerzas conservan su equilibrio

cuando el cuerpo queda en su nueva posición (fig. c).

Fig. a: E. estable Fig. b: E. inestable Fig. c: E. neutro

A continuación se resuelven una serie de problemas correspondientes al

capítulo, tomados en prácticas y exámenes en la Facultad de Ingeniería Mecánica de la

Universidad Nacional de Ingeniería.

Problema:

Dado el conjunto de vectores T, N y B cualesquiera que satisfacen las siguientes

relaciones (T, N y B están en función del tiempo):

a) TxN = B ; b) NxB = T ; c) BxT = N

Determinar : la magnitud de T, N y B y el ángulo entre T y dT/dt.

Solución:

Si B = T x N => BT y BN ; B = TN sen = TN .. (1) 2

T= N x B => TN y TB ; T = NB sen = NB .. (2) 2

N= B x T => NB y NT ; N = BT sen = BT .. (3) 2

(2) en (1) B=NBN => N=1

(3) en (1) B=TBT => T=1

(4) en (2) T=BTB => B=1

T.T = Ttcos0°= 1 => d( T.T ) = 1

dt

T.d T + d T .T = 0 => T.d T = 0 T.d T . cos = 0 => = dt dt dt dt 2

Problema:

Los cosenos directores de un vector A están en relación 1:2:3. El módulo del vector A

es de 2 unidades y el producto escalar del vector A con B es igual a 403 , sabiendo

que:

B = bi + 2bj + 3bk, se pide:

i) El ángulo entre A+B y A-B

ii) (A+B) x (A-B)

Solución:

i) cos = cosß = cos …. (1) ; A = 2….(2); 2 3

A.B = 403 …. (3)

B = bi + 2bj + 3bk … (4); A = (Acos) i + (Acosß) j + (Acos) k

Reemplazando tenemos:

A = 2cosy + 4cosj + 6cosk …. (5)

Elevando al cuadrado

4cos² +16cos² + 36cos² = 4; cos = 0,267; cosß=0,535

Ycos = 0,802 reemplazando en (5)

A = 0,535i + 1,069j + 1,604k … (6)

A.B = 403

Despejando b: b = 9,257

B = 9,257 + 18,513j + 27,77k …(7)

A + B = 9,792i + 19,582j + 29,374k …(8)

=>A + B = 36,636

A - B = -8,722i - 17,444j - 26,166k … (9)

=>A - B = 32,635

De (8) y (9)

(A + B). (A - B) = A+B A-B cos

-1 195,594 = 36,636 x 32,635 cos

Resolviendo : = 179,6535

i j k

ii) (A+B) x (A-B) = 9,792 19,582 29,374

-8,722 -17,444 -26,166

Operando:

(A + B) x (A - B) 0,017i + 0,017j - 0,017k

Problema:

Si A = V1 x V2 , P= (V3 + V4) x V5

C = (V3 + V5) x V2 se pide determinar:

i) Proy A+B (AxB)

ii) A x (BxC)

Solución : V1 = 10i + 12k ; V2 = 15j;

V3 = 10i + 15j + 12k ; V4 = -15j ; V5 = 10i - 12k

i j k

A = V1 x V2 = 10 0 12 = -180i - 150k -- (1)

0 15 0

B = (V3 + V4) V5 = (10i + 12k) x (10i +12k) = 240j -- (2)

C = (V3 + V5) x V2 = (20i + 15k) x 15j = 300k -- (3)

A x B = (-180i - 150k) x 240j = 36000i - 43 200k -- (4)

A + B = -180i + 240j - 150k -- (5)

i) Proy (AxB) = ( AxB ) ( A+B ) . (A+B) A+B A + B ²

Proy (AxB) = (36000 i - 43200 k ) (-180 i + 240 j - 150 k ) . (A+B) A+B -180i + 240j - 150k ²

Operando:Proy (AxB) = 0 (A+B)

ii) Ax(BxC) = -180i - 150k) x [(240j) x (300k)]

A x (BxC) = -10 800 000j A x (BxC)= 10 800 000Problema:

Dado r”(t) = 10i + 3etj - Sentk , si para

t = 0, r’(0) = 3j + k y r(0) = i + 3j

Hallar r(t) = ?

b) Si una partícula se mueve según las ecuaciones siguientes:

x = t² + 1 ; Y = t² + 4t + 2

z = t² - 2t +3 ; hallar :

b.1) Un vector unitario tangente a dicha trayectoria en el instante t=1 segundo.

b.2) La magnitud para la aceleración, cuando t=1 segundo.

Solución:

a) r”(t) = 10i + (3et)j - (sent)k ; r’=3j + k;

t t t t

r’(t) = 10ti + (3et)j + (cost) k 0 0 0 0

r’(t) - (3j + k) = 10ti + 3etj + costk -3j - k ;

Operando :

r’(t) = 10ti + 3etj + costk ;

Se sabe que : r(0) = i + 3j ;

r(t) - r(0) = 10 t² i + 3(et1)j + sent k

r(t) = (5t² + 1)i + 3etj + sent k

b) r(t) = (t² + 1)i + (² + 4t + 2)j + (t² -2t + 3) k ;

v(t) = (r’(t) = 2ti + (2t + 4)j + (2t -2) k

v(t) = (2i + 6j entonces :

v(t=1) = 2² + 6² = 40

u(t=1) = v(t=1) = 2 i + 6 j v(t=1) 40

a = v(t) = 2i + 2j+ 2k

a = 2² + 2² +2² = 23 m/s²

Problema:

En la figura se tiene un cubo de arista = 6m. Si el origen del sistema cartesiano se

encuentra en el centro del cubo, determine:

a) La resultante de fuerzas (como vector)

b) El vector resultante de momentos respecto a A.

F1 = -10i ; F2 = -8k ; F3 = 12cos45i + 12sen 45k

3Re = Fi ; Re = -1,515i + 0,485k (N) 1

rA = 3i - 3j + 3k ; F1 = -3i + 3j + 3k ;

R1 = r1 - rA R1 = -6i + 6j ;

r2 = 3i - 3j - 3k ; R2 = r2 - rA = -6k

r3 = -3i + 3j - 3k ; R3 = r3 - rA

Reemplazando:

R3 = -6i + 6j - 6k

MA = R1 x F1 + R2 x F2 + R3 x F3

Reemplazando y operando:

MA = 9,088k + 50,912i (N m)

Problema:

Calcule la mínima fuerza horizontal necesaria para tirar de un rodillo para césped de

radio R y masa m, de modo que suba un escalón vertical de altura d.

Solución:

De la figura : x = R² - (R-d)²) ;

x = 2Rd-d² ; MA = 0

F.(R-d) = mgx ; F= m g x

R-d

mgF= ------- . 2Rd-d² R-d

Problema:

Una carga vertical de 550 Kgf está sostenida por 3 barras que aparecen en la figura.

Econtrar la fuerza en cada barra.

Los puntos C, O y D estdán en el plano XY, mientras que B está 1,5 m por encima.

Solución: De la figura P = 550 (-k)

RAB (0,3,4,5)RAB = -------------------- = RAB (0,0,555,0,832)

3² + 4,5²

RAC (-3,0,6)RAC = ------------------ = RAC (-4,447,0,0,894)

3² + 6²

RAD (3,-3,6)RAD = ------------------ = RAD ( 0,408, -0,406, 0,817)

3² + 3² + 6²

F x = 0

RAC x 0,447 = RAD x 0,408

F y = 0 RAB x 0,555 = RAD X 0,406

RAC = 0,913 RAD ; RAB = 0,732 RAD

FZ = 0

-550 + RAB x 0,832 + RAC x 0,894 + RAD x 0,817 = 0

550 RAD = -------------------------------------------------

0,732 x 0,832 + 0,913 x 0,894 + 0,817

RAD = 245,29 Kgf

RAB = 179,532 Kgf

RAC = 223,95 Kgf

Problema:

Se sabe que un vector A forma el mismo ángulo con los ejes X, Y, Z, que tiene como

módulo A=2 unid., y el producto escalar del vector A con otro vector B es igual a

403, sabiendo que el vector B= ai + 2aj + 3ak, hallar el valor de a.

Solución.

A= 2 ; A = Acosi + Acosj + Acosk

A= 2 = (2cos)² + (2cos)² + (2cos)²

2 = 3(2cos)² => 4 = 3 (4cos²)

cos² = 1 3

3cos = ----- --- (1) ; A.B = 403 --- (2)

3

B = ai + 2aj + 3ak

A.B = Acos (a+2a+3a)

3403 = 2. ------- (a +2a + 3a) Operando 3

a = 10

Problema :

A y B son cilindros circulares rectos que pesan 30 kg y 50 kg respectivamente, hallar las

reacciones en las paredes.

4Tan = ---- => =53°

3

4Tag ( -----) = ----

2 x

4x = ------------ tan 26,5°

4x = -------------------- => x = 8 tag (arctg 4/3)

d = 6,5² 2,5² => d = 6cm

0 = 0

N1 . d = WA x 2,5 ; N1 = 30 x 2,56

N1 = 12,5 kgf

FH = 0 N1 = N3 sen

12,5 N3 = -------- => N3 = 15,625 Kgf

(4/5)

FV = 0WA + WB + N3 cos = N2 Reemplazando.

N2 = 30 + 50 + 15,625 x 3 Operando. 5

N2 = 89,375 Kgf

Problema:

En la figura que se muestra, se trata de sacar la cuña 1 de la hendidura, metiendo en esta

hendidura la cuña 2, sobre la cual aplican una fuerza F. Los ángulos y ß son dados.

Determinar la fuerza (vertical hacia arriba) que actúa sobre la cuña 1 que contribuye a

sacarla de la hendidura.

Considerar superficies lisas. Dar su respuesta en función de F, , ß. Despreciar el peso

de las cuñas.

Solución:

Efectuando el

diagrama de

cuerpo libre

Descomponiendo la fuerza F en dos componentes una en la dirección horizontal

(F1) y otra en la dirección de N2 (F2) se tiene :

Del mismo modo se hace con la

fuerza F1

Se observa que N2 = F2

=> se eliminan y queda

solamente F1.

Se observa que F4 = N1 => se

eliminan y queda solamente la

fuerza vertical hacia arriba F3 que es

lo que se pide.

De las figuras :

tan = F ; tanß = F3 => F3 = F1 tanß F1 F1

F3 = tanß . F => F3 = F. tan ßtan tan

Problema :

a) Determínese las coordenadas X, Y del centroide de un arco semicircular.

b) Una barra semicircular de peso W y radio r se fija a un perno en A y se apoya

sobre una superficie sin fricción en B. Determínese las reacciones en A y en B.

Solución:

(r cosi + r send) rd r cosdi + sendd 0R= --------------------------------- = ----------------------------------

rd0

2rEfectuando operaciones: r = ---------- j

De la fig. RA = RB

A = 0 => RB.2r = W . 2r

RB = W

B = 0 => RA.2r = W. 2r ; Fv = 0

RAH = W RAV = W

Problema :

Un barco mantiene un rumbo de 90° durante tres horas y luego lo cambia a uno de 150°

por 4 horas (observe que un rumbo de 0° es hacia el norte, de 90° hacia el este, etc.). Si

hay una corriente marina que se desplaza:

a) hacia el sur a una velocidad de 4 nudos (1 nudo = 1 milla náutica/hora) y

b) hacia el norte a una velocidad también de 4 nudos, siendo la velocidad del barco con

respecto al agua igual a 12 nudos, hallar el desplazamiento total del barco para cada

caso (en millas náuticas).

AB => las 3 primeras horas

TAB = 3 h

BC => las siguiente 4 horas

TBC = 4 h

Vb/a = velocidad del barco respecto al agua.

Va = velocidad del agua (de la corriente marina).

VbAB = velocidad del barco durante las 3 primeras horas.

VbBC = velocidad del barco durante las últimas 4 horas.

SAB = desplazamiento del barco en las 3 primeras horas.

SBC = desplazamiento del barco en las últimas 4 horas.

(a)

Vb/a= 12 nudos, Va= 4 nudos, de la figura

VbAB = Vb/aAB + VaAB = 12i - 4j … (1)

A velocidad constante :

SAB = VbAB x tAB = 36i - 12j …. (2)

VbBC = Vb/aBC + VaBC = (12 cos60i - 12sen60j) + (-4j)

VbBC = 6i - 14,392j => SBC = VbBC x tBC = 24i - 57,569j

SAC = SAB + SBC = (36i - 12j) + (24i - 57,569j) = 60y - 69,569j

SAC= 91,869 millas náuticas

(b)

VbAB = Vb/aAB + VaAB = 12i + 4j ; VbAB x tAB = SAB ,

SAB = (12i - 4j) x 3 = 36i + 12j …. (1)

VbBC = Vb/aBC + VaBC = (12 cos60i - 12sen60j) + 4j

VbBC = 6i - 6,392j => SBC = VbBC x tBC = 24i - 57,569j …. (2)

De (1) y (2) SAC = SAB + SBC = 60i - 13,369j

SAC= 61,515 millas náuticas

Problema:

Mediante el análisis vectorial determine la distancia de un punto a una recta, la distancia

de un punto a un plano, la menor distancia entre dos rectas y la ecuación de un plano.

Solución:

Distancia de un punto a una recta.-

De la figura d = P - P1 sen

P2 - P1d = P-P1.sen. ------------

P2 - P1

(P - P1) x (P2 - P1d = --------------------------- P2 - P1

Distancia de un punto a un plano .- N

d = P - P1 cos . ------ N

(P - P1).Nd = ---------------- N

Menor distancia entre dos rectas.- R1 x R2

d = P2 - P1 cos . --------------R1 x R2

(P2 - P1) x (R1 - R2)d = --------------------------- R1 - R2

Ecuación de un plano.-

N = (A, B, C)

N es perpendicular al plano

P0 (x0, y0, z0) , P = (x,y,z)

P - P0 = vector situado en el plano

(P - P0) es perpendicular a N => (P - P0) . N = 0

[(x - x0), (y - y0), (z - z0)]. (A,B,C) = 0

A (x - x0) + B (y - y0) + C(z - z0) = 0

Momento o torque respecto a un eje.- (a)

= 0 cos.n

= (0.n).n

= [(r x F).n].n

= (r x F.n).n

Problema:

Determinar la magnitud M del momento de la fuerza de 100 N respecto al eje 0-0

coincide con la diagonal del paralelepípedo rectángulo mostrado en la figura.

Solución:

De la figura C = (0,0,0)

A = (5,0,0); B = (0,0,3)

D = (5, -4, 3)

r = 5i

F = 100 AB AB

(0,0,3) - (5,0,0) -5y + 3kF = 100 . ------------------------ = 100 x -----------------

(0,0,3) - (5,0,0) 5² + 3²

CD -5i + 4j - 3kF = 85,75i + 51,45k ; n = ------- = ------------------

CD 5² + 4² + 3²

m = - 0,707y + 0,566j - 0,424k

i j k r x F 5 0 0 = -j (257,25)

-85,75 0 51,45

(r x F).n = -145,604

M = (r x F.n) .n = 102,942i - 82,412 j + 61,736k

M = 145,604 N.m

Problema:

En la figura mostrada un poste vertical AE está retenido por cables desde A hasta B, C y

D. Dada la tensión en AD igual a 126 N, encontrar las fuerzas en AC y AB de manera

que la fuerza resultante en A sea vertical.

Solución:

Inicialmente obtenemos las coordenadas de los puntos dados:

A = (0,0,3,6)

B = (0,2,7,0)

C = (-1,2,-0,9,0)

D = (1,8, -1,2,0)

E = (0,0,0) en metros.

Del diagrama de cuerpo libre para la zona A:

La tensión en AC es 126 N o sea F2= 126 N

Pongamos las fuerzas en su forma vectorial.

AC (-1,2-0)i + (-0,9-0)j + (0-36)kF1 = F1 . ------ = F1 . -----------------------------------------

AC 1,2² + 0,9² + 3,6²

Efectuando operaciones:

F1 = F1 . (-0,3077i - 0,2308j - 0,923k) … (1)

AD (1,8-0)i + (-1,2-0)j + (0-3,6)k F2 = F2. ------ 126 x ------------------------------------------- , donde

AC 1,8² + 1,2² + 3,6²

F2 = 54i- 36j- 108k … (2)

AB (0-0)y + (2,7-0)j + (0-3,6)kF3 = F3 . ------ = F3 x --------------------------------------- , donde

AB 2,7² + 3,6²

F3 = F3 x (0,5999j - 0,7999k … (03)

Por condición del problema la resultante debe ser vertical, entonces :

Re = ± Rek, no tiene componentes en “x”, ni en “y”;

Re = F1 + F2 + F3 ; Rex = 0 = F1 . (-0,3077) + 54 => [ F1 = 175,4956 N

Rey = 0 = F1(-0,2308) - 36 + F3.0,5999) => [ F3 = 127,5286 N

Sólo hay componente en el eje z:

Re = (F1 . 0,923 - 108 - F3.0,7999)k , reemplazando valores.

Re = -371,9926k , en Newtons.

Problema :

Un cilindro de peso W=650 N, está sostenido por los cables AC y BC unidos a la parte

superior de dos postes verticales. Una fuerza horizontal P perpendicular al plano que

contiene a los postres sostiene al cilindro en la posición mostrada, determinar:

a) la magnitud de la fuerza horizontal P.

b) la tensión en cada cable.

Solución:

Inicialmente obtenemos las coordenadas de los puntos dados:

A = (0,-3,6,5) B = (0,3,6,5) C = (1,2,0,2,4).

El diagrama de cuerpo libre será :

donde W = -650k ; P= Pi; de la figura por simetría

T=T’= T , entonces

CA (0-1,2)i + (-3,6-0)j + (5-2,4)kT = T . ----- = T . -----------------------------------------

CA 1,2² + 3,6² + 2,6²

efectuando operaciones:

T = T(-0,261i - 0,783j + 0,565k) … (1)

CB (0-1,2)i + (-3,6-0)j + (5-2,4)kT = T. ----- = T. ----------------------------------------- ; efectuando operaciones

CB 1,2² + 3,6² + 2,6²

T = T(-0,261i - 0,783j + 0,565k) … (2)

Por condición del problema, al estar en equilibrio:

Fx = 0 => P-0,261T = 0,261T = 0 => P = 0,522T … (3)

Fy = 0 => -0,783T + 0,783T = 0

Fz = 0 => -650 + 0,565T + 0,565T = 0; T = 575,22N … (4)

Reemplazando (4) en (3):

P = (0,522) x (575,22) => P=300,265N

Problema :

Si el siguiente sistema mostrado en la figura está en equilibrio determinar las fuerzas F,

F, N y H (sus magnitudes). CE y CD son cables. Despreciar el peso de la barra AC.

Expresar sus resultados en función de W, L, a, b, .

Solución:

G = (0,0,0)

A = (0,b,0)

B = (0,b + Lcos, 0);

C = (0,b + Lcos, Lsen);

D = (-a,0,0);

E = (a,0,0)

N = Nk; H = Hj ; W = -Wk;

por simetría las fuerzas F y F’ tienen igual magnitud, sea está:

F => F = F. CD ; F’ = F.CE , entonces. CD CE

(-a)i + (-b - Lcos)j + (-Lsen)kF = F . --------------------------------------------- … (1)

a² + (b+ Lcos)² + (-Lsen)²

ai + (-b - Lcos)j + (-Lsen)kF’ = F . --------------------------------------------- … (2)

a² + (b+ Lcos)² + (-Lsen)²

Por condición de equilibrio :

F = 0 => F + F’ + N + H + W = O

En el eje “y” :

F.2 (-b-Lcos) 2F (b+Lcos)--------------------------------------- + H = 0; H = --------------------------------------- … (3)a² + (b + Lcos)² + (Lsen)² a² + (b + Lcos)² + (Lsen)²

En el eje “z” :

-2F Lsen--------------------------------------- + N - W = 0; a² + (b + Lcos)² + (Lsen)²

2 FLsenN = W + ------------------------------------------ …. (4)

a² + (b + Lcos)² + (Lsen)²

A = O ; como en el punto A concurren las fuerzas F, F y W tendrán el mismo :

r=> A = 0 = r x (F + F’+ W) …(5)

-2F (b+Lcos)j 2 F L senF + F + W = --------------------------------------- -- --------------------------------- + W k

a + (b+Lcos)² + (Lsen)² a² + (b+Lcos)² + (Lsen)²

El vector r = Lcosj + Lsenk

i j k

A = O = 0 Lcos Lsen

2F(b + Lcos) 2F Lsen 0 - ----------------------------------- - ----------------------------------- + W a² + (b+Lcos)² + Lsen a²+(b+Lcos)² + (Lsen)²

2 F L sen 2F(b + Lcos)0= -(Lcos) --------------------------------- + W + (Lsen) -------------------------------------

a² + (b+cos)² + (Lsen)² a² + (b+Lcos)² + (Lsen)²

efectuando operaciones (5) en (3)

W F= ----------- . a² + b² + 2bLcos + L² 2bTan

… (5)

2(b + Lcos) WH = -------------------------------- . ----------- . a² + b² + 2b Lcos + L²

a² + b² +2bLcos + L² 2btan

Efectuando operaciones (5) en (4)

W (b + Lcos )H= ------------------- b tan

… (6)

2L sen WN = W + ------------------------------ . --------- . a² + b² + 2bLcos + L²

a²+b² +2bLcos + L² 2btan

W LcosN = W + ---------------- =>

b

1 + Lcos N = W -------- b

Problema :

La estructura tubular soldada está unida al plano horizontal X-Y mediante una rótula

situada en A y se apoya en el anillo con holgura situado en B. El cable CD impide la

rotación en torno a la recta AB cuando se aplica la carga de 100 N y la estructura es

estable en la posición representada. Despréciese el peso de la estructura frente a la carga

aplicada y determínese la tensión T del cable, las reacciones en el anillo y las

componentes de la reacción en A.

Solución:

En la figura se han representado las reacciones en A y en B, los vectores posición r para

las fuerzas F y T. Por condición del problema:

AB = O = (r1 x T.n).n + (r2 x F.n).n … (1)

A = (0,0,0); B = (0,18,24); C= (-12,0,24);

D = (-4,10,0); E = (10,0,24)

r1 = (-12,0,24) - (0,0,0) = -12i + 24k … (2)

CD 8i + 10j - 24kT = T. ------- = T . ------------------- = T. (0,294i + 0,368j - 0,882k) … (3) CD 8²+10²+24²

AB 18j + 24kn = -------- = --------------- = 0,6j + 0,8k … (4) AB 18² + 24²

r2 = 10i + 24k … (5) ; F = 1000j … (6)

(2), (3), (4), (5) y (6) en (1)

O = [ (-12i + 24k) x T(0,294i + 0,368j - 0,882k). (0,6j + 0,8k)] . (0,6j + 0,8k)

+ [10i + 24k) x (1000j) . (0,6j +0,8k) . (0,6j +0,8k)

O = (4800 - 3,39T)j + (6400 - 4,52T)k => T = 1415,929N … (7)

T = 416,283i + 521,062j - 1248,849k … (8)

Tomando en cuenta los sentidos supuestos de BZ , BX , AX , AY , AZ , tenemos:

x = 0 => - 1000 x 24-521,062 x 24+18 BZ = 0 => BZ = 2028,083 … (9)

Z = 0 => - 1000 x 10-18BX - 12 x 521,062 = 0 => BX = 208,18 N … (10)

FX = 0 = AX + 416,283 + 208,18 => AX = -624,463 N … (11)

Fy = 0 = Ay + 521,062 + 1000 => AY = -1521,062 N … (12)

FZ = 0 = AZ - 1248,849 + 2028,083 => AZ = -779,234 N … (13)

Problema :

Demuestre que los vectores A y B inscritos en un semicírculo, como se muestra en la

figura, siempre deben ser perpendiculares.

Solución:

De la figura :

B = (r + rcos)i + (rsen)j

A = (r - rcos)i + (rsen)j

Efectuando el producto escalar:

A.B = (r+cos.r) (rcos-r) + (rsen) (rsen)

A.B = r²cos + r²cos² - r²cos + r²sen² - r² = 0

A.B = 0 = A.Bcos; donde A0, B0

=> cos = 0 => = /2 => A es perpendicular a B

Problema: Dados los vectores:

A=i - 2j + 3k ; B= -3i + 2j + 4k y C=3i + 5j + 7k , determinar:

(a) A. (BxC) ; Ax (BxC)

(b) El vector unitario normal al plano por A = (1,-2,3); B=(-3,2,4) y C=(3,5,7)

Solución:

(a) A.(BxC) = (i - 2j + 3k).[(-3i + 2j + 4k) x (3y + 5j + 7k)] = -135

Ax(BxC) = (i - 2j + 3k) x [(-3i + 2j + 4k) x (3y + 5j + 7k)]

Ax(BxC) = (i - 2j + 3k) x (-6i + 33j + 21k) = -57i + 3j + 21k)]

(b) B-A = -4i + 4j + k

C-B = 6i + 3j + 3k

(B-A) x (C-B) = 9i + 18j - 36k

(B-A)x (C-B)= 9² + 18² + 36² = 1701

(B-A) x (C-B) 9i + 18j - 36kµ = ----------------------------- = -------------------------

(B-A)x (C-B) 1701