1

Capítulo II.4 Corriente Eléctrica ....................................................................................2 II.4.1 Antecedentes históricos en la detección y medida de la corriente eléctrica..........2 II.4.2 Definición de intensidad de corriente y densidad de corriente eléctrica..............3

II.4.2.a Relación corriente y flujo de carga.................................................................3 II.4.2.b Tipos de corriente eléctrica- Conservación de la corriente ............................6

II.4.3 Teoría macroscópica de la corriente eléctrica- Ley de Ohm.................................8 II.4.4 Teoría microscópica de la corriente eléctrica- Conductividad eléctrica .............10 II.4.5 Cálculo general de la resistencia de una configuración de corriente ..................18 II.4.6 Sistemas de resistores..........................................................................................22

II.4.6.a Configuración en paralelo ............................................................................22 II.4.6.b Configuración en serie ................................................................................24 II.4.6.c Otras configuraciones...................................................................................25

II.4.7 Fuentes de corriente o potencia- La celda voltaica ............................................26 II.4.7.a La celda voltaica en circuito abierto.............................................................28 II.4.7.b La celda voltaica en circuito cerrado ...........................................................31

II.4.8 Transferencia de energía en un circuito - El efecto Joule ...................................38 II.4.9 Dispositivos para la medida de la corriente eléctrica, la fuerza electromotriz y la resistencia......................................................................................................................43 II.4.10 Redes o Circuitos eléctricos complejos.............................................................47

II.4.10.a Leyes de Kirchoff .......................................................................................49 II.4.10.b El puente de Wheastone .............................................................................54

II.4.11 Circuitos R C – C D ..........................................................................................55 PREGUNTAS - CAPITULO II.4 .........................................................................60 PROBLEMAS - CAPITULO II.4.........................................................................61

2

Capítulo II.4 Corriente Eléctrica La mayoría de los conceptos y las leyes presentados en este capítulo no están comprendidos en la electrostática sino dentro del campo de la dinámica de las cargas, área de la Física denominada Electrodinámica. Para la fecha en que todavía se estaba desarrollando la electrostática y algunas de sus leyes aún no se habían descubierto, comenzaron los estudios de la electrodinámica, la corriente eléctrica y sus aplicaciones. Este campo avanzó con tal rapidez que superó los avances de la electrostática y de tal magnitud que encontró mayores aplicaciones tecnológicas; y nuevas áreas de la electricidad se originaron. Este es uno de los casos en donde la carreta va antes del caballo. De la misma forma como el desarrollo de la concepción atomística de la materia influenció y determinó el avance de la electrostática también influyó el avance de la electrodinámica. Pero paralelamente nuevas herramientas matemáticas fueron desarrolladas y empleadas para una mejor explicación satisfactoria de los fenómenos eléctricos asociados al movimiento de las cargas, siendo el punto culminante las ecuaciones de Maxwell. La presentación de este capítulo, el cual posee cierta complejidad, se hará en un formulismo fenomenológico ampliando los conceptos físicos mediante el empleo de matemáticas elementales y minimizando el cálculo diferencial e integral. Uno de las postulados fundamentales de este capítulo considerado válido sin demostración, es el considerar que las propiedades de la carga en movimiento son las mismas que las de la carga en reposo. Esto es aceptable siempre y cuando las cargas se muevan a velocidades bajas. Una discusión más amplia del porqué de esta condición y de otras será pospuesta para la parte III de esta serie cuando se discutirá la conexión entre la electricidad y el magnetismo.

Debido a la forma en que se interrelacionarán los eventos electrostáticos y electrodinámicos se hará una breve introducción de los antecedentes históricos de la corriente eléctrica. Se presentará también en este capítulo con la ayuda de la teoría atómica de la constitución de la materia de cómo se origina la conducción de las cargas al nivel microscópico. Luego se analizará el movimiento de los electrones a nivel atómico, lo que se conoce como teoría microscópica de la conductividad. Pero antes introduciremos los conceptos macroscópicos de los fenómenos eléctricos que involucran el movimiento de las cargas tales como intensidad y densidad de corriente eléctrica, y fuentes de diferencia de potencial o potencia. II.4.1 Antecedentes históricos en la detección y medida de la corriente eléctrica A partir de los experimentos iniciales de S. Gray y Ch. Dufay quedó plenamente establecida la capacidad de los conductores (metales) en permitir el movimiento o transporte temporal de las cargas. Sin embargo, fue el anatomista L. Galvani quién en 1791 presentó los resultados del transporte de carga entre un metal y el músculo de una rana estableciendo así que el tejido muscular es un conductor. Aunque este fenómeno catalogado como “Galvanismo” y comprendido en el área de la electrostática, más tarde fue catalogado como flujo o corriente eléctrica sin establecer sus orígenes. Este experimento sentó las bases para que se intuyera la corriente eléctrica en otros materiales. Se puede entonces decir con propiedad que Galvani es el padre de la corriente eléctrica. En 1792 A. Volta establece

3

que la corriente eléctrica se origina del contacto entre un metal y un cuerpo húmedo atribuyéndoles una diferencia de potencial. Sus primeras investigaciones le condujeron años mas tarde a inventar un dispositivo para generar diferencias de potencial y poner en movimiento las cargas. Así, constituyendo una cadena de uniones metal-cartón Volta inventó un generador de diferencia de potencial hoy conocido como pila voltaica. A partir de 1820 y hasta finales de la década de 1830 Ampere Biot, Savart, Oersted y Faraday entre otros descubrieron los efectos más importantes que relacionaban la electricidad y el magnetismo, iniciándose así una nueva área de la Física: el Electromagnetismo. Esta relación pronto encontró numerosas aplicaciones entre ellas la mas importante el dispositivo para la medida de la corriente eléctrica. La relación entre la corriente eléctrica y la diferencia de potencial que ésta produce fue encontrada por G. S. Ohm en 1827 estableciéndose así la capacidad de un cuerpo en permitir el paso de la corriente eléctrica. Aún cuando el efecto calorífico producido por el paso de la corriente eléctrica era un fenómeno conocido desde algunas décadas no fue sino hasta 1827 cuando J. P. Joule determina teórica y experimentalmente la relación entre la corriente eléctrica y el calor. En 1832 P. Drude propone su teoría electrónica para la explicación del fenómeno de la conducción eléctrica en metales. En 1857 Kirchoff encuentra que la velocidad de propagación de la corriente eléctrica en un conductor corresponde a la de la luz en el medio, y más tarde estableció las leyes para la determinación de las corrientes en un conjunto de dispositivos conocido como: circuito eléctrico. II.4.2 Definición de intensidad de corriente y densidad de corriente eléctrica En el capítulo II.2 cuando se analizó la inducción electrostática en términos del concepto de potencial quedó claro que la existencia de un campo eléctrico en el interior de un conductor establece una diferencia de potencial la cual acelera las cargas colocándolas en movimiento. Se inicia entonces una corriente transitoria1 de electrones la cual cesa cuando el conductor adquiere un potencial constante en todo su volumen y se alcanza un equilibrio electrostático en el mismo. Similarmente, cuando dos o más conductores a diferentes potenciales son conectados mediante otro conductor tal como un alambre metálico, debido al gradiente de potencial entre ellos ocurre una transferencia de carga temporal hasta que se alcanza el equilibrio electrostático entre los diferentes conductores. En este caso también se dice que aparece una corriente eléctrica. Sin embargo, si por medio de un dispositivo se somete al conductor o los diferentes conductores a una diferencia de potencial constante entonces los electrones se mantendrán permanentemente acelerados y por la ec. II.2-74 el trabajo hecho por el agente externo que mantiene la diferencia de potencial constante se convierte en energía cinética de los electrones. Por efecto de fricción con el medio éstos adquieren una velocidad constante. Se dice entonces que se ha establecido una corriente eléctrica permanente y estable o que ocurre una conducción eléctrica en el conductor. II.4.2.a Relación corriente y flujo de carga El movimiento de las cargas en un material desde un enfoque macroscópico es similar al movimiento de un fluido como el agua en un río. La dinámica se puede considerar analizando la cantidad de carga en el transcurso del tiempo. De forma que para una carga 1 El lapso de tiempo es muy corto tal cómo se señaló en el capítulo II.2 y se determinará más adelante.

4

individual Q, se denomina intensidad de la corriente eléctrica la cantidad de carga por unidad de tiempo cuantitativamente como:

tQI = (II.4-1)

Si se tiene que el número de cargas es muy elevado, las cargas forman una distribución continua entonces se puede tomar una diferencial de carga dq en un diferencial de tiempo dt y definir la intensidad de corriente como:

tdqdI = (II.4-2)

Mostraremos ahora a continuación que la corriente eléctrica no es más que el flujo de la carga. Tomamos como ejemplo un conductor metálico en donde por lo menos hay un electrón por átomo, y si consideramos que en un mol hay el número de Avogadro de átomos, entonces el número de electrones libres es considerable2. Para analizar este movimiento macroscopicamente consideramos una porción de sección transversal A constante y volumen τ a lo largo del conductor de forma arbitraria tal como se indica en la figura II.4-1. Nos preguntamos cuantas partículas cargadas atraviesan una determinada sección transversal de éste conductor por unidad de tiempo. Supongamos que las partículas poseen la misma carga y se mueven con velocidad u. Si en un volumen V existen Nqcargas entonces la densidad de partículas sería:

VqNn = (II.4-3)

El volumen recorrido por las cargas en un intervalo de tiempo ∆t se puede expresar como:

lA ∆⋅=V (II.4-4) De forma que el número de cargas en ese volumen en términos de las dimensiones físicas es:

( )tuAnnNq ∆⋅== τ (II.4-5) Por lo tanto la intensidad de corriente debido a estas cargas a través de A resulta ser:

( ) ( )unqAtuAntq

tNqi q ⋅=∆⋅∆=∆= (II.4-6)

Esta ecuación puede ser directamente extendida a cualquier situación en que se tengan diferentes cargas en magnitud, signo, velocidad y concentración de la forma: 2 En la sección II.4.4 se aclarará porqué los electrones se consideran libres.

5

⋅= ∑k

kkk unqAi (II.4-7) Puede observarse que las ecs. (II.4-6,7) tienen la forma correspondiente a la definición de flujo; así que, podemos aseverar que la intensidad de corriente es el flujo de carga por la sección transversal A. Obsérvese que la ecuación II.4-7 se puede escribir de la forma;

JAi ⋅= (II.4-8) y en donde se ha definido:

∑=k

kkk unqJ (II.4-9) como el vector densidad de corriente eléctrica o corriente/unidad de área.

El movimiento de las cargas es mantenido por una diferencia de potencial, si en la figura II.4-1 el lado izquierdo corresponde al punto de mayor potencial entonces las cargas negativas (electrones) se desplazarán hacia la izquierda; en tanto que las positivas lo harán hacia la derecha. Es obvio de la ec. II.4-9 que el producto carga-velocidad tiene el mismo sentido para ambos tipos de carga. En consecuencia la dirección y sentido del vector densidad de corriente es el mismo. Por eso se dice que ambos tipos de carga producen un flujo de corriente en el mismo sentido. Por convención originalmente propuesta por Franklin, se toma como sentido de la corriente aquél correspondiente a las cargas positivas.

Por simples consideraciones probabilísticas podemos decir que la velocidad promedio de las cargas se determina mediante la suma del producto de todas las velocidades multiplicadas por el factor de peso, el cual corresponde a la concentración de cargas con esa velocidad, y divida por la concentración total, esto es;

T

kkk

d nun

u∑

= (II.4-10) Si el conductor es metálico las cargas que se mueven consisten de electrones solamente, por lo tanto la carga es – e y la concentración es única e igual a ne, así que mediante la ec. II.4-10, la ec. II.4-9 para la densidad de corriente de electrones se puede escribir como:

dek

kk uneuneJ −=−= ∑ (II.4-11a) En tanto que el flujo de electrones, es decir, el número de electrones por unidad de área y tiempo vendría dado por:

dee uneAi

eJ ===Φ (II.4-11b)

6

Fig. II.4-1. Flujo de corriente por un conductor de forma arbitraria.

II.4.2.b Tipos de corriente eléctrica- Conservación de la corriente Las corrientes eléctricas se pueden clasificar de acuerdo a su permanencia en la dirección y sentido, de acuerdo a su permanencia en el tiempo, de acuerdo al medio en el cual se propaga y también de acuerdo al tipo de carga que la conforma. Cuando la corriente eléctrica posee una dirección y sentido constante se denomina corriente directa; pero cuando el sentido cambia periódicamente en el tiempo se denomina corriente alterna. Estas ultimas corrientes se estudiarán en la parte III de esta serie. Como ya señalamos anteriormente la corriente que ocurre en un conductor es temporal o transitoria y de muy corta duración. Una corriente transitoria de más larga duración aparece cuando se tienen elementos como los capacitores que retrasan los procesos de acumulación de carga. La corriente eléctrica que se establece en conductores se denomina también conducción metálica o electrónica porque se realiza sólo por electrones, sin embargo una corriente por electrones también puede tener lugar en un gas cuando éste rodea un metal caliente dando origen así al fenómeno termoiónico. Además, el transporte de carga no sólo se puede ejecutar por electrones sino también por átomos ionizados positivos o negativos (iones). Este fenómeno denominado conducción iónica ocurre en ciertos cristales sólidos, pero también se presenta en soluciones electrolíticas dando origen al fenómeno de la electrólisis. En algunos sólidos se presenta una conducción similar a la iónica la cual ocurre por medio de un arreglo de varios átomos en cuyo enlace hay una deficiencia de un electrón, estructura la cual se denomina “hueco” y que equivale a una carga positiva mas pesada que el electrón. En resumen la conducción eléctrica puede ocurrir en sólidos líquidos y gases, y puede tener lugar por cargas positivas y negativas pesadas o ligeras.

Una corriente que es permanente tanto en la dirección como en el tiempo, se denomina corriente estacionaria. En las siguientes secciones de este capítulo se tratará solamente con corrientes directas estacionarias y al final del capítulo se analizarán corrientes transitorias cuando se tienen capacitores en el camino de las cargas. A continuación se determinarán las condiciones para una corriente estacionaria. Supongamos que establecemos una corriente en un conductor de forma arbitraria y que en un elemento de sección transversal dA la ecuación II.4-9 es aplicable. Si se quiere que en ese diferencial de sección transversal la densidad de corriente no dependa del sitio ni

7

del tiempo, es decir, no sea diferenciable, entonces se dice que se tiene una corriente estacionaria y de la ecuación II.4-8 se puede escribir que;

AdJid ⋅= (II.4-12) o bién que:

∫ ⋅=A

AdJi (II.4-13) En la evaluación de esta integral J puede variar en A pero es la misma para cualquier sección transversal. La ec. II.4-13 posee la misma forma que la del flujo del campo eléctrico como se vio en el capítulo II.2 para la ley de Gauss. Por lo tanto se puede aplicar el teorema de la divergencia para obtener que:

( ) VdJAdJiA

∫∫ ⋅∇=⋅=τ

(II.4-14)

Si se considera una superficie cerrada la cual encierra el volumen V y como J es independiente del tiempo, entonces la integral es nula y se tendría que: ∫ =⋅∇⇒⋅τ

0JAdJ (II.4-15)

Esta ecuación rige la condición de corriente estacionara. Para distribuciones de carga continua como los electrones, se puede definir una

densidad volumétrica de electrones constante:

en−=ρ (II.4-16) Entonces de la ec. II.4-11a la densidad de corriente de electrones se puede escribir como:

duJ ρ−= (II.4-17)

Así que, para corrientes estacionarias esta ecuación es similar al principio de Bernoulli de la Hidrodinámica.

Si la corriente no es estacionaria J variaría en el tiempo en una sección transversal y podría escribirse, por ejemplo para electrones, por la definición de divergencia y de la ec. II.4-16 que:

tlune

lJJ d

∆∆−=∆

∆=∆

∆≅⋅∇ ρ (II.4-18) Considerando diferenciales en II.4-18, la ec. II.4-14 queda de la forma:

8

( ) ( ) VVV dJdttrdtd

dAdJiA

∫∫∫∫ ⋅∇=∂∂−=

−=⋅=

τττρρ , (II.4-19)

De esta ecuación se deduce que:

( )t

trJ ∂∂−=⋅∇ ,ρ (II.4-20a)

la cual también se puede expresar como:

( ) 0, =∂∂+⋅∇ t

trJ ρ (II.4-20b) Ecuación conocida como ecuación de continuidad Las ecs. II.4-19,20 expresan el principio de conservación de la carga: “Todo flujo de carga desde cualquier lugar del espacio disminuye la cantidad de carga encerrada en ese espacio”. Esto explica porqué para establecer una corriente estacionaria se requiere una fuente de carga o de potencia, es decir, mantener una diferencia de potencial constante como veremos mas adelante. II.4.3 Teoría macroscópica de la corriente eléctrica- Ley de Ohm Por simple experimentación y por argumentos teóricos del capítulo precedente se sabe con certeza que en los conductores , como los metales, es fácil separar las cargas y establecer una corriente eléctrica, pero por el contrario esto es muy difícil o imposible en los aislantes. Aún cuando el origen de la corriente eléctrica no estaba plenamente conocido, se sabía que este comportamiento era debido a la existencia de un gran número de electrones presentes en los metales. De acuerdo con la teoría de la constitución atómica de la materia, tal como se ha empleado en los capítulos precedentes, si el electrón posee una carga negativa y los átomos ionizados una positiva entonces es obvio que debido a una repulsión coulombiana el electrón siempre confrontará un impedimento en su movimiento en el seno del conglomerado de átomos. De no existir ningún impedimento u obstáculo el movimiento de los electrones en un material sólido los electrones estarían siempre acelerados por la acción del campo eléctrico, sin fricción o interacción con el medio. Como consecuencia una corriente iniciada en un material cualquiera persistiría indefinidamente. Experimentos indican que las corrientes eléctricas en condiciones TPN3, aún en conductores metálicos, no son eternas, y no sólo hay ausencia de aceleración sino que por el contrario una velocidad constante puede ser fácilmente determinada. Además, en los sólidos predominantemente en los aislantes, se observa un calentamiento notable al paso de corrientes eléctricas elevadas. Esto sustenta la hipótesis de que debe existir algo que impida u obstaculice el movimiento de los electrones, es decir, alguna especie de fricción es la 3 Véase capítulo I.7 de esta serie.

9

causa de la generación de calor observada experimentalmente. En consecuencia se requiere un efecto de oposición al paso de la corriente tal que si a=0 ⇒<u>d=constante. Los mismos resultados experimentales podrían ser explicados o interpretados de una forma opuesta. Estos se pueden analizar considerando no la dificultad al paso de la corriente sino la facilidad o ausencia de obstáculos. Así que, se puede enunciar la siguiente interpretación de estos fenómenos: “La dificultad u oposición (facilidad o libertad) al paso de la corriente en un material se denomina Resistencia (conductancia) Eléctrica y se denota simbólicamente como R(ς)”. Como un fenómeno es opuesto al otro entonces se tiene que R=1/ ς.

Dado que la causa del movimiento de los electrones es una diferencia de potencial, la cual de ahora en adelante la denominaremos voltaje (V), es lógico por lo tanto suponer que hay una relación entre el efecto representado por la corriente y la causa que la produce. Esta relación primero encontrada por Ohm viene enunciada de dos formas inversamente equivalentes en la siguiente ley : “En un sólido isotrópico el voltaje (corriente) es directamente proporcional a la corriente (voltaje) que lo produce, siendo la constante de proporcionalidad la resistencia (conductancia) del material al paso de la corriente”. En forma cuantitativa esta ley establece que:

ςiiRV == (II.4-21)

De forma que la conductancia es el inverso de la resistencia. Nótese que estos términos son los mismos empleados en la conducción del calor. Esto por supuesto era de esperarse ya que los dos fenómenos de conducción, el térmico y el eléctrico, se basan en el mismo origen: flujo o transporte, calor en el primero carga en el segundo.

La ley de Ohm señala que si por un material pasa una corriente eléctrica I, se desarrolla entre sus extremos una diferencia de potencial o voltaje V. Debido a que la dirección de la corriente corresponde a la dirección del movimiento de las cargas positivas, entonces el punto de mayor potencial corresponde al punto de entrada de la corriente en el material y en consecuencia la diferencia de potencial es negativa, es decir el material produce una caída o disminución en el potencial. De forma equivalente si decimos que se aplica una diferencia de potencial o voltaje a un conductor entonces la corriente se origina en el material por el punto de aplicación de mayor potencial. Obviamente para mantener la corriente constante se requiere una fuente de diferencia de potencial constante es decir una fem. En una gráfica V-vs-I la resistencia viene a estar representada por la pendiente; sin embargo, se acostumbra entre los técnicos e ingenieros representar la característica I-V en la cual la pendiente corresponde a la conductancia, ambos tipos de gráfica se presentan en la figura II.4-2.

10

Fig. II.4-2. Característica I-V y V-I de una resistencia.

UnidadesEn el sistema MKS o práctico la unidad de la resistencia eléctrica es correspondiente a

Voltio/Amperio y es denominada Ohmio en honor a G. S. Ohm. En el sistema esu-cgs o gaussiano la unidad es stat-voltio/(esu/seg)= (cm/seg)-1 y por lo tanto es correspondiente al inverso de la velocidad. Dado que la resistencia de los materiales de interés práctico para aplicaciones eléctricas abarca muchos ordenes de magnitud se acostumbra emplear múltiplos y submúltiplos como se indica en la tabla II.4-1. Tabla II.4-1. Múltiplos y submúltiplos de la resistencia eléctrica. II.4.4 Teoría microscópica de la corriente eléctrica- Conductividad eléctrica La ley de Ohm es una ley macroscópica que relaciona dos variables físicas mesurables en el laboratorio, pero no explica el origen de la conducción eléctrica, tampoco explica porqué algunos materiales como los metales conducen mucho (baja resistencia) y otros como los aislantes conducen poco (alta resistencia) la corriente. Esta ley, menos aún, explica la existencia de otros materiales que conducen a medias, catalogados como intermedios entre los dos anteriores y denominados semiconductores. Para explicar todo esto y otras características eléctricas de los materiales se requiere una variable que represente la respuesta específica de cada material, es decir, una variable intrínseca al material en cuestión a fin de explicar el fenómeno a nivel microscópico mediante las leyes físicas que rigen el movimiento de las cargas bajo el marco de la teoría de la constitución atómica de la materia. La primera teoría microscópica de la conducción eléctrica o de la resistencia fue desarrollada por P. Drude en 1832 en metales partiendo de la premisa de que las cargas, es decir los electrones, están cercanamente libres. Drude propone que los electrones se comportan en el sólido metálico de forma similar a como lo hacen los átomos o moléculas

11

de un gas contenidos en un recipiente en equilibrio térmico con su entorno. Se puede decir con propiedad que los electrones en un metal conforman un “gas de electrones libres” y que se encuentran en continuo movimiento o agitación térmica a una temperatura constante. En estas circunstancias podemos asignarle al movimiento de los electrones un camino libre medio4 o distancia promedio antes de que el electrón consiga un obstáculo (irregularidad en el sólido) o choque con otro electrón o átomos que conforman la estructura del sólido. Los resultados más importantes que arroja la teoría de Drude se obtendrán mediante la aplicación de conceptos básicos de la dinámica, la termodinámica y la electrostática. Para ello supongamos entonces que se tiene un sólido en equilibrio térmico a una temperatura T, sin campo eléctrico o sin diferencia de potencial aplicada como se muestra en la figura II.4-3a. Los electrones estando libres en el gas de acuerdo con la teoría cinética de los gases poseerán sólo energía cinética con una velocidad térmica promedio <v>T la cual corresponde a la energía térmica:

232T

BTvmTKE == . A temperatura ambiente los

electrones poseen una energía térmica de 77 meV y una velocidad térmica de 2.7x105

m/seg. Esto da una idea de lo elevada que esta velocidad puede ser.

Fig. II.4-3. Sólido en equilibrio térmico, a) sin campo, b) con campo El movimiento térmico de los electrones ocurre al azar, por lo tanto, en una sección

transversal del metal (un corte del sólido), veríamos el mismo número de electrones atravesando esta superficie tanto a la derecha como a la izquierda y en consecuencia no habría transporte neto de carga. En resumen, no hay corriente eléctrica pues no hay ni campo ni voltaje externo en un material único tal como se muestra en la figura II.4-3a. Pero, si como se ilustra en la figura II.4-3b se aplica una diferencia de potencial en los extremos del sólido, por pequeña que ésta sea, se crea un campo eléctrico interno que acelera los electrones, éstos al colisionar alcanzan un equilibrio entre la fuerza del campo motriz y la fricción que las colisiones representan. Finalmente y en un tiempo muy breve los electrones alcanzan una velocidad promedio constante denominada “velocidad de arrastre” <v>d, se define así porque el campo eléctrico prácticamente arrastra a los electrones y la cual estadísticamente vendría dada por la ecuación II.4-11a. Si como se dijo anteriormente los electrones tienen un camino libre medio o distancia entre colisiones < l >,entonces el tiempo entre colisiones vendría dado por:

4 Véase teoría cinética de lo gases: capítulo I.8 de esta serie.

(a) (b)

12

Tvl

=τ (II.4-22)

Durante este lapso de tiempo el electrón es acelerado en la dirección del campo eléctrico y adquiere en promedio una velocidad final:

τav f = (II.4-23) La velocidad adquirida durante el proceso de colisión es la velocidad promedio o de arrastre, la cual de la cinemática viene dada por:

220 ff

dvvvv =

+= (II.4-24)

en donde se ha supuesto que el electrón se encuentra en reposo electrostático antes de la aplicación del campo. Despejando vf de la ec. II.4-24 y reemplazándola en la ec. II.4-23 y ésta a su vez en la ec. II.4-22 se obtiene que:

Td v

lav 2= (II.4-25)

La acción del campo eléctrico es acelerar los electrones mediante una fuerza eléctrica dada por:

EeamF −== (II.4-26) Despejando la aceleración de esta ecuación y reemplazándola en la ec. II.4-25 se obtiene una relación directamente proporcional entre la velocidad de arrastre y el campo eléctrico que la produce, de la forma:

EEmev dd µτ −=

−= 2 (II.4-27)

En esta ecuación la constante de proporcionalidad es dependiente sólo de los parámetros físicos: masa y tiempo de colisión de los electrones, la cual representa la velocidad adquirida por unidad de campo eléctrico aplicado y se denomina mobilidad.

Si se reemplaza la ec. II.4-27 en la ec. II.4-11a, la densidad de corriente electrónica sería entonces:

EEmneJ e στ

=

= 22

(II.4-28)

13

en donde se ha definido la constante de proporcionalidad como:

T

eevm

lnem

ne22

22==

τσ (II.4-29)

Esta constante al igual que la movilidad también depende sólo de la masa y el

tiempo de colisión además de la concentración de electrones y representa la conductancia específica del material, es decir, la conductancia correspondiente al material independiente de su forma y tamaño. Sin embargo, esta terminología primitiva es confusa por lo cual se acostumbra hoy día denominarla coeficiente de conductividad eléctrica. Si la constante no se define en términos de conducción sino en términos de resistencia, se puede definir como el inverso de un parámetro que representaría la resistencia específica del material, es decir la ec. II.4-28 se puede escribir también de la forma;

ρEJ = (II.4-30a) en donde ρσ 1= (II.4-30b)

La constante ρ se define como coeficiente de resistividad eléctrica. Las ecs. II.4-27,28 son dos formas diferentes de expresar la ley de Ohm y se

interrelacionan mediante la expresión:

den µσ = (II.4-31)

Las ecs. II.4-27→30 conforman la base de la teoría microscópica de la corriente eléctrica propuesta por Drude; en tanto que las ecs. II.4-27,28,30 se conocen como ley de Ohm a nivel microscópico o teoría fenomenológica de la conductividad. Esta ley y ésta teoría se han aplicado con éxito para explicar el comportamiento eléctrico no sólo en metales, sino también en una diversidad de materiales. Además, el éxito de esta ley garantiza la validez de asociar la velocidad cinemática dada por la ec. II.4-25 con la velocidad promedio dada por la ec. II.4-10, lo cual a su vez justifica el reemplazo de la ecuación anterior en la ec. II.4-11a. Esto físicamente quiere decir que se confirma la validez de que la cinemática y dinámica de los electrones viene regida por leyes estadísticas tal como fuese posteriormente propuesto por E. Fermi y P. Dirac en su teoría estadística electrónica y confirmada por E. Sommerfeld. Unidades de σ y ρ.De la ec. II.4-29 se deduce que las unidades de σ son las de Q2 ·t /(ML3). De las ecs. II.2-77c , II.4-1, II.4-21 y otras de la dinámica es fácil demostrar que las unidades de σ son equivalentes a (Ω·longitud)-1 y en consecuencia las unidades de ρ serían Ω·longitud. Estas unidades serán corroboradas en la sección siguiente cuando se relacionen las teorías macroscópica y microscópica. En el sistema MKS-práctico se tiene la unidad de (Ω·m)-1

14

≡Siebert/m o S/m, también conocida como mho/m. Se acostumbra también (Ω·cm)-1 ≡mho/cm. La relación de transformación entre estas unidades sería entonces; (Ω·m)-1=S/m= mho/m=10-2· (Ω·cm)-1 = 10-2· mho/cm. En tanto que para las unidades de ρse tendrían las unidades Ω·m=102· Ω·cm.

En la tabla II.4-2 se presentan los valores de σ y de ρ en las unidades más acostumbradas para algunos de los materiales mas representativos y en la fig. II.4-4 se presenta esta magnitud física en escala logarítmica. Se observa que para una gran diversidad de materiales que abarca desde lo metales hasta los aislantes cubre un enorme rango de ordenes de magnitud desde aproximadamente hasta .Entre estos dos tipos de materiales existen algunos que poseen una conductividad eléctrica de un orden de magnitud intermedio estos materiales se denominan semiconductores.

La resistividad (conductividad) eléctrica de un material depende de la temperatura. En la mayoría de los aislantes esta dependencia con la temperatura no es muy importante; pero en los semiconductores puede llegar a ser muy notoria, inclusive dependiendo del rango de temperatura puede ser creciente o decreciente con el aumento de la temperatura. Por ejemplo, la mayoría de los semiconductores posen un coeficiente de aumento de la conductividad con la temperatura positivo, que puede cubrir varios ordenes de magnitud por encima de la temperatura ambiente. En los metales la dependencia de la resistividad con la temperatura no es tan elevada, el coeficiente es por lo general positivo y puede ser lineal de la forma:

( ) ( )[ ]00 1 TTT −+= αρρ (II.4-32)

El coeficiente lineal α es del orden de 3-6 x10-3 /ºgrado para la mayoría de lo metales puros y la resistividad ρ0 es corresponde a la temperatura T0 la cual es por lo general reportada a 0ºC. En algunos metales y especialmente aleaciones la dependencia con la temperatura es polinomial.

El coeficiente de conductividad eléctrica también depende de la presencia de átomos ajenos a aquellos que constituyen la estructura del material, átomos que se denominan impurezas. Aunque parezca incomprensible una pequeña cantidad de átomos de impurezas en comparación con los de la red huésped es suficiente para alterar notoriamente la magnitud del coeficiente de conductividad. Sin embargo, es su variación con la temperatura la que se modifica por varios ordenes de magnitud en los semiconductores y es precisamente esta variación lo que los hace aplicables en la fabricación de dispositivos electrónicos. Material σσσσ(mho/cm) ρρρρ(ohm-cm)

Ámbar 2,00x10-17 5,00 x1016 Teflón 3,33 x10-15 3,00 x1014 Vidrio 1,00 x10-14 1,00 x1014 Mica 2,00 x10-14 5,00 x1013 Papel 1,00 x10-13 1,00 x1013 Baquelita 5,00 x10-10 2,00 x109

Silicio 1,56 x10-5 6,41x104

Germanio 2,17 x10-2 46,08 Carbón 2,86 x102 3,50 x10-3

15

Nicromo 6,67 x103 1,50 x10-4 Mercurio 1,04 x104 9,62 x10-5 Titanio 2,32 x104 4,31 x10-5 Platino 9,60 x104 1,05 x10-5 Hierro 1,04 x105 9,61 x10-6 Latón 1,46 x105 6,85 x10-6 Tungsteno 1,79 x105 5,60 x10-6 Plomo 2,20 x105 4,55 x10-6 Aluminio 3,54 x105 2,83 x10-6 Oro 4,10 x105 2,44 x10-6 Cobre 5,80 x105 1,72 x10-6 Plata 6,14 x105 1,63 x10-6 Tabla II.4-2. Valores de σ y ρ.

Fig. II.4-4. Ordenes de magnitud del coeficiente de conductividad

Cálculo de la velocidad de arrastreExiste una tendencia en confundir las velocidades de arrastre, térmica de los electrones y la de propagación de la señal eléctrica, pero estas son totalmente diferentes como se muestra a continuación de dos formas equivalentes. Supongamos que desde un punto de vista macroscópico se tiene un conductor de Cobre entre 0.1−5 mm de diámetro que puede transportar corrientes entre 0.1 −10 A. La densidad de electrones en un metal es del orden de5 ≈1022 elect/cm3. Así que de las ecs. II.4-8,11 la densidad de corriente sería;

dvenDi

AiJ ===

42π

Por lo tanto la velocidad de arrastre sería del orden de;

[ ][ ] ( )( ) segmm

xxenDiv d /83.0

106.1101051.0101.044

1928622 →=→

→== −−ππLa velocidad de arrastre se puede también calcular mediante parámetros

macroscópicos y microscópicos. Supongamos que mediante otras técnicas no eléctricas, tales como dispersión de electrones, se determina que el camino libre medio es del orden de 10-8 mts. Mediante el resultado anterior de la velocidad térmica obtenido de la ec. II.4-21 se puede, de la ec. II.4-22, obtener que el tiempo de colisión es de τ ≈ 3.3 x10-14 seg. Si al campo eléctrico aplicado le corresponde una diferencia de potencial o voltaje el cual

5 Ver sección de problemas

16

normalmente es de 0.1−10 V, aplicado a una longitud de conductor de L=1−100 cm; entonces de la ec. II.4-27 se puede obtener que (véase problemas) la velocidad de arrastre es del orden de 3 −30 mm/seg. Por consiguiente se puede aseverar que la velocidad de arrastre en un conductor no sobrepasa en mucho los 3 mm/seg. A esta velocidad los electrones tardarían entre 21-11 min en recorrer un conductor de un metro de largo. Pero se sabe por observación directa y resultados experimentales sofisticados que las señales eléctricas se propagan en los conductores casi “instantáneamente”. Hoy día se sabe con certitud que la velocidad de propagación de la electricidad en un sólido corresponde a la velocidad de la luz en el medio, la cual no es muy lejana a la de la luz en el vacío. ¿Cómo se explica esta contradicción?.

Para explicar esta aparente paradoja debe tenerse en claro que el movimiento de los electrones en el espacio del sólido es el resultado de la acción del campo eléctrico en el medio sobre éstos vistos como simples cargas. Esta acción o fuerza sobre los electrones produce un movimiento dentro de pocos espacios atómicos y este movimiento no representa la velocidad de transmisión de la acción del campo eléctrico, es decir, la señal eléctrica. La dinámica de los electrones en un sólido se puede explicar satisfactoriamente no en términos de las coordenadas espaciales sino en términos de sus coordenadas de cantidad de movimiento lo que se denomina representación en el espacio de cantidades de movimiento o de vector de onda asociado a los electrones. Esto constituye lo que se denomina representación de momentos desarrollada por F. Bloch y otros, y es una de las herramientas matemáticas mas poderosas de la Física del Estado Sólido6.

La verdadera velocidad de transmisión de la señal eléctrica en el medio viene a estar determinada por la rapidez de respuesta del electrón al campo eléctrico y por el tiempo que le toma a éste transmitir la respuesta a los electrones vecinos así como al conglomerado de átomos. Este tiempo es muy corto y viene a estar determinado por el tiempo de propagación del campo en el medio. Así que, una cosa es la velocidad de movimiento de los electrones en el medio material y otra muy diferente es la de propagación del campo, el cual como veremos en la parte III de esta serie corresponde al de una onda. Para comprender mejor esta interpretación, veamos dos fenómenos similares más patéticos. Supongamos una fila de piezas de dominoes. Al empujar la primera observamos que una tras otra se empiezan a caer y rápidamente se propaga esta acción a las siguientes hasta alcanzar el otro extremo de la fila. Pero, ninguna pieza se desplaza mas allá de su longitud y su velocidad de desplazamiento es baja. Las piezas representarían los electrones y el empuje que las hace caer representaría la acción o campo. Un fenómeno similar ocurre con un cuerpo que flota en el mar, sobre todo cuando es arrastrado hacia la playa; así, al pasar la ola el cuerpo sube y baja y su desplazamiento hacia la playa es mucho menor que el de la ola. Mediante estos fenómenos análogos queda claro que los electrones en su desplazamiento por el sólido, debido al efecto resistivo7 de la estructura atómica del mismo adquieren una velocidad terminal constante que corresponde exactamente a la velocidad de arrastre. Una manera de corroborar que los electrones confrontan un proceso de fricción que les induce en alcanzar una velocidad constante se presenta en el Exp.II.4-1 el cual es similar a lo que le sucede a un paracaidista, es decir después de un tiempo relativamente largo las bolitas (electrones) del experimento así como el paracaidista alcanzan una velocidad constante o terminal.

6 Una representación similar se realiza en Física Molecular, véase capítulo II.8 de esta serie. 7 Ver problemas

17

Exp. E.II.4-1

Los materiales en donde se cumple la ley de Ohm macroscópica y microscópica se denominan ohmicos. Ejemplos de estos son el carbón , grafito, metales, y otros materiales que constituyen los elementos eléctricos que se encuentran en la mayoría de los artefactos electrodomésticos y electrónicos. Aquellos materiales que no se rigen por la ley de Ohm presentan una dependencia que no es lineal o con la corriente (ec. II.4-21) o con el campo (ecs. II.4-28,30) sino cuadrática, cúbica o inclusive más compleja y se denominan no-ohmicos. Como ejemplos de estos se tienen óxidos metálicos y también los semiconductores y compuestos con los cuales se fabrican dispositivos electrónicos tales como diodos. Por lo general la ley de Ohm en un material dado comienza a fallar cuando las corrientes son elevadas, como se observa en la figura II.4-2. Equivalentemente se puede decir que se presenta cuando los campos eléctricos son tan elevados como en la figura II.4-5 tal que la velocidad de arrastre que adquieren eléctricamente es comparable o del mismo orden de magnitud que la velocidad térmica promedio. En este caso se dice que los “electrones están calientes”. Este término de ninguna manera implica que los electrones posean una alta temperatura.

Fig. II.4-5. Ley de Ohm microscópica

Mediante la ley de Ohm microscópica, la ecuación de continuidad, ec. II.4-20b, se puede escribir como:

( ) 0, =∂∂+⋅∇ →

ttrE ρσ (II.4-33)

Empleando ahora la ley de Gauss en su forma diferencial, ec. II.3-53c, se tiene que:

( ) 0,4 0 =∂∂+ t

trKr

ρε

ρπσ (II.4-34)

18

Si suponemos dependencia en solo el tiempo y una densidad inicial de carga, esta ecuación diferencial se puede resolver fácilmente por separación de variables de la forma:

tdKd t

ro

∫∫ −=0

04ε

σπρρρ

ρ(II.4-35)

De donde se obtiene que:

tKrεσπ

ρρ04

0 e−

= (II.4-36a) Para distribuciones continua de carga como los electrones en un sólido se puede emplear las ecs. II.4-11a,16 para escribir la ec. II.4-36a de la forma equivalente :

tKrJJ εσπ 04

0 e−

= (II.4-36b)

Estas ecuaciones permiten determinar como la corriente en un medio extenso se aproxima desde un estado no-estacionario hacia un estado estacionario. En particular, permiten examinar como una corriente una vez iniciada alcanza un estado electrostático. Se puede decir entonces que representan la transición de un estado electrodinámico a un estado electrostático. Bajo este contexto la emplearemos para constatar y aclarar una interrogante planteada en el capítulo II.2, esto es, el tiempo que le toma a un conductor o cualquier material en alcanzar el equilibrio electrostático. Se puede ver de las ecs. II.4-36 que la densidad de carga y corriente y por la tanto también la intensidad de corriente tienden a cero exponencialmente. Así que matemáticamente la corriente se anula en un tiempo infinito. No obstante, el tiempo en el cual la densidad de carga decae a 1/e de su valor inicial representa un decremento del 63 % del valor inicial. Para fines prácticos este valor es suficiente para considerar que se tienen condiciones electrostáticas. De la ec. II.4-36a este tiempo denominado tiempo de relajación viene dado por:

σπετ

04 Krr = (II.4-37)

En la tabla II.4-3 se presentan los valores de τr para varios materiales y en donde se puede observar que para metales es del orden de 10-19 seg. En tanto que para aislantes puede llegar a ser del orden de 10-1 seg. Tabla II.4-3. Tiempos de relajación.

II.4.5 Cálculo general de la resistencia de una configuración de corriente

19

La resistencia es un parámetro físico asociado a cualquier cuerpo material que permita el paso de la corriente con cualquier dificultad y es dependiente de la forma y tamaño del cuerpo. La determinación de la resistencia de un cuerpo sólido de forma arbitraria es deducible combinando la ley de Ohm macroscópica con la microscópica. Esto se logra simplemente reemplazando en la ec. II.4-21 las formas explícitas para la diferencia de potencial y la corriente dadas por las ecs. II.2-77c y II.4-13 respectivamente, para obtener que:

∫∫

∫∫

⋅

⋅−=⋅

⋅−=

−

+

−

+

AAAdE

ldE

AdJ

ldER r

rr

r

rr

σ

ϕ

φ

ϕ

φ (II.4-38)

La corriente es por convención en la dirección del movimiento de las cargas

positivas y produce un flujo positivo en tanto que el voltaje es negativo debido a que todo material resistivo produce una disminución o caída en el potencial. Por lo tanto, se toma el valor absoluto al resultado pues la resistencia es un parámetro positivo asociado sólo a la forma geométrica del cuerpo y a su conductividad. Obsérvese la similaridad entre la resistencia y la capacitancia dada por la ec. II.3-9. Esto es, para la deducción de la resistencia de una configuración geométrica de cualquier forma y que transporta una corriente, es crucial el conocimiento del campo eléctrico establecido dentro del conductor. Con la finalidad de adquirir práctica en el empleo de la ec. II.4-38 para la determinación de la resistencia veamos dos ejemplos de configuración de corriente que poseen una forma geométrica simple y una simetría tanto en la densidad de corriente como en el campo. Cilindro recto Supongamos un cilindro de sección transversal uniforme A, longitud L y conductividad σ,en el cual se transmite una corriente longitudinal suministrada por una celda tal como se indica en la figura II.4-6. La simetría del campo es longitudinal y constante a lo largo del conductor, de la misma forma entonces la densidad de corriente también es constante; así que de la ec. II.4-32 se tiene que:

AL

AL

AELE

dACosE

ldCosER

A

L

ρσσσ ==== ∫

∫º0

º00 (II.4-39)

Si despejamos la resistividad de esta expresión se puede confirmar fácilmente que

sus unidades son las de Ω·longitud tal como se mostró en la sección anterior. La conductancia del material se puede escribir de la forma;

LA

LA

R ρσς === 1 (II.4-40)

20

Usualmente los hilos conductores son de resistividad y sección transversal constante tal que les podemos asignar una resistencia/longitud constante. Las dimensiones de los cables o hilos conductores de uso comercial están internacionalmente estandarizados en un patrón denominado AGW (American Gauge Wire) . En la tabla II.4-4 se presenta este patrón para hilos desde el número 12 hasta el 46.

Fig. II.4-6. Cilindro conductor uniforme # Diámetro

(mm) Area (mm2) # Diámetro(mm) Area(mm2)

12 2.00 3.1 30 0.25 0.049 13 1.80 2-6 32 0.20 0.031 14 1.60 2.0 34 0.16 0.020 16 1.30 1.3 35 0.14 0.015 18 1.00 0.78 36 0.13 0.013 19 0.90 0.64 37 0.11 0.0095 20 0.80 0.50 38 0.10 0.0078 22 0.65 0.33 39 0.09 0.0064 24 0.50 0.20 40 0.08 0.0058 25 0.45 0.16 41 0.07 0.0039 26 0.40 0.13 42 0.06 0.0028 27 0.35 0.096 44 0.05 0.0020 29 0.30 0.071 46 0.04 0.0013 Tabla II.4-4. Patrón de cables AGW.

Cilindros rectos coaxialesSe tiene un conductor consistente de dos cilindros metálicos, rectos uniformes y coaxiales de radios R1 y R2 y longitud L, como se presenta en la figura II.4-7. El espacio entre los cilindros está lleno de grafito con una conductividad σg. Si se aplica un voltaje entre los cilindros, entonces la simetría del campo eléctrico es radial y en consecuencia la corriente fluye radialmente desde el cilindro interno hacia el externo. El campo radial entre los cilindros viene dado por la ec. II.2-59, así que la ec. II.4-38 se reduce a:

21

==

∫

∫1

2

0

0

21

º022

º02

2

1

2

1

RRLnL

r

rdCosr

LK

r

rdCos

LK

Rg

g

R

R

R

R

σππλσ

λ(II.4-41)

Se acostumbra para este tipo de configuración de corriente manejar la resistencia por unidad de longitud;

=1

22

1RRLnLR

gσπ (II.4-42)

Las líneas de transmisión de señales eléctricas por lo general se construyen en esta configuración, particularmente se tienen los cables telegráficos y submarinos los cuales pueden consistir de un solo cable cilíndrico sólido o de dos concéntricos. El central se conecta a la fuente de potencial y el externo a tierra.

Se confirma así de estos dos ejemplos que la resistencia al igual que la capacitancia posee una dependencia con factores geométricos, además del parámetro que caracteriza la propiedad eléctrica del material,.

En algunas configuraciones geométricas de corrientes en las cuales el flujo de corriente es longitudinal o en una determinada dirección es posible emplear el resultado para el cilindro recto y descomponer la resistencia como consistente de diferenciales de resistencia provenientes de diferenciales de longitud, para expresar la resistencia como:

AdLRd ρ= (II.4-43)

Si consideramos que tanto la resistividad como la sección transversal pueden variar

a lo largo del material, entonces podemos integrar II.4-43 para evaluar la resistencia mediante:

∫= A

dLR ρ (II.4-44) en donde L puede ser una longitud en cualquier coordenada.

22

II.4-7. Cilindros conductores coaxiales con simetría del campo radial

II.4.6Sistemas de resistores De forma similar a como se planteó el problema de la redistribución de la carga en un sistema de n conductores se tiene el problema de la distribución de la corriente en un sistema de n resistores. Si la resistencia depende de la estructura geométrica, entonces es de esperar que la resistencia del sistema dependerá a su vez de la forma como se acomoden estos resistores unos con respecto a los otros. Un sistema de n resistores similarmente a ncapacitancias se puede bajo ciertas condiciones presentar en dos configuraciones sencillas principales: paralelo y en serie. Mediante estas dos configuraciones se pueden resolver una gran diversidad de configuraciones susceptibles de ser descompuestas en combinaciones serie-paralelo. En lo sucesivo se supondrá que las resistores se pueden unir mediante hilos conductores de resistencia despreciable y por lo tanto no forman parte ni afectan la configuración geométrica conformando así lo que se conoce como un circuito de resistores. A fin de representar un circuito de resistores en forma esquemática se empleará como representación simbólica para la resistencias el símbolo .

II.4.6.a Configuración en paralelo Supongamos que se tiene un sistema de n resistores de resistencias conocidas, el cual es construido de forma que, mediante hilos conductores, todos los resistores están unidos por un mismo punto a la fuente de potencial positivo; en tanto que el otro extremo todos los resistores están unidos al mismo punto de potencial negativo o tierra. Esta estructura que de forma esquemática se muestra en la figura II.4-8a y de forma real en la figura II.4-8b se conoce como configuración en paralelo. Tal como se señaló anteriormente, los hilos conductores señalados con líneas interrumpida poseen resistencia despreciable en comparación con las del resto del circuito; por lo tanto, no producen caídas de potencial. Así que no juegan un papel importante dentro del análisis del sistema. Se pretende entonces determinar si es posible asignar a este sistema una resistencia única o también denominada resistencia equivalente, es decir, como si se tuviese equivalentemente una sola resistencia con un valor igual a la del sistema y determinar la relación con las resistencias conocidas.

23

Por cuanto consideramos a los hilos conductores con resistencia nula; entonces, todos los resistores están sometidos a la misma diferencia de potencial∆ϕ proveniente de la fuente de voltaje V. Esta fuente genera una corriente directa y estacionaria la cual se distribuye entre todas los resistores. Cada resistor de resistencia Rj recibe una corriente Ij la cual viene dada de acuerdo con la ley de Ohm por;

njRV

RIjj

j K1=∀=∆= ϕ (II.4-45)

La corriente total del sistema viene determinada según el principio de conservación de la corriente por la suma algebraica de todas las corrientes; así que de acuerdo con la ec. II.4-45 se tendrá que;

∑∑∑==

===n

j j

n

j j

n

jj RVR

VII11

1 (II.4-46)

Re-arreglando términos se obtiene una expresión equivalente a la ec. II.4-21 de la ley de Ohm para la definición de una resistencia única de la forma:

e

n

j j RRVI 11

1≡= ∑

=(II.3-47a) e

n

jj ςς ≡∑

=1(II.3-47b)

De esta expresión se concluye que: El inverso de la resistencia (conductancia) equivalente de la configuración en paralelo corresponde a un resistor igual a la suma algebraica de los inversos de las resistencias (conductancias) individuales .

Es obvio que la resistencia equivalente de una configuración en paralelo es siempre menor que cualquiera de las resistencias individuales. Esto justifica porqué se construye un resistor de una pila de resistores en paralelo, como en la figura II.3-6a, para obtener un resistor de baja resistencia.

a) b) Fig. II.4-8. Sistema en paralelo a) esquemático b) en la realidad.

24

II.4.6.b Configuración en serie Un sistema de n resistores de resistencias conocidas cuyos extremos se conectan mediante hilos conductores uno a continuación del otro en forma de cascada, conforman lo que se conoce como configuración en serie. Para esta configuración es factible asignar una resistencia única o equivalente a todo el conjunto. Si como se muestra en las figuras II.3-9a (esquemática) y II.3-9b (real), los resistores extremos de esta configuración se conectan a las fuentes de carga positiva y negativa, es evidente que la corriente fluirá por igual a través de todos los resistores, es decir la corriente es la misma en cada uno de ellos. En tanto, que existirá una cadena de caídas de potencial de un resistor hacia el siguiente con el resultado consiguiente de que el potencial disminuye punto a punto al recorrer los resistores en la dirección de la corriente. Si denominamos con V el voltaje aplicado al conjunto, por aplicación de la ley de Ohm la magnitud del voltaje o caída de potencial existente en cada resistor de resistencia Rj es;

njRIV jjj L1=∀==∆ϕ (II.4-48)

Por el principio de superposición, los potenciales así como las caídas de potenciales en los resistores son aditivas para proporcionar el voltaje total aplicado al sistema; así que de II.4-48 se tiene que:

njRIRIVVn

jj

n

jj

n

jj L1

111=∀=== ∑∑∑

====(II.4-49)

Despejando se obtiene:

en

jj RRI

V ≡= ∑=1

(II.4-50a) o bien como: e

n

j j ςς11

1≡∑

=(II.4-50b)

Se concluye entonces que: La resistencia (inverso de la conductancia) equivalente de la configuración en serie corresponde a un resistor de resistencia (inverso de conductancia) igual a la suma algebraica de las resistencias individuales

Observe el antagonismo en la aditividad algebraica de un sistema en serie, con la aditividad de los inversos de un sistema en paralelo entre capacitancias y resistencias.

25

Fig. II.4-9. Configuración en serie a) esquemática b) real II.4.6.c Otras configuraciones Una gran diversidad de sistemas de resistores están conformados por configuraciones que resultan de combinaciones serie-paralelo de las configuraciones anteriormente presentadas. Estas configuraciones pueden ser descompuestas en conjuntos separados serie y paralelo cuando son analizadas desde “adentro hacia fuera”. Es decir, se descompone el conjunto comenzando por el más interno que pueda ser identificable como una configuración serie o paralelo; y así se procede hacia el más externo hasta reducir la descomposición a una sola resistencia equivalente. En la figura II.4-10a se presenta un sistema el cual se puede descomponer de la siguiente manera:

1) Englobados en líneas punteadas se puede identificar un conjunto en serie: R1, R2 yR3 forman una resistencia equivalente Ce1

2) Englobados en líneas segmentadas se puede identificar dos conjuntos en paralelo: R3, R4 y R5 forman una resistencia equivalente Re2; R6 y R7 forman otra resistencia equivalente Re3.

3) Englobado en líneas punteadas-segmentadas en la figura II.4-10b Re1, Re2 , R8 y Re3 forman un conjunto en serie del cual finalmente se obtiene la resistencia equivalente del sistema Re como se indica en la figura II.4-10c.

Otras combinaciones serie-paralelo más complejas se presentan en los problemas.

26

Fig. II.4-10. Configuración serie-paralelo de resistores.

Otra configuración de resistores, comúnmente utilizada para la determinación de resistencias desconocidas, es el puente de wheatstone mostrado en la figura II.4-9. Esta configuración no puede ser descompuesta en una combinación serie-paralelo. Sistemas de resistores que no pueden ser descompuestos en combinaciones serie-paralelo serán considerados en la sección II.4-9 cuando se presenten los resistores como partes de un circuito eléctrico más complejo conocido como red eléctrica.

Fig. II.4-11. Puente de wheatstone II.4.7 Fuentes de corriente o potencia- La celda voltaica

27

De la sección II.4-3 está claramente establecido que cuando dos conductores a diferentes potenciales se unen mediante otro conductor, como un alambre metálico, una corriente transitoria se establece hasta que todos los conductores adquieren el mismo potencial. De forma que si se quiere mantener una corriente constante las cargas deben ser regresadas al conductor de mayor potencial por una vía de retorno formando un ciclo. Supongamos que como se presenta en la figura II.4-12a esto se ejecuta uniendo el conductor de menor potencial (2) al de mayor potencial (1) mediante otro alambre conductor formando un bucle. Por la ec. II.2-80 sabemos que el trabajo realizado en un ciclo de conductores es nulo, y por consiguiente no sólo no se puede hacer trabajo permanentemente, sino que también la diferencia de potencial es nula y no habría movimiento constante de las cargas en el ciclo. Este ciclo lo denominaremos de ahora en adelante: circuito eléctrico cerrado.

Esto significa entonces que: “No se puede mantener una corriente en un circuito eléctrico con sólo fuerzas eléctricas originadas por campos electrostáticos en los conductores”.En otros términos, se requiere una fuente de fuerza motriz que actúe sobre las cargas y que sea ajena a los potenciales en los conductores. Esta fuerza motriz que debe ser capaz de ejecutar un trabajo sobre las cargas y colocarlas en movimiento, puede ser de origen mecánico, térmico, químico, electromagnético, nuclear, óptico y aún de una combinación de estos orígenes. Pero, como ya dijimos anteriormente no puede ser puramente electrostático. La fuente motriz recibe el nombre de fuerza electromotriz (fem) y es intercalada entre los conductores, o conectada a un solo conductor. Es unida a ellos mediante conductores obviamente, como se muestra en la figura II.4-12b, para establecer un flujo continuo y estable de corriente. Por lo tanto, el lado de la fem conectado al conductor 1 debe proveer un mayor potencial, es decir, V+>ϕ1, similarmente ϕ2>V−. Si por el contrario los conductores se encuentran inicialmente al mismo potencial y forman junto con la fem un circuito cerrado entonces, con mayor facilidad se establece una corriente. En este estado de eventos ocurre un balance energético tal como es requerido por el principio de conservación de la energía, es decir, mientras la fem realiza trabajo en mantener la corriente, una cantidad equivalente de energía o trabajo se realiza entre los conductores a diferentes potenciales o se pierde en un solo conductor. Por este motivo una fem también se denomina fuente de potencia.

Fig. II.4-12. Circuito cerrado de conductores a) sin fem b) con fem.

El primer dispositivo creado por el hombre capaz de generar una fem de carácter no-eléctrico fue inventado por A. Volta. Este artefacto primitivo consistía de una placa de

(a) (b)

28

Zinc y una placa de Cobre inmersas en ácido sulfúrico diluido. Las dos placas se conectan al exterior mediante dos conectores de Cobre, los cuales se pueden a su vez conectar mediante hilos también de Cobre, o cualquier metal, al resto del circuito. Este tipo de fuente de fem o potencia se conoce con el nombre de celda voltaica y se representa de forma esquemática en la figura II.4-13. Actualmente se construyen de una diversidad de placas metálicas diferentes colocadas en una solución la cual debe actuar químicamente en por lo menos una de ellas. A continuación se hará una presentación exhaustiva de todo el proceso químico-físico involucrado en la generación de una fem por una celda voltaica, el cual aunque es un tema alejado de los objetivos de esta obra y mas ampliamente tratado en textos de electroquímica, no deja de ser interesante desde un punto de vista didáctico el saber los principios fundamentales involucrados en este proceso. Veremos así que la celdas voltaicas son instrumentos para convertir energía química en eléctrica mediante reacciones que pueden ser de oxido-reducción y que ocurren espontáneamente, es decir, sin intervención de un agente externo. II.4.7.a La celda voltaica en circuito abierto En el capítulo II.1 se presentó una tabla de jerarquía del carácter electropositivo o electronegativo de los materiales en su capacidad de liberar cargas por fricción. Los metales cuando se sumergen en una solución, inclusive agua pura, también pueden liberar cargas pero por acción química. De forma que iones del metal pasan a la solución y una carga opuesta permanece en el metal. Cuando una placa de Zinc, por ejemplo, se sumerge en un medio reactivo tal como un ácido diluido o una de sus sales diluidas, ocurre una reacción en la cual el ácido o la sal ataca al metal. El Zinc siendo electronegativo tiene tendencia a liberar iones de Zn++ doblemente ionizados (iones metálicos) los cuales pasan a la solución dejando a la placa metálica con una carga negativa equivalente. Al mismo tiempo se liberan iones radicales negativos doblemente ionizados de acuerdo al tipo de solución. Así que los iones de Zn++ son atraídos tanto por la placa negativa para regresarlos al metal, como por los iones radicales negativos con los cuales forma un precipitado de su sal. Este proceso continua hasta que se alcanza un equilibrio entre dos tendencias, o en términos eléctricos, dos diferencias de potencial. La primera la cual tiende a liberar iones en la solución conocida como tensión8 de solución; y la segunda la cual tiende a precipitarlos fuera de la solución: presión de solución. El equilibrio es dinámico y se alcanza cuando el número de iones Zn++ que salen de la placa es igual al número que retorna a ella. Como resultado de este equilibrio la placa queda con una carga negativa y la solución con una carga positiva, mientras que los iones de Zn++ cerca de la placa quedan formando con ésta y los iones radicales una doble capa de carga como se muestra en la figura II.4-13. Si la placa de Zn está inmersa en una solución de ácido los iones de H+ liberados son forzados lejos de la placa hacia la solución en donde son abundantes. Se puede decir que el hidrógeno posee una tensión de solución menor la del Zinc y por lo tanto es liberado.

Entre tanto en la placa opuesta, usualmente Cobre, también por acción química similar el Cobre adquiere una tensión de solución pero, debido a que el Cobre es 8 Tensión es un sinónimo de voltaje y de fuerza.

29

relativamente inerte en ácido (por esto se le denomina electrodo inerte), pocos iones de Cobre pasan a la solución. Así que el Hidrógeno que pose una mayor tensión de solución que el Cobre lo reemplaza en la solución tomando más carga positiva que el Cobre. Los iones de Hidrógeno por su mayor presión de solución tratarán de precipitarse fuera de la solución. Finalmente se establece un equilibrio entre los iones de Hidrógeno y los de Cobre trayendo como resultado que la placa de Cobre adquiere un potencial positivo.

Una vez alcanzado el equilibrio de carga entre las placas y la solución se detiene el proceso químico y se establecen diferencias de potencial o tensiones. Para poder aplicar estas tensiones a un circuito se requiere conectar las placas a otro conductor metálico, el cual por excelencia es el Cobre. El terminal de Cobre conectado a la placa de Zinc es denominado polo negativo en tanto que aquel conectado a la placa de Cobre es denominado polo positivo. Sin embargo, cuando dos metales disimilares se ponen en contacto, también se generan entre las superficies metálicas en conexión, diferencias de potencial equivalentes a fuerzas electromotrices. Estas diferencias de potencial también son producidas por dobles capas de densidades de carga superficial entre las dos superficies. El origen de esta fenómeno radica en las diferencias de los dos metales en liberar electrones en sus superficies. Así, ocurre una difusión de electrones a través de la interfase entre los dos metales la cual es regida por un parámetro conocido como potencial de Fermi9. Así que existen las siguientes diferencias de potencial: Conector de Cobre-Placa de Zn (∆ϕCu-Zn), Placa de Zinc-Solución (∆ϕZn-S ) y Solución-Placa de Cobre (∆ϕS-Cu). Obviamente, la diferencia de potencial entre el conector de Cobre y la placa de Cobre es nula por ser metales iguales. La fem de la celda, que de ahora en adelante se representará mediante el símbolo (E), corresponde a la diferencia de potencial entre los conectores de Cobre o polos. Para determinarla se aplica la ec. II.2-80 a todo el circuito abierto hiendo del polo negativo al positivo y de regreso al negativo para obtener que:

( ) 0=−−∆+∆+∆ +−−−− ϕϕϕϕϕ CuSSZnZnCu (II.4-51)

de donde se obtiene que la fem es:

CuSSZnZnCu −−−−+ ∆++∆+∆=−= ϕϕϕϕϕE (II.4-52) Por lo tanto se puede enunciar que: “La fem de una celda es equivalente a la suma algebraica de todas las diferencias de potencial entre los polos, placas y solución que conforman la celda en circuito abierto”. Por lo general las diferencias de potencial generadas entre metales en contacto son muy pequeñas siempre y cuando no existan gradientes de temperatura en los polos. Por lo tanto pueden ser despreciadas y la fem corresponderá entonces sólo a las diferencias de potencial generadas por acción química. La mayoría de las celdas se fabrican con un metal sumergido en una solución de sus iones. La solución de la celda voltaica también denominada electrolito, puede ser ácida o alcalina, las placas pueden ser de una gran variedad de materiales y en todas ellas la fem dependerá del tipo de metal, solución, concentración de 9 La explicación de este origen de fem requiere conocimientos de la Física del Estado Sólido, temas fuera del alcance de esta obra.

30

los iones en la solución y en general de todo el proceso químico que en ella tiene lugar; pero, no depende en absoluto de las dimensiones de las placas ni del volumen de la solución. Una celda se representa esquemáticamente en un circuito mediante el símbolo en el cual el polo positivo es indicado por una línea larga delgada y el polo negativo por una línea corta gruesa. La fem de una celda voltaica del tipo ácido con placas Zn-Cu es de aproximadamente 1.1 V y la mayoría de las celdas proporcionan una fem que no sobrepasa los 2 Voltios. Esta f.e.m producida por celda es muy pequeña y no depende del tamaño de la celda, por lo que, si se quiere obtener mayor tensión, se han de acoplar varias celdas en serie como se presenta a continuación. Fig. II.4-13. Celda voltaica en circuito abierto

Mediante un conjunto de celdas se puede conformar un sistema de celdas. Existen

dos configuraciones básicas de estructurar un conjunto de celdas: configuración en serie y en paralelo. Configuración en serieSi se tiene un conjunto de n celdas colocadas con el polo positivo de la primera al negativo de la segunda, al positivo de la tercera y así sucesivamente hasta que los polos terminales son el negativo de la primera y el positivo de la última; entonces, se tiene un conjunto en serie. Si como se muestra en la figura II.4-14a cada celda tiene una fem E i se deduce fácilmente por simple extensión de la ec. II.4-49 que el conjunto consiste de una celda equivalente que posee una fem de;

∑=

=N

ii

1EE (II.4-53)

Mediante esta configuración es posible obtener una fem mucho mayor del máximo

de aproximadamente 2 voltios que suministra una sola celda. Un conjunto de celdas en serie se denomina Batería. Una sola celda voltaica también se conoce popularmente como pila, aunque el nombre es contradictorio pues este término es sinónimo de batería. Configuración en paraleloSi ahora el conjunto de N celdas se coloca de forma tal que todos los polos negativos están conectados al mismo punto, conexión también denominada en común, y similarmente todos los polos positivos conectados a otro punto en común; entonces, se tiene lo que se denomina configuración en paralelo mostrada en la figura II.4-14b. Si cada celda tiene una fem E i y aplicamos de nuevo la ec. II.4-50 a cualquiera de los caminos a través de cualquiera de las celdas el conjunto consiste de una celda equivalente que posee una fem de;

NEEEEE ===== L321 (II.4-54)

31

Fig. II.4-14. Configuración de celdas en circuito abierto a) serie b) paralelo II.4.7.b La celda voltaica en circuito cerrado Ahora supongamos que conectamos los polos mediante un conductor metálico, el cual para que no genere más fuerzas electromotrices, debe ser del mismo tipo de los polos, es decir Cobre, pero también suponemos que su resistencia la podemos considerar despreciable. Se dice en estas circunstancias ideales que la celda está cortocircuitada. Por efecto de la fem en el conductor de Cobre externo se inicia una corriente de electrones desde el polo negativo (Zinc) hacia el positivo (Cobre) en el circuito externo, la cual continua pasando del polo positivo al negativo en la solución para cerrar el circuito según se muestra en la figura II.4-15. Esta corriente eléctrica altera el equilibrio de carga existente en las placas, trayendo como consecuencia que el proceso químico se reinicia para restaurar el equilibrio de carga. Para restituir el equilibrio en la placa de Zinc negativa, más iones Zn++ pasan a la solución y más cargas negativas (electrones) son producidos. En tanto que en la solución los iones de Zn++ se alejan de la doble capa y más iones H+ pasan a la solución. Por el otro extremo en la placa de Cobre mientras tanto, los electrones que llegan aumentan la carga negativa (o también disminución de la positiva). Para contrabalancear este desbalance de carga, la placa de Cobre permite más iones de Hidrógeno para que se neutralicen con un electrón, restituyéndose así el equilibrio; pero a la vez los iones H+ atrapan un electrón produciéndose átomos de Hidrógeno en estado gaseoso en esta placa. En la solución el equilibrio se mantiene ya que mientras los iones Zn++ pasan a la solución, los iones H+

salen de la solución en una relación 1:2. Una explicación equivalente es posible en términos de las diferencias de potencial entre las placas y la solución (véase preguntas). Como resultado final mientras se mantiene la fem constante, la placa de Zinc se corroe mientras burbujas de Hidrógeno salen de la solución cerca de la placa de Cobre. La liberación de burbujas de Hidrógeno trae como efecto la creación de una capa de burbujas alrededor de la placa de Cobre. El Hidrógeno en estado gaseoso es un aislante y trae como efecto colateral una oposición al paso de la corriente, efecto mejor conocido como resistencia interna de la celda. A medida que progresa la producción de burbujas la resistencia interna aumenta y la diferencia de potencial entre los polos de la celda disminuye con la consecuencia de que la corriente producida por la celda disminuye gradualmente hasta que se hace prácticamente nula. Todo esto ocurre sin que se altere la

32

fem de la celda, es decir, ésta permanece constante. Este efecto primitivo de las primeras celdas de ácido, mal conocido como polarización, es hoy día un fenómeno enteramente superado mediante procedimientos para remover la capa de burbujas conocidos como despolarización de la celda. La despolarización puede ser por medios mecánicos tales como agitación de la celda o un simple raspado de la placa de Cobre, por medios químicos mediante sales y agentes oxidantes o mediante soluciones que no presentan el efecto de la polarización. Estos medios se denominan despolarizadores y permiten la fabricación de celdas no-polarizables que producen fem estables por tiempos prolongados. Sin embargo, debe tenerse claro que de una manera u otra toda celda posee una resistencia interna la cual puede ser de unos pocos ohmios hasta un mínimo de decenas o centenas de mΩ.

Fig. II.4-15. Celda en circuito cerrado cortocircuitada a) Esquemática b) en la práctica

Otros tipos de celdas algunas en desuso y otras muy modernas se presentan a continuación con fines didácticos. Celda de DanielCelda sin ácido inventada por J. F. Daniel en 1836. Esta celda tiene la particularidad de que los electrodos se encuentran en soluciones diferentes pero de sus propios iones. El electrodo de Zinc se encuentra en una solución diluida de Sulfato de Zinc en tanto que el de Cobre se encuentra en una solución concentrada de Sulfato de Cobre. Ambas soluciones se separan mediante un recipiente poroso que es permeable a los iones. También se puede emplear un puente de una sal que une a los recipientes separados. En esta celda el Zinc se disuelve en la solución y el Cobre se precipita o deposita en el electrodo de Cobre haciendo el primero negativo y al segundo positivo como se muestra en la figura II.4-16a. La fem producida por esta celda está cercana a 1.1 V. Celda patrón o EstándarEsta son celdas que suministran una fem de valor bien definido con propósito de emplearla como patrón. En la figura II.4-16b se muestra una foto de una celda estándar tipo Weston. Celda de Leclanché y celdas secasEsta celda inventada por Leclanché en 1868 es una celda no-polarizable en la cual el electrodo de Zinc negativo, rodea toda la celda y se encuentra en una solución de Cloruro de Amonio (NH4Cl). En tanto que el electrodo positivo es una barra de grafito rodeada de

33

una pasta de MnO2 el cual actúa como despolarizador. La fem producida por esta celda es de 1.5 V y la resistencia interna es de aproximadamente 0.1 Ω, se conoce también como celda Zinc-Carbón y es la precursora de las celdas secas en la cual la solución es reemplazada por una pasta de harina y Cloruro de amonio. De esta celda a su vez se han originado las celdas alcalinas en las cuales el electrolito es básico o alcalino como KOH. Entre estas celdas se encuentra la celda de Mercurio en la cual el electrodo de Zinc es amalgamado con Mercurio, el electrolito consiste de óxido de cinc y óxido de mercurio el cual es estable durante la operación de la celda proporcionando así un voltaje más constante de 1,35 V durante períodos largos hasta su agotamiento. Es la pila mas duradera pero es también la más tóxica, por ello en la actualidad ha sido reemplazada por la pila de Litio. En la figura II.4-16c se muestra una celda alcalina comercial moderna.

aFig. II.4-16. Celdas a) Daniel esquemática y real, b) Estándar, c) alcalina

Todas las celdas anteriores se denominan celdas primarias pues una vez agotada, es decir, una vez terminado el proceso de oxido-reducción se pierde la carga o se incrementa la resistencia interna a tal punto que no produce corriente o bien no hay fem. Las celdas en las cuales el proceso puede ser invertido se denominan celdas reversibles o secundarias y pueden ser recargadas. La celda recargable más común es la celda de almacenaje con la cual se fabrica una batería de celdas mejor conocida como acumulador. Celda de almacenaje- AcumuladoresEsta celda tiene electrodos del mismo metal como Plomo por ejemplo, cubiertos de Sulfato de Plomo e inmersos en una solución diluida de ácido sulfúrico por ello se le conoce como celda Plomo-ácido. Ya que los electrodos son iguales entonces esta celda no genera fem. Sin embargo, si se conecta la celda a otra fuente de fem o batería, como se muestra en la figura II.4-17a fluirá una corriente de forma que en el polo conectado al positivo de la batería se forma PbO2 y en el polo opuesto se deposita Plomo. Al volverse diferentes los electrodos el peroxido de plomo reacciona con el ácido produciendo iones SO4- en exceso en la solución los cuales se depositan en la placa de Plomo, quedando así el electrodo de Plomo cargado negativamente y el de PbO2 cargado positivamente. Se genera entonces una fem en la celda la cual alcanza alrededor de 2 V. Una vez alcanzado este voltaje se dice que la celda se encuentra totalmente cargada. Al desconectar la batería externa y conectar la

34

celda a otro circuito ésta puede suministrar una corriente iniciándose la reacción inversa como resultado que las placas se vuelven a recubrir de Sulfato de plomo y finalmente la celda se vuelve a descargar. El proceso se pude repetir haciendo totalmente reversible a la celda en procesos de carga y descarga. Un conjunto de estas celdas en serie se denomina acumulador o como comúnmente se le llama Batería. Este es el dispositivo usado para la producción de electricidad en los vehículos automotores u otros artefactos motorizados. En la figura II.4-17b se muestra una vista de corte de un acumulador el cual consiste de una rejilla de Plomo recubierta de pasta de Sulfato de Plomo en un electrodo y pasta de peroxido de plomo en el otro. Fig. II.4-17. Celdas de Plomo a) esquemática b) acumulador

Ahora que sabemos que cualquier celda posee una resistencia interna consideraremos el caso más simple de circuito cerrado de una celda consistente de una fuente de fem con una resistencia interna Ri, conectada directamente a un resistor el cual posee una resistencia Re como se indica en la figura II.4-18. Esta resistencia de ahora en adelante se denominará resistencia externa para diferenciarla de la resistencia interna de la fem. Sin embargo, esta resistencia puede también provenir de la combinación de varias, conformando una resistencia equivalente. De nuevo suponemos de ahora en adelante que los hilos o cables conductores entre la fem y el resistor poseen resistencia despreciable y que el sentido de la corriente es aquel correspondiente al movimiento de las cargas positivas. Este es el circuito más simple consistente de sólo dos elementos (encerrados en líneas punteadas). Se aplica la ec. II.2-80 recorriendo todo el circuito en un ciclo en sentido horario. Entonces se obtiene que:

0=−−=∆+∆+∆ →→→ E433221 ie RIRIϕϕϕ (II.4-55) De donde se deduce que:

( )E ie RRI += (II.4-56a) O bien que:

ie RRI+

= E (II.4-56b) En tanto que la diferencia de potencial o voltaje entre los extremos del resistor externo es:

ie RIRIV −== E (II.4-56c) Al aplicar la ley de Ohm en estas ecuaciones debe tomarse en cuenta que las cargas cuando salen de la fem, siguen la corriente y atraviesan el resistor en el sentido de la corriente bajan de potencial, es decir ϕ4<ϕ3. Por ello se dice que las resistencias producen caídas de potencial. En tanto que cuando atraviesan la fem desde el polo negativo al positivo son

35

elevadas de potencial, estos es, ϕ2>ϕ1. Por esto se dice que las fem producen una elevación de potencial. En consecuencia para que las cargas atraviesen la batería se requiere que venzan un gradiente de potencial o un campo eléctrico a expensas de la energía química. De aquí que otro enunciado de lo que se define como fem es el siguiente: “El origen de la fem en un elemento de circuito es alguna fuente de energía que transporta o acumula las cargas en una dirección opuesta al campo eléctrico que las mueve en el circuito externo”

Se deduce de la ec. II.4-56c que el voltaje en el resistor no es equivalente a la fem de la celda, sino que viene reducido por la caída de potencial a través de la resistencia interna de la misma. Por lo general la resistencia externa es mucho mayor que la interna y si ésta última puede ser despreciada , la corriente que circula en el circuito se maximiza y vendría dada por:

em RI E= (II.4-57)

Pero también en este caso V≈ E , es decir, el resistor externo recibe totalmente la fem de la fuente o celda. De esta forma es posible determinar la fem de una fuente de potencia midiendo bien la corriente o el voltaje10.

Si por lo contrario la resistencia externa es mínima o despreciable, como es el caso de un cortocircuito cuando se conectan directamente los polos de la celda, la corriente generada por la celda es máxima y viene dada por:

iRI E=max (II.4-58)

Fig. II.4-18. Celda en circuito cerrado mas simple

Reconsideraremos la combinación de celdas en una configuración serie, paralelo y serie-paralelo de celdas pero ahora en circuito cerrado. Configuración en serie de celdas en un circuito cerrado

10 En la sección siguiente se presentarán los aparatos para medir voltajes y corrientes en circuitos.

36

Se tiene un conjunto de n celdas colocadas en serie como se muestra en la figura II.4-19a, en donde cada celda tiene una fem E . La línea punteada alrededor de cada celda es para enfatizar que los símbolos esquemáticos dentro de ella son parte interna de cada celda. Por aplicación de nuevo de la ec. II.2-80 se obtiene fácilmente una ecuación que es una simple extensión de la ec. II.4-50 y de la cual se deduce que la corriente en el circuito externo es;

( )

( )∑∑

=

=

+

= n

jjie

n

jj

RRI

1

1E

(II.4-59)

Si todas las celdas poseen la misma fem y resistencia interna, entonces la ec II.4-59 se reduce a:

ie RnRnI+

= E (II.4-60) Obsérvese que para las celdas en serie en un circuito cerrado la fem aumenta pero la corriente disminuye. Configuración en paralelo de celdas en un circuito cerradoAhora un conjunto de m celdas cada una con la misma E y resistencia interna Ri se colocan en paralelo y conectadas a un circuito externo consistente de un resistor con resistencia externa Re como se muestra en la figura II.4-19b. El conjunto de celdas encerradas en las líneas punteadas conforman un sistema de resistencias internas en paralelo, de aquí que mediante la ec. II.4-47 el conjunto consiste de una celda con una resistencia interna equivalente dada por:

( ) mRRR

mRR

ieii

m

j jiei=⇒==∑

=1

11 (II.4-61)

Así que el circuito se torna equivalente al simple de la figura II.4-18 y en consecuencia la corriente por el resistor externo viene dada por:

ieie RRmm

mRR

I+

=+

= EE (II.4-62)

37

Fig. II.4-19. Combinación de celdas en circuito cerrado a) serie b) paralelo Se puede notar ahora que en contraposición a las celdas en serie, las celdas en paralelo tienen la misma fem pero la resistencia interna disminuye y la corriente aumenta. De aquí que la configuración en paralelo es conveniente cuando se requieren corrientes elevadas en un circuito. Configuración serie-paralelo de celdas en un circuito cerradoSupongamos que se tiene un arreglo de N celdas, cada una con la misma E y resistencia interna Ri, n de ellas en serie conformando una fila y m grupos de filas en paralelo conformando columnas. La estructura consiste de una malla o red o también denominada matriz en donde N=n·m. Esta matriz es conectada a un circuito externo consistente de un resistor el cual presenta una resistencia externa o equivalente Re como se presenta en la figura II.4-20. De nuevo se aprecia que las celdas encerradas en las líneas punteadas forman un sistema serie-paralelo de resistencias internas cuya resistencia equivalente Rie se obtiene de la combinación de las ecs. II.4-47,50 resultando que;

mRnR iei = (II.4-63)

Una vez más por aplicación de la ec. II.2-80 se obtiene que:

0=−−E eie RIRIn (II.4-64) D aquí que de estas ecuaciones se obtiene que:

mR

nR

mRnR

nIieie +

=+

= EE (II.4-65)

38

De esta expresión se puede demostrar (ver problemas) que la corriente es máxima cuando la resistencia externa es igual a la resistencia interna equivalente de las celdas e igual a:

Re2maxEnI = (II.4-66)

Fig. II.4-20. Combinación serie-paralelo de celdas en un circuito cerrado.

II.4.8 Transferencia de energía en un circuito - El efecto Joule La generación de calor por el paso de una corriente en un material que presenta una oposición notable o despreciable a la misma es un efecto que venía siendo observado por los científicos desde el comienzo mismo del estudio de la conducción eléctrica. De esta observación vista como un fenómeno energético se sabía a ciencia cierta que este calor provenía de la potencia disipada, por ejemplo en los resistores; potencia la cual provenía de la potencia suministrada por la fuente de potencia como celdas o baterías, la cual a su vez por poseer una resistencia interna también se calentaban. En 1857 J. P. Joule establece las bases teóricas de cómo ocurre todo el proceso de transferencia de energía entre las diferentes partes de un circuito, cuyo desarrollo es el cual presentaremos a continuación. Supongamos que se tiene un resistor de cierta resistencia R el cual es sometido a una diferencia de potencial o voltaje V entre sus extremos mediante una fuente de fem E de resistencia interna Ri, se tiene de nuevo el circuito simple resistor-fuente de fem ya visto en la sección anterior en la figura II.4-18. Lo analizaremos ahora con un enfoque energético. Dado que se genera una corriente continua I tomemos un elemento de carga dq que se transporta o mueve desde el punto de mayor potencial (3) al de menor potencial (4). Para transportarlo se deduce de la ec. II.2-xx que se requiere la realización de un trabajo:

qdldEqdVWd

⋅−== ∫ →→

(II.4-67)

39

Este trabajo es hecho por el agente externo al conductor que crea el voltaje en este caso la fuente de fem. Por el principio de conservación de la energía, este trabajo positivo causa que la energía potencial eléctrica del elemento de carga disminuya y ésta pérdida de energía potencial a su vez se convierte en otro tipo de energía dentro del material. Si suponemos que el material no sufre transformaciones químicas ni físicas durante el paso de la corriente y que éste se encuentra aislado, entonces, por la relación trabajo-energía, toda la pérdida de energía potencial se convierte en energía térmica del cuerpo, es decir, calor (Q)11. Por lo tanto podemos escribir que;

qdVQdUdWd E ==−= (II.4-68) Mediante la ec. II.4-2 ésta ecuación se puede escribir como:

tdIVQd = (II.4-69) Ecuación que a su vez se puede escribir en la forma de potencia:

IVtdQdPR == (II.4-70a)

Usando la ley de Ohm, ec. II.4-21, ésta potencia se puede expresar como:

( )22222

eieeR RR

RIRVRVP

+==== Eς (II.4-70b)

Se aprecia así de estas ecuaciones que la potencia térmica liberada en forma de calor

en el resistor es equivalente a la energía eléctrica transferida a éste por la batería. Este efecto conocido como calentamiento o efecto Joule se puede enunciar en una ley macroscópica la cual establece que: La cantidad de calor liberada por un elemento resistivo de un circuito es igual al producto de la corriente y el voltaje entre sus extremos; y es también directamente proporcional al cuadrado del voltaje (corriente) siendo la constante de proporcionalidad la conductancia (resistencia). Un fenómeno térmico similar tiene lugar en la batería como consecuencia de que ésta posee una resistencia interna, así que la potencia disipada por la batería es:

22IRRP iii == E (II.4-71)

En tanto que la potencia liberada por la fuente de fem es:

IP EE = (II.4-72) 11 Este fenómeno también fue presentado en la parte I de esta serie: Termodinámica.

40

Si tal cual Joule razonó, aceptamos la validez del principio de conservación de la energía como una ley natural que rige todos los fenómenos físicos, entonces, se tiene que:

( ) 2IRRIPPP ieiR +==+= EE (II.4-73) De esta ecuación se deduce de nuevo las ecs. II.4-56. Si la resistencia del resistor es muy baja pero la fem de la fuente es elevada, entonces la corriente es grande y la potencia disipada se hace enorme. Este es el principio por el cual operan los dispositivos para producir gran cantidad de calor mediante electricidad, tal como sucede en una plancha eléctrica o en un calentador eléctrico.

Otra aplicación importante del calentamiento por efecto Joule se encuentra en los fusibles. Estos son dispositivos eléctricos de baja resistencia, sensitivos a la corriente que sirven para proteger equipos en contra de altas corrientes. Consisten en un hilo o lámina muy delgada de un metal o aleación de bajo de punto de fusión, el cual se funde al pasar por el una corriente elevada. Se catalogan por el voltaje y el amperaje que pueden soportar o bien por la temperatura a la cual se funden. En la tabla II.4-5 se presentan las dimensiones de los fusibles de acuerdo al patrón AG. Los fusibles también se clasifican de acuerdo a su rapidez en fundirse en lentos y rápidos.

Talla DIAMETRO LONGITUD1AG 1/4" (0.250") 5/8" (0.625")2AG (0.177) (0.588) 3AG 1/4" (0.250") 1-1/4"

(1.25") 4AG 9/32" (0.281") 1-1/4"

(1.25") 5AG 13/32"

(0.406") 1-1/2" (1.50")

7AG ¼" (0.250") 7/8" (0.875) 8AG ¼" (0.250") 1" (1.0")

Tabla II.4-5. Dimensiones AG de los fusibles

La eficiencia en la transferencia de potencia desde la fem al resistor es:

ei

eeR

RR

IRIIR

PP

+====

112

EEEη (II.4-74)

La eficiencia varía en el rango 0 →1 cuando la resistencia externa varía en el rango

0 →∝ es decir desde un cortocircuito hasta un circuito abierto. En este mismo orden de análisis, nótese que si la resistencia interna de la fuente de fem es despreciable entonces,

41

toda la potencia de la fuente es suministrada al resistor. Si por lo contrario ésta no es despreciable, y la resistencia externa es nula, se hace máxima la corriente como ocurre con una celda cortocircuitada presentada idealmente en la sección anterior. Esto implicaría una elevada generación de potencia en la forma de calor en la celda. Así que la celda o batería se calienta notablemente con el consabido daño de la misma. Por ello una fuente de fem cortocircuitada debe ser evitada a toda costa. El enfoque energético también se puede hacer desde un punto de vista microscópico. Supongamos que el material resistivo es metálico y que las cargas en movimiento consisten de sólo electrones. En este caso analizaremos el trabajo hecho por unidad de tiempo o potencia sobre los electrones Pe. Por las definiciones mecánica de potencia y de campo eléctrico se tiene que:

dde

evEevFPtd

Wd →→→ ⋅−=⋅== (II.4-75)

De las ecs. II.4-11a y II.4-28 la velocidad de arrastre de los electrones se puede escribir en la forma:

enEv

d

→→ −= σ (II.4-76)

Así que la potencia se reduce a:

2→→→→→=

⋅

=⋅+= EnEEnen

EEePeσσσ (II.4-77a)

De nuevo mediante la ec. II.4-28 ésta ecuación se puede expresar en la forma equivalente:

nJE

enJEePe

→→→→ ⋅=

⋅−= (II.4-77b)

Se acostumbra también definir la energía/(tiempo·volumen) o densidad de potencia =potencia/volumen, la cual se obtiene dividiendo las ecs. II.4-71 por el volumen para obtener:

eee

NE

NJEP 2σ=⋅=→→

V (II.4-78) En donde Ne es el número de electrones.

42

El efecto Joule macroscópico presentado anteriormente es valido para flujo o corrientes longitudinales o en una dimensión, en tanto que el efecto microscópico se ha analizado para electrones. Ahora consideraremos el efecto visto tridimensionalmente válido para una densidad de corriente en un medio continuo deducible de la combinación de los dos puntos de vista macroscópico y microscópico. Supongamos un sector de un conductor de elementos diferenciales de sección transversal dA y longitud dl como el de la figura II.4-3 el cual está sometido a un voltaje V y circula una corriente I. Este sector abarca un elemento de volumen dV = dA·dl, en el cual por razón de su resistividad se disipa una potencia por unidad de volumen:

ldAdIVd

dPd == VP (II.4-79)

El numerador de esta ecuación se puede reemplazar mediante las ecs. II.2-77c y II.4-13

para expresar la ec. II.4-79 de la forma:

→→→→

→→→→→→

→→→→⋅=

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅= EJ

ldAd

ldAdEJ

ldAd

AdJldEP

(II.4-80) La potencia total liberada en forma de calor es entonces:

∫ →→ ⋅= VdEJP (II.4-81) Nótese la similitud entre esta ecuación y la ec. II.4-77b. Mediante la ec. II.2-83 la potencia total también se puede escribir como:

∫∫∫ →→→ ⋅∇+

⋅∇−=∇⋅−= VVV dJdJdJP ϕϕϕ (II.4-82)

El segundo término de ésta ecuación es nulo ya que las corrientes son estacionarias. Aplicando el teorema de la divergencia al primer término se obtiene que:

∫∫ →→→ ⋅=

⋅∇−= AdJdJP ϕϕ V (II.4-83)

Se puede pensar que esta ecuación es básicamente la ec. II.4-70a o el numerador de la ec. II.4-79; sin embargo, la ec. II.4-83 es más general y tiene aplicabilidad en casos de configuraciones de corriente más complejas.

43

II.4.9 Dispositivos para la medida de la corriente eléctrica, la fuerza electromotriz y la resistencia Los dispositivos para la medida de la corriente, fem o voltajes así como resistencia, emplean como principios de operación algunos de los efectos o fenómenos eléctricos ya vistos en este capítulo, como el efecto Joule y la ley de Ohm; pero en su mayoría emplean una diversidad de efectos que estas variables eléctricas pueden presentar en conjugación con otros fenómenos no-eléctricos como los magnéticos. Esta conjugación de efectos eléctricos y magnéticos da origen como ya hemos dicho a fenómenos electromagnéticos los cuales son parte de otra área de la Física: Electromagnetismo. Por lo tanto, los principios de operación de la mayoría de los dispositivos presentados en esta sección serán tratados y analizados en la parte III de esta serie. Así que sin entrar en detalles de su construcción, en esta sección nos limitaremos sólo a mostrar los más conocidos, presentar sus características y discutir su empleo en el circuito.

Uno de los dispositivos más antiguos y de uso general es el galvanómetro el cual sirve para medir pequeñas corrientes y pequeños voltajes. La resistencia interna de su mecanismo es muy baja, por lo tanto este aparato es el precursor de otros dispositivos. Un aparato o equipo que sólo sirve para medir corrientes se denomina Amperímetro, aquel que sólo sirve para medir voltajes se denomina Voltímetro. Un aparato concebido para medir solamente resistencias se denomina Ohmetro. Los dos primeros dispositivos requieren para su funcionamiento que la corriente del circuito o por lo menos parte de ella circule por su mecanismo interno, o bien en el último dispositivo éste introduce una corriente por el circuito. Esto trae como consecuencia que; primero, el dispositivo, tal como todo aparato de medida física, afecta el circuito. Segundo, la manera como se intercala o coloca el dispositivo en el circuito determina la manera en la cual éste empleará la corriente para la medida produciendo el efecto perturbador mínimo. El AmperímetroEste dispositivo cuando es del tipo de espira móvil requiere para su funcionamiento que toda la corriente del circuito pase íntegramente por su mecanismo. Por lo tanto, el empleo de este aparato exige que se intercale en el circuito, es decir, se interrumpe el circuito y se conecta mediante hilos conductores en serie con el resto del circuito como se muestra en la figura II.4-21a. Existen en el mercado amperímetros denominados “Caimán” que no interrumpen el circuito pues operan bajo principios de la inducción electromagnética. No serán tratados aquí12 pues requieren corrientes alternas y son muy imprecisos. Si el amperímetro es analógico, esto es, proporciona una medida continua, la corriente produce una deflexión visual de una aguja y la cual puede ser directamente proporcional a la corriente o al cuadrado de ésta. Cuando la aguja alcanza su máxima deflexión se dice que se encuentra a “full” escala y se tiene la máxima corriente mesurable. El mecanismo de un amperímetro involucra conductores de cierta resistividad, así que éste posee una resistencia interna RA que no es despreciable. Al estar conectado en serie el amperímetro produce una caída de potencial adicional y por lo tanto afecta la medida de la corriente que el mismo quiere determinar, la cual para el circuito de la fig. II.4-21a vendría dada por:

12 Serán considerados en la parte III de esta serie.

44

AieC RRRI++

= E (II.4-84) Así, si se quiere que el amperímetro afecte al mínimo la medida de la corriente y obtener el valor mas preciso, entonces su resistencia interna deberá ser mucho menor que la resistencia equivalente del resto del circuito RA<<Re+Ri, para que la caída de potencial que produce sea también despreciable. De hecho, éste es el requisito indispensable que debe cumplir un galvanómetro para que opere como un amperímetro. El VoltímetroEste otro dispositivo requiere para su funcionamiento que parte de la corriente del circuito pase por su mecanismo. Así que, para emplear este aparato para medir no es necesario interrumpir el circuito, sino que éste se conecta mediante hilos conductores en paralelo con el resto o elemento del circuito bajo medida como se muestra en la figura II.4-21b. Si el voltímetro es analógico, esto es, la corriente produce al igual que en el caso anterior una medida continua, entonces la deflexión se puede visualizar mediante una aguja y la cual puede ser directamente proporcional a la corriente IV que circula por el voltímetro, o al cuadrado de ésta. Como el voltaje a través del dispositivo es proporcional a esta corriente entonces sirve para medir voltajes. Cuando la aguja alcanza su máxima deflexión se dice que se encuentra a “full” escala y se tiene el máximo voltaje mesurable. El mecanismo de un voltímetro es idéntico al de un amperímetro y por lo tanto posee también una resistencia interna pequeña. Sin embargo, al estar conectado en paralelo el voltímetro drena o desvía una corriente IV y por lo tanto afecta la medida de la corriente en el elemento de circuito. Si la corriente en el circuito es IC entonces la corriente que ahora circularía por el elemento de circuito en medida es IC- IV. El voltaje en el elemento de circuito sería (IC- IV)·Re, tal que el voltímetro afecta el voltaje mismo que quiere determinar. Como se quiere que el voltímetro afecte al mínimo la medida del voltaje y obtener el valor mas preciso, entonces es necesario que su resistencia interna sea mucho mayor que la resistencia equivalente del elemento del circuito en medida. Dado que el mecanismo es idéntico al de un amperímetro es por ello necesario colocarle una elevada resistencia en serie RV>>Re para que IV<<IC. De hecho, éste es el requisito indispensable que debe cumplir un galvanómetro para que opere como un voltímetro. En lo sucesivo omitiremos el símbolo de la resistencia interna del dispositivo en el sobrentendido de que su resistencia interna es despreciable en comparación con cualquiera de las resistencias del circuito.

45

Fig. II.4-21. Configuración de conexión de a) amperímetro, b) voltímetro, en un circuito.

Hoy día para medir corrientes, voltajes o resistencias se emplean una diversidad de aparatos que cumplen las tres funciones y se denominan multímetros. Estos no solamente pueden ser analógicos sino también digitales en los cuales la señal no es continua sino discreta. Esta señal discreta se obtiene mediante complejos circuitos electrónicos. En la figura II.4-22 se presentan las fotos de varios amperímetros, voltímetros y multímetros analógicos y en la figura II.4-23 varios digitales muy modernos. Fig. II.4-22. a) Amperímetros, b) Voltímetros y c) Mutímetros analógicos. Fig. II.4-23 a) Amperímetros b) Voltímetros y c) Mutímetros digitales.

Derivaciones de corriente y multiplicadores de voltajeSupongamos que tenemos un amperímetro de rango limitado13 y se quiere ampliar su rango, o sino supongamos que tenemos un galvanómetro que se desea emplear como amperímetro. Estas dos situaciones se logran mediante una derivación de corriente, la cual como se ilustra en la figura II.4-24a es posible colocando una resistencia RD en paralelo con el amperímetro y su resistencia interna, y luego conectando éste en la forma usual en serie con la parte del circuito al cual se quiere medir la corriente. Se dice entonces que el amperímetro está en derivación es decir, en paralelo con esta resistencia. Si se tiene un amperímetro de resistencia interna RA el cual lee a full escala IA amperios, se puede demostrar empleando la ley de Ohm y los conceptos de circuitos en paralelo, que la resistencia en derivación necesaria para poder leer una corriente IC>IA viene dada por:

ACAAD II

RIR −= (II.4-85) Si por lo contrario se quiere saber por cuanto se aumenta la corriente de acuerdo al valor de la resistencia en derivación se tiene que:

( )XII AC += 1 (II.4-86a) en donde; ACDA IIR

RX >⇒>= 1 (II.4-86b) Se concluye así que para extender el rango de un amperímetro es indispensable una resistencia en derivación menor que la resistencia interna del amperímetro de forma tal que la mayor parte de la elevada corriente que se quiere medir pase o se desvíe por la resistencia en derivación y no por el amperímetro. Se tiene ahora un voltímetro de rango pequeño y se quiere extender su rango o bien se pretende emplear el mismo galvanómetro del caso anterior como voltímetro. Para lograr estos dos objetivos se coloca una resistencia RM en serie con el voltímetro; luego se coloca 13 El sistema de espira móvil presenta un recorrido reducido de la aguja, lo cual conduce a un rango limitado en la medida de la corriente.

46

éste en la forma usual en paralelo con la parte del circuito que se quiere medir el voltaje como se indica en la figura II.4-24b. Si se tiene un voltímetro de resistencia interna RV el cual lee a full escala VV voltios, se puede demostrar empleando la ley de Ohm y los conceptos de circuitos en paralelo, que la corriente que circulará por el voltímetro viene dada por:

CMV

CVR

RRII

++

=1

(II.4-87)

En tanto que el nuevo voltaje que puede leer el voltímetro es;

( )XVV VC += 1 (II.4-88a) en donde; VCVM VVR

RX >⇒>= 1 (II.4-88b)

Queda claro entonces que para extender el rango de un voltímetro es indispensable una resistencia en serie mayor que la resistencia interna del voltímetro de forma tal que más corriente pase por la parte del circuito en medida que por el voltímetro. Así el elevado voltaje que se quiere medir se distribuye más en la resistencia en serie y el voltímetro puede leer un voltaje mayor. Esta resistencia se denomina multiplicadora de voltaje.

Fig. II.4-24. a) Derivación de corriente b) multiplicación de voltaje. El OhmetroEste dispositivo necesita para su funcionamiento que una corriente generada en su interior pase a través del elemento o conjunto del circuito que se quiere medir. El circuito interno del ohmetro consiste básicamente de un amperímetro cuya escala está calibrada en Ohmios, una celda o batería, un resistor de regulación el cual posee una resistencia variable y dos terminales del circuito abierto para conectar al elemento que se quiere medir. Este montaje se presenta en la figura II.4-25a. Para emplearlo en la medida de una resistencia desconocida primero se cortocircuita los terminales y se ajusta el resistor de regulación para obtener máxima lectura en la escala. Esta lectura corresponde a resistencia cero. Luego se

47

conectan los terminales a la resistencia desconocida y el valor de la resistencia se obtiene directamente de la escala. Este montaje no es muy preciso y por ello es usualmente empleado para probar la continuidad de un cableado o elemento de circuito. Para determinar resistencias con mayor precisión se emplea un puente de Wheatstone en donde resistores de regulación y la resistencia desconocida forman parte de los brazos del puente como se muestra en la figura II.4-25b. El análisis de este montaje se presentará en la sección siguiente. En la figura II.4-26 se presentan fotos de algunos ohmetros y multímetros con disponibilidad de medida de la resistencia.

a bFig. II.4-25. Diagrama de un Ohmetro, a) circuito simple con resistor de regulación b) puente de Wheatstone .

Fig. II.4-26. a) Ohmetros, b) Multímetros. II.4.10 Redes o Circuitos eléctricos complejos Hasta ahora en este capítulo se ha considerado el flujo de una corriente eléctrica tanto a través de elementos individuales de un circuito como a través de un conjunto de ellos susceptible de ser descompuesto en una configuración serie-paralelo. La determinación de las corrientes en estos casos ha sido relativamente fácil mediante la aplicación de la ley de Ohm y del principio de superposición. Sin embargo, existe un innumerable conjunto de situaciones de circuitos más complejos que no pueden ser descompuestos en configuraciones serie-paralelo, en los cuales la ley de Ohm es insuficiente para resolverlos. Un ejemplo de estos es el puente de Wheatstone no-balanceado. En situaciones como estas se encuentran muchas uniones de tres o más conductores en las cuales las corrientes se diversifican en diferentes caminos en una manera no evidente y cuyos valores no son fácilmente deducible de la ley de Ohm. La metodología de la determinación de las corrientes es posible mediante un conjunto de ecuaciones derivables de leyes mas generales de las cuales la ley de Ohm es un caso particular y las cuales fueron propuestas en 1942 por Kirchoff. Antes de proceder a la presentación y aplicación de estas leyes se expondrán algunos conceptos y definiciones de circuitos.

Un conjunto de elementos interconectados mediante hilos conductores conforman lo que se conoce como red eléctrica o circuito. Un diagrama de circuito es una representación

48

simbólica y esquemática de los elementos que constituyen la red. Estos elementos pueden ser activos en el sentido de que actúan como generadores, almacenadores o consumidores de potencia. Los elementos también pueden ser pasivos en el sentido de que no son ninguno de los dos anteriores tales como interruptores14, hilos de conexión, uniones, etc. Un elemento de un circuito puede ser una pila, batería o generador para el primer tipo; capacitor para el segundo; y resistores, lámparas o cualquier dispositivo que posea resistencia, para el tercer tipo. En la figura II.4-27 se muestra la representación simbólica de los elementos básicos que pueden conformar un circuito, algunos de ellos ya vistos en este capítulo y los anteriores.

Fig. II.4-27. Representación simbólica de los elementos de un circuito

Un punto en donde se unen tres o más conductores por los cuales circulan corrientes se denomina unión o nodo y cada uno de los conductores puede representar una rama o ramificación de corriente. En la figura II.4-28a se presenta un nodo en donde convergen varias corrientes.

Una red puede ser abierta cuando empieza o termina con terminales en cuyo caso se supone que éstos están destinados para la conexión a una fuente externa o sobre otro elemento o circuito. La red también puede ser cerrada cuando no posee conexiones externas o terminales. En lo que sigue de este capítulo solo se trabajará con redes cerradas. Una malla o bucle es un conjunto de elementos de circuito que forman un circuito continuo y cerrado, la cual a su vez forma parte de un circuito mas complejo. De manera que una malla es el elemento básico o constitutivo de una red, de la mima forma que se construye una red de pescar. En la figura II.4-28b se presenta un puente de wheatstone el cual tiene una red formada por las siguientes mallas: los triángulos equiláteros unidos por la base ABCA y BDCB, el romboide ABDCA. En el circuito externo que alimenta el puente también se pueden identificar dos mallas EABDE y EACDE.

14 Siempre y cuando las corrientes sean constantes.

49

Fig. II.4-28. a) Nodo, b) Mallas en un puente de wheastone

II.4.10.a Leyes de Kirchoff

Consideremos un nodo en donde convergen n corrientes a través de conductores de diferentes secciones transversales como el mostrado en la figura II.4-29 en donde las flechas indican las direcciones en las cuales fluyen las corrientes. En vista de que una corriente implica un flujo de carga hacia el nodo podemos entonces, establecer que una corriente que llega al nodo aporta carga positiva y decir que es una contribución positiva. Por lo contrario una corriente que sale del nodo implica una pérdida de carga y se puede entonces tomar como una contribución negativa. Esta convención es totalmente arbitraria, así que la opuesta es completamente factible. Si suponemos tal cual ocurre en los conductores metálicos, que la carga no se puede ni acumular ni perder en un nodo, es decir, un nodo no puede ser ni un sumidero ni una fuente de carga; en consecuencia, se puede establecer que la densidad de carga en un nodo es constante. Así que matemáticamente se puede escribir que si:

( ) ( ) 0,, =∂∂⇒= t

trconstr ρρ (II.4-89) Entonces, de la ecuación de continuidad ec. (II.4-20b) y el teorema de la divergencia se obtiene que;

∫ ⋅⇒=⋅∇ AdJJ 0 (II.4-90)

Esta ecuación equivalente a la ec. (II.4-15) es precisamente la condición de corriente estacionara, la cual si consideramos una superficie cerrada alrededor del nodo en cuestión se puede escribir como:

50

01

3212211 ==+−−=+++= ∑∫∫∫=

n

iinnnneta IIIIIAJAJAJI LL (II.4-91)

La ec. II.4-91 es conocida como primera ley de Kirchoff: “La suma de todas las corrientes estacionarias en un nodo es nula”. Puesto que en la determinación de las corrientes se aplica la convención de signos señalada anteriormente; entonces, por lo menos una de las corrientes debe ser de contribución opuesta a las otras.

Fig.II.4-29. Corrientes en un nodo.

Ahora consideremos la aplicación del principio de superposición ec. II.2-80 a un bucle en el cual pueden existir tanto caídas de potencial debido a los resistores como fem debido a celdas y baterías. Entonces de forma similar a como se obtuvieron las ecs.II.4-55,64 se tiene que para l resistores, m corrientes y n fems:

0,

1,1 1=+∑ ∑

== =

ml

ji

n

kkji IR E (II.4-92)

Esta ecuación conocida como segunda ley de Kirchoff rige que:

“La suma de las caídas o subidas de potencial y de las fuerzas electromotrices en un bucle es nula” En la aplicación de esta ley la convención de signos para las diferencias de potencial en los resistores es la misma cuando se aplicó la ley de Ohm, es decir, las diferencias de potencial son, negativas (caídas) si los resistores se atraviesan en la dirección de la corriente y positivas (subidas) si se atraviesan en dirección contraria a la corriente. En tanto que para las fem estas producen diferencias de potencial positivas si se atraviesan en la dirección del polo negativo al positivo y negativas en la dirección opuesta.

Es obvio notar que la primera ley de Kirchoff no es mas que un parafraseo de la ley de conservación de la carga o de la ecuación de continuidad; en tanto que la segunda ley no es más que el principio de conservación de la energía. Por tal razón las dos leyes de Kirchoff son mejor conocidas como metodologías o reglas de solución de circuitos complejos. El objetivo primordial de la aplicación de estas leyes es la determinación de las

51

corrientes que circulan por los elementos del circuito de parámetro conocido, en cada una de las ramas y de allí determinar los voltajes a través de cada uno de ellos. Las corrientes conforman las incógnitas del conjunto cuyo número es equivalente al número de ecuaciones que se obtienen de las leyes. Se supone que los valores de los resistores son conocidos y representan los coeficientes de las incógnitas; en tanto que las fems de las celdas, baterías o generadores en el circuito son conocidos y representan las constantes. Antes de explicar la metodología de aplicación de las leyes se darán algunas recomendaciones ventajosas para evitar complicaciones: Grafique el diagrama de circuito técnico y de calidad profesional en donde se

representen con claridad los diferentes elementos. Indique en cada rama las corrientes con flechas. Represente simbólicamente cada elemento del circuito mediante letras e índices

apropiados y distintivos entre ellos. Si un circuito consta de N nodos existen dos metodologías para resolver el circuito: el

método de ramificaciones de corriente y el método de bucles de corriente. Método de ramificaciones de corrienteSegún este método el circuito se resuelve mediante las dos leyes las cuales aportan el conjunto de ecuaciones siguiendo los siguientes pasos: 1. Se asigna una corriente por cada ramificación en los diferentes nodos de forma que el

circuito queda constituido por R ramificaciones de corriente teniendo cuidado de no repetir la misma corriente en diferentes ramificaciones. El sentido de las corrientes es arbitrario pero una vez establecido en una ramificación determinará el sentido en otra. No obstante aún cuando usted no sabe la dirección correcta antes de resolver el circuito, el signo del resultado final le indicará si estaba en lo correcto

2. La aplicación de la primera ley aporta N ecuaciones derivables de los N nodos pero solo N-1 de ellas son independientes, es decir, una de las N ecuaciones es obtenible de las otras y al no ser independiente aportaría infinitas soluciones, por lo cual debe ser descartada.

3. El número de ramificaciones viene a representar el número de incógnitas o corrientes del circuito. Ya que el número total de ecuaciones obtenibles de las dos leyes necesarias para resolver el sistema es igual al número de incógnitas; esto es:

( ) RNB =−+ 1Entonces el número B de bucles necesarios para la aplicación de la segunda ley es:

( )1−−= NRBEl número de bucles físicamente posibles en el circuito puede ser mayor de B pero sólo este número aporta la cantidad necesaria de ecuaciones independientes.

Método de bucles de corrienteDe acuerdo con este método propuesto por Maxwell, las ramificaciones de corriente se convierten en bucles de corriente, es decir, se supone que por cada bucle circula una y solo una corriente y estas concurren en los nodos. De forma que ya no es necesario aplicar la primera ley. Si se tienen B bucles se tendrán B corrientes (incógnitas) y B ecuaciones. Para que éstas sean independientes debe tenerse cuidado de no utilizar un bucle que sea una combinación de los otros. Este método es más sencillo y aporta un conjunto de ecuaciones con menos incógnitas; pero, presenta el inconveniente de que más de una corriente circularía por una rama, lo cual es físicamente pero no matemáticamente contradictorio.

52

Esta paradoja se resuelve si se considera que cuando dos o más corrientes circulan por una rama, la corriente neta en esa rama resulta de la suma algebraica de ellas. Mediante estas explicaciones el lector no debería tener ningún inconveniente para resolver cualquier circuito; sin embargo, como sólo la práctica hace al experto, a continuación se resolverá el circuito de la figura II.4-30 mediante los dos métodos. En este circuito existen N=4 nodos: a, b, c, y d. Según el método de ramificaciones de corrientes se requerirían R=6 ramificaciones de corrientes: I1, I2, I3, I4, I5, I6; por lo tanto, de la primera ley se tiene que: Nodo a: 0321 =−− III (II.4-93a) Nodo b: 0543 =−− III (II.4-93b) Nodo c: 0642 =−+ III (II.4-93c) Nodo d: 0651 =++− III (II.4-93d) Pero se requieren solo N-1=3 ecuaciones pues la ecuación para el nodo d resulta de la combinación de las otra tres; así que no es independiente y debe ser descartada. Para la aplicación de la segunda ley se requieren B= 6-(4-1)=3 bucles denominados B1, B2 y B3 en la figura II.4-30a, de los cuales se obtiene que: Bucle B1 : 02224433 =++−−=∆+∆+∆ →→→ RIRIRIaccbba Eϕϕϕ (II.4-94a) Bucle B2 : 0446655 =++−=∆+∆+∆ →→→ RIRIRIbccddb ϕϕϕ (II.4-94b) Bucle B3: 011166222 =−+−−−=∆+∆+∆ →→→ RIRIRIaddccb EEϕϕϕ (II.4-94c) El bucle B3 se ha seguido por el ramal inferior. Obsérvese que pueden obtenerse mas bucles, pero estos son innecesarios. De las ecs. II.4-93,94 se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

12662211665544

2443322642

543321

0000000

0000000

00000000

EE

E

−=−+++−−=+−+++−=++−−+

=−++=+−−+=+++−−

IRIRIRIRIRIR

IRIRIRIII

IIIIII

(II.4-95)

Este sistema de ecuaciones se ha ordenado por columnas en las incógnitas y los elementos nulos debido a coeficientes cero se han escrito deliberadamente a fin de que sea más fácil su comprensión y resolución. Los coeficientes de las incógnitas viene representados por las resistencias, y las constantes por las fems. El sistema se puede resolver por el método de determinantes. Hoy día con el advenimiento de las computadoras

53

y programas de análisis matemático como Maple, Matemática, MathLab y otros, es muy fácil evaluar estas ecuaciones. De acuerdo con el método de determinantes para determinar cada una de las incógnitas primero se determina el determinante formado por los coeficientes de las incógnitas (∆) y luego se evalúan los determinantes obtenidos al reemplazar la columna de los coeficientes de la respectiva incógnita (∆k) por la columna de las constantes. Así que cada una de las corrientes viene dada por la formula:

∆∆

= kkI (II.4-96) Los determinantes de grado mayor de tres pueden ser evaluados mediante la técnica de cofactores. El resultado obtenido mediante éste método es:

(II.4-97)

Según el método de bucles de corriente se requieren tres bucles correspondientes a 3 corrientes I1, I3, I5, tal como se indica en la figura II.4-30b. Para poder comparar con el método anterior el bucle I1 se ha seguido por el ramal inferior. Obsérvese que ahora en algunos tramos procedentes de los nodos circulan dos corrientes La aplicación de la segunda ley de Kirchoff arroja el siguiente sistema de ecuaciones:

( )( )

( ) 125632162154653416

2543432120EE

E

−=++++−=++−++−=+++−

IRIRIRRRIRRRIRIR

IRIRRRIR(II.4-98)

Este sistema de ecuaciones tiene el siguiente resultado:

(II.4-99) Las corrientes del método anterior son obtenibles por la superposición de estas corrientes, por ejemplo, es fácil demostrar que : I2=I1 - I3.

54

Fig.II.4-30. Método de: a) ramificación b) bucle de corrientes en un circuito. II.4.10.b El puente de Wheastone Este dispositivo eléctrico ya ha sido mencionado dos veces anteriormente en este capítulo. En esta sección se resolverá el circuito completo mostrado en la figura II.4-28b. La dirección de las corrientes escogidas es perfectamente factible de acuerdo con la polaridad de la fem. La única corriente que no está definida es aquella a través del galvanómetro, a la cual se le ha asignado una dirección arbitraria. Si se emplean los bucles indicados en esta figura, se puede encontrar mediante el método de ramificaciones de corriente que la corriente que pasa por el galvanómetro es:

(II.4-100)

55

Una situación particular del puente se encuentra cuando las resistencias variables15 se ajustan de forma que la corriente en el galvanómetro se anula. En esta circunstancia se dice que el puente está balanceado. Así, para IG =0 se deduce de la ecuación II.4-100 que;

213 RR

RRx

= (II.4-101)

Este resultado también se pudo haber deducido directamente de la primera ley de Kirchoff y la ley de Ohm sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones (ver problemas).

Una de las aplicaciones universales del puente de wheatstone viene determinada por la ec. II.4-101. Si en esta ecuación se conocen las resistencias R1, R2 y R3 o por lo menos R2 y la razón entre las otras dos; entonces, se puede fácilmente determinar Rx, la resistencia desconocida. De hecho, esta es la metodología empleada por los ohmetros para la medida de resistencias desconocidas. En la figura II.4-25b se mostró un ohmetro cuyo circuito interno opera mediante un puente de wheatstone. Obsérvese que si se tiene al puente muy ligeramente desbalanceado de un cierto valor inicial, la corriente y en consecuencia el voltaje a través del galvanómetro son de variación muy pequeña. Entonces si se emplean resistencias de alta precisión, es posible variando estas resistencias balancear de nuevo el puente y utilizar los valores de las resistencias como medida de variaciones de voltajes muy precisos. En la figura II.4-31 se muestra un puente de wheastone marca Leeds-Northruppara la medida de voltajes de hasta 5 cifras decimales, para la detección de corrientes muy bajas se emplea un detector de cero (galvanómetro de alta precisión). Fig.II.4-31. a) Puente de wheatstone para la medida de voltajes de alta precisión, b) Detector de cero. II.4.11 Circuitos R C – C D Los circuitos en general están conformados no solamente de resistencias y fems como venimos de ver en la sección anterior, sino también por capacitores como los considerados en el capítulo II.4. Consideremos entonces un circuito consistente de una fem, resistencia externa y un capacitor, es decir, un circuito RC, como el indicado en la figura II.4-32. El interruptor permite conectar la fem a dos ramas diferentes. Si lo colocamos en la posición 1 tendremos el circuito de la figura II.4-32b. En el capacitor la diferencia de potencial o voltaje entre sus extremos cuando se atraviesa desde la placa positiva hacia la negativa es:

Cq−=−=∆ +−→ ϕϕϕ 13 (II.4-102)

en donde q(t) es la carga instantánea o para el tiempo t en el capacitor. Si se aplica la segunda ley de Kirchhoff al circuito recorrido en el sentido indicado en la figura se obtiene que; 15 Una sola resistencia variable es suficiente para balancear el puente; sin embargo, dos aportan mayor control y sensibilidad.

56

( ) 0)(133221 =−+−=∆+∆+∆ →→→ C

tqRRI ieEϕϕϕ (II.4-103) Si ahora empleamos la definición de corriente dada por la ec. II.4-2, y ejecutamos una separación de variables, se obtiene una ecuación diferencial en las variables q y t de la forma:

Rtd

Ctq

qd =− )(E

(II.4-104)

en donde R =Re + Ri la resistencia total del circuito.

Para integrar esta ecuación diferencial se ejecuta el siguiente cambio de variable:

uCtq =− )(E (II.4-105a) derivando se obtiene que: C

qdud −= (II.4-105b)

Reemplazando II.4-105 en. II.4-104 se obtiene que:

CRtd

uud −= (II.4-106)

La integración se ejecuta desde t=0 hasta un tiempo arbitrario t y desde q=0 hasta una carga arbitraria q(t). Con la transformación de variable esto implica desde u=0 hasta u= E –q(t)/C. Así que la integración resulta en;

−=

− CRteCtq 1)( E (II.4-107)

Si tomamos el límite cuando t→∝ se obtiene que:

( ) max11)( QCCtqLimt

==∞−=∞→

EE (II.4-108)

Esto quiere decir que cuando el tiempo es muy grande, la carga que adquiere el capacitor tiende a un máximo. Por lo tanto la ec. II.4-107 también se puede escribir como;

57

−=

− CRteQtq 1)( max (II.4-109)

Si ahora derivamos esta ecuación con respecto al tiempo se obtiene la corriente;

CRtCRt ee IRtdqdtI

−−=== 0)( E (II.4-110)

en donde I0 representa la corriente inicial en el circuito

Fig.II.4-32. a) Circuito RC-CD, b) Carga c) Descarga.

Si se grafican las funciones del tiempo de las ecs. II.4-107,110 se obtienen las curvas de la parte a de la figura II.4-33, las cuales corresponden al proceso de carga. La generación de corriente decrece monotonicamente, y el de carga del condensador aumenta también monotonicamente. Esta dependencia era de esperarse ya que al iniciarse la corriente desde un valor máximo inicial, la carga se acumula en la placa positiva del capacitor, ésta crea una diferencia de potencial opuesta al paso de las cargas positivas subsiguientes, trayendo como consecuencia que la corriente disminuye a cero. Es fácil darse cuenta de que el voltaje en el capacitor sigue la misma dependencia que la carga y cuando el tiempo es muy grande, el voltaje tiende a adquirir un valor máximo que corresponde al de la fem. Ahora colocamos a continuación el interruptor en la posición 2 para obtener el circuito de la figura II.4-32c. Dado que no hay fem es lógico de esperar que la carga acumulada en el capacitor se desplazará a través de la resistencia descargándose el capacitor. Se establece una corriente sin sustentación; así que ésta disminuirá paulatinamente. La aplicación de la segunda ley de Kirchoff en cada instante de tiempo resulta en;

58

( ) 0)( =−+ CtqRRI ie (II.4-110)

Empleando la definición de corriente y rearreglando términos ésta ecuación se puede escribir de la forma;

0CRtd

qqd −= (II.4-112)

Integrando desde qi=Qmax hasta qf =q(t) y desde t=0 hasta un t arbitrario, se obtiene que;

CRtCRt ee QCtq−−

== max)( E (II.4-113)

La corriente de descarga en el capacitor es ahora:

CRtCRt ee IRtdqdI

−− −=−== 0E (II.4-114)

El signo menos indica que la corriente es opuesta al valor de carga. Se puede apreciar que la carga y la corriente de descarga del capacitor siguen la misma forma funcional que la corriente de carga. Cuando t=0, I=I0 y cuando t →∝, I → 0. Una situación particular de las curvas de carga y descarga de capacitor se presenta cuando τ=R·C, en este caso de las ecs. II.4- se obtiene que;

( ) max1max 63.01)( QQtq e =−= − 010 37.0)( IItI e == −

Estos resultados indican que para este tiempo la carga ha disminuido a un 63 % de su valor máximo inicial y la corriente ha aumentado a un 37 % de su valor máximo posible. Este lapso de tiempo se conoce como “constante de tiempo del circuito RC” y es de importancia no solo para conocer en que tiempo la mayoría de la carga o descarga se ha realizado, sino también sirve para analizar las respuestas de este tipo de circuito a las corriente alternas.

Si se grafican las funciones del tiempo de las ecs. II.4-113-114 se obtienen las curvas de la parte b de la figura II.4-33, las cuales corresponden al proceso de descarga.

59

Fig.II.4-33. Curvas RC-CD, a) Carga b) Descarga.

60

PREGUNTAS - CAPITULO II.4

1) ¿Se puede obtener una corriente estacionaria en a) un medio extenso?, b) en un ciclo cerrado?. ¿Bajo qué condiciones se puede lograr esto?.

2) ¿Por qué los metales poseen mayor cantidad de electrones libres? 3) ¿Por qué los metales son mejores que los semiconductores y estos mejores que los

aislantes? 4) Explique porqué en una red de alumbrado eléctrico la intensidad de la luz de los

bombillos se atenúa cuando se enciende un aparato de alto consumo como una plancha o un motor.

5) ¿Por qué es peligroso manipular aparatos eléctricos o cables defectuosos en un piso húmedo?. ¿Por qué es recomendable hacer esto con zapatos de goma?.

6) ¿Bajo que condiciones el tiempo de colisión y el de relajación son iguales?. 7) ¿Se corroerá totalmente la placa metálica de una celda voltaica, en circuito abierto o en

circuito cerrado?. Explique todo el proceso químico. 8) Explique el proceso de iniciación de una corriente en una celda voltaica no en términos

de equilibrio de carga sino en términos de diferencias de potencial o tensiones. 9) ¿Cómo justificaría usted que la fem de una celda de ácido se mantenga constante aún

cuando la diferencia de potencial entre su polos disminuya por efecto del aumento de la resistencia interna?.

10) Explique el proceso de reacción en una celda de Daniel. Justifique el origen de la fem de 1.1 V.

11) ¿Cómo determinaría usted la resistencia interna de una celda o batería? 12) ¿Por qué la resistencia interna de una celda de ácido se denomina polarización?. ¿Por

qué este término no es adecuado?. 13) Suponga que usted tiene una batería de carro parcialmente descargada a menos de su

valor nominal de 12 V y una segunda batería para cargarla. ¿Cómo conectaría usted las polaridades de las dos baterías y qué requerimiento en voltaje pondría usted sobre la segunda batería para cargarla, tanto lentamente como rápidamente?

14) Explique porqué un amperímetro con derivación parece como un amperímetro en la configuración de voltímetro, es decir, en paralelo con la parte del circuito que se quiere medir la corriente sin interrumpirlo.

15) ¿Qué le sucedería a un amperímetro si usted se equivoca y lo coloca como voltímetro? 16) ¿Qué le sucedería a un voltímetro si usted se equivoca y lo coloca como amperímetro? 17) ¿Qué le sucedería a un ohmetro si usted se equivoca y lo coloca como amperímetro en

un circuito por el cual circula una corriente elevada?. 18) ¿Qué le sucedería a un ohmetro si usted se equivoca y lo coloca como voltímetro en un

circuito bajo un voltaje elevado?.

61

PROBLEMAS - CAPITULO II.4

1) Calcule el flujo de electrones en un conductor de 2 mm de diámetro que transporta una

corriente de 1 A. Resp.: 2.0x1024 elect/(cm2·seg). 2) Demuestre de la ec. II.4-29 que las unidades de ρ son Ω·longitud. 3) Deduzca una expresión para la velocidad de arrastre en términos del voltaje aplicado a

un conductor de longitud L. Muestre mediante esta expresión que la velocidad de arrastre es del orden de 3 mm/seg.

4) Determine la magnitud del campo eléctrico necesario para que los electrones estén calientes a temperatura ambiente.

5) La densidad del cobre es de 8.96 gr/cm3 , si suponemos que por cada átomo de cobre se tiene un electrón libre, ¿cual es la concentración de electrones?. Medidas eléctricas indican que el tiempo de colisión electrónico en el cobre es del orden de 10-8 seg, calcule la conductividad eléctrica del cobre. Resps.: 8.4 x108 elect/m3 , ≈ 4 x107 S/m

6) Suponga que en un material conductor se tiene una densidad de electrones n cada uno de masa me. Si a este material se le aplica un campo eléctrico E los electrones adquirirán cantidad de movimiento para luego colisionar entre sí y con las moléculas del medio, estas colisiones se pueden considerar como el efecto de un medio resistivo cuya fricción en cada electrón es directamente proporcional a la velocidad u del electrón, es decir Ff=-Ku. A partir de estos datos plantee la ecuación de movimiento y redúzcala a una ecuación diferencial en la densidad de corriente, resuelvala o aplique la condición de estado estacionario y finalmente procediendo como se hizo en la teoría microscópica deduzca una expresión para la conductividad. Compare con la ecuación II.4-29 y determine una expresión para la constante de fricción en términos del tiempo de colisión o viceversa.

7) El Cobre posee una estructura formada por celdas cúbicas de 3.61 Å, de la Física del Estado Sólido se obtiene el resultado de que a temperatura ambiente en esta celda hay 1.1 x108 electrones libres. Si se hace pasar una corriente de 1 A por un hilo de cobre # 24, calcule el número de electrones por segundo en una sección del hilo, el número de electrones por unidad de longitud del hilo y la velocidad de arrastre de los electrones que pasan por el hilo. Resps.:

8) Demuestre que el coeficiente de aumento de la resistividad con la temperatura en los metales es del orden de 1/273.

9) Un cable coaxial consiste de un alambre de cobre sólido # 20 y de un cilindro hueco conductor muy delgado de 0.5” . Si el material de relleno posee una conductividad de 6x10-8 mho/m, calcule la conductancia por unidad de longitud.

10) Se tienen 500 gr de Cobre, determine la resistencia resultante cuando esta cantidad de Cobre, se moldea sin variación ni en la masa ni en la densidad en: a) un alambre de 2 mm de diámetro, b) una lámina de 2 mm de espesor, c) una barra de 100 cm de longitud Resps: 100 mΩ , 1.3 nΩ , 0.32 mΩ .

11) Determine la resistencia entre los conductores cilíndricos de un cable coaxial de radios interno R1 y externo R2 y longitud L al cual se le aplica una diferencia de potencial radial como se muestra en la figura. El material de relleno entre los conductores,

62

generalmente un buen aislante, posee una resistividad ρa. De este resultado calcule la corriente de fuga por unidad de longitud entre los conductores de radios 3 y 12 mm si el voltaje aplicado es de 32 V y el aislante es de Teflón.

12) Determine la resistencia a lo largo de un conductor cilíndrico hueco de radios interno r1, externo r2, longitud L y conductividad σ cuando se le aplica una diferencia de potencial longitudinal como se muestra en la figura.

13) Determine la resistencia de una barra rectangular hueca, lados internos a y b y externos D1 y D2 consistente de dos materiales de conductividades y longitudes σ1, L1 y σ2, L2respectivamente, colocados en serie y a los cuales se le aplica una diferencia de potencial a lo largo de la longitud de la barra de forma tal que la simetría del campo eléctrico es longitudinal.

14) Demuestre que la resistencia equivalente de un sistema en paralelo es menor que cualquiera de las resistencias del conjunto.

15) Se dispone de 2, 3 o 4 resistores con resistencias diferentes, determine como se pueden arreglar estos resistores cuando: i. El número de configuraciones serie-paralelo diferentes

ii. El número de configuraciones serie-paralelo con valores diferentes de resistencias equivalentes

63

Resps.: 2 y 4, 4 y 8, 9 y 40 configuraciones y resistencias equivalentes respectivamente. De estos resultados deduzca una formula o un método que le permita calcular el número de configuraciones diferentes para un número N cualquiera de resistores con resistencias diferentes. 16) Demuestre que la resistencia entre dos conductores esféricos de radios a y b separados a

una distancia r<a,b por un medio de conductividad eléctrica σ es:

= barLogR

22πσ

17) Demuestre que la resistencia por unidad de longitud entre dos hilos conductores de radios a y b separados a una distancia r de centro a centro por un medio de conductividad σ es:

−+= rbaLR 211

4πσ

18) En las figuras a y b se presentan dos sistemas de resistencias. Encuentre la resistencia equivalente de cada sistema.

19) Demuestre que la potencia transferida por una celda o batería es máxima cuando la resistencia del circuito externo es igual a la resistencia interna de la celda.

20) Demuestre que n celdas en serie siempre producen menos corriente que n celdas iguales en paralelo sobre un circuito externo.

21) Demuestre que la corriente máxima generada por, una matriz de nm celdas de fem de EV y resistencia interna Ri iguales a un circuito externo, ocurre cuando la resistencia externa es igual a la resistencia interna equivalente de las celdas, la corriente viene dada por la ec. II.4-61 y que si se conocen solamente el número total de celdas, el número de celdas de la matriz viene dado por:

ie

ei

RRNnR

RNm ==

22) Se dispone de 5 celdas con una fem de 1.1 V y 0.5 Ω de resistencia interna para enviar la máxima corriente posible por un cable telegráfico de 50 Ω. Calcule la corriente máxima y determine la configuración de las celdas. Resp. 647 mA. 3 conjuntos en serie, uno de una celda y dos de dos en paralelo.

23) Se arreglan celdas alcalinas de 1.5 V y 1 Ω de resistencia interna en una matriz nm. Determine el número mínimo de celdas necesarias para circular una corriente de 3 Amperios a través de una resistencia externa de 3 Ω y calcule el número de los elementos serie-paralelo de la matriz. Resps.: 48 celdas, 4 en paralelo y 12 en serie.

24) En el circuito de la figura determine la resistencia equivalente, la corriente general en el circuito y las corrientes y los voltajes a través de cada una de las resistencias.

64

25) En la tabla se proporcionan las características eléctricas de dos tipos de cable Arvidal16 A2 AGW # 1 y 2 para las líneas de transmisión de alto voltaje fabricados por Alcan Cable en Canadá. Este cable de 7 hilos es estructurado como se muestra en la figura. Suponga que la corriente eléctrica es constante y directa, a partir de estos datos determine: a) la resistividad y la densidad del cable, b) la caída de potencial en la línea de transmisión con cable # 1 desde una subestación eléctrica de 500 kW de potencia la cual suministra un fluido eléctrico de alto voltaje de 13.5 kV, hasta la ciudad distante a 30 km, c) si el alto voltaje es reducido a un bajo voltaje de 120/240 V por un transformador con una capacidad máxima de 25 kV, calcule la caída de potencial en los cables desde el transformador hasta la casa a 300 m con Arvidal # 2. Determine también en ambos casos el voltaje que llega a la ciudad y a la casa.

AGW # hilos Diámetro hilos

(mm) Masa Total/L (Kg/Km)

Resistencia/L (Ω/Km)

1 7 2.98 133.3 0.6752 2 7 2.65 105.7 0.8516

26) Los cables para la transmisión de señales eléctricas a grandes distancias como el telegráfico y el submarino presentan de vez en cuando una falla o ruptura en una posición X desconocida la cual se manifiesta como una resistencia finita entre los conductores o con tierra. Para detectar el sitio de la falla se aplica una fem E o potencial en un extremo con el polo positivo al conductor central y el negativo a tierra. El otro extremo del cable se cortocircuita con tierra. Suponga que el cable posee una resistencia R y una longitud L. a) Haga un diagrama del circuito, b) Si se miden las corrientes I0que entra en un extremo del cable y la corriente Is que sale en el otro extremo demuestre que la resistencia de la falla RF y su ubicación X vienen dadas por:

( )( )200

ssF II

IRIR−−

=E ( )

ss

IIIR

LX

−−

=0

E

¿Cuál es la corriente de fuga?. 27) Una manera alternativa de ubicar fallas en una línea de transmisión eléctrica de

resistencia total R tal como se presentó en el problema precedente, consiste en medir la resistencia del cable respecto a tierra en un extremo con el otro cortocircuitado con

16 Arvidal consiste de una aleación de Aluminio de alta resistencia tensil pero baja resistencia eléctrica.

65

tierra y luego se mide la resistencia del cable en el otro extremo con el primero cortocircuitado con tierra. Deduzca una formula que le permita encontrar la posición de la falla a partir de estas medidas. Ayuda: Busque la resistencia equivalente de cada uno de los diagramas del circuito.

28) Una tercera técnica para la ubicación de fallas en cables similar a la anterior consiste en aplicar un voltaje con respecto a tierra en un extremo con el otro en circuito abierto. Suponga que se tiene un cable telegráfico uniforme de 100 Kms de longitud entre dos estaciones A y B y se aplican 500 V respecto a tierra en la estación A mientras se miden 100 V respecto a tierra en la estación B en circuito abierto. Luego se aplican 300 V respecto a tierra en la estación B a fin de obtener los mismos 100 V en A en circuito abierto. Determine la posición de la falla si el cable posee una resistencia por unidad de longitud constante. Resp: 66.7 Km desde A.

29) Un electricista desea conectar un bombillo de 120V/100W nominal ubicado a 200 mts de la línea doméstica de electricidad de 120 V mediante un cable de dos hilos # 18 y del cual desconoce la resistividad. El electricista mide la resistencia de 10 m de cable y encuentra que tiene 0.2 Ω. Si se supone que la línea puede suministrar suficiente corriente para que el bombillo disipe la misma potencia nominal, determine cuál es el verdadero voltaje en el bombillo, la corriente en el circuito, la resistencia del bombillo, la potencia suministrada por la línea y la disipada en los cables y la resistividad del cable. Compare la resistencia del bombillo y la potencia que disipa con los esperados de los valores nominales. Resps: 116.6 V, 0.85 A, 137.2 Ω, 102.9 W, 2.94 W, 1.6x10-8 Ω·m; 144 Ω.

30) Dos celdas de fuerza electromotriz y resistencia interna de 2 V, 2 Ω y 6 V, 3 Ω se colocan en paralelo para alimentar una resistencia externa de 10 Ω. Determine la corriente en el circuito externo y por cada una de las celdas.

31) Un bombillo comercial posee un filamento de tungsteno con un coeficiente de 5.1x10-3 ºC-1 y de operación nominal 100W/120 V. Si el bombillo posee una resistencia de 10 Ωa 25 ºC calcule la temperatura de operación del bombillo a plena potencia. Resp: 2653 ºC.

32) Si el filamento de tungsteno del bombillo del problema anterior es de 3 cm de longitud y si suponemos que toda la potencia eléctrica se disipa en forma de radiación, determine termodinámicamente la temperatura del bombillo si la emisividad del tungsteno es de 0.31. Compare con el resultado del problema anterior y explique la causa de la diferencia. Resp.:

33) Un fusible de estaño AG3 es establecido en fundirse a 15 A, 250 V. Determine el tiempo en el cual se fundirá si suponemos que toda la potencia eléctrica se emplea para fundir el fusible. La densidad y calor latente del estaño son de 7.29 gr/cm3 y 14.2 cal/gr. Resp.:

34) Demuestre que en un circuito de N nodos existen sólo N-1 ecuaciones independientes. 35) Demuestre mediante la primera ley de Kirchoff y la ley de Ohm que cuando el puente

de wheatstone está balanceado (IG =0) se obtiene la ec. II.4-101.