Capítulo III

download Capítulo III

of 26

description

APUNTES DE INTRODUCCION A LA MECANICA CUANTICA CAP III

Transcript of Capítulo III

Captulo III: Postulados de la Mecnica CunticaEn el captulo II vimos una serie de resultados matemticos, en un espacio vectorial de dimensin n, y con frecuencia insistimos en que ellos tienen una conexin con cuestiones de inters fsico. En particular, insistimos sobre la importancia de los operadores hermicianos y en el hecho de que sus propiedades fundamentales los hacen muy buenos candidatos para representar variables fsicas susceptibles de medicin.En este captulo vamos a representar y discutir una serie de postulados que resumen prcticamente toda la mecnica cuntica. En una segunda parte del captulo presentaremos la solucin del problema del oscilador armnico y de la molcula de amonaco por mtodos de lgebra de operadores y tendremos oportunidad de apreciar la importancia central que tienen las relaciones de conmutacin entre operadores en la solucin de problemas desde este punto de vista.Usaremos libremente la generalizacin de muchos de los teoremas del captulo II a un espacio de dimensin infinita, generalizacin que no se demostrar.3.1Los postulados Postulado I.

Todo estado fsico posible de un sistema dado corresponde a un vector, que supondremos normalizado, en un espacio de Hilbert. Inversamente, todo vector en un espacio de Hilbert corresponde a un estado fsico posible del sistema. Esta correspondencia biunvoca slo admite una excepcin y es que si dos vectores normalizados slo difieren en un factor escalar de magnitud unitaria, ellos corresponden al mismo estado fsico. Si en un instante t, el estado del sistema corresponde al vector , decimos que el estado del sistema est completamente determinado por el vector en el sentido de que cualquier informacin que en principio pueda obtenerse sobre el sistema, en el instante t, es obtenible a partir de . Postulado II(a)

A cada cantidad fsica observable a, le corresponde en el espacio de Hilbert un operador lineal hermiciano A, que posee un conjunto completo de vectores propios ortonormales , ,con sus correspondientes valores propios a1, a2, , tal que:

(3.1)Inversamente, a cada operador lineal hermiciano en el espacio de Hilbert le corresponde un observable fsico.(b) Los nicos valores posible que pueden obtenerse en una medicin de a son los valores propios a1, a2, a3, Postulado III

Si el operador A, correspondiente a un observable, tiene vectores propios y valores propios ai, y se mide el observable fsico correspondiente en un sistema, siendo que inmediatamente antes de la medicin est en un estado , lo mximo que puede decirse sobre el resultado de esta medicin es que la probabilidad de que la medicin d el valor propio ak es: . Postulado IV.La medicin de un observable generalmente ocasiona una alteracin drstica e incontrolable del vector de estado del sistema; especficamente, no importa cul sea el vector de estado antes de la medicin, inmediatamente despus de la medicin coincidir con el vector propio correspondiente al valor propio obtenido en la medicin. (Caso de un espectro discreto no degenerado). Postulado VPara cada sistema fsico existe un operador lineal hermiciano H, llamado operador Hamiltoniano que tiene las siguientes propiedades:(a) El operador Hamiltoniano (H) corresponde al observable fsico energa total del sistema, por lo tanto H posee un conjunto total de vectores propios y su correspondiente conjunto de valores propios reales Ek, tales que:

(3.2)Y los valores Ek son los valores permitidos para la energa total del sistema.(b) El operador hamiltoniano determina la evolucin en tiempo del vector de estado del sistema , mediante la ecuacin diferencial:

(3.3)Siempre y cuando el sistema no sea perturbado, o lo que es lo mismo que est aislado. Postulado VI

Primera versin: Para una partcula confinada al eje x, los observables posicin y momentum se representan respectivamente por los operadores Xx y Px-. Cualquier observable que en mecnica clsica sea una funcin bien comportada de la posicin y del momentum, digamos f(x,px), se representar en mecnica cuntica mediante el operador f(X,Px):

(3,4)Segunda versin: Los operadores en mecnica cuntica son tales que sus conmutadores son proporcionales a los correspondientes corchetes de Poisson, de acuerdo con la siguiente prescripcin:

(3.5)Siendo {q,r} el corchete de Poisson para los observables q y r. Cualquier variable en el corchete de Poisson debe ser remplazada por el operador correspondiente.Los postulados I-IV ya han sido trabajados en el trayecto del curso, y han sido mencionados de modo muy similar al que se expone textualmente en los postulados.El postulado V es muy familiar ya que ambas partes (a) y (b) son la ecuacin de Schrdinger independiente, (a), y dependiente, (b), del tiempo.La primera versin del postulado VI es tambin familiar e implica la forma de hacer el paso de lo clsico a lo cuntico, aunque hay que tener en cuenta que esta frmula no es infalible siendo que hay casos en los que puede resultar cierta ambigedad al hacer el remplazo de las variables clsicas por los operadores cunticos, debido a la no conmutatividad de estos ltimos.La segunda versin de este postulado es ms conveniente cuando se trabaja con mtodos de lgebra de operadores. Veremos que los conmutadores juegan un papel central en dichos mtodos. 3.2.El oscilador armnico unidimensionalAplicaremos lo aprendido a un sistema particularmente importante en fsica: el oscilador armnico unidimensional.El ejemplo ms simple de tal sistema es aquel en el que una partcula de masa m se mueve en un potencial que depende slo de x y tiene la forma:

(3.6)Donde k es una constante real y positiva. La partcula es atraa hacia el plano x=0, (que es el valor mnimo de V(x), lo que corresponde a su punto de equilibrio) por una fuerza restauradora dada por

(3.7)Que es proporcional a la distancia x entre la partcula y el plano x = 0. Sabemos que en mecnica clsica la proyeccin sobre Ox del movimiento de la partcula es una oscilacin sinusoidal alrededor de x = 0, con frecuencia angular:

(3.8)Realmente un nmero grande de sistemas son gobernados (al menos aproximadamente) por la ecuacin del oscilador armnico. Siempre que se estudia el comportamiento de un sistema fsico en las vecindades de una posicin de equilibrio estable, se llega a ecuaciones que, en el lmite de pequeas oscilaciones, son las mismas del oscilador armnico. Por tanto, los resultados que se obtendrn son aplicables a una amplia gama de fenmenos fsicos de importancia.El oscilador armnico tambin hace parte del estudio del campo electromagntico. Sabemos que en una cavidad existe un nmero infinito de posibles ondas estacionarias (modos normales de la cavidad). El campo electromagntico puede ser expandido en trminos de estos modos y puede ser mostrado, utilizando las ecuaciones de Maxwell, que cada uno de los coeficientes de esta expansin (que describe el estado del campo en cada instante) obedece una ecuacin diferencial que es idntica a la del oscilador armnico cuya frecuencia angular es la asociada al modo normal. En otras palabras, el campo electromagntico es formalmente equivalente a un grupo de osciladores armnicos independientes. La cuantizacin del campo se obtiene cuantizando estos osciladores asociados con los diferentes modos normales de la cavidad. Recordemos adems que fue el estudio del comportamiento de estas oscilaciones en equilibrio trmico (radiacin de cuerpo negro) lo que, histricamente, llev a Planck a introducir una constante h que lleva su nombre.

El oscilador armnico desempea tambin un papel importante en la descripcin de un grupo de partculas idnticas que estn en el mismo estado mecanocuntico (bosones). Como veremos luego, esto es debido a que los niveles de energa de un O.A. son equidistantes, siendo que el espacio entre dos niveles adyacentes es igual a .Por tanto, el estudio detallado del O.A. en mecnica cuntica es muy importante desde el punto de vista fsico. Adems, vamos a detallar sistemas mecanocunticos para los que la ecuacin de Schrodinger pueda ser completamente resuelta. En particular vamos a ver cmo se resuelve una ecuacin de autovalores trabajando slo con operadores y relaciones de conmutacin. El O.A. en mecnica Clsica.La energa potencial V(x) se muestra en la figura 3.1. El movimiento de la partcula es gobernado por la ecuacin dinmica:

(3.9)la solucin general de esta ecuacin es de la forma:

(3.10)Donde est definido por (3.8) y las constantes de integracin xM y son determinadas por las condiciones iniciales del movimiento.

Figura 3.1. Energa potencial V(x) de un oscilador armnico uni-dimensional. La amplitud del movimiento clsico de energa E es xM.Por tanto, la partcula oscila sinusoidalmente alrededor del punto 0, con amplitud xM y frecuencia angular .La energa cintica de la partcula es:

(3.11)Donde p = m(dx/dt) es el momentum de la partcula. La energa total es:

(3.12)Substituyendo la solucin (3.10) en (3.12), se encuentra:

(3.14)Por tanto la energa de la partcula es independiente del tiempo (lo que es una propiedad general de los sistemas conservativos) y puede tomar slo un valor positivo (o cero). Propiedades generales del hamiltoniano mecanocunticoEn mecnica cuntica, las cantidades clsicas x y p son sustituidas por los observables X y P, que satisfacen

(3.15)Con ello, el operador del sistema queda descrito por

(3.16)Ya que H es independiente del tiempo (sistema conservativo), el estudio mecanocuntico del O.A. se reduce a la solucin de los valores propios de la ecuacin:

(3.17)

Que, con (3.16) se escribe, en trminos de la representacin , como:

(3.18)Valores propios del hamiltonianoVamos a introducir una notacin conveniente para el desarrollo a seguir. Como primer paso, es conveniente reescribir H buscando dejarlo adimensional, lo que hara posible aplicarlo directamente a cualquier sistema de unidades.Como segundo paso, se analiza el conmutador [H,P] y [H,X]. Ya que estos operadores no conmutan, sabemos por el teorema 4 que no comparten un conjunto de vectores propios, lo que complica el desarrollo del proceso, exigiendo encontrar vectores propios para cada uno de los tres operadores. Por lo anterior es conveniente dejar a H en trminos de un nico operador. Para conseguir los dos pasos anteriores procedemos de la siguiente forma:Los operadores X y P obviamente tienen dimensiones. Lo primero que se har es reescribirlos en trminos de operadores adimensionales, as:

(3.19a)

(3.19b)Con estos nuevos operadores la relacin de conmutacin da como resultado

(3.20)Con lo anterior el hamiltoniano puede ser escrito como

(3.21)Con

(3.21)Por tanto, vamos a buscar la solucin de la ecuacin de autovalores para la ecuacin:

(3.22)

Donde el operador y los valores propios v son adimensionales. El subndice v deja claro que el vector puede pertenecer a un conjunto discreto o continuo, y el superndice i nos permite distinguir entre los diferentes vectores propios ortogonales asociados con un mismo valor propio v.

Ahora, si y fueran nmeros y no operadores podramos escribir la suma de sus cuadrados como (tal como aparece en 3.21) como el producto de dos trminos lineales: . De hecho, ya que y son operadores que no conmutan, no se puede hacer esa igualdad. Sin embrago, vamos a mostrar que la introduccin de operadores proporcionales a y a nos permite simplificar considerablemente nuestra bsqueda de los valores y vectores propios de .Elegimos los siguientes operadores:

(3.23a)

(3.23b)Estas ecuaciones pueden ser invertidas para dar:

(3.24)

(3.25)a y a+ no son hermticos, pues uno es el adjunto del otro. El conmutador de a y a+ es fcil de calcular:

Es decir,

(3.26)Finalmente, vamos a derivar algunas frmulas simples que sern tiles. Empecemos por calculas a+a:

(3.27)Si se compara esta expresin con la del hamiltoniano (3.21), se tiene que:

(3.28)De forma similar:

(3.29)Vamos a introducir ahora un nuevo operador, definido por:

(3.30)Este operador es hermtico ya que

(3.31)Y, de acuerdo con (3.28),

(3.32)

Por tanto, los vectores propios de son los vectores propios de y viceversa.Con lo anterior, el problema pasa a ser la resolucin de la ecuacin de valores propios:

(3.36)Llevando (3.36) a (3.32):

(3.37)Y Llevando (3.37) a (3.21)

o

(3.38)Con una serie de consideraciones sobre los valores propios de N (n es positivo o cero, n es entero), se concluye que n es un entero positivo o cero, por lo cual,

Con lo que se tiene:

(3.39)

Con n =0,1,2,.Por tanto en la mecnica cuntica la energa del oscilador armnico est cuantizada y no puede tomar un valor arbitrario. Otro detalle de inters del resultado (3.39) es que el valor ms bajo no es cero, es .Vectores propios del hamiltonianoNuestro estudio del oscilador armnico se basar en el uso de los operadores a, a+ y N. Para ello iniciemos calculando el conmutador de N con a y con a+:

De donde:

(3.34)

(3.35)Con los dos resultados anteriores podemos obtener de forma inmediata:

(3.36)

(3.37)

Consideremos ahora los vectores y , ahora:

(3.38)

(3.39)

Lo anterior nos demuestra que el vector es un vector propio del operador N, con valor propio (j-1), y que el vector tambin es un vector propio de N, con valor propio (j+1). Continuando con este desarrollo, veamos qu sucede cuando se opera de nuevo con los vectores a y a+. Para tal fin utilizaremos el hecho de que N=a+a y aa+-a+a=I. Tomaremos como punto de partida las ecuaciones (3.38) y (3.39): (desarrollo que a su vez nos servir para comprobar que los valores propios de N son enteros positivos, o cero).

Y as podramos continuar con potencias mayores de a y a+, no obstante el desarrollo anterior constituye una prueba completa por induccin.

Como resultado de lo anterior, tenemos que si empezamos con un vector propio de N, como y usamos repetidamente el operador a, podemos generar una serie de vectores propios con valores propios cada vez menores, as:

Siendo n un nmero entero. Pero es claro que este procedimiento no puede continuarse en forma indefinida, pues para n lo suficientemente grande podramos llegar a tener (j-1)