Suma directa y propiedad universal en espacios vectoriales

Departamento de MatemticasUniversidad de Guadalajara

Sep-2013

ndice general

1. Espacios vectoriales de dimensin nita 21.1. Nociones preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Propiedades de los conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2. Antecedentes de Algebra moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3. Espacios y subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. La suma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Propiedad Universal de la suma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

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Captulo 1

Espacios vectoriales de dimensinnita

El propsito de estas notas es auxiliarnos a desglosar y discernir algunos tpicos conectadoscon los espacios y subespacios vectoriales, discutidos por el profesor Emilio Lluis Puebla en sutexto ".Algebra Lineal, Algebra Multilineal y K-Teora Algebraica Clsica". Dentro de ese anlisis,explora la suma directa y la propiedad universal enfocadas al estudio de los espacios vectoriales dedimensin nita.

1.1. Nociones preliminares

Para movernos en el escenario de los espacios vectoriales, con un enfoque diferente al estudiadoen el algebra lineal elemental, ocupamos recordar y aanzar algunas herramientas de conjuntos y dealgebra moderna bsica. Estas nociones nos ayudarn a discernir y justicar los objetos que actanen los espacios y subespacios vectoriales.

1.1.1. Propiedades de los conjuntos

En este apartado presentaremos slo aquellas caractersticas de los conjuntos que impactanen las estructuras de los espacios y subespacios vectoriales. Supondremos que se comprenden lasnociones bsicas de conjuntos.Al estudiar colecciones de objetos o ideas, raramente se conciben o expresan de manera aislada,

dado que consciente o inconscientemente los asociamos, comparamos, clasicamos o evaluamos. Elanlisis de las conexiones e interacciones que existen entre los diversos elementos de un conjunto enreferencia al mismo, o respecto a otro conjunto, se realiza mediante el apareamiento de sus elementos,de acuerdo con algn criterio o condicin, esto es nos interesan las relaciones, as como las cosasrelacionadas. Las relaciones son cruciales al examinar los sistemas y estructuras matemticos.Iniciamos con una propiedad que justica la generacin de sub-estructuras.

Axioma 1.1.1 (de Especicacin) Si A es un conjunto y Q(x) es una condicin impuestaa los elementos del conjunto, entonces existe un subconjunto B de A cuyos elementos sonexactamente aquellos elementos x 2 A para los cuales se cumple la condicin Q(x).

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Si A y B son conjuntos, cuyo producto cartesiano es AB, entonces si existe una condicinQ(x) que aplica a los elementos del producto cartesiano, el axioma de especicacin determina quehay un subconjunto < de A B que consiste en todos los pares ordenados x = (a; b) para loscuales la condicin se cumple Q(x) : x 2 < . Esta descripcin expresa una relacin especca entrelos elementos a y b la cual es comn indicar como a

Figura 1.1.2: Funcin o mapeo

B asignado al elemento a 2 A se denota por F (a) y se le llama imagen de a bajo la funcin F .Asimismo, la coleccin de todas las imgenes, esto es el conjunto ' (A) = fF (a) j a 2 Ag ; donde' (A) B, se le denomina el conjunto recorrido o conjunto de imgenes de la funcin.Otra relacin binaria, esencial en los sistemas matemticos y emparentada con las funciones, es

la operacin binaria en cuya nocin se generalizan las operaciones tpicas y se explica como sigue

Denicin 4 Una operacin binaria, denotada por ~ , es una funcin denida en un conjuntoS en la forma siguiente

~ : S S ! Sesto es asigna a cada pareja ordenada (m;n) 2 SS un elemento nico designado como m~n 2 S:

Alrededor del concepto de funcin se gestan las aplicaciones o transformaciones lineales y losoperadores.

1.1.2. Antecedentes de Algebra moderna

Las estructuras bsicas del lgebra abstracta, explcita o mplicitamente, intervienen en laformacin de otras estructuras. En los espacios vectoriales son tiles los conceptos de mduloy campo. Vamos a explorar las nociones de estos objetos, puesto que se ocuparn en los temassiguientes.Dado que la estructura de grupo sustenta las nociones de anillo, mdulo y campo, revisemos su

concepto.

Denicin 5 Un conjunto no vaco de elementos G se dice que forma un grupo si en G estdenida una operacin binaria que denotamos por ~ tal que se satisfacen las leyes:

1. Si a; b 2 G entonces a~ b 2 G (Ley de cerradura).2. Si a; b; c 2 G implica que a~ (b~ c) = (a~ b)~ c (Ley asociativa).3. Existe un elemento e 2 G tal que a~ e = e~ a = a para todo a 2 G (Elemento identidadde G).

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4. Para todo a 2 G existe un elemento a1 2 G tal que a~ a1 = a1 ~ a = e (Existenciade inversos en G).

Una clase de grupos muy especiales, que fundamentan los objetos que se manejarn, son losgrupos conmutativos.

Denicin 6 Un grupo G se denomina abeliano o conmutativo si para cualesquier a; b 2 G setiene: a~ b = b~ a.

Cuando se ensamblan dos operaciones binarias en un conjunto se forma una trada. Con talarreglo algebraico surge una estructura llamada anillo, veamos su caracterizacin.

Denicin 7 Un conjunto no vaco R se dice que es un anillo si en R estn denidas dosoperaciones: una llamada suma, denotada por + ; y la otra llamada multiplicacin, denotada por . Tales que para cualesquiera elementos a; b; c 2 R se satisfacen las leyes:

1. a+ b 2 R:2. a+ b = b+ a:

3. a+ (b+ c) = (a+ b) + c:

4. Existe un elemento 0 2 R tal que a+ 0 = a para toda a 2 R .5. Para toda a 2 R existe un (a) 2 R tal que a+ (a) = 0.6. a b 2 R:7. a (b c) = (a b) c.8. a (b+ c) = a b+ a c, as como (a+ b) c = a c+ b c.

d

Denicin 8 Un campo F es un anillo conmutativo con divisin

a

1.1.3. Espacios y subespacios vectoriales

Iniciaremos examinando las ideas bsicas de los espacios vectoriales.Un ente que permear en todos los objetos y estructuras de los espacios vectoriales es el campo

de escalares, llamado simplemente campo cuando no exista algn motivo de confusin. El conceptoescalar es la denominacin usada para referirse a los nmeros de modo genrico, dado que se empleandiferentes clases de nmeros, como el conjunto de todos los nmeros reales o el conjunto de todoslos nmeros complejos.

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Denicin 9 Un espacio vectorial V sobre un campo de escalares K consiste en un conjuntono vaco de elementos llamados vectores con dos operaciones binarias : Una nombrada adicin

+ : V V ! Vtal que para cada pareja de vectores (x; y) 2 V V existe un nico elemento x+ y 2 V; llamadala suma de x e y, esto es

(x; y) 7! x+ yY la otra denominada multiplicacin escalar

: K V ! Vtal que para todo a 2 K y cada vector x 2 V existe un nico elemento ax 2 V; llamado elproducto del escalar a y el vector x, esto es

(a; x) 7! (a; x) = axde modo que los siguientes postulados se cumplen:

vs1 Para todo x; y 2 V se cumple x+ y = y + x.vs2 Para todo x; y; z 2 V se cumple (x+ y) + z = x+ (y + z).vs3 Existe un elemento en V denotado por 0 tal que x+ 0 = x para cada x 2 V .vs4 Para cada x 2 V existe un elemento denotado como x tal que x+ (x) = 0:vs5 Para cada x 2 V se cumple 1x = x:vs6 Para cada escalar a 2 K y cada par de vectores x; y 2 V se cumple a (x+ y) = ax+ ay:vs7 Para cada par de escalares a; b 2 K y cada vector x 2 V se cumple (a+ b)x = ax+ bx.vs8 Para cada par de escalares a; b 2 K y cada vector x 2 V se cumple (ab)x = a (bx) :Cuando se examinan los subconjuntos de los espacios vectoriales, encontramos que algunos de

estos subconjuntos poseen la misma estructura que el conjunto del espacio vectorial bajo con-sideracin, es decir satisfacen los postulados enunciados anteriormente sobre el mismo campo deescalares, a estos objetos se les llama subespacios vectoriales. del espacio vectorial considerado.Otro modo equivalente de describir estos objetos es como sigue:

Denicin 10 Sea V un espacio vectorial sobre el campo K. Un subconjunto W de V es unsubespacio vectorial de V sobre el campo K si se cumplen las siguientes condiciones: 1) Elvector 0 2 V pertenece tambin a W ; 2) si los vectores u; v 2W entonces el vector u+ v 2W; 3) si a 2 K y v 2W entonces av 2W:Un atributo esencial de los espacios vectoriales es su dimensin, la cual est asociada con la

cardinalidad de un conjunto importante: la base del espacio vectorial.

Denicin 11 Sea V un espacio vectorial. Una base de V es un conjunto de vectores linealmenteindependiente de V que genera al espacio V .

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Un espacio vectorial puede tener varias bases. El nmero de vectores de una base cualquiera deun espacio vectorial V determina la dimensin del espacio vectorial y se denota como dim(V ).Por convencin, el espacio vectorial cero f0g tiene dimensin cero, esto es dim(f0g) = 0:

Antes de abordar otros temas, vamos a resolver el problema 1.11 y el problema 2.11 del textodel prof. Emilio. ya que sus resultados los usa para justicar ulteriores propiedades.

Problema 1.1.2 Sea K un campo y V un espacio vectorial sobre K. Considere K como unespacio vectorial sobre s mismo. Pruebe que dado un vector v 2 V; existe una funcin lineal nicah : K ! V tal que h (1) = v: (Esta funcin est dada por h (a) = av; con a 2 K)Solucin 1.1.3 Asumamos que K es un campo y tambin un espacio vectorial sobre s mismo.Sea V un espacio vectorial sobre el campo K. Como K es un espacio vectorial, sus elementosson vectores y cualquiera de ellos puede generar el espacio K, en vista de esto sea = fkg unabase para K: Luego, para cada vector a 2 K , hay un escalar nico b 2 K tal que a = bk: Ahoraen el espacio vectorial V; sea v 2 V un vector arbitrario, como el espacio vectorial V es sobreel campo K no hay ambiguedad si denimos la funcin

h (a) = av

puesto que cada a es un vector y escalar nico. Ahora sean a;ba 2 K vectores arbitrarios, luegoa+ ba 2 K aplicando la funcin tenemos

h (a+ ba) = (a+ ba) v = av + bav = h (a) + h (ba)Por otro lado sea el vector a 2 K con el escalar ! 2 K entonces el vector !a 2 K; al aplicarla funcin se obtiene

h (!a) = !av = ! (av) = !h (a)

Por tanto tenemos la existencia de una funcin lineal. Ms an, si para los vectores a; c 2 Kocurriese que

h (a) = av; y que h (c) = av; ) h (a) h (c) = av av = 0; ) h (a) = h (c) :Esto demuestra que la funcin lineal es nica. Adems por las propiedades de las aplicacioneslineales y de campo

h (a) = av; ) ah (1) = av; ) h (1) = vque es lo que se deseaba demostrar.

a

Problema 1.1.4 Sean v1; ; vn vectores de un espacio vectorial V sobre un campo K . Sedice que estos vectores son linealmente dependientes si existen escalares 1; ; n 2 K , no todosiguales a cero, tales que

1v1 + + nvn =nXi=1

ivi = 0:

Tambin se dice que un conjunto de vectores es linealmente independiente si no es linealmentedependiente. Probar que un conjunto nito de vectores de V es linealmente dependiente si, y slosi, algn vector del conjunto es una combinacin lineal de los restantes.

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Solucin 1.1.5 Parte ) : Sea V = fv1; ; vng ; n 2 un conjunto nito de vectores lineal-mente dependientes sobre un campo K. En consecuencia, existen escalares c1; ; cn 2 K , notodos iguales a cero tales que

c1v1 + + cnvn = 0dado que algunos de los coecientes deben ser distintos de cero, asumamos sin prdida de generalidadque c1 6= 0; por lo cual podemos despejar v1 que se obtiene como la combinacin lineal

v1 = c2c1v2 c3

c1v3 : : : cn

c1vn

en vista de esto,el vector v1 depende de los dems vectores del conjunto.

Parte ( : Sea v1 2 V un vector que depende de los otros vectores del conjunto. Por tal motivo,v1 se obtiene como la combinacin lineal

v1 = c2v2 + + cnvnesto implica que

v1 + c2v2 + + cnvn = 0ya que el coeciente de v1 es 1 por ello hay al menos un coeciente diferente de cero. Portanto el conjunto V es linealmente dependiente.

Entre las ideas esenciales a utilizar en los espacios vectoriales estan los homomorsmos deespacios vectoriales. Un homomorsmo es una funcin que preserva las operaciones de la estructuraalgebraica donde acta.

Denicin 12 Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo K. Una funcin T : V !W se denomina homomorsmo o bien transformacin lineal de V en W; si paracualesquiera vectores x; y 2 V y cualesquier escalares a 2 K se satisfacen los siguientes requisitos:1) T (x+ y) = T (x) + T (y) ; 2) T (ax) = aT (x).

Denicin 13 Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo K. Sea T : V ! W unatransformacin lineal. Se dice que: 1) La aplicacin lineal T es un monomorsmo si T esinyectiva; 2) La aplicacin lineal T es un epimorsmo si T es sobreyectiva; 3) La aplicacinlineal T es un isomorsmo si T es biyectiva.

Denicin 14 Si V es un espacio vectorial sobre el campo K; un operador lineal sobre V esuna transformacin lineal del espacio vectorial V en el espacio vectorial V .

Los espacios vectoriales ms accesibles de manejar, y para aplicar las transformaciones lineales,son los espacios vectoriales de dimensin nita.

Denicin 15 Un espacio vectorial V es llamado de dimensin nita si tiene una base queconsiste de un nmero nito de vectores.

ad

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1.2. La suma directa

La nocin de suma directa se expone entre otros en el libro de Halmos pag 28, en el libro deArtin pag 102, en el libro de Lang pag 36, en el libro de Greub pags 24 y 56. Vamos a parfrasearestas ideas.En esta informacin se indica que hay un mecanismo de construccin de los espacios vectoriales

va los subespacios, de manera anloga al mtodo que trata con la independencia lineal de losvectores y la generacin del espacio vectorial donde residen.

Denicin 16 Sean U y V dos espacios vectoriales sobre el mismo campo K , su sumadirecta externa es el espacio vectorial W , denotado como U V; cuyos elementos son todos lospares ordenados < u; v >2 U V donde u 2 U; v 2 V; y que tiene asignadas las operacioneslineales usuales, denidas para cualesquiera vectores < u1; v1 >;< u2; v2 >2W = U V; as comoescalares 1; 2 2 K por la expresin

1 < u1; v1 > +2 < u2; v2 > = < 1u1 + 2u2; 1v1 + 2v2 >

Observemos que el conjunto de todos los vectores que viven en W = UV , de la forma < u; 0 >;es un subespacio vectorial de W: Para estos elementos, existe la correspondencia < u; 0 > u lacual muestra que este subespacio es isomorfo con el espacio vectorial U: De modo similar, sucedepara todos los vectores de la forma < 0; v >2 W que forman un subespacio de W y tienenla correspondencia < 0; v > v; esto maniesta que ese subespacio es isomorfo con el espaciovectorial V . Bajo este punto de vista, U W y V W .Ahora surge la interrogante Cul es la relacin de los espacios vectoriales U y V considerados

como subespacios del espacio vectorial W? la denicin siguiente responde a esta cuestin.

Denicin 17 Sean U y V subespacios vectoriales del espacio vectorial W: Si todo elementow 2 W puede formarse de modo nico como la suma de un elemento u 2 U con un elementov 2 V; esto es w = u + v; de manera que U y V generan al espacio W; lo cual se denotaW = U V; siempre y cuando U \V = ; , entonces se dice que W es la suma directa internade U y V:

Avanzando un paso ms en la generalizacin de estos objetos consideremos que un espaciovectorial V posee los subespacios vectoriales W1; :::;Wn: Tambin consideremos que los vectoresv 2 V se pueden escribir como la suma

v = w1 + + wn; donde wi 2Wi; 1 i n

Entonces el conjunto de todos estos vectores se denomina la suma de los subespacios o el conjuntogenerado por los subespacios, lo cual es denotado como

nXi=1

Wi =W1 + +Wn = fv 2 V j v = w1 + + wn; con wi 2Wi; 1 i ng :

Ahora bien, si W1; :::;Wn son subespacios vectoriales de un espacio vectorial V; se llamar aeste espacio vectorial la suma directa interna de los subespacios W1; :::;Wn denotada por

V =W1 Wn

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si V es el conjunto generado por los subespacios

V =nXi=1

Wi

y ocurre que

Wj \nXi 6=j

Wi = f0g ; para todo j; 1 j n:

1.3. Propiedad Universal de la suma directa

Una idea de un elemento universal se da en el libro de MacLane & Birkho en pags 134 y 148,en el texto de Lang pag 37, en el libro de Bourbaki pag 450.Antes de proseguir, conviene aclarar las nociones de diagrama conmutativo y de la funcin

inclusin, las cuales aparecen en la discusin de la propiedad universal.

Diagrama conmutativo

Figura 1.3.1: Diagrama conmutativo

En la teora de categoras, un diagrama conmutativo es un diagrama de objetos conocidoscomo vrtices, asociados a morsmos designados por echas o bordes (en nuestro anlisis los mor-smos son funciones), tal que todo trayecto dirigido dentro del diagrama, con los mismos vrticesiniciales y terminales, llevan al mismo resultado por composicin. Por ejemplo, la gura (1.3.1)muestra que h f = k g con un diagrama conmutativo cuadrado.

Funcin de inclusin

Este concepto se puede consultar en el lgebra de MacLane &Birkho pag 5.La funcin de inclusin recibe tambin los nombres de mapeo de inclusin,o funcin de

insercin, o de inyeccin cannica. El profesor MacLane hace una aclaracin de esta terminologa,indica que la inclusin es una relacin y da origen a la funcin de insercin.Sean A;B un par de conjuntos tal que A B (esta es la relacin de inclusin). Entonces en

la inclusin, la funcin de insercin : A! B es la regla que enva cada elemento x 2 A hacia

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Figura 1.3.2: Mapeo de inclusin

el mismo elemento x considerado como elemento del conjunto B . Esto es

: A! B; x 7! (x) = x

Esta funcin y otras funciones inyectivas anlogas de varias subestructuras son llamadas algunasveces "Inclusiones o Inyecciones naturales".Dado cualquier morsmo h entre los objetos V y W; si existe un mapeo de inclusin dentro

de su dominio, digamos la insercin i : V ! W , entonces se puede formar la restriccin hi delmorsmo h:

Figura 1.3.3: Propiedad universal

Propiedad Universal

La propiedad universal de la suma directa se relaciona con las transformaciones lineales de losespacios vectoriales, veamos su descripcin.Sea

'j : Aj ! B

una familia de homomorsmos de espacios vectoriales.

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Proposicin 1.3.1 Si 'j : Vj ! V son las transformaciones lineales de espacios vectoriales ylas funciones j : Vj ! Vi son las inclusiones con i 2 I = f1; : : : ; ng ; entonces existe unatransformacin lineal nica ' : ni=1Vi ! V tal que ' j = 'j con j 2 I:

Esta propiedad indica la equivalencia de las transformaciones 'j (Vj) = V = ' j y se puederepresentar mediante el diagrama conmutativo de la gura (1.3.3).

Un resultado importante que emplea la propiedad universal y la suma directa es la funcincannica:Sea la suma directa Kn = nj=1Kj con cada Kj = K; donde K es un campo jo.

Admitamos que K es un espacio vectorial sobre s mismo. Sea adems i : Ki ! nj=1Kj lainclusin natural, dada por (a) = (0; : : : ; a; : : : ; 0) donde a est en la posicin i: Por elproblema 1.11 y como i es lineal, la inclusin queda determinada por su valor en 1 , estoes, (1) = (0; : : : ; 1; : : : ; 0) = ei: Ahora observemos que cada u 2 nj=1Kj puede escribirse enforma nica como u = a1e1 + a2e2 + + anen con aj 2 Kj : Denotemos con g la funcing : f1; 2; : : : ; ng ! nj=1Kj ; esto es i 7! ei dada por g (i) = ei . Aqu g es simplemente unafuncin.w

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Bibliografa

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