Capitulo VI - Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 2

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

6.1 INTRODUCCIÓN

La gran mayoría de los fenómenos físicos y químicos dentro del campo de la

Ingeniería, pueden ser modelados mediante las ecuaciones diferenciales ordinarias

(EDO), por lo cual se hace necesario estudiar las técnicas más apropiadas que nos

permitan resolver estos modelos que por lo general no contienen soluciones analíticas.

En cualquier proceso natural, las variables incluidas y sus velocidades de cambio se

relacionan entre sí mediante los principios científicos que gobiernan el proceso. El

resultado de expresar en símbolos matemáticos estas relaciones, a menudo es una

ecuación diferencial.

6.2 CAPACIDADES:

Al finalizar esta unidad, a partir de la réplica de un fenómeno físico-químico o un

conjunto de datos experimentales de laboratorio, el estudiante estará en la capacidad

de identificar y determinar la ecuación diferencial y aplicar los métodos de numéricos

para hallar su solución utilizando el Excel y MatLab considerando el PVI y PVF

Contenidos Conceptuales Contenidos Procedimentales

Contenidos Actitudinales

Métodos de Euler.- Métodos de Taylor y Runge-Kutta

Problemas con valores iniciales y de frontera EDO de orden superior Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior

Determina las características de cada uno de los métodos.

Aplica los métodos numéricos a la resolución de las EDO con PVI y PVF.

Observa con detenimiento y minuciosidad la aplicación de los métodos.

Valora la importancia del método numérico en los diseños.

Propone soluciones alternas a las de clase.

6.3 ECUACIÓN DIFERENCIAL

Se denomina ecuación diferencial aquella ecuación que contiene una variable

dependiente y sus derivadas con respecto a una o más variables independientes.

6.4 ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA

Es aquella ecuación que presenta una sola variable independiente, por lo tanto sus

derivadas son totales:

… (6.1)

Donde: x es la variable independiente e y es la variable independiente.

6.5 ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL

Es aquella en la que existen dos o más variables independientes, por ello sus

derivadas serán parciales. Por ejemplo la ecuación de transferencia de calor en estado

no estacionario:

Orden de una Ecuación Diferencial: El orden viene dado por la derivada de mayor

orden que aparece en una ecuación, por ejemplo:

La ecuación es de tercer orden por la presencia de la derivada de tercer orden.

Grado de una Ecuación Diferencial: Es el grado algebraico de la derivada de mayor

orden que se encuentra en la ecuación, por ejemplo:

La ecuación es de segundo grado ya que la derivada de quinto orden (el más alto)

está elevada al cuadrado.

6.6 EDO DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO

Son aquellas que se denotan de la siguiente forma:

…(6.2)

6.5.1 Formulación del Problema de Valor Inicial (PVI)

La EDO general de primer orden:

…(6.3)

El PVI por resolver numéricamente queda formulado como sigue:

a) Una ecuación diferencial de primer orden (6.3).

b) El valor de y en un punto conocido x0 (condición final).

c) El valor de xf donde se quiere conocer el valor de y (yf).

En el leguaje matemático lo dicho se traduce a:

…(6.4)

Formulado el problema de valor inicial, a continuación se describe una serie de

técnicas numéricas para resolverlo.

6.5.2 Métodos de Solución

A. MÉTODO DE TAYLOR

Se relaciona con la expansión de la serie de Taylor a partir de un punto (x0,y0)

…(6.5)

Si se toman tres términos en la expansión de F (x1), entonces:

…(6.6)

Como:

Entonces la ecuación (6.6) tomaría la forma:

…(6.7)

Ahora cabe pensar que se puede usar la fórmula de iteración basada en la

ecuación (6.7), para lo cual se divide el intervalo que va de x0 a xf en n subintervalos

de ancho h:

…(6.8)

Para cualquiera de estos puntos se cumple:

…(6.9)

Para obtener y2, y3,…, yn que mejoraría la exactitud se propone la siguiente

fórmula:

…(6.10)

Ejemplo de Aplicación 6.1

Resuelva:

Solución :

Con :

Entonces:

Se empieza el proceso iterativo:

Y así sucesivamente:

Entonces se tiene como aproximación:

Comparando con diversos valores para n:

Tabla 15: Método de Taylor a diferentes intervalos de “n”

n y (2)

5 -0,326418

10 -0,332043

20 -0,333046

30 -0,333210

Se observa que a medida que los intervalos crecen el valor converge a -0,333333 que

es el valor analítico del PVI anterior.

Figura 51: Interfaz Gráfica del método de Taylor para n = 20.

B. MÉTODOS DE RUNGE KUTTA (RK)

Estos métodos son ampliamente usados en la resolución de ecuaciones

diferenciales ordinarias, con los cuales se pueden resolver un gran número de

problemas de aplicación. Su deducción matemática la encontramos en cualquier texto

de las referencias citadas al final del capítulo, entonces nos enfocamos al algoritmo en

su resolución para método RK de diverso orden.

B.1 MÉTODO DE RUNGE KUTTA DE TERCER ORDEN (RK - 3)

El algoritmo está dado por:

…(6.11)

Donde:

…(6.12)


Resuelva:

Solución :

Con :

Entonces:

Se empieza el proceso iterativo y se tiene en resumen:


Tabla 16: Método de RK - 3 a diferentes intervalos de “n”

n y (3)

5 27,5725

10 27,7058

20 27,7273

30 27,7298

Se observa que a medida que los intervalos crecen el valor converge a 27,7308 que es

el valor analítico del PVI anterior.

Figura 52: Interfaz Gráfica del método RK - 3 para n = 20.

B.2 MÉTODO DE RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN (RK - 4)

El algoritmo está dado por:

…(6.13)

Donde:

…(6.14)


Resuelva:

Solución :

Con :

Entonces:

Se empieza el proceso iterativo y se tiene en resumen:


Tabla 17: Método de RK - 4 a diferentes intervalos de “n”

n y ( )

5 0,999644

10 0,999991

15 0,999999

Se observa que a medida que los intervalos crecen el valor converge a 1 que es el

valor analítico del PVI anterior.

Figura 53: Interfaz Gráfica del método RK - 4 para n = 15.

B.2 MÉTODO PREDICTOR CORRECTOR PARA RK - 4

Existen muchos correctores y predictores en la bibliografía para adecuar el

método RK–4, como ejemplo utilizaremos como inicializador la ecuación (6.13) y

como:

Predictor:

…(6.15)

Corrector:

…(6.16)


Resuelva:

Solución :

Con :

Entonces:

De forma similar tenemos:

Para el siguiente término calculamos el predictor y el corrector:

Y sucesivamente se calcula de forma similar el último término:


Tabla 18: Método de RK – 4 con predictor - corrector a diferentes intervalos de “n”

n y (2)

5 1,26805

10 1,29454

20 1,29417

Se observa que a medida que los intervalos crecen el valor converge a 1,29415 que es

el valor analítico del PVI anterior.

Figura 54: Interfaz Gráfica del método RK – 4 con predictor - corrector para n = 20.

6.7 EDO DE ORDEN SUPERIOR Y SISTEMAS DE EDO

Son aquellas que se denotan de la siguiente forma:

…(6.17)

6.6.1 Formulación del Problema de Valor Inicial (PVI)

La EDO general de orden superior:

…(6.18)

El PVI por resolver numéricamente queda formulado como sigue:

…(6.20)

6.6.2 Método de Solución

Para resolver la expresión (6.20) no se desarrollan nuevos métodos, se formula

un sistema de n ecuaciones diferenciales simultáneas de primer orden cada una. Esto

se logra de la siguiente manera:

Se efectúa los siguientes cambios de variable:

Se deriva miembro a miembro la primera y se sustituye en la segunda, con lo

que se obtiene:

Al derivar la segunda y sustituir en la tercera resulta:

El procedimiento se repite hasta llegar al sistema de n ecuaciones de primer

orden siguiente:

…(6.21)


Resuelva la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:

Cuando ; si

Solución :

Haciendo los respectivos cambios de variable:

La ecuación diferencial se transforma en:

Se obtiene el siguiente PVI:

El cual resolveremos con el método RK – 4 con n = 15; las ecuaciones se modifican

para un sistema de 2 EDO:

;

Primera iteración:

Con :

Sucesivamente se realiza un nuevo cálculo, en resumen se pueden ver los resultados

en la siguiente interfaz gráfica:

Figura 55: Interfaz Gráfica del método RK – 4 para la resolución de un sistema de

EDO cuando n = 15.

Obtenemos como resultados:

6.8 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EN INGENIERÍA QUÍMICA

Problema de Aplicación 6.7.1

Cátedras: Fundamentos de Ingeniería Química, Flujo de Fluidos

(Problema Propuesto 7.4 – Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería - A. Nieves)

Se hace llegar un gasto de alimentación de 7 L / s al tanque de la figura, cuando la

altura del fluido en él es de 5 m. Treinta minutos después, éste gasto es interrumpido

por falla de la bomba, que se repara y arranca una hora después. Determine el gasto

necesario para que el nivel se recupere y se mantenga en 5 m, así como el tiempo

necesario para alcanzar ese nivel (régimen permanente). El flujo de salida es

ininterrumpidamente.

Solución :

Este problema se divide en una serie de 3 bloques, para su resolución se analizará

cada bloque con una EDO respectiva:

Primer Bloque: Antes de la falla de la bomba

Realizamos el balance de masa en las unidades respectivas del SI, para un proceso

sin generación ni consumo tenemos:

Considerando al fluido como incompresible (La densidad es constante durante todo el

proceso).

…(1)

Analizando la relación del volumen de acumulación en el tanque:

Tenemos el volumen diferencial:

…(2)

Por semejanza de triángulos relacionamos:

…(3)

Reemplazando (3) en (2), dividiendo en dt tenemos:

…(4)

Reemplazando (4) en (1), ordenando se tiene el siguiente PVI; donde calcularemos la

altura del fluido en los 30 minutos (1800 s) antes de que la bomba falle:

Eligiendo el método de Taylor para su respectiva solución con n = 20 tenemos:

Segundo Bloque: Cuando ya se interrumpió el gasto de alimentación

Realizamos el balance de masa para un proceso sin generación ni consumo tenemos:

Procediendo similarmente al inciso anterior, pero ahora nuestro PVI toma los valores

iniciales del inciso anterior y un tiempo de 1 hora (3600 s) para el cálculo de la altura

del fluido dentro del tanque:

Eligiendo el método de Taylor para su respectiva solución con n = 60, tenemos:

Tercero Bloque: Cuando se inicia el flujo de alimentación para alcanzar el estado

permanente.

Calculando el gasto de alimentación (G): Para alcanzar el estado estacionario y que se

mantenga a = 5 m, entonces realizamos el balance de materia en estado permanente

(Acumulación = 0):

Ahora que ya sabemos el flujo de alimentación podemos calcular el tiempo para

alcanzar el régimen permanente mediante un balance de materia:

…(5)

La expresión (5), y el valor inicial calculamos las alturas a diferentes

tiempos con el método de Taylor y n = 30, mediante observación podemos fijar cuando

comienza el régimen permanente:

Tabla 19: Resultados del Problema 6.1

t (s) a (m) t (s) a (m)

0 2,913 100000 4,980

100 2,969 110000 4,986

1000 3,172 115000 4,988

5000 3,721 117000 4,989

10000 4,090 118000 4,989

50000 4,861 120000 4,990

Como se observa que a partir 117000 s la variación en la altura es mínima y se puede

considerar el inicio del régimen permanente:

El algoritmo del problema anterior es presentado en un archivo m. en MatLab:

clc,clear,syms x y ,format long disp(' Problema de Aplicación 6.1 ') disp(' -------------------------- ') f=(7-3.457*sqrt(y))/(250*pi*y^2); df=simplify(diff(f,sym('x'))+diff(f,sym('y'))*f); xo=0;yo=5;in=1800;h=(in-xo)/20;I=1; while I<=20 A=single(yo+h*subs(f,{x,y},{xo,yo})); B=single(subs(df,{x,y},{xo,yo})/2); yo=A+h^2*B; xo=xo+h;I=I+1; end disp(' ') disp(' Solución:' ) fprintf(' El valor aproximado es: %f\n',yo)


Cátedras: Fundamentos de Ingeniería Química, Flujo de Fluidos


Un tanque perfectamente agitado contiene 400 L de salmuera en la cual están

disueltos 10 kg de sal. Si se hace llegar de una salmuera que contiene 2 kg de

sal en cada 5 L y por el fondo se sacan 8 L / min de salmuera.

Determine la concentración de sal en el tanque a distinto tiempos.

Solución :

Sea es la masa de sal en el tanque en el instante t, podemos determinar la

concentración en el tanque dividiendo entre el volumen de fluido en el tanque en el

instante t.

La diferencia entre la razón del flujo de entrada y la razón del flujo de salida es

, de modo que el volumen de fluido en el tanque después de t minutos es

, que representa a un vaciado.

Realizando un balance de materia para la sal:

Entonces nuestro PVI resulta para un tiempo de :

Utilizando el método RK – 3 con n = 20 se obtiene:

La concentración que sale del tanque es:

Formulando una serie de valores de t para el cálculo de la concentración se tiene:

Tabla 20: Resultados del Problema 6.2

t

(min)

x(t) kg sal C(t) kg

sal/L

2 10,3848 0,0269

10 11,6046 0,0352

20 12,3193 0,0474

30 11,9384 0,0628

40 10,1111 0,0843

50 6,07267 0,1215

Se debe tener en cuenta que el tanque quedará vació en:


clc,clear,syms x y ,format long disp(' Problema de Aplicación 6.2 ') disp(' -------------------------- ') f=0.4-8*y/(400-7*x); xo=0;yo=10;in=5;h=(in-xo)/20;I=1; while I<=20; k1=single(subs(f,{x,y},{xo,yo})); k2=single(subs(f,{x,y},{xo+h/2,yo+h*k1/2})); k3=single(subs(f,{x,y},{xo+h,yo+2*h*k2-h*k1})); yo=single(yo+h*(k1+4*k2+k3)/6); xo=xo+h;I=I+1; end disp(' ') disp(' Solución:' ) fprintf(' El valor aproximado es: %f\n',yo)


Cátedras: Transferencia de Calor, Fenómenos de Transporte

Una placa delgada a 374 K se coloca repentinamente en una habitación que está a

298 K, en la cual se enfría por transferencia de calor natural tanto por convección

como por radiación. Se dan las siguientes condiciones físicas:

Densidad: Calor específico:

Volumen: Coef. Convectivo:

Área Superficial: Emisividad:

Cte. De Stefan-Boltzman:

Encuentre la temperatura para el intervalo de tiempo de

Solución :

El gráfico de los mecanismos de calor que intervienen en el problema es el siguiente:

Entonces formulamos el Balance de Energía a la placa en estado no estacionario y sin

generación:

Denominando como Tplaca a la temperatura de la placa en el instante t y reemplazando

las ecuaciones de cada mecanismo se obtiene:

Reemplazando los datos del problema se obtiene el siguiente PVI:

Resolviendo con el método de RK – 4 con n = 10; el resumen de los resultados se

presentan en la siguiente interfaz gráfica:

Figura 56: Resultados para el problema 6.3.

Como se puede observar a medida que pasa el tiempo la temperatura de la placa

disminuye, lo que verifica el proceso de enfriamiento.


clc,clear,syms x y ,format long disp(' Problema de Aplicación 6.3 ') disp(' -------------------------- ') f=8.609-0.0278*y-4.2*10^(-11)*y^4; xo=0;yo=374;in=180;h=(in-xo)/10;I=1; disp(' ') disp(' Iteración(i) y(i) ') disp(' ===================================') while I<=10; k1=single(subs(f,{x,y},{xo,yo})); k2=single(subs(f,{x,y},{xo+h/2,yo+h*k1/2})); k3=single(subs(f,{x,y},{xo+h/2,yo+h*k2/2})); k4=single(subs(f,{x,y},{xo+h,yo+h*k3})); yo=yo+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; xo=xo+h;disp([I yo]);I=I+1; end disp(' ') disp(' Solución:' ) fprintf(' El valor aproximado es: %f\n',yo)


Cátedras: Fundamentos de Ingeniería Química

(Ejemplo 11.2-3 – Principios Básicos de los Procesos Químicos-Felder, Rousseau)

Se carga una unidad de destilación intermitente con 100 moles de una mezcla 60%

mol de benceno (B) y 40% mol de tolueno (T). En cualquier instante, el vapor que

abandona el equipo puede considerarse como en equilibrio con el líquido remanente.

La fracción molar de benceno en el vapor de salida (y), y la fracción molar de benceno

en el líquido remanente (x), se vinculan a través de la expresión:

Obtener una representación gráfica de x con las moles del líquido que queda.

Solución :

En virtud de hay 2 componentes en este sistema sin reacción, podremos escribir 2

balances de materia independientes- uno respecto del número total de moles y otro

sobre el número de moles de benceno:

Balance global:

…(1)

Balance parcial para el benceno (B):

…(2)

A partir de la expresión de equilibrio:

…(3)

De (1), se obtiene el despeje de V:

…(4)

Sustituyendo (4) y (3) en la ecuación (2):

…(5)

Ya que hay una sola variable independiente, t, en el sistema podemos tratar a dt como

si fuera una variable algebraica y se cancelara, luego llevar a todos los términos en x a

un lado de la ecuación.

Entonces el PVI propuesto es:


clc,clear,syms x y ,format long disp(' Problema de Aplicación 6.4 ') disp(' -------------------------- ') f=(1+1.6*x)*y/(1.6*x*(1-x)); xo=0.6;yo=100;in=10^-2;h=(in-xo)/10;it=1; X=zeros(5,1);Y=X;X(1)=xo;Y(1)=yo;J=2; disp(' Iteración(i) y(i) ') disp(' ===================================') while J<=4 k1=single(subs(f,{x,y},{xo,yo})); k2=single(subs(f,{x,y},{xo+h/2,yo+h*k1/2})); k3=single(subs(f,{x,y},{xo+h/2,yo+h*k2/2})); k4=single(subs(f,{x,y},{xo+h,yo+h*k3})); yo=yo+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; xo=xo+h; disp([it yo]);X(J)=xo;Y(J)=yo;J=J+1;;it=1+it; end;J=1; for I=4:10 A=single(subs(f,{x,y},{X(4),Y(4)})); B=single(subs(f,{x,y},{X(3),Y(3)})); C=single(subs(f,{x,y},{X(2),Y(2)})); D=single(subs(f,{x,y},{X(1),Y(1)})); Y(5)=Y(4)+(h/24)*(55*A-59*B+37*C-9*D);X(5)=X(4)+h; E=single(subs(f,{x,y},{X(5),Y(5)})); F=single(subs(f,{x,y},{X(4),Y(4)})); G=single(subs(f,{x,y},{X(3),Y(3)})); Y(5)=Y(4)+h/24*(9*E+19*F-5*G+single(subs(f,{x,y},{X(2),Y(2)}))); X=X(J+1:5);Y=Y(J+1:5);I=I+1;disp([it single(Y(4))]);it=1+it; end

Así el líquido que queda resulta cada vez más pobre en benceno; la última gota que

queda es tolueno casi puro. Para los resultados se utilizó el método RK -4 con

predictor - corrector, n = 10. Nótese que se puso como y no , ya que éste

último valor causa indeterminación (denominador) cuando evaluamos la derivada en el

método.


Cátedras: Fisicoquímica


Considere el conjunto de reacciones reversibles:

Asuma que hay un mol de A solamente al inicio, y tome como las moles de A,

B y C presentes respectivamente. Como la reacción se verifica a volumen constante,

son proporcionales a las concentraciones. Sean las constantes de

reacción a derecha e izquierda respectivamente, de la ecuación 1; igualmente

aplicables a la 2. La velocidad de desaparición neta para A está dada por:

Y para B:

Determine transcurridos 50 minutos del inicio de las reacciones mediante:

Solución :

Se necesita una ecuación adicional para formular el sistema de 3 EDO con 3

incógnitas, ésta es el balance de materia para C:

Reemplazando los datos respectivos del problema en las ecuaciones diferenciales

propuestas:

; ;

Formulando el PVI para este sistema de EDO:

El sistema es resuelto con el método RK – 4 para sistemas de 3 EDO, con n = 5:


Se tiene como resultados:


clc,clear,syms x y z w ,format long disp(' Problema de Aplicación 6.5 ') disp(' -------------------------- ') f1=-0.1*y+0.01*z;f2=-0.1*z+0.1*y+0.009*w; f3=0.09*z-0.009*w;xo=0;yo=1;zo=0;wo=0;in=50;h=(in-xo)/5;I=1; disp(' ') disp(' Iteración(i) y(i) z(i) w(i)') disp(' =============================================') while I<=5 k1=single(subs(f1,{x,y,z,w},{xo,yo,zo,wo})); c1=single(subs(f2,{x,y,z,w},{xo,yo,zo,wo})); d1=single(subs(f3,{x,y,z,w},{xo,yo,zo,wo})); k2=single(subs(f1,{x,y,z,w},{xo+h/2,yo+h*k1/2,zo+h*c1/2,wo+h*d1/2})); c2=single(subs(f2,{x,y,z,w},{xo+h/2,yo+h*k1/2,zo+h*c1/2,wo+h*d1/2})); d2=single(subs(f3,{x,y,z,w},{xo+h/2,yo+h*k1/2,zo+h*c1/2,wo+h*d1/2})); k3=single(subs(f1,{x,y,z,w},{xo+h/2,yo+h*k2/2,zo+h*c2/2,wo+h*d2/2})); c3=single(subs(f2,{x,y,z,w},{xo+h/2,yo+h*k2/2,zo+h*c2/2,wo+h*d2/2})); d3=single(subs(f3,{x,y,z,w},{xo+h/2,yo+h*k2/2,zo+h*c2/2,wo+h*d2/2})); k4=single(subs(f1,{x,y,z,w},{xo+h,yo+h*k3,zo+h*c3,wo+h*d3})); c4=single(subs(f2,{x,y,z,w},{xo+h,yo+h*k3,zo+h*c3,wo+h*d3})); d4=single(subs(f3,{x,y,z,w},{xo+h,yo+h*k3,zo+h*c3,wo+h*d3})); yo=yo+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;zo=zo+h*(c1+2*c2+2*c3+c4)/6; wo=wo+h*(d1+2*d2+2*d3+d4)/6;xo=xo+h;disp([I yo zo wo]);I=I+1; end disp(' ') disp(' Solución:' ) fprintf(' El valor aproximado de y(i)es: %f\n',yo) fprintf(' El valor aproximado de z(i)es: %f\n',zo) fprintf(' El valor aproximado de w(i)es: %f\n',wo)


Cátedras: Ingeniería de las Reacciones Químicas


Si en el diagrama de la figura, se toma una corriente de recirculación de 150 L / min a

la salida del tanque 3 y se lleva al tanque 2, en tanto el volumen se conserva

constante en cada tanque e igual a 1000 L, determine la concentración en cada tanque

10 minutos después de iniciado el proceso.

Solución :

Formulando los respectivos balances de materia para cada tanque sin reacción

química en estado transitorio:

Formulando el respectivo PVI:

El sistema es resuelto con el método RK – 4 para sistemas de 3 EDO, con n = 10:


Se tiene como resultados:


clc,clear,syms x y z w ,format long disp(' Problema de Aplicación 6.6 ') disp(' -------------------------- ') f1=15-0.3*y;f2=0.3*y+0.15*w-0.45*z; f3=0.45*z-0.45*w;xo=0;yo=30;zo=30;wo=30;in=10;h=(in-xo)/10;I=1; disp(' ') disp(' Iteración(i) y(i) z(i) w(i)') disp(' =============================================') while I<=10 k1=single(subs(f1,{x,y,z,w},{xo,yo,zo,wo})); c1=single(subs(f2,{x,y,z,w},{xo,yo,zo,wo})); d1=single(subs(f3,{x,y,z,w},{xo,yo,zo,wo})); k2=single(subs(f1,{x,y,z,w},{xo+h/2,yo+h*k1/2,zo+h*c1/2,wo+h*d1/2})); c2=single(subs(f2,{x,y,z,w},{xo+h/2,yo+h*k1/2,zo+h*c1/2,wo+h*d1/2})); d2=single(subs(f3,{x,y,z,w},{xo+h/2,yo+h*k1/2,zo+h*c1/2,wo+h*d1/2})); k3=single(subs(f1,{x,y,z,w},{xo+h/2,yo+h*k2/2,zo+h*c2/2,wo+h*d2/2})); c3=single(subs(f2,{x,y,z,w},{xo+h/2,yo+h*k2/2,zo+h*c2/2,wo+h*d2/2})); d3=single(subs(f3,{x,y,z,w},{xo+h/2,yo+h*k2/2,zo+h*c2/2,wo+h*d2/2})); k4=single(subs(f1,{x,y,z,w},{xo+h,yo+h*k3,zo+h*c3,wo+h*d3})); c4=single(subs(f2,{x,y,z,w},{xo+h,yo+h*k3,zo+h*c3,wo+h*d3})); d4=single(subs(f3,{x,y,z,w},{xo+h,yo+h*k3,zo+h*c3,wo+h*d3})); yo=yo+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;zo=zo+h*(c1+2*c2+2*c3+c4)/6; wo=wo+h*(d1+2*d2+2*d3+d4)/6;xo=xo+h;disp([I yo zo wo]);I=I+1; end disp(' ') disp(' Solución:' ) fprintf(' El valor aproximado de y(i)es: %f\n',yo) fprintf(' El valor aproximado de z(i)es: %f\n',zo) fprintf(' El valor aproximado de w(i)es: %f\n',wo)

6.9 EJERCICIOS PROPUESTOS

6.9.1 Resuelva el problema del valor inicial dado por y’ =y/t-(y/t)2, 1≤t≤2 con y(1)=1. Y

compare el resultado con la solución exacta y=t/(1+log t).

6.9.2 Pase la ecuación diferencial ordinaria

A un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias simultaneas de primer orden.

6.9.3 Una de las ecuaciones diferenciales ordinarias mas empleadas en la matemática física es la ecuación de Bessel

x2y´´ + xy´ + (n2-x2)y = 0donde n puede tener cualquier valor, pero generalmente toma un valor entero.

Escriba esta ecuación como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

de primer orden

6.10 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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