CAPITULO 1ficus.pntic.mec.es/jfeb0020/matematicas123/manuale… · Web viewEJERCICIOS DE INTEGRALES...

Mathematica UAG [email protected] 1

CAPITULO 1......................................................................................................................................................4

ASPECTOS GENERALES DE MATHEMATICA........................................................................................4 ¿QUE ES MATHEMATICA?..........................................................................................................................4 MATHEMATICA SE PUEDE USAR COMO:...............................................................................................5 DIÁLOGO CON MATHEMATICA..................................................................................................................7 COMO INICIAR UNA SESIÓN CON MATHEMATICA......................................................................................7 COMANDOS ELEMENTALES EN MATHEMATICA.........................................................................................8 COMANDOS DE ALGUNAS FUNCIONES MATEMÁTICAS MÁS COMUNES.....................................................8 NÚMEROS COMPLEJOS...............................................................................................................................9 CONSTANTES.............................................................................................................................................9 USO DE PARÉNTESIS Y LLAVES.................................................................................................................9 EJECUCIÓN DE OPERACIONES..................................................................................................................10 MANEJO DE RESULTADOS.......................................................................................................................12 DESPLIEGUE DE RESULTADOS CON PRECISIÓN ARBITRARIA...................................................................13 EXACTITUD DE RESULTADOS..................................................................................................................14 INTERRUPCIONES.....................................................................................................................................16

CAPITULO II...................................................................................................................................................18

ALGEBRA........................................................................................................................................................18

INTRODUCCIÓN.......................................................................................................................................18 OPERACIONES FUNDAMENTALES............................................................................................................18 FÓRMULAS..............................................................................................................................................18 REPRESENTACIÓN DE FÓRMULAS............................................................................................................21 ASIGNACIÓN DE VALORES NUMÉRICOS A UNA VARIABLE.....................................................................21 EVALUACIÓN DE UNA EXPRESIÓN CON RESPECTO A UN VALOR NUMÉRICO...........................................22 HACIENDO REEMPLAZOS.........................................................................................................................22 TRANSFORMACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS...............................................................................23 ( LO QUE ES LO MISMO FACTORIZACIÓN Y RACIONALIZACIÓN DE DICHAS EXPRESIONES).....................23 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS...................................................................................25 OTROS COMANDOS BÁSICOS PARA MANEJO DEL ÁLGEBRA...................................................................28 MANEJO DE COMANDOS AVANZADOS.....................................................................................................31 CONTROLANDO EL DESPLIEGUE DE EXPRESIONES LARGAS.....................................................................33

CAPITULO III.................................................................................................................................................35

ALGEBRA LINEAL........................................................................................................................................35

MATRICES Y VECTORES..........................................................................................................................35 CONSTRUCCIÓN DE MATRICES. COMANDOS PRINCIPALES......................................................................35 COMO HACER TABLAS DE DATOS MEDIANTE LOS COMANDOS: TABLE, PRODUCT, SUM........................37 TABLAS DE MATRICES.............................................................................................................................39 ALGUNOS TIPOS DE MATRICES ESPECIALES LAS PODEMOS CONSTRUIR AGREGANDO ALGUNA OPCIÓN ESPECIAL AL COMANDO TABLE.......................................................................................................................40 MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR.............................................................................40 SUMA DE MATRICES................................................................................................................................41 MULTIPLICACIÓN DE MATRICES DE DIFERENTE TAMAÑO.......................................................................42 MULTIPLICACIÓN DE MATRICES QUE NO CUMPLEN CON LAS REGLAS DEL ÁLGEBRA MATRICIAL MATHEMATICA MANDA UN MENSAJE DE ERROR.......................................................................................43 COMANDOS IMPORTANTES DE OPERACIONES CON MATRICES.................................................................43 INVERSE[M]. OBTENEMOS LA MATRIZ INVERSA DE M............................................................................43 DET[M]. CALCULA EL DETERMINANTE DE LA MATRIX M.......................................................................43 TRANSPOSE[M]. OBTENEMOS LA MATRIZ TRANSPUESTA........................................................................43 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ............................................................................................................46 MATRIZ TRANSPUESTA............................................................................................................................47 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES...........................................................................48


SOLVE[{EC1, EC2,..ECN}, {X, Y,..VN}]. RESUELVE LA ECUACIÓN, MOSTRANDO LA SOLUCIÓN PARA LAS DIFERENTES INCÓGNITAS.........................................................................................................................48 EL SISTEMA TIENE SOLUCIÓN ÚNICA......................................................................................................48 EL SISTEMA TIENE INFINIDAD DE SOLUCIONES......................................................................................48 EL SISTEMA NO TIENE SOLUCIÓN............................................................................................................50

CAPITULO IV..................................................................................................................................................52

CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL.....................................................................................................52

COMANDOS PRINCIPALES DE DERIVADAS Y LIMITES...........................................................................53 EVALUACIÓN DE UNA DERIVADA............................................................................................................55 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR...........................................................................................................55 DERIVACIÓN IMPLÍCITA..........................................................................................................................57 INTEGRALES INDEFINIDAS.......................................................................................................................58 COMANDOS PRINCIPALES DE INTEGRACIÓN............................................................................................58 INTEGRALES QUE MATHEMATICA PUEDE Y NO PUEDE RESOLVER..........................................................61 INTEGRALES DEFINIDAS.(O INTEGRAL DE RIEMANN)..............................................................................62 CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS.....................................................................................................63 INTEGRALES DEFINIDAS AUXILIÁNDONOS CON GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES......................................65 INTEGRALES QUE SE RESUELVEN POR SUSTITUCIÓN...............................................................................68 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS............................................................................................................69 INTEGRALES SUSTITUCIONES PARA RACIONALIZACIÓN..........................................................................70

CAPITULO V...................................................................................................................................................72

GRÁFICOS EN DOS DIMENSIONES..........................................................................................................72

COMANDOS BÁSICOS...............................................................................................................................72 RECUPERAR UN GRÁFICO Y REDEFINIRLO CON NUEVAS OPCIONES MEDIANTE EL COMANDO “ SHOW ”

77SHOW[GRAPHICSARRAY ] AGRUPA EN FORMAS DIFERENTES A LOS GRÁFICOS.............................................80 GRÁFICO DE UNA LISTA DATOS...............................................................................................................82

GRÁFICOS EN TRES DIMENSIONES........................................................................................................84

GRÁFICOS PARAMETRICOS.....................................................................................................................88

COMANDO ESPECIAL DE SONIDO..................................................................................................93

CAPITULO VI..................................................................................................................................................95

PAQUETES ESPECIALES DE MATHEMATICA.....................................................................................95

<<GRAPHICS`GRAPHICS` (EJECUTA EL PROGRAMA DE GRÁFICOS VARIOS)...................................................95<<GRAPHICS`GRAPHICS3D` SINTAXIS PARA EJECUTAR EL PACKAGES(PROGRAMA ESPECIAL DE GRÁFICOS EN TRES DIMENSIONES)...................................................................................................................................97 <<GRAPHICS`DESCRIPTIVESTATISTICS` ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.....................................................98

ANEXO 1. EJERCIOS PROPUESTOS.......................................................................................................100

EJERCICIOS DE ALGEBRA..............................................................................................................100 REDUCCIÓN DE TÉRMINOS....................................................................................................................100 VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES COMPUESTAS...............................................................................100 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS........................................................................................................101 SIMPLIFICAR..........................................................................................................................................101 DIVISIÓN...............................................................................................................................................102 PRODUCTOS...........................................................................................................................................105 FACTORIZACIÓN....................................................................................................................................105


SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES..........................................................................................................106

EJERCICIOS DE GRAFICAS.............................................................................................................108

EJERCICIOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS DIRECTAS.......................................................111

INTEGRALES POR CAMBIO DE VARIABLE...............................................................................................112 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS..........................................................................................................113 INTEGRALES POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA...............................................................................115 INTEGRACIÓN POR PARTES....................................................................................................................117 INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES.........................................................................................119 INTEGRAL DEFINIDA. GRAFIQUE LA FUNCIÓN Y OBTENGA SU INTEGRAL DEFINIDA .............................121

BIBLIOGRAFIA BASICA............................................................................................................................122


CAPITULO 1

ASPECTOS GENERALES DE MATHEMATICA

¿Que es mathematica?

MATHEMATICA es un software de computo que emplea algoritmos muy potentes

para la resolución de problemas en diversas ramas de las Matemáticas.


Diseñado por la empresa WOLFRAM RESEARCH, INC. Stephen Wolfram es

presidente y fundador de WRI. La compañía que desarrollo MATHEMATICA. Wolfram es el principal arquitecto del sistema, escribió gran parte del código

básico del núcleo "KERNEL" de MATHEMATICA así como textos y manuales.

Wolfram nació en Londres en 1959, él fue educado en Eton, Oxford y Caltech,

donde recibió su grado de Doctor en Teoría Física en Caltech en 1979.

Wolfram Después de dos años en la Facultad de Caltech, se traslada al Instituto de estudios

Avanzados en Princeton en el año de 1980, mudándose después a la Universidad de Illinois.

Desempeñándose como Director del Centro de Investigación de Estudios Complejos y profesor de

Física, Matemáticas y Ciencias Computacionales.

Wolfram trabajó como investigador en muchas áreas de la Física, Matemáticas y ciencias

Computacionales

Siendo sus primeros trabajos (1976-1980) sobre alta energía física, Teoría Cuántica y Cosmología.

En recientes años Wolfram fue líder en la investigación y desarrollo de nuevos campos de sistemas

complejos. Como investigador de estos sistemas se enfocó en el estudio de sistemas que sus

componentes fueran más simples. Empezando Wolfram en 1982 como pionero en la aplicación de

la computación en el conocimiento de la Física y Matemática, modelos Biológicos así como en

trabajos sobre el Caos y la Aleatoriedad.

En 1984 Wolfram inventó un rápido lenguaje de sistemas basado en células autónomas y en 1985

co-inventor de un nuevo uso de la computación en Fluidos Dinámicos. En 1986 funda el Journal

Complex Systems.

Muchos de los trabajos de Wolfram se relacionan con el desarrollo de técnicas computacionales

nuevas siendo en 1981 cuando desarrolló el SMP sistema computacional de álgebra. Mas

recientemente trabajó en el desarrollo de algoritmos de alto nivel, Wolfram a sido consultor para

empresas como: Los Alamos National Lab., Bell labs y Thinking Machines Corp. Recibió el

reconocimiento MacArthur Prize Fellowship en 1981.

Colaboradores principales de esta obra:

Matthew Cook. Sonido y varios funciones del sistema.

Arcady Borkovsky. Funcionamiento y manipulación de textos.

Igor Riving. Gráficos en tercera dimensión, lenguaje de ecuaciones diferenciales.

Kelly Roach. Lenguaje de integración y simplificación trigonométrica.


La primera versión de MATHEMATICA fue anunciada en junio 23 de 1988 y fue

aclamada y bien recibida como uno de los avances mayores de tecnología

matemática, siendo considerado como uno de los mejores diseños de sistemas de

computo.

Bruce K. Smith. Características del lenguaje así como pruebas.

Hon Wah Tam. Ecuaciones diferenciales numéricas.

Tom Wickham-Jones. Gráficas.

Davis Witthof. Mensajes del sistema, funciones estadísticas.

Wolfram Stephen. Diseño total del sistema e implementación de varias características.

Daniel R. Grayson. Profesor de Matemáticas en la Universidad de Illinois, trabajó en la

Universidad de Columbia. Escribió gran parte de MATHEMATICA. Precisión aritmética.

Resolución de ecuaciones. Manejo de matrices. Series de potencias. Funciones elípticas. Escribió el

Precompilador para la extensión del lenguaje de programación C usado en el desarrollo de

MATHEMATICA.

Rornam E. Maeder. Es el responsable de Integración simbólica, factorización de polinomios y

otras operaciones polinomiales. Maeder recibió su grado de Doctor en ETH en Zurich en 1986.

Siendo su tesis en teoría matemática en lenguajes de programación. Maeder trabajó: Computación

del álgebra y sus aplicaciones en la educación. Organizó laboratorios de MATHEMATICA.

Henry Cejtin. Escribió la versión final de muchas de las principales rutinas de MATHEMATICA

y ayudó en la racionalización de varios aspectos en el desarrollo de software. Obtuvo su grado de

Doctor en Matemáticas en Northwestern University en 1985. Participó en los principales proyectos

de desarrollo de software. Responsable de la operación y desarrollo de UNIX-like en la Mark

Williams Company.

Theodore Gray. Adaptó MATHEMATICA para Macintosh y otras computadoras. Gray se graduó

en Teoría Química en Berkeley en 1985. Es autor de Macintosh Systems para la enseñanza de

álgebra lineal.

Stheper M. Omohundro. Escribió gráficos tridimensionales para MATHEMATICA Omohundro

recibió su grado de doctor en Físico Matemático en Berkeley en 1985. Trabajó en: Algoritmos de

alto nivel. Co-diseñador de la extensión de LISP usado en la conexión de la maquina computadora.

Es profesor en la Universidad de Illinois en Ciencias de la Computación. Enseñanza de geometría.

Gráficos y Robótica.


MATHEMATICA esta disponible para diferentes sistemas de computo incluyendo

PCs que manejan DOS, Microsoft Windows, Mackintosh, SPARC workstations y

otras como UNIX.

El núcleo o parte principal " KERNEL " DE MATHEMATICA versión 2.2.1 esta

constituido aproximadamente por un tercio de millón de líneas de código fuente.

Los requerimientos básicos para instalar el sistema MATHEMATICA los

proporciona la copia de MATHEMATICA los detalles difieren de un sistema a otro

ya que existen versiones para Macintosh y Next computer, Microsoft Windows,

VMS (Unix). Sin embargo la estructura y cálculos es la misma en todos los

sistemas.

El caso que nos ocupa se centra en la versión 2.2.1 de MATHEMATICA bajo

ambiente WINDOWS. 3.1.1. o versiones actualizadas.

Una vez cargado a la computadora podremos ejecutar el programa de

MATHEMATICA.1

1 Nota importante: Es aconsejable que el usuario posea conocimientos básicos de Matemáticas y manejo de

computadora pues de otra forma se perdería la esencia del estudio de esta materia.

David Ballman. Es responsable de muchos aspectos del sistema de interface externa para

MATHEMATICA participó en el desarrollo de: Proyectos de desarrollo de hardware y software.

Primero en Minesota y posteriormente en Illinois.

Jerry Keiper. Trabajó en la evaluación especial de funciones : Gama, Zeta, BesselJ etc. Integral

definida. Series. Raíces de ecuaciones. Obtuvo el grado de Maestro en matemáticas en la

investigación de función Zeta de Riemann. Construyó tubos orgánicos. En las actualizaciones y

nuevas versiones siguen incorporándose personal.


MATHEMATICA en la mayoría de los sistemas esta dividido en dos partes. El

KERNEL, el cual interactua en el alto rendimiento de los cálculos y la entrada y

salida con los cuales maneja la interacción con el usuario. El KERNEL trabaja de

la misma manera en todas las computadoras que corren MATHEMATICA. Siendo

optimizado el manejo de entrada y salida por las características particulares del

computador y sus interfaces.

En la mayoría de las computadoras, la forma de trabajar de MATHEMATICA esta

soportada en una sofisticada interacción con documentos llamados NOTEBOOKS.

Estos consisten en arreglos ordenados y separados de datos, gráficos y cálculos

matemáticos dentro de corchetes en un mismo bloque que aparecen en la parte

derecha del monitor. Con NOTEBOOKS se pueden crear diferentes tipos de

presentaciones así como materiales pedagógicos.

MATHEMATICA se puede usar como:

Una calculadora numérica, con expresiones simbólicas o algebraicas donde

introducimos por medio de una sintaxis propia del lenguaje matemático

cálculos e instrucciones y MATHEMATICA las resuelve y ordena mostrando

el o los resultados de dichos cálculos.

Un sistema de visualización para funciones y datos.

Un lenguaje de alto nivel para programación en el cual se pueden crear

programas sin importar el tamaño, modelos de análisis de datos y medio

ambiente, Una plataforma de software en la cual podemos correr programas

según el grado de conocimiento y estructurar aplicaciones especificas.

Un sistema para representar los conocimientos en el campo técnico y

científico.


Un lenguaje de control, para programas y procesos externos.

Una plataforma de programas en la cual uno puede ejecutar y correr paquetes

(packages) estructurados para aplicaciones especificas.

Una forma de crear documentos interactivos en los que podemos relacionar

textos, gráficos y sonidos mediante fórmulas y expresiones.

MATHEMATICA Esta dividido en tres principales aspectos:

NUMÉRICOSIMBÓLICOGRÁFICO.

Una forma de usar MATHEMATICA es como una calculadora de bolsillo, se teclea

y el programa inmediatamente lo resuelve. MATHEMATICA es muy diferente a

una calculadora tradicional, ya que puede hacer operaciones numéricas, manejar

símbolos, lenguaje algebraico y graficar. MATHEMATICA es un lenguaje, se

pueden escribir programas trabajando no solo con lenguaje numérico, también

podemos utilizar símbolos y objetos gráficos. El programa permite crear textos

ordinarios y relacionarlos con gráficos. Se puede usar MATHEMATICA como

lenguaje para representar conocimientos matemáticos.

Diálogo con mathematica.

El diálogo con el programa es bastante sencillo. Todo se basa en el estilo

pregunta-respuesta, es decir, bajo el formato de entrada "In[n]", y salida

"Out[n]". Así, todas las acciones a realizar en MATHEMATICA, se introducen en

las líneas " In [ n ] " y los resultados aparecerán en las líneas " Out [ n ]". Además dicha forma de diálogo es aún más definida porque dichas entradas y


salidas están numeradas, lo que facilita su manejo en cálculos posteriores como

se verá más adelante.

Como iniciar una sesión con mathematica.

Una vez cargado Windows nos ubicamos en el icono de MATHEMATICA y lo

ejecutamos, ubicándonos inmediatamente en el "INPUT" listo para trabajar un

texto, operaciones numéricas algebraicas ó gráficos. En MATHEMATICA todos

los comandos se escriben con su letra inicial en mayúsculas, por ejemplo: "Quit",

detalle que debe ser ampliamente identificado, evitando así mensajes de error por parte del programa.

Comandos elementales en mathematica.

Las operaciones aritméticas básicas son resueltas por MATHEMATICA de una

forma similar a la que empleamos comúnmente.

<, <=, >, >= < MENOR, <= MENOR IGUAL, > MAYOR, >= MAYOR IGUAL

Adición. x + y + zUtilizamos el signo + dejando un espacio entre cada

miembro.

Sustracción. x – yUtilizamos el signo – dejando un espacio entre cada

miembro.

Multiplicación.X * Y * Z = X Y Z

Utilizamos el asterisco * para indicar el producto o

dejar un espacio en blanco entre cada miembro de la

expresión.


División. x/y La diagonal / nos indica división.

Comandos de algunas funciones matemáticas más comunes.

Sqrt[ n ], X˄n raíz cuadrada de "n", x^n potencia xⁿ

Sin[x], Cos[x], Tan[x]Sin[x], Cos[x], Tan[x]. Funciones

trigonométricas(radianes).

ArcSin[x], ArcCos[x], ArcTan[x].

Funciones trigonométricas inversas.

n! Factorial de "n". 1*2*3*4..n

Exp [ n ] Calcula el valor neperiano de potencia "n".

Log [ n ] Calcula el logaritmo natural de "n".

Log [b, n] Obtiene el logaritmo de base "b" del número "n".

Abs [ n ] Proporciona el valor absoluto de "n".

Pseudorandom [ ] Número aleatorio entre 0 y 1.

Números complejos.

Re [Z] Parte real

Im [z] Parte imaginaria.

Conjugate [z] Conjugado complejo de z*

Constantes.

Las constantes en MATHEMATICA se definen de la siguiente forma:

Pi π utiliza el valor de la constante universal

E Proporciona el valor de la constante neperiana.

Degree π/180: radianes a grados factor de conversión


I = √ -1

Muchas veces en Cálculo infinitesimal se utiliza el concepto del infinito para

cálculos sumamente precisos. El respectivo símbolo del infinito en

MATHEMATICA es su traducción al inglés:

Infinity ∞ Infinito.

Uso de paréntesis y llaves.

Los argumentos de comandos están encerrados en corchetes [ ]

Los términos o expresiones se encierran en paréntesis ( ) El rango o intervalos serán encerrados en llaves { }

Ejecución de operaciones.

EI manejo es por demás sencillo, una vez cargado el programa se encuentra listo

para el diálogo (Input) con MATHEMATICA, introduciendo nuestra expresión a

realizar en la entrada "In", escribiendo con la sintaxis apropiada de los comandos.

EI resultado será dado con oprimir al mismo tiempo las teclas: SHIFT + ENTER y

automáticamente ejecutara la instrucción mostrando las salidas marcadas con

"Out" .

In [ n ]:=< Expresión a evaluar> Out [ n ]:= <Resultado>

Mostrando y separando en el lado derecho mediante corchetes el contenido de

cada uno de ellos (Title, Input, Output etc. Mostraremos a continuación ejemplos

que engloban el conocimiento adquirido hasta éstas secciones.

In[1]:= 5 + 4 + 5 Esta instrucción no requiere corchetes puesto que no


lo precede un comando, el operador (+) indica suma.

(in[1] y out[1] no se teclean, el sistema le asigna

automáticamente el número de entrada y salida

Out[1]= 14Tecleamos Shift + Enter para obtener el resultado

de la suma.

In[2]:= 24 + 13 – 8Out[2]= 29

La suma de 24 + 13 - 8

In[3]:=12*5Out[3]= 60

El producto de 12 por 5.

In[4]:=12 (2 + 2)

Out[4]= 48

Utilizamos paréntesis para agrupar términos, primero

ejecuta la suma (2 + 2) y posteriormente se multiplica

por 12.

Resultado

In [5]:= 36/18Out[5]= 2

Divide 36 entre 18 mediante el operador / (división)

In[6]:= Sqrt[144]

Raíz cuadrada de 144 Aquí utilizamos los corchetes

para encerrar el argumento.(Notando que no debe

existir espacio entre el comando y el corchete que

encierra el argumento.

Out[6]= 12 Obtenemos el resultado de la raíz cuadrada de 144.

In[7]:= Sqrt [2]Out[7]= Sqrt [2]

El programa reconoce la orden, Sin mostrar un valor

numérico debido a que la raíz cuadrada de 2 no es

exacta.

In[8]:= 8^2 Mediante el operador (^) elevamos a la segunda


potencia el número 8.

Out[8]= 64 Resultado de elevar al cuadrado el 8.

In[9]:= 2^-2 1Out[9]= --- 4

El número 2 es elevado a la potencia (-2).

Nos muestra el resultado en forma de fracción.

In[10]:= 30! Factorial de 30 hace el producto de 1 x 2 x 3....x 30 .

Out[10]=265252859812191058636308480000000Resultado de 30 !

En la entrada 7 es notorio una característica muy importante en MATHEMATICA,

cuando la salida es obligatoriamente un número no exacto, el resultado inmediato

que el programa ofrece es simplemente reconocimiento, sin darnos ese resultado.

Para obtener dicho resultado veremos más adelante el procedimiento. Finalmente

en la entrada 9 podemos observar el manejo de los exponentes incluyendo los

negativos, solo agregando el signo menos (-).

Manejo de resultados.

Una de las ventajas de MATHEMATICA es que archiva los resultados que se han

obtenido a lo largo de la sesión. De esta manera, podemos trabajar con resultados

para nuestros fines sin la necesidad de volverlos a escribir. Lo anterior lo

efectuamos con la siguiente nomenclatura:

% Simboliza y transporta el último resultado.

% % Muestra el penúltimo resultado.

%n Denota la salida especificada con el número "n".


Esto será utilizado de aquí en adelante para facilitar el manejo de

expresiones. Veamos un ejemplo sencillo:

In[1]:=25*4Out[1]=100

Multiplica 25 por 4

In[2]:=%Out[2]=100

Con el comando (%) recuperamos el último resultado

en este caso 100 el producto de 25 x 4

In[3]:=% + 15Out[3]=115

Ejecuta la suma de la última salida o resultado mas

100 + 15.

In[4]:=% + %1Out[4]= 215

Suma el último resultado (salida 3) con el resultado de

la salida número uno.

Despliegue de resultados con precisión arbitraria.

Cuando MATHEMATICA no encuentra un resultado exacto totalmente en una

expresión, el resultado muchas veces será la misma operación que se había

introducido.

Esto no significa que el programa no sea capaz de resolverla, o que el problema

no tenga resultado, sino que por el contrario nos indica que la reconoce como tal,

lo que significa que es solucionable solo que el resultado no es exacto en cuanto a

precisión se refiere.

En estos casos, cuando el resultado se nos muestra como una fracción tenemos

que enterar al programa de que deseamos un resultado numérico, no importando

que no sea exacto. Para esto utilizamos la letra " N " y deberá acompañarse de un

filtro (comodín). Veamos:


FILTRO : Construcción de caracteres que nos permite especificar la manera en

que deseamos los despliegues u operaciones.

Los filtros más utilizados son :

// Indicador de operación.

/. Indicador de asignación.

La sintaxis correcta quedaría como sigue:

<Expresión> //NUtilizando el filtro de operación nos despliega

explícitamente un valor numérico aproximado.

N [ <Expresión> n]

Incluyendo el filtro implícitamente, nos despliega un

valor numérico aproximado. Con n dígitos de

aproximación.

Exactitud de resultados.

MATHEMATICA nos permite determinar la exactitud numérica que requerimos en

un cálculo con una expresión por demás simple:

N [<Expresión> , n ] Desplegará el resultado en "n" dígitos significativos.

Observemos el siguiente ejemplo:

In[5]:= Sqrt[3]

Out[5]= Sqrt[3]

El comando Sqrt indica la raíz cuadrada del

argumento [3]

Reconoce la expresión, sin mostrar un valor

numérico.


In[6]:= Sqrt[2] //N

Out[6]= 1 .41421

Mediante el indicador de operación (//N) nos

despliega un valor numérico aproximado.

Nos muestra un resultado aproximado.

In[7]:= 5/3 5Out[7]= ----. 3

División 5 entre 3, con un valor numérico no exacto

Solamente nos indica la fracción

In[8]:= N[%]

Out[8]=1. 66667

Incluimos el indicador de asignación (N)

implícitamente desplegando un valor numérico

aproximado.

Muestra el valor aproximado con 5 decimales(el

programa lo asigna automáticamente )

In[9]:= N[%7, 20]

Out[9]= 1.66666666666666666667

Recuperamos la salida 7, indicando que el valor

numérico debe contener 20 decimales de exactitud.

Nos muestra el resultado con 20 decimales.

In [10]:= N[Pi, 99]Out[10]=3.141592653589793

23846264338327950288419720

97494416939937510585923078

16406286208998628034825342

117068

Incluimos implícitamente el filtro de asignación N a la

constante Pi indicando que el resultado debe

contener 99 decimales de exactitud.

Obtenemos el valor de π con 99 decimales de

aproximación.


Muchas veces los resultados que se obtienen se dejan expresados dentro de

radicales. Aunque sabemos el resultado no sabemos su valor exacto o lo que

MATHEMATICA nos facilita la ejecución de este cálculo. Veamos este ejemplo:

In [1]:= (Sqrt[3]) (Pi)/ 2El espacio entre √3 y Pi indica el producto entre

ambos términos y la diagonal los divide entre 2.

(Sqrt[3]) (Pi)Out[1]= ------------------- 2

Indica la expresión solamente, ya que el resultado no

es exacto.

In[2]:= N[%]Out[2]= 2.720699

El último resultado será mostrado su valor numérico

en forma aproximada.

In[3]:= %1 (Sqrt[3]) (Pi)Out[3]= ----------------. 2

Recuperamos la última salida.

Reconoce la expresión únicamente

In[4]:= % //NOut[4]= 2.720699

Mediante el indicador de operación (//N) nos

despliega un valor numérico aproximado del último

resultado en este caso la salida 3.

In[5]:= N[% , 9]Out[5]= 2.720699046

Muestra el último resultado con un valor numérico de

9 decimales.

Podemos observar que en la primera y tercera salida MATHEMATICA no

resuelve la operación sino que la reescribe. Esto significa que reconoce la

expresión. Acto seguido escribimos los operandos en cuestión respectivamente y

por ende la segunda y cuarta salida nos proporcionan el resultado deseado. En la

quinta entrada se ejemplifica el uso del manejo de decimales que nosotros

deseemos que en este caso es de 9.


Interrupciones.

En muchas ocasiones una expresión u orden que nosotros introducimos a la

ventana de diálogo presenta errores, de sintaxis, de escritura, etc., y nos vemos

en la necesidad de interrumpir dicho cálculo, por lo que recurrimos al uso de un

comando tecleando simultáneamente " Ctrl + C " para interfaces basadas en text " Comand-. " Para interfaces notebook la interrupción se produce pero con un

tópico especial de opciones a seleccionar en el menú principal.

Abort (or a)

Continue (or c)

Exit (or Quit)

Inspect (or i )

Show (or s)

to abort current calculation. Aborta el cálculo y

regresa al Prompt de diálogo.

to continue. Continuar normalmente como correcto.

to exit MATHEMATICA sale de MATHEMATICA.

to enter an interactive dialog. Diálogo interactivo con

el programa, analiza lo que esta ocurriendo en el

cálculo.

to show current operation. Muestra la operación a

realizar.

La sintaxis correcta para ejecutar una interrupción es la siguiente:

Abort[ ] Automáticamente el programa interrumpe el calculo que estaba realizando.


CAPITULO II

ALGEBRA

Introducción.

Una de las áreas de las Matemáticas y tal vez la más importante es el Algebra.

Imprescindible para cualquier ciencia (Química, Física, Biología, etc.), el Álgebra

es la herramienta con la cual se plantean y resuelven la mayoría de los problemas

que se presentan en diversas situaciones que requieren un lenguaje que

represente y simule a través de modelos matemáticos situaciones que requieran

de una gran precisión.

Es por eso que MATHEMATICA pone en relieve su enorme capacidad para

operar con expresiones aritméticas y algebraicas de cualquier grado y de una

forma amigable. Esto significa que al trabajar con MATHEMATICA es como sí lo

estuviéramos haciendo frente a un pizarrón de clases, con la diferencia de que

rápidamente se procesa cualquier operación.


Operaciones fundamentales.

El tratamiento de operaciones algebraicas (suma,resta,multiplicación, división) es

similar a la nomenclatura real; Únicamente se tendrá que poner énfasis en el uso

de paréntesis [ ], ( ) para que MATHEMATICA pueda distinguir las expresiones

así como la operación que se desee.

Fórmulas.

Expresión de símbolos computacionales. Una de las ideas más importantes

acerca de MATHEMATICA es que puede usar símbolos así como cálculos

numéricos.

In[1]:= p = 2Out[1]= 2

Asigna a p el valor de 2.

In[2]:= 3p – p + 2

Out[2]:= 6

Usando el valor numérico de p MATHEMATICA puede

evaluar la expresión.

Evalúa la expresión In[2] sustituyendo el valor de p = 2.

Podemos escribir cualquier expresión algebraica en MATHEMATICA. De entrada

la escribimos y la salida nos muestra una notación standard matemática,

simplificándola automáticamente.

In[3]:= 3q – q + 2

Out[3]:= 2 + 2 q

Como q no tiene valor numérico en este caso

MATHEMATICA simplifica la expresión

simbólicamente. Muestra la expresión anterior

simplificada.

Podemos definir:

Expresión numérica 3 + 62 + - 1 = 64Expresión simbólica 3x – x + 2 = 2 + 2x


In[6]:= 1 + 2x + x^³ Notación del Sistema, con los operadores correctos.

Out[6]:= 1 + 2x + x³ La salida nos muestra una notación standard

algebraica.

In[7]:= x^2 + x –4x^2 Notación del Sistema, con los operadores correctos.

Out[7]:= x – 3x² Resultado con notación standard algebraica

Como se puede apreciar es posible escribir cualquier letra que funcione como

variable. Además, el reconocimiento de la expresión por parte de MATHEMATICA se logra al reescribirla pero ahora la expresión comienza con el término de menor

exponente hasta el de mayor exponente. Notando que podemos escribir cualquier

expresión algebraica. Utilizando los operadores aritméticos. Recordando que debemos usar espacios para denotar multiplicación, teniendo cuidado de no olvidar el espacio entre X y Y si escribimos XY junto MATHEMATICA lo

interpreta como un solo símbolo con el nombre XY y no como un producto de X por Y. Asi mismo tener cuidado de nocombinar mayúsculas y minúsculas x y X .

MATHEMATICA arregla y combina los términos según las reglas del álgebra.

In[8]:=- x y + 2 x^2 y + y^2 x^2 – 2 x y

Out[8]:= -(x y) + 2 x² y + x² y²

Simplifica la expresión y la muestra en notación

algebraica standard. En esta expresión aplicamos

los operadores de multiplicación, suma, resta y

exponente.

In[9]:= (x + 2 y + 1)(x – 2)^2

Out[9]:= (-2 + x)² (1 + x + 2 y)

Deja indicada las operaciones sin ejecutarlas.

Utilizamos los paréntesis para indicar el producto

así como el operador (^) para denotar la potencia

cuadrada del segundo término.


In[10]:= Expand[%]

Out[10]:=4 – 3 x² + x³ + 8 y – 8 x y + 2

x² y

La función Expand realiza el producto y eleva a la

potencia 2, la última entrada.

La salida muestra el resultado de haber elevado

al cuadrado (x – 2)² por (1 + x + 2 y) en ese

orden.

El comando Factor hace esencialmente el inverso de Expand. Dada una

expresión algebraica intenta factorizarla.

In[11]:= Factor[%]Out[11]:= (-2 + x)²(1 + x + 2 y)

Factoriza la última expresión.

La salida muestra la expresión original.

Representación de fórmulas.

Uno debe ser capaz de escribir la mayoría de las fórmulas matemáticas, en

MATHEMATICA de tal forma que este en una notación standard, podemos usar

cualquiera de las funciones y símbolos de MATHEMATICA que mejor se adapte,

enseguida presentamos una fórmula mas complicada.

In[1]:= Sqrt[8] / 9801 (4n) ! (1103 + 26390 n)/n !^4 396^(4n))

En esta expresión hemos combinado la suma, raíz cuadrada, división,

multiplicación, potencia y factorial, utilizando adecuadamente los paréntesis para

separar en forma ordenada las diferentes operaciones que deseamos calcular.

2 Sqrt[2] (4 n)! (1103 + 26390 n) Out[1]:= ------------------------------------------------- (9801)396⁴ⁿ n!⁴

MATHEMATICA reconoce laExpresión dejándola

indicada.


Asignación de valores numéricos a una variable.

Podemos sustituir cualquier variable por un valor numérico o por una expresión

algebraica y de esta forma, lograríamos manejar más fácilmente expresiones

complicadas o extensas tal como se hace en la vida real.

In[1]:= y = 1 + xOut[1]:= 1 + x

Asígnale a y el valor de 1 + x

In[2]:= y

Out[2]:= 1 + x

Cuando invocamos " y " aparece el valor asignado

anteriormente.

Automáticamente recupera el valor asignado a y.

In[3]:= 1 – y^2

Out[3]:= 1 – (1 + x)²

Si involucramos a " y " en otra expresión toma el

valor asignado.

Sustituye el valor asignado dejándolo indicado.

In[4]:= y =. Para cancelar la asignación hecha a y utilizamos el símbolo =. (igual

punto)

Evaluación de una expresión con respecto a un valor numérico.

Es posible evaluar una expresión dada con respecto a un valor numérico en la

cual se sustituye la variable por el valor definido. Esto se logra de la siguiente

forma

Haciendo reemplazos.


Tomamos y asignamos x = 3 decimos que MATHEMATICA reemplaza x por 3 cada vez que aparece. Frecuentemente necesitamos remplazar en una notación.

Podemos hacer esto con MATHEMATICA escribiendo expr/.x->3. Esto es toma

de la expresión y sustituye todas las ocurrencias de x en la expr por 3.

NOTA: Esta notación -> se utiliza para sustituir la variable por un valor numérico y

se puede confundir con la que se emplea en Cálculo para obtener límites.

In[1]:= 1 + x² /.x -> 1+aOut[1]:= 1 + (1 + a)²

Asigna a x el valor de 1 + a.En la salida ejecuta la sustitución.

Podemos hacer algunos reemplazos a la vez.

In[3]:= (x + y) (x – y)^2 /.{x -> 3, y -> 1 – a}

Out[3]:=(3 – (1 – a))² (4 – a)

Enseguida de la diagonal punto abrimos una llave

para asignar los valores separando por una coma

cada asignación y cerrando la llave.

Ejecuta los reemplazos asignados y los muestra.

Podemos mezclar la asignación de un símbolo y reemplazarlo por uno o más

valores diferentes.

In[4]:= t = 1 +x^2Out[4]:= 1 + x²

Hace a t = 1 + x²

In[5]:= t /. x-> 2Out[5]:= 5

Dame el valor de t asignándole a x el valor de 2Obtenemos el valor numérico al ser sustituida la

asignación.


In[6]:= t /. x-> 5ªOut[6]:= 1 + 25 a²

Para t Cambiamos la asignación x = 5ª.Indica la asignación para t .

In[7]:= t /. x -> Pi //N

Out[7]:= 10.8696

Reemplazamos x por π y encontramos el valor de

numérico de t.Obtenemos el valor numérico de t.

Transformación de expresiones algebraicas.

( Lo que es lo mismo factorización y racionalización de dichas expresiones).

Frecuentemente tenemos diferentes formas de escribir una misma expresión

algebraica. Por ejemplo (1 + x)² puede escribirse 1 + 2x + x². MATHEMATICA provee varias funciones para convertir en diferentes formas las expresiones

algebraicas.

Expand[expresión]Realiza todas las operaciones de productos y

potencias que tiene la expresión algebraica.

Factor[expresión] Factoriza la expresión algebraica.2

Ejemplos de estos comandos:

In[1]:=Expand[ (1 + x)^2 ]Out[1]:= 1 + 2x + x²

Expande ( 1 + x ) ²Desarrolla el cuadrado de la expresión.

In[2]:= Factor[ % ]Out[2]:= (1 + x)²

Factoriza la última expresión.

Recupera la forma original de la expresión.

Expand nos facilita visualizar expresiones complicadas.

2 Factorizar una expresión algebraica, es representar la expresión como productos ó potencias de los términos involucrados, generalmente se obtiene una expresión con menos términos. (no siempre)


In[3]:=Expand[ (1 + x + 3y)^4 ]

Expande (1 + x + 3y)⁴

Out[3]:= 1 + 4 x² + 6 x³ + 4 x⁴ + x + 12 y + 36 x y + 36 x² y + 12 x³ + 54 y² + 108 x y² + 54 x² y² + 108 y³ + 108 x y³ + 81 y⁴

En la salida muestra la expresión desarrollada a la cuarta potencia.

In[4]:= Factor[ % ]Out[4]:= (1 + x + 3 y)⁴

Factorizamos la última expresión .

Recuperamos la forma original de la expresión.

In[5]:= Factor [x^10 - 1] Factoriza la expresión.

Out[5]:= (-1 + x) (1 + x) (1 - x + x² - x³ + x⁴ ) (1 + x + x² + x³ + x⁴ ) Expresa como productos la expresión ( x¹⁰ - 1). 3

In[6]:= Expand[ % ].Out[6]:= -1 + x ¹⁰ 4

Ejecuta los productos de la última expresión y la

simplifica

Simplificación de expresiones algebraicas.

Existen muchas situaciones donde nosotros queremos escribir en su más simple

forma una expresión algebraica. Aunque es difícil conocer exactamente un

significado, en todo caso por su forma simple un importante procedimiento práctico

es ver las diferentes formas de una expresión y escoger una que involucre el

menor número de términos que la forman.

Simplify[expresión] Trata de encontrar la forma de la expresión con el

3 Este es un ejemplo en el que factorizar nos da un resultado con más términos que la expresión original.4 En este ejemplo la expresión al ser desarrollada se obtiene un resultado más compacto.


menor número de partes o términos aplicando una

secuencia de las diferentes transformaciones

algebraicas.

Para simplificar x² + 2x + 1 en descomposición de factores:

In[1]:=Simplify[x^2 + 2x + 1] Out[1]:= (1 + x)²

Retomemos el ejemplo anterior : (In[5])

In[2]:= Simplify [x^10 - 1] 1]Out[2]:= 1 + x¹⁰

In[3]:= Expand[ % ]

Out[3]:= -1 + x ¹⁰

Ejecuta los productos de la última expresión y la

simplifica.

Obteniendo un resultado más compacto.

In[4]:= Factor[%]

Out[4]:= (-1 + x) (1 + x) (1 - x + x² - x³ + x⁴ ) (1 + x + x² + x³ + x⁴ )Notamos que Simplify y Expand nos dan el mismo resultado y Factor una forma

extensa.

Podemos frecuentemente usar Simplify para visualizar una expresión complicada.

Como ejemplo integramos y diferenciamos)5 la función: f(x) = 1/ ( x⁴ - 1).

In[1]:=Integrate[1/(x⁴-1), ] Resuelve la integral: ∫ 1/ ( x⁴ -1 ) dx

5 Los comandos: Integrate y D serán vistos más adelante en él capitulo de cálculo.


-ArcTan[x] Log[1 - x] Log[1 + x]Out[1]:= -------------- + --------------- - ---------------- + c 2 4 4 Resultado de la integral.

In[2]:= D[%,x] -1 1 1Out[2]:= ----------- - ------------ - ------------- 4 (1 - x) 4 (1 + x) 2(1 + x)²

Diferenciando el resultado anterior..

Como en este caso es común obtener

una expresión mas complicada.

In[3]:= Simplify[%]Aplicando a la última expresión Simplify obtenemos

su forma más simple

1Out[3]:=------------ -1 + x⁴

Utilizando adecuadamente los comandos y una correcta sintaxis

en la mayoría de los casos es posible manejar cualquier operación

Algebraica.

Nótese que MATHEMATICA no devuelve el resultado esperado sino que realiza el

proceso de reconocimiento por lo que será necesario indicar al programa lo que

queremos mediante comandos.

El tratamiento de las expresiones es una de las aplicaciones más poderosas de

MATHEMATICA, ya que es capaz de factorizar, ejecutar productos notables,

simplificar, ordenar bajo requerimientos concretos y particulares como

agrupaciones por denominador común, por grado de potencias, por variable, etc.

Un acercamiento al uso de los comandos mencionados en la sección anterior se

propone a continuación.


Expand [<expresión> ] A la vez realiza los productos y potencias que involucra la

expresión y muestra el resultado como una suma de términos.

Factor [<Expresión> ] Muestra la expresión como productos de factores.

Simplify [<Expresión> ] Trata de encontrar la forma original de la expresión

representándola con el menor número de componentes aplicando las reglas

algebraicas.

Otros comandos básicos para manejo del álgebra.

Expandall [<expr>] aplica Expand a todos los elementos posibles que se puedan

obtener dado una operación.

Together [<Expr>] Acomoda todos los términos en un común denominador.

Apart [<Expr>] Separa todos los términos con denominador simple.

Cancel [<Expr>] Elimina los factores comunes en el denominador y numerador.

Collect [<Expr>, x] Agrupa todas las potencias de la variable x.

FactorTerms [<Expr> , <Variable>] Pone como factor todo aquello que no depende de la

variable nombrada en "variable", en una expresión algebraica.

Exponent [expr, form] Muestra el coeficiente de form.

Part [expr, i] Muestra el i-esimo término de la expr.

Numerator[expr] Numerador de la expr.


Denominator[expr] Denominador de la expr.

Apliquemos en los siguientes ejemplos el uso de los comandos anteriores.

In[1]:= A =(x 1)^2 (2 + x) / ((1 + x) (x 3)^2)

(-1 + x)² (2 + x)A la variable A le asigna: ------------------------ (-3 + x)² (1 + x)

Out[1]:= (-1 + x)² (2 + x) ---------------------- (-3 + x)² (1 + x)

In[2]:=Expand[A] Expande el numerador pero deja en forma de producto

Los factores el denominador.

Out[2]:= 2 3 x x³ ----------------------- - ---------------------- + ----------------------- (-3 + x)² (1 + x) (-3 + x)² (1 + x) (-3 + x)² (1 + x)

In[3]:=ExpandAll[A] Expande el numerador y denominador.

Out[3]:= 2 3 x x³ ------------------------- - ---------------------------- + ---------------------------- 9 + 3 x - 5 x³ + x³ 9 + 3 x - 5 x² + x³ 9 + 3 x - 5 x² + x³

In[4]:=Together[%] Del último resultado el comando Together

agrupa todos los Términos del

denominador y los ubica sobre un


solo denominador.

Out[4]:= 2 - 3 x + x³ ------------------------- 9 + 3 x - 5 x² + x³

In[5]:=Apart[%]Apart separa cada término dejando

denominador simple.

Out[5]:= 5 19 11 + ------------ + ------------- + ------------- (-3 + x)² 4 (-3 + x) 4 (1 + x)

In[6]:=Factor[%]Factor factoriza todo, en este caso

volviendo a la expresión Original.

Out[6]:= (-1 + x)² (2 + x) ---------------------- (-3 + x)² (1 + x)

In[7]:=Simplify[%]Recordemos que Simplify nos da la forma

más simple de Escribir una expresión.

Out[7]:= (-1 + x)² (2 + x) -------------------------- 9 + 3 x - 5 x² + x³

Otro ejemplo es:

In[1]:= v = Hace V = ( 3 + 2 x + y )³ con Expand


Expand[(3 + 2x + y)^3] desarrollamos el cubo.

Out[1]:= 27 + 54 x + 36 x² + 8 x³ + 27 y + 36 x y + 12 x² y + 9 y² + 6 x y² + y³

In[2]:= Collect[v, x]Collect agrupa los términos donde está

involucrada la variable x, tomando en

cuenta la potencia.

Out[2]:= 27 + 8 x³ + 27 y + 9 y² + y³ + x² (36 + 12 y) + x (54 + 36 y + 6 y² )In[3]:= Collect[v, y] Igual a la orden anterior solo cambia la variable.

Out[3]:= 27 + 54 x + 36 x² + 8 x³ + (27 + 36 x + 12 x² ) y + (9 + 6 x) y² + y³

Manejo de comandos avanzados.

Expand[<Expr>,Trig>True]Transforma las funciones trigonométricas

escritas como Seno²x, en términos de

Seno(2x).

Ejemplo: Sea el producto de esta expresión trigonométrica Cos³x Seno²x.

In[1]:=Expand[Cos[x]^3Sin[x]^2,Trig>True]

Transforma la expresión trigonométrica en

forma de un ángulo múltiplo.

Out[1]= Cos[x] Cos[3 x] Cos[5 x] ----------- - -------------- - -------------- 8 16 16

Factor [<Expr>, Trig>True ] Transforma las funciones trigonométricas

escritas como Seno2x, en términos de


Seno²x.

In[2]:=Factor[%1, rig>True]Out[2]= Cos³[x] Sin²[x]

Regresa a la expresión original.

PowerExpand [<Expr> ] Distribuye el exponente en términos que operen

con más de dos variables

Ejemplo:

In[3]:= Sqrt[x y] MATHEMATICA no expande

automáticamente la potencia de Los

productos.

Out[3]= Sqrt[x y] Deja indicada la operación.

In[4]:= PowerExpand[%3] Expande la potencia en los términos involucrados.

Out[4]=Sqrt[x] Sqrt[y]

Coefficient <Expr><Variable> ]Señala los coeficientes de la variable en

Cuestión.

Desarrollamos esta expresión.

In[1]: = W = Expand[(1 + 3x +4y^2)^2]

Out[1]:= 1 + 6 x + 9 x² + 8 y² + 24 x y² + 16 y⁴

In[2]:=Coefficient[Wx]Coefficient nos muestra los coeficientes de la variable x.


Out[2]:= 6 + 24 y²

Exponent [<Expr><Variable> ]Obtiene la potencia mayor de la variable

Contenida en una expresión.

In[3]:= Exponent[W, y]Exponent nos muestra el máximo exponente de la

expresión algebraica 1 + 6 x + 9 x² + 8 y² + 24 x y² +

16 y ⁴ con respecto a "y".

Out[3]:= 4

Part [<Expr> n ]El siguiente comando muestra el n-ésimo término de

una expresión.

In[4[:]= Part[W4] Part nos muestra el cuarto término de la expresión 1 + 6

x + 9 x² + 8 y² + 24 x y² + 16 y⁴.

Out[4]:= 8y²

Los comandos Coefficient y Exponent, son efectivamente tareas para trabajar

polinomios, sobre todo los que se escriben como una suma de términos en una

forma Expand .

Controlando el despliegue de expresiones largas.

El comando punto y coma " ; " Al final de la expresión a evaluar, la ejecuta

pero no muestra el resultado.


In[1]:= Expand[(x + 5y +10)^4] ; Ejecuta Expand sin mostrar el resultado.

Expr// ShortContinúa en línea el proceso mostrando una forma reducida de

Out (salida de resultado) de la expresión.

In[2]:=% //ShortA l aplicar el comando Short Despliega n términos dejando

en espera los restantes según el número de términos que

integran La expresión. En este caso muestra 3 y esperan 12.

Out[2]:=//Short= 10000 + 4000 x + <<12>> + 625 y⁴Short[%, 2] = 10000 + 4000 x + 600 x² + 40 x³ + <<9>> + 500 x y³ + 625 y⁴Del resultado [2] duplica el número de términos mostrados y deja en espera 9

restantes.

Short[%, 3] 10000 + 4000 x + 600 x² + 40 x³ + x⁴ + 20000 y + <<6>> + 5000 y³ + 500 x y³ + 625 y⁴ Del resultado [2] triplica el número de términos mostrados y

esperan 6.

Lenght[expr]Nos muestra el número de términos que integran la

expresión.

In[1]:=t = Expand[(x + 2 y + 5 y)^4]Out[1]=x⁴ + 28 x³ y + 294 x² y² + 1372 x y³ + 2401 y⁴

In[2]:= Length[t] Lengh [%]Out[2]=5

Nos muestra el número de términos que integran la

última expresión.


Con la descripción de los comandos anteriores el usuario debe ser capaz de

trabajar y manipular cualquier expresión algebraica. De una manera rápida y

precisa.

CAPITULO III

ALGEBRA LINEAL.

El álgebra lineal es otra rama importante de las matemáticas para el estudio de

sistemas de ecuaciones lineales y matrices; determinantes; vectores en el espacio

bidimensional y tridimensional; espacios vectoriales; transformaciones lineales;

eigenvalores (valores propios) y eigenvectores (vectores propios); aplicaciones e

introducción a los métodos numéricos del álgebra lineal.

Matrices y Vectores

Definición de matriz. Es un arreglo rectangular en renglones y columnas de

números. Los números del arreglo se conocen como elementos de la matriz.

La sintaxis para representar vectores y matrices en MATHEMATICA es muy

simple.

{A1, B1,..Xn}.

In[1]:=V1 = {x, y, z} Out[1]={x, y, z}

Podemos asignar cualquier variable para definir un vector.

Construcción de matrices. Comandos principales.


La forma directa de construir una matriz está determinada por la sintaxis:

{{A, B, ..}, {A1, B1,..}, {An, Bn, ..}}. La cual podemos representar mediante el

nombre o símbolo que le asignemos.

In[1]:=A ={{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};

(Recordemos que el punto y coma ; deja indicada

la entrada sin mostrar la salida.

MatrixForm[xxx]. Nos muestra la matriz en un arreglo bidimensional en su

estructura clásica.

In[2]:=MatrixForm[%]

Out[2]//MatrixForm=1 2 34 5 67 8 9

Escribe en forma matricial la última salida.

DiagonalMatriz[{a, b, c}]. Genera una Matriz diagonal con los elementos listados

ubicándolos en la diagonal principal.

In[3]:=DiagonalMatrix[w, y, z]

Genera una Matriz diagonal con los elementos listados

[w, y, z] ubicándolos en la diagonal principal.

Out[3]=MatrixForm={{w, 0, 0}, {0, y, 0}, {0, 0, z}}


IdentityMatrix[n]. Genera una Matriz Identidad de n x n.

In[4]:=IdentityMatrix[4] Genera una Matriz Identidad de 4 x 4.

Out[4]=MatrixForm={{1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}}

Como hacer tablas de datos mediante los comandos: Table, Product, Sum.

Podemos listar una tabla de valores, podemos generar la tabla, por ejemplo, para

evaluar una expresión por una secuencia de valores de parámetros diferentes.

In[1]:=Table[i^3, {i, 3}]

Esta expresión nos genera una tabla de

valores de i³, donde i toma valores de 1 a 3.

Out[1]:={1, 8, 27}

TableForm[xx]. Muestra en forma tabular o vertical los datos.

In[2]:=TableForm[%] Muestra en forma tabular o vertical los datos.


Out[2]//TableForm=1827

In[2]:=Table[Sin[n Pi/5], {n, 0, 5}]

Genera una tabla con los elementos de

Seno(n/5) donde n toma valores desde 0 hasta 5.

Out[2]:= Pi 2 Pi 3 Pi 4 Pi{0, Sin[---], Sin[------], Sin[------], Sin[------], 0} 5 5 5 5

El resultado deja indicada la tabla sin mostrar valores por ser indeterminados.

In[3]:=N[%]Out[3]={0, 0.587785, 0.951057, 0.951057, 0.587785, 0}

Muestra la última expresión

numéricamente.

Otro ejemplo es:

In[3]:=Table[x^i + 2i, {i, 3, 6}]

Construye la tabla X + 2 i donde i toma valores desde 3 hasta 6

Out[3]:={6 + x³ , 8 + x⁴ , 10 + x⁵ , 12 + x⁶ }

El comando Product usa exactamente la misma interacción de notación así como

Sum.

In[4]:= Out[4]:=


Product[x^i + 3i, {i, 3}](3 + x) (6 + x² ) (9 + x³ )

In[5]:=Sum[x^i/i, {i,5}]

Out[5]:= x² x³ x⁴ x⁵ x + --- + --- + --- + --- 2 3 4 5

Tablas de matrices.

Table[f, {i, m}, {j, n}].Construye una matriz de m x n dónde f es una función de i y de j, que toma valores hasta n y m respectivamente.

De los comandos más comunes para la construcción de matrices Table es el más

general con el cuál podemos producir muchas clases de matrices.

In[1]:=Table[b[i, j], {i, 2}, {j, 2}]

Construye la matriz b(i , j) dónde i y j toman valores de 1 hasta 2

Out[1]=MatrixForm={b[1, 1], b[1, 2]}, {b[2, 1], b[2, 2]}}

Obtenemos la matriz con 4 x 2 con las

características de la tabla b(i , j).

Array[b, {2,2}]. Es otra forma de construir la misma matriz.

In[2]:=Array[b, {2,2}]

Out[2]=MatrixForm={{b[1, 1], b[1, 2]}, {b[2, 1], b[2, 2]}}


Table[o, {m}, {n}]. Obtenemos la matrix 0 de m x n

In[2]:=Table[0, {3}, {4}]

Obtenemos la matrix 0 de 3 x 4

Out[2]=MatrixForm={{0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}}

Obtenemos la matriz cero.

Algunos tipos de matrices especiales las podemos construir agregando alguna opción especial al comando Table.

Table[Random[], {m}, {n}]. Obtenemos una matriz con números aleatorios entre 0 y 1 según el tamaño que le indiquemos en m x n.

In[2]:=Table[Random], {3}, {3}]

Out[2]//MatrixForm={{0.991966, 0.00169522, 0.707122}, {0.118818, 0.68265, 0.609162},

{0.995611, 0.857357, 0.819188}}

Obtenemos una matriz con números aleatorios entre 0 y 1 de tamaño 3 x 3

Multiplicación de una matriz por un escalar.

Sean las matrices m1 y m2.

In[1]:=m1 = {{a, b, c}, {d, e, f}}

Out[1]Matrixform{{a, b, c}, {d, e, f}}

In[2]:= Out[2]Matrixform


m2 = {{r, t, w}, {y, ñ, k}}{{r, t, w}, {y, ñ, k}}

Multiplicamos m1 por el escalar 2 y( 2 por m1)

In[3]:=m1 * 2Out[3]MatrixForm{{2 a, 2 b, 2 c}, {2 d, 2 e, 2 f}}

In[4]:=2 * m1Out[4]MatrixForm {{2 a, 2 b, 2 c}, {2 d, 2 e, 2 f}}

Multiplicamos m1 por el escalar seno.In[4]:=2 * m1 Out[4]MatrixForm {{2 a, 2 b, 2 c}, {2 d, 2 e, 2 f}}

In[5]:=m1 * SenoOut[5] MatrixForm={{a Seno, b Seno, c Seno},

{d Seno, e Seno, f Seno}}

Suma de matrices.

Matrices de tamaño diferente no se pueden sumar.

In[6]:=m1 + m2Out[6]= MatrixForm

{{a + r, b + t, c + w}, {d + y, ñ + e, f + k}}

In[7]:=m2+m1

Out[7] MatrixForm{{a + r, b + t, c + w}, {d + y, ñ + e, f + k}}

In[8]:=m2 + (-m1)

Out[8] MatrixForm{{-a + r, -b + t, -c + w}, {-d + y, ñ - e, -f + k}}


m1-m2 = {{a - r, b - t, c - w}, {d - y, -ñ + e, f - k}}

MATHEMATICA efectúa las operaciones siguiendo las reglas de la aritmética

matricial.

Multiplicación de matrices de diferente tamaño.

Nota. La definición de la multiplicación de matrices requiere que el número de

columnas del primer factor sea igual al número de renglones del segundo factor. Si

no satisface esta condición el producto no esta definido.

interior2 x 3 3 x 4

exterior

El número de columnas del primer factor es igual al número de renglones del

segundo factor.

La multiplicación dará una matriz de 4 x 2

Ejemplo: Definimos las matrices m5 y m6.

In[1]:=m5 = {{1, 2, 4}, {2, 6, 0}};

In[2]=m6 = {{4, 1, 4, 3}, {0, -1, 3, 1}, {2, 7, 5, 2}};

In[3]:=m5 . m6 Ejecuta la multiplicación

de las matrices m5 por m6.Out[3]={{12, 27, 30, 13}, {8, -4, 26, 12}}

Obtenemos la matriz de 4 x 2.


MatrixForm[%]

12 27 30 138 -4 26 12

Multiplicación de matrices que no cumplen con las reglas del álgebra matricial MATHEMATICA manda un mensaje de error.

In[1]:=m66 = {{1, 2, 4}, {2, 6, 0}, {2, 5, 7}, {2, 4, 5}}; definimos la matriz m66

In[2]:=m67 = {{4, 1, 4, 3}, {0, -1, 3, 1}} Definimos la matriz m67

In[3]:=m66 . m67 Multiplica las matrices m66 por m67. Al no poderla ejecutar la operación manda el siguiente mensaje:

Dot::dotsh: Tensors {{1, 2, 4}, {2, 6, 0}, <<1>>, {2, 4, 5}} and {{4, 1, 4, 3}, {0, -1, , 1}} have incompatible shapes.

Out[3]= {{1, 2, 4}, {2, 6, 0}, {2, 5, 7}, {2, 4, 5}} . {{4, 1, 4, 3}, {0, -1, 3, 1}}Dejando indicado la multiplicación que no cumple con las reglas del álgebra

matricial.

Comandos importantes de operaciones con matrices

Inverse[m]. Obtenemos la matriz inversa de m.

Det[m]. Calcula el determinante de la matrix m.

Transpose[m]. Obtenemos la matriz transpuesta.

Consideremos la matriz de (2 x 2). si ad-bc ≠ 0, entonces tenemos:

In[1]:=m1= {{a, b}, {c, d}}; In[1]:=m1= {{a, b}, {c, d}};


In[2]:=Inverse[m1]

Out[2]= d b c a{{-------------------, -(----------------)}, {-(---------------), --------------}} -(b c) + a d -(b c) + a d -(b c) + a d -(b c) + a d

Sea m2 una matrix de 2 x 2.

In[3]:=m2 = {{1, 2}, {1, 3}}; Out[3]={{1, 2}, {1, 3}}

In[2]:=m3 = Inverse [m2]Encuentra la inversa de m2 y le asigna

el nombre de m3.

Out[2]={{3, -2}, {-1, 1}} Obtenemos su inversa

de m2

Comprobamos que es inversa mediante el producto de

m1. m1¯¹ = I (Matriz Identidad).

In[3]:= m2. m3Ejecuta el producto de m2 por m3.

Out[3]={{1, 0}, {0, 1}}Obtenemos la matriz identidad de 2 x 2

quedando comprobada.

In[4]:=MatrizForm[%]1 00 1

Otro ejemplo seria: Dada la matriz m4, obtenemos la matriz inversa m5 y

comprobamos obteniendo la matriz identidad.

In[4]:= m4 ={{Cos[0], Sin[0]}, {-Sin[0], Cos[0]}} ;

Out[4]=MatrixForm{{1, 0}, {0, 1}}


In[5]:=m5 = Inverse[m4] = {{1, 0}, {0, 1}};

In[6]:=m4. m5 = {{1, 0}, {0, 1}}

Sea la matriz m6.

Trate de explicar las operaciones de este ejemplo paso por paso.

In[1]:=m6 1 1 1 1 1 4 2 1 1= {{---,---, ---}, {---, ---, ---}, {(-)----, ----, ----}}; 5 5 5 5 5 5 5 10 10

In[2]:=m7 = Inverse[m6]. 17 5 5 5{{1, 0, -2}, {------, -(----), 2}, {(-)-----, -----, 0}};

3 3 3 3

In[3]:=MatrixForm[%]

1 0 -217 5----- -(----) 23 3 5 5-(---) ---- 0 3 3

In[4]:=M6. m7{{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}

In[5]:=MatrixForm[%]1 0 0


0 1 00 0 1

Determinante de una matriz.

Sea A una matriz cuadrada, la función determinante se denota por det, y se define

como det(A) como la suma de todos los productos elementales con signo tomados

de A.

Consideremos la matriz m8

In[1]:=m8 ={{a, b, c}, {d, e, f}, {g, h, i}},{{a, b, c}, {d,

e, f}, {g, h, i}};

In[2]:=Det[m8]obtenemos el determinante de la

matriz m8.

Out[2]= -(c e g) + b f g + c d h - a f h - b d i + a e i Muestra el resultado Det[m8]

Sea la matriz m9.

In[1]:= 1 1 1 1 1 4 2 1 1m9 ={{----, ----, ----}, {----, ----, ----}, {-(----), -----, -----}}; 5 5 5 5 5 5 5 10 10

In[2]:=Det[m9]//NEncuentra el determinante de m9.

Out[2]=-0.06 expreselo numéricamente

Sea la matriz m10.

In[3]:=m10 = Out[3]:=


{{1, 2, 3}, {-4, 5, 6}, {7, -8, 9}} {{1, 2, 3}, {-4, 5, 6}, {7, -8, 9}};

In[4]=m11 =Det[m10]//N Encuentre el determinante de m10 y expreseló numéricamente.

Out[4]=240 Valor del determinante.

Matriz transpuesta.

Dentro de las propiedades fundamentales de la función determinante, es la

relación entre la matriz cuadrada y su determinante.

Si A es cualquier matriz m x n, entonces la transpuesta de A se denota por At y

se define como la matriz n x m cuya primera columna es el primer renglón de A,

su segunda columna es el segundo renglón de A, su tercera columna es el tercer

renglón de A, etc.

Sí A es cualquier matriz cuadrada, entonces el det(A)= det(Aʵ).Observemos el siguiente ejemplo.

In[1]:=m12= {{3, 5, -2}, {5, 4, 1}, {-2, 1, 7}}

Definimos m12.

Out[1]={{3, 5, -2}, {5, 4, 1}, {-2, 1, 7}}

In[3]:=m13=Transpose[m12] Construimos m13 = a la transpuesta de

m12.

Out[3]={{3, 5, -2}, {5, 4, 1}, {-2, 1, 7}}

Obtenemos la transpuesta de m12.

In[4]:=d1 = Det[m12] Definimos d1 = Out[4]= Obtenemos el determinante.


determinante de m12 -130

In[5]:=d2 = Det[m13] Definimos d2 = determinante de m13

Out[5]=-130Obtenemos el determinante, quedando

comprobado que el det A =detAʵ

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Una recta en un plano x y se representa algebraicamente mediante una ecuación de la forma:

A₁ X + A₂ Y = B

Una ecuación de este tipo se conoce como lineal en las variables x y , en forma

general se define una ecuación lineal o plana en las n variables X₁, X₂, ...Xn como aquélla que se puede expresar en la forma:

A₁ X₁ + A₂ X₂ +....+ An Xn = B

Dónde A₁, A₂, An...y B son constantes reales.

Solve[{Ec1, Ec2,..Ecn}, {x, y,..Vn}]. Resuelve la ecuación, mostrando la solución para las diferentes incógnitas.

El sistema tiene solución única.

Ejemplo. Sean las ecuaciones:

x + y + 2z = 92x + 4y – 3z = 13x + 6y –5Z = 0

In[1]:= Solve[{x + y + 2z == 9,2x + 4y -3z == 1,

Out[1]= {{x -> 1., y -> 2., z -> 3.}}Obtenemos el resultado x=1, y=2


3x + 6y -5z == 0}, {x, y, z}] Z=3

El sistema tiene infinidad de soluciones.

El siguiente sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, tiene infinidad de soluciones, ya que podemos asignar un valor arbitrario a cualquiera de las

incógnitas.

In[2]:= Solve[{4x - 2y == 1, x - 4y + 7z == 5}, {x, y, z}]

Out[2]= 19 y 1 y{{z -> ---- + ----, x -> ---- + ----}} en este caso y toma un valor arbitrario.

28 2 4 2

3 1 {{z -> ---- + x, y -> -(----) + 2 x}} en este caso x toma un valor arbitrario.

7 2

1 4 + 2 (-5 + 7 z) {{y -> -(----) + -----------------------, en este caso z toma un valor arbitrario.

2 7

4 + 2 (-5 + 7 z) x -> ---------------------}} 14


El sistema no tiene solución.

Ejemplo:

X + Y =42 X + 2 Y = 6

In[5]:=m1 = {{1, 1}, {2, 2}}Definimos m1

Out[5]={{1, 1}, {2, 2}}

In[6]:=LinearSolve[m1, {4, 6}]Trata de resolver el sistema

Out[6]=LinearSolve::nosol:El sistema no tiene solución.

El siguiente mensaje es mostrado cuando no existe solución del sistema.Linear equation encountered which has no solution.

LinearSolve[{{1, 1}, {2, 2}}, {4, 6}]

Otra forma de resolver un sistema lineal es el siguiente:

Sea el sistema:

x + 5y + 6z = 5 -2x + 5y + z = 7 -2x + 3y + 6z = 2

In[1]:= m = {{1, 5, 6}, {-2, 5, 1}, {-2, 3, 6}} Definimos la matriz m

Out[1]= {{1, 5, 6}, {-2, 5, 1}, {-2, 3, 6}}

5In[2]:=m . {x, y, z} == {5, 7, 2} Definimos el Sistema m x= 7 2

Out[2]={x + 5 y + 6 z, -2 x + 5 y + z, -2 x + 3 y + 6 z} == {5, 7, 2}


In[3]:=Solve[%, {x, y, z}] Pedimos resuelve el sistema.

Out[3]= 1 150 41{{x -> -----, y -> -----, z -> -(-----)}} 101 101 101

x = 1 /101, y = 150 / 101, z = - 41 / 101 El sistema es resulto con éxito.


CAPITULO IV

CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL.

[El cálculo es] el producto de un dramático conflicto intelectual que ha durado veinticinco siglos. Richard Courant.

Principales contribuyentes al cálculo.

287-212 a.C. Arquímedes1571-1630 J. Kepler. Leyes del movimiento planetario.1596-1650 R. Descartes. Geometría analítica de Descartes.1601-1665 Pierre de Fermat.1623-1662 B. Pascal.1652-1719 Michel Rolle.1642-1727 I. Newton. Descubre el Cálculo.1646-1716 G. Leibniz.1661-1704 L´Hopital. Primer texto de Cálculo.1667-1748 J. Bernulli.1685-1731 Brook Taylor.1698-1746 Colin Maclaurin.1707-1783 L. Euler. Introduce el número e.1710-1761 Thomas Simpson.1718- 1799 M. Agnesi.1736-1813 Lagrange. Comienza Mecánica Analítica.1749-1827 Piere-Simon de Laplace.1777-1855 C. Gauss. Demuestra el teorema fundamental del álgebra.1789-1857 A. Cauchy. Noción precisa del cálculo.1793-1841 George Green.1815-1897 K. Weierstrass1819-1903 George Gabriel Stokes1826-1866 G. Riemann. Integral de Riemann.1839-1903 J. Gibss.1850-1891 S. Kovalevsky. E es trascendental (Hermite).1875-1941 H. Lebesgue. Integral de Lebesgue.


MATHEMATICA tiene la habilidad de manejar expresiones simbólicas, siempre

utilizadas en matemáticas. Cálculo es un ejemplo, con MATHEMATICA podemos

diferenciar una expresión simbólicamente y obtener una fórmula para el resultado.

Obtener fórmulas así como el resultado de cálculos es usualmente deseable

cuando se puede. Sin embargo hay muchas circunstancias donde es

matemáticamente imposible obtener una fórmula explícita como resultado de un

cálculo, esto sucede por ejemplo cuando uno trata de resolver una ecuación para

la cual no existe una solución, en tal caso mejor recurrimos a un método numérico

de aproximación.

Comandos principales de Derivadas y Limites.

D[f, x]. Derivada parcial df/dx. Limit[expr, x->x°] Encuentra el limite cundo x se aproxima x°

D[f, {x, n}]. Derivadas de orden superior dⁿ /dx ƒ. Dt[f]. Diferencial total df.

Dt[f, x] Derivada implícita d/dx ƒ.

Ejemplos. Obtener las derivadas de las funciones.

f(x)=(1 - 4 x + 2 x² )⁶⁰ Definimos f(x).

In[1]:=D[(2x^2 - 4x + 1)^60, x]

Pedimos la derivada de f(x) con respecto a x.

Out[1]=60 (-4 + 4 x) (1 - 4 x + 2 x² )⁵⁹

Obtenemos la derivada de f(x).

f(x) = - Seno (3 x - x³) Definimos f(x)

In[4]:= f(x)= -Sin[3 x – x^3]; Damos entrada a la función.

In[5]:=D[%, x] del último resultado Out[5]= -((3 - 3 x² ) Cos[3 x - x³ ])


Pedimos la derivada de f(x) con respecto a x.

Obtenemos la derivada buscada.

f(x) = t³ - 2t + 1/ t⁴+3 Definida f(x)

In[6]:=w = ((t^3 - 2t + 1)/( t^4 + 3)) Asignamos a W= a la función f(x)

Out[6]1 - 2 t + t³--------------

3 + t⁴

In[7]:=D[w, t] La derivada de w con respecto

a t

Out[7]= -4 t³ (1 - 2 t + t³ ) -2 + 3 t² ---------------------- + ------------- Obtenemos la derivada. (3 + t⁴ )² 3 + t⁴

Nota: cos x³ = cos(x³) y (cos x)³ = cos³ x por lo tanto nuestra función la podemos escribir como:

f(x) = Seno³ 4x = ((Sin[4x])^3)

In[8]:=a = ((Sin[4x])^3) Definimos a= Seno³ 4x

Out[8]=Sin[4 x]³Nótese que esta expresión es la misma

que Seno³ 4x

In[9]:=D[a, x]Pedimos la derivada de a con respecto

a x.

Out[9]:=12 Cos[4 x] Sin[4 x]² = 12 Sin² (4x) Cos (4x) Obtenemos la derivada

La descripción de los pasos es similar a las anteriores.

f(x) = Sen(Cos(x²)

In[3]:=F = Sin[Cos[x^2]]Out[3]=Sin[Cos[x² ]]

In[4]:= D[%, x]Out[4]=-2 x Cos[Cos[x² ]] Sin[x² ]


f(x) = Sen ( Cos (Sen 2x))

In[5]:= t = Sin[ Cos[ Sin[2x]]]

Out[5]= Sin[Cos[Sin[2 x]]]

In[6]:= D[%, x]

Out[6]= -2 Cos[2 x] Cos[Cos[Sin[2 x]]] Sin[Sin[2 x]]

Evaluación de una derivada.

(1 + x²)³ f´(3) sí f(x) = --------- Definimos f(x). (2 + x)³

In[1]:= h = D[((x^2 +1)/(x + 2))^3, x] /. x->3 Asignamos h= derivada de f(x) con respecto

a x evaluada en x= 3

48Out[1]= ---- Derivada evaluada. 5

Derivadas de orden superior.

Obtener la 2ª derivada de la siguiente función.

In[1]:=(1 + x²)³

f(x) = -------------- ; Definida f(x).(2 + x)³

In[2]:= D[%, {x, 2}] Pedimos la segunda derivada de la última expresión.

Out[2]= 24 x² (1 + x²) 36 x (1 + x²)² 6 (1 + x²)² 12 (1 + x²)³-------------------- - -------------------- + ----------------- + ---------------- Aquí esta la 2ª


(2 + x)³ (2 + x)⁴ (2 + x)³ (2 + x)⁴ derivada. Ok.

Es importante que el alumno observe y distinga los diferentes comandos así como la correcta sintaxis.

f(x) = -8 + 7 x - 4 x² + 2 x³ Definida la función f(x).

In[46]:= 2 x^3 - 4 x^2 + 7 x – 8

Out[46]= -8 + 7 x - 4 x² + 2 x³

f´(x)

In[47]:=D[%, x]

Out[47]= 7 - 8 x + 6 x²1ª derivada con respecto a x de la última

expresión.

In[48]:= D[%46, {x, 2}]

2ª derivada con respecto a x de la salida In[46]

f´´(x)

Out[48]= -8 + 12 x 2ª derivada

In[49]:= D[%46, {x, 3}]


f´´´(x)

Out[49]= 12 3ª derivada

In[50]:= D[%46, {x, 4}]


f´´´´(x)

Out[50]=0 4ª derivada

Derivación implícita.


Las ecuaciones en las que y no esta despejada en una forma explícita. Y si lo

intentamos no parece que se pueda despejar y. ¿ será posible encontrar dy/dx en

estas circunstancias? Si derivando con respecto a x ambos miembros de la

ecuación.

Ejemplo. 7 Y + Y³ = 3 X³

In[59]:= Y^3 + 7Y == 3 X^3

Out[59]= 7 Y + Y³ == 3 X³

El símbolo == indica igual

In[60]:= Dt[%59, x] Dt[f].Diferencial total .

Out[60]=7 Dt[Y, x] + 3 Y² Dt[Y, x] == 9 X² Dt[X, x]

Lo que MATHEMATICA nos muestra como resultado lo podemos interpretar de la siguiente forma.

7 dy/dx + 3 y² dy/dx = 9 x² dx/dx dy/dx (7 + 3 y²) = 9 x²

dy/dx = 9 x² / ( 7 + 3 y² )

Otro ejemplo:

F(x) = x² - y² - 9

In[7]:= Dt[x^2 - y^2 - 9, x]

La derivada total de F(x) = x² - y² - 9 con respecto a x.

Out[7]= 2 x - 2 y Dt[y, x] ;

2 x = 2 y dy/dx = x/y = dy/dx

Integrales indefinidas.


Las matemáticas contienen muchos pares de operaciones inversas: adición y

sustracción, multiplicación y división, elevación de potencias y extracción de

raíces, tomar logaritmos y encontrar antilogaritmos. Hemos visto la derivación, su

inversa es la antiderivación. Para denotar la antiderivada usaremos la notación

original de Leibniz ∫.

En MATHEMATICA la función Integrate[f, x] es el comando para obtener la

integral indefinida ∫fdx, el sistema aplica los teoremas y reglas matemáticas para

obtener la integral. Nosotros podemos considerar que el proceso de la integral

indefinida es una operación inversa de la diferenciación. Si tomamos el resultado

de la integral (Integrate ∫fdx) y la diferenciamos siempre vamos a obtener el

resultado matemáticamente igual a la expresión original.

En general, sin embargo esto es toda una familia de resultados que tienen la

propiedad de la derivada de f(x). Integrate[f, x] da una expresión cuya derivada

es f(x). Podemos obtener otras expresiones adicionando una constante arbitraria

de integración.

La función Integrate asume que cualquier objeto que no detalla la variable de

integración es independiente de ella, y la puede tratar como una constante. Como

resultado Integrate busca una inversa de la diferenciación parcial.

Comandos principales de integración.

Integrate[fx, x]. Integral indefinida ∫f dx.

Integrate[f, {x, xmin, xmax}]. Integral definida entre (x min x max).

Ejemplos: Encontrar la Integral (antiderivada) de las siguientes funciones.

4 3∫ ---- - ---- dx


x⁵ x⁴

In[1]:= Integrate[(4/x^5) - (3/x^4), x]

Encuentre la integral de la función con respecto a x.

Out[1]=-x⁴ + x-³ + c

Resultado de calcular la integral, la constante C el sistema no la indica.

- 8 + 3 x⁵ + 4 x⁶∫ ----------------------- dx

x⁵

In[2]:=Integrate[(4x^6 + 3x^5 -8)/x^5, x]

Out[2]=2

---- + 3 x + 2 x² + cx⁴

∫[3 Sin[t] - 2 Cos[t] dx

In[4]:= Integrate[3 Sin[t] - 2 Cos[t], t]

Integral indefinida de la función con respecto a t.

Out[4]= -3 Cos[t] - 2 Sin[t] + c

∫Cos[x] Sin[x]⁴ dx

In[5]:=Integrate[(Sin [x])^4 Cos[x], x]

Out[5]=Sin[x]⁵

----------- + c5

x²∫ 2 Sqrt[-1 + x] x + ------------------- dx

2 Sqrt[-1 + x]

In[3]:= Integrate[%, x] Out[3]=Sqrt[-1 + x] x² + c


1 + x⁴∫- ------------------------- dx

x² Sqrt[-1 + x⁴ ]

In[8]:= Integrate[%, x]Out[8]=

Sqrt[-1 + x ] ---------------------- + c x

Integrales que mathematica puede y no puede resolver.

La evaluación de integrales es mucho más difícil que la evaluación de derivadas.

Para las derivadas se tiene un sistemático procedimiento que involucra una serie

de reglas que permite trabajar cualquier derivada. Sin embargo para las integrales

no tiene tales sistemáticos procedimientos. Habiendo principios generales, pero

hay muchas integrales que no pueden realizarse usando estos principios.


El tipo de integrales que puede realizar en términos de una función simple, sí bien

no en casos de funciones particularmente extensas. Una de las principales

capacidades del sistema es la construcción de la función Integrate, ser capaz de

iniciar tomando esencialmente cualquier integrando que involucre un particular

tipo de función simple, y encontrar la integral si esta puede expresarse en términos

del mismo tipo de función simple. Lo relevante de este tipo de funciones simples

involucra a: funciones racionales, exponenciales y logarítmicas, como también las

trigonométricas y sus funciones trigonométricas inversas.

Frecuentemente vamos a obtener integrales que no pude realizar el sistema en

términos de funciones simples.

En un uso práctico aparecen ciertas integrales que ocurren mas frecuentemente

que otras, esta integrales pueden algunas veces expresarse en términos de

funciones especiales que frecuentemente definimos específicamente como un

camino para representar la integral. Dentro de MATHEMATICA está un tema

especial de funciones especiales.

Concluyendo MATHEMATICA en la practica divide en tres posibles casos la

resolución de integrales.

Integrales simplesIntegrales de funciones especiales

Integrales que no pueden resolverse en término de un standard de funciones simples o especiales.

Ejemplo de integral que no puede resolver el sistema.

∫ Sin[Sin[x]] dx

In[1]:=Integrate[Sin[Sin[x]],x]

Integral indefinida de Seno(Seno x) con respecto a x.

Out[1]=Integrate[Sin[Sin[x]], x]

Indica el sistema que no puede resolverla. Dejando indicada el comando

de integral.


Integrales definidas.(o integral de riemann)

Dos problemas, ambos geométricos, motivaron las dos más grandes ideas del

cálculo. El problema de la tangente nos condujo a la derivada. El problema del

área nos llevara a la integral definida.

Para los polígonos el área apenas si es un problema. Pero cuando consideramos

una región limitada por una curva, el problema de asignar el área es de una

dificultad mayor, sin embargo, hace más de 2000 años, Arquímedes nos dio la

clave de solución, al considerar una sucesión de polígonos inscritos que se

aproximan a la región de la curva con una precisión cada vez más grande.

Arquímedes fue más allá, considerando polígonos circunscritos. No hay más que

un pequeño paso entre lo que él hizo y nuestro tratamiento moderno del área.

Tanto Newton como Leibniz presentaron conceptos de la integral definida, sin

embargo fue Reimann quien dio la definición moderna.

El teorema de integrabilidad es el más importante para el cálculo de integrales

definidas.

Si ƒ esta acotada en [a, b] y si es continua en ese intervalo, con excepción de un

número finito de puntos, entonces ƒ es integrable en [a, b]. En particular, si ƒ es

continua en todo el intervalo [a, b], es integrable en [a, b].

Como consecuencia de este teorema, son integrables las siguientes funciones en

todo intervalo cerrado [a, b].

Las funciones polinomiales.Las funciones seno y coseno.

Las funciones racionales, una vez que el intervalo [a, b] no contenga puntos en los que el denominador sea cero.


Cálculo de integrales definidas.

El saber que una función es integrable nos permite calcular su integral mediante el

uso de una partición regular (subintervalos de igual longitud) y la elección de

puntos muestra en cualquier forma que sea conveniente.

Comando.

Integrate[f, {x, xmin, xmax}]. Integral definida.

Ejemplos: a∫ √ [a² - x² ] dx ⁰

In[5]:=Integrate[(a^2 - x^2)^(1/2), {x, 0, a}]

Integra la función definida en el intervalo cerrado de [ 0, a ].

Out[5]=

a² Pi---------Unidades² Obtenemos el Resultado. 4

1∫ x⁴ √ (1 - x²) dx -₁

In[9]:=Integrate[x^4/Sqrt[1 - x^2], {x, -1, 1}]

Integra la función definida en el intervalo cerrado [ -1, 1 ]

Out[9]=

3 Pi-------Unid²Obtenemos el Resultado 8

-₄ 1 ∫ ------------- dx ₀ -a⁴ + x⁴


In[9]:= Integrate[1/(x^4 - a^4), {x, 0, 4}]

Out[9]= -(Log[-a] - Log[a]) --------------------------- + 4 a³

4 -2 ArcTan[----] + Log[4 - a] - Log[4 + a] a ------------------------------------------------------- Unidades² 4 a³

Integrales definidas auxiliándonos con gráficas de las funciones.

f(x) = 1 + X² Definimos la función.

In[1]:=Plot[x^2 + 1, {x, -2, 4}, PlotRange->{-1, 5}] Gratificamos la función.

₂∫ x² +1 dx -1

In[2]:= Integrate[x^2 + 1, {x, -1, 2}]

Integramos la función en el intervalo cerrado

Out[2]= 6 Unidades² Resultado


[ -1, 2 ]

f(x) = x + 3 Función definida.

In[3]:= Plot[x + 3, {x, 3, 4}] Graficamos la función.

₃∫ x + 3 dx -²

In[4]:=Integrate[x + 3, {x, -2, 3}]

Integramos la función en el intervalo cerrado[-2,3]

Integramos la función de –2 hasta 3

35Out[4]= ----- Unidades² Resultado.

2

f(x)= Sen³ 2x Cos 2x Función definida.

In[3]:= Plot[Sin[2x]^3 Cos[2x], {x, 0, Pi/4}] Gráfica de la función.

Π/4∫ Sen³ 2x Cos 2x dx ⁰

In[4]:= Integrate[Sin[2x]^3 Cos[2x], {x, 0, Pi/4}] 1


Obtenemos la integral definida el intervalo cerrado [ 0, 4π]

Out[4]= --- Unidades² 8

1/3 4/3f(x)= x + x

Plot[x^(1/3) + x^(4/3), {x, 1, 8}]

₈ 1/3 4/3∫ x + x dx ¹

In[5]:=Integrate[x^(1/3) + x^(4/3), {x, 1, 8}]

Out[5]= 1839---------- Unidades² Resultado. 28

Plot[Sqrt[x^2 + x] (2 x + 1), {x, 0, 4}]


₄ ∫ √(x² + x) * (2x + 1) ⁰

In[6]:=Integrate[Sqrt[x^2 + x] (2 x + 1), {x, 0,

4}]

Out[6]= 80 Sqrt[5] ---------------- Unidades² 3

₅ ∫ t √ t² - 4 dx ²

In[8]:=Integrate[t * Sqrt[t^2 - 4], {t, 2, 5}] Out[8]=7 Sqrt[21] Unidades²

TECNICAS DE INTEGRACION

Integrales que se resuelven por sustitución trigonómetrica. Sec⁵ x ∫-----------------------dx Definida la función. Sec x

In[8]:= Integrate[(Sec[x])^5 /Sec[x],x]

Integral indefinida de la función con respecto a x.

Out[8]= 3Sec[x] (3 Sin[x] + Sin[3 x])------------------------------------- + C Resultado 6

t² Cos t³ - 2 ∫ -----------------------dx Función definida. Sen ( t³ - 2 )²

In[5]:=


Integrate[((t^2Cos[t^3-2]))/(Sin[t^3-2])^2, t]

Integral indefinida de la función con respecto a t.

Out[5]= Csc[ 2 - t³ ]---------------- + c Resultado. 3

1/2∫ x (3x + 2) dx Definimos la función.

In[5]:=Integrate[x * (3x + 2)^(1/2), x]

La integramos con respecto a x

Out[5]= 16 4 x 2 x²Sqrt[2 + 3 x] (-(------) + ------ + ------) + c. 135 45 5 Resultado

Simplify [%]:=

Simplificamos el último resultado.2 (2 + 3 x) (-4 + 9 x)--------------------------- {Sqrt[2 + 3 x]} + c 135 Resultado final.

Integrales trigonométricas.

∫ (Sen x)² dx Sea la función.

In[1]:=Integrate[(Sin[x])^2, x]

Indicamos que resuelva la integral con respecto a x.

Out[1]=

2 x - Sin[2 x] ------------------- + c Resultado. 4


∫ (Cos x)⁴ dx Definida la función.

In[2]:=Integrate[(Cos[x])^4, x]

Resuelve la integral indefinida de la función con respecto a x.

Out[2]=

12 x + 8 Sin[2 x] + Sin[4 x]-------------------------------------- + c. 32 Resultado

∫ Sen x² Cos x⁴ dx Integrar la siguiente función.

In[3]:=Integrate[Sin[x]^2 Cos[x]^4, x]

Indicamos resolver la integralindefinida con respecto a x.

Out[3]= 12 x + 3 Sin[2 x] - 3 Sin[4 x] - Sin[6 x]---------------------------------------------------- + c 192 Exito

∫ Sen 4y cos 5y dx

In[4]:=

Integrate[(Sin[4y]) * (Cos[5Y]), y]

Out[4]=

- (Cos[4 y] Cos[5 Y])---------------------------- + c 4

Integrales sustituciones para racionalización.

∫ x √ x + 3 dx

In[1]:=

Integrate[x Sqrt[x + 3], x]

Out[1] = 12 2 x 2 x²Sqrt[3 + x] (-(------) + ------ + -------) + c 5 5 5

In[2]:=Factor[%]

3/22 (-2 + x) (3 + x)----------------------- + c 5


∫ (2x + 1) ( x² + 2x +2 ) dx

In[2]:=Integrate[(2x + 1)/(x^2 + 2 x + 2), x]

Out[2]=- ArcTan[1 + x] + Log[2 + 2 x + x² ] + c

1∫--------- dx(√ x) + 2

In[3]:=Integrate[1/(x^(1/2) + 2), {x, 1, 4}]

En el eintervalo[1,4]

Out[3]=2 + 4 Log[3] - 4 Log[4]

∫ (Tan x )³ dx

In[4]:= Integrate[(Tan[x])^3, x]

Out[4]= Sec[x]²Log[Cos[x]] + ----------- + c 2


CAPITULO V

GRÁFICOS EN DOS DIMENSIONES.

Comandos básicos.

Estas son algunas opciones para usarse con el comando Plot, que también se usan con el comando Show.

Plot[f, {x, xmin, xmax}] traza f como una función de x desde un intervalo de x-minimo hasta x-máximo. Resaltando que daremos uso a las llaves { }

Plot[{f1,f2,......}, {x, xmin, xmax}] Traza varias Funciones juntas.

Ejemplos:

In[1[:=Plot[Sin[x]{x, 0, 4Pi}] Gráfica la función Seno de x como una función de x, desde 0 hasta 4π.

Graphics.


Podemos trazar funciones que tengan particularidades, MATHEMATICA intentará y escogerá una escala apropiada para dibujarla y tomará el intervalo propuesto para x.

In[2]:=Plot[Tan[x], {x, 6, 6}] Gráfica la función Tg x en el intervalo (–6 , 6)

Graphics.

Podemos dar una lista de funciones para trazar a la vez.

In[1]:=Plot[{Sin[x]Sin[2x]Sin[3x]}{x,0,2Pi}]Gráfica las funciones Seno x, Seno 2 x , Seno 3 x en el intervalo (0, 2π)

Graphics-.


Algunas de las opciones que podemos relacionar con el comando “Plot” son:

Frame >True. Dibuja un marco alredor de la gráfica y mueve hacia abajo la escala del eje x. Valor por default False .

In [3]:=Plot[Sin[x^2], {x, 0, 5}, Frame->True] Gráfica la función Seno 2 x² en el intervalo ( 0, 5).

Graphics.

AspectRatio. Valor por default 1/GoldenRatio . Da la proporción a lo ancho y alto del trazo de la gráfica. Automatic asigna a los ejes coordenados una escala

adecuada para x y.

GridLines > Automatic. Traza líneas perpendiculares al eje x en forma de cuadricula.

In[9]:=Plot[Sin[x^2],{x, 0, 5},Frame->True, GridLines->Automatic,ApectRatio->

Automatic]

Gráfica la función Seno x² en el intervalo (0, 5), dibuja el marco,

cuadrícula la gráfica y asigna una escala adecuada para x y.


Graphics-

Axes. Valor por default True. Coloca en los ejes x yLos rangos apropiados. False (lo contrario).

In[4]:=Plot[Sin[x^2], {x, 0, 5},Axes- Plot[Sin[x^2], {x, 0, 5}, Axes->True] >False]

Graphics-.

In[3]:=Plot[Sin[x^2], {x, 0, 5}, AxesLabel->{"x", "y"}]AxesLabel->{x, y}. Coloca la etiqueta al eje horizontal con “ x “, y el vertical con

“ y “ (valor por default None ).


AxesOrigin>{x, y}. Coloca el origen en las coordenadas ( x y ). Tiene como valor por default

Automatic. (0, 0).

In[8]:=Plot[Sin[x^2], {x, 0, 5}, AxesOrigin->{3, 0}, AxesLabel->[{"x", "y"}]Cambia el origen de las coordenadas (3, 0).

FrameLabel->{“a”, “b”, “c”, “d”}. Etiqueta el marco a su alrededor. Empezando por el eje x en sentido de las manecillas del reloj.

FrameTicks->{a, a1, a2}, Automatic. Muestra en el borde de la gráfica sobre el eje x la numeración en que ha sido marcado arbitrariamente dicho eje.

PlotLabel ->"xxxxx" Nos permite asignar un titulo o nombre a la gráfica.


El siguiente ejemplo muestra aplica la mayoría de las opciones para el comando Plot.

In[6]:=Plot[Sin[x^2], {x, -6, 6}, Frame ->True, FrameLabel ->{"s1", "s2", " s3", " s4"}, FrameTicks ->{{-6, -4, -2, -1, 0, 6},Automatic}, GridLines -

>Automatic, AxesLabel ->{"x", "y"},PlotLabel ->"GRAFICO DE LA FUNCION SENO X^2",PlotRange->{-3, 3}]

Recuperar un gráfico y redefinirlo con nuevas opciones mediante el comando “ show ”

MATHEMATICA guarda la información acerca de cada gráfica que genera, misma que puede ser recuperada y cuando esto sucede sus trazos pueden ser modificados por las opciones antes vistas.

Show[ plot ] Recupera la gráfica.

Show[ plot1, plot2,...] Recupera y combina varias gráficas.

Show[GraphicsArray[{{plot1, plot2, ....}...}]] Recupera en ese orden las gráficas.

Mostremos el siguiente ejemplo:


In[1]:=Plot[fx=2x^3+9/7, {x, 3, 3}]

Out[1]=Graphics

In[2]:=Show[%] Recupera el último gráfico.

Out[2]=Graphics

PlotRange>{y1,y2}.Nos permite modificar el rango eje y .

In[3]:=Show[%, PlotRange>{6, 4}]Recuperamos la última salida y mediante el comando PlotRange> aumentamos el rango del eje y.

Out[3]=Graphics


In[4]:=Show[%, PlotLabel ->"HURACAN PAULINA", AxesOrigin->{-1, 2}]

Recuperamos el último gráfico y lo modificamos con los comandos: PlotLabel ->"HURACAN PAULINA AxesOrigin->{-1, 2}] asignándole un titulo al gráfico y cambiando las coordenadas donde se cruzan los ejes x y.

Out[4]=Graphics

In[5]:=duca = Plot[fx=2x^3+9/7, {x, 3, 3}] Duca= gráfica la función2x³ + 9/7 en el intervalo (3, 3).

In[6]:= lopo = Plot[fx=2x^2+9/7, {x, -3, 3}, AxesOrigin ->{2, 3}] Lopo = gráfica la función 2x² + 9/7 en el intervalo (-3, 3)y cambia el cruce de los ejes en (2, 3)

Out[6]=Graphics.


In[7]:=Show[duca,lopo] Recupera las gráficas duca y lopo.

Out[7]=Graphics

Show[GraphicsArray ] agrupa en formas diferentes a los gráficos.

In[8]:=Show[GraphicsArray[{duca, sol, luna}]]Agrupa horizontalmente las gráficas duca,sol y luna las que fueron definidas anteriormente, según el

orden propuesto.

Out[8]=Graphics


In[9]:=Show[GraphicsArray[{{duca}, {sol}, {luna}}]]Agrupa verticalmente según el orden propuesto. Solo cambia la forma de

sintaxis de las llaves y comas.

Out[9]:=Graphics

In[10]:=Show[GraphicsArray[{{duca, sol}, {luna, sol}}, Frame ->True]]Agrupa las gráficas:{{duca, sol}, {luna, sol}}, de dos en dos horizontalmente,

según el orden propuesto.(Ojo en la sintaxis de las llaves y comas.


Gráfico de una lista datos.

Lejos de haber visto como usar MATHEMATICA para graficar funciones, en la

cual le indicamos al programa una función e inmediatamente se construye la curva

o superficie evaluando la función en los diferentes puntos.

A continuación se describe cómo podemos hacer un gráfico de una lista de datos,

en lugar de la función. Los comandos de MATHEMATICA para trazar una lista de datos son

muy análogos a los ya vistos anteriormente.

ListPLot[{y1,y2,..}]. Gráfica y1, y2, ...donde x toma el valor 1,2,...

ListPLot[{{x1,y1},{x2,y2},..}]. Gráfica los puntos (x1,y1).

ListPlot[list, PlotJoined ->True]. Une los puntos de la gráfica con una línea.

In[1]:=topo = Table[i^3, {i, 15}]Asigna a topo la tabla de datos i³, donde i toma valores de 1 hasta 15.

Out[1]={1,8,27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375} Obtenemos todos los valores de i

In[2]:=ListPlot[topo]Gráfica(y1, y2), ...donde X toma los valores de 1,2,.....15 y Y los valores de la tabla topo.

Out[2]=Graphics


In[3]:=ListPlot[topo, PlotJoined->True]Gráfica los puntos de la tabla topo y lo

Une formando una línea.


GRÁFICOS EN TRES DIMENSIONES.

Comando principal.

Plot3D[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}]Traza una gráfica en tres dimensiones de f como una función de las variables x y.

Ejemplo:

Plot3D[Sin[x y], {x, 0, 4}, {y, 0, 4}, Boxed->True]

Gráfica la función Seno (x y), con los valores de X y Y en el intervalo [0, 4].

Este bloque de gráficos es análogo a los de dos dimensiones, en sus comandos y opciones, describiremos a continuación las opciones para el comando Plot3D más comunes con sus valores por default.

Boxed->True. Si el gráfico de 3 dimensiones será encerrado en una caja. False hace lo contrario.

ColorFunction->Automatic.Que colores aplicara para el sombreado; matiz del color predeterminado o un cambio.

FaceGrids->None. Determina en la gráfica la rejilla de la caja, All dibuja una rejilla en cada cara de la gráfica.


Show[seno, Boxed->False] Recupra la Gráfica Seno modificándola por la opción Boxed->False. Borrando la caja

en la cual estaba encerrada.

Show[seno,FaceGrids->All] Recupera la gráfica Seno, y mediante FaceGrids->All. Encierra con una rejilla en

todas las caras de la caja(boxe).

Lighting->True. Presenta o quita el color de la superficie de la gráfica.

Mesh->True. Cambia la apariencia de la superficie de la gráfica.

HiddenSurface->True. Presenta la gráfica quitándole el color a la superficie de la misma conservando los efectos sombra.


Show[seno, Lighting->False]

Lighting->False Quita el color de la gráfica, dejándola en matices de negro y gris conservando los efectos de sombra.True hace lo contrario.

Show[%, Mesh->False] Recupera la última salida. Y aplica la opción Mesh->False modificando la apariencia de la superficie de la gráfica.

Shading->True. Asigna los efectos de sombra y color de la superficie de la gráfica. False los quita.

Show[seno, Shading->False] Quita efectos de sombra y color de la superficie de la gráfica


Show[seno, ViewPoint->{2, -2, 0}] Show[seno, ViewPoint->{0, -2, 2}]

Gira la gráfica presentándola en una vista casi horizontal.

Gira la gráfica con una perspectiva vista desde lo alto.

PlotPoint->n. Cambia el número de puntos en cada dirección que tiene especificada la función, sobre la superficie de la gráfica. Donde n toma valore

numérico.

Plot3D[Sin [x + Sin[y]],{x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

Plot3D[ Sin[x + Sin[y]], {x, -3, 3},{y, -3, 3},PlotPoints->45]

Estos dos gráficos nos muestran como cambia la apariencia de la superficie de la gráfica al asignarle un valor de 45 a la opción PlotPoints->45, con respecto al primer gráfico que tiene un valor predeterminado por default,


GRÁFICOS PARAMETRICOS.

En los gráficos anteriores describimos como trazar curvas en MATHEMATICA. En la cual damos al eje y coordenada de cada punto como una función de la coordenada x. Podemos usar MATHEMATICA también para obtener gráficos parametricos, en un gráfico de este tipo damos a ambos x y y coordenadas de cada punto como una función de un tercer parámetro llamado t.

Comandos principales.

ParametricPlot[{fx, fy}, {t, tmin, tmax}]. Traza un gráfico parametrico, en un plano.

ParametricPlot[{{fx, fy}, {gx, gy}, {t, tmin, tmax}]. Traza varias curvas parametricas, en un plano.

ParametricPlot3D[{fx, fy, fz}, {t, tmin, tmax}]. Traza un gráfico parametrico de una curva tridimensional.

ParametricPlot3D[{fx, fy, fz}, {t, tmin, tmax}, {u, umin, umax}]. Traza unGráfico parametrico de una superficie tridimensional.

Ejemplos:

ParametricPlot[{Sin[t], Sin[2t]},{t, 0, 2Pi}]

Gráfica de Seno t y Seno 2t tomando como intervalo de la gráfica a t con

valores de [0 , 2π]


ParametricPlot[{Sin[t], Cos[t]},{t, 0, 2Pi}] Gráfica de Seno t, Cos t . Donde t toma

valores de 0 a 2 π.

Show[%, AspectRatio -> Automatic]Recupera el gráfico anterior.

AspectRatio->Automatic. Determina la escala apropiada para presentar la

imagen de la gráfica.

ParametricPlot[{{Sin[t], Cos[t]}, {Sin[t], t/3}}, {t, 0, 5}]

Traza las fuciones {Sen t, Cos t} ,{Sen t, t/3} a la vez en un plano en el

intervalo que toma valores de t de 0 a 5


ParametricPlot3D[{Sin[t], Cos[t], t/3}, {t, 0, 15},]

Traza un gráfico parametrico de una curva tridimensional.

ParametricPlot3D[{t, u, Sin[t u]}, {t, 0, 3}, {u, 0, 3}]

Traza un gráfico parametrico de una superficie tridimensional.


ParametricPlot3D[{Sin[t], Cos[t], u}, {t, 0, 2Pi}, {u, 0, 4}]

ParametricPlot3D[{Cos[t] (3+ Cos[u]), Sin[t] (3+ Cos[u]),Sin[u]}, {t, 0, 2Pi}, {u, 0, 2Pi}]


GALERIA DE GRÁFICOS

Plot[Sin[Sin[x]], {x, 0, 10}, Background -> GrayLevel[0.7]]

<<Graphics`Shape ParametricPlot3D[{Sin[t], Cos[t], u}, s = Sphere[]; {t, 0, 2Pi}, {u, 0, 4}, Background -> Show[Graphics3D[s], Background-> RGBColor[1, 1, 0]] RGBColor[1, .7, .8]]

c2=Show[Graphics3D[Dodecahedron[]], BoxStyle->Dashing[{.02, .02}], Axes->True, AxesStyle->Thickness[.01], AxesLabel-

>{"EQUIX", "YGRIEGA ", "ZETA "}]


COMANDO ESPECIAL DE SONIDO.

En algunos sistemas de computo, MATHEMATICA puede producir no solo

gráficos sino también sonidos. El sistema trata los gráficos y sonidos en una

forma estrechamente análoga.

Comando: Play[f, {t, 0, tmax}]. Produce un sonido con una amplitud de f

como una función de tiempo t en segundos.

El sonido producido por Play puede tener cualquier forma de onda. Esto no hace

que tenga una colección consistente de piezas armónicas.

En general, la función de amplitud que damos a Play especifica la señal

instantánea asociada con el sonido. Esta señal es típicamente convertida a un

voltaje y finalmente el sonido. Note que la amplitud es algunas veces definida

como señal de un pico o cresta asociada con el sonido; en MATHEMATICA esto

es simple una señal instantánea como una función de tiempo. Ejemplos:

In[x]:=Play[Sin[(Sin[t^4] Sin[Sqrt[t + 10] t]) t] *Sin[Sqrt[t + 6]^4] Sin[2000 t], {t, 0, 20}];

Créditos a: By Arun Chandra.Se produce los tonos de sonido y nos muestra la gráfica de la amplitud de onda.


In[2]:=Play[ Sin[10000 / t], {t, -4, 4}]

Se produce los tonos de sonido y nos muestra la gráfica de la amplitud de onda.


CAPITULO VI.

PAQUETES ESPECIALES DE MATHEMATICA.

MATHEMATICA en su estructura principal esta constituida por una serie de

PACKAGES (programas) en las diferentes ramas de las matemáticas, y cada

paquete a la vez esta dividido en varios temas o funciones especiales. Los cuales

se encuentran en un subdirectorio llamado packages, mismos que pueden

ejecutarse mediante la sintaxis: <<nombre del packages`nombre del tema` a

continuación mostramos ejemplos de algunos paquetes con la sintaxis apropiada

para ejecutarlos.

<<Graphics`Graphics` (Ejecuta el programa de gráficos varios)

p = Table[Prime[n], {n, 10}]{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}Asignamos a P la

tabla de 10 primeros números primos.

TextListPlot[p] Muestra gráficamente en texto los números de la tabla P.

-Graphics-


BarChart[p]

Comando BarChart hace el gráfico de barras de la tabla P

-Graphics-

PieChart[p]Comando PieChart realiza la gráfica de pastel de la tabla P

-Graphics-


<<Graphics`Graphics3D` Sintaxis para ejecutar el Packages(Programa especial de gráficos en tres dimensiones)

is = Table[1/x + y, {y, 5}, {x, 5}] Mediante el comando Table hacemos la tabla is.

3 4 5 6 5 7 9 11 7 10 13 16

{{2, -, -, -, -}, {3, -, -, -, --}, {4, -, --, --, --},

2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5

9 13 17 21 11 16 21 26

{5, -, --, --, --}, {6, --, --, --, --}}

2 3 4 5 2 3 4 5

BarChart3D[is, XSpacing->0.5, YSpacing->0.5, ViewPoint->{-3.003, -202, .054}]

El Comando BarChart3D hace la gráfica de la tabla is.


<<Graphics`DescriptiveStatistics` Estadística descriptiva.

Sintaxis para ejecutar el Packages(Programa especial de estadística descriptiva)

ato = {4.3, 7.2, 8.4, 5.8, 9.2, 3.9}{4.3, 7.2, 8.4, 5.8, 9.2, 3.9}

Definimos la tabla de datos ato.

In[1]:=Mean[ato]El comando Mean calcula la media de

la tabla ato.

Out[1] 6.46667Obtenemos el valor numérico de la media

De la tabla ato.

In[2]:= Median[ato]El comando Median calcula la

mediana de la tabla ato.

Out[2] 6.5Obtenemos el valor numérico de la

mediana de la tabla ato.

In[3]:=Variance[ato]

El comando Variance calcula la varianza de la tabla ato.

Out[3]=4.69467

Obtenemos el valor numérico de la Varianza de la tabla ato.

In[4]:=StandardDeviation[ato]El comando StandardDesviation

calcula la Desviación standard de la

tabla ato.

Out[4]=2.16672Obtenemos el valor numérico de la

desviación standard de la tabla ato.


DispersionReport. El comando DispersionReport

Da una lista de varios resultados que caracterizan la dispersión de los datos.

In[5]:=DispersionReport[ato]

Da una lista de varios resultados que caracterizan la dispersión de los datos de

la tabla ato.

{Variance -> 4.69467, StandardDeviation -> 2.16672,SampleRange -> 5.3, MeanDeviation -> 1.8, MedianDeviation -> 2.05,

QuartileDeviation -> 2.05}


ANEXO 1. EJERCIOS PROPUESTOS

EJERCICIOS DE ALGEBRA. Aplicando los diferentes comandos de Mathematica trate de resolver los ejercicios propuestos comparándolos con el resultado. Si no puede seguro estamos en un

aprieto por que en México no hay rescate 911. “Persista”

Reducción de términos.

(-4 Aʷ ⁺ ¹ )- (7 Aʷ ⁺ ¹ )R= -11 ¹ ⁺ ʷ∎(1/3) X Y + (1/6) X YX Y---- 2∎(0.85 M X Y) - (1/2) M X Y

0.35 M X Y∎(5/6) Aʷ ⁺ ¹ - (7/12) Aʷ ⁺ ¹ A¹ ⁺ ʷ-------- 4∎M² + 71 M N - 14 M² - 65 M N + M³ - M² - 115 M² + 6 M³

-129 M² + 7 M³ + 6 M N∎0.4 X² Y + 31 + (3/8) X Y² - 0.6 Y³ - (2/5) X² Y - 0.2 X Y² + 1/4 Y³ - 6

0.175 (142.857 + 1. X Y² - 2. Y³ )

Valor numérico de expresiones compuestas.∎M1 + 2 A1 + 3 B1 -20 C1 donde{A1 = 1, B1 = 2, C1= 3, M1 = 1/2} 103-(------) 2

∎(A + B + C)/(A C) donde A = 1, B = 2, C = 3, M = 1/2, N = 1/3, P = 1/42∎(3 ( 64 B^3 C^6)^(1/3))/(2 M) donde A = 1, B = 2, C = 3, M = 1/2, N = 1/3, P = 1/4

216


∎ 1/2

((3/2) (A P B³)^(1/2))/((3/2) (125 B M)

2Sqrt[------] 5----------------- 5

= 0.126491

Multiplicación de polinomios.

∎(3 X² - 6 X + 7) 4 A X²

28 X² - 24 X³ + 12 X⁴∎((2/3) (x^4 y^2) - (3/5) (x^2 y^4) + (5/6) (y^6)) (-2/9) (G^2 x^3 y^2)

2 x⁴ y² 3 x² y⁴ 5 y⁶-2 G² x³ y² (----------- - ------------ + --------) 3 5 6---------------------------------------------------------- 9

G² x³ y⁴ (-20 x⁴ + 18 x ² y² - 25 y⁴ )---------------------------------------------------- 135

Simplificar∎-(A2 + B2 - 2 (A2 - B2) + 3 ( - (2 A2 + B2 - 3 (A2 + B2 -1))) - 3 (- A2 + 2 (-1 + A2)))3 + A2 - 9 B2

∎[x-(3 a2+2(-x+1))]

-2 - 3 a2 + 3 x

División.∎(20 AA²)/5 AA


4 AA∎(4 AA³ BB²)/ 2 AA BB

2 AA² BB∎(AAʷ⁺ ³ BBʷ ⁺ ²)/(AAʷ ⁺ ² BBʷ ⁺ ¹)

AA BB∎-2 - 4 x + 2 x³----------------- 2 + 2 x

-1 - x + x²

∎d111 = x¹² + x⁶ y⁶ - x⁸ y⁴ - x² y¹⁰

d222 = x⁸ + x⁶ y² - x⁴ y⁴ - x² y⁶

d111/d222

x⁴ - x² y² + y⁴∎d4 =x³ 35 x² y 2 x y² 3 y³---- - ---------- + ----------- - -------- 3 36 3 8

d5 = 2 x 3 y-------- - ------- 3 2

d4/d5

x³ 5 x² y 2 x y² 3 y³------ - ----------- + ----------- - --------- 3 36 3 8---------------------------------------------- 2 x 3 y ----- - ------ 3 2d4/d5


6 x² - 4 x y + 3 y²= ----------------------- 12∎d6 = 32 - 46 a² + 11 a³ - 3 a⁵

d7 = 8 - 6 a - 3 a²

d6/d7

32 - 46 a² + 11 a³ - 3 a⁵---------------------------------- 8 - 6 a - 3 a² 4 + 3 a - 2 a ² + a³∎d8 = 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x

5 a - 8 a + 19 a - 10 a + 3 a

d9 = a² - 3 a + 5

5 - 3 a + a²

d8/d9 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 2

(5 a - 8 a + 19 a - 10 a + 3 a ) / (5 - 3 a + a ) =

1 + x 2a (1 - a + 3 a )

∎d10 = -36 + 18 x + 24 x² + 6 x⁴ - 16 x⁵ + 8 x⁶

d11 = -6 + 3 x + 4 x³

d10/d11

-36 + 18 x + 24 x² + 6 x⁴ - 16 x⁵ + 8 x⁶--------------------------------------------------------- = -6 + 3 x + 4 x³

2 (1 + x) (3 - 3 x + x² ) =

6 - 4 x² + 2 x³

∎d12 = a⁵ - 7 a⁴ b + 21 a³ b² - 37 a² b³ + 38 a b⁴ - 24 b⁵


d13 = a² - 3 a b + 4 b²

d12/d13

(-a + 3 b) (-a² + a b - 2 b² )=

a³ - 4 a² b + 5 a b² - 6 b³

∎-6 - x + x²--------------- 3 + x

(-3 + x) (2 + x)--------------------- 3 + x

Apart% 6-4 + x + -------- 3 + x

∎-6 + 17 x - 7 x² + x³-------------------------- -3 + x

Apart%135 9 5 + -------- - 4 x + x² -3 + x

Productos.∎(A + B)³ 3 2 2 3A + 3 A B + 3 A B + B∎(2 a - b -c)(2 a - b +c)

4 a² - 4 a b + b² - c²

∎(x^2 - 3 y)³


x⁶ - 9 x⁴ y + 27 x² y² - 27 y³

Factorización.

∎100 x⁴ y⁶ - 121 m⁴

(-11 m² + 10 x² y³ ) (11 m² + 10 x² y³ )∎2 x⁴ -32

2 (-2 + x) (2 + x) (4 + x² )∎7 x⁶ + 32 a² x⁴ - 15 a⁴ x²

x² (5 a² + x² ) (-3 a² + 7 x² )∎36 a² b⁴ + 48 a³ b³ c + 60 a⁴ b³ m

12 a² b³ (3 b + 4 a c + 5 a² m)

Simplificación de fracciones.∎(2 x y - 2x + 3 - 3y)/(18 x³ + 15 x² - 63 x)

-1 + y-----------------3 x (7 + 3 x)∎(2 a -2 b)/(3 b - 3 a) 2-(----) 3∎(x - 2 + 3)/(x - 1)

1 + x---------1 + x

∎((a/x) - (x/a))/(1 + (a/x)) a x---- - ---- x a


----------- a1 + --- x

Factor%165a - x------ a

∎(x -2)/(x - 1/(1 - 2/(x + 2)))

-2 + x-------------------- 1x - ---------------- 2 1 - ------------ 2 + x

Factor%167 x-------1 + x


EJERCICIOS DE GRAFICAS.

graficar 225 = 9 X² + 25 Y² sugerencia despeje a Y.

1/2

y == - (9 - ((9 x²)/(25)))

9 x² 9 xSqrt[9 - -------] == -Sqrt[9 - ------] Recuerde que el símbolo == significa igual 25 25

p1 = Plot[-y, {x, -5, 5}]

-Graphics-

p2 = Plot[y, {x, -5, 5}]-Graphics-


Show[p1, p2, AspectRatio->Automatic]-Graphics-

graficar y = x²

-Graphics-

graficar Y² = 16 - X² NOTA.(+Y )tome en cuenta el signo.

-Graphics-


- Y PARA OBTENER LA PARTE INFERIOR DE LA GRAFICA .

-Graphics-Utilizar Show-Graphics-

GRAFICAR 5/x, donde X toma valores de: - 5 HASTA + 5

Sugerencia {x, -1/99999, -5}-Graphics-

seguimos sugiriendo {x, 1/99999, 5}

-Graphics-

utilizar show


-Graphics-

Utilizando los diferentes comandos de mathematica. Resolver los ejercicios de integración, comparando el resultado.

EJERCICIOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS DIRECTAS.∎ Procure obtener los mismos resultados que se indican∫ x⁶ dxx⁷-- + c Recuerde que la “ c “ no la presenta el programa.7∎∫ √x dx

3/2 2 x------ + c 3

∎∫ 4 - 3 x - 3 x² dx

3 x² 34 x - ------ - x + c 2∎ b 2 a 2/3

∫ -(----) + ----------- + 3 c x dx x² Sqrt[x]

5/3b 9 c x--- + 4 a Sqrt[x] + ---------- + cx 5

∎ 2/3 2/3 3

∫(a - x ) dx


4/3 5/3 2/3 7/3 3 9 a x 9 a x xa² x - ----------- + ------------- - ------ + c 5 7 3

Integrales por cambio de variable.∎∫ x √[a² + b² x² ] dx

a² x² (----- + -----) Sqrt[a² + b² x² ] + c 3b² 3∎

x³∫------- dx 1 + x

x² x³x - ---- + ---- - Log[1 + x] + c 2 3∎

-1 + 2 x∫------------- dx 3 + 2 x

x - 2 Log[3 + 2 x] + c∎

x/n∫ E dx

x/nE n + c

∎ -x∫ E dx

-x-E + c


∎ x∫10 dx

x 10----------- + cLog[10]∎

-(x/a) x/a 2∫ (-E + E ) dx

(2 x)/a -a a E------------- + ---------- - 2 x + c (2 x)/a

Integrales trigonométricas.∎∫ Tg bx dx

Log[Cos[b x]]-(---------------------) + c b∎

∫ Sec 3 t Tg 3 t dx

Sec[3 t]----------- + c 3

∎Hacer comentarios en esta integral.

∫Csc a y Ctg a y dy

Integrate[Csc[a y] Ctg[a y], y]

∎∫ Csc² [3 x] dx

-Cot[3 x]------------ + c


3∎

∫ (-1 + Tan[2 s]) ² dx

Tan[2 s]Log[Cos[2 s]] + ------------- + c 2∎ x∫ Sin[---] dx n

x-(n Cos[----]) + c n∎∫ Cos[2 x] + Sin[3 x] dx

-2 Cos[3 x] + 3 Sin[2 x]-------------------------------- + c 6∎∫ Sin²[x] Cos[x] dx

Sin³[x]---------- + c 3∎∫ Sin³ [x] Cos[x] dx

Sin⁴ [x]---------- + c 4

∎ Sec[Sqrt[x]]∫---------------- dx Sqrt[x]

Sqrt[x] Sqrt[x]-2 Log[Cos[------------] - Sin[-----------]] + 2 2


Sqrt[x] Sqrt[x] 2 Log[Cos[-----------] + Sin[------------]] + c 2 2∎

∫ x² Sec²[x³] dx

Tan³[x ]------------ + c 3∎∫ Tan²[x] Sec²[x] dx

Tan³[x]---------- + c 3

∎∫ Tan[x] Sec³[x] dx

Sec³[x]---------- + c 3

Integrales por sustitución trigonométrica. 1∫ ------ dx 9 x² -4

Log[-2 + 3 x] Log[2 + 3 x]----------------- - ------------------- + c 12 12∎ Cos x∫ ----------------- dx (4 - Sin²[x])

-Log[-2 + Sin[x]] Log[2 + Sin[x]]----------------------- + --------------------- + c 4 4∎∫ 1/(E^x + E^(-x)) dx

-x


-ArcTan[E ] + c∎

∫ (2x + 5)/(x² + 2x + 5) dx

2-3 ArcTan[--------] 1 + x ------------------------ + Log[5 + 2 x + x² ] + c 2

∎ 2 -(3/2)∫ ( 2 + X ) dx

x------------------- + c2 Sqrt[2 + x² ]

∎ X²∫ ------------------- dx Sqrt[-6 + X ² ]

x Sqrt[-6 + x² ] --------------------- + 3 Log[x + Sqrt[-6 + x² ]] + c 2

∎ X²∫----------------- dx 3/2 (8 + X² )

x x-(------------------) + ArcSinh[-----------------] + c Sqrt[8 + x² ] 2 Sqrt[2] ∎

X²∫ --------------- dx 3/2


(9 - X² )

X Sqrt[9 - X² ] X-(--------------------) - ArcSin[----] + c -9 + X² 3

∎ 1∫------------------------ dx X² Sqrt[5 - X² ]

-Sqrt[5 - x² ]-------------------- + c 5 x

Integración por partes.

∎ ∫ v Sin3 v² dv

18 v² - Cos[6 v] - 6 v Sin[6 v]---------------------------------------- + c 72

∎

∫ y² Sin[n y] dy

2 Cos[n y] - n² y² Cos[n y] + 2 n y Sin[n y]----------------------------------------------------------- + c n³

∎

∫ ArcSin[x] dxSqrt[1 - x² ] + x ArcSin[x] + c

∎ n ∫ x Log[x] dx

n x x Log[x]x (-(------------) + -------------) + c (1 + n) ² 1 + n


∎∫ ArcSec[y] dy -1 + y²y ArcSec[y] - Log[y + y Sqrt[----------------]] + c y²∎ Log[X]∫-------- dx (1 + X)²

Log[x]Log[x] - ---------- - Log[1 + x] + c 1 + x∎ Cos[Pi t]∫-------------- dt t E

Cos[Pi t] Pi Sin[Pi t]-(-------------) + ----------------- t t E E-------------------------------------- + c 1 + Pi²∎

Integración por fracciones parciales. -2 + 4 X∫------------------ dx (-2 + X) X (1 + X)

Log[2 - X] + Log[X] - 2 Log[1 + X] + c

∎ -3 + 5 X²∫------------- dx 7 + X³

3 Log[x] + Log[1 - x² ] + c∎ 1 + 2 X² + 4 X³∫----------------------- dx -X + 4 X³

Log[1 + 2 x]x + Log[1 - 2 x] - Log[x] + ---------------------- + c


2

∎ z²∫------------ dz (-1 + z)³ -1 2--------------- - ----------- + Log[1 - z] + c 2 (-1 + z)² -1 + z

∎ 2 - X²∫------------------------- dx 2 X + 3 X² + X³

Log[x] - Log[2 + 3 x + x²] + c

∎ ∫ √[25 - x²] dx x 25 ArcSin[---]x Sqrt[25 - x ²] 5-------------------- + -------------------- + c 2 2∎∫ (x^2 + 5)^(1/2) dx

x 5 ArcSinh[-----------]x Sqrt[5 + x² ] Sqrt[5]-------------------- + ----------------------------- + c

2 2∎ 1∫------------------------- dx X² Sqrt[-7 + X² ]

Sqrt[-7 + x² ]------------------ + c 7 x

∎ X E X∫------------ dx 2 (1 + X)


x E--------- + c 1 + x∎

Integral definida. Grafique la función y obtenga su integral definidaIntegrate[4 X - X^2, {X, 0, 4}]

32---- U² 3∎Plot X Sqrt [1 - x²] nota Show

Integrate[4 X Sqrt[1 - X^2], {X, 0, 1}] 4--- U² 3


BIBLIOGRAFIA BASICA.

Para la elaboración de este trabajo se consulto directamente estos libros.

Stephen WolframMathematica A System for Doing Mathematics by Computer. Editorial Addison-Wesley.Idioma-inglésUSASegunda edición. 1991.ISBN 0 201 51502 4; 0 201 51507 5(PBK).

Stephen Wolfram, Daniel Grayson, Roman Maeder,Mathematica A System for Doing Mathematics by Computer. Editorial Addison-Wesley.Idioma-InglésSegunda edición. 1988.USA.ISBN 0 201 19334 5; 0 201 19330 2 (PBK).

Howar Anton.Algebra lineal introducción.Editorial LIMUSA.Idioma-Español.MEXICO1996.ISBN 968 18 1660 9

Baldor Aurelio.Algebra.Editorial CCEDTA Publicaciones Culturales S. A de C. V.Décima quinta reimpresión.1997.Idioma-Español.ISBN 968 439 211 7.

Edwin J. Purcell, Dale Varvberg.Cálculo con Geometría Analítica.Editorial PRENTICE HALL HISPANOAMERICANA S.A. DE C.V.Sexta edición 1993.Idioma-Español.MEXICOISBN 968 880 338 3


Referencias bibliograficas:Bibliografía en inglés. Advanced engineering mathematics with Mathematica and Matlab Autor : Reza Malek-Madani Publisher : Addison-Wesley (1997) ISBN 0-201-59881-7

Advanced Tutorials for the Biomedical Sciences : Animations, Simulations, and Calculations Using Mathematica Autor : Charles Pidgeon Publisher : John Wiley & Sons (1996) Media : disc ISBN 0-471-18646-5

A Guidebook to Calculus with Mathematica Autor : Philip Crooke and John Ratcliffe Publisher : Wadsworth Publishing ISBN 0-534-15483-2 (Softcover)

Animating Calculus : Mathematica Notebooks for the Laboratory Autor : Ed Packel and Stan Wagon Publisher : TELOS/Springer Verlag (1996) Media : disc ISBN 0-387-94748-5

An Introduction to Programming with Mathematica, Second Edition Autor : Richard J. Gaylord, Samuel N. Kamin, Paul R. Wellin Publisher : TELOS/Springer-Verlag Media : disc ISBN 0-387-94434-6

Applied Electronic Engineering with Mathematica Autor : Alfred Riddle and Samuel Dick Publisher : Addison Wesley (1995) Media : discs ISBN 0-201-53477-0

Applied Mathematica : Getting Started, Getting it Done Autor : William T. Shaw and Jason Tigg Publisher : Addison Wesley (1994) ISBN 0-201-54217-X

A Physicist's Guide to Mathematica Autor : Patrick Tam Publisher : Academic Press Media : discs ISBN 0-12-683190-4

Atlas for Computing Mathematical Functions : An Illustrated Guide for Practitioners with Programs in C and Mathematica Autor : William J. Thompson Publisher : John Wiley & Sons (1997) Media : CD ISBN 0-471-00260-7


A Tutorial Introduction to Mathematica Autor : Wade Ellis Jr. and Ed Lodi Publisher : Brooks/Cole ISBN 0-534-15588-X (Softcover)

CalcLabs with Mathematica Autor : Nancy Blachman Publisher : Brooks/Cole (1996) ISBN 0-534-34086-5

Calculus Autor : Deborah Hughes-Hallett, Andrew Gleason Publisher : John Wiley & Sons Media : discs ISBN 0-471-31055-7 (Softcover)

Calculus Explorations Using Mathematica Autor : Allen Hibbard Publisher : Saunders College Publishing (1996) ISBN 0-03-017424-4

Calculus Explorations with Mathematica Autor : Jack K. Cohen, Frank G. Hagin Publisher : Prentice Hall (1995) Media : disc ISBN 0-13-328618-5

Calculus & Mathematica Autor : Bill Davis, Horacio Porta and Jerry Uhl Publisher : Addison Wesley (1994) Media : discs ISBN 0-201-58150-7 (Windows) ISBN 0-201-58459-X (Mac & NeXT)

Calculus & Mathematica Autor : John Emert and Roger Nelson Publisher : Saunders College Publishing ISBN 0-03-803784-1 (Softcover)

Calculus Laboratories with Mathematica, Volume 1 Autor : Michael G. Kerckhove and Van C. Nall Publisher : McGraw-Hill ISBN 0-07-034220-2 (Softcover)




Calculus Labs Using Mathematica Autor : Arthur G. Sparks, John W. Davenport and James P. Braselton Publisher : HarperCollins College Publisher ISBN 0-06-501196-1 (Softcover)

Calculus Projects Using Mathematica Autor : A. D. Andrew and T. D. Morley Publisher : McGraw-Hill ISBN 0-07-001868-5 (Softcover)

Calculus using Mathematica Autor : K. D. Stroyan Publisher : Academic Press Inc. Media : discs ISBN 0-12-672976-X (Macintosh) ISBN 0-12-672977-8 (IBM/DOS) ISBN 0-12-672978-6 (NeXT)

Calculus with Analytic Geometry, Fifth Edition Autor : Howard Anton Publisher : John Wiley & Sons Media : discs ISBN 0-471-59495-4 (Hardcover)

CLIFFORD ALGEBRAS WITH NUMERIC AND SYMBOLIC COMPUTATIONS Autor : Rafael Ablamowicz Publisher : Birkhäuser Verlag ISBN 0-8176-3907-1

Compinatorics and graph theory with Mathematica Autor : Steven Skiena Publisher : Addison Wesley (1990) ISBN 0-201-50943-1

Computational Economics and Finance : Modeling and Analysis with Mathematica Autor : Hal Varian Publisher : TELOS/Springer Verlag (1996) Media : disc ISBN 0-387-94518-0

Computational Recreations in Mathematica Autor : Ian Vardi Publisher : Addison Wesley (1992) ISBN 0-201-52989-0

Computer Simulations with Mathematica : Explorations in Complex Physical and Biological Systems Autor : Richard J. Gaylord and Paul R. Wellin Publisher : TELOS/Springer-Verlag Media : CD ISBN 0-387-94274-2 (Hardcover)


CRC Standard Curves and Surfaces : A Mathematica Notebook Autor : David von Seggern Publisher : CRC Press ISBN 0-8493-0761-9 (discs)

Differential Equations : An Introduction with Mathematica Autor : Clay C. Ross Publisher : Springer Verlag ISBN 0-387-94301-3

Differential Equations with Mathematica Autor : Kevin R. Coombs,Brian R. Hunt,Ronald L. Lipsman, John E. Osborn and Garret J. Stuck Publisher : John Wiley & Sons ISBN 0-471-10874-X (Softcover)

Differential Equations with Mathematica Autor : Martha L. Abell and James P. Braselton Publisher : AP Professional (1997) Media : CD ISBN 0-12-041550-X

Discovering Calculus with Mathematica, Second Edition Autor : Cecilia Knoll, Michael Shaw, JErry Kohnson and Benny Evans Publisher : John Wiley & Sons Inc. ISBN 0-471-00976-8 (Softcover)

Economic and Financial Modeling with Mathematica Autor : Hal R. Varian Publisher : TELOS/Springer Verlag Media : discs ISBN 0-387-97882-8 (Hardcover)

Elementary Numerical Computing with Mathematica Autor : Robert D. Skeel and Jerry B. Keiper Publisher : McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-057820-6 (Hardcover)

Elements of Mathematica Programming Autor : Troels Petersen Publisher : TELOS/Springer (1997) ISBN 0-387-94590-3

Engineering Mathematics with Mathematica Autor : John S. Robertson Publisher : McGraw Hill ISBN 0-07-053171-4 (Softcover)

Experiments in Undergraduate Mathematics : A Mathematica-Based Approach Autor : Philipp Kent, Phil Ramsden, John Wood Publisher : Imperial College Press (1996) Media : disc ISBN 1-86094-027-7 (Hardcover) ISBN 1-86094-028-5 (Softcover)


Exploring Calculus with Mathematica Autor : Edward Green,Benny Evans and Jerry Johnson Publisher : John Wiley & Sons ISBN 0-471-09718-7 (Softcover)

Exploring Calculus with Mathematica Autor : James K. Finch and Millianne Lehmann Publisher : Addison Wesley (1992) Media : discs ISBN 0-201-55572-7

Exploring Mathematics with Mathematica Autor : Theodore W. Gray, Jerry Glynn Publisher : Addison Wesley (1991) Media : CD ISBN 0-201-52809-6 (Softcover) ISBN 0-201-52809-6 (Hardcover)

Exploring Multivariable Calculus with Mathematica Autor : C. K. Cheung, G. E. Keough, Tim Murdoch Publisher : John Wiley & Sons (1996) ISBN 0-471-13754-5

Guide to Standard Mathematica Packages, Version 2.2 Publisher : Wolfram Research Inc. ISBN 1-880083-09-4 (Softcover)

Illustrated Mathematics : Visualization of Mathematical Objects with Mathematica Autor : Oliver Gloor, Beatrice Amrhein and Roman Maeder Publisher : TELOS/Springer Verlag Media : CD ISBN 0-387-14222-3

Implementing Discrete Mathematics Autor : Steven Skiena Publisher : Addison Wesley ISBN 0-201-50943-1

Interactive Calculus Publisher : D. C. Heath and Company Media : CD ISBN 0-669-35712-X (Windows)

Introduction to Computer Performance Analysis with Mathematica Autor : Arnold O. Allen Publisher : AP Professional Media : discs ISBN 0-12-051070-7 (Hardcover)

Introduction to Ordinary Differential Equations with Mathematica : An Integrated Multimedia Approach Autor : Alfred Gray, Michael Mezzino, Mark A. Pinsky Publisher : TELOS/Springer-Verlag (1997) Media : CD ISBN 0-387-94481-8


Introduction to Programming with Mathematica Autor : Richard J. Gaylord, Samuel N. Kamin and Paul R. Wellin Publisher : TELOS/Springer Verlag Media : discs ISBN 0-387-94048-0 (Hardcover)

Laboratories for Calculus I - Using Mathematica Autor : Margret H. Höft Publisher : Addison Wesley Media : discs ISBN 0-201-54345-1

Linear Algebra : An Interactive Laboratory Approach with Mathematica Autor : John R. Wicks Publisher : Addison-Wesley (1996) Media : disc ISBN 0-201-82642-9 (Macintosh) ISBN 0-201-46091-2 (Windows)

Linear Algebra with Mathematica Autor : Eugene Johnson Publisher : Brooks/Cole ISBN 0-534-13068-2

Linear Algebra with Mathematica Autor : John R. Wicks Publisher : Addison-Wesley (1996) ISBN 0-201-82642-9

Lorentzian Wormholes : From Einstein to Hawking Autor : Matt Visser Publisher : AIP Press ISBN 1-56396-394-9

Mastering Mathematica : Programming Methods and Applications Autor : John W. Gray Publisher : AP Professional (1997) Media : discs ISBN 0-12-29105-6

Mathematica 3.0 Standard Add-on Packages Publisher : Cambridge University Press ISBN 0-521-58586-4 (Hardcover) ISBN 0-521-58585-6 (Softcover)

Mathematica : A practical approach (second edition) Autor : Nancy Blachmann, Colin P. Wiliams Publisher : Variable Symbols (1997) ISBN 0-13-259201-0

Mathematica as a Tool Autor : Stephan Kaufmann Publisher : Birkhäuser ISBN 0-8176-5031-8 (Softcover)


Mathematica : A System for Doing Mathematics by Computer Autor : Stephen Wolfram Publisher : Addison Wesley ISBN 0-201-51502-4 (Hardcover) ISBN 0-201-51507-5 (Softcover)

Mathematica by Example Autor : Martha L. Abell and James P. Braselton Publisher : AP Professional (1997) Media : CD ISBN 0-12-041552-6

Mathematica CD-ROM Library Autor : M. Abell, J. Brasleton, J. Gray, A. Allen Publisher : AP Professional Media : CD ISBN 0-12-059757-8

Mathematica Computer Manual Autor : E. Kreyszig and E. J. Normington Publisher : John Wiley & Sons ISBN 0-471-11719-6

Mathematica Exercices in Introductory Physics Autor : Rodney L. Varley Publisher : Prentice Hall (1996) Media : disc ISBN 0-13-231739-7

Mathematica for Mathematics Teachers : Notes from an Introductory Course Autor : Ed Packel Publisher : Front Range Press Media : disc ISBN 0-9631678-4-7

Mathematica for Physics Autor : Robert L. Zimmermann, Fredrick L. Olness Publisher : Addison Wesley (1995) ISBN 0-201-53796-6

Mathematica for Scientists and Engineers Autor : Thomas B. Bahder Publisher : Addison Wesley (1995) ISBN 0-201-54090-8

Mathematica for the Science Autor : Richard Crandall Publisher : Addison Wesley (1991) ISBN 0-201-51001-4

Mathematica Graphics Guidebook Autor : Cameron Smith with Nancy Blachmann Publisher : Addison-Wesley ISBN 0-201-53280-8


Mathematica Graphics : Techniques and Applications Autor : Tom Wickham-Jones Publisher : TELOS/Springer Verlag Media : discs ISBN 0-387-94047-2 (Hardcover)

Mathematica in Action Autor : Stan Wagon Publisher : WH Freeman & Company ISBN 0-7167-2229-1 (Hardcover) ISBN 0-7167-2202-X (Softcover)

Mathematica in Education and Research (Journal) Publisher : TELOS/Springer Verlag ISSN 1065-2965

Mathematica in the Laboratory Autor : Samuel Dick, Alfred Riddle, Douglas Stein Publisher : Cambridge University Press (1997) ISBN 0-521-49906-2

Mathematica in Theoretical Physics : Selected Examples from Classical Mechanics to Fractals Autor : Gerd Baumann Publisher : TELOS/Springer-Verlag (1996) Media : disc ISBN 0-387-94424-9

Mathematica Lab Manual Autor : Peter V. O`Neil Publisher : PWS Publishing ISBN 0-534-94325-X

Mathematica Laboratory Manual Autor : William H. Barker, David A. Smith, Lawrence C. Moore Publisher : D.C. Heath (1996) ISBN 0-669-32795-6

Mathematica Labs for Calculus Instruction Publisher : D. C. Heath and Company ISBN 0-669-33904-0

Mathematica Labs to Accompany Linear Algebra Autor : Terry Lawson Publisher : John Wiley & Sons (1996) ISBN 0-471-14952-7

Mathematica Manual to Accompany Advanced Engineering Mathematics Autor : Erwin Kreyszig and Edward Normington Publisher : John Wiley & Sons Inc. ISBN 0-471-11719-6 (Softcover)

Mathematica Projects for Vector Calculus Autor : Michael M. Neumann, T. Len Miller Publisher : Kendall/Hunt Publishing (1996) ISBN 0-7872-2858-3


Mathematica : Quick Reference Version 2 Autor : Nancy Blachmann Publisher : Variable Symbols Inc. (1992) ISBN 0-201-62880-5

Mathematica Reference Guide Autor : Stephen Wolfram Publisher : Addison Wesley ISBN 0-201-51012-X

MathTensor : A System for Doing Tensor Analysis by Computer Autor : Leonard Parker and Steven M. Christensen Publisher : Addison Wesley ISBN 0-201-56990-6

Mathematica with Vision : Proceedings of the First International Mathematica Symposium Autor : V. Keränen, P. Mitic Publisher : Computational Mechanics Publications (1995) ISBN 1-85312-386-2

Mathematica World (Electronic Journal) Autor : Stephen M. Hunt Publisher : Ormond College,University of Melbourne,Australia Media : discs EMAIL : [email protected]

Mathematics and Mathematica for Economists Autor : Cliff J. Huang, Philip S. Crook Publisher : Blackwell (1997) ISBN 1-57718-034-8

MathLink Reference Guide, Version 2.2 Publisher : Wolfram Research Inc. ISBN 1-880083-08-6 (Softcover)

Modeling Nature : Cellular Automata Simulations with Mathematica Autor : Richard J. Gaylord, Kazume Nishidate Publisher : TELOS/Springer Verlag (1996) Media : disc ISBN 0-387-94620-9

Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces Autor : Alfred Gray Publisher : CRC Press ISBN 0-8493-7872-9 (Hardcover)

Numerical Solutions for Partial Differential Equations : Problem Solving Using Mathematica Autor : Victor G. Ganzha, Evgenii V. Vorozhtsov Publisher : CRC Press (1996) Media : disc ISBN 0-8493-7379-4


Partial Differential Equations and Mathematica Autor : Prem K. Kythe, Pratap Puri Publisher : CRC Press (1996) ISBN 0-8493-7853-2

Partial Differential Equations with Mathematica Autor : Dimitri Vvendensky Publisher : Addison Wesley (1993) ISBN 0-201-54409-1

Physicist´s Guide to Mathematica Autor : Patrick Tam Publisher : AP Professional (1997) ISBN 0-12-683190-4

Power Programming with Mathematica : The Kernel Autor : David B. Wagner Publisher : McGraw Hill (1996) Media : discs ISBN 0-07-912237-X

Programming in Mathematica Autor : Roman Maeder Publisher : Addison Wesley (1996) ISBN 0-201-85449-X

Projects in Scientific Computation Autor : Richard E. Crandall Publisher : TELOS/Springer Verlag Media : discs ISBN 0-387-97808-9

Quantum Methods with Mathematica Autor : James M. Feagin Publisher : TELOS/Springer Verlag Media : discs ISBN 0-387-97973-5 (Hardcover)

Salas and Hille's Calculus, Seventh Edition Autor : Garret J. Etgen Publisher : John Wiley & Sons Media : discs ISBN 0-471-58719-2 (Hardcover)

Selected Tutorial Notes Publisher : Wolfram Research Inc. ISBN 1-880083-07-8 (Softcover)

Self-Tutor for Computer Calculus Using Mathematica Autor : D. C. M. Burbulla and C. T. J. Dodson Publisher : Prentice Hall ISBN 0-13-803784-1 (Softcover)


Simulating Neural Networks with Mathematica Autor : James A. Freeman Publisher : Addison Wesley ISBN 0-201-56629-X

The Beginner's Guide to Mathematica Version 2 Autor : Theodore W. Gray and Jerry Glynn Publisher : Addison Wesley ISBN 0-201-58221-X

The Beginner's Guide to Mathematica Version 3 Autor : Theodore W. Gray and Jerry Glynn Publisher : Addison Wesley (1997) ISBN 0-521-62202-6 (hardcover) ISBN 0-521-62734-6 (softcover)

The Ins and Outs of Mathematica Autor : Paul Abbot Publisher : TELOS/Springer Verlag (1997) ISBN 0-387-94645-4

The Joy of Mathematica : A Point-and-Click Way to Use and Learn Mathematica Autor : Alan Shuchat and Fred Shultz Publisher : Addison Wesley (1994) Media : discs ISBN 0-201-59145-6

The Mathematica Book, Third Edition Autor : Stephen Wolfram Publisher : Cambridge University Press ISBN 0-521-58889-8 (Hardcover) ISBN 0-521-58888-X (Softcover)

The Mathematica 3.0 Book Autor : Stephen Wolfram Publisher : Wolfram Media ISBN 0-9650532-0-2 (Softcover) ISBN 0-9650532-1-0 (Hardcover)

The Mathematica Graphics Guidebook Autor : Cameron Smith and Nancy Blachmann Publisher : Addison Wesley (1995) Media : discs ISBN 0-201-53280-8

The Mathematica Guidebook Autor : Michael Trott Publisher : TELOS/Springer-Verlag Media : CD ISBN 0-387-94282-3

The Mathematica Handbook Autor : Martha L. Abell and James P. Braselton Publisher : AP Professional ISBN 0-12-041536-4 (Softcover)


The Mathematica Journal (Journal) Publisher : Miller Freeman Inc. Media : discs ISSN 1047-5974

The Mathematica Programmer Volume I Autor : Roman Maeder Publisher : AP Professional Media : disc ISBN 0-12-464990-4

The Mathematica Programmer Volume II Autor : Roman Maeder Publisher : Academic Press (1996) Media : CD ISBN 0-12-464992-0

The Power of Visualization : Notes from a Mathematica Course Autor : Stan Wagon Publisher : Front Range Press ISBN 0-9631678-3-9

Tutorials for the Biomedical Sciences : Animations, Simulations and Calculations Using Mathematica Autor : Charles Pidgeon Publisher : John Wiley & Sons (1996) Media : disc ISBN 0-471-18637-6

VisualDSolve : New Frontiers in the Visualization of Differential Equations Autor : Dan Schwalbe, Stan Wagon Publisher : TELOS/Springer Verlag (1996) Media : disc ISBN 0-387-94721-3

Visualization of Natural Phenomena Autor : Robert S. Wolff and Larry Yaeger Publisher : TELOS/Springer Verlag Media : CD ISBN 0-387-97809-7 (Hardcover)

Finish Mathematica for Windows Versio 2.2 Autor : Antti Majamemi, Tapani Ojanperä Publisher : Kymdata (1994) ISBN 951-559-137-6


Bibliografía en español. Algebra Abstracta : Planteamiento y resolucion de problemas con Mathematica Autor : F. J. Plaza, J. A. Dominguez, A. Fernandez, M. A. Asensio Publisher : Plaza Universitaria Ediciones (1996) ISBN 84-89109-09-5

Algebra Lineal : Planteamiento y resolucion de problemas con Mathematica Autor : J. A. Dominguez, A. Fernandez, F. J. Plaza, M. A. Asensio Publisher : Plaza Universitaria Ediciones (1995) ISBN 84-89109-06-0

Cálculo simbólico y numérico con Mathematica Autor : César Pérez Publisher : RA-MA Editorial (1995) ISBN 84-7897-181-5

Geometria differencial de curvas y superfices Autor : Luis A. Cordero,Marisa Fernandez and Alfred Gray Publisher : Addison Wesley Ibero Americana (1995) ISBN 0-201-65364-8

Laboratori de Geometria Computacional Autor : J. Trias Publisher : Editions Universitat Politecnica de Catalunya (1996) ISBN 970-625-114-6

Mathematica Autor : E. Castillo, A. Iglesias, J. M. Gutierrez, E. Alvarez and A. Cobo Publisher : Editorial Paraninfo (1993) ISBN 84-283-2017-9

Mathematica : fundamentos y aplicaciones de la informatica en matematicas Autor : J. A. Dominquez,A. Fernandez,F. J. Plaza and M. A. Asensio Publisher : Plaza Universitaria Ediciones (1994) ISBN 84-89109-04-4

Mathematica : Un enfoque practico Autor : Nancy Blachmann Publisher : Editorial Ariel (1993) ISBN 84-344-0478-8

Probabilidad y Estadística : Un enfoque intuitivo con apoyo en Mathematica Autor : T. Garza Publisher : Grupo Editorial Iberoamérica (1996) ISBN 970-625-114-6

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