Capitulo1 160615215648

of 71 /71
ESTADO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN UN PUNTO

Embed Size (px)

Transcript of Capitulo1 160615215648

ESTADO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN UN PUNTO

ESTADO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN UN PUNTO

Introduccin Las fuerzas externas que actan sobre un cuerpo, producen una distribucin de fuerzas internas cuya intensidad en un punto recibe el nombre de esfuerzo. Bajo la accin de estas fuerzas, el cuerpo experimenta una deformacin que se manifiesta como un cambio de forma y/o volumen.

Introduccin

Definicin de esfuerzos

Definicin de esfuerzosHumanamente hablando:Accin de emplear gran fuerza fsica o moral con algn fin determinado.Mecnicamente hablando:Un conjunto de fuerzas y momentosestticamente equivalentesa la distribucin de tensiones internas de un cuerpo sobre el rea de esa seccin.

Definicin de esfuerzos en un punto Cuerpo con cargas externas muestra un cuerpo en equilibrio, bajo la accin de las cargas externas 1,2,...

Para que un cuerpo este en equilibrio

Definicin de esfuerzos en un punto

Consideremos un punto P en el interior del cuerpo y un plano que contenga a P y divida el cuerpo en dos partes y adems:

Se produce en la superficie de separacin una fuerza distribuida que corresponde a la interaccin de una parte del cuerpo sobre la otra.Si se considera un pequeo elemento de rea del plano, que contenga a P, actuar sobre l una fuerza elemental .

Definicin de esfuerzos en un puntoEl esfuerzo tiene direccin y sentido. Depender de la orientacin del elemento de rea utilizado, es decir, depender de la direccin de n. Por esto, se hace necesario utilizar en la notacin del esfuerzo dos subndices, el primero indicar la direccin normal al elemento de rea donde acta el esfuerzo, y el segundo la direccin en que acta.

Definicin de esfuerzos en un puntoEs til descomponer el vector esfuerzo en dos componentes, una en la direccin normal al rea () y otra tangencial ().En ingeniera se utilizan los signos: Para esfuerzos normales Para esfuerzos tangenciales

Definicin de Tensor de esfuerzos en un punto

Definicin de Tensor de esfuerzos en un punto

Definicin de Tensor de esfuerzos en un puntoLa condicin de equilibrio de momentos alrededor de la direccin m-m que pasa por P y es paralela al eje x, queda expresada por:

Y anlogamente

Estado de esfuerzos planoEl estado de esfuerzos plano se caracteriza porque todas las componentes del esfuerzo en una direccin determinada son nulas, por ejemplo en la direccin z.

Estado de esfuerzos planoConsiderando sistema n,t que est rotando respecto al sistema original x, y en un ngulo .

Estado de esfuerzos plano

Si se quiere rotar los componentes de esfuerzos desde la direccin n,t al plano x,ySe debe obtener el equilibrio de fuerzas. De la condicin de equilibrio de fuerzas en la direccin n, se tiene:

Estado de esfuerzos planoUtilizando relaciones de trigonometra

Se tiene que:

Estado de esfuerzos planoDe la condicin de equilibrio de fuerzas en la direccin t, se tiene:

Estado de esfuerzos planoLa expresin para tiene la misma forma que la expresin anterior, hay que considerar que en el lugar del ngulo , habra que utilizar el ngulo +/2 .

permiten conocer las componentes normal y tangencial del esfuerzo en un punto, para un plano con cualquier orientacin definida por el ngulo

Esfuerzos principalesLos esfuerzos normales mximo y mnimo, reciben el nombre de esfuerzos principales, los planos donde ellos actan se llaman planos principales y las direcciones normales a estos planos son las direcciones principales. Las direcciones principales se denotarn con los nmero 1 y 2 y los esfuerzos principales sern 1y 2.

Esfuerzos principalesDirecciones principales.Si llamamos al ngulo que forma la direccin principal 1 con la direccin x, se deber cumplir para valores mximos o mnimos de que:

Esfuerzos principales

Finalmente los ngulos de las direcciones principales son:

Esfuerzos principalesSi calculamos la segunda derivada

Valor mximo para Valor mnimo para

Esfuerzos principalesPara obtener los valores de los esfuerzos principales 1y 2 bastar con reemplazar los valores de los ngulos 1 y 2 en la formula de .

Esfuerzos principalesY que pasa con

Nos damos cuenta que

Y como en los planos principales

Esfuerzos principalesPor lo tanto

Esfuerzos principalesAl sumar los esfuerzos principales 1y 2 se tiene que:

En forma mas general

Esto significa que la suma de los esfuerzos normales es independiente de la orientacin del elemento (cantidad invariante).

Esfuerzo de Corte mximo Con un razonamiento similar al que se hizo para el esfuerzo normal , se puede obtener el valor y la ubicacin de los planos donde acta el esfuerzo de corte mximo. En los planos donde el esfuerzo de corte es mximo se debe cumplir entonces que:

Esfuerzo de Corte mximo

Como sabamos anteriormente que Se cumple que

Esfuerzo de Corte mximo Se deduce que los ngulos 2 y 2 difieren en 90 y, por lo tanto, los ngulos y en 45.

Si se remplaza ahora el valor del ngulo en la expresin para y t , se obtiene

Esfuerzo de Corte mximo

Y remplazando en nt

EjemploSe tiene el siguiente estado de esfuerzos con:x=5y=-4xy=-2Determinar:n, t, xy para =30 1, 2, 1, 2max, max

Representacin grfica por medio del crculo de MohrEl ingeniero alemn Otto Mohr (1835-1918), ide un sistema grfico para representar el estado de esfuerzos en un punto.

Representacin grfica por medio del crculo de MohrPara efectos de graficar el crculo de Mohr, se adopta la siguiente convencin de signos para el esfuerzo de corte . Positivo si la tendencia de giro del elemento es en el sentido horario y negativo si la tendencia es en el sentido antihorario.

Representacin grfica por medio del crculo de MohrSupongamos en primer lugar, que > y dibujemos un sistema de ejes cartesiano de , el cual presentara los puntos A y B.c

Representacin grfica por medio del crculo de MohrCada punto en este sistema , representa un posible plano con sus respectivas componentes de esfuerzo normal y esfuerzo de corte. As por ejemplo, el punto A, sobre el crculo, tiene coordenadas (,) y, por lo tanto, representa el plano cuya normal es la direccin x. El punto B de coordenadas (,) representa el plano que tiene como normal la direccin y. Los puntos A y B se unen por medio de una lnea que corta al eje horizontal en el punto C. El punto C es el centro del crculo de Mohr.

Representacin grfica por medio del crculo de MohrLos infinitos puntos que componen el crculo de Mohr, correspondern a los infinitos planos que pueden pasar por el punto en cuestin. Demostraremos, que el punto N sobre el crculo, representa el plano cuya normal es n y que est rotado un ngulo respecto a la direccin x, que es la normal al plano que en el crculo de Mohr est representado por el punto A.

Representacin grfica por medio del crculo de Mohr

Representacin grfica por medio del crculo de Mohr

Casos especiales de estados de esfuerzos Estado de esfuerzo uniaxial Se caracteriza porque existe slo una de las componentes normales, puede ser de traccin >0, o de compresin