Capitulo1 grafos

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Grafos

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uso y aplicaciòn de los grafos

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  • 1. Grafos

2. Objetivo:Comprender y resolverproblemas de la teora de grafos. 3. IntroduccinHoy en da podemos ver muchas cosas quenos pueden parecer de lo mas cotidianas,carreteras, lneas telefnicas, lneas detelevisin por cable, el transporte colectivometro, circuitos elctricos de nuestras casas,automviles, y tantas cosas mas; lo que nopensamos frecuentemente es que estosforman parte de algo que en matemticas sedenomina como grafos. 4. Desde un punto de vista prctico, los grafos permitenestudiar las interrelaciones entre unidades queinteractan unas con otras.Prcticamentecualquierproblema puederepresentarse mediante un grafo, y su estudiotrasciende a las diversas reas de las ciencias exactasy las ciencias sociales.Los rboles forman una de las subclases de grficasque ms se utilizan. En particular, la ciencia de lacomputacin hace uso de los rboles ampliamente.En computacin, los rboles son tiles para organizar yrelacionar datos en una base de datos. 5. ConceptoEs un conjunto de nodos unidos por un conjunto de lneas o flechas.N = nodoS = aristaPor lo general, los nodos son entes de procesamiento oestructuras que contienen algn tipo de informacin ylas lneas o flechas son conexiones o relaciones entreestos entes. 6. La forma de representar los grafos es: G(N,S)y los segmentos sern:S = {u, v}Ejemplo:Representa un grafo plano con 5 nodos llamados a, b, c, d y e; y 6segmentos unidos de la siguiente forma: s1={a,b}, s2={c,d}, s3={b,e},s4={e,c}, s5={e,d}, s6={a,c} a s1s3 be s6 s4 s5c ds2 7. Camino:Es un recorrido que tiene aristas diferentes, o sea, que no use lamisma arista mas de una vez.Valencia:Tambin llamadogrado de un vrtice v, eselnmerodeladosincidentesen v.Pordefinicin, si v tiene unlazo,entonces estecontribuye en 2 a lavalencia del v. El gradomximo de un grafo G esdenotado por (G) y elgrado mnimo de un grafoG es denotado por (G).Sendero: es un camino en el cual todos los segmentos son diferentesTrayectoria: es un camino en el cual todos los nodos son diferentes 8. Lazo: bucle es una arista que Ramas paralelas:Las ramasrelaciona al mismo nodo; es paralelas o segmentosdecir, es aqul que va dirigido mltiples: son aristas quea s mismo. conectanlasmismasterminales. Es decir, que delmismo vrtice parten 2 o msaristas a otro. 9. Tipos de Grafos Grafo no dirigidoSon aquellos en los cuales los lados no estn orientados (No sonflechas). Cada lado se representa entre parntesis, separando susvrtices por comas, y teniendo en cuenta (Vi,Vj)=(Vj,Vi). Grafo dirigido A un grafo dirigido se le puede definir como un grafo que contiene aristas dirigidas, como en el siguiente caso. 10. Grafo regularEs un grafo donde cada vrtice tiene el mismo grado ovalencia. Un grafo regular con vrtices de grado k es llamadografo k-regular o grafo regular de grado k.Los Grafos regulares de grado hasta 2 son fciles de clasificar:Un grafo 0-regular consiste en un grafo con vrticesdesconectados, un grafo 1-regular consiste en un grafo conaristas desconectadas, y un grafo 2-regular consiste en un ciclo. 11. Grafo bipartitoEs aquel con cuyos vrticespueden formarse dos conjuntosdisjuntos de modo que no haya Grafo completoadyacenciasentre vrticespertenecientesalmismo Aquel con una arista entreconjunto. cada par de vrtices. 12. Grafos IsomorfosGrafos PlatnicosDosgrafossonisomorfos Son los Grafos formados por loscuandoexiste unavrtices y aristas de los cincocorrespondenciabiunvocaslidosregulares(Slidos(uno a uno), entre sus vrtices Platnicos),asaber, elde tal forma que dos de estos tetraedro, el cubo, elquedan unidos por una aristaoctaedro, el dodecaedro y elen comn. icosaedro. 13. Grafos conexosGrafos eulerianosUn grafo se puede definir Un camino euleriano contienecomo conexo si cualquiertodos los arcos del grafo.vrticeVpertenecealconjunto de vrtices y esalcanzable por algn otro.Otra definicin que dejaraesto ms claro sera: un grafoconexo es un grafo no dirigidode modo que para cualquierpar de nodos existe al menosun camino que los une. Grafos hamilyaneanoUn caminohamiltoneanocontiene todos los nodos delgrafo. 14. Grafos rotuladoUn grafo rotulados es aquel en el a sus segmentos se les asigna undato, es decir un nmero no negativol(s), llamado peso olongitud de sa13b e241 ca12 bd 3e 241 c2d 15. Grafos rbolUn nodo es la unidad sobre la que se construye el rbol y puedetener cero o ms nodos hijos conectados a l. Se dice que unnodo a es padre de un nodo b si existe un enlace desde a hasta b(en ese caso, tambin decimos que b es hijo de a). Slo puedehaber un nico nodo sin padres, que llamaremos raz. Un nodoque no tiene hijos se conoce como hoja. Los dems nodos (tienenpadre y uno o varios hijos) se les conoce como rama. 16. Relacin en Di-grafos o Grafos dirigidosUna relacin R de un grafo es el subconjunto de elementos quepertenezcan al grafo,es decir los elementos del conjunto A estn relacionados con A.La forma de representar una relacin de un di-grafo y en lasiguiente:Matriz de Relacin: se representaMR = [mij}, mij = 1 Si (ai, aj) R0 Si (ai, aj) REjemplo: Sea A = { 1, 2, 3, 4}, y R ={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,4), (4,1)}Genera la matriz de relacin y el grafo dirigido 17. Serie de ejercicios:1.- del libro Matemticas discretas , Kolma hacer: Pgina 116, del 19 al 222.- del libro Matemticas discretas , Johnsonbaugh Pgina 116, del 1 al 3 y el 7 18. Matriz de adyacenciaEs una matriz cuadrada en la cual los nodos del grafo se indicancomo renglones y como columnas. El orden de los nodos es el mismoque guardan los renglones y las columnas de la matriz. Se coloca 1como elemento de la matriz cuando existe una relacin entre uno yotro vrtice, o bien un 0 cuando no exista relacin alguna. En unamatriz de adyacencia no es posible representar lados paralelos. 19. Ejemplos 20. Matriz de incidenciaEn esta matriz se colocan los nodos del grafo como renglones ylas aristas como columnas. En esta matriz si es posible representarlados paralelos. Al sumar los elementos de cada una de losrenglones se obtiene la valencia de los nodos, al sumar lascolumnas es posible distinguir cuando se trata de un lazo ya quesu suma es 1. 21. Serie de ejercicios:1.- del libro Matemticas discretas , Johnsonbaugh Pgina 348, del 1, 3, 5 y el 7, 9, 14, 22 gpo A Pgina 355 1, 4, 9 Pgina 348 el 2, 4, 6 y el 8, 13, 16, 26 gpo B Pgina 355 el 3, 8, 10 22. AplicacionesGracias a la teora de grafos se pueden resolverdiversos problemas como por ejemplo la sntesis decircuitos secuenciales, contadores o sistemas deapertura.Los grafos se utilizan tambin para modelar trayectoscomo el de una lnea de autobs a travs de las callesde una ciudad, en el que podemos obtener caminosptimos para el trayecto aplicando diversos algoritmoscomo puede ser el algoritmo de Floyd.