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    VIBRACIONES Y ONDAS DEPARTAMENTO DE FSICA

    ING. CAROL JULIETH AGUILAR

  • CONTENIDO

    ING. CAROL AGUILAR

    UNIVERSIDAD DEL CAUCA

    SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

    OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA

    AMORTIGUAMIENTO EN LAS OSCILACIONES LIBRES

    SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS

    INTRODUCCIN Y MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE

    MODOS NORMALES DE SISTEMAS CONTINUOS

    SUPERPOSICION DE MOVIMIENTOS

    ONDAS SONORAS

    ONDAS ELECTROMAGNETICAS

  • CAPITULO 1: INTRODUCCIN

    1. Importancia del movimiento oscilatorio

    2. Movimiento armnico simple

    3. Masa unida a un resorte

    4. Energa del oscilador armnico simple

    5. El oscilador armnico estudiado por el mtodo de la energa

    6. Objeto colgado de un resorte vertical

    7. El pndulo

    8. Pndulo simple

    9. Solucin del pndulo simple por el mtodo de energa

    10. Pndulo fsico

    11. Pndulo de torsin

    12. Comparacin del movimiento armnico simple con el movimiento circular

    uniforme

    13. Representacin vectorial del movimiento armnico simple

    14. Introduccin al exponente complejo

    15. Empleo del exponente complejo

    16. Otros tipos de vibraciones libres

    17. Mdulo de elasticidad. Mdulo de Young

    18. El muelle de aire

    ING. CAROL AGUILAR

    UNIVERSIDAD DEL CAUCA

  • ING. CAROL AGUILAR

    IMPORTANCIA DEL

    MOVIMIENTO OSCILATORIO 1 1

    UNIVERSIDAD DEL CAUCA

  • VIBRACIONES U OSCILACIONES

    ING. CAROL AGUILAR

    Las vibraciones

    naturales de objetos

    pequeos suelen ser

    rpidas

    Todo sistema posee una capacidad

    de vibracin y la mayora de los

    sistemas pueden vibrar libremente

    de muchas maneras diferentes

    Las vibraciones

    naturales de objetos

    ms grandes suelen

    ser lentas

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  • EJEMPLOS COTIDIANOS

    UNIVERSIDAD DEL CAUCA

  • MEDICINA

    ING. CAROL AGUILAR

    ESTUDIO DE PATOLOGAS VOCALES

  • INDUSTRIA

    Por qu medir vibraciones?

    Para monitorear la condicin de

    maquinarias y equipos.

    ING. CAROL AGUILAR

    PRODUCTIVIDAD

  • EN LA PRCTICA

    El monitoreo de vibraciones parti hace ms de 40 aos, primero para medir las amplitudes

    mximas de los equipos, despus para poder detectar el desbalanceamiento de un equipo.

    Esquema de la evolucin en los sistemas de anlisis de la tcnica

  • Analizador de vibraciones

    ING. CAROL AGUILAR

    Figura 2: Sistema de monitoreo en lnea

    Figura 1: Recolector porttil

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  • INDUSTRIA

    ING. CAROL AGUILAR

    Espectro con altas vibraciones

    EJE DAADO

    El mismo equipo 3 horas despus de

    lubricar

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  • ING. CAROL AGUILAR

    INTRODUCCIN 1.1 1.1

    UNIVERSIDAD DEL CAUCA

  • VIBRACIONES MECNICAS

    Las vibraciones mecnicas se refieren a la

    oscilacin de un cuerpo o un sistema

    mecnico alrededor de su posicin de

    equilibrio.

    Estudiaremos las vibraciones con un solo

    grado de libertad, es decir aquel movimiento

    en el cual la posicin se puede expresar con

    una sola coordenada por ejemplo x, y, .

    ING. CAROL AGUILAR

    UNIVERSIDAD DEL CAUCA

  • CONCEPTOS

    ING. CAROL AGUILAR

    1

    SUCESO PERIODICO: Fenmeno que se produce

    con idnticas caractersticas

    a intervalos iguales de

    tiempo. Ejemplo, vaivn de

    un pndulo.

    2

    VIBRACIN: Movimiento de un

    sistema con masa y elasticidad que

    se repite peridicamente con el

    tiempo alrededor de una posicin de

    equilibrio estable, hacia delante y

    hacia atrs de esa posicin y sobre

    la misma trayectoria.

    La caracterstica comn de todos estos fenmenos es su periodicidad.

    Existe un esquema de movimiento o desplazamiento que se repite una y otra

    vez. Este esquema puede ser sencillo o complicado.

    3

    POSICIN DE EQUILIBRIO

    ESTABLE: Es aquella posicin

    de la trayectoria donde el

    sistema que vibra tiene su

    energa potencial mnima.

    4

    GRADOS DE LIBERTAD: Es el mnimo de coordenadas independientes necesarias para especificar totalmente la

    configuracin del sistema en un instante cualquiera, esto

    quiere decir encontrar la relacin del sistema que vibra

    con respecto a su posicin de equilibrio.

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  • Las vibraciones pueden ser:

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    Sistemas Mecnico Mecnicas

    Circuito Elctrico Elctricas

    Campo Electromagntico Electromagnticas

    Oscilaciones Trmicas Trmicas

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  • PARTES ELEMENTALES DE UN SISTEMA VIBRATORIO

    Resortes, Masas y Amortiguadores

    IMPORTANTES

    RESORTES MASAS AMORTIGUADORES

    Son el medio para acumular

    energa potencial del

    sistema. Tambin se les

    denomina elementos de

    rigidez del sistema.

    Es el medio que

    acumula energa

    cintica en el sistema.

    Tambin se le

    denomina elemento de

    inercia.

    Son el medio para

    disipar energa del

    sistema. Tambin se

    les denomina

    elementos de

    disipacin del sistema.

  • RESORTES

    Company Name

    Resorte de Traslacin La fuerza que acta en un resorte lineal

    puede determinarse con la siguiente

    expresin:

    F= - k x

    Donde k es la constante de resorte y x su deflexin. La energa potencial

    acumulada por este elemento se determina integrando la expresin

    anterior:

    2

    2

    1xkU

    Resorte de Torsin

    2

    2

    1tkU

    tk

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  • MASA

    ING. CAROL AGUILAR

    Las fuerzas de inercia vienen dadas de acuerdo a la segunda Ley de

    Newton como:

    amF

    La energa cintica del movimiento de traslacin viene dada como:

    2

    2

    1mvKT

    Por analoga para el movimiento de rotacin se tiene:

    2

    2

    1IKT

    I

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  • AMORTIGUADORES

    ING. CAROL AGUILAR

    Amortiguamiento Viscoso: La fuerza de amortiguamiento segn el

    modelo ideal de amortiguamiento viscoso es proporcional a la

    velocidad:

    xcvcfd

    ccd

    Donde c es la constante de proporcionalidad o

    amortiguamiento

    Amortiguamiento de Coulomb: Resulta de la friccin entre superficies secas y

    es igual al producto entre el coeficiente de friccin y la fuerza normal:

    mgF

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  • Terminologa de Vibraciones

    ING. CAROL AGUILAR

    Valor Pico: Es el mximo esfuerzo que sufre la parte vibrante

    Valor Medio: Es un valor esttico o estacionario efectivo,

    similar al nivel DC de corriente.

    Energa de Vibracin: Puede estimarse mediante el

    valor medio cuadrado como:

    () = lim

    1

    ()

    0

    2() = lim

    1

    2()

    0

    Raz Media Cuadrada RMS: Es la raz cuadrada del

    valor medio cuadrado. Las vibraciones son medidas

    generalmente por medidores RMS.

    = 2()

    Medidor de

    Vibraciones LT-

    VB8213

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  • ING. CAROL AGUILAR

    MOVIMIENTO ARMNICO

    SIMPLE 2 2

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  • ECUACIN DEL MOVIMIENTO

    Una partcula describe un Movimiento Armnico Simple (M.A.S.)

    cuando se mueve a lo largo del eje x, estando, su posicin x dada en

    funcin del tiempo t por la ecuacin:

    = cos( + )

    t

    x

    A Amplitud del movimiento

    Velocidad angular

    Constante de fase o ngulo de fase

    (t + ) Fase del movimiento

    La funcin x es peridica y se repite cuando t se

    incrementa 2 radianes, es decir cuando la fase

    aumenta 2 en un tiempo T, el valor de x es igual al

    valor de x en el tiempo (t + T):

    Desplazamiento vs tiempo para una

    partcula que experimenta un M.A.S.

    + + 2 = + +

  • ALGUNOS CONCEPTOS

    Periodo (T): es el tiempo que le lleva a la partcula completar un ciclo

    de su movimiento.

    =2

    Frecuencia (f): representa el nmero de oscilaciones que efecta la

    partcula por unidad de tiempo. Se defino como el inverso del periodo. Sus

    unidades son ciclos/s o hertz (Hz). =

    1

    Frecuencia angular (): tiene unidades de radianes por segundo. =2

    La velocidad de la partcula: =

    = sin( + )

    La aceleracin de la partcula es: =

    2

    2= 2 cos( + )

    = 2 ING. CAROL AGUILAR

  • = =

    2

    c) Aceleracin vs tiempo La aceleracin est 180 fuera de fase

    con el desplazamiento.

    Los valores mximos de la velocidad y la aceleracin son:

    Funciones seno y coseno oscilan entre 1

    a) Desplazamiento vs tiempo

    b) Velocidad vs tiempo La velocidad est 90 fuera de fase

    con el desplazamiento

    ING. CAROL AGUILAR

  • www.themegallery.com

    ING. CAROL AGUILAR

  • Otros clculos

    La constante de fase es importante cuando se compara el

    movimiento de dos o ms partculas oscilantes.

    Para t=0, = = 0 = cos(. 0 + ) = cos = cos

    = = 0 = sin . 0 + = sin = sin

    =sin

    cos

    = tan

    tan 2 +

    2

    = ( cos)2+( sin)2

    = 2 cos2 + 2 sin2

    = 2(cos2 + sin2 )

    = 2 +

    2

    1

    tan =

    ING. CAROL AGUILAR

  • La aceleracin es

    proporcional al

    desplazamiento

    pero en direccin

    opuesta.

    El desplazamiento,

    la velocidad y la

    aceleracin varan

    senoidalmente con

    el tiempo, pero no

    estn en fase.

    La frecuencia y

    el periodo son

    independientes

    de la amplitud

    LAS PROPIEDADES MS IMPORTANTES PARA UNA PARTCULA QUE EFECTA UN M.A.S. SON:

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    1 2 3

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  • LOGO

    VIBRACIONES LIBRES DEPARTAMENTO DE FSICA

    ING. CAROL JULIETH AGUILAR

  • MASA

    ELASTICIDAD

    VIBRACIN

    Nuestro objetivo aqu es

    encontrar la ecuacin

    de movimiento del

    sistema y su frecuencia

    natural

    Un amortiguamiento moderado tiene poca influencia

    sobre la frecuencia natural y puede ignorarse, el sistema

    es entonces conservativo y el principio de la

    conservacin de la energa ofrece un mtodo para el

    clculo de la frecuencia natural

    ING. CAROL AGUILAR

  • SISTEMA MASA-RESORTE POSICIN DE EQUILIBRIO

    La superficie no presenta friccin

    El desplazamiento es positivo y la

    aceleracin es negativa

    La aceleracin es cero pero la velocidad

    es mxima.

    El desplazamiento es negativo, la

    aceleracin es positiva

    ING. CAROL AGUILAR

  • Cuando una masa se desplaza una pequea distancia x a partir del

    equilibrio, el resorte ejerce una fuerza sobre m dada por la ley de

    Hooke:

    Llamamos a esta fuerza restauradora lineal puesto que es linealmente proporcional

    al desplazamiento y siempre est dirigida hacia la posicin de equilibrio, por lo que

    es opuesta al desplazamiento.

    =

    Por segunda ley de newton:

    la aceleracin es proporcional al

    desplazamiento de la masa a partir del

    equilibrio y est en la direccin opuesta.

    =2

    2=

    ING. CAROL AGUILAR

    = = 2

    2=

  • ECUACIN DEL MOVIMIENTO

    = 2

    =

    = 2 cos( + )

    = cos( + )

    Por lo tanto: =

    La ecuacin anterior la podemos escribir:

    Lo cual indica que se trata

    de un movimiento armnico.

    sta es una ecuacin

    diferencial homognea de

    segundo orden.

    =2

    2=

    2

    2= 2

    2

    2+ 2 = 0 + 2 = 0

    ING. CAROL AGUILAR

  • ECUACIN DEL MOVIMIENTO

    Esta es una ecuacin diferencial cuyas soluciones se conoce que son

    funciones senos y cosenos.

    = cos( + ) = sin( + )

    En general la solucin puede escribirse de la forma:

    = sin() + cos()

    Adems hay dos condiciones iniciales obvias en la ecuacin, donde A y B

    son dos constantes arbitrarias y se evalan a partir de estas condiciones

    iniciales:

    0 =

    =0=

    Si >0 y

  • CONCLUSIONES

    A partir del anlisis anterior podemos decir que cada vez que una

    fuerza que acta sobre una partcula es linealmente proporcional al

    desplazamiento y est dirigida en direccin opuesta a ste, la

    partcula efecta un M.A.S.

    Por lo tanto la frecuencia y el perodo para un sistema masa-

    resorte estn dados por

    (16)

    =2

    = 2

    =1

    =

    1

    2

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  • ENERGIA DEL OSCILADOR ARMONICO SIMPLE

    La superficie no tiene

    friccin, se espera que la

    energa total se conserve

    = =1

    22

    La energa cintica:

    =

    = sin( + )

    = cos( + )

    M.A.S

    Sustituyendo:

    = =1

    2 sin( + ) 2

    = =1

    222sin2( + ) sin

    2 + = 1 cos2 +

    = =1

    222 1 cos2 +

    = =1

    22 2 2cos2 +

    pero

    = =1

    22 2 x2

    ING. CAROL AGUILAR

  • =

    0

    0

    =1

    22

    =1

    22 cos2( + )

    = cos( + )

    M.A.S

    = + =1

    2 sin( + ) 2 +

    1

    22 cos2( + )

    2 =

    = + =

    1

    2

    2sin2( + ) +

    1

    22 cos2( + )

    = + =1

    22 sin2( + ) + cos2( + )

    1

    Para calcular la Energa total

    Energa Potencial:

    ING. CAROL AGUILAR

  • ENERGA TOTAL

    = + =1

    22 = La energa de un oscilador armnico

    simple es una constante de movimiento

    proporcional al cuadrado de la amplitud

    Es un mnimo en el punto de equilibrio x= 0 y aumenta a medida que la

    partcula se aproxima a los extremos de oscilacin x = A.

    ING. CAROL AGUILAR

  • En un ciclo completo de su movimiento, la masa recorre una distancia 4 A.

    ING. CAROL AGUILAR

  • Velocidad lineal a partir de E

    Es posible usar la conservacin de la energa para obtener la

    velocidad para un desplazamiento arbitrario x expresando la energa

    total en algn punto arbitrario como:

    2 =

    = 2 = + =

    1

    22 +

    1

    22 Con

    = + =1

    22 +

    1

    222 =

    1

    22

    Despejando v: = 2 2

    ING. CAROL AGUILAR

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  • RESORTE VERTICAL+MASA

    Una vez colocada la masa al resorte, se

    alcanza la posicin de equilibrio esttico B,

    donde:

    Donde es la deflexin esttica del

    resorte. Luego partiendo de esta posicin

    de referencia se mueve la masa una

    distancia x, donde: = =

    = =

    + y =

    + ky =

    + =

    Definiendo la frecuencia natural n como: 2 =

    Se tiene: + 2 = 0

    ING. CAROL AGUILAR

    UNIVERSIDAD DEL CAUCA

    + = 0

    K(+y)

    y

  • La solucin tiene la forma:

    = sin + cos

    Los coeficientes A y B se determinan con

    las condiciones iniciales x(0) y v(0), es

    decir:

    0 = () =

    0 =

    = 0

    = 0

    sin + 0 cos

    La solucin ser

    =

    =2

    = 2

    Luego recordando que:

    Se tiene que:

    Entonces la frecuencia natural del

    sistema viene dada como:

    =1

    =

    1

    2

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    UNIVERSIDAD DEL CAUCA

  • METODO DE LA ENERGA

    En un sistema vibratorio se da el intercambio constante de

    energa entre sus formas cintica y potencial. De acuerdo al

    principio de conservacin de la energa se tiene :

    = + =1

    22 +

    1

    22

    Derivando se obtiene la misma expresin que al aplicar la segunda ley de Newton:

    + = 0 + =

    Para el oscilador armnico masa-resorte: 1

    2 2 +

    1

    22 =

    2 = 2

    = 2

    2 = 2

    1

    2 2 +

    1

    22 =

    2 = 2

    2 = 2

    = 2

    1

    2(2 ) +

    1

    2 2 = 0

    ( ) + = 0 + = 0

    +

    = 0 + 2 = 0

    ING. CAROL AGUILAR

  • EL PENDULO- Pndulo simple

    En los detectores de petrleo y minerales se

    emplean pndulos muy sensibles para

    apreciar ligeras diferencias en esta

    aceleracin, la cual se ve afectada por las

    densidades de las formaciones subyacentes.

    movimiento peridico

    oscilatorio

    Responsable que la masa sujeta en el extremo de la

    cuerda describa este arco, fuerza de restitucin.

    = 2

    2= Por la segunda ley de Newton:

    Pero: =

    La ecuacin se convierte:

    sin = sin = ()2

    2

    = sin = = 2

    2

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  • Por lo tanto

    +

    sin = 0

    +

    sin = 0 ECUACIN DEL MOVIMIENTO

    .

    Para ngulos pequeos: sin

    +

    = 0

    ()2

    2+

    = 0

    Esta expresin me dice que el movimiento de un pndulo es armnico simple, cuando

    el ngulo que barre es pequeo.

    = cos( + )

    =

    = sin( + )

    =2

    2= 2 cos( + )

    ING. CAROL AGUILAR

    UNIVERSIDAD DEL CAUCA

  • frecuencia angular y el periodo

    =

    =2

    =2

    = 2

    =1

    =

    1

    2

    Vemos que el perodo y la frecuencia angular slo dependen de la longitud de la

    cuerda y la aceleracin gravitacional, son independientes de la masa.

    Podemos concluir que todos los pndulos

    simples de igual longitud en un mismo

    lugar oscilan con el mismo perodo.

    ING. CAROL AGUILAR

    UNIVERSIDAD DEL CAUCA

  • Solucin del pndulo simple por el mtodo de la energa

    Su energa asociada en cualquier posicin y

    est dada por y, de ah que su energa

    potencial est determinada:

    = cos = (1 cos)

    cos

    = = (1 cos )

    cos = 1 2

    2!+4

    4!+ = 1 + 1

    2

    (2)!

    =1

    cos = 1 2

    2

    Usando las aproximaciones

    para

  • ENERGIA TOTAL

    + = 0

    = + =

    =1

    22 2 +

    1

    2 2 =

    1

    22 2 + = 0

    2 + = 0

    Energa total:

    Derivando:

    2 + = 0

    2

    2 +

    2 = 0

    +

    = 0

    ECUACIN DEL MOVIMIENTO

    DEL PNDULO SIMPLE

    M.A.S

    =

    =2

    =1

    =

    1

    2

    =2

    = 2

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  • PARA RECORDAR

    La tendencia de una fuerza a hacer girar un cuerpo alrededor de algn

    eje se mide por una cantidad conocida como momento de la fuerza ()

    = sin = Fd

    BRAZO DE LA

    PALANCA

    Todo cuerpo rgido posee una propiedad conocida como momento de inercia, I que

    se define como:

    = 2

    =

    El momento de inercia y el momento de una fuerza estn relacionados de la

    siguiente manera: =

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  • PNDULO FSICO

    Se considera un pndulo fsico, o compuesto cualquier

    cuerpo rgido suspendido de un eje fijo que no pasa por

    su centro de masa.

    La fuerza debida a la gravedad produce un momento,

    respecto de O, cuya magnitud es:

    sin = 2

    2

    = sin

    La segunda ley de Newton: sin =

    sin = o

    Momento de fuerza de restitucin: el signo menos indica que el momento de una

    fuerza respecto de O tiende a disminuir .

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  • SOLUCIN DE LA EC. MOV.

    2

    2+ sin = 0

    sin

    2

    2+

    = 0

    ECUACIN DEL MOVIMIENTO

    DEL PNDULO FSICO

    = cos( + )

    =

    = sin( + )

    =2

    2= 2 cos( + )

    =

    =2

    =2

    = 2

    =1

    =

    1

    2

    FRECUENCIA ANGULAR

    PERIODO

    FRECUENCIA

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    ING. CAROL AGUILAR

  • PENDULO DE TORSIN

    Es un cuerpo rgido suspendido de un alambre que est

    sujeto en la parte superior a un soporte fijo.

    Cuando gira un ngulo pequeo , el alambre torcido ejerce

    un momento de fuerza de restitucin sobre el cuerpo.

    =

    Donde se conoce como constante de torsin del alambre.

    =

    = 2

    2

    =

    + = 0

    La segunda ley de Newton:

    +

    = 0 ECUACIN DEL MOVIMIENTO

    DEL PNDULO FSICO

    2

    2+

    = 0

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  • PERIODO, VELOCIDAD ANGULAR Y FRECUENCIA

    =

    =2

    =2

    = 2

    =1

    =

    1

    2

    2

    2+

    = 0

    VELOCIDAD ANGULAR

    PERIODO

    FRECUENCIA

    Caractersticas del movimiento:

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  • MTODO DE LA ENERGA

    = =1

    22 =

    1

    2 2

    Energa cintica de rotacin del disco:

    =1

    22

    Energa potencial almacenada por la varilla:

    = + = Por el mtodo de la energa:

    =1

    2 2 +

    1

    22 =

    Derivando:

    1

    2 2 +

    1

    22 = 0

    1

    2(2 ) +

    1

    2(2 ) = 0

    ( ) + ( ) = 0 + = 0

    + = 0 +

    = 0

    =

    =2

    =

    2

    = 2

    =

    1

    =

    1

    2

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  • OTROS TIPOS DE VIBRACIONES LIBRES

    Objetos flotantes

    = = = ()

    =

    Fuerza restauradora igual al aumento o

    disminucin del peso del lquido desplazado.

    rea de su seccin

    recta constante

    la masa

    = = 2

    2=

    Segunda ley de Newton: =

    + = 0

    Ecuacin de movimiento: +

    = 0

    =

    =2

    =

    2

    = 2

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  • Ejemplo

    =

    =

    =

    + = 0

    +

    = 0

    =

    = 2

    =

    1

    2

    +

    = 0

    m

    y

    Ecuacin de movimiento:

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  • Agua en un tubo en U

    Liquido oscilante en un tubo en U

    El aumento de energa potencial

    gravitatoria corresponde a tomar una

    columna de lquido de longitud y, del tubo

    de la izquierda, elevndolo a la altura y y

    colocndola en la parte superior de la

    columna de la derecha

    =1

    22 =

    1

    2 ()

    2 Energa cintica:

    Energa Potencial:

    =

    = = = () = 2

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  • METODO DE LA ENERGA

    =1

    2 ()

    2 + 2

    1

    2 ()

    2 + 2 = 0

    1

    2 () 2 + 2 = 0

    () + 2 = 0

    () + 2 = 0

    () + 2 = 0

    + 2

    () = 0

    +2

    = 0

    =2

    =

    = 2

    2

    =1

    2

    2

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  • MODULO DE ELASTICIDAD O MODULO DE YOUNG

    El efecto de la carga es de

    producir una torsin del

    alambre alrededor de su

    propio eje, el descenso del

    peso es fundamentalmente

    consecuencia de esta torsin.

    Efecto ocasionado por las espiras del resorte,

    stas se apretarn o aflojarn ligeramente, de

    modo que el resorte en su totalidad sufre una

    torsin alrededor del eje vertical. En este

    proceso interviene una flexin de las espiras, es

    decir, una variacin de su curvatura.

    El resultado final se puede

    expresar como una

    proporcionalidad (con

    constante k del resorte) entre

    la carga aplicada y la distancia

    que recorre la carga.

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  • El alargamiento simple de una varilla

    El alargamiento L bajo la accin de una fuerza

    dada es proporcional a la longitud inicial Li

    = =

    Tensin =

    Si la deformacin es

  • Mdulo de Young para algunos materiales

    Material Mdulo de Young (N/m2)

    Aluminio 6 x 1010

    Cobre 12 x 1010

    Latn 9 x 1010

    Vidrio 6 x 1010

    Si se cuelga un cuerpo de masa m del extremo de un alambre:

    =

    =

    Segunda ley de Newton: +

    = 0

    +

    = 0

    =

    = 2

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  • EL MUELLE DE AIRE

    Vibraciones de las columnas de aire y la produccin de sonidos musicales.

    La columna de aire encerrada acta como

    un muelle muy fuerte, muy resistente

    frente a una compresin o traccin

    repentina.

    Si el pistn se mueve una longitud y,

    alargndose la columna de aire, la presin

    interna desciende y como resultado se

    obtiene una fuerza restauradora sobre m.

    A

    Fp

    siendo p la variacin de presin

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  • ley de Boyle: pV= constante

    pV+ V p=0 Derivando:

    Ahora bien V= A y

    V = A l

    De modo que se tendr

    l

    ypp

    y por consiguiente yl

    pAF

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  • LOGO

    COMPARACIN DEL MAS CON EL MOVIMIENTO

    CIRCULAR DEPARTAMENTO DE FSICA

    ING. CAROL JULIETH AGUILAR

  • Aparato para crear el circulo

    El movimiento circular uniforme se puede considerar como la combinacin

    de dos movimientos armnicos simples, uno a lo largo del eje x y otro a lo

    largo del eje y, en donde los dos difieren en la fase un ngulo de 90 .

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  • RELACIN DEL MAS CON EL MOVIMIENTO CIRCULAR

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  • COMPARACION DEL M.A.S. CON EL M.C.U.

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    velocidad angular constante

    Los puntos P y Q tienen la misma coordenada x. A partir del tringulo OPQ se

    ve que la coordenada x de P y Q es:

    = cos( + )

    De igual forma, podemos ver que la proyeccin de P a lo largo del eje y

    tambin muestra un comportamiento armnico simple.

    = sen( + )

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    Donde es el ngulo que hace OP con el eje

    x en t=0.

  • Velocidad y aceleracin en x

    =

    = sin( + )

    =2

    2= 2 cos( + )

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  • Se concluye que el movimiento armnico simple a lo

    largo de una lnea recta se puede representar por la

    proyeccin de un movimiento circular uniforme sobre su

    dimetro.

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    El empleo del movimiento circular uniforme como

    fundamento puramente geomtrico para describir el MAS

    permite definirlo sobre cualquier recta contenida en ek

    plano del circulo

    CONCLUSIN

  • Company Name

    Los vectores rotatorios permiten establecer y mantener la diferencia

    existentes entre los componentes fsicamente reales y no reales del

    movimiento, estos vectores pueden representarse con coordenadas

    polares.

    r

    x

    y y= sen x= cos

    = +

    se puede definir el vector mediante un complejo: = + = +

    El desplazamiento en x, sin ningn factor que lo califique, ha de realizarse en

    direccin paralela al eje x.

    El trmino jy, se debe leer como una instruccin para hacer que el

    desplazamiento en y sea paralelo al eje y.

    REPRESENTACION VECTORIAL DEL M.A.S

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  • instruccin para realizar una rotacin de 90

    en sentido contrario a las agujas del reloj

    = +

    Distancia b sobre el eje x

    Dos rotacin de 90

    = + = + 2

    = + (1)

    j2 = -1

    Complejo si a y b son nmeros reales

    Pero en trminos geomtricos es

    el desplazamiento sobre cierto eje

    que forma un ngulo con el eje

    x. tan =

    La parte de inters para el estudio del movimiento armnico simple es

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  • INTRODUCCIN AL EXPONENTE COMPLEJO

    El objetivo es la obtencin de una funcin exponencial compleja

    La introduccin de dicha funcin recompensa ampliamente nuestros

    esfuerzos por la facilidad que supone en el manejo de los problemas de

    oscilaciones.

    ...!! 53

    sen

    ...!! 42

    1

    osc

    ...!4!3!2

    1432

    e

    Desarrollos en serie de las funciones:

    Teniendo en cuenta el Teorema de Taylor: ...)(

    !)()()( 0

    200

    2

    fx

    fxfxf

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  • ...0cos-!3

    0sen

    !2

    0cos0sensen

    32

    ...!!

    )( 032

    0 ensosc-senoscosc

    ...e

    !3

    je

    !2

    jejee 0

    3

    0

    2

    00j

    Por tanto

    Formemos la siguiente combinacin : ...!!!

    4321 jjsenjosc

    -1 = j2,

    ...!

    ...!3!2

    1

    n

    jjjjsenjosc

    n

    jesenjosc

    Conexin clara entre la

    geometra plana (representada

    por las funciones

    trigonomtricas) y el lgebra

    (representada por la funcin

    exponencial).

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  • Carcter geomtrico de la relacin de Euler

    Cualquier nmero complejo z por ej

    puede describirse, en trminos

    geomtricos, como una rotacin positiva

    de valor del vector representado por z,

    sin ninguna alteracin en su longitud.

    Real cos

    sen

    Imaginario

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  • Empleo del exponente complejo

    La propiedad especial de la funcin

    exponencial es volver a aparecer despus

    de cada operacin de derivacin o

    integracin

    El empleo de cada funcin

    trigonomtrica para describir

    el movimiento conduce a una

    complicada mezcla de

    trminos seno y coseno. =

    2

    2= 2 cos( + )

    = cos( + )

    =

    = sin( + )

    = cos( + ) = sin( + )

    = cos( + ) + sin( + )

    = (+)

    = (+) =

    2

    2= 2(+) = 2

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  • Desplazamiento, velocidad y aceleracin

    Vector desplazamiento

    z y su proyeccin real x

    Vector velocidad y

    su proyeccin real

    Vector aceleracin y su

    proyeccin real

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  • P

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    Tabla . Rgidez de algunos sistemas elsticos

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  • Momento de Inercia

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    CAROL JULIETH AGUILAR