Capitulo 2:

Elaborado por:

José Darío Aguirre

Edward Betancur

Julieth Corrales

Luis Fernando Gómez

José Darío Porto Mass.

INDICE

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

Principio de superposición:

LÍNEAS DE INFLUENCIA

• Definición• Método de la línea de influencia• Principio de Muller- Breslau• Líneas de influencia de vigas determinadas• Ejemplo 1• Conclusiones del ejemplo• Ejemplo 2• Ejemplo 3• Ejemplo 4• Ejemplo 5• Ejemplo 6• Máximo absoluto de la fuerza cortante• Máximo absoluto del momento flector• Línea de influencia para cerchas• Ejemplo 7

• Líneas de influencia en pórticos• Líneas de influencia para cerchas compuestas• Líneas de influencia de vigas indeterminadas

CAPITULO 2

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN Y LÍNEAS DE INFLUENCIA

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

Se dijo que el análisis de una estructura consiste en encontrar su posición

deformada y las fuerzas internas de sus miembros. Cuando una estructura es

estáticamente indeterminada, preferiblemente se consideran las reacciones o

fuerzas internas en exceso como sistemas de carga adicionales que reciben el

nombre de “redundantes” y que actúan sobre una estructura modificada que sea

estáticamente determinada.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN:

Si los desplazamientos y esfuerzos en todos los puntos de una estructura son

proporcionales a las cargas que los causan, los desplazamientos y esfuerzos

totales que resultan de la aplicación simultánea de varias cargas son la suma de

los desplazamientos y esfuerzos causados por dichas cargas aplicadas

separadamente. Para que se pueda aplicar la superposición es necesario que

exista una relación lineal entre cargas, esfuerzos y deflexiones. Tal relación deja

de ser lineal cuando las deformaciones en el material de qué está hecha la

estructura no son proporcionales a los esfuerzos, o sea cuando el material no

sigue la ley de HOOKE, y cuando los cambios en geometría de la estructura al ser

sometida a cargas y la naturaleza de éstas es tal que dichos cambios afectan las

fuerzas internas en forma que no se puede despreciar.

Cuando una viga esta sometida a varias cargas concentradas o distribuidas, a

menudo es conveniente calcular separadamente la pendiente y la deflexión

causadas por cada una de las cargas. La pendiente y deflexión total se obtiene

aplicando el principio de superposición, sumando los valores de la pendiente o

deflexión correspondientes a las diversas cargas.

Para entender mejor lo dicho anteriormente realizaremos el siguiente ejemplo:

Halle la pendiente y deflexión en C para la viga, con las cargas mostradas, donde

la rigidez flexional de la viga es EI = 100*106 N*m2

Para calcular la pendiente y la deflexión en cualquier punto de la viga lo podemos

hacer superponiendo la pendiente y deflexión producidas tanto por la carga

concentrada como por la distribuida, tal como se muestra en el siguiente grafico:

+

La pendiente y la deflexión tanto para la carga concentrada como para la

distribuida se calculan por métodos aprendidos en cursos previos al de análisis

estructural I, métodos que asumimos ya son conocidos por el lector, por lo cual

nos limitaremos a dar los resultados obtenidos:

Para la carga concentrada tenemos:

( ) ( )( ) rad

EIPL

PC3

6

232

10*310*10032

8*10*15032

−−=−

=−=θ

( ) ( )( ) m

EIPLy PC

36

332

10*910*100*256

8*10*15032563 −−=−=−=

Para la carga distribuida encontramos que:

( )XLLXXEIwy 334 2

24−+−= (1)

Con W = 20 KN/m, X = 2 m, EI = 100*106 N.m2, y L = 8 m obtenemos:

( ) ( )( ) my WC3

6

3

10*60.791210*100*24

10*20 −−=−=

Ahora derivando a (1) con respecto a X tenemos:

( )323 6424

LLXXEIw

dxdy

−+−==θ

Reemplazando los valores de w, X, L, y EI ya conocidos obtenemos el siguiente

resultado:

( ) ( )( ) radWC3

6

3

10*93.235210*100*24

10*20 −−=−=θ

Como paso final tenemos que las pendientes producidas por la carga concentrada

y la carga distribuida usando el método de superposición son respectivamente:

( ) ( ) radWCPCC333 10*93.510*93.210*3 −−− −=−−=+= θθθ

( ) ( ) mmmmmmyyy WCPCC 166.79 =−−=+=

Este método de superposición es bastante útil y permite la utilización de tablas

que dan las ecuaciones para la pendiente y deflexión de diferentes tipos de vigas

con diversos tipos de apoyos y cargas.

LÍNEAS DE INFLUENCIA

INTRODUCCIÓN

En la ingeniería estructural, un principio básico es que cada sección de un

miembro debe diseñarse para que pueda resistir las máximas solicitaciones

producidas por las cargas que actúan sobre él. Es importante averiguar la

posición crítica cuando hay cargas móviles o movibles que generan las máximas

respuestas, ya que no siempre la misma posición genera las máximas respuestas

de todas las posibles solicitaciones, es por tal razón, que se debe de analizar para

cada respuesta individual. A este respecto resulta muy útil el concepto de línea de

influencia.

Dicho concepto fue formulado por el alemán E. Winkler en 1867 y en 1887 Müller-

Breslau descubrió el principio que lleva su nombre, facilitando la solución gráfica

de las líneas de influencia tanto para estructuras determinadas como

indeterminadas.

DEFINICIÓN

Antes de definir la línea de influencia, se debe de tener claro el concepto de Carga

Viva.

Carga Viva: Aquella que actúa sobre una estructura desplazándose sobre ella,

ejemplo: vehículo viajando sobre un puente. Para cada sección las fuerzas,

momentos, y desplazamientos varían al desplazarse la carga. Para efectos de

diseño se deben conocer los valores máximos de esas fuerzas, momentos t

desplazamientos en cada sección.

La Línea de influencia se puede definir como una curva cuya ordenada da el valor

de una respuesta estructural: reacción, carga axial, corte, momento, etc., en un

elemento o sección fijos de una estructura (apoyo, barra, viga, columna, etc.)

cuando una carga unitaria está aplicada en la abscisa correspondiente.

Hasta el momento se han estudiado los diagramas de fuerza axial, corte y

momento de un elemento estructural, que muestran la variación de la respuesta

respectiva a lo largo a lo largo del miembro pero siempre con una posición fija de

la carga. Ahora, en cambio, la sección es la que permanece fija mientras la carga

se desplaza por la estructura.

Las líneas de influencia se construyen para una carga unitaria por la facilidad de

obtener la respuesta total bajo un sistema de cargas, siempre y cuando la

estructura permanezca en régimen elástico, mediante la simple aplicación del

principio de superposición. Para esto se suman los productos de las ordenadas

apropiadas de la línea de influencia por los respectivos valores de las cargas

aplicadas en dichos sitios.

MÉTODO DE LA LÍNEA DE INFLUENCIA

Este análisis se realiza aplicando una carga unitaria móvil a lo largo de la

estructura, representando gráficamente para la sección de interés como varían las

fuerzas y desplazamientos al trasladarse la carga.

PRINCIPIO DE MULLER-BRESLAU

“Si se considera que una componente de reacción o de fuerza interna actúa sobre

una pequeña distancia y por consiguiente deflecta o desplaza una estructura, la

curva de la estructura deflectada o desplazada será a alguna escala, la línea de

influencia para dicha componente de reacción o de fuerza interna.”

Para facilitar los cálculos se adopta la unidad como factor de escala, en cuyo caso

la curva de la estructura deflectada o desplazada resulta de por sí la línea de

influencia.

Este principio se aplica a todas las estructuras reticulates comunes, tanto

determinadas como indeterminadas: cerchas, vigas, pórticos continuos. En el

caso de estructuras indeterminadas está limitado a respuestas en que es válida la

aplicación del principio de superposición.

Con la línea de influencia, se pueden obtener valores máximos de:

-Reacciones en apoyos (Fuerzas y momentos).

-Fuerzas axiales en barras de cerchas.

-Momentos y cortante en las secciones de vigas y arcos.

-desplazamientos y rotaciones en distintos puntos de vigas y arcos.

LÍNEAS DE INFLUENCIA DE VIGAS DETERMINADAS

Las líneas de influencia de vigas determinadas son muy fáciles de construir pues

basta con considerar la viga rígida y tener muy claro el concepto de qué restricción

representa cada una de las reacciones o fuerzas internas de interés.

EJEMPLO 1Averiguar para una viga simplemente apoyada, las líneas de influencia de las

reacciones en los dos apoyos, A y B, el corte en cualquier sección C y el momento

en la misma. Utilice a) la definición, y b) el principio de Müller-Breslau.

1

A B ∆ C ∆ a b L

SOLUCIÓNa) Utilizando la definición de la línea de influencia.

Para dibujar la línea de influencia de RA se coloca una carga unitaria a una

distancia x de RA y se expresa su valor como función de dicha distancia, esto

es:

1= P ∑ MB = 0 ⇒ RAL – P(L-x) = 0 x RA = P(L-x) = 1 - x

L L

RA RB

L

Que representa una línea recta con ordenada unitaria en A y cero en B.

Similarmente la línea de influencia en B se obtiene a partir de la ecuación:

∑ MA = 0 ⇒ RBL – Px = 0 ⇒ RB = Px

L

RB = x

L

La representación gráfica de ambas líneas se muestra en seguida:

1 1

A B A B LÍNEA DE INFLUENCIA DE RA LÍNEA DE INFLUENCIA DE RB

Para dibujar la línea de influencia de VC, en los diagramas de cuerpo libre que se

muestran a continuación, se observa que para posiciones de la carga unitaria

entre A y C, VC es igual a –RB; y para posiciones de la carga entre C y B, es igual

a RA.

MC MC MC MC

C

RA VC RB RA VC RB

a b a b

Por consiguiente, la línea de influencia de VC en la porción AC es la misma de RB

pero con signo negativo y en la porción CB es idéntica a la de RA, resultan

entonces dos líneas paralelas, con pendiente –1/L, y con un cambio brusco

unitario cuando la carga pasa del lado izquierdo al derecho de C.

a C b

1 Y2

1 Y1

L

Los valores de las ordenadas en el punto C se pueden obtener por triángulos

semejantes:

Y1 = - a

L

Y2 = - b

L

Y para dibujar la línea de influencia de MC se puede deducir de los dos diagramas

de cuerpo libre anteriores, que cuando la carga está a la izquierda de C:

MC = RBb

Y cuando está a la derecha:

MC = RAa

Al representar gráficamente estas ecuaciones resultan las dos líneas rectas de

diferente pendiente que se muestran a continuación:

YC

a b

El punto de quiebre se obtiene cuando la carga está en C y corresponde a la

ordenada:

YC = ab

L

b) Aplicando el principio de Müller-Breslau:

Las componentes de reacción de una estructura impiden el desplazamiento de la

misma en la dirección correspondiente.

Por consiguiente, para obtener la línea de influencia de RA basta con darle a la

viga un desplazamiento vertical unitario en la dirección positiva, es decir, hacia

arriba. El punto B permanece fijo y como no se ha liberado ninguna otra

restricción, la viga se desplaza como un cuerpo rígido, adquiriendo la

configuración indicada abajo, que coincide exactamente con la línea de influencia

dibujada anteriormente.

1

A B

Se procede en forma similar para obtener la línea de influencia de RB, lográndose

coincidencia absoluta con el diagrama hallado previamente.

1

A B

El corte en un punto de una viga representa la restricción que impide que el

segmento a un lado dela sección deslice sobre el que queda al otro lado. Por lo

tanto para encontrar su línea de influencia se hace un corte en C y se desliza en el

lado derecho sobre el izquierdo para que el signo del corte coincida con la

convención usual. La magnitud total del desplazamiento se hace igual a la unidad.

Los puntos A y B de la viga permanecen fijos y como no se han producido otras

liberaciones, resultan segmentos de recta AC y CB, que deben ser paralelos.

Y2

1 A C α B

α Y1

a b

En consecuencia, por geometría:

Y1 = αa

Y2 = αb

Pero Y1 + Y2 = 1

Entonces:

α(a+b) = αL =

α = 1/L

y

Y1 = a/L

Y2 = b/L

El momento en una sección de una viga representa la restricción al giro de la

sección a un lado de ella con respecto a la del otro lado. Por tanto, para aplicar el

principio de Müller-Breslau se elimina dicha restricción introduciendo una rótula y

se le da un giro unitario al lado derecho con respecto al izquierdo, manteniendo

fijos los puntos A y B y conservando todas las demás restricciones. Para que el

signo coincida con la convención usual de momentos en vigas, el giro se hace en

sentido horario lo cual obliga al punto C a desplazarse hacia arriba como se

muestra en la siguiente figura:

γ = 1

α β

A C B

a b

LLa condición geométrica es ahora que el giro en C por ser un ángulo externo es

igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes, o sea,:

γ = α + β = 1

por otra parte

YC = αa = βb

α = bβ

a

y reemplazando:

11 ==+

=

+ βββ

aL

aab

ab

β = a

L

YC = ab

L

Que conduce al mismo resultado que se había obtenido analíticamente.

CONCLUSIONESDe las gráficas anteriores se puede concluir lo siguiente:

1. La reacción máxima debida a una simple carga concentrada ocurre cuando

la carga está en el apoyo y es igual al valor de dicha carga.

2. La reacción máxima debida a una carga uniformemente repartida ocurre

cuando la viga está totalmente cargada y es igual al producto del área de la

línea de influencia de dicha reacción por el valor de la carga repartida.

3. La fuerza de corte máxima en una sección C debida a una simple carga

concentrada ocurre cuando la carga está justo a la derecha o a la izquierda

de la sección, sobre el mayor de los segmentos en que queda dividida la

viga. Su valor es el de la ordenada correspondiente, multiplicada por el

valor de la carga.

4. La fuerza de corte máxima en cualquier sección C debida a una carga

uniformemente repartida se presenta cuando la carga se extiende desde C

hasta el apoyo más distante. Su valor es igual al producto del área de la

porción de línea de influencia correspondiente al tramo cargado por el valor

de la carga repartida. Obsérvese que contrario a lo que podría pensarse

en primera instancia, no ocurre cuando toda la viga está cargada.

5. El momento máximo en una sección C debido a una carga concentrada

única resulta cuando la carga está aplicada justo en C.

6. El momento máximo en la misma sección cuando la viga soporta una carga

uniformemente repartida se presenta cuando toda la viga está cargada y es

igual al área de la línea de influencia multiplicada por el valor de la carga

por unidad de longitud.

EJEMPLO 2Hallar para la viga mostrada, utilizando el principio de Müller_Breslau, las

siguientes líneas de influencia:

RA, RB, RD, VIa, VdA, VIb, VdB, VC, VID, VdD, MA, MB, MC, MD.

A B C D

∆ ∆ ∆

1m 2m 8m 4m 6m 2m

SOLUCIÓNa) Para encontrar la línea de influencia de RA, basta con desplazar una unidad

el punto A de la viga, como la articulación en la primera luz permite el

quiebre y los puntos B y C permanecen restringidos, resulta la siguiente

gráfica:

0.5

•

1.0

• •

A B D

b) En forma similar se procede para RB, en este caso A y D permanecen fijos:

0.8

• 1.0

A B D

0.9 0.2

c) Para hallar RD, A y B permanecen en su puesto y el quiebre se produce de

nuevo en la articulación:

0.2

0.4 A B D 1.0

0.8

d) La línea de influencia del corte inmediatamente a la izquierda del apoyo A,

ViA, se obtiene haciendo un corte en dicho sitio y recordando que el punto a

la derecha del corte debe quedar una unidad por encima del punto a la

izquierda. Por otra parte, las líneas a ambos lados del corte deben quedar

paralelas, lo cual obliga a que la parte izquierda sea horizontal ya que las

restricciones en B y D obligan a que ala parte derecha no tenga inclinación.

A B D • •

1.0

e) Del mismo modo se halla la línea de influencia del corte a la derecha del

apoyo A, VdA; en este caso las líneas resultan inclinadas para poder

ajustarse a las restricciones. La ordenada en el extremo izquierdo se

obtienen `por semejanza de triángulos.

1

0.5 • •

A B D

f) Igual raciocinio se aplica a la línea de influencia del corte a la izquierda del

apoyo B, ViB. En este caso la línea a la izquierda del corte debe

permanecer horizontal por las restricciones en B y D.

0.5 A B D

1.0

g) La línea de influencia del corte a la derecha de B, VdB, en cambio, resulta

con líneas inclinadas a ambos lados del corte. La restricción en A exige un

quiebre en la articulación, como se indica en la siguiente figura. De nuevo

las ordenadas de los puntos clave se han obtenido por semejanza de

triángulos.

0.8 1.0

0.4 A B D 0.2

h) Para hallar la línea de influencia del corte en C, VC, se hace un corte endicho sitio y el punto a la derecha del mismo se coloca una unidad porencima del punto de la izquierda.

0.6 0.8 A B D 1.0

0.4 0.2

1m 2m 8m 4m 6m 2m

como ambos tramos deben ser paralelos, por trigonometría se obtiene:

Y1 = 4α

Y2 = 6α

Pero

Y1 + Y2 = 1

Por consiguiente:

(4 + 6)α = 10α = 1

α = 1/10

y finalmente:

Y1 = 4/10 = 0.4

Y2 = 6/10 = 0.6

i) y j) Para encontrar las líneas de influencia del corte de la izquierda y a la

derecha del apoyo D, se aplican los mismos principios utilizados en A y B.

Los resultados se indican a continuación:

0.8

0.4 A B D 0.2

1.0

1.0

A B D

k) Para hallar la línea de influencia del momento en A, se introduce una rótula

en dicho punto y se le da un giro unitario al tramo a la derecha dela rótula

con respecto al tramo a la izquierda. Como las restricciones en B y en C

impiden el desplazamiento de la articulación en el primer tramo, el giro sólo

se puede lograr si el extremo izquierdo de la viga baja una unidad por la

igualdad de ángulos opuestos por el vértice.

= 1 • •

A B D

A B = 1 D

m) Para hallar la línea de influencia de MC, se introduce una rótula en dicha

sección. Por geometría se concluye entonces que:

γ = α + β = 1

por otra parte:

YC = 4α = 6β

α = 6β/4 = 1.5β

y reemplazando

(1.5 + 1)β = 1

β = 1 / 2.5 = 0.4

Yc = 0.4*6 = 2.4

Los otros puntos se obtienen por semejanza de triángulos:

γ = 1

YC2.4 2.4 α β A B C D 0.8

4.8

n) Finalmente para hallar la línea de influencia del momento en D, se coloca

una rótula en dicho punto y se le aplica al tramo a la derecha de ella un giro

unitario como se muestra en la siguiente figura:

A B D = 1 1.0

EJEMPLO 3Suponiendo la viga anterior y el tren de cargas mostrado (camión HS20-44 de

las normas AASTHO), encuentre las posiciones que producen máxima

reacción en B, máximo corte en C y máximo momento en B. Según la norma

citada V varía entre 4.27 m y 9.15 m (14 pies a 30 pies); suponga V = 4.27 m

(14 pies).

3.64 T 14.55 T 14.55 T

A B C

4.27 m V

SOLUCIÓNa) Máxima reacción en B. Por inspección se ve que el máximo valor se

obtendrá cuando el tren de cargas se encuentra en el eje intermedio sobre

la articulación y el camión viaja en cualquiera de los dos sentidos.

P1 = 3.65 T P2 = 14.55 T P3 = 14.55 T

1.0

Y1 Y2 Y3

Las ordenadas se obtienen midiendo a escala o por triángulos semejantes.

Resulta entonces:

Y1 = 0.573 Y2 = 1.000 Y3 = 0.573

RB mäx = P1Y1 + P2Y2 + P3Y3 = 3.64*0.573 +14.55*1 +14.55*0.573 = 24.97 Ton

b) Para el máximo corte en C, el tren de cargas debe estar en la posición

señalada en seguida:

P1 P2 P3 = P2

0.8 Y2 Y3 1.0

0.4 A B C D

En este caso:

Y2 = 0.800 Y3 = 0.373

VC mäx = P2Y2 + P3Y3 = 14.55*(0.800 + 0.373) = 17.07 Ton.

c) Por último para que el momento en B sea máximo, el camión debe estar en

la siguiente posición:

P3 = P2 P2 P1

4.0

• • • 8.0 A Y3 Y2 B D

Resulta entonces:

Y1 = 0 Y2 = 3.730 Y3 = 8.000

MB mäx = 3.64*0 + 14.55*(8.000 + 3.730) = 170.7 Ton*m

Con lo que queda resuelto el problema.

Línea de influencia del momento en el empotramiento del siguientevoladizo: 1 MA 1

x L-x

A B

L -MA – (L-x) = 0

MA = - (L-x)

M

L-x x

-(L-x) -L (L-x)

LÍNEA DE INFLUENCIA DE MOMENTO DIAGRAMA DE MOMENTO

Variación del momento en una sección Momento flector en toda la viga

Fija de la viga debido a una carga debido a una carga unitaria en x.

Unitaria móvil.

Momento máximo en el empotramientoDebido a un vehículo que aplique cargas P1 y P2

EJEMPLO 4 d

P1 P2

Utilizamos la línea de influencia anteriormente calculada:

d

P1 P2

Y1 Y2

L

Para una porción cualquiera el momento en A será:

MA-(P1Y1 + P2Y2)

El máximo valor se obtiene cuando la carga P2 está multiplicada por el máximo

valor posible de Y2 ó en L, o sea, que esté en el extremo izquierdo.

MA mäx = -[ P1(Y1)x = d + P2L]

EJEMPLO 5Supongamos una carga móvil distribuida uniformemente q, el momento

máximo se obtiene colocando la carga corrida hacia B, e integrando el efecto

de las pequeñas cargas qdx que componen la carga distribuida total.

q

A B

a

qdx q

A B dx x

a

L

Y L

MA mäx = ∫ ∫ ==a a

aAreaqYdxqqYdx0 0

0*

Línea de influencia para el desplazamiento verticalEn el extremo libre del voladizo:

L

x

δ

Se conoce que:

−+= )(*

231

23

xLEIx

EIxδ

x

L

Y

Para dos cargas concentradas:

d

P1 P2

δmáx = P1Yx = -d +P2Yx = L

Línea de influencia para reacciones verticalesPara la viga siguiente:

P = 1

x

A B

L

Para una porción dada de la carga se tiene:

RA = 1*x RB = 1*(1- x)

L L

RA RB Y=1-x/L

Y=x/L 1

1

a a

EJEMPLO 6 d L-d

A P1 P2 B

L

RA RB

P2 > P1

RA mäx = P1Yx = L-d + P2Yx = L = P1Yx = L-d + P2

RB mäx = P1Yx = d + P2Yx = 0 = P1YX = d + P2

P1 P2

d

Para carga q uniformemente distribuida sobre una distancia a:

aXXBMAX

LXaLXAMAX

qAreaR

qAreaR

=

=

=

−=

=

=

0

Línea de influencia para la fuerza cortante m P

x

A B

L

n

a b

Cuando P = 1 está a la derecha de m-n la línea de influencia es igual a RA,

cuando P = 1 está a la izquierda de m-n la línea de influencia es igual a –RB.

m

1

A B

n

Vm-n

b/L +

- a/L

Vm-n máx = q*b*b = qb2

2L 2L

Vm-n máx se da cuando q está entre m-n y el apoyo B.

Línea de influencia para el momento flector en m-m m

1

A B

n

a b

Cuando la carga está en m-n

Mm-n = a*b

L

Mm-n

ab/L

Para carga distribuida el momento máximo se obtiene cuando q está en toda la

longitud.

2*

2* abq

LabLqM mäxnm ==−−

MÁXIMO ABSOLUTO DE LA FUERZA CORTANTE

Se encuentra en una sección inmediatamente contigua a una de las

reacciones, por lo cual hay que calcular el cortante máximo en cada una de

esas secciones. Válido también para vigas continuas.

MÁXIMO ABSOLUTO DEL MOMENTO FLECTOR

Si la viga está simplemente apoyada en sus extremos, tiene lugar en la mitad

de la luz. Para carga distribuidas uniforme como para una carga única

concentrada. Si no se puede determinar claramente por simple inspección es

necesario comparar los momentos máximos calculados para varias reacciones

en las que se puede esperar que se produzca el máximo.

Caso EspecialDeterminar el valor del momento absoluto máximo y la posición de la carga que

lo produce para la viga sometida a la acción de las cargas concentradas A, B,

C y D. LA curva de momentos para una serie de cargas concentradas es una

sucesión de líneas rectas que se cortan en las porciones de las cargas.

A B R C D

d M N

RM a

x

L / 2 L / 2

El momento máximo absoluto está bajo una de las cargas. Supongamos que

sea bajo la carga B.

X: Distancia de B al centro de la luz.

D: Distancia de B a la resultante todas las cargas

AaLRXd

LRXRdRLAaXL

LRd

LRXRAaXLRM

LRd

LLXR

LdXLRRM

MB

MN

−+−−=−−−+=−−=

−+=−+

=⇒=∑

2

24)

2(*)

2()

2(

2)2/(0

Para que MB sea mínimo:

202 dX

LRd

LRX

dxdMB =∴=+=

Si son 2 cargas aisladas el momento máximo está sobre la mayor.

LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA CERCHAS

Las líneas de influencia son muy útiles en el diseño de armaduras de puentes.

La carga unitaria se desplaza sobre las vigas longitudinales que al apoyarse en

las transversales, la transmiten a los nudos de la armadura. Para simplificar el

problema se suele ignorar la continuidad de las vigas longitudinales, si existe,

con lo cual las líneas de influencia resultan rectas entre dos nudos adyacentes

cualesquiera.

Determinamos para cada barra la posición más desfavorable de una carga viva

actuando sobre una cercha para evaluar la correspondiente fuerza axial

máxima en esa barra.

EJEMPLO 7Dibuje las líneas de influencia de las reacciones y de las fuerzas axiales en las

barras BC, BK, BL, LK, y CK de la armadura siguiente, para cargas verticales

aplicadas en el cordón inferior.

C D E

B F

7.0m 7.50m

6.0m

A G L K J I H

SOLUCIÓNLas líneas de influencia de las reacciones verticales en los apoyos A y G se

pueden obtener aplicando el principio de Müller –Breslau; resultan idénticas a

la de una viga simplemente apoyada como se muestra a continuación:

1

LÍNEA DE INFLUENCIA DE RA

1

LÍNEA DE INFLUENCIA DE RB

Para hallar la línea de influencia de la fuerza axial en el montante BL se

observa que cuando la carga unitaria está aplicada en el nudo L, dicha barra

queda sometida a una fuerza unitaria de tensión. La fuerza de dicha barra es

nula cuando la carga está aplicada en cualquier otro nudo. Para cargas entre

A y L, suponiendo simplemente apoyadas las vigas longitudinales del tablero, a

BL le corresponde absorber la reacción del extremo derecho. Similarmente,

para las cargas entre L y K, la fuerza en BL será la reacción izquierda de la

viga longitudinal respectiva. De estas consideraciones se concluye que la línea

de influencia buscada es así:

1

A L K GLÍNEA DE INFLUENCIA DE FBL

Se sabe que como la estructura es estáticamente determinada las líneas de

influencia estarán conformadas por tramos rectos. En consecuencia,

observando que cuando la carga está en los apoyos las fuerzas en todas las

barras son nulas, basta averiguar en cada caso el valor de la fuerza axial con

la carga aplicada en uno u otro extremo del panel respectivo. Por ejemplo, con

la carga aplicada en el nudo L se obtiene el siguiente diagrama de cuerpo libre.

FBC

B α C

FBK

d 6 m 7 m

α

A L β

5/6 1 FLK

8m

Tomando momentos con respecto al nudo B resulta:

111.136408*

656 ==⇒= LKLK FF

Por otra parte:

mCosd

Tan

946.67

º125.7811

==

=

= −

α

α

Y al tomar momentos con respecto al nudo K:

( ) 768.08340*

946.6116*

651*8* =

−=⇒=+ CBBC FFd

La barra BK forma con la horizontal un ángulo:

β = Tan-1(6/8) = 36.87º

Planteando ahora equilibrio de fuerzas horizontales se obtiene:

FBKCos β + FLK = FBCCosα

⇒ FBK = (1 / Cosβ)*(FBCCosα - FLK)

⇒ FBK = - 0.437 (compresión)

Repitiendo el mismo procedimiento con la carga aplicada en el nudo K se

obtiene FBC

B

6 m FBK

FLK

A L K

2/3 8 m 1

Tomando momentos con respecto a B:

889.098

18168*

326 ===⇒= LKLK FF

Y ahora con respecto a K:

536.1946.6*3

3216*32* ==⇒= BCBC FFd

Considerando el equilibrio de fuerzas horizontales, se obtiene para BK la

misma ecuación anterior:

FBK = (1 / Cosβ)*(FBCCosα - FLK)

⇒ FBK = 0.794 (tensión)

Con estos valores se pueden dibujar las respectivas líneas de influencia:

1.111

• • •

A L GLÍNEA DE INFLUENCIA DE FLK

A K G

• • •

_

1.536LÍNEA DE INFLUENCIA DE FBC

0.794

A L +

• • • •

- K G

0.436LÍNEA DE INFLUENCIA DE FBK

Finalmente la línea de influencia de la fuerza en CK se puede obtener

planteado el equilibrio en el nudo K. Cuando la carga está en dicho nudo,

resulta: FCK

FBK = 0.794

β

FLK FKJ

1

FCK = 1 – FBK Senβ = 1- 0.794Sen(36.87) = 0.524 (tension)

Y cuando está en J: FCK

FBK = 0.595

FLK β FKJ

FCK + FBK*Senβ = 0

⇒ FCK = -3/4 * 0.794*Sen 36.87= -0.357 (compresion)

Obsérvese que el valor de la fuerza en BK se obtuvo por semejanza de

triángulos en la línea de influencia obtenida anteriormente. El diagrama pedido

queda entonces así:

0.524

J G

• • • •

A K -

0.357LÍNEA DE INFLUENCIA DE FCK

LÍNEAS DE INFLUENCIA DE PÓRTICOS

Las líneas de influencia pueden tener importancia directa en el diseño de

pórticos simples utilizados en estructuras de puentes o de puentes-grúas.

También son muy útiles cuando dichos pórticos tienen miembros acartelados,

en cuyo caso se pueden usar modelos indirectos, en combinación con el

Principio de Müller –Breslau, para obtener cuantitativamente el valor de las

fuerzas deseadas. Sin embargo, en pórticos de edificios su mayor utilidad

radica en permitir determinar con facilidad los patrones de carga que causan

las máximas respuestas.

LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA CERCHAS COMPUESTAS

Por el mismo procedimiento que para cerchas simples se determina la

variación de la fuerza axial en una barra dada cuando una carga unitaria se

desplaza alo largo de la cercha.

LÍNEAS DE INFLUENCIA DE VIGAS INDETERMINADAS

Si se aplica el principio de Müller.Breslau a vigas continuas es evidente que las

figuras obtenidas están compuestas por líneas curvas; de ahí que queden dos

opciones para obtener los valores de las ordenadas indispensables para el

análisis. La primera, es determinarlas experimentalmente mediante el uso de

un modelo. La segunda es efectuar un análisis matemático. La primera

opción es útil cuando se trata de miembros con sección variable y fue muy

empleada en el pasado. Hoy en día con el desarrollo de la computación

electrónica se considera en general más fácil plantear matemáticamente el

problema para que la computadora lo resuelva con diferentes posiciones de la

carga unitaria.