Capítulo 3

Principios Generales de los

Gráficos de Control

Los gráficos de Control (también denominados gráficos de Shewhart) son una

herramienta gráfica para analizar si una proceso está bajo control estadísti-

co. Este capítulo introduce los conceptos y principios generales de los gráfi-

cos de control y los ilustra con una aplicación simple a un gráfico de valores

individuales.

3.1 Definición

Un gráfico de control es un gráfico sobre el que se hace corresponder un

punto a cada valor de un estadístico calculado a partir de muestra sucesivas

extraídas de un proceso de fabricación.

Cada uno de estos puntos tiene por abscisa el número de muestra ( o el

día y hora de obtención) y por ordenada el valor del estadístico calculado

con dicha muestra.

El gráfico contiene también una línea central que representa el valor me-

dio de la estadística representada cuando el proceso está bajo control es-

31

80706050403020100

20

15

10

Sample Number

Obs

erva

cion

esX-bar Chart for C3

Linea Central

LCS

LCI

Figura 3.1: Gráfico de control con líneas de referencia

tadístico y una o dos límites denominados límites de control superior (LCS) y

límite de control inferior (LCI). (ver figura 3.1).

3.2 Tipos de Gráficos de Control

Podemos clasificar los gráficos de control en dos grandes grupos en función

de la característica de calidad que controlan:

• Gráficos de control por variables. Entendemos, básicamente, por va-

riable cualquier característica que pueda ser medida o recogida en

escala continua.

• Gráficos de control por atributos. Cuando la característica no responde

a una escala de medida y debe ser clasificada dentro de un conjun-

to de categorías. Entonces la característica de calidad se denomina

atributo.

32

Dentro del curso estudiaremos gráficos de control por variables asociados

a la media, y a la dispersión para datos agrupados; así como gráficos de ob-

servaciones individuales y de rangos móviles. Los principales gráficos de con-

trol por atributos son gráficos para la proporción de defectuosos, el número

de defectuosos por lote, el número de defectos y el número de defectos por

unidad.

También son cada vez más utilizados gráficos de control con memoria, ta-

les como gráficos EWMA, CUSUM y MA (media móvil). Cuando se desean

controlar simultáneamente varias características de calidad son necesarios

gráficos de control multivariantes (basados en el estadístico T 2 de Hottelling)

y si existe dependencia entre las observaciones gráficos de control para da-

tos autocorrelados. Estos dos últimos tipos de gráficos no serán vistos de forma

detallada en el curso.

Utilizaremos los gráficos de control por variables y en concreto los gráficos

para observaciones individuales, como elementos donde poder introducir los

principales conceptos y definiciones.

3.3 Principio básico de uso de un gráfico de con-

trol

Un gráfico de control es la representación de la evolución de una caracte-

rística de la calidad del producto o servicio de interés (ver figura 3.1). Los

elementos básicos son la línea central, que representa el nivel medio de di-

cha característica, y los límites de control: límite de control superior o LCS

y límite de control inferior o LCI. La utilización del gráfico de control es, en

principio, bastante simple: si el proceso está bajo control (sólo actúan cau-

sas de variabilidad no asignables), la práctica totalidad de las observacio-

nes representadas estarán dentro de dichos límites de control, mientras que

si el proceso está fuera de control (está actuando alguna causa asignable)

las observaciones caerán, con mucha probabilidad, fuera de dichos límites.

33

Las observaciones suelen corresponder a mediciones realizadas sobre mues-

tras de artículos: valores medios, desviaciones típicas, rango, etc; aunque

también existen gráficos realizados sobre observaciones individuales. Estas

mediciones se realizan a lo largo del tiempo, por lo que el gráfico es una evo-

lución temporal de la calidad. Los puntos representados se unen por líneas

para visualizarlo mejor.

A pesar de su aparente simplicidad, la interpretación del gráfico de con-

trol ha de ser hecha con cierta cautela. Como veremos más adelante, inclu-

so si todos los puntos están dentro de los límites de control, es posible que el

proceso esté fuera de control.

En ocasiones, se añaden límites de aviso o de alerta a los límites de control.

En el caso de que el estadístico se encuentre entre los límites de aviso y los

de control, se suele reforzar el control del proceso.

3.4 Objetivos y beneficios

Entre los principales objetivos y beneficios de los gráficos de control se en-

cuentran:

• Los gráficos de control aumentan la productividad y disminuyen los cos-

tes. Previenen la producción de producto defectuoso manteniendo el

proceso bajo control estadístico. La productividad aumenta al aumen-

tar la proporción de producto ’conforme’ y evitar las revisiones y dese-

chos.

• Los gráficos de control impiden el infra y sobre control. Nunca se puede

obtener un proceso que produzca todas las unidades idénticas por lo

que hay que saber distinguir cuando es necesario un ajuste del proceso

y cuando no lo es a pesar de la variabilidad en el producto. Un exce-

so de celo en el ajuste pude provocar a la larga un incremento de la

variabilidad final más que una disminución.

34

• Los gráficos de control pueden dar indicios sobre las causas del proble-

ma. La inspección por parte de especialistas en el proceso y en el uso

del gráfico puede aportar información sobre el tipo o causa del pro-

blema que puede estar ocasionando la salida de control (tendencia,

comportamiento cíclico, etc..)

• Los gráficos de control permiten medir la capacidad o aptitud de un

proceso. Nos permiten estimar la tendencia central y la variabilidad de

la característica de calidad estudiada, de forma que podemos estimar

la aptitud del proceso para satisfacer unos requerimientos u otros.

• Los gráficos de control son una herramienta simple de utilizar por todos

y provee un lenguaje común para representar un proceso.

3.5 Hipótesis subyacentes en los gráficos de con-

trol por variables

Tomando como punto de partida los gráficos de control para variables, su-

ponemos que extraemos muestras durante el transcurso del proceso y que

una (o varias) característica(s) son medidas sobre dichas muestras.

Denotemos por Xi el valor de la característica de calidad para la mues-

tra extraída en el instante i, (1 ≤ i ≤ N) si el tamaño de la muestra es 1 y

(Xi1, Xi2, . . . , Xini) los correspondientes valores cuando la muestra sea de ta-

maño ni.

Las hipótesis que asumimos sobre la distribución de X, son:

Xi ó Xij ∼ N(µ, σ) i.i.d. (3.1)

es decir:

• La característica de interés sigue una distribución Normal de media µ y

desviación típica σ.

35

• Las observaciones son independientes (entre muestras y dentro de una

muestra).

Estas son las hipótesis admitidas cuando el proceso está bajo control es-

tadístico. El objetivo primordial del gráfico de control es detectar si estas

hipótesis dejan de verificarse (por ejemplo: un desplazamiento paulatino de

la media, un aumento de la dispersión σ, etc.. . . )

Comentarios: La elección de los límites de control de los gráficos se realiza

bajo estas hipótesis estadísticas. Las decisiones que se tomen en situaciones

donde no se cumplan estas hipótesis pueden quedar sin justificación o ser

incorrectas. Son conocidos numerosos contrastes de hipótesis que nos per-

miten validar la normalidad o la independencia de unos datos (test de nor-

malidad, test de Kolmogorov-Smirnov, gráfico de normalidad, test de rachas

o gráficos de autocorrelación, entre otros).

3.6 El gráfico de control como test de hipótesis

Es importante que veamos la estrecha relación entre los gráficos de control y

el test de hipótesis: el gráfico de control tiene por objetivo, en cada momento

en el que un dato Xi o una muestra (Xi1, Xi2, . . . , Xini) se extrae, contrastar si

el proceso sigue siempre bajo control, es decir sigue las hipótesis dadas en

(3.1)

Los límites de control delimitan la región de aceptación y de rechazo del

test. Si el punto cae dentro de los límites concluimos que el proceso sigue

bajo control y si cae fuera de los límites se decide que el proceso está fuera

de control.

Al igual que en un test de hipótesis usual, existen dos tipos de posibles

errores:

• Error de tipo I: Un punto cae fuera de los límites de control a pesar de

que el proceso sigue bajo control. Es lo que se denomina una falsa alar-

ma. Este error está controlado por la elección de los límites de control.

36

Denotamos por α la probabilidad del error de tipo I o riesgo de primera

especie.

• Error de tipo II: Un punto está dentro de los límites de control a pesar de

que el proceso está fuera de control, es decir ya no sigue las hipótesis

establecidas al principio. Puede ser por ejemplo que, ha variado el valor

medio, o se ha incrementado la varianza de la distribución o incluso

que esta ha cambiado de forma . . . . Este error es difícil de controlar

pues depende de parámetros desconocidos de la nueva distribución.

Denotemos por β la probabilidad del error de tipo II o riesgo de segunda

especie.

3.7 Elección de los límites de control

3.7.1 Límites de control

La elección de los límites de control es una cuestión importante cuando uno

define un gráfico de control. Los límites dependen de la característica o esta-

dístico que se representa sobre el gráfico pero se eligen siguiendo un principio

común.

Sea τ un estadístico de media µτ y de desviación típica στ representado en

el gráfico de control. En un instante i, τi puede ser el valor de una observación

Xi de la característica X, o la media, o el rango o la desviación típica de

una muestra tomada en el instante i: (Xi1, Xi2, . . . , Xini). Por ejemplo si τi = Xi,

entonces µτ = µ y στ = σ.

La línea central (LC) y los límites de control son en general definidos del

siguiente modo:

• Límite de Control Superior (LCS): µτ + kστ

• Línea Central (LC): µτ .

37

• Límite de Control Inferior (LCI): µτ − kστ

donde k es la “distancia” de los límites de control a la línea central

Observemos que por sencillez, los límites se sitúan simétricos alrededor de

la línea central, si bien para ciertos estadísticos τ (como para el caso del

rango) la distribución del estadístico no es simétrica alrededor de su media.

3.7.2 Elección del parámetro k

El valor de k influye directamente en los errores de tipo I y II asociados al

gráfico de control. Un valor elevado de k disminuye la probabilidad de error

de tipo I pero aumenta la probabilidad de error de tipo II.

Si el estadístico τ tiene distribución N(µτ , στ ), se verifica fácilmente que la

probabilidad de un error de tipo I (o falsa alarma) está dada por:

P (τ < LCI ó τ > LCS) = P (τ < µτ − kστ ) + P (τ > µτ + kστ ) (3.2)

= P (Z < −k) + P (Z > k) = 2P (Z < −k) (3.3)

donde Z ∼ N(0, 1). Si tomamos por ejemplo k = 3, resulta que la probabilidad

de observar una falsa alarma vale

P (τ < LCI ó τ > LCS) = 2× P (Z < −3) = 2× 0.00135 = 0.0027 ≈ 0.003

de donde se deduce que un gráfico de control para un estadístico con dis-

tribución normal y límites de control ±3στ tiene alrededor de un 3 por mil de

opciones de provocar una falsa alarma cuando el proceso está bajo control

estadístico.

Esta elección de k = 3 es una de las más frecuentes, pero puede ser varia-

da según los casos, así si los gastos derivados de una situación de no control

son mucho más elevados que los que siguen a un búsqueda de causas tras

una alarma, el valor k puede reducirse a 2.5 o incluso a 2.

Es muy frecuente el uso del término ‘gráficos de control 3-sigma (o 3 −σ) ’, o en general k-sigma para hacer referencia a los gráficos de control

establecidos con límites de control a una distancia de µτ de ±kστ .

38

3.7.3 Límites de aviso

Es frecuente encontrar en los gráficos de control, además de los límites de

control, límites de aviso a una distancia de la línea central de ±2στ . Estos

límites se denominan en inglés lower and upper warning limits, LWL y UWL, res-

pectivamente. Siguiendo con las hipótesis anteriores, un punto del proceso

bajo control sobrepasará estos límites con una probabilidad del 0.05, es decir

nos encontraremos ’falsos avisos’ en 5 de cada 100 ocasiones.

3.7.4 Estimación de los límites de control en la práctica

En la práctica, los valores de µτ y στ no son conocidos con exactitud. En tal

caso se suele proceder en dos etapas:

1. Periodo de estimación. Se toman muestras durante un cierto periodo, en

el que creemos que el proceso se encuentra bajo control. Con dichas

muestras se estiman los parámetros desconocidos y necesarios para re-

presentar los límites de control y la línea central, usualmente se debe

estimar µτ y στ . Con los límites de control provisionales se representa el

gráfico de control asociado a estos datos, si alguno se sale de los límites,

este dato debe ser eliminado y los límites recalculados. Este proceso se

repite hasta que todos los puntos caen dentro de los límites de control

provisionales.

2. Periodo de uso. Una vez que los límites de control provisionales parecen

haber sido estimados con puntos del proceso bajo control, estos límites

pasan a definitivos y se utilizan para seguir controlando los nuevos datos

que genere el proceso. Por supuesto, si el proceso lleva mucho tiempo

en funcionamiento, es conveniente una verificación de los límites y en

su caso una puesta al día.

39

3.8 Curva Característica y tiempo medio de de-

tección de una alarma

En el diseño y construcción de un plan de control, es necesario especificar

el tamaño de las muestras extraídas y la frecuencia de muestreo. En el caso

particular que nos sirve de modelo, gráficos de control para observaciones

individuales, el tamaño es 1. Esta elección particular nos permite en este

caso poder determinar el error de tipo II del test. Minimizar este error resulta

equivalente a maximizar la probabilidad de detectar rápidamente un des-

plazamiento de la media del proceso.

En esta sección veremos los recursos técnicos con los que podemos hacer

un estudio de estas características.

Como ya hemos comentado, los desajustes de un proceso pueden ser

debido a cambios variados: desplazamiento de la media, modificación de

la variabilidad o una variación en la propia forma de la distribución. Nos

limitaremos en estos momentos al estudio de desviaciones en la media del

proceso. Si la característica X, sigue una distribución Xi ∼ N(µ0, σ), podemos

representar una variación brusca (o un salto) en la media del proceso en el

instante t del modo siguiente:

Xi ∼ N(µ0, σ) i.i.d. i = 1, . . . , t− 1 (3.4)

∼ N(µ1 = µ0 + cσ, σ) i.i.d. i = t, t + 1, . . . (3.5)

donde cσ es el desarreglo o desviación brusco del proceso (observar que se

trata de una variación en la media de c desviaciones típicas de la variable,

esta es la forma natural de medir desviaciones en la media de un proceso,

las ’unidades naturales’)

Veamos dos nociones utilizadas para expresar la capacidad de un gráfico

de control para detectar las variaciones del proceso: la curva característica

(OC curve: operating characteristic curve) y el tiempo medio de detección

(ARL: average run length)

40

543210

1,0

0,5

0,0

c

Prob

abilid

ad

Curva característica (varios límites de control)

Variación de la media (en desviaciones típicas)

k=3k=2,5k=2

Figura 3.2: Ejemplo de curva característica para tamaño de muestra 1 y

diversos límites de control

3.8.1 Curva Característica

La curva característica es una curva que nos da, en función de la variación

más o menos grande en la media del proceso, la probabilidad de observar

un punto dentro de los límites de control, es decir de aceptar que la fabrica-

ción sigue bajo control a pesar de que está eventualmente fuera de control.

Esta curva permite visualizar los riesgo de primera y segunda especie del

gráfico y comparar diferentes tamaños de muestra o distintos límites de con-

trol o distintos gráficos alternativos.

El cálculo y representación de esta curva es especialmente simple en el

caso de los gráficos de valores individuales.

Las curvas de eficacia dibujadas representan la probabilidad OC(c) de

que un punto Xi caiga dentro de los límites de control LCI (µ0 − kσ) y LCS

(µ0 + kσ) si la media del proceso varía de µ0 a µ0 + cσ, para valores (0 ≤ c ≤ 5).

41

Hemos dibujado en la figura 3.2 la curva característica para k = 2, 2.5 y 3 para

comparar distintos gráficos de control frecuentes.

La probabilidad representada viene dada por:

OC(c) = P (LCI < Xi < LCS|µi = µ0 + cσ)

= P (µ0 − kσ < Xi < µ0 + kσ|µi = µ0 + cσ)

= P

(µ0 − kσ − (µ0 + cσ)

σ< Z <

µ0 + kσ − (µ0 + cσ)

σ

)(3.6)

= P (−k − c < Z < k − c) (3.7)

En c = 0, OC(0) es la probabilidad de observar un punto dentro de los

límites de control cuando el proceso está bajo control, es decir 1−OC(0) es la

probabilidad del error de tipo I, la probabilidad de observar una falsa alarma

cuando el proceso está bajo control. Este riesgo vemos que disminuye al

aumentar el valor de k.

Para valores c > 0, OC(c) representa directamente la probabilidad de

aceptar un punto cuando el proceso ya no está bajo control, por lo que

directamente se trata de la probabilidad del error de tipo II o riesgo de se-

gunda especie, también denotado por β. Como cabe imaginar OC(c) dismi-

nuye al aumentar c. Respecto al efecto de k, valores menores de k permiten

disminuir β pero a costa de incrementar el riesgo de primera especie α.

3.8.2 Tiempo medio de detección

El ARL(c) (average run length) es el tiempo medio (número medio de pun-

tos representados en el gráfico) necesario para obtener un punto fuera de

los límites de control cuando una variación de cσ unidades se da de forma

continuada en la media de la característica de calidad controlada.

Esta medida es bastante utilizada a la hora de comparar diferentes gráfi-

cos de control y para medir la sensibilidad.

42

En los gráficos de control de Shewart, el ARL(c) está dado por:

ARL(c) =1

1−OC(c)=

1

1− P (LCI < X < LCS|µ = µ0 + cσ)(3.8)

es decir, es el recíproco de la eficacia de la curva. Este resultado se com-

prueba fácilmente.

Sea Y la variable aleatoria que cuenta el número de puntos representa-

dos sobre el gráfico antes de observar una alarma (alarma incluida). Como

las observaciones representadas en el gráfico son independientes, Y sigue

una ley de probabilidad geométrica,

P (Y = i) = (OC(c))i−1(1−OC(c)), i = 1, 2, 3, . . .

cuya esperanza matemática es:

E(Y ) =∞∑i=1

iP (Y = i) =∞∑i=1

i(OC(c))i−1(1−OC(c)) =1

1−OC(c)= ARL(c)

Si tomamos como ejemplo un gráfico de valores individuales con límites

de control en ±3σ, obtenemos los siguientes tiempos medios:

Media desplazada encσ unidades ARL(c)

c = 0.0 370

c = 0.5 156

c = 1.0 44

c = 1.5 15

c = 2.0 6

c = 2.5 3

c = 3.0 2

Vemos que podemos esperar representar 370 puntos en el gráfico antes

de detectar una falsa alarma cuando el proceso está bajo control (c = 0).

También vemos que en media debemos esperar representar 44 puntos antes

de detectar una variación de σ unidades en la media, por lo que este tipo de

43

gráficos (gráficos de control para valores individuales) parecen algo lentos a

la hora de revelar cambios en la media del proceso.

El análisis del ARL(c) permite tomar decisiones sobre la frecuencia de ob-

servación y el tamaño de las muestras seleccionadas. Veremos que a mayor

tamaño de muestra también se acorta sensiblemente este tiempo medio de

espera.

3.9 Reglas de sensibilidad utilizadas en alarmas

Como ya hemos indicado, un gráfico de control indica que el proceso está

fuera de control cuando uno o más puntos representados caen fuera de los

límites de control. Pero este suceso no es el único que puede poner de ma-

nifiesto un desajuste del proceso. Es usual prestar atención a secuencias o

rachas que tengan poca posibilidad de ser observadas en un proceso bajo

control. Así, si uno observa 6 puntos consecutivos crecientes (o decrecientes)

en un gráfico de control, deducirá que un evento inesperado se está produ-

ciendo, ya que este tipo de comportamiento es muy poco probable si los

datos provienen del proceso dado en (3.1).

3.9.1 Test de Inestabilidad

Los tests de inestabilidad consisten en la detección de patrones en los gráfi-

cos que sean muy poco probables si el proceso está bajo control. La mayoría

de los programas informáticos los incluye. Para detectarlos se dividen las dos

áreas alrededor del límite central en tres zonas iguales: A, B, C (ver gráfico

3.3). Cada línea corresponderá, entonces, a una desviación típica.

Existen un total de ocho patrones, propuestos inicialmente por los ingenie-

ros de la Western Electric. Si se detecta la presencia de alguno de ellos se ha

de considerar la posibilidad de que sea debido a alguna causa asignable.

Estos patrones son los siguientes:

44

Patrón 1: Un punto fuera de las líneas de control (fuera de la zona A).

Patron 2: 2 puntos de 3 consecutivos dentro de la zona A o exteriores a ella.

Patrón 3: 4 de 5 puntos consecutivos en la zona B o A.

Patrón 4: 8 puntos consecutivos en la misma mitad del gráfico.

Patrón 5: 15 puntos consecutivos en las zonas C.

Patrón 6: 8 puntos seguidos sin caer en la zona C, aunque estén a ambos

lados del gráfico.

Patrón 7: 14 puntos seguidos alternativos (cada uno en una mitad diferente

al anterior)

Patrón 8: 7 puntos seguidos creciendo o decreciendo

403020100

18

13

8

Observation Number

Indi

vidu

al V

alue

Gráfico de Control (Zonas de Aviso)

X=12,90

1,0SL=14,54

2,0SL=16,17

3,0SL=17,80

-1,0SL=11,27

-2,0SL=9,641

-3,0SL=8,008

Zona A

Zona A

Zona B

Zona B

Zona C

Figura 3.3: gráfico de control con las zonas de aviso marcadas

El uso de los test de inestabilidad o patrones de no aleatoriedad del 2 al

8 no debe ser el mismo que el uso del test primero. Los restantes deben ser

45

utilizados como señales visuales o descriptivas que detectan fenómenos no

esperados en el proceso.

Los fenómenos de los cuales nos avisan son del tipo:

• Ciclos causados por un fenómeno repetitivo en las entradas del proceso

(fluctuación del voltaje, cambio de operadores, ritmo semanal, etc...)

• La mezcla de varios productos de distribuciones diferentes. Esto puede

producir puntos próximos a los límites de control superior e inferior.

• Un exceso de control o de sobre-ajuste (patrón 7)

• Un cambio lento de la característica que en general se debe a una

degradación lenta de una parte del proceso o de las materias primas

utilizadas (patrón 8)

• Modificación repentina del valor medio de la característica debida a

un suceso puntual: nuevo método, materia prima u operario,...

• Mala elección o cálculo de los límites de control cuando los puntos es-

tán demasiado próximos a la línea central (patrón 5)

El uso simultáneo de estas reglas permite aumentar la sensibilidad del grá-

fico frente a pequeños cambios del proceso pero también existe un peligro

con su uso indiscriminado. El riesgo de falsas alarmas aumenta. En efecto,

supongamos que m reglas se usan a la vez y que cada una tiene un riesgo

de primera especie (con el proceso bajo control) de αi, el riesgo global de

provocar una falsa alarma puede aproximarse por

α = 1−m∏

i=1

(1− αi)

que vale por ejemplo 0.04 si m = 8 y cada αi = 0.005. Evidentemente esta fór-

mula no es totalmente precisa, pues estaríamos asumiendo que las m reglas

son independientes, caso que no es cierto, pero nos ayudan a entender el

aumento de riesgo referente a falsas alarmas.

46

3.10 Ejemplo de Gráfico de Control para obser-

vaciones individuales

En esta sección utilizaremos observaciones pseudo-aleatorias generadas por

ordenador para simular el comportamiento de un proceso de fabricación.

Esto nos permite simular datos normales con media µ y desviación típica σ a

nuestra conveniencia.

Hemos fijado σ = 1.8 y hemos generado una muestra de tamaño 80: los

40 primeros valores con µ = 13 y los 40 siguientes con µ = 15 para poder

simular una variación notable en la media sin modificar la variabilidad del

proceso (una variación de 1.11σ unidades), es decir simulamos un cambio en

la calidad debido a una causa asignable.

Estudiaremos estos datos sin suponer conocido el proceso generador de

las observaciones. En primer lugar un gráfico de las observaciones en función

del tiempo (run chart), un histograma y algunos estadísticos básicos de los

datos (tanto juntos como separados en las dos mitades).

3.10.1 Gráfico de control para datos individuales

Comenzamos estudiando un gráfico de control para los 80 datos individuales

y poder verificar si el proceso está bajo control estadístico.

El estadístico τ que representamos es simplemente X y µτ = µ y στ = σ. Sus

respectivas estimaciones son:

µ̂ = x̄ =1

N

N∑i=1

Xi = 13.86 y σ̂ = sN−1 =

√√√√ 1

N − 1

N∑i=1

(Xi − X̄)2 = 1.98

donde N = 80 es el tamaño total de la muestra de observaciones Xi.

En este caso, los límites de control estimados (provisionales) resulta:

47

• LCS = x̄ + 3sN−1 = 19.80

• LC = x̄ = 13.86

• LCI = x̄− 3sN−1 = 7.92

El gráfico de control que se obtiene es el siguiente:

0 10 20 30 40 50 60 70 80

10

15

20

Sample Number

Valo

res

indi

vidu

ales

Gráfico de control

X=13,86

3,0SL=19,80

-3,0SL=7,920

Figura 3.4: Gráfico de control de las observaciones individuales (lineas cal-

culadas con la muestra total)

¿Qué conclusiones sacamos?

• No hay ningún punto más allá de los límites de control.

• la regla 2 (nueve puntos consecutivos en un mismo lado de la lc) se

cumple en los puntos 27, 28 y 29.

• la regla 6 (4 de 5 puntos consecutivos más allá de la línea de 1 σ en el

mismo lado) se cumple en los puntos 37, 69 y 71.

48

En un estricto sentido el proceso parece bajo control, aunque los test de

inestabilidad hacen sospechar de que hay un cambio entre los primeros da-

tos y los últimos, pues los avisos se producen en lados opuestos de la línea

central.

0 10 20 30 40 50 60 70 80

10

15

20

Sample Number

Valo

res

indi

vidu

ales

22

26

66

X=13,86

3,0SL=19,80

-3,0SL=7,920

Figura 3.5: Gráfico de control de las observaciones individuales (líneas cal-

culadas con la muestra total) y reglas de sensibilización marcadas

3.10.2 Gráfico de control para datos individuales basada

en los 40 primeros datos

Repetimos ahora el cálculo de los límites de control y la representación del

total de observaciones cuando tomamos en cuenta las primeras 40 observa-

ciones. La estimación de los parámetros resulta ahora:

x̄ = 12, 91 y s39 = 1, 82

y por tanto los nuevos límites resultan:

LCS = 18.37 LC = 12.91 y LCI = 7.45

La representación del gráfico de control con los nuevos límites indica:

49

• El punto 67 cae fuera de los límites de control

• El test 2 falla en numerosos puntos a partir de la observación 55.

• El test 5 falla en las observaciones 67 y 69.

• El test 6 falla en las observaciones 50, 61, 62, 69, 71 y 77.

80706050403020100

20

15

10

Observation Number

Indi

vidu

al V

alue

Gráfico de Control para individuos

1

X=12,91

3,0SL=18,37

-3,0SL=7,450

Figura 3.6: Gráfico de control de las observaciones individuales (lineas cal-

culadas con la primera mitad de la muestra total)

Esto nos indica por una lado que los 40 primeras observaciones parecen

provenir de un proceso bajo control y que es costoso detectar la variación

ligera/moderada de la media (variación de 1.1σ). Si nos limitamos a la regla

1, debemos esperar hasta la observación 67 (27 observaciones después de

que se ha producido la variación) o si hemos incorporado todos los test de

inestabilidad, hasta la observación 50 (10 después de producirse el cambio

en la media del proceso).

Este ejemplo ilustra la lentitud de este tipo de gráficos de control para re-

accionar cuando se produce una variación ligera o moderada de la media.

50

Si observamos el valor que indica el ARL(1), que es 44, todavía podíamos ha-

ber tenido que esperar más para detectar un punto fuera de los límites de

control.

También podemos sacar la misma conclusión ante la gráfica de eficacia

(curva característica) de este modelo con sus valores reales µ0 = 13, σ = 1.8 y

k = 3 o con c = 1.1 en el gráfico 3.2.

51