Interpolacin

Para qu?Para calcular un dato desconocido entre otros que conocemos, para hacer previsiones elementales de futuro basadas en datos del pasado y presente

La frmula ms simple de interpolacin es conectar dos puntos con una lnea recta. Este mtodo, llamado Interpolacin Lineal

Usando tringulos semejantes, se tiene:

Que se puede reordenar como:

EjemploEstimar ln 2 mediante interpolacin lineal si :ln1 = 0ln 6 = 1.791759ln 4 = 1.386294Valor real ln 2 = 0.6931472Error relativo porcentual = 33.3%

INTERPOLACIN CUADRTICA Una estrategia de mejoramiento de la aproximacin es la introduccin de cierta curvatura en a lnea que conecta a los puntos. Si se dispone de tres puntos - un polinomio de segundo orden(polinomio cuadrtico o parbola). Una manera conveniente para este caso es:f(x) = b0 + b1(x x0) + b2(x x0)(x x1) aunque esta ecuacin parezca diferente de la ecuacin general, las dos ecuaciones son equivalentes. Veamos, al multiplicar los trminos de la ecuacin obtenemos:

f(x) = b0 + b1x b1x0 + b2x2 + b2x0 x1 b2xx0 b2xx1

o, agrupar trminos: f(x) = a0 + a1x + a2x2

Donde a0 = b0 b1x0 + b2x0 x1, a1 = b1 b2x0 b2x1, a2=b2

Procedimiento para determinar los valores de los coeficientes:Se evala la ecuacin con X=X0b0 = f(X0) Con valor bo y X=X1 encontramos

Y por ltimo, se evala la ecuacin con valor b0 y b1 y X = X2, se obtiene:

Ejemplo Calculemos ln 2 con ln 4 y ln 6, los punto que se conocen son:x0 = 1f(x0) = 0x1 = 4f(x0) = 1.386294x0 = 6f(x0) = 1.791759Aplicando las ecs. anterioresb0 = 0b1 = (1.386294 0)/(4 1) = 0.4620981b2 = ((1.791759 1.386294) /(6 4) 0.4620981)/(6 1) = 0.0518731El polinomio esf(x) = 0.4620981(x 1) 0.0518731(x 1)(x 4)

f(2) = 0.5658444f(x) = ln xEstimacin cuadrticaValor verdaderoEstimacin linealValor real ln 2 = 0.6931472Error relativo porcentual = 18.4%

Diferencias finitasSi tenemos una funcin f(x) definida en forma tabular, para la cual se desconoce la expresin analtica:

xiyix0y0x1 = xo + hY1x2 = xo + 2hY2x3 = xo + 3hY3x4 = xo + 4hY4xn = xo + nhyn

Primeras diferencias hacia adelante:a0 = y1-y0a1 = y2-y1a2 = y3-y2an-1 = yn-yn-1Son representados por yiSegundas diferencias y2ib0 = a1-a0 = y2-2y1+y0b1 = a2-a1 = y3-2y2+y1b2 = a3-a2 = y4-2y3+y2bn-2 = an-1-an-2 = yn-2yn-1+yn-2Y as sucesivamente

En forma tabular

xiyiy2y3yx0y0a0 = y1-y0x1 = xo + hY1b0 = a1-a0 a1 = y2-y1c0=b1 b0x2 = xo + 2hY2b1 = a2-a1 a2 = y3-y2c1 = b2 b1x3 = xo + 3hY3b2 = a3-a2 a3=y4-y3x4 = xo + 4hY4cn-3 = bn-2 bn-3bn-2 = an-1-an-2 an-1 = yn-yn-1xn = xo + nhyn

Polinomio de interpolacin:Donde

Ejemplo:Para la funcin definida en la tabla determinarEl valor de y para x = 3.2El valor de y para x = 93.2 9x0=2xk=3.2h=2

y0=8y=542y=963y=48

Para x=9 falta datos, entonces voltear tabla

xiyiyiy2iy3i026284854484629615048621214429448850619248610992

9Como pueden ver solo se cambian signos de las diferencias impares. Por ello se puede hacer interpolacin de la tabla original segn la formula:x0=10xk=9h=-2

y0=992y=-4862y=1923y=-48

Donde

xiyiyiy2iy3i10992-4868506192-294-486212144-150-4846296-54-482848-602

9

xiyiyiy2iy3i026284854484629615048621214429448850619248610992

INTERPOLACIN POLINOMIAL DE LAS DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTONForma general de los polinomios de interpolacin de n-simo orden es: fn(x) = b0 + b1(x x0) +...+ bn(x x0)(x x1)... (x xn1) dondeb0 = f (X0)b1 = f [X1, X0]b2 = f [X2, X1, X0]...bn = f [X n, Xn-1, ..., X1, X0]En donde las evaluaciones de la funcin entre corchetes son diferencias divididas finitas.

Todas las diferencias pueden arreglarse en una tabla de diferencias divididas, en donde cada diferencia se indica entre los elementos que la producen: Si se dispone de un dato adicional f(Xn+1), el error se determina como: Rn = f [xn+1, xn, ..., x1, x0](x x0) (x x1)... (x xn)

Ejemplo Calculemos ln 2 con ln 0, ln 4, ln 5 y ln 6, los punto que se conocen son:x0 = 1f(x0) = 0x1 = 4f(x1) = 1.386294x2 = 6f(x3) = 1.791759x3 = 5f(x2) = 1.609438primeras diferenciasf [x1, x0] = (1.386294 0)/(4 1) = 0.4602981f [x2, x1] = (1.791759 1.386294)/(6 4) = 0.2027326f [x3, x2] = (1.609438 1.791759)/(5 6) = 0.1823216Segundas diferenciasf [x2, x1, x0] = (0.2027326 0.4602981)/(6 1) = 0.05187311f [x3, x2, x1] = (0.1823216 0.2027326)/(5 4) = 0.02041100tercera diferenciaf [x3, x2, x1 , x0] = (0.02041100(0.05187311))/(5 1) = 0.007865529Polinomio f(x) = 0 + 0.4602981(x 1) 0.05187311(x 1) (x 4) + 0.007865529(x 1) (x 4) (x 6)Valor calculado con el polinomiof(2) = 0.6287686

En forma tabularPolinomio de interpolacin: f(x) = 0 + 0.4602981(x1) 0.05187311(x1)(x4) + 0.007865529(x1)(x4)(x6)Valor calculado con el polinomiof(2) = 0.6287686lo que representa un error relativo porcentual del 9.3%. La estructura de la ecuacin de Nuwton es similar a la expresin de la serie de Taylor. Estos trminos son diferencias divididas finitas, y por lo tanto, representan aproximaciones a las derivadas de orden superior.

ixiF(xi)1ra dif.2da dif. 3ra dif. 0100.46029810.051873110.007865529141.3862940.20273260.02041100261.7917590.1823216351.609438

Ejemplo (cont.)f(x) = ln xValor verdaderoEstimacin cbicaf3(x)

Se dispone de los siguientes datos en una tabla: Y se desea interpolar a x=2.0

Ejemplo:

Solucin Se calculan las primeras diferencias divididas

Se calculan las segundas diferencias divididas

Se calculan las terceras diferencias divididas

Ahora se calcula a f(x) con x=2.0

POLINOMIO DE INTERPOLACION DE LAGRANGEEs una reformacion del polinomio de Newton que evita el calculo de las deferencias divididas.Los polinomios de interpolacin de Lagrange se calculan a partir de la siguiente frmula:

n es el grado del polinomio

por ejemplo, para cuando n=1

Ahora desarrollemos el polinomio para cuando n=2

Error del polinomio:

Si se tiene un punto adicional en x = xn+1, se puede obtener error estimado

Ejemplo: Para la tabla que a continuacin se presenta:

Obtenga la aproximacin polinomial de Lagrange con todos los puntos. Intepole el valor de la funcin para x=1.8.

Solucin:

Ejemplo: La densidad de la mermelada vara con su temperatura y la concentracin de fruta, de acuerdo a la siguiente tabla: Deseamos encontrar la densidad de la mermelada a 50oC y 60% de concentracin.

Primeramente vemos que, podemos usar los polinomios de interpolacin de Lagrange para n=1.

Primero vamos a calcular la densidad a 50oC y 40% de concentracin utilizando los valores de la densidad conocidos entre 30oC y 60oC.

Ahora vamos a calcular la densidad a 50oC y 70% de concentracin, utilizando los valores de la densidad conocida entre 30oC y 60oC.

La nueva tabla que ahora tendramos sera:

Finalmente, ahora vamos a calcular la densidad a 50oC y 60% de concentracin, utilizando los valores de la densidad conocidos a 50oC entre 40% y 70% de concentracin.

Extrapolacin

Es el proceso que consiste en determinar, mediante la misma funcin de interpolacin, el valor de la funcin para valores de x que se encuentran fuera del intervalo conocido.

Matemticamente, si (x0,y0) (x1,y1).......(xn,yn) son n+1 puntos, tales que verifican x0

Interpolacion segmentariaAnteriormente usamos un polinomio de n-esico grado para interpolar entre n+1 puntos de datos. Pero cuando se interpola polinomios de grado a grado, el tamao de error es considerable.Un procedimiento alternativo utilizar funciones segmentarias (o spline), se divide el intervalo de los puntos en varios segmentos y se busca el polinomio interpolante para cada caso, haciendo que los cambio entre ellos sean suavizados.Estas funciones son especialmente importantes debido a su idoneidad en los clculos realizados por la computadora.

Interpolacion polinomialInterpolacion segmentaria

Perfil para un diseo Polinomio interpolador

Aplicaciones Ingeniera y Diseo (CAD/CAM, CNCs) Geologa Aeronutica y automocin Economa Procesamiento de seales e imgenes (Reconocimiento de patrones, recuperacin de imgenes) Robtica Medicina (Aparatos auditivos, mapas cerebrales) Meteorologa (Mapas climticos, deteccin de inundaciones,...) Mundo Virtual Distribuido Multiusuario

Segmentacin linealLa unin mas simple entre 2 puntos es una lnea rectaLas segmentarias de 1r grado para un grupo de datos ordenados pueden definirse como un conjunto de funciones lineales:

Donde mi es la pendiente de la lnea recta que una los puntos

Principal desventaja no es suave.Nota: los puntos donde se encuentran 2 segmentos se llaman nodos.

Ejemplo:Ajustar los datos con segmentarias de 1r grado, evalu la funcin en x = 5 y x = 8.

Segmentarias cuadrticasEl objetivo de las segmentarias cuadrticas es obtener un polinomio de 2do grado para cada intervalo entre los datos:

Para n+1 datos existen n intervalos, y 3n constantes desconocidas (a, b, c). Por lo tanto se requieren 3n ecuaciones o condiciones para evaluar las incgnitas.

Los valores de la funcin de polinomios adyacentes deben ser iguales en los nodos interiores:

La primera y la ultima funcin deben pasar a travs de los puntos extremos:

Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales

Suponiendo que en el primer punto la 2da derivada es 0

Nota: si no hay una informacin adicional respecto a las funciones o sus derivadas, se realiza una eleccin arbitraria para calcular las constantes

Para el ejemplo anterior:n=3, entonces 3n=9 incognitas1.

2.

3.

4

Soluciones

Sustituyendo en las ecuaciones cuadrticas originales obtenemos:X=5, f2(5) = 0.66Desventajas: lnea recta para 2 primeros puntos; grande ascilacion para el ultimo intervalo

Segmantarias cubicasObjetivo obtener un polinomio de 3r grado para cada intervalo entre los nodos

Para n intervalos hay que evaluar 4n incgnitasLa primera y la ultima funcin deben pasar a travs de los puntos extremos Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser igualesLas segundas derivadas en los nodos interiores deben ser igualesLas segundas derivadas en los nodos extremos son 0.

Resultado es la siguiente ecuacin cbica en cada intervalo:

Tcnica alternativa de spline cubico (solo para n-1 ecuaciones)En el mtodo directo 4n ecuaciones y 4n coeficientes, mtodo alternativo n-1 ecuaciones.Desde la definicin de la interpolacin de Lagrange y sabiendo que la 2da derivada de una funcin cbica es una recta, tenemos

Propiedades de polinomios cubicos f(x)f(xi) = yi el spline pasa por cada punto, i= 0, 1, ..., nfi(xi+1) = fi+1(xi+1) - el spline forma una funcin continua, i = 0, 1, ...., n-2fi(xi+1) = fi+1(xi+1) - el spline forma una funcin suavizada, i = 0, 1, ...., n-2fi(xi+1) = fi+1(xi+1) la segunda derivada es continua, i = 0, 1, ...., n-2

Si suponemos que

(1)

Esta ecuacin contiene solo 2 incognitas (las 2das derivadas en los extremos de cada intervalo). Las segas derivadas se evaluan tomando la condicin de que las primeras derivadas deben ser continuas en los nodos:

Para esto se deriva la ecuacin (1) para el (i-1)-ecimo y i-esimo intervalos, los resultados se igualan

Si se escriba esta ecuacin para todos los nodos interiores, obtenemos n-1 ecuaciones con n-1 incognitas.Nota: Las 2das derivadas en los nodos extremos son iguales a 0

Ejemplo:Ajustar los datos del ejemplo anterior por el mtodo de spline cbica. Estimar valor en x=5.

X0=3f(X0) = 2.5X1=4.5f(X1) =1X2= 7f(X2) =2.5X3= 9f(X3) =0.5

Debido a la condicin de segmentaria, f(3)=0a)

b)c)

d)Las 3 ecuaciones se puede utilizar para calcular los valores dentro de cada intervalo

El problema de la interpolacin consiste en estimar el valor de una funcin en un punto a partir de valores conocidos en puntos cercanos. Para obtener esta estimacin se aproxima la funcin con polinomios ya que son fciles de evaluar y por el hecho fundamental de que dados n+1 puntos de abscisa distinta, (x0, y0), (x1, y1),..., (xn, yn), existe exactamente un polinomio Pn(x) de grado no superior a n, que pasa por dichos puntos, es decir Pn(xi) = yi para i = 0, , n .As, el problema de interpolacin consiste en la obtencin de un polinomio, llamado polinomio de interpolacin, de grado menor o igual que n que pasa por n+1 puntos (xi,yi), i=0,1,...,n, tambin llamados nodos de interpolacin. Plantearemos tres formulaciones diferentes para este problema que nos llevan al mismo polinomio interpolador:1) Planteando directamente las condiciones anteriores se obtiene un sistema de ecuaciones lineales con solucin nica, pero generalmente mal condicionado o de difcil solucin si el nmero de puntos es elevado. 2) Los polinomios de Lagrange permiten obtener una expresin explcita del polinomio de interpolacin cuyo inters es ms bien terico, pues es difcil de evaluar en puntos concretos. 3) Numricamente es mucho ms til la forma de Newton del polinomio de interpolacin. Aunque no tiene expresin explcita, su obtencin es ms estable que por los mtodos anteriores, su evaluacin no presenta los inconvenientes de los polinomios de Lagrange, y sobre todo, se puede actualizar fcilmente si se aaden nuevos nodos de interpolacin.

***Como en el caso de interpolacin lineal, b1 an representa la pendiente de la lnea que une los puntos X0 y X1. Por lo tanto, los primeros dos trminos de la ecuacin son equivalentes a la interpolacin lineal de X0 a X1. El ltimo trmino, b2(X-X0)(X-X1), introduce la curvatura de segundo orden en la frmula.

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