Capitulo8

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Convección: Flujo interno

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IntroducciónAnteriormente se obtuvieron las expresiones adimensionales para elcoeficiente de transferencia de calor, aplicables a problemas queinvolucran un flujo externo: El cálculo de las propiedades del fluido se llevó a acabo a la

temperatura de la superficie, a la temperatura de bulto del fluido oa la temperatura de película.

A continuación se presentarán los coeficientes convectivos parageometrías que involucran flujos internos, como por ejemplo elflujo en tubos.

Para el flujo por dentro de tubos no podemos definir Se requiere conocer la manera en que evoluciona la temperatura

en el interior del tubo y obtener las ecuaciones adecuadas paracalcular el flujo de calor por convección.

T

3

Condiciones de flujo para flujos internos

• El flujo turbulento comienza en 2300Re

DumD

• Longitud hidrodinámica de entrada: – Flujo laminar

– Flujo turbulento

Dhfd Dx Re05.0/,

10/, Dx hfd

0/ dxdu

4

Velocidad media• La velocidad en el interior de un tubo es variable en la sección

transversal. Para cada área diferencial dAc:

A

cA

dAxrumdm ),( cdAxrumd ),(

• La rapidez de transferencia de masa a través de un tubo con seccióntransversal Ac:

cm Aum yc

m Amu

donde um es la velocidad media

(promedio)

(8.1)

Combinando con (8.1):

ocr

oc

Ac

m rdrxrurA

dAxruu

02 ),(2),(

Se puede determinar la temperatura promedio en cualquier posiciónaxial (a lo largo de la dirección-x), conociendo el perfil de velocidad.

(8.2)

5

Perfil de velocidad en una tubería

• Para el flujo laminar de un fluido incompresible de propiedades constantes en la región completamente desarrollado de un tubo circular (tubería):

22 1

41)(

oo r

rrdxdpru

dxdpru o

m

8

2

(8.3a)

(8.4)

2

12)(

om rr

uru (8.3b)

6

Consideraciones térmicas: Temperatura media• Se puede escribir la ley de enfriamiento

de Newton en el interior de un tubo,considerando una temperatura media, enlugar de T

)("mSx TThq

• La energía interna porunidad de masa para unaárea diferencia es

),()(),( xrTcudAxrTcmdEd c

• Rapidez de transferencia de energía total:

cmETm

donde Tm es la velocidad media (promedio)

Combinando con (8.6):

o

cr

om

Ac

m rdrxruTrucm

dAxrTucT

02 ),(2),(

• Integrando sobre toda la seccióntransversal:

cAA

dAxrTucEdE ),(

mTcmE y

(8.5)

(8.6)

(8.7)

7

Ejemplo 8.1Para el flujo de un metal líquido a través de un tubo circular, los perfilesde velocidad y temperatura a una posición axial particular se puedeaproximar como siendo uniforme y parabólica respectivamente. Esto es,u(r)=C1 y T(r)-Ts=C2[1-(r/ro)2], donde C1 y C2 son constantes y Ts latemperatura en la superficie del tubo. ¿Cuál es el valor del número deNusselt, NuD en esta posición?

])/(1[)( 22 os rrCTrT

1)( Cru ro

Respuesta. NuD=8

8

Condiciones completamente desarrolladas

• Para flujos internos, la temperatura, T(r), así como la temperatura media, Tm siempre varía en la dirección-x, por lo tanto:

0,0)(

dxdT

dxrdT m

¿Podemos decir que ? 0)(

dxrdT

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• Una región completamente desarrollada térmicamente es posible, si unade las dos condiciones superficiales posibles existe:– Temperatura uniforme (Ts=constante).– Flujo de calor uniforme (qx”=constante)

• Longitud de entrada térmica:

10)/(

PrRe05.0)/(

,

,

turbtfd

Dlamtfd

Dx

Dx

• Aunque T(r) cambia con x, la forma relativa del perfil de temperatura semantiene constante: El flujo esta completamente desarrolladotérmicamente.

0)()(),()(

,

tfdms

sxTxTxrTxT

x

10


• Se puede probar que para condiciones completamente desarrolladas, el coeficiente convectivo local es una constante, independiente de x:

)(xfh

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Variación de la temperatura media a lo largo de un tubo

Aún tenemos el problema de conocer como la temperatura media Tm(x), varíacomo una función de la distancia, por lo que podemos utilizarla en la ley deenfriamiento de Newton para estimar el coeficiente convectivo detransferencia de calor.

Considerando un balance de energía sobre un volumen de control diferencialen el interior del tubo:

– Las contribuciones principales se deben a los cambios de energía interna[= ], la transferencia de calor por convección y el trabajo de flujo [=pu],necesario para mover el fluido.

mTcm

)( pTcdmdq mconv

La rapidez de transferencia de calorconvectiva al fluido, es igual a larapidez a la cual la energía térmica delfluido se incrementa, mas la rapidez ala cual el trabajo para mover el fluido esrealizado a través del volumen decontrol:

P=perímetro superficial

(8.8a)

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Variación de la temperatura media a lo largo de un tubo

Considerando un gas ideal, o líquido incompresible:

)( ,, imompconv TTcmq

qconv esta relacionado con las temperaturas promedios en la entrada y la salida.

(8.9)

mpconv dTcmdq

Integrando:(8.8b)

Combinando las ecuaciones 8.5 y 8.8b:

)("

mspp

sm TThcmP

cmPq

dxdT

donde P=perímetro superficial =

pD para un tubo circular=amplitud para una placa plana

La integración de esta ecuación resultará en una expresión para lavariación de Tm como una función de x.

(8.10)

13

Caso 1: Flujo de calor constante

• Integrando la ecuación (8.10):

)("" LPqAqq ssconv

xcmPq

TxTp

simm

"

,)( (8.11)

teconsqs tan"

donde P=perímetro superficial =pD para un tubo circular=amplitud para una placa plana

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Ejemplo (Problema 8.15)Un colector solar plano se utiliza para calentar aire atmosférico fluyendoa través de un canal rectangular. La superficie inferior del canal esta bienaislada, mientras que la cubierta superior recibe un flujo de caloruniforme, el cual se debe al efecto neto de la absorción de radiaciónsolar y el intercambio de calor entre las placas absorbedora y la cubierta.Para un flujo másico de entrada=0.1 kg/s y Tm,i=40°C, ¿cuál es latemperatura de salida del aire, si L=3 m, w=1 m y el flujo de calor es 700W/m2?. El calor específico del aire es cp=1008 J/kg.K.

Respuesta: Tm,o=60.8°C

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Caso 2: Temperatura superficial constante, Ts=constante

De la ec.(8.10) con Ts-Tm=DT: ThcmP

dxTd

dxdT

p

m

)(

Integrando desde x a cualquier posición sobre la corriente del fluido:

hcm

PxTT

xTT

pims

ms

exp)(

,

Para la longitud completa del tubo:

hcm

PLTT

TTTT

pi

o

ims

oms

exp

,

,

lmsconv TAhq donde)/ln( io

iolm TT

TTT

(8.13) (8.14)

(8.12)

As es el área superficial del tubo, As=P.L=pDL

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Ejemplo 8.3La condensación de vapor sobre la superficie externa de un tubocircular con pared delgada de 50 mm diámetro y 6-m de longitud semantiene a una temperatura superficial uniforme de 100°C. EN el tubofluye agua a través del tubo con un flujo másico de 0.25 kg/s y sustemperaturas de entrada y salida son Tm,1=15°C y Tm,o=57°C. ¿Cuáles el coeficiente convectivo promedio asociado con el flujo de agua?

D=50 mm

L=6 m

Ts=100°C

Tm,i=15°CTm,o=57°C

KmWhspuesta 2/756 .Re

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Caso 3: Temperatura externa uniforme

Remplazar Ts by and by (el coeficiente convectivo global,, el cual incluye las contribuciones debidas a la convección en las superficies interior y exterior, y debido a la conducción a través de la pared del tubo).

T h U

p

s

im

om

i

o

cmAU

TTTT

TT

exp

,

,lms TAUq (8.15) (8.16)

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Correlaciones para flujo Interno

Existen correlaciones para varios problemas de flujo interno,incluyendo flujo laminar y turbulento en tubos circulares y nocirculares, así como en flujo anular.

Para flujo laminar, se pude derivar una expresión para h en formateórica.

Para flujo turbulento se utilizan correlaciones empíricas.

La forma general de las correlaciones es:

Pr)(Re,fNu

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Flujo laminar en tubos circulares1. Región completamente desarrollada

Empezamos con la ecuación de energía, escrita para el flujo completamente desarrollado en una sola dimensión y sustituyendo el perfil de velocidad para el flujo en tubos:

rTr

rrrT

xTu

donde u=0 y

2

12)(

om rr

uru

Pada flujo de calor constante, la solución de la ecuación diferencial es:

constq kqxTxT s

ssm "

"

4811)()(

Combinando con la ley de enfriamiento de Newton: )("mSx TThq

Dkh /1148

20

• Para casos en donde existe flujo de calor uniforme:

constqk

hDNu sD " 36.4

• Para casos en donde se tiene una temperatura superficial constante:

constTNuD s 66.3

(8.17)

(8.18)

Flujo laminar en tubos circulares

21

2. Región de entrada: La velocidad y la temperatura son funciones de x

• Problema de longitud de entrada térmica: Se asume la presencia de un perfil de velocidad completamente desarrollado

• Problema de longitud de entrada combinado (térmico y velocidad) : Los perfiles de velocidad y temperatura se desarrollan simultáneamente

23


22

Para el caso de temperatura superficial constante:• Caso de longitud de entrada térmica

3/2Pr]Re)/[(04.01PrRe)/(0668.066.3

D

D

LDLDNu D

14.03/1

/PrRe86.1

s

D

DLNu D

• Caso de longitud de entrada combinado

75.90044.0

700,16Pr48.0

s

s constT

Todas las propiedades, excepto ms se evaluaron utilizando latemperatura promedio:

2,, omim

mTT

T

(8.19)

(8.20)


23

• Para una superficie suave y condiciones completamente desarrolladas, laecuación de Dittus–Boelter se puede utilizar para diferencias de temperatura(Ts-Tm) pequeñas o moderadas :

nDDNu PrRe023.0 5/4

10/000,10Re160Pr7.0

DLD

n=0.4 para calentamiento (Ts>Tm) y 0.3 para enfriamiento (Ts<Tm)

• Para variaciones grandes en las propiedades, se tiene la ecuación de Sieder y Tate:

14.03/15/4 PrRe027.0

s

DDNu10/

000,10Re700,16Pr7.0

DLD

Todas las propiedades, excepto ms se evalúan a la temperatura promedio

(8.21a)

(8.21b)


24

• Los efectos de la rugosidad de la pared, se pueden considerarutilizando la correlación de Petukhov:

)1(Pr)8/(7.1207.1PrRe)8/(

3/22/1

ffNu D

D 64 105Re10

2000Pr5.0

D

• Para números de Reynolds pequeños, se tiene la correlación deGnielinski:

)1(Pr)8/(7.121Pr)1000)(Re8/(3/22/1

ffNu D

D 6105Re3000

2000Pr5.0

D

Los factores de fricción se pueden obtener del diagrama de Moody

(8.22a)

(8.22b)


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Aire caliente corre con un flujo másico de 0.050 kg/s por un ducto de láminametálica no aislada de diámetro D=0.15 m, que está en la entreduela de unacasa. El aire caliente entra a 103oC y, después de una distancia L=5 m, se enfríaa 77oC. Se sabe que el coeficiente de transferencia de calor entre la superficieexterna del ducto y el aire ambiente a T∞=0oC es ho=6 W/m2-K.1.Calcule la pérdida de calor (W) del ducto sobre la longitud L.2. Determine el flujo de calor y la temperatura superficial del ducto en x=L.

Ejemplo:

Capitulo8

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