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Capıtulo 1: Numeros y funciones

(Fundamentos Matematicos de la Biotecnologıa)

Departamento de MatematicasUniversidad de Murcia


ContenidosNumeros

Primeras clases de numerosNumeros realesOperaciones con numeros realesEcuaciones e inecuacionesSistemas de ecuaciones

FuncionesDefiniciones basicasOperaciones con funcionesGrafica de una funcion

Funciones mas relevantesFunciones linealesFunciones potencialesFunciones polinomicasFunciones exponencialesFunciones logarıtmicasFunciones periodicasFunciones trigonometricas


Numeros

Primeras clases de numeros

Primeras clases de numeros

N = Numeros naturales (de natural): Los utilizamos para contar.

N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}.

Z = Numeros enteros (de Zahlen): Sirven para contar en ((direccionesopuestas)) a partir de un nuevo numero: el ((cero 0)).

Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.

Q = Numeros racionales (de quotient): Son los que resultan de dividir unnumero entero m por otro n, es decir, m/n.

Q =

{. . . ,−13

2,−10

3,−7

4, 0,

1

2,2

3,5

6, . . .

}.


Numeros

Numeros reales

Numeros irracionalesLa expresion decimal de un numero racional tiene:

un numero finito de cifras decimales (0, 6231), o

un numero infinito de decimales y es periodico (2, 01010101 . . . ).

I = Numeros irracionales (de irrational): Tienen infinitas cifras decimalesy estas no siguen ningun patron. Por ejemplo:

π = 3, 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 . . . ((numero pi))

e = 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 . . . ((numero e))

√2 = 1, 414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 . . .

R = Numeros reales (de real): Son el conjunto formado por los numerosracionales y los irracionales, y completan todos los huecos de larecta real: R = Q ∪ I


Numeros

Numeros reales

El orden de los numeros reales

Existe una relacion de orden < (que se lee ((menor que))) tal que dadosdos numeros reales x e y (distintos), se cumple

x < y o y < x .

Signo de un numero x : positivo si 0 < x ; negativo si x < 0.

El orden en N:

1 < 2 < 3 < 4 < · · · < 200 < · · · < 106 < · · ·

El orden en Z:

· · · < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < · · ·

El orden en R:Dos numeros reales se ordenan comparando su expresion decimal.


Numeros

Numeros reales

Otras relaciones de orden

> (((mayor que)))

x > y si se cumple que y < x .

≤ (((menor o igual que)))

x ≤ y si se cumple que

x = yo

x < y

≥ (((mayor o igual que)))

x ≥ y si se cumple que

x = yo

x > y


Numeros

Numeros reales

La recta real

Los numeros reales se representan en una recta, en la cual se fija unpunto 0, llamado origen, una unidad de longitud y un sentido positivo:

Los numeros positivos (x > 0) se colocan a la derecha del origen, y losnegativos (x < 0) a la izquierda:

Resultado muy importante: A cada numero real le corresponde un unicopunto en la recta y viceversa. La recta se denomina recta real y es unarepresentacion geometrica de R.


Numeros

Numeros reales

Subconjuntos especiales: los intervalos finitos

abiertos: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}

cerrados: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

semiabiertos (o semicerrados):

[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}

(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}


Numeros

Numeros reales

Subconjuntos especiales: los intervalos infinitos

(a,+∞) = {x ∈ R : x > a}

[a,+∞) = {x ∈ R : x ≥ a}

(−∞, a) = {x ∈ R : x < a}

(−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}


Numeros

Numeros reales

Propiedades de los numeros reales

La suma y la multiplicacion de numeros reales poseen las siguientespropiedades:

Propiedad Suma Multiplicacion

Conmutativa x + y = y + x xy = yx

Asociativa (x + y) + z = x + (y + z) (xy)z = x(yz)

Elemento neutro x + 0 = x x1 = x

Elemento inverso x + (−x) = 0 xx−1 = 1

Propiedad distributiva x(y + z) = xy + xz


Numeros

Operaciones con numeros reales

Operaciones especiales con numeros reales (I)

La potenciaSi n es un numero natural, se define la potencia n-esima de x ∈ R como

xn = x · (n). . . · x .

Propiedades:

(xn)m = xn·m,

xn · xm = xn+m,

(xy)n = xnyn,

pero (x + y)n = xn + yn

x0 = 1 y x−n =1

xn.

X


Numeros


Operaciones especiales con numeros reales (II)

La raızSi n es un numero natural, se define la raız n-esima de x como

n√

x = y siempre que yn = x .

Propiedades:

Si n es par, entonces debe ser x ≥ 0.

Potencias racionales: xmn = n

√xm.


Numeros


Operaciones especiales con numeros reales (III)

Se define el valor absoluto de un numero x como

|x | ={

x si x ≥ 0−x si x < 0

Propiedades basicas del valor absoluto:

1 |x | = 0 ⇐⇒ x = 0.

2

√x2 = |x |.

3 |x | = | − x |.4 |xy | = |x | |y |.

5 |xn| = |x |n.6

∣∣∣ xy

∣∣∣ = |x||y | .

7 |x + y | ≤ |x |+ |y |.8 |x − y | ≥ |x | − |y |.


Numeros

Ecuaciones e inecuaciones

Ecuaciones: definicion y ejemplosLas ecuaciones son igualdades algebraicas construidas con numeros(naturales, enteros, racionales, reales) y una variable desconocida,denominada incognita y representada por una letra (generalmente x ,aunque tambien valdrıa y , z ,. . . ).Los valores de la incognita que hacen cierta la igualdad se denominansoluciones de la ecuacion.

Ecuacion Solucion en. . .

x − 1 = 0 Nx + 1 = 0 Z2x + 1 = 0 Qx2 − 2 = 0 Rx2 + 1 = 0 C

C = Numeros complejos (de complex):

C = {a + bi : a, b ∈ R}


Numeros

Ecuaciones e inecuaciones

Inecuaciones: definicion y ejemplos

Las inecuaciones son desigualdades algebraicas construidas connumeros (naturales, enteros, racionales, reales) y una variabledesconocida, denominada incognita.Si existen valores de la incognita que hacen cierta la desigualdad, estos sedenominan conjunto solucion de la inecuacion.

Algunos ejemplos

3x − 8 ≥ 0

2x − 1 ≤ 3x + 2

5x + 1 ≤ 2x − 1 < 3x + 5

|x − 1| < 2

|2x + 3| ≥ 7

|x − 1| < |2x + 3|

2x + 1

3x − 2≥ 0

4x − 3

5x − 9< 0

x2 + 2x + 2 > 0

2x2 + x − 6 ≥ 0

5x2 − 4x + 5 ≥ 4x2 − 2x + 9


Numeros

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es una serie de igualdades en las que aparecendos o mas variables desconocidas, denominadas incognitas.Si existen valores de las incognitas que hacen ciertas todas las ecuacionesa la vez, estos se denominan soluciones del sistema.

Por ejemplo: {x + y = 12x − y = 2

Ecuaciones y sistemas pueden relacionar funciones de cualquier tipo:{3x + 2y = 64log x − log y = 1

sen 3x − sen x = cos 2x .


Funciones

Definiciones basicas

Definicion de funcion

¿Que es una funcion?

Sean A y B dos conjuntos (formados por numeros o no). Una funcionf : A −→ B

es una ((regla)) que a cada elemento a ∈ A le asigna un unico elementob ∈ B (su imagen). Esto se suele escribir como

f (a) = b

Ejemplos

1 A ={alumnos}, B = R y f (alumno) = su altura.

2 A ={planetas}, B = R y f (planeta) = su diametro.

3 A ={alumnos}, B ={colores} y f (alumno) = su color favorito.

4 A = N, B = R y f (n) =√

n.


Funciones


Conceptos basicos

f : A −→ B, f (a) = b

El conjunto A en el cual esta definida la funcion se denominadominio de la funcion, y se denota por dom(f ).

a = variable independiente (es variable porque puede tomarcualquier valor en A y es independiente porque su valor no dependede nada externo)

b = variable dependiente (es variable porque en principio puedetomar cualquier valor dentro de B y es dependiente porque su valorconcreto esta ((en funcion)) de a).

Dependiendo de los valores que toma la funcion (es decir, de comosea B), se distinguen entre funciones (llamadas, a veces, variables)cuantitativas (peso, altura, edad...) y cualitativas (color, sexo...).


Funciones


Funciones reales de variable real

A lo largo del curso, las funciones con las que habitualmentetrabajaremos seran las dadas por

f : R −→ R.

Escribiremos normalmente f (x) = y o y = f (x) para designar que x e yson numeros reales, siendo y la variable dependiente mientras que x es laindependiente.

¡Nota muy importante!

Las letras son irrelevantes, solo importa la funcion. Por ejemplo, lafuncion f (x) = 1/

√x es la misma que g(t) = 1/

√t, aunque las letras

sean distintas.


Funciones

Operaciones con funciones

Operaciones basicas con funciones

Nombre Operacion Dominio

Suma (f + g)(x) = f (x) + g(x) dom(f ) ∩ dom(g)

Resta (f − g)(x) = f (x)− g(x) dom(f ) ∩ dom(g)

Producto (fg)(x) = f (x)g(x) dom(f ) ∩ dom(g)

Divisionf

g(x) =

f (x)

g(x)dom(f ) ∩ {x ∈ dom(g) : g(x) 6= 0}


Funciones


Composicion de funciones

La composicion

Dadas dos funciones f , g : R −→ R, su composicion es la funcion f ◦ gdefinida por

(f ◦ g)(x) = f(g(x)

).

El dominio de la composicion es

dom(f ◦ g) ={

x ∈ dom(g) : g(x) ∈ dom(f )}

.

Es facil ver que, en general, la composicion no es conmutativa, esdecir:

f ◦ g 6= g ◦ f .


Funciones


Funcion inversa o recıproca

La funcion identidad se define como

f (x) = x .

La representaremos por Id.

La funcion inversa o recıproca

Si f es una funcion, decimos que g es la funcion inversa o recıproca de fcuando f ◦ g = Id y g ◦ f = Id, es decir:

f(g(x)

)= x y g

(f (x)

)= x

para todo x en los correspondientes dominios. Se denota por f −1.

Ejemplos

1 La funcion inversa de f (x) = x + 2 es g(x) = x − 2.

2 La funcion inversa de f (x) = 3x es g(x) = x/3.


Funciones

Grafica de una funcion

Grafica o grafo de una funcion

La grafica o grafo de una funcion f : R → R, cuyo dominio es el conjuntoA ⊂ R, es el subconjunto del plano R2 definido por

Gr(f ) ={(

x , f (x))∈ R2 : x ∈ A

}.

Sı Sı No


Funciones mas relevantes

Funciones lineales

La funcion lineal

Las funciones mas sencillas son las que estan dadas por

f (x) = ax ,

donde a es un numero constante.

Esto significa que y es proporcional a x .

Su grafica es siempre una recta.

a representa la velocidad de crecimiento y es la pendiente de la recta.

a = 0, pendiente nula y rectahorizontal

a > 0, pendiente positiva yproporcionalidad directa

a < 0, pendiente negativa yproporcionalidad inversa



Funciones lineales

La funcion lineal general

Es la funcion dada por f (x) = ax + b, donde a y b son constantes.De nuevo a es la pendiente, mientras que ahora b es simplemente unatraslacion vertical (se llama la ordenada en el origen).

Observacion: Ahora y no es proporcional a x .

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

y = −xy = 1− xy = (1/2)x + 1



Funciones potenciales

La funcion potencial

Una funcion se llama potencial si es de la forma

f (x) = axn,

donde a y n son constantes. El valor n es el exponente.

Este tipo de funciones sı aparecen en las llamadas relacionesalometricas que determinan el tamano de los organismos enrelacion al tamano de alguna de sus partes (el numero n sedenomina constante alometrica).



Funciones potenciales

Representacion grafica de funciones potenciales

-1 -0.5 0.5 1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

y = −2x2 y = 8x3 y = 5x4



Funciones polinomicas

Los polinomios

Una funcion polinomica o polinomio es una suma de funcionespotenciales:

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx

n.

Los numeros a0, . . . , an son los coeficientes del polinomio. El terminoque no lleva variable (a0) se llama termino independiente.

Se denominan raıces a las soluciones de la ecuaciona0 + a1x + a2x

2 + · · ·+ anxn = 0.

Calcular las raıces de un polinomio es, en general, imposible. Cuandolos coeficientes son numeros enteros, las raıces racionales son de laforma r/m, donde r y m son divisores enteros de a0 y an,respectivamente. La regla de Ruffini permite obtener, segun sea elpolinomio, nuevas raıces.



Funciones exponenciales

La funcion exponencialLa funcion exponencial de base b es

f (x) = abx ,

donde a y b son constantes.

La funcion exponencial es similar a la funcion potencial, con ladiferencia que la variable independiente x es el exponente de lapotencia, en lugar de ser la base.

Observese que a = f (0).

Ejemplo

La funcion que explica el crecimiento de N0 celulas en condiciones idealesviene dada por una funcion exponencial de base 2:

N(t) = N0 2t ,

donde t es la variable tiempo expresada en las unidades adecuadas.




Representacion grafica de funciones exponenciales

-3 -2 -1 1 2

-4

-2

2

4

6

y = ex

y = −ex

y = (0, 7)x




Funcion exponencial y tasa de crecimientoLa tasa de crecimiento T (t) (en%) de una funcion f (t) esta dada por

T (t) =f (t + 1)− f (t)

f (t)× 100.

Si f (t) = abt , la tasa de crecimiento es T = (b − 1)× 100 constante.

Interpretacion de la tasa de crecimiento (si a > 0)

1 Si b > 1, entonces T > 0 =⇒ f es creciente.2 Si b = 1, entonces T = 0 =⇒ f es constante.3 Si b < 1, entonces T < 0 =⇒ f es decreciente.

La funcion f en terminos de la tasa TSi f (t) es una funcion con tasa de crecimiento constante T , entonces

f (t) = f (0)

(1 +

T

100

)t

.




La funcion exponencial estandarEntre todas las funciones exponenciales destaca la de base b = e,

f (x) = ex = exp(x),

que se llama, simplemente, la funcion exponencial.

Propiedades de la funcion exponencial

-3 -2 -1 1 2 3

5

10

15

20

e0 = 1.

e1 = e.

ex+y = exey .

ex−y =ex

ey.

e−x =1

ex.



Funciones logarıtmicas

La funcion logaritmo

La funcion logaritmo de base b, que denotaremos por logb, es la funcioninversa de la funcion exponencial de base b (con a = 1). Por tanto:

logb(bx) = x = blogb x .

Es decir, logb x es el numero al que debemos elevar b para obtener x .

Casos especiales

Entre todas las bases destacan dos:

1 b = 10. Se denomina logaritmo decimal y se denota por log x .

2 b = e. Se denomina logaritmo neperiano y se denota por ln x .

3 b = 2. Se denomina logaritmo binario.



Funciones logarıtmicas

Propiedades basicas de la funcion logaritmo

1 2 3 4

-10

-8

-6

-4

-2

2logb b = 1.

logb 1 = 0.

logb(xy) = logb x + logb y .

logb

(xy

)= logb x − logb y .

logb(xy ) = y logb x .

logb(y√

x) =logb x

y.

logb x logx b = 1.

logb x logk b = logk x(cambio de base)

y= log2 x

y= ln x

y= log x



Funciones periodicas

Funciones periodicas

Una funcion f : R → R es periodica si se ((repite)) cada cierto perıodo detiempo T > 0. Mas formalmente, si cumple

f (x + T ) = f (x), para todo x .

En la Naturaleza uno puede encontrar muchos ejemplos de situacionesperiodicas:

los ritmos de las estaciones,

las orbitas de los planetas,

el latido del corazon,

las fases de la luna, etc.

Las funciones periodicas por excelencia en Matematicas son lastrigonometricas: seno, coseno y tangente.



Funciones trigonometricas

Definicion de las funciones trigonometricas

Las funciones trigonometricas elementales pueden definirse utilizando untriangulo rectangulo.

senα =cateto opuesto

hipotenusa=

a

h.

cos α =cateto contiguo

hipotenusa=

b

h.

tg α =senα

cos α=

cateto opuesto

cateto contiguo=

a

b.




Definicion de las funciones trigonometricas

Las funciones trigonometricas elementales en un cırculo:




Grafica de las funciones trigonometricas elementales




Funciones inversas de las funciones trigonometricas

Las funciones inversas:arc sen α: Arcoseno (funcion inversa del seno), arc sen(sen α) = α.

arc cos α: Arcocoseno (funcion inversa del coseno), arc cos(cos α) = α.

arc tg α: Arcotangente (funcion inversa de la tangente), arc tg(tg α)=α.

((El inverso de)) las funciones trigonometricas:

cosec α: Cosecante (el inverso del seno), cosec α =1

senα.

sec α: Secante (el inverso del coseno), sec α =1

cos α.

cotg α: Cotangente (el inverso de la tangente), cotg α =1

tg α.




Identidades trigonometricas basicas

Identidad trigonometrica fundamental:

sen2 α + cos2 α = 1

1 sen(α + 2π) = senα

2 cos(α + 2π) = cos α

3 sen(−α) = − senα

4 cos(−α) = cos α

5 tg(−α) = − tg α

6 sen(α + π) = − senα

7 cos(α + π) = − cos α

8 tg(α + π) = tg α

9 sen(α2 ) = ±

√1−cos α

2

10 cos(α2 ) = ±

√1+cos α

2

11 sen(2α) = 2 sen α cos α

12 cos(2α) = cos2 α− sen2 α

13 sen(α± β) = senα cos β ± cos α senβ

14 cos(α± β) = cosα cos β ∓ senα senβ

15 tg(α± β) = tg α±tg β1∓tg α tg β

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