Capítulo 2: 2. Diseño de un motor rotativo

Capítulo 2:

2. Diseño de un motor rotativo Después de haber descrito algunos motores en el apartado anterior ahora toca

decidir si conviene construir uno de estos motores o diseñar uno nuevo. Para poder decidir esto se necesita recordar las condiciones básicas que se busca satisfacer en el motor que se construirá.

Como se puede inferir del título de este trabajo, y como ya se mencionó en la

introducción, el motor que se diseñará será un motor neumático. Además, se busca un diseño simple que permita una fácil construcción, y que además sea económico y no dañe el medio ambiente. Al usar aire a presión como medio propulsor se busca principalmente eliminar las emisiones contaminantes y disminuir la complejidad del motor, pero esto también implica una disminución considerable en la autonomía de los sistemas que utilicen este motor, la cual será una de las características que se sacrificará en el diseño. También se debe considerar que, si se desean obtener altas potencias durante su operación, el consumo de aire se incrementará y disminuiremos la autonomía del sistema, la cual de por sí ya es baja, por lo que no será conveniente obtener altas potencias con este motor.

Resumiendo, se necesita un motor neumático, que para disminuir al máximo las

pérdidas y vibración, será rotativo. Su construcción debe ser sencilla y económica. Debe tener un buen rendimiento, es decir, pérdidas mínimas. Todo esto sacrificando su autonomía y potencia.

Ahora que ya se sabe esto, se puede decidir qué tipo de motor será el que se

construya. De entre los dos grupos que hemos definido anteriormente elegiremos diseñar un motor de aletas, dado que la construcción de un perfil trocoidal es técnicamente más complicada.

Sabiendo que el motor a fabricar será un motor neumático rotativo de aletas, se

deben seleccionar sus demás características. Basándose en las características observadas en las descripciones hechas en el capítulo anterior se puede clasificar a este tipo de motores de acuerdo a algunas características importantes como son la excentricidad, el tipo de rotación, la posición de las aletas, etc. En la Figura 2.1 se ve un esquema de una clasificación sencilla realizada en base a las observaciones hechas en los motores descritos en el capítulo anterior.

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centrado tenemos que analizar lo que verconseguir generar cámaras de volumen variable ecentrado es necesario que por lo menos uno de los perfiles que definen el rotor o el estator sea distinto a una circunferencia. En cambio, como se ve en el motor de aletas convencional y también se ve en el (US3902465)son circunferencias. Desde el punto de vista constructivo, la obtención de un perfil circular es mucho más simple que la de otro perfil cualquiera, por este motivo por utilizar un rotor excéntrico en lugar de uno centrado.

convencional, el de estos motores o necesarias. Para poder hacer esto así

rotación simple y de rotación planetaria. Según esta clasificación, el motor de aletas convencional y el Stookey encajarían en el primer grupo, pues el centro de rotación del rotor es fijo respecto al estator, y el rotor que orbita dentro del estator, cuyo centro de rotación no es fijo. Pero esta clasificación no estos motores, como son la posición de las aletas (rotóricas o estatóricaslas aletas (planas o curvas), con pivote), por ejemplo.una clasificación más detallada de los motores de aletas excéntricos.

De acuerdo al fluido de trabajo

neumáticos

Para decidir si centrado tenemos que analizar lo que ver en el conseguir generar cámaras de volumen variable ecentrado es necesario que por lo menos uno de los perfiles que definen el rotor o el estator sea distinto a una circunferencia. En cambio, como se ve en el motor de aletas convencional y también se ve en el (US3902465)son circunferencias. Desde el punto de vista constructivo, la obtención de un perfil circular es mucho más simple que la de otro perfil cualquiera, por este motivo por utilizar un rotor excéntrico en lugar de uno centrado.

Figura De los motores de

convencional, el de estos motores o necesarias. Para poder hacer esto así poder compararlos y tomar una decisión.

En la

rotación simple y de rotación planetaria. Según esta clasificación, el motor de aletas convencional y el Stookey encajarían en el primer grupo, pues el centro de rotación del rotor es fijo respecto al estator, y el rotor que orbita dentro del estator, cuyo centro de rotación no es fijo. Pero esta clasificación no estos motores, como son la posición de las aletas (rotóricas o estatóricaslas aletas (planas o curvas), con pivote), por ejemplo.una clasificación más detallada de los motores de aletas excéntricos.

De acuerdo al fluido de trabajo

Motores neumáticos

Para decidir si estecentrado tenemos que analizar lo que

en el Motor Hansen (US4507067) /Motor Delfinoconseguir generar cámaras de volumen variable ecentrado es necesario que por lo menos uno de los perfiles que definen el rotor o el estator sea distinto a una circunferencia. En cambio, como se ve en el motor de aletas convencional y también se ve en el (US3902465), todos con rotor excéntrico, los perfiles que definen al rotor y al estson circunferencias. Desde el punto de vista constructivo, la obtención de un perfil circular es mucho más simple que la de otro perfil cualquiera, por este motivo por utilizar un rotor excéntrico en lugar de uno centrado.

Figura 2.1 Esquema de la clasificación de los motores neumáticos

De los motores deconvencional, el Di Pietrode estos motores o se diseñaránecesarias. Para poder hacer esto

poder compararlos y tomar una decisión.

En la Figura 2.1 rotación simple y de rotación planetaria. Según esta clasificación, el motor de aletas convencional y el Stookey encajarían en el primer grupo, pues el centro de rotación del rotor es fijo respecto al estator, y el rotor que orbita dentro del estator, cuyo centro de rotación no es fijo. Pero esta clasificación no es suficiente para destacar el resto de características importantes en estos motores, como son la posición de las aletas (rotóricas o estatóricaslas aletas (planas o curvas), con pivote), por ejemplo.una clasificación más detallada de los motores de aletas excéntricos.

De acuerdo al mecanismo de transmisión de

potenciafluido de trabajo

Alternativos

Rotativos

este motor neumático rotativo de aletascentrado tenemos que analizar lo que

Motor Hansen (US4507067) /Motor Delfinoconseguir generar cámaras de volumen variable ecentrado es necesario que por lo menos uno de los perfiles que definen el rotor o el estator sea distinto a una circunferencia. En cambio, como se ve en el motor de aletas convencional y también se ve en el

, todos con rotor excéntrico, los perfiles que definen al rotor y al estson circunferencias. Desde el punto de vista constructivo, la obtención de un perfil circular es mucho más simple que la de otro perfil cualquiera, por este motivo por utilizar un rotor excéntrico en lugar de uno centrado.

Esquema de la clasificación de los motores neumáticos

De los motores descritos en el capítulo anterior, sólo quedanDi Pietro y el Stookey. Es el momento de decidir si

se diseñará uno nuevo tomando las características que creamos más necesarias. Para poder hacer esto se debe


se subdivide arotación simple y de rotación planetaria. Según esta clasificación, el motor de aletas convencional y el Stookey encajarían en el primer grupo, pues el centro de rotación del rotor es fijo respecto al estator, y el rotor que orbita dentro del estator, cuyo centro de rotación no es fijo. Pero esta

es suficiente para destacar el resto de características importantes en estos motores, como son la posición de las aletas (rotóricas o estatóricaslas aletas (planas o curvas), el tipo de par cinemático presente en las aletas (deslizante o con pivote), por ejemplo. A continuación se muestra la una clasificación más detallada de los motores de aletas excéntricos.

De acuerdo al mecanismo de transmisión de

potencia

Alternativos

Rotativos

motor neumático rotativo de aletascentrado tenemos que analizar lo que implica cada uno de estos tipos. Como

Motor Hansen (US4507067) /Motor Delfinoconseguir generar cámaras de volumen variable ecentrado es necesario que por lo menos uno de los perfiles que definen el rotor o el estator sea distinto a una circunferencia. En cambio, como se ve en el motor de aletas convencional y también se ve en el Motor Di Pietro (US6868822)

, todos con rotor excéntrico, los perfiles que definen al rotor y al estson circunferencias. Desde el punto de vista constructivo, la obtención de un perfil circular es mucho más simple que la de otro perfil cualquiera, por este motivo por utilizar un rotor excéntrico en lugar de uno centrado.


scritos en el capítulo anterior, sólo quedanel Stookey. Es el momento de decidir si

uno nuevo tomando las características que creamos más se debe analizar las características de estos motores


se subdivide al motor de alrotación simple y de rotación planetaria. Según esta clasificación, el motor de aletas convencional y el Stookey encajarían en el primer grupo, pues el centro de rotación del rotor es fijo respecto al estator, y el Di Pietrorotor que orbita dentro del estator, cuyo centro de rotación no es fijo. Pero esta

es suficiente para destacar el resto de características importantes en estos motores, como son la posición de las aletas (rotóricas o estatóricas

el tipo de par cinemático presente en las aletas (deslizante o A continuación se muestra la

una clasificación más detallada de los motores de aletas excéntricos.

De acuerdo a la forma de

determinar las cámaras de

trabajo

De aletas

De perfil trocoidal

motor neumático rotativo de aletasimplica cada uno de estos tipos. Como

Motor Hansen (US4507067) /Motor Delfinoconseguir generar cámaras de volumen variable en un motor de aletas con rotor centrado es necesario que por lo menos uno de los perfiles que definen el rotor o el estator sea distinto a una circunferencia. En cambio, como se ve en el motor de aletas

Motor Di Pietro (US6868822), todos con rotor excéntrico, los perfiles que definen al rotor y al est

son circunferencias. Desde el punto de vista constructivo, la obtención de un perfil circular es mucho más simple que la de otro perfil cualquiera, por este motivo por utilizar un rotor excéntrico en lugar de uno centrado.



uno nuevo tomando las características que creamos más analizar las características de estos motores

l motor de aletas excéntrico en dos grupos: drotación simple y de rotación planetaria. Según esta clasificación, el motor de aletas convencional y el Stookey encajarían en el primer grupo, pues el centro de rotación del

Di Pietro encajaría en el segundo, al urotor que orbita dentro del estator, cuyo centro de rotación no es fijo. Pero esta


el tipo de par cinemático presente en las aletas (deslizante o A continuación se muestra la


De acuerdo a la posición del

rotor respecto a

De acuerdo a la forma de

determinar las cámaras de

De aletas

excéntrico

De perfil trocoidal excéntrico

motor neumático rotativo de aletas será de rotor excéntrico o implica cada uno de estos tipos. Como

Motor Hansen (US4507067) /Motor Delfino-Pool (US383n un motor de aletas con rotor

centrado es necesario que por lo menos uno de los perfiles que definen el rotor o el estator sea distinto a una circunferencia. En cambio, como se ve en el motor de aletas

Motor Di Pietro (US6868822) y el , todos con rotor excéntrico, los perfiles que definen al rotor y al est

son circunferencias. Desde el punto de vista constructivo, la obtención de un perfil circular es mucho más simple que la de otro perfil cualquiera, por este motivo




etas excéntrico en dos grupos: drotación simple y de rotación planetaria. Según esta clasificación, el motor de aletas convencional y el Stookey encajarían en el primer grupo, pues el centro de rotación del

encajaría en el segundo, al urotor que orbita dentro del estator, cuyo centro de rotación no es fijo. Pero esta


el tipo de par cinemático presente en las aletas (deslizante o A continuación se muestra la Tabla 2.1 donde se puede ver


De acuerdo a la posición del

rotor respecto a el estator

Rotor excéntrico

Rotor centrado

Rotor excéntrico

será de rotor excéntrico o implica cada uno de estos tipos. Como se puede

Pool (US3837323)n un motor de aletas con rotor


y el Motor Stookey , todos con rotor excéntrico, los perfiles que definen al rotor y al est

son circunferencias. Desde el punto de vista constructivo, la obtención de un perfil circular es mucho más simple que la de otro perfil cualquiera, por este motivo


scritos en el capítulo anterior, sólo quedan el motor de aletas el Stookey. Es el momento de decidir si se construirá


etas excéntrico en dos grupos: drotación simple y de rotación planetaria. Según esta clasificación, el motor de aletas convencional y el Stookey encajarían en el primer grupo, pues el centro de rotación del

encajaría en el segundo, al utilizar un rotor que orbita dentro del estator, cuyo centro de rotación no es fijo. Pero esta

es suficiente para destacar el resto de características importantes en estos motores, como son la posición de las aletas (rotóricas o estatóricas), la forma de

el tipo de par cinemático presente en las aletas (deslizante o donde se puede ver


De acuerdo al tipo de rotación

del rotor

De rotación simple

De rotación planetaria

De rotación simple

De rotación simple


será de rotor excéntrico o se puede

7323), para n un motor de aletas con rotor


Motor Stookey , todos con rotor excéntrico, los perfiles que definen al rotor y al estator

son circunferencias. Desde el punto de vista constructivo, la obtención de un perfil circular es mucho más simple que la de otro perfil cualquiera, por este motivo se opta

otor de aletas struirá uno

uno nuevo tomando las características que creamos más analizar las características de estos motores y

etas excéntrico en dos grupos: de rotación simple y de rotación planetaria. Según esta clasificación, el motor de aletas convencional y el Stookey encajarían en el primer grupo, pues el centro de rotación del

tilizar un rotor que orbita dentro del estator, cuyo centro de rotación no es fijo. Pero esta

es suficiente para destacar el resto de características importantes en ), la forma de

el tipo de par cinemático presente en las aletas (deslizante o donde se puede ver

De acuerdo al tipo de rotación

del rotor

De rotación simple


De rotación simple

De rotación simple


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Tabla 2.1 Clasificación de los motores de aletas excéntricos

Criterio Tipos Según el tipo de

rotación De rotación planetaria (Di Pietro)

De rotación simple (Convencional, Stookey)

Según la posición de las aletas

De aletas rotóricas (Stookey, Convencional)

De aletas estatóricas (Di Pietro)

Según la forma de las aletas

De aletas planas (Stookey, Convencional)

De aletas curvas (Di Pietro)

Según el par cinemático presente

en las aletas

De aletas deslizantes (Di Pietro, Stookey, Convencional)

De aletas pivotantes

En la Tabla 2.1 vemos que en cada uno de los criterios tomados siempre se

encuentra al Di Pietro separado de los otros dos, esto puede hacer pensar que cada uno de los tipos según cada criterio corresponderá unívocamente a un tipo según otro criterio, aunque esto no sea necesariamente cierto. Por este motivo se tratará de combinar los tipos de motores según distintos criterios de todas las formas posibles y así, se podrá encontrar qué combinaciones resultarán en mecanismos viables.

Como hemos definido 4 criterios, y según cada criterio 2 tipos de motor, se tienen

16 posibles combinaciones. En la Tabla 2.2 se ven estas 16 combinaciones según los criterios de la Tabla 2.1. Se puede ver que el modelo (B) coincide con el motor Di Pietro, y el modelo (K) con el motor de aletas convencional. El motor Stookey estaría incluido también dentro de la clasificación de K, aunque con ciertas diferencias (descritas en el capítulo anterior) que si fueran consideradas dentro de esta clasificación la extenderían notablemente. Debe recordarse que, como hasta ahora se ha considerado, el estator es externo y de un diámetro mayor al del rotor.

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Tabla 2.2 Posibles motores de aletas

Rotación Planetaria Rotación Simple

Aletas Rotóricas Aletas Estatóricas Aletas Rotóricas Aletas Estatóricas

Ale

tas

curv

as

Ale

tas

Des

lizan

tes

(A)

(B)

(C)

(D)

Ale

tas

Piv

ota

nte

s

(E)

(F)

(G)

(H)

Ale

tas

Pla

nas

A

leta

s D

esliz

ante

s

(I)

(J)

(K)

(L)

Ale

tas

Piv

ota

nte

s

(M)

(N)

(O)

(P)

Después de analizar los modelos presentados en la Tabla 2.2 se pueden hacer las

siguientes observaciones:

i. En los modelos donde se utilizan paletas deslizantes (A, B, C, D, I, J, K, L) se aprecia que uno de los elementos, estator o rotor, se encuentran achurados. Este achurado hace notar que en estos casos es necesario que estos elementos sean sólidos y ocupen un volumen considerable para poder alojar a las paletas. En cambio, en los modelos con aletas pivotantes el rotor y el estator pueden ser cilindros con un bajo espesor. Esto implica que manteniendo un volumen de trabajo idéntico a los demás modelos, estos modelos ocuparán un volumen considerablemente mayor.

ii. En el caso de utilizar aletas curvas deslizantes (A, B, C, D), es necesario que la

aleta tenga un apéndice que le permita pivotear sobre el centro del arco que la define, tal como se hace en el motor Di Pietro, para disminuir los esfuerzos y el rozamiento sobre las paletas.

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iii. En los modelos con aletas planas pivotantes (M, N, O, P), manteniendo las mismas dimensiones de estator y rotor que los demás modelos, presentan una menor excentricidad. Esto es así para que en ningún momento las paletas interfieran con el rotor o el estator. Una menor excentricidad significará finalmente una menor variación en el volumen de las cámaras a lo largo de su operación.

iv. Los modelos con aletas rotóricas (A, C, E, G, I, K, M, O) siempre se valen de

la fuerza centrifuga para que las paletas entren en contacto con el estator y así conformen las cámaras de trabajo, mientras que los modelos con aletas estatóricas (B, D, F, H, J, L, N, P) siempre necesitarán de un mecanismo auxiliar para que las paletas se mantengan en contacto con el rotor y poder así definir las cámaras de trabajo.

v. Los modelos con aletas pivotantes y los modelos con aletas estatóricas (B, D,

E, F, G, H, J, L, M, N, O, P), como se puede deducir de (i), al presentar una cavidad vacía dentro del rotor, pueden alojar un mecanismo auxiliar dentro de ella, por ejemplo, para transmitir la potencia al eje.

vi. Los modelos de rotación simple con aletas estatóricas (D, H, L, P) son

inviables. Después de observar un poco estos modelos se puede notar que bajo ninguna condición se presentará un cambio de volumen en las cámaras, requisito básico para que puedan ser empleados como máquina de fluido.

vii. Finalmente, se debe agregar una peculiaridad que puede ser observada en los

modelos de rotación planetaria con aletas curvas estatóricas, así como en el de aletas rotóricas pivotantes (B, E, F). El rotor en estos modelos, si es que el sistema de transmisión de potencia al eje es el de Di Pietro, tiene dos grados de libertad. Así como puede rodar sobre la pared interna del estator, también podría girar sobre su centro geométrico, en caso que el rozamiento en el punto de contacto con el estator sea muy bajo.

Ahora ya se puede estar seguros de que modelos son viables como motor y cuáles

de estos valdría la pena intentar construir. Según (vi) se puede excluir a (D, H, L, P) del grupo de modelos que valdría la

pena analizar, por ser inviables. (M, N, O) son en esencia los mismos mecanismos que sus correspondientes (E,

F, G), el que las paletas sean planas sólo crea la necesidad de separar al rotor del estator, es decir, de disminuir la excentricidad y, por lo tanto, disminuir la variación de volumen en las cámaras de trabajo. Por este motivo, (M, N, O) no serán estudiados, a pesar de que su construcción es viable.

Ahora han quedado sólo nueve modelos a considerar, de los cuales sólo se podría

excluir, haciendo un análisis más profundo en su funcionamiento, a cuatro de ellos. Estos son el (A), el (F), el (I) y el (J). Estas observaciones no son tan simples por lo que no se puede hacer una descripción tan general como se ha hecho antes.

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En el caso del A: Al necesitar un rotor sólido para alojar a las paletas deslizantes, se torna

complicado instalar el mecanismo que garantice la rotación planetaria, que en este caso debe ser externo.

Ahora, viendo la Figura 2.2, imagínese que se lleva a cabo la rotación planetaria

del rotor dentro del estator (se puede visualizar más fácilmente imaginándose al rotor rodando dentro del estator).

Si el aire entra por las cámaras superiores de menor volumen, el rotor girará en

sentido horario sobre su centro instantáneo de rotación CI y producirá una fuerza centrífuga Fc, la cual puede ser descompuesta en sus componentes radial (Fcr) y tangencial (Fct). La fuerza normal N a la paleta en el punto de contacto con el estator resultará de Fcr. Al sumar vectorialmente N y Fct se obtendrá la resultante R. Para efectos del caso el rozamiento es considerado despreciable.

En algún momento de la rotación la dirección de R se encontrará muy cerca de

la radial tal que la paleta no podrá reingresar a su cavidad en el rotor. Para solucionar este problema se podría reducir la excentricidad, pero esto implicaría el volumen de trabajo sea muy bajo. Por esta peculiaridad el mecanismo tiene pocas probabilidades de funcionar.

CIR

Fc

Fct

Fcr

N

Figura 2.2 Diagrama de fuerzas del modelo A de motor rotativo de aletas Si se pretendiera hacer girar el rotor en sentido antihorario, es decir, si el aire

ingresara por las cámaras inferiores de menor volumen, la normal en las paletas siempre sería favorable al reingreso de estas en sus cavidades rotóricas. El problema en este caso es que la fuerza que produciría el aire comprimido dentro de una cámara tendría una componente que empujaría a la paleta dentro de su cavidad y haría mucho más sencillo que el aire atraviese la zona de contacto entre la paleta y el estator. Esto significa que en caso que funcionara, su rendimiento sería bajísimo debido a las fugas que se producirían.

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En el caso de F: El problema de este modelo es que, según (iv), necesita un mecanismo auxiliar

para mantener a las paletas en contacto con el estator. Entre este modelo y el modelo (B), es más sencillo agregar el mecanismo al modelo (B), que finalmente fue desarrollado por Di Pietro. Por este motivo se deja de lado al modelo (F).

En el caso de I: En este caso, como se ve en la Figura 2.3, en el punto de contacto de la paleta con

el estator se produce una fuerza resultante R similar a la producida en el caso del modelo A. La fuerza R tendrá una componente perpendicular Fct a la paleta que producirá esfuerzos flectores muy elevados en ella y dañaría finalmente al motor. Todo esto considerando el rozamiento despreciable.

La diferencia respecto al modelo A es que en este caso el problema se presenta

sin importar el sentido de rotación del rotor.

CI R

Fc

Fct

Fcr

N

Figura 2.3 Diagrama de fuerzas del modelo I de motor rotativo de aletas Aquí, se podría solucionar el problema haciendo las paletas más robustas y

disminuyendo la excentricidad, pero se tendría nuevamente el problema del volumen de trabajo reducido.

En el caso de J: Al igual que en el caso de los modelos A e I, la fuerza resultante en el punto de

contacto entre la paleta y el rotor tendrá una componente perpendicular a la paleta, lo que conllevará a que se produzcan esfuerzos muy elevados en ésta y finalmente se dañe el motor rápidamente. El problema se podría solucionar de la misma forma que en los casos anteriores, pero finalmente la reducción en el volumen de trabajo también sería perjudicial en el desempeño del motor.

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Después de haber hecho este análisis sólo quedan con los modelos (B), (C), (E),

(G) y (K). Todos estos modelos son completamente funcionales, en teoría, y no presentan ninguno de los inconvenientes encontrados con los anteriores. Ahora toca elegir uno de ellos para su diseño y construcción.

Se tiene tres modelos de rotación simple (C, G, K) y dos de rotación planetaria

(B, E). El modelo (B) resulta en el motor Di Pietro y el (K) en el motor convencional. El más difundido es el convencional por tener una construcción extremadamente simple y barata. Si bien la construcción de los motores de rotación simple es más sencilla, el rozamiento presente en las paletas de los motores de rotación planetaria es menor para una misma velocidad de rotación del eje. Esto se debe a que, como se pudo evidenciar cuando se describió el motor Wankel, en un mecanismo de rotación planetaria el rotor siempre girará a menor velocidad que el eje. Esta disminución será proporcional a la relación de radios entre el rotor y el estator. Es por este motivo que se dejará de lado a los modelos de rotación simple y el estudio se concentrará en los de rotación planetaria que al parecer presentarían menores pérdidas y, en conclusión, mayor rendimiento.

Ahora, entre el modelo (B) y el modelo (E); el modelo (E), de acuerdo con (i),

ocuparía un menor volumen que el modelo (B). Sin embargo, a pesar de presentar mayor volumen, el mecanismo auxiliar presente en el motor Di Pietro o modelo (B) hace que, al no depender de la fuerza centrifuga para mantener las cámaras formadas, este pueda funcionar sin problema a velocidades extremadamente bajas sin mayor problema. Aunque este mecanismo auxiliar también aumenta la complejidad del modelo y podría aumentar las pérdidas por rozamiento.

Además, analizando el mecanismo transmisor de torque del rotor al eje del motor

Di Pietro y comparándolo con el mecanismo de engranajes planetarios tradicional, vemos que el utilizado en el motor Di Pietro es de una construcción mucho más simple y presenta menos pérdidas mecánicas. Si utilizamos este mismo mecanismo en el modelo (E) existe la probabilidad de que el rotor ya no ruede sin deslizar sobre el estator sino que deslice, y esto sería un problema pues las aletas de este modelo son rotóricas y este deslizamiento significaría la expansión de las cámaras sin transmisión de potencias el eje. En caso de utilizar este mecanismo para transmisión de potencia al eje, el único factor que podría impedir el deslizamiento sería la fuerza de rozamiento entre el rotor y el estator.

En resumen, el motor Di Pietro, frente al modelo (E), presentaría la desventaja de

ocupar un mayor volumen, añadir la complejidad del mecanismo auxiliar en las paletas y así aumentar el rozamiento en las paletas, mientras que el modelo (E), frente al motor Di Pietro, presenta la desventaja de no funcionar apropiadamente a bajas velocidades y de tener un torque máximo limitado por el riesgo de deslizamiento del rotor, como se puede deducir de (vii).

Ante esta disyuntiva, en vista de que el motor Di Pietro ya ha sido estudiado y

construido por Angelo Di Pietro, se escoge seguir adelante con el diseño y construcción de un motor basado en el modelo (E), tratando de minimizar los problemas causados por la dependencia en la fuerza centrífuga y el riesgo de deslizamiento en el rotor.

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Hay que dejar en claro que en este trabajo sólo se pretende llegar a construir un primer prototipo para verificar la viabilidad del modelo, y en caso de ser viable, evaluar su desempeño, y proponer posteriores mejoras en el mismo.

2.1. Principio de funcionamiento y definición geométrica En la primera parte de este capítulo se hace una descripción de una serie de

modelos que resultan de combinar de todas las formas posibles las características encontradas en los motores de aletas ya existentes. Por haber resultado de la combinación de características definidas, parte del principio de funcionamiento del motor con el que se trabajará ya ha sido descrito indirectamente al inicio de este capítulo. Sin embargo, el análisis hecho anteriormente no basta para definir con claridad el principio de funcionamiento de este motor. Por este motivo, esta parte del capítulo inicia con una descripción del principio de funcionamiento del motor.

Nótese que toda la geometría y parámetros que definirán la forma del motor y sus

partes deberán ser determinados orientándose a seguir este principio de funcionamiento. Es por esto que en el diagrama de la Figura 2.4 sólo se muestra un esquema simple del motor, muy similar al utilizado en la clasificación de la Tabla 2.2, dejando el diseño de los mecanismos específicos dentro del motor para después.

2.1.1. Principio de funcionamiento Este motor excéntrico de aletas consiste en un cilindro (1) denominado estator

con dos tapas laterales lisas y un rotor interno (2). Este rotor se encuentra montado excéntricamente en el estator sobre el que se encuentran unos pivotes (3) donde articulan las aletas (4). Las aletas pueden articular libremente y hacer contacto con la pared interna (5) del estator. Cada cámara (6) se encuentra delimitada por dos aletas, la pared externa del rotor, y la pared interna del estator.

Gracias a un mecanismo auxiliar, el aire comprimido ingresara por la cámara de

menor volumen (6.2), produciendo una fuerza sobre la pared externa del rotor que se encuentra entre las aletas (4.1) y (4.2), la cual a su vez generará un torque en el rotor sobre su centro instantáneo de rotación CI (9). Debido a este torque, el rotor rodará sobre la pared interna del estator en sentido antihorario, transmitiendo movimiento al eje (7) del motor, a través de los rodillos (8), que rodarán sobre la pared interna del rotor manteniendo siempre la misma posición relativa a (9). La presión que ejercen estos rodillos sobre el rotor, incrementará la fuerza normal en (9) y así evitará que el rotor deslice fácilmente.

Esta misma cámara (6.2), después de que el rotor haya rotado cierto ángulo, se

expandirá y pasará a ser la cámara (6.1). La presión en la cámara (6.1) será menor que en la nueva cámara (6.2), debido a la expansión. La fuerza resultante sobre la aleta (4.1) que delimita estas dos cámaras resultará de la diferencia de presiones, y como la presión en (6.2) es mayor que en (6.1), la aleta (4.1) se mantendrá en contacto con la pared interna del estator gracias a la diferencia de presiones entre las cámaras contiguas, además del efecto de la fuerza centrífuga.

56

Mientras el rotor continúa con su rotación, llegará un momento en que la cámara (6.1) empezará a disminuir su volumen. En este momento la cámara habrá llegado a la zona de escape, donde a través de otro mecanismo auxiliar, el aire será expulsado del motor. En esta zona ya no es necesario mantener las cámaras formadas.

12 3

46.2 4.14.2

78

9

6.1

5

6

Figura 2.4 Principio de funcionamiento del motor de aletas modelo E

Ahora se necesita definir la geometría de cada una de las piezas de este motor

para que se pueda seguir sin problema este principio de funcionamiento. El problema en esta parte es básicamente definir cuál será la geometría del pivote de las aletas, y el mecanismo mediante el cual se llevará a cabo al admisión y el escape. El mecanismo de transmisión de potencia al eje, como ya se dijo antes, será similar al utilizado en el motor Di Pietro, y la geometría del estator es bastante simple.

Para evitar prolongar más el estudio, y dado que ambos modelos son de rotación

planetaria (B y E), la admisión y el escape serán axiales y se utilizará un mecanismo similar al del motor Di Pietro. Siempre hay que tener en cuenta el riesgo que implica el utilizar este mecanismo de transmisión en el modelo E, pues si el rotor llega a deslizar sobre el estator, el motor no funcionará.

Con esto, el único asunto pendiente para poder definir la geometría del motor es

mecanismo de pivote de las aletas sobre el rotor.

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Se podría proponer un gran número de mecanismos para el pivote, todos con sus pros y sus contras. La forma en que se idee el mecanismo para el pivote deberá permitir la articulación de las paletas sin problema, debe ser simple y no necesitar de mecanismos auxiliares.

De la Figura 2.5 a la Figura 2.7 se muestran algunas ideas para el mecanismo de

pivote que surgieron durante la realización de este trabajo.

Aleta

Rotor

Rotor

Aleta

Aleta

Figura 2.5 Pivote con rodillo apoyado sobre el rotor

Figura 2.6 Pivote con sobreplaca en el rotor

58

Figura 2.7 Pivote con aleta apoyada directamente en el rotor

Todas las ideas para el mecanismo de pivote, mostradas anteriormente, parecen

ser útiles. Aunque se debe evaluar la simplicidad del mecanismo y su funcionalidad, pues son dos características que se busca destacar. El modelo de la Figura 2.6 queda inmediatamente descartado pues los otros dos ofrecen mucha mayor simplicidad, y la única desventaja aparente es la forma de garantizar su sujeción sobre el rotor, la cual trataremos de solucionar a continuación.

Rotor

Aleta

(A) Rotor

Aleta

(B)

Figura 2.8 Alternativas de apoyo del pivote de rodillo

En la Figura 2.8 se ven dos alternativas para el apoyo del rodillo para el caso de

la Figura 2.5, suponiendo una curvatura mínima del rotor en la zona de apoyo. Es decir, suponiendo el rotor aproximadamente plano en la zona de apoyo.

Se pueden hacer algunas observaciones puntuales en cada uno de los esquemas

propuestos en la Figura 2.8. En (A) el centro de giro del pivote se encuentra dentro de la región antes ocupada por anillo circular del rotor y el sector del pivote que está en contacto con el rotor es mayor a 180°. Gracias a esto el pivote no presentará problemas de sujeción, aunque la aleta sólo tendrá la libertad de girar un ángulo menor a 90° (el cual estará determinado por el espesor de la aleta). En (B) el centro de giro del pivote se encuentra fuera del anillo circular del rotor y el sector del pivote que está en contacto con éste es menor a 180°. Debido a esto el pivote no se mantendrá sujeto al

59

rotor, si bien la aleta tendrá una libertad de giro mayor a 90° (dependiendo del espesor de la aleta).

Además, hay que notar que para que el conjunto rotor aletas pueda rodar sobre la

superficie interna del estator, cuando las aletas se cierren sobre el rotor, la superficie externa definida por el conjunto debe aproximarse lo más posible a una superficie cilíndrica. Esta condición no se cumple más que para el esquema de la Figura 2.7 y la Figura 2.6, aunque está última ya había sido descartada por su complejidad.

Dada la dificultad para garantizar la sujeción de la paleta en la propuesta de la

Figura 2.7, lo cual si se consigue según la propuesta de la Figura 2.8 (A), decidimos combinar ambas ideas. Así la aleta se encontrará dentro del anillo circular definido por el rotor, como en la Figura 2.7, y además tendrá un pivote de rodillo con el que asegurar la sujeción, como en la Figura 2.8 (A). En la Figura 2.9 se pueden ver dos esquemas de la paleta que resulta de esta combinación.

(A) (B)

Figura 2.9 Aleta con pivote de rodillo

En la Figura 2.9 (A) la paleta está conformada por una chapa metálica, y en el

caso de la (B), está conformada por material sólido. La ventaja que brinda el esquema (A) es que, dado que el espesor de la aleta en

comparación con el radio del pivote es bastante pequeño, el área del pivote en contacto con el rotor es cubierta por un sector circular bastante amplio (mucho mayor de 180°), y esto asegura la sujeción de la paleta sin comprometer la libertad de giro de la paleta. En cambio, en el caso de (B), el sector del pivote en contacto con el rotor es menor, haciendo más difícil asegurar la sujeción del pivote; además de que el ángulo que podrá pivotear la aleta será menor. Sin embargo, la robustez de (B) es mayor que en (A) y la precisión que se puede obtener en fabricación también es mayor. Por este motivo es que finalmente se opta por (B).

Dado que se ha escogido utilizar la aleta de la Figura 2.9 (B) y dada la dificultad

en la sujeción de la aleta en este caso, se debe definir cuál es el ángulo que en verdad se necesita que tenga la capacidad de barrer, y cuál será la relación entre el radio del pivote y el espesor de la aleta. Para hacer las cosas más simples se decide que el espesor de la paleta será igual al radio del pivote (aunque lo deseable sería tener un espesor muy bajo, se escoge que sea igual al radio del pivote para no complicar su fabricación). El cálculo del ángulo de máxima apertura de la aleta se verá más adelante en el estudio teórico del motor en cuestión. Por ahora se hará un esquema simple de la aleta con la que vamos a trabajar. Este esquema se puede ver en la Figura 2.10.

60

r

r

Figura 2.10 Diagrama del pivote de la aleta

Como se puede ver en el diagrama de la Figura 2.10, el sector circular del pivote

que hace contacto con el rotor abarca un ángulo mayor a 180°. En esta figura se muestra la aleta en su ángulo de máxima apertura. La forma del rotor en esta zona limitará el ángulo de máxima apertura de la aleta.

Teniendo ya la geometría de la aleta y el pivote, podemos definir totalmente la

geometría de nuestro motor.

2.1.2. Definición geométrica En la Figura 2.11 se puede ver un diagrama más detallado del modelo de motor

de aletas que se desarrollará. Este modelo es el mismo descrito en la Figura 2.4 y la numeración de sus partes es la misma que en dicha figura.

Este motor estará comprendido por un estator (1) con forma hexagonal, para

facilitar su sujeción en el sistema que lo emplee. La cavidad interna de este estator (5) es cilíndrica, es decir, tiene un perfil circular.

Además, posee un rotor (2) cilíndrico con 6 cavidades externas en donde se

alojan las aletas (4) articuladas en sus respectivos pivotes (3). En la cavidad interna del rotor deslizan los rodamientos excéntricos (8) del eje (7) al cual transmiten el movimiento.

Las cámaras de trabajo (6) están definidas por dos aletas, la superficie interna del

estator y la superficie externa del rotor. En esta figura se puede ver mejor el perfil necesario del rotor y las aletas que

harán posible el funcionamiento del motor.

61

1 8 3 72 4 56

Figura 2.11 Definición geométrica del motor de aletas modelo E

2.2. Estudio teórico del motor en cuestión En el apartado anterior hemos definido el principio de funcionamiento y la

geometría aproximada que debe tener cada uno de los elementos del motor. Pero las dimensiones de cada uno de estos elementos no pueden ser asignadas al azar. Es por esto que en este apartado se necesita definir apropiadamente cada una de las dimensiones de los elementos del motor, garantizando el funcionamiento apropiado del motor, buscando optimizar el torque entregado al eje y minimizar las pérdidas.

Para poder decidir sobre las dimensiones de dichos elementos y las relaciones

entre ellas, será necesario estudiar primero el comportamiento del motor y sus elementos de forma teórica, y evaluar su influencia en el funcionamiento del motor.

No se puede definir una dimensión de forma aislada a las demás, pues todas

guardan una relación con las demás. Para entender mejor esto, supóngase que se multiplica todas las dimensiones del motor por un factor. El motor completo será más grande o más pequeño en función a este factor pero, teóricamente, el funcionamiento será similar. Los rendimientos, la potencia y el torque obtenidos se verán afectados por este factor, aunque muchos parámetros geométricos se mantendrán constantes, como por ejemplo, las relaciones de compresión.

Así, se definirá algunas dimensiones y relaciones geométricas básicas sobre las cuales vamos a basar todo el estudio, así como también se definirán otros parámetros a

62

lo largo del desarrollo del mismo. Todas las unidades de longitud serán milímetros, y los ángulos se expresarán en radianes.

Los parámetros básicos son:

N : Es el número de cámaras que tendrá el motor. Resulta ser igual al número de aletas del motor.

estR : Es el radio interno del estator. Es la dimensión que determinará el tamaño del motor.

e: Es la excentricidad del motor. Es la diferencia entre el radio externo del

rotor y el radio interno del estator. El radio interno del estator estará

definido en función de estR y de e. CD: Longitud de la aleta. Esta no es la longitud real, sino una longitud

aproximada suponiendo que el punto de pivote se encuentra en la superficie del rotor y que el espesor de la paleta es cero. Esta aproximación resulta ser bastante útil en los cálculos.

efactor _ : Es una relación entre la excentricidad y el radio del estator. Está

definida por:

_est

efactor e R= (2-1)

CDfactor _ : Es una relación entre la excentricidad y la longitud de la aleta. Su

valor límite inferior es 2, pues si fuera menor, la aleta no podría separar a las cámaras en su posición de máxima apertura. Esto se puede entender viendo la Figura 2.13. Está definida por:

_ CDfactor CD e= (2-2) prof : Es la profundidad de la cavidad del estator.

iP : Es la presión inicial en la expansión. Es igual a la presión de entrada del aire al motor.

Además de estos parámetros, también se definirán algunos puntos característicos

del motor. Hasta el momento ya se ha definido el punto CI, como es posible apreciar a partir de la Figura 2.2 y algunas posteriores. Este punto como su nombre lo indica, representa el centro instantáneo de rotación del rotor durante la operación normal del motor, este punto coincide con el punto de contacto entre rotor y estator. También, como se puede apreciar en la Figura 2.12, se denominará C al punto de contacto entre la aleta y el estator, y D representa el punto donde la aleta pivotea en el rotor. Se puede inferir fácilmente que debido a esta nomenclatura es que denominamos CD a la

63

longitud de la aleta. Conforme se vaya desarrollando el estudio se irán introduciendo más nombres.

D

CC D

Ο1Ο2

D

CC D

CICI

Figura 2.12 Representación simplificada de las aletas para el estudio del motor

56,57

CD

e2e

D

C72,63>2e

Figura 2.13 Longitud límite de la aleta

2.2.1. Cálculo del área transversal de la cámara El primer paso en el estudio del motor es el cálculo del área transversal de la

cámara de trabajo (a partir de ahora, área de la cámara), pues este valor es punto de partida para el cálculo de torques, trabajos y rendimientos. Se necesita deducir una fórmula para determinar el área de la cámara en función de la excentricidad, del tamaño del motor y de la posición de la paleta. La posición de la cámara (así como la de la aleta) se definirá respecto a la línea que une al punto de contacto del rotor con el estator, es decir, el centro instantáneo de rotación CI del rotor, y los centros del rotor y estator. Para determinar la posición de la aleta en cada instante se utilizará el cuadrilátero formado entre los extremos de la aleta y los centros del rotor y estator. A

64

este cuadrilátero se le llamará cuadrilátero OCDO de ahora en adelante. Como se puede deducir de la definición de los parámetros básicos y de la Figura 2.14, el lado 2DO de

OCDO tendrá una longitud igual a ( )estR e− , y el lado 1CO , una longitud igual a estR .

Por definición de excentricidad, la distancia 1 2OO será equivalente a e. Es fácil notar

que al definir cualquiera de los ángulos de OCDO, éste queda totalmente definido.

66°

57°ωω

110°

D

C

CD

63° 96°

90° 100°

70°

85°

γ

θ1 θ3

ψ

γ

θ1 θ3

84°ψΟ2Ο1Ο2Ο1 CICI

Figura 2.14 Cuadrilateros OCDO para admisión (izquierda) y escape (derecha)

Por conveniencia, es mejor referir la posición de la aleta respecto de los ángulos

1θ o 3θ . Esto debido a que estos ángulos referencian la posición de los puntos C y D

respecto de la línea diametral que pasa por CI. A este punto, el problema que aparece es la selección del ángulo que será la principal referencia en esta parte del cálculo. Es necesario tomar como referencia ya sea 1θ o 3θ , pero no se puede trabajar con ambos.

Siguiendo las siguientes ecuaciones, obtenidas a partir de la Figura 2.14

(derecha) y las definiciones de los parámetros básicos, podemos hallar una relación entre 1θ y 3θ para así poder visualizar el efecto de escoger cualquiera de ellos como

referencia.

1 1

1 12

sin ( sin )CO

COθψ θ−= (2-3)

2 2 21 2 2

2 2

cos2

O D CO CD

CO DOγψ − + −= ⋅ ⋅ (2-4)

Ambas ecuaciones, (2-3) y (2-4), definen al ángulo ψ . Para su cálculo, este

ángulo es divido en 2 por la diagonal CO2. El subíndice de ψ indica que parte del

ángulo ha sido calculado, ya sea el correspondiente al ángulo 1θ o a el ángulo γ . Así,

el ángulo 3θ estará definido por la diferencia entre π y el ángulo ψ .

65

( )

( )

2 2 21 11 12 2

3 2 22 2 1 1 1

sincos sin

2 2 cos

COO D CO CD

CO O D e CO CO e

θθ π

θ− −

+ − = − − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅

(2-5)

Reemplazando CO2:

( )( )

( )( )

2 2 2 22 1 1 11

3 2 21 1 1 2

1 11

2 21 1 1

2 coscos

2 2 cos

sinsin

2 cos

O D e CO CO e CD

e CO CO e O D

CO

e CO CO e

θθ π

θ

θθ

−

−

+ + − ⋅ ⋅ ⋅ − = − + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− + − ⋅ ⋅ ⋅

(2-6)

Por definición CO1 = estR , y CO2 = estR e− así:

( ) ( )( ) ( )

( )( )

2 2 2 211

3 2 21

11

2 21

2 coscos

2 2 cos

sinsin

2 cos

est est est

est est est

est

est est

R e e R e R CD

e R e R R e

R

e R e R

θθ π

θ

θθ

−

−

− + + − ⋅ ⋅ ⋅ − = − + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

− + − ⋅ ⋅ ⋅

(2-7)

Se puede graficar esta ecuación y así ver la relación entre ambos ángulos. A continuación se ven las gráficas 3θ vs. 1θ para 75estR mm= ; para 20 valores

de efactor _ diferentes igualmente espaciados entre 0.05 y 0.2; y para un CDfactor _ de 2.5 y 3.5. Las gráficas más oscuras corresponden a menor excentricidad y las más claras a mayor excentricidad.

La selección del rango que se utiliza para _factor e en esta tesis se basa en los

valores recomendados en la patente de Di Pietro para su motor. En su patente recomienda utilizar un _factor e de entre 1/11 y 1/ 21 (0.09 y 0.05). En este caso ese factor parece muy bajo. Por este motivo el límite inferior tomado es igual al de Di Pietro, pero el superior es mucho mayor pues no parece haber un fundamento teórico válido que lo limite a 0.09.

66

Figura 2.15 Grafica de 3θ vs. 1θ para diferentes e y CDfactor _ de 2.5

Figura 2.16 Grafica de 3θ vs. 1θ para diferentes e y CDfactor _ de 3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

θ1 (rad)

θ 3 (ra

d)

θ3 vs. θ1 (para CD y e variables)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

θ1 (rad)

θ 3 (ra

d)

θ3 vs. θ1 (para CD y e variables)

67

Estas curvas han sido graficadas utilizando Matlab. El nombre del programa utilizado es “Curvas_t3vst1.m” y su código puede ser visto en el anexo 1. Es necesario comentar que a lo largo del desarrollo de esta tesis se utilizarán varios programas de Matlab cuyo código podrá ser visto en los anexos. En esta tesis no se mostrarán todas las gráficas obtenidas con estos programas con la finalidad de ahorrar espacio. En esta sección del capítulo todos los parámetros utilizados en los programas serán los mismos.

Se puede ver que mientras más baja es la excentricidad, la relación es más lineal.

Esto se evidencia claramente si llevamos la excentricidad al límite y la hacemos igual a cero; un incremento en 1θ producirá el mismo incremento en 3θ . En cambio, mientras

mayor sea la excentricidad, la relación se aleja más de la linealidad y, en efecto, habrá una diferencia notable entre ambas referencias.

Si se toma en cuenta 1θ como referencia, y trabajando sobre el mismo esquema

de la Figura 2.14 (derecha), se puede obtener una expresión para γ . Una vez

determinados γ y 3θ ya podré conocer totalmente la posición de la aleta respecto al

diámetro medio (el que pasa por CI).

2 2 2 21 2 1 1 1

2

2 cos( )cos

2

CD O D e CO e CO

CD O D

θγ − + − − + ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ (2-8)

2 2 2 21 1( ) 2 cos( )

cos2 ( )

est est est

est

CD R e e R e R

CD R e

θγ − + − − − + ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ − (2-9)

21 12 cos( 1)

cos2 ( )

est

est

CD e R

CD R e

θγ − + ⋅ ⋅ ⋅ −= ⋅ ⋅ − (2-10)

Donde la ecuación (2-10) es la que determina γ y, de esta forma, determina junto

con 1θ la posición de la aleta.

El siguiente paso es calcular el área comprendida entre dos aletas, la cual será el

área de la cámara propiamente dicha. Para calcular esta área se realizará una primera aproximación del área de la cámara a el área de un cuadrilátero, más adelante se sumará el área de los segmentos circulares.

En la Figura 2.17 se puede ver la aproximación del área de la cámara al área de

un cuadrilátero. El ángulo entre los segmentos OD es claramente la N-ésima parte de una vuelta. Donde, recordando la definición de los parámetros básicos, N es el número de cámaras.

Los ángulos de los cuadriláteros OCDO no se muestran en esta figura debido al

reducido espacio disponible. La nomenclatura de estos ángulos corresponderá a la utilizada en los puntos C y D, es decir, a los ángulos correspondientes al primer cuadrilátero OCDO les corresponderá subíndice 1, al siguiente subíndice 2, y así sucesivamente.

68

Tras un poco de observación de la Figura 2.17 se puede notar que es mucho más práctico definir la posición de la aleta tomando como parámetro de referencia 3θ en

lugar de 1θ . De esta forma resulta más fácil relacionar los dos cuadriláteros OCDO que

determinan la posición de las aletas que conforman la cámara, pues el segmento OD2 formará un ángulo de 2 / Nπ respecto de OD1. Si tomara como referencia 1θ sería

mucho más difícil definir la relación entre los cuadriláteros OCDO.

C1

CI

D1

C2 D2

66°2π/Ν

Ο2Ο1

Figura 2.17 Aproximación del área de la cámara a la de un cuadrilátero Más aún, si se pretende determinar el área utilizando como parámetro de

referencia a 1θ , las ecuaciones obtenidas son muy complejas. Para poder simplificarlas

debo aproximar la longitud 1 2C C a una constante (esto significa que la posición de la

aleta 2 2C D estará determinada ya no por su cuadrilátero OCDO, sino por la posición de

la aleta 1 1C D y la longitud de 1 2C C ), y después de sucesivas reducciones, se llegaría a

la siguiente expresión para el área (en 2mm ) aproximada de la cámara:

69

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

11 2

1 2

1

21 1

2

21 cos1

22

sin

2(1 cos(2 / ))

2 (cos( ) 1)cos

2 2

estestest

est est

est

est

est

k R e eR ek R CD k

A R R CD

CD k R e k

k N

CD e Rk

CD R e N

π

θ π π−

− − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + = + ⋅ ⋅ − ⋅

= −

+ ⋅ ⋅ ⋅ −= − + ⋅ ⋅ −

(2-11)

Donde debido a la naturaleza de las funciones inversas trigonométricas y a la

aproximación de la longitud de 1 2C C , el valor del área no estará definido para todo 1θ .

Dicho esto ya se puede estar seguro de utilizar 3θ como referencia.

Hasta este punto se ha venido desarrollando el análisis tomando como referencia

una cámara de la zona de escape, pues era más sencillo realizar los cálculos hechos para esta zona. Pero el análisis en esta zona no es de interés, necesito únicamente analizar el comportamiento del motor en la zona de admisión y entrega de potencia.

Ahora, se puede proceder a calcular el área de la cámara para la zona de admisión

y entrega de potencia tomando como referencia 3θ . Los cálculos se realizarán

basándose en el esquema de la Figura 2.18.

57°ωC

D

63° 96°

90°

γ

θ1 θ3

84°ψ Ο2Ο1 CI

6°θ2

Figura 2.18 Esquema para el cálculo del área de la cámara en expansión

70

CD

D

CC

D

D

C

D

D

C

C

(A)

(B)

(C)

Figura 2.19 Esquema del área de la cámara aproximada a un cuadrilátero Antes de continuar con los cálculos se debe hacer una aclaración muy importante.

Si se observa la Figura 2.19 (A), se podrá apreciar el cuadrilátero formado al unir los puntos C y D de dos aletas consecutivas. Este cuadrilátero será el que se utilizará para aproximar el área de la cámara en expansión. El área de este cuadrilátero no es más que la suma de las áreas de 2 triángulos: uno CDC y el otro CDD (con subíndices según corresponda). Se puede ver que el cuadrilátero que resulta de unir los puntos C y D puede ser de la forma (B) o de la forma (C). En el caso (C) no habría ningún problema y este es el caso en el que se espera encontrar, pero en el caso (B) los dos triángulos utilizados para calcular el área del cuadrilátero se superponen. Esto significa que esta forma de calcular el área sólo es válida para el caso (C).

Los dos factores que pueden influir en que el cuadrilátero CDDC tenga la forma

(C) son el número de aletas y la longitud de las aletas. Una longitud de aletas muy alta y un número muy bajo de aletas conllevarían a tener un cuadrilátero de la forma (C). Para los parámetros utilizados en el diseño del motor basta con asumir que el cuadrilátero tiene la forma (B). Más adelante, al visualizar las gráficas resultantes del estudio, se notará la validez de la asunción.

21 2 2 3

21 3

2 cos( )

( ) 2 ( ) cos( )est est

O D O D e O D e

O D R e e R e e

θθ

= + + ⋅ ⋅ ⋅

= − + + ⋅ − ⋅ ⋅ (2-12)

2 2 22 2 21 1 11 1

1

cos cos2 2

est

est

CD R O DCD O C O D

CD O C CD Rω − − + −+ −= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

(2-13)

2 2 21 11 3

1 1

sin( )cos sin

2estCD O D R e

CD O D O D

θγ − − + − ⋅= − ⋅ ⋅ (2-14)

Donde el ángulo γ se calcula como la diferencia entre 1O DC∡ y 1 2O DO∡ .

Estos dos ángulos son calculados mediante funciones inversas trigonométricas. Ambos

71

pueden ser representados ya sea a través de un 1sin− , como a través de un 1cos− . Las funciones inversas trigonométricas seleccionadas para el cálculo de γ son las únicas

que garantizan que la función este definida para todo el intervalo de valores de 3θ en el

que se desarrolla la entrega de potencia del motor. Para hallar el área de los dos triángulos, además de la longitud de la aleta CD, se

necesitan las distancias DD y CC y los ángulos que forma cada uno de estos segmentos con CD.

Para hallar la distancia DD basta conocer la variación de 3θ presente entre una

aleta y su vecina, esta es 2 / Nπ como se puede ver en la Figura 2.17. Para hallar la distancia CC se requiere hacer lo mismo para 1θ , en este caso se hallará 1θ para cada

una de las dos aletas en función de 3θ .

1 3θ θ ω γ π= + + − (2-15) Tomando una nomenclatura análoga a la de la Figura 2.17 para la Figura 2.19, a

los parámetros de la aleta inicial se les agregará el subíndice 1 y a la aleta siguiente, el subíndice 2. Así, de (2-12), (2-13), (2-14) y (2-15):

3 32 31θ θ θ∆ = − (2-16)

2 2 21 1 1

1

2 2 21 1 2

2

cos2

cos2

est

est

est

est

CD R O D

CD R

CD R O D

CD R

ω

ω

−

−

+ −= ⋅ ⋅

+ −= ⋅ ⋅

(2-17)

2 2 21 11 1 31

11 1 1 1

2 2 21 11 2 32

21 2 1 2

sin( )cos sin

2

sin( )cos sin

2

est

est

CD O D R e

CD O D O D

CD O D R e

CD O D O D

θγ

θγ

− −

− −

+ − ⋅= − ⋅ ⋅

+ − ⋅= − ⋅ ⋅

(2-18)

11 31 1 1

12 32 2 2

1 12 11

θ θ ω γ πθ θ ω γ π

θ θ θ

= + + −= + + −

∆ = − (2-19)

1 2

1 2 1

2( )sin( / )

2 sin( / 2)est

est

D D R e N

C C R

πθ

= −= ⋅ ⋅ ∆ (2-20)

Para calcular la ecuación (2-20) se ha utilizado una fórmula que resultará muy

útil también en cálculos posteriores. Esta es la fórmula de la longitud de una cuerda.

72

Supóngase que se tiene una circunferencia de radio R , y esta circunferencia tiene una cuerda ϑ abrazada por un sector circular de ángulo λ , como se puede ver en la Figura 2.21. Se puede demostrar fácilmente que:

2 sin( / 2)Rϑ λ= (2-21) Para calcular el área del cuadrilátero CDDC de la Figura 2.20 se necesita conocer

los ángulos 2 2 1C D D∡ y 2 1 1C C D∡ , los cuales se denominarán 2D y 1C

respectivamente. Así:

1

1 1ˆ

2 2C

θπ ω∆= − − (2-22)

2 2ˆ

2D

N

π πγ= + − (2-23)

D1

D2

C2

C1

Figura 2.20 Cuadrilátero para el cálculo aproximado del área en la expansión

Donde el área del cuadrilátero está definida por la expresión:

( )1 2 1 1 2 2ˆ ˆsin( ) sin( )

2

CDA C C C D D D= ⋅ + ⋅ (2-24)

Para calcular el área real de la cámara se debe considerar el área de los segmentos

circulares. Tomando en cuenta la Figura 2.21 se puede obtener la expresión para el área de un segmento circular.

73

51°λ

R R

a

Figura 2.21 Esquema para el cálculo del área de un segmento circular

Donde:

( )2

sin( )2

Ra λ λ= − (2-25)

Así el área real de la cámara será igual a la suma del área del cuadrilátero CDDC

y los 4 segmentos circulares cuyas cuerdas caen sobre cada uno de los lados de este cuadrilátero. Los segmentos circulares CD pueden ser despreciados en el cálculo del área, pues ambos son iguales, y mientras uno añade área, el otro substrae. Así, para realizar el cálculo del área real de la cámara, tan sólo se debe añadir el área del segmento circular CC, y substraer el área del segmento circular DD. Esto se puede entender más fácilmente observando la Figura 2.19 (A) y la Figura 2.20.

La expresión obtenida para el cálculo del área real es idéntica a la enunciada en la

ecuación (2-24), con la adición de dos términos más, de la forma (2-25), en la ecuación. Así el área real resulta:

( ) ( )

( ) ( )

21 2 1 1 2 2 1 1

2

1ˆ ˆsin( ) sin( ) sin( )2 2

12 / sin(2 / )

2

est

est

CDA C C C D D D R

R e N N

θ θ

π π

= ⋅ + ⋅ + ∆ − ∆

− − − (2-26)

Hay que aclarar que estas ecuaciones ((2-26) y (2-24)) sólo son válidas a partir de

cierto ángulo. Es decir, son válidas a partir de cierto valor de 3θ . Esto se debe a que

para la cámara de trabajo existe una zona de transición, en la cual la cámara está definida entre una aleta y CI, una vez pasada la zona de transición es cuando la cámara recién pasa a estar delimitada por 2 aletas. Si se pretende calcular el área utilizando las ecuaciones (2-26) y (2-24) en la zona de transición, se llegará a un error, pues en esta zona el área definida por estas ecuaciones es la suma del área de 2 cámaras, una en la zona de expansión y la otra en la zona de escape. Por este motivo el ángulo inicial 3θ

74

corresponde al valor de 3θ para la primera aleta (C1D1) cuando C1 coincide con CI. Así

3,minθ será:

1

3,min 2sin2( )est

CD

R eθ −

= − (2-27)

A continuación se mostrarán algunas gráficas obtenidas utilizando los programas

de Matlab “Curvas_Area_t3_admision.m” y “Curvas_Area_t3_admision_real.m” (Su código puede ser visto en el anexo 1). El primero gráfica las curvas de área aproximada obtenidas utilizando la ecuación (2-24) y el segundo, utilizando la ecuación (2-26). Todas se grafican a partir de 3,minθ . El estR , así como el rango de _factor e, son los

mismos que los utilizados en la Figura 2.15 y la Figura 2.16, cada gráfica muestra el _factor CD para el cual ha sido obtenida. Las curvas más claras corresponden a

mayores excentricidades. El eje de las abscisas corresponde a 31θ , al que en el gráfico

simplemente llamamos 3θ . Esto significa que el área de la aleta se grafica en adelanto.

Por motivos de simplicidad, y sin incurrir en mucho error, no se considerará la

zona de transición de la cámara en ningún cálculo.

75

Fig

ura

2.22

Áre

a ap

roxi

mad

a de

la c

ámar

a pa

ra d

ifer

ente

s ex

cent

ricid

ades

y fa

ctor

_CD

2.5

01

23

45

67

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

θ 3 (ra

d)

Area (mm3)

A v

s. θ

3 (pa

ra fa

ctor

CD

=2.

5 y

e va

riabl

es)

76

Fig

ura

2.23

Áre

a ap

roxi

mad

a de

la c

ámar

a pa

ra d

ifer

ente

s ex

cent

ricid

ades

y fa

ctor

_CD

3.5

01

23

45

67

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

θ 3 (ra

d)

Area (mm3)

A v

s. θ

3 (pa

ra fa

ctor

CD

=3.

5 y

e va

riabl

es)

77

Fig

ura

2.24

Áre

a re

al d

e la

cám

ara

para

dife

rent

es

exce

ntri

cida

des

y fa

ctor

_CD

2.5

01

23

45

67

0

500

1000

1500

2000

2500

θ 3 (ra

d)

Area (mm3)A

vs.

θ3 (

para

fact

orC

D=

2.5

y e

varia

bles

)

78

Fig

ura

2.25

Áre

a re

al d

e la

cám

ara

para

dife

rent

es

exce

ntri

cida

des

y fa

ctor

_CD

3.5

01

23

45

67

0

500

1000

1500

2000

2500

θ 3 (ra

d)

Area (mm3)A

vs.

θ3 (

para

fact

orC

D=

3.5

y e

varia

bles

)

79

2.2.2. Análisis termodinámico básico del ciclo El fluido de trabajo que se utilizará es aire. Para simplificar los cálculos, se

asume que el aire es un gas perfecto, es decir: el fluido de trabajo es aire, circula en un ciclo cerrado y se comporta como gas ideal1; todos los procesos son internamente reversibles, es decir, todos los procesos se consideran en cuasi-equilibrio. Y, dado que las variaciones de temperatura se consideran despreciables, se asume calores específicos constantes durante los procesos.

El ciclo que se lleva a cabo en este motor puede modelarse como el ciclo de

cualquier motor neumático o compresor de aire reciprocante ya existente. Así, el diagrama P-V del ciclo indicado ideal, o ciclo límite del motor sería el siguiente:

Figura 2.26 Diagrama del ciclo límite de un motor neumático de desplazamiento positivo

Los procesos de expansión y compresión que se llevan a cabo en las cámaras del

motor se modelan usando curvas politrópicas. Una curva politrópica es aquella que se rige por la relación:

npV cte= (2-28)

Es importante notar la diferencia entre los modelos termodinámicos de la

expansión y compresión en las máquinas de desplazamiento positivo (compresores o motores) y las máquinas rotodinámicas. Estos procesos se modelan como procesos adiabáticos en las máquinas dinámicas debido a los flujos altos con los que trabajan, en cambio en las máquinas de desplazamiento positivo estos procesos se modelan como procesos no adiabáticos (con transferencia de calor). Por este motivo en las máquinas dinámicas la curva politrópica con la que se representan estos procesos tiene un n k> ,

1 La temperatura de trabajo se encontrará alrededor de la temperatura atmosférica (300 °K), la cual es considerablemente mayor que la temperatura del punto crítico del aire (132.8 °K). El dato del punto crítico ha sido tomado de Yunus Cengel et al., Thermodynamics: An Engineering Approach, Quinta Edición.

80

mientras que en las de desplazamiento positivo esta curva tiene un n k< . Donde k es la constante isentrópica del fluido de trabajo.

Así, el proceso 1-2 es un proceso de expansión real con adición de calor,

representado con una curva politrópica (carrera de potencia). El proceso 2-3 es un proceso a presión constante en el que se liberan el aire residual dentro de la cámara (escape). Dado que la cámara nunca llegará a tener un volumen cero, siempre quedará un remanente dentro de ella; así, el proceso 3-4 consistirá en una compresión real con rechazo de calor modelado a través de una curva politrópica. Finalmente, el proceso 4-1 consiste en el llenado de la cámara de trabajo con aire a presión (admisión).

Es conveniente resaltar que el ciclo mostrado corresponde al ciclo llevado a cabo

dentro de cada una de las cámaras de trabajo. Dado que es muy difícil cuantificar el volumen de aire remanente dentro de la

cámara, debido a que el motor con el que se está trabajando no es un motor reciprocante, se simplificará más el ciclo despreciando el efecto de esta cantidad aire remanente. Así, el ciclo quedaría representado por:

Figura 2.27 Diagrama del ciclo límite simplificado del motor

Como el trabajo entregado por la máquina estará determinado por el área

encerrada por la curva del ciclo en el diagrama P-V, podemos expresar el trabajo como:

1 2 3 1 2 2 2

4 1 2 4 1 3 1

W p V p V p V p V p V p V V p= ∂ + ∂ + ∂ = ∂ + ∂ − ∂ = − ∂∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (2-29)

De este punto en adelante, hay que ir con mucho cuidado, pues muchos de los

conceptos pueden ser confundidos. Hay que hacer dos aclaraciones importantes antes de continuar con el análisis:

81

i. Debe quedar clara la definición de trabajo de frontera. El trabajo de frontera en este estudio se considera como el trabajo realizado por o sobre el fluido en un sistema cerrado con cambio en el volumen de control. En un proceso abierto no se puede hablar de trabajo de frontera. El trabajo de frontera es un concepto distinto a la energía de flujo, no deben ser confundidos.

ii. Además, debe quedar claro que los diagramas de presión – volumen específico y temperatura – entropía se utilizan para evaluar procesos cuasi-estáticos, sin variación de masa dentro del volumen de control (sistemas abiertos con flujo estacionario o sistemas cerrados). Esto es muy importante de tomar en cuenta, pues por ejemplo, si el proceso de la Figura 2.28 ocurre a presión y volumen específicos constantes y se grafica en el diagrama P υ− se vería sólo como un punto.

Figura 2.28 Representación simplificada de un proceso con adición de masa al sistema

Lo importante en el análisis de este motor es encontrar una forma de considerar un fluido de trabajo que circule en un ciclo cerrado, es decir, considerar la misma masa dando vueltas a lo largo de un ciclo cerrado. Es necesario no perder de vista este enfoque, pues es la única forma de llegar a resultados coherentes de manera sencilla. En el ciclo límite de este motor se ve que dos de los procesos que conforman el ciclo implican variación de masa en el sistema de control, por este motivo, es necesario encontrar una forma de estudiar el ciclo haciendo efectivas las consideraciones de que el fluido circula en un ciclo cerrado sin cambiar se masa durante los procesos que lleve a cabo.

Si se observa la ecuación (2-29), se puede ver que el trabajo ideal realizado por

este motor está definido por la misma ecuación que el trabajo politrópico en el caso de sistemas abiertos. Así, despreciando los efectos de las irreversibilidades, y de la energía cinética y potencial, se puede aproximar el trabajo (ideal) entregado por este motor, al trabajo politrópico de un sistema abierto que opera entre dos puntos con condiciones similares a la de los puntos 1 y 2 del ciclo de la Figura 2.27.

De esta forma es posible empezar a utilizar los diagramas p υ− y T s−

correspondientes a un proceso llevado a cabo en sistema abierto, sabiendo que esto es sólo una forma de aproximar el trabajo obtenido en el ciclo llevado a cabo por el motor que se analiza. Las curvas graficadas (ver Figura 2.29 y Figura 2.30) no representan directamente ninguno de los procesos que se llevan a cabo en el motor analizado, son sólo una representación aproximada utilizada para evaluar el trabajo producido en el ciclo.

82

En la Figura 2.29 y la Figura 2.30, la línea politrópica entre los puntos 1 y 2 son

las utilizadas para estudiar el trabajo del ciclo límite del motor. Los puntos 2a, 2i y 3 son alternativas al punto 2 dependiendo de la calidad de la máquina. Suponiendo una máquina reversible sin ningún tipo de irreversibilidad, el trabajo realizado correspondería al trabajo politrópico entre el punto 1 y 2i. Nótese que después de las politrópicas graficadas entre las presiones 1 y 2, del punto 2 al 3 hay una isóbara que representa un proceso de calentamiento a presión constante. Esta isóbara representa el calentamiento del fluido al abandonar la máquina y mezclarse con el aire ambiental, indica que finalmente el fluido volverá a las mismas condiciones de presión y temperatura ambientales y que este proceso de calentamiento no implica ningún trabajo adicional en la Figura 2.29 (Si es que este calentamiento implicara algún tipo de trabajo en el diagrama p υ− , entonces este diagrama ya no serviría como representación para calcular el trabajo desarrollado en este ciclo). El punto 3 representado en estos diagramas no tiene nada que ver con el punto 3 del ciclo límite, si bien es cierto que el estado en el punto 2 es el mismo en ambos diagramas y que los procesos 2-3 en ambos diagramas implican un calentamiento del fluido.

Cabe también notar que, en el caso de tratarse de máquinas roto dinámicas, el

trabajo realizado por el ciclo se considera un trabajo real adiabático, en cuyo caso la politrópica por medio de la cual se representaría tendría un exponente n>1.4. En caso de máquinas reciprocantes con algún tipo de sistema de refrigeración o calentamiento, se considera un proceso real con adición de calor. Es por este motivo que la politrópica utilizada para modelar el ciclo de este motor es una politrópica cuyo coeficiente politrópico se encuentra entre 1.4 y 1, al tratarse de una expansión real con adición de calor.

Figura 2.29 Diagrama P υ− del proceso de expansión

83

Figura 2.30 Diagrama T s− del proceso de expansión

La energía contenida en el tanque de aire comprimido se modela como el trabajo

de expansión isotérmica (que en este caso sería idéntico al de compresión isoterma) a partir de la presión de almacenamiento dentro del tanque hasta la presión final del ciclo del motor ( 12iW ). Para modelar la energía de presión almacenada en el tanque se trabaja

con procesos isotérmicos pues estos son interna y externamente reversibles y el trabajo en una expansión isotérmica representa la mayor energía que se podría obtener en cualquier proceso de expansión dentro del mismo rango de presiones.

2

12

1

W V p= − ∂∫ (2-30)

Ahora, partiendo de las ecuaciones (2-28), (2-30) y de la ecuación de estado de

los gases ideales:

p RTυ = (2-31)

1/ 1/ 1/ 1/n n n n npV C V C p C Vp−= = = (2-32)

21/ 1/

12

1

2 2 21/ 1 1/ 1/ 1 1/

1211 1

1 1/ 1 1/ 1

n n

n n n n

W C p p

C p Vp p nW Vp

n n n

−

− −

= − ∂

−= = = −− − −

∫

84

( )12 2 2 1 11

nW p V pV

n= − −

− (2-33)

De la ecuación (2-33) se pueden obtener 2 expresiones para el trabajo realizado

en el ciclo. A este trabajo se le llama en general simplemente trabajo politrópico. Si n=1.4 se obtendrá el trabajo isentrópico adiabático:

1

212 1 1

1

11

n

npnW pV

n p

− = − − −

(2-34)

1

112 1 1

2

11

nVn

W pVn V

− = − − −

(2-35)

Para obtener el trabajo isotérmico, necesario para el cálculo de los rendimientos,

no se pueden utilizar las expresiones obtenidas anteriormente. El trabajo isotérmico estará determinado por la siguiente expresión:

2 23 1

12 1 1 1 11 31 1

ln lni i

i

p VW V p p V pV pV

p V

= ∂ = ∂ = =

∫ ∫ (2-36)

Después de haber hecho este pequeño análisis sobre el ciclo del motor neumático,

y habiendo hecho las aclaraciones respectivas, se puede continuar con el estudio de otros parámetros importantes en el motor.

Para seguir una secuencia apropiada, a continuación se proseguirá con el estudio

del trabajo y, más adelante, con el cálculo del rendimiento del motor, por ser parámetros termodinámicos.

2.2.3. Trabajo teórico producido por el motor Es imposible desligar el cálculo del trabajo de cualquier análisis del ciclo

termodinámico de un motor. Tanto así, que el análisis termodinámico anterior concluyó con el cálculo de los trabajos presentes en el ciclo, como se puede apreciar en las ecuaciones (2-34), (2-35) y (2-36). Esta parte del estudio del comportamiento del motor debería formar parte de la anterior. Sin embargo, lo que se busca al separar el estudio del trabajo teórico producido en el motor del análisis termodinámico, es no recargar demasiada información en un solo apartado y, además, dejar al análisis termodinámico la descripción de la teoría preliminar necesaria para un posterior estudio numérico teórico a realizarse en este apartado.

85

Para poder obtener datos numéricos del trabajo en este motor se necesita conocer el estado del fluido de trabajo, en este caso aire, en los puntos 1 y 2 (Figura 2.27, Figura 2.29 y Figura 2.30).

En el caso del motor que se está estudiando, se emplea el trabajo politrópico para

n=1.4. Hay que aclarar que al tomar n=1.4 no se está considerando que la expansión es isentrópica, sino más bien, se considera una expansión real con adición de calor representada por una politrópica que coincidirá con la isentrópica, sin ser las mismas curvas ni representar lo mismo. Se toma este exponente pues se espera que sea el peor de los casos en una expansión con adición de calor2.

Como presión al inicio de la expansión3 se tomará 20 bar. La presión al final de la

expansión variará dependiendo del volumen final (máximo) de la cámara. La temperatura al final de la expansión (punto 2) podrá determinarse mediante la ecuación de estado de los gases ideales (2-31), lo más idóneo es que esta temperatura sea lo más cercana posible a la atmosférica.

Así, ya tenemos las condiciones del fluido en el punto 1 y el punto 2:

1 1

2

20 300

1

;p bar T K

p bar

= =

≥ (2-37)

La condición más idónea es que la presión al final de la expansión sea 1 bar, o

una presión ligeramente superior para permitir la expulsión del aire sin problemas. Pero la presión final dependerá también del la variación máxima de volumen en la cámara. Esto significa que la presión final en la expansión será la presión en la cámara cuando esta se encuentre en su volumen máximo.

Todos los demás parámetros utilizados en el cálculo del trabajo son los mismos

que los utilizados en cálculos anteriores. Se pueden hacer dos observaciones al comentario hecho en el párrafo anterior: Primero, en caso de que la presión en el volumen máximo de la cámara sea

menor a la atmosférica, será necesario que el final de la expansión (punto 2 del ciclo) se dé antes de este punto, en un punto en el que el volumen de la cámara sea tal que la presión dentro de ella sea ligeramente mayor a la atmosférica. Esto implicará una reducción en el torque principalmente.

Segundo, en caso de que la presión en el volumen máximo sea mayor a la

atmosférica, no se puede hacer nada. En este último caso el rendimiento será bajo al igual que la potencia obtenida, si bien se podría obtener un torque elevado.

A continuación se presentarán dos gráficas del trabajo en una cámara del motor.

La gráfica superior representa el trabajo realizado por la cámara durante el ciclo, y la 2 Ulf Bossel, Thermo Dynamic Analysis of Compressed Air Vehicle Propulsion, European Fuel Cell Forum 3 Esta es la misma presión al inicio de la expansión del motor de aire del MDI. Dato tomado de Driving on air, IEEE Spectrum, issue November 2009, page 29-3.

86

inferior, la derivada del trabajo. Nótese que el trabajo graficado es el trabajo entregado por una cámara del motor que inicia la expansión en 3 @admisiónθ y la culmina en

cada uno de los posteriores. Esto quiere decir que, por ejemplo, el valor mostrado en la curva para 1.3rad es el trabajo entregado por una cámara del motor para una expansión que inicia en 3 @admisiónθ y culmina en 3θ 1.3rad.

3 @admisiónθ es el ángulo en el que culmina la admisión e inicia la expansión,

es decir, es el ángulo en el que se encuentra la cámara en el punto 1. No se debe confundir 3 @admisiónθ con 3,minθ .

La segunda gráfica representa la derivada del trabajo respecto de 3θ ( 3/W θ∂ ∂ )

en función del ángulo 3θ al final del proceso 1-2. Debe tenerse en cuenta que el 3θ

representado en esta gráfica es el 3θ en el que termina el proceso 1-2. Esta gráfica es

útil para observar cuanto afecta una pequeña variación del ángulo 3θ (en el inicio del

escape, punto 2 del ciclo) en el trabajo, dependiendo de la excentricidad. Nótese que cuando el valor de las ordenadas de este gráfico (esto es, la derivada sea cero), el trabajo obtenido será el máximo.

Hay que tener muy claro que es lo que se está graficando, porque se podría

pretender obtener la potencia a partir de esta gráfica multiplicándola por la velocidad de rotación en rad/s, y esto sería un grave error a pesar de que las unidades serían compatibles. Es fácil intuir que es imposible que la potencia sea cero para el trabajo máximo. Esta gráfica no tiene nada que ver con la potencia del motor.

Es muy importante saber cuál es la referencia respecto a la cual se definió el área.

Recuérdese que el área se graficó respecto de 31θ , es decir, en adelanto.

A partir de estas gráficas y en todas las gráficas posteriores, a menos que se

indique lo contrario, 3 @admisiónθ será 0.92 rad. Se seleccionó este valor pues es el

máximo 3,minθ para las diferentes excentricidades y longitudes de aleta con las que se

trabajó.

87

Fig

ura

2.31

. Grá

ficas

del

trab

ajo

W y

su

deri

vada

res

pect

o de

θ

3 en

el p

unto

2 d

el c

iclo

par

a un

fa

cto

r_C

D de

2.5

0.5

11.

52

2.5

33.

54

4.5

5-2

0020406080100

θ 3 (ra

d)

W (J)

W v

s. θ

3 (pa

ra fa

ctor

CD

=2.

5 y

e va

riabl

es)

0.5

11.

52

2.5

33.

54

4.5

5-1

00-50050100

150

θ 3 (ra

d)

dW/dθ3 (J/rad)

dW/d

θ 3 vs.

θ3 (

para

fact

orC

D=

2.5

y e

varia

bles

)

88

Fig

ura

2.32

Grá

ficas

del

trab

ajo

W y

su

deri

vada

re

spec

to d

e θ3

en e

l pun

to 2

del

cic

lo p

ara

un

fact

or_

CD

de 3

.5

0.5

11.

52

2.5

33.

54

4.5

5-2

0020406080

θ 3 (ra

d)

W (J)

W v

s. θ

3 (pa

ra fa

ctor

CD

=3.

5 y

e va

riabl

es)

0.5

11.

52

2.5

33.

54

4.5

5-1

00-50050100

150

θ 3 (ra

d)

dW/dθ3 (J/rad)

dW/d

θ 3 vs.

θ3 (

para

fact

orC

D=

3.5

y e

varia

bles

)

89

Observando ambas figuras (Figura 2.31 y Figura 2.32) se puede ver que el ángulo

3θ de máxima entrega de trabajo es menor para un menor _factor CD, lo que significa

que a menor _factor CD mayor trabajo entregado por la cámara. Además, para

variaciones de 3θ iguales, la influencia de la excentricidad en el trabajo entregado es

mayor para menores _factor CD. Hay una peculiaridad bastante interesante en las gráficas del trabajo (W). Se

puede observar que para excentricidades mayores (colores más claros) las curvas del trabajo se empiezan a acercar cada vez más. Esto indicaría claramente que hay un límite para el trabajo máximo entregado por una cámara durante su expansión. Esto implica que, si bien el trabajo entregado se incrementa al aumentar la excentricidad, habrá un límite para el cual el aumento ya no será significativo.

Estas gráficas nos dan una idea del orden en el que se mueve el trabajo entregado

por el motor. Para hacerse una idea de cuánto sería el trabajo total entregado por el motor en una vuelta, basta considerar que para N=6 habrá un máximo de 3 cámaras trabajando en simultáneo y un mínimo de 2. Para hacer una consideración sobre el efecto de la excentricidad y la longitud de la aleta en la potencia se puede partir del hecho de que el trabajo es directamente proporcional a la potencia, aunque por medio de los cálculos anteriores es imposible estimar la potencia.

Estas gráficas sirven más que nada para hacer un análisis de sensibilidad del

trabajo. El valor real del trabajo realizado por una cámara se verá afectado por la pérdidas en el ciclo, las cuales han sido despreciadas; por el efecto del flujo de aire, pues este análisis se ha hecho considerando procesos cuasi estáticos; y así su valor real se verá disminuido.

El programa de Matlab utilizado para obtener las gráficas de la Figura 2.31 y la

Figura 2.32 fue “Trabajo_t3_admision_real.m”. Su código puede ser visto en el anexo 1.

2.2.4. Rendimientos teóricos del motor En este apartado estudiaremos dos rendimientos. Para poder definirlos es

necesario recordar la definición de rendimiento. El rendimiento es una relación muy utilizada en termodinámica y, en general, en Ingeniería. El rendimiento indica qué tan bien se ha realizado un proceso de transformación o transferencia, en este caso, de energía. El rendimiento en su forma más general puede definirse como la salida deseada sobre la entrada requerida:

_

Rendimiento=_

Salida deseada

Entrada requerida (2-38)

Normalmente, al trabajar con máquinas térmicas, el rendimiento es una relación

entre el trabajo obtenido y el calor (Energía térmica) suministrado. En el caso de este motor, la energía no se suministra al motor en forma de calor, sino como energía de presión.

90

Así pues, en el caso de este tipo de motor no se puede hablar de rendimiento

térmico. En el caso de motores neumáticos y compresores es muy común utilizar el rendimiento isotérmico, el cual será utilizado en este trabajo. Además del rendimiento isotérmico, también se utilizará un rendimiento adicional (se definirá más adelante) que relacionará la energía total puesta a disposición de la máquina por el aire a presión con el trabajo entregado por él.

Además de los rendimientos con los que se trabajará en este análisis, hay dos

rendimientos o eficiencias más que se podrían utilizar, que sin embargo se dejarán de lado. Uno de ellos es el rendimiento politrópico. Este rendimiento es bastante utilizado en el estudio de máquinas rotodinámicas, y en el caso de maquinas de desplazamiento positivo, es muy útil en el estudio de máquinas multi-etapas. Aunque un motor multi etapas sería mucho más eficiente que uno de una sola etapa, el estudio de este no es objeto de esta tesis.

El otro rendimiento o eficiencia que se podría evaluar es la eficiencia exergética,

la cual relaciona la exergía neta que ingresa a la máquina y la exergía que finalmente es aprovechada. En el caso de partir de condiciones normales (temperatura y presión atmosféricas), para nuestro caso el rendimiento exergético sería igual al rendimiento isotérmico. Como por el momento no interesa evaluar el comportamiento del sistema en otras condiciones, no interesa evaluar el rendimiento exergético.

Para poder describir los rendimientos en este motor se tomará la Figura 2.29 y se

añadirán unos cuantos estados intermedios entre las presiones p1 y p2. La Figura 2.33 muestra diagrama de la Figura 2.29 después de ser modificado.

Figura 2.33 Diagrama P υ− modificado del proceso de expansión

En la Figura 2.33 se han agregado los puntos 2’a, 2’ y 2’i. Estos puntos se

encuentran en la líneas de sus respectivos procesos (1-2a, 1-2 y 1-2i, respectivamente) a presiones mayores a la presión “final ideal” del proceso. Con presión “final ideal” se

91

hace referencia a la presión atmosférica, la cual es la presión ideal que se buscaría obtener al final de la expansión.

Considérese que el aire entregado al motor proviene de un tanque de aire

comprimido. El mayor trabajo que se puede obtener de la expansión del aire contenido en el tanque hasta la presión atmosférica es el trabajo isotérmico. Por este motivo la energía disponible en el tanque se representará como el trabajo isotérmico de expansión a partir de la presión de almacenamiento del tanque hasta la presión atmosférica.

Pero, la presión de entrada al motor no puede ser igual a la presión de

almacenamiento en el tanque, se debe utilizar una presión menor. En este sentido, y dado que las pérdidas que aparecen en el reductor de presión se producen fuera del motor, se considera que la energía puesta a disposición del motor es equivalente al trabajo isotérmico de expansión entre la presión de entrada al motor y la atmosférica.

Ahora, tomando en cuenta lo expuesto en el apartado anterior, se sabe que la

presión final de la expansión dentro de una cámara del motor, a pesar de que en óptimas condiciones será apenas superior a la atmosférica, puede variar en un amplio rango de presiones superiores a la atmosférica. Así, se puede definir un primer rendimiento, el rendimiento isotérmico:

1

2'

112'

2'12'

1

1

1 ln

n

n

I isoi

p

pW n

pW np

η η

− − = = =

−

(2-39)

Antes de continuar, se debe hacer una pequeña aclaración. Si bien el punto 2i y el

punto 3 coinciden en los diagramas p υ− y T s− , el trabajo 12iW es distinto al trabajo

13W , pues 13W es el trabajo producido en el proceso 1-2-3 y es igual a 12W , diferente de

12iW . Esto podría haberse prestado a confusión y llevar a errores en el cálculo de este

rendimiento. Al rendimiento Iη por ser una relación entre el trabajo entregado por el motor y

el trabajo máximo que pudiera haber entregado el motor, es decir, el trabajo en una expansión isotérmica (bajo los mismos límites de presión) es que se le llama rendimiento isotérmico.

Observando la Figura 2.33 se puede ver que la exergía de presión puesta a

disposición de la máquina, que coincide con el trabajo isotérmico de 1-2i, no es aprovechada en su totalidad por las máquinas. Así, se puede ver que el proceso 1-2’ libera aire con cierta exergía de presión a la atmósfera (esta exergía remanente bien podría utilizarse en otro proceso o simplemente disiparse en la atmósfera). De esta forma, se define el rendimiento II como el trabajo producido por el motor entre la exergía total que se puso a su disposición, sin importar que después haya liberado aire con cierta exergía remanente, en nuestro caso disipada en la atmósfera (pudo haberse utilizado en otro proceso):

92

1

2'

112'

212

1

1

1 ln

n

n

IIi

p

pW n

pW np

η

− − = =

−

(2-40)

Así, el rendimiento isotérmico será el más importante pues está relacionado

directamente a la máquina. El rendimiento II me permite visualizar lo que sucedería si para una misma presión de entrada al motor, cambia la capacidad de expandirse de las cámaras (relación de compresión). El rendimiento II permite evaluar directamente lo que sucedería si, al tener la máquina construida, necesito entregarle mayor presión (posiblemente buscando obtener mayor torque) y dado que se tiene una relación de compresión ya determinada, se liberará aire a presión en la salida y se desperdiciará su capacidad de generar trabajo (exergía remanente).

Como se podrá ver más adelante, los dos rendimientos estudiados tienen

comportamientos diferentes. Mientras que uno aumenta, el otro disminuye, y viceversa. Por este motivo, se necesita encontrar una forma de visualizar el efecto combinado de ambos rendimientos en el comportamiento del motor. Así es que también se analizará el producto de ambos rendimientos para tratar de visualizar el comportamiento combinado de ambos.

Hay que aclarar que, en este punto más que en cualquiera anterior, el análisis de

rendimientos es un análisis de sensibilidad. Hay muchos efectos que ha sido despreciados en su análisis, muchos de ellos imposibles de calcular teóricamente. Así, el valor de los rendimientos obtenidos puede ser considerado simplemente como el límite superior al que se podría llegar en el mejor de los casos.

Partiendo de las ecuaciones (2-39) y (2-40) se obtuvieron gráficas de los

rendimientos teóricos del ciclo. Las condiciones en las que se han realizado estas gráficas son las mismas que las utilizadas para graficar el trabajo. Es decir, las gráficas inician en 3 @admisiónθ para un valor igual de 3θ en este punto igual al de las

gráficas de la Figura 2.31y la Figura 2.32 (3θ =0.92 al inicio de la expansión). Además,

los rendimientos graficados corresponderán a los rendimientos de un motor cuyo proceso de expansión inicia (punto 1 de la Figura 2.33) en 3θ igual a 0.92rad (

3 @admisiónθ ) y culmina (punto 2’ de la Figura 2.33) en diferentes 3θ mayores a

3 @admisiónθ . El coeficiente politrópico utilizado es el isentrópico 1.4, al igual que en

el apartado anterior. Para obtener las gráficas de la Figura 2.34 y la Figura 2.35 se utilizó el programa

de Matlab “Rendimientos_apertura_t3_admision_real.m” cuyo código se puede ver en el anexo 1.

Las gráficas sólo deben ser tomadas en cuenta a partir de 3 @admisionθ hasta el

punto máximo de la curva (o mínimo), pues este punto es el que corresponde al volumen máximo de la cámara donde se inicia el escape.

93

Figura 2.34 Gráficas de rendimientos para un _factor CD de 2.5

1 1.5 2 2.5 30.6

0.7

0.8

0.9

1

Admision@θ3=0.92rad escape@θ3(rad)

Ren

dim

ient

o I

Rendimiento I vs. θ3 (para factorCD=2.5 y e variable)

1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8


Ren

dim

ient

o II

Rendimiento II vs. θ3 (para factorCD=2.5 y e variable)

1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4


Pro

duct

o de

Ren

dim

ient

os

Producto de Rendimientos vs. θ3 (para factorCD=2.5 y e variable)

94

Figura 2.35 Gráficas de rendimientos para un _factor CD de 3.5

1 1.5 2 2.5 30.6

0.7

0.8

0.9

1


Ren

dim

ient

o I

Rendimiento I vs. θ3 (para factorCD=3.5 y e variable)

1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8


Ren

dim

ient

o II

Rendimiento II vs. θ3 (para factorCD=3.5 y e variable)

1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4


Pro

duct

o de

Ren

dim

ient

os

Producto de Rendimientos vs. θ3 (para factorCD=3.5 y e variable)

95

Viendo las gráficas (Figura 2.34 y Figura 2.35) se puede notar que el producto de rendimientos y el IIη son mayores para menores _factor CD. Y en general, el

comportamiento del motor debido al efecto combinado de ambos rendimientos es mejor para mayores excentricidades.

También es clara la peculiaridad del rendimiento isotérmico, el cual es mayor

para menores relaciones de compresión. Esto es, mientras la presión de escape sea más cercana a la de admisión, el rendimiento isentrópico será mayor. Aunque a la luz del efecto combinado de ambos rendimientos, conviene iniciar el escape en el volumen máximo de la cámara.

2.2.5. Relación de compresión La relación de compresión a la que se refiere este apartado es la relación de

compresión volumétrica. En las ecuaciones (2-34) y (2-35) se puede observar que el trabajo puede

expresarse en función de la relación de compresión. En las ecuaciones (2-39) y (2-40) también se puede ver que los rendimientos dependen de la relación de compresión ∏ . La relación de compresión ∏ (relación de presiones) puede ser expresada en función de la relación de compresión volumétrica Rc (relación de volúmenes). Así, se puede escoger una relación de compresión dependiendo del rendimiento o el trabajo que se desee obtener en el motor.

Ahora, es claro que el mejor comportamiento del motor se dará cuando la presión

final en la expansión sea lo más cercana posible a la atmosférica. Luego, teniendo el volumen máximo de la cámara, este se tomará como el volumen final de la expansión (punto 2) y se podrá calcular la relación de compresión volumétrica para distintos volúmenes de inicio de la expansión, determinados por su correspondiente ángulo 3θ

(punto 1). De esta forma, determinadas la presión inicial y final de la expansión, es decir, su relación de compresión ∏ , y conocido el coeficiente politrópico del modelo empleado (puede ser estimado), se puede encontrar la relación de compresión volumétrica del motor, y así se podrá determinar el ángulo necesario al inicio de la expansión.

2 2

1 1

1/

1/1

2

n

n

V pRc

V p

pRc

p−

= ∧ ∏ =

= = ∏

(2-41)

A continuación se muestran dos gráficas de Rc en función del ángulo 3θ del

inicio de la admisión (para un ángulo 3 @admisiónθ variable), para un ángulo de final

de expansión fijo e igual al correspondiente al volumen máximo de la cámara, y para distintas excentricidades y _factor CD. El resto de condiciones son las mismas que en todas las gráficas anteriores.

96

Fig

ura

2.36

Grá

fica

de la

rel

ació

n de

com

pres

ión

Rc

para

un f

act

or_

CD

de 2

.5

00.

51

1.5

22.

53

01234567891011

θ 3 (ra

d)

Rc

Rc

vs.

θ 3 (pa

ra fa

ctor

CD

=2.

5 y

e va

riabl

es)

97

Fig

ura

2.37

Grá

fica

de la

rel

ació

n de

com

pres

ión

Rc

para

un f

act

or_

CD

de 3

.5

00.

51

1.5

22.

53

01234567891011

θ 3 (ra

d)

Rc

Rc

vs.

θ 3 (pa

ra fa

ctor

CD

=3.

5 y

e va

riabl

es)

98

Las gráficas se realizaron utilizando el programa de Matlab “Relacion_compresion_t3_admision_real.m” cuyo código puede ser visto en el anexo 1.

De las gráficas se puede deducir que, para una misma relación de compresión, el

ángulo 3 @admisionθ necesario es mayor para mayores excentricidades. Como se

podrá ver más adelante, el troque generado será mayor para mayor 3 @admisionθ . Esta

es una prueba de que la variación en uno de los parámetros del motor afecta a los demás.

2.2.6. Torque en el rotor sobre el centro instantáneo de rotación Otro punto importante a analizar en el motor es el torque generado.Su estudio en

este motor se dividirá en dos partes. La primera consiste en su cálculo sobre CI (Centro instantáneo de rotación), y la segunda, sobre el eje. El valor del torque generado sobre el eje dependerá del valor de este sobre CI. La importancia del cálculo del torque sobre CI radica en que, además de determinar el torque sobre el eje, determinará la fuerza de rozamiento que se necesitará producir en el punto CI para evitar el deslizamiento del rotor.

Para realizar el cálculo del torque se agrupará una aleta con una sección del rotor

correspondiente a la cámara anterior (Figura 2.38, se ven en verde). El torque que se calculará corresponderá a la suma de los torques producidos por las fuerzas (debidas a la presión) en la aleta y en dicha sección del rotor. La Figura 2.38 aclara el esquema utilizado para el cálculo.

28,28

CD

e

D

C

CI

FaFr

Ο2Ο1

Figura 2.38 Diagrama inicial para el cálculo del torque sobre CI

Las fuerzas producidas por la presión en los elementos en verde son Fa (Fuerza

en la aleta) y Fr (Fuerza en el rotor). Se hace la suposición de que la fuerza Fa es aplicada sobre la cuerda correspondiente a la aleta.

99

La fuerza Fr actúa directamente sobre el rotor, sin embargo, la fuerza Fa actúa sobre el centro de la aleta. Por este motivo, se necesita calcular la fuerza de reacción R ejercida por la aleta sobre el rotor. Para calcular esta fuerza se realiza un diagrama de cuerpo libre para la aleta.

21° ω

128°γD

CFa

Nc

R69° φ

Ο2Ο1

Fa

Nc

R

62°φ

28°ω

Figura 2.39 Diagrama de cuerpo libre de la aleta

La masa de la aleta se considera despreciable así que no será considerada en los

cálculos. Además, se desprecia el rozamiento de la aleta sobre el estator y se hace un análisis estático para simplificar los cálculos.

El triángulo de fuerzas de la Figura 2.39 se obtiene partiendo de que 0F =∑ ,

así:

cos( ) sin( )Fa R Ncφ ω= + ⋅ (2-42)

sin( ) cos( )R Ncφ ω= ⋅ (2-43) Y de que la sumatoria de momentos es igual a cero se obtiene:

cos( )2

cos( )2

CDFa CD R

FaR

φ

φ

= ⋅ ⋅

= (2-44)

Reemplazando (2-44) en (2-42):

2sin( )

FaNc

ω= (2-45)

100

Elevando al cuadrado (2-44) y (2-43), sumando y reemplazando (2-45) se obtiene:

2 2 2

22 2

2 2

2

( cos( )) ( / 2)

cos( )

2 sin( ) 2

cos ( ) sin ( )

2 sin ( )

R Nc Fa

Fa FaR

FaR

ω

ωω

ω ωω

= ⋅ +

= +

+=

1

2 sin( )

FaR

ω= ⋅ (2-46)

Comparando la ecuación (2-46) con la (2-45), podemos notar que Nc R= . Dado

que Nc R= , de la Figura 2.39, se puede deducir que:

φ π ω= − (2-47)

75°

21°

69°

ω

128°γ

D

C

R

φ

Ο2Ο1CI

χ

e Rest-e

114°θ3

33°(π−θ3)/2

R

Figura 2.40 Efecto de la fuerza R sobre el rotor

En la Figura 2.40 se aprecia el esquema empleado para evaluar el efecto que la

fuerza de reacción R producía sobre el rotor. Claramente el efecto de esta fuerza que nos interesa es el torque producido sobre CI.

101

Para calcular el torque producido por R sobre CI se necesita saber el ángulo Rχ

entre R y el segmento que une D con CI. De relaciones trigonométricas en la Figura 2.40 se puede obtener:

3 3

2 2 2 2R

θ θπ πχ γ φ γ φ π = − − − − = + + − (2-48)

Así, el torque producido por R sobre CI será:

( ) 3 3, 2 sin sin

2 2CI R estT R R eθ θγ φ π = − + + − (2-49)

De la misma forma se obtiene la expresión para el torque producido por Fr sobre

CI.

27°

D

D

C

Fr

Ο2

157°θ3

Rest-e

62°2π/Ν

χFr

Figura 2.41 Esquema para el cálculo del torque sobre CI debido a Fr

De relaciones trigonométricas en la Figura 2.41 se puede obtener una expresión

para Frχ :

3

3

2 2 2 2Fr

NN

ππ θθπ πχ

− − = = − +

102

3( 1)

2 2Fr

N

N

θπχ += − (2-50)

Partiendo de la ecuación (2-50) se calcula el torque producido por Fr sobre CI:

( ) 3 3,

( 1) ( 1)2 sin cos

2 2 2 2CI Fr est

N NT Fr R e

N N

θ θπ π+ + = − − − (2-51)

De esta forma el torque total debido a efectos de la presión sobre CI será:

( )3 3

, ,

3 3

sin sin2 2

2( 1) ( 1)

sin cos2 2 2 2

CI CI R CI Fr est

R

T T T R eN N

FrN N

θ θγ φ π

θ θπ π

+ + − = + = −

+ + + − −

(2-52)

Las fuerzas Fr y Fa pueden ser muy fácilmente calculadas a partir de la presión

en la cámara y del área sobre la que actúan, por este motivo las expresiones que las definen no se muestran en este trabajo. Deber tenerse en cuenta que la presión utilizada para calcular las fuerzas es la diferencia entre las presiones a ambos lados del elemento sobre el que se está calculando la fuerza. Por ejemplo, la fuerza sobre la aleta será calculada con la diferencia entre la presión en la cámara y la presión en la cámara siguiente.

El efecto de las normales producidas por las fuerzas Fa y Fr sobre CI no es

considerado en este estudio. A continuación se muestran las gráficas del torque producido por la presión sobre

la aleta y el rotor en función a la posición de la aleta ( 3θ de la Figura 2.41). Los

cálculos de las fuerzas se pueden ver dentro de las gráficas, para lo que se ha calculado la presión correspondiente a los distintos 3θ en la admisión, la expansión y el escape.

Nótese que las expresiones deducidas para el torque sólo serán válidas mientras los elementos analizados se encuentren fuerza de la zona de transición, esto significa que las ecuaciones serán válidas a partir de 3 2 / Nθ π= .

Se han utilizado dos programas de Matlab para obtener estas gráficas. El primero,

“Torque_t3_admisionreal_at_t3min.m”, muestra las gráficas del torque para el inicio de la admisión en 3,minθ , mientras que el segundo, “Torque_t3_admisionreal.m”, muestra

las gráficas del torque para un 3 @admisionθ de 0.92 rad, como se ha venido

utilizando hasta ahora. El código de estos programas puede ser visto en el anexo 1. Todos los demás datos utilizados son los mismos que se han venido utilizando en las gráficas anteriores.

103

Fig

ura

2.42

Gra

fica

del t

orqu

e re

spec

to d

e θ

3 co

n ad

mis

ión

en θ

3,m

in p

ara f

act

or_

CD

2.5

00.

51

1.5

22.

53

3.5

44.

55

0

100

200

300

400

500

600

θ 3 (ra

d)

A

dmis

ion@

t3m

inim

o

TCI (N-m)To

rque

sob

re C

I vs.

θ3 (

para

fact

orC

D=

2.5

y e

varia

bles

)

104

Fig

ura

2.43

Gra

fica

del t

orqu

e re

spec

to d

e θ

3 co

n ad

mis

ión

en θ

3,m

in p

ara f

act

or_

CD

3.5

00.

51

1.5

22.

53

3.5

44.

55

0

100

200

300

400

500

600

θ 3 (ra

d)

A

dmis

ion@

t3m

inim

o

TCI (N-m)

Torq

ue s

obre

CI v

s. θ

3 (pa

ra fa

ctor

CD

=3.

5 y

e va

riabl

es)

105

Fig

ura

2.44

Gra

fica

del t

orqu

e re

spec

to d

e θ

3 co

n ad

mis

ión

en 0

.92r

ad p

ara

fact

or_

CD

2.5

0.5

11.

52

2.5

33.

54

4.5

50

100

200

300

400

500

600

700

θ 3 (ra

d)

A

dmis

ion@

θ 3=0.

91ra

d

TCI (N-m)

Torq

ue s

obre

CI v

s. θ

3 (pa

ra fa

ctor

CD

=2.

5 y

e va

riabl

es)

106

Fig

ura

2.45

Gra

fica

del t

orqu

e re

spec

to d

e θ

3 co

n ad

mis

ión

en 0

.92r

ad p

ara

fact

or_

CD

3.5

0.5

11.

52

2.5

33.

54

4.5

50

100

200

300

400

500

600

θ 3 (ra

d)

A

dmis

ion@

θ 3=0.

91ra

d

TCI (N-m)

Torq

ue s

obre

CI v

s. θ

3 (pa

ra fa

ctor

CD

=3.

5 y

e va

riabl

es)

107

En las curvas del torque mostradas se puede ver algunas características particulares.

Por ejemplo, se ve que hay cambios bruscos en todas las curvas, lo que se debe a

los cambios bruscos de presión. Viendo las curvas de la Figura 2.42 y la Figura 2.43 se puede notar que los

torques máximos a los que se llegan aumentan con la excentricidad. Esto se debe a que el ángulo de admisión aumenta con la longitud de la aleta, y esta a su vez aumenta con la excentricidad. Así, mientras más dure la admisión, la presión alta en la admisión actuará en un rango más amplio y producirá un mayor torque.

Es fácil notar que en este caso en el que la admisión se inicia en 3,minθ el valor

medio del torque será mucho mayor para mayores excentricidades, en comparación con el caso en que la admisión se inicia en un punto fijo para cualquier excentricidad y CD.

Además, también se puede resaltar que cuando la admisión se inicia en 3,minθ las

presiones finales en el motor varían en un mayor rango que en el caso en que la admisión termina en un ángulo fijo. Esto indica que es más conveniente mantener la admisión en un ángulo fijo que estar moviéndola.

Finalmente, se puede ver que el torque en las gráficas tiene un valor determinado

antes de caer bruscamente a cero. Esto significa que la presión final es distinta de la atmosférica. Por el valor bastante pequeño del torque (entre 20 y 30 N-m en las gráficas) se puede inferir que la presión en el punto 2 del ciclo es baja pero aún mayor a la atmosférica, lo que indica que se puede conseguir fácilmente que la presión al final de la expansión sea como se deseaba (ligeramente mayor a la atmosférica).

Antes de continuar con el cálculo del torque producido sobre el eje es necesario

calcular el torque medio sobre CI. Es en función de este torque medio que se calculará el torque sobre el eje, y se evaluará el rozamiento en CI para asegurar el no deslizamiento del rotor.

El torque medio se obtiene integrando la curva del torque a lo largo de todo el

ciclo. Las curvas obtenidas se grafican hasta antes de que se termine una vuelta completa del rotor debido a que en la fase de escape el torque se considera cero (idealmente). La zona de las curvas en las que las ecuaciones obtenidas para el torque no son válidas se aproximan mediante una recta que une el origen con el primer punto de cada curva. Así se puede integrar la curva en todo el rango y hallar un valor bastante aproximado del torque medio.

Por lo expuesto anteriormente, el torque medio se calculará para diferentes

excentricidades y un ángulo para el final de la admisión constante. El programa de Matlab utilizado para la obtención de estas gráficas es el mismo

que el utilizado en la Figura 2.44 y la Figura 2.45. A continuación se pueden ver estas gráficas.

108

Figura 2.46 Torque medio sobre CI para factor_CD 2.5

Figura 2.47 Torque medio sobre CI para factor_CD 3.5

2 4 6 8 10 12 14 16160

165

170

175

180

185

190

Excentricidad en mm

Tor

que

med

io e

n N

-m

Torque medio sobre CI vs. factor-e para factorCD=2.5

2 4 6 8 10 12 14 16120

130

140

150

160

170

180

190

Excentricidad en mm

Tor

que

med

io e

n N

-m

Torque medio sobre CI vs. factor-e para factorCD=3.5

109

En la Figura 2.46 y la Figura 2.47 se puede observar que el torque medio

disminuye con la excentricidad y con la longitud de la aleta. Si se recuerdan las gráficas del trabajo en cada cámara (Figura 2.31 y Figura

2.32), y se comparan con el torque medio, se aprecia que ambos parámetros tienen comportamientos contrapuestos respecto a la excentricidad. Mientras el trabajo (y por ende la potencia) aumentan con la excentricidad, el torque disminuye con ella. Se necesitará llegar a una solución de compromiso entre ambas.

2.2.7. Torque sobre el eje El torque transmitido al eje dependerá de la configuración del sistema de

transmisión usado entre el rotor y el eje. En el caso de este motor es un sistema de rodillos similar al utilizado por Di Pietro en su motor. A continuación se ve un esquema que servirá para el estudio del torque transmitido al eje:

57°ϕ'

Ο2

73°

C

D

Ο1

62°

45°

R 45,1

33

CI

D C

β

ϕ''

Rrod

a

α

Οr1

Οr2

G1

G2

Figura 2.48 Esquema para el cálculo del torque transmitido al eje

Algunos de los puntos característico que se ven en la Figura 2.48 ya han sido

introducidos antes. Los parámetros relacionados a estos puntos serán los mismos que

110

ya se han definido. Además, a la distancia 1 1 1 2r rOO OO= se le denomina ER y a la

distancia 2 1 2 2r rO O O O= , RR .

Suponiendo que el rotor rueda en sentido antihorario (según la Figura 2.48),

debido al torque sobre CI CIT se producirá una fuerza sobre 2G . Así, se puede deducir

que el torque producido sobre el punto 1O (centro del eje del motor) estará

determinado por la expresión:

2

sin( ) sin( '')CIeje

T eT

G CI

β ϕ⋅ ⋅ ⋅= (2-53)

2 2

2 ( ) ( ) 2( )( )cos( '')est est est estG CI R e R e a R e R e a ϕ= − + − − − − − − (2-54)

2

sin( '') ( )sin( ) estR e

G CI

ϕβ ⋅ −= (2-55)

De las ecuaciones (2-55), (2-54) y (2-53) se puede obtener del desarrollo de la

expresión del torque sobre el eje:

2 2

( ) sin( '') sin( '')

( ) ( ) 2( )( )cos( '')CI est

ejeest est est est

T e R eT

R e R e a R e R e a

ϕ ϕϕ

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅=− + − − − − − − (2-56)

Por el momento no se definirá el valor de a. En esta parte del estudio interesa

saber el efecto del ángulo de apertura de los rodillos en el torque producido sobre el eje. Como lo que interesa hasta este punto es optimizar ejeT para ''ϕ , inicialmente se

despreciará el valor de a. Así la expresión (2-56) para este cálculo queda reducida a:

2sin ( '')

2( )(1 cos( ''))CI

ejeest

T eT

R e

ϕϕ

⋅ ⋅=− − (2-57)

Dado que lo que se evaluará es la influencia de ''ϕ en ejeT , al sólo evaluar los

factores de ejeT dependientes de ''ϕ se puede ver el efecto de la variación de ''ϕ sobre

este:

111

Figura 2.49 Tendencia de Teje (aproximada)

Se puede prever desde el capítulo anterior que este sistema de transmisión no

funcionará para ''ϕ mayores a π debido a que el rotor perdería el contacto con el estator. Así, observando esta gráfica se nota que no hay ningún máximo ni mínimo entre 0 y π . Esto significa que no se puede optimizar el torque para ''ϕ .

Si se ve la curva de la tendencia de Teje, se puede notar que para los ángulos

cercanos a cero el torque aumenta y se vuelve el más alto. Esto no puede ser cierto pues es ilógico que en ese punto el torque sea el más alto, dado que para '' 0ϕ = los dos rodillos estarían apoyados sobre CI. En conclusión, la aproximación tomada no es válida, es necesario considerar los efectos de a (Ver Figura 2.48).

Para evaluar los efectos de a en Teje se tomarán los mismos valores usados en

las gráficas anteriores y un valor de 14mm para a. A continuación (Figura 2.50) se muestra una gráfica de CITeje T para poder visualizar los efectos de los parámetros del

sistema de distribución independientemente del valor de CIT .

Se puede notar que para valores cercanos a cero, CITeje T se acerca a cero, en

contraste de lo que muestra la Figura 2.49 para la aproximación de Teje con a igual a cero.

0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

phi''(rad)

sin(

x)2 /(

1-co

s(x)

)

Tendencia de Teje

112

Figura 2.50 Torque sobre el eje (Entre TCI)

En la Figura 2.50 se puede ver claramente que hay un máximo en la gráfica del

torque el cual sería interesante alcanzar. Nótese que la curva sólo puede ser utilizada para valores de ''ϕ entre 0 y π , dado que solamente este rango asegura el contacto permanente entre rotor y estator.

Ahora bien, no sólo se necesita optimizar el supuesto torque obtenido, sino

además asegurar que los rodillos del sistema de transmisión mecánica giren con la mayor facilidad posible. Para lograr esto se busca que el par en los rodillos sea también el mayor posible, lo cual implica que la fuerza tangente que aparezca sobre los rodillos debe ser la máxima posible. Así, se buscará maximizar la componente de la fuerza aplicada por el rotor sobre el rodillo, que sea perpendicular al segmento 2 1O G .

En la Figura 2.51 se puede ver la tendencia en el comportamiento de la fuerza

tangente aplicada sobre el rodillo, la cual tendrá repercusiones directas en el par que actúe sobre él. Nótese que el mínimo en esta curva se da para el mismo ángulo que el máximo en la curva de la Figura 2.50. Por esta razón no se podrá utilizar este ángulo (0.68 rad).

Entonces, dada la curva de la Figura 2.51, la búsqueda del ángulo óptimo se

puede realizar en dos zonas. De 0 a 0.68 radianes y de 0.68 a 3.1416 (π ). Previendo que la selección de un ángulo muy pequeño, imposibilitaría la construcción del sistema de transmisión, se selecciona el segundo rango: de 0.68 a 3.1416 rad.

Al igual que en el caso del rendimiento, se estudiará la curva del producto entre

la fuerza tangente sobre el rodillo y el torque sobre el eje, para visualizar el efecto conjunto de ambos. En la Figura 2.52 se puede ver la gráfica de este producto.

0 1 2 3 4 5 6 70

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2Torque sobre el eje (Entre TCI)

phi''

Tej

e/T

CI

113

Figura 2.51 Fuerza tangente sobre el rodillo (Entre TCI)

Figura 2.52 Producto entre la fuerza tangente sobre el rodillo y Teje (Entre TCI)

0 1 2 3 4 5 6 70

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08Fuerza tangente sobre el rodillo (entre TCI)

phi''

Fro

dtan

gent

e/T

CI

0 1 2 3 4 5 6 70

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Producto de fuerza tangente sobre el rodillo y torque sobre el eje (entre TCI)

phi''

(Tej

e*F

rodt

ange

nte)

/TC

I

[x10

-3]

114

Como se puede ver en la Figura 2.53, dentro del rango seleccionado se obtiene un

máximo para '' 1.28radϕ = . Este será el valor utilizado para definir la posición de los rodillos en el sistema de transmisión mecánica.

Figura 2.53 Máximo para la curva de la Figura 2.52 para '' [0.68, ]ϕ π⊂ En este caso se tratará de seleccionar una excentricidad más o menos alta. Se

seleccionará la excentricidad más alta posible para disminuir el torque sobre CI y evitar posibles deslizamientos del rotor. Esta alta excentricidad implicará la entrega de una mayor potencia (dentro de las capacidades del motor, de las más altas). El rendimiento isentrópico también se verá comprometido, aunque en vista del segundo rendimiento, la energía desperdiciada por aire liberado a la atmósfera será menor.

El código utilizado para obtener estas gráficas (Figura 2.50, Figura 2.51, Figura

2.52 y Figura 2.53) se encuentra en el programa de Matlab “Torque_en_eje.m”. Su código puede ser visto en el anexo 1.

2.2.8. Sistema de distribución A pesar de que el diseño del sistema de distribución es determinante en la

selección de la excentricidad, se ha querido dejar al final para no interferir en el estudio del resto de parámetros y características del motor y permitir así hacer un análisis más general en ellos.

1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2 X: 1.28Y: 1.073

Producto de fuerza tangente sobre el rodillo y torque sobre el eje (entre TCI)

phi''

(Tej

e*F

rodt

ange

nte)

/TC

I

[x10

-3]

115

A continuación se ve un esquema que ayudará con el estudio del sistema de distribución.

CIAd

Es

Figura 2.54 Esquema del sistema de distribución

En la Figura 2.54 cada círculo rojo en el perímetro del estator representa uno de

los ductos de aire (ingreso o salida de aire). El círculo rojo central representa al distribuidor. Los ductos de aire forman parte del estator, es decir, no se mueven. El distribuidor, en cambio, se mueve de manera solidaria al eje.

El sector circular marcado “Ad” es el rango de ángulos (intervalo) donde se

llevará a cabo la admisión y el sector “Es”, donde se llevará a cabo el escape. Es claro que el centro instantáneo de rotación CI también se desplazará sobre el estator de forma solidaria al eje. Así, el intervalo de admisión y escape serán constantes respecto de CI.

El diseño geométrico del sistema no es muy complicado (no se analizan efectos

fluidodinámicos pues no es objeto de este trabajo), sólo es necesario determinar el número de ductos y los intervalos de admisión y escape. La determinación de los intervalos de admisión y escape se puede realizar partiendo de las curvas obtenidas en los apartados anteriores. En cambio, la determinación del número de ductos depende del número de cámaras y de la excentricidad.

Para que el motor funcione correctamente, después de cada vuelta, para cada

posición de la cámara, la posición de cualquier ducto que converja en esta cámara debe ser la misma. Esto es, por ejemplo, si en un momento una cámara se encuentra en una posición 3 1.2radθ = y en esta posición la cámara está comunicada a un ducto que se

encuentra en una posición relativa a CI de 3 1.4radθ = , entonces después de una vuelta

la misma cámara en la misma posición debe estar comunicada con algún ducto cuya posición relativa a CI sea la misma que la del ducto de la vuelta anterior.

116

Esta sincronización en el posicionamiento relativo a CI de los ductos es muy necesaria para asegurar que la admisión y el escape no tengan variaciones de vuelta en vuelta.

De esta forma, para que después de cada vuelta en cada cámara un número entero

de ductos se haya desplazado, es necesario que la separación angular entre ductos sea un múltiplo del desplazamiento angular (ángulo rotado) del rotor respecto a su propio centro. Es decir, si el perímetro del estator es 2 estRπ y el del rotor es 2 ( )estR eπ − , el

desplazamiento del rotor después de una vuelta corresponderá a un arco de 2 2 ( ) 2est estR R e eπ π π− − = . Luego, el ángulo rotado por el rotor sobre su centro será

2 / ( )este R eπ − . El ángulo correspondiente al mismo arco pero sobre el estator será

2 / este Rπ .(Más una vuelta) Así, la separación entre cada ducto deberá ser:

2 /

2 _estducto e R

ducto factor e

ππ

∆ ∝∆ ∝ (2-58)

Debido a que el número de ductos siempre será un número natural y a que todos

los ductos serán equidistantes, factor_e deberá ser un número racional. Es más, factor_e debe ser de la forma:

1

_factor en

= (2-59)

Donde n es un número natural A parte de esto, no se debe olvidar que cada cámara después de una vuelta debe

encontrarse con un ducto en la misma posición relativa que en la vuelta anterior. Esto significa que:

2 / ( ) 1/este R e Nπ − ∝ (2-60) Lo que implica que ducto∆ debe ser un múltiplo de π /(N+1). De esta forma

quedan determinados los posibles valores de factor_e y de ducto∆ . En este caso, dado que N es 6 y para evitar que ducto∆ sea muy elevado y así

facilitar la construcción, se tomará 1 7n N= + = . De esta forma ducto∆ puede ser 2 / 7π , es decir, se tendrían 7 ductos.

Al jugar con distintos valores de n se notará que para N=6 el valor tomado (6) es

prácticamente el único valor posible, pues si se pretende cambiar la excentricidad, el número de ductos sería tan elevado que su construcción resultaría muy compleja, se reduciría la resistencia de la tapa lateral del estator y se aumentarían las pérdidas en el flujo del aire debido a la reducción en la sección de los ductos.

117

A pesar de tener una excentricidad limitada por el sistema de distribución, se puede ver que esta excentricidad coincide justo con los valores altos que se necesitaban obtener para prevenir o minimizar el deslizamiento del rotor, pues mientras que las curvas graficadas se encuentran entre _factor e de 0.05 y 0.2, la factor_e necesario es 0.1429.

2.2.9. Evaluación del rozamiento en CI El último paso en el diseño del motor, antes de pasar al modelamiento, es la

evaluación del rozamiento en CI para así evitarlo. Para calcular la fuerza de rozamiento estático límite necesaria en CI durante la

máxima entrega de torque para evitar el deslizamiento, se reemplaza este torque por un torque sobre el centro del rotor más una fuerza en el punto CI. Esta fuerza que aparecerá sobre CI será igual / ( )CI estT R e− .

Del apartado anterior se sabe que _ 1/ 6factor e= . Para los datos con los que se

trabajo en las gráficas:

_ 75 / 6 12.5este R factor e mm= ⋅ = = (2-61) Partiendo de las gráficas de la Figura 2.46 y la Figura 2.47 se puede obtener el

torque correspondiente a la excentricidad de este motor. Así para factor_CD 2.5 171CIT N m= − y para factor_CD 3.5 144CIT N m= − .

Dado que durante la operación siempre habrá un mínimo de dos cámaras

entregando potencia y un máximo de tres, se considera que el promedio de cámaras entregando potencia es 2.5. De esta forma el torque total sobre CI será 427.5 N-m y 360 N-m para factor_CD 2.5 y 3.5 respectivamente.

Así, la fuerza de rozamiento estática necesaria en cada uno de los dos casos será: Para factor_CD 2.5:

427.5

6.840.075 0.0125rozF N KN= =

− (2-62)

Para factor_CD 3.5:

360

5.760.075 0.0125rozF N KN= =

− (2-63)

118

El coeficiente de rozamiento estático del par acero/acero se puede considerar 0.8Sµ = 1, y así las fuerzas normales necesarias para obtener esos rozamientos serían:

Para factor_CD 2.5:

6.84

8.550.8roz

KNF KN= = (2-64)

Para factor_CD 3.5:

5.76

7.20.8roz

KNF KN= = (2-65)

En las ecuaciones (2-64) y (2-65) se puede ver que en función de factor_CD las

fuerzas necesarias para evitar el deslizamiento oscilarían entre 855 Kgf y 720Kgf, cantidades que parecen razonables.

Hay que notar que el modelo de rozamiento utilizado es bastante simple y

rudimentario. En el rango de fuerzas en el que se está trabajando, no se puede evaluar el rozamiento tan sólo como una fuerza proporcional a la normal. Pero debido a la complejidad del análisis tribológico, se asume que aún se encuentra en la zona lineal.

En este punto lo único que queda por seleccionar es el factor_CD. Se puede notar

que la fuerza necesaria para disminuir el rozamiento aumenta con factor_CD. En las curvas del rendimiento se ve que el rendimiento isotérmico disminuye con el aumento de factor_CD, mientras que el segundo rendimiento aumenta; el efecto de factor_CD sobre el producto de ambos rendimientos es, sin embargo, despreciable. También se puede notar que la potencia entregada disminuye con factor_CD.

El párrafo anterior se llega a la conclusión de que se tendrá que escoger entre la

disminución de la fuerza necesaria para evitar el deslizamiento y el aumento de la potencia. Si se comparan las gráficas del trabajo (Figura 2.31 y Figura 2.32) con los límites de fuerza de las ecuaciones (2-64) y (2-65) se ve que el efecto de la variación de factor_CD en ambas es de la misma proporción, pero contrapuesto. Así que la primera elección podría ser cualquier valor de factor_CD intermedio entre 2.5 y 3.5, por ejemplo, 3.

A parte de los efectos que se tomó en cuenta para seleccionar factor_CD, hay

otros más que se debería tomar en cuenta. Por ejemplo, si la longitud de la aleta es muy baja, esta podría pivotear más allá del límite deseado y dañarse el motor. Si es una longitud muy alta, el torque disminuirá (como ya se vio antes) pero la normal generada por la presión en el punto de apoyo de la aleta sobre el estator será mayor y, si bien será mejor el aislamiento entre cámaras, también serán mayores las pérdidas por rozamiento de la aleta con el estator. Se debe recordar que no es posible utilizar un lubricante

1 Se considera igual al coeficiente de rozamiento estático Hierro/Hierro. Dato de Sµ hierro/hierro tomado de

Metals Handbook desk edition, American Society for Metals, 1985

119

dentro del motor pues este haría deslizar al rotor y el motor no funcionaría. La mayor longitud de aleta, además de implicar un aumento en la fuerza en el contacto entre aleta y estator, implicaría una disminución en la capacidad del motor para formar la cámara al inicio del ciclo. Estos efectos no se han evaluado cuantitativamente debido al alcance reducido de este trabajo. Por este motivo se trabajará simplemente con valores de factor_CD alrededor de 3, prefiriendo valores inferiores debido a que son más las deficiencias que generaría una aleta demasiado larga que las que generaría una demasiado corta.

Dado que no se conocen exactamente todos los efectos de factor_CD sobre el

comportamiento del motor, se trata de seleccionar un factor_CD para que la aleta en el punto de su máxima apertura se encuentre en una posición intermedia entre las posiciones de los dos límites. Es decir, que se encuentre en una posición intermedia a la dirección radial y a la dirección tangente al rotor. Para el caso de este motor con N=6 la posición deseada se puede ver en la Figura 2.55.

60°

60°

Figura 2.55 Posición desada de la aleta en su máxima apertura

Bajo estas circunstancias, el valor de factor_CD que finalmente se escogió es

2.75. Ahora que ya se han definido la mayoría de parámetros y características

importantes de este motor, ya se puede pasar a modelarlo por computador. El resto de parámetros necesarios se definirán con la ayuda del modelo en el computador.

Capítulo 2: 2. Diseño de un motor rotativo

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