Capítulo 35 - WordPress.com · 2014-03-11 · Regla de suma para eventos mutuamente excluyentes Si...

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Capítulo

Reglas de

Probabilidad

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Dos eventos son disjuntos o mutuamente excluyentes

si no tienen resultados en común.

Eventos mutuamente excluyentes son eventos que no pueden ocurrir a la misma vez.

5-2

Ejemplo:

Eventos mutuamente excluyentes

Se realiza un experimento en el cual el espacio

muestral es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

Sea E = {2, 4, 5, 7}, F = {3, 6, 7, 9, 12} y G = {2, 3, 4}

¿Son los eventos E y F mutuamente excluyentes?

Solucion:

1. Se dos dados.

A = “que la suma de las caras sea par.”

B = “que la suma de las caras sea un número

divisible entre 3”

2. Se tiene una paquete de barajas americanas

( 52 cartas sin jockers).

A = “sacar una Reina”

B = “sacar una A”

3. Se tiene una paquete de dulces de chocolate

M&M que contiene dulces de color rojo, azul,

amarillo, verde, anaranjado y marrón.

A = “sacar un dulce rojo”

B = “sacar un dulce azul”

5-3

Ejemplo: Indicar si los siguientes eventos son

mutuamente excluyentes o no.

Los Diagramas de Venn son utilizados para representar eventos como circulos encerrados en un rectángulo. El rectángulo representa el espacio muestral y cada círculo representa un evento.

5-4

Los Diagramas de Venn

Se selecciona aleatoriamente chapas que están enumeradas del 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. E = “elegir un número menor o igual a 2” F = “elegir un número mayor o igual a 8”. Determinar la probabilidad de cada evento.

Ejemplo:

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Regla de suma para eventos mutuamente excluyentes

Si E y F son eventos mutuamente excluyentes, entonces 𝑃 𝐸 𝑜´ 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹).

Esto también se puede escribir: 𝑃 𝐸 ∪ 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹)

La regla de suma para eventos disyuntos se puede extender para más de dos eventos. En general, si E,F,G … son eventos mutuamente excluyentes, entonces

𝑃 𝐸 ó 𝐹 ó 𝐺 ó … = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹) +𝑃 𝐺 + ⋯ 𝑃 𝐸 ∪ 𝐹 ∪ 𝐺 ∪ … = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹) +𝑃 𝐺 + ⋯

Número de

habitaciones en

una unidad de

vivienda

Probabilidad

Una 0.010

Dos 0.032

Tres 0.093

Cuartro 0.176

Cinco 0.219

Seis 0.189

Siete 0.122

Ocho 0.079

9 or más 0.080

(a) ¿Cuál es la probabilidad de

que una unidad de vivienda

seleccionada al azar tendrá dos o tres habitaciones?

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EJEMPLO Regla de suma para eventos disyuntos

El modelo de probabilidad de

la derecha muestra la

distribución del número de

habitaciones de las unidades

de vivienda en los Estados Unidos.

(b) ¿Cuál es la

probabilidad de que una

unidad de vivienda

seleccionada al azar

tendrá uno ó dos ó tres habitaciones?

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EJEMPLO Regla de suma para eventos disyuntos (cont.)

Número de

habitaciones en

una unidad de

vivienda

Probabilidad

Una 0.010

Dos 0.032

Tres 0.093

Cuartro 0.176

Cinco 0.219

Seis 0.189

Siete 0.122

Ocho 0.079

9 or más 0.080

Dos eventos E y F son independientes si la

ocurrencia del evento E en un experimento de

probabilidad no afecta a la probabilidad de que

ocurra el evento F.

Dos sucesos son dependientes si la ocurrencia

del evento E en un experimento de probabilidad afecta a la probabilidad de que ocurra el evento F.

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Eventos dependientes e independientes

EJEMPLO ¿Independiente o No?

(a) Se elige una carta de una baraja de 52 cartas y luego se tira un dado.

E: “Elegir un corazón" F: “Tirar un número par"

(b) Se eligen al azar dos individuos de 40 años de edad que viven en Puerto Rico.

E: “El individuo 1 sobrevive al año" F: "El individuo 2 sobrevive al año"

(c) Una caja contiene 4 canicas rojas y 3 canicas verdes. Se remueve una primera canica de la caja y no se reemplaza. Se saca una segunda canica.

E: “Elegir una canica roja la primer vez." F: “Elegir una canica verde la segunda vez."

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Regla de multiplicación para eventos independientes

Si E y F son eventos independientes, entonces 𝑃 𝐸 𝑦 𝐹 = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹).

Esto también se puede escribir: 𝑃 𝐸 ∩ 𝐹 = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹)

La regla de suma para eventos disyuntos se puede extender para n eventos. En general, si E,F,G … son eventos independientes, entonces

𝑃 𝐸 𝑦 𝐹 𝑦 𝐺 𝑦 … = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹) ∙ 𝑃 𝐺 ∙ … 𝑃 𝐸 ∩ 𝐹 ∩ 𝐺 ∩ … = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹) ∙ 𝑃 𝐺 ∙ …

La probabilidad de que una hembra seleccionada al azar de 60 años de edad sobreviva el año es de 99.186%, según el Informe Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47, N º 28. ¿Cuál es la probabilidad de que dos mujeres de 60 años de edad seleccionadas al azar sobrevivan el año?

EJEMPLO Computar Probabilidad para Eventos Independientes

Solución:

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Un fabricante de equipo de ejercicio sabe que el 10%

de sus productos son defectuosos. También sabe que,

en realidad, sólo el 30% de sus clientes utilizan el

equipo en el primer año después de su adquisición. Si

hay una garantía de un año sobre el equipo, ¿qué

proporción de los clientes harán un reclamación válida?

EJEMPLO Computar Probabilidad para Eventos Independientes

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La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad

seleccionada al azar va a sobrevivir el año es de 99.186%,

según el Informe Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47,

N º 28. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro mujeres de

60 años de edad seleccionadas al azar sobrevivan al año?

EJEMPLO Regla de Multiplicación para eventos independientes

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Regla general de suma

La probabilidad de que ocurra un evento E ó un evento F

𝑃 𝐸 𝑜 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹) – P( E y F)

Esto también se puede escribir:

𝑃 𝐸 ∪ 𝐹 = 𝑃 𝐸 ∪ 𝑃(𝐹) ∩ P( E y F)

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Suponer que se lanzan un par de dados. Sea E = “la cara superior del primer dado muestra 2 puntos” y F = “ la suma de las caras de los dados es menor o igual a 5” Determinar P(E ó F) 1. Utiizando la el método clásico de calcular probabilidad

EJEMPLO Illustrar la regla general de la suma

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Suponer que se lanzan un par de dados. Sea E = “la cara superior del primer dado muestra 2 puntos” y F = “ la suma de las caras de los dados es menor o igual a 5” Determinar P(E ó F) 1. Utiizando la definición de probabilidad 2. Utilizando la regla general de la suma de probabilidades

EJEMPLO Illustrar la regla general de la suma (cont.)

Complemento de un evento Sea S el espacio muestral de un experimento probabilístico. Sea E un evento. • El complemento de E, que se denota 𝐸𝑐o 𝐸 , es el

evento que contiene todos los elementos que no están en E.

• El evento 𝐸 ocurre si E no ocurre. • La unión de dos eventos complementarios da el

espacio muestral. • La intersección de dos eventos complementarios es

vacía o sea, no contiene elementos.

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Complemento de un evento

Regla de los Complementos

Si E representa un evento y EC representa el complemento de E, entonces

P(EC) = 1 – P(E)

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EJEMPLO Construir el complemento

(a) E: “Obtener un múltiplo de 3 al tirar un dado "

(b) E: “Escoger una canica azul de una bolsa que contiene canicas azules, verdes y rojos."

(c) E: “Al girar la ruleta, se detiene en un número par.”

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Según la Asociación Americana de Medicina Veterinaria, el

31.6% de los hogares estadounidenses poseen un perro.

¿Cuál es la probabilidad de que un hogar seleccionado al azar no es propietaria de un perro?

EJEMPLO Ilustrar la Regla del Complemento

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Los datos a la derecha representan el

tiempo de viaje al trabajo para los

residentes del Condado de Hartford, CT.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un

residente seleccionado al azar tiene un

tiempo de viaje de 90 minutos o más?

EJEMPLO Computar probabilidades usando complementos

Source: United States Census Bureau

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(b) ¿Cuál es la probabilidad de que un

residente seleccionado al azar tiene un

tiempo de viaje de menos de 90 minutos?

La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad, seleccionada

al azar, va a sobrevivir el año es de 99.186%, según el Informe

Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47, N º 28.

¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de las 500 mujeres de 60 años, seleccionadas al azar, morirán en el transcurso del año?

Solución:

EJEMPLO Computar probabilidades que contienen la frase “al menos”

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La probabilidad condicional : • se denota P(F | E) y se lee “la probabilidad

de un evento F dado el evento E”. • Es la probabilidad de que un event F ocurra

dado que el evento E haya ocurrido.

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Probabilidad condicional

EJEMPLO Probabilidad Condicional

Supongamos que se tira un dado de seis caras pero

se nos dice que el resultado será un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 4?

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• Si E y F son dos eventos

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Regla para calcular probabilidad condicional

𝑃 𝐹 𝐸 =𝑁(𝐸𝑦𝐹)

𝑁(𝐸)=

𝑃(𝐸𝑦𝐹)

𝑃(𝐸)

EJEMPLO Probabilidad Condicional

Una encuesta fue realizada por la Organización Gallup en el 2008 en la que se

preguntó a 1,017 adultos estadounidenses, cuál de tres afirmaciones se

acercaba más a su creencia acerca de Dios. Los resultados de la encuesta,

según la región del país, se dan en la siguiente tabla.

Cree en Dios Cree en un espíritu universal

No creo en Dios ni en un espíritu universal

Este 204 36 15

MedioOeste 212 29 13

Sur 219 26 9

Oeste 152 76 26

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto estadounidense que vive en el

Este y que es seleccionado aleatoriamente, cree en Dios?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto estadounidense que cree en

Dios y que es seleccionado aleatoriamente viva en el Este?

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