CAPÍTULO 5. CALIBRACIÓN MODELO ENDOCRÓNICO …

Calibración del modelo endocrónico de densificación

108

Capítulo 5

CALIBRACIÓN DEL MODELO ENDOCRÓNICO DE DENSIFICACIÓN

En este capítulo se analizará el modelo endocrónico. En primer lugar, se describe la metodología de resolución de las ecuaciones diferenciales que definen las relaciones tensión-deformación a nivel general, y después se realiza la calibración de los parámetros materiales del modelo, a partir de los resultados experimentales para el caso de corte cíclico sinusoidal.

5.1 Metodología de resolución del modelo endocrónico.

Una de las ventajas del modelo endocrónico es que su aplicación sirve para cualquier tipo de solicitación cíclica, aún siendo ésta irregular o no uniforme, y en este apartado analizaremos la metodología de resolución de las ecuaciones constitutivas a nivel general sea cual sea el tipo de solicitación cíclica de corte.

Relación deformación de corte-densificación

En condiciones de corte puro, la deformación vertical ( λ ) que proporciona el modelo endocrónico es la siguiente:

( )k1cdkd

0 α+=λ (5.1)

siendo λ la deformación volumétrica y k una medida de la densificación relacionada a su vez con la medida del reordenamiento (ξ ), que para el caso de corte puro es la siguiente:

ξγ= − dq21dk 1q (5.2)

siendo α , 0c y q, parámetros materiales.


109

Y la medida del reordenamiento para el caso de corte puro se relaciona con la deformación de corte mediante la expresión:

γ=ξ d21d (5.3)

y la expresión 5.2 nos queda

γγ= − dq41dk 1q (5.4)

La integral 5.1 se puede resolver analíticamente y nos queda:

( )k1lnc1

0

α+α

=λ (5.5)

Por tanto únicamente habría que resolver numéricamente la expresión 5.4 para obtener el valor de k . Tanto k como λ son variables que dependen del tiempo, por tanto podemos reescribir la expresión 5.4 de la siguiente forma:

( ) ( ) ( )tdtdtq

41t

dtdk 1q γ

γ=−

(5.6)

Si a esta ecuación 5.6 le añadimos una condición de contorno ( ) 00 =γ , o lo que es lo mismo ( ) 00k = , se reduce a un problema de valores iniciales, que podemos resolver numéricamente. Para la resolución numérica de esta expresión podemos recurrir a diferentes métodos:

Método explícitoEste método consiste en aproximar la derivada de esta forma:

( )t

kktdtdk k1k

k

∆−

=+

(5.7)

siendo k1k ttt −=∆ + .

Aplicando la expresión 5.7 en la expresión 5.6, nos queda:

( ) ( )k1qkk1k tdtdtq

4tkk γ

γ∆

+=−+ (5.8)

con 0k 0 = .Es explícito porque hallar 1kk + necesito conocer kk . La expresión 5.8 puede resolverse fácilmente en un hoja de cálculo de Excel, a partir de la historia de deformaciones de corte en el tiempo ( )tγ .


110

Método implícitoEste método consiste en aproximar la derivada de esta forma:

( )t

kktdtdk k1k

1k

∆−

=+

+ (5.9)



( ) ( )1k1q1kk1k tdtdtq

4tkk +−++ γ

γ∆

+= (5.10)

con 0k 0 = .Se trata de un método implícito porque para hallar 1kk + necesito conocer 1kk + .La expresión 5.8 también puede resolverse en un hoja de cálculo de Excel, pero en este caso es necesario realizar un proceso iterativo en cada paso de tiempo para resolver la ecuación implícita.

Método de las diferencias centradasEste método consiste en aproximar la derivada de esta forma:

( )t2kkt

dtdk 1k1k

k

∆−

=−+

(5.11)



( ) ( )k1qk1k1k tdtdtq

4t2kk γ

γ∆

+=−−+ (5.12)

con 0k 0 = .En este caso para calcular 1kk + involucramos los dos puntos anteriores 1kk − y kk , por lo que necesitaremos dos valores de inicio 0k y 1k , teniendo que calcular 1k por otro método, por ejemplo el método explícito:

( ) ( )0dtd0q

4tkk 1q01 γ

γ∆

+=−

(5.13)

Este método también puede resolverse en un hoja de cálculo de Excel.


111

Relación tensión-deformación de corte

Como ya hemos visto en el capítulo 2, en condiciones de corte puro, la relación tensión de corte ( τ ) – deformación de corte ( γ ) endocrónica viene dada por la expresión siguiente:

r1

r1

dGZG

dd

ξ

β+

ξ⋅

τ+

τ=γ

(5.13)

donde ξ es la la medida del reordenamiento de las partículas, que para corte puro es la solución de la ecuación siguiente:

γ=ξ d21d (5.14)

mientras que 1Z , β y r son parámetros materiales, y G el módulo de corte máximo.

Las variables τ , γ y ξ dependen del tiempo, por lo que podemos rescribir las ecuaciones 5.13 y 5.14 de la forma siguiente:

r1 )t(

r1

dt)t(d

Z)t(

dt)t(dG

dt)t(d

ξ

β+

ξ

⋅τ

−γ

=τ

(5.15)

dt)t(d

21

dt)t(d γ

=ξ

(5.16)

Si a estas ecuaciones añadimos una condición de contorno ( ) 00 =γ , ( ) 00 =τ y ( ) 00 =ξ , se trata de un problema de valores iniciales, que podemos resolver

numéricamente. Los diferentes métodos de resolución son:

Método explícitoSe aproxima la derivada de la siguiente forma:

tdt)t(d k1kk

∆τ−τ

=τ +

(5.17)

tdt)t(d k1kk

∆ξ−ξ

=ξ +

(5.18)

Aplicando las expresiones 5.17 y 5.18 en las 5.15 y 5.16 tenemos que:


112

rk

k

1

kkk1k

r1

1dt

)t(dZ2

)t(dt

)t(dtG

ξ

β+

⋅γ

⋅τ

−γ

∆+τ=τ +

(5.19)

dt)t(d

2t k

k1k γ∆+ξ=ξ + (5.20)

con 00 =τ , 00 =γ y 00 =ξ .

Método implícitoSe aproxima la derivada de la siguiente forma:

tdt)t(d k1k1k

∆τ−τ

=τ ++

(5.21)

tdt)t(d k1k1k

∆ξ−ξ

=ξ ++

(5.22)


r1k

1k

1

1k1kk1k

r1

1dt

)t(dZ2

)t(dt

)t(dtG

ξ

β+

⋅γ

⋅τ

−γ

∆+τ=τ+

++++

(5.23)

dt)t(d

2t 1k

k1k+

+ γ∆+ξ=ξ (5.24)

con 00 =τ , 00 =γ y 00 =ξ .Método de las diferencias centradasSe aproxima la derivada de la siguiente forma:

t2dt)t(d 1k1kk

∆τ−τ

=τ −+

(5.25)

t2dt)t(d 1k1kk

∆ξ−ξ

=ξ −+

(5.26)



113

rk

k

1

kk1k1k

r1

1dt

)t(dZ2

)t(dt

)t(dtG

ξ

β+

⋅γ

⋅τ

−γ

∆+τ=τ −+

(5.27)

1k1kk1k

2t −++ γ−γ

∆+ξ=ξ (5.28)

con 00 =τ , 00 =γ y 00 =ξ .

En este caso para calcular 1k+τ involucramos los dos puntos anteriores 1k−τ y kτ , por lo que necesitaremos dos valores de inicio 0τ y 1τ , teniendo que calcular 1τ por otro método, por ejemplo el método explícito:

r0

0

1

0001

r1

1dt

)t(dZ2

)t(dt

)t(dtG

ξ

β+

⋅γ

⋅τ

−γ

∆+τ=τ(5.29)

0101

2t

γ−γ∆

+ξ=ξ (5.30)

con 000 =ξ=γ .

Aplicación del modelo endocrónico

Se ha realizado una simulación numérica del modelo mediante una hoja de Excel, a partir de los datos proporcionados por el estudio experimental de Silver y Seed (1971).La arena analizada en este estudio era “cristal silica No.20 sand”, la cual se sometía a una deformación de corte cíclico sinusoidal a una frecuencia de 1 Hz.

Los parámetros materiales proporcionados por este estudio experimental son 2=β , 4

1 105,2Z −⋅= y 7,0r = . Se ha realizado la simulación para una amplitud de deformación de corte de 0,08%, una densidad relativa del 60% y una tensión vertical de 24KN/m2, siendo el módulo de corte máximo de 24 MPa.

A partir de la deformación de corte sinusoidal ( ( )wtsen0 ⋅γ=γ ) podemos evaluar la

derivada en cualquier instante de tiempo ( )wtcoswdtd

0γ=γ . Utilizando el método de las

diferencias centradas se ha resuelto la ecuación diferencial que define la relación tensión-deformación de corte aplicando el esquema iterativo representado en las expresiones 5.27, 5.28, 5.29 y 5.30. Se ha escogido un paso de integración de 0.0125 segundos y para la resolución se ha programado una macro de visual Basic en Excel que nos permite resolver los ceros de funciones planteados en cada paso. En la figura 5.1 se muestra gráficamente la relación tensión-deformación de corte obtenida para diferentes ciclos de carga.


114

De la figura 5.1 podemos evidenciar varias cosas:

· La teoría endocrónica es capaz de representar el comportamiento de histéresis de un material granular.· Se cumplen las conclusiones del estudio experimental de Silver y Seed (1971) sobre la influencia del número de ciclos en las propiedades dinámicas de un suelo. Si consideramos un módulo de corte equivalente tal como la pendiente de la recta que une los puntos finales de carga y descarga, vemos cómo al aumentar el número de ciclos la pendiente aumenta, es decir el módulo de corte aumenta. Este aumento de rigidez también se traduce en un aumento de la amplitud de tensión de corte necesaria para alcanzar la amplitud de deformación de corte fijada. De la misma manera, relacionando el factor de amortiguamiento con el área de la curva carga-descarga, vemos como éste área disminuye con el número de ciclos, o lo que es lo mismo, el factor de amortiguamiento disminuye con el número de ciclos.

A partir de la deformación de corte se puede obtener también la deformación vertical asociada, pero la solución de la ecuación es inmediata por tratarse de una deformación de corte sinusoidal, por lo que no se ha planteado la resolución.

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-0,0012 -0,0008 -0,0004 0 0,0004 0,0008 0,0012

Ciclo 300ciclo1ciclo 10ciclo800

τ (KN/m2)

γ

Fig. 5.1 Relación tensión-deformación de corte obtenida de la resolución numérica de la ecuación endocrónica.


115

5.2 Calibración de los parámetros materiales.

En este apartado se realizará una calibración de los parámetros de la ecuación constitutiva que proporciona la teoría endocrónica de densificación, a partir de los resultados obtenidos del estudio experimental en el equipo de columna resonante

Como ya hemos visto en el capítulo 2, según la teoría endocrónica (Cuéllar et al, 1977),para el caso de corte cíclico puro de tipo sinusoidal

( )ft2sen0 πγ=γ (5.31)

donde 0γ es la amplitud de deformación de corte, f la frecuencia y t el tiempo, la deformación vertical por densificación al final del enésimo ciclo es:

( )N1lnc1 q

00

αγ+α

=λ (5.32)

siendo 0γ la amplitud de deformación de corte, N el número de ciclos, α y qparámetros materiales que dependen de la densidad relativa, mientras que 0c es un parámetro material que depende a su vez de la densidad relativa y de la tensión de confinamiento, pudiendo depender también de la propia amplitud de deformación de corte. Bazant et al (1976), propusieron una expresión para la constante 0c :

r

crr

r00 D

D1Cc −⋅= (5.33)

donde 0C y r son constantes para todas las densidades de una arena dada, pero que dependen de la tensión de confinamiento, mientras que cr

rD es la densidad relativa crítica, que representa que si cr

rr DD < , al aplicar corte se produce una densificación de la arena (disminución de volumen), mientras que si cr

rr DD > al aplicar corte se produce dilatancia de la arena (aumento de volumen). Hallar esta densidad relativa crítica es bastante difícil debido a su dependencia de otras variables como la amplitud de deformación de corte además de la tensión de confinamiento, por lo que se tendrá que hacer una estimación de ella.

Así pues, los parámetros del modelo dependen de la densidad relativa y de la presión de confinamiento, y son:

· ( )Drf=α· ( )Drgq =

· r

crr

r00 D

D1Cc −⋅= ; ( )00 hC σ= ; ( )0jr σ= .


116

En los ensayos realizados con la columna resonante aunque en principio parecía difícil mantener una amplitud de deformación de corte constante debido a una posible rigidización de la muestra que hiciera que esta disminuyera, se comprobó que se mantenía prácticamente constante, es decir el voltaje de pico medido en el canal de respuesta al principio y al final del ensayo eran prácticamente iguales. Por ello emplearemos la expresión (5.32), válida para corte cíclico puro sinusoidal, y mediante la calibración de los parámetros materiales se intentará ajustar a las curvas obtenidas en los ensayos.

Las curvas que se han utilizado para la calibración son las que corresponden a una amplitud de deformación de corte de %104,3 -2⋅ . Se ha elegido esta amplitud para la calibración porque las curvas deform.vertical-nº ciclos correspondientes a esta amplitud son las que presentan un mejor aspecto, y por tratarse de la amplitud intermedia. Las curvas empleadas en la calibración quedan reflejadas en la tabla 5.2.

Tabla 5.1 Curvas empleadas en la calibración.

Curva 0γ (%) 0σ (bar) Dr (%)1 -2104,3 ⋅ 0.05 512 -2104,3 ⋅ 0.05 333 -2104,3 ⋅ 0.05 694 -2104,3 ⋅ 0.1 515 -2104,3 ⋅ 0.2 51

La calibración se realizó mediante una interpolación por mínimos cuadrados de las curvas de ensayo, adoptando como función de aproximación la expresión 5.32. La interpolación se llevó a cabo con la ayuda de la función “solver” de EXCEL.

En primer lugar se ajustó la curva 1, obteniendo los siguientes parámetros materiales: 4.808=α , 1.935q = , 337.4c0 = . Los parámetros α y q dependen únicamente de la

densidad relativa, por lo que utilizaremos los valores de α y q obtenidos en el ajuste de la curva 1 para ajustar las curvas 4 y 5, ya que éstas corresponden a una misma densidad relativa (51%), por tanto únicamente habrá que calibrar el parámetro 0c . Calibrando la curva 4 obtenemos un valor de 0c de 14.098 , mientras que la calibración de la curva 5 da un valor de 0c de 44,369. En la figura 5.2 se ilustran las curvas 1, 4 y 5, y las curvas del modelo fruto de la calibración, en las que se observa el buen ajuste logrado.


117

Disponemos por tanto de los valores de 0c para una densidad relativa del 51% y para tres confinamientos distintos, por lo que ahora podemos calibrar los parámetros 0C y r

que dependen del confinamiento, a partir de la expresión r

crr

r00 D

D1Cc −⋅= . La

densidad relativa crítica resulta muy difícil de hallar, ya que densidades mayores del 69 % resultan muy difíciles de conseguir con los medios de compactación empleados en el ensayo. Pero como referencia sabemos que es mayor que el 69%, porque para esta densidad la muestra ha experimentado densificación, por lo que la estimaremos en un 80% para los tres confinamientos, no siendo muy grande el error cometido. Mediante un proceso iterativo con EXCEL, estimamos los valores de 0C y r , que se muestran en la tabla 5.2.

Tabla 5.2 Valores de 0c , 0C y r obtenidos en la calibración.

0σ (bar) C0 0C Dr crrD r

0,05 4,337 1,778 0,51 0,8 -0,8790,1 14,098 2,284 0,51 0,8 -1,7940,2 44,369 2,687 0,51 0,8 -2,764

Una vez tenemos los valores de 0C y r para diferentes confinamientos, podemos hallar expresiones para 0C y r que dependan del confinamiento. Realizando una interpolación

Fig. 5.2 Comparación de las curvas de ensayo con la curvas calibradas del modeloendocrónico para una densidad del 51%, una amplitud de deformación decorte de %103.4 2−⋅ y diferentes confinamientos.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,00E+00 5,00E+04 1,00E+05 1,50E+05 2,00E+05 2,50E+05 3,00E+05 3,50E+05 4,00E+05

nº ciclos

defo

rm.v

ertic

al (%

)

curva ensayocurva modelo endocrónico

σ0 = 0.05 bar

σ0 = 0.1 bar

σ0 = 0.2 bar


118

con una polinómica de segundo grado obtenemos las siguientes expresiones dependientes del confinamiento:

1.0684+16.229+40.691C 02

00 σσ−= (5.34)

0.3227+26.893-57.309r 02

0 σσ= (5.35)

( 0σ expresado en bars)En las figuras 5.3 y 5.4 se representan los parámetros 0C y r en función del confinamiento.

Fig. 5.3 Relación del parámetro 0C con el confinamiento.

1,5

1,7

1,9

2,1

2,3

2,5

2,7

2,9

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

σ0 (bars)

C0

Fig. 5.4 Relación del parámetro r con el confinamiento.-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,50 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

σ0 (bars)

r


119

Conocida la relación de 0C y r con el confinamiento, podemos hallar los valores del parámetro 0c para densidades relativas del 33% y 69% mediante la expresión 5.33. En la tabla 5.3 se muestran estos valores para un confinamiento de 0.05 bar.

Tabla 5.3 Valores de 0c para un confinamiento de 0.05 bar y unas densidades relativas del 33% y del 69%.

0σ (bar) 0C Dr crrD r 0c

0,05 1,778 0,33 0,8 -0,879 2,8370,05 1,778 0,69 0,8 -0,879 10,165

A partir de estos valores de 0c puedo ajustar las curvas 2 y 3 calibrando los parámetros α y q . En la tabla 5.4 se muestran los valores de los parámetros α y q obtenidos de la calibración, y en la figura 5.5 se comparan las curvas obtenidas de los ensayos con las del modelo, observándose el buen ajuste logrado.

Tabla 5.4 Valores de α y q para un confinamiento de 0.05 bar y unas densidades del 33% y del 69%.

Dr α q C0

0,33 5,684 1,992 2,83745770,69 2,656 1,772 10,1651548

Fig. 5.5 Comparación de las curvas de ensayo con la curvas calibradas del modeloendocrónico para un confinamiento de 0.05 bar, una amplitud de deformación de corte de %103.4 2−⋅ y diferentes densidades.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,00E+00 5,00E+04 1,00E+05 1,50E+05 2,00E+05 2,50E+05 3,00E+05 3,50E+05 4,00E+05

nº ciclos

defo

rm.v

ertic

al (%

)

curva ensayo

curva modelo endocrónico

Dr = 33%

Dr = 51%

Dr = 69%

γ0 = 4.3·10-2 %σ0 = 0.05 bar


120

Una vez tenemos los valores de 0C y r para diferentes confinamientos, podemos hallar expresiones para 0C y r que dependan del confinamiento. Realizando una interpolación con una polinómica de segundo grado obtenemos las siguientes expresiones dependientes del confinamiento:

1.0684+16.229+40.691C 02

00 σσ−= (5.34)

0.3227+26.893-57.309r 02

0 σσ= (5.35)

( 0σ expresado en bars)

De la misma manera que para los parámetros 0C y r , ahora podemos hallar expresiones para α y q que dependan de la densidad relativa. Realizando una interpolación con una polinómica de segundo grado obtenemos las siguientes expresiones dependientes de la densidad relativa:

3,9752+D11,681+D-19,7 r2

r ⋅⋅=α (5.36)

1,8215+D1,0572+D-1,636q r2

r ⋅⋅= (5.37)

( rD expresada como un número no como un %)En las figuras 5.6 y 5.7 se representan los parámetros α y q en función de la densidad relativa.

Fig. 5.6 Relación del parámetro α con la densidad relativa.

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75

Dr

α


121

Una vez calibrados los parámetros del modelo, comprobamos con otras amplitudes de deformación de corte la bondad del ajuste. En la figura 5.8 y 5.9 se comparan las curvas de ensayo con las del modelo para dos amplitudes de deformación de corte distintas, y comprobamos que el ajuste no es nada bueno, lo que nos hace pensar que el parámetro

0c además del confinamiento y de la densidad relativa, depende de la propia amplitud de deformación de corte.

Fig. 5.7 Relación del parámetro q con la densidad relativa.

1,75

1,8

1,85

1,9

1,95

2

0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75

Dr

q

Fig. 5.8 Comparación de la curva de ensayo con la curva del modelo endocrónico para una densidad del 51%, una amplitud de deformación de corte de

%108.6 2−⋅ y un confinamiento de 0,05bar.

0,00E+00

2,00E-01

4,00E-01

6,00E-01

8,00E-01

1,00E+00

1,20E+00

1,40E+00

1,60E+00

1,80E+00

2,00E+00

0,00E+00 1,00E+05 2,00E+05 3,00E+05 4,00E+05 5,00E+05 6,00E+05

nº ciclos

defo

rm.v

ertic

al (%

)

Curva modelo endocrónico

Curva ensayo

γ0 = 6.8·10-2 %Dr = 51%σ0 = 0.05 bar


122

Se propone pues una nueva expresión para 0c que incluya la dependencia de la amplitud de deformación de corte:

r

crr

r00 D

D1CMc −⋅⋅= (5.38)

siendo M una constante que depende de la amplitud de deformación de corte.Para no desbaratar toda la calibración realizada para una amplitud de deformación de corte de %103.4 2−⋅ , consideraremos que para esta amplitud la constante M es igual a la unidad, y calibraremos entonces el parámetro 0c para las otras amplitudes de deformación de corte.

Se realizó entonces la calibración del parámetro 0c para una amplitud de %106.2 2−⋅ y %108.6 2−⋅ , y a partir de los valores obtenidos y mediante la expresión 5.8, obtenemos

los correspondientes valores del parámetro M , que se muestran en la tabla 5.5. En lasfiguras 5.10 y 5.11 se comparan las curvas del ensayo y las del modelo obtenidas de la calibración. Para una amplitud del %108.6 2−⋅ el ajuste no es el óptimo, debido a la no linealidad ya comentada en el análisis de resultado, en cambio para una amplitud de

%106.2 2−⋅ el ajuste es muy bueno.

Fig. 5.9 Comparación de la curva de ensayo con la curva del modelo endocrónico para una densidad del 51%, una amplitud de deformación de corte de

%106.2 2−⋅ y un confinamiento de 0,05bar.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,00E+00 5,00E+04 1,00E+05 1,50E+05 2,00E+05 2,50E+05 3,00E+05 3,50E+05 4,00E+05

nº ciclos

defo

rm.v

ertic

al (%

)curva ensayocurva modelo endocrónico

γ0 = 2.6·10-2 %Dr = 51%σ0 = 0.05 bar


123

Tabla 5.5 Valores de 0c para un confinamiento de 0.05 bar, una densidad del 51% y diferentes amplitudes de deformación de corte.

0σ (bar) ( )%0γ 0C Dr crrD r 0c M

0,05 2106.2 −⋅ 1.778 0.51 0.8 -0.879 8.972 2.0690,05 2108.6 −⋅ 1.778 0.51 0.8 -0.879 1.534 0.354

Fig. 5.10 Comparación de la curva de ensayo con la curva calibrada del modelo endocrónico para una densidad del 51%, una amplitud de deformación de corte de %108.6 2−⋅ y un confinamiento de 0,05bar.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

0,00E+00 1,00E+05 2,00E+05 3,00E+05 4,00E+05 5,00E+05 6,00E+05

nº ciclos

defo

rm.v

ertic

al (%

)

curva ensayo


γ0 = 6.8·10-2 %Dr = 51%σ0 = 0.05 bar

Fig. 5.12 Comparación de la curva de ensayo con la curva calibrada del modelo endocrónico para una densidad del 51%, una amplitud de deformación de corte de %106.2 2−⋅ y un confinamiento de 0,05bar.

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

0,2

0,00E+00 5,00E+04 1,00E+05 1,50E+05 2,00E+05 2,50E+05 3,00E+05 3,50E+05 4,00E+05

nº ciclos

defo

rm.v

ertic

al (%

)


γ0 = 2.6·10-2 %Dr = 51%σ0 = 0.05 bar


124

Una vez tenemos los valores de M para diferentes amplitudes de deformación de corte, podemos hallar una expresiones para M que dependa de la amplitud de deformación de corte. Realizando una interpolación con una polinómica de segundo grado obtenemos la siguiente expresión:

6886.468.12332.881M 02

0 +γ−γ= (5.9)(con 0γ expresada en %)

En la figura 5.13 se representa el parámetro M en función de la amplitud de deformación de corte.

Finalmente, para comprobar la bondad de la calibración se aplica el modelo calibrado para diferentes condiciones de confinamiento y densidades relativas, y se compara con los resultados de los ensayos. En las figura 5.14 se simula el modelo para las diferentes condiciones consideradas en el estudio experimental y podemos observar el buen ajuste logrado, pudiendo afirmar entonces que el modelo endocrónico es capaz de representar adecuadamente la deformación vertical que experimenta una arena sometida a corte cíclico.

Fig. 5.13 Relación del parámetro M con la amplitud de deformación de corte.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

2,00E-02 3,00E-02 4,00E-02 5,00E-02 6,00E-02 7,00E-02 8,00E-02

γ0 (%)

M


125

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0,00E+00 1,00E+05 2,00E+05 3,00E+05 4,00E+05 5,00E+05 6,00E+05 7,00E+05 8,00E+05 9,00E+05

nº ciclos

defo

rm.v

ertic

al (%

)

curva ensayo

curva modelo endocronico

σ0 = 0.1 barDr = 51%

γ = 2.6·10-2 %

γ = 4.3·10-2 %

γ = 6.8·10-2 %

γ = 3.5·10-2 %

γ = 5.5·10-2 %

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0,00E+00 1,00E+05 2,00E+05 3,00E+05 4,00E+05 5,00E+05 6,00E+05 7,00E+05 8,00E+05

nº ciclos

def.v

ertic

al (%

)


σ0 = 0.05 barDr = 69%

γ = 2.6·10-2 %

γ = 6.8·10-2 %

γ = 4.3·10-2 %

γ = 3.5·10-2 %

γ = 5.5·10-2 %

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0,00E+00 1,00E+05 2,00E+05 3,00E+05 4,00E+05 5,00E+05 6,00E+05 7,00E+05

nº ciclos

defo

rm.v

ertic

al (%

)

curva ensayo


σ0 = 0.05 barDr = 33%

γ = 2.6·10-2 %γ = 3.5·10-2 %

γ = 6.8·10-2 %

γ = 4.3·10-2

γ = 5.5·10-2 %


126

En conclusión, se ha verificado que la expresión ( )N1lnc1 q

00

αγ+α

=λ , proporcionada

por la teoría endocrónica para simular la deformación vertical que experimenta una arena sometida a corte cíclico de tipo sinusoidal, se ajusta bien con los datos obtenidos en el trabajo experimental. Tras la calibración, para el material granular utilizado en los ensayos, se han propuesto las siguientes expresiones para α , q y 0c :· Los parámetros α y q dependen de la densidad relativa:

3,9752+11,681D+-19,7D r2

r=α 69.0Dr33.0 ≤≤

1,8215+1,0572D+-1,636Dq r2

r= 69.0Dr33.0 ≤≤(Dr expresado como un número no como un %)

Fig. 5.14 Comparación de las curvas obtenidas del estudio experimental con las curvas obtenidas aplicando el modelo endocrónico calibrado.

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

0,2

0,00E+00 2,00E+05 4,00E+05 6,00E+05 8,00E+05 1,00E+06 1,20E+06

nº ciclos

defo

rm.v

ertic

al (%

)

curva ensayo


σ0 = 0.2 barDr = 51%

γ = 2.6·10-2 %

γ = 4.3·10-2 %

γ = 6.8·10-2 %

γ = 5.5·10-2 %

γ = 3.5·10-2 %

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0,00E+00 5,00E+04 1,00E+05 1,50E+05 2,00E+05 2,50E+05 3,00E+05 3,50E+05 4,00E+05

nº ciclos

defo

rm.v

ertic

al (%

)


γ = 2.6·10-2 %

γ = 4.3·10-2 %

γ = 6.8·10-2 %σ0 = 0.1 barDr = 33%

γ = 5.5·10-2 %

γ = 3.5·10-2 %


127

· El parámetro 0c depende de la densidad relativa, del confinamiento y de la amplitud de deformación de corte:

r

crr

r00 D

D1CMc −⋅⋅=

donde 0C y r dependen del confinamiento:

1.0684+16.229+40.691C 02

00 σσ−= 4.005.0 0 ≤σ≤

0.3227+26.893-57.309r 02

0 σσ= 4.005.0 0 ≤σ≤

( 0σ expresado en bares)y M depende de la amplitud de deformación de corte:

6886.468.12332.881M 02

0 +γ−γ= 20

3 10710 −− ⋅≤γ≤

(con 0γ expresada en %).


128

Aplicación al caso real de la calle Pujades

Un estudio de vibraciones realizado en la calle Pujades de Barcelona nos proporciona valores punta de la velocidad de vibración, los cuales no superan 1,2mm/s. La velocidad es la integral de la aceleración respecto al tiempo ( ( ) ( )dttatv ∫= ), y para una

aceleración del tipo ( ) ( )ft2senata 0 π= , tenemos que la amplitud de velocidad es:

f2a

v 00 π

= (5.10)

por tanto00 fv2a π= (5.11)

Para una amplitud de velocidad de 1.2mm/s y adoptando una frecuencia de 19.5 Hz, la misma con la que se ha realizado el estudio experimental, tenemos una amplitud de aceleración de

g015,0s/m147,0a 20 == (5.12)

Suponiendo que esta aceleración sea la aceleración horizontal en superficie, podemos hallar de forma sencilla la tensión de corte asociada a esta aceleración, considerando un elemento de suelo como un sólido rígido (Das, 1983) y aplicando la segunda ley de Newton:

amF ⋅=

az ⋅ρ⋅=τ (5.13)

siendo z la profundidad y ρ la densidad del suelo.De esta manera tenemos una relación lineal entre tensiones y aceleraciones de corte. La expresión 5.13 en función del peso específico, nos queda:

gaz ⋅⋅γ=τ (5.14)


129

Esta simplificación tiene un cierto error porque el suelo no es rígido y la aceleración en profundidad no es igual que en superficie, por tanto cuanto mayor sea la profundidad mayor será el error cometido, pero lo despreciaremos porque evaluaremos el asiento a muy poca profundidad.

A partir de la tensión de corte puedo hallar la deformación a partir del módulo de corte, mediante la expresión:

( )γτ

=γG

(5.15)

La densidad seca del material granular de la calle Pujades obtenido de un ensayo de SPT es de 3cm/gr65.1 , que se corresponde con una densidad relativa del 69%. Disponemos de las curvas módulo-deformación de corte para esta densidad, en dos confinamientos, 0.05 bar y 0.1 bar.

Mediante una interpolación por mínimos cuadrados podemos ajustar estas curvas módulo-deformación de corte. La función de aproximación escogida ha sido la proporcionada por el modelo hiperbólico:

( )γ+

=γ

τ+

=γ

ba1

aG

1

GG

máx

máx

máx

(5.16)

y calibrando los parámetros a y b hemos obtenido las siguientes expresiones para 0.05 bar y 0.1 bar respectivamente:

( )γ+

=γ70,365125,44G (5.17)

( )γ+

=γ56,1731

31,866G (5.18)

( G en MPa y γ en %)

Si suponemos un ángulo de rozamiento interno de 33º, tenemos que el coeficiente de empuje al reposo es:

45.0sen1K 0 =φ−= (5.19)

Por tanto

vv0H 45.0K σ=σ=σ (5.20)

Para un confinamiento de 0.05 bar, tenemos la siguiente tensión vertical:

2Hv m/KN11.11bar11.0

45.0bar05.0

45.0===

σ=σ


130

Esta tensión vertical, para una densidad seca de 16.5 KN/m3 corresponde a una profundidad de 0.6734 metros, y aplicando la expresión 5.14 obtenemos la siguiente tensión de corte:

MPa1067.1m/KN167.0015.06734.05.16gaz 42 −⋅==⋅⋅=⋅⋅γ=τ

A partir de la tensión de corte y el módulo de corte, mediante la expresión 5.15 y realizando un proceso iterativo hallamos la deformación de corte:

( ) γ⋅γ=τ G ; ( ) MPa3.24G =γ ; %1088.61088.6 46 −− ⋅=⋅=γ

Vemos por tanto que la amplitud de deformación de corte es muy pequeña, y no se alcanza el umbral mínimo de amplitud de deformación de corte para que se inicie el asiento. Para alcanzar este umbral de aproximadamente %10 2− e iniciar así el asiento, la amplitud de tensión de corte debería ser mayor que MPa1049.1 3−⋅ o 1.49KN/m2, que se corresponde con una aceleración mayor que Para un confinamiento de 0.1 bar, tenemos la siguiente tensión vertical:

2Hv m/KN22.22bar22.0

45.0bar1.0

45.0===

σ=σ

Esta tensión vertical, para una densidad seca de 16.5 KN/m3 corresponde a una profundidad de 1.35 metros, y aplicando la expresión 5.14 obtenemos la siguiente tensión de corte:

MPa1033.3m/KN333.0015.035.15.16gaz 42 −⋅==⋅⋅=⋅⋅γ=τ

A partir de la tensión de corte y el módulo de corte, mediante la expresión 5.15 y realizando un proceso iterativo hallamos la deformación de corte:

( ) γ⋅γ=τ G ; ( ) MPa30G =γ ; %1011.11011.1 35 −− ⋅=⋅=γTampoco se alcanza en este caso el umbral mínimo, siendo necesaria en este caso una amplitud de tensión de corte de 2.04KN/m2, que se corresponde con una aceleración de

g091.0 .

No se dispone de las curvas módulo-deformación de corte para mayores confinamientos, pero podemos hacer una extrapolación, ya que la relación módulo-deformación vertical para una determinada deformación de corte es prácticamente lineal en una gráfica log-log, y se representa mediante la relación m

vmKG σ⋅= , en la cual mKy m dependen de la propia deformación de corte. Mediante un proceso iterativo se han obtenido los valores mK y m para diferentes diferentes deformaciones de corte y a partir de las dos tensiones verticales de las que disponemos la relación módulo-deformación , que se resumen en la tabla 5.7


131

Tabla 5.6 Valores de mK y m para diferentes deformaciones de corte.

γ (%) mK m41027.8 −⋅ 10576,20 0,34131048.1 −⋅ 9860,44 0,35331027.2 −⋅ 9098,03 0,36531033.4 −⋅ 7539,27 0,39431078.9 −⋅ 5115,28 0,449

A partir de los valores de mK y m , mediante otro proceso iterativo también podemos hallar la relación módulo-deformación de corte para diferentes tensiones verticales o diferentes tensiones de confinamiento. El túnel de la línea 4 del metro a su paso por el subsuelo de la calle Pujades está a una profundidad media de 5 metros, por tanto hallaremos la relación módulo-deformación de corte para profundidades de 2, 3, 4 y 5 metros. Estas relaciones son:

· m2z = ; 2v m/KN33=σ ( bar15.0H =σ ):

( )γ+

=γ.66841

36.26G (5.18)

· m3z = ; 2v m/KN5.49=σ ( bar22.0H =σ ):

( )γ+

=γ37.411

41.41G (5.18)

· m4z = ; 2v m/KN66=σ ( bar3.0H =σ ):

( )γ+

=γ36.441

45.52G (5.18)

· m5z = ; 2v m/KN5.82=σ ( bar37.0H =σ ):

( )γ+

=γ32.761

48.99G (5.18)

(G expresado en MPa y γ en %)A partir de las tensiones verticales hallamos las tensiones de corte, y con la tensión de corte y la relación módulo-deformación de corte mediante proceso iterativo hallamos la amplitud de deformación de corte. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla 5.8.

Tabla 5.7 Amplitudes de deformación de corte para diferentes confinamientos.

)m/KN( 2vσ τ (KN/m2) ( ) )MPa(G γ (%)γ

33 0.495 8.33 31046.1 −⋅5.49 7425.0 3.38 31094.1 −⋅

66 0.99 41.9 31036.2 −⋅82.5 1.24 44.9 31076.2 −⋅


132

Ahora podemos realizar una simulación con el modelo calibrado para los diferentes confinamientos considerados a partir de las amplitudes de deformación halladas, y estimar así el asiento producido en 20 años, que se corresponde con 10102.1 ⋅ ciclos aproximadamente para una frecuencia de 19,5 Hz.. En la figura 5.15 se representan estas simulaciones para los diferentes confinamientos considerados.

0,00E+00

1,00E-02

2,00E-02

3,00E-02

4,00E-02

5,00E-02

6,00E-02

7,00E-02

8,00E-02

9,00E-02

1,00E-01

0,00E+00 2,00E+09 4,00E+09 6,00E+09 8,00E+09 1,00E+10 1,20E+10 1,40E+10

nº ciclos

defo

rm.v

ertic

al (%

)

σ0 = 0.05 bar

0,00E+00

2,00E-03

4,00E-03

6,00E-03

8,00E-03

1,00E-02

1,20E-02

1,40E-02

0,00E+00 2,00E+09 4,00E+09 6,00E+09 8,00E+09 1,00E+10 1,20E+10 1,40E+10

nº ciclos

defo

rm.v

ertic

al (%

)

σ0 = 0.1 bar

0,00E+00

5,00E-04

1,00E-03

1,50E-03

2,00E-03

2,50E-03

3,00E-03

3,50E-03

4,00E-03

0,00E+00 2,00E+09 4,00E+09 6,00E+09 8,00E+09 1,00E+10 1,20E+10 1,40E+10

nº ciclos

defo

rm.v

ertic

al (%

)

σ0 = 0.15 bar


133

0,00E+00

2,00E-04

4,00E-04

6,00E-04

8,00E-04

1,00E-03

1,20E-03

1,40E-03

1,60E-03

1,80E-03

0,00E+00 2,00E+09 4,00E+09 6,00E+09 8,00E+09 1,00E+10 1,20E+10 1,40E+10

nº ciclos

defo

rm.v

ertic

al (%

)

σ0 = 0.22 bar

0,00E+00

2,00E-04

4,00E-04

6,00E-04

8,00E-04

1,00E-03

1,20E-03

1,40E-03

1,60E-03

1,80E-03

0,00E+00 2,00E+09 4,00E+09 6,00E+09 8,00E+09 1,00E+10 1,20E+10 1,40E+10

nº ciclos

defo

rm.v

ertic

al (%

)

σ0 = 0.3 bar

0,00E+00

2,00E-04

4,00E-04

6,00E-04

8,00E-04

1,00E-03

1,20E-03

1,40E-03

1,60E-03

1,80E-03

0,00E+00 2,00E+09 4,00E+09 6,00E+09 8,00E+09 1,00E+10 1,20E+10 1,40E+10nº ciclos

defo

rm.v

ertic

al (%

)

σ0 = 0.37 bar


134

Las deformaciones verticales estimadas se muestran en la tabla 5.9 en función de la profundidad y de la tensión vertical.

Tabla 5.9 Deformaciones verticales estimadas a distintas profundidades

z (m) vσ (KN/m2) zε (%)0.67 11.11 0.091.35 22.22 0.012

2 33 0.00353 49.5 0.00164 66 0.00165 82.5 0.0016

Podemos estimar el asiento dividiendo el estrato de arena en 6 capas, la primera de un metro, la segunda de medio metro y las siguientes también de 1 metro de manera que la deformación estimada nos quede a mitad de capa aproximadamente, exceptuando la primera capa, siendo el asiento total:

i

6

1iz HAsiento ⋅ε= ∑

donde izε son las deformaciones verticales estimadas a diferentes profundidades y iHlos espesores de capa. Por tanto, el asiento total es:

mm1m1004.1

11000016.01

1000016.01

1000016.01

1000035.05.0

100012.01

10009.0Asiento

3 =⋅=

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

−

Se trata por tanto de un asiento pequeño, pero habría que hacer un análisis más exhaustivo de las vibraciones originadas, y determinar si así fuera posible un registro de deformaciones de corte in situ.

CAPÍTULO 5. CALIBRACIÓN MODELO ENDOCRÓNICO …

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