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Capítulo 5. El campo magnético y sus fuentes. Fuerza de Lorentz. Ley de Biot-Savart.

En estos apuntes se presenta un resumen de los contenidos tractados en más detalle en el libro: “Física para la Ciencia y la Tecnología” (Volumen 2) Autores P. A. Tipler y E. Mosca Editorial Reverté (5a Ed) 2005 En particular, consultad los siguientes capítulos: Capítulo 26 Capítulo 27 Os recomendamos que utilicéis estos apuntes como guía de los contenidos tratados en las clases. Sin embargo, es importante que consultéis las fuentes originales para profundizar en los conceptos trabajados en el aula. En aquellos apartados en que se sigan otras fuentes os proporcionaremos las referencias apropiadas. 1. Introducción Hasta ahora nos hemos centrado principalmente en el estudio del campo eléctrico (e.g. qué es, qué lo produce y cómo se comporta la materia en presencia de un campo eléctrico). En este capítulo introduciremos la noción de interacción magnética, que es otro tipo de interacción que se observa en la naturaleza. De hecho, esta interacción se conoce desde hace más de 2000 años. Ya los antiguos griegos observaron que existía cierto mineral (hoy en día conocido como magnetita) que tenían la propiedad de atraer pequeños trocitos de hierro. Esta propiedad física y las interacciones asociadas a la misma, es lo que en su conjunto recibe el nombre de magnetismo. Se trata de un tipo de interacción que no está relacionado con la interacción gravitatoria y durante siglos se pensó que tampoco lo estaba con la interacción eléctrica. El uso de imanes (un cuerpo magnetizado se conoce como un imán) está documentado ya en el siglo XII. Precisamente, nuestro planeta, la Tierra, se comporta como un imán inmenso. Es precisamente por ello que las brújulas son útiles en la navegación. Si se suspende una aguja imantada en cualquier punto de la superficie terrestre y dejamos que se mueva libremente alrededor de la vertical, ésta se mueve de tal manera que siempre el mismo extremo se orienta apuntando hacia el polo norte geográfico. De igual modo que ocurría con las cargas eléctricas (una carga eléctrica es fuente de campo eléctrico y susceptible de experimentar el efecto de un campo eléctrico), un objeto imantado es una fuente de campo magnético (que denotaremos como ) y será también susceptible de experimentar el efecto de un campo magnético. Las agujas

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imantadas se orientan en la dirección del campo magnético producido por el imán, tal y como ilustra la siguiente figura:

Figura 1. Campo magnético producido por un imán.

Un imán (u objeto imantado) tiene dos polos, los cuales son designados como Norte (N) y Sur (S). El campo magnético es más intenso en los polos magnéticos que en puntos alejados de los mismos. Del mismo modo que en el estudió del campo eléctrico era útil recurrir a la noción de líneas de campo para ilustrar la estructura del campo eléctrico, en el caso del campo magnético, también es útil retomar la noción de línea de campo como una línea tangente al campo magnético en todos los puntos. Más adelante estudiaremos su relación con la fuerza magnética. En muchos aspectos, las cargas eléctricas y los polos magnéticos son similares (si bien difieren sustancialmente en otros aspectos). Por ejemplo, las líneas de campo magnético salen (divergen) del polo Norte y entran (convergen) en el polo Sur. Experimentalmente se observa que cuando se colocan dos imanes uno cerca de otro, los polos del mismo signo se repelen mientras que los polos de signos distintos se atraen (ver Figura 2):

Figura 2. Atracción y repulsión de imanes en función de los polos que se enfrentan.

Sin embargo, y ésta es una diferencia crucial, es importante destacar que mientras que las cargas eléctricas pueden estar aisladas (es decir, existen cargas positivas y negativas de forma independiente), los dos polos magnéticos siempre aparecen por pares. De hecho, cuando se rompe un imán, se obtienen dos nuevos imanes, cada uno con un polo Norte y Sur. Los llamados monopolos magnéticos no se han podido aislar aunque su existencia ha sido propuesta teóricamente y siguen siendo objeto de estudio. Sin embargo, la noción de monopolo magnético no es necesaria para describir el magnetismo desde la perspectiva que ofrece el electromagnetismo clásico y ésta es la perspectiva que adoptaremos en este curso.

Figura 3. La existencia de monopolos magnéticos aislados no ha podido demostrarse.

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Fue en el siglo XIX cuando se estableció la relación entre la interacción eléctrica y la magnética. Hans Christian Oersted demostró en el invierno de 1819-1820 que una corriente eléctrica modificaba la orientación de una brújula. Este experimento desencadenó una serie de estudios liderados por Ampère y Faraday, entre otros, que sirvieron de base para la teoría moderna del magnetismo, en la que se establece que la fuente fundamental del campo magnético es una corriente eléctrica. Así pues, las cargas en movimiento producen campos magnéticos que, a su vez, ejercen una fuerza sobre (dicho de otro modo, interaccionan con) las cargas en movimiento. Finalmente, hacia 1860 James Clerk Maxwell desarrolló una teoría completa de la electricidad y el magnetismo, demostrando que las interacciones magnética y eléctrica están íntimamente ligadas y no son más que aspectos diferentes de una propiedad de la materia: las cargas eléctricas. Estas interacciones se consideran conjuntamente bajo la denominación de interacción electromagnética. En 1888, esta teoría fue espectacularmente corroborada por medio de la demostración de Hertz de la existencia de las ondas electromagnéticas. 2. Fuerza ejercida por un campo magnético En el capítulo anterior estudiamos la corriente eléctrica y vimos que, en última instancia, ésta tiene su origen en el movimiento de cargas eléctricas (electrones en el caso de materiales conductores). Precisamente, el movimiento de partículas con cierta carga eléctrica es aquello que producirá un campo magnético . Esto implica asimismo que la presencia de un campo magnético en un punto se pondrá de manifiesto con la aparición de una fuerza (magnética) sobre cargas eléctricas en movimiento en ese punto. Por el momento, consideraremos que en la región del espacio que estamos considerando no hay campos eléctricos y que la fuerza que experimentará una partícula cargada será la que aparece como consecuencia de la presencia de un campo magnético1. Con frecuencia, esta fuerza se denota en la literatura como fuerza magnética. 2.1 Fuerza ejercida por un campo magnético sobre una carga en movimiento Consideremos el siguiente sistema: una partícula de carga que se mueve con una velocidad en el seno de un campo magnético . Experimentalmente se observa que la partícula de carga q experimenta una fuerza. Los resultados experimentales que se observan pueden resumirse en los siguientes puntos:

1. La magnitud de la fuerza magnética ejercida sobre la partícula es proporcional a y al módulo de .

1 En secciones posteriores veremos qué ocurre cuando en una región del espacio hay tanto campos eléctricos como magnéticos.

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2. La fuerza magnética desaparece cuando y son paralelos. Sin embargo, cuando forma un ángulo θ con , la dirección de es perpendicular al plano formado por y , y la magnitud de es proporcional a sin θ.

3. Cuando el signo de la carga de la partícula pasa de positiva a negativa (o viceversa), la dirección de la fuerza magnética también cambia de signo.

De las observaciones anteriores se concluye que la fuerza que experimenta la carga en movimiento viene dada por la siguiente ecuación:

Fijaos que la operación matemática que captura las relaciones entre los vectores descritas es precisamente un producto vectorial. La correcta interpretación de este producto vectorial permitirá obtener la dirección y sentido del vector fuerza resultante. Para ello os puede ser útil recurrir a la regla de la mano derecha (ilustrada en la Fig. 4) como herramienta que permite interpretar la dirección y sentido resultantes de un producto vectorial. Sin embargo, es muy importante que tengáis en cuenta que se trata sólo de una regla (¡en ningún caso se puede elevar a la categoría de ley!). Además, en casos en que la geometría del problema no sea particularmente sencilla (e.g. vectores alineados con los ejes de coordenadas), será más conveniente hacer uso de la expresión del producto vectorial que se obtiene en función de los vectores unitarios y del desarrollo del determinante asociado al mismo. Con ello, la fuerza resultante puede expresarse como:

Recordad que el módulo de la fuerza (teniendo en cuenta las propiedades del producto vectorial) verifica la siguiente expresión:

de modo que si se conoce el ángulo θ que forman los vectores y puede calcularse considerando la anterior ecuación. Si por el contrario, se conocen las componentes de y , puede calcularse el módulo del vector resultante del cálculo del determinante.

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Figura 4. Regla de la mano derecha para establecer la dirección de la fuerza magnética ejercida sobre una carga en movimiento. Se curvan los dedos de la mano

derecha de forma que señalen el sentido de rotación del vector v al vector por el camino más corto. El dedo pulgar extendido indica la dirección y sentido del

producto vectorial x .

La unidad del sistema internacional de campo magnético es el tesla (T) [1 T = 1 N/(C·m/s) = 1 N/(A·m)] Otra unidad (que no es del SI) pero que también se utiliza habitualmente para el campo magnético es el gauss (G) (1 T = 104 G) 2.2. Fuerza ejercida por un campo magnético sobre en un hilo conductor por el que circula una corriente eléctrica Si extendemos el anterior sistema de modo que tengamos más de una carga en movimiento, en particular, un cable por el que circula una corriente (i.e. no una sino muchas cargas en movimiento) en el seno de un campo magnético, la fuerza que se ejerce sobre el conductor es la suma de las fuerzas que actúan sobre cada una de las partículas que constituyen la corriente. En la siguiente figura se ilustra el efecto que tiene la presencia de un campo magnético sobre un hilo rectilíneo conductor por el que circula una corriente eléctrica. La fuerza magnética sobre el hilo conductor en el seno del campo magnético se pone de manifiesto si se observa una desviación del mismo (i.e. se curva) cuando se establece una corriente en él. En la Fig. 5 se ha representado el campo magnético por medio de puntos (·) utilizando el convenio que estos puntos indican que el campo apunta en dirección perpendicular al plano del papel y sentido hacia fuera del mismo.

Figura 5. Desviación de un cable portador de corriente por una fuerza magnética.

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Para un hilo de geometría arbitraria, la fuerza magnética total sobre el hilo se obtiene sumando las fuerzas magnéticas que aparecen sobre los distintos segmentos que constituyen el hilo. Cada uno de estos segmentos viene simbolizado por , y la fuerza que actúa sobre cada segmento es d . La fuerza magnética que actúa sobre un segmento es:

expresión que es conocida como la ley de Laplace. De hecho, partiendo de la noción de segmento de hilo es posible introducir el concepto de elemento de corriente que incorpora la intensidad de la corriente y la direccionalidad de la misma en el propio carácter vectorial de la expresión. La fuerza, como puede observarse, es perpendicular tanto al campo como al elemento de corriente pudiendo llegar a cancelarse en función de la orientación relativa entre el elemento de corriente y el campo magnético. Haciendo uso de la ley de Laplace, se puede calcular la fuerza total que actúa sobre el hilo conductor, cuya expresión es:

donde a y b representan los puntos inicial y final del hilo conductor.

Figura 6. Hilo conductor de geometría arbitraria por el que circula una intensidad de corriente I

2.3. Líneas de campo magnético y fuerza magnética Tal y como habíamos avanzado, puede resultar útil representar la estructura del campo magnético mediante líneas de campo magnético (del mismo modo que representábamos el campo eléctrico mediante líneas de campo eléctrico). En ambos casos, las líneas de campo son tangentes a la dirección del campo y su densidad representa la intensidad (o magnitud del campo). Sin embargo, existen dos diferencias básicas entre ambos casos:

1. Mientras que la fuerza eléctrica que actúa sobre una carga eléctrica tiene la dirección del campo (la misma que la de las líneas de campo), en el caso de la fuerza magnética sobre una carga en movimiento ésta es perpendicular a la dirección del campo.

2. Las líneas de campo eléctrico comienzan en (divergen de) cargas positivas y terminan en (convergen en) cargas negativas. Sin embargo, en el caso de las

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líneas de campo magnético (puesto que no se han descubierto monopolos magnéticos aislados), éstas forman bucles cerrados.

Figura 7. Líneas del campo magnético dentro y fuera de una barra magnética.

3. Movimiento de una carga puntual en el seno de un campo magnético Puesto que la fuerza magnética que actúa sobre la carga es siempre perpendicular a la velocidad de la misma, la fuerza magnética no realiza trabajo. En cambio, la fuerza magnética sí que varía la dirección de la velocidad aunque no modifique su módulo ni, por tanto, altere la energía cinética de la partícula cargada.

3.1. Movimiento de una partícula con velocidad perpendicular a un campo magnético uniforme Puesto que la fuerza magnética es perpendicular a la velocidad de la partícula cargada, la fuerza magnética actúa como una fuerza centrípeta que da lugar a un movimiento circular. Teniendo en cuenta la segunda ley de Newton se obtiene:

De forma que podemos centrarnos en el estudio de la magnitud de los vectores puesto que sabemos que la dirección de la fuerza (y, por tanto, de la aceleración centípreta resultante, ac

2) es perpendicular en todo punto a la dirección del vector velocidad. Se verifica, por tanto, que:

donde r es el radio de la circunferencia (órbita circular) descrita por la partícula y toma el valor:

2 Puede demostrarse que la aceleración centrípeta toma el valor ac=v2/r, donde r es el radio de curvatura del movimiento curvilíneo.

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Figura 8. Partícula cargada que se desplaza en una región del espacio definida por un plano (que coincide con el plano del papel en el ejemplo ilustrado en la figura) y en la que hay un campo magnético uniforme perpendicular al plano. El símbolo (x) responde a la notación según la cual el campo magnético es perpendicular al plano del papel y su sentido es hacia dentro del mismo (Imagen tomada del libro P. Tipler y G. Mosca. Física para la Ciencia y la Tecnología, Vol. 2 Ed. Reverté)

3.2 Movimiento de una partícula con velocidad arbitraria en un campo magnético uniforme Si una partícula se mueve en una región del espacio en la que hay un campo magnético uniforme, y lo hace de forma que su velocidad tiene tanto componente paralela (v||)

como perpendicular (v ) a , el movimiento de la componente perpendicular es el descrito en el apartado anterior, mientras que el movimiento debido a la componente paralela no varía como consecuencia de la presencia del campo. Por tanto, la trayectoria resultante es helicoidal.

Figura 9. Trayectoria de una partícula carga en un campo magnético homogéneo que tiene una componente de velocidad paralela al campo magnético y otra perpendicular al mismo (Imagen tomada del libro P.Tipler y E. Mosca. Física para la Ciencia y la Tecnología, Vol. 2 Ed. Reverté)

3.3 Fuerza de Lorentz y selector de velocidades En esta sección vamos a considerar la situación anticipada en la introducción en que, en una región del espacio, coexisten un campo eléctrico y un campo magnético. En estas circunstancias, una partícula puede experimentar, en virtud de su carga eléctrica, una fuerza total que depende de dos cantidades vectoriales: el campo eléctrico y el campo magnético. En presencia de ambos campos (eléctrico y magnético), la fuerza total que actúa sobre la partícula se conoce como fuerza de Lorentz. Por un lado, la partícula

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experimentará una fuerza debida al campo eléctrico (y, por tanto, asociada a su posición en virtud del valor que tome el campo eléctrico en ese punto) y que no dependerá de su movimiento. Por otro lado, si se encuentra en movimiento, el campo magnético también ejercerá una fuerza sobre la partícula. La fuerza de Lorentz, fuerza total electromagnética es:

Dado el carácter vectorial de la fuerza, es posible que la fuerza eléctrica y magnética se equilibren (e.g. es posible equilibrar la fuerza magnética que actúa sobre una partícula cargada en movimiento en una región del espacio en que hay un campo magnético uniforme mediante la aplicación de un campo eléctrico uniforme en una configuración geométrica particular). Para equilibrar ambas fuerzas es necesario que los campos tengan una configuración particular que viene determinada no sólo por su magnitud sino también por su dirección y sentido. Vamos a analizar esta afirmación en detalle. Hemos estudiado que la dirección y sentido de la fuerza eléctrica que actúa sobre una partícula cargada positiva es la misma que la del campo. Asimismo, sabemos que la dirección de la fuerza magnética es perpendicular tanto al campo magnético como a la velocidad de la partícula cargada (positiva). Para que las fuerzas que actúan sobre la partícula cargada se puedan compensar es necesario que el campo eléctrico y el campo magnético sean perpendiculares y que las fuerzas a las que den lugar tengan la misma magnitud y sentidos contrarios. Éste fue precisamente el principio usado por J.J. Thomson para medir la relación carga/masa (q/m) de los electrones. Este esquema lo podemos apreciar en el siguiente diagrama:

Figura 10. Aparato de Thomson

Tal y como hemos dicho, las dos fuerzas se equilibran si tienen el mismo módulo y dirección pero sentidos opuestos.

En ese caso, la condición que deben verificar los módulos de las fuerzas eléctrica y magnética es:

q⋅E = q⋅v⋅B

de modo que las partículas que tengan una velocidad

v = E/B

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atravesarán el espacio sin desviarse siempre y cuando los campos den lugar a fuerzas de sentidos opuestos. Fijaos que la condición que establece la relación entre el módulo del campo eléctrico y el módulo del campo magnético es una condición necesaria pero no suficiente para que se establezca el equilibrio de fuerzas. Un dispositivo en el que se establece tal equilibrio se denomina selector de velocidades. 4. Ley de Biot-Savart Una carga puntual q en movimiento con velocidad , da lugar a la aparición de un campo magnético en el espacio dado por 3:

Donde es un vector unitario que apunta desde el punto donde está la carga en movimiento al punto P en que se evalúa el campo, y µ0 es una constante llamada permeabilidad del espacio libre que toma el valor: µ0 = 4π·10-7 T·m/A (N/A2) Como podéis apreciar, esta expresión es parecida a la ley de Coulomb correspondiente al campo eléctrico debido a una carga puntual q

En ambos casos el campo decrece con el cuadrado de la distancia de la fuente del campo al punto en que éste se evalúa. Sin embargo, (igual que ocurría con la fuerza) el campo magnético incluye un producto vectorial, lo cual hace que difiera de la ley de Coulomb en la dirección que tiene el campo. Del mismo modo que en secciones anteriores hemos extendido el estudio de la fuerza sobre una carga puntual a las fuerzas que actúan sobre corrientes, se puede proceder de un modo similar para deducir la expresión del campo producido por un elemento de corriente sustituyendo por . El campo magnético en cualquier punto P debido a la corriente que circula por un hilo conductor puede calcularse considerando el principio de superposición y sumando la contribución de los elementos de corriente

que componen el hilo

3 En este curso consideraremos solo situaciones en que la velocidad de las partículas cargadas es mucho menor que la velocidad de la luz. Las ecuaciones serán válidas y deberán interpretarse siempre en este contexto.

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Figura 11. Campo magnético en el punto P debido al elemento de corriente

La r denota la distancia desde la fuente de corriente al punto P. Esta expresión se conoce como la ley de Biot-Savart da una expresión para la contribución campo magnético, , desde la fuente de corriente

El campo magnético total se obtendría sumando todos los elementos de corriente a lo largo de toda la geometría del hilo conductor:

Ejemplo. Campo magnético debido a una corriente en un conductor rectilíneo Consideremos un conductor rectilíneo por el que circula una corriente. Por simplicidad asumamos que el hilo está colocado a lo largo del eje x, como se muestra en la siguiente figura. A continuación examinaremos el valor del campo magnético en el punto P creado por la corriente I en estas condiciones.

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Figura 12. Hilo conductor rectilíneo por el que circula una corriente I.

Éste es un típico ejemplo que involucra el uso de la ley de Biot-Savart. Para resolver el problema seguiremos la siguiente metodología.

1. Caracterizaremos los puntos de la fuente mediante un elemento diferencial .

2. Establecemos el punto P en el que evaluamos el campo magnético y que tiene

por coordenadas (x,y)=(0,a). El vector posición asociado que describe P se puede expresar como .

3. Obtenemos el vector de posición relativa que apunta desde la fuente

al punto P donde se evalúa el campo En este caso, y la magnitud del vector representa la distancia entre la fuente y el punto P. El correspondiente vector unitario viene dado por:

4. Evaluamos el producto vectorial

5. Obtenemos la contribución al campo magnético debida a utilizando la ley

de Biot-Savart

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Observad que el campo magnético en P apuntará hacia fuera del plano definido por el papel (que coincide con el eje z para el sistema de coordenadas elegido)

6. Evaluación de la integral considerando la geometría del conductor rectilíneo.

Observad que las variables θ, x’ y r no son independientes entre ellas. Para completar la integración, es necesario rescribir las variables x’ y r en términos de θ. Se cumplen las siguientes relaciones.

Sustituyendo estas expresiones, la integral queda de la siguiente forma:

Fijaos que si el hilo se extiende a la región en que x<0, el ángulo ϕ1 subtendido en el punto P por el extremo izquierdo del hilo tomaría valores negativos. Un caso límite que adquiere especial relevancia es aquél en que el hilo tiene una longitud infinita. En ese caso, los ángulos subtendidos en el punto P por los extremos del hilo serían ϕ1=−π/2 y ϕ2=+π/2, en cuyo caso tendríamos que la expresión que acabamos de encontrar se reduciría a:

En este límite, el sistema posee simetría cilíndrica, y las líneas de campo magnético son circulares, tal y como se muestra en la siguiente figura:

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Figura 13. Líneas de campo magnético debidas a un hilo conductor rectilíneo de tamaño infinito por el que circula una corriente I.

De hecho, la dirección del campo magnético debida a un hilo conductor rectlínieo muy largo puede determinarse haciendo uso de la regla de la mano derecha haciendo el pulgar indique la dirección y sentido de la corriente. En este caso, los dedos de la mano indican el sentido del campo magnético.

Figura 14. Dirección del campo magnético debido a un hilo rectilíneo muy largo por el circula una corriente es perpendicular al plano del papel (xy) sale del mismo (sentido z>0)