Capítulo 6 INTRODUÇÃO À CONVECÇÃO · Capítulo 6 INTRODUÇÃO À CONVECÇÃO § A...
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Capítulo 6 INTRODUÇÃO À CONVECÇÃO
§ A transferência de calor por convecção ocorre quando existe o contato entre um sólido e um fluido em movimento: § consiste na combinação da condução com a advecção
(transferência de calor devido ao movimento do fluido)
v,T∞
q",dAs
v,T∞
q",dAs
( ) ∫=⇒−= ∞ sA ss dAqqTThq ""
1
Problema:Ø determinar o coeficiente de troca de calor hØ h é função da geometria e do escoamento
( )∞−= TTAhq ss( ) ( )∫−=⇒− ∞∞ sA sss hdATTqcteTTpara
∫=sA s
shdA
Ah 1
ou
q O escoamento e consequentemente a transferência de calor apresentam características diferentes dependendo se o escoamento é externo ou interno.
2
ü Escoamento externo: ü caracterizado pela região com gradiente acentuado de velocidade (camada limite hidrodinâmica)ü gradiente acentuado de temperatura (camada limite térmica)
ü Escoamento interno: ü Entrada: comportamento análogo à camada limite externaü Longe da entrada, em tubulações longas: escoamento desenvolvido: • Hidrodinâmicamente desenvolvido: ∂u/∂x=0 ; dp/dx=cte• Termicamente desenvolvido: forma do perfil de temperatura não varia (∂θ/∂x=0 , θ é temperatura adimensional ⇒ θ =(T-Tref)/ ΔTref
Equações de conservação Equação de Conservação de Massa ou Continuidade 0=•∇+
∂∂ )( Vt
!ρ
ρ
Variação da massa + fluxo líquido = 0com o tempo p/ ∀ de massa p/ ∀
Equação de Conservação de Quantidade de Movimento Linear (2ª. Lei de Newton para fluidos Newtonianos)
qTktDTDcρ p !++∇•∇= µφ)(
massa × aceleração = força p/ ∀ força p/ ∀ força p/ ∀ p/ ∀ gravitacional pressão viscosa
Equação de Conservação de Energia
)( VPgρtDVDρ
!!!
∇•∇+∇−= µ
Variação da energia = fluxo líquido de calor dissipação geração de com o tempo p/ ∀ de condução p/ ∀ viscosa calor p/ ∀
Equações de conservação Hipóteses: (i) regime permanente, (ii) 2-D (iii) fluido incompressível, (iv) viscosidade constante (v) coordenadas cartesianas
Quantidadede movimento:
Energia:
0=+yv
xu
∂∂
∂∂
y
x
gyv
xv
yp
yvv
xvu
gyu
xu
xp
yuv
xuu
ρ∂
∂
∂
∂µ
∂∂
∂∂
∂∂
ρ
ρ∂
∂
∂
∂µ
∂∂
∂∂
∂∂
ρ
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
2
2
2
2
2
2
2
2
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
222
2
2
2
2
2yv
xu
xv
yu
qyT
xTk
yTv
xTucp
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
µµφ
µφ∂
∂
∂
∂∂∂
∂∂
ρ !
4
Massa:
Escoamento InternoHidrodinâmicamente desenvolvido: ∂u/∂x=0 ; dp/dx=cte⇒ v=0, logo a aceleração é nula:
5
xgy
uxp
ρ∂
∂µ
∂∂
++−= 2
20
Ø Conservação de quantidade de movimento linear axial
Ø Conservação de energia: Termicamente desenvolvido: ∂θ/∂x=0 , θ é temperatura adimensional ⇒ θ =(T-Tref)/ ΔTref
qyTk
xTuc p !++= φµ
∂∂
∂∂ρ
2
2 2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
yu
∂∂
µφµ
Exemplo: Escoamento de Couette (escoamento entre duas placas paralelas)
TL=30 0C
T0=10 0C
L=3mm
U=10m/s
Dados: ρ=888,2 kg/m3
k=0,145 W/mK υ=900x10-6 m2/s
1. Obtenha as distribuições de velocidade e temperatura. Considere ∂T∂x =b02. Obter o fluxo de calor nas paredes3. Obter a temperatura máxima no fluido, para as condições da figura.
6
p=patm
Camada Limite Hidrodinâmica: região do fluido que sofre os efeitos da parede (u ≤ Uo)
δ(x)
δ
x
y τ
τ
UoUo
u(y)
Fluidos Newtonianos:
0==
ys y
u∂∂µτ
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Escoamento Externo
Camada Limite Térmica: região do fluido que apresenta variações no campo de temperatura devido a presença da parede com temperatura diferente da temperatura do fluido ao longe
δt(x)
δt
x
y
T ∞ U
T(y)
T∞
Ts
( )
( )∞=
∞=
∞
−
−
=⇒
−=−=
=−
−
TT
yTk
h
TThyTkq
TTTT
s
yf
sy
fs
ss
0
0
990
∂∂
∂∂"
,
⇒ h é função da distribuição de temperaturas, que por sua vez depende do campo de velocidades
δt cresce com x ⇒ ∂T/∂y⏐y=0 cai com x ⇒ h cai com x
8
Escoamento laminar e turbulento
x
y
U U
U
9
Laminar: filamento de corante não se mistura
Turbulento: o corante mistura rapidamente
O escoamento turbulento ocorre a altas velocidades. A transição é caracterizada pelo no. de Reynolds
viscosasforçasinércia forças
=Re
Escoamento turbulento:- movimentos aleatórios - flutuações de velocidade que aumentam a transferência de quantidade de movimento e energia- camada limite turbulenta: mais larga e os perfis de velocidade são mais achatados. As tensões cisalhantes na parede e o h são maiores do que os laminares.
- subcamada laminar: transporte é dominado por difusão e perfil de velocidade é linear-camada amortecedora: difusão e mistura turbulenta competem-zona turbulenta: mistura turbulenta predomina
Transição: início depende do número de Reynolds
viscosasforçasinércia forças
==µρUx
xRe
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- Variação da espessura da camada limite e do coeficiente de troca de calor
h(x)
δ(x)
laminar transição turbulento
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Equações de conservação para a camada limite
Hipóteses adicionais: • desprezar forças de corpo• sem geração de calor• espessura da CL pequena (δ << L)
Análise de ordem de grandeza:
• CL hidrodinâmica:
2
2
2
2
xu
yu
∂
∂
∂
∂>>
e 2
2
2
2
xT
yT
xTu
yTv
∂
∂
∂
∂∂∂
∂∂
>>≈
12
!1
<<
≈⇒≈⇒≈≈≈L
UvvLUv
yv
LU
xu δ
δδ∂∂
∂∂
0≈yp
∂∂
• CL térmica:
€
∂u∂x
+∂v∂y
= 0
€
ρ u∂u∂x
+ v ∂u∂y
$
% &
'
( ) = −
∂p∂x
+ µ∂ 2u∂x 2
+∂ 2u∂y 2
$
% &
'
( ) + ρgx
ρ u∂v∂x
+ v ∂v∂y
$
% &
'
( ) = −
∂p∂y
+ µ∂ 2v∂x 2
+∂ 2v∂y 2
$
% &
'
( ) + ρgy
€
ρc p u ∂T∂x
+ v ∂T∂y
$
% &
'
( ) = k ∂ 2T
∂x2 +∂ 2T∂y 2
$
% &
'
( ) + µφ + ˙ q
µφ = µ∂u∂y
+∂v∂x
$
% &
'
( )
2
+ 2 ∂u∂x$
% &
'
( )
2
+∂v∂y$
% &
'
( )
2+
, - -
.
/ 0 0
1 2 3
4 3
5 6 3
7 3
Equação de conservação de massa:
Equação de conservação de momentum:
Equação de conservação de energia:
0=+yv
xu
∂∂
∂∂
( )CL da fora pressão 0
2
2
==⇒=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
)(xppyp
y
uxp
yuv
xuu
∂∂
∂
∂µ
∂∂
∂∂
∂∂
ρ
2
2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
yu
yTk
yTv
xTucp ∂
∂µ
∂
∂∂∂
∂∂
ρ13
- Cálculo do coeficiente de troca de calor:
∞
=
−
−=
TT
yTkh
s
y 0∂∂ /
- Similaridade das equações:
§ As equações de momentum e energia são da mesma forma se dp/dx e o termo de dissipação forem nulos (termos convectivos= termos difusivos).
§ Exs.: escoamentos a baixas velocidades
14
- Adimensionalização das equações:
2Upp
TTTT
T
Uvv
Uuu
Lyy
Lxx
s
sρ
≡−
−≡
≡≡≡≡
∞
**
****
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=+
2
2
*
*
*
*
*
**
*
**
yu
ULxp
yuv
xuu
∂
∂υ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+
2
2
*
*
*
**
*
**
yT
ULyTv
xTu
∂
∂α
∂
∂
∂
∂
- Desprezando o termo de dissipação viscosa:
( ) ( )
( )
( )
( ) 1
00
00
00
=∞
=
=
=∞= ∞
,
,
,
/,,
:
**
**
**
****
xT
xT
xv
UUxuxu
CC
15
- Parâmetros de similaridade:
L
L
UL
UL
RePr
Pr
Re
1UL
Prandtl de número
Reynolds de número
==
=
=
υυαα
αυ
υ
Assim,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=+
2
21*
*
*
*
*
**
*
**
Re yu
xp
yuv
xuu
L ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+
2
21*
*
*
**
*
**
PrRe yT
yTv
xTu
L ∂
∂
∂
∂
∂
∂
16
Logo, u*=f(x*, y*, ReL, dp*/dx*)função da geometria
- Tensão cisalhante na parede e coeficiente de atrito:
!
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=≡
==
=
=
==
*
**
*
*
*
*
.
*
*
,Re,
Re/
*
*
*
xpxf
yu
yu
UC
yu
LU
yu
Ly
yL
s
atritocoeff
yys
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ρ
τ
∂
∂µ∂∂µτ
0
02
00
como
22
17)Re,( * Lf xgC =
:geometria uma para
Também, da equação da energia, T*=f(x*, y*, ReL, Pr, dp*/dx*)
- Coeficiente de troca de calor e número de Nusselt:
( )
!0
00
=
==∞
=≡
=−
−=
*
*
*
*
*
*
yNusseltnúmero
yys
yT
khLNu
yT
Lk
yT
TTkh
∂
∂
∂
∂∂∂
Obs: A solução do problema é função de 3 parâmetros adimensionais, ao invés dos 7 parâmetros originais 18
Pr),(Re'
Pr),Re,( *
L
L
gNu
xgNu
=
=
ou
:geometria uma para
- Significado físico dos parâmetros adimensionais:
térmicadedifusividamomentum dedifusivida
viscosas
inércia2
≈=
≈==
αυ
µρ
µρ
Pr
//Re
FF
LULUUL
L
Pr<<1 - δt >> δ - metais líquidos
Pr>>1 - δt << δ - óleos, água
δ/ δt ≈ Prn (n>0)
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Ø Analogia de Reynolds: § relação entre Cf e Nu, válida quando dp/dx=0 e Pr≈1
§ eqs. de conservação adimensionais são equivalentes§ u* e T* são funções semelhantes e seus gradientes também§ Cf e Nu são análogos: Cf ReL/2=Nu
§ Número de Stanton:
§ A partir de resultados de Cf, podemos obter Nu e vice-versa
§ Analogia de Chilton-Colburn:
§ Obs: para esc. turbulentos, o efeito do gradiente de pressão é menor
tf
Lpt S
CNuUchS =⇒=≡
2PrReρ
!Colburn de jfator
322 htf jS
C≡= /Pr
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-Efeitos da turbulência:• Escoamentos turbulentos ocorrem a partir de Recrítico• Para escoamento externo, Rec=5x105. • Para escoamento interno, Rec=2300• Flutuações turbulentas:
um
u'
t
u
u=um+u'
Escoamento turbulento: Coeficientes de atrito etroca de calor mais altos
21
- Equações de conservação:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
!!!! "!!!! #$
%&'
totaltensão
a turbulentou tensãoReynolds de tensão
'' vuyu
yxp
yuv
xuu ρ
∂∂µ
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ρ
! ( )
! "#"$%
turbulentocalor
defluxo
pHpHpt
MMt
pp
TvcyTc
yTcq
vuyu
yu
TvcyTk
yyTv
xTuc
''
''
''
" ρ∂∂
ερ∂∂
εαρ
ρ∂∂
ερ∂∂
ευρτ
ρ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
ρ
−=→
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−=
−=→
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
energia turb.dif.
momentum turb.dif.
- Na zona turbulenta,
εM >>ν ; εH >> α
perfis mais achatados - maiores gradientes na parede - tensão cisalhante e h maiores
- determinação de εM e εH é difícil
- Em geral, h é obtido experimentalmente
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