CAPÍTULO II: NUMEROS REALES - Campus Virtual · 3 Simbólicamente: Los números racionales se...
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CAPÍTULO II: NUMEROS REALES
En esta unidad queremos responder las siguientes preguntas:
¿Qué tipos de números existen? ¿Qué problemas dan origen a su creación? ¿Que
representaciones se utilizan para operar con ellos?.. ¿Qué relaciones existen entre ellos?
COMENTARIO Para el estudio de este capitulo, y en general de todo el curso, es necesario
que el estudiante esté familiarizado con la noción de conjunto y con su manejo. Debe
poder definir que es un conjunto, que es un subconjunto, que es elemento de un conjunto y
cual es el significado de los símbolos , , , , ,, , , C A B, AxB, dando ejemplos.
Debe poder explicar y, sobre todo, aplicar que es definición por extensión y por
comprensión de un conjunto. Con este fin se sugiere trabajar el Complemento No
1.CONJUNTOS, al final de este documento
Tipos de números:
DISCUSIÓN DE CLASE No 1
Antes de leer en detalle los párrafos siguientes responda la siguiente pregunta y después de
hacerlo compare su respuesta con lo que se plantea a continuación.
¿Nombre y de ejemplos de los diferentes tipos de números que ha estudiado en cursos de
matemáticas anteriores?
Las matemáticas escolares están sustentadas sobre los siguientes tipos de números:
Los números naturales:: 1, 5, 10 15, 1000044445555678910 son algunos ejemplos. La
colección de estos tipos de números constituye al conjunto de los números naturales.
Utilizaremos la letra N para referirnos al conjunto de los números naturales.
DISCUSIÓN DE CLASE No 2: Antes de continuar, discuta las siguientes preguntas ¿Es el
cero un número natural? Algunos textos, incluyen el 0 entre los naturales. Otros no lo
consideran como tal ¿Quién tiene la razón?
Quienes no consideran el cero (0) como número natural utilizan la notación N 0 para
referirse al conjunto de los naturales N incluyendo el cero.
Los números naturales se suelen representar mediante la sucesión 1, 2, 3, 4, 5... (No
incluimos el cero).Los puntos sucesivos indican que la secuencia sigue con una
2
determinada ley de formación y que no existe un último elemento. Es decir, el conjunto de
los números naturales es infinito.
La ley de formación se descubre observando que el 2 se obtiene del 1 sumándole 1, el 3 se
obtiene del 2 sumándole 1 y que en general, si n es un número natural entonces n+1 es el
que se sigue en la sucesión. O sea que la sucesión anterior se podría escribir con mejor
precisión así: 1, 2, 3, ...,n, n+1,...
. Utilizando notación conjuntista se suele escribir que:
N = {1, 2, 3,...n, n+1,...}
DISCUSION DE CLASE No 3: La expresión anterior que define a al conjunto N de los
números naturales es una definición por extensión o por comprensión. Justifique su
respuesta.
Los números enteros están constituidos por los números naturales, el cero, y los enteros
negativos. Son por lo tanto ejemplos de números enteros 1, -40, -1000345, 0, 100.
Utilizaremos la letra Z para referirnos al conjunto de los números enteros. Utilizando
notación conjuntista se escribe que
Z = {...-(n+1), -n, ...-4, -3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...n, (n+1)...}
Los puntos sucesivos indican que en la sucesión de los enteros no existe un primer
elemento, ni un último elemento.
El concepto de número entero amplia el concepto de numero natural y por lo tanto decimos
que los números naturales están incluidos o son un subconjunto de los números enteros.
Simbólicamente N Z.
.
Observe que el ordenamiento del conjunto de los números enteros es muy semejante con el
ordenamiento del conjunto de los números naturales.
Todo número entero tiene un siguiente, solo que en este caso el conjunto no tiene un primer
elemento, como en el caso de los naturales. Es decir, en los enteros todo número tiene un
elemento que lo antecede.
Los números racionales: Los siguientes son ejemplos de números racionales 2
3,-
4
1,
34268
255890,
7
5. Es decir, los números racionales son los números que se expresan como
fracciones entre enteros, siempre y cuando el denominador sea diferente de cero.
Utilizaremos la letra Q para referirnos al conjunto de los números racionales.
3
Simbólicamente:
Los números racionales se pueden expresar en la forma q
p, con p Z , q Z y q 0.
Consecuentemente:
Q = { q
p p Z, q Z, q 0}
Los números enteros se consideran números racionales, puesto que se pueden expresar
como una fracción entre enteros , por ejemplo 2 se puede escribir como 1
2,o como
2
4etc
-21 como 1
21 o como
4
84 etc.,y así sucesivamente. Se puede decir, por lo tanto, que los
números enteros están contenidos o son un subconjunto de los números racionales.
Simbólicamente, Z Q.
Puesto que los números naturales se consideran enteros (N Z), esta proposición se puede
combinar con la anterior para obtener la siguiente proposición N Z Q (Explique su
significado)
DISCUSIÓN DE CLASE No 4: ¿La definición que hemos dado del conjunto de los
números racionales es una definición por extensión o por comprensión?. Justifique su
respuesta.
Una observación importante, relacionada con la forma representar los números racionales,
como fracciones entre enteros, es que un número racional puede estar representado por
muchas de estas fracciones, en realidad infinitas. Así las fracciones 3
4,
6
8,
9
12
representan un mismo número racional, por eso dichas fracciones le imanan equivalentes.
Criterio de igualdad entre números racionales:
Dos fracciones racionales q
p y
s
r, (recuerde denominadores no nulos) representan al mis
número racional y por lo tanto se llaman equivalentes sii ps = qr.
En palabras, dos fracciones racionales representan el mismo número racional si los
productos cruzados numerador de la una por el denominador de la otra son iguales.
Convenio importante:.: Cuando dos fracciones racionales representan al mismo número
racional se escribe que q
p =
s
r,. Es decir, que como números racionales son iguales. Se
trata del mismo número racional.
4
Ejemplos: Las fracciones 5
3,
15
9 y
10
6 representan al mismo número racional (son
fracciones equivalente). Se puede escribir por lo tanto que: 5
3 =
15
9 =
10
6 (Verifique
utilizando el criterio de igualdad)
La siguiente proposición se deduce de inmediato del criterio de igualdad:
Teorema: Si q
p es una fracción racional arbitraria y k Z, k 0 entonces
q
p y
qk
pk
representan al mismo número racional. Se puede escribir por lo tanto que, q
p =
qk
pk
OBSERVACIÓN: Observe que el igual se refiere al número racional que representan y no a
las fracciones que, obviamente, son diferentes
En palabras:
Al multiplicar numerador y denominador de una fracción racional por un mismo
número entero no nulo, se obtiene una fracción equivalente y por lo tanto el numero
racional que representan es el mismo.
Demostración: Se trata de una demostración directa, inmediata, a partir del criterio de
igualdad.
Para demostrar su validez basta observar que al hacer los productos cruzados los resultados
a ambos lados de la igualdad son iguales. En efecto pqk =qpk
Números y numerales: Las consideraciones anteriores permiten observar que un número
racional puede ser representado por infinitas fracciones racionales.
Los números son conceptos abstractos que requieren de símbolos o numerales para
representarlos. De acuerdo con esta definición, pueden existir, y de hecho existen, múltiples
numerales, para referirse a un mismo número. Las fracciones, en este caso, son numerales.
Existen también, no solo para los números racionales, sino también para todos los reales,
los numerales decimales. Existen también los numerales binarios. Y muchos más.
Fracción mas simple que representa un número racional: Entre las infinitas fracciones
racionales que pueden representar un número racional aquella, cuyo denominador y
numerador no tienen factor común distinto de 1 (son primos relativos), se denomina la
fracción mas simple que representa al número.
Ejemplos: El número racional “dos tercios” puede ser representado por las fracciones 6
4,
24
16,
30
20. Ninguna es la mas simple. La mas simple es
3
2
5
Los números irracionales. Hay números que no se pueden expresar como una fracción
entre enteros y que, por lo tanto, no son racionales. A estos números se les llama
irracionales. El estudiante también los conoce. ,3,2 , e, son ejemplos de irracionales y,
como se verá mas adelante, no se pueden expresar como fracciones entre enteros.
No existe una ley de formación que permita describir los números irracionales como
hicimos con los naturales, los enteros y los racionales. No es fácil demostrar que un
determinado número es irracional.
La demostración de la irracionalidad de : , 2 , e, han sido logros muy importantes en la
historia de las matemáticas. El estudiante puede estar inclinado a pensar que los números
irracionales son dos o tres, pero los números irracionales abundan y, en realidad, hay
infinitos. Con solo decir que hay más números irracionales que números racionales
Utilizaremos la letra I para referirnos al conjunto de los números irracionales.
De acuerdo con lo anterior un número irracional no puede ser racional y recíprocamente.
Un irracional no puede ser un número racional. Esto implica que los dos conjuntos no
tienen elementos comunes, lo que simbólicamente se puede escribir como I Q =
Cuando se habla de números reales se piensa en números racionales o irracionales.
Utilizaremos la letra R para referirnos al conjunto de los números reales. Es decir, el
conjunto de los números reales está constituido por los números racionales y por los
números irracionales.
En el lenguaje conjuntista quiere decir que el conjunto R de los números reales es la unión
del conjunto Q de los números racionales y del conjunto I de los números irracionales.
Simbólicamente: I Q = R. También se puede escribir que N Z. Q R y que I R
Existen, también, los números complejos, los reales se consideran números complejos,
pero expresiones como i, 2+3i, i
i
53
2 son ejemplos de números complejos típicos.
Utilizaremos la letra C para referirnos al conjunto de los números complejos.
Consecuentemente se puede escribir que R C
En este curso abordaremos el tema de los números complejos más adelante; en el orden
como aparece en el campus virtual
6
La estructura conjuntista de los números se representa en el siguiente diagrama
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
DISCUSION DE CLASE No 5:
El estudiantes seguramente ha trabajado también con números como 23.45, 0.7, 24
3 que no
mencionamos en las expresiones anteriores. Los primeros se suelen llamar decimales y el
ultimo mixto. Son estos otros tipos de números diferentes a los que hemos mencionado
hasta el momento? Y los fraccionarios? ¿Son otros tipos de números?. Justifique su
respuesta.
Una nota complementaria
En las secciones anteriores nos hemos concentrado en recordar los distintos tipos de
números, los conjuntos numéricos que se conforman con ellos y las relaciones que se
pueden establecer entre dichos conjuntos.
Hemos concluido que los números reales constituyen un gran conjunto constituido por los
números racionales y los irracionales y a su vez los números racionales incluyen los
números enteros y estos a los números llamados naturales.
Sistema de numeración decimal
Hemos visto, especialmente en el caso de los números racionales, que un número puede ser
representado de muchas maneras. Que los números son conceptos abstractos que requieren
Q Números racionales
Z Números enteros
N N. naturales
I Números
irracionales
7
de símbolos o numerales para representarlos y que es importante distinguir entre el número
como concepto y el símbolo o símbolos que se utilizan para representarlos.
En el manejo operativo de los números reales, el sistema de numeración decimal es, sin
duda, el sistema más importante de representación numérica. El desarrollo del sistema de
numeración decimal corre paralelo con el desarrollo del concepto de número.
Desde esta perspectiva, el sistema de numeración decimal ayuda a caracterizar los distintos
tipos de números reales. En esta sección nos interesa, justamente, estudiar los distintos tipos
de numerales decimales que existen y su relación con el tipo de numero real que
representan.
El sistema de numeración decimal o de base diez se construye utilizando la técnica del
valor de posición que hace posible que la representación de cualquier número real pueda
hacerse con un numeral construido a partir de un conjunto de símbolos básicos, 0, 1, 2, 3, 4,
6, 8, 9 llamados dígitos.
De acuerdo con esta técnica el valor que representa un dígito varía según su posición en el
numeral, excepto el digito 0, que siempre representa el mismo valor (nulo). Así en el
numerales 2032.502, el dígito 2 aparece tres veces pero en cada posición el valor que
representa es diferente. No ocurre lo mismo con el 0
El número que representan los numerales decimales definen mediante expresiones poli
nómicas de potencias de 10 con exponentes enteros positivos y negativos.
Tipos de numerales decimales y los números que representan
Se pueden identificar los siguientes tipos de numerales decimales
Tipo 1
Numerales con un número finito de dígitos sin fracción decimal. Estos numerales
representan números enteros.
Ejemplos: 23548200, -345892, etc
El número natural que representan estos numerales esta definido por un polinomio en el que
aparecen los dígitos como coeficientes de potencia de 10 con exponente natural. Así, por
ejemplo, con relación al numeral 23648235 escribimos:
23648235 = 2x 107 + 3x 10
6+ 6x 10
5 + 4x 10
4 + 8x 10
3 + 2x 10
2 + 3x10 + 5
Esta igualdad indica que el numeral decimal escrito a la izquierda, representa al número
natural que se obtiene de realizar las operaciones indicadas en la expresión polinómica. Es
decir, el igual (=), en este caso, está siendo utilizado para definir el significado del numeral
escrito a la izquierda utilizando la expresión polinómica de la derecha.
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NOTA: Es importante tener presente que el signo igual (=) no siempre se usa de la misma
manera en todas las situaciones matemáticas. Estaremos atentos a los diferentes usos del
signo igual. Aquí se usa para definir la forma como interpretamos a un numeral decimal
La expresión anterior también se puede interpretar de la siguiente forma:
23648235 = 20000000 + 3000000+ 500000 +40000+8000+200+30 +5
En este contexto tiene sentido hablar de unidades decimales enteras de orden 0, de orden 1,
de orden 2 , de orden 3 y en general de orden n. Cada unidad esta conformada por diez
unidades de orden inferior, excepto por la unidad de orden 0 o simple, a partir de la cual se
configuran todas las unidades. Así:
La unidad decimal entera de orden 0, es las unidad simple o unidad primitiva
asociada con el número 1
La unidad decimal entera de orden 1 está formada por diez (10)unidades enteras
simples
La unidad decimal entera de orden 2 esta formada por diez unidades decimales
enteras de orden 1. O sea es equivalente a cien( 102) unidades simples
La unidad decimal entera de orden 3 está formada por diez (10)unidades decimales
enteras de orden 2. O sea es equivalente a mil( 103 )unidades simples
En general,
La unidad decimal entera de orden n esta formada por diez (10) unidades decimales
enteras de orden n-1. O sea es equivalente a ( 10 n ) unidades simples
Las primeras unidades decimales enteras suelen tomar nombres especiales Así: la de orden
1 decenas, las de orden 2 centenas, la de orden 3 miles, la de orden 4 decenas de mil etc.
La estrategia básica que utiliza el sistema de numeración decimal, cuando describe números
enteros, es que todo entero se puede expresar como una combinación (un polinomio)de
unidades decimales enteras de diferente orden.
Así, en el ejemplo que nos ocupa, el número representado por el numeral 23648235 se
obtiene como una suma de dos unidades de orden 7, tres unidades de orden 6, seis unidades
de orden 5 y así sucesivamente hasta sumar cinco unidades simples.
Es decir, el numeral decimal de un entero es una prescripción que nos indica la manera de
combinar unidades decimales enteras de orden superior para obtener el número entero
representado. Los dígitos, según su posición indican el numero de unidades del orden
respectivo que ingresan en la suma.
Observe, de otro lado, que el mientras el primer 2 en el numeral representa dos unidades
decimales enteras de orden 7(veinte millones de unidades simples), el segundo 2 representa
9
dos unidades decimales enteras de orden 2(doscientas unidades enteras simples), lo que
ilustra el concepto valor de posición.
O sea el número de unidades enteras que representa el dígito depende de la posición que
ocupa en el numeral, excepto en el caso del numeral 0 que siempre representa lo mismo
(cero unidades enteras))
VAYA PENSANDO LA SIGUIENTE PREGUNTA: En los párrafos anteriores hemos
afirmado que todo numeral finito sin fracción decimal, representa un número entero. Será
que la proposición reciproca también es cierta. Es decir, ¿si es un numeral decimal que
representa un número entero, entonces el numeral tiene que ser necesariamente de la
forma anterior?
Tipo 2
Numerales con un número finito de dígitos pero con fracción decimal diferente de 0. Estos
numerales representan números racionales que no son enteros. (Aunque no todos los
racionales son representados por numerales decimales de este tipo)
Ejemplo: Si al decimal anterior le agregamos la fracción decimal 0. 753, tendremos el
siguiente numeral 23648235.753. Este numeral representa un número racional no entero(no
es difícil verificar que es racional. Ver más abajo) que está definido por el siguiente
polinomio de potencias de 10, pero, en este caso, aparecen potencias con exponente entero
negativo. Para expresar este hecho se escribe:
23648235.753 = 2x 107
+3x 106
+6x 105
+4x 104
+8x 103
+2x 102
+3x10+ 5+ 7x101
+5x102
+3x103
Recordemos los siguientes hechos
Por definición , 10 1 = 10
1 = 0.1, 10 2 =
210
1 = 0.01, 10 3 =
310
1 = .0.001 En general
10 n = n10
1= 0.0..(n-1 veces)..0.1
Teniendo presente los hechos anteriores , la expresión anterior también se podría interpretar
de la siguiente manera:
23648235.753 = 2x 107
+3x 106
+ 6x 105
+4x 104
+8x 103
+2x 102
+3x10+ 5 + 10
7+
210
5+
310
3
23648235 = 20000000 + 3000000+ 600000 +40000+8000+200+30 +5+0.7 +0.05+0.003
En este contexto, además de las unidades decimales enteras se puede hablar de las unidades
decimales fraccionarias de distinto orden.
Las unidades decimales fraccionarias también siguen una ley de formación. Cada unidad
decimal fraccionaria esta conformada por diez unidades decimales fraccionarias del orden
siguiente. Así:
10
Una (1) unidad decimal entera simple la conforman diez (10)unidades decimales
fraccionarias de orden 1.
Una unidad decimal fraccionaria de orden 1 la constituyen diez (10) unidades
decimales fraccionarias de orden 2.
Una unidad decimal fraccionaria de orden 2 la constituyen diez unidades decimales
fraccionarias de orden 3.
En general, una unidad decimal fraccionaria de orden n la constituyen diez unidades
decimales fraccionarias de orden n+1
De acuerdo con lo anterior la unidad decimal entera simple esta constituida por diez
unidades decimales fraccionarias de orden 1, por cien de orden 2, por mil de orden 3 etc.
Como en el caso de las enteras, las primeras unidades fraccionarias suelen tener nombres
especiales. Así, la unidad fraccionaria de orden 1 décima. La unidad decimal fraccionaria
de orden 2 centésima. La unidad decimal fraccionaria de orden tres milésima, etc.
La estrategia básica que utiliza el sistema de numeración decimal, cuando describe números
racionales que no son enteros, es que todo número de este tipo se puede expresar como una
combinación finita (polinomio)de unidades decimales enteras de diferente orden, que
expresa la parte entera del número, mas una combinación de unidades decimales
fraccionarias que expresa la parte fraccionaria del número.
Así, en el ejemplo que nos ocupa, el numero representado por el numeral 23648235.753 se
obtiene de sumar al polinomio que representa la parte entera del número siete unidades
decimales fraccionarias de orden 1, cinco unidades fraccionarias de orden 2 y tres unidades
decimales fraccionarias de orden 3.
Dado un numeral racional de este tipo, no es difícil encontrar una fracción racional que lo
represente.
Ejemplo: Sea el numeral decimal 3851. 7214. Es claro que si multiplicamos y dividimos
por 10 4 podemos escribir que
3851.7214 = 410
38517214.
Es decir, que la fracción racional de la derecha representa al mismo número racional que
representa el numeral decimal de la izquierda.
(Nota: Observe que la multiplicación por 10 4 es para desplazar el punto decimal cuatro
lugares y convertir el numeral inicial en el numeral de un número entero)
11
Se puede concluir también que el número representado por estos numerales es racional
argumentando que el polinomio con el cual se calcula el número es, en realidad, una suma
de números racionales.(suma de racionales es un racional)
UNA OBSERVACIÓN SOBRE NOTACIÓN: La forma como estamos escribiendo los
numerales decimales podría ser causa de confusión entre los alumnos. Si escribimos el
numeral correspondiente a cinco millones trescientos ochenta mil doscientos cincuenta y
dos con trescientas cincuenta milésimas, pondríamos la siguiente expresión: 5380250.350.
En la parte entera no haríamos ninguna indicación y esperaríamos que el lector sabe leer el
número, luego pondríamos un punto (.) para indicar que sigue la fracción decimal.
Esta forma de escribir el número es buena para digitarlo en un computador o en una
calculadora.
Sin embargo si éste numeral fuera parte de un extracto bancario, al menos en nuestro
medio, aparecería escrito en la forma 5, 389,250.350. Es decir, en la parte entera se estarían
utilizando comas (,), para separar miles. El punto (.) decimal seguiría igual. Pero
seguramente en la escuela les han enseñado otra forma de escribirlo, por ejemplo:
5’389.250,350. Es decir se usa la coma (,) arriba para indicar millones, el punto para
indicar mil y la coma para indicar la fracción decimal. Para efectos de realizar cálculos,
consideramos adecuado mantener nuestra manera de escribir estos numerales y para efectos
de informes creo que la costumbre dominante será la que imponga la manera de escribirlos.
Los informes financieros tienen las de ganar
Tipo 3
Numerales con un número infinito de dígitos. Son de dos tipos. Los llamados periódicos y
que representan números racionales y los no periódicos y que representan números
irracionales.
Mas abajo podremos justificar porque los primeros representan números racionales. La
segunda justificación no estamos en posición de hacerla.
Primer ejemplo: El numeral decimal 3.11292929...
Observe que después de los dígitos 11 se repite indefinidamente el grupo de dígitos 29. Por
eso se llama periódico. El número de dígitos que se repite se llama período de la fracción
decimal. En este caso es 2.
Se suele utilizar la notación 3.11___
29 , para indicar que el 29 se sigue repitiendo.
12
El número racional que representa este tipo de numeral esta definido por la siguiente
expresión:
3.11292929 = 3 + 1x 10 1 + 1x10 2 + 2x10 3 + 9x 410 + 2x10 5 + 9x10 6 + ...
Es decir, que3.11___
29 representa el número racional que se obtiene de realizar las
operaciones indicadas en la expresión de la derecha.
Segundo ejemplo: El numeral decimal 21.12112111211112.....
En este caso el numeral esta obedeciendo una ley de formación pero no es periódico porque
no existe un grupo de dígitos que se repite indefinidamente. El número irracional que
representa este numeral se define de manera similar al caso anterior, utilizando una
expresión de tipo polinómico con infinitos términos
21.12112111211112 = 2x10 + 1 + 1x10 1 +2x10 2 + 1x10 3 +1x10 4 + ....
Las expresiones relacionadas con los numerales en los dos ejemplos anteriores presentan un
problema fuerte que es importante que el estudiante identifique y comprenda.
Cuando hablamos de suma nos referimos a un número finito de términos. ¿Pero que
significa sumar infinitos términos?.
La verdad es que el sentido de las sumas que aparecen a la derecha de los numerales no las
hemos definido y en este momento no estamos en posición de hacerlo, por lo tanto no
sabemos como se calculan y si en realidad definen un número real. Por el momento nos
atendremos al significado intuitivo que el estudiante pueda darle a dicha suma y
trabajaremos con el numeral decimal aunque no podamos fundamentar sus reglas de
manejo.
Los numerales decimales infinitos periódicos representan números racionales
En el caso de numerales infinitos periódicos podemos verificar que representan números
racionales calculando una fracción racional que los representa.
Consideremos el primer ejemplo. Llamemos (alfa) al numeral decimal dado. Observe las
siguientes transformaciones;
= 3.11___
29 (por definición nuestra)
10 2 = 311.___
29 (Al multiplicar por 100 se desplaza el punto
decimal dos lugares
10 4 = 31129.___
29 (Se vuelve a desplazar el punto decimal dos
lugares)
13
Restando la segunda igualdad de la tercera, término a término obtenemos
(10 4 - 10 2 ) = 31129.___
29 - 311.___
29 = 31129 + 0.___
29 .– 311 – 0.___
29 = 30818
( 10 4 - 10 2 ) = 30818
= 24 1010
30818 =
9900
30818
De donde se puede concluir que es un número racional pues se puede representar por una
fracción racional
VERIFICANDO: Hemos visto que la expresión q
p, con p y q enteros se utilizan para
representar un numero racional, pero esta expresión también se puede interpretar como el
resultado de dividir p entre q. (Es decir los números racionales son una forma de
representar el resultado de la división entre enteros) Por esta razón, cuando realizamos la
división entera de p por q, trabajando en el sistema decimal, la expresión que se obtiene en
el cociente es una expresión decimal que representa al número racional q
p.
Se puede pues, verificar el resultado anterior realizando la división de 30818 por 9900. El
numeral que aparece en el cociente debe coincidir (como en realidad ocurre) con el numeral
3.11___
29 . Estas consideraciones nos sirven a la vez para definir un procedimiento que
permite pasar de la fracción racional de un número racional a su a un numeral decimal que
lo representa .
El ejemplo anterior no constituye una demostración matemática, en primer lugar porque no
es suficientemente general, esta hecho para un caso particular. Y, en segundo lugar, porque
no esta fundamentado el manejo de la parte infinita del numeral. No obstante el
procedimiento es correcto y si usted lo entiende podrá aplicarlo a cualquier otro caso.
Discutir con sus compañeros la pregunta siguiente le ayudara a comprenderlo mejor.
DISCUSIÓN DE CLASE 6
1. Revisando el proceso anterior. ¿Porque se multiplicó las dos veces por 10 2 ?: ¿Cual es la
idea detrás de esta multiplicación? ¿Si se tratara de otro caso diferente el exponente de 10
siempre tendría que ser el mismo y siempre igual a 2? ¿Cuales son los criterios para
escoger los exponentes y porque potencias de 10?
2: ¿Será válida la igualdad 1 = 0.99999...? (Ver ejercicio 3ª, Pág. 19)
De ser cierta esta igualdad estaría ocurriendo que un número puede tener mas de un
numeral decimal que lo representa, tal como ocurre con las fracciones en el caso de los
racionales.
Sirve también para que tengamos presente la diferencia entre numeral (lo que representa) y
número (lo representado), aunque a veces, en el manejo práctico, los identifiquemos.
14
Los numerales decimales infinitos no periódicos representan números irracionales El único argumento que tenemos a mano para legitimar esta proposición sería el siguiente:
Si aceptamos que todo número real se puede representar por un numeral decimal, un
número irracional no podría ser representado por un numeral decimal finito, ni por un
numeral decimal infinito periódico, porque sabemos que este tipo de numerales decimales
representan números racionales, bien sean enteros o racionales que no son enteros.
Se concluye, por lo tanto, que la única posibilidad es que sea representado por un numeral
decimal infinito no periódico.
Quizás debamos agregar que el ejemplo que dimos de numeral decimal infinito no
periódico, lo construimos siguiendo una determinada ley de formación.
No debe pensar el alumno que los numerales decimales de todos los números irracionales
deben seguir alguna ley. De hecho no existen leyes de formación conocidas para los
numerales decimales de los números irracionales mas famosos como 2 , e , etc.
En el caso de , por ejemplo, desde la antigüedad hasta nuestros días, se ha convertido en
una verdadera competencia el ir obteniendo su numeral con un número mayor de cifras
decimales. En este momento , ha sido calculado con millones de cifras decimales.
En 1995 Yasumasa Kanada, utilizando un computador HitachiS-3800/480 invirtió 116
horas para calcular una aproximación de con 6.442.450.938 decimales (Dato tomado del
libro Secreto de los números. Edit?)
Síntesis
Podemos sintetizar los planteamientos de todos los párrafos anteriores escribiendo:
El conjunto de los numerales decimales se puede identificar con el conjunto de los
números reales en el sentido de que cada numeral decimal representa un número
real y, a su vez, todo número real admite ser representado por lo menos por un
numeral decimal.
Las consideraciones anteriores describen los diferentes tipos de numerales
decimales existentes y los tipos de números reales que representan. O sea que si se
tiene un numeral decimal y lo sabemos clasificar, en alguno de los tipos de
numerales decimales que hemos estudiado, podremos saber que tipo de número real
representa.
OBSERVACIÓN IMPORTANTE: Observe que la ley de formación de las unidades
decimales enteras y fraccionarias se puede replicar para constituir unidades no de diez sino
de cualquier otro número de unidades simples, por ejemplo 2.
Así se constituye el sistema de numeración binario, que es fundamental en el sistema de
comunicaciones.
15
En este sistema, en lugar de diez dígitos hay solo 2 , el 0 y el 1 y los numerales se definen
mediante polinomios de potencias de 2 con exponentes enteros positivos y negativos, de
manera similar a como se hace en el sistema de numeración decimal.
En este sistema el numeral 10 representa el dos y no el diez, puesto que 2 = 1x2 +0
EJERCICIOS
1.a) Para cada uno de los numerales decimales siguientes dé la expresión polinómica
mediante la cual se identifica o se calcula el número real que representa el numeral,
indicando que tipo de numero real representa
i). 125.314___
56, ii) 0.009333...., iii) 310
5.2, iv) 3.4
__
2 - 4.51__
2 , v) 1.404004…
b) Escriba el numeral decimal que define cada uno de las siguientes expresiones
polinómicas ,indicando que tipo de número real representa
i) 5x10 2 + 3 + 10
3 +
210
4 +
310
4 +
410
2+
510
4 +
610
2+ ....
ii) 10 1 + 3x10 3 + 4x10 5 + 4x10 7 + 4x10 9
iii) 2000000 + 80000 + 3000 +100 + 4
iv) 3x10 3 + 10 2 + 7x10 +10 1 + 210
2+0.005 + 0.0003 + 0.00005 + 0.00003 + ...
v) 2x104
+2+10
3+
210
1+
310
3+
410
1+
510
1+
610
3+1x10
7+1x10
8+1x10
9+3x10
10+…
2. Para los numerales decimales en a) y b) del ejercicio 1 que representen números
racionales calcule una fracción racional que represente el mismo número racional. Después
de que la haya calculado, verifique si realmente corresponde al numeral decimal que tomo
como punto de partida.
3 a) Calcule la fracción racional que represente el decimal infinito periódico 0.9999..., y
verifique que representa a 1.
b) El resultado anterior implica que un número puede ser representado por más de un
numeral decimal, contrario a lo que podríamos pensar.
Imitando el resultado anterior podría usted construir un numeral decimal infinito que
representara al número entero representado por 321.
4. En la tabla siguiente, determine si los símbolos que aparecen en la columna de la
izquierda representan números Cuando este sea el caso, marque con X las casillas
correspondientes con el fin de clasificar el número correspondiente.
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Numeral Representa un
número
Es
Natural
Es Entero Es
Racional
Es
Irracional
Es Real
Si No
10 3
-(-21
20
5
3)
1.21___
32
- 0
00
2
0
1.1212212221...
3
234.251434343...
2+
2
2
0
0
25.34
5. (Proyecto especial. Ejercicio voluntario). Entender los fundamentos del problema puede
ser fácil, pero no lo es desarrollarlo en su totalidad. Los interesados pueden jugar con el
para ver hasta donde llegan.
Vuelva y lea el texto que aparece enmarcado bajo el titulo OBSERVACIÓN
IMPORTANTE (pagina 18) y trate de explicar como se procedería para construir un
sistema de numeración binario(base dos), indicando, por ejemplo, cuales serían las
unidades enteras y cuales las fraccionarias y con cuanto dígitos contaría el sistema. Los
numerales se definirían también mediante expresiones polinómicas de estas unidades.
Identificar numerales decimales que representan los números representados por los
numerales binarios 101, 10010.101. Recíprocamente, identifique los numerales binarios
que representan los mismos números representados por los numerales decimales: 2, 10, 15,
100, por ejemplo.
También podría haber numerales infinitos periódicos y no periódicos y estaría por saber si
en este caso también representan números racionales e irracionales.
Construya tablas de multiplicación y suma
17
COMPLEMENTO No 1 CONJUNTOS
(No lo lea si usted maneja bien el tema)
Un componente muy importante del lenguaje matemático es el lenguaje conjuntista, que
viene asociado naturalmente a conceptos y nociones básicas de las matemáticas. Un buen
manejo de este lenguaje y una adecuada comprensión de los conceptos asociados con él
resultan de mucha ayuda para interpretar y expresar problemas matemáticos de manera mas
eficiente.
Conjuntos y elementos.
Definimos conjunto como una colección de objetos materiales o abstractos, con la
excepción del conjunto llamando vacío que, por definición no tiene elementos. Este
conjunto se denota con el símbolo . A este conjunto se llega por conveniencia lógica
en el manejo de los conjuntos.
Para referirnos a los conjuntos es común simbolizarlos con letras. Conjuntos famosos
suelen adoptar símbolos prácticamente universales. Por ejemplo, en este curso utilizaremos
las letras N, Z, Q, I, R, C para referirnos a los conjuntos de los números naturales, enteros,
racionales, Reales, Complejos, respectivamente.
Lo objetos que integran o constituyen un conjunto se llaman elementos del conjunto. Se
utiliza el símbolo para denotar tal pertenencia.
Así, para expresar simbólicamente que 2 es un elemento del conjunto de los números
naturales N, se escribe la expresión 2 N. Si L es un conjunto constituido por nombres de
personas, la expresión Pedro Pérez L, es una forma de expresar simbólicamente que
Pedro Pérez es un elemento de dicho conjunto.
Para expresar negativamente que un objeto no es elemento de un conjunto dado se utiliza el
símbolo . Así, para expresar que 3 no es un número natural se puede escribir que
3 N. De manera similar, si L es el mismo conjunto mencionado anteriormente la
expresión Pedro Pérez L quiere decir que el nombre Pedro Pérez no aparece en el
conjunto de nombres L
Los conjuntos pueden, a su vez ser elemento de un conjunto. Por ejemplo una línea recta
esta constituida por puntos, es decir es un conjunto de puntos geométricos organizados en
forma especial. Tiene sentido hablar de un conjunto de rectas..
Si consideramos un equipo de fútbol como el conjunto de los jugadores que juegan en el
equipo, suplentes y titulares, es claro que tiene sentido considerar al conjunto cuyos
elementos son los equipos colombianos profesionales de fútbol .
Definición de conjuntos
Para definir un conjunto es necesario especificar, de alguna manera, que elementos lo
constituyen. Lo cual se puede hacer por extensión, dando el listado de sus elementos o por
18
comprensión mediante el enunciado de una propiedad que solo cumplen los elementos del
conjunto que se quiere definir.
La definición por extensión solo es aplicable a conjuntos finitos, por ser finita la lista de sus
elementos, pero para algunos conjuntos finitos es posible dar tanto una definición por
extensión como por comprensión..
Por ejemplo, cuando definimos el conjunto “ de los números enteros mayores o iguales que
–2 y menores que 5” estamos dando una definición por comprensión, usando el lenguaje
ordinario. Este conjunto se puede definir por extensión como {-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4}. Observe
que el 5 no es elemento del conjunto.
La definición por comprensión también se puede dar en términos simbólicos utilizando
lenguaje conjuntista.
Se puede escribir {x Z: -2 x < 5}o también {x: x Z , -2 x < 5}
Los conjuntos infinitos no se pueden definir por extensión, justamente porque no es posible
escribir una lista de infinitos elementos. Los conjuntos infinitos solo se pueden definir por
comprensión. Por ejemplo, la expresión “ conjunto de los números enteros pares” es una
definición por comprensión utilizando el lenguaje ordinario.
Se podría pensar que la expresión {2, 4, 6, 8, ....} es una definición por extensión del
mismo conjunto. En realidad, este no es el caso, pues no se están listando todos los
elementos del conjunto y los puntos suspensivos, lo que quieren decir es que hay una ley
de formación que debe identificar el lector y mediante la cual puede calcular cualquier
elemento del conjunto.
Se puede dar también una definición por comprensión en forma simbólica utilizando
lenguaje conjuntista. Lo primero es encontrar la expresión del termino genérico del
conjunto. En este caso es equivalente a descubrir la ley de formación de los números pares
y expresarla simbólicamente.
La secuencia de números pares es 2, 4, 6, 8, 10... La característica que define un número
par, es que es divisible por 2, o sea se puede expresar como un producto de 2 por otro
natural, así: 2 = 2 x 1, 4 = 2 x 2, 6 = 2 x 3, 8 = 2 x 4, ... o sea que si n es un número par,
entonces n = 2k, para algún k. De acuerdo con esto, la definición por comprensión del
conjunto se puede expresar como:
{n N: n = 2k, k N} o también como { 2k : k N}, expresión mas simple.
Es importante observar el formalismo o la “gramática” que debe seguirse cuando se escribe,
en lenguaje conjuntista una definición por extensión o por comprensión.
Para definir un conjunto por extensión se usan llaves ({....})y dentro de las llaves se
escriben los elementos del conjunto.
19
En la definición por comprensión se usan las llaves, pero la expresión interna se construye
siguiendo ciertas reglas. En la primera parte de la llave se hace referencia a un elemento
variable o genérico en un conjunto de referencia (x Z o n N , ver ejemplos abajo. El
conjunto de referencia podría esta implícito y en la segunda parte, separada por dos punto o
por una barra de la primera, se impone una condición o propiedad que debe satisfacer el
elemento variable para pertenecer al conjunto(-2 x < 5, o n = 2k, k N ,Ver ejemplos
abajo).
{x Z : -2 x < 5}
{n N: n = 2k, k N}= { 2k : k N},
Elemento variable Condición o propiedad que debe
En un conjunto de referencia cumplir el elemento que genera el conjunto
El conjunto de referencia puede estar implícito
Los dos puntos o una barra separan la primera parte de la segunda
OBSERVACIÓN SOBRE NOTACION
De acuerdo con los acuerdos para denotar conjuntos no es lo mismo escribir {a, b,2,4,5}
que {{a},b,2,4,5}. Los dos conjuntos no son iguales. Si bien comparten los elementos b, 2,
4, 5, {a}no es un elemento del primer conjunto, ni a lo es del segundo. La expresión {a}
representa al conjunto cuyo único elemento es a y esto no es lo mismo que a.
Subconjuntos e inclusión
Cuando todo elemento de un conjunto A es elemento de otro conjunto B se dice que A es
un subconjunto de B o que A esta contenido en B, y se escribe simbólicamente que A
B.(también se podría escribir B A)
De acuerdo con esta definición y aunque pueda parecer extraño a nuestro lenguaje
ordinario, todo conjunto es subconjunto de si mismo (A A). El conjunto vacío se
considera subconjunto de cualquier conjunto. Es decir si A es un conjunto arbitrario
entonces A
De acuerdo con lo anterior es verdadera la proposición {a, b} {1,2,a, f, b}, pues todos los
elementos del primer conjunto son elementos del segundo. De la misma manera es
verdadera la proposición N Z e porque todo numero natural es un entero, es decir todo
elemento de N es un elemento de Z. El estudiante debe estar familiarizado con la
proposición compuesta N Z. Q R y I R y debe poder explicarla y justificarla.
De acuerdo con la definición anterior, dos conjuntos A y B son iguales, y se escribe A = B,
si están constituidos por los mismos elementos. O lo que es lo mismo si A B y B A
20
Para negar que un conjunto A es subconjunto de otro conjunto B se utiliza el símbolo y
se escribe A B.
Así, la proposición Z Q, aunque es falsa, dice que el conjunto Z de los enteros no es
subconjunto o no esta contenido en el conjunto de los números racionales.
La proposición {1,3} {1, 2, a, f, b} dice que el primer subconjunto no es subconjunto o no
esta incluido en el segundo, lo cual es cierto pues no todos los elementos del conjunto
{1,3}son elementos del conjunto{1, 2, a, f, b}.
OBSERVACIÓN SOBRE NOTACIÓN: Es común encontrar en textos de matemáticas,
además del símbolo , al símbolo para denotar inclusión.
Cuando se usan los dos símbolos, y se escribe A B, se admite la posibilidad de que A =
B. Cuando se escribe A B se supone que A es un subconjunto propio de B, esto es, hay
elementos de B que no son elementos de A, excluyendo la posibilidad de igualdad entre los
dos conjuntos.
En estas notas no se sigue este convenio. En estas notas el símbolo , denota inclusión en
general, admitiendo la posibilidad de que los dos conjunto comparados sean iguales
Un conjunto interesante
Un conjunto interesante, muy nombrado, es el conjunto cuyos elementos son los
subconjuntos de un conjunto dado y que se llama el conjunto de partes o conjunto potencia
del conjunto Si X es un conjunto cualquiera, el símbolo (X) se utiliza para denotar el
conjunto de partes de X.
Aplicando la definición anterior se tiene que si X = {a, b} entonces podemos definir (X)
por extensión dándola lista de Sus elementos entre llaves. Esto es (X) = { , {a}, {b},
{a,b}}. . Es decir X tiene cuatro subconjuntos incluido el mismo.
Observe que {a} representa al conjunto cuyo único elemento es a y {a, b} el conjunto cuyos
elementos son a y b, es decir a X. Pero, con relación a (X) son elementos de este
conjunto.
El conjunto de partes se puede expresar por comprensión para cualquier conjunto X de la
siguiente manera (X) = {S: S X}
Ejercicio: De tres elementos del conjunto (N). El conjunto {2, 4, 6, 8,.....} es un elemento
o un subconjunto de (N).
21
EJERCICIOS
1) Considere el siguiente conjunto, que denotamos con A
A = {2
1,
3
1,
4
1,..., R, Q, 1, 2, 3, 4,....}
R, Q denotan respectivamente al conjunto de los números reales y al conjunto de los
números racionales
Diga cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuales falsas, justificando su
respuestas
a) 2 A b) 5 A c){1, 2, 2
1,3
1} A d){
2
1,
3
1, 1, 2, 3,...} A
e) {0,1, 2,3, 4, R} A f) Q A g) R A
h) Q A i) N A j) {n
1 n N} A
k) A A l) N A m) A A
n) R A
2. Defina por extensión el conjunto cuyos elementos son los conjuntos numéricos y denote
dicho conjunto con la letra B. Discuta la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones.
i) N es un subconjunto de B
ii) N es un elemento de B
3. Sea el conjunto A = {c, d, 2, 4,5}.
i) De tres elementos del conjunto (A)
Si B = {c, 2}, diga si es verdadera o falsa la proposición (B) (A), justificando su
respuesta.
ii) Diga, si en general, dados dos conjuntos A y B tal que B A entonces (B) (A),
iii). De tres elementos del conjunto (R)
4). Defina por extensión y simbólicamente por comprensión los siguientes conjuntos
i) el conjunto de los números enteros mayores que –4 y menores que 5
ii) el conjunto de los números naturales que se obtienen sumando al 3 los números
naturales mayores o iguales que 5 y menores o iguales que 10.
iii) el conjunto de los números naturales cuyo cuadrado es menor que 100
5) Para cada uno de los conjuntos que se definen a continuación, lea en voz alta su
definición. Si el conjunto es finito escriba el conjunto por extensión. Si es infinito dé
22
algunos de los elementos del conjunto y defínalo por comprensión utilizando lenguaje
ordinario.
i) A = {x Z: -2
3 x
3
10} ii) B = {n Z n -100}
iii). C = {x N x = 2k +1, k N} iv) {n N: n+1 >80}
Operaciones con conjuntos
Las operaciones entre conjuntos permiten generar nuevos conjuntos a partir de conjuntos
dados. Recordamos algunas de dichas operaciones. En lo que sigue A y B denotarán
conjuntos arbitrarios
C B A (Complemento de A con relación al conjunto B)
El complemento del conjunto A con relación al conjunto B es el conjunto de elementos B
que no son elementos del conjunto A. Simbólicamente:
C B A = {x B: x A }
También se utiliza B - A para denotar este conjunto.
En este diagrama las regiones enmarcada por los óvalos representan conjuntos
B A
Elementos de B que no son elementos
De A
Cuando el complemento de un conjunto A se toma con relación a un conjunto que lo
contiene y que se toma como referente o espacio universal son comunes las expresiones
siguientes para referirse a dicho complemento A’, A c .Es claro que cuando se utiliza esta
notación debe estar claro cual es dicho conjunto de referencia.
Si A = {a, b, c, 2,3,4} y B = {c, d, 3, 4, 5} entonces B-A = {d, 5}
Z-N = {0, -1, -2, -3...} = Conjunto de los enteros negativos con el 0
A B (Unión de los conjuntos A y B)
La “unión” de dos conjuntos A y B es el conjunto que se constituye con los elementos que
pertenecen bien a A o bien a B, o a los dos. Es decir, si se toma un elemento de este
B-A
23
conjunto “unión” este debe ser un elemento de A o de B o de los dos. El conjunto unión se
denota con el símbolo A B
A B = {x: x A o x B}
(el o que aparece es inclusivo)
En este diagrama las regiones enmarcadas por los óvalos representan conjuntos
A B: está constituido por los elementos comunes
Y no comunes de A y de B
Si A y B son como en el caso anterior, entonces A B = {a, b, c, d, 2, 3, 4, 5}
Z N = Z. Es decir, la unión del conjunto de los números enteros con el conjunto de los
numero naturales es el conjunto de los enteros, pues los elementos de N son también
elementos de Z. En general, siempre que dados dos conjuntos X e Y, X Y, entonces
X Y= Y
A B (Intersección de los conjuntos A y B)
La “intersección” de dos conjuntos A y B es el conjunto constituido con los elementos
comunes de los conjuntos A y B. Simbólicamente:
A B = {x: x A y x B} En este diagrama las regiones enmarcada por los óvalos representan conjuntos
Elementos comunes a A y B
Si se toma un elemento del conjunto intersección este tiene que ser elemento tanto de A
como de B
Si A y B son los conjuntos que se vienen considerando como ejemplos entonces A B = {c,
3, 4}
Z N = N. Es decir la intersección del conjunto de los números enteros con los números
naturales es el conjunto de los naturales pues todos los elementos de N son elementos de Z.
En general, siempre que dados dos conjuntos X e Y, X Y, entonces X Y = X
A B
A
A B B
24
AxB (Producto cartesiano de los conjuntos A y B)
Un par ordenado es una sucesión de dos objetos a y b que representamos en la forma (a,b).
Decimos ordenado porque el orden cuenta. No es lo mismo el par ordenado (a, b) que el
para ordenado (b, a). En el caso del par ordenado (a, b) el objeto a se llama primera
componente del par y el objeto b se llama el segunda componente del par. Dos pares
ordenados son iguales si y solo si sus componentes homologad son iguales.
Simbólicamente:
Si (a,b) y (c,d) son pares ordenados,, (a,b) = (c,d) si y solo si a = b y c = d
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjuntos de pares ordenados cuya
primera componente es un elemento de A y la segunda componente es un elemento de B.
Simbólicamente:
AxB = {(x,y): x A e y B}
Si A = { a,b,} y B = 1,2,3} entonces AxB = {a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}
No es difícil ver que la definición de producto cartesiano entre conjuntos se puede extender
a tres, cuatro etc conjuntos, extendiendo de manera natural la noción de par ordenado a
tripla ordenada, cuádrupla ordenada etc.
EJERCICIO DE DISCUSIÓN
Siguiendo la definición de producto cartesiano para dos conjuntos, elabore la definición de
producto cartesiano para tres conjuntos.
Algunas propiedades de las operaciones entre conjuntos
Las operaciones de unión ( ) e intersección ( ) entre conjuntos cumplen propiedades que
controlan y a la vez facilitan su manejo, muchas de ellas compartidas con las operaciones
entre números.
Por ejemplo, no es difícil comprender la validez de las siguientes proposiciones para
cualquier terna de conjuntos A, B, C
(A B) C = A (B C)
(A B) C = A (B C)
Esta propiedad, que se llama asociativa, seguramente es reconocida por el alumno que la ha
debido estudiar en el contexto de la suma y multiplicación de números, pero mas que el
nombre lo importante es entender bien lo que dice.
En el caso de la unión, dice que el conjunto que se obtiene de unir primero a los conjuntos
A y B y al conjunto resultante unirlo con C es el mismo conjunto que se obtiene de unir el
conjunto A con el conjunto que se obtiene de unir los conjuntos B y C. Igual interpretación
se aplica para la intersección.
25
Pero una cosa es comprender lo que dice la proposición y otra diferente comprender
porque es valida la proposición.
Es posible que el estudiante, además de comprender el significado la propiedad asociativa
vea intuitivamente que el resultado es válido, acaso representando en su mente los tres
conjuntos en forma de óvalos o diagramas de Venn como suele llamarse este tipo de
representación. Al imaginar el siguiente diagrama no es difícil comprender que no importa
como se asocien los conjuntos al realizar las uniones el conjunto que finalmente se obtenga
siempre será el mismo y estará representado por la región encerrada por los tres óvalos.
En cualquier caso el conjunto que se obtiene es el definido por la expresión { x: x A, x B,
x C}
Pero esta “visión” intuitiva, aun así nos permita ver o comprender la validez de la
proposición no constituye una demostración matemática.
La demostración matemática exige un razonamiento, deductivo en este caso, que nos
permita establecer en forma general que todo elemento del conjunto (A B) C es un
elemento del conjunto A (B C) y recíprocamente O sea que los dos conjuntos son iguales
por estar constituidos por los mismos elementos.
El mismo tipo de razonamiento debe darse para la demostración matemática de que (A B)
C = A (B C). (Omitimos por el momento realizar en detalle tal razonamiento
demostrativo)
La propiedad asociativa de la unión e intersección tiene una consecuencia muy importante,
que pasa desapercibida cuando operamos con conjuntos.
Por ejemplo, es común encontrar las expresiones A B C, o A B C.
En esta manera de indicar las operaciones de unión e intersección no se indica si primero se
hace la unión o intersección de A y B y después se hace la unión o la intersección con C o
si primero se hace la unión o intersección de B con C y luego se hace la unión o
intersección con A.
A C
B
26
Sin embargo, no hay ambigüedad, justamente porque dichas operaciones son asociativas y
no importa como se asocien los conjuntos para realizar las operaciones indicadas el
resultado siempre es el mismo.
Es importante observar que exactamente pasa lo mismo cuando escribimos una suma o una
multiplicación entre números bien sean naturales, enteros, racionales o irracionales
Expresiones como 2+3/2 +(-6) o 2(3/2)(-6) no son ambiguas, porque también, la suma y la
multiplicación entre números son operaciones asociativas.
EJERCICIOS
1). Sean A, B, C conjuntos y a, b, c números reales..En cada caso exprese simbólicamente
la propiedad solicitada para las operaciones entre conjuntos y las operaciones entre
números
i). La propiedad conmutativa para la unión e intersección entre conjuntos, y para la suma y
producto de números
ii). La propiedad distributiva de la intersección con relación a la unión entre conjuntos y la
propiedad distributiva de la multiplicación con relación a l suma entre números.
iii). La propiedad distributiva de la unión con relación a la intersección entre conjuntos y la
propiedad distributiva de la suma con relación a la multiplicación entre números.
iv). Determine cuales de las propiedades anteriores son validas para las operaciones entre
conjuntos y para las operaciones entre números reales, justificando sus respuesta.
2. Sean A = {1, 5, 7}, B = {1, 3, 4, 7}, C = {5, 6, 7, 8}. Encuentre cada uno de los
siguientes conjuntos
i) A (B C) ii) A B C iii) A B C
iv) A (B C) v) A B vi) (A C) – B
vii) B- A viii) (A B) (A B) ix) AxC
x) (A C) x B xi) (AxB) (AxC)
3. Sean los conjuntos A = {n N: 1 n 5}, B = { 1, 7, 10, 11, }, C = {x N: 1 x 100}
i) Calcule A (B C)
ii) Defina por comprensión, en forma simbólica el conjunto C N A. De algunos
elementos de este conjunto.
4. En los siguientes ejercicios encuentre el conjunto X, si es posible, que hace valida la
igualdad
En los literales i) y ii) W = {a, b, c, 3, 4, 5} y V = { a, b, c, d, 3,4,5, 6, 7}
27
i) W X = V,
ii) V X = W
iii) N X = Z, donde N y Z representan a los conjuntos de los números naturales y
de lo números enteros respectivamente
iv) C N X = { 10, 11, 12,...}
v) P X = N, donde P es el conjunto de los números naturales pares y N el
conjunto de los números naturales
5. Sean A y B dos conjuntos.
i). Si B = calcule AUB y AB
ii). Si B A calcule AUB y AB
iii) Si B = A calcule AUB y AB