CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y...

25
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES DEFINICIÓN. Una sucesión infinita, o simplemente sucesión, es una función cuyo dominio está constituido por el conjunto de los números naturales y cuyo recorrido, que es un subconjunto de los números reales, se expresa en un listado como sigue: () ( ) ( ) ( ) 1, 2, 3 ,..., ,... f f f fn Como variable independiente se acostumbra usar la letra " " n para indicar que, a diferencia de las funciones cuyos dominios son denotados con las últimas letras del abecedario y que consideran valores reales, en las sucesiones el dominio son los números naturales. Al enésimo término de la Sucesión ( ) fn también se le identifica con ( ) an , con n a o bien con { } n a . Ejemplo. Dar los primeros cinco términos y el término enésimo de las siguientes Sucesiones Infinitas: ( ) ( ) ( ) {} 1 2 1 ) 1 ; ) 1 1 ) 1 ; ) 5 2 1 n n n n i an n ii a n n iii b iv n + = + =− + =− +

Transcript of CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y...

Page 1: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES DEFINICIÓN. Una sucesión infinita, o simplemente sucesión, es una función cuyo dominio está constituido por el conjunto de los números naturales y cuyo recorrido, que es un subconjunto de los números reales, se expresa en un listado como sigue:

( ) ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 ,..., ,...f f f f n Como variable independiente se acostumbra usar la letra " "n para indicar que, a diferencia de las funciones cuyos dominios son denotados con las últimas letras del abecedario y que consideran valores reales, en las sucesiones el dominio son los números naturales. Al enésimo término de la Sucesión ( )f n también se le identifica con ( )a n , con na o bien con { }na . Ejemplo. Dar los primeros cinco términos y el término enésimo de las siguientes Sucesiones Infinitas:

( ) ( )

( ) { }

1

2

1) 1 ; ) 11

) 1 ; ) 52 1

nn

nn

i a n n ii an

niii b ivn

+= + = −

+

= −+

Page 2: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

2REPRESENTACIÓN GRÁFICA Como las funciones, las sucesiones también se pueden graficar, correspondiendo sus valores funcionales a cada uno de los números naturales sustituido en su regla de correspondencia. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN Teorema. Sea una sucesión { }na . Se dice entonces que tiene límite, denotado como L y expresado como

l im nna L

→ ∞=

si para toda 0ε > y tan pequeña como se desee, existe un número entero N tal que

na L ε− < siempre que n N> Si existe el límite, entonces la sucesión es convergente y en caso contrario se llama divergente. Representación geométrica:

Los límites de las sucesiones infinitas también cumplen las propiedades de los límites de las funciones. Además es importante hacer ver que como los términos de la sucesión son valores funcionales, al estudiar su convergencia o divergencia se puede aplicar la Regla de L’Hopital. Al respecto, resulta conveniente enunciar aquí el teorema correspondiente a esta regla para poder contar con una herramienta valiosa en el Cálculo del límite de una sucesión.

1 2 3 N n

L

y L ε= +

y L ε= −

y

x ( )11,a

( )22,a

( )33,a

( ), nn a

Page 3: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

3

Teorema. Regla de L’hopital. Supónganse las funciones f y g diferenciables en cada punto de un intervalo abierto ( ),a b que contiene al valor " "c excepto posiblemente en este valor; y sea ( )' 0g x ≠ para toda x c≠ en el intervalo. Sea también L que denota tanto un valor

real o bien +∞ o −∞ , y supóngase que ( )( )

f xg x

es una forma

indeterminada en " "c . Luego, si ( )( )

'lim

'x c

f xL

g x→= entonces

( )( )

limx c

f xL

g x→=

De acuerdo con este teorema, el límite del cociente de dos funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas. Y si al derivar numerador y denominador de la expresión original se vuelve a presentar una indeterminación de las formas 00

ó ∞∞

, se repite nuevamente la Regla hasta que el

resultado está determinado o no existe el límite. Ejemplo. Calcular el valor numérico de los límites de las siguientes sucesiones y determinar con ello su naturaleza (utilizar la Regla de L’Hopital cuando se considere necesario o para verificar el resultado e ilustrar la técnica).

( )3 2 3

23 2 2 2

2 5 4 3 2) ; ) ; ) 110 8 1

nn n n ni ii n sen iiin n n n n

⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ − − ⎧ ⎫ −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ − + +⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Page 4: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

4 En ocasiones el límite resulta difícil y entonces es conveniente utilizar la propiedad del “emparedado”, teorema cuyo enunciado es el siguiente: Teorema. Sean las sucesiones definidas por { } { } { },n n na b y c , para las cuales se cumple que n n na b c n≤ ≤ ∀ y además, se sabe que lim limn nn n

a L c→∞ →∞

= = . Entonces lim nn

b L→∞

=

Page 5: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

5

Ejemplo. Calcular el límite de la sucesión cosnn

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

.

Teorema. Sea una sucesión cuyo término enésimo es nr . Entonces:

) lim 0 1

) lim 1

n

n

n

n

i r si r

ii r si r→∞

→∞

= <

→ ∞ >

Ejemplo. Calcular el límite de las sucesiones:

( ){ }1) ; ) 1.022

nni ii

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪−⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

Page 6: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

6

Teorema. Si para una sucesión { }nb se tiene que lim 0nnb

→∞= ,

entonces lim 0nn

b→∞

=

Ejemplo. Verificar que lim 0nn

a→∞

= para:

( ) 1 11 nna

n+ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

Definición. Sucesión monótona Una sucesión es monótona creciente si sus términos consecutivos no decrecen y es monótona decreciente si sus términos sucesivos no crecen. Definición. Sucesión acotada Se dice que una sucesión es acotada si existe un valor real positivo " "C tal que:

na C n≤ ∀ Teorema. Si se tiene una sucesión monótona (creciente o decreciente) y está acotada, entonces tiene límite, por lo que es convergente.

Ejemplo. La sucesión 1n

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

es acotada y es monótona

decreciente, por lo que es convergente y su límite es: 1 1lim 0

n n→∞= =∞

Page 7: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

7SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese la sucesión { }na y súmense ahora sus términos. A la expresión obtenida que es:

1 2 3 na a a a+ + + + + se le llama “serie infinita” o simplemente “serie” y se denota con

1n

na

=∑

Como se trata de un número infinito de sumandos, es necesario definir lo que se entiende por “suma infinita” y para ello es conveniente formar una sucesión con las sumas parciales de los términos de las series, que se expresa como:

1 2 3, , ,..., ,...nS S S S en donde

1 1S a= 2 1 2S a a= + 3 1 2 3S a a a= + +

1 2 3n nS a a a a= + + + +

DEFINICIÓN. Considérese la serie infinita

1 2 31

n

n nn

a a a a a=∞

=

= + + + + +∑

y sea la sucesión de sus sumas parciales 1 2 3, , ,..., ,...nS S S S

Entonces la serie dada es convergente si el límite de su suma parcial enésima existe, es decir, si

lim ;nnS S S

→∞= ∈

y el valor numérico " "S del límite equivale a la “suma finita” de la “serie infinita”. En el caso de que el límite no existe, se dice que la serie es divergente.

Page 8: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

8Si fuera posible siempre determinar el límite de la suma parcial enésima, todo se concretaría a calcularlo y así determinar su naturaleza. Pero en la mayoría de los casos es complicado.

Ejemplo. Sea la serie infinita 1

1 2 3n

n n∞

=

= + + + + +∑

Algunas de sus sumas parciales, incluyendo la suma parcial enésima, que recuerda al “príncipe de las matemáticas” Gauss, por la anécdota que de él se cuenta al respecto, son:

1 1S = 2 1 2 3S = + = 3 1 2 3 6S = + + =

( )12n

n nS

+=

Se obtiene el límite de la suma parcial enésima y se ve que: ( )1lim

2n

n n→∞

+→ ∞ por lo que la serie es divergente.

Ejemplo. (Serie telescópica). Sea la serie ( )1

11n n n

= +∑ . Si se

escriben algunos de sus sumandos y sus respectivas sumas parciales se obtiene lo siguiente:

( )1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110n n n

=

= + + + + + + + + + ++∑

11 0.52

S = =

21 1 0.6666666662 6

S = +

31 1 1 0.752 6 12

S = + + =

41 1 1 1 0.82 6 12 20

S = + + + =

51 1 1 1 1 0.8333333332 6 12 20 30

S = + + + +

Page 9: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

9

61 1 1 1 1 1 0.8571428572 6 12 20 30 42

S = + + + + + =

71 1 1 1 1 1 1 0.8752 6 12 20 30 42 56

S = + + + + + + =

81 1 1 1 1 1 1 1 0.8888888882 6 12 20 30 42 56 72

S = + + + + + + + =

91 1 1 1 1 1 1 1 1 0.92 6 12 20 30 42 56 72 90

S = + + + + + + + + =

101 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.9090909092 6 12 20 30 42 56 72 90 110

S = + + + + + + + + + =

El término enésimo se puede escribir de la siguiente forma, al descomponerlo en dos fracciones racionales:

( )1 1

1 10 1

1 1

A B An A Bnn n n n

A B AA B

= + ⇒ = + ++ +

= + =⇒ ⇒

= = −

( )1 1 1

1 1n n n n∴ = −

+ +

y entonces, los términos de la serie se pueden escribir como sigue:

( )1 1

1 1 11 1n nn n n n

∞ ∞

= =

⎛ ⎞= −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠∑ ∑

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 4 5 5 6 1n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − + − + − + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Como se ve, todos los términos menos dos se cancelan y la suma parcial enésima queda como:

111nS

n= −

+

y el límite de esta suma parcial enésima es 1lim lim 1 1

1nn nS

n→∞ →∞

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟+⎝ ⎠

luego esta serie, conocida como “telescópica”, es convergente y su límite es “uno”, que es el valor de su suma finita.

Page 10: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

10Ejemplo. (Serie telescópica). Analizar la serie infinita

21

19 3 2n n n

= − −∑

Serie Geométrica . Sea la serie infinita

2 1

0

n n

nar a ar ar ar

∞−

=

= + + + + +∑

Cada término se obtiene al multiplicar el término inmediato anterior por un término conocido como la “razón” de la serie.

2ar ar rar a

= =

Page 11: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

11Ejemplo. Supóngase que se tienen los siguientes términos de una serie y se pretende saber si se trata de una serie geométrica:

4 8 16 322, , , ,5 25 125 625

Solución Se divide cada término entre el anterior y,

4 8 162 40 2 400 25 25 125; ;

4 82 5 100 5 1000 55 25

= = = = =

324000 2625

16 10000 5125

= =

Luego se trata de una serie geométrica con 2 25

r y a= = ,

por lo que su término general es: 0

225

n

n

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

TEOREMA. La serie geométrica

2 1

0

n n

nar a ar ar ar

∞−

=

= + + + + +∑

)i Converge y su suma es 1

aSr

=−

si 1r <

)ii Diverge si 1r ≥ PRUEBA. Sea la suma parcial enésima

2 1nnS a ar ar ar −= + + + +

Si se multiplican los dos miembros por la razón " "r 2 3 n

nrS ar ar ar ar= + + + + Si se restan ambas expresiones se tendrá:

( ) ( )2 1 2 3n nn nS rS a ar ar ar ar ar ar ar−− = + + + + − + + + +

( )11 1

n nn n

a ar S a ar S rr r

− = − ⇒ = −− −

Page 12: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

12Si se calcula el límite de la suma parcial enésima se llega a:

lim lim1 1

nnn n

a aS S rr r→∞ →∞

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

lim lim lim1 1 1 1

n n

n n n

a a a ar rr r r r→∞ →∞ →∞

= − = −− − − −

De acuerdo con un teorema tratado en las Sucesiones, si

1r < entonces lim 0n

nr

→∞= por lo que

1aS

r=

− y la serie es

convergente. Si 1r ≥ el límite no existe y la serie es divergente. Ejemplo. Dadas las siguientes series, determinar si son convergentes (dado el caso dar su suma) o divergentes:

8 16 32 2 2 2 2) 4 ; )5 25 125 3 9 27 81

i ii+ + + + − + − + 1 1

1 0 1

3 5 8) 2 ; ) ; )4 8 3

n n n

n nn n n

iii iv v− +∞ ∞ ∞

= = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

Page 13: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

13 Ejemplo. Expresar el decimal periódico 8.353535... como la razón de dos números enteros. Solución.

2 335 35 358.353535... 8

100 100 100= + + + +

235 1 18 1100 100 100

⎛ ⎞⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

La serie 21 11

100 100⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

es una serie geométrica con

11 1100

a y r= = < luego es convergente y su suma es

1 11 1 0.01 0.99

aSr

= = =− −

. Se sustituye este valor y se tiene:

35 1 358.353535... 8 8100 0.99 99

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

8278.353535...99

∴ =

Page 14: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

14CONDICIÓN NECESARIA PARA LA CONVERGENCIA

TEOREMA. Considérese la serie infinita 1

nn

a∞

=∑ . Si ésta es

convergente, entonces se cumple que lim 0nna

→∞= .

COROLARIO. Sea la serie infinita 1

nn

a∞

=∑ . Entonces, si

lim 0nna

→∞≠ , la serie es divergente.

El corolario es más útil que el teorema mismo ya que implica que lo primero que se debe hacer al analizar una serie es obtener el límite del término enésimo y si resulta diferente de cero, se concluye que la serie es divergente. Ejemplo. Determinar el carácter de cada una de las siguientes series:

3 23

31 0 1

! 2 1) ) 6 )3 ! 4 8 4

n

n n n

n n ni ii iiin n

∞ ∞ ∞

= = =

+ ++ +∑ ∑ ∑

TEOREMA. El carácter convergente o divergente de una serie infinita no cambia si se suprime o se agrega un número finito de términos al principio de ésta.

IGUALDAD DE SERIES. Dos Series infinitas, 1 1

n nn n

a y b∞ ∞

= =∑ ∑

son iguales si sus respectivos términos son iguales, esto es, si se cumple que:

Page 15: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

15

1 1n n n n

n na b si a b n N

∞ ∞

= =

= = ∀ ∈∑ ∑

SUMA DE SERIES. Para definir la suma de dos series infinitas, basta con sumar los términos enésimos, es decir,

( )1 1 1

n n n nn n n

a b a b∞ ∞ ∞

= = =

+ = +∑ ∑ ∑

TEOREMA.

)i Sean dos series infinitas convergentes 1 1

n nn n

a y b∞ ∞

= =∑ ∑ ,

con sumas A y B respectivamente. Entonces ( )1

n nn

a b∞

=

+∑

es convergente y su suma equivale a S A B= +

)ii Sean dos series infinitas, una 1

nn

a∞

=∑ convergente y otra

1n

nb

=∑ divergente. Entonces, ( )

1n n

na b

=

+∑ es divergente.

)iii Sean 1

nn

a∞

=∑ una serie infinita y c∈ . Entonces el

producto de 1 1

n nn n

c a c a∞ ∞

= =

=∑ ∑ y si la serie es convergente con

suma " "A , entonces la serie 1

nn

c a∞

=∑ es convergente y su

suma es S c A= Ejemplo. Investigar la naturaleza de la siguiente serie y en caso de ser convergente, calcular su suma:

( )11

7 10414n

n n n

−=

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

Page 16: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

16

SERIE ARMÓNICA. La serie 1

1 1 1 1 112 3 4n n n

=

= + + + + + +∑ se

conoce como la “serie armónica divergente”. Ahora se verá el por qué diverge. Se analizarán las sumas parciales en potencias de “dos”, es decir,

2 4 8 16 32; ; ; ; ; ...S S S S S Entonces se ,puede escribir:

2112

S = +

41 1 1 1 1 1 21 1 12 3 4 2 4 4 2

S ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + > + + + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

81 1 1 1 1 1 112 3 4 5 6 7 8

S ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 1 1 1 1 1 31 12 4 4 8 8 8 8 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞> + + + + + + + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

161 1 1 1 1 1 112 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 1 1 19 10 11 12 13 14 15 16

1 1 1 1 1 1 112 4 4 8 8 8 8

1 1 1 1 1 1 1 1 4116 16 16 16 16 16 16 16 2

S ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + + + + + + + >⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞> + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + + + + + + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 17: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

17De la misma forma se tendría que:

32 64 128 2

5 6 71 ; 1 ; 1 ; ; 12 2 2 2n

nS S S S> + > + > + > +

Si se calcula el límite de 12n

+ se obtiene que:

l im 12n

n→∞

⎛ ⎞+ → ∞⎜ ⎟⎝ ⎠

Finalmente, 2

lim nn

S→∞

→ ∞ y por lo tanto la serie armónica es divergente. SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS POSITIVOS

Si en una serie infinita 1

nn

a∞

=∑ todos sus términos son positivos,

entonces sus sumas parciales cumplen que 1 2 3 nS S S S< < < < <

Esta sucesión de sus sumas parciales es monótona creciente; luego se deduce que para que esta serie de términos positivos sea convergente, debe ser además acotada. En múltiples aplicaciones de las series infinitas, lo importante no es conocer su suma sino solamente saber si son convergentes o divergentes. Se verá la serie de gran utilidad conocida como serie " "p . Teorema (Serie " "p ). La serie infinita

1

1 1 1 1 11 2 3p p p p p

n n n

=

= + + + + +∑ , donde ∈p :

)i Si 1p > es convergente. )ii Si 1p ≤ es divergente.

)iii Si 1

1p

nS

n

=

=∑ , el resto N NR S S= − está acotado por

( )110

1N pRN p−< <

Page 18: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

18Ejemplo. Investigar la naturaleza de las siguientes series:

3 31 1

1 1) )n n

i iin n

∞ ∞

= =∑ ∑

Ejemplo. Probar que la siguiente serie converge y estimar el resto tras cinco términos

31

1n n

=∑

Solución. Como 3 1p = > la serie converge.

( ) ( )5 1 21 1 1 0.02

501 5 2pRN p−< = = =

Se deduce que la suma de la serie puede acotarse en la forma

5 5 0.02S S S< < + Finalmente, como

5 3 3 3 3 31 1 1 1 1 1.1861 2 3 4 5

S = + + + + ≈

Se concluye que 1.186 1.206S< <

Page 19: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

19 TEOREMA. CRITERIO DE LA COMPARACIÓN Sean las dos series infinitas con términos positivos

1 1n n

n na y b

∞ ∞

= =∑ ∑ . Entonces:

)i Si 0 n na b≤ ≤ y 1

nn

b∞

=∑ es convergente,

1n

na

=∑ también es

convergente y se dice que es dominada por la serie 1

nn

b∞

=∑ .

)ii Si n na b≥ y 1

nn

b∞

=∑ es divergente, la serie

1n

na

=∑ también es

divergente y se dice que domina a la serie 1

nn

b∞

=∑ .

Ejemplo. Investigar si las siguientes series son convergentes o divergentes:

1 2

1 5) ; )1 3 1n

n ni ii

n

∞ ∞

= =+ −∑ ∑

EJEMPLO. Determinar la naturaleza de la siguiente serie:

1

1 32 4

n

nn

=

++∑

Page 20: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

20 TEOREMA. CRITERIO DEL LÍMITE DEL COCIENTE DE LA COMPARACIÓN

Sean 1 1

n nn n

a y b∞ ∞

= =∑ ∑ series de términos positivos y sea " "L

un valor real. Si se cumple que:

lim 0nn

n

a Lb→∞

= >

entonces las dos series son convergentes o las dos son divergentes. Ejemplo. Investigar la naturaleza de las siguientes series infinitas:

( )4 3

5 431 1 14

1 1 8 2) ; ) ; )2 11 973 6

nn n n

n n ni ii iiinnn

∞ ∞ ∞

= = =

+ ++++

∑ ∑ ∑

Page 21: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

21 Ejemplo. Investigar si la siguiente serie es convergente o divergente:

Page 22: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

221

34

9 5 11 2 2 2

5 1

2 3 7n

n n

n n n

=

+ −

− +∑

SERIES ALTERNADAS Se conocen como series alternadas a aquellas cuyos términos cambian de signo de manera alternada, pudiendo ser la alternancia uno a uno o de manera irregular. Se denotan como:

( ) ( )1 11 2 3 4

11 1n n

n nn

a a a a a a∞

− −

=

− = − + − + + − +∑

TEOREMA. CRITERIO DE LA SERIE ALTERNADA

La serie alternada ( ) 1

11 n

nn

a∞

=

−∑ es convergente si cumple las

siguientes condiciones: ) lim 0nni a

→∞=

1) n nii a a+ ≤ para todo valor entero positivo " "n Nota. Otras formas alternativas equivalentes a la segunda condición son:

- ( ) ( )' 0 , entero positivo decrecientef x x< ∀

Page 23: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

23- 1 0 , entero positivon na a n+− ≥ ∀

- 1 1 , entero positivon

n

a na

+ ≤ ∀

Ejemplo. Determinar la naturaleza de las siguientes series alternadas:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 12

1 1 1

1 5) 1 ; ) 1 ; ) 11 7 4

n n n

n n n

n ni ii iiin n n n

∞ ∞ ∞− − −

= = =

+− − −

+ −∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( )1 1

0 1 1

1 5 1) 1 ; ) 1 ; ) 110 6 !1 2

n n nn

n n n

niv v vin n

∞ ∞ ∞− +

−= = =

⎛ ⎞− − − ⎜ ⎟−+ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑

Page 24: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

24 TEOREMA. ERROR ESTIMADO PARA UNA SERIE ALTERNADA CONVERGENTE La suma parcial nS de una serie alternada convergente difiere de la suma S de la serie en un error estimado nE menor al valor absoluto del término 1na + , esto es,

Page 25: CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - Icolomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ 7 SERIES INFINITAS. TELESCÓPICAS Y GEOMÉTRICAS DEFINICIÓN. Considérese

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

25

1n nE a +< Ejemplo. Verificar que la siguiente serie alternada es convergente y calcular la suma " "S con una aproximación de cuatro cifras decimales.

( ) ( )1

1

112 1 !

n

n n

∞−

=

−−∑