CARACTERIZACION DE LOS PUNTOS DE ADHERENCIA, DE LOS PUNTOS DE ACUMULACION Y DE LOS CONJUNTOS CERRADOS, EN TERMINOS DE SUCESIONESMAS PROPIEDADES SOBRE CONVERGENCIA DE SUCESIONES.

PRESENTADO POR:ARLEN FABRICIO PEREZ E ILIN MAURICIO AGUILAR

CATEDRATICO:NELSON DANILO LOPEZ

ASIGNATURA:ANLISIS REAL

UNIVERSIDAD PEDAGGICA NACIONAL FRANCISCO MORAZN FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGA CENTRO DE EDUCACIN A DISTANCIA PROFESORADO DE MATEMTICA EN EL GRADO DE LICENCIATURA LA CEIBA, ATLANTIDAMARZO 2015

Resumen

Una vez terminado el estudio de la completitud del conjunto de los nmeros reales y sus propiedades topolgicas nos adentramos en un estudio ms a profundidad en los reales como ser las sucesiones. Como principal propsito en esta nueva temtica tenemos el estudio de las sucesiones de nmeros reales, propiedades y convergencia. En lo que sigue estudiaremos los casos particulares de sucesiones caracterizando conjuntos de puntos reales como ser los puntos de adherencia, los puntos de acumulacin y de los conjuntos cerrados y abordaremos ms propiedades sobre convergencia de sucesiones de all que si una sucesin tiene lmite es convergente y caso contrario si tiende al lmite es divergente teniendo en cuenta esto como uno de los conceptos ms antiguos del anlisis matemtico.

Tabla de Contenidos

ResumeniiUna vez terminado el estudio de la completitud del conjunto de los nmeros reales y sus propiedades topolgicas nos adentramos en un estudio ms a profundidad en los reales como ser las sucesiones.iiCaptulo 1 Caracterizacin de los puntos de adherencia, de los puntos de acumulacin y de los conjuntos cerrados, en trminos de sucesin.1Puntos de acumulacin1Espacio topolgico1Conjuntos abiertos2Punto de adherente.2Sucesiones3Introduccin3Definicin de sucesin convergente:3Teorema 9. Sea . Entonces:4Ejemplo:4Ejercicios:5Desarrollo:5Captulo 26Ms propiedades sobre convergencia.6Propiedades de las sucesiones convergentes7Algunos teoremas sobre convergencia de sucesiones7Captulo 3 Resultados y discusin.12Referencias bibliogrficas15

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Captulo 1Caracterizacin de los puntos de adherencia, de los puntos de acumulacin y de los conjuntos cerrados, en trminos de sucesin.

Puntos de acumulacin Sea A . Se dice que es punto de acumulacin de A si todo intervalo abierto que contenga a p contiene algn elemento de A distinto de p, es decir, todo punto de acumulacin tiene una sucesin que converge hacia l. (Gonzales, 2004)

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Espacio topolgico Por otro lado este tema est asociado a los espacios topolgicos definidos como un par donde X es un conjunto, y es una familia de subconjuntos de X que verifica las siguientes condiciones:a) X y b) Dada una familia {} de elementos de , su unin tambin est en .c) Si , , entonces (la interseccin de dos elementos de la familia tambin es un elemento de la familia).

Conjuntos abiertos Diremos entonces, que la familia es una topologa sobre X, y a sus elementos les llamaremos conjuntos abiertos de (X, )

De la condicin (b) se deduce, por induccin, que la interseccin de una familia finita de conjuntos abiertos sigue siendo un conjunto abierto en (X, ).

Punto de adherente. Diremos que es un punto adherente de S si todo entrono U de x cumple , es decir U corta a S. (www.um.es) (www.youtube.com)Intuitivamente un punto es de adherencia si existen infinitos trminos de la sucesin tan prximos a l como queramos.Un punto es lmite si a partir de un cierto trmino todos estn tan prximos a l como queramos. (rinconmatematico.com)

SucesionesIntroduccin Las sucesiones son una buena forma de introducir los conceptos de lmites de funciones y de series, que son conceptos bsicos en clculo.

Si tenemos una funcin conjunto de nmeros naturales, R: conjunto de nmeros reales, que a cada nmero natural n hace corresponder un nmero real x, diremos que tenemos definida una sucesin de nmeros reales:

33 (mathseng.blogspot.com)

Definicin de sucesin convergente: Sea un espacio topolgico, y sea una sucesin de puntos de X. diremos que converge a x en si para todo entorno U de x existe un, entonces A x se le llama lmite de. (Sucesiones)

Teorema 9. Sea . Entonces:

a) Un punto x es un punto adherente de M si y solo si existe alguna sucesin de elementos de M que converge a x.b) Un punto x es punto de acumulacin de M si y solo si existe alguna sucesin de elementos de que converge a x.c) . Un subconjunto M de R es cerrado si y solo si toda sucesin convergente de elementos de M converge a un elemento precisamente de M. (Gonzales, 2004)Ejemplo:

En el ejemplo anterior podemos observar que conforme los valores para n incrementan, la sucesin se aproxima a cero, entonces decimos que cero es punto de acumulacin para , pero el 0 como tal es excluido. Luego por a) del teorema 9, el 0, es punto adherente.(www.youtube.com)

Grafica desarrollada con software Geogebra.

Ejercicios:Muestre que el punto de acumulacin de la suma de las siguientes sucesiones es 1. 2. Desarrollo:

Se puede observar que es el punto de acumulacin para ambas sucesiones.El aspecto de ambas grficas es:Grafica desarrollada usando calculadora de Microsoft

Captulo 2Ms propiedades sobre convergencia.El termino de convergencia lo asociamos con el concepto de lmite de una sucesin.

Teorema: Una sucesin montona acotada es convergente; este teorema establece que si es una sucesin montona acotada, entonces existe un nmero L tal que , pero no indica como determinarlo. Por tal razn dicho teorema se llama teorema de existencia. Muchos conceptos importantes en matemticas estn basados sobre teoremas de existencia. En particular, para muchas sucesiones el lmite no puede determinarse mediante el uso directo de la definicin o por medio de teoremas de lmites, sin embargo, el conocimiento de que tal lmite existe es importante para los matemticos. (Leithold) Una sucesin de nmeros reales es convergente hacia un nmero real a si para Todo En este caso se dice que tiene como lmite al nmero cuando n tiende a infinito y se escribe . (empresariales)

Propiedades de las sucesiones convergentes1. Unicidad del limite2. Toda sucesin est acotada3. El lmite de la suma de dos sucesiones convergentes es la suma de los lmites.4. El lmite del producto de dos sucesiones convergentes es el producto de los lmites.5. Si 6. 7. 8. (empresariales)

Algunos teoremas sobre convergencia de sucesiones Teorema 10. Si es una sucesin convergente de nmeros reales y si entonces su lmite s satisface que (si todos los trminos de una sucesin convergente en R son positivos o cero, su lmite tambin es positivo o cero).

Teorema 11. Prueba. Definamos la sucesin Resulta que como Luego por teorema 10, si

Y en consecuencia O sea o lo que es lo mismo Grafica desarrollada con software Geogebra.

Grficas de las sucesiones ;

Teorema 12. Si es una sucesin convergente a un nmero real s y si . (Es decir si los trminos de una sucesin convergente estn acotados por a y b, el lmite de la sucesin tambin est acotado por a y b).Prueba. Como

Una sucesin est acotada inferiormente si todos sus trminos son mayores o iguales que un cierto nmero a, que llamaremos cota inferior de la sucesin.Es decir adems, toda sucesin montona decreciente y acotada inferiormente es convergente y su lmite es igual al infinito de la sucesin.

Una sucesin est acotada superiormente si todos sus trminos son menores o iguales que un cierto nmero b, que llamaremos cota superior de la sucesin.Es decir adems, toda sucesin montona creciente y acotada superiormente es convergente y su lmite es igual al supremo de la sucesin.

Una sucesin se dice acotada si est acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un nmero a menor o igual que todos los trminos de la sucesin y otro b mayor o igual que todos los trminos de la sucesin. Por lo que todos los trminos de la sucesin estan comprendidos entre k y k o sea

Ejemplos:

Est acotada inferiormente, cotas inferiores: 1, 0,-1,, el mnimo es 1, no est acotada superiormente.

Est acotada superiormente. Cotas superiores: -1, 0,1,, el mximo es -1. No est acotada inferiormente. (www.ditutor.com)

Teorema 13. Si son sucesiones de nmeros reales tales que y si adems entonces converge a s. Ejemplo:

Graficas de las sucesiones anteriores.Grafica desarrollada con software Geogebra.

Teorema 16. Si es una sucesin de nmeros reales, estrictamente positiva (es decir ) y si adems existe y es menor que 1, entonces podemos afirmar que converge y que converge a 0.Ejemplo.

. Ntese que la potencia cuando se evala el lmite infinito y por teorema 16 como el cociente , converge a 0.

Teorema 17. Si es una sucesin de nmeros reales tales que y f es una funcin real de variable real continua en el punto entonces

Captulo 3Resultados y discusin.Sucesiones convergentes; la definicin que sigue es una de las ms tiles e importantes en matemticas. Preferimos exponerla formalmente y luego comentarla detenidamente para su mejor comprensin.

Sea una sucesin de nmeros reales y sea Decimos que converge a y escribimos , cuando, para cada numero real y positivo , puede encontrarse un numero natural m, de forma que, para cualquier que verifique que , se tenga . As pues simblicamente: (*)

Ntese que escribimos en lugar de , se sobreentiende que es un nmero real y se enfatiza que es positivo. Igualmente se sobreentiende que y se enfatiza que .

Antes que nada conviene resaltar que el numero natural m que aparece en la expresin anterior depender usualmente del numero positivo mencionado previamente. Para probar que debemos precisamente encontrar alguna regla que a cada nmero positivo asocie un nmero natural m con la propiedad requerida: que se tenga .

La desigualdad es tanto ms exigente cuanto ms pequeo sea y equivale a que se tenga . Por tanto, en (*) se afirma que, por muy pequeo que sea , el intervalo contiene a todos los trminos de la sucesin a partir de uno en adelante o, si se quiere, a todos los trminos suficientemente avanzados.

Dicho de otra forma, como es la distancia entre los puntos de la recta real, tenemos que cuamdo podemos conseguir que este tan cerca de como queramos (a distancia menor que cualquier que hayamos fijado previamente), sin ms que tomar n suficientemente grande ( para un cierto que usualmente depender de ). As pues, los trminos de la sucesin se aproximan al nmero real , de una forma muy concreta. (www.ugr.es)

Una de las ideas fundamentales del anlisis es la de limite; en particular, el lmite de una sucesin. Los siguientes enunciados son equivalentes a decir que Para todo Para todo abierto U en que contiene x, existe un entonces .

La figura anterior es el ejemplo de una sucesin que converge a x. todos los puntos , excepto un nmero finito de ellos, estn a distancia de x. (fejer.ucol.mx) Referencias bibliogrficas empresariales, m. 1. (s.f.). Sucesiones y Series. 4-5.fejer.ucol.mx. (s.f.). Obtenido de http://fejer.ucol.mx/cursos2/wp-content/uploads/2009/08/capitulo2.pdfGonzales, C. M. (2004). Analisis Real. En C. M. Gonzales, Analisis Real. san jose, costa rica: EUNED.Leithold, L. (s.f.). sucesiones. En L. Leithold, EL CALCULO (pgs. 656-657).mathseng.blogspot.com. (s.f.). Obtenido de http://mathseng.blogspot.com/rinconmatematico.com. (s.f.). Obtenido de http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=printpage;topic=61562.0Sucesiones. (s.f.). Subc-not, 43-44.www.ditutor.com. (s.f.). Obtenido de http://www.ditutor.com/sucesiones/sucesiones_acotadas.htmlwww.ugr.es. (s.f.). Obtenido de http://www.ugr.es/~rpaya/documentos/CalculoI/2012-13/Convergentes.pdfwww.um.es. (s.f.). Obtenido de http://www.um.es/docencia/pherrero/esp-top.pdfwww.youtube.com. (s.f.). Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=Xe78vH1zWyQ&hd=1www.youtube.com. (s.f.). Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=Xe78vH1zWyQ&hd=1