Caracterización y Modelización de Sistemas Dinámicos no Lineales. Medidas de Desorden Dinámico y...
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Caracterización y Modelización de Sistemas Dinámicos no Lineales.
Medidas de Desorden Dinámico y Self-Correlation
Juan A. Hernández Alvarez, Rosa Mª Benito,Juan C. Losada
Grupo de Sistemas Complejos ETSI, Agrónomos
Universidad Politécnica de Madrid
3 de Junio de 2011. FisEs 2011. Barcelona
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Objetivo Introducir una nueva metodología para la
caracterización y modelización de sistemas dinámicos basado en la medida de dos características:• Desorden dinámico.
• Self-Correlation.
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Indice METODOLOGIA
• Desorden dinámico.• Self-correlation.• Modelización de series temporales.
RESULTADOS• Caracterización de un sistema caótico.• Modelización del tráfico telefónico intercambiado entre
redes de telefonía. COMPARATIVA CON OTRAS MEDIDAS
• Exponente de Lyapunov.• Información Mutua.
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Desorden dinámico
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Representación de una serie escalar en el espacio de estados
x(t)=x(1),x(2),x(3),...,x(n) x(t)=(x(t),x(t- ))
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Producto escalar promediado en todo el espacio de estados
1
1
1P= z(t)V(t)
N- 1
N
t
P=1 V(t) y z(t) son paralelos en todos los entornos.
Todos los entornos tienen dinámica homogénea.
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Orden dinámico
“Orden Dinámico”: capacidad de una serie temporal para fluir de forma suave a través de un espacio de estados.
“Producto escalar promedio”: indicador que cuantifica dicho “orden dinámico”.
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Self-Correlation
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Confinamiento diagonal de series periódicas
x(t)
x(t-T)
3z (t)
2z (t)
1z (t)
1x (t)
2x (t)
3x (t)
Serie temporal periodo T=3
=T
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Producto perpendicular promedio
x(t)
x(t- )
3z (t)
2z (t)
1z (t)
2 2( )
2 2i j
1
1
1 2 21 | ( )( ) |
1 2 2
N
t
P z t i jN
1
P
Máxima periodicidad
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Self-Correlation
Self-Correlation: Capacidad de una serie temporal para moverse de forma paralela a la diagonal de un espacio de estados.
Producto perpendicular: Indicador que mide dicha capacidad para moverse en diagonal.
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Series periódicas y pseudo-periódicas
P ( )=1 T= Serie periódica
P ( ) 1 T Serie pseudo - periódica
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Modelización de series
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Espectro de correlación de una serie
1 2, ,...,k Nx x x x
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Criterio de equilibrio
1
1
j
1
2 2
Cálculo del factor de crecimiento para cada escala temporal
{ ,.., }.n
n
kk nk k
k k
xx
x x
1 2 nSelección de los n predominantes { , ,.., }
Selección del más cercano en valor absoluto a 1.
(mínimo crecimiento/decrecimiento)
jk
Para cada valor de k
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Modelo
2
2
ˆ j
j
j
kjk k k
k
xx x
x
elegido para cada k, según el criterio de equilibrio .j
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Caracterización de un sistema caótico
RESULTADOS
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Sistema bidimensional acoplado
1 1 1
1 1 1
(3 1) (1 )
(3 1) (1 )k k k k
k k k k
x y x x
y x y y
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Detección de orden/desorden
ORDEN
DESORDEN
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Cálculo de periodos en zonas ordenadas
T=14
Espectro de correlación en zonas de alto orden dinámico
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Detección de periodos y pseudo-periodos (zona ordenada)
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Espectro de correlación de una serie caótica
predominante
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Modelización del tráfico telefónico intercambiado entre
redes de telefonía.
RESULTADOS
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Tráfico telefónico intercambiado entre operadores de telefonía.
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Pseudo-periodo T=7
a) Tráfico Nacional b)Tráfico Internacional
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Modelización de tráfico nacional con taus=7, 14, 21, 28, 35
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Modelización de tráfico internacional con taus=7, 14, 21, 28, 35
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Comparativa con otras medidasExponente de Lyapunov
Información Mutua
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Exponente de Lyapunov e Información Mutua.
El producto perpendicular promedio captura información relevante, que en muchos casos no es detectada por la “Información Mutua”.
El producto escalar promedio introduce un nivel adicional de refinamiento sobre el exponente de Lyapunov.
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Referencia principal
Hernández , J.A., Benito, R. M. and Losada, J. C. [2011] “Dynamical Disorder & Self-correlation in the
characterization of nonlinear systems. Application to deterministic chaos”.
Int. J. Bifurcation and Chaos, Vol. 21, 963-983.
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PREGUNTAS
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AnexosExponente de Lyapunov
Información Mutua
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Producto escalar promedio vs exponente de Lyapunov
Producto escalar promedio introduce un nivel adicional de refinamiento sobre el exponente de Lyapunov
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Producto perpendicular promedio vs Información mutua
Se detecta claramente comportamiento pseudo-periódico donde I.M. no detecta nada