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  • Carlos Ivorra Castillo

    EL ALGEBRA Y LA

    GEOMETRIA

    ELEMENTAL

  • Para explicar el significado de la geometra pura

    podramos usar la formula usual de exencion de res-

    ponsabilidades de las pelculas: No se pretende refle-

    jar las caractersticas de las figuras geometricas o de

    las propiedades espaciales de cuerpos reales. Cual-

    quier parecido entre los conceptos primitivos y sus

    connotaciones geometricas habituales es pura coinci-

    dencia.

    Carl G. Hempel

  • Indice General

    Introduccion vii

    1 El algebra elemental 1

    Captulo I: La teora elemental de cuerpos 31.1 La logica de clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2 La teora de cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.3 Algebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.4 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5 Extensiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    Captulo II: La teora elemental de cuerpos ordenados 43

    2.1 Conjuntos totalmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2 Cuerpos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    2.3 Cuerpos formalmente reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    2.4 Cuerpos realmente cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    2.5 La consistencia de CRC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.6 Eliminacion de cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    2.7 El esquema de completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    2.8 Teora de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    2.9 El decimoseptimo problema de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 79

    2 La geometra elemental 81

    Captulo III: Los elementos de la geometra de Tarski 833.1 Los axiomas basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    3.2 Primeras consecuencias de los axiomas . . . . . . . . . . . . . . . 87

    3.3 Ordenacion de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    3.4 Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.5 Simetras puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    3.6 Perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    3.7 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    v

  • vi INDICE GENERAL

    Captulo IV: La geometra absoluta 1214.1 Simetras axiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.2 Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.3 Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.4 Variedades afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.5 La dimension del espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    Captulo V: La geometra eucldea 1515.1 El axioma de las paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.2 El teorema de Pappos-Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.3 El teorema de Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.4 La estructura de cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.5 Los teoremas de Tales y de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . 1805.6 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.7 Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

    Captulo VI: La geometra analtica 1956.1 La geometra de Tarski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1956.2 La interpretacion de GTn en CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.3 La interpretacion de CP en GTn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2096.4 La equivalencia entre GTn y CRC . . . . . . . . . . . . . . . . . 2156.5 El producto escalar y la norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

    Bibliografa 223

    Indice de Materias 224

  • Introduccion

    El proposito de este libro es presentar dos teoras axiomaticas (y algunasteoras relacionadas) estrechamente vinculadas entre s, a las que podramosllamar el Algebra elemental, y la Geometra elemental, porque en ellas se puedenformalizar practicamente todos los resultados sobre el algebra de los numerosreales y complejos (sin entrar en el calculo diferencial) y la geometra eucldeaclasica (sin llegar a argumentos protoanalticos sobre pasos al lmite en elcalculo de areas, etc.)

    Lo habitual es formalizar estos resultados en el seno de la teora de conjuntos,y lo que hacen las teoras a las que nos referimos es independizar el algebra y lageometra elemental de la teora de conjuntos por una parte, pero tambien de laaritmetica elemental por otra, pues el algebra elemental no permite formalizar,por ejemplo, resultados como que todo numero natural se descompone en pro-ducto de factores primos. Ese resultado es aritmetico y no algebraico. De hecho,podramos decir que el algebra y la geometra elementales son esencialmente laporcion del algebra y de la geometra que es posible formalizar sin apoyarse en elaparato de la teora de conjuntos y sin permitir que en ella puedan ser definidoslos numeros naturales.

    La ventaja de este doble aislamiento es que, por una parte y al contrario delo que sucede con la teora de conjuntos es posible demostrar que el algebra yla geometra elemental son teoras consistentes y, por otra parte al contrariode lo que sucede con la aritmetica elemental es posible demostrar que soncompletas. A su vez, esto implica que son decidibles: existe un algoritmo quedetermina en un numero finito de pasos si una afirmacion dada es demostrableo no en cualquiera de las dos teoras (si bien aplicarlo en la practica requeriratanto tiempo y tantos calculos que no resulta viable).

    Los resultados sobre completitud se deben a Tarski, al igual que la axiomaticapara la geometra eucldea que vamos a presentar aqu, que, al contrario queotras teoras axiomaticas, tiene la caracterstica de emplear como terminos pri-mitivos unicamente los de punto, estar entre y ser congruente, de modoque todos los demas conceptos geometricos, incluyendo los de recta, planoy, en general, el de variedad de dimension n, se definen a partir de estos.

    Este libro es esencialmente autocontenido, en el sentido de que solo re-quiere del lector un conocimiento de lo que es un lenguaje formal y una teoraaxiomatica de primer orden. Solo en un momento dado, en la prueba de la con-sistencia del algebra elemental, necesitaremos un resultado tecnico no trivial que

    vii

  • viii Introduccion

    se demuestra utilizando el teorema de eliminacion de cortes libres en el calculosecuencial de Gentzen, para el que el lector sera remitido a mi libro de LogicaMatematica. En algunos resultados secundarios, completamente prescindiblespara los objetivos principales de este libro, remitire a algunas propiedades sobrelos cuerpos realmente cerrados demostradas en mi libro de Algebra.

    Toda teora axiomatica tiene limitaciones en su capacidad expresiva (en elsentido de que hay afirmaciones no formalizables en ella), pero en el caso dela teora de conjuntos estas limitaciones quedan muy lejos de los enunciadosque manejan la mayor parte de los matematicos, y solo requieren atencion enareas muy particulares en las que las clases propias representan un papel des-tacado, como la teora de categoras o la teora de conjuntos como especialidadmatematica. En cambio, en este libro vamos a tener que explotar al maximola capacidad expresiva de las teoras que vamos a manejar, especialmente enla parte del algebra elemental, por lo que la principal preocupacion del lectordebera ser convencerse de que en ningun momento la estamos rebasando, demodo que todos los enunciados y razonamientos son realmente formalizables enel marco de trabajo considerado.

    En el primer captulo hemos incluido numerosas notas al pie con la intencionde aclarar los puntos en los que esta posibilidad podra resultar dudosa. El pro-blema principal es que no es posible mostrar explcitamente el modo en que losdistintos enunciados y razonamientos se formalizan en las teoras consideradasporque ello llevara a formulas inmanejables por su longitud y complejidad, porlo que en general tendremos que contentarnos con entender conceptualmentecomo se podran escribir esas formulas sin necesidad de pararnos a escribirlasexplcitamente.

    Por otra parte, en la pagina 74 hemos incluido un ejemplo de la clase derazonamientos incorrectos a los que se puede llegar si no se tienen en cuenta laslimitaciones de expresividad de las teoras que estamos considerando. Confiamosen que las notas y este ejemplo puedan bastar al lector para hacerse una ideaexacta de las posibilidades reales de las teoras consideradas.

  • Primera parte

    El algebra elemental

    1

  • Captulo I

    La teora elemental de

    cuerpos

    En este primer captulo estudiaremos las consecuencias de los meros axiomasque en la teora de conjuntos se usan para definir la estructura algebraica decuerpo o, dicho de otro modo, las propiedades generales de la suma y del pro-ducto. La principal ausencia sera la relacion de orden, que interviene igualmenteen las manipulaciones algebraicas que podemos englobar en el algebra elemen-tal. En el captulo siguiente veremos el impacto que tiene su introduccion sobrela teora.

    Dado que no contamos con el apoyo de la teora de conjuntos, dedicamos laprimera seccion a mostrar en general, como es posible utilizar parcialmente ellenguaje conjuntista en cualquier teora axiomatica.

    1.1 La logica de clases

    Consideremos cualquier teora axiomatica sobre un lenguaje formal L. Con-venimos en que sus signos logicos no definidos son ,,

    ,= y las variables.

    Usaremos la notacion

    ni=1

    i 1 n,n

    i=1i 1 n

    para repre