Carta de Smith

Carta de Smith Microondas

CONTENIDO CARTA DE SMITH

ORIGEN DE LA CARTA DE SMITH DEFINICIN DE LA CARTA DE SMITH UTILIZACIN DE LA CARTA DE SMITH CONSTRUCCIN DE LA CARTA DE SMITH Representacin de impedancias normalizadas Obtencin del coeficiente de reflexin Obtencin de la ROE Situacin de los puntos Vmax y Vmin Transformacin de impedancias Obtencin de admitancias PRECISIN DE LA CARTA DE SMITH VENTAJAS PRINCIPALES DE LA CARTA DE SMITH


CARTA DE SMITH ORIGEN La carta de Smith fue desarrollada en 1939 por Phillip Hagar Smith en los laboratorios del telfono de Bell. A continuacin se relata un poco de cmo surgi la necesidad de hacer una carta: Debido a que P.H. Smith tena el problema de emparejar la lnea de la transmisin a la antena; una componente, que l consideraba, emparej la lnea al espacio. En vista de la frecuencia y delo pesado que era debido al tamao y resultante de la antena, las medidas no eran simples. Por lo que el elemento de deteccin era un puente del termopar con cerca de 6 o 8 termopares juntados a dos bobinas, que dimensiones fueron determinados por la frecuencia de la transmisin. El indicador era un microvoltmetro, que midi la magnitud de la seal. Entonces movieron a montaje entero a lo largo de la lnea de la transmisin para determinar la magnitud y la localizacin relativas de las seales mximas y mnimas. Para las lneas de transmisin arriba en el aire, ste requiri a un individuo moviera el dispositivo de deteccin adelante en el extremo de un poste largo, mientras que un segundo individuo leera la seal a travs de un telescopio. Era primitivo, pero funcion. Esto era lo primero que o Phil hizo frente como ingeniero elctrico con los laboratorios del telfono de Bell. Debi a los problemas que tena el decidi crear una carta para simplificar el trabajo. De la ecuacin de Fleming, y en un esfuerzo de simplificar la solucin del problema de la lnea de la transmisin, l desarroll su primera solucin grfica en la forma de un diagrama rectangular. Phil persisti en su trabajo, el diagrama desarrollado gradualmente con una serie de pasos. La primera carta rectangular fue limitada por la gama de datos que podra acomodar. En 1936 fue cuando l desarroll un nuevo diagrama que elimin la mayora de las dificultades. La nueva carta era una forma coordinada polar especial en la cual todos los valores de los componentes de la impedancia podran ser acomodados. Las curvas del cociente constante de la onda de la situacin, de la atenuacin constante y del coeficiente de reflexin constante eran todos los crculos coaxiales con el centro del diagrama. Las escalas para estos valores, no eran son lineales, pero eran satisfactorias. Con el tiempo la gente que trabaja este mbito propuso las cartas para solucionar problemas de la lnea de la transmisin. DEFINICIN La carta de Smith es un diagrama polar especial que contiene crculos de resistencia, crculos de reactancia constante, crculos de razn de onda estacionaria constante y


curvas radiales que representan los lugares geomtricos de desfase en una lnea de valor constante; se utiliza en la resolucin de problemas de guas de ondas y lneas de transmisin. En resumen la carta de Smith no es ms que un conjunto de curvas que permiten calcular impedancias en una lnea de transmisin.

UTILIZACIN DE LA CARTA DE SMITH La carta de Smith es una herramienta grfica usada para relacionar un coeficiente de reflexin complejo con una impedancia compleja. La carta de Smith se puede utilizar para una variedad de propsitos incluyendo la determinacin de la impedancia, emparejar de la impedancia, optimizacin del ruido, la estabilidad etc. La carta de Smith es una ingeniosa tcnica grfica que virtualmente evita todas las tediosas operaciones con nmeros complejos. Por ejemplo, se puede determinar la impedancia de entrada a una lnea de transmisin dando su longitud elctrica y su impedancia de carga. Puesto que en el diseo de un sistema de telecomunicaciones se pueden tomar diversas soluciones, esta carta permite obtenerlas grficamente. CONSTRUCCIN DE LA CARTA DE SMITH La expresin del coeficiente de reflexin en la carga, impedancia caracterstica de la lnea, : | | , (L) en funcin de sta, , y de la

(1)


Que se puede expresar en forma de mdulo y fase | | , .

, 0 como parte real e Imaginaria

La impedancia de carga , normalizada con respecto a la impedancia caracterstica de la lnea , tambin puede escribirse en sus partes real e imaginaria como: (2) Donde r y x son la resistencia y la reactancia normalizadas, respectivamente. A partir de (1) y (2) se pueden obtener las partes real e imaginaria de : (3) Tomando las dos ecuaciones contenidas en (3) para las partes real e imaginaria Y por eliminacin de r o x, pueden obtenerse las siguientes ecuaciones: ( ) ( Si representamos la ecuacin (4) sobre el plano , para valores de r constante, las grficas obtenidas son crculos de radio centrados en el eje real en los puntos Los distintos valores de r dan lugar a crculos de radio diferente con centro en distintas posiciones del eje real. La siguiente figura muestra, en lnea continua, los casos r=0, 0.5, 1 y 2. Todos los crculos pasan por el punto (1, 0). La ecuacin (5), para valores de x constante, tambin describe crculos | | centrados en de radio . En la figura se muestra, en lnea discontinua, los casos x=0, 0.5, 1 y 2. Nuevamente, todos los crculos pasan por el punto (1, 0). ) ( ) (4) (5)


Representacin de impedancias normalizadas La interseccin de un crculo r y un crculo x define un punto que representa una impedancia normalizada: r+jx. Por ejemplo, el punto P de la figura 1 representa la impedancia normalizada 0.5+j, un cortocircuito L=-1 se representa en el punto (-1, 0) y un circuito abierto rL=1 en el punto (1, 0). Obtencin del coeficiente de reflexin Si pensamos en la carta de Smith como una representacin en polares, la distancia de un punto al origen de coordenadas se corresponde con el mdulo del coeficiente de reflexin y el ngulo con respecto al eje real positivo se corresponde con su fase: ( ) | | (6) (7)

La carta de Smith proporciona ambas escalas, tanto para la lectura del mdulo (en la parte inferior) como para la lectura de la fase (sobre el crculo r=1). Todas las impedancias que presenten el mismo mdulo del coeficiente De reflexin se situarn sobre un crculo centrado en el origen. Por ejemplo, el punto P (0.5, 1) se corresponde con un coeficiente de reflexin y en la figura se observa el crculo que representa | | . Obtencin de la ROE La expresin que relaciona la ROE con el coeficiente de reflexin:| | | |

(8)

y la comparamos con la ecuacin (2) vemos que la ROE coincide con el valor de la impedancia normalizada cuando la fase del coeficiente de reflexin es cero, es decir, la interseccin del crculo | | , con el eje real positivo. Situacin de los puntos Vmax y Vmin Partiendo de la expresin de la onda de tensin en la lnea en funcin del coeficiente de reflexin: | | | || | (9)


Es fcil comprobar que los mximos se producirn cuando la fase del coeficiente de reflexin sea cero y los mnimos cuando dicha fase sea . Transformacin de impedancias Si nos desplazamos desde la carga hacia el generador, el coeficiente de reflexin en cualquier punto z de la lnea viene dado, en funcin del coeficiente de reflexin en la carga, por la expresin: (10) Un caso particular es el de las lneas sin prdidas, donde la ecuacin (10), se reduce a: (11) Por lo tanto, en una lnea sin prdidas, un desplazamiento z se traduce en un cambio de fase del coeficiente de reflexin, pero el mdulo se mantiene constante. Por ejemplo, un desplazamiento de supone un incremento de fase de sobre el crculo de mdulo constante. Esto nos lleva a la obtencin de un nuevo punto en la carta de Smith, que se corresponde con la impedancia vista desde ese punto. De esta forma, la transformacin de impedancias producida a lo largo de la lnea puede deducirse observando los valores de r y x que se leen al desplazarse sobre crculos centrados en la carta (espirales si hay prdidas). La carta de Smith proporciona dos escalas (en longitudes de onda), una para los adicionales sobre su permetro en movimientos hacia el generador y otra para los movimientos hacia la carga. Obtencin de admitancias Partiendo de la ecuacin de la impedancia vista desde un punto z hacia la carga ZL, en una lnea sin prdidas: (12) Si normalizamos y vemos el caso particular de : (13) Obtenemos la admitancia de carga normalizada. Vemos pues como el transformador acta como un inversor de impedancias. Un desplazamiento de un cuarto de longitud de onda equivale a un cambio de fase de pi radianes en el coeficiente de reflexin, por lo


tanto el punto de la admitancia est diametralmente opuesto al de la impedancia correspondiente. Tambin es posible emplear la carta de Smith como diagrama de admitancias, muy til para resolver problemas de conexiones de lneas en paralelo (donde las admitancias se suman). Si se trabaja con admitancias normalizadas las posiciones de cortocircuitos y circuitos abiertos estn invertidos respecto de la carta de impedancias y tambin se invierte la posicin de los lados capacitivo e inductivo.

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El resultado importante es el hecho de que el coeficiente de reflexin del voltaje y la impedancia de entrada a la lnea normalizada en el mismo punto de la lnea, estn relacionados por la carta de Smith. En la parte exterior de la carta hay varias escalas. En la parte exterior de la carta est una escala llamada "ngulo del coeficiente de reflexin en grados", a partir de sta se puede obtener directamente el valor de . Un par de escalas de suma importancia son las que relacionan la longitud de la lnea de transmisin en el inicio de estas dos escalas est en el lado izquierdo de la carta de Smith y una de ellas corre en el sentido de las manecillas del reloj, sta se denomina "wavelengths toward generator" (longitudes de onda hacia el generador), esto indica que si se utiliza esta escala se estar avanzando hacia el generador, hacia la entrada de la lnea. La otra escala corre en sentido contrario de las manecillas del reloj y se denomina "wavelenghts toward load" (longitudes de onda hacia la carga), esto indica que si se utiliza esta escala se estar avanzando hacia la carga, hacia el final de la lnea. En el fondo de la carta hay un conjunto de varias escalas, una de las cuales est denominada "Reflection coeff. Vol" (Coeficiente de reflexin del voltaje). Si se mide la longitud del vector, trazado siempre desde el origen, se puede utilizar esta escala para conocer la magnitud del coeficiente de reflexin del voltaje. PRECISIN DE LA CARTA DE SMITH La escala angular en el borde tiene divisiones de 1/500 de una longitud de onda (0,72 grados) y la escala del coeficiente de reflexin se puede leer a una precisin de 0,02. Con lo que se demuestra que es absolutamente suficiente para la mayora de los propsitos. Por ejemplo, si la longitud de onda en cable coaxial en 1 GHz es 20 centmetros, la carta de SMITH localiza la posicin a lo largo del cable a 20/500 centmetro o 0,4 milmetros y ellas estn claros a cualquier persona que ha manejado el cable en el 1GHz que no puede ser cortado a esta precisin. Si se requiere ms precisin, una seccin agrandada de la carta se puede hacer fcilmente con una fotocopia. Cuenta con una precisin ms que aceptable, aunque pierde casi toda su utilidad si el medio de transmisin sufre prdidas. VENTAJAS PRINCIPALES DE LA CARTA DE SMITH Es una representacin grfica directa, en el plano complejo, del coeficiente de reflexin complejo. Es una superficie de Reimann, en que es cclico en nmeros de mitad-longitudes de onda a lo largo de la lnea. Pues el patrn derecho de la onda repite cada media longitud de onda, esto es enteramente apropiado. El nmero de medias longitudes de onda se puede representar por el nmero de la bobina.


Puede ser utilizado como calculadora de la impedancia o de la entrada, simplemente dndole vuelta con 180 grados. El interior de la regin circular gamma de la unidad representa el caso pasivo de la reflexin, que es lo ms a menudo posible la regin del inters. La transformacin a lo largo de la lnea da lugar a un cambio del ngulo, y no al mdulo o al radio de gamma. As, los diagramas se pueden hacer rpidamente y simplemente. Muchas de las caractersticas ms avanzadas de la microonda circulan, por ejemplo las regiones de la figura del ruido y de la estabilidad, mapa sobre la carta de SMITH como crculos. El "punto en el infinito" representa el lmite del aumento muy grande de la reflexin, y as que por lo tanto nunca necesite ser considerado para los circuitos prcticos. Los mapas verdaderos del eje a la variable derecha del cociente de la onda (SWR). Una transferencia simple del lugar geomtrico del diagrama al eje verdadero en el radio constante da una lectura directa del SWR.

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