Cartilla de Apoyo Version 1 - Enero 2015

CARTILLA DE APOYO PARA EL CURSO DE

PRECÁLCULO

PRIMERA VERSIÓN ENERO 2015

COMPILADORES: FREY RODRIGUEZ PÉREZ

MARCO ANTONIO RAMIREZ

Éste material se dispone a los estudiantes de primer semestre de la Facultad de Ingeniería de la Sede Principal de UNIMINUTO como estrategia de acompañamiento a lo largo de su curso de Precálculo. No es una producción original en su totalidad ya que es el resultado de la organización y adaptación de ejercicios y explicaciones de diversas fuentes desde textos en físico pasando por material digital abierto dispuesto en la red y ejercicios diseñados por algunos docentes de Ciencias Básicas. Cualquier observación, recomendación o ajuste será bienvenido y se solicita enviar a los correos [email protected] y [email protected].

mailto:[email protected]

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ASIGNATURA: PRECÁLCULO – PRIMER SEMESTRE DE 2015

1. Justificación: La ingeniería es una disciplina y las matemáticas son su lenguaje. 2. Competencias del área:

Formular y resolver problemas a partir de situaciones propias de la formación intra e interdisicplinar y de las matemáticas mismas.

Utilizar la capacidad de abstracción, análisis y síntesis como medios para argumentar y demostrar hipótesis.

Utilizar diferentes registros de representación para crear, expresar y representar ideas y modelos matemáticos.

Investigar frente a temáticas propias de su formación disciplinar y en donde la matemática pueda ser aplicada

Demostrar principios éticos en su formación como individuo social y profesional 3. Objetivo de aprendizaje: Interpretar, modelar y aplicar la función en variable real en situaciones asociadas a fenómenos de cambio propios de contextos inter e intradisciplinar y de las matemáticas mismas. 4. Estrategia. Didáctica. Uso de Ambiente Virtual de Apoyo – Lecturas previas a la clase – Exposición magistral de parte del docente: TEORIA (4 H/SEMANA) – REFUERZO ( 2 H/SEMANA) 5. Evaluación: (Primer corte: 35% - Segundo corte: 35 % - Examen Final : 30%) Cada corte se distribuye así: 50% Parcial – 50% Trabajo en clase. Fechas de evaluaciones generales: Primer parcial: 13 al 19 de Marzo de 2015 Segundo parcial: 24 al 30 de Abril de 2015 Examen Final: 29 de Mayo al 4 de Junio de 2015 - Importante: El curso se pierde por fallas así: Las fallas empiezan a contarse desde el primer día de clase. Se pierde el curso al cumplirse el 25% de fallas justificada o no justificada. Las excusas que se presenten por una inasistencia, no borran las fallas, permiten que se presenten evaluaciones o trabajos desarrollados durante el día de la inasistencia. La excusa a una inasistencia cuando se realiza un parcial, se debe llevar al programa correspondiente para su validación y se debe entregar al docente la excusa aceptada por el programa en papel membreteado de la universidad, en caso contrario debe pagar el derecho a presentar un examen supletorio, según costos definidos por Uniminuto.

INGENIERIA

PRECALCULO 2013-2

Competencias del área:

Sem Sesión

1

1 2

3

4

2 5

6

7

3 8

9

10

4 11

12

13

5 14

15

16

6 17

18

19

7 20

21

22

8 23

24

25

9 26

27

28

10 29

30

31 Función Constante, lineal y afín. Tasa media de variación

11 32 Función Cuadrática. Máximos y mínimos en aplicaciones

33

34

12 3536

37 Función polinómica de grado mayor e igual a 3. Crecimiento y decrecimiento

13 38 Función racional. Noción de límite desde el estudio de las asíntotas

39

40 Funciónes radical, Valor absoluto, Parte entera y Por partes

14 41 Función exponencial. Crecimiento poblacional

42 REFUERZO

43 Función logarítmica. Ecuaciones exponenciales y logarítimicas

15 44 Funciónes trigonométricas. Movimiento oscilatorio

45

46

16 47 Entrega informe Caso 3. Modelar un fenómeno

48 Enterga Nota final

SEGUNDO PARCIAL

Solución del segundo parcial

Entrega Informe Caso 2. Diseño y construcción

REFUERZO

REFUERZO

EXÁMEN FINAL

Analizar la tasa media de variación en una situación problema que pueda ser modelada con alguna de las familias de funciones en variable

real como camino para la comprensión de la noción intuitiva de limite y de derivada de una función

REFUERZO

Textos

Guias

1. Stewart, James y otros. Precalculo.Quinta Edición. Editorial Thomson. 2006 2. Swokwoski, Earl W. Algebra y Trigonometría.Segunda

Edición. Editorial Iberoamericana.

REFUERZO

Operaciones entre funciones, composición e inversa

Transformaciones en funciones.

REFUERZO

Modelos elementales : recta, parábola e hipérbole

REFUERZO

Tratamiento de las formas de representación de una función

Conversión entre representaciones de una función

Inecuaciones. Tipos y técnicas de solución

REFUERZO

Interpretar las diferentes formas de representación de una función y los procesos de conversión entre ellas.

Relaciones de proporcionalidad directa e inversa

PRIMER PARCIAL

Solución del primer parcial

Entrega Informe Caso 1. Interpretación de información

Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Técnicas de solución

2. Emplear técnicas para resolver ecuaciones e inecuaciones como herramienta para solucionar problemas.

Ecuaciones. Tipos y técnicas de solución

Aplicaciones. Despeje de variables y ecuaciones en ingeniería

REFUERZO

REFUERZO

Factorización.

Expresiones Fraccionarias. Operaciones.

REFUERZO

Lenguaje y expresiones algebraicas

REFUERZO

Operaciones entre expresiones algebráicas.

Productos notables - Factorización

Contenidos y competencias específicas

Contenido de la clase

1. Utilizar el lenguaje algebraico y las operaciones entre expresiones algebraicas como herramientas para representar situaciones en las

cuales es posible generalizar.

Programa. Introducción. Sistemas numéricos.

Operaciones Básicas en conjuntos numéricos

REFUERZO

Exponentes, radicales. Operaciones.

Demostrar principios éticos en su formación como individuo social y profesional

Campo problemático: La noción de variación como herramienta para interpretar una sociedad tecnológicamente globalizada.Objetivo del curso: Interpretar, modelar y aplicar la función en variable real en situaciones asociadas a fenómenos de

cambio propios de contextos inter e intradisciplinar y de las matemáticas mismas.

Competencia general: Resolver situaciones problema que involucren la aplicación de algunos modelos de función en

Formular y resolver problemas a partir de situaciones propias de la formación intra e interdisicplinar y de las matemáticas

Utilizar la capacidad de abstracción, análisis y síntesis como medios para argumentar y demostrar hipótesis.

Utilizar diferentes registros de representación para crear, expresar y representar ideas y modelos matemáticos.

Investigar frente a temáticas propias de su formación disicplinar y en donde la matemática pueda ser aplicada

CORPORACION UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS

FACULTAD DE INGENIERIA - DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

DESCRIPCIÓN DIARIA DEL PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

Competencias Básicas: Aprender autónomamente - Saber buscar información y gestionarla - Ejercer pensamiento crítico -

Usar las TIC - Manejar el idioma inglés - Saber comunicarse

1.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS Los números naturales son los números que utilizamos para contar, estos son: {1,2,3,4,5,6,7,8, … }. Los puntos suspensivos indican que los números continuan de esa forma, sin terminar nunca. Si sumamos dos números naturales obtenemos otro número natural, por ejemplo: 8 + 5 = 13. Pero si restamos 5 – 5 , nesecitamos otro número que represente el resultado. Ese número es cero. Entonces tenemos otro conjunto númerico que en adición a incluir los números naturales incluye el cero. Este conjunto es el conjunto de los números cardinales {0,1,2,3,4,5,6,7,8,…}. En el diario vivir se escuchan expresiones como: “ 10 grado bajo cero”, 647 en débito”, “8 pies bajo el nivel del mar”. Estas tres expresiones se refieren a númemros menores que cero. Con estas situaciones surgen los enteros negativos. Los enteros negativos, el cero y los números naturales (también conocidos por enteros positivos) forman el conjunto de los números enteros, estos son {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}. Si sumamos, restamos y multiplicampos enteros siempre se obtiene otro número entero. Pero si dividimos dos enteros no siempre obtendremos otro entero. Por ejemplo, 16 ÷ 2 = 8 pero en 3 ÷ 4 el resultado no es un entero. Existen muchas divisiones donde el resultado no es un entero. Esta situación nos lleva a otro conjunto numérico conocido por los números racionales. Los números racionales son todos aquellos números que se pueden escribir de la forma donde b es diferente de cero. Los números naturales, los cardinales y los enteros son números racionales. Otros ejemplos de números racionales son:

Existe otro conjunto de números que que son los números irracionales, estos son números que no son racionales, esto

es, que no se pueden expresar de la forma b

a

donde b es diferente de cero. Ejemplos: √2 = 1.414213562… es un número irracional y π = 3.14157… Luego el conjunto de números que consiste de todos los números racionales y todos los números irracionales se conoce como el conjunto de los números reales.

TEMA 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS Y OPERACIONES BÁSICAS

1.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS REALES. La recta real es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real, es decir a cada número real le corresponde un punto sobre la recta y a cada punto sobre la recta le corresponde un número real. Para empezar, se pueden ubicar números naturales. Primero, se escoge el segmento que será la representación de la unidad. Luego, se construyen más segmentos unidad uno a continuación del otro y se enumeran. Los números naturales (N) están a la derecha del cero. ¿Qué pasa con los que están a la izquierda? Se llaman números enteros negativos. Los naturales y sus negativos completan el conjunto de los números enteros (Z). Los números racionales. Hay otros números que no necesariamente son enteros. Por ejemplo, 3 / 5 es comúnmente conocido como fracción. En forma específica, los números de la forma a / b, donde a y b pertenecientes a los Z ,b ≠ 0 se denominan racionales. Para ubicarlos en la recta numérica, se debe tener en cuenta que, por ejemplo, para 3 / 5, el denominador, 5, indica en cuantas partes se divide la unidad y el numerador, 3, indica cuantas partes se deben tomar. Siempre, se debe tomar como punto de partida el cero. Si la fracción es positiva, se tiene en cuenta el segmento unidad cuyos extremos son 0 y 1. Esta se divide en tantas partes como indique el denominador. Luego, se cuentan tantas partes como indique el numerador y allí se ubica el punto que representa la fracción. Otra forma de representar los números racionales es como números decimales. Es decir, son números cuyo denominador es siempre 10. Sin embargo, estos números se pueden representar de la forma

40,4

10

En los decimales, cada posición tiene un valor específico:

310 1000

210 100

110 10

010 1

1 1

10 0,110

2 110 0,01

100

3 110 0,001

100

Por ejemplo, el número 25,36 sería

1 0 -1 -22x10 5x10 3x10 6x10 20 5 0,3 0,06 20,36 Para ubicarlo en la recta numérica, debemos tener en cuenta que la unidad siempre se divide en 10 partes, para ubicar la fracción decimal. Los números irracionales. Hay otros números que no se pueden representar de la forma de la forma a / b, donde a y b

pertenecientes a los Z ,b ≠ 0, un ejemplo de ello es .....41421356.12 pues tiene infinitas cifras decimales. Su ubicación en la recta numérica se puede realizar utilizando construcciones auxiliares de la geometría (usando regla y compás) y a partir de triángulos rectángulos utilizando el teorema de Pitágoras : Conversión de racionales a decimales Tanto los decimales como los racionales, son representaciones diferentes de los números reales. Cada fracción puede ser

representada por un número decimal. Por ejemplo, 6.05

3 , 375.0

8

3 , 2.0

9

2 .

En forma general, la conversión de fracción a decimal se realiza dividiendo la cantidad del numerador entre la cantidad del denominador.

Existen diversos tipos de decimales. Por ejemplo, 2.0...22222222222.09

2 El super índice señala que 2 se repite en

forma indefinida. A estos números se les llama números decimales infinitos periódicos. Otros decimales periódicos son

461538,013

6 3,4

3

13 4573,1

9990

13444

1.3. PROPIEDADE DE LOS NÚMEROS REALES

Dado que a, b y c son números reales entonces:

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Conmutativa Suma

Multiplicación

a+b = b+a

ab = ba

El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.

2+8 = 8+2

5(-3) = ( -3)5


Asociativa Suma

Multiplicación

a+(b+c)=(a+b)+c

a(bc) = (ab)c

Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.

7+(6+1)=(7+6)+1

-2(4x7)= (-2x4)7


Identidad Suma

Multiplicación

a + 0 = a

a x 1= a

Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva.

Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.

-11 + 0 = -11

17 x 1 = 17


Inversos Suma

Multiplicación

a + ( -a) = 0

La suma de opuestos es cero.

El producto de recíprocos es 1.

15+ (-15) = 0


Distributiva Suma respecto a

Multiplicación

a(b+c) = ab + ac El factor se distribuye a cada sumando.

2(x+8) =

2(x) + 2(8)

Propiedad de los opuestos Que dice Ejemplo

-( -a ) = a El opuesto del opuesto es el mismo número.

- ( - 9 ) = 9

(-a)( b)= a (-b)= -(ab) El producto de reales con signos diferentes es negativo.

( -15) (2) = 15( - 2) = - (15 x 2)

= - 30

( - a)( -b) = ab El producto de reales con signos iguales es positivo.

( -34) ( - 8) = 34 x 8

-1 ( a ) = - a El producto entre un real y -1 es el opuesto del número real.

-1 ( 7.6 ) = - 7.6

Propiedad del cero Que dice Ejemplo

a x 0 = 0 Todo real multiplicado por 0 es 0.

16 x 0 = 0

a x b = 0 entonces

a = 0 ó b = 0

Si un producto es 0 entonces al menos uno de sus factores es igual a 0.

(a+b)(a-b) = 0 entonces

a + b = 0 ó a – b = 0

Operación Definición Que dice Ejemplo

Resta a – b = a + ( - b) La resta es la suma del opuesto del sustraendo.

2 – 8 = 2 + (-8) = - 6

División

La división es la multiplicación por el recíproco del divisor.

1.4. CONJUNTOS E INTERVALOS

1.5. VALOR ABSOLUTO

1.6. OPERACIONES ENTRE NÚMEROS REALES

1.6.1 SUMA Y RESTA DE REALES Es importante recordar dos reglas muy fáciles de recordar:

a. Si se tienen dos números de signos iguales, entonces se suman (entendido como suma en números naturales) y se deja el mismo signo. Ej: 3+5 = 8 esta es una suma común y corriente entre naturales, pero y si fuera...-3-5 = -8; observa que igual se obtiene 8 como en la anterior pero esta vez es de signo negativo porque ambos números son negativos y en realidad estamos avanzando hacia la izquierda sobre la recta real.

b. Si se tienen dos números de signos diferentes, entonces se restan (entendido como resta entre números naturales, el mayor menos el menor) y se deja el signo de la magnitud mayor. Ej: 5 – 3 = 2 y -5 + 3 = -2 . En el primer ejemplo es una resta común y corriente entre número naturales. En el segundo caso tenemos dos enteros –5 y 3, la regla dice que se restan como se haría entre números naturales 5-3 da 2, pero como la magnitud mayor es 5 y es de signo negativo el resultado queda negativo –2. Esto no quiere decir que –5 sea mayor que 3. Si tengo 3 dólares en el bolsillo estoy más contento que si me faltan 5 ( -5 ), sólo es una norma nemotécnica para que aprender a sumar y restar.

Otros ejemplos: -7+10=3 que es lo mismo que 10 - 7=3

7-10 = -3 que es lo mismo que –10+7 = -3 -4-2-5-10= -21 4+2+5+10= 21 En casos como: -4+5-10-20+15-7+9= Es buena idea agrupar por signos, así:

-4-10-20-7 = -41 ; 5+15+9=29 y luego restar: -41+29 = -12 Nótese que se operó entre los resultados anteriormente obtenidos y se volvió a aplicar la regla. Número de signos diferentes “se restan” y el resultado queda con el signo de la magnitud mayor, en este caso 41. 1.6.2 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN Para estas operaciones es obvio que debes conocer las tablas de multiplicación y además saber que:

+ x + = + - x - = + + x - = - - x + = -

Es decir que signos iguales dan positivo y signos diferentes negativo. Ejemplo:

-5*-3 = 15

-5*3 = -15

5*3 = 15

5*-3 = -15 15÷5 = 3

-15÷5 = -3

15÷-5 = -3

-15÷5 = -3 1.6.3 OPERACIONES ENTRE FRACCIONARIOS 1.6.3.1 SUMA Y RESTA - Suma y resta de homogéneos: Son las fracciones con igual denominador, son las más fáciles de sumar, simplemente se suman los reales de los numeradores y se deja el mismo denominador:

- Suma y resta de heterogéneos: Lo importante para la suma y resta de fracciones heterogéneas es encontrar el común denominador, el cual es el mínimo común múltiplo de todos los denominadores presentes. Mira estos ejemplos:

En el ejemplo anterior se obtuvo el común denominador multiplicando los denominadores. Como común denominador también hubiese servido 30, 45, 60, etc. Pero la idea es escoger el múltiplo mínimo, en este caso 15. Además nota que la operación es muy sencilla:

- Se encuentra el mínimo común múltiplo y se coloca como denominador común - se divide el común denominador entre el primer denominador y el resultado se multiplica por el numerador. 15/3=

5 luego 5 * -2 =-10 - Se repite la operación para cada uno de las fracciones - Se suman los resultados obtenidos y listo

Algunas veces obtener el común denominador mentalmente no es fácil, entonces debes recurrir a la reglita para hallar el mínimo común múltiplo. Ej: Sumar:

¿Cuál debe ser el común denominador?. Si lo logras obtener mentalmente...¡bravo!, si no, entonces mira este procedimiento: - Descompones los denominadores es sus factores primos, así: 12=2*2*3 16=2*2*2*2 18=2*3*3 - Luego halas el mínimo común múltiplo. ¿Cómo? Entonces: escoges todos los números que haya y los multiplicas con su mayor exponente En el ejemplo: 24*32=2*2*2*2*3*3=144 por lo tanto el común denominador será 144 Nótese que se escogió los mayores exponentes de la descomposición en factores primos, ¡no se sumaron!.

1.6.3.2 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONARIOS La multiplicación se realiza numerador con numerador y denominador con denominador Así:

Ejemplo:

¿Qué sucedió? Sucedió que los 3 de los numeradores se pueden simplificar con el 9 del denominador y que el 25 del numerador se puede simplificar con los 5 del denominador. Además la expresión quedó negativa por la multiplicación de signos. Otra forma de hacer el ejercicio es multiplicar todos los numeradores entre sí, al igual que los denominadores y luego simplificar, pero eso sería tonto porque de todos modos toca simplificar y terminaría dando 1

Ejemplo:

Para llegar al último resultado se simplificó, indaga cómo. 1.6.3.3 DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS

se puede realizar de dos formas: - En cruz:

Extremos / Medios:

Es obvio que en ambos casos se obtiene lo mismo, pero las dos formas son útiles en uno u otro momento. Igualmente que en multiplicación de fracciones, cuando la división ya está expresada como una multiplicación puedes emplear la simplificación para facilitar tu labor. Ej. :

ACTIVIDAD 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS Y OPERACIONES

Relacionar

Identificar

Argumentar

Reducir polinòmios aritmèticos

6....57192583

2......82264231

27......932643

4.......5328342

Reducir:

Reducir expresiones con valor absoluto:

2 - 1 - 5 = 4 5 + 7 6 =

5 - 6 + 7 - 8 =

3

4

5

2

4

5

3

1

4

5

2

3

4

1

6

2

3

1

4

5

3

3

4

Reducir operaciones mixtas

12

43:Sol......

6

52

4

1

2

5

3

41

3

11:Sol.....

3

1

12

7

2

31

3

21

4

1

30

119:Sol......

3

122

5

413

3

4

9

132

8

1:Sol....2

3

2

2

1

4

29

4

5

2

3

3

2

3

2

2

5

4

331

6

13:Sol.....

2

11

4

1

4

521

9

571

3

42

Identificar

Completar los siguientes enunciados:

a. Si a>0, b<0 y c>0 entonces el signo resultante de: bca /)(2

es:___________

b. El opuesto de -4/7 es _____________ y el reciproco __________________.

c. Si a/b es menor que la unidad, luego a es ______________ que b

d. Un número real negativo a un exponente par da como resultado un número real ____________

e. La cifra equivalente al decimal 3,2222222......es ______________

Evaluar

Determine si la proposición es verdadera o falsa.

Natural N, Entero Z, Real R, Racional Q, Irracional Q*, Complejo C.

R . QQ * . *QQ . CQ .

Aplicar Calcula el máximo común divisor de los siguientes números:

a) 24 y 36 c) 18 y 54 e) 45, 60 y 75

b) 28 y 70 d) 16, 40 y 80 f) 18, 24 y 30

Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes números:

a) 10 y 12 c) 24 y 45 e) 15, 25 y 60

b) 18 y 27 d) 9, 10 y 36 f) 20, 35 y 75

Representar Representar los siguientes números reales en la recta numérica real:

5 3 72; 6; e+2; /2; ; ; 5; ; 2,5; -3 2; 3,2

2 5 2

Representar Escribe en forma de fracción irreducible los siguientes números decimales: a) 5,4 = e) 0,483483... = i) 3,507171... = b) 7,26 = f) 6,4242... = j) -6,5 = c) 0,317 = g) 9,1888... = k) -17,444... = d) 10,333...= h) 2,36999... = l) -2,8555... =

Relacionar Completa con un: a) Decimal exacto: 3,25 < ___ < 3,26 b) Periódico puro. 1,437 < ___ < 1,438 c) Periódico mixto: 0,18923 < ___ < 0,18924

d) Decimal exacto: 23

16

< ___ < 4

3

e) Irracional: 5,1724 < ___ < 5,1725

f) Número fraccionario: 9

4

< ___ < 9

5

Estimar El valor de d en los siguientes casos y represéntalo en la recta real:

Identificar Establecer la propiedad de los nùmeros reales que se aplica en cada caso

Representar Representa gráficamente y en forma de intervalo las siguientes desigualdades:

a) b) c) d) e)

g) h)

Aplicar

a. En el diseño de un ingeniero aparece un triángulo equilátero cuyo lado mide 8 . Indica un procedimiento para que el ingeniero pueda tomar la medida de la longitud de dicho lado y pintar el triángulo.

b. Un delineante debe pintar un cuadrado cuyo lado debe medir 11 indica como puede obtener la medida de dicho lado

Identificar Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón: a) 0,55555555... b) 0,125689312... c) 1,3525252...

d) 0,75 e) 1,3030030003... f) 2,1245124512... g) 4,18325183251... h) 6,1452453454... Visualizar

Visualizar Adicione por inspección las fracciones indicadas:

Resolver Situaciones problema

En una casa han comido 21 piezas de pan en una semana. ¿Cuántas piezas comerán en unmes de 30

días?

Si 5 pelotas de goma cuestan 63,25 euros, ¿cuánto valen media docena de pelotas?

Para hacer una colección de 125 problemas he empleado 5 folios. ¿Cuántos problemashabrá en cada folio?

¿Cuántos problemas habría en una colección de 17 folios?

Por 9 lápices he pagado 1,80 euros. ¿Cuántos lápices hubiera podido comprar con 24 euros?

Interpretar

Resolver

Juan ahorra 1/8 de los 20 euros que le dan. De lo que le queda ,se gasta los 2/3 en tomar algo con los amigos y el

resto para comprar CD de música ¿ De cuánto dispone para comprarse discos?. Los 1/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean en gasóleo, 1/3 en electricidad, 1/12 en la

recogida de basuras y 1/4 en el mantenimiento del edificio y el resto en limpieza.¿ Cuánto se emplea en limpieza?

Si la comunidad dispone de 5.500 euros para estas actividades ¿ Cuánto le corresponde a cada actividad ? Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva recorridos los 5/11 del trayecto

cuando el B ha recorrido los 8/13 del mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros lleva recorridos

cada uno?

2.1 POTENCIA DE UN NÚMERO.

Si RayNn , entonces na , es igual al producto de n veces el número real a tomado c0mo factor, es decir

vecesn

n a...aaaaa

Ejemplos:

12555553

11111115

81

16

3

2

3

2

3

2

3

2

3

24

2.1.1 PROPIEDADES DE LA POTENCIACION

Producto de potencias de igual base: el producto de potencias de igual base, es otra potencia de la misma base y de exponente igual a la suma de los exponentes de los términos factores.

Simbólicamente: nmnm aaa

Ejemplo: 202108210833333

Cociente de potencias de igual base: El cociente de dos potencias de igual base, es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es igual a la resta de los exponentes del término dividendo menos el del divisor.

Simbólicamente: nm

n

m

aa

a con a ≠ 0 y m>n

Ejemplo: 9312

3

12

555

5

Potencia de una potencia: La potencia de una potencia es otra potencia de la misma base y de exponente igual al producto de los exponentes que haya en la expresión

Simbólicamente: nmmn aa

Ejemplo: 302532

53222

Potencia de un producto: La potencia de un producto es igual al producto de dichas potencias.

Simbólicamente: nnnbaba

Ejemplo: 3332525

Potencia de un cociente: La potencia de un cociente es igual al cociente de dichas potencias.

Simbólicamente: n

nn

b

a

b

a

b ≠ 0

Ejemplo: 2

22

4

5

4

5

Exponente cero: toda cantidad con exponente cero es igual a 1

Simbólicamente: 10a a ≠ 0

La expresión 00 no está definida

Exponentes enteros negativos: si n es cualquier entero negativo y a un número real diferente de cero se cumple que:

TEMA 2. POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN LOS NÚMEROS REALES

n

n

aa

1

o que n

n

aa

1

En caso que la base sea un número racional se tiene que nn

a

b

b

a

Ejemplos:

8

1

2

12

3

3 33

5

3

3

5

2.2 RADICALES

Un radical es una expresión de la forma n

a , en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser

impar

RAIZ CUADRADA DE UN NÚMERO

Si ,Rb,Ra se cumple que ba:sisolosi,ab

2 , donde a es la raíz cuadrada de b

Ejemplo: 2555252 porque

RAIZ CUBICA DE UN NÚMERO

Si ,Rb,a entonces se cumple que ba:sisolosi,ab 33 , donde a es la raíz cúbica de b


RAIZ ENESIMA DE UN NÚMERO

Si Nny,Rb,a entonces se cumple que ba:sisolosi,ab nn , donde a es la raíz enésima de b


EXPONENTES RACIONALES

Una expresión radical puede escribirse como una potencia de exponente racional, es decir n

mn m aa

Ejemplo: 32

3 2 55

2.2.1 PROPIEDADES DE LOS RADICALES.

Raíz enésima de un número real elevado a la potencia n: para cualquier ,Zn se cumple que:

aaaa n

nn/nn n

1

Raíz enésima de un producto: la raíz enésima de un producto es igual al producto de ls raíces enésimas de los

factores. Para cualquier ,Zn se cumple que nnn baba

Raíz enésima de un cociente: la raíz enésima de un cociente es igual al cociente de las raíces enésimas del

dividendo y del divisor. Para todo ,Z,b,a,n se cumple que:

n

nn

b

a

b

a

Raíz enésima de una raíz: la raíz enésima de una raíz es igual a otra raíz, cuyo índice es el producto de los

índices. Para todo ,Z,b,n,m se cumple que: nmn m bb

Propiedad fundamental de los radicales: Se puede multiplicar o dividir el índice de la raíz y el exponente del radicando por un mismo número y el valor de la raíz no cambia, por tanto

Nkdonde,bbbbn nn/mkn/kmkn km

Se debe tener en cuenta que si n es par, entonces el radicando debe ser positivo para que exista una raíz real.

2.3 Racionalización de raíces. Cuando tenemos fracciones con raíces en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan raíces en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de raíces de los denominadores. Según el tipo de raíz o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente. Se pueden dar varios casos:

a. Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.

Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción , multiplicaremos numerador y denominador

por

b. Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz

cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa.

Por ejemplo , multiplicamos numerador y denominador por

En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una diferencia, o sea una expresión del

tipo

c. Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n, se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n que complete una potencia de exponente n.

Por ejemplo:

Factorizamos el radicando del denominador: , y como , vamos a multiplicar numerador y

denominador por para completar la potencia de 5

2.4 Notación científica

No ta ció n cie n tífica . E scri tu ra ab re viad a d e n úm er os e n tér min os d e po ten cia s de 10 .

P ara nú me ro s ma yo re s qu e la un id ad : P a ra n úm er os m en ore s qu e la un id ad :

S um a: P ara su ma r o r esta r nú me ro s ex pre sad o s en no ta ció n ci en tífica , se r eq uie re qu e su s

e xpo ne nte s sea n ig u ale s, lo s pre fijo s se su ma n n or malme nte y se coloca la p ote ncia 1 0 e le vad a a l m ismo e xpo ne nte .

2.4 x 10 3 + 7.1 x 103 = (2.4+7 .1) x 10 3 = 9.5 x 103

S i los e xp on en tes d e la s can tid ad es d e la sum a n o so n i gu ale s, de be mo s re cor re r el p u nto d e cima l de a lgu no de lo s pr efijo s, con lo cu a l cam bia e l exp on en te d e la b ase de 10 . E l a ju ste se h ace d e m an er a

q ue a m bo s e xpo n en te s qu ed e n ig ua le s.

P ara log ra r esto e l exp on en te di smin uye en u no p or c ad a lug a r qu e el p un to de cim al se re cor re a l a d ere ch a, y q ue e l e xpo ne nte au m en ta e n u no p or ca da lu ga r q ue e l p un to d ecima l se re cor re a l a

izq uierd a.

C ua nd o e l pu nto de cima l se r eco rre a la de re cha el e xpo ne n te dism in uye .

C ua nd o e l pu nto de cima l se r eco rre a la izqu ie rd a e l exp on en te a um en ta.

Mu lt ip lic ac ió n

Cu an do se m ultip lica n p ote ncia s qu e tie ne n l a mism a b ase se su ma n sus e xpo ne n te s.

(300 0 00) x (200 000 000) = (3 x 10 5) x (2 x 1 08) = 6 x 1 05 + 8 = 6 x 1013

Div is ión

P ara d ivid ir n úm e ros exp re sad os e n no ta ció n c ien tífi ca, lo s pr efij os n um é r icos se d ivid en y a l

e xpo ne nte d e l divi de nd o se le re sta e l exp o ne nte d el d iviso r.

0.0 08 = 8 x 10 -3 = 2 x 10 –3 –2 = 2 x 10 -5

400 4 x 10 2

Cuente el núm ero de luga res que d ebe mov erse de derecha a izquierda para ubicar una com a de ta l m anera que s e forme un núm ero c omprendido entre 1 y 10.

Esc riba el núm ero form ado seguido de l signo x y e l número 10.

Colóquele al v alor de 10 un exponente c orrespondiente

al núm ero de l uga res que debió rec orrer en el prim er punto.

Com o el núm ero es may or que la unidad el signo del

exponente es pos itiv o.

Cuente e l núm ero de lugares que d ebe m overs e la com a de i zquierda a derec ha de ta l m anera que s e forme un número com prendido e ntre 1 y 10.

Esc riba el núme ro fo rm ado seguido del s igno x y e l núm ero 10 . Colóquele al v alor de 10 un exponente c orrespondiente

al núm ero de lugares que debió c orrer la com a. Com o el número es menor que la unidad, el s igno del

exponente es n ega tiv o.

ACTIVIDAD 2. POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

Analizar

Resolver Situaciones Problema

Aplicar

Resolver las siguientes operaciones expresando los resultados en notación científica, recuerda que antes de realizar la

operación debes escribir todos los números en notación científica:

0,0000035 + 1,24 x 10-4 = 8567900 * 4,5 x 104 = 0,0024 / 1230 = 3,5 x 107 – 8903456 = 7,078 x 10-6

* 3,21 x 10-10 = 0,0012 – 0,0003 = 1 / 6,023 x 1023 = 1,4 x 1035

* 4,7 x 10-45 =

4560000000000 + 980000000000 =

Racionalizar XIII. En las siguientes fracciones racionalizar el denominador

2

5

5

3

2

1

3

1

7

3

32

3

32

5

3

4

ab

ab

4 22

5

m

m

4 2

²3

a

a

5 ²

3

x

x

5 ³

2

a

a

5 ²2

3

a

a

6 23

10

325

23

2372

32

23

32

35

51

232

26

3263

13

Reforzar

XIV. Simplificar los siguientes planteamientos aplicando todas las posibles propiedades de potenciación

y/o radicación

3. CONCEPTOS BÁSICOS: Término algebraico: Un término algebraico es el producto de una o más variables y una constante literal o numérica. Ejemplos: 3x2y ; 45 ; m En todo término algebraico podemos distinguir: Signo, coeficiente numérico y factor literal. Grado de un término: Se denomina grado de un término algebraico a la suma de los exponentes de su factor literal. Expresiones algebraicas: Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de adición, uno o más términos algebraicos.

Ejemplo:

Cantidad de términos: Según el número de términos que posea una expresión algebraica se denomina:

Monomio : Un término algebraico : a2bc4 ; –35z Binomio : Dos términos algebraicos : x + y ; 3 – 5b Trinomio : Tres términos algebraicos : a + 5b -19 Polinomio: Más de dos términos algebraicos: 2x – 4y + 6z – 8x2

Grado de un polinomio: El grado de un polinomio está determinado por el mayor grado de alguno de sus términos cuyo

coeficiente es distinto de cero. 3.1 VALORACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final. Veamos un ejemplo: Valoremos la expresión: 5x2y – 8xy2 – 9y3, considerando x = 2; y = –1 No olvidar:

Veamos el ejemplo propuesto: 5x2y – 8xy2 – 9y3

TEMA 3. EXPRESIONES ALGEBRICAS Y OPERACIONES.

1. Reemplazar cada variable por el valor asignado.

2. Calcular las potencias indicadas

3. Efectuar las multiplicaciones y divisiones

4. Realizar las adiciones y sustracciones

cabab 653

2 2

322322 19128125985 yxyyx

= )1(9128)1(45

= 2791620

3.2 EL LENGUAJE ALGEBARICO

1. Escribir algebraicamente las siguientes expresiones verbales.

a. Restar 17 de un número.: .

b. La diferencia cuando -3 se resta de un número.: .

c. El triple de un número: .

d. Los 3/8 de un número.: .

e. El producto de un número y 14.: .

f. El cociente de un número y -5: .

g. Las tres quintas partes de un número: .

3.3 OPERACIONES CON POLINOMIOS

Suma. Para sumar dos o más polinomios se reducen los términos semejantes.

286

11)53(71

15713

15713

15713:

2

2

22

22

22

xx

xx

xxxx

xxxx

xxconxxsumar

Resta. La resta de polinomios se realiza sumando al minuendo con el opuesto aditivo del sustraendo. (Recuerde : )( baba ).

8169

)71()97()54(

795174

795174

174795

2

2

22

22

22

xx

xx

xxxx

xxxx

xxdexxrestar

Uso de paréntesis:

En álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Para eliminar paréntesis debes fijarte en el signo que tengan:

- Si es positivo , se elimina manteniendo todos los signos que están dentro de él. - Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él.

Ejemplos:

Es el valor numérico

312 xaaxa 2) 3x – (6x + 1) + (x –3 )

222312 xaxaaxa 3x – 6x – 1 + x – 3 = –2x – 4

Observación:

1. Si en una expresión algebraica existen paréntesis dentro de otros, se empiezan a eliminar desde el más interior. Ejemplo:

2222 237 nmnmnmnm

2222 237 nmnmnmnm =

2222 237 nmnmnmnm

222222 342237 nmnmnmnmnmnm

Multiplicación. El producto de dos polinomios se encuentra aplicando la ley distributiva y las propiedades de la potenciación.

12

1243

)3(4)3(

)3)(4(

24

224

222

22

aa

aaa

aaa

aarMultiplica

División de Polinomios. La división de polinomios algebraicos se realiza de forma similar al proceso de división de números enteros.

División entre monomios. Se dividen los coeficientes, luego se agrupan las bases y se restan los exponentes.

25

32

510

2

z

x

xyz

yzx

División de polinomio por monomio. Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio y se repite el proceso anterior.

825

3

24

3

6

3

15

3

246152

2

2

3

2

2

2

232

mp

n

np

m

pmn

pmn

pmn

pn

pmn

nm

pmn

pmnpnnm

División de polinomio por polinomio. Los pasos a seguir son:

a. Se ordenan los polinomios con respecto a una de las variables. b. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor; así se obtiene el primer término del cociente. c. Se multiplica el término del cociente por cada uno de los términos del divisor. Antes de efectuar la operación, se cambia el signo de dicho producto y se reducen términos semejantes. d. Se baja el siguiente término y se repite el proceso.

Recodar que siendo D(x) dividendo y d(x) el divisor, la división es la operación que tiene por objeto hallar otro polinomio denominador cociente c(x), de tal modo que se verifique que D(x) = d(x)·c(x) + r(x) siendo r(x) otro polinomio residuo, cuyo grado es menor que el grado del divisor.

ACTIVIDAD 3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Intrepretar. Lee cada uno de los enunciados y luego selecciona la respuesta correcta entre las cinco

opciones dadas. 1. El antecesor del número natural 5(n – 1) está representado por:

a) 5n b) 5n - 1 c) 5n - 3 d) 5n - 4 e) 5n - 5 2. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa un número que tiene m unidades menos que el

número n?

a) n – m b) m + n c) m – n d) n : m e) m : n 3. El papá de Alvaro tenía x años cuando él nació. Si ahora Alvaro tiene y años. ¿Qué edad tendrá el

papá en y años más?

a) 2y b) x + 2y c) 2x + y d) x – 2y e) 2x – y 4. Si y es el antecesor de x + 2, entonces el doble del sucesor de y, expresado en función de x es:

a) 2x + 2 b) 2x + 3 c) 2x + 4 d) 2x + 6 e) 2x + 8 5. El promedio entre 5 números naturales consecutivos es k, ¿cuál es el número central?

a) k + 5 b) k - 5 c) 5k d) 3k e) k 6. La expresión que representa al enunciado “el cuadrado de la diferencia entre dos números” es:

a) 2x – 2y b) 2x - y c) x2 - y d) (x – y)2 e) x2 – y2 7. “Al número h se le suma m, dicha suma se divide por k y el resultado se multiplica por p”, se

representa por:

a) (h + m : k) · p

b) (h + m · p) : k

c) h : k + m · p d) [(h + m) : k] · p

e) h · p + m : k

8. Si el inverso multiplicativo de 4

1

n es –6, entonces n =

a) -2 b) -10 c) 23/6 d) 25/6 e) –25/6

9. ¿Cuál es la expresión que corresponde al enunciado: “encontrar un número x cuyo cubo es igual a 8

3

de 56”?

a) 568

3 3 x b) 568

33 x c) 56·8

33

x d)

3

56·8

3

x e) 56:

8

3x

10. El enunciado: “el cuadrado de la suma de dos números a y b es igual al doble de la diferencia de los cuadrados

de esos números”, se expresa:

a) a2+b2 =2a2–b2 b) a2+b2 =2(a-b)2 c) a2+b2 =2(a2-b2) d) (a+b)2 =2(a-b)2 e) (a+b)2 =2(a2-b2)

11. Sean a, b, y c números enteros tales que a – b = c. Si a = 3 y c = 10a, entonces el cuádruplo de b es:

a) 120 b) 30 c) –27/4 d) -108 e) -27 12. “El cubo del doble de la diferencia de p y q”, se representa por:

a) 2(p3 – q3) b) 2(p – q)3 c) (2p – 2q)3 d) [2(p – q)]3 e) 3[2(p – q)]

13. Si a = 2/3 y b = 1/2, entonces el aditivo inverso de ab es:

a) –1/3 b) 1/3 c) 1/6 d) –1/6 e) 3 14. La expresión (2x)3 se lee:

a) El doble del cubo de un número b) El doble del triple de un número c) El cubo del doble de un número d) El cubo del cuadrado de un número e) El triple del doble de un número

15. Dentro de 10 años Rafael tendrá el triple de la edad que tiene ahora. Entonces ahora tiene:

a) 2 años b) 3 años c) 4 años d) 5 años e) 6 años 16. Siendo n un número entero, el cuociente entre un número impar cualquiera y el número impar que le

antecede es:

a) 1n

n b)

n

n 2 c)

n

21 d)

n2

11 e)

32

12

n

n

17. El triple de la diferencia entre 0,6 y su inverso multiplicativo es:

a) 3,2 b) 32 c) –3,2 d) 45/16 e) -3 18. Si el largo de un rectángulo se triplica y su ancho disminuye al 50%, entonces se afirma que su área:

I) se hace 1,5 veces mayor II) se incrementa en el 50% III) aumenta en el 150%

de estas afirmaciones son verdaderas:

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II e) I, II y III 19 . Si se triplica la expresión 35 se obtiene:

a) 36 b) 315 c) 95 d) 96 e) 915

20. El doble de un número n más su cuadrado, se expresa por:

a) 2n2 b) 2n3 c) n2(n+1) d) 3n e) n(2+n)

Traducir

Resolver Situaciones Problema

2.

Aplicar

13. Encontrar la expresión algebraica que indique el área sombreada en cada caso.

Visualizar 14, Buscar una expresión para el perímetro y el área de la región no sombreada en cada uno de los rectángulos:

Resolver Situaciones Problema 15. Problemas de aplicación: a. Un rectángulo tiene un perímetro de 20m. Expresar el área del rectángulo como una relación de la longitud x de

uno de sus lados.

b. Un rectángulo tiene un área de 16 m2. Expresar el perímetro “P” del rectángulo como una relación de la longitud

“x” de uno de sus lados.

c. Expresar el área “A” de un triángulo equilátero como una relación de la longitud “x de un lado.

d. Expresar el área “A” de un cubo como una relación de su volumen “V”.

e. Expresar el radio “r” de un circulo como una relación de su área “A”.

f. Una caja rectangular abierta con un volumen de 12 pies3 tiene una base cuadrada. Expresar el área de la

superficie A de la caja como una relación de la longitud “x” de un lado de la base.

g. Una ventana tiene la forma de un rectángulo con un semicírculo sobrepuesto . Si el perímetro de la ventana es de

9m, expresar el área A de la ventana como una relación del ancho “x “ de la misma.

h. Una empresa necesita envasar un producto en recipientes cilíndricos de manera tal que el diámetro de la base

sea la mitad de la altura.¿Con qué dimensiones construyen la lata si ésta debe tener una capacidad de 350cm3?

Encontrar una fórmula que les permita calcular el volumen de la lata en relación de la altura.

i. Un edificio necesita un tanque de agua en forma de paralelepípedo de base cuadrada de arista “x” y cuya altura

exceda en 10 cm a la cuarta parte del lado de la base.

a) ¿Qué volumen tendrá un tanque que tenga 1m de ancho?

b) ¿Qué volumen tendrá el tanque si tiene 1 m de altura?

c) Encuentre una relación que permita calcular el volumen del tanque en relación del lado de su base

j. En una empresa, se conoce la relación precio unitario P(x) y la función costo en la producción y venta de “x” miles

de unidades de determinado artículo, C(x). Estas relaciones están dadas por las siguientes fórmulas: P(x)= 8 –

0,7x C(x) = 6 + 1,3x

- Si el ingreso es el producto de la cantidad de artículos vendidos por el precio unitario, escriban la fórmula de la

relación ingreso I(x)

- Si la ganancia es la diferencia entre el ingreso y el costo,¿cuál es la fórmula correspondiente a la relación ganancia

G(x) para este artículo?

k. Matías estaba diseñando un programa de computación para construir cajas con forma de prisma recto de base

rectangular. Para ello, decidió que las medidas de las aristas de dicho prisma surgieran como funciones de una

cierta variable “x”. Tuvo problemas con la computadora y perdió parte de la información. Sólo recuperó las

expresiones del volumen del prisma y de dos aristas. ¿cómo puede hacer para hallar la expresión de la tercer arista

si sabe que:

V(x) = 80x3 + 158x2 + 101x + 21

A(x)= 2x + 1 B(x) = 5x + 3 A(x) y B(x) son las aristas.

4.1 Productos notables

Definición

Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple

inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es

clásico y por esto se le reconoce fácilmente.

1. Binomio de Suma al Cuadrado

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. Binomio Diferencia al Cuadrado

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

3. Diferencia de Cuadrados

(a + b) (a - b) = a2 - b2

4. Binomio Suma al Cubo

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

= a3 + b3 + 3ab (a + b)

5. Binomio Diferencia al Cubo

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

6. Suma de dos Cubos

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

* Diferencia de Cubos

a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

* Trinomio Suma al Cuadrado ó

Cuadrado de un Trinomio

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

= a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ac)

* Trinomio Suma al Cubo

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a +

c)

* Identidades de Legendre

(a + b)2 + (a – b)2 = 2a2 2b2 = 2(a2 + b2)

(a + b)2 + (a – b)2 = 4ab

* Producto de dos binomios que tienen

un término común

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b) x + ab

4.2 Factorización

4.2.1 Factor Común

Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo

en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo:

x3y + x2y2 – 2xy = xy (x2 + xy – 2)

4.2.2. Factor Común por agrupación de términos

Aquí utilizaremos el caso anterior, adicionando que uniremos los factores que se parezcan, es decir, los

que tengan un factor común. Ejemplo:

ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)

= x (a + b) + y (a + b)

= (a + b) (x + y)

4.2.3. Trinomio cuadrado perfecto: Este nombre es otorgado a los trinomios que cumplen con las

siguientes características:

El primer y tercer término se tiene raíz cuadrada exacta y son positivos.

El segundo término es igual a dos veces el producto de las raíces cuadradas y puede ser positivo o

negativo. y se factoriza como una suma o diferencia, dependiendo del segundo término, elevado al

cuadrado, se factoriza así:

a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2

4.2.4. Diferencia de cuadrados:

Para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de cuadrados siempre y cuando los

términos que la componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta, se

factoriza así:

x2 – y2 = (x + y) (x – y)

TEMA 4. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

http://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/desorgan/desorgan.shtml

4.2.5. Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción:

En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda

aplicar trinomio cuadrado perfecto.

m4 – 10m2n2 + 9n4

Resolviéndolo nos queda:

m4 – 10m2n2 + 9n4 + 4m2n2 – 4m2n2

m4 – 6m2n2 + 9n4 – 4m2n2

(m2 – 3n2) 2 – (2mn) 2

Aplicamos diferencia de cuadrados:

[(m2 – 3n2) + 2mn] [(m2 – 3n2) -2mn]

4.2.6 Trinomio cuadrado de la forma x2 + bx + c

Este trinomio debe cumplir con las siguientes características:

Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula).

El primer término debe ser positivo y tener raíz cuadrada exacta.

La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raíz cuadrada del término número

uno.

Existen dos números que:

M + m = byM.m = c

Es decir:

x2 + bx + c = (xn + M) (xn + M)

4.2.7. Trinomio cuadrado de la forma ax2n + bxn + c

Debe cumplir con las siguientes características:

Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula).

El primer término debe ser positivo, tener un coeficiente a diferente de 1 y la parte literal debe tener

raíz cuadrada exacta.

La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raíz cuadrada del término número

uno.

Cumpliendo con todas las características anteriores se procede a factorizar transformando el

trinomio dado en uno de la forma.

x2n + bxn + c

De la siguiente forma:

ax2n + bxn + c

Luego se procede a multiplicar y dividir por la variable que acompaña al primer término (esto con el fin de

no alterar el ejercicio) de la siguiente forma:

a (ax2n + bxn + c)

a

Y se opera, dando como resultado:

(axn)2 + b (axn) + ac

a

Y de esta forma nos queda como un trinomio de la forma anterior.

4.2.8 Cubo perfecto de Binomios

Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Y

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Es decir que debe cumplir con las siguientes características:

Debe tener cuatro términos.

Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos.

Que el segundo término sea aproximadamente el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer

término multiplicado por la raíz cúbica del último término.

Que el tercer término sea más que el triple de la raíz cúbica del último.

Raíz cúbica de un monomio: esta se obtiene tomando la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el

exponente de cada letra entre 3. Factorizar una expresión que es el cubo de un binomio:

(1 + 12a + 48a2 + 64a3)

4.2.9 Suma o Diferencia de Cubos

Para esto debemos recordar que:

a3 + b3 = (a+b). (a2 - ab + b2)

a3 - b3 = (a-b)( a2 + ab + b2)

Tenemos que tener en cuenta las siguientes reglas para desarrollarlo:

La de sus cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La suma de sus raíces cúbicas 2. El

cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La diferencia de sus raíces

cúbicas. 2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la

segunda raíz.

ACTIVIDAD 4. PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN Analizar

Aplicar

IV Aplicaciones en la geometría

1. Determinar el área de un cuadrado de lado:

Lado Area

2. Determinar el área del rectángulo de base (b) y altura (a) Base Altura Area

3. Determinar el volumen de un cubo de arista: Arista Volúmen

(

Factorizar

V. Factorizar hasta su mínima expresión.

Factorizar los siguientes trinomios en dos binomios :

1) x2 + 4x + 3 =

2) b2 + 8b + 15 =

3) r2 - 12r + 27 =

4) h2 - 27h + 50 =

5) x2 + 14xy + 24y2 =

6) x2 + 5x + 4 =

Factorizar al máximo los siguientes trinomios

Factorizar los siguientes binomios cuadrados:

Factorizar trinomios cuadrados perfectos:

Factorizar suma y diferencia de cubos:

Aplicar VI. Se necesita realizar una serie de diseños para cubrir superficies de forma rectangular utilizando las siguientes baldosas

como modelos base.

1. Determinar el área de cada baldosa.

2. Utilizando las baldosas dadas diseñar cuadrados cuya área éste representada por los polinomios indicados y completar

la siguiente tabla.

Area Lado

3. Utilizando las baldosas diseñar rectángulos cuya área éste representada por los polinomios indicados y completar la

siguiente tabla.

Area Largo Ancho

8102 2 xx

573 2 xx

5.1 FRACCIONES ALGEBRAICAS

Fracción algebraicas: es toda expresión de la forma )x(q

)x(p, donde p(x), q(x) P(x); q(x) 0.

El polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica Ejemplos:

)2x,4x(8x2x

4x3)d(

7

y3x2)c(

2

3x

3x2

8)b()3x(

3x

5x)a(

2

5.1.1 Simplificación de expresiones algebraicas Una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su denominador se pueden dividir por un mismo factor. Ejemplos Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

(a) 2

2

32

32

5

33

b7

a8

ab3b7

ab3a8

ab21

ba24

(b) y4x2

y10x5

Observa que al factorizar el numerador y denominador de esta fracción, descubrimos que tienen un factor común que es (x – 2y), entonces:

2

5

)y2x(2

)y2x(5

y4x2

y10x5

(c) 16x

12x7x2

2

Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que:

)4x)(4x(16x

)3x)(4x(12x7x

2

2

Luego:

4x

3x

)4x)(4x(

)3x)(4x(

16x

12x7x2

2

(d) 1xx

1x2

3

Podemos además factorizar el numerador de la fracción, dado que: x3 – 1 =(x – 1)(x2 + x +1) Entonces:

1x)1xx(

)1xx)(1x(

1xx

1x2

2

2

3

5.1.2 Amplificación de fracciones

TEMA 5. FRACCIONES ALGEBRAICAS

Toda fracción algebraica se puede amplificar, multiplicando el numerador y el denominador por un mismo factor. La fracción obtenida es equivalente Ejemplos:

(a) Amplificada por 2, la fracción 4x2

6x2

2)2x(

2)3x(es

2x

3x

(b) Amplificada por 3am la fracción amn6am21

abm24ma15

am3)n2m7(

am3)b8a5(:resulta,

n2m7

b8a52

2

(c) Si se desea convertir el denominador de la fracción mn3

x8en un cuadrado perfecto, debemos amplificar por

3mn 22nm9

mnx24

mn3

mn3

mn3

x8

(d) Si en la fracción ba

ba

deseamos convertir el numerador en un cuadrado perfecto, debemos amplificar la

fracción por (a + b). 22

2

ba

)ba(

)ba(

)ba(

)ba(

)ba(

5.1.3 Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas Un polinomio p(x) es el mínimo (m.c.m.) de un conjunto de polinomios dados, si p(x) es el polinomio de menor grado divisible por cada uno de los polinomios del conjunto. Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada caso el de mayor exponente. Ejemplos.

Polinomios factores m.c.m.

yx12

xy6

yx9

5

4

2

yx32

yx32

yx3

52

4

22

45

4522

yx36

yx32

2x

2x3x

9x6x

6x5x

2

2

2

)2x(

)1x)(2x(

)3x(

)3x)(2x(

2

)1x()3x)(2x( 2

b5a5

ba

a3b3

ba

22

)ab(5)1(

)ab)(ab()1(

)ab(3

)ab()1(

)ab(15

)ab)(ab(531

22

)yx(2

yxyx

y6x6

22

33

)yx(2

yxyx

)yxyx)(yx(23

22

22

)yx(6

)yxyx)(yx(23

33

22

5.1.4 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS 5.1.4.1 Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores iguales Para la adición y sustracción de fracciones algebraicas con igual denominador, se procede del mismo modo que en las fracciones aritméticas: se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores.

Ejemplos Consideremos los siguientes casos

(a) 5

19x17

5

19x14x3

5

)19x14()x3(

5

19x14

x

3

(b)

x

b23a10

x

b19a17b4a7

x

)b19a17()b4a7(

x

b19a17

x

b4a7

(c)

b3a2

b5a8

b3a2

b2a7

b3a2

b9a5

b3a2

b6a4

b3a2

)b5a8()b2a7()b9a5(

Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene:

2)b3a2(

)b3a2(2

Entonces: 2b3a2

b5a8

b3a2

b2a7

b3a2

b9a5

5.1.4.2 Adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos En la adición y sustracción de fracciones algebraicas con denominadores distintos es necesario obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores (mínimo común denominador) A continuación se amplifican las fracciones, expresándolas todas con el denominador común Ejemplos: Consideremos los siguientes casos:

(a) yx10

y3x2

xy15

y4x322

Calculemos el m.c.m. de los denominadores factorizándolos:

yx52yx10

yx53xy15

22

22

m.c.m. = 2222 yx30yx532

Como el denominador común es 30x2y2, debemos amplificar las fracciones para igualar los denominadores:

22

22

22

22

22

222222

yx30

y9xy14x6

yx30

y9xy6xy8x6

yx30

)y3x2(y3)y4x3(x2

yx30

)y3x2(y3

yx30

)y4x3(x2

yx10

y3x2

xy15

y4x3

(b) b4a4

a6b

b3a3

ba2

Calculemos el mínimo común múltiplo de los denominadores:

)ba(4b4a4

)ba(3b3a3

m.c.m.= )ba(12)ba(43

Luego, amplifiquemos las fracciones:

)ba(12

b7a26

)ba(12

a18b3b4a8

)ba(12

)a2b(3)ba2(4

)ba(12

)a6b(3

)ba(12

)ba2(4

b4a4

a6b

b3a3

ba2

(c) 12mm

20m9

6mm

m61322

Calculemos el mínimo común múltiplo de los denominadores:

)4m)(2m)(3m(.m.c.m

)4m)(3m(12mm

)2m)(3m(6mm

2

2

Luego, amplificamos las fracciones.

)4m)(2m)(3m(

12m13m3

)4m)(2m)(3m(

40m18m20m9m2452m6m13

)4m)(2m)(3m(

)20m9)(2m()m613)(4m(

)4m)(2m)(3m(

)20m9)(2m(

)4m)(2m)(3m(

)m613)(4m(

)4m)(3m(

20m9

)2m)(3m(

m613

12mm

20m9

6mm

m613

2

22

22

Factoricemos el numerador:

43312133 2 mmmm

Obtenemos:

8m6m

4m3

)4m)(2m(

4m3

)4m)(2m)(3m(

)4m3)(3m(

)4m)(2m)(3m(

12m13m3

2

2

Entonces:

8m6m

4m3

12mm

20m9

6mm

m613222

5.1.4.3 Multiplicación de fracciones algebraicas En la multiplicación de fracciones algebraicas se procede igual que en las fracciones aritméticas: se multiplican numeradores y denominadores entre si, simplificando si es posible Ejemplo:

(a) yw7

xz6

w

z2

y7

x3

(b) x2

y10x15

y4x9

xy2x322

2

Factorizamos los polinomios y simplifiquemos.

2

5

x2

)y2x3(5

)y2x3)(y2x3(

)y2x3(x

(c) 7m7

21m7

m8m2m

mm

9m

6m5m223

3

2

2

Factoricemos y simplifiquemos

4m

1

)1m)(1m(7

)3m(7

)2m)(4m(m

)1m)(1m(m

)3m)(3m(

)2m)(3m(

)1m(7

)3m(7

)8m2m(m

)1m(m

)3m)(3m(

)2m)(3m(22

2

Entonces:

4m

1

7m7

21m7

m8m2m

mm

9m

6m5m223

3

2

2

5.1.4.4 División de fracciones algebraicas Las divisiones de fracciones algebraicas se resuelven igual que las fracciones aritméticas: se multiplica la fracción dividiendo por el inverso multiplicativo de la fracción divisor Ejemplos:

(a) x3

y4

x9

y20

y5

x3

y20

x9:

y5

x3 2

2

3

3

2

(b) y12x6

y45x15

y15x5

y4x2

y45x15

y12x6:

y15x5

y4x2


11

1

)y2x(6

)y3x(15

)y3x(5

)y2x(2

(c) yx

y2x2

1

yx

y2x2

yx:yx

2222

Al factorizar y simplificar resulta:

2)yx(2yx

)yx(2

1

)yx)(yx(

(d) 98a14

1

12a6

14a5a98a14:

12a6

14a5a 22


84

1

)7a(14

1

)2a(6

)2a)(7a(

5.1.4.5 OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Para resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en primer lugar aquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y divisiones tienen prioridad. Ejemplos

(a) 4

a3

2

a

5

a2

Calculamos primero el producto indicado y luego sumamos las fracciones

40

)a1516(a

40

a15a16

40

a35a28

8

a3

5

a2

4

a3

2

a

5

a2 222

(b) x

4

16

x5

2

x3 2

En primer lugar efectuamos la multiplicación y enseguida la adición

4

x11

4

x5x6

4

x51x32

4

x5

2

x3

x

4

16

x5

2

x3 2

(c)

4

5

y15x10

y12x8:

y9x4

y3x222

Calculemos primero el producto del paréntesis, factorizando previamente el numerador y el denominador, para simplificar si es posible.

y3x2

y3x2:

y9x4

y3x2

4

5

)y3x2(5

)y3x2(4:

y9x4

y3x22222

Ahora dividimos, multiplicando la fracción dividendo por la fracción divisor invertida :

y3x2

1

y3x2

y3x2

)y3x2)(y3x2(

y3x2

Operar I. Realizar las siguientes sumas y restas entre fracciones algebraicas:

Actividad 5. FRACCIONES ALGEBRAICAS

II. Efectuar las siguientes multiplicaciones (.) y divisiones (:) con fracciones algebraicas:

a) by

ax

ax

y

10

25 2

2

2

b)

316

87

54

43

yx

yx

yx

yx

c)

9x3

2x2

1x

6x5x 2

d)

15x8x

28x3x

14x5x

6xx2

2

2

2

e)

28m3m

32m4m:

21m4m

48m14m2

2

2

2

f) 22

2

ab2

my14:

ab

m7

g)

3x3

15x5:

1x

15x8x2

h)

18x3x

14x5x:

6xx

14x9x2

2

2

2

i)

15m8m

24m11m:

20mm

16m8m2

2

2

2

j)

30xx

6x5x:

15x8x

3x2x2

2

2

2

Aplicar

III. Si el perímetro de una figura geométrica es la suma de los valores de todos sus lados y el área el producto de la base por la altura. Expresar en forma algebraica el perímetro y el área de una de las caras con mayor área de la siguiente figura en la forma más simple posible:

I

263 xx

xx 43

532 2 xx

V. Una lámina rectangular de estaño de largo x y perímetro 96 cm se utiliza para confeccionar una caja sin tapa. Para

ello se corta un cuadrado de 4cm de lado en cada esquina y se sueldan los bordes. Escribir la expresión algebraica que representa el volumen de la caja.

VI. En el estudio de los espejos la distancia do del objeto (y) al centro óptico O y la distancia di de la imagen (y´) al centro óptico O se relacionan mediante la expresión 1/do + 1/di = 1/f , en donde f representa el foco del espejo.

Si en un espejo do= 3

122

x

xx , di=

2

1xdeterminar la expresión que representa la posición del foco.

Analizar

IX. En el estudio de los espejos el aumento de tamaño A es la razón entre el negativo de la distancia di de la imagen (y´) al centro óptico O y la distancia do del objeto (y) al centro óptico O dado por A=- di/ do

Si en un espejo do= 5-4x+x2

, di= 3-2x+x2

determinar la expresión simplificada que representa el aumento de

tamaño.

6.1 CONCEPTOS BÁSICOS: Una ecuación es una propuesta de igualdad en la que interviene alguna letra llamada incógnita. La solución de la ecuación es el valor o valores de las incógnitas que hacen que la igualdad sea cierta. Resolver una ecuación es hallar su solución, o soluciones, o llegar a la conclusión de que no existe. 6.2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO Una ecuación de primer grado es una expresión que se puede reducir a la forma ax + b = 0Tiene una única solución: x = - b/a. Existen expresiones que parecen ecuaciones de primer grado y que, sin embargo, no tienen solución o tienen infinitas soluciones: 3x – 5 = 3(x + 1) 0x = 8 No tiene solución. 3x – 5 = 3(x – 2) + 1 0x = 0 Tiene infinitas soluciones Realmente, estas igualdades no son ecuaciones, pues carecen del término en x. Sin embargo, puesto que antes de simplificar no sabemos en qué van a quedar, las trataremos como ecuaciones. 6.2.1 ECUACIONES EQUIVALENTES Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución o ambas carecen de solución. 6.2.2 TRANSFORMACIONES QUE MANTIENEN LA EQUIVALENCIA DE ECUACIONES. Para resolver una ecuación, hemos de despejar la x mediante una serie de pasos. Cada paso consiste en transformar la ecuación en otra equivalente en la que la x esté más próxima a ser despejada:

Transformación Sumar o restar la misma expresión en los dos miembros de la igualdad. Multiplicar o dividir los dos miembros por el mismo número distinto de cero.

Regla práctica Lo que está sumando en un miembro pasa restando al otro miembro. Y viceversa. Lo que está multiplicando a todo lo demás de un miembro pasa dividiendo a todo lo demás del otro. Y viceversa.

6.3.3 PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Quitar paréntesis, si los hay. Quitar denominadores, si los hay. (Hacer m.c.m) Pasar los términos en x a un miembro y los números al otro miembro. Simplificar cada miembro. Despejar la x. Se obtiene, así, la solución. Comprobación: Sustituir la solución en cada miembro de la ecuación inicial para comprobar que coinciden los resultados.

Ejemplos: Sumando la misma cantidad a cada lado de la ecuación:

TEMA6. ECUACIONES LINEALES

Restando la misma cantidad a cada lado de la ecuación:

Multiplicando a ambos lados de la ecuación por cualquier cantidad no igual a cero:

7.1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

7.2 NÚMERO DE SOLUCIONES La expresión Δ = b2 – 4ac, se llama discriminante de la ecuación. El número de soluciones depende del signo de Δ:

– x0).(x – x1) – x0)2

solución. No se puede factorizar 7.3 REGLAS PARA RESOLVER ECUACIONES DE 2º GRADO 1. Si la ecuación de segundo grado es completa, aplicar la fórmula. 2. Si la ecuación de segundo grado es incompleta, resolverla sin la fórmula, sacando factor común o despejando. 3. Si tiene una fisonomía complicada, arréglala: quita denominadores, suprime paréntesis, agrupa términos y pásalos todos al primer miembro,...Sólo cuando esté simplificada, aplica uno de los métodos anteriores. 4. Comprueba las soluciones. Y si la ecuación proviene de un problema con enunciado, haz la comprobación sobre el enunciado, pues es posible que alguna de las soluciones carezca de sentido real. 7.4 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES Plantear una ecuación a partir de un problema es traducir al lenguaje algebraico las condiciones que ligan lo que se sabe con lo que se desea conocer. Conviene

TEMA 7. ECUACIONES CUADRÁTICAS

proceder de forma organizada, por lo que es útil dar estos pasos: 1. Identificar los datos conocidos, lo que deseamos conocer y dar nombre a la incógnita. 2. Relacionar mediante una igualdad (ecuación) lo conocido con lo desconocido. 3. Resolver la ecuación 4. Comprobar e interpretar la solución ajustándola al enunciado. Ejemplo:

Por ejemplo, es una ecuación factorizable porque puede ser factorizada por los factores lineales

(3x - 4) y (x + 2). O sea, = (3x - 4)(x + 2). Para resolver una ecuación mediante este método

primero se escribe la ecuación en la forma . Luego se factoriza la expresión en factores lineales. Y por último se determina el valor de x . Como por ejemplo:

7.5 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS MEDIANTE FÓRMULA CUADRÁTICA

Cuando la ecuación cuadrática está en su forma estándar ( ) y se nos hace difícil encontrar sus raíces mediante factorización, podemos utilizar el método de la fórmula cuadrática, el cual usamos para

parear los coeficientes de con a, el coeficiente de x con b y la constante con c. La fórmula cuadrática

es: .

Pasos para Buscar las Raíces de una Ecuación Usando la Fórmula Cuadrática:

Primero verificar que la ecuación esté en su forma estándar y determinar los valores de las variables a, b y c.

Luego utilizar la fórmula cuadrática sustituyendo los valores por las variables.

Por ejemplo:

7.6 OTROS TIPOS DE ECUACIONES REDUCIBLES A SEGUNDO GRADO. Hay ecuaciones que, sin ser de primero ni de segundo grado, se pueden resolver utilizando inteligentemente los recursos que ya tenemos. ECUACIONES BICUADRADAS: ax4 + bx2 + c = 0 Son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar. Para resolverlas hacemos x2 = z y, por tanto, x4 = z2. Se obtiene así una ecuación de segundo grado cuya incógnita es z: az2 + bz + c = 0. Una vez resuelta, se obtienen los correspondientes valores de x. Por cada valor positivo de z habrá dos valores de x, pues x2 = z1 x2 = z2

ACTIVIDAD 6 y 7. ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

1. Operar. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

a) x386x54x56xx30

b) 3x2x3x30x96x3x16

c) 3x44x3253x2x571

d) 5294x52x3x6158x3

e) 34

5

12

8

2

3 xxxx

f)

12

1

3

14

6

11

4

321·3

x

xxx

g) 15

132

5

4

3

4

xxx

h) 12

25

34

5

12

8

2

3

x

xxxx

i)

12

1

3

14

6

11

4

321·3

x

xxx

2. Relacionar. Responder Verdadero (V) o falso (F) a las siguientes expresiones:

3. Aplicar. Resolver las siguientes ecuaciones con coeficiente literal dado que la incógnita es x:

4. Despejar . Hallar las incógnitas en una fórmula:

Resolver situaciones problema.

5. La edad de A es 6 veces la edad de B y en 15 años mas la edad de A será el triple de la edad de B.

Hallar ambas edades.

6. La suma de las edades de A y B es 30 años y 5 años después A tendrá el triple de la edad de B. Hallar

sus edades actuales.

7. Se quieren mezclar vino de 600 pesos. con otro de 35o pesos, de modo que resulte vino con un precio

de 50 pesos el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 litros de la

mezcla?

8. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre

Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión

incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas

cuestiones respondió correctamente?

9. En un puesto de verduras se han vendido 2 Kg de naranjas y 5 Kg de papas por 835 pesos y 4 Kg de

naranjas y 2 Kg de papas por 1.285 pesos Calcula el precio de los kilogramos de naranja y papa.

10. Un comerciante de ultramarinos vende el Kg de azúcar a 1200 pesos Además, tiene café de dos clases;

cuando toma 2 Kg de la primera calidad y 3 Kg de la segunda resulta la mezcla a 750 pesos el Kg y

cuando toma 3 Kg de la primera clase y 2 Kg de la segunda entonces resulta la mezcla a 800 pesos el

Kg ¿Cuál es el precio de cada calidad de café?

11. Calcula dos números que sumen 150 y cuya diferencia sea cuádruplo del menor.

12. Calcula el valor de dos números sabiendo que suman 51 y que si al primero lo divides entre 3 y al

segundo entre 6, los cocientes se diferencian en 1.

13. Calcula las dimensiones de un rectángulo tal que si se aumenta la base en 5 metros y se disminuye la

altura en otros 5 la superficie no varía; pero si se aumenta la base en 5 y disminuye la altura en 4, la

superficie aumenta en 4 metros cuadrados.

14. El área de un triángulo rectángulo es 120 cm2 y la hipotenusa mide 26 cm. ¿Cuáles son las longitudes

de los catetos?

15. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 18º mayor que el otro. ¿Cuánto mide cada

ángulo del triángulo?

16. A las tres de la tarde sale de la ciudad un coche con una velocidad de 80 Km/h. Dos horas más tarde

sale una moto en su persecución a una velocidad de 120 Km/h. ¿A qué hora lo alcanzará? ¿A qué

distancia de la ciudad?

17. Dos pueblos, A y B, distan 155 Km. A la misma hora salen de cada pueblo un ciclista. El de A viaja a una

velocidad de 25 Km/h y el de B a 33 Km/h. ¿A qué distancia de cada pueblo se encuentran? ¿Cuánto

tiempo ha transcurrido?

18. Un depósito se llena por un grifo en 5 horas y por otro en 2 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse abriendo

los dos grifos a la vez?

19. Dos grifos alimentan simultáneamente un depósito tardando 2'4 horas en llenarlo. Si se abriera cada

grifo por separado el primero tardaría 2 horas menos que el segundo. ¿Cuánto tiempo tardaría cada uno

de ellos en llenarlo de manera independiente?

20. Un total de $5000 fue depositado en dos cuentas de interés simple. Una de las cuentas paga el 8 % de

interés simple anual, mientras que la segunda cuenta paga el 12%. ¿Cuánto deberá ser depositado en

cada cuenta para ganar un interés total anual de 520?

21. Un depósito fue hecho en una cuenta de ahorro que paga el 6% de interés simple anual. En otra cuenta

fueron depositados $3500 menos que en la primera cuenta, que paga el 10% de interés simple anual en

una cuenta "money market". Si el total de interés ganado en ambas cuentas al cabo de un año fue $450,

¿cuánto dinero fue depositado en la cuenta que paga el 6%?

Relacionar

22. Determinar si cada una de los siguientes enunciados es Verdadero (V) o Falso (F). En cada

caso justifique su respuesta.

a. ( ) La igualdad 23324 xxx

no tiene solución.

b. ( ) Para quitar los denominadores de la ecuación 3

25

10

52

6

3

2

5

a

aa

se debe multiplicar por

30 a ambos lados de la ecuación.

c. ( ) Para resolver la ecuación 4562

xx empleando la fórmula cuadrática el valor de 6a y

4c .

d. ( ) Al resolver la ecuación mm 113 se tiene como solución a 5m .

23. En una reunión hay el doble número de mujeres que de hombres y el triple número de niños

que de hombres y mujeres juntos. El número de hombres, mujeres y niños que hay en la

reunión, si el total es de 156 personas es, respectivamente:

A. 12 , 24 y 120 . B. 13 , 26 y 127 . C. 18 , 36 y 102 . D. 26 , 52 y 78 . 24. El perímetro del siguiente triángulo es 24 cm. ¿Cuál es la longitud de cada uno de sus lados?

Operar.

25. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas

a) x x2 0 b) 2 02x c) x2 9 0 d) 4 9 02x

x3

x1 x3

e) x x2 2 0 f) 8 16 02x x g) 3 4 282 2x x h) x x2 9 0

i) x2 1 0 j) x2 6 10 k) 1 4 82 x l) x x2 11 0

26. Calculando el discriminante, indicar el número de soluciones de las siguientes ecuaciones:

a) x x2 7 3 0 b) x x2 16 64 0 c) x x2 6 13 0

d) x x2 14 49 0 e) 3 5 2 02x x f) 2 45 02x x

g) x x2 2 0 h) 4 12 9 02x x i) x x2 8 25 0 29.

27. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado factorizando y de no ser posible aplicando

la fòrmula cuadrática. :

a) x x2 8 15 0 b) 2 9 1 02x x c) 4 12 9 02x x

d) x x2 8 25 0 e) 4 12 9 02x x f) 3 2 1 02x x

g) x x2 7 3 0 h) 3 6 12 02x x i) 3 10 3 02x x 28. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 11 21 2 2x x b) 3 1 2 3 6x x x c) 21 100 212x x x

d) 2 1 12 2x x x e) x 2 32

f) 5 3 11 4 1 12

x x

g) 4 1 2 2 12x x h) xx x2

2

1

3

2

3 i) x

x2 3 1

2

2

3

x+2 3x - 4g) =

x - 3 x+2

x+1 x - 3 5h) + =

x+3 x -1 4

2

x+1 3x 1i) + =

x+ 2 4x+ 2

2

5 4j) + = 1

x -1x+1

x² -1 3k) +5=

x - 2 x - 2

x² + x+3 2x+5l) =

x² - x+3 2x+7

2) 7 3m x ) 5 7n x x ) 2 2 2 1 0ñ x x

29. La ecuación 0322 xx tiene como soluciones:

a. -1 y 3 b. -3 y -1 c. -3 y 1 d. 3 y 1 e. 0 y 1

30. Las soluciones o raíces de la ecuación 021102 xx son:

a. -3 y -8 b. 7 y -7 c. -7 y -3 d. 3 y 2 e. -3 y -2

31. En la ecuación 022 pxx una de sus soluciones es -5, luego el valor de p es:

a. 1 b. 8 c. -12 d. 15 e. -15

32. El conjunto solución de la ecuación 11025 2 xxxx es:

a. 2,0

b. 2,0

c. 2

d. 5,2

e. 5,0

33. En la ecuación 60

11

5

7

3

12

xx las raíces o soluciones son:

a. 2 y -3

b. -3 y 3

2

c. -2 y 4

3

d. 5 y 16

1

e. 2 y 1193

34. La ecuación axxa 22 23 tiene como solución :

a. a y a2

b. a y a3

c. a y 2

3a

d. 1 y a

e. -1 y 2

a

35. La ecuación 02 22 aaxx tiene como solución:

a. –a y a2

b. a y a

c. a2 y a

d. a4 y a

e. Ninguna de las anteriores. 36. Resolver las siguientes situaciones aplicando la ecuación cuadrática

37. Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la

finca. 38. Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm3 cortando

un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja. 39. Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme.

Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m². 40. Una lámina rectangular de estaño de perímetro 96cm se utiliza para confeccionar una caja sin tapa. Para

ello se corta un cuadrado de 4cm de lado en cada esquina y se sueldan los bordes. ¿Cuáles son las dimensiones de la lámina usada si el volumen de la caja es de 768cm

8.1 ECUACIONES CON LA X EN EL DENOMINADOR Los denominadores algebraicos, al igual que los numéricos, se suprimen multiplicando por el producto de todos ellos o, mejor, por su mínimo común múltiplo. La ecuación a la que así se llega puede ser de las que sabemos resolver. En el proceso de multiplicar por expresiones polinómicas pueden aparecer soluciones falsas. Por lo tanto, siempre que lo hagamos, debemos comprobar todas las soluciones obtenidas en la ecuación inicial.

Por lo anterior, lo primero que debemos lograr es convertir las ecuaciones fraccionarias en sus equivalentes enteras, luego resolver la ecuación entera. Para lo cual procedemos de la siguiente manera: 1. Hallamos el M.C.D (mínimo común múltiplo de los denominadores). Si es preciso, se factorizan los denominadores. 2. Multiplicamos cada miembro de la igualdad por el M.C.D 3. Se simplifican cada uno de los términos, obteniendo de esta manera una ecuación entera, y equivalente a la primitiva 4. Los términos que tienen la incógnita x se escriben en el miembro izquierdo de la ecuación y, los términos independientes, en el derecho y, teniendo presente que cuando pasamos un término de un miembro a otro lo hacemos con signo cambiado 5. Se reducen los términos semejantes 6. Se simplifica

TEMA 8. OTROS TIPOS DE ECUACIONES

8.2 ECUACIONES CON RADICALES O IRRACIONALES Ecuación Irracional es una igualdad en la que intervienen raíces y cuya incógnita forma parte de una o más cantidades subradicales. Ejemplos:

752 x

3523423 xxx

Para resolver una ecuación irracional debemos elevar cada miembro de ella una o más veces a las potencias que correspondan para eliminar sucesivamente las raíces que contienen a la incógnita. Ejemplo 1 :

752 x /( )2

49522

x

4952 x 2x = 54 x = 27 Nota: Toda ecuación irracional debe comprobarse porque al elevar la ecuación a una potencia par, la ecuación se transforma en otra, por lo que en algunos casos su solución no satisface la ecuación original.

Comprobemos en la ecuación original:

7527·2

7554

749 7 = 7 Por lo tanto x = 27 satisface la ecuación, es decir, es su raíz o solución.

Ejemplo

Resolver 625 xx aquí conviene aislar las raíces:

265 xx

22

265 xx

2212365 xxx

5236212 xxx /( )2

22

33212 x

144(x+2) = 1089 144x+288 = 1089

x = 16

89

8.3 ECUACIONES DEL TIPO (...).(....).(....) = 0 Para que un producto sea igual a cero, es suficiente que lo sea alguno de sus factores. Por tanto, una ecuación de este tipo se puede resolver fácilmente siempre que cada paréntesis de lugar a una ecuación que sepamos resolver. 8.4 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Descripción: El valor absoluto se define como la distancia que hay entre un número y su origen. En general, para resolver una ecuación con valor absoluto debemos buscar aquellos valores que satisfagan la expresión x = k utilizando la siguiente información: x = k es equivalente a: x = k ó x = −k Ejemplos:

ACTIVIDAD 8. OTROS TIPOS DE ECUACIONES

1. Operar. Resolver las siguientes ecuaciones irracionales:

a) 735 xx b) 432 x

c) 24323 x d) 14

3x

e) 11 x f) 23325 3 x

g) 1122

1 4 3 x h) 133 23 xxx

i) 28563 23 xxxx i) 33

2

2

1

2

1

xx

2. Interpretar. Plantea la ecuación y resuelve los siguientes problemas:

a) El área de u triángulo equilátero es 39 m2. Determine el perímetro y la medida de su altura.

b) El volumen de u cubo mide 1728 m3. Calcule la medida de la diagonal de una de sus caras y la medida de la diagonal del cubo.

c) Si la raíz cuadrada de un número se aumenta en dos, resulta 5. ¿Cuál es le número?

d) El volumen de una esfera mide 36 m3. Calcule la medida de su radio. e) Determine el perímetro de un rombo cuyas diagonales tienen como medida 6 m y 8 m, respectivamente. f) El área de un cuadrado es 8 m2. Calcule la medida del área del cuadrado que tiene por lado la diagonal

del cuadrado. g) Determine la medida del área del cubo que tiene como arista la diagonal de un cubo cuyo volumen mide

729 m3.

3. Operar. Resuelva las siguientes ecuaciones:

4

3

14

213)1

x

x

xx

32

58)2

122

4

92)3

xx

13

9

27

3)4

xx

134

52

26

13)5

x

x

x

x

3

2

155

7

62

9)6

xx

2

5

2

4

4

7)7

2

yyy

32

1

94

10

32

4)8

2

uuu

4. Despejar. Dada la fórmula entregada despeje la variable específica.

h r 3

1 2V para h ---- > Volumen de un cono

P = 2I + 2W para W ---- > Perímetro de un rectángulo

tVgtS 0

2

2

1 para V0 ---- > distancia de caída de un cuerpo

)1( qpq

qS

para q ---- > Ley de Amdahl para Supercomputadoras

5. Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto

a) 4x - 1 = 5 R. {-1 , 3/2 }

b) 23

2 x

R. { 0 , 12 }

c) 15

1

x

x

R. { 2 }

d) 21

32

x

x

R. { 5/4 }

e) 414

3

x

R. { -4 , 20/3 }

f) 33

4

x

x

R. { -1/2 , 2/5 }

g) 41

2

x

x

R. { 2 , -2 + 2 2 , -2 - 2 2 }

h) 0413 x R. { }

6. Proponer. Expresar los siguientes polinomios como productos y hallar sus raíces reales.

7. Resolver situaciones problema.

8. Problemas de aplicación:

9. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales

032.62.3) 1522) 3

19) 231

2

1

xxxx

x

x cba

103.93)i 0322.182)h 033.43)

012.32)f 2

7222)e 2055)

2224312

121

xxxxxx

xxxxxxx

g

d

10. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas

2log)5(log) 2)2(log)1(log) 3log5log)

0)52log() 2)3(log) )6log()12log()

662255

7

xxfxxexxd

xcxbxxa

xx

kxxj

xxixxhxg

22777

22332

log32

log) 2log.3)6(loglog.2)

4)1(log)7(log) )6(log4)32(log) 4)1(log)

9.1 Definición. A continuación se ilustra una recta que tiene la pendiente m y la ordenada al origen b. Para encontrar la

ecuación de

, empezamos considerando cualquier punto P(x, y) sobre

, diferente del punto (0, b).

La pendiente m de una recta

está dada por dos de sus puntos de coordenadas P(x1, y1) y Q (x2, y2) así:

2 1

2 1

y ym

x x

Si se utilizan los puntos (0, b) y (x, y) se puede escribir:

m y b

x 0y b

x

Si ambos lados de la igualdad se multiplican por x, obtenemos:

y b mx

o también:

y mx b Observe que también el punto (0, b) satisface esta forma final.

Esto conduce a la siguiente forma de la ecuación de una recta con la ordenada al origen.

Un punto (x, y) está sobre esta

recta si y sólo si sus coordenadas

satisfacen esta ecuación.

EJEMPLO 1 Elabore la gráfica de la recta definida por y = 2x - 1, usando la pendiente y la ordenada al origen.

Solución La ordenada al origen es -1. Localizamos (0, -1) y usamos m = 2 = 2/1 para llegar a (1, 1), otro punto de

la recta.

TEMA 9. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS - LA RECTA

FORMA "PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN" DE LA

ECUACION DE UNA RECTA

y = mx + b

donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen.

EJEMPLO 2 Encuentre la ecuación de la recta con pendiente 2/3, que pasa por el punto (0, -5).

Solución Como m = 2/3 y b = -5, la forma "pendiente-ordenada al origen" y = mx + b nos da:

y 2 /3x (5)

2 /3x 5

Un caso especial de y mx b se obtiene cuando m = 0.

Entonces:

y 0(x) b o y b

Esto significa que, para cada entrada x, la salida y siempre tiene el mismo valor: b.

EJEMPLO 3 Elabore la gráfica, después de escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y que es:

a) Paralela al eje de las x

b) Paralela al eje de las y

Solución a) La ordenada y al origen es 3 y la pendiente es 0. Por lo tanto, la ecuación es:

y 0(x) 3;o sea : y 3

Dominio: todos los reales

Rango: únicamente el valor b

En general, una recta horizontal

que pasa por el punto (h, k)

corresponde a la forma: y = k.

b) La recta no tiene ordenada al origen. Además, la pendiente no está definida; es decir: no hay pendiente.

En la figura, observamos que y puede ser cualquier valor, pero x siempre es 2. Por lo tanto, la ecuación de

la recta es x = 2

Ahora, sea

una recta con la potencia m, que pasa por (x1, y1). Deseamos determinar las coordenadas de cualquier

punto P(x, y) que esté en la recta

.

En la figura, podemos observar que P(x, y) estará en la recta

si y sólo si la razón

y y1

x x1

es igual a la pendiente m. Es

decir: P está en

si y sólo si

m y y1

x x1

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por

x x1.

m (x x1) y y1

Esto nos conduce a otra forma de ecuación de una línea recta.

Esta es la forma de la ecuación de

una recta que se usa con más

frecuencia en el cálculo.Un punto

(x, y) está en una recta si y sólo si

sus coordenadas satisfacen esta ecuación .

EJEMPLO 4 Escriba la forma "punto-pendiente" de la ecuación de la recta

, cuya pendiente es m = 3 y que pasa por

el punto (-1, 1). Verifique que también (-2, -2) está en la recta.

Solución

Como m = 3, cualquier punto (x, y) de la recta

satisface esta ecuación:

y 1 3 x (1)

y 1 3(x 1)

Sea x = -2

y 1 3 2 1 3

y 2

En general, una recta vertical

que pasa por el punto (h, k)

corresponde a la forma: x = h.

FORMA "PUNTO-PENDIENTE" DE LA ECUACION DE

UNA RECTA

y – y1 = m(x – x1)

donde m es la pendiente y (x – x1) es un punto de la recta.

ADVERTENCIA: Preste atención a los

signos menos de las coordenadas,

cuando los use en la forma "punto-

pendiente" de la ecuación de la recta.

Observe la sustitución de x1 = -1 en

este ejemplo.

Por lo tanto, (-2, -2) está en la recta.

EJEMPLO 5 Escriba la forma pendiente-ordenada al origen de la ecuación de la recta que pasa por los puntos (6, -4) y

(-3,8).

Solución Primero, calculamos la pendiente.

3

4

9

12

)3(6

84

m

Utilizamos cualquiera de los dos puntos para escribir la ecuación en la forma punto-pendiente, y luego la

convertimos en la forma pendiente-ordenada al origen. Así, usando el punto (6, -4),

y (4) 4 /3(x 6)

y 4 4 /3 x 8

y 4 /3 x 4

Demuestre usted que la misma forma final se obtiene empleando el punto (-3, 8).

ACTIVIDAD 9. ECUACIÒN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÒGNITAS (LA RECTA)

1. Relacionar. Escriba la ecuación de la recta con la pendiente m y la ordenada al origen b, dadas. a. m = 2, b = 3 b. m = -2, b = 1 c. m = 1, b = 1 d..m = -1, b = 2

2. Relacionar. Escriba en la forma punto-pendiente la ecuación de la recta que pasa por el punto dado con la pendiente indicada

a.(-6,-3); m =

4

3

b. (0, 0); m = 5

c.(

3

4,2

5); m = 1

d. (

2 , -

2 ); m = 10 3. Establecer. Escriba la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos dados a. (-1, 2), (2, -1) b. (2, 3), (3, 2) c. (1, 1), (-1, -1) d. (3, 0), (0, -3) 4. Interpretar. Haciendo una lectura de dos puntos sobre cada recta en la siguiente figura, determinar la pendiente de cada una de ellas y hallar su ecuación en la forma y=mx+b.

Consulte el ejercicio 68 para ver la

forma de la ecuación de una recta

que pasa por dos puntos. Use esa

forma para completar de otra

manera este ejemplo.

5. . Interpretar. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(7,8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C(-2,2) y D(3,-4). 6. . Interpretar. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-9,6) y es perpendicular a la recta de ecuación 3x-5y+2=0 7. . Interpretar. Encontrar la ecuación de la recta de pendiente 2/5 y pasa por el punto de intersección de las rectas con ecuaciones L1: 2x+4y = 6, L2: 3y-4x = -5. 8. Analizar. Se tiene el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(-3, 2) y D(-1, -2). Comprueba que es un paralelogramo y determina su centro. 9. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y (-2, 2). 10. La recta r: 3x+ny-7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s: mx + 2y -13 = 0. Calcula m y n. 11. Demuestre que el triángulo de vértices C(-3, -3), D(3, 1) y E(2, 2) es rectángulo utilizando el recíproco del teorema de Pitágoras 12. Trace el rectángulo con vértices A(1, 3), B(5, 3), C(3, 6) y D(7, 6) en un plano de coordenadas. Determine el área del mismo.

13.Demuestra que los puntos A(2, 2), B(6, 6) y C(2, 2) son los vértices de un triángulo isósceles.

14. Demuestra que los puntos A(2, 8), B(6, 1) y C(0, 4) son los vértices de un triángulo rectángulo. 15.Halla el perímetro de los triángulos cuyos vértices son

a) A(4, 4), B(6, 6) y C(0, 3) b) A(-2,5), B(4,3) y C(7,-2)

16. Demuestra que el triángulo cuyos vértices son, )4,3(),1,2(),2,5( CBA es escaleno.

17. Prueba que los puntos (2, 3), (1, 2) y (4, 1) son colineales por cualquier método y encuentra la ecuación de la recta

18.Demuestra que los siguientes puntos son colineales, por cualquier método. A(4, 2), B(0, 1), C(4, 0)

10.1 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA Se llama solución de un sistema de ecuaciones a la solución común a ambas, es decir, los valores de las incógnitas que cumplen todas las ecuaciones a la vez. 10.2 SISTEMAS EQUIVALENTES Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución. 10.3 NÚMERO DE SOLUCIÓNES DE UN SISTEMA LINEAL En general, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene una única solución. Es el punto donde se cortan las dos rectas y se dice que es un sistema compatible determinado. Pero, hay otros sistemas que no tienen solución y se llaman incompatibles. Gráficamente, son dos rectas paralelas, no tienen ningún punto en común. Los sistemas que tienen infinitas soluciones se llaman compatibles indeterminados. Gráficamente, son dos rectas coincidentes, todos los puntos en común. 10.4 MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES

Método de sustitución: Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y se sustituye en la otra. En la práctica, al aplicar este método solo se escribe en cada paso la ecuación que se transforma, en lugar de escribir el sistema completo cada vez. Pasos: 1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniéndose una ecuación con una sola incógnita. 3. Se resuelve esta ecuación. 4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. 5. Se ha obtenido, así, la solución. Método de igualación: Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan los resultados. El sistema completo sería esta ecuación y una cualquiera de las anteriores en las que aparecía despejada la otra incógnita. Pasos: 1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. 2. Se igualan las expresiones, lo cual da lugar a una ecuación con una incógnita. 3. Se resuelve la ecuación. 4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita 5. Se ha obtenido, así, la solución.

Método de reducción : Se preparan las dos ecuaciones (multiplicando por los números que convenga) para que una de las incógnitas tenga coeficiente opuesto en ambas y se suman para que desaparezca esa incógnita. El sistema completo sería esta ecuación y una cualquiera de las anteriores. Pasos: 1. Se preparan las dos ecuaciones (multiplicándolas por los números que convenga) para que una de las incógnitas tenga coeficiente opuesto en ambas. 2. Se suman las ecuaciones para que desaparezca una de las incógnitas. 3. Se resuelve la ecuación resultante. 4. El valor obtenido se sustituye en una de las iniciales y se resuelve. 5. Se tiene, así, la solución.

TEMA 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Si una o las dos ecuaciones del sistema tienen una fisonomía complicada, conviene “arreglarlas” hasta llegar a la expresión: ax + by = c. 10.5 TRADUCCIÓN DE ENUNCIADOS A SISTEMAS DE ECUACIONES Suele ser más sencillo plantear un problema algebraico complejo mediante una sistema de ecuaciones que mediante una única ecuación con una incógnita. Veamos los pasos que conviene dar: 1. Identificar los elementos que intervienen y nombrar las incógnitas. 2. Expresar mediante ecuaciones las relaciones existentes. 3. Resolver el sistema de ecuaciones resultante. 4. Comprobar e interpretar la solución ajustándola al enunciado.

ACTIVIDAD 10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1. Resuelve estos sistemas por el método gráfico y por el método de sustitución:

2. Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación:

3. Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción:

4. Resuelva los siguientes sistema de ecuaciones por la regla de Cramer.

(Determinantes)

5. En un triángulo isósceles de 14 cm de perímetro, el lado desigual es tres veces menor que

cada uno de los otros lados. ¿Cuánto miden los lados?

6. En una tienda de anticuario hay 12 candelabros de 2 y 3 brazos. Si para utilizarlos se

necesitan 31 velas, ¿cuántos candelabros hay de cada tipo?

7. Un padre quiere repartir el dinero que lleva en el bolsillo entre sus hijos. Si a cada hijo le da

700 pta. le sobran 200 pta., pero si le da a cada uno 800 pta. le faltan 200 pta. ¿Cuánto

dinero lleva en el bolsillo y cuántos hijos tiene?

8. Hoy la edad de un hijo es 1 año menos que 1/3 de la de su madre. Si dentro de 5 años, la

edad de la madre será 10 años mayor que el doble de la de su hijo, ¿qué edad tienen?

9. Dos números suman 51. Si el primero lo dividimos entre 3 y el segundo entre 6, los cocientes

se diferencian en 1. Halla los números.

10. Un ejercicio realizado en clase consta de 16 cuestiones. El profesor suma 5 puntos por cada

respuesta correcta y resta 3 puntos por cada cuestión no contestada o mal contestada. Si un

alumno ha obtenido 32 puntos en el ejercicio, ¿cuántas cuestiones ha contestado

correctamente?

11. El perímetro de un rectángulo tiene 28 cm. Calcula el área de este rectángulo sabiendo que

uno de sus lados tiene cuatro centímetros más que el otro.

12. La razón entre dos números es 2/3. Si se añaden 20 unidades al más pequeño y 5 al más

grande la razón se invierte. ¿De qué números se trata?

13. Un número multiplicado por 4 sumado con otro numero multiplicado por 7 es igual a 514. si el

primer número multiplicado por 8 sumado con el segundo numero 9 veces da 818 ¿cuales

son los números?

14. En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos

luchadores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8

patas).

15. Un guía turista realizó durante la semana pasada dos tours, uno al Norte y el otro a la

cordillera, lo que le implicó 50 horas de trabajo y ganó en total $435.750. Por realizar el tour

al Norte le pagan $ 7.500 la hora y por el tour a la cordillera le pagan $ 9.750 la hora. El

número de horas que le demoró el tour al Norte fue?

16. Se juntan 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y las

mujeres duplican al número de niños. También se sabe que entre los hombres y el triple de

las mujeres exceden en 20 al doble de niños. Plantear un sistema de ecuaciones que permita

averiguar el número de hombres, mujeres y niños.

17. Un fabricante de coches ha lanzado al mercado tres nuevos modelos (A, B y C). El precio de

venta de cada modelo es 1.5, 2 y 3 millones de PTAS, respectivamente, ascendiendo el

importe total de los coches vendidos durante el primer mes a 250 millones. Por otra parte, los

costes de fabricación son de 1 millón por coche para el modelo A, de 1.5 para el modelo B y

de 2 para el C. El coste total de fabricación de los coches vendidos en ese mes fue de 175

millones y el número total de coches vendidos 140. Plantea un sistema para determinar el

número de coches vendidos de cada modelo y resuelve el problema

18. Dos números están en la razón 3 es a 4. Si el menor se aumenta en dos y el mayor se

disminuye en 9, la razón es de 4 es a 3. Hallar los números.

19. Dos números son entre sí como 9 es a 10. Si el mayor se aumenta en 20 y el menor se

disminuye en 15, el menor será al mayor como 3 es a 7. Hallar los números.

20. Un alumno tiene $ 1.950 en monedas de $100 y de $50. En total tiene 24 monedas.

Determine cuántas son de $100 y cuántas de $ 50.

21. El doble de la edad de Ángela sobrepasa en 14 años la edad de Juan. Y un quinto de la edad

de Juan es 13 años menos que la edad de Ángela. Calcule ambas edades.

11.1 DEFINICIÓN. Una desigualdad es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen

ligados por uno de estos signos:

< menor que 2x − 1 < 7

≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7

> mayor que 2x − 1 > 7

≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7

11.2 DESIGUALDADES EQUIVALENTES

Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación

resultante es equivalente a la dada.

Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la

inecuación resultante es equivalente a la dada.

Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la

inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.

11.3 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.

4º Efectuar las operaciones

Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

6º Despejamos la incógnita.

Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:

De forma gráfica

Como un intervalo

11.4 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

Se resuelve cada desigualdad por separado, siendo el conjunto solución del sistema la intersección de los

conjuntos soluciones de ambas desigualdades.

11.5 INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

1º Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

TEMA 11. DESIGUALDADES E INECUACIONES

2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en

cada intervalo:

3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

Si el discriminante es igual a cero:

Solución

x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0

x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0

x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1

x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es .

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

Solución

x2 + x +1 ≥ 0

x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 ≤ 0

x2 + x +1 < 0

11.6 DESIGUALDADES RACIONALES

Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador

no puede ser cero.

1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador,

independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

3ºTomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

4ºLa solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción

polinómica.

11.7 VALOR ABSOLUTO

Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la

distancia del punto a al origen. Observe en el dibujo que la distancia del 3 al origen es 3 unidades, igualmente

la distancia del punto -3 al origen es 3. En notación, esto es . Las barras se leen como el valor absoluto

de lo que esta dentro de ellas. En el valor absoluto no importa en que lado de la recta real está representado el

número. Analíticamente podemos ver que si a es positivo, es decir esta a la derecha del cero, entonces y

si está a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces . Esto lo escribimos en la siguiente

definición

Definición.- El valor absoluto de un número real, x, se define como:

Veamos los siguientes ejemplos

Ejemplo 1

a.-

b.- . Observe como el valor absoluto a una cantidad positiva la deja igual y a una cantidad

negativa le cambia el signo.

c.- Si x>2 entonces , pues x-2>0 y así usamos la primera parte de la definición. Visto de otra

manera a la expresión que le estamos tomando valor absoluto es de signo positivo y el valor absoluto lo deja

igual.

d.- Si x<2 entonces , pues x-2<0 y así usamos la segunda formula de la definición. Visto de

otra manera a la expresión que le estamos tomando valor absoluto es de signo negativo y el valor absoluto le

cambia de signo.

11.8 DESIGUALDADES CON VALORES ABSOLUTOS

La expresión |x|<2 la podemos interpretar como los x cuya distancia al origen es menor que 2, estos x son todos

los números que están entre -2 y 2. Así la desigualdad x|<2 es equivalente a -2<x<2

La expresión |x|>2 la podemos interpretar como los x cuya distancia al origen es mayor que 2, estos x son

todos los números mayores que 2 y los menores que -2 . Así la desigualdad |x|>2 es equivalente a x<-2 ó

x>2

Generalizando, si a>0, entonces

1) |x|>a si y sólo si x<-a ó x>a.

Este tipo de conjunto se suele representar usando el símbolo unión ( ) y se escribe como ,

que significa todos los números que están en ó en .

2) |x|<a si y sólo si -a<x<a

Estas equivalencias entre desigualdades nos permitirán resolver desigualdades en valores absolutos al

convertirlas en desigualdades sin valor absoluto. Una estrategia a utilizar será interpretar que x puede ser una

expresión más complicada.

11.8.1 PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

Daremos algunas propiedades útiles del valor absoluto:

1.- .

2.- , con .

3.- .

4.-

5.- si y sólo si análogo a ( y )

6.- si y sólo si ó

7.- si y sólo si y ó x=-a

ACTIVIDAD 11. DESIGUALDADES E INECUAIONES

1. Inecuaciones de primer grado

a) ( x - 2 )2 (x + 2) ( x - 2) + 8 R. ] - , 0 [ b) ( x - 1 )2 < x ( x - 4) + 8 R. ] - , 7/2 [ c) 3 - ( x - 6) 4x - 5 R. [ 14/5 , + [ d) 3x - 5 - x - 6 < 1 4 12

R. ] - , 21/8 [

e) 1 - x - 5 < 9 + x 9

R. ] -67/10 , + [

f) x + 6 - x + 6 x . 3 15

R. [ 120/11 , + [

g) Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el intervalo real para x, tal que cada

expresión represente un número real.

i) 5x

R. [ -5 , + [

ii) 6

2

x

R. ] - 6 , + [

iii) 1

12

x

x

R. [ - 1 , 1 [ ] 1, + [

2. Inecuaciones de segundo grado

a) x2 - 3x > 3x - 9 R. IR - 3 b) 4 ( x - 1) > x2 + 9 R. c) 2x2 + 25 x ( x + 10 ) R. 5 d 1 - 2x (x + 5)2 - 2(x + 1) R. IR e) 3 > x ( 2x + 1) R. ] -3/2 , 1 [ f) x ( x + 1) 15(1 - x2 ) R. IR - ] -1 , 15/16 [ g) ( x - 2 ) 2 > 0 R. IR - 2 h) ( x - 2)2 0 R. IR i) ( x - 2)2 < 0 R.

3. Inecuaciones fraccionarias

a) 25

1

x

x

R. ] -11 , -5 [

b) 03

1

x

R. ] - , 3 [

c) 01

1

x

x

R. IR - [ -1 , 1 [

d) 21

x

R. ] - 1/2 , 0 [

e) 13

x

x

x

x

R. ] - , -1 [ [ 0. 5[

f) 06

42

x

x

R. ] - 6, -2 ] [ 2 , + [

g) 0)3)(6)(1(

)7)(1(

xxx

xx

R. ] -3, -1 [ ] 1 , 6 [ ] 7 , + [

h) 05

12

x

x

R. ] - , 5 [

4. Inecuaciones con valor absoluto

a) 2x - 1 > 3 R. IR - [ -1 , 2 ]

b) 22

3 x

R. [ 2 , 10 ]

c) 52

1

5

x

R. IR - ] -45/2 , 55/2 [

d) 13

1 x

R. ] 0 , 6 [

e) x - 3 > -1 R. ] - , + [

f) 3 - 2x < 0 R.

g) 13

12

x

x

R. [ - 2/3 , 4 ]

h) 3 - 2x < x + 4 R. ] - 1/3 , 7 [

i) 22

1

x

x

R. ] 1 , 2 [ ] 2 , 5 [

j) 253

x

x

R. ] - , - 5 ] [-1 , 0 [ ] 0 , + [

k) 37

13

x

x

R. ] - 10/3 , + [

5. Ejercicios de aplicación:

a) La tarifa de telefonía de la empresa A es 20 Euros fijos mensuales más 7 céntimos de euro

por minuto de conversación, la de la empresa B es 11 Euros fijos más 12 céntimos por

minuto de conversación. ¿A partir de cuantos minutos empieza a ser más rentable la tarifa de

la empresa A?

b) Un padre y su hijo se llevan 25 años. Encuentra el periodo de sus vidas en que la edad del

padre excede en más de 5 años al doble de la edad del hijo

c) A un vendedor de coches le ofrecen en un concesionario 1000 Euros de sueldo fijo más 200

Euros por coche vendido. En otro concesionario le ofrecen 1800 Euros de fijo más 110 Euros

por coche vendido. Si vende una media de 132 coches al año, ¿Qué oferta debe coger?

d) Un club de tenis cobra a sus socios una cuota mensual de 36 euros, la cual les da derecho a

disfrutar de las instalaciones y jugar al tenis tantas horas al mes como deseen. Un jugador

que no sea socio tiene que pagar 4,50 €/h por utilizar las instalaciones. ¿Cuántas horas

mensuales tendrá que jugar una persona para que le salga más rentable hacerse socia del

club?

e) La familia Sánchez quiere ir de viaje. Por eso se han puesto en contacto con dos agencias de

viaje. La agencia Salimos cobra 75 euros más 0,50 euros por kilómetro y la agencia

Marchamos cobra 95 euros más 0,40 euros por kilómetro. ¿A partir de cuántos kilómetros

resulta más barata la agencia Salimos? Para hacer un viaje de 350 km, ¿qué agencia es la

más rentable? ¿Y para hacer un viaje de 480 km?

f) Una empresa de mantenimiento de ascensores cobra 100 Euros al trimestre más 15 Euros

por visita. Otra empresa del sector cobra 400 Euros fijos al trimestre y no cobra las visitas.

¿En que condiciones conviene elegir una u otra empresa?

12.1 MODELOS DE VARIACIÓN

TEMA 12. NOCIÓN DE VARIACIÓN

1. La ley de Boyle dice que cuando una muestra de gas se comprime a una temperatura constante, la presión del gas es

inversamente proporcional al volumen del mismo. a) Suponga que la presión de una muestra de aire que ocupa 0.106 m3 a 25°C es 50 kPa. Obtenga la constante de

proporcionalidad inversa y escriba la ecuación que exprese la relación entre las variables. b) Trace la gráfica de esta ecuación. Si la muestra se expande a un volumen de 0.3 m3 determine la nueva presión

2. La ley de gravitación de Newton dice que dos objetos con masas m1 y m2 se atraen entre sí con una fuerza F que es directamente proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r entre los objetos. Exprese la ley de gravitación de Newton como una ecuación 3. El peso de un objeto sobre la Tierra varía en forma inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al centro del planeta. Un transbordador espacial en una órbita elíptica tiene una distancia máxima desde el centro de la Tierra (apogeo) de 6,700 millas. Su distancia mínima desde el centro de la Tierra (perigeo) es de 4,090 millas. Si un astronauta en el vehículo espacial pesa 57 libras en el apogeo, ¿cuánto pesa el astronauta en el perigeo?

4. La carga máxima que puede sostener una columna cilíndrica de concreto varía directamente con la cuarta potencia del diámetro e inversamente con el cuadrado de la altura. Una columna de 9 metros de alto y 1 metro de diámetro soporta 8 toneladas. ¿Cuántas toneladas puede soportar una columna de 12 metros de alto y 2/3 de metro de diámetro?

5. La resistencia R de un cable varía directamente a la longitud L e inversamente al cuadrado de su diámetro D. Un cable de 50 pies con diámetro 0.012 pulgadas tiene una resistencia de 10 ohms. ¿Cuál es la resistencia de 50 pies del mismo tipo de cable pero con diámetro igual a 0.015 pulgadas?

6. La distancia de la caída de una partícula es directamente proporcional al cuadrado de la duración del tiempo de caída. Si la partícula cae 16 pies en dos segundos, ¿cuál sería la distancia de una caída que dure 10 segundos?

7. La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de un grupo de estudiantes, reflejando el tiempo (en horas) y la distancia al instituto (en kilómetros):

a ¿A cuántos kilómetros estaba el lugar que visitaron?

b) ¿Cuánto tiempo duró la visita al lugar?

c) ¿Hubo alguna parada a la ida? ¿Y a la vuelta?

d) ¿Cuánto duró la excursión completa (incluyendo el viaje de ida y el de vuelta)?

ACTIVIDAD 12. NOCIÓN DE VARIACIÓN

8. La siguiente gráfica corresponde al recorrido que sigue

Antonio para ir desde su casa al trabajo

a) ¿A qué distancia de su casa se encuentra su lugar de trabajo? ¿Cuánto tarda en llegar?

b) Ha hecho una parada para recoger a su compañera de trabajo, ¿durante cuánto tiempo ha estado esperando?

¿A qué distancia de su casa vive su compañera? c) ¿Qué velocidad ha llevado (en km/h) durante los 5 primeros minutos de su recorrido?

9. El consumo de agua en un colegio viene dado por esta gráfica:

a) ¿Durante qué horas el consumo de agua es nulo? ¿Por qué?

b) ¿A qué horas se consume más agua? ¿Cómo puedes explicar esos puntos?

c) ¿Qué horario tiene el colegio?

d) ¿Por qué en el eje X solo consideramos valores entre 0 y 24? ¿Qué significado tiene?

10. Se sabe que la concentración en sangre de un cierto tipo de anestesia viene dada por la gráfica siguiente:

a) ¿Cuál es la dosis inicial?

b) ¿Qué concentración hay, aproximadamente, al cabo

de los 10 minutos? ¿Y al cabo de 1 hora?

c) ¿A medida que el tiempo aumenta que le sucede a la cantidad de dosis?

d) A medida que pasa el tiempo, la concentración en sangre de la anestesia, ¿aumenta o disminuye?

11. Se va a organizar una excursión y el precio por persona va a depender del número de personas que vayan a dicha excursión. El número máximo de plazas es de 60, y el mínimo, 10, admitiendo solamente grupos de 10 personas. La siguiente gráfica nos muestra la situación:

a) ¿Qué significado tiene el punto (20, 8)? ¿Y el (40, 4)? b) ¿Por qué hemos dibujado la gráfica solo entre 10 y 60? ¿Podríamos continuarla? c)¿Qué sucede con el precio por persona para un número de plazas mayor a 40? d) ¿Por qué no es conveniente unir los puntos con una línea curva?

12.Las siguientes gráficas corresponden al ritmo que han seguido cuatro personas en un determinado tramo de una

carrera. Asocia cada persona con su gráfica:

Mercedes: Comenzó con mucha velocidad y luego fue cada vez más despacio.

Carlos: Empezó lentamente y fue aumentado gradualmente su velocidad.

Lourdes: Empezó lentamente, luego aumentó mucho su velocidad y después fue frenando poco a poco.

Victoria: Mantuvo un ritmo constante

13. Une cada materia con la gráfica que relaciona su peso con su volumen. Da una breve explicación de por qué es así.

1. Garbanzos: 2. Algodón: 3. Plomo

14. Asocia cada enunciado con la gráfica que le corresponde:

a) Altura de una pelota que bota, al pasar el tiempo: b)Coste de una llamada telefónica en función de su duración: c) Distancia a casa durante un paseo de 30 minutos: d) Nivel del agua en una piscina vacía al llenarla:

15. ¿Cuál es la gráfica que corresponde a cada una de las siguientes situaciones? Razona tu respuesta

a) Recorrido realizado por un autobús urbano. b) Paseo en bicicleta por el parque, parando una vez a beber agua. c) Distancia recorrida por un coche de carreras en un tramo de un circuito.

d) Un cartero repartiendo el correo

16. Dependiendo del día de la semana, Rosa va al instituto de una forma distinta:

El lunes va en bicicleta.

El martes, con su madre en el coche (parando a recoger a su amigo Luis).

El miércoles, en autobús (que hace varias paradas).

El jueves va andando.

Y el viernes, en motocicleta. a) Identifica a qué día de la semana le corresponde cada gráfica

b) ¿Qué día tarda menos en llegar? ¿Cuál tarda más?

c) ¿Qué día recorre más distancia? Razona tu respuesta.

17. La siguiente gráfica muestra el crecimiento de una persona (midiéndola cada cinco años):

a) ¿Cuánto mide al nacer?

b) ¿A qué edad alcanza su estatura máxima?

c) ¿Cuándo crece más rápido?

d) ¿Cuál es el dominio?

e) ¿Por qué hemos podido unir los puntos?

18. Lanzamos una pelota hacia arriba. La altura, en metros, viene dada por la siguiente gráfica

a) ¿Qué altura alcanza al cabo de 1 segundo?

b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada y en qué momento la alcanza?

d) ¿Cuándo decrece la altura de la pelota?

e) ¿Cuánto tiempo tardo la pelota en el aire?

13.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN

Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

f : D

x f(x) = y

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego

y= f(x)

Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

Conjunto inicial Conjunto final

Representaciones de una función.

Gráfica: A cada par de valores (x,f(x)) le corresponde un punto en un sistema de eje cartesianos. Todos esos pares de valores

forma la gráfica de la función.

Tabular: A cada valor de x se le asocia el valor de f(x) correspondiente.

Algebraica: Una fórmula permite calcular para cada valor de x el valor de f(x) que le corresponde por la función f.

Dominio y recorrido de una función

El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen. D = {x / f (x)}

El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes. R = {f (x) / x D}

¿CÓMO CALCULAR EL DOMINIO A PARTIR DE LA GRÁFICA?

Se estudia el eje X y se determina en él los valores que tienen asociado un pun to de la gráfica.

TEMA 13. NOCIÓN DE FUNCIÓN Y SUS CARACTERÍSTICAS

¿CÓMO CALCULAR EL RECORRIDO A PARTIR DE LA GRÁFICA.

Se estudia el eje Y y se determina los valores que en él están asociados al menos con un valor de x.

¿CÓMO CALCULAR EL DOMINIO A PARTIR DE LA FÓRMULA?

DOMINIO: Valores de x para los que está definida la función. Para valores externos al dominio no existe gráfica.

-En las funciones Polinómicas , exponenciales* y Trigonométricas* (con excepción de f(x)=tan(x) el dominio es .

-En las funciones dadas por un cociente de polinomios el dominio son todos los valores de con excepción de los que hacen que el denominadores valga 0. -En las funciones en las que aparece alguna raíz cuadrada (o de índice par) deben suprimirse del dominio los valores de x que hacen negativa las expresiones contenidas dentro de esa raíz. -En las funciones logarítmicas* se debe recordar que no están definidos los logaritmos para valores negativos o iguales a cero. -En las funciones definidas a trozos debe estudiarse el dominio para cada una de las funciones de la definición dentro de su ámbito de validez. Además debe prestarse especial atención a los cambios de definición. Signo de la función: SIGNO DE LA FUNCIÓN f(x).Cuando la función toma valores positivos ,su gráfica está por encima del eje X.En caso contrario se encuentra por debajo. A)Se representan en una recta numérica todos los valores x pertenecientes al dominio de la función f(x). B)Posteriormente se marcan sobre esa recta los puntos de corte de f(x) con el eje X, las fronteras de dominio y los cambios de definición en el caso de funciones definidas a trozos. C)Los valores obtenidos delimitan unas zonas. En cada una de ellas el signo de la función no varía. C) Para cada una de las zonas delimitadas se selecciona un valor de prueba. El signo que tome la función en ese valor determina el signo de f(x) en la zona.

Crecimiento y decrecimiento.

f es estrictamente creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

f es estrictamente decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para

toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

Simetría respecto del eje de ordenadas. Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para

todo x del dominio se verifica:f(-x) = f(x) .Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas reciben el nombre de funciones pares.

Simetría respecto al origen.Una función f es simétrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verifica:f(-x) = -f(x).Las funciones simétricas respecto al origen reciben el nombre de funciones impares.

Estudio de la simetría. Si f(x)=f(-x) para cualquier valor de x la función tendrá simetría par.

Si f(-x)=-f(x) para cualquier valor de x la función tendrá simetría impar. En cualquier otros caso la función no tiene simetría.

Funciones periódicas

Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica:

f(x) = f(x + z T)

Función acotada

Función Acotada superiormente

Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k. El número k se llama cota superior.

Función acotada inferiormente

Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′. El número k′ se llama cota inferior.

1. Sea

0,12

0,1)(

2

xsix

xsixxf

Calcular )2(f ; )3(f ; )0(f ; )3(f y )2(f

2. Obtener las funciones inversas de cada una de las siguientes funciones, de ser posible, y establecer su dominio y rango. Construir un bosquejo de la función inversa:

a. 32( xxf b. x

xxf

25

31)(

c. 0,4)( 2 xsixxf

3. Problemas de aplicación

4. Problema de aplicación

5. Problema de aplicación.

6. Completar las siguientes tablas

7. Se da la gráfica de una función

8. Se da la gráfica de la función g:

ACTIVIDAD 13. NOCIÓN DE FUNCIÓN Y SUS CARACTERÍSTICAS

9. Determinar cuales de las siguientes gráficas son funciones y cuales no.

10. Problema de aplicación

11. Encontrar 0,

)()(

h

h

afhaf

y simplifique la expresión correspondiente para las siguientes funciones:

a) 3)( xxf

b) xxf

1)(

c) 1)(

x

xxf

12. Determinar si la función dada es par, impar o ninguna de las dos. En caso de existir simetría trace la gráfica de la función:

a) 24)( xxf

b) 1)( 3 xxg

c) xxf

1)(

d) 523)( 22 xxxh

13. Determine la función inversa para cada una de las siguientes funciones

a) f (x) = 2 x + 11

b) k (x) = – 2 x + 5

c) g(x) = x 2 – 2 en el intervalo g: [ 0, )

14. La siguiente gráfica muestra la estatura media de los varones españoles según su edad:

¿Cuál es la variable dependiente? ......................... ¿y la independiente? ...............

¿Cuál es la estatura media a los 10 años? .........

¿Cuál es la etapa de vida de crecimiento?

................................................................

¿A partir de que edad se disminuye de

altura?...............

¿A que edad la altura es máxima?

..................................

¿Cuál es la altura mínima? ........................

15. Una compañía de transporte público recogió en una gráfica la información que tiene

sobre la venta de bonos para viajar en sus líneas.

a) ¿Durante cuánto tiempo se hizo este estudio?

b) ¿En qué momento del año 1999 se vendieron menos bonos? ……………………………

¿Y en cada uno de los años 2000 y 2001? ………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………

c) ¿En que momento del año 2001 se produce la máxima venta? …………………………….

¿A qué lo atribuyes? ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………..

d) ¿En qué periodos anuales es mayor el crecimiento en la venta de bonos? ………………..

………………………………………………………………………………………………..

¿En qué estación del año es decreciente la venta? …………………………………………

FUNCIONES ELEMENTALES CONOCIDAS. 14.1 Funciones constantes. Son de la forma f(x) = K. K = constante R; Dom(f) = R; Im(f) ={K} La gráfica es una recta paralela al eje de abscisas, que pasa por los puntos (0,K), (1,K), 2,K).... En el caso particular f(x) = 0, la gráfica es el mismo eje de abscisas.

14.2 Funciones lineales. Tienen la forma f(x) = mx; m R-{0}; Dom(f) = R; Im(f) = R Las gráficas son rectas que pasan por el origen de coordenadas. Al numero m se le llama pendiente de la recta o constante de proporcionalidad. Si m es positivo la grafica es creciente. Si m es negativo la grafica es decreciente. En el caso particular m = 1 , se obtiene la función identidad f(x) = x, cuya gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

14.3 Funciones afines. Son de la forma f(x) = mx + b; a, b R-{0}; Dom(f) = R; Im(f) = R Las gráficas son rectas que no pasan por el origen. Al numero m se le llama pendiente de la recta. Al numero b se le llama ordenada en el origen. Si m es positivo la grafica es creciente. Si m es negativo la grafica es decreciente.

Nota: A veces a los tres tipos de funciones anteriores se les llama lineales, ya que en los tres casos las graficas son líneas rectas. Determinación de una función lineal La expresión analítica de una función lineal se puede calcular si conocemos: Su pendiente m y un punto P(x0, y0) por donde pasa su gráfica. La función viene dada por: f(x) = m.(x – x0) + y0 Conocidos dos puntos por donde pasa su gráfica, A(x1, y1) y B(x2, y2).

Pendiente : 12

12

xx

yym

, ecuación de la función: f(x) = m.(x – x1) + y1 14.4 Funciones lineales a trozos o definidas por intervalos. Son aquellas que vienen definidas por distintos criterios lineales o afines en distintos subintervalos de R. En estas funciones el Dominio viene especificado en cada caso y el recorrido lo debemos determinar una vez dibujada la gráfica. Las gráficas vienen dadas por segmentos rectilíneos o semirrectas. Por ejemplo:

TEMA 14. FUNCIÓN DE PRIMER GRADO Y SEGUNDO GRADO

Representa gráficamente e indica el dominio y el recorrido de las funciones:

x - 3 si -2 x < 0

f(x) = 2x - 3 si 0 x < 2

- 3x + 5 si 2 x

4 xsi 2

4x1- si 2-x

-1 xsi 2

)x(g

14.5 Funciones de segundo grado: parábolas.

a. Tienen como expresión analítica: 2f(x) = + bx + c ; a , b , c Rax , a ≠ 0

Dom(f)=R;

0a si )y,(

0a si ),y()fIm(

v

v

siendo vy la ordenada del vértice de la parábola

b. La gráfica es una parábola convexa , si a > 0 La gráfica es una parábola cóncava , si a < 0 c. Los puntos de corte con los ejes son importantes para dibujar la gráfica y se obtienen: Eje OY: Se hace x = 0, y se calcula f(0) = c. El punto es (0, f(0)) Eje OX: Se hace y = 0, y se resuelve la ecuación : ax2+bx+c=0. Las soluciones, x1, x2, de esta, nos dará las abscisas de los puntos de corte, que serán: (x1, 0) y (x2, 0). (En este eje, puede haber dos puntos de corte, uno o ninguno, según que la ecuación anterior tenga, dos, una o ninguna solución real).

d. El vértice V tiene de coordenadas (xv, yv): v

-b=x

2a ; vv= f( )y x

(El vértice es el único punto de la parábola en el que la tangente es paralela al eje OX. Es un punto crítico y la función presenta en él, un máximo o un mínimo). e. Signo de la parábola: serán aquellos valores del dominio para los cuales la función será positiva o negativa.

1.Problema. Un sistema de computación tiene 8 años de uso y su valor actual es de $ 18 000 pero hace tres años su valor era de $ 45 000 Si el valor del sistema varía linealmente con el tiempo, calcular: (a) la función lineal que relaciona el valor del sistema con el tiempo transcurrido y (b) el valor del sistema cuando era nuevo, además, (c) el valor del sistema después de 10 años de uso.

2. Determine la función lineal del costo total en cada uno de los siguientes casos: Recuerde que costo total = costos variables + costos fijos.

a) Costo fijo: $ 350 ; y cuesta $ 3000 producir 50 artículos. b) Costo fijo: $7280 ; y cuesta $ 82,000. producir 40 artículos.

3. Escriba una función de costo, para el cliente, en cada uno de los siguientes casos: a) Una empresa que renta automóviles cobra $200 diarios por automóvil más $ 5 por kilómetro recorrido. b) Un servicio de meseros y edecanes que cobra $100 por salida de un miembro del personal más $50 por cada hora trabajada.

4. El costo de fabricar 200 relojes de pared a la semana es de $7000 y el de 240 relojes de pared a la semana es de $8000. a) Determine la ecuación de costos total, suponiendo que varía linealmente. b) ¿Cuáles son los costos fijos y variables por unidad?

ACTIVIDAD 14. FUNCIÓN DE PRIMER GRADO Y SEGUNDO GRADO

5. A una compañía farmacéutica le cuesta $ 22,000 fabricar 250 dosis de un medicamento, mientras que producir 400 dosis le cuesta $ 35,000. Si el costo de producción del medicamento varía linealmente con la cantidad producida, calcular: (a) ¿Cuánto cuesta producir 100 dosis del medicamento? ; (b) los costos fijos de la compañía. 6. Determine si cada una de las siguientes afirmaciones es VERDAEDRA (V) o FALSA (F) y en cada caso JUSTIFIQUE su respuesta.

7.En cada uno de los siguientes casos escriba un función de primer grado:

8. Problema

9.Problema

10. Problema

11.Problema

12. Problema

13. En el gráfico de la figura, se muestran las tarifas de un estacionamiento por horas. Un automovilista estaciona durante 4 días: el primer día 152 minutos, el segundo día 180 minutos, el tercer día 90 minutos y el cuarto día 210 minutos. ¿Cuánto canceló en total por los días que estacionó? A) $ 1.900 B) $ 2.300 C) $ 2.400 D) $ 2.000 E) Ninguno de los valores anteriores.

14. ¿En cuál de las opciones siguientes se grafican las funciones f(x) = 2x + 1 y g(x) = x2 + 1?

15. ¿Cuál de las siguientes expresiones es la que corresponde con la función graficada en la figura?

11xy)E

11xy)D

2xy)C

1xy)B

1xy)A

16. ¿Cuál es el dominio de la función 4x)x(f 2 en los números reales?

,4)E

,22,)D

,0)C

,2)B

,2)A

17. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) respecto del gráfico de la función f(x), en la figura? I) f(– 2) > f(4) II) f(– 1) + f(3) = f(– 3) III) f(– 6) – f(8) = 2 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

18. Del gráfico de la función real x1)x(f , se puede afirmar que:

I) tiene su vértice en el punto (0,0) II) sus ramas se abren hacia abajo III) corta al eje de las abscisas en x = 1 y en x = -1 Es(son) verdadera(s): A) Solo II B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III 19. Si f(x) = 4x2, g(x) = x3 y h(x) = x4, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) f(x) g(x), para todo número real x distinto de cero. II) f(x) = h(x), para algún número real x distinto de cero. III) f(x) < g(x) < h(x), para todo número real x distinto de cero. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III 20. Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función real f(x) = -(x + 1)2 + 1?

21 De acuerdo al gráfico de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)? I) f(-1) + f(1) = f(0)

II) 3f(-2) – f(0) = 2f(2) III) f(-2) – f(1) = f(2) -1

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

22. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor al gráfico de la función f(x) = x2 – 1?

23. El servicio de agua potable de una localidad rural tiene las siguientes tarifas según tramo de consumo:

Consumo en m3 Precio

0 - 9 $3.000

10 – 19 $ 8.000

20 o más $11.000

Además, siempre se agrega un cargo fijo de $ 4.000. Si el consumo no corresponde a un número entero, éste se aproxima al entero superior. ¿Cuál de los siguientes gráficos interpreta el sistema de

cobros de la empresa?

24.Dada la siguiente figura: ¿Cuál es la ecuación que mejor representa al gráfico de la figura?

A) y = x2 B) y = x3

C) y = 4x4 D) y = 4x E) y = 4x2

25.Dada la función )2x()x(f , se puede afirmar que:

I) La función está definida para los x mayores o iguales a 2 II) f(3) = 1 III) El punto (5,3) pertenece a la función A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III 26. Una compañía telefónica ofrece dos planes alternativos de tarifas para sus clientes: Plan P): $ 10.000 de cargo fijo mensual, más $ 20 por minuto en llamadas de horario diurno y $ 5 por minuto en llamadas de horario nocturno. Plan Q): $ 14.000 de cargo fijo mensual con derecho a llamar hasta 500 minutos, en cualquier horario; una vez usados los 500 minutos, se paga $ 20 por minuto, por llamadas en cualquier horario. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a las llamadas mensuales de los clientes? I) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 200 minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan Q. II) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 600 minutos en horario nocturno, entonces le conviene el plan P. III) Si una persona llama 100 o más minutos en horario diurno y 400 minutos en horario nocturno, entonces gasta lo mismo no importando el plan que contrate. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III 27. Para cada una de las fórmulas siguientes haz una gráfica esquemática y establece dominio, rango,

intervalos de crecimiento y decrecimiento.

a) 41 xy b) 334 xy c) 11

3 xy

28. En las gráficas a continuación encuentra primero las raíces y haz un esbozo dependiendo de su

grado. Determine el dominio y el rango

.a) 21 xxxy b) 12 xxy c) 14 22 xxy d) . 21 xxxy

29.. Representa gráficamente las siguientes funciones:

a)

12/153

112

xsix

xsixy

b)

42

402

02

xsi

xsix

xsi

y

15.1 Función Polinómica.

Una función es polinómica si es de la forma 0

1

1

2

2axaxa.......xa)x(f n

n

donde “n” es un número natural.El dominio de una función polinómica es: R. Para graficar aproximadamente una función polinómica f(x) debemos: a)Hallar la ordenada al origen.

b)Expresarla en forma factorizada )xx...().........xx).(xx(a)x(f nn

21 . Las raíces nx,.......x1

indican las intersecciones con el eje x. c)Hallar los conjuntos de positividad y negatividad.

Ejemplo: graficar f(x)= 12823 xxx

a) Ordenada al origen: se halla haciendo: f(0)=… 12823 xxx =12

b)Hallar las raíces(puede ser aplicando el teorema de Gauss ). Una raíz es 2, entonces aplicamos Ruffini:

1 -1 -8 12

2 2 2 -12

1 1 -6 0

El cociente es x2 + x - 6

Buscamos las raíces del cociente(aplicando

Gauss o la fórmula resolverte de la ecuación

de segundo grado):

a2

ac4bbx

2 =

3

2

2

1

x

x

TEMA 15. FUNCIÓN POLINÓMICA- RADICAL Y VALOR ABSOLUTO.

Una vez que encontramos todas las raíces factorizamos: f(x)= )xx)(xx).(xx(a)x(f n 321

=

)x)(x).(x()x(f 3221 e igualando cada uno a cero Marcamos en los ejes cartesianos las raíces:

c)Dividimos en intervalos al eje de las abscisas(eje x) tomando como extremos las raíces:

;;; 2233 Calculamos el valor de la función en un punto de cada uno de los intervalos, para determinar si el valor es positivo o negativo: f(-4)=…negativo………………… f(1)=…positivo…………………………… f(3)=…positivo………………. Con estos valores unimos los puntos:

Ejemplo:

1. Para la función 652)( 23 xxxxf : (a) Determine el dominio de la función (b) Las intercepciones con los ejes (c) Elabora una tabla para algunos valores del Df

(d) Traza la gráfica de la función (e) Estima una aproximación del Rf (puedes comprobarlo utilizando un software) Solución:

(a) RD f (el dominio de las funciones polinomiales son todos los números reales.

(b) Intercepciones con los ejes:

6

0

y

xSi

La curva intercepta al eje y en el punto (0, 6)

6520

0

23

xxx

ySi

Por división sintética:

Los factores de 6 son: 6,3,2,1 Por lo tanto, f tiene un factor de la forma x-1.

)6()1(652)( 223 xxxxxxxf

El factor 62 xx , puede descomponerse en:

)2()3(62 xxxx Finalmente:

0)2()3()1(

0652

0

23

xxx

xxx

ySi

Los valores de x son:

202

303

101

xx

xx

xx

La curva corta al eje x en los puntos: (-2, 0), (1, 0) y (3, 0) (c) La siguiente tabla será de mucha utilidad para graficar:

1 -2 -5 6

1 1

1

-1

-1

-6

-6

0

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y -70 -24 0 8 6 0 -4 0 18

(d) La función ha sido graficada utilizando un software:

2 4 6 8 10 12 14-2-4-6-8-10-12-14

2

4

6

8

10

-2

-4

-6

-8

-10

x

yy = x^3-2x^2-5x+6

(e) El recorrido de la función coincide con el contradominio:

RR f

15.2 Función Radical

Las funciones radicales son aquellas en las que la variable se encuentra bajo el signo radical. En esta

práctica estudiaremos las funciones del tipo y también las que tienen como expresión

general .

La gráfica de estas funciones es muy diferente a las de las anteriormente estudiadas.

En primer lugar, son funciones positivas, pues en la definición de la función se considera únicamente la raíz positiva del radicando.

(Si la expresión algebraica de la función fuera entonces serían funciones que sólo tomarían valores negativos)

En segundo lugar, si observas las gráficas representadas podrás ver que, en muchas ocasiones, sólo están definidas en un tramo de la recta real; en estos casos su dominio de definición no son todos los números reales ya que la raíz cuadrada sólo está definida para valores positivos del radicando.

Por último, su comportamiento respecto a la monotonía (crecimiento y decrecimiento) es bastante sencillo.

15.3 Función valor absoluto.

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4 Representamos la función resultante.

15.4 Otros tipos de funciones.

15.4.1 Funciones definidas a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

El dominio lo forman todos los números reales menos el 4.

15.4.2 Función parte entera de x

Es una función que a cada número real hace corresponder el número entero inmediatamente inferior.

f(x) = E (x)

x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2

f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 1

1.Para cada una de las fórmulas siguientes haz una gráfica esquemática

b) 12 xy

c) 41 xy

d) 334 xy

e) 113 xy

2. En las gráficas a continuación encuentra primero las raíces y haz un esbozo dependiendo de su grado.

a) 21 xxxy

b) 12 xxy

c) 14 22 xxy

d) 221 xxy

4. Representa gráficamente las siguientes funciones y establecer dominio y rango en cada caso.

a) 1 xy

b) 3 xy

c) xy 2

d) xy 1

5. Representa gráficamente las siguientes funciones y establecer dominio y rango en cada caso

a) 12 xy

b) xxy 42

c) 322 xxy

d) 122 xxy

6. La gráfica representa el voltaje )(tE de un circuito, en cualquier instante 0t , ( t en minutos). La

ecuación que representa la situación presentada en la gráfica es:

A.

70

7413

402

)(

tsi

tsit

tsi

tE

B.

70

7452

402

)(

tsi

tsit

tsi

tE

C.

70

742

402

)(

tsi

tsit

tsi

tE

D.

70

7425

402

)(

tsi

tsit

tsit

tE

ACTIVIDAD 15. FUNCIÓN POLINÓMICA- RADICAL Y VALOR ABSOLUTO.

16.1 Función racional. Está formada por la división de dos funciones polinomiales.

1

1 1 0

1

1 1 0

...( )

...

n n

n n

m m

m m

a x a x a x af x

b x b x b x b

Se llaman funciones racionales propias aquellas en las que el grado del polinomio del numerador es menor que el del denominador, n < m. Y se llaman funciones racionales impropias aquellas en las que el grado del polinomio del numerador es mayor o igual que el del denominador, n ≥ m.

Para las funciones racionales propias, el dominio es el conjunto de todos los reales excepto los valores de x que hacen cero al denominador. Su contradominio requiere analizarse en cada caso.

Ejemplo 1. Sea la función

2

3

3 4

5

xf x

x

el grado del polinomio del numerador es n = 2 y el del denominador es m = 3. Esta función racional es propia. Ejemplo 2. Sea la función

2 3

2

xf x

x

el grado del polinomio del numerador es n = 2 y el del denominador es m = 1. Esta función racional es impropia. Toda función racional impropia se puede reescribir como la suma de un cociente y un residuo; éste último es una función racional propia:

7

22

f x xx

Gráfica de una función racional propia. Una función racional propia puede presentar intersección con el eje y (ordenada al origen) e intersecciones con el eje x (raíces).

TEMA 16. FUNCIÓN RACIONAL Y TRIGONOMÉTRICAS (TRANSFORMACIONES)

Para encontrar la ordenada al origen se le da a x el valor de cero y se obtiene el valor de f(x). Las raíces se buscan dando a f(x) el valor de cero y despejando x. Ejemplo 3. Sea la función

2

3 4

2 3 2

xf x

x x

Evaluamos en cero para obtener la ordenada al origen

3 0 40 2

2 0 3 0 2f

e igualamos la función a cero para obtener la raíz

2

3 40

2 3 2

0 3 4

4

3

x

x x

x

x

Ejemplo 4. Considere la función

2

3

2 1

xf x

x

Evaluamos en cero para obtener la ordenada al origen

2

3 00 0

2 0 1f

e igualamos la función a cero para obtener la raíz

2

30

2 1

3 0

0

x

x

x

x

Ejemplo 5. Sea la función

3

1f x

x

es función racional propia porque el grado del numerador n = 0 es menor que el del denominador m = 1. Evaluamos en cero para obtener la ordenada al origen

3

0 31

f

Igualamos la función a cero para obtener la raíz

30

1

0 ( 1) 3

x

x

y llegamos a una contradicción. Esto implica que no hay ningún valor de x tal que la función valga cero, es decir, no tiene raíces. Por inspección se ve que la función no está definida cuando x = -1. Para aclarar el comportamiento de la función recurrimos a una representación tabular:

x f(x)

-100 -0.0303

-10 -0.3333

-1.01 -300

-1 3

0

-0.99 300

0 3

10 0.2727

100 0.0297

En la tabla se ve que para valores de x cada vez más grandes ( )x , los valores de f(x) son cada

vez menores acercándose a cero ( ( ) 0 )f x . Para valores de x cada vez mas negativos ( )x , los valores de f(x) también se acercan a cero. Este comportamiento de la función se dice que es asintótico al eje x.

También se observa que si nos acercamos a x = -1, los valores de f(x) son cada vez mayores, ya sea positivos (por la derecha) o negativos (por la izquierda). Otra vez, el comportamiento de la función es asintótico a x = -1. La representación gráfica es la siguiente:

-9

-7

-5

-3

-1

1

3

5

7

9

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

El dominio de esta función es el conjunto de todos los reales, excepto x = -1, y el contradominio es el conjunto de todos los reales, excepto y = 0.

Una asíntota es una recta a la cual la función se aproxima indefinidamente cuando x ó f(x) tienden a infinito. Hay asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.

En las funciones racionales propias, el eje x es asíntota horizontal cuando x tiende a infinito.

En las funciones racionales propias, de manera práctica lo que se hace para encontrar las raíces es igualar el numerador a cero y resolvemos. Para encontrar las asíntotas verticales igualamos el denominador a cero y resolvemos. Ejemplo 6. Sea la función

)2)(1(

)3()(

xx

xxf

es función racional propia porque el grado del numerador n = 1 es menor que el del denominador m = 2. Evaluamos en cero para obtener la ordenada al origen

2

3

2

3

)2)(1(

)3()0(

f

Igualamos el numerador a cero para obtener la raíz

3

0)3(

x

x

Para obtener las asíntotas verticales, se iguala el denominador a cero

2

1

0)2)(1(

2

1

x

x

xx

Tenemos entonces una función con ordenada al origen en 2

3)( xf

, una raíz en x = -3, y dos asíntotas verticales en x1 = -1, y x2 = 2. La asíntota horizontal es el eje x cuando éste tiende a infinito. La representación tabular nos auxilia en entender el comportamiento gráfico de la función alrededor de las asíntotas verticales y de la raíz:

x f(x)

-4 -0.056

-1.05 12.787

-0.95 -13.898

1.9 -16.896

2.1 16.452

5 0.444

La representación gráfica de la función es:

-9

-7

-5

-3

-1

1

3

5

7

9

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

El dominio de esta función es el conjunto de todos los reales, excepto x1 = -1 y x2 = 2, ¿Cuál es el contradominio?.

Debido a la escala, no queda clara la raíz, por lo cuál se muestra a mayor detalle:

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

-4 -3.5 -3 -2.5 -2

16.2 Funciones Trigonométricas y Transformaciones

También es posible definir la razón trigonométrica de un número real, por ejemplo, el seno del real x es sen ( x ) , en esta última expresión el ángulo está medido en radianes:

sen ( / 6 ) = 0,5

De esa forma se define la función seno ( Sen x ):

Sen = { ( x , y ) : y = sen ( x ) } Análogamente se definen función coseno ( Cos ) y función tangente ( Tg ).

A continuación se da una tabla de funciones trigonométricas y sus inversas. Las restricciones al dominio que se imponen, tienen como propósito lograr que las funciones sean biyectivas. De esa forma sus inversas también son funciones.

FUNCION DOMINIO CODOMINIO IMAGEN DE x

SENO

2;

2–

1;1– f ( x ) = sen ( x )

COSENO ;0 1;1– f ( x ) = cos ( x )

TANGENTE

2;

2–

R f ( x ) = tg ( x )

INVERSA DEL SENO

1;1–

2;

2–

f ( x ) = sen – 1 ( x )

INVERSA DEL COSENO

1;1– ;0 f ( x ) = cos – 1 ( x )

INVERSA DE LA TANGENTE

R

2;

2–

f ( x ) = tg – 1 ( x )

Función seno: f ( x ) = sen ( x )

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Función coseno: f ( x ) = cos ( x )

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Función tangente: f ( x ) = tg ( x )

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Función inversa del seno: f ( x ) = sen – 1 ( x )

x

y

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Función inversa del coseno: f ( x ) = cos – 1 ( x )

x

y

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Función inversa de la tangente: f ( x ) = tg – 1 ( x )

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

2

1- Dibuja las gráficas de las funciones siguientes determinando analíticamente las asíntotas verticales y horizontales

a) 4

1

xy

b) 12

1

x

xy

c) 12

53

x

xy

d) 2

2

x

xy

2.Determinar asintotas, dominio, rango e intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones:

a) 12

2

x

xy

b) 1

12

xx

y

c) 321

1

xxxy

d) 1

122

3

xx

xy

3. La ecuación que representa la gráfica de la función dada es

a) 1

32

x

xy

b)x

xy

1

32

c)1

32

x

xy

d)x

xy

1

23

4. Los ingresos totales en la taquilla a nivel mundial de cierta película los da aproximadamente

4

1202

2

x

xxT donde xT se mide en millones de dólares y x son los meses posteriores al

lanzamiento de la película. El número de meses que tendrán que pasar (después del lanzamiento de la película) para que se tengan unos ingresos totales de 96 millones de dólares es

A. 2x B. 3x C. 4x D. 6x

ACTIVIDAD 16. FUNCIÓN RACIONAL Y TRIGONOMÉTRICAS (TRANSFORMACIONES)

5. Se tiene una esfera conductora de radio R cargada con carga Q . El potencial (voltaje) de la

superficie de la esfera está dado por R

RV200

)( .

a. Haga una gráfica que represente la situación presentada, en el plano de abajo. b. ¿Cuál es el potencial de la superficie de la esfera cuando el radio es de 8 centímetros? c. ¿Para qué valor del radio de la esfera el potencial de la superficie es de aproximadamente 20

Voltios? d. Indique el dominio y el rango de esta función en el contexto del problema.

6. La temperatura T (medida en grados Celsius) de un alimento en el refrigerador t horas después de ser

colocado en él, está dado por la ecuación:

012

20)(

2

tpara

tttT

Hallar la temperatura del alimento después de que éste ha permanecido en el refrigerador por 3

horas. ¿Cuál es la temperatura del alimento en el momento de colocarlo dentro del refrigerador?

Trazar la gráfica de la función T(t).

7. Completar la siguiente tabla según el comportamiento de las funciones trigonométricas:

Característica y=cos x Y= sen x Y= tan x Y= sec x Y= csc x Y= ctg

Dominio

Rango

Periodo

Intervalos de

crecimiento

Intervalos de

decrecimiento

Par o impar

Asíntotas

verticales

Continua o

discontinua.

Las funciones trigonométricas experimentan cambio cuando el valor de la función o el valor de la

variable x se le asume un número real. En la siguiente estructura se representan las

transformaciones que puede sufrir una función f . Los números A, B, C y D son números reales.

7

En cada una de las siguientes situaciones graficar la familia de funciones y luego establecer una

conclusión consignándola en el espacio indicado.

Graficar las siguientes funciones: y=senx+2, y=senx-3, y=senx+5, y=senx+8

Conclusión.____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

__________________

Graficas las siguientes funciones: y=cos(x-Π), y= cos (x+Π/2), y=cos(x-Π/6), y= cos (x+Π/3),

Conclusión.____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Graficar las siguientes funciones: y=sen (3x), y= sen (1/2x), y= sen (5x), y= sen (1/8x)

Conclusión.____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

__________________

Graficar las siguientes funciones: y=cos(-x), y=cos (-3x), y=cos (-5x)

Conclusión.____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

__________________

Graficar las siguientes funciones: y= 2tanx, y=1/5 tan x, y= 9 tanx, y=1/8tanx

Conclusión.____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

__________________

Graficar las siguientes funciones: : y= -2tanx, y=-1/5 tan x, y= -9 tanx, y=-1/8tanx

Conclusión.____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

17.1 Funciones exponenciales.

Se trata de funciones definidas para todo número real, continuas, crecientes si a>1, y decrecientes si a<1. Todas

ellas pasan por 1,0 y por a,1 .

La gráfica de la función

x

y

2

1 es simétrica, respecto del eje Y, de la de xy 2 .

La razón de esto es la siguiente:

xfxf

xfy

xfyxx

x

21

2

1

22/1

2

En matemáticas superiores la función xey es extraordinariamente importante.

Tanto es así que cuando se habla de la función exponencial, sin mencionar cuál es su

base, se está haciendo referencia a ella.

Crecen más deprisa que cualquier función potencial. Por ejemplo, aunque la función 10xy al principio es mayor que xy 2 , ésta “la supera” para valores

suficientemente grandes de x .

17.2 Función logarítmica.

La función inversa de xay es xy alog , por lo tanto ambas gráficas son simétricas respecto de la bisectriz del

primer-tercer cuadrantes (y=x)

Su crecimiento es más lento que el de cualquier función raíz. Por ejemplo, para valores muy grandes de x ,

xy 2log es menor que 10 xy . Todas ellas son continuas en ,0 y pasan por los puntos 0,1 y 1,a . Si

1a , son crecientes. Su crecimiento es muy lento, tanto más cuanto mayor sea a . Si 10 a , son decrecientes.

En matemáticas superiores la función xxy e lnlog es muy importante. Es la función inversa de la exponencial

de base e .

TEMA 17. FUNCIÓNES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

1. Una taza de café recién hecho está a 75º. Después de 3 minutos en una habitación a 21ºC, la temperatura del café ha descendido a 64ºC. Si la temperatura, T, del café en cada instante t viene dada por la expresión

21 kteAT , calcula A y k y representa la función. ¿Cuánto tendremos que esperar para que la temperatura del café sea 45ºC?

2.Haz una tabla de valores de la función xy 3 . A partir de ella, representa su función inversa

xy 3log.

3. En cada una de las siguientes situaciones seleccione la opción correcta y JUSITIFIQUE su selección.

4. Dadas las siguientes funciones construir un bosquejo de cada una de ellas, señalando en cada caso: intersectos con los ejes coordenados X e Y, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, dominio y rango y si es o no función biunívoca.

a.

x

xf

3

1)(

b. 5)( 3 xexf

c. 1)4(log)( 2 xxf

d. 3)2ln()( xXf

5. Un ingeniero con miras a ampliar el servicio de la red de acueducto del Municipio de La Mesa desea saber

cual será la población del municipio para el año 2027. Si el DANE le reporta que para el año 2007 hay 5680 habitantes y que la población esta creciendo en forma continua a razón de 0.85% por año. ¿Para qué cantidad de población deberá el ingeniero ampliar el servicio si la razón de crecimiento permanece constante?

ACTIVIDAD 17. FUNCIÓNES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

6. Las ciudades A y B en la actualidad tienen poblaciones de 70000 y 60000 habitantes, respectivamente. La

ciudad A crece a razón de 4% anual y la de B crece a razón de 5% anual. Determinar la diferencia entre las poblaciones al final de 5 años. Dar su respuesta al entero más cercano

7. Un barril de 50 galones está lleno de agua pura. Entonces se bombea en el barril agua salada con una

concentración de 0,3 lb/gal, y la mezcla resultante se derrama a la misma velocidad. La cantidad de sal en el barril en el tiempo t está dada por:

)1(15)( 04,0 tetQ

Donde t se mide en minutos y Q(t) se mide en libras.

a. ¿Cuánta sal hay en el barril después de 10 minutos?

b. Cuando la cantidad de sal sea de 3 libras, ¿Qué tiempo de bombeo ha transcurrido?

c. Conforme t se hace cada vez mayor, ¿A qué valor tiende la cantidad de sal en el barril?

8. La población de una determinada ciudad fue de 112.000 en 1994 y la tasa de crecimiento relativo observada

fue del 4% anual. Si se sabe que el modelo funcional es de la forma: rtentn

0)(

a. Determinar la formula n(t) para la población después de t años. b. Determinar la población proyectada en el año 2015. c. ¿Para qué año alcanzará la población la cifra de 200.000 habitantes?

9. La temperatura de una taza de café t minutos después de ser servida está dada por 0.044670 100 tT e

donde T se mide en grados Fahrenheit.

a. ¿Cuál es la temperatura del café al ser servido?

b. ¿Cuándo estará el café suficientemente frío para poder beberlo (digamos 120°F)?

10. La población estimada de la India en 1985 era de 762 millones , y ha crecido a una tasa de 2.2% anual.

a. Determinar el modelo exponencial que representa el crecimiento de la población N(t) como función del tiempo t en años.

b. Suponiendo que continua éste rápido crecimiento, estimar la población de habitantes en la India para los años 2000, 2010 y 2012.

c. Construir un bosquejo de la gráfica del modelo. 11.Problema

12.Problema

Bibliografía.

Cartilla de Apoyo Version 1 - Enero 2015

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