Caso vi,vii,viii.ix,x factorizacion (unemi)grupo 5

UNIVERSIDAD ESTATAL DE

MILAGRO

SISTEMA DE NIVELACION 2013

PROYECTO DE AULA

MATEMATICAS

Casos de Factorización

VI, VII, VIII, IX, X

GRUPO#5

INTEGRANTES:

MABEL PAREJA VIDAL

BETTY PILAY HOLGUIN

VANESSA TORRES GONZALEZ

LISSETTE LEON

DOCENTE:

MSC. PAULINA VERZOSI

MILAGRO - ECUADOR

PRESENTACIÓN

A través de este proyecto podemos demostrar que la factorización juega un papel

importante en una gran cantidad de aplicaciones de la Matemática, pues nos permite

convertir expresiones muy complicadas en expresiones más simples facilitando así su

estudio; ya que es un proceso mediante el cual se agrupan problemas grandes para

reducirlos en algo pequeños y poder así solucionarlos de una manera más fácil.

Desde este punto de vista podemos recalcar que todas las personas hacen uso de la

factorización a lo largo de su vida sin darse cuenta; por ejemplo, cuando memorizan un

número de cuenta bancaria, e incluso el número de un celular o alguna dirección; lo

suelen agrupar de dos en dos, o de tres en tres), etc. Para que su memorización sea más

fácil. Y en conclusión, siempre que se puede reducir un problema grande en problemas

más pequeños y fáciles de resolver se está factorizando.

También consiste en aplicar las operaciones básicas algebraicas para descomponer en

factores una expresión algebraica y determinar a partir de ello una solución; es el

proceso inverso de realizar un producto notable, es decir; es encontrar los factores que

dieron origen a la expresión que se trata de factorizar.

Los temas más vistos en factorización algebraica son: Trinomio Cuadrado Perfecto,

Trinomio de la forma x2 + bx + c, Trinomio de la forma ax

2 + bx + c, Factor Común,

Diferencia de Cuadrados, y Suma o diferencia de Cubos.

Hablar de Factorización en Matemáticas, no es algo sencillo, se tratan de múltiples

procesos, donde se tiene que dominar correctamente las operaciones básicas

algebraicas, es por ello que el presente manual práctico pretende de una forma práctica

mostrar una forma de aprendizaje constructivista, socio constructivista y significativo.

Respecto a lo antes expuesto hacemos referencia a lo dicho por J. Piaget (Marqués,

1999), con respecto a su teoría del constructivismo donde se determinan las fases del

desarrollo cognitivo y el desarrollo de la inteligencia es donde Piaget fundamenta que la

construcción del propio conocimiento es mediante la interacción constante con el

medio, lo que significa que los educandos comprenden mejor los contenidos temáticos

cuando las actividades que realicen, así como las tareas son de motivación para ellos.

Por otra parte, el presente trabajo comparte también las ideas de Vigotsky, sobre el

socio constructivismo, puesto que a partir de los saberes previos inicia el proceso de

construcción de nuevos conocimientos, y es dependiente de la situación y el medio en

que se dé ese aprendizaje.

A continuación presentamos ejercicios prácticos y sencillos sobre los últimos casos de

factorización:

CASO VI

TRINOMIO DE LA FORMA x2+bx+c

Condiciones:

1. El coeficiente del primer término es 1.

2. El primer término siempre es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

3. El segundo término debe tener la misma parte literal que el primero pero con

exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera ya sea positiva o

negativa.

4. El tercer término es independiente del primer y del segundo término.

Regla

1.- Se descompone en dos factores cuyo primer término es x, o sea, la raíz cuadrada

del primer término de la expresión.

2.- En el primer factor, después de x se debe escribe el signo del segundo término

del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que al

multiplicar el signo del segundo y el tercer término del trinomio

3.- Si los dos factores binomios tiene en el medio signo igual se buscan dos

números que el resultado de la suma sea el valor del segundo término y la

multiplicación de ambos números sea el valor del tercer término del trinomio.

4.- Si los dos factores binomios tienen en el medio signo distinto se buscan dos

números que cuya diferencia entre ambos sea el valor del segundo término y

cuyo producto sea el valor del tercer término del trinomio.

EJEMPLO:

Factorar x2 + 10x+25

1. Descomponer el trinomio en dos binomios cuyos términos es la raíz cuadrada.

x2 + 10x+25 (x ) (x )

2. Después de la x se pone signo + porque el segundo término es + 5x

x2 + 10x+25

( x + ) ( x + )

x

3. Ahora cuando tenemos signo iguales buscamos dos números que cuya suma sea 5 y

cuyo producto sea 6. Esos números son 5 y 4, luego tenemos lo siguiente:

x2+10+25

5+5=10

( x+5) (x+5)

5*5= 25

EJERCICIOS

1º.- m2+12m+36

(m+6) (m+6)

2º.- a2 -13ª+40

(a-8) (a-5)

3º.- x2 +2x -15

(x+5) (x-3)

4º.- x2 +7x+10

(x+5) (x+2)

5º.- a2 – 2 a – 35

(a-7) (a+5)

Cuando tenemos signo menos

-13 a y + 40

Se debe multiplicar los signos.

-13 a + 40

CASO VII:

TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c

Se diferencia del caso 6 en que el primer término tiene coeficiente distinto a 1.

Factorizar: 4a2+15a +9

Ejercicios

1.-)

4a 2 +

+9

4a 3= +3a

1a 3= + 12a

Respuesta: (4a+3) (1a+3)

¿Cómo lo resolvemos?

Tenemos el trinomio 4a2+15a +9 en el cual descomponemos el 1er término (4a

2 ) y el

3er término +9

En esa descomposición tenemos que tener en cuenta que la suma o resta de términos

nos dé el termino del medio es decir +15a

4a2 lo descomponemos en 4a . 1a

9 lo descomponemos en 3 . 3 se multiplica en X es decir 4ax3= 12a y

1ax3=3a de ahí sumamos la respuestas 12a+3 = 15a.

Pero la respuesta en si es ( 4 a+ 3) (1 a +3)

+15a

15a

2.-)

8a2

-14a -15 Respuesta:

2 a -5 = -20 a 2 a -5 4 a + 3

4 a +3 = +6 a

3.-)

9x2

+37x +4

9x 1 = +1x

1x 4 = +36x Respuesta:

+37x 9x+1 1x+4

4.-)

14 m2

-31m -10 Respuesta:

7m +2 = +4m 7m+2 2m-5

2m -5 = -35m

-31m

-14 a

5.-)

30x2

+13 x -10 Respuesta:

6x 5 = +25x 6x+5 5x-2

5x -2 = -12x

13x

CASO VIII

CÚBO PERFECTO DE BINOMIOS

Debemos tener en cuenta que los productos notables nos dicen que:

(a+b)3

= a2 +3a

2 b+3 a b

2 +b

3 y (a-b)

3 = a

2-3a

2 b+3ab

2 - b

3

La fórmula de arriba nos dice que para una expresión algebraica ordenada con respecto

a una parte literal sea el cúbo de un binomio, tiene que cumplir lo siguiente:

1. Tener cuatro términos.

2. Que el primer término y el último sean cubos perfectos.

3. Que el segundo término sea más o menos el triplo de la primera raíz cúbica elevada

al cuadrado que multiplica la raíz cúbica del último término.

4. Que el tercer término sea el triplo de la primera raíz cúbica por la raíz cubica del

último término elevada al cuadrado

Si todos los términos de la expresión algebraica son positivos, la respuesta de la

expresión dada será la suma de sus raíces cúbicas de su primer y último término, y si los

términos son positivos y negativos la expresión será la diferencia de dichas raíces.

EJERCICIOS:

Factorar las siguientes expresiones:

1.-)

8a3

-36a2b+54ab

2-27b

3

La raíz cúbica de 8a

3 es 2a

La raíz cúbica de 27b3es 3b

3(2 a)2(3b) = 36a

2 b, segundo término

3(2 a) (3b)2

= 54ab2,

tercer término

Y como los términos son alternativamente positivos y negativo, la expresión dada es el

cúbo de:

R. (2a -3b)3

2.-)

27-27x+9x2-x

3

La raíz cúbica de 27 es 3

La raíz cúbica de x3 es x

3(3)2 (x)= 27x, segundo término

3(3) (x)2= 9x

2, tercer término


cúbo de:

R. (3-x)3

3.-)

27m3+108m

2n+144mn

2+64n

3

La raíz cúbica de 27m

3 es 3

La raíz cúbica de 64n

3 es 4n

3(3m)2(4n)= 108m

2n, segundo término

3(3m) (4n)= 144mn2, tercer término

Y como los términos son alternativamente positivos, la expresión dada es el cúbo de :

R. (3m+4n)3

4.- )

m3-3am

2n+3a

2mn

2-a

3n

3

La raíz cubica de m

3es m

La raíz cubica de a

3n

3 es a n

3(m)2 (an)= 3am

2n, segundo termino

3(m) (an)2= 3a

2mn

2, tercer termino


cúbo de:

R. (m-an)3

5.- )

8x6-36x

4y

3+54x

2y

6-27y

9

La raíz cubica de 8x

6 es 2x

2

La raíz cubica de 27y

9 es 3y3

3(2x2)2

(3y3)= 36x

4y

3, segundo termino

3(2x2)(3y

3)2=54x

2y

6, tercer termino


cúbo de:

R. (2x2-3y

3)3

CASO IX

SUMA O DIFERENCIA DE CÚBOS PERFECTOS

Pasos para resolver el ejercicio:

1. Descomponemos en dos factores.

2. En el primer factor se escribe la suma o la diferencia según sea el caso, de las

raíces cúbicas de los dos términos.

3. En el segundo factor se escribe la raíz del primer termino elevada al cuadrado,

empezando con el signo menos y de ahí en adelante sus signos alternados (si es

una suma de cúbos) o con signo más (si es una diferencia de cúbos) el producto

de la primera raíz por la segunda, más el cuadrado de la segunda raíz.

La fórmula (1) nos dice:

REGLA 1

La suma de dos cúbos perfectos se descompone en dos factores:

1. La suma de sus raíces cúbicas

2. El cuadrado de la primera raíz, menos la multiplicación de las dos raíces, más

el cuadrado de la segunda raíz.

a3 +b

3 =(a+b)(a

2-ab+b

2)

La fórmula (2) nos dice:

REGLA 2

La diferencia de dos cúbos perfectos se descompone en dos factores:

1. La diferencia de sus raíces cúbicas

2. El cuadrado de la primera raíz, más el cuadrado de la segunda raíz.

a3

- b3

=(a-b)(a2+ab+b

2)

EJERCICIOS:

1.) Factorar: 27x3 + 125 y

9

La raíz cúbica de 27x3 es: 3x

La raíz cúbica de 125y9 es: 5y

3

Según la formula (1)

Descomponemos en dos factores:

Primer factor (3x+5y3)

Segundo factor [(3x)2-(3x) ( 5y

3)+( 5y

3)2]

Destruimos paréntesis: [(3x)2-(3x) ( 5y

3)+( 5y

3)2]

=(9x2-15x y

3+25y

6)

Entonces tenemos:

Primer factor (3x+5y3)

Segundo factor (9x2-15x y

3+25y

6)

Respuesta: (3x+5y3) (9x

2-15x y

3+25y

6)

2.) Factorar: 1 – a3

La raíz cúbica de 1 es: 1

La raíz cúbica de a3 es: a



Primer factor (1-a)

Segundo factor [(1)2+ (1) (a)+( a)

2]

Destruimos paréntesis: [(1)2+ (1) (a)+( a)

2]

=(1+a+ a2)

Primer factor (1-a)

Segundo factor (1+a+ a2)

Respuesta: (1-a) (1+a+ a

2)

3.) Factorar: 1 + a3





Primer factor (1+a)

Segundo factor [(1)2- (1) (a)+( a)

2]

Destruimos paréntesis: [(1)2- (1) (a)+( a)

2]

=(1-a+ a2)

Primer factor (1+a)

Segundo factor (1-a+ a2)

Respuesta: (1+a) (1-a+ a2)

4.) Factorar: a3 + 27





Primer factor (a+3)

Segundo factor [(a)2-(a)( 3)+( 3)

2]

Destruimos paréntesis: [(a)2-(a)( 3)+( 3)

2]

=(a2- 3a+ 9)

Entonces tenemos:

Primer factor (a+3)

Segundo factor (a2- 3a+ 9)

Respuesta: (a+3) (a

2- 3a+ 9)

5.)Factorar: x3 – 27

La raíz cúbica de x3 es: x




Primer factor (x -3)

Segundo factor [(x)2- (x) (3)+ (3)

2]

Destruimos paréntesis: [(x)2- (x) (3)+ (3)

2]

=(x2- 3x+ 9)

Entonces tenemos:

Primer factor (x -3)

Segundo factor (x2- 3x+ 9)

Respuesta: (x -3) (x2- 3x+ 9)

Recordando:

Para elevar potencia a otra potencia; Se eleva el coeficiente a la otra potencia, se ubica

la literal y se multiplican los exponentes: (a2)

2 = a

2*

2 = a

4

Para encontrar la raíz cúbica de una potencia, se saca la raíz cúbica del coeficiente, se

ubica la parte literal y se divide el exponente de la potencia entre el índice de la raíz

cúbica (3): a6 = a

6/3 = a

2

CASO X

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Procedimiento: Se aplican los siguientes criterios:

Criterios de divisibilidad de expresiones de la forma an + - b

n

Pasos para resolver la suma de dos potencias iguales

Factorar x5 +32

1.- Encontramos la raíz quinta de los términos:

Raíz quinta de x5 = x ; raíz quinta de 32 = 2

2.- Formamos el primer factor con las raíces: (x +2)

3.- Formamos el segundo factor:

(x4 – x

3(2) +x

2(2)

2 – x(2)

3 + (2)

4) = (x

4 – 2x

3 + 4x

2 – 8x + 16)

–> x5 +32 = (x +2) (x

4 – 2x

3 + 4x

2 – 8x + 16) Solución

NOTA:

Cuando el primer factor es suma (x+1), los signos del segundo factor son

alternativamente” +” y” – “

Cuando el primer factor es una diferencia (x-1), los signos del segundo factor son todos

positivos” + “

Criterio 1: an – b

n es divisible por a - b siendo n par o impar


n es divisible por a + b siendo n impar


n es divisible por a + b siendo n es par

Criterio 4: an + b

n nunca es divisible por a - b

EJERCICIOS:

1.) Factorar: x7+128

1.- Encontramos la raíz séptima de los términos:

Raíz séptima de x7 = x ; raíz séptima de 128 = 2

2.- Formamos el primer factor con las raíces: (x +2)


( x6 -x

5(2)+ x

4(2)

2 - x

3(2)

3 +x

2(2)

4 - x(2)

5 + (2)

6)

= (x6-2x

5+4x

4-8x

3+16x

2-32x+64)

Entonces como respuesta de x7+128 tenemos:

(x+2)(x6-2x

5+5x

4-8x

3+16x

2-32x+64) solución

2.) Factorar: 243-32b5


Raíz quinta de 243 = 3 ; raíz quinta de 32b5 = 2b

2.- Formamos el primer factor con las raíces: (3 -2b)


[(3)4 +(3)

3(2b) + (3)

2(2b)

2 + 3(2b)

3 + (2b)

4]

= [81+(27)(2b) + (9)(4b) + 3(8b) + 16b4]

Entonces como respuesta de 243-32b5 tenemos:

(3-2b)(81+54b+36b2+24b

3+16b

4) solución

3.) Factorar: a5 + b

5 c

5


Raíz quinta de a5= a ; raíz quinta de b

5 c

5 = bc

2.- Formamos el primer factor con las raíces: (a +bc)


=[(a)4 -(a)

3(bc) + (a)

2(bc)

2 - (a)(bc)

3 + (bc)

4]

= (a4-a

3bc+ a

2b

2c

2- ab

3c

3+b

4c

4)

Entonces como respuesta de a5 + b

5 c

5 tenemos:

(a+bc)(a4-a

3bc+ a

2b

2c

2- ab

3c

3+b

4c

4) solución

4.) Factorar: m7-a

7 x

7

1.- Encontramos la raíz séptima de los términos:

Raíz séptima de m7 = x ; raíz séptima de a

7 x

7 = ax

2.- Formamos el primer factor con las raíces:(m+ax)


( m6

+m5(ax)+ m

4(ax)

2 + m

3(ax)

3 +m

2(ax)

4 + m(ax)

5 + (ax)

6)

=(m6+am

5 x +a

2m

4x

2+a

3m

3x

3+a

4m

2x

4+a

5mx

5+a

6x

6)

Entonces como respuesta de m7-a

7 x

7tenemos:

(m-x)(m6+a m

5 x +a

2 m

4 x

2+a

3 m

3 x

3+a

4 m

2 x

4+ a

5m x

5+a

6 x

6) solución

5.) Factorar: x10

+32y5


Raíz quinta de x10

= x2 ; raíz quinta de 32y

5 = 2y

2.- formamos el primer factor con las raíces: (x10

+2y)


[(x2)4 – (x

2)3(2y) +(x

2)2(2y)

2 – (x

2)(2y)

3 + (2y)

4]

= (x8-2x

6y+4x

4y

2-8x

2y

3+16y

4)

Entonces como respuesta de x10

+32y5

tenemos:

(x2+2y)(x

8-2x

6 y+4x

4 y

2-8x

2 y

3+16y

4) solución

Conclusión:

La factorización promueve el desarrollo de habilidades del pensamiento, fomenta el

razonamiento matemático para que nosotros logremos resolver problemas aplicables a

la vida real, motiva el aprendizaje de nosotros los estudiantes, impulsando el desarrollo

de las competencias matemáticas.

La estrategia alternativa para la enseñanza y aprendizaje del tema de factorización en

nuestra educación superior representa una ventaja para fortalecer los cimientos de las

habilidades cognitivas y las competencias matemáticas que el estudiante debe de lograr

para continuar con el estudio de otras asignaturas.

Bibliografía:

Algebra de Baldor

http://ejerciciosalgebra.wordpress.com/2012/11/03/caso-x-suma-o-diferencia-de-

potencias-impares-iguales/

http://mialgebra.blogspot.com/2009/03/ejercicios-resueltos-de-algebra-

de.html

http://algebrabaldor.webcindario.com/id142.htm

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