Casos de Factoreo Trabajo Completo

CASOS

DE

FACTOREO.

Centro Escolar Católico

“Luisa de Marillac”

Materia: Matemática

Tema: Casos de factoreo.

Maestra: Silvia Ramos.

Alumnas: Roxana Giselle Chicas Guevara. nº 5

Alexandra Yamileth Acevedo Monge. nº 1

Jessica Tatiana González González nº 16

Julissa Alejandra Melara Rodríguez nº 24

Grado: 8º Sección: B

Fecha de entrega: lunes 29 de octubre del 2012.

Caso I

CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIO

TIENEN UN FACTOR COMUN.

a. Factor común monomio.

1) Descomponer en factores a2 + 4 a

Los factores a2 y 4 a contiene en común a. Escribimos el factor comuna como coeficiente de un paréntesis; dentro de paréntesis escribimos cocientes de dividir a2 a=÷ a y 4 a ÷ a = 4, y tendremos:

a2 + 4 a = a (a+4) R.

2) Descomponer 10x – 30xy2

Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes de 2, 5 y 10. Tomamos 10 porque siempre se saca el mayor factor común. De las letras el único factor común es x porque esta de dos términos de la expresión dada y la tomamos con su menor exponente x.

El factor común de 10x. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 10x ÷ 10x = 1 y 30xy2 ÷ 10x = -3xy y tendremos:

10x - 30xy2 = 10x (1 -3xy) R.

3) Descomponer 14x2y2 – 28x3 + 56x4

El factor común es 14x2. Tendremos:

14x2 (y2 + 2x + 4x2)

Ejercicio 1:

1) 4x – 6y

2) 6x2 + 3xy – 3xz

3) 4m – 2mn – 6

4) 6abc + 30abc2

5) 4m2 – 8m + 2

Caso II

FACTOR COMUN POR LA AGRUPACION DE TERMINOS.

Ejemplos:

1) Descomponer m + mn + mx + nx

Los dos primeros términos tienen el factor común m y los dos últimos términos en un paréntesis y los dos últimos en otro parecido del signo + porque el tercer término tiene el signo + y tendremos:

m + mn + mx + nx = (m + mn) + (mx + nx)

= m (m + n) + x (m + n)

= (m + n) (m + x). R

La agrupación puede generalmente ser de más de un modo con tal que los dos términos que se agrupan tengan algún factor común, siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo sean exactamente iguales. Si esto no es posible lograrlo la expresión dada no se puede descomponer por este método.

Así en el ejemplo anterior podemos agrupar el primero y tercero, término que tienen el factor común m y el segundo con el cuarto que tienen el factor común n y tenemos:

m + mn + mx + nx = (m + mx) + (mn + nx)

= m (m + x) + n (m + x)

= (m + x) (m + n). R.

Resultando idéntico al anterior, ya que el orden de los factores es indiferente.

2) Descomponer ay - by + ax - bx

Los dos primeros tienen el factor común y mientras que los dos últimos el factor común es x. Agrupando, tendremos:

ay - by + ax - bx = (ay - by) + (ax - bx)

= y (a - b) + x (a - b)

= (a - b) (y + x). R.

3) Descomponer ax - 2bx - 2ay + 4by

ax - 2bx - 2ay +4by = (ax - 2bx) - (2ay + 4by)

= x (a - 2b) - 2y (a + 2b)

= (a - 2b) (x - 2y). R.

Ejercicio 2:

Factorar o descomponer

1) 3a-b+2bx-6ax

2) 1+a+3ay+3y

3) 6a-9b+21bx-14ax

4) ax+3x-2a-6

5) 3ax-2by-6ay+bx

Caso III

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, o sea, cuando es el producto de dos factores iguales.

Así, 9a4 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de 3a2.

En efecto: (3a2)2 = 3a2 X 3a2 = 9a4 y 3a2, que multiplicada por sí misma da 9a4, es la raíz cuadrada de 9a4.

Obsérvese que (-3a2)2 = (-3a2) X (-3a2) = 9a4; luego, -3a2 es también la raíz cuadrada de 9a4.

Lo anterior nos dice que la raíz cuadrada de una cantidad positiva tiene dos

signos + y - .

En este capítulo nos referimos sólo a la raíz positiva.

RAIZ CUADRADA DE UN MONOMIO.

Para extraer la raíz cuadrada de un monomio se extrae la raíz cuadrada de su coeficiente y se divide el exponente de cada letra por 2.

Así, la raíz cuadrada de 16a2b2 es 4ab porque (4ab)2 = 4ab X 4ab = 16a2b2.

La raíz cuadrada de 4x4y2 es 2x2y.

Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, el producto de dos binomios iguales.

Así, x2 + 5xy + y2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de x + y.

En efecto:

(x + y)2 = (x + y) (x + y) = x2 + 2xy + y2.

Del propio modo, (2m + 2n)2 = 4m2 + 8mn + 4n2 luego 4m2 + 8mn + 4n2 es un trinomio cuadrado perfecto.

REGLA PARA CONOCER SI UN TRINOMIO

ES CUADRADO PERFECTO.

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y tercero término son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Así, x2- 4xy + 4y2 es cuadrado perfecto porque:

Raíz cuadrada de x2.…………...…………………………………..x

Raíz cuadrada de 4y2……………………………………………….2y

Doble producto de estas raíces: 2 X x X 2y = 4xy, segundo término.

16m2- 48mn4 + 2n8 no es cuadrado perfecto porque:

Raíz cuadrada de 16m2...................................................4m

Raíz cuadrada de 2n8....................................................n4

Doble producto de estas raíces: 2 X 4m X n4 = 8mn4, que no es el 2º término.

REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Se extrae las raíz cuadrada al primero y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se, eleva al cuadrado.

Ejemplos:

1) Factorar m2- 4mx + 4x2.

m2- 4mx + 4x2 = (m-2x) (m-2x)= (m-2x)2. R.

m 2x

2) Factorar y4+ 1 + 2y2.

y6+ 1 + 2y4= y6+ 2y4 + 1= (y3+1) (y3+1)= (y3+1)2. R.

y3 1

3) Factorar 1+ 49m2 - 14m.

1+ 49m2 - 14m= 49m2 - 14m + 1= (7m-1) (7m-1)= (7m-1)2. R

7m 1

Ejercicio 3:

1) 9q2- 30p2q + 25p4.

2) 1+ 14a2b + 49a4b2.

3) 169m6+ 16 – 104m3.

4) a2- 24a2x2 + 144m4x4.

5) 4a2- 12ab +9b2.

Caso IV

DIFERENCIAS DE CUADRADOS PERFECTOS.

En los productos notables se vio que la suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, o sea, (a+b) (a-b) = a2

– b2 , luego, recíprocamente, a2-b2 = (a+b) (a-b)

Podemos, pues, enunciar la siguiente:

REGLA PARA FACTORAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS.

Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia del minuendo y la del sustraendo.

Ejemplos:

1) Factorizar 1-b2 .

La raíz cuadrada de 1 es 1; la raíz cuadrada de b2 es b. Multiplico la suma de estas raíces (1+b) por la diferencia (1-b) y tendremos:

1-b2 = (1+b) (1-b) R.

2) Factorizar 9m2 – 36m2 .

La raíz cuadrada de 9m2 es 3m; la raíz cuadrada de 36m2 es 6m. Multiplico la suma de estas raíces (3m + 6m) por su diferencia (3m – 6m) y tendremos:

9m2 – 36m2 = (3m+6m) (3m-6m)

3) Factorizar: 64n2m2 – 25n2m2

64n2m2 – 25n2m2 = (8nm + 5nm) (8nm – 5nm)

Ejercicio 4:

1) 27 + 8x3

2) 216m6 – 512n3

3) 343a3b3 + 64c3

4) 8m3 – 1

5) P3 + q3

Caso V

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

POR ADICION Y SUSTRACION.

Ejemplos:

1) Factorar p4 + p2b2 + b4 .

Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de p4 es p2; la raíz cuadra de b4 es b2 y el doble producto de estas raíces es 2p2 b2; luego este trinomio no es cuadrado perfecto.

Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino p2 b2 se convierta en 2 p2b2, lo cual se consigue sumándole p2 b2 , pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que suema, p2 b2, y tendremos:

p4 + p2b2 + b4

+ p2b2 - p2b2

p4 +2 p2b2 + b4 - p2b2 = (p4 +2 p2b2 + b4 ) - p2b2

(Formado el trinomio cuadrado perfecto) = (p2 + b2)2 - p2b2

(Factorando la diferencia de cuadrados) = (p2 + b2 + pb) (p4 + b4 - pb)

(Ordenando) = (p2 + pb + b2 ) (p2 - pb + b2 ). R.

2) Descomponer 4m4 + 8m2n2 + 9n4

La raíz cuadrada de 4m4 es 2m2 ; la raíz cuadrada de 9n4 es 3n2 y el doble producto de estas raíces es 2X 2m2 X 3 n2 = 12 m2 n2 ; luego, este trinomio no es cuadrado perfecto porque su segundo término es 8m2 n2 y para que sea cuadrado perfecto debe ser 12m2 n2 .

Para que 8m2 n2 se convierta en 12 m2 n2 le sumamos 4m4 n2 y para que trinomio no varíe le restamos 4m2 n2 y tendremos:

4m4 + 8m2n2 + 9n4

+4 m2n2 - 4m2n 2

4m4 +12 m2n2 + 9n4- 4m2n2 = (4m4 + 8m2n2 + 9n4) - 4m2 n 2

(Formado el trinomio cuadrado perfecto) = (2m2 + 3n2)2 - 4 m2n2

(Factorando la diferencia de cuadrados) = (2m2 +3n2 + 2mn) (2m2 + b2 - 2pb)

(ordenado) = (p2 + pb + b2 ) (p2 - pb + b2 ) R.

3) Descomponer c4 - 16c2d2 + 36d4

La raíz cuadrada de c4 es c2; la de 36d4 es 6d2. Para que este trinomio fuera cuadrado perfecto, su segundo término debía ser -2 X c2 X 6d2 = -12c2d2 y es -16c2d2; pero -16c2d2 se convierte en -12c2d2 sumándole 4c2d2.

Pues tendremos: -16c2d2 + 4c2d2= -12c2d2, y para que no varíe le restemos 4c2d2, igual que en los casos anteriores y tendremos:

c4 - 16c2d2 + 36d4

+4c2 d2 -4c2d2

c4 - 12c2d2 + 36d4 -4c2d2 = (c4 - 16c2d2 + 36d4) - 4c2d2

= (c2 - 6d2)2 - 4c2d2

= (c2 - 6d2+ 2cd) (c2 - 6b2 - 2cd)

= (c2 + 2cd - 6d2) ( c2 - 2cd - 6d2). R.

Ejercicio 5:

1) m8 + 3m4 + 4.

2) a4 + 2a2 + 9.

3) 4x4 + 3x2y2 + 9y4.

4) 4 - 108m2 + 121m4.

5) 16p4 - 25p2q2 + 9q4.

Caso VI

Trinomio de la forma perfecta x2 +bx+c

Trinomio de la forma de la forma x2+bx+c son trinomios como:

x2 +5x+6 m2+5m-14

a2+2a-15 y2-8y+15

Que cumplen las condiciones siguientes:

1) El coeficiente del primer término es 1

2) El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

3) El segundo termino tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

4) El tercer término es independiente de la letra que aparece el 1º y 2º términos y una de la cantidad cualquiera, positiva o negativa.

Regla practica para factorizar un trinomio de la forma x2+bx+c

1) El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, o sea, la raíz cuadrada del primer termino del trinomio.

2) En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio.

3) Si los dos factores binomios tiene en los medios signos iguales se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios.

4) Si los dos factores binomios tienen en medio signos distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos niños es el segundo término del primer binomio, y el menor, el segundo término del segundo binomio.

Ejemplos:

1) Factorizar x2 + 9x + 20

El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de x2 o sea x;

x2+ 9x + 20 (x ) (x )

En el primer binomio después de x se pone el signo + porque el segundo término del trinomio +9x tiene signo +. En el segundo binomio, después de x, se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo +9xpor el signo de +20 y se entiende que + por + da + o sea:

x2 + 9x + 20 (x + ) (x + )

Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos números que cuya suma sea 9 y cuyo producto sea 20. Esos números son 5 y 4, luego:

x2 + 9x + 20 = (x + 5) (x + 4)

2) Factorizar x2 + x - 12

Tendremos: x2+ x -12 (x+ ) (x- )

El primer binomio se pone + porque + x tiene signo +. El segundo binomio se pone – porque multiplicado el signo de +x por el signo de +12 se tiene que: + por - da -.

Ahora, como en los binomios tenemos signos distintos buscamos dos números cuya resta sea x y cuyo producto sea 12. Estos números son 4 y 3, luego:

X2 + x – 12 = (x + 4) (x- 3) R.

3) Factorizar n2– 6n -40

n2 – 6n – 40 = (n-10) (n + 4). R.

Ejercicios 6:

1) c2 – 14 + 33

2) m2 – 2m – 15

3) p2 – 4p -21

4) a2 – 2 a – 35

5) q2 + 13q – 30

Caso VII

TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c

Son trinomios de esta forma: 8m2+ 21m +6

5b2+ 11b – 12

14p2 – p -7

7w2- 22w + 17

Que se diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior en que el primer termino tiene un coeficiente distinto de 1.

DESCOMPOSICION EN FACTORES DE UN TRINOMIO

DE LA FORMA ax2 +bx c.

Ejemplos:

1) Factorar 4x2 +13x +3

Multiplicamos el trinomio por el coeficiente de x2 que es 4 y dejamos indicado el producto de 4 por 13x se tiene:

16x2 + 4 (13x) +12

Pero 16x2 = (4x)2 y 4(13x) = 13(4x) luego podemos escribir:

(4x)2 + 4(13x) + 12.

Descomponiendo este trinomio según se vio en el caso anterior, el primer término de cada factor será la raíz cuadrada de 16x2 o sea 4x: (4x - ) (4x + ).

Dos números cuya diferencia sea 4 y cuyo producto sea 12

Tendremos (4x -4) (4x + 12).

Como al principio multiplicamos el trinomio dado por 4 ahora tendremos que dividir entre 4 para no alterar el trinomio y tendremos:

(4x -4) (4x + 12). = (2x -2) (2x -6)

2 x 2

Luego: 4x2 +13x +3 = (2x -2) (2x -6). R.

2) Factorar 12x2 + x – 6.

Multiplicando el trinomio por 12, tendremos: (12x)2+1 (12x) - 72.

Descomponiendo este trinomio, tenemos: (12x2- 9) (12x2+ 8).

Para cancelar la multiplicación por 12, tenemos que dividir por 12 pero como ninguno es divisible por 12, descomponemos el 12 en 3 X 4 y dividiendo el factor (12x- 9) entre 3 y (12x+ 8) entre 4 tendremos:

(12x- 9) (12x+ 8) = (4x- 3) (3x+ 2)

3 X 4

12x2 + x – 6 = (4x - 3) (3x + 2). R.

3) Factorar 3m2- 5m -2.

Multiplicando el trinomio por 3, tendremos: (3m)2- 5(3m) - 6.

Factorar este trinomio: (3m- 6) (3m + 1).

Dividiendo por 3, para lo cual, como el primer binomio 3m- 6 es divisible por 3 basta dividir este factor entre 3, tendremos:

(3m- 6) (3m+ 1) = (m-2) (3m+1)

3

Luego: 18a2- 13a - 5 = (m- 2) (3m+ 1). R.

Ejercicio 7:

1) 2p2 + 3p - 2.

2) 4m2 + m - 33.

3) 3x2 + 19x -14.

4) 10m2 -m - 21.

5) 12m2 – 25m + 12.

Caso VIII

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS.

En los productos notables se vio que (a+ b)3= a3+ 3a2b + 3ab2 + b3

(a- b)3= a3- 3a2b + 3ab2 - b3

Lo anterior nos dice que para que una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra sea el cubo de un binomio, tiene que cumplir las siguientes condiciones:

1. Tener cuatro términos.

2. Que el primero y el último término sean cubos perfectos.

3. Que el segundo término sea más o menos el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.

4. Que el tercer término sea más o menos el triplo de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último.

Si todos los términos de la expresión son positivos, la expresión dada es el cubo de la suma de las raíces cúbicas de su primero y último término, y si los términos son alternativamente positivos y negativos la expresión dada es el cubo de la diferencia de dichas raíces.

RAICES CUBICAS DE UN MONOMIO.

La raíz cúbica de un monomio se obtiene extrayendo la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3.

Así, la raíz cúbica de 9m6n12 es 3m2n4. En efecto:

(3m2n4)3= 3m2n4 X 3m2n4 X 3m2n4= 9m6n12.

HALLAR SI UNA EXPRESION DADA

ES EL CUBO DE UN BINOMIO.

Ejemplos:

1) Hallar si 8m3 + 12m2 + 6m + 1 es el cubo de un binomio.

Veamos si cumple las condiciones expuestas antes.

La expresión tiene cuatro términos.

La raíz cubica de 8m3 es 2m.

La raíz cubica de 1 es 1.

3(2m)2(1)= 12m2, segundo término.

3(2m) (1)2= 6m, tercer término.

Cumple las condiciones, y como todos sus términos son positivos, la expresión dada es el cubo de (2m + 1), o de otro modo, (2m + 1) es la raíz cúbica de la expresión.

2) Hallar si 8 + 36p – 54p2 – 27p3 es el cubo de un binomio.

Ordenando la expresión, se tiene: - 27p3 – 54p2 + 36p +8.

La raíz cúbica de 27p3 es 9p.

La expresión tiene La raíz cúbica de 8 es 2.

Cuatro términos: 3(3p)2 (2) = 54p2, segundo término.

3(3p) (2)2 = 36p, tercer término.

Y como los términos son alternativamente positivos y negativos, la expresión dada es el cubo de (9p – 2).

3) Hallar si y6 + 3y4 + 3y2 + 1.

Veamos si cumple las condiciones expuestas antes.

La expresión tiene cuatro términos.

La raíz cúbica de y6 es y2.

La raíz cúbica de 1 es 1.

3(y2)2(1)= 3y4, segundo término.

3(y2) (1)2= 3y2, tercer término.

FACTORAR UNA EXPRESIÓN QUE ES EL CUBO DE UN BINOMIO.

1) Factorar 1 + 9a + 5a2 + 27a6.

Aplicando el procedimiento anterior veamos que esta expresión es el cubo de (1 + 9a2); luego:

1 + 9a + 5a2 + 27a6= (1 + 9a2)3. R.

2) Factorar p9 – 18p6b5 + 108p3b10 – 216b15.

Aplicando el procedimiento anterior, vemos que esta expresión es el cubo de (p3 – 6p5); luego:

P9 – 18p6b5 + 108p3b10 – 216b15= (a3 – 6b5)3. R.

3) Factorar 27 – 27a + 9a2 – a3

Aplicando el procedimiento anterior, veamos que esta expresión es el cubo de (3 – a); luego:

27 – 27a + 9a2 – a3= (3 - a)3. R.

Ejercicio 8:

1) 1 + 18x2y3 + 108x4y6 +216x6y9.

2) 216p6q3 – 324p4q2t2 +162p2qt4 – 27t6.

3) 1 + 6mn – 12m2n2 – 8m3n3.

4) p3 + 6p2 + 12p + 8.

5) x3 + 3x2y + 3xy2 + y3.

CASO IX

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS.

Sabemos que: a+b =a-ab+b y a-b=a+ab+b

a+b a-b

y como en toda división exacta el dividiendo es igual al producto del divisor por el cociente, tendremos:

a+b=(a+b) (a-ab+b)

a-b=(a-b) (a+ab+b)

La formula (1) nos dice que:

REGLA 1

La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

1. la suma de sus raíces cubicas.

2. el cuadrado de la primera raíz menos el producto de las dos raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

La formula (2) nos dice que:

REGLA 2

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

1. la diferencia sus raíces cubicas.

2. el cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz.

FACTORAR UNA SUMA O UNA DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS.

Ejemplos:

1) Factorar 27+8x.

La raíz cubica de 27 es 3; la raíz cubica de 8x es 2x .Según la regla 1

27+8X= (3+2X) (X -X (3)+3)= (3+2X) (9-6X+4X)

2) Factorar 216m-512n

La raíz cubica de216m es 6m; y la raíz cubica de 512 es 8n.segun la regla 2.

216m-512= (6m-8n) (6m+8n (6m)+8n)= (6m-8n) (36m+48mn+64)

3) Factorar 343ab-64c

343ab-64c

7ab 4c

(7ab+4c)(49ab-28abc+16c)

Ejercicio 9:

Descomponer en dos factores

1)1000x-729y

2)8m-1

3) p +q

4)8a-(a-1)

5) a+125b

Caso X

Suma o diferencia de dos potencias iguales.

Ejemplos:

1) Factorar m7 + n7.

Dividiendo entre m + n los signos del cociente son alternativamente + y –.

m7 + n7 = m6 - m5n + m4n2 + m3n3 + m2n4 + m5n + n6.

m + n

2) Factorar x5+ y5.

Dividiendo x+ y los signos son alternativamente + y - .

x5 + y5 = x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4

x + y

Luego x5 + y5 = (x + y) (x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4). R.

3) Factorar p5 - q5.

Dividiendo p - q los signos del cociente son todos +:

p5 - q5 = p4 + p3q + p2q2 + pq3 + q4

p - q

Luego p5 - q5 = (p4+ p3q + p2q2 + pq3+ q4). R.

Ejercicio 10:

1) a7 - b7x7.

2) 32 - p5.

3) 1 + 243x5.

4) m7 + n7.

5) x5 - 1.

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DEL TEXTO.

Respuestas de ejercicio 1:

1) 2 (2x – 3y)

2) 3x (2x + y – z)

3) 2 (2m – mn – 3)

4) 6abc (1 + 5c)

5) 2 (2m2 – 4m +1)


1) (1-2x) (3a-b)

2) (a+1) (1+3y)

3) (3-7x) (2a-3b)

4) (a+3) (x-2)

5) (3a+b) (x-2y)


1) (3q – 5p2)2

2) (1 + 7a2b)2

3) (13m3 - 4)2

4) (a – 12m2x2)2

5) (2a – 3b)2


1) (3 + 2x) (9 – 6x + 4x2)

2) (6m2 – 8n) (36m4 + 48m2n + 64n2)

3) (7ab + 4c) (49a2b2 – 28abc + 16c2)

4) (2m – 1) (4m2 + 2m + 1)

5) (P + q) (p2 – pq + q2)


1) (m4 - m2 +2) (m4 + m2 +2).

2) (a2 - 2a + 3) (a2 + 2a + 3).

3) (2x2 - 3xy + 3y2) (2x2 + 3xy + 3y2).

4) (2 - 8m - 11m2) (2 + 8m - 11m2).

5) (4p2 - pq - 3q2) (4p2 + pq - 3q2).


1) (c – 11) (c – 3)

2) (m – 5) (m – 3)

3) (p – 7) (p + 3)

4) (a – 7) (a + 5)

5) (q + 15) (q – 2)


1) (p + 2) (2p – 1)

2) (m + 3) (4m - 11)

3) (x + 7) (3x – 2)

4) (2m - 3) (5m + 7)

5) (3m - 4) (4m - 3)


1) (1 + 6x2y3)3

2) (6p2q – 3t2)3

3) (1 – 2ab)3

4) (p + 2)3

5) (x + y)3


1) (10x-9y) (100x+90xy+81y)

2) (2m-1) (4m+2m+1)

3) (p+q) (p-pq+q)

4) (a+1) (7a-4a+1)

5) (a+5b) (a-10ab+25b)


1) a7 - b7x7.

2) 32 - p5.

3) 1 + 243x5.

4) m7 + n7.

5) x5 - 1.

Casos de Factoreo Trabajo Completo

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