Casos especiales en Elasticidad

Algunos casos en ingeniería geotécnica se pueden tratar como cuerpos perfectamente incompresibles (idealmente). Esto nos lleva a aproximar el cuerpo prácticamente como si fuera un fluído. Muchos tipos de hule, por ejemplo, se pueden tratar suponiendo que su módulo de compresibilidad es mucho mayor que el de rigidez (las deformaciones de corte son mucho más importantes que las dilataciones o compresiones en la respuesta del cuerpo). La incompresibilidad es relevante en mecánica de suelos cuando queremos considerar la respuesta de un suelo completamente saturado en condiciones sin drenado. Claro que tanto el agua de los poros como las partículas sólidas del suelo tienen cierta compresibilidad, pero en el contexto geotécnico es sensato considerarlos como incompresibles.

Elasticidad incompresiva

Consideremos por ejemplo las siguientes relaciones entre los módulos elásticos:

23

Kλ µ= −

2( )λ

νλ µ

=+

2 (1 )E µ ν= +

Si , entonces, y Pero esto también implica que Por lo tanto, para un cuerpo incompresible sólo necesitamos especificar E o µ .

En el caso de los suelos, los cambios de volúmen que ocurren son resultado de un re-ordenamiento de partículas. Sólo una fracción muy pequeña del cambio total de volumen de un suelo resulta por compresión o expansión de las partículas individuales.

La compresión (o la extensión) de un suelo refleja una reordenación de las posiciones de las partículas individuales y una consiguiente reducción (o aumento) en el volumen de poro. Si los poros están llenos de agua, entonces debe ocurrir flujo para que el volumen de poro cambie. Por lo tanto, si no hay posibilidad de drenaje, no hay flujo y el suelo es virtualmente incompresible.

K →∞ λ → ∞ 0.5ν →

3E µ→

Ref: Davis y Selvadurai, Elasticity and Geomechanics, Cambridge U. Press, 1996

Ya hemos visto que el módulo de Poisson nos dice la expansión transversal de un cuerpo cuando es sometido a compresión uniaxial o la contracción lateral cuando se somete a tensión uniaxial. Es claro que si es positivo al someter el cuerpo a compresión en una dirección expandiríamos su dimensión en la dirección transversal.

Pero ¿es entonces posible tener un módulo de Poisson negativo?

ref: Friis, E. A., Lakes, R. S., and Park, J. B., "Negative Poisson's ratio polymeric and metallic materials", Journal of Materials Science, 23, 4406-4414 (1988).

Módulo de Poisson negativo

Módulo de Poisson negativo

Módulo de Poisson negativo

La elasticidad de la Tela de Araña

Ref: Cheryl Hayashi, U. of C. Riverside (http://www.biology.ucr.edu/people/faculty/Hayashi.html

Diferentes tipos de tela de araña (seda), que incluso pueden ser producidos por el mismo ejemplar para diferentes fines.

La resistencia de la Tela de Araña

Cada punto negro corresponde a una especie diferente de araña.

La elasticidad de la Tierra

Los parámetros de Lamé en las rocas

Figure 8. The µ-λ plots for (a) 31 amphibolites, 38 peridotites, 12 serpentinites and 15 partially serpentinized peridotites, (b) 54 eclogites, 118 mafic rocks (gabbro, diabase, mafic gneiss, and mafic granulite) and 145 felsic rocks (granite, diorite, felsic gneiss, intermediate gneiss, and metasediments), and (c) 8 anorthosites, 21 basalts, and 29 limestones/marbles at a hydrostatic pressure of 600 MPa. Lamé parameters of common rocks in the Earth’s crust and upper mantle Shaocheng Ji, Shengsi Sun, Qian Wang, and Denis Marcotte, Journal of Geophysical Research, 115, B06314, doi:10.1029/2009JB007134, 2010

La línea azul es para un sólido de Poisson

Figure 4. The λ-ρ plots for (a) 31 amphibolites, 38 peridotites, 12 serpentinites, and 15 partially serpentinized peridotites, (b) 54 eclogites, 118 mafic rocks (gabbro, diabase, mafic gneiss and mafic granulite) and 145 felsic rocks (granite, diorite, felsic gneiss, intermediate gneiss, and metasediments), and (c) 8 anorthosites, 21 basalts, and 29 limestones/marbles at a hydrostatic pressure of 600 MPa. Lamé parameters of common rocks in the Earth’s crust and upper mantle Shaocheng Ji, Shengsi Sun, Qian Wang, and Denis Marcotte, Journal of Geophysical Research, 115, B06314, doi:10.1029/2009JB007134, 2010

Figure 9. The (a) λ-ρ and (b) µ-λ plots for main rock‐forming minerals. Ab, albite; Adr, andradite; Ab, albite; Adr, andradite; Ae, aegirine; Alm, almandine; An, anorthite; Aug, augite; Br, bronzite; Cal, calcite; Coe, coesite; Di, diopside; Dial, diallage; Dol, dolomite; En, enstatite; Ep, epidote; Fa, fayalite; Fo, forsterite; Fs, ferrosilite; Grs, grossular; Hbl, hornblende; Hd, hedenbergite; Ilm, ilmenite; Jd, jadeite; Law, lawsonite; Mag, magnetite; Ms, muscovite; Ne, nepheline; Omp, omphacite; Or, orthoclase; Prp, pyrope; Qtz, quartz; Rt, rutile; Sil, sillimanite; Spl, spinel; Sps, spessartine; Srp, serpentine; Uvt, uvarovite; Zrn, zircon. The values of λ and µ for each mineral were calculated from the elastic constants compiled by Bass [1995]. Lamé parameters of common rocks in the Earth’s crust and upper mantle Shaocheng Ji, Shengsi Sun, Qian Wang, and Denis Marcotte, Journal of Geophysical Research, 115, B06314, doi:10.1029/2009JB007134, 2010

Tab. 2.1 Typical values (averages and/or approximate ranges) of elastic constants, density, Poisson's ratio and seismic wave velocities for some selected materials, unconsolidated sediments, sedimentary rocks of different geologic age and igneous/plutonic rocks. Values for granite relate to 200 MPa confining pressure, corresponding to about 8 km depth, for basalt to 600 MPa (about 20 km depth), and for Peridotite, Dunite and Pyroxenite to1000 MPa (about 30 km depth) (compiled from Hellwege, 1982; Lillie, 1999; and other sources). A Poisson solid should have a Vp/Vs ratio of 1.73 New Manual of Seismological Observatory Practice 2 Chapter 2. Seismic Wave Propagation and Earth models Peter Bormann, Bob Engdahl and Rainer Kind

Physics of the Earth F. Stacey and P. Davis

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