Casos+practicos elasticidad de materiales

CASOS PRÁCTICOS 1, 2, 3 Y 4

ELASTICIDAD Y RESISTÉNCIA DE MATERIALES I

Robert Campos Ruf

05/06/2012

CURSO 2011/2012

Elasticidad y Resistencia de materiales I 2011/2012 Página 2

ÍNDICE

1.- Práctica 1: Leyes de esfuerzo ............................................................................... 3

1.1.- Enunciado caso práctico 1 ............................................................................ 3

1.2.- Solución del caso práctico 1 ......................................................................... 3

1.3.- Tabla de resultados caso práctico 1 .............................................................. 6

2.- Práctica 2: Tensiones ............................................................................................ 7



2.2.1.- Forma analítica ..................................................................................... 7

2.2.2.- Forma gráfica ........................................................................................ 10

2.3.- Resultados caso práctico 2 ............................................................................ 11

3.- Práctica 3: Deformaciones ................................................................................... 12

3.1.-Enunciado caso práctico 3 ............................................................................. 12


3.3.- Resultados del caso práctico 3 ...................................................................... 15

4.- Práctica 4: Tensión-Deformación......................................................................... 16



4.3.- Resultados del caso práctico 4 ...................................................................... 19


1. Práctica 1: Leyes de esfuerzos.

1.1 Enunciado caso práctico 1.

1.2 Solución del caso práctico 1.

Calculo de la carga distribuida:

R=3·14= 42 kN

Cálculos de reacciones, R1y, R1x y R2y:

Para calcular aplicamos las leyes de la estática:

∑M1=05-42·14+14· R2y+4·21=0;

=

∑ Fy=0 R1y -42+35,64+4=0; R1y=42-35,64-4=2,36kN

∑ Fx=0 R1x=0 kN

Una vez calculado las reacciones calcularemos las leyes de esfuerzos internos:

Criterio de signos de las leyes de esfuerzo

interno:

R1y R2y

R1x

+

+


Tramo 1: 0 ≤ x≤ 7:

M(x)= R1y·x= 2,36·x kN

Q(x)=- R1y=-2,36 kN

N(x)= 0 kN

M(x=0) = 2,36·0=0 kN

M(x=7) = 2, 36·7=16,52 kN

Q(x=0) = -2,36=-2,36 kN

Q(x=7) = -2, 36=-2,36 kN

Tramo 2: 7 ≤ x≤ 14:

Carga distribuida:

M(x)= R1y·x - 5-

·(x-7)= 2,36·x – 5 -

Q(x)=- R1y +

=-2,36

M(x)

Q(x)


N(x)= 0 kN

M(x=7) = 2,36·7 – 5 -

11,52 kN

M(x=14) = 2,36·14– 5 -

-45,46 kN

Q(x=7) = -2,36

=-2,36 kN

Q(x=14) = -2, 36

=8,14 kN

Tramo 3: 14 ≤ x≤ 21:

Carga distribuida:

M(x)=- -

+ 4·(21-x) kN

Q(x)= - + 4 kN

N(x)= 0 kN

M(x=14) = - -

+ 4·(21-14)= -45,5 kN

M(x=21) = - -

+ 4·(21-21)= 0 kN

Q(x=14) = - + 4= -17 kN

Q(x=21) = - + 4= 4 kN

M(x)

Q(x)

Q(x)

M(x)


Gráficos leyes de esfuerzo internas:

Momento flector, M(x):

Esfuerzos cortantes, Q(x):

Esfuerzo axil, N(x):

Apunte: La escala de los gráficos es, 1:10.

1.3 Tabla resultados caso práctico 1.

M(x) Q(x) N(x)

Tramo 1: 0 ≤ x≤ 7

M(x=0)=0 kN

M(x=7) =16,52 kN

Q(x=0) =-2,36 kN

Q(x=7) =-2,36 kN

N(x=0) =0 kN

N(x=7) =0 kN

Tramo 2: 7 ≤ x≤ 14

M(x=7) =11,52 kN

M(x=14) =-45,46 kN

Q(x=7) =-2,36 kN

Q(x=14) =8,14 kN

N(x=7) =0 kN

N(x=14) =0 kN

Tramo 3: 14 ≤ x≤ 21

M(x=14) =-45,46 kN

M(x=21) =0 kN

Q(x=14) =-17 kN

Q(x=21) =4 kN

N(x=14) =0 kN

N(x=21) =0 kN


τyz=4MPa

2. Práctica 2: Tensiones

2.1 Enunciado del caso práctico 2.

2.2 Solución del caso práctico 2.

Empezamos montando la matriz de deformaciones [T] y buscando el vector .

=

=

[T]=

2.2.1 Forma analítica:

Calculo σppales y ppales:

σ

σ σ

⇒ -σ3+σ2

+57σ+7=0;

σ1=8,12MPa;

σ2=-0,12MPa;

σ3=-7MPa

σnz=3MPa

σnx=7MPa

σny=5MPa

Calcular:

σppales y ppales

σn y τ para el plano, cuya normal forma

=30º con “y” y 60º con “z”. (forma

analítica y gráfica.

Tabla resultados:

σ1, σ2 y σ3 (con σ1> σ2 > σ3)

σn y τ para el plano definido por

σnz necesario para obtener σn= 3MPa

manteniendo iguales la resta de los

valores.


Una vez encontrado las tensiones principales buscaremos las ppales:

Para σ1=8,12MPa

·

=

Para σ2=-0,12MPa

·

=

Para σ3=-7MPa

·

=

Las ppales, son: , y

α=0

β=-0,62

γ=0,79

α=0

β=0,79

γ=0,61

α=0

β=-0,32

γ=0,94


Una vez calculado ppales, calcularemos σn y τ en la dirección del vector :

=

·

·

Cálculo de la cuando el valor de , conservado los mismos valores

anteriores.

[T]=

=

·

=

Aplicamos la formula siguiente e igualaremos a 3MPa.

·

⇒

Aislamos ⇒


2.2.2 Forma gráfica:

Las medidas del gráfico están expresadas en cm.

Explicación: Primero hacemos los círculos blancos que son las tensiones

principales (σppales). Lo siguiente es encontrar el ángulo α y lo haremos

multiplicando y haciendo el arco coseno, da 8,44º. Trazamos una línea

(línea roja) que pasa por c2 y c1, a continuación desde el centro de la

circunferencia c3 trazamos un arco que pase por la intersección entre recta y

circunferencia (nos queda el arco rojo). Para encontrar el ángulo γ lo haremos

multiplicando y haciendo el arco coseno, da 78,88º. Trazamos una línea

(línea azul) que pasa por c3 y c1, a continuación desde el centro de la

circunferencia c2 trazamos un arco que pase por la intersección entre recta y

circunferencia (nos queda la circunferencia azul).

Para encontrar σn y τ gráficamente trazamos una línea (línea verde) desde el

punto “0” hasta la intersección M. Tomamos la medida en horizontal que nos

dará la σn= 7,68MPa y la medida en vertical que pertenece a τ= 1,89MPa.

La τ nos da este error a causa de los decimales en los cálculos analíticos.

σ3 σ1 σ2

c3

c1

c2

γ

α

M


2.3 Resultados caso práctico 2:

σ1=8,12MPa

σ2=-0,12MPa

σ3=-7MPa

ppales:

; ;

= (forma analítica); = (forma gráfica)

= (forma analítica); = (forma gráfica)

Cuando buscamos .

σppales


3. Práctica 3: Deformaciones


Calcular:

La matriz de deformaciones.

Las deformaciones principales y sus direcciones.

La deformación angular (Γxa) producida entre el eje ‘x’ y la dirección de la

galga ‘a’.

3.2 Solución caso práctico 3.

Cálculo de la matriz de deformaciones.

Utilizaremos la formula siguiente para relacionar la matriz de deformaciones con

las deformaciones unitarias. El vector vendrá definido por las direcciones de

las galgas extensométricas. Sabemos ya que este está situado encima

del eje x, por lo tanto 3·10-3

= · ;

=

⇒7·10-3

=

·

·

⇒7·10-3

=

(1)

Se conocen las deformaciones unitarias

medidas en las galgas extensométricas 'a', 'b' y

'c'.

= 7·10-3

= 5·10-3

= 3·10-3


= · ;

=

⇒5·10-3

=

·

·

⇒5·10-3

=

(2)

Cogemos las ecuaciones (1) y (2), construimos un sistema y resolvemos.

7·10-3

=

(1)

5·10-3

=

(2)

Con los valores obtenidos construimos la matriz de deformaciones.

Las deformaciones principales y sus direcciones.

Para calcular las deformaciones principales cogemos la matriz de

deformaciones, [D], y restamos .

= ⇒ ⇒

Una vez sabemos el valor de las deformaciones principales, buscamos sus

direcciones. Para hacerlo cogeremos la matriz de deformaciones y le restaremos

los valores de y y montaremos un sistema de ecuaciones con α y β igualando a 0.


Para

·

Para

·

Las ppales, son: .

La deformación angular (Γxa) producida entre el eje ‘x’ y la dirección de la galga

‘a’.

Aplicamos la formula de encontrar la deformación angular. Para hacerlo

iremos a los ejes de las galgas extensométricas y utilizaremos las galgas ‘c’ y

‘a’. El ángulo que forman las dos galgas es de 60º.

α=0,26

β=0,97

α=-0,97

β=0,25


3.3 Resultados caso práctico 3.

Matriz de deformaciones:

Deformaciones principales:

Direcciones principales: y

La deformación angular (Γxa) producida entre el eje ‘x’ y la dirección de la galga

‘a’:


4. Práctica 4: Tensión-Deformación


Tabla de resultados:

Material 1 (pieza azul):

E1=7·104 MPa

L1= 50 cm

b1= 21cm

h1= 42cm

T1= 3 kN/cm2

μ= 0,2

b1

h1

L1

b2

h2

L2

Material 2 (pieza verde):

E2=3·104 MPa

L2= 30 cm

b2= 21cm

h2= 4cm

T1= 7 kN/cm2

μ= 0,25

Material 3 (pieza roja):

E3=2·105 MPa

Ω3= 5cm2


4.2 Solución caso práctico 4.

Antes de empezar hacer ningún cálculo pasaremos todas las unidades a Newtons

(N) y centímetros (cm).

Una veza hemos hecho la conversión haremos una tabla para saber que

incógnitas sabemos y que variables ya tenemos tanto en tensiones como

deformaciones.

Material 1 Material 2 Material 3

Por la definición de deformación y mediante el enunciado sabemos lo siguiente:

Aplicamos las leyes de Hooke generalizadas a la ecuación anterior.

=

Substituimos

=

=

(1)

Tenemos una ecuación y tres incógnitas, nos falta dos ecuaciones para resolver

el sistema. Estas las buscaremos a través de las fuerzas:

?

=? ?

=?

?

=? ?

=?

?

=? ?

=?


*Las fuerzas dibujadas no tienen que ir así, están dibujadas bajo mi criterio.

⇒ ⇒

⇒ (2)

⇒ ⇒

⇒ (3)

Una vez tenemos las ecuaciones 1, 2 y 3 montamos el sistema:

=

(1)

(2)

(3)

F3 F1 F3 F2

Las tensiones y son negativas

porque trabajan a compresión. La

tensión es positiva porque trabaja a

tracción.


4.3 Resultados caso práctico 4.

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