Instituto Superior Fundación Suzuki Profesorado de Matemática para EGB3 y Polimodal.

Cátedra Alfonso Xº “El Sabio” Acerca de la Exposición:

”Introducción a las Geometrías

No Euclidianas” - 28 de junio de 2003 -

“Dejamos de temer aquello que se ha aprendido a entender”.

- Marie Curie -

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El siguiente trabajo es una síntesis del desarrollo de

la exposición “Introducción a las Geometrías No Euclidianas” a cargo del

Profesor Ingeniero Javier Accinelli quien se desempeña, como docente en el

profesorado de matemática, en el Instituto Superior Fundación Suzuki. La

misma se realizó en las instalaciones del mencionado Instituto el día 28 de

junio de 2003 con motivo de celebrarse la Cátedra Alfonso Xº “El Sabio”,

asistiendo al evento autoridades del Profesorado de Matemáticas, invitados

especiales, docentes y alumnos.

DESARROLLO

INTRODUCCIÓN:

Desde niño tomamos contacto con un universo de formas y

figuras: recortamos cuadrados y rectángulos de papel, construimos barriletes en

forma de rombo o hexágonos. Lentamente vamos descubriendo las propiedades

de esas figuras planas. Ya en la escuela formalizamos, y estructuramos, una serie

de conceptos: “los lados opuestos de un rectángulo son paralelos”, “dos rectas son

perpendiculares si se cortan formando ángulos de noventa grados”, etc.

Recurrimos permanentemente a herramientas de trazado que nos facilitan la tarea

de construir figuras geométricas. Segmentos, ángulos, triángulos, cuadrados y

circunferencias. Un sinfín de figuras aflora ante nuestros ojos. Memorizamos

axiomas, postulados y definiciones. Aparecen aquellos temidos “Teoremas” donde

rigurosamente se demuestra lo que subestimamos ya que, intuitivamente, sus

enunciados nos parecen obvios: surge el “rigor matemático“. Vamos estructurando

mentalmente nuestro espacio Euclidiano: viajamos por la ruta y observamos que

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las bandas a ambos lados del camino son paralelas, sin embargo, se cruzan en un

punto sobre la línea del horizonte; elevamos el pulgar hacia el cielo, y mirando con

un ojo cerrado . . . ¡tapamos el Sol!, son nuestros primeros pasos hacia las

perspectivas.

En otras asignaturas aprendemos ¿quiénes fueron los griegos?,

¿cómo se construyeron las pirámides de Egipto?, ¿por qué se erigió la biblioteca

de Alejandría?, ¿La tierra es “redonda”?, ¿qué relaciones guardan las culturas del

pasado con la filosofía, la política, la religión y la ciencia moderna?.

Nombres como Euclides, Thales, Aristóteles, Pitágoras, Kepler,

Galileo y Newton nos pertenecen, pues a través de sus trabajos nos explican la

geometría y cómo funciona la dinámica celeste: ¿por qué la Luna no cae hacia la

Tierra?, ¿qué es la fuerza de gravedad?, etc.

Podemos aplicar la geometría, y la trigonometría, para resolver

problemas de la mecánica. Las leyes de Newton son una poderosa herramienta

para explicar aquellos acontecimientos que se presentan en lo que denominamos

la Mecánica Clásica. En física analizamos: la trayectoria parabólica del tiro

oblicuo, los planetas se desplazan en torno al Sol siguiendo órbitas elípticas, la luz

se propaga en forma rectilínea, etc. Evidentemente las cónicas cobran gran

importancia para nosotros como lo fue para Johannes Kepler al momento de

formular sus leyes. Todo tiene su explicación en un universo de apariencia,

físicamente newtoniana y geométricamente euclidiana, es decir, podemos

justificar cualquier problema de la mecánica celeste mediante la aplicación de

modelos considerados dentro de este marco referencial.

Sin embargo, cuando uno casi ha aceptado esta realidad

descubre, a través de la información que permanentemente adquiere de su

interacción con el contexto que lo rodea, que ese marco referencial considerado

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por la mecánica clásica, y su espacio euclidiano, se acerca en gran medida a lo

que parece “ser” sin alcanzar lo que realmente “es”. Entonces nos preguntamos

¿existe otro (u otros) marco referencial en el cual la mecánica pueda ser estudiada

con un mayor grado de aproximación a la realidad?. Es decir los estándares, o

patrones, de la geometría euclidiana y la mecánica clásica explican con bastante

exactitud los fenómenos muy próximos a situaciones cotidianas, por ejemplo: la

marcha de un ciclista o la caída libre de un cuerpo, pero no son apropiadas para

explicar ciertas situaciones que se presentan en la física moderna, la química y la

astronomía, como expondré más adelante.

Quizás la audiencia en este momento se pregunte qué relación

guarda la mecánica con la geometría y la respuesta que mejor se aproxima no la

daré yo sino que, ya de alguna manera, la responde Albert Einstein (1879-1955)

en su teoría general de la relatividad donde expone: “que la gravedad quizás sea

una consecuencia de la deformación del espacio originada por la distribución de

masa y energía en él”. Es decir, el espacio está, indudablemente, vinculado a la

geometría, y por otra parte, un cuerpo está en movimiento cuando cambia de

posición en el tiempo respecto de un sistema de referencia por lo que obviamente:

mecánica y geometría poseen un vínculo íntimamente ligado.

Para poder obtener una mejor apreciación de la idea principal de

esta exposición se hace imprescindible saber: 1º) quién fue Euclides, 2º) cuál es la

estructura de su geometría, 3º) cuál es la importancia de ésta y 4º) cómo surgieron

las geometrías no euclidianas.

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Euclides:

Según Proclo (1), Euclides vivió durante el reinado de Ptolomeo I (2)

puede ubicárselo temporalmente anterior a Eratóstenes (280-192 a.C. ) y posterior

a Platón (428-348 a.C.), por lo tanto se puede decir, que Euclides ha vivido

alrededor del año 300 a.C. Algunos historiadores consideran que la existencia de

Euclides puede haber sido hipotética atribuyendo su obra a una sociedad de

matemáticos griegos que intentaron agrupar los conocimientos hasta el momento

en esta disciplina.

Aunque a Euclides se le atribuyen varios tratados de geometría el

más importante quizás sea “Stoikheîa” o “Elementos”. Es a través de los

Elementos que Euclides consigue formalizar la geometría, darle carácter de

ciencia deductiva, puesto que hasta el momento podría sintetizarse a ésta como

un agrupamiento de reglas empíricas para la medición y/o trazado de figuras

geométricas planas. Es decir lo que antes era producto de la práctica y la

experimentación ahora lo es mediante una fuerte componente de racionalidad.

Es en esta obra, de trece volúmenes (donde se destacan más de

ciento ochenta definiciones, cinco postulados y cierta cantidad de nociones

comunes o axiomas) que Euclides establece las bases de su geometría: la

“geometría euclidiana”.

Muchos son los aspectos notables que Euclides detalla en los

Elementos pero solamente trataré uno que hace de generador a lo que

posteriormente se dio en llamar “geometrías no euclidianas”. El mismo está

centrado en el Vº postulado de Euclides o más conocido como el “postulado de las

(1) Matemático griego que vivió en Bizancio entre los años 400 y 490 a.C. (2) El primero de los Ptolomeos que se preocupó por convertir a Alejandría en un polo de la cultura del

mundo civilizado.

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paralelas”, cuya enunciación apropiada, es la siguiente: “dada una recta y un

punto exterior a la misma solamente puede trazarse una paralela”.

Debemos considerar que dos rectas serán paralelas si ambas son

equidistantes, o sea, la distancia entre puntos de intersección pertenecientes a

cualquier recta perpendicular y las rectas paralelas se mantiene constante.

Geometrías No Euclidianas Elíptica e Hiperbólica

Estos nuevos modelos fueron desarrollados por grandes

matemáticos entre los siglos XVIII y XIX, como ser el ruso Nikolai I. Lobachevsky

(1793-1856) y el húngaro Johann Bolyai (1802-1860) entre otros. Ambos

matemáticos trabajaron desde perspectivas distintas pero coinciden en que el Vº

postulado debe ser “modificado”.

Bolyai analiza proposicionalmente en qué medida el Vº postulado

puede modificarse considerando propiedades geométricas que sean

independientes de éste.

Lobachevsky, en cambio, parte de la posibilidad de redefinir el Vº

postulado (en realidad lo niega) considerando que: por un punto exterior a una

recta pueden trazarse más de una paralela a la misma.

Para Euclides las rectas paralelas son aquellas “que si se

prolongan indefinidamente, en las dos direcciones posibles, no se encuentran”.

Por lo tanto si analizamos la figura 1 se observa que por el punto

“P” solo es posible trazar una recta paralela a “r” y ésta es la recta “s” cumpliendo

con el Vº postulado.

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-Figura 1-

Ahora supongamos que la recta “s1”, que pasa por el punto “P” y

corta a “r” en “Q1”, tiene la posibilidad de rotar en torno de “P” en el sentido

antihorario. Esto hará que “s1” vaya tomando distintas posiciones, como se indica

en la figura 2, e irá intersecando a la recta “r” en “Q1”, “Q2”, “Q3” . . . . “Qn”, es

decir, cualquier recta que pase por “P” encontrará a la recta “r” determinando un

punto que genéricamente llamaremos “Qn” y se alejará infinitamente hacia la

derecha. Por lo tanto: por el punto “P” . . . ¡no se podrá trazar ninguna recta

paralela a “r”!. Esta situación es el punto de partida de la geometría no euclidiana

“elíptica” (3).

-Figura 2-

(3) Nótese también que la conclusión hubiera sido la misma si “s1” rotase en el sentido horario y “Q1” se desplazara hacia la izquierda.

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Otra situación (fig. 3) consistiría en analizar qué sucedería si una

recta que contiene al punto “P” se acercara indefinidamente hacia la derecha,

desde la vertical de éste, a la recta “r” haciéndose asintótica a ella, es decir, si el

ángulo “α” tendiera a cero. Esto haría que la recta “Sn” se aproximara

infinitesimalmente a “r” sin cortarla nunca.

-Figura 3-

Otro tanto sucedería si avanzáramos hacia la izquierda de la

vertical de “P” e hiciéramos tender el límite del ángulo “β” a cero. De esto se

deduce la existencia de dos rectas, que pasando por “P”, ¡son paralelas a “r”!, por

lo tanto, por un punto exterior a una recta podrán trazarse más de una paralela a

la misma. Es con este caso que surge la geometría no euclidiana “hiperbólica”. De

esta manera quedan presentadas las geometrías no euclidianas elíptica e

hiperbólica. Pero se hace necesario mencionar otros aspectos que surgen de los

análisis anteriores y son los siguientes:

1. Para el caso de la geometría no euclidiana elíptica y, por favor,

observemos la fig. 2, se presenta la situación que al observar a “Qn” como el

punto de encuentro entre “r” y “Sn”, ya sea con “Q” desplazándose hacia la

derecha o izquierda (y considerando al postulado I de Euclides) (4) , “Qn” debe

tener una sola imagen por lo que la recta “r” . . . ¡es cerrada!. Esto significa que

para este tipo de geometría las rectas son curvas . . . y . . . ¡finitas!. De esta

(4) Postulado I de Euclides: entre dos puntos no coincidentes puede trazarse una sola recta.

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manera nos separamos notablemente de las “ilimitadas” rectas euclidianas.

2. En cambio, para la geometría no euclidiana hiperbólica, existe la

posibilidad de que los pares de rectas paralelas a “r” sean asintóticas, es decir,

una aproximación infinitesimal entre ambas, por lo tanto éstas deberán ser

abiertas.

Una mejor comprensión de estos conceptos podrá presentarse

cuando a continuación desarrolle otras geometrías alternativas, que si bien difieren

desde los distintos enfoques se arriban a conclusiones que no contradicen los

postulados de Euclides (excepto el Vº) ni los de las geometrías no euclidianas

elíptica e hiperbólica. Dentro de estas geometrías alternativas se encuentran las

geometrías proyectivas.

Geometrías Proyectivas: otros modelos de las geometrías no euclidianas.

En este momento recordemos algunas funciones representadas

espacialmente en coordenadas rectangulares siendo algunas de ellas las

siguientes:

-Figura 4-

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Las superficies presentadas en la figura 4 responden a un plano,

cuyas trazas se indican, y un octante de esfera con su centro coincidente con el

origen de coordenadas.

Se define como pseudoesfera a la superficie que se obtiene

rotando a una curva, denominada tractriz, en torno de un eje vertical y cuya

expresión matemática en el plano coordenado cartesiano “z-x” es:

z r x r log r r xx

= ± − −+ −

2 22 2

En realidad las pseudoesferas son superficies tridimensionales abiertas que

presentan radios de curvatura negativos y esto ha abierto debates debido a que

presentan ciertas singularidades cuando “x” se aproxima al valor de “r” (fig. 5).

-Figura 5-

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Si deseamos una mejor aproximación al pensamiento de Euclides

es conveniente interpretar que un par de rectas paralelas pueden trazarse en el

plano euclidiano como se indica en la figura 6. De ella se desprenden algunos de

los siguientes aspectos euclidianos:

a) Las rectas “r” y “s” son paralelas por ser equidistantes.

b) El plano ”�” queda definido por las rectas “r” y “s” puesto que ambas

pertenecen a él y son paralelas.

c) La intersección del plano ”�” con los planos coordenados (“x-y”,“y-z” y

“x-z”) generan las rectas cuyas ordenadas al origen son (a;0;0), (0;0;b)

y (0;c;0), si son tomados de a dos (trazas).

d) Los puntos A, B, C y D forman un trapecio.

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Podríamos haber establecido muchas más relaciones a partir de

las consideraciones previas pero, como se verá más adelante, las enunciadas

serán suficientes para el objetivo de esta exposición.

Ya estamos en condiciones de apreciar que la geometría

euclidiana, tal cual ha sido construida, es una geometría plana o bidimensional.

Una vez definido el plano euclidiano podemos establecer todas las relaciones que,

su geometría y trigonometría, nos da las posibilidades de realizar. Sin embargo, es

válido definir a un plano como una esfera de radio infinito y esto hará posible

efectuar analogías entre la geometría euclidiana y otras a ser consideradas si

imaginamos que es factible proyectar una figura plana sobre superficies no-planas

o curvas como puede observarse en la figura 7.

Si estudiamos la figura señalada observamos que el punto A,

vértice de un triángulo esférico ABC, tendrá sus proyecciones A´ y A´´ sobre una

superficie plana y pseudoesférica respectivamente.

Al tener en cuenta lo expresado, se desprende la existencia de

otras geometrías que no serán bidimensionales sino tridimensionales. En ellas se

impondrán nuevas reglas, y propiedades, que guardarán estrecha relación y

equivalencia con las enunciadas por Euclides. Se origina una nueva trigonometría

esférica, puesto que si bien en la geometría plana la suma de los ángulos

interiores de un triángulo da como resultado dos rectos: (fig. 8),

para geometrías esféricas, esto no ha de cumplirse.

α β γ π+ + =

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-Figura 7-

-Figura 8-

Lo expuesto se pone en evidencia al

demostrarse que la esfera y la

pseudoesfera son superficies que

poseen radios de curvatura positiva y

negativa respectivamente (fig. 7).

Si nos referimos a la figuras 9 y 10 podría demostrarse que: Para el triángulo

esférico (fig. 9) la sumatoria de los ángulos α+β+γ será superior a dos rectos, es

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decir: α β . Para el triángulo pseudoesférico (fig. 10) la sumatoria de

los ángulos α+β+γ será inferior a dos rectos, es decir: .

γ π+ + ⟩

α β γ π+ + ⟨

- Figura 9 -

- Figura 10 -

Estas dos propiedades surgen de considerar la convexidad de la

esfera y la concavidad de la pseudoesfera (5).

Por otra parte, al retomar los postulados, veremos que en el plano

euclidiano una recta se prolonga hacia ambos lados indefinidamente (fig.6),

mientras que si consideramos una recta sobre una superficie esférica,

obtendremos ¡una línea cerrada!, es decir: una circunferencia (fig. 11).

(5) Además deberán tenerse en cuenta los axiomas, postulados y definiciones de las geometrías elíptica e hiperbólica desarrolladas precedentemente

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Esta curva recibe el nombre de geodésica y en una primera

aproximación se puede definir como la curva que contiene la mínima distancia (6)

entre dos puntos próximos.

Para la geometría plana por dos puntos puede pasar una única

recta y, curiosamente, para la geometría esférica . . . ¡también!, aunque éstas

serán líneas curvas cerradas (círculos máximos o elipses).

Y si analizamos la geometría pseudoesférica, veremos que esta

propiedad también se cumple pero con la salvedad de que las rectas se harán

asintóticas, por lo tanto, líneas abiertas.

-Figura 11-

Esto significa que pueden estructurarse geometrías no euclidianas

sin negar en su totalidad los postulados de Euclides, solamente bastará con

(6) O máxima distancia, pues podemos desplazarnos desde A hacia B en un sentido o desde A hacia B en el

sentido opuesto, pero con la condición de movernos, en ambos casos, sobre la geodésica. Las geodésicas también reciben el nombre de “círculos máximos” (fig.11)

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sustituir alguno/s de ellos por otro/s, o bien, negarlo/s. Además obsérvese que

tanto para la geometrías proyectivas esférica y pseudoesférica las rectas serán

líneas curvas abiertas o cerradas como se postulan en las geometrías elíptica e

hiperbólica y es por esto que las primeras pueden considerarse una interpretación

proyectiva de las últimas en su total coincidencia.

El Espacio-tiempo:

Supongamos ahora que la figura 11 representa a la Tierra y

quisiéramos trasladarnos desde la ciudad ”A” hasta la ciudad “B” a través de su

superficie. Además, si consideramos nuestra altura despreciable frente a la

distancia existente entre ambas ciudades, y también con respecto al radio

terrestre, podríamos ser considerados individuos bidimensionales . . . ¡casi

sombras!. Por lo tanto, si pudiéramos ver la trayectoria desde una posición alejada

en el espacio, está claro que nos moveríamos siguiendo una geodésica

(recordemos el ejemplo al comienzo de la exposición acerca de las bandas

paralelas en el camino). Pero esa no es la única trayectoria posible puesto que,

desde nuestra nueva perspectiva, vemos la alternativa de atravesar el planeta en

forma rectilínea desde “A” hasta “B”. Claro que para hacer esta observación se

hizo necesario ubicarnos, en una posición “de privilegio”, en un lugar distante fuera

de la Tierra lo que implica salir de esa situación plana y contemplar, el objeto de

estudio, tridimensionalmente. Es decir que si nos consideramos individuos planos,

desplazándonos sobre una superficie espacial curvada, no tendríamos la

sospecha de la existencia de una trayectoria más corta entre dos puntos

separados, entre sí una, cierta distancia. Ahora propongo un interrogante:

evidentemente somos seres tridimensionales. . . pero ¿podríamos ubicarnos en

algún lugar del universo y contemplar que existen trayectorias no-rectilíneas, entre

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dos puntos, de mínima distancia?. (Reflexión) . . . La respuesta, si bien todavía no

tenemos la certeza absoluta para todos los casos, es: ¡si!. Pero, al igual que en el

ejemplo anterior, necesitaríamos de una dimensión extra para la observación del

acontecimiento experimentado . . . ¡Una cuarta dimensión!, lo que indudablemente

modificaría nuestro concepto de espacios tridimensionales, euclidiano y no

euclidianos, vistos hasta el momento. Este espacio de cuatro dimensiones lo

propone Einstein en su “teoría de la relatividad general” en el año 1915. Es con la

obra de este notable, y controvertido, pensador que se produce una revolución

filosófico-científica a nivel mundial.

Él propone un espacio dinámico(7) de cuatro dimensiones,

bautizándolo “espacio-tiempo” y es donde se alteran ciertas leyes de la física, por

ejemplo: la gravedad, ya enunciada anteriormente como cierta distorsión del

espacio. Además considera, en discrepancia con Newton, que las fuerzas de

origen gravitatorio son atractivas, pero también lo son repulsivas a grandes

distancias, a niveles interestelares. Es lógico suponer que si dos cuerpos se

atraen gravitacionalmente, en un universo curvo, simultáneamente se estén

repeliendo desde una perspectiva opuesta.

Quizás estos comentarios puedan parecer alejarme de mi objetivo

de presentar solamente aspectos geométricos del espacio pero quisiera, a modo

de cierre, presentar dos situaciones netamente astronómicas que me permitirían

justificar el por qué de éstos, y son las siguientes:

(7) Newton suponía que espacio y el tiempo eran invariables y absolutos.

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1º) La problemática de la precesión del perihelio(8) del

primer planeta del Sistema Solar: Mercurio.

2º) El Big Bang.

Con respecto a la primera situación resulta que en la astronomía,

a través de la leyes de Kepler y la mecánica clásica, se trata de justificar la

dinámica que rige el movimiento de los astros que componen el Sistema Solar.

Pero cuando la Ciencia y la Tecnología avanzaron lo suficiente se consiguieron

realizar mediciones de altísima precisión y se descubrió que el planeta Mercurio

presenta una anomalía y ésta es que, si bien su órbita es elíptica, el semieje

mayor de su elipse sufre una rotación en torno al Sol de aproximadamente 1º cada

diez mil años. La mecánica clásica, con la geometría euclidiana, no podrían

explicar el fenómeno, sin embargo, ésto lo había predicho Einstein

matemáticamente con sus postulados del continuo espacio-tiempo en 1915.

La conclusión arribada es que la gran masa del astro rey produce

una distorsión del espacio-tiempo muy notable (fig. 12) en las inmediaciones de la

órbita de Mercurio(9) (fig. 13), y no solamente afecta de esta manera a éste, sino

que también influye sobre el resto de los planetas (y sus satélites, cometas,

asteroides, etc) del sistema solar, pero debido a las lejanías, su efecto se hace

casi imperceptible.

(8) Perihelio: distancia más próxima al sol. (9) Las figuras 12 y 13 están graficadas totalmente fuera de escala y son únicamente ilustrativas.

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Esta deformación producida por nuestra estrella recibe el nombre

de “pozo gravitatorio” y también lo producen todos los cuerpos del universo que

posean masa en mayor o menor medida. Demás está decir que las llamadas

estrellas masivas, de neutrones y agujeros negros producen pozos gravitatorios de

altísimas deformaciones espacio-temporales.

-Figura 12-

Para nuestra observación tridimensional del espacio los planetas

siguen trayectorias elípticas cerradas pero para observadores tetradimensionales,

según la teoría general de la relatividad, dichas órbitas serán líneas rectas.

Recordemos por un instante las geometrías euclidianas elíptica e hiperbólica.

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-Figura 13-

Con respecto a la teoría cosmológica del Big Bang quisiera hacer

referencia solamente al aspecto de un estado de densidad infinita de materia. Esto

es posible únicamente si se considera la posibilidad de condensar toda la materia

(y energía) del universo en un espacio nulo, es decir en los momentos iniciales del

gran estallido no existían ni el tiempo ni el espacio. Pero entonces . . . ¿qué es lo

que explotó?, ¿toda la materia y se fue expandiendo?, o bien . . . fue ¡el

nacimiento del espacio!. Quizás el espacio fue evolucionando rápidamente, dando

lugar a que la materia navegara en él, como si fueran manchas sobre un globo

inflándose, y aún hoy, quince mil millones de años después seguimos sintiendo

sus efectos expansivos. Los científicos, abocados en la tarea de dilucidar la

verdad de estas cuestiones, saben que el trabajo será muy complicado pero

también saben que “el espacio nunca va a ser el mismo después de Einstein . . . y

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la mecánica tampoco. Las leyes de Newton dejaron de ser leyes. El universo,

regido monárquicamente por un espacio euclidiano y una mecánica

newtoniana, ha sufrido una revolución irreversible, y quizás, el espacio no se

comporte como lo intento describir en esta exposición. Nuevas geometrías

surgirán del agregado de otras dimensiones al espacio-tiempo y el Hombre se

acercará un poco más a la verdad: a Dios”.

Muchas gracias y hasta el próximo encuentro.

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BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA:

1. EINSTEIN, Albert; “La relatividad”, Ed. Grijalbo.

2. HAWKING, Stephen W; “Historia del Tiempo”; Ed. Planeta-Agositni.

3. REY PASTOR, Julio, PI CALLEJA, Pedro y TREJO, César:

“Análisis Matemático”; Ed. Kapelusz.

4. SAGAN, Carl; “Cosmos”; Ed. Planeta.

5. SANTALÓ, Luis A.; “Geometrías no euclidianas”, EUDEBA.

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