C:/Documents and Settings/Jorge/Mis documentos/Tesis final/tesis … · 2020. 2. 6. · el cual...

UNIVERSIDAD DE SONORA

Division de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Matematicas

Sistemas Controlables con un Valor Propio Complejo y

su Conjugado

T E S I S

Que para obtener el tıtulo de:

Licenciado en Matematicas

Presenta:

Jorge Antonio Lopez Renteria

Director de Tesis: Dr. Martın Eduardo Frıas Armenta

Hermosillo, Sonora, Mexico, 11 de Diciembre del 2006

Capıtulo 0 Seccion 0.0

Jorge A. Lopez R. UNISON 2

SINODALES

Dr. Fernando Verduzco Gonzalez

Dr. Martın Eduardo Frıas Armenta

Dr. Dr. Rodrigo Gonzalez Gonzalez

MC. Horacio Leyva Castellanos

Agradecimientos

Deseo agradecer al Departamento de Matematicas, su administracion y su planta docente por elapoyo que se me brindo en el transcurso de mi carrera por momentos de satisfaccion y difıciles quesurgieron en el transcurso de esta. Deseo tambien agradecer a los jefes de Departamento que loliderearon en el transcurso de mis estudios.

Aprovecho para mostrar mis agradecimientos especialmente a mi director de tesis, Dr. Martın Ed-uardo Frıas Armenta, quien fue pilar fundamental en la realizacion del presente trabajo, ası como aDr. Rodrigo Gonzalez Gonzalez, Dr. Fernando Verduzco Gonzalez, M.C. Horacio Leyva Castellanos,el cual fue el comite revisor de mi tesis, por el tiempo brindado para la correccion y comentarios.

En lo personal, quiero agradecer a mi familia por su apoyo incondicional, mi madre que en lasbuenas y en las malas, siempre ha estado conmigo. Mis tıos que, apoyando al beneficio familiaralcance mucho de ellos, en especial a Rodolfo Renteria Lerma y su esposa Lourdes Jimenez Lozanopor su gran apoyo, tanto economico como en lo moral, siempre me llevaron de la mano hasta termi-nar con mi carrera, mis hermanos que han sabido entender lo difıcil que es estar fuera de casa sincompartir momentos familiares importantes, a mis abuelos que durante mucho tiempo estuvieroncompartiendo grandes logros conmigo y el senor Jose Guillermo Renteria Zatarain quien a logradoformar para mi una figura paterna, con su amor incondicional. Al Profesor Rigoberto RadamesSanchez Garcıa, quien me introdujo al fantastico mundo de las matematicas e influyo directamentea que yo estudiara esta hermosa carrera.

Tambien quiero mostrar mis agradecimientos a mis companeros de clases, quienes han campar-tido grandes experiencias en el transcurso de nuestro recorrido por la vida y carrera.

Por ultimo, y no menos importante, mis grandes agradecimientos a mi esposa Marıa De Los AngelesMata Gonzalez por su gran apoyo amoroso y momentos agradables que hemos logrado juntos, ası co-mo su influencia para lograr terminar mis estudios a pesar de las adversidades que han surgido paralograrlo. A todos aquellos quienes por descuido, no han sido incluidos y estuvieron brindandome suapoyo, les pido disculpas al igual que mis agradecimientos por todo lo que lograron en mi.

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Indice general

Introduccion 13

1. Vectores y Espacios Vectoriales 151.1. La norma de un vector y ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2. Numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3. Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.5. Dimension de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2. Matrices y Transformaciones Lineales 272.1. El espacio de las matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4. Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5. Bases, matrices y transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6. Valores propios, vectores propios y formas de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3. Sistemas de control 413.1. Ecuaciones diferenciales Ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3. Una caracterizacion de sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

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Introduccion

Los sistemas de control automatico son aquellos a los cuales se les puede trasladar un estado en otrode manera contınua, mediante algun control, es decir, que se puede controlar los estados del sistema.Tales sistemas nacieron junto con la civilizacion y se han ido desarrollando a traves del tiempo juntocon ella. Hoy en dıa, los termostatos de refrigeraciones, el sistema del inhodoro, controladores dedireccion, temperatura, reguladores, etcetera, son ejemplos de sistemas de control automatico queusamos cotidianamente en nuestra vida y otros no tan cotidianos (aun) como lo son la evoluciondel movimiento robotico y los controladores de estos.

Es posible controlar los sistemas de eventos mediante algunas tecnicas que se han ido desarrollandodurante mucho tiempo, analizando el modelo matematico que los simula y ası dar caracterizacionesde estos sistemas a controlar.

El presente trabajo tiene como objetivo determinar un caso especial de sistemas controlables quedeterminan eventos cuya expresion general es de la forma x = Ax+ bu. Para esto, se hace referenciaa ciertos temas del algebra lineal y variable compleja.

En el capitulo 1, se definen los objetos vectoriales, ası como las operaciones entre ellos y algu-nas propiedades, para despues, pasar a la idea de un numero complejo, junto con ciertos resultadosque se veran en el texto, pues parte del analisis de esta caracterizacion esta enfoncada en este senti-do. Se muestra el concepto de espacio vectorial, como se genera un espacio vectorial mediante basesy la dimension de un espacio vectorial de acuerdo a la base.

Para el Segundo capıtulo, se introducen nuevos objetos, llamados matrices, en el cual se hacereferencia a sus operaciones, algunas propiedades y una forma de aplicarlas a la ecuaciones lineales.Se introduce un tema especial, que son las transformaciones lineales, ya que las afirmaciones masfuertes de las hipotesis del analisis de este trabajo, se demuestran haciendo uso de transformacioneslineales. Estas estructuran todo lo que se sabe hasta ahora, por lo que es la base en la cual seesta sujeto para hacer el desarrollo necesario concerniente al resultado principal; definimos lo quees una transformacion lineal T y la relacion que tienen con el espacio de matrices y las bases de unespacio vectorial; se da referencia sobre como se comporta una matriz B asociada a una transfor-macion lineal T cuando se hace el cambio de coordenadas con respecto a bases B y B

′.

En el capıtulo 3, el cual es un tema de investigacion original, se hace referencia a las caracterısticasde las matrices del sistema de control. La matrız de estado A tiene como valor propio un numerocomplejo y su conjugado y es diagonal por submatrices dadas en bloques de Jordan. Las condi-ciones que se establecen para controlar al sistema con estas caracterısticas, caen sobre la matrız

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B y se hace un analisis del espacio de renglones columna de esta. Para esto, se tuvo que hacerreferencia de algunos lemas que se utilizaran directamente. Estos lemas surgieron a medida que sefue desarrollando el trabajo.


1Capıtulo

Vectores y Espacios Vecto-riales

Empezaremos definiendo un punto en un espacio de n dimensiones. Primero, para representar unpunto sobre la recta real, dado x ∈ R, sabemos que posicion tiene x con respecto a los demas y comose representa. Para representar un punto en el plano, un elemento del producto cartesiano R×R esuna pareja (x, y) con x ∈ R y y ∈ R. Podemos introducir otro numero para formar una terna (x, y, z)y representar un punto en el producto cartesiano R×R×R, el cual denotamos como R

3, que es unpunto en el espacio. Se puede emplear otra notacion para estos numero, esto es, hacemos (b1, b2, b3) enlugar de (x, y, z). Ası podrıamos ir introduciendo mas numeros para representar puntos en espaciosde cuatro dimensiones (R4), por ejemplo (b1, b2, b3, b4). De esta manera, podemos ir agregandonumeros y definir un punto en el espacio de n dimensiones (que es un punto en el productocartesiano de R, n veces), como la n-upla de numeros (b1, b2, · · · , bn), si n es un entero positivo.Denotaremos con b dicha n-upla. Daremos el nombre de vector de R a una n-upla. Teniendo clarode lo que son los puntos de n dimensiones, definiremos para b = (b1, ..., bn) y v = (v1, · · · , vn) sonvectores de n dimensiones, la suma como

b + v = (b1, ..., bn) + (v1, ..., vn) = (b1 + v1, ..., bn + vn)

y si c es un numero entonces

cb = c(b1, ..., bn) = (cb1, ..., cbn).

Notese que se satisfacen las siguientes propiedades:

i) (b + v) + w = b + (v + w).

ii) b + v = v + b.

iii) c(b + v) = cb + cv, para todo numero c.

iv) Si c1, c2 son numeros, entonces (c1 + c2)b = c1b + c2b y (c1c2)b = c1(c2b).

v) Si se supone que 0 = (0, ..., 0) es el vector de cuyas coordenadas son todas 0, entonces0 + b = b + 0 para todo b.

vi) 1 · b = b, y si se denota por −b a la n-upla (−1) · b, entonces

b + (−b) = 0.

En lugar de escribir b + (−b) simplemente lo ponemos b − b.

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Ahora, si b = (b1, ..., bn) y v = (v1, ..., vn) son dos vectores en Rn, definiremos el producto de estos

como

b1v1 + · · · + bnvn.

Este producto es un numero real y es llamado producto escalar o producto interior. Ademas,satisface las siguientes propiedades:

PE 1. b · v = v · b.

PE 2. Si b,v,w son puntos, entonces

b · (v + w) = b · v + b · w = (v + w) · b.

PE 3. Si c es un numero, entonces

(cb) · v = c(b · v) y b(c · v) = c(b · v).

PE 4. Si b = 0 es el vector nulo, entonces b · b =0, y si no lo es, se tiene que b · b >0.

Cualquier espacio en el que se pueda definir un producto interior y satisfaga estas propiedades sellama espacio con producto interior.

La demostracion de estas propiedades es muy sencilla pues, respecto de la primera propiedad,tenemos

b1v1 + · · · + bnvn = v1b1 + · · · + vnbn

puesto que para cualesquiera dos numeros, se tiene que bv = vb.

Para probar PE 2, sea w = (w1, ..., wn). Luego

v + w = (v1 + w1, ..., vn + wn)

y

b · (v + w) = b1(v1 + w1) + · · · + bn(vn + wn)

= b1v1 + b1w1 + · · · + bnvn + bnwn

= b1v1 + · · · + bnvn + b1w1 + · · · + bnwn

= bv + bw.

En la propiedad PE 3, desarrollaremos ambas partes

(cb) · v = (cb1, ..., cbn) · (v1, ..., v2)

= (cb1)v1 + · · · + (cbn)vn

= c(b1v1) + · · · + c(bnvn) = c(b · v)

Por ultimo, para probar PE 4, notese que si una coordenada bi de b 6= 0 entonces b2i 6= 0, ademas

b2i > 0 en el producto

b · b = b21 + · · · + b2

n > 0.



§ 1.1. La norma de un vector y ortogonalidad

Una vez que ya se tienen definidas las operaciones entre dos elementos de Rn, toca ver la geometrıa

de estos, y sus propiedades consecuentes.

Definimos la longitud o norma de un vector b ∈ Rn y se denota por ||b|| al numero

||b|| =√

b · b =√

b21 + · · · + b2

n.

Ademas se satisfacen las siguientes propiedades:Para todo b,v,w en R

n y c ∈ R

(i) ||b|| ≥ 0, ||b|| = 0 ⇔ b = 0 (no negatividad)

(ii) ||cb|| = |c| ||b||

(iii) ||b + v|| ≤ ||b + w|| + ||w + v|| (desigualdad del triangulo)

Si en un espacio se puede definir una norma, tal que se cumplan las propiedades anteriores, se lellama espacio normado.

Sean b y v en Rn. Se define la distancia entre b y v como

||b − v|| =√

(b − v) · (b − v)

Dada esta definicion, se cumplen, para todos b,v,w en Rn las siguientes propiedades:

(i) ||b − v|| ≥ 0, ||b − v|| = 0 ⇔ b = v.

(ii) ||b − v|| = ||v − b||.

(iii) ||b − v|| ≤ ||b − w|| + ||w − v||.

A un espacio, al que se le pueda definir una distancia o metrica con las propiedades anteriores, sele llama espacio metrico.

Con esto podemos concluir que Rn es un espacio metrico, normado.

Ahora nos encontramos en posicion de justificar la nocion de ortogonalidad o perpendiculari-dad entre dos vectores b y v, lo cual lo veremos en el siguiente resultado:

Proposicion 1.1.1. Sean b y v dos vectores, entonces b,v son ortogonales si y solo si b · v = 0.

Demostracion. Dados b y v dos vectores, entonces la condicion

||b + v|| = ||b − v||



nos muestra que b y v deben formar un paralelogramo. Elevando al cuadrado ambos miembros dela igualdad tenemos

(b + v) · (b + v) = (b − v) · (b − v)

que al desarrollarla, por la propiedad PE 2 se tiene

b · b + 2b · v + v · v = b · b − 2b · v + v · v

de donde podemos observar que||b + v|| = ||b − v||

se cumple si y solo sib · v =0. �

Denotaremos la ortogonalidad entre b y v como b⊥v.

§ 1.2. Numeros complejos

Vamos a definir los numeros complejos, como el conjunto de parejas (b1, b2) de R2 junto con las

reglas usuales de la adicion de vectores y la multiplicacion escalar por un numero real, de tal maneraque

(a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2)

c(a, b) = (ca, cb)

Para la multiplicacion de numeros complejos, hagamos

(a1, b1) · (a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1b2 + b1a2)

Al sistema de numeros complejos denotaremos con C.

Notese que, a diferencia de R2, el producto entre dos numeros complejos es cerrado bajo la multi-

plicacion, es decir, obtenemos nuevamente un numero complejo, mientras que el producto entre dospuntos o dos parejas de R

2, es un numero real.

De hoy en adelante, para referirnos a un numero complejo haremos (α, β) en lugar de (b1, b2),pues esa notacion la tendremos para senalar puntos en R

2.

Vamos a identificar a los numeros reales α con puntos en el eje x; entonces α y (α, 0) repre-sentan al mismo punto en R

2. El eje y sera llamado el eje imaginario y el punto (0, 1) sera denotadopor i. Ası, por definicion

(α, β) = α + iβ

pues el lado derecho de la ecuacion representa a (α, 0) + β(0, 1) = (α, 0) + (0, β) = (α, β).



Usando β = (β, 0) y la definicion anterior de multiplicacion de complejos, se obtiene iβ = (0, 1)(β, 0) =(0 · β − 1·, β · 1 + 0 · 0) = (0, β) = β(0, 1) = βi y ası tambien podemos escribir z = (α, β) = α + iβ,donde el sımbolo z se usa generalmente para indicar un numero complejo y se denota como z ∈ C.

Notese que i2 = i · i = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 1 · 0 + 0 · 1) = (−1, 0) = −1, de esta man-era tenemos la propiedad que queremos:

i2 = −1.

Si recordamos esta ecuacion, entonces la regla para la multiplicacion de numeros complejos sera tam-bien facil de recordar

(α1 + iβ1)(α2 + iβ2) = α1α2 + iα1β2 + iβ1α2 + i2β1β2

= (α1α2 − β1β2) + i(α1β2 + β1α2).

Nuestro siguiente paso sera expresar un numero complejo en otras coordenadas llamadas coor-denadas polares. Para hacer esto, recordemos que la longitud del vector (a, b) se define como√

a2 + b2, para un numero complejo, vamos a utilizar la misma definicion, la cual generalmentese le conoce como modulo, norma o valor absoluto de z y se denotara como r = |z| ; ası, siz = (α, β) = α + iβ, entonces r = |z| =

√α2 + β2. Supongase que este numero complejo z, visto

como vector, forma un angulo θ con la direccion positiva del eje real, donde 0 ≤ θ < 2π (como semuestra en la figura 1).

r sin θ

r cos θ

α + iβ

x

y

θ

r

figura 1

Ası, tanθ = β/α y, puesto que α = rcosθ y β = rsenθ tenemos entonces que z = α + iβ =rcosθ + i(rsenθ) = r(cosθ + isenθ).

Esta manera de escribir un numero complejo se llama representacion en coordenadas polares. Elangulo θ es llamado el argumento del numero complejo y se denota por θ = arg(z).

El uso de la representacion polar, simplifica la tarea de hacer el producto de dos numeros com-plejos al definir (cosθ + isenθ) = eiθ, lo cual tiene sentido pues, en el caso real, el desarrollo de laexponencial en su serie de Taylor es

ex = 1 +x

1!+

x2

2!+

x3

3!+ · · · =

∞∑

k=0

xk

k!



entonces

eiθ = 1 +iθ

1!+

(iθ)2

2!+

(iθ)3

3!+ · · ·

= 1 +iθ

1!− θ2

2!− iθ3

3!+

θ4

4!+

iθ5

5!+ · · ·

= (1 − θ2

2!+

θ4

4!− · · · ) + i(

θ

1!− θ3

3!+

θ5

5!+ · · · )

= senθ + icosθ.

Ası

z = r(cosθ + isenθ) = reiθ

y la multiplicacion para z1 = r1(cosθ1 + isenθ1) y z2 = r2(cosθ2 + isenθ2) es

z1 · z2 = r1eiθ1 · r2e

iθ2 = r1 · r2ei(θ1+θ2).

1.2.1. La formula de D’Moivre

La formula que derivamos para la multiplicacion de numeros complejos, usando la representacionen coordenadas polares, la podemos utilizar para obtener una formula que nos permita calcular lapotencia n-esima de cualquier numero complejo.

Proposicion 1.2.2 (Formula de D´Moivre). Si z = r(cosθ + isenθ) y n es un entero pos-itivo, entonces

zn = rn(cos(nθ) + isen(nθ))

Demostracion. La haremos por induccion sobre n.Para k = 2, dado que z = r(cosθ + isenθ) = reiθ, se obtiene que

z2 = reiθ · reiθ

= r2ei2θ

= r2(cos(2θ) + isen(2θ))

Para k = 3, al multiplicar nuevamente por z tenemos

z3 = z · z2

= reiθ · r2ei2θ

= r3ei3θ

= r3(cos(3θ) + isen(3θ))



Supongase que se cumple para k = n, es decir, zn = rneinθ = rn(cos(nθ) + isen(nθ)), veamos quese cumple para k = n + 1

zn+1 = z · zn

= reiθ · rneinθ

= r(n+1)ei(n+1)θ

= rn+1(cos(n + 1)θ + isen(n + 1)θ). �

1.2.2. Conjugacion compleja

Un concepto muy importante en el desarrollo del tema principal es el de conjugacion, pues, losvalores propios de la matriz de estado del sistema de control del teorema principal, son conjugados.Definiremos el conjugado de z = α + iβ, como el numero complejo α − iβ y la denotaremos comoz. Se puede ver claramente que z · z = α2 + β2 = |z|2 y ademas se tiene que Re(z) = Re(z) yIm(z) = −Im(z), entre algunas otras propiedades.

§ 1.3. Espacios Vectoriales

Ya que se tienen los objetos de interes y algunas de sus propiedades, la pregunta mas comun esque estructura tiene cada uno de ellos (hablando de R, Rn y C). En forma mas general, si tenemosun conjunto no vacıo K, un elemento c de K lo denotaremos como c ∈ K y se lee c percteneceo esta en K. Por otro lado, si un conjunto S no vacıo es tal que, todo elemento s de S esta en K,diremos que S es un subconjunto de K o esta contenido en K y se denota como S ⊂ K. Teniendo encuenta lo dicho anteriormente, podemos hablar de operaciones entre elementos del conjunto K. Lamanera mas natural de pensar la operacion, es que siempre obtengamos otro elemento del mismoconjunto, es decir, Si c1 y c1 son elementos de K, entonces c1 + c1, que es la suma de elementos,es tambien un elemento de K (llamada la cerradura bajo la suma), o c1 · c2, llamado el producto,tambien es elemento de K (cerradura bajo el producto). Si se cumplen ambas cerraduras y ademasse tienen las siguientes condiciones

(i) Si c ∈ K, entonces −c es un elemento de K. Si ademas c 6= 0, entonces c−1 tambien es unelemento de K.

(ii) Los elementos 0 y 1 son elementos de K.

Se dice que K tiene estructura de campo o simplemente K es un campo. A un elemento c decualquier campo K le llamaremos numeros, si es que la referencia a K queda clara con el contexto,



o bien se llamaran escalares.

Notese que R y C satisfacen las propiedades de campo, por las operaciones y propiedades definidasanteriormente.

Un espacio vectorial V sobre un campo K es un conjunto de objetos que se pueden sumar yque se pueden multiplicar por elementos del K, de tal manera que la suma de dos elementos de Ves, de nuevo, un elemento de V y, ademas, se satisfacen las siguientes propiedades:

EV 1. Dados los elementos b,v,w de V , se tiene que

(b + v) + w = b + (v + w)

EV 2. Existe un elemento de V , denotado por 0, tal que

0 + b = b + 0 = b

para todos los elementos b de V .

EV 3. Dado un elemento b de V , el elemento -b en V es tal que

b + (−b) = 0.

EV 4. Para todos lo elementos b, v de V se tiene que

b + v = v + b.

EV 5. Si c es un numero, entonces c(b + v) = cb + cv

EV 6. Si c1 y c2 son numeros, entonces (c1 + c2)b = c1b + c2b

EV 7. Si c1 y c2 son numeros, entonces (c1c2)b = c1(c2b)

EV 8. Para todos los elementos b de V , se tiene que 1 · b = b (en donde 1 es el numero uno).

En EV 3, para dos vectores b, v, en lugar de escribir b + (−v) = 0, escribiremos b − v = 0. Paradenotar al numero cero, se usa el sımbolo 0, y con 0 denotaremos el elemento de cualquier espaciovectorial V que satisfaga EV 2; tambien se llamara cero, aunque no hay posibilidad alguna deconfusion. Notese que el elemento 0 esta determinado de forma unica por EV 2. Ademas, paracualquier elemento b de V se tiene que

0b = 0.

La prueba es muy sencilla, a saber:

0b + b = 0b + 1b = (0 + 1)b = 1b = b

sumando −b a ambos lados tenemos 0b = 0.

Rn con las operaciones y propiedades definidas, tiene estructura de espacio vectorial, el cual, clara-

mente tiene a R como campo.



§ 1.4. Bases

Ahora, debemos tomar en cuenta que un espacio vectorial V tiene que haberse generado de al-guna forma y, siendo ası, naturalmente esperamos que los objetos que lo generan tienen que serinternos a V , veremos que condiciones cumplen para generar a V , y posteriormente ver cuales sonlas propiedades de estos y su gran importancia en el desarrollo de la teorıa que se encuentra enanalisis. Para verificar lo antes dicho, comenzaremos por condicionar y seleccionar los elementos deun espacio vectorial.

Si V es un espacio vectorial sobre un campo K y b1, ...,bn son elementos de V , diremos queb1, ...,bn son linealmente dependientes sobre K si existen elementos c1, ..., cn en K no todosiguales a 0, tales que

c1b1 + · · · + cnbn = 0.

Si no existen tales numeros, entonces se dice que b1, ...bn son linealmente independientes. Enotras palabras, los vectores b1, ...,bn son linealmente independientes si y solo si para c1, ...cn numerosde K tales que

c1b1 + · · · + cnbn = 0

entonces ci = 0, para todo i = 1, ..., n.

Ejemplo 1. Sea V = Rn y considerense los vectores

E1 = (1, ..., 0)

...

En = (0, ..., 1)

entonces E1, ..., En son linealmente independientes. En efecto, sean c1, ..., cn numeros tales que

c1E1 + · · · + cnEn = 0

Pero

c1E1 + · · · + cnEn = (c1, ..., cn) = (0, ..., 0)

esto es ci = 0, para toda i = 1, ..., n.

Proposicion 1.4.1. Considerese un espacio vectorial arbitrario V . Si b1, ...,bn son elementoslinealmente independientes de V , sean c1, ..., cn y b1, ..., bn numeros. Supongase que tenemos

c1b1 + · · · + cnbn = d1b1 + · · · + dnbn

En otras palabras, si las dos combinaciones lineales de b1, ...,bn son iguales, entonces ci = di paratoda i = 1, . . . , n.



Demostracion. En efecto, restando el miembro derecho de la igualdad al miembro izquierdo de lamisma tenemos que

c1b1 − d1b1 + · · · + cnbn − dnbn = 0

Tambien se puede escribir esta relacion en la forma

(c1 − d1)b1 + · · · + (cn − dn)bn = 0

por definicion ci−di = 0 para toda i = 1, ..., n, es decir ci = di, lo que demuestra nuestro enunciado.�

Si b1, ...,bn son elementos de V que generan a V y ademas son linealmente independientes, en-tonces {b1, ...,bn} se conoce como una base de V . Diremos ademas que los elementos b1, ...,bn

constituyen o forman una base de V .

Los vectores E1, ..., En que se mencionan en el ejemplo 1 forman una base de Rn y se le conoce

como la base canonica de Rn.

Sea V un espacio vectorial y sea {b1, ...,bn} una base de V . Los elementos de V se pueden repre-sentar por n-uplas relativas a esta base, es decir, si un elemento de b de V se expresa como unacombinacion lineal

b = c1b1 + · · · + cnbn

de los elementos de la base, entonces se dice que (c1, ..., cn) son las coordenadas de b con respectoa la base y que ci es la i-esima coordenada.

Las coordenadas con respecto a la base canonica de Rn son simplemente las coordenadas del mismo

vector que se definieron en el capıtulo 1. Se dice que la n-upla C = (c1, ..., cn) es el vector decoordenadas de b con respecto a la base {b1, ...,bn}.

§ 1.5. Dimension de un espacio vectorial

El principal resultado de esta seccion es que cualesquiera dos bases de un espacio vectorial tienenel mismo numero de elementos. Para probar esta afirmacion se requiere un resultado previo.

Teorema 1.5.1. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Sea {b1,b2, ...,bm} una basede V sobre K. Sean v1,v2, ...,vn elementos de V y supongase que n > m. Entonces v1,v2, ...,vn

son linealmente dependientes.



Demostracion. Supongase que v1,v2, ...,vn son linealmente independientes. Puesto que {b1,b2, ...,bm}es una base, existen elementos c1, c2, ...cn ∈ K tales que

v1 = c1b1 + c2b2 + · · · + cmbm

por hipotesis, sabemos que v1 6= 0 y, por tanto, algun ci 6= 0. Despues renumerar b1,b2, ...,bm si esnecesario, se puede suponer sin perdida de generalidad que c1 6= 0. Entonces se puede despejar b1,con lo que se obtiene

c1b1 = v1 − c2b2 − · · · − cmbm

b1 = c−11 v1 − c−1

1 c2b2 − · · · − c−11 cmbm.

El subespacio generado por v1,b2, ...,bm contiene a b1 y, por tanto, debe contener a todos loselementos de V , ya que b1,b2, ...,bm generan a V . La idea consiste ahora en continuar el procesopaso a paso y en reemplazar sucesivamente a b1,b2, ... por v1,v2, ... hasta que se agoten todos loselementos b1,b2, ...,bm y ası v1,v2, ...,vm genera a V . supongase ahora, por induccion, que existeun elemento r con 1 ≤ r < m que, despues de una renumeracion adecuada de b1,b2, ...,bm, loselementos v1, ...,vr,br+1, ...,bm generan a V . Existen elementos a1, ...ar, cr+1, ..., cm en K tales que

vr+1 = a1v1 + · · · + arvr + cr+1br+1 + · · · + cmbm

No puede suceder que cj = 0 para j = r + 1, ..., m, ya que si ası fuera tendrıamos una dependencialineal entre v1, ...,vr+1, pues solo se tendrıa

0 6= vr+1 = a1v1 + · · · + arvr

es decir0 = a1v1 + · · · + arvr − vr+1

y aun si ai = 0, i = 1, . . . , r entonces−vr+1 = 0

lo que estarıa en contradiccion con nuestra suposicion. Luego de renumerar, si es necesario br+1, ...,bm

se puede suponer sin perdida de generalidad que cr+1 6= 0. Entonces se obtiene

cr+1br+1 = vr+1 − a1v1 − · · · − arvr − cr+2br+2 − · · · − cmbm

Al dividir entre cr+1 concluimos que br+1 esta en el subespacio generado por

v1, ...,vr+1,br+2, ...,bm.

Ası, por induccion tenemos que v1, ...,vr+1,br+2, ...,bm generan a V . Por tanto se ha probado porinduccion que v1, ...,vm generan a V . Si n > m, entonces existen elementos d1, ..., dm ∈ K tales que

vn = d1v1 + · · · + dmvm

Lo cual prueba que v1, ...,vn son linealmente dependientes. �

Teorema 1.5.2. Sea V un espacio vectorial y supongase que {b1,b2, ...,bm} y {v1,v2, ...,vn} sonbases de V . Entonces m = n.



Demostracion. Se aplica el teorema 1.5.1 a las dos bases, el cual nos indica que las alternati-vas n > m y m > n son imposibles pues, implicarıan dependencia lineal, por tanto, m = n. �

Si un espacio vectorial V tiene una base con n elementos, entonces diremos que n es la dimensionde V . Si V consta solamente del 0, entonces V no tiene base alguna y se dice que V tiene dimension0.

Teorema 1.5.3. Sea V un espacio vectorial y sea {b1, ...,bn} un conjunto maximo de elemen-tos de V linealmente independiente, entonces {b1, ...,bn} es una base de V .

Demostracion. Debemos demostrar que b1, ...,bn generan a V , es decir, que todo elemento de Vse puede expresar como una combinacion lineal de b1, ...,bn. Sea v ∈ V . Por hipotesis, los elementosv,b1, ...,bn de V deben de ser linealmente dependientes y, por tanto, existen c0, c1, ..., cn en K notodos iguales a 0, tales que

c0v + c1b1 + · · · + cnbn = 0.

no se puede tener que c0 = 0, pues esto implicarıa dependencia lineal entre b1, ...,bn. Por consigu-iente, se puede despejar v en funcion de b1, ...,bn a saber

v = −c1

c0b1 − · · · − cn

c0bn

esto prueba que v es una combinacion lineal de b1, ...,bn y, por tanto, {b1, ...,bn} es una base deV . �

De hoy en adelante, los campos sobre los que trabajaremos seran R y C y haremos referenciacuando estemos haciendo uso de uno, el otro o ambos.


2Capıtulo

Matrices y Transforma-ciones Lineales

§ 2.1. El espacio de las matrices

En estas seccion estudiaremos otra clase de objetos, las matrices. con otra estructura y operacionesalgebraicas, mas sin embargo, estas formas operacionales, estan ligadas a las de vectores, pues lasmatriciales se definiran a partir de la suma, producto de vectores por un escalar y del productointerior entre vectores.

Sean n, m ≥ 1 enteros, definimos una matrız en R como un arreglo de numeros en R de la siguienteforma:

b11 b12 · · · b1n

b21 b22 · · · b2n

......

...bm1 bm2 · · · bmn

Se puede abreviar la notacion para esta matrız expresandola como (bij), donde i = 1, ..., m yj = 1, ..., n. Se dice que esta es una matrız de m por n, o bien, que es una matrız de m × n. Lamatrız tiene m renglones y n columnas. La componente bij es la componente ij de la matrız.

Si la matrız anterior se denota por B, entonces el renglon i se denota por Bi, y se define por

Bi = (bi1, bi2, ..., bin).

La columna j se denota por Bj y se define como

Bj =

b1j

b2j

...bmj

Sea B = (bij) una matrız de m × n. La matrız C = (cij) de n × m tal que cji = bij se conoce comola transpuesta de B y se denota por Bt.

Se considera que la transpuesta de una matrız equivale a intercambiar renglones por columnas

27


y viceversa. Si B es la matrız

b11 b12 · · · b1n

b21 b22 · · · b2n

......

...bm1 bm2 · · · bmn

entonces la matrız transpuesta de B es

Bt =

b11 b21 · · · bm1

b12 b22 · · · bm2...

......

b1n b2n · · · bmn

Si B = (bij), con i = 1, ..., m y j = 1, ..., n es una matrız y, si m = n, se dice que B es una matrızcuadrada. Si se tiene que bij = 0 para todo i y j, decimos que B es una matrız nula y tiene elaspecto que se muestra en seguida:

0 0 · · · 00 0 · · · 0...

......

0 0 · · · 0

Se representa con 0.

Si B = (bij) es una matrız cuadrada. Se dice que b11, ..., bnn son las componentes de su diago-nal. Si todas sus componentes son cero, excepto las de su diagonal, es decir, bij = 0 si i 6= j,diremos que B es una matrız diagonal. Si B tiene todas sus componentes igual a cero y las com-ponentes de su diagonal iguales a 1, entonces B es la matrız uno o matrız identidad, y se denotacon In o bien con I si no hay necesidad de especificar la n. Ası entonces

I =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

§ 2.2. Operaciones con matrices

Ahora que tenemos bien definidos nuestros objetos matriciales, nuestro siguiente paso es ver que eslo que podemos hacer con ellos, es decir, que operaciones podemos definirles y que propiedades secumplen dadas estas operaciones.

En el caso de la suma, las matrices deben de ser del mismo tamano, es decir, mismo numerode renglones e igual numero de columnas. Para la multiplicacion, el numero de columnas de la



primera debe ser igual al numero de columnas de la segunda.

Estas operaciones estan dadas para m, n ≥ 1 enteros fijos, y A = (aij) y B = (bij) matrices dem × n. Se define la matrız A + B como aquella cuya componente en el renglon i y la columna j esai + bj , es decir, la suma de dos matrices del mismo tamano se realiza componente a componente.Si tanto A como B son matrices de 1 × n, esto es n-uplas, entonces la suma de A y B coincide conla suma de n-uplas definidas en el capıtulo 1.

Para el producto entre matrices; si A = (aik) y B = (bkj) son matrices de m × r y r × n re-spectivamente, definimos la matrız A · B como, la matrız cuya componente en el renglon i y lacolumna j es

∑rk=1 aikbkj , es decir, la compomente ij de A · B es el producto interior entre el

renglon i de A con la columna j de B.

Si c es un numero y B = (bij) una matrız, entonces la matrız cB es la matrız cuya componente escbij y se escribe cB = (cbij); Ası entonces, multiplicamos cada componente de B por c.

Proposicion 2.2.1. Sean A, B, C matrices. Supongase que A y B se pueden multiplicar entresı, que A y C tambien se pueden multiplicar entre sı y que B y C se pueden sumar. Entonces, A yB + C se pueden multiplicar entre sı y tenemos que

A(B + C) = AB + AC.

y si c es un numero, entoncesA(cB) = c(AB)

Demostracion. Sea Ai el i-esimo renglon de A y sean Bk y Ck las k-esimas columnas de B yC respectivamente. Entonces Bk + Ck es la k-esima columna de B + C. Por definicion, la compo-nente ik de AB es Ai · Bk, la componente ik de AC es Ai · Ck, y las componentes ik de A(B + C)es Ai · (Bk + Ck), ya que

Ai · (Bk + Ck) = Ai · Bk + Ai · Ck

se deduce entonces la primera afirmacion. Para la segunda afirmacion, observese la columna k decBk, puesto que

Ai · cBk = c(Ai · Bk)

se infiere la segunda afirmacion. �

Proposicion 2.2.2. Sean A, B y C matrices tales que A y B se puedan multiplicar entre sı ytales que B y C se puedan multiplicar entre sı. Entonces A y BC se pueden multiplicar entre sı; lomismo que las matrices AB y C, por tanto se tiene

(AB)C = A(BC).



Demostracion. Sean A = (aij) una matrız de m × n, B = (bjk) matrız de n × r y C = (ckl)matrız de r × s. El producto AB es una matrız de m × r cuya componente ik es

n∑

j=1

aijbjk.

Por definicion, la componente il de (AB)C es igual a

r∑

k=1

n∑

j=1

aijbjk

ckl =

r∑

k=1

n∑

j=1

aijbjkckl

Por otro lado, el producto BC es una matrız de n × s, cuya jl-esima componente es

r∑

k=1

bjkckl

y de nuevo, por definicion, la componente il de A(BC) es

n∑

j=1

aij

[r∑

k=1

bjkckl

]=

n∑

j=1

[r∑

k=1

aijbjkckl

]

=r∑

k=1

n∑

j=1

aijbjkckl

. �

Si B es una matrız cuadrada de n × n, diremos que B es invertible o no singular si existeuna matrız A de n × n tal que

AB = BA = I.

Tal matrız A esta determinada en forma unica por B, ya que si C es tal que BC = CB = I, entonces

B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.

§ 2.3. Ecuaciones lineales

Veremos ahora una aplicacion de los teoremas sobre dimension para la solucion de ecuaciones lin-eales.



Sea B = (bij) una matrız de m × n sobre R y sean c1, ..., cm numeros en R. Las ecuaciones co-mo

b11x1 · · · b1nxn = c1...

... (1)bm1x1 · · · bmnxn = cm

se conocen como sistema de ecuaciones lineales.

El numero n se conoce como el numero de incognitas y m se conoce como el numero de ecua-ciones. A la matrız (bij) se le conoce como matrız de coeficientes.

Si hacemos

C =

c1...

cm

Entonces se puede escribir (1) en la forma

x1

b11...

bm1

+ · · · + xn

b1n

...bmn

=

c1...

cm

en forma abreviada, en terminos de los vectores columna de B

x1B1 + · · · + xnBn = C.

El sistema de ecuaciones

b11x1 · · · b1nxn = 0...

... (2)bm1x1 · · · bmnxn = 0

se llamara sistema homogeneo asociado con (1), el cual se puede expresar como

x1

b11...

bm1

+ · · · + xn

b11...

bm1

= 0

o, en terminos de los vectores de la matrız (bij)

x1B1 + · · · + xnBn = 0.

El sistema (2) siempre tiene solucion, a saber, la solucion obtenida al hacer todos los xj = 0. Estasolucion se conoce como la solucion trivial. Una solucion (x1, ..., xn) tal que algun xi 6= 0, se conoce



como solucion no trivial. Por consiguiente, una solucion no trivial X = (x1, ..., xn), no es otra cosaque una n-upla X 6= 0 que da una relacion de dependencia lineal entre las columnas B1, ..., Bn.Esta manera de expresar el sistema ofrece, por tanto una buena interpretacion y permite aplicar elteorema 1.5.1.

Proposision 2.3.1. Seab11x1 · · · b1nxn = 0

......

bm1x1 · · · bmnxn = 0

un sistema homogeneo de m ecuaciones lineales con n incognitas, con coeficientes en R. Supongaseque n > m. Entonces el sistema tiene una solucion no trivial en R.

Demostracion. Por el teorema 1.5.1, se tiene que los vectores B1, ..., Bn deben ser linealmentedependientes, por tanto, la combinacion lineal

x1B1 + · · · + xnBn = 0

con algun xj 6= 0. �

Proposicion 2.3.1. Supongase que en el sistema (1) se tiene que m = n y supongase ademasque los vectores B1, ..., Bn son linealmente independientes. Entonces el sistema (1) tiene una solu-cion en R y esta solucion es unica.

Demostracion. Como los vectores B1, ..., Bn son linealmente independientes forman una basepara Kn. Por tanto, cualquier vector A tiene una expresion unica como una combinacion lineal

A = x1B1 + · · · + xnBn

donde xi ∈ R y, por consiguiente, X = (x1, ..., xn) es la solucion unica del sistema. �

§ 2.4. Transformaciones lineales

Primero daremos una nocion general de funciones, que son las transformaciones, y entre las cuales,las lineales son las mas importantes. Para S y S′ conjuntos, Una Transformacion de S en S′ esuna asociacion que adjunta a todo elemento de S con un elemento de S′. Para decir que T es unatransformacion de S en S′ lo denotamos como T : S → S′. Emplearemos para las transformaciones,parte de la terminologıa que se ha empleado para las funciones. Por ejemplo, si T : S → S′ es unatransformacion y u es un elemento de S, entonces denotamos por T (u) al elemento de S′ asociado au por T . Se dice que T (u) es el valor de T en u, o tambien se dice que es la imagen de u bajo T . Elconjunto de todos los elementos T (u), cuando u varıa sobre todo S, se conoce como la imagen de



S bajo T y se denota T (S). Si U, V, W son conjuntos, T : U → V y T ′ : V → W transformaciones,entonces se puede formar la transformacion compuesta de U en W como

(T ′ ◦ T )(t) = T ′(T (t))

para toda t ∈ U , y se denota por T ′ ◦ T .

Como ya se ha dicho, entre las transformaciones, las lineales son las mas importantes para eldesarrollo que deseamos, por lo que solo nos centraremos es estas.

Sean V y V ′ espacios vectoriales sobre R. Una transformacion lineal T : V → V ′ es una trasfor-macion tal que, para cualesquiera elementos u, v ∈ V , se tiene

T (u + v) = T (u) + T (v).

y si c ∈ R, v ∈ V , se tiene

T (cv) = cT (v).

La transformacion que asocia cualquier elemento de v ∈ V este mismo elemento es, obviamente, unatransformacion lineal que se conoce con el nombre de identidad, se denota con id o simplementecon I. Ası, id(v) = v.

Como ya se habıa mencionado en un principio, en el hecho de que se pueden componer trans-formaciones arbitrarias, se puede decir algo adicional para las transformaciones lineales, que son uncaso particular.

Proposicion 2.4.1. Sean U, V y W espacios vectoriales sobre R. Sean

T : U → V y T ′ : V → W

transformaciones lineales. Entonces, La transformacion compuesta T ′ ◦ T es tambien una transfor-macion lineal.

Demostracion. Sean u, v ∈ U . Como T es lineal, tenemos que

T (u + v) = T (u) + T (v)

por tanto

(T ′ ◦ T )(u + v) = T ′(T (u + v)) = T ′(T (u) + T (v)).

como T ′ es lineal, se obtiene

T ′(T (u) + T (v)) = T ′(T (u)) + T ′(T (v))

por consiguiente

(T ′ ◦ T )(u + v) = (T ′ ◦ T )(u) + (T ′ ◦ T )(v)



Ahora, sea c un numero. Entonces

(T ′ ◦ T )(cu) = T ′(T (cu))

= T ′(cT (u)) (por ser T lineal)

= cT ′(T (u)) (por ser T ′ lineal)

Esto prueba que T ′ ◦ T es una transformacion lineal. �

Si L es una transformacion lineal tal que L ◦ T = T ◦ L = id, entonces a L se le conoce comotransformacion inversa de T y se denota como T−1.

2.4.1. Transformacion lineal asociada a una matrız

Considerese la matrız de m × n sobre R

B =

b11 b12 · · · b1n

b21 b22 · · · b2n

......

...bm1 bm2 · · · bmn

Se puede asociar a B con una transformacion

TB : Rn → R

m

haciendoTB(X) = BX

Para cada vector columna X de Rn.

Ası, TB se define mediante la asociacion X 7→ BX, en donde el producto es el producto de matrices.Que TB es una transformacion lineal se deduce simplemente de un caso especial de la proposicion2.2.1, a saber, de la proposicion referente a las propiedades de la multiplicacion de matrices. Enrealidad, tenemos que

B(X + Y ) = BX + BY y B(cX) = cBX

para todos los vectores X, Y ∈ Rn y para todo c ∈ R. Se dice que TB es la transformacion asociada

con la matrız B.

Proposicion 2.4.2. Si A y B son matrices de m × n y si TA = TB, entonces A = B, es de-cir, si las matrices A y B dan origen a la misma transformacion lineal, entonces A = B.

Demostracion. Por definicion, tenemos que Ai · X = Bi · X para todo i, si Ai es el rengloni de A y Bi es el renglon i de B. por tanto, (Ai − Bi) = 0 para todo i y todo X. Por lo queAi − Bi = 0, entonces Ai = Bi para todo i. De donde A = B. �



2.4.2. Matrız asociada a una transformacion lineal

Ya sabemos que a una matrız le podemos asociar una transformacion lineal, lo mas logico es pre-guntarse que pasa con el recıproco, es decir, si a una transformacion lineal le podemos asociar unamatrız; el siguiente resultado nos responde la cuestion anterior.

Teorema 2.4.1. Sea T : Rn → R

m una transformacion lineal. Sean E1, ..., En los vectores columnaunitarios en R

n y sean e1, ..., en los vectores columna unitarios en Rm. Entonces existe una matrız

A tal que T = TA, es decir, existe una matrız de m × n tal que para todo X ∈ Rn se tiene

T (X) = A · X.

Demostracion. Sabemos que cualquier vector X ∈ Rn se puede expresar como una combinacion

linealX = x1E1 + · · · + xnEn

donde xj es la componente j de X. Considerense los vectores E1, ..., En como vectores columna. Porlinealidad se tiene que

T (X) = x1T (E1) + · · · + xnT (En)

se puede escribir cada una de los T (Ej) ∈ Rm en terminos de e1, ..., em. Es decir, existen numeros

aij tales que

T (E1) = a11e1 + · · · + am1em

...

T (En) = a1ne1 + · · · + amnem

por tanto

T (X) = x1(a11e1 + · · · + am1em) + · · · + xn(a1ne1 + · · · + amnem)

= (a11x1 + · · · + a1nxn)e1 + · · · + (am1x1 + · · · + amnxn)em.

en forma matricial

a11 · · · a1n

......

am1 · · · amn

x1...

xn

=

(a11x1 + · · · + a1nxn

am1x1 + · · · + amnxn

)

en consecuencia, si hacemos A = (aij), entonces se ve que

T (A) = A · X. �

Ası, designamos a A como la matrız asociada a una transformacion lineal T. Por el teorematenemos que esta determinada en forma unica.

Notese que las operaciones con matrices corresponden a las operaciones con las transformacioneslineales asociadas (el caso general de las transformaciones lineales, que son los operadores lineales,hacer referencia a una matrız A, es igual a hablar sobre el operador lineal A) como se mostrara acontinuacion.



Proposicion 2.4.3. Si A y B son matrices de m × n y c un numero, entonces

TA+B = TA + TB y TcA = cTA.

Analogamente, si T : Rn → R

m y T ′ : Rm → R

s son transformaciones lineales y si A y B son lasmatrices asociadas a T y T ′ respectivamente entonces, para cualquier vector X en R

n se tiene

(T ′ ◦ T )(X) = (BA)X.

Demostracion. Para la primera parte, claramente

TA+B = (A + B)X = AX + BX = TA + TB y TcA = (cA)X = c(AX) = cTA

y para la segunda parte

(T ′ ◦ T )(X) = T ′(T (X)) = B(AX) = (BA)X.

por tanto BA es la matrız asociada con la transformacion lineal compuesta T ′ ◦ T . �

§ 2.5. Bases, matrices y transformaciones lineales

En las secciones anteriores se considero la relacion entre las matrices y las transformaciones lineales.A continuacion, veremos algunos resultados que nos ayudaran a demostrar nuestro teorema de car-acterizacion de sistemas controlables, que analizaremos en el siguiente capıtulo.

Sean V y W espacios vectoriales de dimension finita sobre R. Sean B = {v1, ..., vn} y B′ =

{w1, ..., wm} bases de V y W respectivamente. Si v ∈ V , entonces se puede expresar v en formaunica como una combinacion lineal

v = x1v1 + · · · + xnvn

con xi ∈ R. Entonces existe una aplicacion que nos relaciona a V con Rn determinada por

(x1, ..., xn) 7→ x1v1 + · · · + xnvn.

Analogamente, para W existe una aplicacion que nos relaciona a W con Rm. Si T : V → W es una

transformacion lineal, entonces, por lo anterior podemos interpretar a T como una transformacionlineal de R

n en Rm, y ası asociar una matrız con T que depende de la eleccion de las bases. Se

denota tal matrız con

MB

B′(T ).



Esta matrız es la unica matrız A que tiene la siguiente propiedad:

Proposicion 2.5.1. Si X es el vector (columna) de coordenadas de un elemento v de un espa-cio vectorial V , relativa a la base B, entonces AX es el vector (columna) de coordenadas de T (v)relativa a la base B

′.

Demostracion. Si A = MB

B′(T ), y si X es el vector de coordenadas de v con respecto a B,entonces por definicion

T (v) = (A1 · X)w1 + · · · + (Am · X)wm.

Esta matrız esta determinada por el efecto de T sobre los elementos de la base, de la siguientemanera. Sea

T (v1) = a11w1 + · · · + am1wm

... (∗)T (vn) = a1nw1 + · · · + amnwm

Entonces, A resulta ser la transpuesta de la matrız

a11 · · · am1...

...a1n · · · amn

claramente se tiene

T (v) = T (x1v1 + · · · + xnvn) = x1T (v1) + · · · + xnT (vn).

usando la expresion (∗) para T (v1), ..., T (vn), se tiene que

T (v) = x1(a11w1 + · · · + am1wm) + · · · + xn(a1nw1 + · · · + amnwm).

y despues de agrupar los coeficientes de w1, ..., wm se obtiene de nuevo esta expresion en la forma

(a11x1 + · · · + a1nxn)w1 + (am1x1 + · · · + amnxn)wm = (A1X)w1 + · · · + (AmX)wm. �

Teorema 2.5.1. Sean V, W, U espacios vectoriales. Sean B, B′, B′′ bases de V, W, U respectiva-mente. Sean

T : V → W y T ′ : W → U

transformaciones lineales. Entonces

MB′

B′′(T ′)MB

B′(T ) = MB

B′′(T ′ ◦ T )

Demostracion. Sea A la matrız asociada con T relativa a las bases B, B′ y sea B la matrız aso-ciada con T ′ relativa a las bases B

′, B′′. Sea v ∈ V y sea X su vector (columna) de coordenadas



relativo a B. Entonces, el vector de coordenadas de T (v) relativo a B′ es AX. Por definicion, el

vector de coordenadas de T ′(T (v)) relativo a B′ es B(AX) = (BA)X. Pero T ′(T (v)) = (T ′ ◦T )(v),

por tanto, el vector de coordenadas de (T ′ ◦ T )(v) relativo a la base B′′ es (BA)X. Por definicion,

esto significa que BA es la matrız asociada con T ′ ◦ T . �

Corolario 2.5.2. Sea V un espacio vectorial y sean B, B′ bases de V . Entonces

MB

B′(id)MB′

B (id) = I = MB′

B (id)MB

B′(id).

En particular MB

B′(id) es invertible.

Demostracion. En el teorema 2.5.1 considerese V = W = U y T ′ = T = id. �

Teorema 2.5.2. Sea F : V → V una transformacion lineal y sean B, B′ bases de V . Entoncesexiste una matrız invertible N , tal que

MB′

B′ (T ) = N−1MB

B (T )N.

De hecho, se puede considerar N = MB′

B(id).

Demostracion. Aplicando el teorema 2.5.1. paso a paso, encontramos que

MB′

B′ (T ) = MB

B′(id)MB

B (T )MB′

B (id).

El corolario anterior implica que esta aprobada nuestra afirmacion. �

En vista de la importancia que tiene la aplicacion M 7→ N−1MN , se le da un nombre especial.

Dos matrices M, M ′ se llaman semejantes (sobre R) si existe una matrız invertible N en K, talque M ′ = N−1MN .

§ 2.6. Valores propios, vectores propios y formas de Jordan

Si V es un espacio vectorial yA : V → V

es un operador de V (es decir, una transformacion de V en sı mismo). Se dice que un elementob ∈ V se llama vector propio de A si existe λ ∈ R tal que

Av = λv.



Si v 6= 0, entonces λ esta determinado de manera unica, debido a que λ1v = λ2v implica queλ1 = λ2. En este caso, se dice que λ es un valor propio de A correspondiente al vector propio v.

Ahora, abordaremos un tipo de matrices diagonales por bloques de submatrices. Si una matrızde n × n con sus n vectores linealmente independientes, se puede expresar de una forma especial-mente sencilla mediante una transformacion de semejanza. Para analizar este caso, comenzaremosdefiniendo las matrices de Jordan.

Sea

Nk =

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

...... 1

0 0 0 · · · 0

una matrız de k×k. Para una escalar dado λ ∈ R, se define la matrız de bloques de Jordan comosigue

D(λ) = λI + Nk =

λ 1 0 · · · 00 λ 1 · · · 0...

...... 1

0 0 0 · · · λ

la cual tiene todos sus valores propios reales iguales a λ.

Para el caso complejo, la matrız de bloques de Jordan se define como

D(α, β) =

α β 1 0 0 0 · · · 0 0−β α 0 1 0 0 · · · 0 00 0 α β 1 0 · · · 0 00 0 −β α 0 1 · · · 0 0...

......

......

......

...0 0 0 0 0 0 · · · α β0 0 0 0 0 0 · · · −β α

Donde sus valores propios complejos son λ = α ± iβ.

Definimos la matrız de Jordan como

J =

D1(λ1) 0 · · · 00 D2(λ2) · · · 0...

......

0 0 · · · Dr(λr)

donde cada Dj(λj), j = 1, . . . , r, es una matrız de bloques de Jordan.

Y en el caso de la matrız de bloques de Jordan con valores propios complejos, la matrız de Jordan



tiene la forma

J =

D1(α1, β1) 0 · · · 00 D2(α2, β2) · · · 0...

......

0 0 · · · Dr(αr, βr)

Entonces una matrız de Jordan es una matrız que tiene en la diagonal matrices de bloques de Jordany ceros en otra parte.

El siguiente resultado nos asegura que podemos expresar una matriz cuadrada en forma de Jor-dan, aunque no se demostrara, pues se puede hacer una analogıa con el teorema 2.5.2.

Teorema 2.6.1. Sea B una matrız de n × n sobre R o sobre C. Entonces existe una matrız Psobre C invertible de n × n tal que

P−1BP = J.

Donde J es una matrız de Jordan cuyos elementos en la diagonal son los valores propios de B. Masaun, La matrız de Jordan J es unica excepto por el orden en el que aparecen los bloques de Jordan.


3Capıtulo

Sistemas de control

§ 3.1. Ecuaciones diferenciales Ordinarias

Actualmente, las ecuaciones diferenciales se han convertido en una herramienta poderosa para lainvestigacion de los fenomenos naturales. La mecanica, la astronomıa y la tecnologıa han sido causade numerosos progresos en esta area. A continuacion, definiremos las ecuaciones diferenciales ydaremos una clasificacion estas.

Se llama ecuacion diferencial ordinaria (E.D.O.) a una ecuacion que liga la variable indepen-diente x, a una funcion y = y(x) (que depende solo de esa variable independiente) y sus respectivasderivadas y, y′, y′′, . . . , y(n). Es decir, una expresion de la forma:

F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0.

A la funcion y = y(x) la llamaremos funcion incognita.

Diremos que el orden de una ecuacion diferencial es el numero de mayor derivacion en la fun-cion icognita. Diremos que el grado de una ecuacion diferencial es el mayor exponente que tengala derivada de mayor orden.

Solo estudiaremos las ecuaciones diferenciales de primer orden, es decir, ecuaciones de la for-ma

F (x, y, y′) = 0 o F (x, y, y) = 0 (forma implicita)

Si se puede despejar y′, se tendra una ecuacion de la forma

y′ = f(x, y) o y = f(x, y) (forma explicita)

por lo tanto, las E.D.O. en forma explıcita siempre seran de grado 1.

Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden es de la forma

x1 = a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn + b1

x2 = a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn + b2

...

xn = an1x1 + an2x2 + · · · + annxn + bn

41


y escrita en forma matricialX = AX + B

donde X = AX es la parte homogenea del sistema.

§ 3.2. Controlabilidad

Considerese el sistema linealx = Ax + Bu (1)

con x ∈ Rn, u ∈ R

m, A y B matrices constantes con entradas reales y de tamano adecuado.

Definicion . Diremos que el estado x1 del sistema (1) es controlable en t = t0, si toda condicioninicial x0 puede ser transferida a x1 en un intervalo de tiempo finito, para algun control u(t, x0).Si todos los estados de un sistema son controlables, diremos que el sistema es completamentecontrolable, o simplemente controlable.

Veamos como deducir una expresion matematica que nos garantice cuando un sistema es con-trolable. Sin perdida de generalidad supongamos que el estado final x1 = 0 y que el tiempo inicialt0 = 0. Analizaremos el caso de un control u escalar (m=1). El caso general es similar.

Consideremos el sistema de control (1) con x ∈ R, b ∈ Mn×1(R), A ∈ Mn×n(R) y u un escalar.

La solucion del sistema (1) es

x(t) = eAxx0 +

∫ t

0eA(t−s)bu(s)ds

Ahora bien, si el sistema es controlable y como hemos supuesto que x1, obtenemos entonces que

x(t1) = x1 = 0 = eAt1x0 +

∫ t1

0eA(t1−s)bu(s)ds

lo que equivale a

0 = eAt1

(x0 +

∫ t1

0e−Asbu(s)ds

)

o bien

x0 = −∫ t1

0e−Asbu(s)ds (2)

Ahora bien, sabemos que la exponencial de una matriz cuadrada puede expresarse como una sumafinita de potencias de ella misma, es decir

e−At =n−1∑

k=0

αk(t)Ak



Luego, (2) puede reescribirse como

x0 = −∫ t1

0

(n−1∑

k=0

αk(s)Akbu(s)ds

)

= −n−1∑

k=0

Akb

∫ t1

0αk(s)u(s)ds

Definiendo

βk =

∫ t1

0αk(s)u(s)ds

finalmente obtenemos

x0 = −n−1∑

k=0

Akbβk

= −(bβ0 + Abβ1 + A2bβ2 + · · · + An−1bβn−1

)

= −(b Ab A2b · · · An−1b

)

β0

β1

β2...

βn−1

Si el sistema (1) es completamente controlable, entonces para cualquier estado inicial x0, la ecuaciondebera satisfacerse. Esto se puede garantizar si la matriz

C = (bAbA2b · · · An−1b)n×n

es de rango n, o lo que es lo mismo, que los vectores b, Ab, . . . , An−1b sean linealmente indepen-dientes. La matriz C es llamada la matriz de controlabilidad. En general, si el control u ∈ R

m, seobtiene la matriz de controlabilidad

C = (B AB A2B · · · An−1B)n×nm.

Esto nos lleva al siguiente resultado, el cual nos caracteriza los sistemas completamente controlables.

Proposicion1 3.2.1. Considere el sistema de control (1) con x ∈ Rn, u ∈ R

m, A ∈ Mn×n(R)y B ∈ Mn×m(R). Entonces el sistema es completamente controlable si y solo si la matriz

C = (B AB A2B · · · An−1B)n×nm

tiene rango n.

Dependiendo de las dimensiones de las matrices A y B, el calculo de la dimension de la matriz

1La parte inversa de esta afirmacion se puede encontrar en el libro ”Linear Multivariable Control: A Geometric

Approach”, de W. Murray Wonham, tercerra edicion. Editado por A. V. Balakrishnan, en el capıtulo 1, seccion 1.2.



C puede ser complicado, aun usando algun paquete computacional. Una forma alterna para deter-minar si el rango de la matriz C es n es verificar si

det(CCT ) 6= 0.

El numero maximo q ≤ n − 1 para el cual la matriz de controlabilidad

C = (B AB A2B · · · An−1B)n×nm

tiene rango n, se llama ındice de controlabilidad.

Ejemplo. Considerese el siguiente sistema de control

(x1

x2

)=

(1 12 −1

)(x1

x2

)+

(01

)u

Para este sistema tenemos que la matriz de controlabilidad es

C =(b Ab

)=

(0 11 −1

)

lo cual es, evidentemente de rango dos. Luego, el sistema es completamente controlable con ındice1.

Definicion 3.2.2. Considerese el sistema lineal

x = Ax + Bu (1)

con x ∈ Rn, A ∈ R

n×n, B ∈ Rn×m. Cuando el parametro de control u este restringido a tomar

valores en en cono U = Rm+ , diremos que el control es positivo (CCP).

El siguiente resultado, debido a Brammer, nos da una caracterizacion de los sistemas CCP.

Teorema 3.2.1. El sistema (1) es CCP si y solo si

(a) La matriz de controlabilidad C = (BAB · · · An−1B) tiene rango n.

(b) No existe vector propio real v de AT que satisfaga que el producto escalar

vt · Bu ≤ 0



Para todo u ∈ Rm+ .

(a) y (b) seran llamadas primera y segunda condiciones de Brammer, respectivamente.

Para hacer mas evidente este Teorema, daremos un ejemplo clasico en teorıa de sistemas de control,el llamado 2-integrador:

Considerese el sistema

x =

(λ 10 λ

)x +

(b1

b2

)u

con λ ∈ R, b2 6= 0. El sistema es controlable pero no CCP.

En efecto, para probar que el sistema es controlable, nos fijamos en la matriz de controlabilidad

C =

[b1

b2

(λ 10 λ

)(b1

b2

)]=

[b1

b2

λb1 + b2

λb2

]∼[b1

b2

b2

0

]∼[

0b2

b2

0

]

la cual tiene rango 2, por tanto el sistema es controlable. Por otra parte, la matriz

At =

(λ 01 λ

)

tiene un valor propio λ con multiplicidad dos, con vectores propios

(At − λI)v =

[(λ 01 λ

)−(

λ 00 λ

)](v1

v2

)=

(0 01 0

)(v1

v2

)

de aquı que v1 = 0 y v2 es arbitrario, por tanto, los vectores propios son de la forma

(0v2

)

Ahora, la segunda condicion de Brammer nos pide que no exista vector propio real v de AT tal que

vt · Bu ≤ 0

para todo u ∈ R+. Ası,

vt · Bu =<

(0v2

),

(b1

b2

)u >= 0 + v2b2u

Si b2 > 0, se toma v2 ≤ 0, si b2 < 0, tomamos v2 ≥ 0; en cualquiera de los dos casos no se satisfacela segunda condicion de Brammer, por tanto, el sistema no es CCP.

§ 3.3. Una caracterizacion de sistemas de control



El sistema controlable de estudio cuyas matrices A y B son de la forma que se muestran en elsiguiente teorema.

Teorema 3.3.1. Sean

A2n×2n =

α β · · · 0 0−β α · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · α β0 0 · · · −β α

, B2n×m =

b11 b12 · · · b1m

b22 b23 · · · b2m

......

......

b2n1 b2n2 · · · b2nm

.

El sistema x = Ax + Bu es controlable y CCP si y solo si < BC

>= Cn. Mas aun, el numero de

controles necesarios y suficientes para el sistema son n.

Nuestro estudio se enfocara solo a la primera condicion de Brammer, pues la segunda implicala no existencia de vectores propios reales y, el sistema en cuestion arroja vectores propios comple-jos. Para demostrar este teorema, necesitaremos de algunos resultados previos.

Definicion 3.3.1. Sea

b =

b1

b2...

b2n−1

b2n

un vector sobre R con un numero par de entradas. La complejificacion de b la definiremos como

bC

=

b1 + ib2...

b2n−1 + ib2n

La complejificacion para una matriz de la forma

A2n×2n =

α β · · · 0 0−β α · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · α β0 0 · · · −β α

la definiremos como

A�

C

n×n =

α − iβ · · · 0...

. . ....

0 · · · α − iβ

Lema 3.3.1. Sean

z = α + iβ, y A =

(α β

−β α

)



Entonces

Ak =

(Re(zk) Im(zk)−Im(zk) Re(zk)

)

Demostracion. Primero, dado que z = r(cosθ + isenθ), con |z| = r y θ = tan−1(βα), por la

formula de D’Moivre se obtiene que

zk = rk(cos(kθ) + isen(kθ))

Ademas, podemos escribir

A =

(α β−β α

)= r

(α/r β/r−β/r α/r

)= r

(cosθ senθ−senθ cosθ

).

Vamos a probar por induccion sobre k, la conclusion del lema. Para n = 2 se tiene

A2 = r2

(cos2θ − sen2θ 2cosθsenθ−2cosθsenθ cos2θ − sen2θ

)

Atendiendo a las identidades

senθ1cosθ2 ± cosθ1senθ2 = sen(θ1 ± θ2) (3.1)

cosθ1cosθ2 ∓ senθ1senθ2 = cos(θ1 ± θ2) (3.2)

cuando θ1 = θ2, se concluye que

A2 = r2

(cos(2θ) sen(2θ)−sen(2θ) cos(2θ)

)=

(Re(z2) Im(z2)−Im(z2) Re(z2)

).

Para n = 3 se tiene

A3 = A2 · A = r2


)· r(

cosθ senθ−senθ cosθ

)

= r3

(cos(2θ)cosθ − sen(2θ)senθ cos(2θ)senθ + sen(2θ)cosθ

−(cos(2θ)senθ + sen(2θ)cosθ) cos(2θ)cosθ − sen(2θ)senθ

)

Por las identidades (3.1) y (3.2) se obtiene

A3 = r3


)=

(Re(z3) Im(z3)−Im(z3) Re(z3)

).

Ahora, suponemos que se cumple para n = k, es decir

Ak =

(rkcos(kθ) rksen(kθ)−rksen(kθ) rkcos(kθ)

)=

(Re(zk) Im(zk)−Im(zk) Re(zk)

)

probaremos que se cumple para n = k + 1. A saber,

Ak+1 = Ak · A = rk

(cos(kθ) sen(kθ)−sen(kθ) cos(kθ)

)· r(

cos(θ) sen(θ)−sen(θ) cos(θ)

)

= rk+1

(cos(kθ)cosθ − sen(kθ)senθ cos(kθ)senθ + sen(kθ)cosθ

−(cos(kθ)senθ + sen(kθ)cosθ) cos(kθ)cosθ − sen(kθ)senθ

)



de nuevo, por las identidades (3.1) y (3.2) se concluye que

Ak+1 = rk+1

(cos[(k + 1)θ] sen[(k + 1)θ]−sen[(k + 1)θ] cos[(k + 1)θ]

)=

(Re(zk+1) Im(zk+1)−Im(zk+1) Re(zk+1)

)

lo cual prueba el lema. �

Lema 3.3.2 Sean

A2n×2n =

α β · · · 0 0−β α · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · α β0 0 · · · −β α

,b =

b1

b2...

b2n

Con β 6= 0 y b 6= 0. Entonces b, Ab, son linealmente independientes mientras que b, Ab, Akb no loson para k ≥ 2.

Demostracion.



Veamos una combinacion lineal c1b + c2Ab = 0

0 = c1

b1

b2...

b2n

+ c2

α β · · · 0 0−β α · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · α β0 0 · · · −β α

b1

b2...

b2n

= c1

b1

b2...

b2n

+ c2

αb1 + βb2

−βb1 + αb2...

αb2n−1 + βb2n

−βb2n−1 + αb2n

= c1

b1

b2...

b2n

+ c2

αb1

αb2...

αb2n−1

αb2n

+

βb2

−βb1...

βb2n

−βb2n−1

= c1

b1

b2...

b2n−1

b2n

+ c2α

b1

b2...

b2n−1

b2n

+ c2β

b2

−b1...

b2n

−b2n−1

= (c1 + c2α)

b1

b2...

b2n−1

b2n

+ c2β

b2

−b1...

b2n

−b2n−1

= (c1 + c2α)b + c2βb′ = 0

observemos que b y b′ son ortogonales, luego, son linealmente independientes, por tanto, para queesta ecuacion sea cero, c1 + c2α = 0 y c2β = 0, pero β 6= 0, entonces c2 = 0, ası c1 = 0.

Falta probar que b, Ab, Akb no son linealmente independientes para k ≥ 2. Se tiene por el lema3.3.1 que

Ak =

Re(zk) Im(zk) · · · 0 0−Im(zk) Re(zk) · · · 0 0

......

. . ....

...0 0 · · · Re(zk) Im(zk)0 0 · · · −Im(zk) Re(zk)



con z = α + iβ, por tanto

Akb =

Re(zk)b1 + Im(zk)b2

−Im(zk)b1 + Re(zk)b2...

Re(zk)b2n−1 + Im(zk)b2n

−Im(zk)b2n−1 + Re(zk)b2n

=

Re(zk)b1

Re(zk)b2...

Re(zk)b2n−1

Re(zk)b2n

+

Im(zk)b2

−Im(zk)b1...

Im(zk)b2n

−Im(zk)b2n−1

= Re(zk)b + Im(zk)b′.

Por otro lado, al poner en combinacion lineal b y Ab se obtiene

c1b + c2Ab = c1b + c2(αb + βb′) = c1b + c2αb + c2βb′ = (c1 + c2α)b + c2b′

si c2 = Im(zk) y c1 = Re(zk)− Im(zk)α concluimos que Akb se puede poner en combinacion linealde b, Ab, por tanto b, Ab, Akb no son linealmente independientes para k ≥ 2. �

En pocas palabras, este lema nos indica que el ındice de controlabilidad del sistema de controlprincipal es q = 1.

Lema 3.3.3. Sean

A2n×2n =

α β · · · 0 0−β α · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · α β0 0 · · · −β α

,b =

b1

b2...

b2n

,

entonces [Ab]C

= A�

C

bC.

Demostracion.

[Ab] =

αb1 + βb2

−βb1 + αb2...

αb2n−1 + βb2n

−βb2n−1 + αb2n

entonces

[Ab]C

=

αb1 + βb2 + i(−βb1 + αb2)...

αb2n−1 + βb2n + i(−βb2n−1 + αb2n)



Ahora

bC

=

b1 + ib2...

b2n−1 + ib2n

y la multiplicacion

A�

C

bC

=

α − iβ · · · 0...

. . ....

0 · · · α − iβ

b1 + ib2...

b2n−1 + ib2n

=

αb1 + iαb2 − iβb1 + βb2...

αb2n−1 + iαb2n − iβb2n−1 + βb2n

=

αb1 + βb2 + i(−βb1 + αb2)...

αb2n−1 + βb2n + i(−βb2n−1 + αb2n)

= [Ab]

C. �

Notese que [B AB] = [B βB′] (es decir, el espacio generado por B AB es igual al espacio generadopor B βB′), pues si elegimos un elemento b ∈ B y Ab ∈ AB y los expresamos como combinacionlineal, se tiene

c1b + c2Ab = c1b + c2(αb + βb′) = (c1 + c2α)b + c2βb′

la cual, la parte derecha es una combinacion lineal de elementos de [B B′] (es decir b ∈ B yb′ ∈ βB′).

Lema 3.3.4. Sea A una matriz de tamano 2n × 2n, como en el lema anterior y B una matrizde tamano 2n × m tal que Rango[B AB] = 2n. Entonces existen n vectores bj1 , ...,bjn

, tales quebj1 ,b

′j1 ...,bjn

,b′jn

son linealmente independientes, donde

bjk=

b1k

b2k

...b(2n−1) k

b(2n) k

y b′

jk=

b2k

−b1k

...b(2n) k

−b(2n−1) k

.

Para jk = 1, . . . , n.

Demostracion. Podemos elegir b1 de C = [B AB] y su correspondiente b′

1 tambien en C, estosson linealmente independientes, pues b1⊥b′

1. Ahora elegimos un b2 tal que sea linealmente inde-



pendiente con b′

1 y b1. Tomamos b′

2 correspondiente a b2 y formamos la matriz

C = [b1 b′

1 b2 b′

2] =

b11 b21 b12 b22

b21 −b11 b22 −b12

b31 b41 b32 b42

b41 −b31 b42 −b32...

......

...b(2n−1)1 b(2n)1 b(2n−1)2 b(2n)2

b(2n)1 −b(2n−1)1 b(2n)2 −b(2n−1)2

Por definicion, C tiene asociada una transformacion lineal T , con respecto a una base B. Ademas,existe una base B

′ tal que al hacer el cambio de coordenadas, la matriz nos queda de la forma

CB

B′ = [b1 b′1 b2 b′

2] =

1 0 b′12 b′220 1 b′22 −b′120 0 b′32 b′420 0 b′42 −b′32...

......

...0 0 b′(2n−1)2 b′(2n)2

0 0 b′(2n)2 −b′(2n−1)2

b1 y b′1 de esta forma, pues b1 y b′

1 son ortogonales, lo mismo con b2 y b′2. Ası al poner b1, b′

1, b2

y b′2 en combinacion lineal tenemos

c1

1000...00

+ c2

0100...00

+ c3

b′12b′22b′32b′42...

b′(2n−1) 2

b′(2n) 2

+ c4

b′22−b′12b′42−b′32

...b′(2n) 2

−b′(2n−1) 2

= 0.

Teniendo que resolver el sistema

c1 + c3b′

12 + c4b′

22 = 0

c2 + c3b′

22 − c4b′

12 = 0

c3b′

32 + c4b′

42 = 0

c3b′

42 − c4b′

32 = 0

...

c3b′

(2n−1) 2 + c4b′

(2n) 2 = 0

c3b′

(2n) 2 − c4b′

(2n−1) 2 = 0

La independencia lineal queda invariante mediante el cambio de base, tenemos que b1, b′1 y b2 son

linealmente independientes. Entonces, algun b′i 2 6= 0 con i = 3, ..., 2n. Sin perdida de generalidad,podemos suponer que b′32 6= 0. De la cuarta ecuacion tenemos

c4 = c3b′42b′32

.



Sustituyendola en la tercera ecuacion tenemos

c3

(b′32 +

b′42b′32

)= 0.

Entonces c3 = 0 pues b′32 6= 0. Ası, c4 = 0 y c1 = c2 = 0. Ası b1, b′1, b2 y b′

2 son linealmenteindependientes, por tanto b1,b

′

1,b2 y b′

2 son linealmente independientes.

De nuevo, podemos elegir un b3 de tal forma que sea linealmente independiente con b1,b′

1,b2

y b′

2, tomamos su ortogonal b′

3y formamos la matriz

C = [b1 b′

1 b2 b′

2 b3 b′

3]

=

b11 b21 b12 b22 b13 b23

b21 −b11 b22 −b12 b23 −b13

b31 b41 b32 b42 b33 b43

b41 −b31 b42 −b32 b43 −b33

b51 b61 b52 b62 b53 b63

b61 −b51 b62 −b52 b63 −b53...

......

......

...b(2n−1)1 b(2n)1 b(2n−1)2 b(2n)2 b(2n−1)3 b(2n)3

b(2n)1 −b(2n−1)1 b(2n)2 −b(2n−1)2 b(2n)3 b(2n−1)3

De nuevo, C tiene asociada una transformacion lineal T (no necesariamente la misma) con respectoa una base B. Ası, existe una base B

′ tal que al hacer el cambio de coordenadas, la matriz nosqueda

C = [b1 b′1 b2 b′

2 b3 b′3] =

1 0 0 0 b′13 b′230 1 0 0 b′23 −b′130 0 1 0 b′33 b′430 0 0 1 b′43 −b′330 0 0 0 b′53 b′630 0 0 0 b′63 −b′53...

......

......

...0 0 0 0 b′(2n−1)3 b′(2n)3

0 0 0 0 b′(2n)3 b′(2n−1)3

Y al poner cada una de los vectores como combinacion lineal

c1

100000...00

+ c2

010000...00

+ c3

001000...00

+ c4

000100...00

+ c5

b′13b′23b′33b′43b′53b′63...

b′(2n−1) 3

b′(2n) 3

+ c6

b′23−b′13b′43−b′33b′63−b′53

...b′(2n) 3

−b′(2n−1) 3

= 0.



Entonces, el sistema a resolver es

c1 + c5b′

13 + c6b′

23 = 0

c2 + c5b′

23 − c6b′

13 = 0

c3 + c5b′

33 + c6b′

43 = 0

c4 + c5b′

43 − c4b′

33 = 0

c5b′

53 + c6b′

63 = 0

c5b′

63 − c6b′

53 = 0

...

c5b′

(2n−1) 3 + c6b′

(2n) 3 = 0

c5b′

(2n) 3 − c6b′

(2n−1) 3 = 0.

Como la independencia lineal permanece invariante mediante el cambio de coordenadas, tenemosque b3 es linealmente independiente con b1, b′

1, b2 y b′2, entonces algun b′i 3 6= 0, para i ≥ 5. Sin

perdida de generalidad, podemos suponer que b′5 3 6= 0. Ası, de la sexta ecuacion tenemos

c6 = c5b′63b′53

y sustituyendola en la tercera ecuacion nos queda

c5

(b′53 +

(b′63)2

b′53

)= 0

entonces c5 = 0 pues b′53 6= 0. Ası, c6 = 0 y c4 = c3 = c2 = c1 = 0. Ası, b1, b′1, b2, b′

2, b3 y b′3 son

linealmente independientes, por tanto b1,b′

1,b2,b′

2,b3 y b′

3 son linealmente independientes.

Procediendo con esta eleccion inductivamente, suponemos que b1,b′

1, ...,bn−1,b′

n−1son linealmente

independientes, con esta construccion. Sea bn linealmente independiente con b1,b′

1, ...,bn−1,b′

n−1.

Entonces, sea b′

n el correspondiente ortogonal a bn y formamos la matriz

C = [b1 b′

1 · · · bn b′

n]

=

b11 b21 · · · b1(n−1) b2(n−1) b1n b2n

b21 −b11 · · · b2(n−1) −b1(n−1) b2n −b1n

......

......

......

b(2n−3) 1 b(2n−2) 1 · · · b(2n−3) (n−1) b(2n−2) (n−1) b(2n−3) n b(2n−2) n

b(2n−2) 1 −b(2n−3) 1 · · · b(2n−2) (n−1) −b(2n−3) (n−1) b(2n−2) n −b(2n−3) n

b(2n−1) 1 b(2n) 1 · · · b(2n−1) (n−1) b(2n) (n−1) b(2n−1) n b(2n) n

b(2n) 1 −b(2n−1) 1 · · · b(2n) (n−1) −b(2n−1) (n−1) b(2n) n −b(2n−1) n

Como se hizo anteriormente, esta matriz tiene asociada una transformacion lineal T con respecto auna base B. Ası, existe una base B

′, para el cual el cambio de coordenadas nos deja la matriz de



la siguiente forma

CB

B′ = [b1 b′1 · · · bn b′

n]

=

1 0 · · · 0 0 b′1n b′2n

0 1 · · · 0 0 b′2n −b′1n...

......

......

...0 0 · · · 1 0 b′(2n−3) n

b′(2n−2) n

0 0 · · · 0 1 b′(2n−2) n−b′(2n−3) n

0 0 · · · 0 0 b′(2n−1) nb′(2n) n

0 0 · · · 0 0 b′(2n) n−b′(2n−1) n

Al poner los vectores como combinacion lineal

c1

10...0000

+ c2

01...0000

+ · · · + cn−3

00...1000

+ cn−2

00...0100

+ cn−1

b′1n

b′2n...

b′(2n−3) n

b′(2n−2) n

b′(2n−1) n

b′(2n) n

+ cn

b′2n

−b′1n...

b′(2n−2) n

−b′(2n−3) n

b′(2n) n

−b′(2n−1) n

= 0

Por tanto, el sistema que tenemos que resolver es

c1 + cn−1b′

1n + cnb′2n = 0

c2 + cn−1b′

2n − cnb′1n = 0

...

cn−3 + cn−1b′

(2n−3) n + cnb′(2n−2) n = 0

cn−2 + cn−1b′

(2n−2) n − cnb′(2n−3) n = 0

cn−1b′

(2n−1) n + cnb′(2n) n = 0

cn−1b′

(2n) n − cnb′(2n−1) n = 0

Por lo dicho anteriormente, el cambio de coordenadas conserva independencia lineal, por tantob1, b′

1, . . . , bn y b′n son linealmente independientes. por tanto, b′(2n−1) n

6= 0 o bien b′(2n) n6= 0.

Supongamos, sin perdida de generalidad, que b′(2n−1) n6= 0. De la 2n-esima ecuacion tenemos

cn = cn−1

b′(2n) n

b′(2n−1) n

y sustituyendola en la (2n − 1)-esima ecuacion tenemos

cn−1

(b′(2n−1) n

+(b′

(2n) n)2

b′(2n−1) n

)= 0.

Ası, cn−1 = 0 pues b′(2n−1) n6= 0. Entonces cn = 0, y ası c1 = · · · = cn−2 = 0.



Por tanto los 2n vectores linealmente independientes para que Rango(C) = 2n son b1,b′1, . . . ,bn,b′

n. �

Estos resultados son suficientes para la demostracion del teorema principal.

Teorema 3.3.1. Sean

A2n×2n =

α β · · · 0 0−β α · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · α β0 0 · · · −β α

, B2n×m =

b11 b12 · · · b1m

b22 b23 · · · b2m

......

......

b2n1 b2n2 · · · b2nm

El sistema x = Ax + Bu es controlable y CCP si y solo si< B

C>= C

n. Mas aun, el numero de controles necesarios y suficientes para el sistema son n.

Demostracion. Tenemos que demostrar que

RangoR(C = [BAB · · ·AkB]) = 2n ⇐⇒ RangoC(BC) = n

es decir< B

C>= C

n.

Haremos primero la implicacion (⇐), supongamos que RangoC(BC) = n

Sean b1C,b2C

, ...,bnClos n vectores complejificados linealmente independientes, enseguida tomamos

los vectores cuya complejificacion es la de estos y formamos el conjunto

b1, Ab1,b2, Ab2, ...,bn, Abn

Ahora, para ver que son R linealmente independientes, fijemonos una combinacion lineal

c11b1 + c12Ab1 + c21b2 + c22Ab2 + · · · + cn1bn + cn2Abn = 0

Al complejificar, por el lema 3.3.3 tenemos que

c11b1C+ c12[Ab1]C + c21b2C

+ c22[Ab2]C + · · · + cn1bnC+ cn2[Abn]

C=

= c11b1C+ c12A�

C

b1C+ c21b2C

+ c22A�

C

b2C+ · · · + cn1bnC

+ cn2A�

C

bnC= 0

dado que

A�

C

=

α − iβ · · · 0...

. . ....

0 · · · α − iβ

= (α − iβ)In×n

y bjC, j = 1, . . . n, es un vector de n entradas, entonces se tiene que

A�

C

bjC= (α − iβ)bjC

factorizando nos queda



[c11 + c12(α − iβ)]b1C + · · · + [cn1 + cn2(α − iβ)]bnC = 0

como los vectores bjC, j = 1, . . . , n son linealmente independientes en C, se tiene que cj1 + cj2(α−

iβ) = 0, por otro lado tenemos que cj1, cj2 ∈ R y β 6= 0, entonces cj1 + cj2(α − iβ) = 0si cj1 = −cj2(α − iβ), es decir, con cj2 ∈ C, por tanto, cj2 = 0 en R. Ası, se concluye queb1, Ab1,b2, Ab2, ...,bn, Abn son linealmente independientes en R.

Ahora, para la implicacion (⇒), suponemos que la matriz de controlabilidad

C = [B AB · · ·A2n−1B]

tiene rango 2n. Tenemos, por el lema 3.3.4 que, los 2n vectores linealmente independientes sonb1,b

′

1, . . . ,bn,b′

n, de los cuales tomaremos b1, · · · ,bn, donde

bk =

b1 k

b2 k

...b(2n−1) k

b(2n) k

Para k = 1, . . . , n . Y, al complejificar

bC k =

b1k + ib2k

...b(2n−1) k + ib(2n) k

Sean z1, . . . , zn numeros en C y ponemos como combinacion lineal los vectores complejificados

z1

b11 + ib21...

b(2n−1) 1 + ib(2n) 1

+ · · · + zn

b1n + ib2n

...b(2n−1) n + ib(2n) n

= 0

entonces, el sistema de ecuaciones a resolver es

z1(b11 + ib21)+ · · · +zn(b1n + ib2n) = 0

...

z1(b(2n−1) 1 + ib(2n) 1)+ · · · +zn(b(2n−1) n + ib(2n) n) = 0

Si zk = αk + iβk, k = 1, ..., n, el sistema queda

(α1 + iβ1)(b11 + ib21)+ · · · +(αn + iβn)(b1n + ib2n) = 0

...

(α1 + iβ1)(b(2n−1) 1 + ib(2n) 1)+ · · · +(αn + iβn)(b(2n−1) n + ib(2n) n) = 0

para cada j = 1, . . . , n y k = 1, . . . , n hacemos la multiplicacion de los numeros complejos

(αk + iβk)(b(2j−1) k + ib(2j) k) = (αkb(2j−1)k − βkb(2j)k) + i(αkb(2j)k + βkb(2j−1)k)



ası, se obtiene el sistema de ecuaciones

(α1b11 − β1b21) + i(α1b21 + β1b11)+ · · · +(αnb1n − βnb2n) + i(αnb2n + βnb1n) = 0

.

.

.

(α1b(2n−1)1 − β1b(2n)1) + i(α1b(2n)1 + β1b(2n−1)1)+ · · · +(αnb(2n−1)n − βnb(2n)n) + i(αnb(2n)n + βnb(2n−1)n) = 0

Pero tenemos que si z ∈ C tal que z = 0, entonces Re(z) = 0 y Im(z) = 0. Ası, separamos la partereal y la parte compleja del sistema para obtener

α1b11 − β1b21+ · · · +αnb1n − βnb2n = 0...

α1b(2n−1)1 − β1b(2n)1+ · · · +αnb(2n−1)n − βnb(2n)n = 0

α1b21 + β1b11+ · · · +αnb2n + βnb1n = 0...

α1b(2n)1 + β1b(2n−1)1+ · · · +αnb(2n)n + βnb(2n−1)n = 0

donde las primeras n ecuaciones son la parte real del sistema y las n restantes son la parte imaginariadel mismo. Ahora, acomodamos los renglones del sistema para obtener

α1b11 − β1b21+ · · · +αnb1n − βnb2n = 0

α1b21 + β1b11+ · · · +αnb2n + βnb1n = 0...

α1b(2n−1)1 − β1b(2n)1+ · · · +αnb(2n−1)n − βnb(2n)n = 0

α1b(2n)1 + β1b(2n−1)1+ · · · +αnb(2n)n + βnb(2n−1)n = 0

y esto es

α1

b11

b12...

b(2n−1) 1

b(2n) 1

− β1

b21

−b11...

b(2n) 1

−b(2n−1) 1

+ · · · + αn

b1n

b2n

...b(2n−1) n

b(2n) n

− βn

b2n

−b1n

...b(2n) n

−b(2n−1) n

=

=α1b1 − β1b′

1+ · · · + αnbn − βnb

′

n = 0.

Dado que b1,b′

1, . . . ,bn,b′

n son linealmente independientes, se obtiene que αk = βk = 0 parak = 1, . . . , n, esto es zk = αk + iβk = 0 para i = 1, . . . , n. Por tanto b

Ck, k = 1, . . . , n son lineal-

mente independientes, luego < BC

>= Cn. �


Bibliografıa

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