celosia

ESTRUCTURAS EN CELOSÍA

ESTRUCTURA EN CELOSÍA PARA FILTROS FIR

[ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) 10;0

0

0=

⎩⎨⎧ ≤≤

=⇒−⋅= ∑=

mmm

km b

restomkkb

nhknxkbny

- Procesado digital de la voz.- Implementación de filtros adaptativos.- Tratamiento de señales geofísicas...

Nomenclatura:

Aplicación:


( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ordenprimerdeFiltronxbnxnybm

⇒−⋅+=⇒⎭⎬⎫

==

1110

11

1

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]⎪

⎩

⎪⎨

⎧

−+⋅=

−⋅+====

11

0011

0101

00

ngnfkngngknfnfny

nxngnf

Estructura en celosía de un filtro FIR de primer orden:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]⎩

⎨⎧

−+⋅=−⋅+==

11

11

11nxnxkng

nxknxnfny( )111 bk =

Filtro FIR de primer orden:


[ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]2211 22 −⋅+−⋅+= nxbnxbnxny

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ][ ] [ ] ( ) [ ] [ ]⎩

⎨⎧

−+−⋅++⋅=−⋅+−⋅++==

211211

2122

2212nxnxkknxkng

nxknxkknxnfny

Estructura en celosía de un filtro FIR de segundo orden:

Filtro FIR de segundo orden:

( ) ( )( )⎩

⎨⎧

=+⋅=

22

2122

11kb

kkb

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−+⋅=−⋅+==

−+⋅=−⋅+=

==

11

11

1122

1212

0011

0101

00

ngnfkngngknfnfny

ngnfkngngknfnf

ngnfnx

( )( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=

221

1

22

22

1

bkb

bk


[ ] [ ] ( ) [ ]∑=

−⋅+=M

kM knxkbnxny

1Estructura en celosía de un filtro FIR de orden M:

reflexióndeescoeficientkm :

Filtro FIR de orden M:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==−+⋅==−⋅+=

==

−−

−−

nfnyMmngnfkngMmngknfnf

nxngnf

M

mmmm

mmmm,...,2,1;1,...,2,1;1

11

11

00 [ ] ( ) [ ]

[ ] ( ) [ ]( ) 10;

0

0 =

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−⋅−=

−⋅=

∑

∑

=

=mm

kmm

m

kmm

b

knxkmbng

knxkbnf


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==⋅+⋅=

=⋅+=

==

−−

−

−−

−

zFzYMmzGzzFkzG

MmzGzkzFzF

zXzGzF

M

mmmm

mmmm

,...,2,1;

,...,2,1;

11

1

11

1

00

[ ] ( ) [ ]

[ ] ( ) [ ]( ) 10;

0

0 =

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−⋅−=

−⋅=

∑

∑

=

=mm

kmm

m

kmm

b

knxkmbng

knxkbnf

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==−+⋅==−⋅+=

==

−−

−−

nfnyMmngnfkngMmngknfnf

nxngnf

M

mmmm

mmmm,...,2,1;1,...,2,1;1

11

11

00

Estructura en celosía de un filtro FIR de orden M:

Transformada z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 10;

1

0

0 =

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅⋅=⋅⋅⋅=

⋅=⋅⋅=

−−

=

−

=

−

∑

∑m

mm

m

k

km

mm

mm

k

kmm

b

zXzPzzkbzXzzG

zPzXzkbzXzF

( )( )

( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

−zGz

zFk

kzGzF

m

m

m

m

m

m

11

11

1


( )( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅⋅+=

=−

−−

− MmzPzkzPzP

zP

mm

mmm ,...,2,1,0;

11

11

0

( ) ( ) ( )zXzPzY M ⋅=

( ) ( ) ( )zGzkzFzF mmmm 11

1 −−

− ⋅+=

- CONVERSIÓN ESTRUCTURA EN CELOSÍA-FORMA DIRECTA:

Aplicando recursividad:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅⋅=

⋅=−− zXzPzzG

zPzXzF

mm

m

mm1

( ) ( ) MkkbzP MM ≤≤⇒ 0;


31;

21;

41

321 === kkk

Ejemplo: Los coeficientes de reflexión de un filtro FIR en celosía de tres etapas son:

Obtener los coeficientes del filtro FIR para estructura en forma directa

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎪

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++=+=

++=+=

+=+=

=

−−−−−

−−−−

−−−

32112

3323

2111

2212

110

1101

0

31

85

24131

21

831

411

1

zzzzPzkzPzP

zzzPzkzPzP

zzPzkzPzP

zP

( ) ( ) ( ) ( )zXzzzzXzPzY ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=⋅= −−− 321

3 31

85

24131

( ) ( ) ( ) ( )313;

852;

24131;10 3333 ==== bbbb

Estructura en celosía de m etapas m filtros FIR en Forma Directa


( ) ( ) mizPzH ii ,...,2,1; ==

( ) ( )⎩⎨⎧

==+

ikmi

kbescoeficientmmi ,...,1,0

,...,2,1;

21

ikescoeficientm

Fórmula recursiva para la obtención de coeficientes:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )∑∑∑∑

−

=−

−−

=

−−

=

−

=

−

−−

−−

⋅⋅⋅+⋅=⋅⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⋅=

⋅⋅+= 1

01

1

01

00

111 m

k

km

mm

m

k

km

m

k

kmm

k

kmm

mm

mmmzkbzkzkbzkb

zkbzP

zPzkzPzP

( ) ( ) ( )∑∑∑=

−−

−

=

−−

=

− ⋅−⋅+⋅=⋅m

k

kmm

m

k

km

m

k

km zkmbkzkbzkb

11

1

01

0

Comparando:( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

=−≤≤

−⋅+=−⋅+=

==

−−−− Mmmk

kmbmbkbkmbkkbkb

kmbb

mmmmmmm

mm

m

,...,2,111

;

10

1111


[ ] ( ) [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zPzHzPzXzYb

zkbzXzHzXzY

knxkbny

MMMM

k

kM

M

kM

=⇒⋅=⇒=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⋅⋅=⋅=

−⋅=

∑

∑

=

−

= 10;

0

0

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=→

−=→=→

−−−

1

....................................1

111

111

bkzP

MbkzPMbkzP

MMM

MMM

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅+⋅=

⋅+=

−−

−

−−

−

zGzzFkzG

zGzkzFzF

mmmm

mmmm

11

1

11

1

- CONVERSIÓN FORMA DIRECTA-CELOSÍA :

DATOS:

Coeficientes de reflexión {ki} :

Obtención de Pm(z) para m=M, M-1,…,1:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]zFkzGkzFzF mmmmmm 11 −− ⋅−⋅+=

( ) ( ) ( )1

1,...,1,;

1 2

11 ≠

−=

−

⋅⋅−=

−−−

mm

mm

mmm k

MMm

kzPzkzPzP

( ) ( ) ( )21

1 m

mmmm

kzGkzFzF

−

⋅−=−


( ) ( ) 3213 3

185

24131 −−− +++== zzzzHzP ( )

31333 == bk

( ) ( ) ( )2

11

1 m

mm

mmm

kzPzkzPzP

−

⋅⋅−=

−−−

Ejemplo: Determina los coeficientes de reflexión de la estructura en celosía correspondiente A un filtro FIR cuya función del sistema es:

( ) 32131

85

24131 −−− +++= zzzzH

( ) ( ) ( ) 2123

13

333

2 21

831

1−−

−−++=

−

⋅⋅−= zz

kzPzkzPzP ( )

21222 == bk

( ) ( ) ( ) 122

12

222

1 411

1−

−−+=

−

⋅⋅−= z

kzPzkzPzP ( )

41111 == bk

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) 11

2,...,

1

10;

21

1

−≤≤=

−

−⋅−=

==

−

−

mkMm

mbkmbmbkbkb

bmbk

m

mmmm

m

mm

Fórmula recursiva para la obtención de coeficientes:

ESTRUCTURA EN CELOSÍA PARA FILTROS IIR

( )( )

( )zPzka

zHNN

k

kN

1

1

1

1

=

⋅+

=

∑=

−[ ] [ ] ( ) [ ]∑

=−⋅−=

N

kN knykanxny

1

Sistema IIR sólo polos:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==−=−+⋅=−=−⋅−=

=

−−

−−

ngnfnyNNmngnfkngNNmngknfnf

nxnf

mmmm

mmmm

N

00

11

111,...,1,;11,...,1,;1

Inversa


[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ][ ] [ ] ( ) [ ] [ ]⎩

⎨⎧

−⋅+−⋅+⋅+⋅=−⋅−−⋅+⋅−==

211211

2122

2210nynykknykng

nyknykknxnfny

Ejemplo Sistema IIR sólo polos para N=2:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]⎪

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==−+⋅=−⋅−=−+⋅=−⋅−=

=

ngnfnyngnfkngngknfnfngnfkngngknfnf

nxnf

00

0011

0110

1122

1221

2

1111

DirectaIIR sólo polos de orden 2

FIR de orden 2

Generalizando:[ ] [ ] [ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−⋅−=

−⋅−==

∑

∑

=

=N

kNN

N

kN

knykNang

knykanxnfny

0

10


( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) )(

)(1

1

0

0

FIRinversasistemadelFunciónzPzzGzG

zYzGzH

polossóloIIRdirectasistemadelFunciónzPzF

zFzXzYzH

mmmm

I

mmD

→⋅===

→===

−−

Conclusiones:

- Las estructuras en celosía tanto FIR como IIR se caracterizan por los mismo coeficientes de reflexión, ki, diferenciándose únicamente en su interconexión.

- Los algoritmos de conversión de parámetros entre el sistema en forma directa bm(k) de un sistema FIRy los parámetros de la estructura en celosía, ki, se aplican también a la estructura sólo polos.

- El sistema sólo polos será estable si sus polos se encuentran en el interior de la circunferencia de radiounidad lo cual implica que |km| < 1 para todo m.

( ) ( ) ( ) 10;0

=⋅= ∑=

−m

m

k

kmm azkazP


( )( )

( )

( )( )zPzB

zka

zkbzH

NM

N

k

kN

M

k

kM

=

⋅+

⋅

=

∑

∑

=

−

=

−

1

0

1

[ ] [ ] ( ) [ ]

[ ] ( ) [ ]⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−⋅=

−⋅−=

∑

∑

=

=M

kM

N

kN

knwkbny

knwkanxnw

0

1

Estructura en celosía en escalera para un sistema de polos y ceros:

F.Directa II IIR sólo polos (AR)

FIR (MA)

[ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅=

−=−+⋅=−=−⋅−=

=

⇒=

∑=

−−

−−

N

kkk

mmmm

mmmm

N

ngvny

NNmngnfkngNNmngknfnf

nxnf

MNPara

0

11

111,...,1,;11,...,1,;1


( ) ( )( )

( )( )

( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )zP

zPzv

zFzF

zGzGv

zFzGv

zF

zGv

zPzB

zXzYzH

N

M

kk

kkM

k Nk

kM

k Nk

kN

M

kkk

NM

∑∑∑

∑=

−−

==

=⋅⋅

=⋅⋅=⋅=

⋅

=== 0

1

0

000

0

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅=

=

⋅==

==

=

∑=

−−

M

kkk

MMM

I

NND

N

zGvZY

zFzG

zPzzGzGzH

zPzFzFzH

zFzX

0

00

1

0

0 1

Cálculo de los coeficientes de la celosía en escalera:

( ) ( )∑=

−− ⋅⋅=M

kk

kkM zPzvzB

0

1 ( )( )⎩

⎨⎧

=→=→

MjvzBNikzP

jM

iN,...1,0

,...,2,1


Proceso de cálculo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zCvzBzCvzCvzCvzB mmmmmm

kkk

m

kkkm ⋅+=⋅+⋅=⋅= −

−

==∑∑ 1

1

00

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,00

=⋅=⋅= ∑∑=

−

=

− mczkczCyzkbzB mm

k

kmm

m

k

kmm

1.- Datos de partida: BM(z), PN(z) con N ≥ M.

2.- Cálculo de los coeficientes de reflexión, ki a partir de PN(z) utilizando las fórmulas de recurrencia obtenidas y los polinomios Pm(z) para m =0,1,...,M.

3.- Obtención de los polinomios Cm(z) = z-m . Pm(z-1) para m =0,1,...,M.

4.- Obtención de los parámetros de la escalera vm para m =0,1,...,M, de acuerdo con el siguiente procedimiento:

Sea:

Entonces: ( ) ( ) ( )∑∑∑=

−−

=

−−

=

− ⋅⋅+⋅=⋅m

k

kmm

m

k

km

m

k

km zkcvzkbzkb

0

1

01

0

Identificando para k = m: ( ) ( ) ( ) mmmmm vmbmcvmb =⇒⋅=

Calculo de los polinomios Bm(z) de forma recursiva en sentido inverso, es decir para m=M,M-1,...2:

( ) ( ) ( ) ( ) mmmmmm vmbzCvzBzB ⇒⇒⋅−=−1


( ) 321

21

2521431

−−−

−−

−++

++=

zzzzzzH

Ejemplo: Obtener los parámetros de la estructura celosía en escalera para el siguiente sistema:

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⇒−++=⋅=

=⇒++=⋅=

−−−

=

−

−−

=

−

∑

∑

32521

2431

321

0

21

0

NzzzzkazP

MzzzkbzB

N

k

kNN

M

k

kMM

Obtención de los ki y los polinomios Pm(z):

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ⎪

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−≤≤=

−

−⋅−=

==

−

−

112,...,

1

10

21

1

mkNm

makmamakaka

amak

m

mmmm

m

mm

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

=−

⋅−=

=−==

⎩⎨⎧

−=−=

⇒−

−⋅−=

=−==

21

221

1211

1032

3241

3133

1023

11

22

2221

1

22

2

223

3332

2

33

aka

aaaa

aak

aa

akaakaka

aak


( ) ( )1−−= zPzzC mm

m

( )( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

−−=

−++=

−

−−

−−−

11

212

3213

21

341

2521

zzP

zzzP

zzzzP

Polinomios Pm(z):

Polinomios Cm(z):

( )( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+−−=

+++−=

−

−−

−−−

11

212

3213

2

43

252

zzC

zzzC

zzzzC

Polinomios Bm(z):

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎩

⎨⎧

=⇒⋅−==⇒

− mmmmmm

MMMvmbzCvzBzB

vMbzB

1

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−==⇒−=+⋅−+=⋅−=

==⇒+=+−−⋅−++=⋅−=

==⇒++=

−−

−−−−−

−−

250252191913

1911913434431

42431

0011

1110

1112121

2221

2221

2

vbzzzCvzBzB

vbzzzzzzCvzBzB

bvzzzB


( ) 321

21

2521431

−−−

−−

−++

++=

zzzzzzH

Resultado:

( ) [ ]( ) [ ]⎩

⎨⎧

===−=

MkkbNkka

,...,1,0;4,3,1,...,2,1;2,5,2,1

2

3

Forma Directa

II

[ ][ ]⎩

⎨⎧

=−=

=−−=MjvNik

j

i,...,1,0;4,19,25,...,2,1;2,3,2

Celosía

celosia

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