cenidet · 2014-02-13 · Dedicatoria A quienes me dieron la vida… a mis padres, Gabriel...

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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

“CONTROL DEL PÉNDULO INVERTIDO USANDO DOS CELDAS NEURONALES ANALÓGICAS”

presentada por

Gabriel Calderón Zavala Ing. Electrónico por el I. T. de Cd. Madero

como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de tesis:

Dr. Carlos Daniel García Beltrán

Cuernavaca, Morelos, México Enero de 2009

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Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Electrónica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

“CONTROL DEL PÉNDULO INVERTIDO USANDO DOS CELDAS NEURONALES ANALÓGICAS”

Presentada por

Gabriel Calderón Zavala Ing. Electrónico por el I. T. de Cd. Madero

como requisito para la obtención del grado de:

Maestría en Ciencias en Ingeniería Electrónica

Director de tesis: Dr. Carlos Daniel García Beltrán

Jurado:

Dr. – Presidente Dr. – Secretario

Dr. – Vocal Dr. – Vocal suplente

Cuernavaca, Morelos, México Enero de 2009

Dedicatoria A quienes me dieron la vida… a mis padres, Gabriel Calderón Delgado y Fermina Zavala

de la Rosa, por todo el amor y el cariño que me proporcionan día con día, por la

dedicación y el esfuerzo que han realizado durante toda una vida para que yo sea quien

soy en la actualidad.

Los quiero y los amo mucho.

Agradecimientos A mi papá y a mi mamá por su apoyo en este y en todos los proyectos de mi vida, por los consejos y enseñanzas que me han brindado. Gracias por todo. A mi asesor el Dr. Carlos Daniel García Beltrán por brindarme su confianza, su amistad, y su paciencia, así como por guiarme durante el desarrollo de este trabajo de investigación mediante sus enseñanzas, consejos y observaciones. A los miembros del comité revisor, el Dr. Luis Gerardo Vela Valdés y el Dr. Marco Antonio Oliver Salazar, por sus valiosos consejos y por las observaciones realizadas a este trabajo de tesis. Al Dr. Abraham Claudio Sánchez por haberme brindado una segunda oportunidad en el proceso de selección para estudiantes de nuevo ingreso del CENIDET. A mis profesores: Dr. Alejandro Rodríguez Palacios, Dr. Enrique Quintero-Mármol Márquez, Dr. Hugo Calleja Gjumlich, Dr. Víctor Alvarado Martínez, Dr. Carlos Manuel Astorga Zaragoza, Dr. Juan Reyes Reyes y Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez por todos sus conocimientos brindados. A mis compañeros y amigos: Adriana A., Aldo, Carlos, Claudia, Dante, Efraín, Enrique, Fabián, Fabiola, Flor, Héctor, Hiram, Iván, Ix-chel, Joaquín, José, Juan, J. C. Vega, J.C. Vilchis, Patricia, Saúl, Wendy. Agradezco de manera profunda al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET) y a todo el personal docente, administrativo y auxiliar por brindarme los medios necesarios para mi formación académica, así como por cada una de las atenciones que recibí durante mi estancia. Finalmente, al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) y a la dirección General de Educación Superior Tecnológica (DGEST) por el apoyo económico brindado para poder realizar y culminar mis estudios de maestría.

Control del péndulo invertido usando dos celdas neuronales analógicas.

Autor:

Gabriel Calderón Zavala

(Resumen)

En esta tesis se presenta el estudio y el desarrollo de un controlador neuronal analógico para ser implementado en el control de un péndulo invertido tipo carro. Dicho controlador resuelve el problema de inestabilidad característico de este sistema. El controlador propuesto se basa en una Red Neuronal Analógica de dos neuronas, la cual está inspirada en principios biológicos. En particular se explora la configuración llamada Red Nerviosa Bicore, que es una derivación de las Redes Neuronales Celulares; ambas estructuras son un tipo de Redes Neuronales Analógicas. Se presenta el modelo del péndulo invertido, el cual es obtenido mediante dinámica Lagrangiana; éste expresa el comportamiento dinámico del sistema. El controlador neuronal analógico es validado experimentalmente aplicándolo a la maqueta de péndulo invertido. Diferentes pruebas, tales como el control del ángulo de la varilla y el rechazo ante perturbaciones, son presentadas haciendo evidente su gran potencial como controlador. El desempeño del controlador, en relación a la posición de la varilla con respecto de la vertical, se evalúa mediante los índices IAE, ITAE, ISE, además del error medio y la desviación estándar. Los resultados son comparados con el desempeño de un controlador clásico.

Control of the inverted pendulum using two analog neural cells.

Autor:

Gabriel Calderón Zavala

(Abstract)

This thesis presents the study and development of a neuronal analog controller to be implemented in the control of an inverted pendulum type car. Such driver solves the problem of instability characteristic of this system The proposed controller is based on an Analog Neural Network of two neurons, which is inspired by biological principles. In particular we explore the configuration called Bicore Nervous Network, which is a derivation of the Cellular Neural Networks; both structures are a type of Analog Neural Network. The model of the inverted pendulum is presented, which is obtained through Lagrangian dynamics; it expresses the dynamic behavior of the system. The neural analog controller is experimentally validated by applying it to the scale model of an inverted pendulum. Different tests, such as control of the angle of the rod and the rejection of disturbances, are presented making clear its great potential as a driver. The performance of the driver, in relation to the position of the rod regarding the vertical, is evaluated through the rates IAE, ITAE, ISE, in addition to the average error and standard deviation. The results are compared to the performance of a classic controller.

I

Índice general Índice de figuras IV Índice de tablas XII Capítulo 1.- Introducción..................................................................................................... 1

1.1.- Antecedentes .......................................................................................................... 2 1.1.1.- Andar dinámico............................................................................................... 2

1.2.- Ubicación del problema ......................................................................................... 3 1.3.- Hipótesis................................................................................................................. 5 1.4.- Objetivos ................................................................................................................ 6

1.4.1.- Objetivo general .............................................................................................. 6 1.4.2.- Objetivos específicos ...................................................................................... 6

1.5.- Alcances y limitaciones.......................................................................................... 6 1.6.- Justificación............................................................................................................ 7 1.7.- Aportación.............................................................................................................. 7 1.8.- Estado del arte ........................................................................................................ 8

1.8.1.- Control del péndulo invertido ......................................................................... 8 1.8.2.- Redes Neuronales Artificiales......................................................................... 9 1.8.3.- Redes Neuronales Celulares............................................................................ 9

1.9.- Panorama de la tesis. ............................................................................................ 10 Capítulo 2.- Redes neuronales ........................................................................................... 11

2.1.- Redes neuronales artificiales................................................................................ 11 2.1.1.- Descripción de una neurona biológica .......................................................... 11 2.1.2.- Naturaleza bioeléctrica de la neurona ........................................................... 12 2.1.3.- Modelo de la dinámica neuronal ................................................................... 13 2.1.4.- El Generador Central de Patrones (CPG): una inspiración biológica para el control automático .................................................................................................... 16

2.2.- Características de las redes neuronales artificiales. ............................................. 17 2.2.1.- Mecanismo de aprendizaje. ........................................................................... 19 2.2.2.- Redes con aprendizaje supervisado............................................................... 20 2.2.3.- Redes con aprendizaje no supervisado.......................................................... 20

2.3.- Principales tipos de redes neuronales artificiales................................................. 22 2.3.1.- El Perceptrón................................................................................................. 22 2.3.2.- Las redes ADALINE y MADALINE. .......................................................... 23 2.3.3.- La red BACKPROPAGATION. ................................................................... 25 2.3.4.- El modelo de Hopfield .................................................................................. 27 2.3.5.- El modelo de Kohonen.................................................................................. 29

2.4.- Redes Neuronales Celulares................................................................................. 29 2.4.1.- Autowaves y Turing patterns. ....................................................................... 29

2.5.- Arquitectura de las Redes Neuronales Celulares. ................................................ 30 2.6.- Modelo de una Red Neuronal Celular de dos capas............................................ 33 2.7.- Análisis de las Redes Neuronales Celulares ........................................................ 35

ÍNDICE GENERAL

II

2.8.- Implementación práctica de una Red Neuronal Celular...................................... 36 2.9.- Control en una Red Neuronal Celular .................................................................. 37 2.10.- Observaciones importantes acerca de las RNC.................................................. 39 2.11.- Redes Neuronales Nerviosas.............................................................................. 39 2.12.- ¿Porque utilizar Redes de Neuronas Nv en lugar de RNC para resolver el

problema de control del péndulo invertido? ......................................................... 41 Capítulo 3.- El péndulo invertido...................................................................................... 43

3.1.- El sistema de péndulo invertido ........................................................................... 43 3.2.- Modelo del péndulo invertido sobre carro ........................................................... 44 3.3.- La maqueta de péndulo invertido BYTRONIC ................................................... 48 3.4.- Puesta en marcha de la maqueta BYTRONIC ..................................................... 50 3.5.- Subsistema del carro y varilla .............................................................................. 53

3.5.1.- Subsistema del servo ..................................................................................... 54 3.6.- Validación experimental del subsistema de servo................................................ 55 3.7.- Implementación en simulación del control PD para el péndulo invertido. .......... 56

Capítulo 4.- Controlador de péndulo invertido basado en RNA.................................... 59

4.1.- Aplicación de la Red Nerviosa Bicore al problema de control del péndulo invertido................................................................................................................ 59

4.2.- Empleo de un filtro activo dentro del controlador neuronal analógico................ 62 4.2.1.- Filtros activos ................................................................................................ 62 4.2.2.- Filtros de orden superior ............................................................................... 63 4.2.3.- Diseño del filtro pasa-bajas para la Red Nerviosa Bicore............................. 67 4.2.4.- Procedimiento de diseño ............................................................................... 68 4.2.5.- Filtro de tercer orden ..................................................................................... 70

4.3.- Implementación práctica del controlador neuronal analógico ............................. 72 4.3.1.- Esquema del controlador neuronal analógico considerando la posición del péndulo invertido a lo largo del riel.......................................................................... 73 4.3.2.- Diseño de experimentos ................................................................................ 76

4.4.- Resultados experimentales. .................................................................................. 78 4.5.- Análisis de resultados........................................................................................... 88 4.6.- Conclusiones previas............................................................................................ 90

Capítulo 5.- Conclusiones y trabajos futuros................................................................... 93

5.1.- Conclusiones ........................................................................................................ 93 5.2.- Trabajos futuros.................................................................................................... 95

Bibliografía.......................................................................................................................... 97 ANEXO A.- Gráficas de simulación de una RNC con dos neuronas. ............................... 101 ANEXO B.- Instalación y puesta en marca de la tarjeta de adquisición de datos. ............ 105 ANEXO C.- Diagrama electrónico de la circuitería de la consola de control de péndulo invertido.............................................................................................................................. 109

ÍNDICE GENERAL

III

ANEXO D.- Especificaciones de la maqueta de péndulo invertido marca BYTRONIC. . 110 ANEXO F.- Montaje físico de un segundo potenciómetro a la varilla del péndulo invertido............................................................................................................................................. 117 ANEXO G.- Programa para calcular el valor de los elementos del filtro pasa-bajas Sallen-Key de tercer orden............................................................................................................. 119 ANEXO F.- Gráficas experimentales del controlador implementado a partir de la Red Nerviosa Bicore. ................................................................................................................. 122 ANEXO H.- Programa realizado en el editor de MatLab el cual realiza los cálculos numéricos a partir de un archivo de datos *.lvm................................................................ 138

IV

Índice de figuras Figura 1.1.- (a).- Caminar estático (b).- Caminar dinámico. .............................................. 3

Figura 1.2.- Medio ciclo de la caminata humana.................................................................. 4

Figura 1.3.- Péndulo invertido .............................................................................................. 4

Figura 2.1.- Estructura básica de una neurona biológica. ................................................. 11

Figura 2.2.- Tiempo de respuesta en un punto de una membrana experimentando un

potencial de acción......................................................................................... 13

Figura 2.3.- Circuito RC de una neurona mostrando los canales de sodio, potasio y de

fuga. ................................................................................................................ 14

Figura 2.4.- Potencial de acción en la membrana de potencial como respuesta ante una

corriente inyectada. ........................................................................................ 16

Figura 2.5.- El Generador de Patrón Central. .................................................................... 16

Figura 2.6.- Esquema de un modelo neuronal..................................................................... 18

Figura 2.7.- El Perceptrón................................................................................................... 22

Figura 2.8.- Estructura de la red ADALINE, compuesta por un combinador adaptativo

lineal y una función de salida bipolar. ........................................................... 24

Figura 2.9.- Forma general de una red neuronal tipo MADALINE.................................... 24

Figura 2.10.- Modelo de arquitectura de una red backpropagation. .................................. 26

Figura 2.11.- Red Hopfield. ................................................................................................. 29

Figura 2.12.- Una red neuronal celular de dos dimensiones. El tamaño del circuito es de

4x4. Los cuadrados son las unidades llamadas células. Las conexiones entre

las células indican que hay interacción entre las células conectadas. ........ 30

Figura 2.13.- La vecindad de la célula ( , )C i j definida en (2.6) por r = 1, r = 2, r = 3,

respectivamente. ........................................................................................... 31

Figura 2.14.- Un ejemplo del circuito de una célula [1] [2] [8] [10] [9]. ......................... 31

Figura 2.15.- Características de la fuente no lineal controlada. ........................................ 32

Figura 2.16.- Implementación de una Red Neuronal Celular de dos capas generadora de

ondas autónomas mediante amplificadores operacionales.......................... 34

ÍNDICE DE FIGURAS

V

Figura 2.17.- Gráfica de las ondas autónomas generadas por el circuito en simulación en

Simulink (izquierda) y en PSPICE (derecha). .............................................. 35

Figura 2.18.-Gráfica de los estados X1 y X2 de la Red Neuronal Celular........................... 36

Figura 2.19.- Gráfica de las salidas Y1 y Y2 de la Red Neuronal Celular. .......................... 37

Figura 2.20.- Gráfica de los estados X1 y X2, así como de las salidas Y1 y Y2 de la Red

Neuronal Celular.......................................................................................... 37

Figura 2.21.- Inhibición de las oscilaciones de una célula al momento de que el sensor de

distancia entra en operación por la presencia de un obstáculo. ................. 38

Figura 2.22.- El circuito básico de una neurona Nv. .......................................................... 40

Figura 2.23.- Señales oscilatorias correspondientes a la neurona Nv................................ 40

Figura 2.24.- Dos neuronas Nv conectadas en anillo (Bicore). .......................................... 41

Figura 2.25.- Ejemplos de señales oscilantes con ciclos de trabajo diferentes, así como el

voltaje promedio que resulta en cada una de ellas. ..................................... 42

Figura 3.1.- Péndulo invertido sobre carro......................................................................... 44

Figura 3.2.- Sistema mecánico del péndulo invertido. ........................................................ 44

Figura 3.3.- Consola de control de la maqueta de Péndulo Invertido b).- Mecanismo de

péndulo. .......................................................................................................... 49

Figura 3.4.- Mecanismo del péndulo de la maqueta BYTRONIC. ...................................... 50

Figura 3.5.- Diagrama esquemático del sistema de Péndulo Invertido localizado en la

consola de control. ............................................................................................................... 51

Figura 3.6.- Conexiones para el control lineal de posición. ............................................... 52

Figura 3.7.- Compensador en adelanto. .............................................................................. 52

Figura 3.8.- Gráficas de la posición del la varilla con respecto a la vertical y la posición

del carro a lo largo del riel respectivamente. ................................................ 53

Figura 3.9.- (a).-Diagrama esquemático del subsistema del servo (b).-Imagen del esquema

del subsistema del servo dibujado en la consola de control. ................... 54

Figura 3.10.- Diagrama a bloques del subsistema del servo. ............................................. 55

Figura 3.11.- Gráficas para la validación del modelo del subsistema de servo. Dichas

gráficas presentan tanto la señal de posición simulada, así como la señal de

posición real la cual es medida a través de una tarjeta de adquisición de

datos. ............................................................................................................ 56

ÍNDICE DE FIGURAS

VI

Figura 3.12.- Diagrama a bloques del control PD para el péndulo invertido implementado

en Simulink. .................................................................................................. 57

Figura 3.13.- Gráficas del la posición del carro y el ángulo de la varilla con respecto a la

vertical. ......................................................................................................... 58

Figura 4.1.- Conexión del potenciómetro (sensor de la posición de la varilla) a la red

Bicore. .......................................................................................................... 59

Figura 4.2.- Esquema de control para el péndulo invertido utilizando la red Bicore. ....... 60

Figura 4.3.- Ejemplo de funcionamiento de la red Bicore cuando la varilla del péndulo

simple no se encuentra a 0° con respecto a la vertical. ................................. 61

Figura 4.4.- Obtención del voltaje promedio de la señal oscilante a partir de un filtro

pasa-bajas....................................................................................................... 61

Figura 4.5.- Respuesta de un filtro pasa-bajas y respuesta de los límites de magnitud de un

filtro pasa-bajas práctico. .............................................................................. 63

Figura 4.6.- Respuesta de un filtro pasa-bajas Butterworth. .............................................. 64

Figura 4.7.- Respuesta de un filtro pasa-bajas Chebyshev Tipo I....................................... 65

Figura 4.8.- Respuesta de magnitud un filtro pasa-bajas Bessel, así como su respuesta de

fase.................................................................................................................. 66

Figura 4.9.- Circuito de la configuración Sallen-Key para un filtro pasa-bajas. ............... 67

Figura 4.10.- Filtro RC de orden uno.................................................................................. 70

Figura 4.11.- Circuito de la configuración Sallen-Key para un filtro pasa-bajas de tercer

orden. ............................................................................................................ 71

Figura 4.12.- Diagramas de Bode de los filtros pasa-bajas. fc= 20 KHz = 1.26x105 rad/seg

(izquierda) fc = 10 KHz = 6.32 x104 rad/seg (derecha). ............................. 72


(izquierda) fc = 100 Hz = 628 rad/seg (derecha). ....................................... 72

Figura 4.14.-Esquema del controlador neuronal analógico considerando la incorporación

de una etapa de control PD. ........................................................................... 74

Figura 4.15.-Controlador Proporcional-Derivativo implementado con amplificadores

operacionales. .............................................................................................. 75

Figura 4.16.-Perturbación cuantificada mediante la utilización de un péndulo simple. .... 77

Figura 4.17.-Péndulo simple. .............................................................................................. 78

ÍNDICE DE FIGURAS

VII

Figura 4.18.-Ángulo de la varilla con respecto a la vertical (compensador en adelanto).

Perturbación a 35°. ........................................................................................ 79

Figura 4.19.-Posición del péndulo invertido sobre el riel (compensador en adelanto).

Perturbación a 35°. ...................................................................................... 80

Figura 4.20.-Señal de control del sistema (compensador en adelanto). Perturbación a 35°.

........................................................................................................................ 80


Perturbación a 45°. ........................................................................................ 81


Perturbación a 45°. ...................................................................................... 81


........................................................................................................................ 82

Figura 4.24.-Oscilación de la neurona Bicore y Vmed (fosc=485 KHz C=175 pF). ......... 82

Figura 4.25.-Diagrama de Bode del filtro para-bajas con fc=2 KHz ................................. 83

Figura 4.26.-Ángulo de la varilla con respecto a la vertical (fosc=485 KHz fc=2 KHz). .. 83

Figura 4.27.-Posición del péndulo invertido sobre el riel (fosc=485 KHz fc=2 KHz). ...... 84

Figura 4.28.-Señal de control del sistema (fosc=485 KHz fc=2 KHz)................................ 84

Figura 4.29.-Oscilación de la neurona Bicore y Vmed (fosc=615 KHz C=122 pF). ......... 85

Figura 4.30.-Diagrama de Bode del filtro para-bajas con fc=100 Hz................................ 85

Figura 4.31.-Ángulo de la varilla con respecto a la vertical (fosc=615 KHz fc=100 Hz).. 86

Figura 4.32.-Posición del péndulo invertido sobre el riel (fosc=615 KHz fc=100 Hz)...... 86

Figura 4.33.-Señal de control del sistema (fosc=615 KHz fc=100 Hz). ............................. 87

Figura A.1.- Salidas X1 y X2 de la RNC de dos células (µ =0.5 y s = 1 i1 = -0.3 i2 = 0.3).

...................................................................................................................... 101


...................................................................................................................... 102


...................................................................................................................... 102

Figura A.4.- Salidas X1 y X2 de la RNC de dos células (µ =0.5 y s = 1.5 i1 = -0.3 i2 = 0.3).

...................................................................................................................... 103

ÍNDICE DE FIGURAS

VIII


...................................................................................................................... 103


...................................................................................................................... 104

Figura B.1.- Ruta de acceso a la ventana de Configuración de parámetros. ................... 105

Figura B.2.- Ventana de configuración de la opción Solver. ............................................ 106

Figura B.3.- Selección del kernel de tiempo real para The Real-Time Windows Target.. 106

Figura B.4.- Selección del módulo de interfaz externo de Simulink.................................. 107

Figura B.5.- Bloques de entradas y salidas análogas y/o digitales. ................................. 107

Figura B.6.- Ventana de configuración del bloque de entrada análoga. .......................... 108

Figura B.7.- Compilado del modelo. ................................................................................. 108

Figura C.1.-Circuito electrónico de la consola de control del péndulo invertido. ........... 109

Figura D.1.- Motor-tacho M66CE a) Servo motor M66CT b) Servo motor serie 120.... 110

Figura D.2.- Medidas en mm y cables de alimentación del servo motor M66CT ........... 110

Figura D.3.- Servo motor serie 120-18............................................................................. 111

Figura D.4.- Medidas en mm del motor 120-18. .............................................................. 111

Figura D.5.- Potenciómetro industrial de Precisión Vishay Spectrol modelo 157. .......... 112

Figura D.6.- Medidas en mm del Potenciómetro vishay Spectrol modelo 157. ............... 113

Figura D.7.- Potenciómetro Sakae Modelo 22HHp-10E................................................... 114

Figura D.8.- Medidas del Potenciómetro Sakae Modelo 22HHP-10E. ........................... 115

Figura D.9.- Banda dentada marca MECTROL............................................................... 115

Figura D.10.- Polea dentada marca MECTROL.............................................................. 116

Figura E.1.- Acoplamiento del potenciómetro destinado para entregar un voltaje de CD en

relación al ángulo de la varilla (izquierda). Parte opuesta donde se acoplará

el segundo potenciómetro (derecha). ........................................................... 117

Figura E.2.- Banda deteriorada (izquierda) sustituida por una banda nueva de las mismas

(derecha)....................................................................................................... 118

Figura F.1.- Diagrama implementado en SIMULINK del filtro pasa-bajas Sallen-Key. . 120

Figura F.2.-Respuesta del filtro Chebyshev Tipo I pasa-bajas (fc = 10 KHz).................. 121

Figura F.3.-Respuesta del filtro Chebyshev Tipo I pasa-bajas (fc = 2 KHz).................... 121

ÍNDICE DE FIGURAS

IX

Figura G.1.- a).- Oscilación de la neurona Bicore y Vmed (fosc=615 KHz C=122 pF).

b).- Diagrama de Bode del filtro pasa-bajas con fc=20 KHz. ..................... 122

Figura G.2.- a).- Ángulo de la varilla con respecto a la vertical (fosc=615 KHz fc=20

KHz). b).- Posición del péndulo invertido sobre el riel (fosc=615 KHz

fc=20 KHz). .................................................................................................. 122

Figura G.3.- a).- Señal de control del sistema (fosc=615 KHz fc=20 KHz). b).-

Oscilación de la neurona Bicore y Vmed (fosc=545 KHz C=150 pF). ....... 123



fc=20 KHz). .................................................................................................. 123





fc=20 KHz). .................................................................................................. 124





fc=20 KHz). .................................................................................................. 125


Oscilación de la neurona Bicore y Vmed (fosc=92 KHz C=1 nF). ........... 126



fc=20 KHz). ................................................................................................ 126

Figura G.11.- a).- Señal de control del sistema (fosc=92 KHz fc=20 KHz). .................... 127

Figura G.12.- Diagrama de Bode del filtro pasa-bajas con fc=10 KHz. .......................... 127



fc=10 KHz). ................................................................................................ 128

ÍNDICE DE FIGURAS

X


Ángulo de la varilla con respecto a la vertical (fosc=545 KHz fc=10 KHz).

.................................................................................................................... 128

Figura G.15.- a).- Posición del péndulo invertido sobre el riel (fosc=545 KHz fc=10.

b).- Señal de control del sistema (fosc=545 KHz fc=10 KHz)................... 129



fc=10 KHz). ................................................................................................ 129



.................................................................................................................... 130

Figura G.18.- a).- Posición del péndulo invertido sobre el riel (fosc=400 KHz fc=10

KHz). b).- Señal de control del sistema (fosc=400 KHz fc=10 KHz). ... 130



fc=10 KHz). ................................................................................................ 131

Figura G.20.- Señal de control del sistema (fosc=92 KHz fc=10 KHz)............................ 131



fc=2 KHz). .................................................................................................. 132



.................................................................................................................... 132


KHz). b).- Señal de control del sistema (fosc=545 KHz fc=2 KHz). ..... 133



fc=2 KHz). .................................................................................................. 133


Ángulo de la varilla con respecto a la vertical (fosc=92 KHz fc=2 KHz). 134

ÍNDICE DE FIGURAS

XI

Figura G.26.- a).- Posición del péndulo invertido sobre el riel (fosc=92 KHz fc=2 KHz).

b).- Señal de control del sistema (fosc=92 KHz fc=2 KHz)....................... 134


Hz). b).- Posición del péndulo invertido sobre el riel (fosc=545 KHz

fc=100 Hz). ................................................................................................. 135

Figura G.28.- a).- Señal de control del sistema (fosc=545 KHz fc=100 Hz). b).-

Ángulo de la varilla con respecto a la vertical (fosc=485 KHz fc=100 Hz).

.................................................................................................................... 135


Hz). b).- Señal de control del sistema (fosc=485 KHz fc=100 Hz)........ 136


Hz). b).- Posición del péndulo invertido sobre el riel (fosc=545 KHz

fc=100 Hz). ................................................................................................. 136



.................................................................................................................... 137

Figura G.32.- a).- Posición del péndulo invertido sobre el riel (fosc=92 KHz fc=100 Hz).

b).- Señal de control del sistema (fosc=92 KHz fc=100 Hz). .................... 137

XII

Índice de tablas Tabla 1.1.- Técnicas de control utilizadas para controlar el péndulo invertido……………. 8

Tabla 4.1.- Filtros Chebyshev con rizo de 0.1 dB..………………………………………...…...70

Tabla 4.2.- Síntesis de resultados experimentales en relación al ángulo de la varilla (θ)…...

………………………………………………………………………………..……….. 87

Tabla 4.3.- Síntesis de resultados experimentales en relación a la posición del

carro…………………………………….………………………...………………..….. 88

Tabla 4.4.- Análisis numérico comparativo del ángulo de la varilla (θ)………………..….. 89

Tabla 4.5.- Análisis numérico comparativo de la señal de control del sistema……….……90

Tabla D.1.- Especificación del Servo motor tipo M78CT24 (M66CT)…………….……… 111

Tabla D.2.- Especificación del servo motor serie 120-18…………………………………....112

Tabla D.3.- Especificaciones eléctricas del potenciometro industrial de precisión………113

Tabla D.4.- Especificaciones Electricas Potenciómetro Sakae Modelo 22HHp-10E…….114

Tabla D.5.- Pesos de las Partes del Péndulo Invertido…………………………………….…116

1

Capítulo 1 Introducción

Los péndulos invertidos son una familia de artefactos que constituyen un banco de pruebas muy completo e interesante para la ingeniería de control, ya que son un ejemplo típico de un sistema inestable. El más estudiado de los miembros de esta familia es el denominado control invertido sobre un vehículo, al que corrientemente se le conoce como carro. Consiste en un péndulo o varilla que gira libremente por uno de sus extremos mediante una articulación situada sobre un carro que se mueve sobre una guía rectilínea horizontal bajo la acción de una fuerza F, que es la acción de control con la que se pretende actuar sobre la posición de la varilla. Debido a que la aceleración del brazo no puede ser controlada directamente, el péndulo invertido se dice que es un sistema subactuado.

Inicialmente, en los años sesenta del siglo pasado, se podía ver este sistema en los

laboratorios de control de las universidades más prestigiosas. La demostración consistía en situar inicialmente de forma manual el péndulo en la posición vertical invertida, para que posteriormente y realimentando su posición, el péndulo continuase en la posición invertida mediante la adecuada actuación sobre el carro.

El problema de control, así considerado, es local y su interés residía en que se trataba de

estabilizar una posición inestable en lazo abierto lo que, como se sabe, constituye un problema de control muy notable. Este problema, por su carácter local, puede resolverse con métodos lineales y así se ha hecho desde los años sesenta.

Es importante destacar que en sistemas lineales, la estabilización en lazo cerrado de un

punto inestable en lazo abierto, no ofrece particulares problemas; éstos aparecen cuando el sistema es no lineal. El inconveniente con esta versión del péndulo, a la hora de plantear problemas globales, reside en que el recorrido del carro está acotado, por lo que si se alcanza uno de los extremos del soporte horizontal el sistema deja de funcionar.

Para evitar esta limitación Katsuhisa Furuta, del Instituto de Robótica de Tokio,

propuso en los años setenta el péndulo rotatorio conocido desde entonces como péndulo de Furuta. Consiste en un motor de eje vertical al que es solidario un brazo de cuyo extremo cuelga la varilla del péndulo. Es decir, el extremo del brazo juega el mismo papel que el carro en el péndulo descrito en el párrafo anterior. Con este artificio se evitan los problemas de final de carrera, aunque aparecen otros nuevos debido a que la dinámica del sistema se complica considerablemente al hacer su aparición fuerzas centrífugas y de Coriolis.

Las aplicaciones del péndulo invertido en el ámbito cotidiano tienen gran impacto para

la sociedad en general. Las principales aplicaciones son las siguientes: mantenimiento de la trayectoria durante el vuelo de un cohete, control de misiles, análisis de la biomecánica de la marcha, balance y postura humana, el caminar bípedo de robots, estabilidad en grúas, así

CAPÍTULO 1.- INTRODUCCIÓN

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como de edificios. Otra aplicación de este sistema es la de un vehículo de dos ruedas para el transporte de personas, donde el péndulo está constituido por la persona que está sobre el vehiculo; el movimiento de avance está provocado por la inclinación de la persona con respecto a la posición de equilibrio. Sin lugar a duda, una de las aplicaciones de mayor impacto para el todo mundo es el posicionamiento de un satélite con respecto a la tierra. En este caso el satélite esta en movimiento y las antenas que se encuentran en la tierra no pueden dejar que se mueva demasiado, ya que sino se saldría del rango de comunicación entre ellos. Es así como podríamos decir que estos dos cuerpos (satélite y antena) están sujetos por un vector virtual el cuál en la parte de la tierra se encuentra fijo y la parte en movimiento en el espacio, haciendo así la función del péndulo invertido.

Existen otros tipos de péndulo invertido como el péndulo con rueda inercial, el acrobot, el pendubot, el doble péndulo invertido, etc. Sin embargo en este trabajo de tesis sólo se ocupó el péndulo invertido sobre un carro.

1.1.- Antecedentes

Muchas máquinas caminadoras y escaladoras han sido diseñadas y desarrolladas durante las últimas décadas, algunas construidas para efectuar servicios para utilidad humana y de seguridad. Mientras las ruedas son aún la forma más ampliamente usada para llevar a cabo el movimiento en robots debido a la clara ventaja en la eficiencia de carga-acarreo, las piernas son atractivas porque ellas permiten a los robots alcanzar lugares donde sólo los humanos y los animales sobre pies pueden normalmente ir.

Aunque la locomoción bípeda se ha estudiado durante mucho tiempo [39], ha sido en

los últimos veinte años, gracias al rápido desarrollo de computadoras, que los robots empezaron a caminar en dos piernas. Desde entonces el problema se ha abordado desde diferentes perspectivas. En los primeros intentos, los robots usaron modelos del andar estático (Figura 1.1a) [28]. La arquitectura del mando de control tenía que asegurarse de que la proyección del centro de gravedad en la tierra siempre estuviera dentro del área de apoyo del pie. Esta proposición fue abandonada porque sólo podían alcanzarse velocidades lentas y sólo sobre superficies planas. Posteriormente, los robots caminantes dinámicos aparecieron [46]. El centro de gravedad puede estar fuera del área de apoyo, pero el punto de momento cero (Zero Moment Point, ZMP), el cual es el punto donde el momento angular total es cero, no lo puede estar. Los caminantes dinámicos pueden lograr velocidades de andar más rápido, correr [33], subir escaleras [47] [53], ejecución de tareas sucesivas [27], e incluso caminar sin la necesidad de un operador [44].

1.1.1.- Andar dinámico

El caminar dinámico bípedo permite que el centro de gravedad pueda estar fuera de la región de apoyo por períodos limitados de tiempo. No hay ningún criterio absoluto que determine si el caminar dinámico es estable o no. De hecho un robot caminante se puede diseñar para representar los diferentes tipos de inestabilidades [27] [33]. Sin embargo, si el

1.2.- UBICACIÓN DEL PROBLEMA

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robot tiene las junturas del tobillo activas y siempre mantiene por lo menos un pie sobre el piso, el punto de momento cero (ZMP por sus siglas en inglés) puede ser usado como un criterio de estabilidad. Mientras que el ZMP esté dentro de la región de apoyo, el caminar se considera dinámicamente estable porque es el único caso dónde el pie puede controlar la postura del robot. Está claro que para robots que no mantienen constantemente un pie por lo menos en el piso o que no tenga las junturas del tobillo activas (caminar sobre zancos), la noción de área de apoyo no existe, por consiguiente el criterio de ZMP no puede ser aplicado [15].

El caminar dinámico se logra asegurando que el robot siempre esté girando alrededor de un punto en la región de apoyo (Figura 1.1b). Si el robot gira alrededor de un punto fuera de la región de apoyo entonces esto significa que el pie de apoyo tenderá a bajar al piso o hará presión contra la tierra. Ambos casos llevan a la inestabilidad. Para establecer una analogía con el caminar estático, si todo el movimiento se detiene entonces el robot tenderá a girar alrededor del ZMP.

Figura 1.1.- (a).- Caminar estático (b).- Caminar dinámico.

1.2.- Ubicación del problema

El proceso de caminar es mucho más complejo de lo que parece, ya que no sólo se requiere de “dar pasos”; es así que anatómicamente hablando en este proceso están involucrados tanto pies, caderas, espina, brazos, hombros, cabeza, etc. Una coordinación perfecta de todos los elementos anteriores hace que la caminata humana sea eficiente.

Tomando en cuenta que este trabajo de tesis servirá como fundamento para crear en un

futuro un prototipo de robot bípedo, el conocer los principios básicos sobre el proceso de caminata de los humanos es fundamental.

En la Figura 1.2 podemos observar un medio ciclo en la caminata humana.

a) b)


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Figura 1.2.- Medio ciclo de la caminata humana.

La caminata comienza con los dos pies extendidos y sobre el suelo (Figura 1.2a), en

donde el equilibrio no es problema. El problema comienza al levantar uno de los dos pies para realizar los movimientos de las Figuras 1.2b, 1.2c y 1.2d, ya que la tendencia es caer hacia ese lado y hacia delante o atrás dependiendo del estado dinámico del robot en ese instante. Para evitar que el cuerpo caiga se deben realizar correcciones a los movimientos del robot permitiendo así la estabilidad dinámica de la caminata. El medio ciclo se completa cuando los dos pies vuelven a estar en el suelo (Figura 1.2e). El otro medio ciclo es idéntico, solamente que el pie que se levanta es el que anteriormente servía de apoyo y viceversa.

El péndulo invertido es el sistema dinámico más comúnmente usado para representar la

dinámica del bípedo. Esto sólo es válido sí hay siempre uno y sólo un pie en el suelo (movimientos b, c y d de la Figura 1.2). El robot se representa por un punto de masa igual a la masa total del robot situado en el centro de gravedad y una viga montada alrededor del punto de contacto del pie con el suelo. Note que para un péndulo invertido, el ZMP se localiza en el punto de contacto con el suelo (Figura 1.3).

Figura 1.3.- Péndulo invertido

Considerando la siguiente ecuación dinámica linealizada del péndulo invertido

gmMMlssFs

)(1

)()(

2 +−−=

Θ

(1.1)

1.3.- HIPÓTESIS

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Donde Θ - Ángulo de la barra con respecto a la línea vertical F - Fuerza aplicada el carro para controlar la posición del péndulo M - Masa del carro m - Masa de la barra l - Longitud de la barra g - Aceleración de la gravedad Aplicando la fórmula general para obtener los polos del polinomio característico se tiene que:

MlgmMMl

p2

))((42,1

+±=

(1.2)

Tomando en cuenta que M, m, l y g siempre son cantidades positivas, se tiene que el sistema contiene dos polos conjugados localizados en el semiplano derecho, de ahí su comportamiento inestable.

Dados los antecedentes anteriores se puede ubicar con certeza el problema principal de

este trabajo de tesis, el cual es la inestabilidad del péndulo invertido, para lo cual se desarrollarán controladores capaces de estabilizar el sistema.

1.3.- Hipótesis

La principal inspiración en el control de dispositivos de locomoción artificial proviene de un principio biológico del Generador de Patrón Central (CPG), usado para modelar el grupo de neuronas encargado de planear y controlar el patrón de caminado. Para implementar dicho modelo se debe de utilizar una red neuronal celular de reacción-difusión (Reaction-diffusion cellular neural network RD-CNN). La estructura de la red neuronal celular es diseñada utilizando circuitos analógicos. Esto hace posible realizar el caminar en tiempo real y también controlar transiciones entre diversos tipos de caminar (en el caso de robots bípedos). De este modo, es necesario diseñar un circuito analógico capaz de reproducir cualitativamente a la dinámica neuronal del CPG. Este tiene la ventaja del bajo costo de implementación debido a la utilización de circuitos analógicos. Todo lo anterior tiene como objetivo el lograr la locomoción como resultado de una dinámica oscilatoria espaciotemporal, la cual es del mismo tipo a la que se presenta en las neuronas biológicas [1]. En relación a lo anterior se plantea la siguiente hipótesis:

Es posible mejorar el desempeño del péndulo invertido mediante el diseño de un

controlador bajo el enfoque de inteligencia artificial utilizando como base los conceptos del CPG (Central Pattern Generator) y de redes neuronales artificiales en relación a los controladores ya existentes.


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1.4.- Objetivos

1.4.1.- Objetivo general

El objetivo principal de este trabajo de tesis es diseñar un controlador para el péndulo invertido mediante redes neuronales analógicas. El objetivo del control es mantener en equilibrio la varilla (0° con respecto a la vertical). El controlador se diseñará bajo un enfoque de Redes Neuronales Artificiales, inspirado en principios biológicos.

1.4.2.- Objetivos específicos 1.- Comprobar que los controladores basados en redes neuronales analógicas son adecuados para el tipo de problema. 2.- Realizar un primer acercamiento a esta metodología de inteligencia artificial. 3.- Desarrollar una metodología para el diseño de una red neuronal analógica.

1.5.- Alcances y limitaciones Alcances:

En este trabajo de tesis se realizó el modelado de la dinámica del péndulo invertido; se efectuó mediante dinámica Lagrangiana. Para el modelado se tomaron en consideración las fricciones tanto del carro como de la varilla del péndulo, además de involucrarse las inercias de los mismos.

Se diseñó un controlador en base a redes neuronales analógicas el cual se encarga de

llevar a cabo el objetivo de control el cual es mantener la varilla a 0° con respecto a la vertical. Limitaciones:

El controlador se diseño con base a la configuración denominada Bicore inventada por Mark Tilden [24] [25] [26].

La maqueta de péndulo invertido utilizada para llevar a cabo las pruebas es el llamado

control invertido sobre carro. El sensor para medir el ángulo de la varilla con respecto a la vertical es un

potenciómetro y las terminales de este van conectadas al arreglo electrónico del controlador

1.6.- JUSTIFICACIÓN

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(configuración Bicore); de igual forma, el sensor para medir la posición del carro sobre el riel es un potenciómetro multivueltas.

1.6.- Justificación

En las últimas tres décadas, el auge de la electrónica y las computadoras ha detonado el desarrollo de la inteligencia artificial aplicada en el área de control automático. Algunas técnicas de control basadas en inteligencia artificial se han puesto en práctica para el control del péndulo invertido [43] [34] [48]. Una alternativa es el enfoque de inteligencia artificial con bases biológicas. La utilización de dicho enfoque se efectúa con la finalidad de emular el comportamiento del Generador de Patrón Central biológico.

Las funciones biológicas, por sí solas, son muy complejas; el pretender emularlas en un

cien por ciento es muy atrevido y es por eso que en esta tesis lo que se busca es tomar como base tales principios y tratar de emularlos en la medida de lo posible para posteriormente investigar acerca de su aplicación como controlador y muy en particular, como controlador para el péndulo invertido tipo carro.

El péndulo invertido es el sistema dinámico más comúnmente usado para representar la

dinámica del bípedo. Esto es válido si hay siempre uno y sólo un pie en el suelo. El robot se representa por un punto de masa igual a la masa total del robot situado en el centro de gravedad y una viga de masa despreciable montada alrededor del punto de contacto del pie con el suelo. Note que para un péndulo invertido, el ZMP se localiza en el punto de contacto con el suelo [20].

El sistema de péndulo invertido, como caso de aplicación particular, es abordado en este trabajo de tesis debido a que servirá de pilar en la futura creación de un prototipo de robot bípedo.

1.7.- Aportación

Contribuir al área de control inteligente en el CENIDET, proponiendo un controlador sencillo y funcional basado en redes neuronales analógicas para resolver el problema de inestabilidad del péndulo invertido, proporcionando su teoría de base, así como el diseño y desarrollo de dicho controlador.

Otra aportación importante es el modelado del comportamiento dinámico del péndulo

invertido mediante dinámica Lagrangiana. Es preciso decir que en la literatura, la mayoría de las veces sólo se presentan modelos en función de transferencia y los pocos modelos realizados mediante dinámica Lagrangiana no son mostrados en detalle.

Se investigaron a detalle todos los parámetros y especificaciones relacionadas con la

maqueta de péndulo invertido marca BYTRONIC, con la cual se efectuaron las pruebas del controlador diseñado, ya que el manual que existente en el laboratorio del dispositivo no


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planteaba la totalidad de las especificaciones y algunas de ellas eran dudosas. Habiendo realizado lo anterior, la maqueta de péndulo invertido queda totalmente documentada en relación a sus especificaciones técnicas.

1.8.- Estado del arte

1.8.1.- Control del péndulo invertido

El control del péndulo invertido es un problema que ya se ha resuelto con anterioridad utilizando una diversidad de técnicas de control. En la Tabla 1.1 se citan diversas técnicas de control con las cuales se ha logrado controlar el péndulo invertido, así como artículos que se relacionan con dicha técnica.

Tabla 1.1.- Técnicas de control utilizadas para controlar el péndulo invertido.

Técnica de control The fuzzy PD controller in balancing the pendulum in upright position [6]

Presented techniques incorporating neural network into Fuzzy system [22] [30] [38] [45] Nonlinear optimization method to train a fuzzy controller for stabilization [42]

Feedback linearization and energy considerations [32] Vertical forces to stabilize the IP [52]

Neural network, [43] Linear control [55] Neural network [6]

Fuzzy-logic control [34] Discrete-time H∞ control [49]

Fuzzy Control [36] Fuzzy-Logic Control of an Inverted Pendulum with Vision Feedback [34]

Energy based control [23] Sliding mode control [19]

Hybrid control [17] Neuro-fuzzy controller [48]

Passivity [40] Linear control [55]

De las técnicas de control expuestas en la Tabla 1.1 se pueden generalizar dos enfoques

de solución: el control lineal y el control no lineal. En las últimas tres décadas, el auge de la electrónica y las computadoras ha detonado el

desarrollo de la inteligencia artificial aplicada en el área de control automático. Técnicas de control basadas en inteligencia artificial se han puesto en práctica para el control del péndulo invertido.

1.8.2.- REDES NEURONALES ARTIFICIALES

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Una alternativa es el enfoque de inteligencia artificial con bases biológicas. Esta se basa en conceptos de Redes Neuronales Artificiales, y en particular, en Redes Neuronales Analógicas (RNA).

1.8.2.- Redes Neuronales Artificiales

El cerebro es un procesador de información con unas características inigualables: es capaz de procesar a gran velocidad grandes cantidades de información procedentes de los sentidos, combinarla o compararla con la información almacenada y dar respuestas adecuadas, incluso en situaciones nuevas. Logra discernir un susurro en una sala ruidosa, distinguir una cara en una calle mal iluminada o leer entre líneas en una declaración política; pero lo más impresionante de todo es su capacidad de aprender a representar la información necesaria para desarrollar tales habilidades sin instrucciones explícitas para ello.

Aunque todavía se ignora mucho sobre la forma en que el cerebro aprende a procesar la

información, se han desarrollado modelos que tratan de emular tales habilidades denominados redes neuronales artificiales. La elaboración de estos modelos supone en primer lugar la deducción de los rasgos o características esenciales de las neuronas biológicas y sus conexiones, y en segundo lugar, la implementación del modelo a nivel práctico, ya sea en una computadora de forma que se pueda simular, o mediante circuitos electrónicos. Es obvio decir que estos modelos son idealizaciones burdas de las auténticas redes neuronales biológicas, pero que sin embargo resultan interesantes cuando menos por sus capacidades de aprendizaje.

Hay muchos tipos de Redes Neuronales Artificiales, algunas de las cuales están más acordes con las teorías modernas de circuitos de redes neuronales que otras. Todas ellas son similares en el sentido de que ellas usan unidades individuales configuradas de acuerdo al tipo de tarea que la red va a desempeñar.

1.8.3.- Redes Neuronales Celulares

Las redes neuronales artificiales poseen características claves como lo son el procesamiento paralelo asíncrono, dinámica de tiempo continuo y una interacción global entre los componentes de la red. Una nueva arquitectura de circuito llamado red neuronal celular (cellular neural network) fue inventada y patentada en la década de los ochenta por el Profesor Leon O. Chua, investigador de la Universidad de Berkeley en California. Esta nueva arquitectura además de poseer algunas de las características claves de las redes neuronales artificiales, tiene además la característica de poder ser implementada mediante circuitos analógicos.

Los circuitos analógicos han jugado un papel importante en el desarrollo de nueva

tecnología. Aún en nuestra era digital, los circuitos analógicos todavía dominan tales campos como las comunicaciones, la potencia, el control automático, electrónica de audio y


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video debido a sus capacidades de procesamiento de señales en tiempo real y a su bajo costo de implementación.

1.9.- Panorama de la tesis.

El presente trabajo de tesis consta de 5 capítulos, los cuales se describen brevemente a continuación:

El Capítulo 2 presenta los principios biológicos y funcionamiento de las neuronas,

aunado con una descripción de los modelos matemáticos de sus respuestas. También se presenta la manera en que estos principios biológicos se conectan con las redes neuronales artificiales y cómo estas últimas pueden ser implementadas mediante circuitos electrónicos basados en amplificadores operacionales.

En el Capítulo 3 se estudia la dinámica del péndulo invertido y la representación del

mismo mediante un modelo matemático. El Capítulo 4 presenta el diseño del controlador para el péndulo invertido utilizando

redes neuronales analógicas, así como también se realizan pruebas a dicho controlador con el fin de validar los resultados obtenidos.

Finalmente en el Capítulo 5 se abordará las conclusiones de lo desarrollado a lo largo

de la tesis y se planteará acerca de los trabajos futuros a partir de este trabajo de tesis.

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Capítulo 2 Redes neuronales

En este capítulo se presenta los principios biológicos y funcionamiento de las neuronas, aunado con una descripción de los modelos matemáticos de sus respuestas. También se presenta la manera en que estos principios biológicos se conectan con las redes neuronales artificiales y cómo estas últimas pueden ser implementadas mediante circuitos electrónicos basados en amplificadores operacionales.

2.1.- Redes neuronales artificiales

2.1.1.- Descripción de una neurona biológica

Las redes neuronales artificiales son modelos que aproximan funciones. Ellas están inspiradas en la constitución de neuronas individuales que tiene el cerebro. Cada neurona tiene una función específica y muchas neuronas interactúan unas con otras con el fin de ejecutar tareas complejas.

Una neurona biológica es una célula viva y como tal, contiene los mismos elementos

que forman parte de todas las células biológicas. Además, contienen elementos característicos que las diferencian. En general, una neurona consta de un cuerpo esférico, de 5 a 10 micras de diámetro, del que salen una rama principal, el axón y varias ramas más cortas, llamadas dendritas (Figura 2.1). A su vez, el axón puede producir ramas en torno a su punto de arranque y con frecuencia, se ramifica extensamente cerca de su extremo [37].

Figura 2.1.- Estructura básica de una neurona biológica.

CAPÍTULO 2.- REDES NEURONALES

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Unas de las características que diferencian a las neuronas del resto de las células vivas, es su capacidad de comunicarse. En términos generales, las dendritas y el cuerpo celular reciben señales de entrada; el cuerpo las combina e integra y emite señales de salida. El axón transporta estas señales a las terminales axónicos, que se encargan de distribuir información a un nuevo conjunto de neuronas. Por lo general, una neurona recibe información de miles de otras neuronas y, a su vez, envía información a miles de neuronas más. Se calcula que en el cerebro humano existen del orden de 1015 conexiones.

La señal generada por la neurona y transportada a lo largo del axón es un impulso

eléctrico, mientras que la señal que se transmite entre los terminales axónicos de una neurona y las dendritas de las neuronas siguientes es de origen químico; concretamente, se realiza mediante moléculas de sustancias transmisoras (neurotransmisores) que fluyen a través de unos contactos especiales llamados sinapsis, que tienen la función de receptor y están localizadas entre los terminales axónicos y las dendritas de la neurona siguiente.

2.1.2.- Naturaleza bioeléctrica de la neurona

La generación de las señales eléctricas esta íntimamente relacionada con la composición de la membrana celular. Existen muchos procesos complejos relacionados con la generación de dichas señales, sin embargo se pueden simplificar del siguiente modo: la neurona, como todas las células, es capaz de mantener en su interior un líquido cuya composición difiere marcadamente de la composición del líquido del exterior. La diferencia más notable se da en relación con la concentración de los iones sodio y potasio. El medio externo es en promedio diez veces más rico en sodio que el interno, mientras que el medio interno es unas diez veces más rico en potasio que el externo. Esta diferencia de concentración en iones sodio y potasio a cada lado de la membrana produce una diferencia de potencial de aproximadamente 70 milivoltios, negativa en el interior de la célula. Es lo que se llama potencial de reposo de la célula nerviosa.

La llegada de señales procedentes de otras neuronas a través de las dendritas (recepción

de neurotransmisores) actúa acumulativamente, bajando ligeramente el valor del potencial de reposo. Dicho potencial modifica la permeabilidad de la membrana, de manera que cuando llega a cierto valor crítico comienza una entrada masiva de iones sodio que invierten la polaridad de la membrana.

La inversión del voltaje de la cara interior de la membrana cierra el paso a los iones

sodio y abre el paso a los iones potasio hasta que se restablece el equilibrio en reposo. La inversión del voltaje, conocida como potencial de acción (Figura 2.2), se propaga a lo largo del axón y, a su vez, provoca la emisión de los neurotransmisores en los terminales axónicos.

2.1.3- MODELO DE LA DINÁMICA NEURONAL

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Figura 2.2.- Tiempo de respuesta en un punto de una membrana experimentando un

potencial de acción.

Después de un pequeño período refractario, puede seguir un segundo impulso. El resultado de todo esto es la emisión por parte de la neurona de trenes de impulsos cuya frecuencia varía en función de la cantidad de neurotransmisores recibidos [12] [37] [54].

Existen dos tipos de sinapsis: a) las sinapsis excitadoras, cuyos neurotransmisores

provocan disminuciones de potencial en la membrana de la célula postsináptica, facilitando la generación de impulsos a mayor velocidad, y b) las sinapsis inhibidoras, cuyos neurotransmisores tienden a estabilizar el potencial de la membrana, dificultando la emisión de impulsos. Casi todas las neuronas reciben entradas procedentes de sinapsis excitadoras e inhibidoras. En cada instante, algunas de ellas estarán activas y otras se hallarán en reposo; la suma de los efectos excitadores e inhibidores determina si la célula será o no estimulada; es decir, si emitirá o no un tren de impulsos y con que frecuencia.

2.1.3.- Modelo de la dinámica neuronal

Para establecer una similitud directa entre la actividad sináptica y la analogía con las redes neuronales artificiales, vamos a fijar los siguientes aspectos: Las señales que llegan a la sinapsis son las entradas a la neurona; estas son ponderadas (atenuadas o amplificadas) a través de un parámetro, denominado peso, asociado a la sinapsis correspondiente. Estas señales de entrada pueden excitar a la neurona (sinapsis con peso positivo) o inhibirla (peso negativo). El efecto es la suma de las entradas ponderadas. Si la suma es igual o mayor que el umbral de la neurona, entonces la neurona se activa (da salida) [41]. Esta es una situación todo o nada; cada neurona se activa o no se activa. La facilidad de transmisión de señales se altera mediante al actividad del sistema nervioso. Las sinapsis son susceptibles a la fatiga, deficiencia de oxígeno y agentes tales como los anestésicos. Otros eventos pueden incrementar el grado de activación. Esta habilidad de ajustar señales es un mecanismo de aprendizaje. Las funciones de umbral integran la energía de las señales de entrada en el espacio y en el tiempo.


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Para entender como formular un modelo matemático de la neurona, se requiere explicar las propiedades eléctricas de la membrana celular. Se reconocen tres diferentes componentes de una membrana, los cuales son llamados sodio, potasio y fuga. Hoy en día, los nombres de canal-Na y canal-K son aceptados universalmente para los correspondientes canales iónicos en los axones. El nombre de canal de fuga es también usado, aunque no existe una evidencia práctica en relación a los iones o al mecanismo de transporte que este involucra. Mientras que los canales de sodio y de potasio tienen resistencias dependientes del voltaje, el canal de fuga tiene conductancias que son constantes. En una primera aproximación, la ley de corriente-voltaje es lineal para cualquier canal en cuestión (Ec. 2.1) [37]:

( )j j jI g V E= − (2.1)

Donde Ej es el potencial de equilibrio del ión en el j-ésimo canal, gj es la conductancia

del canal, Ij es la corriente del canal y V es la membrana de potencial. Para contener muchos canales conductores, el lípido bicapa de la membrana biológica separa soluciones conductoras internas y externas mediante una muy delgada capa aislante. Tal estrecha abertura entre los dos conductores, forman necesariamente un capacitor eléctrico C significativo. Habiendo explicado el comportamiento básico de la membrana, una neurona puede ser vista como un circuito RC (Figura 2.3) [37].

Figura 2.3.- Circuito RC de una neurona mostrando los canales de sodio, potasio y de

fuga. La ecuación del circuito correspondiente a la Figura 2.3 es obtenida de la siguiente manera:

Na K l indVC I I I Idt

= − − − +

(2.2)

2.1.3- MODELO DE LA DINÁMICA NEURONAL

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donde Iin es la corriente inyectada a la célula y INA, IK y Il son las corrientes de sodio, potasio y la de fuga respectivamente. Combinando las ecuaciones (2.1) y (2.2), se obtiene

( ) ( ) ( )Na Na K K l l indVC g V E g V E g V E Idt

= − − − − − − +

(2.3)

El trabajo de Hodgking y Huxley (1952) propone que las conductancias de sodio y potasio dependientes de voltaje están dadas como 3

Na Nag g m h= y 3K Kg g n= donde Nag y

Kg son constantes, m, h, y n son manejadas mediante las siguientes ecuaciones diferenciales:

1

1

1

mm

m m m m m

hh

h h h h h

nn

n n n n n

m mdm mdt

h hdh hdt

n ndn ndt

α ττ α β α β

α ττ α β α β

α ττ α β α β

∞∞

∞∞

∞∞

−= = =

+ +

−= = =

+ +

−= = =

+ +

(2.4) y , , , , ,m m h h n nα β α β α β son funciones no lineales de voltaje, que con frecuencia tienen discontinuidades. En lugar de tratar con este sistema complicado, es común en la práctica simplificar el sistema fundamental mientras que se conservan algunas de las características básicas de la cinética de Hodgking y Huxley. Estas simplificaciones muchas veces tienen la forma de un sistema dinámico de segundo orden y con frecuencia son referidos a modelos de dos variables. Por ejemplo la dinámica correspondiente a la variable m es relativamente rápida comparadas con las variables h y n; entonces, es razonable aproximar el valor de m mediante el estado estable m∞. De acuerdo a investigaciones ya realizadas, la ecuación de la membrana de la neurona de un mamífero puede ser escrita como:

( ) ( )26Na K in

R

dVC m V E R V E Idt

R RdRdt τ

∞

= − − − − +

−=

(2.5) donde m∞ y R∞ son polinomios de orden dos.

2

2

17.8 47.6 33.8

1.24 3.7 3.2

m V V

R V V∞

∞

= + +

= + +

Y donde la corriente de fuga ha sido eliminada mediante cambio de variables. Para


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mantener las constantes dentro de un límite razonable, la membrana de potencial ha sido dividida entre 100. Dada esta convención, 0.5NaE = y 0.95KE = − corresponden a 50 mV y -95 mV respectivamente. Para una corriente de entrada 0.2inI nA= , se observa un potencial de acción tal y como se muestra en la Figura 2.4. La frecuencia del potencial de acción depende de la amplitud de inI (Figura 2.4). Así, la frecuencia de V codifica la señal analógica inI . Esta idea es conocida como taza de codificación.

Figura 2.4.- Potencial de acción en la membrana de potencial como respuesta ante una

corriente inyectada.

2.1.4.- El Generador Central de Patrones (CPG): una inspiración biológica para el control automático

Los generadores centrales de patrones (CPG’s) son redes neuronales biológicas que generan movimientos sincronizados de locomoción en animales (Figura 2.5) [31], tales como caminar, correr, nadar y volar. El movimiento sincronizado generado por los CPG’s induce una coordinación de las partes físicas [14]. Además, se cree que un movimiento rítmico surge como un ciclo limitado y estable de un entrenamiento global entre el sistema neurológico que incluye el CPG y el sistema físico, los cuales interactúan recíprocamente en un ambiente variante. Como resultado, es posible lograr una alta autonomía de adaptación a los ambientes imprevisibles durante la locomoción [3] [7] [29].

Figura 2.5.- El Generador de Patrón Central.

2.2.- CARACTERÍSTICAS DE LAS REDES NEURONALES ARTIFICIALES

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El CPG consiste en un grupo de osciladores neuronales, situados en los ganglios o en la espina dorsal. Inducido por las entradas de las neuronas de control, el CPG genera automáticamente un modelo sincronizado de actividad nerviosa, produciendo un movimiento sincronizado para la locomoción de animales.

El CPG es capaz de modelar funcionalmente las estructuras neuronales dedicadas a

generar y controlar la locomoción animal [3] [7] [29]. Un punto clave es diseñar apropiadamente la dinámica básica para un sistema análogo a dichas estructuras, el cual sea capaz de producir señales que cualitativamente corresponda a la dinámica neurológica. Una comparación directa entre las propiedades de las señales neuronales y algunos modelos matemáticos de la dinámica espaciotemporal muestran que las señales que se propagan a través de neuronas vivas son oscilantes [1] [2] [16].

En la siguiente sección y después de haber expuesto los principios y fundamentos de las

neuronas biológicas, se abordarán las características de las redes neuronales artificiales, que servirán de base para el estudio y el diseño del controlador neuronal analógico.

2.2.- Características de las redes neuronales artificiales.

Hay muchos tipos de Redes Neuronales Artificiales, algunas de las cuales están más acordes con las teorías modernas de circuitos de redes neuronales que otras. Todas ellas son similares en el sentido de que ellas usan unidades individuales configuradas de acuerdo al tipo de tarea que la red supuestamente va a aprender.

La información que se presenta en este apartado, así como la del apartado 2.3 se

sustenta en las referencias [12] y [20]. En todo modelo artificial de neurona se tienen cuatro elementos básicos: a).- Un conjunto de conexiones, pesos o sinapsis que determinan el comportamiento de la neurona. Estas conexiones pueden ser excitadoras (presentan un signo positivo), o inhibidoras (conexiones negativas). b).- Un sumador que se encarga de sumar todas las entradas multiplicadas por las respectivas sinapsis. c).- Una función de activación no lineal para limitar la amplitud de la salida de la neurona. d).- Un umbral exterior que determina el umbral por encima del cual la neurona se activa. Esquemáticamente, una neurona artificial quedaría representada por la Figura 2.6:


18

Figura 2.6.- Esquema de un modelo neuronal.

Los elementos básicos comentados anteriormente se pueden conectar entre sí para dar

lugar a las estructuras neuronales o modelos conexionistas que podríamos clasificar de diferentes formas según el criterio usado [21]. Clasificación: Según el número de capas

Redes neuronales monocapas. Es la red neuronal más sencilla ya que se tiene una capa de neuronas que proyectan las entradas a una capa de neuronas de salida donde se realizan diferentes cálculos. La capa de entrada, por no realizar ningún cálculo, no se cuenta; de ahí el nombre de redes neuronales con una sola capa. Una aplicación típica de este tipo de redes es como memorias asociativas.

Redes neuronales multicapa. Las redes multicapa son aquellas que disponen de

conjuntos de neuronas agrupadas en varios niveles o capas. En estos casos, una forma para distinguir la capa a la que pertenece una neurona, consistiría en fijarse en el origen de las señales que recibe a la entrada y el destino de la señal de salida. Normalmente, todas las neuronas de una capa reciben señales de entrada de otra capa anterior, más cercana a la entrada de la red, y envían las señales de salida a una capa posterior, más cercana a la salida de la red. A estas conexiones se les denomina conexiones hacia delante o feedforward.

Sin embargo, en un gran número de estas redes también existe la posibilidad de

conectar las salidas de las neuronas de capas posteriores a las entradas de las capas anteriores, a estas conexiones se les denomina conexiones hacia atrás o feedback.

Estas dos posibilidades permiten distinguir entre dos tipos de redes con múltiples capas:

las redes con conexiones hacia adelante o redes feedforward, y las redes que disponen de conexiones tanto hacia delante como hacia atrás o redes feedforward/feedback. Clasificación: Según el tipo de conexiones

Redes neuronales no recurrentes. En esta red la propagación de las señales se produce en un sentido solamente, no existiendo la posibilidad de realimentaciones. Lógicamente estas estructuras no tienen memoria.

2.2.1.- MECANISMO DE APRENDIZAJE

19

Redes neuronales recurrentes. Esta red viene caracterizada por la existencia de lazos de realimentación. Estos lazos pueden ser entre neuronas de diferentes capas, neuronas de la misma capa o, más sencillamente, entre una misma neurona. Esta estructura recurrente la hace especialmente adecuada para estudiar la dinámica de sistemas no lineales. Clasificación: Según el grado de conexión

Redes neuronales totalmente conectadas. En este caso todas las neuronas de una capa se encuentran conectadas con las de la capa siguiente (redes no recurrentes) o con las de la anterior (redes recurrentes).

Redes parcialmente conectadas. En este caso no se da la conexión total entre neuronas

de diferentes capas.

2.2.1.- Mecanismo de aprendizaje.

El aprendizaje es el proceso por el cual una red neuronal modifica sus pesos en respuesta a una información de entrada. Los cambios que se producen durante el proceso de aprendizaje se reducen a la destrucción, modificación y creación de conexiones entre las neuronas. En los sistemas biológicos existe una continua creación y destrucción de conexiones. En los modelos de redes neuronales artificiales, la creación de una nueva conexión implica que el peso de la misma pasa a tener un valor distinto de cero. De la misma forma, una conexión se destruye cuando su peso pasa a ser cero.

Durante el proceso de aprendizaje, los pesos de las conexiones de la red sufren

modificaciones, por tanto se puede afirmar que este proceso ha terminado (la red ha aprendido) cuando los valores de los pesos permanecen estables (dw/dt=0).

Un aspecto importante respecto al aprendizaje en las redes neuronales es el conocer

como se modifican los valores de los pesos, es decir, cuáles son los criterios que se siguen para cambiar el valor asignado a las conexiones cuando se pretende que la red aprenda una nueva información.

Estos criterios determinan lo que se conoce como la regla de aprendizaje de la red. De

forma general, se suelen considerar dos tipos de reglas: las que responden a lo que habitualmente se conoce como aprendizaje supervisado, y correspondientes a un aprendizaje no supervisado.

Es por ello por lo que una de las clasificaciones que se realizan de las redes neuronales

obedece al tipo de aprendizaje utilizado por dichas redes. Así se pueden distinguir: - Redes neuronales con aprendizaje supervisado. - Redes neuronales con aprendizaje no supervisado.


20

La diferencia fundamental entre ambos tipos estriba en la existencia o no de un agente externo (supervisor) que controle el proceso de aprendizaje de la red.

Otro criterio que se puede utilizar para diferenciar las reglas de aprendizaje se basa en considerar si la red puede aprender durante su funcionamiento habitual o si el aprendizaje supone la desconexión de la red; es decir su inhabilitación hasta que el proceso termine. En el primer caso, se trataría de un aprendizaje ON LINE, mientras que el segundo es lo que se conoce como aprendizaje OFF LINE.

Cuando el aprendizaje es OFF LINE, se distingue entre una fase de aprendizaje o entrenamiento y una fase de operación o funcionamiento, existiendo un conjunto de datos de entrenamiento y un conjunto de datos de prueba que serán utilizados en la correspondiente fase. En las redes con aprendizaje OFF LINE, los pesos de las conexiones permanecen fijos después que termina la etapa de entrenamiento de la red. Debido precisamente a su carácter estático, estos sistemas no presentan problemas de estabilidad en su funcionamiento.

En las redes con aprendizaje ON LINE no se distingue entre fase de entrenamiento y de

operación, de tal forma que los pesos varían dinámicamente siempre que se presente una nueva información al sistema. En este tipo de redes, debido al carácter dinámico de las mismas, el estudio de la estabilidad suele ser un aspecto fundamental de estudio.

2.2.2.- Redes con aprendizaje supervisado

El aprendizaje supervisado se caracteriza porque el proceso de aprendizaje se realiza mediante un entrenamiento controlado por un agente externo (supervisor, maestro) que determina la respuesta que debería generar la red a partir de una entrada determinada. El supervisor comprueba la salida de la red y en el caso de que esta no coincida con la deseada, se procederá a modificar los pesos de las conexiones, con el fin de conseguir que la salida obtenida se aproxime a la deseada.

En este tipo de aprendizaje se suelen considerar, a su vez, tres formas de llevado a cabo

que dan lugar a los siguientes aprendizajes supervisados: - Aprendizaje por corrección de error. - Aprendizaje por refuerzo. - Aprendizaje estocástico.

2.2.3.- Redes con aprendizaje no supervisado

Las redes con aprendizaje no supervisado (también conocido como auto-supervisado) no requieren influencia externa para ajustar los pesos de las conexiones entre sus neuronas. La red no recibe ninguna información por parte del entorno que le indique si la salida

2.2.3.- REDES CON APRENDIZAJE NO SUPERVISADO

21

generada en respuesta a una determinada entrada es o no correcta; por ello, suele decirse que estas redes son capaces de auto-organizarse.

Estas redes deben encontrar las características, regularidades, correlaciones o categorías que se puedan establecer entre los datos que se presenten en su entrada. Puesto que no hay un supervisor que indique a la red la respuesta que debe generar ante una entrada concreta, cabría preguntarse precisamente que es lo que la red genera en estos casos. Existen varias posibilidades en cuanto a la interpretación de la salida de estas redes, que dependen de su estructura y del algoritmo de aprendizaje empleado.

En algunos casos, la salida representa el grado de familiaridad o similitud entre la

información que se le esta presentando en la entrada y las informaciones que se le han mostrado hasta entonces (en el pasado). En otro caso, podría realizar una clusterización (clustering) o establecimiento de categorías, indicando la red a la salida a que categoría pertenece la información presentada a la entrada, siendo la propia red quien debe encontrar las categorías apropiadas a partir de correlaciones entre las informaciones presentadas. Una variación de esta categorización es el prototipado. En este caso, la red obtiene ejemplares o prototipos representantes de las clases a las que pertenecen las informaciones de entrada.

También el aprendizaje sin supervisión permite realizar una codificación de los datos de

entrada, generando a la salida una versión codificada de la entrada, con menos bits, pero manteniendo la información relevante de los datos.

Finalmente, algunas redes con aprendizaje no supervisado lo que realizan es un mapeo

de características (feature mapping), obteniéndose en las neuronas de salida una disposición geométrica que representa un mapa topográfico de las características de los datos de entrada, de tal forma que si se presentan a la red informaciones similares, siempre sean afectadas neuronas de salida próximas entre sí en la misma zona del mapa.

En cuanto a los algoritmos de aprendizaje no supervisado, en general se suelen

considerar dos tipos que dan lugar a los siguientes aprendizajes: - Aprendizaje hebbiano. - Aprendizaje competitivo y cooperativo.

En el primer caso, normalmente se pretende medir la familiaridad o extraer características de los datos de entrada, mientras que el segundo suele orientarse hacia la clusterización o clasificación de dichos datos.


22

2.3.- Principales tipos de redes neuronales artificiales

2.3.1.- El Perceptrón

Este fue el primer modelo de la red neuronal artificial desarrollado por Rosenblatt en 1958. Despertó un enorme interés en los años sesenta, debido a su capacidad para aprender a reconocer patrones sencillos: un Perceptrón, formado por varias neuronas lineales para recibir las entradas a la red y una neurona de salida, es capaz de decidir cuándo una entrada presentada a la red pertenece a una de las dos clases que es capaz de reconocer.

La única neurona de salida del Perceptrón realiza la suma ponderada de las entradas,

resta el umbral y pasa el resultado a una función de transferencia de tipo escalón. La regla de decisión es responder +1 si el patrón presentado pertenece a la clase A, o -1 si e1 patrón pertenece a la clase B (Figura 2.7). La salida dependerá de la entrada neta (suma de las entradas xi ponderadas) y del valor umbral θi.

Figura 2.7.- El Perceptrón.

Una técnica utilizada para analizar el comportamiento de redes como el Perceptrón es

representar en un mapa las regiones de decisión creadas en el espacio multidimensional de entradas a la red. En estas regiones se visualiza que patrones pertenecen a una clase y cuales a otra. EI Perceptrón separa las regiones por un hiperplano cuya ecuación queda determinada por los pesos de las conexiones y el valor umbral de la función de activación de la neurona. En este caso, los valores de los pesos pueden fijarse o adaptarse utilizando diferentes algoritmos de entrenamiento de la red.

Sin embargo, el Perceptrón, al constar sólo de una capa de entrada y otra de salida con

una única neurona, tiene una capacidad de representación bastante limitada. Este modelo sólo es capaz de discriminar patrones muy sencillos, linealmente separables. El caso mas conocido es la imposibilidad del Perceptrón de representar la función OR-EXCLUSIVA.

2.3.2.- LAS REDES ADALINE Y MADALINE

23

La separabilidad lineal limita a las redes con sólo dos capas a la resolución de problemas en los cuales el conjunto de puntos (correspondientes a los valores de entrada) sean separables geométricamente. En el caso de dos entradas, la separación se lleva a cabo mediante una línea recta. Para tres entradas, la separación se realiza mediante un plano en el espacio tridimensional, y así sucesivamente hasta el caso de N entradas, en el cual el espacio N-dimensional es dividido en un hiperplano. Regla de aprendizaje del Perceptrón.

El algoritmo de aprendizaje del Perceptrón es de tipo supervisado, lo cual requiere que sus resultados sean evaluados y se realicen las oportunas modificaciones del sistema si fuera necesario. Los valores de los pesos pueden determinar, como se ha dicho, el funcionamiento de la red; estos valores se pueden fijar o adaptar utilizando diferentes algoritmos de entrenamiento de la red. Se pueden usar Perceptrones como máquinas universales de aprendizaje. Desgraciadamente, no puede aprender a realizar todo tipo de clasificaciones: en realidad, sólo se pueden aprender clasificaciones. Esta limitación se debe a que un Perceptrón usa un separador lineal como célula de decisión, con lo cual no es posible realizar sino una sola separación lineal (por medio de un hiperplano).

2.3.2.- Las redes ADALINE y MADALINE.

Las redes ADALINE (ADAptive LINear Element) y MADALINE (Multiple ADALINE) fueron desarrolladas por Bernie Widrow en la Universidad de Stanford poco después de que Rosenblatt desarrollara el Perceptrón. Las arquitecturas de ADALINE y MADALINE son esencialmente las mismas que las del Perceptrón. Ambas estructuras usan neuronas con funciones de transferencia esca1ón. La red ADALINE esta limitada a una única neurona de salida, mientras que MADALINE puede tener varias. La diferencia fundamental respecto al Perceptrón se refiere al mecanismo de aprendizaje. ADALINE y MADALINE utilizan la denominada regla Delta de Hidrow-Hoff o algoritmo de mínimos cuadrados (LMS), basada en la búsqueda del mínimo de una expresión del error entre la salida deseada y la salida lineal obtenida antes de aplicarle la función de activación esca1ón (frente a la salida binaria utilizada en el caso del Perceptrón). Debido a esta nueva forma de evaluar el error, estas redes pueden procesar información ana1ógica, tanto de entrada como de salida, utilizando una función de activación lineal o sigmoidal.

En cuanto a la estructura de la red ADALINE, que es casi idéntica a la del Perceptrón

elemental, sus autores la consideran formada por un elemento denominado combinador lineal adaptable (ALC), que obtiene una salida lineal (s) que puede ser aplicada a otro elemento de conmutación bipolar, de forma que si la salida del ALC es positiva, la salida de la red ADALINE es +1; si la salida del ALC es negativa, entonces la salida de la red ADALINE es -1 (Figura 2.8).


24

Figura 2.8.- Estructura de la red ADALINE, compuesta por un combinador adaptativo

lineal y una función de salida bipolar.

Las redes ADALINE y MADALINE utilizan un aprendizaje OFF-LINE con supervisión denominado LMS (Least Mean Squared) o algoritmo de mínimos cuadrados. También se conoce como regla delta porque trata de minimizar una delta o diferencia entre el valor observado y el deseado en la salida de la red; como ocurre con el Perceptrón, sólo que ahora la salida considerada es el valor previo a la aplicación de la función de activación de la neurona o, si se prefiere, la salida obtenida al aplicar una función de activación lineal. La red MADALINE.

La red MADALINE (Multiple ADALINE) surge como una combinación de módulos ADALINE básicos en una estructura de capas que supera algunas de las limitaciones de la red ADALINE original (Figura 2.9).

Figura 2.9.- Forma general de una red neuronal tipo MADALINE.

2.3.3.- LA RED BACKPROPAGATION

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El entrenamiento de estas redes no puede ser el mismo que el de la red ADALINE. El algoritmo LMS podría aplicarse a la capa de salida, puesto que conocemos el vector de salida deseado para cada una de las tramas de entrada de entrenamiento. Sin embargo, lo que se desconoce es la salida deseada para los nodos de cada una de las capas ocultas. Además, el algoritmo LMS funciona para las salidas lineales (analógicas) del combinador adaptativo y no para las digitales de ADALINE. La forma de aplicar las ideas del algoritmo LMS para entrenar una estructura tipo MADALINE pasa por sustituir la función de salida por una función continua derivable (la función umbral es discontinua en 0 y, por lo tanto, no derivable en ese punto).

2.3.3.- La red BACKPROPAGATION.

En 1986, Rimel Hall, Hinton y Williams, basándose en los trabajos de otros investigadores formalizaron un método para que una red neuronal aprendiera la asociación que existe entre los patrones de entrada a la misma y las clases correspondientes, utilizando más niveles de neuronas que los que utilizó Rosenblatt para desarrollar el Perceptrón. Este método, conocido en general como backpropagation (propagación del error hacia atrás), está basado en la generalización de la regla delta y, a pesar de sus propias limitaciones, ha ampliado de forma considerable el rango de aplicaciones de las redes neuronales.

El algoritmo de propagación hacia atrás, o retropropagación, es una regla de aprendizaje

que se puede aplicar en modelos de redes con más de dos capas de células. Una característica importante de este algoritmo es la representación interna del conocimiento que es capaz de organizar en la capa intermedia de las células para conseguir cualquier correspondencia entre la entrada y la salida de la red.

De forma simplificada, el funcionamiento de una red backpropagation (back

propagation net, BPN) consiste en un aprendizaje de un conjunto predefinido de pares de entradas-salidas dados como ejemplo, empleando un ciclo propagación-adaptación de dos fases: primero se aplica un patrón de entrada como estímulo para la primera capa de las neuronas de la red, se va propagando a través de todas las capas superiores hasta generar una salida, se compara el resultado obtenido en las neuronas de salida con la salida que se desea obtener y se calcula un valor del error para cada neurona de salida. A continuación, estos errores se transmiten hacia atrás, partiendo de la capa de salida, hacia todas las neuronas de la capa intermedia que contribuyan directamente a la salida, recibiendo el porcentaje de error aproximado a la participación de la neurona intermedia en la salida original. Este proceso repite, capa por capa, hasta que todas las neuronas de la red hayan recibido un error que describa su aportación relativa al error total. Basándose en el valor del error recibido, se reajustan los pesos de conexión de cada neurona, de manera que en la siguiente vez que se presente el mismo patrón, la salida esté más cercana a la deseada; es decir, el error disminuya.

La importancia de la red backpropagation consiste en su capacidad de auto-adaptar los

pesos de las neuronas de las capas intermedias para aprender la relación que existe entre un conjunto de patrones dados como ejemplo y sus salidas correspondientes. Para poder


26

aplicar esa misma relación, después del entrenamiento, a nuevos vectores de entrada con ruido o incompletas, dando un salida activa si la nueva entrada es parecida a las presentadas durante el aprendizaje. Esta característica importante, que se exige a los sistemas de aprendizaje, es la capacidad de generalización, entendida como la facilidad de dar salidas satisfactorias a entradas que el sistema no ha visto nunca en su fase de entrenamiento. La red debe encontrar una representación interna que le permita generar las salidas deseadas cuando se le dan las entradas de entrenamiento, y que pueda aplicar, además, a entradas no presentadas durante la etapa de aprendizaje para clasificarlas según las características que compartan con los ejemplos de entrenamiento. Estructura y aprendizaje de la red backpropagation.

En una red backpropagation existe una capa de entrada con N neuronas y una capa de salida con M neuronas y al menos una capa oculta de neuronas internas. Cada neurona de una capa (excepto las de entrada) recibe entradas de todas las neuronas de la capa anterior y envía su salida a todas las neuronas de la capa posterior (excepto las de salida). No hay conexiones hacia atrás feedback ni laterales entre neuronas de la misma capa (Figura 2.10). Como se comentó anteriormente, la aplicación del algoritmo backpropagation tiene dos fases, una hacia adelante y otra hacia atrás. Durante la primera fase el patrón de entrada es presentado a la red y propagado a través de las capas hasta llegar a la capa de salida. Obtenidos los valores de salida de la red, se inicia la segunda fase, comparándose estos valores con la salida esperada para obtener el error. Se ajustan los pesos de la última capa proporcionalmente al error. Se pasa a la capa anterior con una retropropagación del error (backpropagation), ajustando convenientemente los pesos y continuando con este proceso hasta llegar a la primera capa. De esta manera se han modificado los pesos de las conexiones de la red para cada ejemplo o patrón de aprendizaje del problema, del que conocíamos su valor de entrada y la salida deseada que debería generar la red ante dicho patrón.

Figura 2.10.- Modelo de arquitectura de una red backpropagation.

2.3.4.- EL MODELO DE HOPFIELD

27

A diferencia de la regla delta en el caso del Perceptrón, la técnica backpropagation o generalización de la regla delta, requiere el uso de neuronas cuya función de activación sea continua, y por tanto, diferenciable. Generalmente, la función utilizada será del tipo sigmoidal.

2.3.4.- El modelo de Hopfield

Sin duda, uno de los principales responsables del desarrollo que ha experimentado el campo de la computación neuronal ha sido J. Hopfield, quien construyó un modelo de red con el número suficiente de simplificaciones como para poder extraer analíticamente información sobre las características relevantes del sistema, conservando las ideas fundamentales de las redes construidas en el pasado y presentando una serie de funciones básicas de sistemas neuronales reales. Además, Hopfield supo establecer un paralelismo entre su modelo y ciertos sistemas extensamente estudiados en física estadística, lo cual ha permitido aplicar todo un conjunto de técnicas bien conocidas en este campo y, con ello, producir un avance en la comprensión del funcionamiento de las redes neuronales.

Con su aportación, Hopfield redescubrió el mundo casi olvidado de las redes

autoasociativas, caracterizadas por una nueva arquitectura y un nuevo funcionamiento, a las que se tuvo que añadir otro tipo de reglas de aprendizaje. Las consecuencias fueron redes con un comportamiento diferente a las diseñadas con estructura feedforward (ADALINE/MADALINE, PERCEPTRÓN, etc.).

El modelo de Hopfield (Figura 2.11) consiste en una red monocapa con N neuronas

cuyos valores de salida son binarios: 0/1 ó -1/+1. En la versión original del modelo (DH: Discrete Hopfield) las funciones de activación de las neuronas eran del tipo escalón. Se trataba, por tanto, de una red discreta, con entradas y salidas binarias; sin embargo, posteriormente Hopfield desarrolló una versión continua con entradas y salidas analógicas, utilizando neuronas con funciones de activación tipo sigmoidal (CH: Continous Hopfield).

Cada neurona de la red se encuentra conectada a todas las demás (conexiones laterales),

pero no consigo misma (no existen conexiones autorrecurrentes). Además, los pesos asociados a las conexiones entre pares de neuronas son simétricos. Esto significa que el peso de la conexión de una neurona i con otra neurona j es de igual valor que el de la conexión de la neurona j con la i (Wij = Wji).

La versión discreta de esta red fue ideada para trabajar con valores binarios -1 y +1

(aunque mediante un ajuste en los pesos pueden utilizarse en su lugar valores 1 y 0). Por lo tanto, la función de activación de cada neurona (i) de la red (f(x)) es de tipo escalón.


28

Figura 2.11.- Red Hopfield.

2.3.5.- El modelo de Kohonen

Existen evidencias que demuestran que en el cerebro hay neuronas que se organizan en muchas zonas, de forma que las informaciones captadas del entorno a través de los órganos sensoriales se representan internamente en forma de mapas bidimensionales. Por ejemplo, en el sistema visual se han detectado mapas del espacio visual en zonas del córtex (capa externa del cerebro). También en el sistema auditivo se detecta una organización según la frecuencia a la que cada neurona alcanza la mayor respuesta (organización tonotópica).

Aunque en gran medida esta organización neuronal esta predeterminada genéticamente,

es probable que parte de ella se origine mediante el aprendizaje. Esto sugiere, por tanto, que el cerebro podría poseer la capacidad inherente de formar mapas topológicos de las informaciones recibidas del exterior. De hecho, esta teoría podría explicar su poder de operar con elementos semánticos: algunas áreas del cerebro simplemente podrían crear y ordenar neuronas especializadas o grupos con características de alto nivel y sus combinaciones. Se trataría, en definitiva, de construir mapas espaciales para atributos y características.

A partir de estas ideas, T. Kohonen presentó en 1982 un sistema con un

comportamiento semejante. Se trataba de un modelo de red neuronal con capacidad para formar mapas de características de manera similar a como ocurre en el cerebro. El objetivo de Kohonen era demostrar que un estímulo externo (información de entrada) por sí solo, suponiendo una estructura propia y una descripción funcional del comportamiento de la red, era suficiente para forzar la formación de los mapas.

Este modelo tiene dos variantes, denominadas LVQ (Learning Vector Quantization) y

TPM (Topology-Preserving Map) o SOM (Self-Organizing Map). Ambas se basan en el principio de formación de mapas topológicos para establecer características comunes entre las informaciones (vectores) de entrada a la red, aunque difieren en las dimensiones de estos, siendo de una sola dimensión en el caso de LVQ, y bidimensional e incluso tridimensional, en la red TPM.

2.4.- REDES NEURONALES CELULARES

29

2.4.- Redes Neuronales Celulares

Los circuitos analógicos han jugado un papel importante en el desarrollo de nueva tecnología. Aún en nuestra era digital, los circuitos analógicos todavía dominan tales campos como las comunicaciones, la potencia, el control automático, electrónica de audio y video debido a sus capacidades de procesamiento de señales en tiempo real.

Los métodos de convencionales de computación han topado con un cuello de botella en

lo que a velocidad se refiere debido a su naturaleza serial. Para vencer este problema, se han propuesto las redes neuronales analógicas, las cuales están basadas en algunos aspectos de neurobiología y adaptado a circuitos integrados. Las características claves de las redes neuronales son el procesamiento paralelo asíncrono, dinámica de tiempo continuo y una interacción global entre los componentes de la red. Algunas de estas características son prometedoras en aplicaciones de redes neuronales para varios campos de aplicación tales como la optimización, la programación lineal y no lineal, memoria asociativa, patrones de reconocimiento y visión computacional.

Una arquitectura novedosa es la de un circuito llamado Red Neuronal Celular (Cellular

Neural Network), la cual posee algunas de las características claves de las redes neuronales y la cual tiene potencial aplicación en áreas tales como el procesamiento de imágenes y patrones de reconocimiento.

En esta tesis no es evidente el potencial de las redes analógicas sobre las digitales, ya

que la red a utilizar constará únicamente de dos neuronas; no obstante, en otras aplicaciones de control con este tipo de redes donde el número de neuronas involucradas sea mayor y, por consiguiente, el modelo de la red neuronal sea de orden superior, las redes neuronales analógicas tendrán un potencial mucho mayor frente a las digitales, en el sentido de entregar una respuesta instantánea en tiempo real.

2.4.1.- Autowaves y Turing patterns.

El término autowave significa “autonomous waves (ondas autónomas)”. Ellas representan una clase particular de ondas no lineales que se propagan sin necesidad de una función que las obligue en medios activos fuertemente no lineales. Las ondas autónomas poseen algunas características típicas, diferentes a las características de las ondas comunes en los sistemas conservativos. Su forma permanece constante durante la propagación. Dichas ondas pueden ser artificialmente generadas sí una estructura es diseñada para reproducirlas [46].

La generación de potenciales eléctricos puede también ser modelado utilizando los

llamados Turing patterns (patrones Turing), usualmente encontrados en la reacción y difusión de productos químicos. Estos patrones están íntimamente ligados a la naturaleza bioeléctrica de la neurona biológica [46].


30

Para el diseño de circuitos capaces de reproducir tales dinámicas, se pone particular atención en las Redes Neuronales Celulares, las cuales son descritas a continuación.

2.5.- Arquitectura de las Redes Neuronales Celulares.

La unidad básica de una red celular neuronal es llamada célula. Esta contiene elementos de circuitos lineales y no lineales, los cuales típicamente son capacitores lineales, resistores lineales, fuentes controladas no lineales y fuentes independientes. La estructura de una red neuronal celular es similar a la encontrada en un autómata celular; a saber, cualquier célula en una red neuronal celular está conectada sólo a sus células vecinas. Las células adyacentes pueden interactuar directamente con cada una de las otras. Las células que no están directamente conectadas pueden afectar a cada una de las otras indirectamente debido a los efectos de propagación de la dinámica de tiempo continuo de las redes neuronales celulares [1] [2] [8] [10] [9]. Un ejemplo de una red neuronal celular de dos dimensiones es mostrada en la Figura 2.12.

Figura 2.12.- Una red neuronal celular de dos dimensiones. El tamaño del circuito es de 4x4. Los cuadrados son las unidades llamadas células. Las conexiones entre las células

indican que hay interacción entre las células conectadas.

Considere una red neuronal celular M x N, teniendo un arreglo de células M x N en M filas y N columnas. Llamaremos a la célula de la fila i y de la columna j célula (i,j), y la denotaremos como C(i,j) como en la Figura 2.12. Ahora vamos a definir que queremos decir por una vecindad de C(i,j). Definición.- r-vecindad La r-vecindad de la célula C(i,j), en una red neuronal celular es definida mediante

( , ) ( , ) max , ,1 ;1 rN i j C k l k i l j r k M l N= − − ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ (2.6)

Donde r es un entero positivo

La Figura 2.13 muestra tres vecindades de la misma célula (localizada en el centro y mostrada en sombreado) con r = 1, 2 y 3 respectivamente. Usualmente, nosotros llamamos

2.5.- ARQUITECTURA DE LAS REDES NEURONALES CELULARES

31

al vecindario r =1 un “vecindario de 3x3”, al vecindario r =2 un “vecindario de 5x5” y al vecindario r =3 un “vecindario de 7x7”. Es fácil mostrar que el arreglo definido arriba exhibe una propiedad de simetría en el sentido de que si ( , ) ( , )rC i j N k l∈ , entonces

( , ) ( , )rC k l N i j∈ para toda ( , )C i j y ( , )C k l en la red neuronal celular.

Figura 2.13.- La vecindad de la célula ( , )C i j definida en (2.6) por r = 1, r = 2, r = 3,

respectivamente.

Un ejemplo típico de la célula ( , )C i j de una red neuronal celular es mostrado en la figura 2.14, donde los sufijos u, x, y y denotan la entrada, el estado y la salida respectivamente. El nodo de voltaje vxij de ( , )C i j es llamado el estado de la célula y su condición inicial es asumida a una magnitud menor o igual a 1. El nodo de voltaje vyij es llamada la salida.

Figura 2.14.- Un ejemplo del circuito de una célula [1] [2] [8] [10] [9].

Se observa de la Figura 2.14 que cada célula ( , )C i j contiene una fuente de voltaje

independiente Eij, una fuente de corriente I, un capacitor lineal C, dos resistores Rx y Ry, y a lo más 2m fuentes de corriente controladas por voltaje las cuales están acopladas a las células vecinas vía la entrada de voltaje controlada vukl y la realimentación de la salida de voltaje vykl de cada célula vecina ( , )C k l donde m es igual al número de células vecinas. En particular, ( , ; , )xyI i j k l y ( , ; , )xuI i j k l son fuentes de corriente controladas por voltaje con las características ( , ; , ) ( , ; , )xy yklI i j k l A i j k l v= y ( , ; , ) ( , ; , )xu uklI i j k l B i j k l v= para todas

( , ) ( , )rC i j N k l∈ . El único elemento no lineal en cada célula es una fuente de corriente controlada por voltaje (1/ ) ( )xy y xijI R f v= con características f(.) como se muestra en la Figura 2.15.


32

1( ) 1 12

f v v v= + − −

Figura 2.15.- Características de la fuente no lineal controlada.

Todas las fuentes de corriente lineales y no lineales usadas en una red neuronal celular pueden ser realizadas fácilmente utilizando amplificadores operacionales [1] [2] [8] [10] [9].

Aplicando la LCK y la LVK, las ecuaciones del circuito de la célula pueden ser

deducidas como se muestra a continuación. Ecuación de estado

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( ) 1 ( , ; , ) ( ) ( , ; , ) ( )

1 ;1r r

xijxij ykl ukl

C i j N k l C i j N k lx

dv tC v A k l i j v t B k l i i v t I

dt Ri M j N

∈ ∈

= − + + +

≤ ≤ ≤ ≤

∑ ∑

(2.7) Ecuación de salida

( )1( ) ( ) 1 ( ) 12

1 ;1

yij xij xijv t v t v t

i M j N

= + − −

≤ ≤ ≤ ≤

(2.8) Ecuación de entrada

1 ;1uijv Eij

i M j N

=

≤ ≤ ≤ ≤

(2.9)

2.6.- MODELO DE UNA RED NEURONAL CELULAR DE DOS CAPAS

33

Restricciones

(0) 1, 1 ;1xijv i M j N≤ ≤ ≤ ≤ ≤

1, 1 ;1uijv i M j N≤ ≤ ≤ ≤ ≤ (2.10)

Suposiciones de parámetros

( , ; , ) ( , ; , )1 , ;1 ,A i j k l A k l i j

i k M j l N=

≤ ≤ ≤ ≤

0, 0xC R> >

(2.11)

Algo importante a resaltar es que la dinámica de la red neuronal celular tiene retroalimentación de salidas y mecanismos de control en la entrada. El efecto de la realimentación de la salida depende de los parámetros interactivos ( , ; , )A i j k l y el efecto de la entrada de control depende de ( , ; , )B i j k l . Por consiguiente, es conveniente referirse a

( , ; , )A i j k l como un operador de realimentación y a ( , ; , )B i j k l como un operador de control [46].

2.6.- Modelo de una Red Neuronal Celular de dos capas

La dinámica básica de una Red Neuronal Celular de dos capas para generar ondas autónomas y patrones Turing es un sistema de segundo orden definido como:

1, 1, 1, 2, 1

2, 2, 2, 1, 2

(1 )

(1 )ij ij ij ij

ij ij ij ij

x x y sy i

x x y sy i

µ

µ

= − + + − +

= − + + − +

(2.12) Donde

( ), , ,0.5 1 1k ij k ij k ijy x x= + − −

(2.13) Con 1,2, ,i M= … 1, 2, ,j N= … y 1, 2k =

El modelo de estados de la Ec. (2.12) de la nueva Red Neuronal Celular de dos capas con las matrices de coeficientes constantes es definida como:

* *ij ij ij ijx x A y B u I= − + + + (2.14)


34

Donde 1; , 2; ,

T

ij i j i jx x x = , 1; , 2; ,

T

ij i j i jy y y = y 1; , 2; ,

T

ij i j i ju u u = son los estados, la salida y la entrada de la Red Neuronal Celular respectivamente, mientras A, B y I son la retroalimentación, el control y la matriz de coeficientes de bias respectivamente.

El comportamiento de la Red Neuronal Celular está dictado básicamente por las matrices de coeficientes. Sin embargo, la elección de las matrices de coeficientes que son adecuadas para lograr una tarea específica es difícil de lograr en una forma directa [47].

Figura 2.16.- Implementación de una Red Neuronal Celular de dos capas generadora de

ondas autónomas mediante amplificadores operacionales.

Esto conduce al llamado aprendizaje y diseño del problema. El término diseño se refiere a cuando una tarea específica puede ser traducida en un conjunto de reglas dinámicas, mientras que el termino aprendizaje es usado cuando las matrices de coeficientes necesitan ser obtenidas mediante técnicas de aprendizaje, de esta manera, pares de entradas y salidas deben de corresponder. Algunos resultados han sido obtenidos con

2.7.- ANÁLISIS DE LAS REDES NEURONALES CELULARES

35

Redes Neuronales Celulares discretas, pero esto es un problema difícil para modelos en tiempo continuo. La mayoría de las matrices de coeficientes actualmente disponibles han sido obtenidas mediante principios intuitivos y se han refinado a prueba y error con la ayuda de simuladores.

Si se observa la ecuación (2.12) se puede apreciar que existen básicamente dos parámetros µ y s . Una técnica para analizar el impacto de dichos parámetros es tomando un intervalo de valores para ambos y realizar una simulación donde se pueda apreciar el comportamiento de la salida de la célula en relación a ambos parámetros [12]. La Figura 2.16 ilustra una Red Neuronal Celular generadora de ondas autónomas.

La respuesta de esta red se obtuvo a través de la simulación tanto en PSPICE v9.2 como de Simulink en MatLab 7 . Tales gráficas son mostradas a continuación.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

Figura 2.17.- Gráfica de las ondas autónomas generadas por el circuito en simulación en

Simulink (izquierda) y en PSPICE (derecha).

2.7.- Análisis de las Redes Neuronales Celulares

Se tomó información de los artículos de base relacionados con las Redes Neuronales Celulares [1] [2] [8] [9] [10], con la cual se pudo realizar análisis diversos, así como simulaciones las cuales llevaron a conclusiones preliminares.

Como ya se trató en el punto anterior, el circuito de la Red Neuronal Celular de la

Figura 2.16 genera oscilaciones periódicas que dependen directamente del valor de las resistencias y de los capacitores con que se construya. Una de las hipótesis primarias es que estas oscilaciones son periódicas, las cuales deben su dinámica de amplitud y frecuencia al parámetro A (Ec. 2.14) y podrán ser controladas variando el parámetro B (Ec. 2.14) y de ésta manera lograr el equilibrio (0° con respecto de la vertical) del péndulo invertido.

Se realizaron simulaciones del circuito anterior utilizando Simulink. Variando los

parámetros µ, s e i12 (Ec. 2.12) obteniendo diferentes resultados de simulaciones.


36

Las gráficas pueden ser observadas en el ANEXO A al final del documento. De las gráficas del ANEXO A se pudo obtener las siguientes observaciones importantes.

El comportamiento dinámico de Red Neuronal Celular está dictado por los parámetros µ, s e i1,2, los cuales al variar sus valores numéricos impactan directamente en la amplitud de la señal, la frecuencia y el ciclo límite de la misma. Algo que se debe resaltar es que los estados X1 y X2, así como sus respectivas salidas tienen un desfasamiento de 70° aproximadamente.

2.8.- Implementación práctica de una Red Neuronal Celular

De la Figura 2.16 se realizó el armado del circuito, tomando los valores de las resistencias y capacitores tal como aparecen en éste; se utilizó el amplificador operacional LM324.

Para poder observar las señales de los estados, X1 y X2, así como las señales de salida

del circuito, se utilizó la tarjeta de adquisición de datos National Instruments PCI 6025E para realizar las mediciones (ver ANEXO B). Las siguientes gráficas experimentales muestran lo expuesto en las líneas anteriores.

Figura 2.18.-Gráfica de los estados X1 y X2 de la Red Neuronal Celular.

2.9.- CONTROL EN UNA RED NEURONAL CELULAR

37

Figura 2.19.- Gráfica de las salidas Y1 y Y2 de la Red Neuronal Celular.

Figura 2.20.- Gráfica de los estados X1 y X2, así como de las salidas Y1 y Y2 de la Red

Neuronal Celular.

Con estas pruebas prácticas se pudieron sustentar de manera contundente las observaciones en relación al impacto que tienen los valores de los parámetros µ, s e i1,2 sobre la dinámica de las señales de la red neuronal celular, tal y como se describió en el apartado 2.6.

2.9.- Control en una Red Neuronal Celular

Retomando de nueva cuenta la Ec. 2.12 de una RNC y habiendo estudiado la dinámica del sistema en relación a sus parámetros µ, s e i12, ahora es el turno de estudiar los efectos del operador de control B en el sistema.


38

El Profesor Leon O. Chua en sus diversos artículos relacionados con las RNC ha utilizado estas redes para resolver problemas que en su mayoría se enfocan al procesamiento de imágenes [9]. Para este fin se introduce a la red la imagen a ser procesada, la cual es una matriz numérica o cloning templates, como la llama el autor. Él asume que para valores de la matriz de -1 corresponde al color blanco, valores de 1 corresponde al color negro y para los valores que están entre -1 y 1 corresponde una escala de grises [9]. El operador de control B lo utiliza de forma que puede lograr diferentes objetivos para un problema en particular asignando coeficientes específicos en la matriz del operador B. Tales problemas prácticos pueden ser los siguientes:

Filtrado de imágenes. Sombreado de imágenes. Detección de movimiento de un objeto en específico [9].

Por otra parte, el Doctor Paolo Arena y el profesor Luigi Fortuna desarrollaron un

nuevo enfoque y nuevas arquitecturas para el control de la locomoción en dispositivos mecánicos, todo esto basado en RNC [46] [47].

Utilizando RNC pudieron crear patrones de caminar para emular el andar de insectos de

varias patas, tales como los cuadrúpedos y hexápodos. Para crear el patrón de caminar sólo es necesario hacer uso del operador de retroalimentación A, o lo que es lo mismo, de los parámetros µ, s e i12 de la Ec. 2.12. Bajo la explicación anterior, el robot de varias patas se desplazara en línea recta y únicamente en una dirección. ¿Pero como lograr que el robot cambie su dirección al momento de desplazarse? La respuesta se encuentra en el operador de control (B) de las redes neuronales celulares.

Arena y Fortuna en sus trabajos orientados al control de la locomoción de hexápodos,

abordan dos maneras de realizar el control de la locomoción de dichos robots. Una de las formas en que controlan la dirección del robot es colocando dos sensores de distancia en la parte frontal [2]. El sensor de la derecha va conectado a la célula que controla la pata central izquierda, mientras que el sensor de la izquierda se conecta a la célula que controla la pata central derecha. Al enfrentarse el dispositivo a un obstáculo, los sensores actúan de manera que el sensor establece el valor de bias y de esta forma inhibe la oscilación de la célula (Figura 2.21) [2].

Figura 2.21.- Inhibición de las oscilaciones de una célula al momento de que el sensor de

distancia entra en operación por la presencia de un obstáculo.

2.10.- OBSERVACIONES IMPORTANTES ACERCA DE LAS RNC

39

Otra variante de este mismo control del hexápodo se presenta al colocar sensores en cada una de las patas, los cuales indican si la pata está o no apoyada sobre el suelo [2]. Esto con la finalidad de que el robot se pueda desplazar por terrenos irregulares.

2.10.- Observaciones importantes acerca de las RNC

Expuestos los puntos anteriores se puede llegar a la conclusión de que la utilización de las Redes Neuronales Celulares del Profesor Leon O. Chua, no son adecuadas para resolver el problema de control del péndulo invertido por las siguientes razones:

Las señales generadas por las células de una neurona (estados y salidas) son oscilantes y

éstas son una excelente alternativa como generador de patrones oscilatorios en diversos problemas tales como la locomoción de robots de múltiples extremidades, el caminar bípedo como tal, el movimiento rítmico de un brazo, etc. Cabe resaltar que para los ejemplos anteriores, éstos se encuentran en constante funcionamiento (caminar de un hexápodo, caminar de un bípedo, brazada de una extremidad superior, etc.) y describiendo al mismo tiempo un patrón oscilatorio.

Otro motivo por el cual el uso de las RNC no son aptas para el control del caso

particular de estudio se sustenta en las gráficas del ANEXO A referentes al comportamiento dinámico de los estados y salidas de la red ante diferentes valores de simulación de los parámetros µ, s e i1,2, los cuales al variarlos numéricamente, éstos impactan en la amplitud de la señal, la frecuencia y el ciclo límite. Se observa del conjunto de gráficas que las frecuencias alcanzadas por esta red son demasiado bajas, del orden de fracciones de hertz. Esto es una limitante muy importante ya que el sistema de péndulo invertido presenta un comportamiento dinámico muy rápido. Por otra parte, el modelo de la RNC nos indica muy claramente su comportamiento dinámico, pero no es evidente el impacto que tienen los parámetros en relación al ángulo de desfasamiento. Esta es otra limitante al momento de querer utilizar dichas señales como señales de control. Por último, debemos de observar las formas de onda de las salidas de la red neuronal celular, ya que conforme los parámetros cambian, éstas presentan una dinámica relativamente distinta para ciertos casos (véase Figura A.2 y Figura A.3 del ANEXO A).

2.11.- Redes Neuronales Nerviosas. ¿Qué es un B.E.A.M.?

B.E.A.M. es una forma de robótica que utiliza principalmente la electrónica clásica, la analógica, ya no tanto a la electrónica digital avanzada. Sus siglas en inglés son Biology, Electronics, Aesthetics and Mechanics. Biología, Electrónica, Estética y Mecánica, es un robot que imita los conceptos de vida de los animales, como los insectos [11]. El creador de esta filosofía es Mark Tilden, a principios de los años noventa. Es un inglés que estudió en Canadá.


40

Todos los circuitos BEAM se basan en lo que llamaremos una Neurona. Esta neurona es similar, pero no exactamente, a una neurona como la que se puede encontrar en un sistema biológico. Una Neurona Nerviosa (Nv) BEAM consiste en un pulso de electricidad desfasado en tiempo que se puede usar como un transmisor de información en un sistema BEAM. El circuito básico de una neurona Nv que funciona como un generador de pulsos fue diseñado por Mark Tilden y es el que se muestra en la Figura 2.22 [11] [51].

Figura 2.22.- El circuito básico de una neurona Nv.

Esta neurona generadora se denomina Core. El circuito está compuesto por un resistor, un capacitor y un inversor. El circuito RC establece el pulso y la frecuencia del circuito. El inversor invierte el voltaje que pasa a través de él. Se denota como Vth el cual indica el umbral de la tensión de inversor (alto a bajo ). Después de un tiempo ( )1 ln /in tht RC V V= , la salida va a pasar a alto. Las salidas de estos elementos son señales oscilatorias de voltaje de onda cuadrada que se pueden utilizar para manejar un motor (Figura 2.23). Es necesario tomar en cuenta que t1 es proporcional a la constante de tiempo RCτ = . Dado que la capacitancia C suele ser siempre la misma, la resistencia es el parámetro que controla el tiempo de duración de la señal [11].

Figura 2.23.- Señales oscilatorias correspondientes a la neurona Nv.

De la Figura 2.23 se observa que la salida de una neurona Nv no puede ser negativa, ya que la compuerta inversora sólo maneja voltajes de 0 y 5 volts. Por lo tanto se necesitan dos neuronas Nv para conducir un único motor hacia adelante y hacia atrás. Las salidas de las dos neuronas se conectan (a través de buffers) a las entradas de un motor y la diferencia de tensión causa que el motor gire en una dirección. Cuando la diferencia de tensión se invierte, la dirección en que gira el motor también se invierte. La forma de las señales de entrada da como resultado el movimiento del motor y por lo tanto (para el caso de un hexápodo) el movimiento de las piernas hacia adelante y hacia atrás en un ritmo que está determinado a la vez por la señales y por los tiempos de duración de los elementos que intervienen en el control del motor.

2.11.- REDES NEURONALES NERVIOSAS

41

Cuando dos neuronas Nv se conectan como se muestra en la Figura 2.24, el circuito se denomina Bicore [51]. Las neuronas forman una estructura de anillo la cual genera un voltaje de salida oscilatorio con un período determinado por los capacitores y las resistencias.

1 2totalτ τ τ= +

en donde:

i i iR Cτ α= ⋅ Donde i= 1,2

(2.15) τ es la constante de tiempo y está determinada por la resistencia R en ohms y la capacitancia C en Faradios; α es una constante, determinada por las características del inversor. A partir de ahora la capacitancia se asumirá constante e igual para todos los capacitores que se utilizarán. Esto no da ninguna restricción ya que las resistencias son las únicas que variarán la constante de tiempo del circuito descrito. Si R1 y R2 son de igual valor, la oscilación tendrá un ciclo de trabajo del 50% y, por tanto, será simétrico (Figura 2.25).

Figura 2.24.- Dos neuronas Nv conectadas en anillo (Bicore).

2.12.- ¿Porque utilizar Redes de Neuronas Nv en lugar de RNC para resolver el problema de control del péndulo invertido? Como ya se mencionó con anterioridad, el péndulo invertido no es un dispositivo que describa una señal oscilante al momento de lograr que existan 0° con respecto de la vertical y se llegó a la conclusión preliminar de que las RNC no son aptas para funcionar como controlador (para este caso en particular), ya que éstas generan señales oscilantes. Sí las neuronas Nv inventadas por Mark Tilden generan ondas oscilantes cuadradas, entonces la pregunta obligada es: ¿Por qué este tipo de redes si son aptas para controlar la vertical de la varilla del péndulo invertido?

Las redes de neuronas Nv generan ondas oscilantes cuadradas que van desde 0 a 5 volts.


42

Estas señales nunca adquieren valores de voltaje negativos. El desfasamiento entre una señal y otra, en el caso de la red neuronal Bicore, es de

180°. La frecuencia de las señales oscilantes va de unos cuantos hertz hasta 1Khz

aproximadamente. Si R1 y R2 son de igual valor en el circuito Bicore, la oscilación tendrá un ciclo de

trabajo del 50% y, por tanto, será simétrico. Dadas las características anteriores, es posible obtener un voltaje promedio (Figura 2.25), el cual puede ser utilizado como señal de error.

Figura 2.25.- Ejemplos de señales oscilantes con ciclos de trabajo diferentes, así como el

voltaje promedio que resulta en cada una de ellas.

43

Capítulo 3 El péndulo invertido

El objetivo de este capítulo es estudiar la dinámica del péndulo invertido sobre un vehículo (al que comúnmente se le denomina péndulo invertido sobre carro), el cual se ha tomado como caso de estudio ya que constituye un banco de pruebas muy interesante dado que es un ejemplo típico de un sistema inestable. De igual manera se deduce su modelo dinámico del péndulo invertido utilizando dinámica Lagrangiana.

Las ecuaciones que rigen el movimiento de sistemas mecánicos complicados, tales

como un robot manipulador, o en este caso, un péndulo invertido, pueden ser expresadas mediante la utilización de ecuaciones de Lagrange. Las ecuaciones diferenciales que resultan de este método son una derivación de las Leyes de movimiento de Newton.

La utilización de este método de modelado es particularmente ventajoso en el sentido

de que éste incorpora de manera global las diferentes partes del sistema que se conectan entre sí, y por consiguiente elimina la necesidad de sustituir un grupo de ecuaciones en otro para eliminar fuerzas y torques, tal y como se llevaría a cabo efectuando el modelado a partir de diagramas de cuerpo libre. Desde que se manejan cantidades escalares (energía cinética y potencial) en lugar de vectores (fuerzas y torques), se ha prescindido de la utilización de diagramas de vectores complicados, los cuales son comúnmente requeridos para definir y resolver cantidades vectoriales en el sistema coordenado apropiado.

En la sección 3.3 se presenta una descripción del péndulo invertido. Dicha sistema se

encuentra físicamente en el laboratorio de control automático del área de electrónica del CENIDET. Finalmente en la sección 3.6 se realiza la validación experimental de la maqueta del péndulo invertido.

3.1.- El sistema de péndulo invertido

El péndulo invertido consiste en una masa sostenida al extremo de una varilla, la cual gira libremente por uno de sus extremos mediante una articulación, la varilla está situada sobre un carro que se mueve sobre una guía rectilínea horizontal bajo la acción de una fuerza F, que es la acción de control con la que se pretende actuar sobre la posición de la varilla (Figura 3.1). Debido a que la aceleración del brazo no puede ser controlada directamente, el péndulo invertido se dice que es un sistema subactuado.

CAPÍTULO 3.- EL PÉNDULO INVERTIDO

44

Figura 3.1.- Péndulo invertido sobre carro.

Como va se mencionó en el Capítulo 1, los péndulos invertidos son una familia de

artefactos que constituyen un banco de pruebas muy completo e interesante para la ingeniería de control. Existen diversos tipos de péndulo invertido como el péndulo con rueda inercial, el acrobot, el pendubot, el doble péndulo invertido, etc., sin embargo en este trabajo de tesis sólo se ocupó el péndulo invertido sobre un carro.

3.2.- Modelo del péndulo invertido sobre carro La siguiente figura muestra el sistema mecánico del péndulo invertido.

Figura 3.2.- Sistema mecánico del péndulo invertido.

3.2.- MODELO DEL PÉNDULO INVERTIDO SOBRE CARRO

45

El modelo dinámico puede ser deducido utilizando dinámica Lagrangiana como se muestra a continuación [50]: La ecuación de Lagrange es expresada en una de sus formas principales como:

, 1, 2,...,ncii i i

d T T V Q i ndt q q q ∂ ∂ ∂

− + = = ∂ ∂ ∂

(3.1)

Donde: T = energía cinética V = energía potencial Qnci = fuerzas no-conservativas generalizadas n = número total de coordenadas generalizadas independientes. Para este caso en particular las coordenadas generalizadas son

1q θ= (ángulo de la varilla)

2q x= (posición del carro) Nota: El movimiento de la varilla es un movimiento planar. La energía cinética de un cuerpo rígido en dos dimensiones dado como:

2 21 1

2 2c cT mv I ω= +

(3.2) Donde:

cv = velocidad del centro de masa c.

cI = momento de inercia de la masa en relación al centro de masa. ω = velocidad angular del cuerpo rígido rotando en relación al centro de masa.

La energía cinética del sistema de péndulo invertido es deducido mediante la suma de las energías cinéticas del carro (T1), de la varilla (T2) y del cuerpo (T2) como se muestra a continuación:

1 2 3T T T T= + + (3.3)

21

12

T Mx=

(3.4)

( )2 2 22 2 2

1 12 2

T m y z Iω= + +


46

2 2

2 2

sin cos2 2

cos sin2 2

L Ly x y x

L Lz z

θ θ θ

θ θ θ

= + = +

= = −

( )2 23 1 1

12 cT m y z= +

(3.5) 1 1

1 1

sin cos

cos sin

y x L y x L

z L z L

θ θ θ

θ θ θ

= + = +

= = −

( ) ( )( )

2 22 2 2

2 2

1 1 1 1cos sin2 2 2 2 2 12

1 cos sin2 c

L LT Mx m x mL

m x L L

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + + − + +

+ + + −

…

…

(3.6)

( )

2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1cos cos sin2 2 4 4 24

1 2 cos cos sin2 c

L LT Mx m x Lx mL

m x Lx L L

θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

= + + + + + +

+ + + +

…

…

(3.7)

2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1cos cos2 2 2 6 2 2c c cT Mx mx mLx mL m x m Lx m Lθ θ θ θ θ θ= + + + + + +

(3.8) La energía potencial está dada como:

2 1cV mgz m gz= +

cos cos2 cLV mg m gLθ θ= +

(3.9) Las fuerzas no-conservativas se expresan de la siguiente manera:

1

2 ( )nc

nc x

Q bQ b x f t

θθ= −= − +

(3.10) Se aplica la ecuación de Lagrange para la coordenada generalizada 1q θ=

3.2.- MODELO DEL PÉNDULO INVERTIDO SOBRE CARRO

47

2 21 1cos cos

2 3 c cT mxL mL m xL m Lθ θ θ θθ∂

= + + +∂

( )( ) ( )( )2 21 1sin cos sin cos2 3 c c

d T mL x x mL m L x x m Ldt

θ θ θ θ θ θ θ θθ∂ = − + + + − + + ∂

2 21 1 1sin cos sin cos

2 2 3 c c cd T mLx mLx mL m Lx m Lx m Ldt

θθ θ θ θ θ θ θθ∂ = − + + − + + ∂

(3.11)

1 sin sin2 c

T mxL m xLθ θ θ θθ∂ − = − − − ∂

(3.12)

sin sin2 c

V Lmg m gLθ θθ∂

= − −∂

(3.13)

1ncd T T V Qdt θ θ θ

∂ ∂ ∂ − + = ∂ ∂ ∂

2 21 1 1sin cos sin cos ...

2 2 31... sin sin sin sin2 2

c c c

c c

mLx mLx mL m Lx m Lx m L

LmxL m xL mg m gL bθ

θθ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ

− + + − + + +

+ + − − = −

2 21 1cos cos sin sin

2 3 2c c cLmLx mL m Lx m L mg m gL bθθ θ θ θ θ θ θ+ + + − − = −

cos sinp o oI m Lx m gL bθθ θ θ θ+ − = −

(3.14)

Donde 2 213p cI mL m L= +

2o cmm m= +

Se aplica la ecuación de Lagrange para la coordenada generalizada 2q x=

1 cos cos2 c c

T Mx mx mL m x m Lx

θ θ θ θ∂= + + + +

∂


48

( )( ) ( )( )1 sin cos sin cos2 c c

d T Mx mx mL m x m Ldt x

θ θ θ θ θ θ θ θθ∂ = + + − + + + − + ∂

2 21 1sin cos sin cos

2 2 c c cd T Mx mx mL mL m x m L m Ldt x

θ θ θ θ θ θ θ θ∂ = + − + + − + ∂

(3.15)

0Tx

∂− =∂

0Vx

∂=

∂

(3.16)

2ncd T T V Qdt x x x

∂ ∂ ∂ − + = ∂ ∂ ∂

2 21 1sin cos sin cos

2 2 c c c xMx mx mL mL m x m L m L f b xθ θ θ θ θ θ θ θ+ − + + − + = −

( ) 21 1cos sin2 2c c c xM m m x m m L m m L f b xθ θ θ θ + + + + − + = −

2cos sint o o xm x m L m L f b xθ θ θ θ+ − = −

(3.17)

Donde t cm M m m= + + 2o cmm m= +

De esta manera la dinámica del péndulo invertido está dada por:

cos sinp o oI m Lx m gL bθθ θ θ θ+ − = − 2cos sint o o xm x m L m L f b xθ θ θ θ+ − = −

(3.18)

Donde 2 213p cI mL m L= + t cm M m m= + +

2o cmm m= +

3.3.- La maqueta de péndulo invertido BYTRONIC

La maqueta de péndulo invertido marca BYTRONIC localizada en el CENIDET, es el sistema con el que se llevaron acabo las pruebas correspondientes al tema de tesis en cuestión. Dicho dispositivo puede ser utilizado de dos maneras diferentes, una es como un

3.3.- LA MAQUETA DE PÉNDULO INVERTIDO BYTRONIC

49

péndulo invertido y la otra como una grúa viajera. Para este trabajo de tesis únicamente se utilizará la maqueta en la modalidad de péndulo invertido.

En la modalidad de péndulo invertido se tiene el objetivo de controlar un sistema intrínsecamente inestable, como ya se ha mencionado con anterioridad. El sistema de control del péndulo puede ser usado como un sistema de control analógico independiente o puede ser interconectado a un controlador externo tal como una microcomputadora. Cabe hacer notar que en el desarrollo de este trabajo sólo será necesario interactuar con el sistema de control analógico.

El sistema de control del péndulo consiste en dos módulos interconectados entre sí

mediante un cable conector. Dichos módulos son la consola de control y el mecanismo del péndulo, los cuales se pueden apreciar en las Figuras 3.3 y 3.4.

Figura 3.3.- Consola de control de la maqueta de Péndulo Invertido b).- Mecanismo de

péndulo.

El mecanismo del péndulo consiste en un carro que soporta una varilla y una masa montada sobre un pivote el cual es movido a lo largo de un riel de 500 mm mediante un servo-motor y una banda dentada (Figura 3.4). El motor tiene un tacómetro integral. La posición del carro y la posición de la varilla son medidas mediante potenciómetros. El módulo del mecanismo del péndulo contiene su propia fuente de poder y su propio amplificador para el servo-motor [5].


50

Figura 3.4.- Mecanismo del péndulo de la maqueta BYTRONIC.

Es importante mencionar que todas las señales de voltaje de la consola de control se

encuentran en el intervalo de -10v a +10v. El circuito electrónico de la consola de control y del mecanismo del péndulo invertido se muestra en el ANEXO C.

En la consola de control se encuentra un diagrama esquemático de todo el sistema.

Dicho diagrama se ilustra en la Figura 3.5.

3.4.- Puesta en marcha de la maqueta BYTRONIC

El siguiente procedimiento permitió una rápida puesta en marcha del sistema de control del péndulo como un sistema de control de posición lineal del carro.

Colocar la maqueta en la posición correspondiente a la modalidad de péndulo invertido. Es recomendable retirar la varilla junto con la masa.

Posicionar el potenciómetro deslizante de set-point a la mitad, es decir, a 0 volts.

Conectar con un conector tipo banana el set-point a la entrada del amplificador del

servo-motor, tal y como se muestra en la Figura 3.6.

Encender la maqueta.

3.4.- PUESTA EN MARCHA DE LA MAQUETA BYTRONIC

51

Figura 3.5.- Diagrama esquemático del sistema de Péndulo Invertido localizado en la

consola de control.


52

Figura 3.6.- Conexiones para el control lineal de posición.

La posición del potenciómetro de set-point determinará la posición del carro a lo largo

del riel. Para lograr un control de posición óptimo, las ganancias del amplificador y la ganancia de la velocidad de retroalimentada deben ser calibradas en la consola de control.

Algo que se debe notar es que el recorrido en del carro en ambos finales del riel están

limitados eléctricamente, con esto se asegura que no habrá golpes en los extremos del riel.

El siguiente paso es balancear el péndulo, para lo cual es necesario desconectar la entra del servo del set-point y temporalmente conectarla a tierra para prevenir algún tipo de ruido.

Para balancear el péndulo, los potenciómetros correspondientes a las variables “a” y

“ganancia” ubicados en la consola de control deben ser ajustados a un valor de 2.7 y 1.2 respectivamente y al compensador de adelanto se le deben conectar las resistencias y capacitores tal y como se muestra en la Figura 3.7. Los valores de los componentes, así como las ganancias son propuestos por el manual del fabricante de la maqueta.

Figura 3.7.- Compensador en adelanto.

Es necesario sostener el péndulo en la posición vertical y el carro posicionarlo en el

centro del riel. Posteriormente se conecta la salida del compensador a la entrada del servo y lentamente se suelta el péndulo. El péndulo se debe balancear en el centro del riel.

Las gráficas obtenidas de la puesta en marcha de la maqueta de péndulo invertido

BYTRONIC son las siguientes.

3.5.- SUBSISTEMA DEL CARRO Y VARILLA

53

Figura 3.8.- Gráficas de la posición del la varilla con respecto a la vertical y la posición

del carro a lo largo del riel respectivamente.

De las gráficas de la figura 3.8 cabe hacer mención que sus magnitudes se encuentran expresadas en volts, lo que se traduce en un ángulo en radianes (posición de la varilla) y una longitud en metros (posición del carro). La señal de voltaje, en el caso de la varilla, se encuentra en el intervalo de -1.746 v a +1.746v que corresponden a -0.61086 rad (-34.99°) a 0.61086 rad (-34.99°) respectivamente; en el caso de la posición del carro, este se encuentra en el intervalo de los -10v a 10v para -25cm a +25cm respectivamente.

3.5.- Subsistema del carro y varilla Los parámetros del sistema son los siguientes: θ Ángulo de la varilla con respecto a la línea vertical rad θ Velocidad angular de la varilla rad/seg θ Aceleración angular de la varilla rad/seg2 x Posición del carro m x Velocidad del carro m/seg x Aceleración del carro m/seg2 f Fuerza aplicada el carro N M Masa del carro 0.247 kg m Masa de la varilla 0.068 kg mc Masa del cuerpo del péndulo 0.220 kg L Longitud de la varilla 0.275 m bx Fricción viscosa del carro 0.0011225 N*seg/m bθ Fricción viscosa de la bisagra de la varilla 0 N*m*seg/rad g Fuerza de gravedad 9.81 m/seg2


54

Los parámetros antes citados pueden encontrarse en [35]. Aunado a esta información, en el ANEXO D se puede localizar más especificaciones en relación a la maqueta de péndulo invertido utilizada.

3.5.1.- Subsistema del servo

El subsistema del servo está compuesto por el servo-motor, el amplificador de servo y el controlador del servo. La entrada de control del sistema completo es u, la cual representa el set-point que se asigna al sistema del servo (Figura 3.8). El modelo del sistema puede ser deducido utilizando los siguientes parámetros. P Ganancia del potenciómetro (control P para la posición del servo) = 270/47 KD Ganancia del potenciómetro (control D para la posición del servo) = 0.5*(47/56) PS Ganancia del servo amplificador 750/47 r Radio de la polea de la banda dentada 0.02 m kx Ganancia del potenciómetro para la medición de ( x ) 5/0.125 V/m kw Ganancia del tacómetro para la medición de ( x ) 2 V/m/s kv Constante de voltaje del motor 0.098 V/rad/s km Constante de torque del motor 0.098 Nm/A J Inercia del motor 0.2245 kg*cm2 Bm Fricción del motor 0.011225 Nm Ra Resistencia de armadura 7.8 Ω

La siguiente figura muestra un diagrama esquemático del servo, el control aplicado al mismo y el servo amplificador.

Figura 3.9.- (a).-Diagrama esquemático del subsistema del servo (b).-Imagen del esquema

del subsistema del servo dibujado en la consola de control.

3.6.- VALIDACIÓN EXPERIMENTAL DEL SUBSISTEMA DE SERVO

55

La Figura 3.9 muestra el diagrama a bloques del subsistema de servo. Los niveles de saturación de los amplificadores son 15 y 20 V, respectivamente. u es la entrada de referencia de posición del servo controlador, la cual será la señal de control de todo el sistema. Los bloques que se encuentran dentro del recuadro azul corresponden al modelo del servo-motor. El servo-motor cuenta con un control Proporcional- Derivativo (PD), para lo cual el control Proporcional y el control Derivativo se efectúan a partir de las variables de posición y de velocidad del servo-motor respectivamente. Es importante mencionar que el control de posición del servo-motor no puede ser omitido físicamente, es decir, no se puede tener acceso directo a las terminales eléctricas del servo motor.

Figura 3.10.- Diagrama a bloques del subsistema del servo.

Del diagrama de la figura anterior se tiene que e w mT T J B− = Ω+ Ω donde eT es el

torque eléctrico desarrollado, wT es el torque de la carga el cual es igual a f r× , y Ω es la velocidad angular del servo motor [35]. La expresión de la fuerza f aplicada al carro se expresa como

f Au Bx Cx Dx= + + + (3.13)

Donde m S

a

k PPArR

= S m x

a

P Pk kBrR

−= 2 2

m v m S m D w

a a

k k B P k K kCr R r rR

= − − − 2

JDr

= −

y u es la entrada de referencia de posición del carro al servo controlador [35].

3.6.- Validación experimental del subsistema de servo

De acuerdo al diagrama a bloques de la Figura 3.10 y considerando los parámetros del subsistema de servo, se llevó a cabo la validación experimental del mismo, donde la señal de entrada u, era aplicada tanto al modelo en simulación como al sistema real. De esta manera se lograron obtener las siguientes gráficas de posición del carro.


56

Figura 3.11.- Gráficas para la validación del modelo del subsistema de servo. Dichas

gráficas presentan tanto la señal de posición simulada, así como la señal de posición real la cual es medida a través de una tarjeta de adquisición de datos.

Para lograr este fin se requirió enviar y leer señales a la consola de control con una

tarjeta de adquisición de datos a través de una computadora de escritorio. El procedimiento para la instalación de la tarjeta de adquisición de datos (marca

National Instruments PCI 6025E) a la computadora se encuentran en detalle en el ANEXO B.

3.7.- Implementación en simulación del control PD para el péndulo invertido.

En la siguiente figura se muestra el diagrama bloques de la implementación en Simulink del control PD aplicado al modelo dinámico del péndulo invertido de la Ec. 3.18.

3.7.- IMPLEMENTACIÓN EN SIMULACIÓN DEL CONTROL PD

57

Figura 3.12.- Diagrama a bloques del control PD para el péndulo invertido implementado

en Simulink.

El diseño de este control se realizó a prueba y error, variando las ganancias tanto proporcional como derivativa hasta obtener un buen desempeño en la respuesta transitoria de las variables de posición del carro y ángulo de la varilla con respecto a la vertical. Las ganancias que se obtuvieron fueron las siguientes. Para el control de la posición del carro: Kp = -100 y Kd = -8 Para el control de la varilla con respecto a la vertical: Kp = -16 y Kd = -25

Las gráficas de posición del carro, así como del ángulo de la varilla con respecto a la vertical se muestran en la Figura 3.13. La simulación se efectuó tomando en cuenta condición inicial 0 m para el carro y 0.1 rad para el ángulo de la varilla.


58

Figura 3.13.- Gráficas del la posición del carro y el ángulo de la varilla con respecto a la

vertical.

De las gráficas anteriores se puede observar que para la posición del carro el tiempo de asentamiento al 5% es de 3.512 seg, no existiendo sobre impulso; mientras que para el ángulo de la varilla el tiempo se asentamiento al 5% es de 0.442 seg, existiendo un sobre impulso del 4.2%.

59

Capítulo 4 Controlador de péndulo invertido basado en RNA

El objetivo principal de este capítulo es presentar el diseño del controlador para el péndulo invertido basado en Redes Neruronales Analógicas, y muy en particular, en la Red Neuronal Nerviosa Bicore. Posterior al diseño del controlador, se presentan los resultados obtenidos de la aplicación del controlador y se muestra una tabla de índices de comportamiento para comparar el desempeño entre el controlador neuronal analógico y un controlador clásico.

En la sección 4.1 se muestra como la configuración de la Red Nerviosa Bicore se aplica

al problema de control del péndulo invertido. En la sección 4.2 se presenta el filtro pasa-bajas, el cual forma parte del controlador neuronal analógico, y e aborda la razón de su uso. En la sección 4.3 se presentan los resultados experimentales del controlador basado en una Red Neuronal Nerviosa. Y por último en la sección 4.4 se presenta el análisis de resultados correspondiente al comportamiento del controlador neuronal analógico.

4.1.- Aplicación de la Red Nerviosa Bicore al problema de control del péndulo invertido

La maqueta de péndulo invertido cuenta, entre otros sensores, con un potenciómetro acoplado a la varilla de péndulo (Figura E.1 localizada en el ANEXO E), el cual sensa la posición del ángulo con respecto a la vertical. La instalación de un segundo potenciómetro acoplado a la varilla fue realizada (ver ANEXO E). Aunado a esto, ya se mencionó que en la red Bicore si las resistencias R1 y R2 son de igual valor y el ciclo de trabajo de las señales de salida es del 50% [51]. De esta forma se hará uso de uno de los dos potenciómetros que están acoplados a la varilla y se conectará tal y como se muestra en la Figura 4.1.

Figura 4.1.- Conexión del potenciómetro (sensor de la posición de la varilla) a la red

Bicore.

CAPÍTULO 4.- CONTROLADOR DE PÉNDULO INVERTIDO BASADO EN RNA

60

Es importante hacer mención que un segundo potenciómetro fue acoplado a la varilla del péndulo invertido, ya que un potenciómetro fue destinado a ser conectado a la Red Nerviosa Bicore y el segundo potenciómetro se destinó a ser el sensor de posición del péndulo invertido sobre el riel.

La idea fundamental de control para el péndulo invertido es la siguiente: Cuando la varilla del péndulo está a 0° con respecto a la vertical, el cursor del

potenciómetro estará justo en el centro, teniendo que R1 y R2 son del mismo valor. Por lo tanto el ciclo de trabajo estará al 50% en ambas señales [24] [25] [26].

Si la varilla del péndulo no está a 0° con respecto a la vertical, el cursor no estará en el

centro, y por lo tanto R1 y R2 no serán del mismo valor, causando con esto que el ciclo de trabajo de las señales sea diferente del 50%. Nótese que el ciclo de trabajo de una señal será el complemento del ciclo de trabajo de la otra, por ejemplo, si una tiene un ciclo de trabajo del 20%, la otra señal tendrá un ciclo de trabajo del 80%. El esquema de control se observa en la siguiente figura.

Figura 4.2.- Esquema de control para el péndulo invertido utilizando la red Bicore.

A continuación se muestra gráficamente lo que sucede cuando la varilla no se encuentra

a 0° con respecto de la vertical.

4.1.- APLICACIÓN DE LA RED NV BICORE AL CONTROL DEL PÉNDULO INVERTIDO

61

Figura 4.3.- Ejemplo de funcionamiento de la red Bicore cuando la varilla del péndulo

simple no se encuentra a 0° con respecto a la vertical.

De la figura anterior se pudo observar el comportamiento de las salidas de la red Bicore en relación al ángulo que guarda la varilla del péndulo con respecto a la vertical. Para obtener una señal de control a partir de las dos señales de la red Bicore se obtuvo el voltaje promedio de cada una de las señales oscilantes. Esto se logró gracias a un filtro pasa-bajas construido con amplificadores operacionales. Pero, ¿por qué utilizar un filtro para obtener el voltaje promedio de las señales oscilatorias?

Las señales de las salidas de la red Bicore oscilan a una frecuencia específica [51]. Lo

que se realizó fue diseñar diferentes filtros pasa-bajas, los cuales se establecieron a una frecuencia de corte aproximadamente a una década por debajo de la frecuencia de oscilación de la red. Con este filtro se logró eliminar la frecuencia fundamental y únicamente tener a la salida del filtro la componente de corriente directa, correspondiente al voltaje promedio (Figura 4.4).

Figura 4.4.- Obtención del voltaje promedio de la señal oscilante a partir de un filtro

pasa-bajas.


62

4.2.- Empleo de un filtro activo dentro del controlador neuronal analógico

4.2.1.- Filtros activos

Tomando como base el estudio de los filtros de primer y segundo orden, es el turno de abordar los filtros de orden superior, los cuales son requeridos cuando las características de corte de los filtros de orden inferior no son suficientemente súbitas para satisfacer las demandas de alguna aplicación en particular.

Hay que tomar en cuenta que el objetivo de utilizar los filtros pasa-bajas en las salidas

de la Red Nerviosa Bicore es el de eliminar la frecuencia fundamental que se generan a las salidas de la misma y únicamente tener a la salida del filtro la componente de corriente directa, la cual es el voltaje promedio; por lo tanto, la característica de corte debe tomarse como factor principal a considerar y ésta debe ser lo más súbita posible.

El movimiento de la varilla con respecto a la vertical es relativamente rápido y es por

esta razón que el filtrado de las señales generadas por la red se debe realizar lo más rápido posible (característica de corte súbita) para que de esta forma se eviten retardos, los cuales impactarían directamente en la acción de control.

Existen dos enfoques principales en lo que se refiere a filtros de orden superior: el

enfoque de cascada, en el cual la respuesta deseada es obtenida por la posible conexión de etapas en cascada de filtros de orden dos y otros de orden uno; y el enfoque de simulación de escalera RLC, el cual utiliza convertidores de impedancia activos para simular un filtro pasivo RLC, y de esta forma satisfacer los objetivos deseados [18].

El enfoque de cascada es por mucho el método más simple y el más popular; éste

enfoque genera la función de transferencia deseada como resultado de posibles funciones de transferencia de filtros de orden dos y de orden uno, cuyas frecuencias características y valores Q son tabulados en manuales de filtros o pueden ser determinados con la ayuda de programas computacionales.

Gracias a la baja impedancia de salida de cada sección, la carga existente entre cada una

de las etapas del filtro es virtualmente eliminada, de esta forma cada sección puede ser considerada como una etapa aislada de las demás y puede ser calibrada por separado si es necesario. La modularidad de este enfoque es también atractivo desde un punto de vista económico, ya que uno puede usar algunos bloques de filtros estandarizados para diseñar una amplia variedad de filtros más complejos.

De una forma conveniente, desde el punto de vista modular, se hace referencia a una

etapa aislada completamente que proporciona una respuesta global particularmente sensible a las variaciones paramétricas de cada etapa debido a la tolerancia de los componentes, al envejecimiento de los mismos, etc. Esto es particularmente crítico en el caso de etapas con

4.2.2.-FILTROS DE ORDEN SUPERIOR

63

factor de calidad Q alto, donde aun una pequeña variación en un componente de una etapa puede alterar drásticamente la respuesta completa del filtro en cascada.

4.2.2.- Filtros de orden superior Si las señales a ser rechazadas son muy cercanas en frecuencia a las que deben pasar,

las características de corte de un filtro de orden dos pueden no ser suficientemente súbitas y los filtros de orden superior pueden ser necesarios para satisfacer la selectividad requerida.

Como regla general, cuanto más alto es el orden del filtro, más cerca de la

aproximación. El punto de partida de la respuesta de un filtro práctico a partir de su pendiente de corte equivalente puede ser visualizado en términos de los valores de banda, como se ilustra en la siguiente figura para el caso del filtro pasa-bajas.

Figura 4.5.- Respuesta de un filtro pasa-bajas y respuesta de los límites de magnitud de un

filtro pasa-bajas práctico.

El rango de frecuencias que pasan con poca o ninguna atenuación debido a la acción del filtro es llamado banda de paso. Para un filtro pasa-bajas esta banda se extiende desde la componente de corriente directa a alguna frecuencia ωc llamada frecuencia de corte.

La ganancia no es estrictamente constante dentro de la banda de paso. La máxima

ganancia permisible es denotada como Amax y es expresada en decibeles. Por ejemplo la respuesta Buttherworth tiene una Amax = 3 dB. Dentro de la banda de paso la ganancia puede presentar rizado, en tal caso Amax es llamada el rizo máximo de la banda de paso y define a la banda llamada banda de rizo. En el caso de respuestas con rizo, ωc representa la frecuencia donde la respuesta sale de la banda de rizo.

Pasada la frecuencia de corte, la respuesta cae a la banda de atenuación, la cual

representa la región de frecuencia de atenuación considerable. La banda de atenuación es usualmente especificada en términos de alguna atenuación mínima permisible, supongamos, Amin = 50 dB. La frecuencia en la cual la banda de atenuación comienza se denota como ωs.


64

La región de frecuencia delimitada por ωc y ωs es llamada la banda de transición. Cierto tipo de filtros maximizan la pendiente de atenuación dentro de la banda de transición a expensas de rizo dentro de la banda de paso, la banda de atenuación o ambas.

Entre la variedad de posibles respuestas, algunas han sido descubiertas para ser

considerablemente satisfactorias, y sus coeficientes han sido determinados y tabulados. Estas incluyen a las respuestas Butterworth, Chebyshev, Elliptic y Bessel [18]. Respuesta Butterworth

Los filtros Butterworth maximizan lo plano de la respuesta de magnitud dentro de la banda de paso (Figura 4.6); la expresión general para esta respuesta es

( )2

1

1 nc

Hω ω

=+

(4.1)

Donde n es el orden del filtro y ωc la frecuencia de corte, a lo cual en este caso representa la frecuencia de -3 dB. La respuesta es extremadamente plana cerca de la componente de corriente directa, algo redonda cerca de la frecuencia de corte y la respuesta decae a un ritmo aproximado de -20n dB/dec en la banda de atenuación.

Figura 4.6.- Respuesta de un filtro pasa-bajas Butterworth.

Respuesta Chebyshev

Hay aplicaciones, como una de las que se presenta en esta tesis, en las cuales la súbita transición en la frecuencia de corte es más importante que lo plano de la respuesta. Los filtros Chebyshev maximizan la razón de corte en la banda de transición a costa de introducir rizo en la banda de paso (Filtro 4.7). Para un filtro dado de orden n, cuanto mayor sea la cantidad de rizo, más estrecha será la banda de transición del filtro. De esta

4.2.2.- FILTROS DE ORDEN SUPERIOR

65

forma, comparada la respuesta del Butterworth, la respuesta Chebyshev mejora la característica de la banda de transición mediante la propagación de rizos de igual tamaño a través de la banda de paso, el número de rizos se incrementa con n. Además ambas respuestas decaen a un ritmo que depende de n, la respuesta Chebyshev puede lograr una razón de corte en la banda de transición con un orden menor, reduciendo la complejidad del filtro y el costo. En el límite de los ceros decibeles de rizo en la banda de paso la respuesta Chebyshev llega a ser una respuesta Butterworth. Existen dos tipos de filtros Chebyshev. Uno es el Tipo I el cual tienen rizo en la banda de paso y respuesta monotónica (regular) en la banda de atenuación ; y el Tipo II (o también llamado Filtro Chebyshev Inverso) el cual es monotónico en la banda de paso y presentan rizo en la banda de atenuación.

Figura 4.7.- Respuesta de un filtro pasa-bajas Chebyshev Tipo I.


66

Respuesta Bessel

Estos filtros introducen un corrimiento de fase que usualmente depende de la frecuencia. Si el corrimiento de fase varía linealmente con la frecuencia, su efecto es simplemente un retardo de la señal producido por una cantidad constante. Sin embargo, si la fase no varía linealmente, diferentes componentes de frecuencia en la entrada sufrirán diferentes retardos, de esta forma señales no sinusoidales serán deformadas por el filtro. Este puede ser observado mediante la alimentación del filtro con una onda cuadrada. En caso de una respuesta de fase lineal, la salida simplemente será una versión retardada de la entrada, pero en el caso no lineal la salida exhibirá un efecto oscilatorio significante. Resulta que entre más súbita sea la característica de corte en la banda de transición, más alto será el efecto oscilatorio.

Los filtros Bessel maximizan el tiempo de retardo de la banda de paso al igual que los

filtros Butterworth maximizan la magnitud de la banda de paso. El resultado es una respuesta con una característica de fase casi lineal dentro de la banda de paso, y una característica de magnitud más suave en la banda de transición. Lo anterior se ilustra en la siguiente figura.

Figura 4.8.- Respuesta de magnitud un filtro pasa-bajas Bessel, así como su respuesta de

fase.

4.2.3.- DISEÑO DEL FILTRO PASA-BAJAS PARA LA RED NERVIOSA BICORE

67

Por todo lo expuesto anteriormente se puede llegar a la conclusión de que la respuesta Chebyshev Tipo I de un filtro pasa-bajas es la más adecuada para formar parte del arreglo neuronal analógico, para que en conjunto integren el controlador neuronal analógico para el péndulo invertido.

4.2.3.- Diseño del filtro pasa-bajas para la Red Nerviosa Bicore

Mediante el cambio de los valores de los capacitores C1 y C2 (Figura 4.1) se pudieron obtener oscilaciones con frecuencias variadas para la red Bicore. Las diferentes frecuencias de oscilación condujeron al diseño de filtros pasa-bajas Chebyshev Tipo I con diferentes frecuencias de corte. Uno de los objetivos primordiales de esta metodología fue poner en práctica diversas redes Bicore a diferentes frecuencias de oscilación en combinación con filtros pasa-bajas, todo esto obviamente aplicado al control del péndulo invertido.

Una función cuadrática se puede emplear como elemento fundamental para la construcción de filtros. La función cuadrática para un filtro pasa-bajas es la siguiente.

2 2( ) o

oo

HH ss s

Qω ω

=+ +

(4.2)

El término Ho corresponde a la ganancia de CD, ωo corresponde a la frecuencia natural no amortiguada del sistema y corresponde a la frecuencia de corte, mientras que Q es el factor de calidad y describe el comportamiento de la función en la vecindad de la frecuencia de corte.

Figura 4.9.- Circuito de la configuración Sallen-Key para un filtro pasa-bajas.

Para el diseño del filtro pasa-bajas se utilizó la un filtro Chebyshev Tipo Icon rizo de 0.1 dB bajo una configuración conocida como Sallen-Key. En la Figura 4.9 se puede observar el circuito de dicha configuración. La función de transferencia para el circuito anterior se muestra a continuación.


68

( ) ( )1 2 1 2

2 1 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1

1 1o

s

V R R C CKC R R R C KV s s

R R C C R R C C

=+ + −

+ +

(4.3) Comparando con la Ec. (4.3), se tiene que:

1 2 1 2

1o R R C C

ω =

(4.4)

( ) ( )1 2 1 2

1 1 2 1 2 1R R C C

QC R R R C K

=+ + −

(4.5)

1 2 1 2o

KHR R C C

=

(4.6)

4.2.4.- Procedimiento de diseño

La dificultad en el diseño estriba en el hecho de que la respuesta del filtro pasa-bajas de segundo orden se especifica por medio de dos valores, ωo y Q, mientras que la construcción electrónica utiliza seis elementos externos al operacional, dos de los cuales se utilizan para fijar la ganancia del amplificador. Esto implica que se deben calcular cinco valores utilizando las ecuaciones (4.4) y (4.5). Aún cuando la ganancia deseada del filtro sea un parámetro de diseño, siguen quedando cuatro incógnitas con dos ecuaciones para determinarlas. Así pues, es necesario establecer simplificaciones que faciliten el cálculo. Diseño con elementos escalados.

La primera simplificación consiste en utilizar elementos escalados. El procedimiento para diseñar al filtro Sallen-Key estriba en utilizar dos constantes de escalamiento a y b, de manera que R1 =a R, R2 = R, C1 = C y C2 = b C. Como resultado, la frecuencia de corte y el factor de calidad quedan dados por:

1

o RC abω =

(4.7)

( )1 1abQ

a ab K=

+ + −

(4.8)

4.2.4.- PROCEDIMIENTO DE DISEÑO

69

Debe notarse que en este caso, si la ganancia se escoge de valor tal que:

11 aKab+

= +

(4.9) se obtiene un factor de calidad Q infinito. Con valores de K superiores al dado por la ecuación (4.9), el factor de calidad se vuelve negativo, lo que implica que los polos de la función se ubican en el semiplano derecho. Diseño con capacitores iguales

Una segunda simplificación consiste en utilizar capacitores iguales en la construcción del filtro, con lo que b = 1. Para un factor de calidad dado, el valor de a se puede obtener a partir de la ecuación 20. El resultado es:

( )( )

221 1 4 2

2 2Q K

aQ K

± − − = −

(4.10)

Debe notarse que existen valores de ganancia para los cuales se obtiene un resultado complejo, el que claramente no tiene significado físico. Por lo tanto, la ganancia del bloque amplificador debe cumplir con la siguiente especificación.

2

124

KQ

> −

(4.11) El procedimiento de diseño es como sigue: a).- Especificar el tipo de respuesta, el orden del filtro y la frecuencia de corte ωc deseada (para la aproximación Chebyshev Tipo I, especificar la frecuencia a la cual la ganancia abandona la banda de rizo). A partir de las tablas determinar los valores de ωn y Qn (Tabla 4.1). b).- Determinar la ganancia mínima para cada una de las secciones, utilizando la ecuación (4.11). Seleccionar una ganancia acorde con el resultado o, en caso de que la ganancia sea un parámetro de diseño, verificar que es de valor adecuado. Calcular los valores de las resistencias de determinación de la ganancia. c).- Determinar el valor de a, utilizando la ecuación (4.10). Usar el valor menor, o el positivo. d).- Especificar un valor arbitrario, pero razonable, para los capacitores C1 y C2.


70

e).- Calcular el valor de la resistencia R2 de acuerdo a:

21

c n

RC aω ω

=

f).- La resistencia R1 es igual a a R2.

Tabla 4.1.- Filtros Chebyshev Tipo I con rizo de 0.1 dB

n ω1 Q1 ω2 Q2 ω3 Q3 ω4 Q4 2 1.820 0.767 3 1.300 1.341 0.969 -------- 4 1.153 2.183 0.789 0.619 5 1.093 3.282 0.797 0.915 0.539 -------- 6 1.063 4.633 0.834 1.332 0.513 0.599 7 1.045 6.233 0.868 1.847 0.575 0.846 0.377 -------- 8 1.034 8.082 0.894 2.453 0.645 1.183 0.382 0.593

4.2.5.- Filtro de tercer orden

Para obtener una mejor respuesta en la señal filtrada se optó por implementar un filtro Sallen-Key de tercer orden. Para logar este cometido únicamente se añadió un filtro RC de primer orden al filtro de orden dos.

Figura 4.10.- Filtro RC de orden uno.

Para esta etapa se cumple que:

11

o

s P P

VV sC R

=+

El valor de la resistencia es entonces:

4.2.5.- FILTRO DE TERCER ORDEN

71

1

Pc n P

RCω ω

=

De esta manera, el diagrama completo del filtro de tercer orden es el siguiente.

Figura 4.11.- Circuito de la configuración Sallen-Key para un filtro pasa-bajas de tercer

orden. Para facilitar el cálculo de los valores de los componentes del filtro en relación a la

frecuencia de corte deseada se realizó un programa en el editor de MatLab, así como también una simulación en Simulink para verificar la respuesta del filtro antes de llevarlo a la implementación práctica. Lo anterior de muestra en detalle en el ANEXO F.

Se diseñaron cuatro filtros Chebyshev Tipo I pasa-bajas con frecuencias de corte fc de

20 KHz, 10 KHz, 2 KHz y 100 Hz. Los diagramas de Bode para cada uno de los casos se presentan a continuación en las siguientes ilustraciones.


72

Diagrama de Bode del f iltro pasa-bajas con fc=20 KHz

Frequency (rad/sec)10

310

410

510

610

7-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de (d

B)

System: sysTFrequency (rad/sec): 1.26e+005

Magnitude (dB): 9.42



310

410

510

610

7-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de (d

B)




(izquierda) fc = 10 KHz = 6.32 x104 rad/seg (derecha).



210

310

410

510

6-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de (d

B)



Diagrama de Bode del f iltro pasa-bajas con fc=100 Hz


110

210

310

410

5-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de (d

B)

System: sysTFrequency (rad/sec): 628



(izquierda) fc = 100 Hz = 628 rad/seg (derecha).

4.3.- Implementación práctica del controlador neuronal analógico

Llevando a cabo la implementación práctica del esquema ilustrado en la Figura 4.3 se observó el siguiente comportamiento cualitativo del control del péndulo invertido:

4.3.- IMPLEMENTACIÓN PRÁCTICA DEL CONTROLADOR NEURONAL ANALÓGICO

73

La variable de interés, que en este caso es al ángulo que guarda la varilla del péndulo con respecto a la vertical, fue controlada sólo por un breve instante de tiempo. El péndulo invertido se mantuvo en una vertical, donde los errores en el ángulo eran mínimos. Dichos errores en estado estable de la variable controlada, causaban que el controlador neuronal analógico generara una señal de control de una magnitud similar a la del error, es decir, una señal pequeña de control.

Esta señal pasa por la etapa de potencia del servo-motor y tiene como objetivo final el de mover el carro que soporta el péndulo invertido. El resultado que se obtuvo fue que dicha señal de control movía lentamente al péndulo invertido hacia uno de los dos entremos del riel, con el objetivo de corregir el error en el ángulo de la varilla; después de unos cuantos segundos, el péndulo invertido alcanzó un extremo del riel para finalmente caer, quedando anulada de esta manera toda acción de control. Pero, ¿A que se debió este comportamiento?

El controlador neuronal analógico basado en una Red Nerviosa Bicore, resuelve el

problema de control referente a la posición de la varilla con respecto a la vertical; en este sentido, el controlador funcionó de acuerdo al diseño, pero éste no consideraba la posición del péndulo invertido (carro y varilla) a lo largo del riel, razón por la cual el controlador trató de corregir el error del ángulo a expensas de que después de algunos segundos el carro alcanzara alguno de los extremos del riel y éste finalmente cayera.

Para resolver este contratiempo se optó por añadir un controlador proporcional

derivativo, el cual hizo que el péndulo invertido se mantuviera en una posición preestablecida a lo largo del riel. Lo idóneo hubiese sido añadir otra Red Neuronal Bicore en lugar de un controlador PD, pero la razón por la que se realizó de esta manera fue porque para añadir otra Red Neuronal era también necesario la adición física de un nuevo potenciómetro a la maqueta, tal como se hizo con la varilla del péndulo invertido (véase ANEXO E), cosa que no estaba contemplada. No se debe perder de vista que el objetivo principal de esta tesis es el de diseñar un controlador para el péndulo invertido mediante redes neuronales analógicas, el cual mantenga a 0° la varilla con respecto de la vertical.

En el siguiente apartado se detalla el esquema del controlador neuronal analógico, así

como del controlador PD añadido a éste, los cuales en conjunto conforman el controlador para el péndulo invertido considerando la posición del péndulo a lo largo del riel.

4.3.1.- Esquema del controlador neuronal analógico considerando la posición del péndulo invertido a lo largo del riel

Para corregir el problema de la posición del péndulo sobre el riel y evitar que la acción de control de la Red Nerviosa Bicore llegara a su fin en uno de los extremos del recorrido, se incorporó un controlador Proporcional Derivativo como se muestra a continuación en la siguiente figura.


74

Figura 4.14.-Esquema del controlador neuronal analógico considerando la incorporación

de una etapa de control PD.

Se optó por el control PD debido a que se pretende que el sistema se anticipe al error, es decir, se quiere que el carro se mantenga en una referencia específica, la cual para este caso es el centro del riel.

La referencia de posición x del controlador PD se estableció en cero, lo que significa

que el péndulo invertido debe estar en el centro del riel. Controlador Proporcional-Derivativo.

Recordando algunos conceptos básicos en la teoría de control de sistemas, tenemos que la acción de control de un controlador Proporcional-Derivativo se define mediante

( )( ) ( )p p dde tu t K e t K T

dt= +

(4.12) y la función de transferencia es

( )( ) 1( )

op d

i

E s K T sE s

= +

(4.13) en donde Kp es la ganancia proporcional y Td es una constante denominada tiempo derivativo. Tanto Kp como Td son ajustables. La acción de control derivativa, en ocasiones

4.3.- IMPLEMENTACIÓN PRÁCTICA DEL CONTROLADOR NEURONAL ANALÓGICO

75

denominada control de velocidad, ocurre donde la magnitud de la salida del controlador es proporcional a la velocidad de cambio de la señal de error. El tiempo derivativo Td es el intervalo de tiempo durante el cual la acción de la velocidad hace avanzar el efecto de la acción de control proporcional. La acción de control derivativa tiene un carácter de previsión. Sin embargo, es obvio que una acción de control derivativa nunca prevé una acción que nunca ha ocurrido. Aunque la acción de control derivativa tiene la ventaja de ser de previsión, tiene las desventajas de que amplifica las señales de ruido y puede provocar un efecto de saturación en el actuador.

Continuando con la filosofía de crear un controlador analógico debido a la simplicidad práctica, la capacidad de procesamiento en tiempo real y la implementación a bajo costo, el controlador PD se construyó a partir de una configuración de amplificadores operacionales, tal y como se muestra en la siguiente ilustración.

Figura 4.15.-Controlador Proporcional-Derivativo implementado con amplificadores

operacionales.

La función de transferencia del controlador Proporcional-Derivativo de la figura anterior expresada en términos de las resistencias y el capacitor se expresa a continuación.

( )4 21 1

3 1

( ) 1( )

o

i

E s R R R C sE s R R

= +

(4.14) Donde de acuerdo con la Ec. (4.13)

4 2 4 21 1 1 1

3 1 3 1p d d

R R R RK T R C K R CR R R R

= = =

Si se hace la consideración de que R3 = R4 se tiene entonces que:

21 1 2 1

1p d d

RK T R C K R CR

= = =

(4.15)


76

Los valores de las resistencias y el capacitor para el controlador PD fueron los siguientes.

1 2

3 4

1

9 501 1220

R K R KR K R KC Fµ

= Ω = Ω= Ω = Ω=

Se tiene con esto que

2

1

1 1

2 1

50 5.555569

9 *220 1.98

50 *220 11

p

d

d

R KKR K

T R C K F s

K R C K F

µ

µ

Ω= = =

Ω

= = Ω =

= = Ω =

(4.16)

4.3.2.- Diseño de experimentos

Mediante la incorporación del controlador PD al controlador Neuronal Analógico, toca el turno de realizar experimentos prácticos.

Dos comportamientos dinámicos a resaltar en relación al desempeño del controlador, es

el comportamiento de la variable controlada tanto en estado estable, como la respuesta ante perturbaciones. El primer comportamiento es muy sencillo de apreciar cada vez que se efectúa una prueba, mientras que en la respuesta ante perturbaciones se debe de cuidar la naturaleza cuantitativa de cada uno de los experimentos, para que de esta manera al final de los resultados experimentales se pueda hacer una comparación cualitativa de cada una de las pruebas realizadas.

Para el caso de la respuesta ante perturbaciones, la principal problemática fue la de

cuantificar la perturbación, ya que comúnmente, una forma de perturbar el ángulo que guarda la varilla con respecto de la vertical fue dando un ligero golpe, ya sea con algún tipo de objeto o con la misma mano. Esto trajo como principal inconveniente que la perturbación proveída al péndulo siempre será diferente.

Para que la perturbación fuera en todos los casos aproximadamente la misma se optó

por implementar una forma de aplicar un disturbio de igual magnitud en todos los casos. La implementación que se efectuó se muestra en la siguiente ilustración.

4.3.2.- DISEÑO DE EXPERIMENTOS

77

Figura 4.16.-Perturbación cuantificada mediante la utilización de un péndulo simple.

La perturbación cuantificada implementada mediante un péndulo simple funciona de la

siguiente forma. Teniendo un péndulo simple con una cuerda y una masa, ambas previamente establecidas, éste es sujetado con la mano a cierto ángulo, el cual se observa en una cartulina previamente graduada; posteriormente se libera el péndulo generando una fuerza conocida, haciendo ésta las veces de la perturbación que se aplica al péndulo invertido.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos: una fuerza vertical, el peso

mg y la acción del hilo, una fuerza T en la dirección radial. Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes (Figura 4.17) La fuerza *sintF mg θ= , en la dirección tangencial y La fuerza *cosrF mg θ= , en la dirección radial.


78

Figura 4.17.-Péndulo simple.

La masa del péndulo simple que se utilizó fue de 48gr y éste fue soltado para generar

perturbaciones a 35 y a 45 grados; por lo tanto, las fuerzas tangenciales aplicadas fueron las siguientes:

21 2*sin (48 )*(9.81 )*sin(35 ) 0.27 270.08t

mF mg g m s N gs

θ= = ° = =

2

2 2*sin (48 )*(9.81 )*sin(45 ) 0.332 332.96tmF mg g m s N gs

θ= = ° = =

4.4.- Resultados experimentales.

La forma en que se presentan los resultados experimentales es de la siguiente manera: se presentan las gráficas relacionadas al controlador clásico, que en este caso es un compensador de adelanto de fase; seguido de éstas, se mostrarán las gráficas obtenidas mediante la puesta en práctica del controlador basado en la Red Nerviosa Bicore, yendo de los mejores casos hasta finalizar con el caso menos satisfactorio. Cabe mencionar que el controlador basado en el arreglo Bicore fue probado a cinco diferentes frecuencias de oscilación, aunado con las cuatro diferentes frecuencias de corte del filtro pasa-bajas, lo que en conjunto dieron un total de veinte pruebas correspondientes al controlador neuronal analógico.

La perturbación aplicada al péndulo invertido fue alrededor de t = 10 seg en todos los

experimentos realizados. En esta parte del documento únicamente se muestran las gráficas más significativas. El

resto de las gráficas se encuentran en el ANEXO G.

4.4.- RESULTADOS EXPERIMENTALES

79

Controlador clásico: compensador en adelanto. La función de transferencia del compensador en adelanto es:

11c c

TsG KTsα

+=

+

(4.17)

Donde 10, 0.1, 0.1cK T α= = = Estos fueron los valores del compensador en adelanto y con el cual se realizaron las pruebas prácticas.

Las siguientes gráficas ilustran el ángulo de la varilla con respecto a la vertical, la posición del péndulo invertido sobre el riel, así como la señal de control del sistema. A esta prueba se le aplicó una perturbación liberando el péndulo simple a 35°, tal y como se detalló en el apartado anterior.

0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6

Ángulo de la varilla con respecto a la vertical << Compensador en adelanto >>

Tiempo (seg)

Áng

ulo

(°)


Perturbación a 35°.

De la figura anterior se puede observar que hasta antes del segundo doce, que es aproximadamente el instante donde se presentó la perturbación, el ángulo oscila en un intervalo de ±1.5°, presenta un sobre impulso máximo de 5° y tarda aproximadamente dos ciclos en alcanzar de nueva cuenta su estado estable.


80

0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20Posición del péndulo invertido sobre el riel << Compensador en adelanto >>

Tiempo (seg)

Long

itud

(cm

)



Al igual que el ángulo de la varilla con respecto a la vertical, la gráfica de posición del péndulo sobre el riel en la figura anterior oscila en estado estable alrededor de ±2 cm., teniendo un sobre tiro máximo de -5 cm. aproximadamente.

0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10

Señal de control del controlador clásico << Compensador en adelanto >>

Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)


La señal de control tiene un intervalo de operación de ±10 volts. En la gráfica anterior se presenta la señal de control del compensador en adelanto; en este caso, la señal no sobrepasa los 5 volts, lo cual indica que el controlador realiza un esfuerzo de control relativamente pequeño. Ahora se le aplicó una perturbación al péndulo invertido liberando el péndulo simple a 45°.


81

0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6

Ángulo de la varilla con respecto a la vertical << Compensador en adelanto >>

Tiempo (seg)

Áng

ulo

(°)



En comparación con el ángulo de la varilla de la figura 4.18, la gráfica que se muestra en la figura anterior presenta oscilaciones en estado estable de iguales magnitudes; pero al momento de aplicar la perturbación, la cual es liberada a 10° más que en el caso anterior, la variable controlada presenta un notable incremento en su sobretiro, el cual alcanza un máximo de 5° y alcanza su vuelve a su estado estable después de dos ciclos.

0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20Posición del péndulo invertido sobre el riel << Compensador en adelanto >>

Tiempo (seg)

Long

itud

(cm

)



La posición del péndulo invertido sobre el riel ilustrada gráficamente en la figura anterior tarda unos segundos más en alcanzar su valor estacionario después de la perturbación; esto debido al incremento de la magnitud de la perturbación.


82

0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10

Señal de control del controlador clásico << Compensador en adelanto >>

Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)


La señal de control de la figura anterior posee la misma naturaleza oscilatoria en relación a la gráfica de la señal de control de la figura 4.20, siendo de nueva cuenta una señal relativamente pequeña. Red Nerviosa Bicore.

A continuación se muestran las gráficas correspondientes a la Red Nerviosa Bicore. Cabe mencionar que a todas las pruebas realizadas a la Red se les aplicó una perturbación liberando el péndulo simple a 35° Frecuencia de oscilación de 485 KHz y un filtro pasa-bajas con frecuencia de de corte de 2 KHz.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-6

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Oscilación de la neurona Bicore y Vmed << f=485 Khz C=172pF >>

Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)

OscilaciónVoltaje medio.

Figura 4.24.-Oscilación de la neurona Bicore y Vmed (fosc=485 KHz C=175 pF).


83

En la gráfica anterior se muestra la oscilación generada por una de las salidas de la Red Nerviosa Bicore, la cual se encuentra indicada en color azul. En color verde se aprecia el voltaje promedio, resultado de haber filtrado la señal oscilante.



210

310

410

510

6-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de (d

B)



Figura 4.25.-Diagrama de Bode del filtro para-bajas con fc=2 KHz

En el diagrama de Bode anterior se puede apreciar la respuesta del filtro Chebyshev

Tipo I pasa-bajas. La frecuencia de corte es de 1.26e-4 rad/seg lo que es equivalente a 2.005 KHz.

A continuación se presenta el comportamiento dinámico de la variable controlada, el

ángulo de la varilla con respecto de la vertical, aplicando la acción de control de la red neuronal analógica. Éste se muestra en la siguiente gráfica.

0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6

Ángulo de la varilla con respecto a la vertical << f=485 KHz fc=2 KHz >>

Tiempo (seg)

Áng

ulo

(°)

Figura 4.26.-Ángulo de la varilla con respecto a la vertical (fosc=485 KHz fc=2 KHz).


84

Al hacer una comparativa entre la respuesta del controlador clásico y la del controlador neuronal analógico, se observa que el ángulo en éste último (Figura 4.26) oscila alrededor de ±0.5° y el máximo sobreimpulso es de aproximadamente -3°, presentando un mejor desempeño el controlar neuronal analógico en relación al controlador clásico.

0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20Posición del péndulo invertido sobre el riel << f=485 KHz fc=2 KHz >>

Tiempo (seg)

Long

itud

(cm

)

Figura 4.27.-Posición del péndulo invertido sobre el riel (fosc=485 KHz fc=2 KHz).

La posición del péndulo invertido a lo largo del riel, en el caso de la gráfica anterior,

presenta una oscilación en estado estable, pero el intervalo de magnitud de ésta se encuentra en ±1 cm, lo que significa que es mejor el desempeño en relación con el compensador en adelanto. No obstante al momento de que se presenta la perturbación el máximo sobre tiro de la posición es de casi el doble en relación al obtenido mediante la puesta en práctica del controlador clásico.

0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10

Señal de control de la red Bicore << f=485 KHz fc=2 KHz >>

Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)

Figura 4.28.-Señal de control del sistema (fosc=485 KHz fc=2 KHz).


85

La señal de control de la Red Bicore para esta configuración en particular, la cual se puede apreciar gráficamente en la figura anterior, presenta un ligero ruido montado sobre la señal, el cual es atribuido a la utilización de filtros y al manejo de frecuencias relativamente grandes dentro del esquema del controlador neuronal analógico. Frecuencia de oscilación de 615 KHz y un filtro pasa-bajas con frecuencia de de corte de 100 Hz.

En la siguiente gráfica se muestra la oscilación generada por una de las salidas de la Red Nerviosa Bicore (grafico azul), pero en esta ocasión la frecuencia a la que oscila es de 615 KHz. En color verde se aprecia la componente de corriente directa de la señal oscilante.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-6

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)


Figura 4.29.-Oscilación de la neurona Bicore y Vmed (fosc=615 KHz C=122 pF).

Diagrama de Bode del f iltro pasa-bajas con fc=100 Hz


110

210

310

410

5-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de (d

B)

System: sysTFrequency (rad/sec): 628


Figura 4.30.-Diagrama de Bode del filtro para-bajas con fc=100 Hz.


86

La respuesta en frecuencia del filtro Chebyshev Tipo I pasa-bajas con una frecuencia de corte de 100 Hz se muestra en la Figura 4.30.

El ángulo que guarda la varilla con respecto a la vertical, atendiendo a una frecuencia

de oscilación por parte de la Red Nerviosa Bicore y a una frecuencia de corte del filtro pasa-bajas, se ilustra gráficamente en la siguiente figura.

0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6

Ángulo de la varilla con respecto a la vertical << f=615 KHz fc=100 Hz >>

Tiempo (seg)

Áng

ulo

(°)

Figura 4.31.-Ángulo de la varilla con respecto a la vertical (fosc=615 KHz fc=100 Hz).

Se puede apreciar de la gráfica anterior que el ángulo es demasiado oscilante en estado

estable, encontrándose alrededor de ±4°, presentando a la vez un pico máximo durante la perturbación de -6°. La posición del péndulo invertido sobre el riel se presenta en la siguiente figura.

0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20Posición del péndulo invertido sobre el riel << f=615 KHz fc=100 Hz >>

Tiempo (seg)

Long

itud

(cm

)

Figura 4.32.-Posición del péndulo invertido sobre el riel (fosc=615 KHz fc=100 Hz).


87

Se puede apreciar que esta variable oscila durante períodos de tiempo muy cortos, lo cual se refleja a nivel práctico en una constante vibración del péndulo invertido. El máximo sobretiro que experimenta la variable es de 10 cm aproximadamente y teniendo un tiempo de establecimiento de alrededor de 10 seg, lo cual es una respuesta lenta en comparación a los ejemplos citados con anterioridad.

En la siguiente gráfica se puede observar la señal de control. El esfuerzo de control

ejercido por el controlador neuronal analógico, para esta prueba en particular, es muy significativo.

0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10

Señal de control de la red Bicore << f=615 KHz fc=100 Hz >>

Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)

Figura 4.33.-Señal de control del sistema (fosc=615 KHz fc=100 Hz).

Las siguientes tablas muestran una síntesis de las gráficas presentadas hasta este punto

del documento de tesis correspondientes al ángulo de la varilla con respecto a la vertical y al la posición de carro sobre el riel.

Tabla 4.2.- Síntesis de resultados experimentales en relación al ángulo de la varilla (θ).

Val

or e

n E

do.

Est

able

Max

. So

brei

mpu

lso

Tie

mpo

de

esta

blec

imie

nto

Compensador ±1.4° 4.5° 3.4 seg Mejor caso RNA ±0.5° 3° 4 seg Peor caso RNA ±4° 6° 5.2 seg


88

Tabla 4.3.- Síntesis de resultados experimentales en relación a la posición del carro (x).

Val

or e

n E

do.

Est

able

Max

. So

brei

mpu

lso

Tie

mpo

de

esta

blec

imie

nto

Compensador ±2.4 cm 5 cm 2.4 seg Mejor caso RNA ±0.7 cm 9.3 cm 4.4 seg Peor caso RNA ±0.7 cm 10 cm 10 seg

4.5.- Análisis de resultados.

Habiendo obtenido las gráficas de la variable controlada, que para este caso en particular es el ángulo de la varilla con respecto a la vertical, así como la señal de control, es necesario obtener un análisis numérico comparativo que nos permita complementar los gráficos. Este análisis permitirá apreciar de una manera más clara el desempeño de cada una de las variables.

Se analizaron los índices de comportamiento IAE (Integral del valor absoluto del error),

ITAE (Integral del valor absoluto del error ponderado en el tiempo) y el ISE (Integral del error cuadrático). Además se obtuvo el error medio (emedio), la desviación estándar (Se), así como los errores máximos y mínimos de las señales (emax, emin). Los datos fueron calculados a partir de un programa realizado en el editor de MatLab el cual puede consultarse en el ANEXO H.

4.5.- ANÁLISIS DE RESULTADOS

89

Tabla 4.4.- Análisis numérico comparativo del ángulo de la varilla (θ).

emedio Se emax emin IAE ITAE ISE Compensador en adelanto 0.8164 0.5948 6.0547 0 153.3203 2.3034 297.1268fosc= 615 Khz fc= 20 KHz 0.1315 0.2289 1.6346 0.0022 50.3035 0.8330 41.0845 fosc= 545 Khz fc= 20 Khz 0.2269 0.3404 2.8545 0.0022 49.9136 0.6745 46.9193 fosc= 485 Khz fc= 20 KHz 0.1580 0.2498 2.4509 0.0022 41.0254 0.6148 37.3808 fosc= 400 Khz fc= 20 KHz 0.2527 0.3455 2.4509 0.0022 59.7129 0.8753 57.3484 fosc= 92 Khz fc= 20 KHz 0.4086 0.5342 3.2671 0.0022 69.4666 0.9545 64.6356 fosc= 615 Khz fc= 10 KHz 0.4051 0.3007 2.8346 0.0221 74.7937 1.0157 74.1743 fosc= 545 Khz fc= 10 KHz 0.5611 0.5909 2.4545 0.0058 106.4011 1.8360 120.2867fosc= 485 Khz fc= 10 KHz 0.5343 0.5379 2.4428 0.0058 96.1050 1.5130 106.9616fosc= 400 Khz fc= 10 KHz 0.2281 0.2961 4.0671 0.0140 56.8152 0.7618 84.3707 fosc= 92 Khz fc= 10 KHz 0.3287 0.4143 2.4346 0.0140 74.6214 1.0672 79.5289 fosc= 615 Khz fc= 2 KHz 0.0710 0.1618 2.8590 0.0022 43.0409 0.6106 46.4875 fosc= 545 Khz fc= 2 KHz 0.1914 0.2339 3.6752 0.0022 50.6575 0.7520 55.5869 fosc= 485 Khz fc= 2 KHz 0.7011 0.1665 2.8590 0.0022 43.8842 0.6478 63.5052 fosc= 400 Khz fc= 2 KHz 0.1549 0.2467 3.6833 0.0104 48.5202 0.6507 62.6595 fosc= 92 Khz fc= 2 KHz 0.1061 0.2055 2.8590 0.0022 37.7920 0.5055 46.3745 fosc= 615 Khz fc= 100 Hz 2.4568 2.7310 6.1400 0.0184 956.2605 39.8796 2845 fosc= 545 Khz fc= 100 Hz 1.3016 1.4729 3.7833 0.1104 551.7550 22.4748 982.9851fosc= 485 Khz fc= 100 Hz 1.4189 1.5821 3.4671 0.2022 581.5276 24.3567 1021.8 fosc= 400 Khz fc= 100 Hz 1.4519 1.6352 4.0252 0.0558 595.9233 24.9753 1097 fosc= 92 Khz fc= 100 Hz 1.6530 1.8006 3.4707 0.2022 656.1818 27.1464 1271

Nótese que al momento de realizar el análisis comparativo, se tiene que tomar como referencia los datos derivados del compensador en adelanto.

De los datos que proporciona la Tabla 4.4 se pueden distinguir básicamente los mejores

y los peores casos. En relación a los mejores casos, los controladores con frecuencia de corte de 2 KHz mantienen la mayoría de los índices de comportamiento por debajo de los valores de referencia, es decir, por debajo de los índices de comportamiento obtenidos del compensador en adelanto. Por otra parte, si se observan ahora los controladores cuyas frecuencias de corte son de 100 Hz podemos apreciar que los indicadores numéricos están, en la mayoría de los casos, muy por encima de los valores de referencia. Este grupo de controladores corresponde al de menor desempeño.

La Tabla 4.5 muestra los esfuerzos de control, tanto mínimos como máximos, de cada

uno de los controladores implementados.


90

Tabla 4.5.- Análisis comparativo de la señal de control del sistema.

esfuerzomax esfuerzominCompensador en adelanto 2.2232 0.0167 fosc= 615 Khz fc= 20 KHz 6.1295 0.0132 fosc= 545 Khz fc= 20 Khz 3.5947 0.0029 fosc= 485 Khz fc= 20 KHz 4.3570 0.0029 fosc= 400 Khz fc= 20 KHz 4.0095 0.0073 fosc= 92 Khz fc= 20 KHz 3.6517 0.0029 fosc= 615 Khz fc= 10 KHz 5.9616 0.0175 fosc= 545 Khz fc= 10 KHz 10.6120 0.0234 fosc= 485 Khz fc= 10 KHz 10.6120 0.0175 fosc= 400 Khz fc= 10 KHz 8.2043 0.0175 fosc= 92 Khz fc= 10 KHz 8.9052 0.0234 fosc= 615 Khz fc= 2 KHz 6.0229 0.0073 fosc= 545 Khz fc= 2 KHz 2.6092 0.0029 fosc= 485 Khz fc= 2 KHz 5.3484 0.0073 fosc= 400 Khz fc= 2 KHz 4.0401 0.0073 fosc= 92 Khz fc= 2 KHz 2.6705 0.0029 fosc= 615 Khz fc= 100 Hz 9.9418 0.0073 fosc= 545 Khz fc= 100 Hz 9.7578 0.0482 fosc= 485 Khz fc= 100 Hz 8.2919 0.0073 fosc= 400 Khz fc= 100 Hz 10.6120 0.0336 fosc= 92 Khz fc= 100 Hz 10.6120 0.0336

En relación a los esfuerzos de control se puede observar de la Tabla 4.5 que para los

controladores con mejor desempeño (controladores con fc = 2 KHz), los esfuerzos de control estuvieron muy cercanos a la referencia comparativa, pero en ninguno de los casos estuvo por debajo.

4.6.- Conclusiones previas

Se trabajó con el diseño y la puesta en práctica del controlador neuronal analógico basado en la Red Nerviosa Bicore. Se realizaron diversas pruebas al controlador y es relevante mencionar que el arreglo Bicore fue probado a cinco diferentes frecuencias de oscilación, además de fijar cuatro diferentes frecuencias de corte del filtro pasa-bajas.

Después de haber analizado los resultados de las pruebas correspondientes al controlador propuesto, se pudo observar lo siguiente:

La frecuencia de corte del filtro pasa-bajas, así como la frecuencia de oscilación de la Red Nerviosa Bicore son claves en el desempeño del controlador neuronal analógico.

4.6.- CONCLUSIONES PREVIAS

91

El mejor desempeño del controlador diseñado, en relación al la frecuencia del filtro

pasa-bajas, se obtiene a 2 KHz, mostrando una rápida recuperación ante perturbaciones, ejerciendo un esfuerzo de control moderado y teniendo un error mínimo en estado estable.

En contraste, el desempeño menos satisfactorio del controlador se consigue a una

frecuencia de corte del filtro pasa-bajas de 100 Hz. La variable de interés presenta un gran error en estado estable y el momento de presentarse una perturbación, el ángulo de la varilla presenta un sobreimpulso de gran magnitud en comparación al observado en el mejor caso. Cabe mencionar que el esfuerzo de control es de gran magnitud.

Otro punto a destacar es el relacionado con el esfuerzo de control. Para el controlador

clásico, el esfuerzo de control es inferior a cualquier caso de la Red Neuronal Analógica. Esta es una característica que no fue superada por el controlador diseñado. Sin embargo, el controlador propuesto, en el mejor caso, supero al controlador clásico en lo que al control del ángulo de la varilla se refiere.


92

93

Capítulo 5

Conclusiones y trabajos futuros

5.1.- Conclusiones

En este tema de tesis se estudió y diseñó un controlador basado en Redes Neuronales Analógicas, el cual fue aplicado para resolver el problema de control del péndulo invertido tipo carro.

En una primera etapa de este trabajo se investigó acerca del funcionamiento de las

Redes Neuronales Celulares y después de diversas observaciones en relación a su funcionamiento y a las señales que proporciona se llegó a la conclusión de que las Redes Neuronales Celulares no son como tal las más adecuadas en la solución del problema de control del péndulo debido a la naturaleza oscilatoria de las señales. Éstas son aplicables principalmente en la solución de problemas de control relacionados con la generación de patrones oscilatorios, tales como la locomoción de robots de múltiples extremidades, el caminar bípedo, el movimiento rítmico de un brazo, etc.

No obstante que el arreglo de las RNC no es lo más adecuado para ser empleado como

un controlador para el caso del estudio abordado, de éste se derivó una configuración llamada Red Nerviosa Bicore, la cual posee ciertas de las características de la RNC aunado a otras nuevas las cuales en conjunto hicieron posible la implementación del controlador neuronal analógico.

El diseño del filtro pasa-bajas, el cual tuvo la función principal de obtener la

componente de corriente directa de la señal oscilante generada por la Red Nerviosa Bicore, es un elemento clave en el diseño del controlador ya que de este dependió en gran medida la velocidad de respuesta en la señal de control; sí el filtro es diseñado de tal forma que se tenga una respuesta lenta, esto se refleja en que el péndulo caerá en su intento por mantener la vertical.

Para solucionar el problema de la velocidad de respuesta del filtro se optó por ver que

filtros respondían de manera más rápida y bajo que características de diseño. Se concluye que un filtro Chebyshev Tipo I con rizo de 0.1 dB, bajo la configuración Sallen-Key será el más adecuado para este fin. Aunado a lo anterior, los filtros activos presentan un tiempo de establecimiento pequeño y un sobreimpulso mínimo si trabajan a frecuencias relativamente grandes, del orden de los cientos de kilohertz; en consecuencia, la red nerviosa debe

CAPÍTULO 5.- CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS

94

trabajar a frecuencias en ese orden de hertz, siendo la máxima frecuencia de oscilación alcanzada 615 KHz.

Se debe resaltar la importancia de haber utilizado señales a frecuencias relativamente grandes, del orden de los kilohertz, ya que aunque estas fueron filtradas para obtener únicamente su componente de corriente directa, existe un compromiso entre la frecuencia de oscilación de la Red Neuronal y la frecuencia de corte del filtro, el cual gobierna el buen desempeño del controlador neuronal analógico. Se observó también que la señal de control inyectada al péndulo invertido presentó ruido en varias de las pruebas efectuadas. En la práctica, esto tuvo como resultado que el péndulo invertido experimentara ciertas vibraciones producto del ruido presente en la señal de control.

La Red Nerviosa Bicore se compone de un número muy reducido de componentes

electrónicos y por lo tanto es realmente muy sencilla de implementar; lo anterior fue lo que hizo atractivo el llevarla a la práctica como un controlador, y muy en particular, como uno para péndulo invertido. Sin embargo, esta misma sencillez en el diseño hizo que en cierta manera el controlador tuviera limitantes al momento de querer lograr ciertas especificaciones de diseño.

La validación a nivel experimental del controlador neuronal analógico se realizó

aplicando éste al péndulo invertido. Pequeñas placas electrónicas fueron fabricadas atendiendo a las especificaciones de diseño.

El controlador neuronal analógico presentó un muy buen desempeño en lo que a la

variable de control se refiere. En el mejor de los casos, logró mantener la vertical de la varilla en estado estable en un intervalo de ±0.5° y un máximo sobreimpulso de aproximadamente -3° al momento de presentarse la perturbación. Por otra parte y atendiendo a las mismas condiciones experimentales, el controlador clásico hizo lo propio manteniendo el ángulo de la varilla con respecto a la vertical en estado estable en un intervalo de ±1.5° y un máximo sobreimpulso de aproximadamente 5°. En esta primera comparativa en relación al desempeño que guarda el ángulo con respecto a la vertical, el controlador neuronal analógico fue mejor que el controlador clásico.

La respuesta ante perturbaciones es otra característica a evaluar en cada uno de los

controladores. Se debe recordar que la aplicación de la perturbación sobre el ángulo del péndulo fue aproximadamente igual para cada una de las pruebas experimentales, tal y como se explicó en el apartado de diseño de experimentos en el Capítulo 4. En este sentido, el controlador neuronal analógico fue superado por el compensador en adelanto. Este último logró sobreponerse a perturbaciones ocasionadas por la liberación del péndulo simple a un ángulo mayor a los 35°, cosa que el controlador analógico no logró. Por lo descrito en este párrafo y haciendo referencia a este trabajo de tesis, se concluye que el controlador neuronal analógico tiene un bajo nivel de desempeño ante el rechazo a perturbaciones.

Otra de las variables de interés por explorar fue la posición del péndulo a lo largo del

riel. En estado estable, ésta guarda una íntima relación con el ángulo del péndulo invertido en relación a su comportamiento dinámico; no obstante, al momento de presentase un

5.1.- CONCLUSIONES

95

disturbio sobre el ángulo, es notable que el controlador neuronal analógico presenta un sobreimpulso mayor que el controlador clásico. Este comportamiento se justifica tomando en consideración el bajo nivel de desempeño que tiene el controlador neuronal analógico en cuanto a rechazo a perturbaciones.

En lo referente al esfuerzo de control que lleva a cabo la red nerviosa Bicore, éste es mayor que el efectuado por el compensador en adelanto.

Por lo anterior, se puede concluir que el diseño y puesta en marcha de una red nerviosa

Bicore como un controlador, presentó un muy buen desempeño en estado estable en lo que se refiere al ángulo que guarda el péndulo con respecto a la vertical, la posición del péndulo sobre el riel y la señal de control entregada; Sin embargo, el controlador neuronal analógico es superado significativamente por el controlador clásico al momento se sobreponerse a perturbaciones.

5.2.- Trabajos futuros

Diversos trabajos a futuro pueden realizarse a partir de este trabajo de investigación. Algunos de estos se presentan a continuación.

Prescindir del filtro pasa-bajas en el controlador neuronal analógico. El objetivo

del filtro pasa-bajas dentro del controlador neuronal analógico fue el de obtener la componente de corriente directa a partir de las señales oscilantes entregadas por la Red Nerviosa Bicore, para posteriormente generar la señal de control. Por lo que para tener un controlador con mejores características se propone como trabajo futuro el empleo de un nuevo arreglo electrónico el cual manipule las señales entregadas por la Red Nerviosa Bicore y que en conjunto logren obtener una señal de control eléctricamente mejorada para que de esta manera se incremente en gran medida el desempeño del controlador.

Red Nerviosa Bicore aplicada a la posición del péndulo invertido sobre el riel. En

este trabajo de tesis, el control de posición del péndulo a lo largo del riel fue realizado por un controlador PD siendo este parte del controlador neuronal analógico. La utilización de una Red Nerviosa Bicore en vez del controlador proporcional-derivativo es un trabajo a futuro que permitirá estudiar el efecto global que tiene el controlador neuronal analógico sobre el control del péndulo invertido tipo carro.

Mejorar la respuesta ante perturbaciones. Si bien el controlador clásico supero al

controlador neuronal analógico en lo que a rechazo ante perturbaciones se refiere, esto no significa que todos los recursos hayan sido agotados para mejorar este aspecto. Nuevas investigaciones se pueden realizar en este sentido y de esta manera mejorar el desempeño del controlador neuronal analógico.

Control de péndulo invertido rotatorio. Teniendo en consideración que el péndulo

invertido rotatorio posee una dinámica de mayor complejidad en relación al péndulo invertido tipo carro, es importante considerar como un trabajo a futuro la aplicación del

CAPÍTULO 5.- CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS

96

controlador neuronal analógico a este otro tipo de péndulo invertido con la finalidad de estudiar su comportamiento y al mismo tiempo corroborar su potencialidad a la hora se ser implementado como controlador en diferentes sistemas.

97

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101

ANEXO A Gráficas de simulación de una RNC con dos neuronas. Las siguientes gráficas presentan el comportamiento dinámico de las salidas X1 y X2 realizando variaciones a los parámetros µ, s y i12 (Ec. 2.12). Nota: Parámetros de simulación tomados de la referencia [1] Para µ =0.5 y s = 1 i1 = -0.3 i2 = 0.3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)

Salidas X1 y X2 de la Red Neuronal Celular de dos neuronas.

X1X2


ANEXO A

102

Para µ = 0.65 y s = 1 i1 = -0.3 i2 = 0.3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-3

-2

-1

0

1

2

3

Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)


X1X2


Para µ = 0.3 y s = 1 i1 = -0.3 i2 = 0.3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)


X1X2


ANEXO A

103

Para µ = 0.5 y s = 1.5 i1 = -0.3 i2 = 0.3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)


X1X2


Para µ = 0.5 y s = 0.9 i1 = -0.3 i2 = 0.3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)


X1X2


ANEXO A

104

Para µ = 0.5 y s = 1 i1 = -0.3 i2 = 0.36

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)

Salida X1 con diferentes valores de i2 de la CNN de dos neuronas.

X1 con i2=0.3X1 con i2=0.36


105

ANEXO B Instalación y puesta en marca de la tarjeta de adquisición de datos.

La utilización de una tarjeta de adquisición de datos fue requerida para enviar y leer señales diversas por medio de una computadora. De esta forma se obtuvieron gráficos deseados de acuerdo a las necesidades requeridas.

Para la instalación de la tarjeta de adquisición de datos (marca National Instruments

PCI 6025E) a la computadora, se siguieron los siguientes pasos:

Teniendo apagada la computadora, se insertó la tarjeta National Instruments PCI 6025E en una ranura PCI. Posteriormente se realizó la interconexión de la tarjeta de adquisición de datos con la tarjeta de conexiones mediante el cable provisto por el fabricante del dispositivo para dicho fin.

Se encendió el equipo de cómputo y se ejecutó el software de MatLab.

Posteriormente se ejecutó Simulink (se escribió la palabra simulink en la ventana de comando de Matlab y dio clic en la tecla de aceptar). Se creó un nuevo archivo *.mdl (nuevo modelo).

Para que la simulación del nuevo documento creado en Simulink realizara una correcta

interfase con la tarjeta de adquisición de datos, se efectuaron ciertas configuraciones, las cuales se explican a continuación.

En la ventana de Configuración de parámetros, a la cual se accedió siguiendo la figura B.1, se seleccionó de la parte izquierda de la ventana la opción Solver; aquí se cambió el paso de integración a paso fijo (Type: Fixed-step), el método de solución a Runge-Kutta (Solver: ode4 (Runge-Kutta)) y por último el período de muestreo a 0.005 seg (Fixed step-size (Fundamental simple time): 0.005). Lo anterior se ilustra en la figura B.2.

Figura B.1.- Ruta de acceso a la ventana de Configuración de parámetros.

ANEXO B

106

Figura B.2.- Ventana de configuración de la opción Solver.

En esta misma ventana de Configuración de parámetros, se dio clic en la opción

Real-Time Workshop. En la sección Target Selección se pulsó el botón Browse…; en la ventana que apareció, se seleccionó Real-Time Windows Target (rtwin.tlc) y se dio clic en aceptar (figura B.3). La opción The Real-Time Windows Target utiliza un pequeño kernel de tiempo real para asegurar que la aplicación corra en tiempo real. El kernel de tiempo real corre en el CPU en modo kernel o privilegiado y utiliza el reloj de la PC como su fuente primaria de tiempo.

Figura B.3.- Selección del kernel de tiempo real para The Real-Time Windows Target.

Estando posicionados de nueva cuenta en la ventana de Configuración de

parámetros se dio clic en aceptar. Por último y en lo que a las configuraciones de los parámetros de simulación se refiere, se seleccionó el modo de simulación a externo, tal y como se muestra en la figura B.4. La comunicación entre Simulink y la aplicación en tiempo real es a través del módulo de interfaz externo de Simulink.

ANEXO B

107

Este módulo se comunica directamente con el kernel de tiempo real y es usado para iniciar la aplicación en tiempo real.

Figura B.4.- Selección del módulo de interfaz externo de Simulink.

En la ventana de las librerías de Simulink se seleccionó la pestaña de nombre Real-

Time Windows Target. Los bloques de entrada/salida de Real-Time Windows Target permiten seleccionar y conectar canales análogos y/o digitales específicos al modelo de Simulink (figura B.5).

Figura B.5.- Bloques de entradas y salidas análogas y/o digitales.

Para este trabajo de tesis sólo se utilizaron los bloques análogos, para lo cual se tuvo

que realizar la configuración de los mismos de la siguiente manera.

Se dio doble-clic sobre el bloque a configurar. En la opción del período de muestreo (Sample Time), se introdujo el mismo valor

especificado en la ventana de Configuración de parámetros, el cual fue para este caso de 0.005 seg.

Se especificó el canal a utilizado en la tarjeta de adquisición de datos. El rango de voltaje a utilizado se configurará como -10 a 10 V. Finalmente se dio clic en aceptar para que las configuraciones tuvieran efecto.

ANEXO B

108

La ventana de configuración del bloque de entrada análoga se muestra en la siguiente figura.

Figura B.6.- Ventana de configuración del bloque de entrada análoga.

A continuación se cita el procedimiento que se realizó para llevar a cabo una simulación:

Se compiló el modelo. Esto se llevó a cabo tecleando Ctrl.+B o siguiendo la ruta como lo muestra la siguiente figura.

Figura B.7.- Compilado del modelo.

Posteriormente se conectó la tarjeta de adquisición de datos seleccionando la

pestaña Simulation y dando clic en la opción Connect To Target. Finalmente se dio clic en el botón de play para iniciar la simulación.

109

ANEXO C Diagrama electrónico de la circuitería de la consola de control de péndulo invertido.

Figura C.1.-Circuito electrónico de la consola de control del péndulo invertido.

1).- Fuente de voltaje simetrica de ±10v

2).- Limitador de voltaje a ±10v 3).- Etapa de ganancia del servo motor.

4).- Acondicionadores de voltaje.

110

ANEXO D Especificaciones de la maqueta de péndulo invertido marca BYTRONIC. *Motor-tacho M66CE

El M66CE es un servo motor de CD de alto rendimiento y baja inercia, el cual provee una potencia de salida de 30W y brinda un buen funcionamiento en un amplio intervalo de velocidad.

Figura D.1.- Motor-tacho M66CE a) Servo motor M66CT b) Servo motor serie 120.

Figura D.2.- Medidas en mm y cables de alimentación del servo motor M66CT

a) b)

ANEXO D

111

Tabla D.1.- Especificación del Servo motor tipo M78CT24 (M66CT).

Voltaje Nominal 30 V CD Potencia de Salida 30 Watts Velocidad en vacío 2,900 rpm Velocidad promedio de torque 2,300 rpm Torque Promedio 12 Ncm Torque Máximo 36 Ncm Corriente máxima en vacío 65 mA Inercia del Rotor 0.214 Kgcm^2 Constante de tiempo Mecánica 17 mseg Constante de Torque 9.8 Ncm/A Constante de Voltaje 10.23 V/1000rpm Resistencia del Rotor 7.8 ohms Inductancia del Rotor 5 mH Conmutación Carbones de Grafito Rodamiento De Bolas Carga radial máxima 100 N Carga axial máxima 15 N Rango de temperatura de operación (-10 a 60 ºC)

El servo motor de la serie 120-18 sumistra todas las ventajas necesarias para lograr un

alto rendimiento de servo operación, combinando con un costo muy accesible.

Figura D.3.- Servo motor serie 120-18.

Figura D.4.- Medidas en mm del motor 120-18.

ANEXO D

112

Tabla D.2.- Especificación del servo motor serie 120-18.

Diámetro del cuerpo del motor 29 mm Voltaje Nominal 24 V cd Potencia de Salida 2.9 Watts Velocidad en vacío 3,800 rpm Velocidad promedio de torque 3,000 rpm Torque Promedio 0.6 Ncm Torque Máximo 2.9 Ncm Corriente máxima en vacío 0.031 A Inercia del Rotor 0.009 Kgcm^2 Constante de tiempo Mecánica 13 mseg Constante de Torque 6.12 Ncm/A Constante de Voltaje 6.3 V/1000rpm Resistencia del Rotor 47 ohms Inductancia del Rotor 4.1 mH Conmutación Metal Precioso Rodamiento De deslizamiento Carga radial máxima 5 N Carga axial máxima 0.5 N Rango de temperatura de operación (-10 a 65 ºC) Rango de temperatura de Almacenamiento (-20 a 80º C)

*Potenciómetro industrial de Precisión

Figura D.5.- Potenciómetro industrial de Precisión Vishay Spectrol modelo 157.

• Alta Calidad • Corta distancia entre la parte trasera y el control frontal • Acero inoxidable como recubrimiento • Larga vida en su control rotacional • Amplio rango de temperatura de operación

ANEXO D

113

Tabla D.3.- Especificaciones eléctricas del potenciometro industrial de precisión.

Resistencia 1KΩ a 100KΩ Resistencia de Tolerancia ± 20% Tolerancia especial ± 10% Exactitud ± 2.0% Exactitud especial ± 0.25 % Resistencia coeficiente de Temperatura ± 600ppm/ºC Potencia Radiada 1 Watt a 40ºC Tasa de reducción 0 Watts a 125ºC Rotación 340ºC ± 4º Voltaje Final 0.5% máximo Soporte de el Dieléctrico 1000 Vrms a 60Hz Resistencia de aislamiento 100 MΩ mínimo,500 VDC

Figura D.6.- Medidas en mm del Potenciómetro vishay Spectrol modelo 157.

ANEXO D

114

*Potenciómetro de posición del Carro

Figura D.7.- Potenciómetro Sakae Modelo 22HHp-10E.

Tabla D.4.- Especificaciones Electricas Potenciómetro Sakae Modelo 22HHp-10E.

Valores estándar de resistencia 2K,5K,10K,20K,50K,100K(Ω) en 10 vueltas

Resistencia de Tolerancia estándar ± 10% Resistencia de Tolerancia especial ± 5% Tolerancia linealmente independiente: Estándar ±.025% Alta presición ± 0.1% Resolución Esencialmente infinita Salida Suave 0.015% ajustable con respecto a la entrada

de voltaje Potencia de salida 2.0W Recorrido eléctrico 360º con ± 5º de diferencia Recorrido Mecánico 360º con + 10º de diferencia Voltaje máximo de operación 500V Coeficiente de temperatura de la Resistencia ±100p.p.m./ºC Troqué máximo 1 N*m Masa 20gr

ANEXO D

115

Figura D.8.- Medidas del Potenciómetro Sakae Modelo 22HHP-10E.

*Características de la banda detada. Nomenclatura de la banda : 10T101300KNT de la marca MECTROL

Figura D.9.- Banda dentada marca MECTROL.

ANEXO D

116

*Características de la Polea dentada.

Dimensiones según el manual de MECTROL Número de Dientes PD OD Fd Dm D L F

16 25.5mm 24.6mm 29mm 18mm 6mm 21mm 15mm Nomenclatura de la polea: P21T5161FA

Figura D.10.- Polea dentada marca MECTROL.

Tabla D.5.- Pesos de las Partes del Péndulo Invertido.

* Incluye: Dos placas con balero, cilindro rotatorio, un potenciómetro con orejas y tornillos, carcasa plástica cuadrada y cable del potenciómetro, tornillos cortos, arandelas, tuercas y cubre tuercas. **Incluye: Una placa negra y una de aluminio, cilindro rotatorio, dos potenciómetros con orejas y tornillos, carcasa plástica cuadrada y cable del potenciómetro, tornillos cortos, arandelas, tuercas y cubre tuercas.

Varilla 60gr Aro Varillita 8gr Peso Péndulo 220gr *Carro Antes 242gr

**Carro Ahora 247gr

117

ANEXO E Montaje físico de un segundo potenciómetro a la varilla del péndulo invertido.

La varilla de péndulo invertido cuenta con un potenciómetro acoplado para la medición del ángulo al cual se encuentra la varilla. Dicho potenciómetro es energizado con un voltaje de +10 volts en una de sus terminales de sus extremos y con -10 volts en la terminal del extremo opuesto. Esto con el fin de que cuando la varilla este a 0° con respecto a la vertical exista un voltaje de 0 volts con respecto a tierra. La pregunta es, ¿Por qué acoplar un segundo potenciómetro a la varilla del péndulo invertido si ya cuenta con uno?

El potenciómetro ya instalado funciona como sensor de posición el cual entrega un

nivel de voltaje de corriente directa en relación al ángulo al que se encuentre la varilla. El segundo potenciómetro se utilizará como las resistencias que conformarán los dos circuitos RC de la red de neuronas Nv, tal y como se ilustra en la figura.

Es importante resaltar que un solo potenciómetro no puede ser utilizado para los dos

fines. La siguiente figura muestra dos imágenes. En la imagen de la izquierda se muestra el

carro con un solo potenciómetro instalado. En la imagen de la derecha se puede apreciar un segundo potenciómetro acoplado a la varilla del péndulo invertido.

Figura E.1.- Acoplamiento del potenciómetro destinado para entregar un voltaje de CD en

relación al ángulo de la varilla (izquierda). Parte opuesta donde se acoplará el segundo potenciómetro (derecha).

Para la instalación del segundo potenciómetro se mandó maquinar una pequeña placa,

la cual forma parte del carro que soporta la varilla. Esta placa también se puede apreciar en la figura anterior en color plateado.

ANEXO E

118

Aprovechando que las piezas del carro del péndulo invertido fueron desmontadas de la maqueta y observando que la banda, de la cual depende su movimiento, estaba a punto de reventarse por el desgaste del uso, se optó por retirarla y sustituirla por una banda nueva. El grado de deterioro de la banda puede apreciarse en la siguiente figura, así como también la banda nueva que fue instalada.

Figura E.2.- Banda deteriorada (izquierda) sustituida por una banda nueva de las mismas

(derecha).

119

ANEXO F Programa para calcular el valor de los elementos del filtro pasa-bajas Sallen-Key de tercer orden. clc clear all close all fc=input('Frecuencia de corte (Hz)=') wc=fc*2*pi; %La frecuencia en Hertz es convertida

a frecuencia en radianes. w1=1.3; Q1=1.341; w2= 0.969; %Estos tres valoresw anteriores fueron tomados de una

tabla (respuesta Chebychev y rizo de 0.1 dB) k=3; a1=((1+sqrt(1-(4*(Q1^2)*(2-k))))/(2*Q1*(2-k)))^2 a2=((1-sqrt(1-(4*(Q1^2)*(2-k))))/(2*Q1*(2-k)))^2 if a1<0; a=a1; elseif a2<0; a=a2; elseif a2>a1; a=a1; else a1>a2; a=a2; end a C=input('Valor del Capacitor (Farads)=') 'Etapa de segundo orden' R2=1/(wc*w1*C*sqrt(a)) R1=a*R2 'Etapa de primer orden' Rp=1/(wc*w2*C)

ANEXO F

120

*Diagrama implementado en SIMULINK del filtro pasa-bajas Sallen-Key de tercer orden.

Figura F.1.- Diagrama implementado en SIMULINK del filtro pasa-bajas Sallen-Key.

Respuesta del filtro pasa-bajas Chebyshev Tipo I de orden tres bajo la configuración Sallen-Key. Las siguientes dos ilustraciones muestran la respuesta del filtro Chevyshev Tipo I de orden tres ante el cambio repentino del ciclo de trabajo de la señal a ser filtrada y de la cual sólo se quiere obtener su componente de corriente directa. La señal a ser filtrada es una señal cuadrada que oscila entre 0 y 4 volts. En las simulaciones realizadas, la señal presenta un ciclo de trabajo del 50% hasta los 0.002 seg y después de este tiempo, el ciclo de trabajo aumenta a un 75%.

ANEXO F

121

Figura F.2.-Respuesta del filtro Chebyshev Tipo I pasa-bajas (fc = 10 KHz).

En la gráfica anterior se puede apreciar que el filtro presenta un sobre impulso muy pequeño, teniendo también un tiempo de establecimiento igualmente pequeño.

Figura F.3.-Respuesta del filtro Chebyshev Tipo I pasa-bajas (fc = 2 KHz).

A diferencia de la gráfica de la Figura F.2, la respuesta del filtro con frecuencia de corte de 2 KHz, la cual se ilustra en la parte superior de este párrafo, presentó un sobreimpulso y un tiempo de establecimiento mayor al del filtro con fc = 10 KHz; no obstante, es una muy buena respuesta del filtro pasa-bajas en relación a las exigencias de la aplicación.

122

ANEXO G Gráficas experimentales del controlador implementado a partir de la Red Nerviosa Bicore.

Frecuencia de oscilación de 615, 545, 485, 400, 92 KHz y un filtro pasa-bajas con frecuencia de de corte de 20 KHz.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-6

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)




310

410

510

610

7-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de (d

B)



Figura G.1.- a).- Oscilación de la neurona Bicore y Vmed (fosc=615 KHz C=122 pF).

b).- Diagrama de Bode del filtro pasa-bajas con fc=20 KHz.

0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6


Tiempo (seg)

Áng

ulo

(°)

0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

15


Tiempo (seg)

Long

itud

(cm

)


KHz). b).- Posición del péndulo invertido sobre el riel (fosc=615 KHz fc=20 KHz).

a) b)

a) b)

ANEXO G

123

0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-6

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)



Oscilación de la neurona Bicore y Vmed (fosc=545 KHz C=150 pF).

0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6


Tiempo (seg)

Áng

ulo

(°)

0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

15


Tiempo (seg)

Long

itud

(cm

)



a) b)

ANEXO G

124

0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-6

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)




0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6


Tiempo (seg)

Áng

ulo

(°)

0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

15


Tiempo (seg)

Long

itud

(cm

)



a) b)

ANEXO G

125

0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10-5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)




0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6


Tiempo (seg)

Áng

ulo

(°)

0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

15


Tiempo (seg)

Long

itud

(cm

)



a) b)

ANEXO G

126

0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 10-5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Oscilación de la neurona Bicore y Vmed << f=92 Khz C=1nF >>

Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)



Oscilación de la neurona Bicore y Vmed (fosc=92 KHz C=1 nF).

0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6


Tiempo (seg)

Áng

ulo

(°)

0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

15


Tiempo (seg)

Long

itud

(cm

)



a) b)

a) b)

ANEXO G

127

0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)

Figura G.11.- a).- Señal de control del sistema (fosc=92 KHz fc=20 KHz).

Frecuencia de oscilación de 615, 545, 485, 400, 92 KHz y un filtro pasa-bajas con frecuencia de de corte de 10 KHz.

Diagrama de Bode del filtro pasa-bajas con fc=10 KHz


310

410

510

610

7-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de (d

B)



Figura G.12.- Diagrama de Bode del filtro pasa-bajas con fc=10 KHz.

ANEXO G

128

0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6


Tiempo (seg)

Áng

ulo

(°)

0 5 10 15 20 25 30

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15


Tiempo (seg)Lo

ngitu

d (c

m)



0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)

0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6


Tiempo (seg)

Áng

ulo

(°)



a) b)

a) b)

ANEXO G

129

0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

15


Tiempo (seg)

Long

itud

(cm

)

0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)

Figura G.15.- a).- Posición del péndulo invertido sobre el riel (fosc=545 KHz fc=10.

b).- Señal de control del sistema (fosc=545 KHz fc=10 KHz).

0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6


Tiempo (seg)

Áng

ulo

(°)

0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

15


Tiempo (seg)

Long

itud

(cm

)



a) b)

a) b)

ANEXO G

130

0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)

0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6


Tiempo (seg)

Áng

ulo

(°)



0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

15


Tiempo (seg)

Long

itud

(cm

)

0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)


KHz). b).- Señal de control del sistema (fosc=400 KHz fc=10 KHz).

a) b)

a) b)

ANEXO G

131

0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6


Tiempo (seg)

Áng

ulo

(°)

0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

15


Tiempo (seg)Lo

ngitu

d (c

m)



0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)

Figura G.20.- Señal de control del sistema (fosc=92 KHz fc=10 KHz).

a) b)

ANEXO G

132

Frecuencia de oscilación de 615, 545, 400, 92 KHz y un filtro pasa-bajas con frecuencia de de corte de 2 KHz.

0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6


Tiempo (seg)

Áng

ulo

(°)

0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

15


Tiempo (seg)

Long

itud

(cm

)



0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)

0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6


Tiempo (seg)

Áng

ulo

(°)



a) b)

a) b)

ANEXO G

133

0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

15


Tiempo (seg)

Long

itud

(cm

)

0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10


Tiempo (seg)A

mpl

itud

(vol

ts)


KHz). b).- Señal de control del sistema (fosc=545 KHz fc=2 KHz).

0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6


Tiempo (seg)

Áng

ulo

(°)

0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

15


Tiempo (seg)

Long

itud

(cm

)

Figura G.24.- a).- Ángulo de la varilla con respecto a la vertical (fosc=400 KHz fc=2 KHz). b).- Posición del péndulo invertido sobre el riel (fosc=400 KHz fc=2 KHz).

a) b)

a) b)

ANEXO G

134

0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)

0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6


Tiempo (seg)Á

ngul

o (°

)

Figura G.25.- a).- Señal de control del sistema (fosc=400 KHz fc=2 KHz). b).- Ángulo de la varilla con respecto a la vertical (fosc=92 KHz fc=2 KHz).

0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

15


Tiempo (seg)

Long

itud

(cm

)

0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)

Figura G.26.- a).- Posición del péndulo invertido sobre el riel (fosc=92 KHz fc=2 KHz).

b).- Señal de control del sistema (fosc=92 KHz fc=2 KHz).

a) b)

a) b)

ANEXO G

135

Frecuencia de oscilación de 545, 485, 400, 92 KHz y un filtro pasa-bajas con frecuencia de de corte de 100 Hz.

0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6


Tiempo (seg)

Áng

ulo

(°)

0 5 10 15 20 25 30

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15


Tiempo (seg)

Long

itud

(cm

)


Hz). b).- Posición del péndulo invertido sobre el riel (fosc=545 KHz fc=100 Hz).

0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)

0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6


Tiempo (seg)

Áng

ulo

(°)



a) b)

a) b)

ANEXO G

136

0 5 10 15 20 25 30

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15


Tiempo (seg)

Long

itud

(cm

)

0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)

Figura G.29.- a).- Posición del péndulo invertido sobre el riel (fosc=485 KHz fc=100 Hz). b).- Señal de control del sistema (fosc=485 KHz fc=100 Hz).

0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6


Tiempo (seg)

Áng

ulo

(°)

0 5 10 15 20 25 30-20

-15

-10

-5

0

5

10

15


Tiempo (seg)

Long

itud

(cm

)


Hz). b).- Posición del péndulo invertido sobre el riel (fosc=545 KHz fc=100 Hz).

a) b)

a) b)

ANEXO G

137

0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)

0 5 10 15 20 25 30

-6

-4

-2

0

2

4

6


Tiempo (seg)

Áng

ulo

(°)



0 5 10 15 20 25 30

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15


Tiempo (seg)

Long

itud

(cm

)

0 5 10 15 20 25 30

-10

-5

0

5

10


Tiempo (seg)

Am

plitu

d (v

olts

)

Figura G.32.- a).- Posición del péndulo invertido sobre el riel (fosc=92 KHz fc=100 Hz).

b).- Señal de control del sistema (fosc=92 KHz fc=100 Hz).

a) b)

a) b)

138

ANEXO H Programa realizado en el editor de MatLab el cual realiza los cálculos numéricos a partir de un archivo de datos *.lvm % yn es la referencia % y es la señal medida clc close all clear all A=load ('prueba01.lvm'); %angulo de la varilla es la columna 6 %señal de control es la columna 5 %señal de control del controlador clásico es la columna 4 y=A(:,6); %y=y+0.7; %señal control, controlador clásico y=((y*72)/1.8)-1; L=47; %length(y) %L=47 para prueba de la #01 hasta la #15 %L=47 para la prueba del controlador clásico %L=129 para prueba de la #16 hasta la #20 yn=0; r=0; %**************************************************************** i=1; for cont=1:1:L r=r+abs(y(i)); i=i+1; end emedio=r/L; %**************************************************************** med=0; i=1; for cont=1:1:L med=med+y(i);

ANEXO H

139

i=i+1; end med=med/L; %**************************************************************** sum=0; i=1; for cont=1:1:L sum=sum+(y(i)-med)^2; i=i+1; end %**************************************************************** Se=sqrt((1/(L-1))*sum); emax=max(abs(y)); emin=min(abs(y)); %**************************************************************** N=length(y); IAE=0;ITAE=0;ISE=0; for m=1:1:N; IAE=IAE+abs(y(m)); ITAE=ITAE+(m*0.2e-3*abs(y(m))); ISE=ISE+(y(m)^2); end Var=[emedio Se emax emin IAE ITAE ISE]; disp(' emedio Se emax emin IAE ITAE ISE') disp(Var) Var=[emax emin]; disp(' emax emin') disp(Var)

cenidet · 2014-02-13 · Dedicatoria A quienes me dieron la vida… a mis padres, Gabriel...

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