cenidet...(Cenidet), así como al Consejo nacional de Educación Tecnológica (Cosnet). A mis padres...

S.E.P. S.E.I.T. D.G.I.T. CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN

Y DESARROLLO TECNOLÓGICO

cenidet

“CARACTERIZACIÓN DE UN ROBOT MANIPULADOR ARTICULADO”

T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE : MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERIA MECATRÓNICA P R E S E N T A N : ING. SALOMÓN ABDALÁ CASTILLO ING. RAÚL ÑECO CABERTA

DIRECTORES: M.C. JOSÉ LUIS GONZÁLEZ RUBIO SANDOVAL

DR. JOSÉ RUIZ ASCENCIO DR. LUIS GERARDO VELA VALDÉS

CUERNAVACA, MORELOS JUNIO 2003

Dedicatorias:

A Dios por todas las bendiciones que ha derramado en mí, por mandarme ese angelito y permitirme ser lo que soy.

A mi amada esposa Laura por haber decidido compartir su vida conmigo, por levantarme cuando pienso que no puedo más, por amarme de esa forma y por permitirme ser papá… ¡te amo!

A mis Padres por creer en mí, por darme

su amor, sus consejos, sus regaños y ese apoyo incondicional siempre.

A mi hijo Salomón que ha llenado

mi vida de ánimos y me motiva a conquistar nuevas metas, a ti hijo mío y a tus hermanos que faltan.

A mis hermanos Lulú y

Abraham por confiar en mi y escucharme cada vez que lo necesito.

Los quiero y amo mucho…

Salomón A. C.

Agradecimientos

A Laura por todos los desvelos que compartimos juntos y por fin llegamos a este anhelado sueño.

A mis papas por apoyarme siempre y en todo momento. A mi apreciable amigo y compañero de tesis Raúl Ñeco por su gran

paciencia conmigo, por todos los conocimientos que me compartió y por que siempre confió en que este trabajo lo terminaríamos exitosamente.

A mis amigos de la maestría: Manuel N., Sergio R., Yahir M. y en especial a Alejandro H. y a Raúl Ñ. por brindarme su amistad y por todo el apoyo que recibí de ustedes durante toda esta época de peripecias, sufrimientos pero también de muchas glorias.

A mis muy buenos amigos los “mecánicos”: Alfredo R., Sósimo D. y Jaime V. por todos esos ratos alegres que pudimos compartir y por su amistad.

A mis compañeros de Cenidet: Marving J. (y Erika), Gabriel y Laura. Al M.C. Jesús Aguayo por su apoyo para la realización de

adquisición de datos con el robot pues fue una parte importante de este trabajo.

A mis asesores el Dr. Luis G. Vela, Dr. José Ruiz Ascencio y al M.C. José L. Glez. Rubio, por su tiempo, paciencia y conocimientos que aportaron para cristalizar este trabajo.

A mis revisores el Dr. Gerardo V. Guerrero (además gracias por la asesorías), Dr. Raúl Garduño y Dr. Marco A. Oliver por las observaciones y sugerencias que proporcionaron para hacer de este trabajo, un excelente trabajo.

Al Cenidet por abrirme las puertas a sus aulas donde adquirí y enriquecí mis conocimientos y por colaborar a mi formación académica y personal.

A la SEP y COSNET por el tiempo que me apoyaron económicamente en una parte de mis estudios.

A todos ustedes ¡¡¡ GRACIAS !!!

Salomón A. C.

Dedicatorias:

A mi madre Juana Caberta Alegría, por estar siempre junto a mí y darme todo su cariño.

A mi padre Santiago Ñeco García, por su apoyo para lograr cumplir las metas que trace durante mis estudios.

A cada uno de mis hermanos, Roberto, Anabel, Gloria, Teresa, Rosa y Leticia por su gran cariño.

A mis sobrinos, para los que espero y puedan lograr todas las metas que se propongan.

Raúl Ñ. C.

Agradecimientos

Al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (Cenidet), así como al Consejo nacional de Educación Tecnológica (Cosnet).

A mis padres por ser lo mejor que tengo en esta vida. A mi compañero de tesis Ing. Salomón Abdalá Castillo por

brindarme su amistad y confianza.

A mis asesores de tesis por su colaboración y apoyo en la realización de este trabajo: Dr. José Ruiz Ascencio, Dr. Luis Gerardo Vela Valdés, M.C. José Luis González Rubio Sandoval.

A los Dr. Gerardo Vicente Guerrero Ramírez, el Dr. Raúl garduño

Ramírez y el Dr. Marco Antonio Oliver Salazar por la ayuda que me otorgaron y el tiempo de asesorías brindado para que este trabajo pudiera culminar.

A cada uno de mis compañeros de generación con los cuales

compartí gratos momentos.

Raúl Ñ. C.

i

T A B L A D E C O N T E N I D O Pág. LISTA DE FIGURAS viii LISTA DE TABLAS xi SIMBOLOGÍA xii ABREVIATURAS Y ACRÓNIMOS xiii RESUMEN xiv PREFACIO xv CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 1 1.1 Generalidades 2

1.1.1 Robot 2 1.1.2 La robótica 2

1.1.2.1 ¿Qué es la robótica? 3 1.1.3 Manipulador articulado 3

1.2 Antecedentes en el Cenidet 4 1.3 Descripción del problema 5 1.4 Objetivos de la tesis 6 1.5 Alcances de la tesis 7 1.6 Estado del arte 8

1.6.1 Clasificación de los robots basados en las generaciones de sistemas de control 8 1.6.1.1 La primera generación 8 1.6.1.2 La segunda generación 8 1.6.1.3 La tercera generación 8 1.6.1.4 La cuarta generación 8 1.6.1.5 La quinta generación 9

1.6.2 El robot industrial 9 1.6.2.1 Configuraciones básicas 10

1.6.2.1.1 Configuración polar 10 1.6.2.1.2 Configuración cilíndrica 10 1.6.2.1.3 Configuración de coordenadas cartesianas 11 1.6.2.1.4 Configuración de brazo articulado 11

1.6.3 Construcción 12 1.6.4 Arquitecturas de los robots 12

1.6.4.1 Poliarticulados 13 1.6.4.2 Móviles 13 1.6.4.3 Androides 13 1.6.4.4 Zoomórficos 14

ii

1.6.4.5 Híbridos 14 1.6.5 Campos de aplicación 14 1.6.6 Ventajas y desventajas del uso de los robots 15

1.7 El robot “Scorbor ER V plus” 15 CAPÍTULO 2 MODELADO MATEMÁTICO 18 2.1 Cinemática 19

2.1.1 Cinemática directa 20 2.1.2 Cinemática inversa 24

2.2 Dinámica 28 2.2.1 Consideraciones dinámicas 28 2.2.2 Dinámica inversa 28

2.2.2.1 Análisis de la articulación en la base 30 2.2.2.2 Análisis de la articulación en el primer eslabón 30 2.2.2.3 Análisis de la articulación en el segundo eslabón 31 2.2.2.4 Análisis de la articulación en el segundo eslabón

respecto a la carga 33 2.2.2.5 Ecuación de Lagrange 34 2.2.2.6 Fricción 37 2.2.2.7 Par de la articulación 1 (cintura) 38 2.2.2.8 Par de la articulación 2 (hombro) 39 2.2.2.9 Par de la articulación 3 (codo) 40 2.2.2.10 Modelo dinámico inverso par un robot manipulador

articulado 41 2.2.3 Dinámica directa 42

2.2.3.1 Modelo dinámico directo par un robot manipulador articulado 44

CAPÍTULO 3 SIMULACIÓN EN PC 45 3.1 Cinemática 46

3.1.1 Cinemática directa 46 3.1.2 Cinemática inversa 53

3.2 Dinámica 65 3.2.1 Dinámica inversa 65 3.2.2 Péndulos 66

3.2.2.1 Péndulo simple 66 3.2.2.2 Péndulo horizontal 67

3.2.3 Robot planar 68 3.2.4 Dinámica directa 71

iii

CAPÍTULO 4 VALIDACIÓN 75 4.1 Validación de los modelos cinemáticos directo e inverso 76 4.2 Validación del modelo dinámico inverso 77

4.2.1 Descripción de experimentos 77 4.2.2 Equipo utilizado 79 4.2.3 Información de los actuadores 80 4.2.4 Estimación de pesos 80 4.2.5 Experimentos realizados 84

4.2.5.1 Prueba 1 (cintura) 85 4.2.5.1.1 Condiciones iniciales 85 4.2.5.1.2 Resultados del experimento 85 4.2.5.1.3 Registro de tiempos en la prueba 86 4.2.5.1.4 Graficación de los datos de la corriente en Excel 87 4.2.5.1.5 Relación de engranaje 87 4.2.5.1.6 Comparación de señal de prueba vs. simulación 88

4.2.5.2 Prueba 2 (hombro) 89 4.2.5.2.1 Condiciones Iniciales 89 4.2.5.2.2 Resultados del Experimento 89 4.2.5.2.3 Registro de tiempos en la prueba 90 4.2.5.2.4 Graficación de los datos de la corriente en Excel 91 4.2.5.2.5 Relación de engranaje 91 4.2.5.2.6 Comparación de señal de Prueba vs. Simulación 92

4.2.5.3 Prueba 3 (codo) 93 4.2.5.3.1 Condiciones iniciales 93 4.2.5.3.2 Resultados del experimento 93 4.2.5.3.3 Registro de tiempos en la prueba 94 4.2.5.3.4 Graficación de los datos de la corriente en Excel 95 4.2.5.3.5 Relación de engranaje 95 4.2.5.3.6 Comparación de señal de prueba vs. simulación 96

4.2.5.4 Prueba 4 (hombro y codo) 97 4.2.5.4.1 Condiciones iniciales 97 4.2.5.4.2 Resultados del experimento 97 4.2.5.4.3 Registro de tiempos en la prueba 98 4.2.5.4.4 Graficación de los datos de la corriente en Excel 99 4.2.5.4.5 Relación de engranaje 99 4.2.5.4.6 Comparación de señales de prueba vs. simulación 99

4.3 Validación del modelo dinámico directo 102 CAPÍTULO 5 CONCLUSIONES 103 5.1 Resultados 105

iv

5.2 Aportaciones 107 5.3 Trabajos futuros 108 BIBLIOGRAFÍA GENERAL 109 PÁGINAS WEB 114 APÉNDICE A EL ROBOT SCORBOT - ER V plus 115 A.1 Especificaciones 116 A.2 Espacio de trabajo 117 A.3 Métodos de operación 118 A.4 Control de trayectoria 121 A.5 Interfase 123 APÉNDICE B CINEMÁTICA 125 B.1 Cinemática Directa 126

B.1.1 Denavit – Hartenberg 126 B.1.2 Parámetros Denavit – Hartenberg 127 B.1.3 Algoritmo Denavit – Hartenberg 127 B.1.4 Matriz de transformación 128

B.2 Cinemática inversa 129 B.2.1 Métodos de solución 129

APÉNDICE C DINÁMICA 130 C.1 Formulación de Lagrange 131 C.2 Función de disipación de Rayleigh 132 C.3 Solución a un modelo 132 APÉNDICE D PÉNDULOS 134 D.1 Modelo del péndulo simple 135

D.1.2 Energía cinética 136

v

D.1.3 Energía potencial 136 D.2 Rotación de un sólido rígido alrededor de un eje fijo 137 D.3 Modelo del péndulo horizontal 138

D.3.1 Energía cinética 139 D.3.1 Energía potencial 140

D.4 Robot planar 141 D.4.1 Análisis de la articulación en el primer eslabón 141 D.4.2 Análisis de la articulación en el segundo eslabón 142 D.4.3 Análisis de la articulación en el primer eslabón respecto a la carga 143 D.5 Ecuación de Lagrange 144 D.6 Par de la articulación 2 147 D.7 Par de la articulación 3 147 APÉNDICE E IDENTIDADES 148 E.1 Relaciones entre las funciones trigonométricas 148 E.2 Funciones de ángulos múltiples 149 E.3 Potencias del seno y coseno en función de ángulos múltiples 149 E.4 Funciones de la suma y diferencia de dos ángulos 149 APÉNDICE F PROGRAMAS 150 F.1 Programa en “C” de la cinemática directa. 151 F.2 Programa en ACL para la prueba 1 156 F.3 Programa en ACL para la prueba 2 156 F.4 Programa en ACL para la prueba 3 157 F.5 Programa en ACL para la prueba 4 157 F.6 Posiciones registradas en el controlador 158 APÉNDICE G SUBSISTEMAS EN MATLAB/SIMULINK 159 G.1 Dinámica 160

G.1.1 Dinámica inversa 160 G.1.1.1 Parámetros 160 G.1.1.2 Entrada 160 G.1.1.3 Bloque A (ecuación 2-83) 161 G.1.1.4 Bloque E (ecuación 2-91) 162 G.1.1.5 Bloque F (ecuación 2-92) 162 G.1.1.6 Bloque H (ecuación 2-98) 163 G.1.1.7 Bloque I (ecuación 2-99) 163

vi

G.1.1.8 Bloque J (ecuación 2-86) 164 G.1.1.9 Bloque K (ecuación 2-93) 165 G.1.1.10 Bloque P (ecuación 2-100) 166 G.1.1.11 Bloque N (ecuación 2-94) 167 G.1.1.12 Bloque O (ecuación 2-101) 167

G.1.2 Dinámica directa 168 G.2 Péndulos 168

G.2.1 Péndulo simple 168 G.2.1.1 Inercias 168 G.2.1.2 Gravitacionales 169

G.2.2 Péndulo horizontal 169 G.2.2.1 Inercias 169

G.3 Robot planar 170 G.3.1 Bloque A_2 170 G.3.2 Bloque B_2 170 G.3.3 Bloque E_2 171 G.3.4 Bloque G_2 171 G.3.5 Bloque C_2 172 G.3.6 Bloque D_2 172 G.3.7 Bloque F_2 173 G.3.8 Bloque H_2 173 APÉNDICE H ENGRANES 174 H.1 Nomenclatura 175 H.2 Tren de engranes 176

H.2.1 Trenes de engranes simples 176 H.2.2 Tren de engranes compuestos 177 H.2.3 Trenes de engranajes epicíclicos o planetarios 178

APÉNDICE I PRÁCTICAS 181 I.1 Práctica 0 182 I.2 Práctica 1 184 I.3 Práctica 2 186 I.4 Práctica 3 188 I.5 Práctica 4 190 I.6 Práctica 5 193 I.7 Respuesta de la práctica 0 195 I.8 Respuesta de la práctica 1 195 I.9 Respuesta de la práctica 2 195 I.10 Respuesta de la práctica 3 196

vii

I.11 Respuesta de la Práctica 4 196 I.12 Respuesta de la Práctica 5 196

viii

LISTA DE FIGURAS

Pág. Figura 1-1 Celda de manufactura 5 Figura 1-2 Robot Scorbot-ER V plus de almacenes 6 Figura 1-3 Área de trabajo de la configuración polar 10 Figura 1-4 Área de trabajo de la configuración cilíndrica 11 Figura 1-5 Área de trabajo de la configuración de coordenadas cartesianas 11 Figura 1-6 Área de trabajo de la configuración de brazo articulado 12 Figura 1-7 Gráfica de porcentajes de aplicación de lo robots en las industrias 15 Figura 1-8 Scorbot-ER V plus 16 Figura 1-9 Vista del CIM 16 Figura 1-10 Ubicación de los sensores 17 Figura 2-1 Relación entre la cinemática directa e inversa. 19 Figura 2-2 Marco de referencias para el Scorbot-ER V plus. (a) y (b) 20 Figura 2-3 Robot y efector final, mostrando la definición de n, s, a y TCP 24 Figura 2-4 DCL de la Cinemática inversa 25 Figura 2-5 Proyección en un plano para la configuración codo abajo 26 Figura 2-6 Proyección en un plano para la configuración codo arriba 27 Figura 2-7 Relación entre la dinámica directa e inversa 28 Figura 2-8 DCL de la Dinámica inversa. 29 Figura 2-9 Proyección en un plano para la dinámica inversa. 30 Figura 3-1 Vista de planta 52 Figura 3-2 Vista lateral 52 Figura 3-3 Vista isométrica 52 Figura 3-4 Vista de planta 64 Figura 3-5 Vista lateral 64 Figura 3-6 Vista isométrica 64 Figura 3-7 Bloque de la dinámica inversa 65 Figura 3-8 Diagrama de bloques principal de la dinámica inversa 65 Figura 3-9 Diagramas de bloques de la dinámica inversa del péndulo simple 66 Figura 3-10 Gráfica del par requerido por el péndulo simple (1 GDL) 67 Figura 3-11 Gráfica del par requerido por el robot para el hombro (3 GDL) 67 Figura 3-12 Diagrama de bloques principal de la dinámica inversa del péndulo

horizontal 67 Figura 3-13 Gráfica del par requerido por el péndulo horizontal (1 GDL) 68 Figura 3-14 Gráfica del par requerido por el robot para la cintura (3 GDL) 68 Figura 3-15 Diagrama de bloques principal de la dinámica inversa de un robot

ix

planar 69 Figura 3-16 Gráfica del par requerido por robot planar (2 GDL) 70 Figura 3-17 Gráfica del par requerido por el robot para el hombro (3 GDL) 70 Figura 3-18 Gráfica del par requerido por el robot planar (2 GDL) 70 Figura 3-19 Gráfica del par requerido por el robot para el codo (3 GDL) 70 Figura 3-20 Bloque de la dinámica directa 71 Figura 3-21 Bloque de la dinámica directa e inversa 71 Figura 3-22 Diagrama de bloques principal de la dinámica directa 72 Figura 3-23 Par de entrada a la dinámica directa 73 Figura 3-24 Posición dinámica inversa 73 Figura 3-25 Posición dinámica directa 73 Figura 3-26 Velocidad dinámica inversa 74 Figura 3-27 Velocidad dinámica directa 74 Figura 3-28 Aceleración dinámica inversa 74 Figura 3-29 Aceleración dinámica directa 74 Figura 4-1 Foto de la interfase DB-50 77 Figura 4-2 Diagrama de conexiones 78 Figura 4-3 Parábola de velocidad 79 Figura 4-4 Primer eslabón del robot realizado en Pro-Enginner. 81 Figura 4-5 Movimiento de cintura 85 Figura 4-6 Pantalla del osciloscopio en la prueba 1 86 Figura 4-7 Gráfica de corriente en prueba 1 87 Figura 4-8 Transmisión mecánica en la cintura 87 Figura 4-9 Gráfica del par en prueba 1 en experimentos 88 Figura 4-10 Gráfica del par en prueba 1 en simulación 88 Figura 4-11 Movimiento de hombro 89 Figura 4-12 Pantalla del osciloscopio en la prueba 2 90 Figura 4-13 Gráfica de corriente en prueba 2 91 Figura 4-14 Transmisión mecánica en el hombro 91 Figura 4-15 Gráfica del par en prueba 2 en experimentos 92 Figura 4-16 Gráfica del par en prueba 2 en simulación. 92 Figura 4-17 Movimiento del codo 93 Figura 4-18 Pantalla del osciloscopio en la prueba 3 94 Figura 4-19 Gráfica de corriente en prueba 3 95 Figura 4-20 Transmisión mecánica en el codo 95 Figura 4-21 Gráfica del par en prueba 3 en experimentos 96 Figura 4-22 Gráfica del par en prueba 3 en simulación 96 Figura 4-23 Movimientos de hombro y codo 97 Figura 4-24 Pantalla del osciloscopio en la prueba 4 98 Figura 4-25 Gráfica de corriente en prueba 4 99 Figura 4-26 Gráfica del par en prueba 4 en experimentos (hombro) 100 Figura 4-27 Gráfica del par en prueba 4 en simulación (hombro) 100 Figura 4-28 Gráfica del par en prueba 4 en experimentos (codo) 101 Figura 4-29 Gráfica del par en prueba 4 en simulación (codo) 101

x

Figura 5-1 Par generado por el motor1 para mover la cintura 106 Figura 5-2 Par en simulación para el movimiento de cintura sin fricción 106 Figura 5-3 Par en simulación para el movimiento de cintura con fricción 106 Figura B-1a Uniones de revolución (R) 126 Figura B-1b Uniones prismáticas (P) 126 Figura D-1 Péndulo invertido 135 Figura D-2 Rotación de un cuerpo sobre un eje 138 Figura D-3 Péndulo horizontal 139 Figura D-4 DCL de un robot planar 141 Figura H-1 Nomenclatura de engranes 175 Figura H-2 Tren simple de engranes 177 Figura H-3 Tren simple en serie de engranes 177 Figura H-4 Tren compuesto de engranes 178 Figura H-5 Tren típico de engranes planetarios 179 Figura H-6 Engranaje planetario simple 180 Figura P2-1 Representación esquemática del robot de almacenes 187

xi

LISTA DE TABLAS

Pág. Tabla 2-1 Relación entre varios tipos de modelado 19 Tabla 2-2 Parámetros D-H obtenidos del Scorbot ER-V plus 21 Tabla 4-1 Parte del cuadro de diálogo de la cinemática directa 76 Tabla 4-2 Parte del cuadro de diálogo de la cinemática inversa 76 Tabla 4-3 Equipo de laboratorio 79 Tabla 4-4 Información que despliega el Pro-Enginner 82 Tabla 4-5 Concentrado del peso total del robot 83 Tabla 4-6 Condiciones de movimiento 85 Tabla 4-7 Datos de prueba 1 86 Tabla 4-8 Tiempos registrados en prueba 1 86 Tabla 4-9 Condiciones de movimiento 89 Tabla 4-10 Datos de prueba 2 90 Tabla 4-11 Tiempos registrados en prueba 2 90 Tabla 4-12 Condiciones de movimiento 93 Tabla 4-13 Datos de prueba 3 94 Tabla 4-14 Tiempos registrados en prueba 3 94 Tabla 4-15 Condiciones de movimientos 97 Tabla 4-16 Datos de prueba 4 98 Tabla 4-17 Tiempos registrados en prueba 4 98 Tabla F-1. Posiciones registradas en el controlador 158

xii

SIMBOLOGÍA

l1 Longitud del primer eslabón. l2 Longitud del segundo eslabón. l3 Longitud del gripper. θ1 Ángulo de la cintura. θ2 Ángulo del hombro. θ3 Ángulo del codo. θ4 Ángulo de pitch. θ5 Ángulo de roll. X0,Y0, Z0 Ejes cartesianos

Tn n1− Matriz de transformación homogénea resultante

n-1An Matriz de transformación homogénea parcial Px, Py, Pz, Puntos cartesianos n Vector normal del efector final s Vector de orientación del efector final a Vector de aproximación del efector final x, y y z Coordenadas generalizadas β Ángulo auxiliar α Ángulo auxiliar ω Ángulo auxiliar τ Par requerido W Carga aplicada mi Masa del i-ésimo eslabón g Constante de gravedad l Radio de giro para la masa de la base a, b Longitudes del primer y segundo eslabón respectivamente Ii Inercia del i-ésimo eslabón Vi Velocidad lineal del i-ésimo eslabón Ki Energía cinética respectivamente de cada eslabón Pi Energía potencial respectivamente de cada eslabón L Lagrangiano

( )qM Matriz de inercia ( )qqV &, Vector de las fuerzas Centrifugas qFV & Vector de las fuerzas de fricción ( )qG Vector de las fuerzas gravitacionales

iv Es un coeficiente constante conocido de fricción

VF Matriz diagonal con términos iv vec Denota vector

iv Es un coeficiente constante conocido

iq θ&& = Velocidad angular

xiii

ABREVIATURAS Y ACRÓNIMOS

R.U.R. Rossum’s Universal Robot Cinvestav Centro de investigación y de Estudios Avanzados del IPN IPN Instituto Politécnico Nacional Cenidet Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológicos PC Personal Computer

Computadora Personal IFR Federación Internacional de Robótica ISO/TR Norma Internacional de tratado sobre robótica AER Asociación Española de Robótica VCD Voltios de Corriente Directa CIM Computer Integrated Manufacturing systems Sistema de Manufactura Integrado por Computadora GDL Grados de Libertad VCD Voltaje de Corriente Directa DCL Diagrama de Cuerpo Libre D-H Denavit-Hartenberg TCP Tool Center Point Punto Central de la Herramienta 3D Tercera Dimensión ACL Advanced Control Language Lenguaje de Control Avanzado

xiv

RESUMEN

CARACTERIZACIÓN DE UN ROBOT MANIPULADOR ARTICULADO

Salomón Abdalá Castillo y Raúl Ñeco Caberta

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecatrónica

El uso y desarrollo de los robots son cada vez mayores y esto se debe a las ventajas que ofrecen. Para que un robot realice las actividades que deseamos, es necesario conocer su funcionamiento que está regido por sus características físicas (arquitectura, configuración, grados de libertad, tipo de control, etc.). Las características básicas están descritas en sus manuales y para conocer otras de sus características, en este trabajo se obtuvieron los modelos cinemático y dinámico del robot SCORBOT-ER V plus, denominado robot de almacenes, que forma parte de la celda de manufactura que existe en Cenidet. Los modelos matemáticos obtenidos se usaron para simular el comportamiento del robot y después fueron validados comparando los resultados de las simulaciones contra los resultados de la operación real del robot. Se incluyen anexos con los programas usados para adquirir datos experimentales del robot y los programas de simulación dinámica de los modelos, y otros con datos auxiliares. Como un producto adicional, se anexaron a la tesis una serie de prácticas de robótica para la utilización del robot SCORBOT-ER V plus.

xv

PREFACIO

En el mundo actual, la robótica es cada vez más común en nuestra vida cotidiana, incluso en ocasiones ni siquiera nos damos cuenta de su presencia, sin embargo ahí está y el desarrollo con él crece a pasos agigantados. El Cenidet, no ha sido la excepción por interesarse por este tema, ya que desde hace varios años en forma aislada ha tratado temas respecto a la robótica. Con la creación de la Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecatrónica, este interés toma una mayor importancia y es lo que nos motivó a realizar este trabajo de tesis. La estructura que rige este trabajo es la siguiente y esperamos que sea un inicio de toda una serie de investigaciones en el tema. En el Laboratorio de Mecatrónica, existe una celda de manufactura, la cual contiene entre otras cosas un robot manipulador articulado, que es precisamente el robot con el cual se va a trabajar a lo largo de esta tesis.

En el Capítulo 1 se incluye la información que permite al lector ubicarse, comprendiendo el tema a tratar, además de conocer el robot llamado Scorbot ER V plus, que es el robot con el cual se desarrolla este trabajo.

En el Capítulo 2 se aborda el tema del modelado matemático, comprendiendo los modelos cinemáticos directo e inverso; estos modelos estarán basados en las convenciones referidas en Denavit-Hartenberg y en el método geométrico respectivamente. Los modelos dinámicos directo e inverso están fundamentados en la formulación de movimiento de Lagrange.

En el Capítulo 3 se hace un análisis de los modelos obtenidos, resolviendo las ecuaciones resultantes para proceder a la codificación de estas ecuaciones para la simulación en PC del comportamiento del robot.

En el Capítulo 4 se presentan los experimentos físicos realizados con el robot, comparando los resultados de las simulaciones con estas pruebas para poder validar los modelos matemáticos.

En el Capítulo 5 se concentran los resultados obtenidos de la investigación, exponiendo las aportaciones obtenidas en este trabajo, así como se comentan posibles trabajos futuros.

xvi

Después del Capítulo 5, se encuentran la Bibliografía General y enseguida las Páginas Web (al hacer referencia a páginas web se antepone @) que se citan a lo largo del trabajo de tesis, ordenadas alfabéticamente.

En los Apéndices se concentra la información de las características técnicas del robot SCORBOT - ER V plus, la información necesaria para la comprensión de toda la tesis y como una aportación adicional a este trabajo, se presenta una serie de Prácticas didácticas que explican el funcionamiento y el manejo del Scorbot ER V plus. Tales prácticas fueron diseñadas por los autores de la tesis.

Esperamos que los resultados que se obtuvieron faciliten el uso de la infraestructura robótica actual a los docentes-investigadores y alumnos, estimulando las actividades en el campo de la robótica en el Cenidet, ya que en todos los departamentos del Cenidet, ha habido interés por la robótica, sin embargo, no se cuenta con un grupo de investigación dedicado a este tema.

Salomón Abdalá Castillo Raúl Ñeco Caberta

Capítulo 1 Introducción

1

Capítulo 1

INTRODUCCIÓN

odos hemos tenido contacto con un robot o por lo menos tenemos alguna noción de lo que es un robot. Si nos damos el tiempo para echar un vistazo a lo que nos rodea, nos daremos cuenta que los robots han estado, están y

seguirán estando presentes cada vez más en nuestra existencia realizando diferentes tareas dedicadas a hacer más práctica la vida del hombre.

Los dispositivos y mecanismos que pueden agruparse bajo la denominación genérica de robot, son muy diversos y es difícil establecer una clasificación coherente de los mismos, que resista un análisis crítico y riguroso. Actualmente una clasificación de los robots se puede agrupar en dos familias: los robots de servicio y los robots industriales. Los primeros realizan tareas para beneficio de los humanos, mientras que la finalidad de los industriales es la utilización en aplicaciones de automatización industrial.

T

“Caracterización de un robot manipulador articulado”

2

1.1 Generalidades 1.1.1 Robot

Un robot, se puede definir como: Una máquina controlada por una computadora y programada para moverse, manipular objetos y realizar trabajos a la vez que interacciona con su entorno [Spong 89]. Los robots son capaces de realizar tareas repetitivas y/o peligrosas de forma más segura, rápida, barata y precisa que los seres humanos; es por eso que, su aplicación en la actualidad, es cada vez más variada [@1 Rodríguez 99].

La palabra robot fue usada por primera vez en el año 1921, cuando el escritor checo Karel Capek (1890-1938) estrena en el teatro nacional de Praga su obra Rossum’s Universal Robot (R.U.R.). Su origen es la palabra eslava robota, que se refiere al trabajo realizado de manera forzada [Spong 89]. Actualmente el término robot encierra una gran cantidad de mecanismos y máquinas en todas las áreas de nuestra vida. Su principal uso se encuentra en la industria en aplicaciones tales como el ensamblado, la soldadura o la pintura. En el espacio se han utilizado desde brazos teleoperados para construcción o mantenimiento hasta los famosos exploradores marcianos Pathfinder. Los robots para aplicaciones submarinas y subterráneas se incluyen en exploraciones, instalación y mantenimiento de estructuras. Los robots militares o policías pueden hasta desactivar bombas y patrullar áreas enemigas. Lo más novedoso en Robótica son los robots aplicados en la medicina como prótesis y en la agricultura como recolectores. No está excluida por supuesto el área del entretenimiento, los parques temáticos, las películas y hasta los juguetes nos sorprenden cada nueva temporada [@ Rodríguez 99]. 1.1.2 La robótica

La robótica es una tecnología, que surgió como tal, aproximadamente hacia el año 1960, desde entonces han transcurrido pocos años y el interés que ha despertado es superior a cualquier previsión que en su nacimiento se pudiera formular, siguiendo un proceso paralelo a la introducción de las computadoras en las actividades cotidianas de la vida del hombre, aunque si bien todavía los robots no han encontrado la vía de penetración en los hogares, pero sí son un elemento ya imprescindible en la mayoría de las industrias [@ Pérez 01].

1 La @ se utiliza cuando la fuente proviene de alguna página en Internet y se puede consultar en “Páginas Web”


3

1.1.2.1 ¿Qué es la robótica?

El conjunto de conocimientos teóricos y prácticos que permiten concebir, realizar y automatizar sistemas basados en estructuras mecánicas poliarticuladas, dotados de un determinado grado de "inteligencia" y destinados a la producción industrial o la sustitución del hombre en muy diversas tareas; se le llama robótica [@ Mecanismos]. Un sistema robótico puede describirse, como "Aquel que es capaz de recibir información, de comprender su entorno a través del empleo de modelos, de formular y de ejecutar planes, y de controlar o supervisar su operación". La robótica es esencialmente multidisciplinaria y se apoya en gran medida en los progresos de la microelectrónica, la informática, la mecánica y la ingeniería en control entre otras; así como en nuevas disciplinas tales como el reconocimiento de patrones, la inteligencia artificial y la mecatrónica.

De acuerdo a la definición de John Craig, la robótica es el deseo de sintetizar algunos aspectos de las funciones que realiza el hombre a través del uso de mecanismos, sensores y computadoras. Su estudio involucra muchas áreas del conocimiento que a grandes rasgos podemos dividir en: manipulación mecánica, locomoción, visión por computadora e inteligencia artificial [Craig 89].

Por lo tanto, el objetivo de la Robótica es liberar al hombre de tareas peligrosas, tediosas o pesadas y realizarlas de manera automatizada. 1.1.3 Manipulador articulado

El manipulador es un ensamblaje de eslabones y articulaciones que permiten rotación o traslación entre dos de los eslabones. Estos eslabones son sólidos y están sostenidos por una base (horizontal, vertical o suspendida), con una articulación entre la base y el primer eslabón. El movimiento y las articulaciones definen los "grados de libertad" del robot. Una configuración típica de un brazo robot es la de tres grados de libertad, a la que se añaden las posibilidades de movimiento en la muñeca, llegando a un total de cuatro a seis grados de libertad. Algunos robots tienen entre siete y nueve grados de libertad, pero por su complejidad, son menos comunes [Barrientos 97] [@ Manufactura].

“La base del manipulador es rígida y está sujeta a una plataforma que la sostiene, generalmente, pero no siempre, del suelo. Cuando se puede mover, comúnmente lo hace a lo largo de un eje y es para sincronizar el movimiento del robot con el de otros equipos. De esta manera el movimiento de la base sumado al movimiento tridimensional del manipulador proporcionan cuatro grados de libertad” [Barrientos 97] [@ Manufactura].


4

1.2 Antecedentes en el Cenidet

Desde 1991, el Cenidet ha mostrado interés por temas relacionados con la robótica, en ese año se concluyeron las tesis tituladas: "Diseño e implementación de un sistema de programación para un manipulador industrial" (del Departamento de Ingeniería Electrónica) y trata de dotar de una mejor herramienta de programación al manipulador UNIMATE-130 del laboratorio de robótica del Departamento de Control del Cinvestav del IPN [Núñez 91] y la tesis titulada: "Implementación de un sistema de visión para la detección, reconocimiento y manipulación de piezas de ensamble por medio de un robot de uso industrial" (del Departamento de Ciencias Computacionales) y trata de integrar un sistema de visión para un robot manipulador con el fin de poder realizar procesos de ensamble en forma autónoma, dotándolo de capacidades para percepción, reconocimiento y manipulación de partes industriales [Iglesias 91]. En el año de 1994 la tesis titulada: "Dinámica de manipuladores de eslabones rígidos mediante simulación numérico-gráfica" (del Departamento de Ingeniería Mecánica), trata sobre la elaboración de un método de análisis numérico de efectos dinámicos de manipuladores y de evaluar la posibilidad de adaptación de métodos gráficos [Baltazar 94]. En 1999 la tesis titulada: “Regulación de un sistema electromecánico subactuado” (del Departamento de Ingeniería Electrónica), trata sobre la aplicación de un regulador no lineal a un sistema electromecánico subactuado tipo brazo manipulador llamado robot gimnasta en un punto de control inestable pretendiendo conseguir su control y luego dar seguimiento a una señal de referencia predefinida por medio de un sistema [Ibarra 99]. En el 2002 la tesis titulada: “Diseño e implementación de un sistema de calibración para un sistema de visión robótica” (del Departamento de Ciencias Computacionales) que trata del diseño e implementación de una herramienta de calibración automática basada en un sistema modular de visión-robótica [Pérez 02]. A principios del 2003 la tesis titulada “Implementación de una red neuronal holográfica, para el control de un brazo robot articulado” (del Departamento de Ciencias Computacionales); trata de que una red neuronal holográfica se aprenda la dinámica de un sistema y así poder generar el control para cualquier trayectoria [Hernández 03].

Actualmente en el Departamento de Ciencias de la Computación se está desarrollando la tesis titulada: “Detallador de tareas de visión robótica” que tratará el desarrollo de una herramienta que permita la definición de una actividad que involucre la visión robótica y la desglose en instrucciones simples manejables por los ejecutores del sistema con el desarrollo del modelo de un elemento ejecutor, sus interfaces y requerimientos mínimos [López]. En el mismo Departamento está en revisión la tesis titulada: “Esquema para la integración de sistemas de visión robótica” que trata de realizar una interfaz para un sistema de robot con visión para que en el momento de intercambiar un componente del sistema, no sea necesaria su reprogramación si la componente cuenta con la misma interfaz [Peralta].

Todos estos trabajos reflejan el gran interés en Cenidet por temas relacionados con la robótica, pero en ninguno de estos Departamentos se han creado bases para el nacimiento de una línea de investigación dedicada a la robótica.


5

Con la apertura del Posgrado de Ingeniería Mecatrónica, surgen nuevas necesidades en el Cenidet, lo que implicó que se requiriera equipo y material para cubrir las necesidades para este Posgrado. Dentro del requerimiento de equipo nuevo que se solicitó a Cosnet, fueron básicamente 5 peticiones que a continuación se mencionan:

1. Laboratorio de diseño 2. Laboratorio de PLC´s 3. Laboratorio de microcontroladores 4. Laboratorio de robótica con visión 5. Laboratorio de máquinas de control numérico

Los dos últimos puntos, se pudieron cubrir con la donación de una celda de

manufactura (figura 1-1) que contiene un par de robots, una cámara, un torno de control numérico, una banda transportadora y cinco PC´s. Cabe mencionar que esta celda de manufactura era de uso y después de una visita del Dr. José Ruiz Ascencio (Coordinador del Posgrado de Ingeniería Mecatrónica) al Tecnológico de Orizaba (lugar donde se encontraba la celda de manufactura), se determina que la celda esta en buenas condiciones de la parte mecánica, pero el software para que pudiera trabajar tenia algunas carencias. Finalmente Dirección General autorizó el traslado de la celda al Cenidet, junto con los recursos necesarios para su actualización.

Figura 1-1 Celda de manufactura. 1.3 Descripción del problema

La inquietud por iniciar una línea de investigación generó la necesidad de documentar de manera eficaz cada uno de los elementos que integran la celda de


6

manufactura para que en un momento dado esta infraestructura sea accesible para docentes-investigadores y alumnos.

El documentar todos los elementos que conforman la celda de manufactura sería un trabajo demasiado extenso, por ello, aquí se centra la atención en una parte de esa infraestructura, comenzando por el robot SCORBOT-ER V plus denominado de almacenes que se muestra en la figura 1-2. El problema se intensifica por la falta de documentación que especifique sus parámetros y componentes que lo conforman. La única información con la que se cuenta es básicamente un manual de programación y lo que se requiere es obtener sus modelos cinemáticos y dinámicos; esto se torna más complicado ya que para obtenerlos con su debida precisión sería necesario desmontarlo y además contar con el equipo adecuado para su parametrización, equipo que no se tiene. Un problema más es que no existe un manual de puesta en operación o de prácticas que dé orientación sobre el uso del robot por lo que prácticamente se comenzó de cero.

Figura 1-2 Robot Scorbot-ER V plus de almacenes. 1.4 Objetivos de la tesis

• Poner en operación y documentar el robot SCORBOT-ER V plus que forma parte de la celda de manufactura del Posgrado en Ingeniería Mecatrónica a fin de poder utilizarlo en docencia e investigación y como punto de partida para futuras actividades en el área de robótica. Estos fines se podrán lograr al obtener los modelos cinemático y dinámico, parametrizar, simular en PC y validar el robot mencionado con los recursos disponibles en el Cenidet.


7

• Elaborar una serie de prácticas para la utilización del robot como parte de la infraestructura para el apoyo de la docencia e investigación en el Cenidet.

• Contribuir a la creación de una línea de investigación en robótica en el Cenidet.

1.5 Alcances de la tesis Los alcances de este trabajo de tesis de maestría son los siguientes:

• Modelos: o Una vez finalizada la búsqueda de los modelos matemáticos cinemáticos y

dinámicos, se adecuarón al Scorbot-ER V plus.

• Parámetros: o Se obtuvieron los parámetros del robot sin necesidad de desmontar las

piezas que lo conforman.

• Simulación: o Se programaron los modelos del robot para simulación, empleando software

ya existente en el Cenidet.

• Validación: o La validación del modelo se hizo con el robot real, comparando las

mediciones con los resultados de las simulaciones. Se usó la instrumentación con la que cuenta el Cenidet.

• Prácticas:

o Éstas son para que cualquier profesor-investigador y/o alumno las realice de forma sencilla y entendible sin necesidad de tener un amplio conocimiento en la robótica.


8

1.6 Estado del arte 1.6.1 Clasificación de los robots basados en las generaciones de sistemas de control 1.6.1.1 La primera generación

El sistema de control usado en la primera generación de robots está basado en las “paradas fijas” (término que se emplea cuando la operación de un mecanismo está en lazo abierto y el fin de su ciclo está predeterminado) mecánicamente. Esta estrategia es conocida como control de lazo abierto o control “todo o nada” [Barrientos 97] [@ Pérez 01]. 1.6.1.2 La segunda generación

La segunda generación utiliza una estructura de control de ciclo abierto, pero en lugar de utilizar interruptores y botones mecánicos utiliza una secuencia numérica de control de movimientos almacenados en un disco o cinta magnética. El programa de control entra mediante la elección de secuencias de movimiento en una caja de botones o a través de palancas de control con los que se “recorre”, la secuencia deseada de movimientos [Barrientos 97] [@ Pérez 01]. 1.6.1.3 La tercera generación

La tercera generación de robots utiliza las computadoras para su estrategia de control y tiene algún conocimiento del ambiente local a través del uso de sensores, los cuales miden el ambiente para modificar su estrategia de control, con esta generación se inicia la era de los robots inteligentes y aparecen los lenguajes de programación para escribir los programas de control. La estrategia de control utilizada se denomina de “lazo cerrado” [Barrientos 97] [@ Pérez 01]. 1.6.1.4 La cuarta generación

En la cuarta generación de robots, ya se les califica de inteligentes con más y mejores extensiones sensoriales, para comprender sus acciones y el mundo que los rodea. Incorpora un concepto de “modelo del mundo” de su propia conducta y del ambiente en el que operan. Utilizan conocimiento difuso y procesamiento dirigido por expectativas que mejoran el desempeño del sistema de manera que la tarea de los sensores se extiende a la supervisión del ambiente global, registrando los efectos de sus acciones en un modelo del mundo y auxiliar en la determinación de tareas y metas [Barrientos 97] [@ Pérez 01].


9

1.6.1.5 La quinta generación

Actualmente esta nueva generación de robots está en desarrollo, pretende que el control emerja de la adecuada organización y distribución de módulos conductuales. Como ejemplo, se puede mencionar el más conocido: Un juguete denominado “Poo-Chi” que puede considerarse de quinta generación porque tiene la capacidad de responder a la luz, al tacto y al sonido. Otro ejemplo es un robot mascota con forma similar a la de un perro que fabrica Sony, llamado “Aibo” (que en japonés “Aibo” significa amigo) [Barrientos 97] [@ Pérez 01]. 1.6.2 El robot industrial

La principal diferencia entre un robot y una máquina convencional es que el primero es capaz de modificar su tarea a realizar. Esto convierte a los robots en la solución ideal para el cambiante y exigente mundo de la industria.

El término robot puede adquirir muchos significados diferentes dependiendo del contexto. La Federación Internacional de Robótica (IFR) en su informe técnico ISO/TR distingue entre robot industrial y otros robots con la siguiente definición: “...por robot industrial de manipulación se entiende a una máquina de manipulación automática, reprogramable y multifucional con tres o más ejes que pueden posicionar y orientar materias, piezas, herramientas o dispositivos especiales para la ejecución de trabajos diversos en las diferentes etapas de la producción industrial, ya sea en una posición fija o en movimiento..." [Barrientos 97] [@ Rodríguez 99].

El robot industrial nace de la unión de una estructura mecánica articulada y de un sistema electrónico de control en el que se integra una computadora. Esto permite la programación y control de los movimientos a efectuar por el robot y la memorización de las diversas secuencias de trabajo (sin tener que hacer cambios permanentes en su material), por lo que le da al robot una gran flexibilidad y posibilita su adaptación a muy diversas tareas y medios de trabajo [Barrientos 97] [@ Mecanismos].

“El robot industrial es pues un dispositivo multifuncional, es decir, apto para muy diversas aplicaciones, al contrario de la máquina automática clásica, fabricada para realizar de forma repetitiva un tipo determinado de operaciones” [@ Mecanismos].

“El robot industrial se diseña en función de diversos movimientos que debe poder ejecutar; es decir, lo que importa son sus grados de libertad, su campo de trabajo, su comportamiento estático y dinámico” [@ Mecanismos].

La capacidad del robot industrial para reconfigurar su ciclo de trabajo, unida a la versatilidad y variedad de sus elementos terminales o también llamado efector final (pinzas, garras, herramientas, etc.), le permite adaptarse fácilmente a la evolución o cambio de los procesos de producción, facilitando su reconversión [@ Mecanismos].


10

1.6.2.1 Configuraciones básicas

Los robots industriales están disponibles en una amplia gama de tamaños, formas y configuraciones físicas. La gran mayoría de los robots comercialmente disponibles en la actualidad tienen una de estas cuatro configuraciones básicas; estas estructuras tienen diferentes propiedades en cuanto a espacio de trabajo y accesibilidad a posiciones determinadas [Ollero 01] [@ Mecanismos]: 1.6.2.1.1 Configuración polar

La configuración polar utiliza coordenadas polares para especificar cualquier posición en términos de una rotación sobre su base, un ángulo de elevación y una extensión lineal del brazo, con lo que obtiene un medio de trabajo en forma de esfera (figura 1-3) [Ollero 01] [Spong 89] [@ Mecanismos]

Figura 1-3 Área de trabajo de la configuración polar. 1.6.2.1.2 Configuración cilíndrica

La configuración cilíndrica sustituye un movimiento lineal por uno rotacional sobre su base, con los que se obtiene un medio de trabajo en forma de cilindro (figura 1-4) [Ollero 01] [Spong 89] [@ Mecanismos].


11

Figura 1-4 Área de trabajo de la configuración cilíndrica. 1.6.2.1.3 Configuración de coordenadas cartesianas

La configuración de coordenadas cartesianas, posee tres movimientos lineales, y su nombre proviene de las coordenadas cartesianas, las cuales son más adecuadas para describir la posición y movimiento del brazo. Los robots cartesianos a veces reciben el nombre de XYZ, donde las letras representan a los tres ejes del movimiento (figura 1-5) [Ollero 01] [Spong 89] [@ Mecanismos].

Figura 1-5 Área de trabajo de la configuración de coordenadas cartesianas. 1.6.2.1.4 Configuración de brazo articulado

La configuración de brazo articulado, utiliza únicamente articulaciones rotacionales para conseguir cualquier posición y es por esto que es el más versátil (figura 1-6) [Ollero 01] [Spong 89] [@ Mecanismos].


12

Figura 1-6 Área de trabajo de la configuración de brazo articulado. 1.6.3 Construcción

La construcción de un robot, ya sea una máquina que camine de forma parecida a como lo hace el ser humano, o un manipulador sin rostro para una línea de producción, es fundamentalmente un problema de control. Existen dos aspectos principales: mantener un movimiento preciso en condiciones que varían y conseguir que el robot ejecute una secuencia de operaciones previamente determinadas. Los avances en estos dos campos (el primero es esencialmente un problema matemático, y el segundo de tecnología) suministran la más grande contribución al desarrollo del robot moderno [@ Pérez 01].

Los manipuladores propiamente dichos representan, en efecto, el primer paso en la evolución de la robótica y se emplean preferentemente para la carga-descarga de máquinas-herramientas, así como para manutención de prensas, cintas transportadoras y otros dispositivos [@ Pérez 01].

Actualmente los manipuladores son brazos articulados con un número de grados de libertad que oscila entre dos y cinco, en forma general, cuyos movimientos de tipo secuencial, se programan mecánicamente a través de una computadora. A pesar de su concepción básicamente sencilla, se han desarrollado manipuladores complejos para adaptarlos a aplicaciones concretas en las que se dan condiciones de trabajo especialmente duras o especificaciones de seguridad muy exigentes [@ Pérez 01]. 1.6.4 Arquitecturas de los robots

La arquitectura, definida por el tipo de configuración general del robot, puede ser metamórfica. El concepto de metamorfismo, de reciente aparición, se ha introducido para incrementar la flexibilidad funcional de un robot a través del cambio de su configuración

Planta

Lateral


13

por el propio robot. El metamorfismo admite diversos niveles, desde los más elementales (cambio de herramienta o de efector terminal), hasta los más complejos como el cambio o alteración de algunos de sus elementos o subsistemas estructurales [@ Pérez 01].

Los dispositivos y mecanismos que pueden agruparse bajo la denominación genérica del robot, tal como se ha indicado, son muy diversos y es por tanto difícil establecer una clasificación coherente de los mismos que resista un análisis crítico y riguroso. La subdivisión de los robots con base en su arquitectura, se hace en los siguientes grupos [@ Pérez 01]: 1.6.4.1 Poliarticulados

Bajo este grupo están los robots de muy diversa forma y configuración cuya característica común es la de ser básicamente sedentarios (aunque excepcionalmente pueden ser guiados para efectuar desplazamientos limitados) y están estructurados para mover sus elementos terminales en un determinado espacio de trabajo según uno o más sistemas de coordenadas y con un número limitado de grados de libertad. En este grupo se encuentran los manipuladores, los robots cartesianos y algunos robots industriales y se emplean cuando es preciso abarcar una zona de trabajo relativamente amplia o alargada, actuar sobre objetos con un plano de simetría vertical o reducir el espacio ocupado en el suelo [Ollero 01] [Barrientos 97] [@ Pérez 01]. 1.6.4.2 Móviles

Son robots con grandes capacidades de desplazamiento, basadas en carros o plataformas y dotadas de un sistema locomotor de tipo rodante. Siguen su camino por telemando o guiándose por la información recibida de su entorno a través de sus sensores. Los vehículos con ruedas, son la solución más simple y eficiente para conseguir la movilidad; sin embargo, cabe mencionar que también existe la locomoción mediante patas que permite sortear obstáculos con mayor facilidad con el inconveniente de requerir mecanismos de mayor complejidad y su consumo de energía es mayor respecto a los robots móviles rodantes. Un ejemplo de esta arquitectura de robot con ruedas, son las “tortugas motorizadas” diseñadas en los años cincuentas, fueron las precursoras y sirvieron de base a los estudios sobre inteligencia artificial desarrollados entre 1965 y 1973 en la Universidad de Stanford. Estos robots aseguran el transporte de piezas de un punto a otro de una cadena de fabricación. Guiados mediante pistas materializadas a través de la radiación electromagnética de circuitos empotrados en el suelo, o a través de bandas detectadas fotoeléctricamente, pueden incluso llegar a sortear obstáculos y están dotados de un nivel relativamente elevado de inteligencia [Ollero 01] [@ Pérez 01]. 1.6.4.3 Androides

Son robots que intentan reproducir total o parcialmente la forma y el comportamiento cinemático del ser humano. Actualmente los androides son todavía


14

dispositivos muy poco evolucionados y sin utilidad práctica, y destinados, fundamentalmente, al estudio y experimentación. Uno de los aspectos más complejos de estos robots, y sobre el que se centra la mayoría de los trabajos, es el de la locomoción bípeda. En este caso, el principal problema es controlar dinámica y coordinadamente en el tiempo real el proceso y mantener simultáneamente el equilibrio del robot y cabe destacar los avances que ha tenido Honda en esta rubro con su robot bípedo [Barrientos 97] [@ Pérez 01]. 1.6.4.4 Zoomórficos

Los robots zoomórficos, que considerados en sentido no restrictivo podrían incluir también a los androides, constituyen una clase caracterizada principalmente por sus sistemas de locomoción que imitan a los diversos seres vivos como animales e insectos. A pesar de la disparidad morfológica de sus posibles sistemas de locomoción es conveniente agrupar a los robots zoomórficos en dos categorías principales: caminadores y no caminadores. El grupo de los robots zoomórficos no caminadores está muy poco evolucionado. Cabe destacar, entre otros, los experimentos efectuados en Japón basados en segmentos cilíndricos biselados acoplados axialmente entre sí y dotados de un movimiento relativo de rotación. En cambio, los robots zoomórficos caminadores multípedos son muy numerosos y están siendo experimentados en diversos laboratorios con vistas al desarrollo posterior de verdaderos vehículos “todo terreno” piloteados o autónomamente capaces de evolucionar en superficies muy accidentadas. Las aplicaciones de estos robots serán interesantes en el campo de la exploración espacial y en el estudio de los volcanes entre otros [Ollero 01] [@ Pérez 01]. 1.6.4.5 Híbridos

Estos robots corresponden a aquellos de difícil clasificación cuya estructura se sitúa en combinación con alguna (dos o más) de las anteriores ya expuestas, bien sea por conjunción o por yuxtaposición. Por ejemplo, un dispositivo segmentado articulado y con ruedas, es al mismo tiempo uno de los atributos de los robots móviles y de los robots zoomórficos. De igual forma pueden considerarse híbridos algunos robots formados por la yuxtaposición de un cuerpo formado por un carro móvil y de un brazo semejante al de los robots industriales. En parecida situación se encuentran algunos robots antropomorfos y que no pueden clasificarse ni como móviles ni como androides, tal es el caso de los robots personales [@ Pérez 01]. 1.6.5 Campos de aplicación

“El robot industrial forma parte del progresivo desarrollo de la automatización industrial (figura 1-7), favorecido notablemente por el avance de las técnicas de control por computadora, y contribuye de manera decisiva la automatización en los procesos de fabricación de series de mediana y pequeña escala” [@ Mecanismos].


15

La fabricación en series pequeñas había quedado hasta ahora fuera del alcance de la

automatización, debido a que requiere una modificación rápida de los equipos de producción. El robot, como manipulador reprogramable y multifuncional, puede trabajar de forma continua y con flexibilidad [@ Mecanismos].

“El cambio de herramienta o dispositivo especializado y la facilidad de variar el movimiento a realizar permiten que, al incorporar al robot en el proceso productivo, sea posible y rentable la automatización en procesos que trabaja con series más reducidas y gamas más variadas de productos” [@ Mecanismos].

05

1015202530354045

Soldadura Aplic. Mater. Mecanizado Montaje Paletizado Manipulación Otras

Media países

Fuentes: AER, IFR

%

Áreas de aplicación de los robots instalados en 1997

Figura 1-7 Gráfica de porcentajes de aplicación de los robots en las industrias. 1.6.6 Ventajas y desventajas del uso de los robots

Las ventajas principales son: tienen una alta productividad; fabrican productos o efectúan operaciones sobre ellos con una buena calidad y ésta es uniforme; tienen una alta flexibilidad por ser reprogramables; hacen trabajos rutinarios o peligrosos o en ambientes inhóspitos o extremosos y se pueden integrar a sistemas automáticos de mayores alcances. Las desventajas principales son: conllevan una alta inversión inicial; son más sofisticados tecnológicamente; requieren de programación; desplazan a personal productivo. 1.7 El robot “Scorbot-ER V plus” El Scorbot-ER V plus, es un robot (figura 1-8) perteneciente a una celda de manufactura (CIM), instalada en el laboratorio de mecatrónica, del Cenidet. El robot en su concepción, fue creado y diseñado para fines didácticos, sin embargo se considera de tipo


16

industrial. Este robot es capaz de trabajar en forma independiente dedicado al ensamble de piezas, así como el depositar o recoger alguna pieza de la banda transportadora de la celda que es la que comunica a este robot (llamado de almacenes) con otro (llamado de supervisión, el cual tiene un grado de libertad adicional proporcionado por un tornillo sinfín) como lo muestra la figura 1-9.

Figura 1-8 SCORBOT - ER V plus.

Figura 1-9 Vista del CIM. De acuerdo a lo visto en las secciones 1.6.2.1 y 1.6.4; se puede decir que el Scorbot ER V plus tiene una configuración de tipo manipulador articulado y cuenta con una arquitectura poliarticulada.

Robot de almacenes Robot de

supervisión

Banda transportadora


17

Este robot dispone de manuales para el usuario, que contienen información necesaria para su instalación, conocimiento y manejo. Es un robot de 5 GDL (grados de libertad), cada articulación realiza movimientos rotatorios desarrollados por actuadores que son servomotores de 12 voltios de corriente directa (VCD) y su posicionamiento se registra a través de encoders, lo que se puede apreciar en la figura 1-10.

Cada par generado por los servomotores es transmitido por sistemas de engranaje y bandas dentadas, su capacidad máxima de carga es de un kilogramo, los elementos que lo integran están construidos de acero, plástico y aluminio siendo este último el que constituye la mayor parte de su estructura, su sistema de control está regido por un controlador del tipo PID. Posee tres grupos denominados de control que en los que se puede trabajar, cada uno de estos grupos permite reestructurar los parámetros predeterminados teniendo así en cada uno de ellos condiciones de trabajo distintas.

Figura 1-10 Ubicación de los sensores.

Como ya se mencionó, este robot y toda la Celda de manufactura cuentan con manuales, en los que se encuentra información y descripción general y detallada en conjunto e individual de cada elemento. Estos manuales están disponibles en el laboratorio de mecatrónica.

En el apéndice A, se incluye la información más significativa del robot extraída de los manuales mencionados.


18

Capítulo 2

MODELADO MATEMÁTICO

ntes que nada, se debe establecer que el modelado de sistemas es tanto un arte, como una búsqueda científica. Esto significa que sólo pueden mostrarse ciertos aspectos del tema. Cuando se aplica el término modelado,

no siempre se tiene una idea clara, generando cierta confusión. Por ejemplo, el análisis de un sistema de control podría interpretarse por el modelado de un sistema como una abstracción matemática en términos de un conjunto de ecuaciones diferenciales. Las variaciones en la interpretación puede ser clarificada por medio de una clasificación de modelos a lo largo de las líneas mostradas en la tabla 2-1 por tanto el nivel más heurístico es el modelo intuitivo; este modelo frecuentemente sólo existe en la mente de los ingenieros como una concepción personal del sistema. Tales modelos necesitan tener existencia física o aspectos matemáticos. En un nivel más tangible se puede hacer una distinción entre los modelos hechos para el análisis y diseño de controladores y aquellos usados en investigación detallada de propiedades fundamentales del sistema. [Wellstead 79]

A

Capítulo 2 Modelado matemático

19

Tabla 2-1 Relación entre varios tipos de modelado.

MODELOS

PARA SIMULACIÓN

MODELOS DINÁMICOS

Modelos para investigación empírica de propiedades

Modelos para el,

análisis de control y diseño

MODELOS INTUITIVOS

Modelos de Simulación por Computadora

Modelos de Análisis

Dinámico

SISTEMA ACTUAL

Guía de los tipos de modelos para simulación y dinámico

Obtenidos por análisis físico Guías de la forma del

modelo Intuitivo

Modelos de

Simulación a Escala

Modelos de Identificación

Dinámica

Obtenido por observación, replicación e

inferencia

Dirección de la aproximación descendente

2.1 Cinemática

Se puede hablar dentro del análisis de la cinemática de los robots manipuladores que existen dos formas de determinar su posición y orientación, la cual depende de que tipo de variable se esté manejando; estas dos formas son conocidas como la cinemática directa y la cinemática inversa. Se puede apreciar su relación en la figura 2-1 [Barrientos 97]. Información adicional acerca de la cinemática, así como los movimientos de las articulaciones se encuentran en el apéndice B.

Figura 2-1 Relación entre las cinemáticas directa e inversa.

Cinemática inversa

Valor de las coordenadas

articulares (q1, q2,…, qn)

Posición y orientación del

extremo del robot(x, y, z, α , β , γ )

Cinemática directa


20

Para el análisis de la cinemática, las variables que se usaron fueron: l1 Longitud del primer eslabón. l2 Longitud del segundo eslabón. l3 Longitud de la garra. θ1 Ángulo de la cintura. θ2 Ángulo del hombro. θ3 Ángulo del codo. θ4 Ángulo de elevación. θ5 Ángulo de giro. 2.1.1 Cinemática directa

La cinemática directa es aquella en la que para obtener la posición y orientación del efector final es necesario establecer una marco de referencia fijo (X0, Y0, Z0) para el cual todos los objetos incluyendo al manipulador son referenciados situándolo dentro, fuera o en la base del robot [Barrientos 97].

Para el Scorbot-ER V plus el marco de referencia, está situado en su base como lo muestra la figura 2-2a, sin embargo para el análisis se considera el punto de origen al inicio del primer eslabón, puesto que la distancia del punto de origen que tiene el robot y el propuesto, es una distancia fija que no afecta el análisis. Los ejes para el marco de referencia se muestran en la figura 2-2b.

(a) Marco de referencias para el análisis.

(b) Diagrama a bloques del marco de referencias.

Figura. 2-2 Marco de referencias para el Scorbot-ER V plus.

Codo

l1

d1

Hombro

Base

l2

θ1

z0

θ2

z1

θ3

z2

Brazo Antebrazo

+ Giro

Punto de origen para el análisis

Punto de origen

+ Elevación


21

Para el Scorbot-ER V plus se optó por emplear la convención referenciada en

Denavit-Hartenberg (D-H); en las que se usan las coordenadas y las transformaciones homogéneas para simplificar las transformaciones entre el marco de referencia y las uniones. Para mayor información acerca de esta convención, así como su metodología remitirse al apéndice B o [Craig 89] [Spong 89] [Barrientos 97] [Fu 88] [Ollero 01].

La tabla 2-2 que aparece a continuación muestra esta convención aplicada al Scorbot-ER V plus (D-H).

Tabla 2-2 Parámetros D-H obtenidos del Scorbot ER-V plus.

Cadena θi di ai-1 αi-1 1 θ1 d1 0 0 2 θ2 d2 0 -90 3 θ3 0 l1 0 4 θ4 0 l2 0 5 θ5 0 l3 90

De acuerdo a la tabla 2-2, las matrices homogéneas ii A1− (la definición de esta

matriz se puede apreciar en el apéndice B) para el Scorbot-ER V plus quedarían como:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

1000100

0000

1

11

11

01 d

CSSC

Aθθθθ

2-1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=

10000

010000

222

22

12 dCS

SC

Aθθ

θθ

2-2

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

1000010000

0

33

133

23

θθθθ

CSlSC

A 2-3


22

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

1000010000

0

44

244

34

θθθθ

CSlSC

A 2-4

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=

1000000100

0

55

355

45 θθ

θθ

CS

lSC

A 2-5

Donde por simplicidad se utiliza:

C = coseno S = seno

Por lo que la matriz de transformación homogénea T queda dada por:

T = 0A5= 0A11A22A33A44A5

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1000333231

232221

131211

z

y

x

PrrrPrrrPrrr

T 2-6

Por lo tanto la información de la posición y orientación del efector final con

respecto hacia el marco de referencia considerado anteriormente, está dada por la evaluación de la matriz T que se expresa en la ecuación 2-6.

La ecuación 2-6 está desplegada en matriz de cofactores que nos proporciona las posiciones del efector final dados por Px, Py, Pz, situado en un espacio cartesiano.

Los términos de los cofactores de la matriz de la ecuación 2-6 son: r11 = C1C234C5 – S1S5 2-7a r21 = S1C234C5 + C1S5 2-7b r31 = - S234C5 2-7c r12 = - C1C234S5 – S1C5 2-7d r22 = - S1C234S5 + C1C5 2-7e r32 = S234S5 2-7f r13 = C1S234 2-7g r23 = S1S234 2-7h r33 = C234 2-7i


23

Por lo que las coordenadas de la posición del efector final en el punto TCP (Tool Center Point) de la figura 2-2a y tomando como punto de origen el inicio del primer eslabón también mostrado en la misma figura, se tiene: PX = ((C1C2C3 – C2S2S3)C4 + (- C1C2S3 - C1S2C3)S4)l3 + (C1C2C3 - C1S2S3) l2 + C1C2l1 2-7j PY = ((S1C2C3 – S1S2S3)C4 + (- S1C2S3 - S1S2C3)S4)l3 + (S1C2C3 - S1S2S3) l2 + S1C2l1 2-7k PZ = ((–S2C3 - C2S3) C4 + (S2S3 - C2C3) S4) l3 + (- S2C3 – C2S3) l2 - S2l1 + d1 + d2 2-7l Para determinar la orientación del efector final se empleó la matriz de rotación que se encuentra dentro de la ecuación 2-6.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

13121105

rrrrrrrrr

R 2-8

Donde la ecuación 2-8 representa los vectores de orientación dados por n, s y a:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

zzz

yyy

xxx

asnasnasn

R05 2-9

Los tres vectores n,s,a y TCP son definidos como se ilustra en la figura 2-3. El vector de aproximación del efector final es “a”; el vector de orientación “s” es la dirección que especifica la orientación de la mano entre los dedos; el vector normal “n” es seleccionado para completar la definición del sistema coordinado usando la regla de la mano derecha. [Fu 88]


24

Figura. 2-3 Robot y efector final, mostrando la definición de n, s, a y TCP. 2.1.2 Cinemática inversa

Con la cinemática inversa se tiene el caso contrario a la cinemática directa, es decir, ahora con las coordenadas x, y y z, se desea determinar los ángulos θ1,θ2, θ3 para cada articulación sin considerar la parte de orientación (θ4, θ5). Las figura 2-4 muestra un modelo tipo de alambre para simplificar el análisis.

Para la solución de la cinemática inversa se optó por el método geométrico que emplea relaciones geométricas y trigonométricas (resolución de triángulos) este método se puede consultar en [Barrientos 97], [Fu 88] entre otros. Por la estructura que conforma al robot Scorbot-ER V plus es posible tener dos soluciones para el mismo punto, por lo que se hizo el análisis de las configuraciones codo abajo y codo arriba el cual se desarrolla a continuación (para mayor información ver apéndice B):

Base del robot

n

a

s

TCP


25

Figura. 2-4 DCL de la cinemática inversa.

En la figura 2-5 se muestra la solución de la cinemática inversa con el método geométrico para la configuración codo abajo y a continuación su desarrollo matemático: Cálculo de θ1 para el giro en la cintura

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=θ −

3

311 tan x

y 2-10

Cálculo de θ2 para el giro en el hombro

1

3

cosθ=

xrxy 2-11

23

2 zrr xyxyz += 2-12

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=β −

xyrz31tan 2-13

θ3

l1

θ2

Eje Z

x3

y3θ1

rxy

l2

Eje X

Eje Y


26

Por ley de cosenos

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +=α −

xyz

xyz

rllrl

1

22

2211

2cos 2-14

θ2 = β - α 2-15 Cálculo de θ3 para el giro en el codo l1y = l1 sen θ2 2-16 z2 = l1y 2-17 l1x = l1 cos θ2 2-18 xy2 = l1x 2-19 l2xy = rxy-l1x 2-20 l2z = z3 - z2 2-21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

z

xy

ll

2

2tanω 2-22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

z

xy

ll

2

21tanω 2-23

θ3 = ω - θ2 2-24

Figura. 2-5 Proyección en un plano para la configuración codo abajo.

l1xyrxy

Z3

βα

ω

Eje Z

Eje XY

l2xy

l1

l2

l1z

l2z

θ2

θ2

θ3rxyz


27

En la figura 2-6 se muestra la solución de la cinemática inversa con el método geométrico para la configuración codo arriba y a continuación su desarrollo matemático:

Cálculo de θ1 para el giro en la cintura

Como este ángulo es el mismo para la configuración codo abajo y codo arriba, se toma la ecuación 2-10 para su determinación. Cálculo de θ2 para el giro en el hombro θ2 = β + α 2-25

Para el cálculo de β y α se retoma de la ecuación 2-11 a la 2-14 para su determinación. Cálculo de θ3 para el giro en el codo θ3 = θ2 - ω 2-26

Para el cálculo de ω se retoma de la ecuación 2-16 a la 2-23 para su determinación.

Figura. 2-6 Proyección en un plano para la configuración codo arriba.

l1xyrxy

Z3

β

α

ω

Eje Z

Eje XY

l2xy

l1

l2

l1z

l2z

θ2

θ3

rxyz


28

2.2 Dinámica

Un robot manipulador es básicamente un dispositivo posicionador. Para controlar la posición se deben conocer las propiedades dinámicas del manipulador en orden para conocer las fuerzas ejercidas sobre él, que son las causantes de su movimiento.

Tal como la cinemática, en la dinámica también existen las dinámicas directa e inversa y su relación se puede apreciar en la figura 2-7.

Figura 2-7 Relación entre las dinámicas directa e inversa. 2.2.1 Consideraciones dinámicas

El modelado dinámico inverso se realizó bajo los siguientes criterios: Para el desarrollo del modelo se omitieron los dos últimos grados de libertad, ya que pertenecen a la orientación del efector final y sus efectos no son significativos para el comportamiento dinámico del robot. En general se consideró al manipulador como un sistema rígido, concentrando las masas en el centro de cada eslabón tal y como lo muestra la figura 2-8; fueron considerados los efectos de fricción provocados por las transmisiones mecánicas que en este caso se da por engranajes (esta consideración es importante ya que estos efectos pueden alcanzar un orden de un 25% del par requerido para mover al manipulador en situaciones típicas [Craig 89]). Esto hace que el sistema sea no conservativo, sin embargo, el sistema puede ser resuelto por medio de la formulación de Lagrange y finalmente aplicando la función de disipación de Rayleigh (apéndice C) se permite adicionar los efectos de fricción al modelo dinámico. En el análisis de cada eslabón, los efectos de las Energías Cinética y Potencial de los eslabones anteriores (si existen) repercuten en el análisis del eslabón en cuestión. Las pérdidas debidas a los huelgos y excentricidades en los engranajes, así como la eficiencia del motor fueron despreciadas dentro del análisis de la ecuación de movimiento de Lagrange. 2.2.2 Dinámica inversa

Resolver las ecuaciones dinámicas de movimiento para el robot no es una tarea simple debido a los grandes números de grados de libertad y sistemas no lineales que lo

Dinámica directa

Evolución de las coordenadas articulares y

sus derivadas (qi, qi, qi)

Fuerzas y pares que intervienen en

el movimiento (Fi, τi )

Dinámica inversa

. ..


29

componen; para poder definir dichas ecuaciones se empleó la formulación de movimiento de Lagrange. El método se encuentra en el apéndice C o en [Lewis 93]. Como lo representa la figura 2-7, el modelo dinámico inverso expresa las fuerzas y pares que intervienen, en función de la evolución temporal de las coordenadas articulares y sus derivadas.

Como se comentó anteriormente, el método para la solución de la dinámica inversa fue la formulación de movimiento de Lagrange; este método se eligió entre otros tantos por que representaba menos complejidad al aplicarlo al Scorbot ER-V plus, debido a sus grados de libertad. La figura 2-8 muestra las condiciones dinámicas del manipulador y en la figura 2-9 se muestran estas condiciones en un plano de dos dimensiones; donde cada variable está definida de la siguiente manera: W = Carga aplicada mi = Masa del i-ésimo eslabón g = Constante de gravedad l = Radio de giro para la masa de la base a = Longitud del primer eslabón b = Longitud del segundo eslabón Ii = Inercia i-ésima del eslabón Vi = Velocidad lineal del i-ésimo eslabón Ki = Energía cinética del i-ésimo eslabón Pi = Energía potencial del i-ésimo eslabón

m2θ3

a

θ2

Eje Z

θ1

b

Eje X

Eje Y

m1

W

mb

g

Figura. 2-8 DCL de la dinámica inversa. A continuación se muestra el desarrollo del modelo dinámico inverso [Lewis 93] [Barrientos 97] [Craig 89] [Ollero 01] [Spong 89].


30

2.2.2.1 Análisis de la articulación en la base Kb = Energía cinética de la base

212

1 θ&bb IK = 2-27

2lmI bb = 2-28

2

12

21 θ&lmK bb = 2-29

Pb = Energía potencial de la base

La energía potencial es cero debido a que un posible cambio en el ángulo θ1 no altera la altura de la masa mb sobre la vertical. Para comprender mejor este análisis de la energía potencia de la base, se puede comparar con el análisis de un péndulo horizontal mostrado en el apéndice D.

Eje Z

Eje XY

a

b

θ2

m2θ3

m1

Wg

Figura. 2-9 Proyección en un plano para la dinámica inversa. 2.2.2.2 Análisis de la articulación en el primer eslabón K1= Energía cinética del eslabón 1

21

2

2122

2

11 cos221

221 θθθ && ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

amamK 2-30


31

2

122

2

122

2

11 cos421

421 θθθ && amamK += 2-31

Aplicando la identidad cos2 θ = ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + θ2cos

21

21 a la ecuación 2-31 se obtiene:

2

122

122

211 2cos2

121

81

81 θθθ && ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++= amamK 2-32

2

122

12

12

122

211 2cos16

1161

81 θθθθ &&& amamamK ++= 2-33

P1 = Energía potencial del eslabón 1

211 2θsenagmP = 2-34

2.2.2.3 Análisis de la articulación en el segundo eslabón K2 = Energía cinética del eslabón 2

212

2222 2

121 θ&IVmK += 2-35

22

22

22 yxV && += 2-36

( )3222 cos21cos θθθ ++= bax 2-37

( )( )3232222 21 θθθθθθ &&&& ++−−= bsenasenx 2-38

( )( )

( )( )232322232

22322

222

2222

41 θθθθ

θθθθθθθθ

&&

&&&&&

+++

+++=

senb

senabsensenax 2-39

( )3222 21 θθθ ++= bsenaseny 2-40


32

( )( )3232222 cos21cos θθθθθθ &&&& +++= bay 2-41

( )( )

( )( )232322232

22322

222

2222

cos41

coscoscos

θθθθ

θθθθθθθθ

&&

&&&&&

+++

+++=

b

abay 2-42

Sustituyendo 2-39 y 2-42 en 2-36:

( )( )( )( )

( )( )( )( )2323222

3222322

222

2223232

22

3222322

222

2222

cos41

coscos

cos41

θθθθ

θθθθθθ

θθθθθθ

θθθθθθθθ

&&

&&&

&&&

&&&&

+++

+++

++++

+++=

b

ab

asenb

senabsensenaV

2-43

Aplicando identidades trigonométricas (ver apéndice E) a la suma de las ecuaciones

2-39 y 2-42 se obtiene:

( ) ( )2322332222222222 41cos θθθθθθθ &&&&&&&& ++++=+ babayx 2-44

2222 xmI = 2-45

( )2

32222 cos2

1cos ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++= θθθ bax 2-46

( ) ( )322232222222 cos41coscoscos θθθθθθ ++++= babax 2-47

( ) ( )

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++++

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++=

3222

3222222

12

232

2332

22

22

222

cos41coscoscos

21

41cos

21

θθθθθθθ

θθθθθθθ

babam

babamK

&

&&&&&&

2-48

( ) ( )

( )

( ) 2132222122

213222

212

22

21

22

232

22332

222

22

222

2cos161

161

coscos212cos

41

41

81cos

21

21

θθθθ

θθθθθθθ

θθθθθθθ

&&

&&&

&&&&&&

+++

++++

++++=

bmbm

abmamam

bmabmamK

2-49


33

P2 = Energía potencial del eslabón 2

( )322222 21 θθθ ++= gbsenmgasenmP 2-50

2.2.2.4 Análisis de la articulación en el segundo eslabón respecto a la carga Kc = Energía cinética con respecto a la carga

21

2

21

21 θ&ccc IWVK += 2-51

222ccc yxV && += 2-52

( )322 coscos θθθ ++= baxc 2-53

( )( )323222 θθθθθθ &&&& ++−−= bsenasenxc 2-54

( )( )

( )( )232322232

22322

222

222 2

θθθθ

θθθθθθθθ&&

&&&&&

+++

+++=

senb

senabsensenaxc 2-55

( )322 θθθ ++= bsenasenyc 2-56

( )( )323222 coscos θθθθθθ &&&& +++= bayc 2-57

( )( )

( )( )232322232

22322

222

222

cos

coscos2cos

θθθθ

θθθθθθθθ&&

&&&&&

+++

+++=

b

abayc 2-58

Sustituyendo 2-55 y 2-58 en 2-52:

( )( )( )( )

( )( ) ( )( )23232223222322

222

2223232

22

3222322

222

222

coscoscos2

cos

2

θθθθθθθθθθ

θθθθθθ

θθθθθθθθ

&&&&&

&&&

&&&&

++++++

++++

+++=

bab

asenb

senabsensenaVc 2-59


34

Aplicando identidades trigonométricas (ver apéndice E) a la ecuación 2-59 se

obtiene:

( ) ( )2322332222222 cos2 θθθθθθθ &&&&&& ++++= babaVc 2-60

2cc WxI = 2-61

( )[ ]23222 coscos θθθ ++= baxc 2-62

( ) ( )32223222222 coscoscos2cos θθθθθθ ++++= babaxc 2-63

( ) ( )

( )

( ) 21322212

21322

212

221

2

232

2332

22

22

2

2cos41

41

coscos2cos41

41

21cos

21

θθθθ

θθθθθθθ

θθθθθθθ

&&

&&&

&&&&&&

+++

++++

++++=

WbWb

WabWaWa

WbWabWaKc

2-64

PC = Energía potencial con respecto a la carga

( )322 θθθ ++= WgbsenWgasenPC 2-65 2.2.2.5 Ecuación de Lagrange

La ecuación de movimiento de Lagrange se obtiene con la sumatoria de las energías cinéticas y potenciales en el manipulador (El método se puede consultar en el apéndice C) [Lewis 93]

ii PKL Σ−Σ= 2-66 Donde

iKΣ representa la sumatoria de las energías cinéticas,

iPΣ representa la sumatoria de las energías potenciales, Por lo que el Lagrangiano quedaría como: L = Kb + K1 + K2 + Kc – Pb – P1 – P2 – Pc 2-67


35

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )32232222

212

13222

12

21322

212

221

2

232

2332

22

22

2

2132

22

21

22

213222

212

22

21

22

232

22332

222

22

22

212

21

21

21

22

21

21

2

21

212cos

41

41

coscos2cos41

41

21cos

21

2cos161

161

coscos212cos

41

41

81cos

21

21

2cos161

161

81

21

θθθθθθ

θθθθθ

θθθθθθθ

θθθθθθθ

θθθθ

θθθθθθθ

θθθθθθθ

θθθθθ

+−−+−−

−+++

++++

+++++

+++

++++

+++++

+++=

WgbsenWgasengbsenmgasenm

gasenmWbWb

WabWaWa

WbWabWa

bmbm

abmamam

bmabmam

amamamlmL b

&&

&&&

&&&&&&

&&

&&&

&&&&&&

&&&&

2-68

Para obtener el par aplicado a partir de la ecuación de movimiento de Lagrange, se emplea:

qL

qL

dtd

∂∂

−∂∂

=&

τ 2-69

El siguiente desarrollo resulta de aplicar la ecuación de movimiento de Lagrange

(ecuacion 2-69) a el Lagrangiano (ecuación 2-68).

( )

( )

( )

( ) 132212132212

21

2

1322

212

2

13222122

212

2

122

112

112

1

2cos21

cenidet...(Cenidet), así como al Consejo nacional de Educación Tecnológica (Cosnet). A mis padres...

Documents

Transcript of cenidet...(Cenidet), así como al Consejo nacional de Educación Tecnológica (Cosnet). A mis padres...