UNIVERSIDAD NACIONAL

DEL CALLAO

CURSO: MECNICA

APLICADA

TEMA: CENTRO DE GRAVEDAD Y DE

MASA

Profesor: Ing. Omar Castillo Paredes

CALLAO -PER

2015

I. OBJETIVOS1. Entender los conceptos de centro de gravedad, centro de

masa y centroides.

2. Ser capaces de determinar la localizacin de estos puntos

para un cuerpo

II. APLICACIONESEn el diseo de estructuras para soportar tanques

de agua, es necesario conocer los pesos del

tanque y el agua as como la ubicacin de la

fuerza resultante de las fuerzas distribuidas.

Para disear vehculos

II. APLICACIONES

En el diseo de la

estructura en forma de

poste para hacer

deporte es muy

importante determinar el

peso total de la

estructura y la ubicacin

de su centro de

gravedad

III. CONCEPTO DE CENTRO DE MASA Y CENTRO DE GRAVEDAD

El centro de gravedad (CG) es el punto donde se encuentralocalizado el peso resultante de un sistema de partculas o de

un cuerpo.

De la definicin de fuerza resultante, la suma de los momentosdebido a los peso individuales de cada partcula respecto a un

punto es igual al momento de la resultante respecto al mismo

punto.

Similarmente, el centro de masa (CM) es el punto en el cual selocaliza la masa resultante de un sistema de partculas o

cuerpo. En general es el mismo que el CG.

IV. Centro de gravedad para un sistema de partculas

Considere el sistema mostrado.El peso resultante es

Los momentos alrededor de losejes x, y son.

IV. CENTRO DE GRAVEDAD DE UN SISTEMA DE PARTCULAS

La componente z se determina rotando los ejes

Ejemplo 01

Localice el centro de gravedad de cuatro cuerpos

pequeos (considerados partculas) que estn dispuestos

tal como se muestra en la figura

V. CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA DE PARTCULAS

El centro de masa es necesario cuando se estudia el movimientode un sistema de partculas. Es decir el movimiento de la materia

bajo la accin de una fuerza.

La segunda ley de Newton establece que si la masa esconstante, el peso es W = mg.

Al sustituir esta ecuacin en las ecuaciones del CG se obtiene

El CM y el CG coinciden. Adems el centro de masa esindependiente de la gravedad

xx

i

i

m

m

yy

i

i

m

m

zz

i

i

m

m

Ejemplo 02 Localice el centro de masa de los cinco puntos materiales

mostrados en la figura si mA = 2 kg, mB = 3 kg; mC = 4 kg mD = 3

kg y mE = 2 kg

V. CG Y CM DE UN CUERPO

Consideremos un cuerpo decualquier tamao y forma,

cuya masa es m.

Si se suspende el cuerpo decualquier punto tal como A,

B o C, el cuerpo se

encontrara en equilibrio bajo

la tensin en el cable y el

peso resultante.

En cada uno de lasposiciones marcamos la

lnea de accin de la

resultante.

En todos los casos prcticosestas lneas son concurrentes

en G (centro de gravedad del

cuerpo)

V. CG Y CM DE UN CUERPO Para determinar el CG del cuerpo se

aplica el principio de momentos al

sistema de fuerzas gravitacionales

paralelas.

El momento del peso resultante Wcon respecto a cualquier eje es igual

a la suma de momentos de cada una

de los pesos dW de las partculas

La resultante de las fuerzasgravitacionales actuando sobre toso

los elementos es el peso del cuerpo y

esta dado por

V. CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO

El centro de gravedad ser entonces

VI. CENTRO DE MASA DE UN CUERPO

El centro de masa se obtiene remplazando W= mg y dW =gdm

VI. CENTRO DE MASA DE UN CUERPO

Utilizando la definicin de densidad

Las coordenadas del centro de masa se escriben.

Estas ecuaciones son independientes del efectogravitacional

Como el campo gravitacional es considerado uniforme,el centro de gravedad es igual al centro de masa

VII. CENTROIDE

El centroide C es un punto el cualdefine el centro geomtrico de un

objeto

El centroide coincide con el centrode masa o el centro de gravedad

solamente si el material es

homogneo.

Si el objeto tiene un eje desimetra, entonces el centroide se

encuentra fijo en dicho eje.

En algunos casos el centroide nose encuentra ubicado sobre el

objeto.

7.1. COORDENADAS DEL CENTROIDE Sabemos que las coordenadas del centro de masa estn dadas

por las ecuaciones.

Cuando el cuerpo es homogneo, la densidad permanececonstante. Entonces la densidad se puede cancelar en el

numerador y en el denominador, obteniendo

7.2. CENTROIDE DE UN ALAMBRE

Consideremos un alambre de longitud L, seccin transversaluniforme A y densidad .

Para determinar el centroide se divide al alambre en elementosde masa dm = dV = AdV y se aplica el principio de momentosesto es

7.3.CENTROIDE DE UN REA Consideremos una lmina de espeso t uniforme, de rea A y

densidad como se muestra en la figura

Para determinar el centroide del rea se divide al rea enelementos de masa dm = dV = tdA y se aplica el principio demomentos esto es

7.3 CENTROIDE DE UN VOLUMEN Consideremos una lmina de espeso t uniforme, de rea A y

densidad como se muestra en la figura

Para determinar el centroide del rea se divide al rea enelementos de masa dm = dV y se aplica el principio demomentos esto es

Calculo de centroides por integracin

En las figuras se muestra las diferentes formas de clculo de centroides

ydxy

dAyAy

ydxx

dAxAx

el

el

2

dxxay

dAyAy

dxxaxa

dAxAx

el

el

2

drr

dAyAy

drr

dAxAx

el

el

2

2

2

1sin

3

2

2

1cos

3

2

Calculo de centroides por integracin

En las figuras se muestra las diferentes formas de clculo de centroides

Calculo de centroides por integracin

En las figuras se muestra las diferentes formas de clculo de centroides

Ejemplo01:

Por integracin directa determine las coordenadasdel centroide del acartelamiento parablico

SOLUCION:

Determine la constant k.

Evalue el rea total

Use elementos

diferenciales u horizontales

Evalue las coordenadas centroidales

Solucin Determine la constant k.

2

2

2

2 1 2

2 1 2

y k x

bb k a k

a

b ay x or x y

a b

Evalue el area total

32

2 2

0 03

3

aa

A dA

b b xy dx x dx

a a

abA

Solucin Usando elementos verticales se

determina por integracin los

momentos de primer orden

2

2

0

4 2

2

0

2

2

2

0

2 5 2

4

0

4 4

1

2 2

2 5 10

a

y el

a

a

x el

a

bQ x dA xydx x x dx

a

b x a b

a

y bQ y dA ydx x dx

a

b x ab

a

Solucin O tambin se usa elementos

horizonales y se determina los

momentos de primer orden

2 2

0

2 22

0

1 2

1 2

23 2

1 2

0

2 2

1

2 4

10

b

y el

b

x el

b

a x a xQ x dA a x dy dy

a a ba y dy

b

aQ y dA y a x dy y a y dy

b

a abay y dy

b

Solucin

Las coordenadas delcentroide sern

2

3 4

yxA Q

ab a bx

3

4x a

2

3 10

xyA Q

ab aby

3

10y b

Ejemplo

Localice el centroide del re bajo la curva x = ky3

desde x = 0 hasta x = a

Ejemplo Divida el rea elementos verticales y calcule

el momento respecto del eje y

Ejemplo Divida el rea elementos horizontales y

calcule el momento respecto del eje y

B. Centroides por integracin

EjemploLocalizar el centroide del arco de circunferencia

mostrado en la figura

Solucin El alambre presenta simetra respecto al eje y. Por tanto, la

coordenada yC del centroide ser nula. Un elemento

diferencial de arco tiene la longitud (dL =rd ), expresada

en coordendas polares, y la coordenada x del elemento es

x = rcos . Por tanto se tiene

2

(2 ) ( cos )

(2 ) 2

Lx xdL

r x r rd

r x r sen

r senx

Solucin Determine la distancia yc entre el centroide de un tringulo

de altura h y la base del mismo

Ejemplo

Localizar las coordenadas del centro de gravedadde la superficie de un sector circular

SolucinDivida a la superficie en elementos diferenciales

en forma de arco como se muestra en la figura

SolucinDivida a la superficie en elementos diferenciales

en forma de arco como se muestra en la figura

Ejemplo 04 En la figura se ha representado un alambre homogneo

delgado cuya forma es un arco de circunferencia. (a)

Localice las coordenadas x, y de su centro de masa, (b)

Utilice el resultado anterior para determinar las

coordenadas de centro de masa en el caso de sea un

semicrculo.

Ejemplo 04Localice el centroide de la varilla curvada delgada

mostrada en la figura

Ejemplo 04Un alambre homogneo se dobla en la forma indicada e la

figura. Determine por untegracin directa la coordenada x

de su centroide

Ejemplo 04Localice el centroide de la regin mostrada en la figura

Ejemplo 04Determine las coordenadas del centroide de la regin

mostrada en la figura

Ejemplo 04Determine las coordenadas del centroide de la regin

mostrada en la figura

Ejemplo 04Determine las coordenadas del centroide de la regin

mostrada en la figura

Ejemplo 04Localice la coordenada x del centroide de la regin

sombreada en la figura

Ejemplo 04Localice las coordenadas x, e y del centroide de la regin

sombreada en la figura

solucin

Ejemplo 05Localice el centroide del hemisferio mostrado en la figura

solucin

Ejemplo

Localice el centroide de la regin sombreada

VIII. CENTROIDE DE PLACAS Y ALAMBRES COMPUESTOS

Cuando una placa tiene una geometra ms compleja se divideen rectngulos, tringulos o alguna de las formas conocidas.

Las coordenadas centroidales de la regin compuesta sedetermina aplicando el teorema de momentos

VIII. CENTROIDE DE PLACAS Y ALAMBRES COMPUESTOS

O abreviadamente

Estas ecuaciones facilitan las coordenadas x, y de la placa

Esto es

Centroide de placas y alambres compuestos

Los momentos de primer orden de lassuperficies al igual que los momentos de

las fuerzas pueden ser positivos o

negativos.

Por ejemplo una superficie cuyocentroide se encuentra a la izquierda del

eje y tendr un momento de primer orden

negativo respecto a ese eje .

Adems a la superficie a la superficie deun orificio debe asignarse un signo

negativo

CENTROIDE DE CUERPOS COMPUESTOS

Centroides de regiones conocidas

Centroides de regiones conocidas

Centroides de alambres conocidos

Centroides de volumenes conocidos

Centroides de volumenes conocidos

Ejemplo

Para la superficie plana

mostrada en al figura.

Determine: (a) el momento de

primer orden con respecto a los

ejes x e y; (b) la ubicacin del

centroide

SOLUCIN

Divida a la regin en untringulo, un rectangulo y un

semicrculo y extraiga el

crculo.

Determine los momentos deprimer orden con respecto a

cada eje.

Encuentre el rea totalconsiderando negativa el

rea del crculo extrado

Solucincont

Los momentos de primer orden sern

SolucincontParte (b). Las coordenadas dl

centroide estn dadas por

23

33

mm1013.828

mm107.757

A

AxX

mm 8.54X

23

33

mm1013.828

mm102.506

A

AyY

mm 6.36Y

Ejemplo La figura mostrada est hecha a partir de un

pedazo de alambre delgado y homogneo.

Determine la ubicacin de su centro de gravedad.

Ejemplo

Localice el centroide del alambre compuesto

Solucin Divida al alambre en la forma

Las coordenada de cada porcin as como los productos y las longitudes se muestran en

Ejemplo Un alambre delgado y

homogneo de acero se

conforma como se

representa en la figura.

Localice las

coordenadas del centro

de gravedad del

alambre compuesto

Solucin

Solucin

Ejemplo Determine la masa y la localizacin del centro de

masa de la barra en forma de parbola mostrada

en la figura. La masa por unidad de longitud es

de 2 kg/m

EjemploLocalice el centro de masa de la combinacin soporte rbol. La

cara vertical es de plancha metlica, cuya masa es de 25 kg/m2.

El material de la base horizontal tiene una masa de 40 kg/m2 y

el rbol de acero tiene una densidad de 7,83 Mg/m3.

Solucin

Ejemplo Determine el centroide del volumen mostrado en

la figura

EjemploLocalice el centroide del trapezoide mostrado

en la figura

EjemploLocalice el centroide de la regin sombreada de

la figura

Ejemplo

Localice el centroide dela regin sombreada en

la figura

Ejemplo

Determinar la posicin del centroide del rea mostrada en la figura.

Ejemplo

Determinar la posicin del centroide del rea mostrada en la figura.

Ejemplo

Determinar la posicin del centroide del rea mostrada en la figura.

Ejemplo Localice el centroide del rea mostrada en la

figura, si todas las dimensiones estn en

milmetros

EjemploCalcular la coordenada y del centroide de la regin mostrada

en la figura

Ejemplo

Calcular las coordenadas del centroidales de la regin

mostrada en la figura

Solucin

EjemploCalcular las coordenadas del centroidales de la regin

mostrada en la figura. Las dimensiones se dan en mm

EjemploCalcular las coordenadas del centroidales de la regin

mostrada en la figura. Las dimensiones se dan en mm

EjemploCalcular las coordenadas del centroidales de la regin

mostrada en la figura. Las dimensiones se dan en mm

EjemploDetermine la coordenada y del centroide de la

regin mostrada en la figura

Ejemplo

Para los alambres mostrados en la figura,determine la coordenadas de su centriode

Ejemplo Para los alambres mostrados en la figura,

determine la coordenadas de su centriode

Ejemplo Para los alambres mostrados en la figura,

determine la coordenadas de su centriode

Ejemplo Determine las coordenadas del centro de masa

del soporte construido de una chapa de espesor

uniforme

Ejemplo

Halle las coordenadas del centro de masa del

soporte construido de chapa metlica de espesor

uniforme

Ejemplo Se construye un soporte con chapas de latn cuyo peso

por unidad de volumen es 0,0858 N/cm3 y aluminio cuyo

peso por unidad de volumen es 0,0272 N/m3. Determine el

centro de gravedad del soporte.

Ejemplo Localice el centro de gravedad de la hoja

mostrada en la figura

Ejemplo Una varilla delgada de latn que tiene seccin

transversal uniforme se dobla en la forma indicad

forma indicada en al figura. Localice su centro de

gravedad

Ejemplo El recipiente cilndrico con

una parte posterior

prolongada y unos

extremos semicirculares

est fabricado de la

misma partida de chapa

metlica. Determinar el

ngulo que forma con la

horizontal la parte plana

cuando el recipiente

descansa en equilibrio

sobre una superficie

horizontal.