Definiremos  primero  lo  que  es  el  momento:  

Si  m  es  la  masa  de  un  cuerpo  (considerandola  concentrada  en  un  solo  punto)  y  x  es  la  distancia  de  este  cuerpo  al  punto  P.  

El  momento  M  con  respecto  al  punto  P  es:  

𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑚 ∙ 𝑥  

El  concepto  de  momento  queda  ilustrado  en  el  siguiente  ejemplo  

Dos  niños  en  un  balancín.  Si  uno  de  los  niños  pesa  20  kg  

y  el  otro  30  kg,  estando  ambos  a  2  metros  del  punto  de  equilibrio  del  balancín,  todos  sabemos  que  el  balancín  girará  de  modo  que  el  niño  más  grande  baje  al  suelo.  Esto  ocurre  porque  el  momento  producido  por  el  niño  de  la  izquierda  es  menor  que  el  producido  por  el  otro  niño.  

El  momento  del  niño  de  la  izquierda  es    40  𝑘𝑔 −𝑚  y  el  de  la  derecha  es  60  𝑘𝑔 −𝑚.  

Si  el  niño  de  la  derecha  se  trasladara  a  2/3  del  punto  de  equilibrio,  el  balancín  estaría  en  equilibrio  pues  ahí  ambos  niños  ejercerían  un  momento  de  40𝑘𝑔 −𝑚.  

En  un  sistema  unidimencional.  

Con  el  fin  de  generalizar  esta  idea,  introduciremos  una  recta  coordenada  con  el  origen  en  el  punto  de  apoyo.  Supongamos  que  hay  varias  masas  colocadas  en  el  eje  x.    

 

La  medida  de  tendencia  del  sistema  a  girar  en  torno  al  origen  es  el  momento  respecto  al  origen  y  se  define  como  la  suma  de  n  productos  𝑚!𝑥! .  

𝑀! = 𝑚!𝑥!

!

!!!

 

Si  𝑀! = 0  se  dice  que  el  sistema  está  en  equilibrio.  

Para  un  sistema  que  no  se  encuentra  en  equilibrio  el  centro  de  masa  se  define  como  el  punto  𝑥  en  el  que  habría  que  colocar  el  punto  de  apoyo    para  que  el  sistema  alcance  el  equilibrio.  Si  el  sistema  se  traslada  𝑥  unidades,  cada  coordenada  𝑥!  pasaría  a  ser  (𝑥! − 𝑥),  y  como  el  momento  del  sistema  trasladado  sería  0,  tenemos:    

𝑀 = 𝑚! 𝑥! − 𝑥!

!!!

= 𝑚!𝑥!

!

!!!

− 𝑚!𝑥 = 0!

!!!

 

Despejando  la  Ecuación  del  centro  de  masa:  

𝑥 =𝑚! 𝑥!!

!!!

𝑚!!!!!

=𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜  𝑑𝑒𝑙  𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎  𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜  𝑑𝑒𝑙  𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛

𝑚𝑎𝑠𝑎  𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙  𝑑𝑒𝑙  𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =𝑀!

𝑚  

Momentos  y  Centro  de  masa:  

Es  el  punto  P  en  el  cual  se  equilibra,  horizontalmente  una  placa  delgada  de  cualquier  

forma  dada.

 

Si   𝑚!𝑥!!!!! = 0  ,  el  sistema  está  en  equilibrio.  

Ejemplo  1.  

Encuentra  el  cento  de  masa  de  un  sistema  de  cuatro  objetos,  cuyas  masas  son  10,  45,  32,  y24,  colocados  en  lso  puntos  -­‐4,  1,  3,  8,  respectivamente,  en  el  eje  x.  

𝑥 =10 −4 + 45 1 + 32 3 + 24(8)

10+ 45+ 32+ 24 =293111  

 

Centro  de  masa  de  un  sistema  bidimencional:  

Para  extender  el  concepto  de  momento  a  dos  dimenciones,  consideremos  un  sistema  de  masas  en  el  plano  xy,  localizadas  en  los  puntos   𝑥!,𝑦! ; 𝑥!,𝑦! ,… , 𝑥!,𝑦!  en  el  plano  xy,  Por  analogía  con  el  caso  unidimencional,  definiremos  el  momento  del  sistema  respecto  al  eje  y  como    

𝑀! = 𝑚!𝑥!

!

!!!

 

Y  al  momento  del  sistema  respecto  al  eje  x  en  tanto  como  

𝑀! = 𝑚!𝑦!

!

!!!

 

Las  coordenadas   𝑥  ,𝑦  del  centro  de  masa  se  expresan  en  términos  de  los  momentos  mediante  las  fórmulas:  

𝑥 = !!!                                    𝑦 = !!

!  

Ejemplo  2:    

Hallar  el  centro  de  masas  de  un  sistema  de  masas  puntuales  

 𝑚! = 6,𝑚! = 3,𝑚! = 2,𝑚! = 9  situadas  en   3,−2 ;    

0,0 ;   −5,3  𝑦   4,2 .  

 

𝑥 = !!!= ! ! !! ! !! !! !! !

!!!!!!!= !!

!"= !!

!                                  

   𝑦 = !!!= ! !! !! ! !! ! !! !

!"= !"

!"= !

!  

En  consecuencia  el  centro  de  masa  se  encuentra  en  el  punto   !!!, !!  

Centro  de  masa  de  una  lámina  plana.  

Consideraremos  que  una  lámina  plana  es  una  fina  lámina  de  un  material  de  densidad  constante.  Donde  la  densidad  es  lusualmente  ujna  medida  de  masa  por  unidad  de  volumen  ,  tal  como  𝑔/𝑐𝑚!.  

Para  lámina  planas,  sin  embargo  la  densidad  se  considera  como  la  mediad  de  masa  por  unidad  de  área.  Suele  denotarse  la  densidad  por  la  letra  griega  𝜌.  

Consideremos  una  lámina  plana  de  densidad  uniforme  𝜌,  acotada  por  las  gráficas  de  𝑦 = 𝑓(𝑥),  𝑦 = 𝑔 𝑥  y  𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏  

 

 

La  masa  de  esta  región  viene  dada  por  

𝑚 = (𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑)(á𝑟𝑒𝑎)  

𝑚 = 𝜌 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥!

!  

𝑚 = 𝜌𝐴  

Donde  A  denota  al  área  de  la  región.  

Para  hallar  el  centro  de  masa  de  esta  lámina  partimos  el  intervalo   𝑎, 𝑏  en  n  subintervalos  de  ancho  ∆! .  Sea  𝑥!  el  centro  del  i-­‐ésimo  subintervalo.  Podemos  aproximar  la  porción  de  la  lámina  que  está  sobre  ese  i-­‐ésimo  subintervalo  por  el  rectángulo  de  altura  ℎ = 𝑓 𝑥! − 𝑔 𝑥! .  Como  la  densidad  del  rectángulo  es  𝜌,  su  masa  es    

𝑚! = (𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑)(á𝑟𝑒𝑎)  

𝑚! = 𝜌 𝑓 𝑥! − 𝑔 𝑥! ∆!𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 ∙  𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎   ∙ 𝐴𝑛𝑐ℎ𝑢𝑟𝑎

 

Al  tomar  esta  masa  como  si  estuviera  en  el  cetro   𝑥! ,𝑦!    del  rectángulo,  la  distancia  dirigida  del  eje  x  a   𝑥! ,𝑦!    es  𝑦! = 𝑓 𝑥! − 𝑔 𝑥! /2  

Por  lo  tanto  el  momento  de  𝑚!  respecto  al  eje  x  es:  

𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎  

𝑚!𝑦! = 𝜌 𝑓 𝑥! − 𝑔 𝑥! ∆!𝑓 𝑥! − 𝑔 𝑥!

2  

Sumando  los  momentos  y  tomando  el  límite  cuando  𝑛 → ∞  se  obtiene  la  siguiente  definición.  

Momento  y  Centro  de  Masa  de  una  Lámina  Plana:  

Sean  f  y  g  continuas,  con  𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)  en   𝑎, 𝑏  y  consideremos  la  lámina  plana  de  densiad  uniforme  𝜌  acotada  por  las  gráficas  𝑦 = 𝑓(𝑥)  e  𝑦 = 𝑔(𝑥)  y  𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.  

 

1.-­‐  Los  momentos  respecto  al  eje  x  y  al  eje  y  son    

𝑀! = 𝜌! !𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

2! (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥

!

!  

𝑀! = 𝜌! 𝑥(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥!

!  

2.-­‐  El  centro  de  masa  (�̅�, 𝑦!)  viene  dado  por  �̅� = !!!  𝑒  𝑦! = !!

!,  donde  𝑚 = 𝜌 ∫ (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥!

!  es  la  masa  de  la  lámina.  

Ejemplo  1.  

Hallar  el  centro  de  masa  de  la  lámina  de  densidad  uniforme  𝜌  acotada  por  la  gráfica  de    

𝑓 𝑥 = 4− 𝑥!  y  el  eje  x  

 

 

 

Y  puesto  que  la  masa  del  rectángulo  representativo  es:  

𝜌𝑓 𝑥 ∆!= 𝜌 4− 𝑥! ∆!  vemos  que    

𝑀! =  𝜌4 − 𝑥!

24 − 𝑥! 𝑑𝑥 =

!

!!  𝜌2

16 − 8𝑥! + 𝑥! 𝑑𝑥 =!

!!

𝜌216𝑥 −

8𝑥!

3+𝑥!

5 !!

!

=25615

 𝜌  

de  modo  que  𝑦 = !!!=

256

15  𝜌

32

3𝜌= !

!  

Así  el  punto  de  equilibrio  de  la  lámina  es   0, !!  como  se  ve  en  la  figura.  

 

Si  observamos  el  procedimiento  nos  podemos  dar  cuenta  que  el  centro  de  masa  depende  solo  de  su  forma  y  no  de  su  densidad.  

Por  esto  al  Centro  de  masa  se  le  llama  también  centroide  de  la  región.  

En  otrs  palabras  hallar  el  centroide  deuna  región  en  el  plano,  basta  suponer  que  es  una  lámina  de  densidad  constante  𝜌 = 1  y  calcular  el  correspondiente  centro  de  masa.  

Ejemplo  2  

Hallar  el  centroide  de  la  región  acotada  por  las  gráficas  de  𝑓 𝑥 = 4− 𝑥!  y    

𝑔 𝑥 = 𝑥 + 2  

 

El  Centroide   𝑥,𝑦  de  la  región  tiene  coordenadas.  

Como  el  centro  de  masa  ha  de  estar  en  el  eje  de  simetría,  sabemos  que  �̅� = 0.  Además  la  masa  de  la  lámina  es    

𝑚 = 𝜌! (4 − 𝑥!)𝑑𝑥!

!!= 𝜌 !4𝑥 −

𝑥!

3!!!

!

=323𝜌

Para calcular el momento respecto al eje x, tomamos un rectángulo representativo como ilustra la figura. La distancia del centro del rectángulo al eje x es

𝑦! =𝑓(𝑥)2 =

4 − 𝑥!

2  

Las  gráficas  se  cortan  en  los  puntos  (−2,0)  𝑦  (1,3),  como  vemos  en  la  figura  lateral.  

Por  lo  tanto  el  área  de  la  región  es  

𝐴 = ! (2− 𝑥 − 𝑥!)𝑑𝑥 =92

!

!!  

𝑥 =1𝐴

𝑥 4 − 𝑥! − (𝑥 + 2) 𝑑𝑥 =29

!

!!−𝑥! − 𝑥! + 2𝑥

!

!!𝑑𝑥 =

29−𝑥!

4−𝑥!

3+ 𝑥!

!!

!

= −12  

𝑦 =1𝐴

4 − 𝑥! + (𝑥 + 2)2

!

!!4 − 𝑥! − (𝑥 + 2) 𝑑𝑥 =

29∙12

𝑥! − 9𝑥! − 4𝑥 + 12 𝑑𝑥 =!

!!  

=19𝑥!

5− 3𝑥! − 2𝑥! + 12𝑥

!!

!

=125  

Así  pues  el  centroide  es: 𝑥,𝑦 = − !!, !"!    

 

Bibliografía.  

Stewart.  Calculo  en  una  Variable  Tracendentes  y  tempranas.  3ª  Edición.  

Larson.  Calculo  Tomo  1.