Ceros de Funciones
-
Upload
emilio-ochoa -
Category
Documents
-
view
26 -
download
1
Transcript of Ceros de Funciones
UNIVERSIDAD DE CUENCA
METODOS NUMERICOS
Realizado por:Andrea ChicaJosé Chimborazo
SOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION NO LINEAL EN UNA VARIABLE
Tutor:Ing. Gerardo Arbito
Introducción:
En muchos aspectos de las matemáticas y la ingeniería existen problemas donde es necesario encontrar los valores de que satisfacen la ecuación lineal en variable real.Este tipo de problemas representa, en la actualidad, uno de los temas básicos dentro del análisis numérico. Sin embargo, en los últimos años, numerosos autores han introducido una variedad de métodos numéricos, especialmente para el caso de ceros simples.
METODOS ITERATIVOS PARA ENCONTRAR CEROS DE FUNCIONES Y
RAICES DE ECUACIONES
Método de la Falsa Posición
Método de la Bisección
Método de Newton Raphson
Método de la Secante
Método Punto Fijo
METODOS CERRADOS
Método de la Falsa Posición
Método de la Bisección
Método de la Falsa Posición
𝑓 (𝑥)
𝑥
𝑦
Consiste en considerar un intervalo , en el que se garantice que la función tiene raíz es decir .
Método de la Falsa Posición
Método de la Falsa Posición
𝑥
𝑦
𝑝1𝑝0
𝑓 (𝑝0)
𝑓 (𝑝1)
Método de la Falsa Posición
Consiste en considerar un intervalo en el que se garantice que la función tiene raíz es decir .Se traza un recta que una los puntos , .
Método de la Falsa Posición
𝑥
𝑦
𝑝0𝑝1
𝑓 (𝑝0)
𝑓 (𝑝1)
Método de la Falsa Posición
Consiste en considerar un intervalo en el que se garantice que la función tiene raíz Se traza un recta que una los puntos , .Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje , se toma como aproximación de la raíz buscada.
Método de la Falsa Posición
𝑦
𝑝0𝑝1
𝑓 (𝑝0)
𝑓 (𝑝1)
𝑝2𝑓 (𝑝2)
𝑥
Método de la Falsa PosiciónConsiste en considerar un intervalo en el que se garantice que la función tiene raíz es decir .Se traza un recta que una los puntos , .Se obtiene el punto de intersección de esta recta con el eje , se toma como aproximación de la raíz buscada.Luego identificamos en cuál de los dos intervalos está la raíz, de la siguiente manera: si entonces y , caso contrario y .El proceso se repiten veces o hasta que sea menor o igual a la tolerancia.
Método de la Falsa Posición
𝑦
𝑝0 𝑝1
𝑓 (𝑝0)
𝑓 (𝑝1)
𝑝2𝑓 (𝑝2)
𝑥
Diagrama de Flujo
La raíz es p2
f(p0)*f(p1):0>
<
p0=p2
f(p0)=f(p2)
p1=p2
f(p1)=f(p2)
f(p0)*f(p2):0
i=1:n<
<=
Abs(f(p2)):tol
>
>
Inicio
f, p0, p1, tol, nIngrese otro intervalo
Inicio
p2
function [p2,k,ERX,err,f2] = Fposicion(f,p0,p1,tolx,toly,n)
ERX(1)=100; f0=feval(f,p0); f1=feval(f,p1); for k=1:n dx=(f1)*(p1-p0)/(f1-f0); p2=p1-dx; dist=p2-p0; f2=feval(f,p2); a=abs(p0-p1); b=abs(p0); ERX(k+1)=(a/b)*100; if (f2==0), break
elseif f0*f2<0 p1=p2; f1=f2; else p0=p2; f0=f2; end dx=min(abs(dx),dist); if (abs(dx)<tolx)|(abs(f2)<toly),break,end endp2;err=abs(p1-p0)/2;f2=feval(f,p2);
Codificación en Matlab
Método de la Falsa PosiciónVENTAJAS:• Es siempre convergente.• Converge más rápidamente que el método de la
bisección.• Uno de los extremos del intervalo tiende a no modificarse.
DESVENTAJAS:
• Tiene una convergencia muy lenta hacia la solución.• Tiene la desventaja con respecto al método de la
bisección, que la longitud del subintervalo que contiene a la raíz en general no tiende a cero, porque la mayoría de las gráficas de las funciones son cóncavas (hacia arriba o hacia abajo) en la vecindad de la raíz, mientras el otro permanece fijo.
• Si existe más de una raíz en el intervalo, solo permite encontrar una de ellas.
Método de la Falsa PosiciónEJEMPLO:
2xf x e x
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
-10
0
10
20
30
40
50
60
Iteración:n p1 p0 p2 F(p1) F(p0) F(p2) error
1 0 1 0,53628944 1 -0,86466472 -0,19416436
2 0 0,53628944 0,14797559 1 -0,19416436 0,59584814 262,417494
3 0,14797559 0,53628944 0,44085208 0,59584814 -0,19416436 -0,02677542 66,4341846
4 0,14797559 0,44085208 0,34951892 0,59584814 -0,02677542 0,14754441 26,1311057
5 0,34951892 0,44085208 0,42682336 0,14754441 -0,02677542 -0,00096425 18,111577
6 0,34951892 0,42682336 0,41288573 0,14754441 -0,00096425 0,02501131 3,3756627
7 0,41288573 0,42682336 0,42630597 0,02501131 -0,00096425 -5,97E-06 3,14803075
8 0,41288573 0,42630597 0,42578871 0,02501131 -5,97E-06 0,00095254 0,12148348
9 0,42578871 0,42630597 0,42630275 0,00095254 -5,97E-06 -1,41E-09 0,1205811
10 0,42578871 0,42630275 0,42629953 0,00095254 -1,41E-09 5,97E-06 0,0007559
11 0,42629953 0,42630275 0,42630275 5,97E-06 -1,41E-09 -2,11E-15 0,00075572
12 0,42629953 0,42630275 0,42630275 5,97E-06 -2,11E-15 1,41E-09 1,79E-07
13 0,42630275 0,42630275 0,42630275 1,41E-09 -2,11E-15 0 1,79E-07
14 0,42630275 0,42630275 0,42630275 0 -2,11E-15 0 0
Método de la bisección
𝑥
𝑦𝑓 (𝑥)
Método de la bisecciónConsiste en considerar un intervalo en el que se garantice que la función tiene raíz
Método de la bisección
𝑥
𝑦
𝑝1 𝑝0
𝑓 (𝑝0)
𝑓 (𝑝1)
Método de la bisecciónConsiste en considerar un intervalo en el que se garantice que la función tiene raíz.El segmento se bisecta, tomando el punto de bisección como aproximación de la raíz buscada.
Método de la bisección
𝑥
𝑦
𝑝1𝑝0
𝑓 (𝑝0)
𝑓 (𝑝1)
𝑝2𝑓 (𝑝2)
Método de la bisecciónConsiste en considerar un intervalo en el que se garantice que la función tiene raízEl segmento se bisecta, tomando el punto de bisección como aproximación de la raíz buscada.Se identifica en cual de los intervalos está la raíz de la siguiente manera: si entonces y , caso contrario y El proceso se repite veces, o hasta que sea menor igual que la tolerancia.
Método de la bisección
𝒑𝟐=𝒑𝟎+𝒑𝟏
𝟐𝑦
𝑝1𝑝0
𝑓 (𝑝0)
𝑓 (𝑝1)
𝑝2𝑓 (𝑝2)
La raíz es p2
f(p0)*f(p1):0>
p2=(p0+p1)/2
<
p0=p2
f(p0)=f(p2)
p1=p2
f(p1)=f(p2)
f(p0)*f(p2):0
i=1:n<
<=
Abs(f(p2)):tol
>
>
Inicio
f, p0, p1, tol, nIngrese otro intervalo
Inicio
Diagrama de Flujo
function [p2,k,ERX,err,f2] = Mbiseccion(f,p0,p1,tolx,n)
ERX(1)=100; for k=1:n f0=feval(f,p0); f1=feval(f,p1); if f0*f1<0 p2=(p0+p1)/2; f2=feval(f,p2); a=abs(p0-p1); b=abs(p0); ERX(k+1)=(a/b)*100; if f2==0
p0=p2 p1=p2 elseif f0*f2<0 p1=p2; f1=f2; else p0=p2; f0=f2; end if ((p0-p1)<tolx),break,end endend p2=(p0+p1)/2; err=abs(p0-p1); f2=feval(f,p2);
Codificación en Matlab
Método de la bisecciónVENTAJAS:• Es siempre convergente.• Se usa el método de bisección para obtener un buen
punto de arranque para la aplicación de otro método.• Una de las mayores ventajas que tiene el método de
bisección es que el error de truncamiento, se acota fácilmente, dado que .
DESVENTAJAS:• Aunque el método de bisección siempre converge, su
convergencia es muy lenta, comparada con la convergencia de otros métodos, por lo que se sugiere escoger el intervalo inicial tan pequeño como sea posible.
• Si existe más de una raíz en el intervalo, el método permite encontrar solo una de ellas.
Iteración:n p1 p0 F(p1) F(p0) F(p2) p2 error
1 0 1 1 -0,86466472 -0,13212056 0,5
2 0 0,5 1 -0,13212056 0,35653066 0,25 100
3 0,25 0,5 0,35653066 -0,13212056 0,09736655 0,375 33,3333333
4 0,375 0,5 0,09736655 -0,13212056 -0,02063798 0,4375 14,2857143
5 0,375 0,4375 0,09736655 -0,02063798 0,03749731 0,40625 7,69230769
6 0,40625 0,4375 0,03749731 -0,02063798 0,00821964 0,421875 3,7037037
7 0,421875 0,4375 0,00821964 -0,02063798 -0,00626086 0,4296875 1,81818182
8 0,421875 0,4296875 0,00821964 -0,00626086 0,00096637 0,42578125 0,91743119
9 0,42578125 0,4296875 0,00096637 -0,00626086 -0,00265049 0,42773438 0,456621
10 0,42578125 0,42773438 0,00096637 -0,00265049 -0,00084287 0,42675781 0,22883295
11 0,42578125 0,42675781 0,00096637 -0,00084287 6,15E-05 0,42626953 0,11454754
12 0,42626953 0,42675781 6,15E-05 -0,00084287 -0,00039072 0,42651367 0,05724098
13 0,42626953 0,42651367 6,15E-05 -0,00039072 -0,0001646 0,4263916 0,02862869
14 0,42626953 0,4263916 6,15E-05 -0,0001646 -5,15E-05 0,42633057 0,01431639
15 0,42626953 0,42633057 6,15E-05 -5,15E-05 5,01E-06 0,42630005 0,00715871
16 0,42630005 0,42633057 5,01E-06 -5,15E-05 -2,33E-05 0,42631531 0,00357923
17 0,42630005 0,42631531 5,01E-06 -2,33E-05 -9,13E-06 0,42630768 0,00178965
18 0,42630005 0,42630768 5,01E-06 -9,13E-06 -2,06E-06 0,42630386 0,00089483
19 0,42630005 0,42630386 5,01E-06 -2,06E-06 1,47E-06 0,42630196 0,00044742
20 0,42630196 0,42630386 1,47E-06 -2,06E-06 -2,94E-07 0,42630291 0,00022371
21 0,42630196 0,42630291 1,47E-06 -2,94E-07 5,89E-07 0,42630243 0,00011185
METODOS ABIERTOS
Método de Newton Raphson
Método de la Secante
Método del Punto Fijo
Método de Newton Raphson
𝑥
𝑦
𝑓 (𝑥)
Consiste en elegir un punto inicial cualquiera como aproximación de la raíz.
Método de Newton Raphson
Método de Newton Raphson
𝑥
𝑦
𝑝0
𝑓 (𝑝0)
Método de Newton Raphson
Consiste en elegir un punto inicial cualquiera como aproximación de la raíz. Trazar una recta tangente a la función por ese punto.
Método de Newton Raphson:
𝑥
𝑦
𝑝0
𝑓 (𝑝0)
Método de Newton Raphson
Consiste en elegir un punto inicial cualquiera como aproximación de la raíz. Trazar una recta tangente a la función por ese punto.El punto de intersección de esta recta con el eje de las , constituye una segunda aproximación de la raíz.
Método de Newton Raphson
𝑥
𝑦
𝑝0
𝑓 (𝑝0)
𝑝1
𝑓 (𝑝1)
Método de Newton Raphson
Consiste en elegir un punto inicial cualquiera como aproximación de la raíz. Trazar una recta tangente a la función por ese punto.El punto de intersección de esta recta con el eje de las constituye una segunda aproximación de la raíz.El proceso se repite veces o hasta que sea menor o igual a la tolerancia.
Método de Newton Raphson
𝒑𝟏=𝒑𝟎−𝒇 (𝒑𝟎)𝒇 ′ (𝒑𝟎)
𝑥
𝑦
𝑝0
𝑓 (𝑝0)
𝑝1
𝑓 (𝑝1)
Diagrama de Flujo
function [p0,k,ERX,err,y] = Nrhapson(f,df,n,p0,tolx,toly)ERX(1)=100; for k=1:n fx=feval(f,p0); dx=feval(df,p0); p1=p0-(fx/dx); err=abs(p0-p1); a=abs(p0); ERX(k+1)=(err/a)*100; y=feval(f,p0); if (err<=tolx)|(abs(y)<=toly),break,end p0=p1; end
Codificación en Matlab
Método de Newton RaphsonVENTAJAS:• Converge más rápido que cualquiera de los siguientes
métodos: método de bisección, método de la regla falsa, método gráfico y el método del punto fijo.
DESVENTAJAS:• No siempre es convergente depende de la naturaleza de
la función.• No es conveniente en el caso de raíces múltiples.• Puede alejarse del área de interés si la pendiente es
cercana a cero.
Iteración:
Iteraciones p0 p1 F’(p0) F(p0) %Es %E Total
1 1 0,3195209 -1,270671 -0,864665
2 0,3195209 0,4208429 -2,055596 0,2082769 24,075954 1,2807513
3 0,4208429 0,426289 -1,861967 0,0101405 1,2775671 0,0032254
4 0,426289 0,4263028 -1,852629 2,55E-05 0,0032254 1,88E-08
5 0,4263028 0,4263028 -1,852606 1,61E-10 2,04E-08 1,61E-09
6 0,4263028 0,4263028 -1,852606 0 0 1,61E-09
Método de la Secante
𝑓 (𝑥)
𝑥
𝑦
Método de la Secante
Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera y .
Método de la Secante
𝑝0𝑝1 𝑥
𝑦
𝑓 (𝑝0)
𝑓 (𝑝1)
Método de la Secante
Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera y .Se traza una recta secante a la función por esos dos puntos.
Método de la Secante
𝑝0𝑝1 𝑥
𝑦
𝑓 (𝑝0)
𝑓 (𝑝1)
Método de la Secante
Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera y .Se traza una recta secante a la función por esos dos puntos.El punto de intersección de esta recta con el eje de las , constituye una segunda aproximación de la raíz.
Método de la Secante:
𝑝0𝑝1 𝑥
𝑦
𝑓 (𝑝0)
𝑓 (𝑝1)
𝑝2
Método de la SecanteConsiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera y .Se traza una recta secante a la función por esos dos puntos.El punto de intersección de esta recta con el eje de las , constituye una segunda aproximación de la raíz. El proceso se repite veces o hasta que sea menor o igual a la tolerancia.
Método de la Secante:
𝒑𝟐=𝒑𝟏∗ 𝒇 (𝒑𝟎 )−𝒑𝟎∗ 𝒇 (𝒑𝟏)
𝒇 (𝒑𝟎)− 𝒇 (𝒑𝟏)
𝑝0𝑝1 𝑥
𝑦
𝑓 (𝑝0)
𝑓 (𝑝1)
𝑝2
Diagrama de Flujo
function [p1,k,ERX,err,y] = Msecante(f,n,p0,p1,tolx,toly)ERX(1)=100; for k=1:n f0=feval(f,p0); f1=feval(f,p1); p2=(p1*f0-p0*f1)/(f0-f1); err=abs(p0-p1); a=abs(p0); ERX(k+1)=(err/a)*100; y=feval(f,p1); if (err<=tolx)|(abs(y)<=toly),break,end p0=p1; p1=p2; endend
Codificación en Matlab
VENTAJAS:• La ventaja es que no hay que calcular la derivada de
(esto es de gran ayuda en un caso de que sea difícil de calcular
DESVENTAJAS:• La convergencia de la solución es más lenta que la que
produce el método de Newton Raphson.
Método de la Secante:
Iteración:
n p1 p0 p2 F(p1) F(p0) F(p2) error
1 0,65 0,7 0,4014525 -0,377468-0,453403 0,046573
2 0,4014525 0,65 0,4287508 0,046573 -0,377468 -0,00453 6,3669391
3 0,4287508 0,4014525 0,4263309 -0,00453 0,046573 -5,21E-05 0,567622
4 0,4263309 0,4287508 0,4263027 -5,21E-05 -0,00453 5,87E-08 0,0066051
5 0,4263027 0,4263309 0,4263028 5,87E-08 -5,21E-05 -7,60E-13 7,43E-06
6 0,4263028 0,4263027 0,4263028 -7,6E-13 5,868E-08 0,00E+00 9,616E-11
7 0,4263028 0,4263028 0,4263028 0-7,6E-13 0 0
Método del Punto Fijo
𝑥
𝑦
𝑓 (𝑥)
Método del Punto FijoConsidere la descomposición en una función en una diferencia de dos funciones: una primera y la segunda, siempre la función .
Método del Punto Fijo
𝑥
𝑦
𝑔 (𝑥)
𝑦=𝑥
𝑝0𝑝1
(𝑝0 ,𝑔(𝑝0))(𝑝1 ,𝑝1)
Método del Punto FijoConsidere la descomposición en una función en una diferencia de dos funciones: una primera y la segunda, siempre la función .La raíz de la función se da cuando , es decir, cuando , por lo que .El punto de intersección de las dos funciones da entonces el valor exacto de la raíz.
Método del Punto Fijo:
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖 ó𝑛
Método del Punto FijoConsidere la descomposición en una función en una diferencia de dos funciones: una primera y la segunda, siempre la función .La raíz de la función se da cuando , es decir, cuando , por lo que .El punto de intersección de las dos funciones da entonces el valor exacto de la raíz.El método consiste en considerar un valor inicial , como aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta función considerando éste como una aproximación de la raíz.
Método del Punto Fijo:
𝑝0𝑝1
𝒑𝟏=𝒈 (𝒑𝟎)
Método del Punto Fijo:Considere la descomposición en una función en una diferencia de dos funciones: una primera y la segunda, siempre la función .La raíz de la función se da cuando , es decir, cuando , por lo que .El punto de intersección de las dos funciones da entonces el valor exacto de la raíz.El método consiste en considerar un valor inicial , como aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta función considerando éste como una aproximación de la raíz.El proceso se repite veces o hasta que sea menor o igual a la tolerancia.
Diagrama de Flujo
function [p,k,ERX,err,P] = Pfijo(g,p0,tolx,n)ERX(1)=100;P(1)=p0; for k=2:n P(k)=feval(g,P(k-1)); err=abs(P(k)-P(k-1)); ERX(k)=(err/abs(P(k-1)))*100; p=P(k); if (err<tolx),break,endend P=P';
Codificación en Matlab
VENTAJAS:• El método es simple, • Es flexible
DESVENTAJAS:• No siempre es convergente, depende de la forma de la
función .
Método del Punto Fijo:
Iteración:n p0 F(p0) p1 error
1 0,4662 0,39360792 0,39360792 -18,4427396
2 0,39360792 0,45511014 0,45511014 13,5137
3 0,45511014 0,40243557 0,40243557 13,0889438
4 0,40243557 0,44714554 0,44714554 9,99897542
5 0,44714554 0,40889737 0,40889737 9,35397873
6 0,40889737 0,44140399 0,44140399 7,36437007
7 0,44140399 0,41361984 0,41361984 6,71731613
8 0,41361984 0,43725458 0,43725458 5,4052591
9 0,43725458 0,41706668 0,41706668 4,84045018
10 0,41706668 0,43425066 0,43425066 3,95715669
11 0,43425066 0,4195799 0,4195799 3,49653604
12 0,4195799 0,4320734 0,4320734 2,89152415
13 0,4320734 0,42141095 0,42141094 2,53018054
14 0,42141094 0,430494 0,430494 2,10991471
15 0,430494 0,4227442 0,4227442 1,83321201
16 0,4227442 0,42934761 0,42934761 1,53800945
17 0,42934761 0,42371458 0,42371458 1,32944088
18 0,42371458 0,42851517 0,42851516 1,1202845
19 0,42851516 0,4244206 0,4244206 0,96474171
0 5 10 15 20 250
50
100
150
200
250
300
Bisection Method
False Position Method
Fixed Point Method
Newton-Raphson Method
Secant Method
# Iteraciones vs % error
% E
rror
# Iteraciones
Comparación de los métodos:
Bibliografía:
Steven C. Chapra, “Methods Numeric's for Engineering” Quinta Edition. Mac Graw Hill
Stewart, James. "Calculus, Early Transcendent." 4 ed. Tr. Andrew Sesti. Mexico, Ed Thomson, 2002. p. 1151