Ceros y singularidades. Series de Laurent.

CAPITULO 8

Ceros y singularidades.Series de Laurent.

8.1 INTRODUCCION

Los polinomios son el ejemplo extremo de la importancia que puede llegar a tenerel conocimiento de los ceros de una funcion en la determinacion y el manejode la misma. Sin llegar a tanto, para las funciones holomorfas el estudio de susceros es tambien un aspecto importante de su tratamiento, y en la primera seccionde este capıtulo recogeremos informacion ya conocida (para funciones analıticas,que como sabemos coinciden con las holomorfas), anadiendo algunas propiedadessencillas que no agotan el tema: especialmente para funciones enteras, quedan pen-dientes resultados importantes, algunos de los cuales se trataran el curso proximo.

Estamos constatando a lo largo de todo el curso que las funciones holomorfasse comportan maravillosamente si las comparamos con las funciones a las que noshemos enfrentado en cursos anteriores. ¿Podemos seguir sacando partido de nues-tros metodos actuales si permitimos que las funciones presenten alguna ‘anomalıa’en algunos puntos? ¿Que se mantiene y cuanto se pierde? Contestar a esta preguntaes el proposito del estudio de los puntos singulares aislados de las funciones holo-morfas. Nos limitaremos primero a establecer una clasificacion de los mismos entres tipos, viendo de que manera tan distinta afecta al comportamiento local de lafuncion la presencia de una singularidad aislada de cada uno de estos tipos.

Un ejemplo de funciones que tienen solamente singularidades aisladas en unabierto son los cocientes de funciones holomorfas (supuesto que el denominadorno se anule en ninguna componente conexa). Este es un caso particular impor-tante de funcion meromorfa, concepto que introducimos en la siguiente seccion,examinando de momento unicamente sus propiedades algebraicas.

Estudio aparte merece el punto del infinito. Para las funciones holomorfas quetienen una singularidad aislada en ∞, averiguaremos como su comportamiento eneste punto puede en algunos casos suministrar una informacion adicional intere-sante sobre la funcion.

Por ultimo, en la parte final de este capıtulo, veremos un importante teoremade Laurent que generaliza el desarrollo en serie de Taylor de una funcion holomorfaen un disco, probando que si una funcion es holomorfa en una corona circular (en

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particular, en un disco privado de su centro), la funcion se puede representar comosuma de una serie de Laurent, que es una serie de potencias con exponentes enteroscualesquiera y no solo con exponentes enteros no negativos, como son las series deTaylor. Comprobaremos que las series de Laurent permiten ası mismo caracterizarlos diferentes tipos de singularidades aisladas, y concluiremos con unos ejerciciosque muestran como hallar desarrollos de Laurent de algunas funciones concretas,un buen banco de pruebas para los recursos adquiridos hasta el momento.

Referencias basicas:— Conway, J. B.: Functions of One Complex Variable. (2nd ed.) Springer, New

York (1978).— Duncan, J.: The elements of complex analysis. Wiley, London (1968).— Rudin, W.: Analisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana,

Madrid (1987).

8.2 CEROS DE UNA FUNCION HOLOMORFA

Un polinomio no puede tener infinitos ceros sin ser identicamente nulo. La situaciones algo menos drastica cuando pasamos a funciones holomorfas: conocemos fun-ciones no nulas, como el seno y el coseno, que tienen infinitos ceros. Esto nosignifica que no haya restricciones severas sobre los posibles ceros de una funcionholomorfa no nula. Una vez que hemos probado la identidad entre las funcionesholomorfas y las funciones analıticas, el principio de prolongacion analıtica nosinforma de que el conjunto de ceros de una funcion holomorfa no nula, si su do-minio es conexo, no puede poseer puntos de acumulacion dentro del dominio. Estono significa que no pueda haber puntos de acumulacion de ceros: por ejemplo, lafuncion sen(π/z) es holomorfa en C \ {0} y se anula en los puntos 1/k, k ∈ Z(en este caso 0 es un punto de acumulacion de ceros); lo que sucede es que, si elconjunto de ceros tiene puntos de acumulacion, estos deberan estar en la fronteradel dominio. Podemos sacar algunas consecuencias inmediatas de este hecho.

Proposicion 8.1. Sea � una region de C y f ∈ H(�) no identicamente nula.Denotemos por Z f el conjunto de ceros de f , es decir, Z f = f −1(0). Entonces(1) Z f es un conjunto discreto.(2) Para cualquier conjunto compacto K ⊆ �, Z f ∩ K es finito o vacıo.(3) Z f es un conjunto contable (finito o numerable).

Demostracion.(1) Que Z f es un conjunto discreto significa que para cada punto a de Z f se puede

encontrar un r > 0 tal que z /∈ Z f si 0 < |z − a| < r , o lo que es igual, queningun punto de Z f es punto de acumulacion de Z f .

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(2) Si Z f ∩ K tuviese infinitos puntos, por la compacidad de K tendrıa al menosun punto de acumulacion en K ⊆ � y por tanto Z f tendrıa al menos un puntode acumulacion en �.

(3) � puede ponerse como union numerable de compactos, � = ∪n Kn paraalguna sucesion (Kn) de compactos. Entonces Z f = ∪n(Z f ∩ Kn) y cadaZ f ∩ Kn es finito o vacıo.

Definicion 8.2. Sea � un abierto de C y f ∈ H(�). Dado a ∈ �, diremos que aes un cero de orden k de f si k ∈ N es tal que

f (a) = f ′(a) = . . . = f (k−1)(a) = 0, f (k)(a) �= 0.

Notese que para que exista tal k, es necesario y suficiente que a sea un cerode f y que f no se anule en la componente conexa de � que contiene a a; dichode otra forma, que a sea un cero aislado de f .

Proposicion 8.3. Sea � un abierto de C, a ∈ �, k ∈ N y f ∈ H(�). Las siguientespropiedades son equivalentes entre sı:(1) a es un cero de f de orden k.(2) En un disco D(a; r) ⊆ � es

f (z) =∞∑

n=k

an (z − a)n, z ∈ D(a; r),

con ak �= 0.(3) Existe una funcion g ∈ H(�) tal que g(a) �= 0 y

f (z) = (z − a)k g(z)

para todo z ∈ �.

Demostracion.(1) ⇒ (2) Expresar los coeficientes del desarrollo de Taylor de f en a mediantelas derivadas de f en a.(2) ⇒ (3) La funcion g definida en � por

g(z) ={ f (z)

(z − a)ksi z �= a

ak si z = aes claramente holomorfa en � \ {a} y en a es analıtica (luego holomorfa), puestoque para todo z ∈ D(a; r) es

g(z) =∞∑

n=k

an (z − a)n,

y por tanto cumple las condiciones de (3).(3) ⇒ (1) Basta calcular las derivadas sucesivas de f y aplicar la definicion deorden de un cero.


8.3 SINGULARIDADES AISLADAS

En algunos textos (p. ej. Duncan, ob. cit., p. 63), dado un abierto � y una funcionf : � → C se dice que un punto a ∈ � es un punto regular para f o que f tieneen a un punto regular si existe un r > 0 tal que D(a; r) ⊆ � y f es derivableen cada punto de D(a; r). Los puntos que no son regulares se denominan puntossingulares. En esta seccion estudiaremos un tipo especial de puntos singulares, quedenominaremos singularidades aisladas.

Definicion 8.4. Sea a ∈ C. Decimos que una funcion f tiene una singularidadaislada en a si f no es derivable en a pero existe un r > 0 tal que f es holomorfaen

D∗(a; r) = {z ∈ C : 0 < |z − a| < r}.

Clasificacion de las singularidades aisladas. Podemos distinguir entre las siguien-tes situaciones:(1) existe limz→a f (z) ∈ C. Se dice entonces que f tiene en a una singularidad

evitable o que a es una singularidad evitable de f .(2) existe limz→a f (z) = ∞. Se dice entonces que f tiene en a un polo o que a

es un polo de f .(3) no existe limz→a f (z) en C∞. Se dice entonces que f tiene en a una singu-

laridad esencial o que a es una singularidad esencial de f .

Ejemplos.(1) Hay muchas funciones holomorfas (no enteras) sin singularidades aisladas.

Ejemplo sencillo: el logaritmo principal Log z, para el que son puntos regularestodos los de C \ (−∞, 0] y singulares todos los de (−∞, 0].

(2) Todos los puntos en los que no esta definida la funcion f dada por

f (z) = z

ez − 1

son singularidades aisladas. En z = 0 tiene una singularidad evitable. Lospuntos de la forma z = 2kπ i , k ∈ Z \ {0}, son polos de f .

(3) La funcion f dada por

f (z) = e1/z

tiene una singularidad esencial en z = 0.

Observacion. El conjunto Sf de singularidades aisladas de una funcion f esdiscreto y contable (incluıda la posibilidad de que sea vacıo).


Proposicion 8.5. Sea � un abierto no vacıo de C, a ∈ � y f ∈ H(� \ {a}).Entonces(1) Si a es una singularidad evitable de f , la funcion f definida por

f (z) ={

f (z) si z ∈ � \ {a}limz→a f (z) si z = a

es holomorfa en �.Recıprocamente, si f admite una extension holomorfa en �, tiene en a unasingularidad evitable.

(2) Si para algun r > 0 la funcion f se mantiene acotada en D∗(a; r) ={z ∈ C : 0 < |z − a| < r}, entonces f tiene una singularidad evitable en f .

Demostracion. (1) f es holomorfa en � \ {a} y continua en �, luego holomorfaen �. El recıproco es obvio.

(2) Ya se probo que, en estas condiciones, f admite una extension holomorfa enD(a; r).

La primera parte de la proposicion anterior justifica el nombre de singularidadevitable. Notese que si f tiene en a una singularidad evitable, o bien f no estadefinida en a o bien f no es continua en a.

Definicion 8.6. (Orden de un polo). Sea a un polo de una funcion f . Entonces la

funcion1

ftiene en a una singularidad evitable y lımite nulo, de manera que para

algun δ > 0 la funcion

h(z) ={

1/ f (z) si 0 < |z − a| < δ

0 si z = a

es holomorfa en D(a; δ).Si h tiene en a un cero de orden k, diremos que f tiene en a un polo de orden

k o que a es un un polo de orden k de f .

Los polos de orden 1 se llaman polos simples; los de orden mayor que 1, polosmultiples (dobles, triples, . . . )

Proposicion 8.7. Sea � un abierto no vacıo de C, a ∈ � y f ∈ H(� \ {a}). Lassiguientes propiedades son equivalentes:(1) f tiene en a un polo de orden k;(2) existe limz→a(z − a)k f (z) ∈ C \ {0}, y en consecuencia

{limz→a(z − a)n f (z) = ∞ si 0 ≤ n < k,limz→a(z − a)n f (z) = 0 si n > k;


(3) existe una funcion g ∈ H(�) tal que g(a) �= 0 y

f (z) = g(z)

(z − a)k

para cada z ∈ � \ {a};(4) existen coeficientes Aj (1 ≤ j ≤ k), an (n ∈ N ∪ {0}), unıvocamente deter-

minados, con Ak �= 0, y un r > 0, tales que

f (z) = Ak

(z − a)k+ · · · + A2

(z − a)2+ A1

z − a+

∞∑

n=0

an (z − a)n

siempre que 0 < |z − a| < r .

(La funcion racional S( f ; a)(z) = Ak

(z − a)k+· · ·+ A2

(z − a)2+ A1

z − ase denomina

parte singular o parte principal de f en a.)

Demostracion. (1) ⇒ (2) Yendo a la definicion, h(z) = (z − a)k g(z) para algunafuncion g holomorfa en D(a; δ) con g(a) �= 0, y limz→a(z − a)k f (z) = 1/g(a).

(2) ⇒ (1) Si h es como en la definicion, resulta h(z) = (z − a)k g(z) para g dadapor

g(z) =

h(z)

(z − a)k= 1

(z − a)k f (z)si 0 < |z − a| < δ

1/(limz→a(z − a)k f (z)

)si z = a,

que es holomorfa en D(a; δ) y no nula en a.(2) ⇒ (3) La funcion dada por (z − a)k f (z) tiene una singularidad evitable en a.(3) ⇒ (4) Para algun r > 0 puede ponerse

g(z) =∞∑

n=0

cn (z − a)n, |z − a| < r,

luego

f (z) = c0

(z − a)k+ · · · + ck−2

(z − a)2+ ck−1

z − a+

∞∑

n=0

ck+n (z − a)n

siempre que 0 < |z − a| < r .Puesto que g esta unıvocamente determinada por f , hay unicidad para los

coeficientes.(4) ⇒ (2) Evidente.

Observacion. Segun el resultado anterior, la funcion f − S( f ; a) tiene en a unasingularidad evitable. Ademas, el orden de a como polo de f es el menor valor den tal que (z − a)n f (z) tiene una singularidad evitable en a.


NOTA. Cuando f es una funcion racional, solo tiene en C un numero finito desingularidades que son polos. Separando repetidamente la parte singular en cadauno de ellos, encontramos la descomposicion de f en fracciones simples (v. detallesen Conway, ob. cit., pp. 105–106.)

Finalmente, para singularidades esenciales, tenemos la siguiente caracteri-zacion en terminos de los valores de la funcion:

Teorema 8.8. (Teorema de Casorati-Weierstrass). Sea � un abierto no vacıo deC, a ∈ � y f ∈ H(� \ {a}). Las siguientes propiedades son equivalentes:(1) a es una singularidad esencial de f .(2) f (U ) = C para todo entorno reducido U ⊆ � \ {a} de a.(3) Para todo w ∈ C se puede encontrar (zn) en � \ {a} tal que zn → a y

f (zn) → w.

Demostracion.(1) ⇒ (2) En caso contrario existirıan r > 0, δ > 0 y w ∈ C tales que | f (z)−w| >

δ para todo z ∈ D∗(a; r). Entonces, la funcion g dada por

g(z) = 1

f (z) − w, z ∈ D∗(a; r),

es holomofa y acotada en D∗(a; r), con lo cual puede extenderse a una funcion gholomorfa en D(a; r).

Si fuese g(a) �= 0, se deduce que f estarıa acotada en un entorno de a, y enconsecuencia a serıa una singularidad evitable de f .

Pero si g tiene en a un cero de orden k ≥ 1, podrıamos escribir

g(z) = (z − a)k g1(z), z ∈ D(a; r),

para una funcion g1 holomorfa en D(a; r) con g1(a) �= 0; por tanto

limz→a

((z − a)k f (z)

) = limz→a

((z − a)k w + 1

g1(z)

)= 1

g1(a)∈ C \ {0},

con lo cual a serıa un polo de orden k de f .(2) ⇒ (3) Evidente.(3) ⇒ (1) Es claro que en esta hipotesis no existe limz→a f (z), ni finito ni infinito.

Se sabe mucho mas: si a es una singularidad esencial de f , en cualquierentorno reducido de a la funcion f alcanza todos los valores complejos, exceptouno a lo mas. Este es el llamado ‘teorema grande de Picard’, ver Rudin, ob. cit., pp.376–377. (Mas facil de probar es el ‘teorema pequeno de Picard’, que establece quecada funcion entera no constante alcanza cualquier valor complejo, excepto uno alo mas. La funcion exponencial ilustra que este es el mejor resultado esperable.)Las demostraciones de estos teoremas requieren herramientas mas poderosas quelas que disponemos por ahora.


8.4 FUNCIONES MEROMORFAS

Las funciones cuyas unicas singularidades son polos aparecen con frecuencia su-ficiente como para merecer un nombre especial.

Definicion 8.9. Diremos que una funcion f es meromorfa en un abierto � si encada punto de � o bien f es holomorfa o bien tiene un polo; dicho de otra forma,si existe un conjunto Pf ⊆ � tal que(1) Pf no tiene puntos de acumulacion en �;(2) f ∈ H(� \ Pf );(3) f tiene un polo en cada punto de Pf .

Como Pf es un subconjunto discreto de �, para cada compacto K ⊆ �

el conjunto K ∩ Pf es finito, lo que implica que Pf es finito o numerable. Estaincluida la posibilidad Pf = ∅, con lo cual las funciones holomorfas son ejemplosde funciones meromorfas. Tambien lo son las funciones racionales.

El conjunto de las funciones meromorfas en � lo denotaremos por M(�).Notese que una funcion es meromorfa en un abierto si lo es en cada componente

conexa del abierto. Supuesto � conexo, son ejemplos de funciones meromorfas en� los cocientes de funciones analıticas (con denominador no nulo, por descontado):de hecho, esta es la unica forma de obtener funciones meromorfas en abiertosconexos, si bien la demostracion de esta afirmacion requiere conocer primero laposibilidad de construir funciones holomorfas con ceros prefijados y orden de losceros igualmente prefijado (teorema de factorizacion de Weierstrass, que se probarael proximo curso).

Por el momento, nos limitaremos a comprobar el siguiente resultado.

Proposicion 8.10. Dado un abierto no vacıo � en C, el conjunto M(�) de lasfunciones meromorfas en � es un algebra sobre C respecto de las operacionesusuales con funciones. Si ademas � es conexo, M(�) es un cuerpo conmutativo.

Demostracion. Es una verificacion rutinaria, basada en las factorizaciones asocia-das a polos y ceros que caracterizan el orden de los mismos.

Observaciones.(1) El comentario hecho anteriormente indica que si � es una region, M(�) es

el cuerpo de cocientes del dominio H(�).(2) Cuando � no es conexo, M(�) no es un cuerpo: por ejemplo, si � = A ∪ B

con A, B abiertos no vacıos disjuntos, la funcion f que vale 1 en A y 0 enB esta en M(�) [de hecho, en H(�)] y no tiene inverso en M(�) [es undivisor de cero en H(�)].


8.5 SINGULARIDADES EN EL INFINITO

Definicion 8.11. Diremos que ∞ es una singularidad aislada de una funcion f siexiste R > 0 tal que f ∈ H(AR), donde AR = {z ∈ C : |z| > R}.

Podemos establecer una clasificacion similar a la considerada para singulari-dades finitas.

Definicion 8.12. Supongamos que ∞ es una singularidad aislada de una funcionf . Entonces:(1) Se dice que f tiene en ∞ una singularidad evitable o que ∞ es una singu-

laridad evitable de f si existe

limz→∞ f (z) ∈ C.

(2) Se dice que f tiene en ∞ un polo o que ∞ es un polo de f si

limz→∞ f (z) = ∞.

(3) Se dice que f tiene en ∞ una singularidad esencial o que ∞ es una singu-laridad esencial de f si no existe limz→∞ f (z) en C∞.

Ejemplos.(1) f (z) = 1/z tiene una singularidad evitable en ∞.(2) todo polinomio no constante tiene un polo en ∞.(3) f (z) = ez tiene una singularidad esencial en ∞.(4) f (z) = 1/ sen z no tiene una singularidad aislada en ∞.

8.13. Estudio de singularidades en el infinito. Si para algun R > 0 es f ∈ H(AR),donde como antes AR = {z ∈ C : |z| > R}, la funcion f ∗ definida por

f ∗(z) = f(1

z

)

es holomorfa en D∗(0; 1/R), con lo que 0 es una singularidad aislada para f ∗. Estopermite reducir el estudio de las singularidades en ∞ al estudio de singularidadesaisladas en 0. Por ejemplo, es inmediato que f tiene una singularidad evitable en ∞(o un polo, o una singularidad esencial) si y solo si f ∗ tiene en 0 una singularidadevitable (o un polo, o una singularidad esencial).

Sobre esta base podemos estudiar con mayor detalle las singularidades en ∞.

Definicion 8.14. Diremos que f tiene en ∞ un polo de orden k o que ∞ es unpolo de orden k de f si 0 es un polo de orden k de la funcion f ∗ definida porf ∗(z) = f (1/z).


Como consecuencia de las definiciones y de los resultados previos sobre polos,podemos enunciar:

Proposicion 8.15. Supongamos que ∞ es una singularidad aislada para unafuncion f . Las siguientes propiedades son equivalentes:(1) f tiene en ∞ un polo de orden k;

(2) existe limz→∞f (z)

zk∈ C \ {0};

(3) existen un R > 0 y una funcion g holomorfa en AR = {z ∈ C : |z| > R} conlimz→∞ g(z) ∈ C \ {0} y que verifica

f (z) = zk g(z)

para cada z ∈ AR.(4) existen coeficientes Aj (1 ≤ j ≤ k), an (n ∈ N ∪ {0}), con Ak �= 0,

unıvocamente determinados, y un R > 0, tales que

f (z) = Ak zk + · · · + A1 z +∞∑

n=0

an

zn

siempre que |z| > R.

(El polinomio Ak zk + · · · + A1 z se denomina parte singular o parte principal def en ∞.)

Teorema 8.16. (de Casorati-Weierstrass para singularidad infinita). Supongamosque ∞ es una singularidad aislada para una funcion f . Las siguientes propiedadesson equivalentes:(1) ∞ es una singularidad esencial de f .(2) f (U ) = C para todo entorno reducido U de ∞.(3) Para todo w ∈ C se puede encontrar (zn) en el dominio de f tal que zn → ∞

y f (zn) → w.

Es conveniente extender el concepto de funcion meromorfa a funciones defini-das en abiertos del plano complejo ampliado C∞ que contengan al punto del infinito.

Definicion 8.17. Sea � un abierto de C tal que C\D(0; R) ⊆ � para algun R > 0,es decir, tal que �∞ = � ∪ {∞} sea un abierto en C∞. Diremos que f : � → Ces meromorfa en �∞, en sımbolos f ∈ M(�∞), si f es meromorfa en � y tieneen ∞ una singularidad evitable o un polo.

Proposicion 8.18.(1) Si f es una funcion entera y meromorfa en C∞, entonces f es un polinomio.(2) f ∈ M(C∞) si y solo si f es una funcion racional.


Demostracion.(1) Si ∞ es una singularidad evitable, f serıa constante por el teorema de Liouville.Supongamos, pues, que es un polo de orden k. Entonces

limz→∞

f (z)

zk∈ C \ {0}

y por tanto existen R, M > 0 tales que

| f (z)| ≤ M |z|k, |z| > R;

en consecuencia (generalizacion del teorema de Liouville) f es un polinomio degrado ≤ k.(2) Observemos primero que si f ∈ M(C∞), solo puede tener un numero finitode polos en C para que ∞ sea una singularidad aislada.

Sean, pues, a1, . . . , an los polos finitos de f y k1, . . . , kn sus respectivosordenes y sea ∞ un polo de orden k0 para f . Se sigue que la funcion

(z − a1)k1 · · · (z − an)

kn f (z)

se puede extender a una funcion g holomorfa en C (es decir, entera) que tendra en∞ un polo de orden k = k0 + k1 +· · ·+ kn , con lo cual g es un polinomio de grado≤ k segun acabamos de probar, luego

f (z) = g(z)

(z − a1)k1 · · · (z − an)kn

es una funcion racional.

Corolario 8.19. Si f es una funcion entera, o es constante o f (C) = C.

Demostracion. Si f es entera, ∞ es evidentemente una singularidad aislada paraf .— Si ∞ es evitable, de modo que existe limz→∞ f (z) ∈ C, f es constante por elteorema de Liouville.— Si ∞ es un polo, f es un polinomio (resultado anterior) y f (C) = C.— Si ∞ es una singularidad esencial, f (C) = C por el teorema de Casorati-Weierstrass.

NOTA. De hecho, como ya hemos comentado, si f es una funcion entera no constantees cierto que su imagen f (C) es todo C salvo un punto a lo mas.


8.6 SERIES DE LAURENT

Fijemos la notacion D(a; r, R) para la corona {z : r < |z − a| < R}, donde0 ≤ r < R ≤ +∞.

Lema 8.20. Sea (an) una sucesion de numeros complejos y r = lim sup n√|an|.

Entonces

(1) la serie∞∑

n=1

an(z − a)−n es absolutamente convergente en cada punto de la

corona D(a; r, +∞) y converge uniformemente en los subconjuntos com-pactos de D(a; r, +∞);

(2) en el disco D(a; r) la serie no converge (en a ni siquiera esta definida);(3) la funcion f definida en D(a; r, +∞) por

f (z) =∞∑

n=1

an(z − a)−n

es holomorfa.

Demostracion. Sabemos que la serie∞∑

n=1

an wn converge absolutamente en cada

w ∈ D(0; 1/r), no converge si |w| > 1/r , y que define en D(0; 1/r) una funcionholomorfa g(w). Tomando w = 1/(z−a), se deducen las tesis del enunciado salvola convergencia uniforme sobre compactos de D(a; r, +∞). Pero si K es un sub-conjunto compacto de D(a; r, +∞), existira un R > r tal que K ⊆ D(a; R, +∞)

(¿por que?), de manera que para todo z ∈ K sera

∞∑

n=1

∣∣an(z − a)−n∣∣ ≤

∞∑

n=1

|an| R−n < +∞,

luego la serie converge uniformemente en K por el criterio M de Weierstrass.

NOTA. Si r = +∞, la serie no converge en ningun punto. Si r = 0, converge enC \ {a}.Definicion 8.21. (Series doblemente infinitas). Dada una sucesion (zn)n∈Z de

numeros complejos, si las series∞∑

n=0

zn y∞∑

n=1

z−n convergen, diremos que la serie

∞∑

n=−∞zn converge, en cuyo caso su suma es el numero complejo

∞∑

n=−∞zn =

∞∑

n=0

zn +∞∑

n=1

z−n.


Observese que si∞∑

n=−∞zn converge, la sucesion de sumas simetricas

(N∑

n=−N

zn

)

es convergente con lımite igual a la suma de la serie, pero que este lımite puedeexistir sin que la serie sea convergente; por ejemplo, si z0 = 0 y zn = 1/n paran �= 0.

Diremos que la serie∞∑

n=−∞zn converge absolutamente si las dos series

∞∑

n=0

zn

y∞∑

n=1

z−n convergen absolutamente.

De manera analoga, dada ( fn)n∈Z, donde las fn son funciones complejas

definidas en un conjunto S ⊆ C, diremos que la serie∞∑

n=−∞fn converge (puntual-

mente, uniformemente, uniformemente sobre compactos de S) si y solo si las dos

series∞∑

n=0

fn y∞∑

n=1

f−n convergen (puntualmente, uniformemente, uniformemente

sobre compactos de S)

NOTA. Aunque hemos dividido la serie en dos trozos separando los n ≥ 0 y losn < 0, es evidente que la separacion puede llevarse a cabo en cualquier otroındice, pues se trata de anadir o quitar un numero finito de sumandos al trozocorrespondiente.

Definicion 8.22. (Series de Laurent). Llamaremos serie de Laurent centrada ena a toda serie de la forma

∞∑

n=−∞an(z − a)n.

Proposicion 8.23. Dada una serie de Laurent centrada en a

∞∑

n=−∞an(z − a)n,

sean

R1 = lim sup n√

|a−n|, R2 =(

lim sup n√

|an|)−1

.

Entonces:(1) la serie converge absolutamente en cada punto de la corona D(a; R1, R2), a

la que denominaremos corona de convergencia, y converge uniformementeen los subconjuntos compactos de D(a; R1, R2);

(2) la serie no converge en ningun punto z /∈ D(a; R1, R2) exterior a la corona;


(3) R1 y R2 son los unicos valores en [0, +∞] para los que se cumplen laspropiedades (1) y (2);

(4) la funcion f definida en D(a; R1, R2) como suma de la serie

f (z) =∞∑

n=−∞an(z − a)n

es holomorfa en D(a; R1, R2), y su derivada esta dada en cada punto por

f ′(z) =∞∑

n=−∞n an(z − a)n−1.

NOTA. El enunciado anterior tiene pleno sentido si R1 < R2. En caso contrario,D(a; R1, R2) es vacıo. Si R1 > R2, no hay convergencia para la serie en ningunpunto. Si R1 = R2, ¿cual es la situacion?

Teorema 8.24. (Teorema de Laurent). Sea f una funcion holomorfa en una coronaD(a; R1, R2) [a ∈ C, 0 ≤ R1 < R2 ≤ +∞]. Entonces:(1) f puede representarse en D(a; R1, R2) como suma de una serie de Laurent

f (z) =∞∑


que converge absolutamente en cada z ∈ D(a; R1, R2) y converge uniforme-mente en cada compacto contenido en D(a; R1, R2) o, equivalentemente, encada corona D(a; r1, r2) para la que R1 < r1 < r2 < R2.

(2) Los coeficientes de la serie estan dados por la formula

an = 1

2π i

∫

γ

f (z)

(z − a)n+1dz,

donde γ es cualquier circunferencia (orientada positivamente) de centro a yradio r , con R1 < r < R2.

(3) La serie esta unıvocamente determinada por f .

Nos referiremos a la serie como al desarollo en serie de Laurent de f . La tesis (1)

afirma la existencia de desarrollo en la corona, y la (3) su unicidad, mientras que(2) proporciona (teoricamente, al menos) una manera de calcular los coeficientesdel desarrollo.


Demostracion. (Cf. Conway, ob. cit., pp. 107–108.)Unicidad. Si existe la representacion de (1), D(a; R1, R2) estara contenida

en la corona de convergencia de la serie, y esta convergera uniformemente en cadacompacto contenido en D(a; R1, R2). Si γ = ∂ D(a; r) con R1 < r < R2, sop γ

es uno de tales compactos, luego podremos integrar la serie termino a termino paraobtener ∫

γ

f (z) dz =∞∑

n=−∞an

∫

γ

(z − a)n dz = 2π i a−1,

y, en general, para cada n ∈ Z, de modo similar,

∫

γ

f (z)

(z − a)n+1dz =

∞∑

k=−∞ak

∫

γ

(z − a)k−n−1 dz = 2π i an,

luego los coeficientes del desarrollo estan unıvocamente determinados por la sumade la serie.

Existencia. Comencemos por senalar que si R1 < r1 < r2 < R2 y γ1, γ2 son,respectivamente, las circunferencias de centro a y radios r1, r2 (orientadas positiva-mente), entonces γ1 y γ2 son homologas respecto de D(a; R1, R2) (comprobarlo).Por el teorema homologico de Cauchy se tiene, pues, que para toda funcion gholomorfa en D(a; R1, R2) es

∫

γ1

g(w) dw =∫

γ2

g(w) dw.

En particular, tomando

g(w) = 1

2π i

f (w)

(w − a)n+1, n ∈ Z,

se deduce que

1

2π i

∫

γ1

f (w)

(w − a)n+1dw = 1

2π i

∫

γ2

f (w)

(w − a)n+1dw

da el mismo valor para cualquier circunferencia de centro a interior a la corona, esun complejo independiente de cual sea el radio que se considere.

Definamos, pues, para cada n ∈ Z,

an = 1

2π i

∫

γ

f (w)

(w − a)n+1dw,


donde γ es cualquier circunferencia (orientada positivamente) de centro a y radioestrictamente mayor que R1 y estrictamente menor que R2. Comprobaremos acontinuacion que para todo z ∈ D(a; R1, R2) la serie

∞∑


(i) es convergente y (ii) tiene por suma f (z). Esto basta para demostrar el teorema(¿POR QUE?)

Sea, pues, z ∈ D(a; R1, R2). Elegimos r , s de manera que

R1 < r < |z − a| < s < R2

y denotamos con γr , γs las circunferencias de centro a y radios r , s orientadaspositivamente. Poniendo Ms = max{| f (w)| : |w − a| = s}, como para todo w talque |w − a| = s (> |z − a|) y para todo entero n ≥ 0 es

∣∣∣∣f (w) (z − a)n

(w − a)n+1

∣∣∣∣ ≤ Ms |z − a|nsn+1

= Ms

s

( |z − a|s

)n

,

aplicando el criterio M de Weierstrass y la posibilidad de integrar termino a terminolas series uniformemente convergentes resulta

1

2π i

∫

γs

f (w)

w − zdw = 1

2π i

∫

γs

( ∞∑

n=0

f (w) (z − a)n

(w − a)n+1

)dw

=∞∑

n=0

(1

2π i

∫

γs

f (w)

(w − a)n+1dw

)(z − a)n =

∞∑

n=0

an (z − a)n.

De manera similar, si Mr = max{| f (w)| : |w −a| = r} y w es tal que |w −a| = r(< |z − a|), de

∣∣∣∣f (w) (w − a)n−1

(z − a)n

∣∣∣∣ ≤ Mr rn−1

|z − a|n = Mr

|z − a|(

r

|z − a|)n−1

,

n ∈ N, se sigue analogamente

1

2π i

∫

γr

f (w)

z − wdw = 1

2π i

∫

γr

( ∞∑

n=1

f (w) (w − a)n−1

(z − a)n

)dw

=∞∑

n=1

(1

2π i

∫

γr

f (w) (w − a)n−1 dw

)(z − a)−n =

∞∑

n=1

a−n (z − a)−n.


Hemos probado, por tanto, que la serie converge con suma

∞∑

n=−∞an(z − a)n = 1

2π i

∫

γs

f (w)

w − zdw + 1

2π i

∫

γr

f (w)

z − wdw,

y ası tenemos (i). Pero ademas � = [γs, −γr ] es un ciclo homologo a 0 respectode D(a; R1, R2) para el que Ind�(z) = 1 (comprobarlo), y aplicando la formulade Cauchy,

f (z) = 1

2π i

∫

�

f (w)

w − zdw = 1

2π i

∫

γs

f (w)

w − zdw − 1

2π i

∫

γr

f (w)

w − zdw

=∞∑

n=−∞an(z − a)n,

lo que demuestra (ii).

Disponemos ahora de otro util para analizar las singularidades aisladas. Sia es una singularidad aislada de una funcion f , esta sera holomorfa en algunacorona D∗(a; R) = D(a; 0, R), y sera por tanto desarrollable en serie de Laurenten dicho conjunto. El examen de los coeficientes nulos permite decidir el tipo desingularidad que presenta f en a.

Corolario 8.25. Sea a ∈ C una singularidad aislada de una funcion f , holomorfaen D∗(a; R) = D(a; 0, R) para algun R > 0, y sea

f (z) =∞∑


su desarrollo en serie de Laurent en D(a; 0, R). Entonces:(1) a es una singularidad evitable si y solo si an = 0 para todo n < 0;(2) a es un polo de orden k si y solo si a−k �= 0 y an = 0 para todo n < −k;(3) a es una singularidad esencial si y solo si an �= 0 para infinitos valores

negativos de n.

Demostracion. Conway, ob. cit., Cor. 1.18, p. 109.

En el punto del infinito ‘se invierten los terminos’, como cabıa esperar. Si unafuncion f tiene una singularidad aislada en ∞, sera holomorfa en D(0; R, +∞)

para algun R > 0, y segun el teorema de Laurent

f (z) =∞∑

n=−∞an zn, z ∈ D(0; R, +∞).

Denominaremos a esta serie el desarrollo en serie de Laurent de f en el infinito.


Corolario 8.26. Sea f una funcion con una singularidad aislada en ∞, holomorfaen D(0; R, +∞) para algun R > 0, y sea

f (z) =∞∑

n=−∞an zn

su desarrollo en serie de Laurent en D(0; R, +∞). Entonces:(1) ∞ es una singularidad evitable si y solo si an = 0 para todo n ≥ 1;(2) ∞ es un polo de orden k si y solo si ak �= 0 y an = 0 para todo n > k;(3) ∞ es una singularidad esencial si y solo si an �= 0 para infinitos valores

positivos de n.

Demostracion. Aplicar el corolario anterior al punto singular 0 de la funcion f ∗

definida en D(0; 0, 1/R) por

f ∗(z) = f

(1

z

),

que tendra como desarrollo de Laurent

f ∗(z) =∞∑

n=−∞an z−n.

8.7 EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio. Dados a, b ∈ C con a �= b, sea

f (z) = Logz − a

z − b.

¿Cual es el maximo abierto � en el que f es holomorfa? Hallar, si existe, eldesarrollo en serie de Laurent de f en el infinito, determinando en que dominio esvalido el desarrollo.

Respuesta. La funcion f esta definida en C \ {a, b}. Puesto que la composicionde funciones holomorfas es una funcion holomorfa, f sera holomorfa al menos en

C \ {z : z = b oz − a

z − b∈ (−∞, 0]} = C \ [a, b]

[[notese que

z − a

z − b= −λ, (λ ≥ 0) ⇐⇒ z = 1

1 + λa + λ

1 + λb

⇐⇒ z = t a + (1 − t) b, (0 < t ≤ 1) ⇐⇒ z ∈ [a, b)]]


En los puntos de (a, b) no hay continuidad (menos aun holomorfıa) para f , puessi z0 = t a + (1 − t) b, 0 < t < 1, tomando para n ∈ N

zn = z0 + i

n(b − a) → z0, wn = z0 − i

n(b − a) → z0, (n → +∞),

resulta

zn − a

zn − b= (1 − t)(b − a) + (i/n)(b − a)

t (a − b) + (i/n)(b − a)= −t (1 − t) + (1/n2) − (i/n)

t2 + (1/n)2,

wn − a

wn − b= −t (1 − t) + (1/n2) + (i/n)

t2 + (1/n)2,

con lo cual limn f (zn) = ln

(1

t− 1

)− i

π

2, limn f (wn) = ln

(1

t− 1

)+ i

π

2.

En consecuencia,� = C\[a, b] es el maximo abierto en el que f es holomorfa.Vemos ası que f tiene en ∞ una singularidad aislada, y que la maxima corona

D(0; R, +∞) en la que f es holomorfa corresponde a R = max{|a|, |b|}. Por elteorema de Laurent, dicha corona es el dominio de validez del desarrollo. Paracalcular este, es preferible aprovechar que la derivada f ′ es igualmente holomorfaen dicha corona, verificandose

f ′(z) = 1

z − a− 1

z − b=

∞∑

n=0

an − bn

zn+1=

∞∑

n=1

an − bn

zn+1, |z| > max{|a|, |b|}.

Como D(0; R, +∞) es conexo, existe c ∈ C tal que

f (z) = c +∞∑

n=1

bn − an

n

1

zn, |z| > max{|a|, |b|}.

Pero limz→∞ f (z) = Log 1 = 0, luego c = 0 y finalmente

Logz − a

z − b=

∞∑

n=1

bn − an

n

1

zn, |z| > max{|a|, |b|}.

Ejercicio. Calcular los desarrollos en serie de Laurent de la funcion

f (z) = 1

z − 2Log

z − i

z + i

en D(0; 1, 2) y en D(0; 2, +∞).


Respuesta. A la vista del ejercicio anterior, es facil probar que f sera holomorfajustamente en � = C \ ([−i, i] ∪ {2}). Ademas, sabemos que

(a) Logz − i

z + i=

∞∑

n=0

(−i)n − i n

n

1

znsi |z| > 1;

(b)1

z − 2= −

∞∑

n=0

zn

2n+1si |z| < 2;

(c)1

z − 2=

∞∑

n=0

2n

zn+1si |z| > 2.

Multiplicando (a) por (b) se obtiene, siempre que 1 < |z| < 2:

1

z − 2Log

z − i

z + i= −

∞∑

k=−∞

∑

−n+m=k

n≥1,m≥0

(−i)n − i n

n

1

2m+1

zk .

Cuando k ≥ −1, el coeficiente de zk resulta ser

ak =∞∑

n=1

(−i)n − i n

n

1

2k+n+1= 1

2k+1

∞∑

n=1

(−i)n − i n

n

1

2n

= 1

2k+1Log

2 − i

2 + i= − i

2kArc tg

1

2,

mientras que el coeficiente de1

zksi k ≥ 2 es

a−k = 1

2k+1

∞∑

n=k

(−i)n − i n

n

1

2n,

con lo cual, siempre que n ≥ 1,

a−2n = 22k i

(Arc tg

1

2−

k−1∑

m=0

(−1)m

(2m + 1)22m+1

),

a−(2n+1) = 22k+1 i

(Arc tg

1

2−

k−1∑

m=0

(−1)m

(2m + 1)22m+1

).

Para |z| > 2, multiplicando (a) por (c) llegamos a f (z) = ∑∞n=2 bn z−n , donde

bn =n−1∑

k=1

(−i)k − i k

k2n−k−1 = 2n−1

n−1∑

k=1

(−i)k − i k

k2−k

= 2n−1n−1∑

k=1

(−i/2)k − (i/2)k

k.


Otra respuesta (mediante integracion). Sea, como antes, � = C \ ([−i, i] ∪{2}),y sean

f (z) =∞∑

n=−∞an zn, 1 < |z| < 2;

f (z) =∞∑

n=−∞cn zn, |z| > 2,

los correspondientes desarrollos de Laurent de f en las coronas indicadas.Poniendo γr = ∂ D(0; r) para 1 < r < 2; γε = ∂ D(2; ε) para 0 < ε < 2;

γR = ∂ D(0; R) para R > 2, es [γr ] ∼ [γR, −γε] (�), luego aplicando suce-sivamente el teorema de Laurent y el teorema homologico de Cauchy podemosdeducir

an = 1

2π i

∫

γr

f (w)

wn+1dw = 1

2π i

∫

γR

f (w)

wn+1dw − 1

2π i

∫

γε

f (w)

wn+1dw

= cn − 1

2π i

∫

γε

f (w)

wn+1dw.

Pero la funcion

g(w) = 1

wn+1Log

w − i

w + i

es holomorfa en D(2; 2), luego aplicando la formula de Cauchy en discos resulta

1

2π i

∫

γε

f (w)

wn+1dw = − 1

2π i

∫

γε

1

wn+1Log

w − i

w + iw − 2

dw = 1

2π i

∫

γε

g(w)

w − 2dw

= g(2) = 1

2n+1Log

2 − i

2 + i= − i

2nArc tg

1

2.

Por otra parte, como limz→∞ z f (z) = 0, siempre que n ≥ −1 se sigue

cn = limR→+∞

1

2π i

∫

γR

f (w)

wn+1dw = 0

(sin mas que usar la acotacion habitual de la integral). Para n ≤ −2, sea k = −n


(con lo cual k ≥ 2) y bk = c−k = cn . Entonces

bk = 1

2π i

∫

γR

wk−1 f (w) dw = 1

2π i

∫

γR

wk−1

w − 2Log

w − i

w + idw

= 1

2π i

∫

γR

(wk−1 − 2k−1

w − 2+ 2k−1

w − 2

)Log

w − i

w + idw

= 1

2π i

∫

γR

(wk−2 + 2wk−3 + · · · + 2k−3w + 2k−2

)Log

w − i

w + idw

+ 2k−1 · 1

2π i

∫

γR

1

w − 2Log

w − i

w + idw

= 1

2π i

∫

γR

(wk−2 + 2wk−3 + · · · + 2k−3w + 2k−2

)Log

w − i

w + idw

+ 2k−1 · c−1

= 1

2π i

∫

γR

(wk−2 + 2wk−3 + · · · + 2k−3w + 2k−2

)Log

w − i

w + idw.

El polinomio del integrando es la derivada del polinomio

P(w) = 1

k − 1wk−1 + 2

k − 2wk−2 + · · · + 2k−3

2w2 + 2k−2 w,

que es obviamente holomorfo en todo C, luego integrando por partes y aplicandola formula de Cauchy llegamos a

bk = 1

2π i

∫

γR

P(w)

(1

w − i− 1

w + i

)dw = P(i) − P(−i)

=k−1∑

m=1

2m−1

k − m

(i k−m − (−i)k−m

),

que puede reescribirse en la forma vista anteriormente.

Ceros y singularidades. Series de Laurent.

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