Certamen 1 Pauta S1 2015 Vitacura
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7/25/2019 Certamen 1 Pauta S1 2015 Vitacura
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Universidad Tecnica Federico Santa Mara
Departamento de Matematica
Certamen 1, MAT 024
2o Semestre de 2014
Problema 1: Calcule R
|y x2| dA
siendo R=
(x, y)R2 :|x| + |y| 2, y0, |x| 1 Solucion: Segun el signo de y x2, la integral se divide en tres partes:
!" # "
"
$
y=x2
y=2x
y=x+2
R
|y x2| dA
= 1
0
2
x
x2(yx2) dy dx+
0
1
x+2
x2(yx2) dy dx+
1
1
x
2
0
(x2y) dy dx= 1910
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Problema 2: Calcule
Q
x3y3z3 dV, siendo
Q=
(x,y,z) R3 :x >0, y >0, z >0, x2y2 + x2z2 + y2z2 0, v >0, w >0, u + v+ w
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Observacion: Otra forma de resolver este problema es hacer el cambio de variable
u= xy, v=xz, w= yz
Con esto
(u,v,w)
(x,y,z)= det
y x 0z 0 x
0 z y
=2xyz = J= 1(u,v,w)(x,y,z) =
1
2xyz
En las variables u, v y w la region de integracion queda
QN= (u,v,w) : u >0, v >0, w >0, u2 + v2 + w2
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Problema 3: El tallo de una seta es un cilindro circular recto de diametro 1 ylongitud 2, mientras que su cabeza es una semiesfera de radio R. Si la densidad dela seta es constante e igual a k, encuentre el radio de la cabeza para que el centro
de masa de la seta este situado en el plano que une el tallo con la cabeza.
Solucion:
Para simplificar los calculos, dispondremos la figura de manera que el tallo sea elcilindro solido
A=
(x,y,z) R3 :x2 + y2 1
4,2z0
y la cabeza sea la semicircunferencia solida
B={(x,y,z) R3 :x2 + y2 + z2 R2, z0}
No se pierde generalidad al hacer esta suposicion, pues el centro de masa de unsolido es independiente de donde se encuentre ubicado el mismo.
Con esta suposicion, se sigue inmediatamente que (x,y,z) = (0, 0, z).
Como A y B tienen en comun solo parte de sus fronteras, podemos hacer uso delresultado que dice que el centro de masa del conjunto AB, esta dado porCAB =
mA
mA+ mBCA +
mB
mA+ mBCB , siendo mA y mB las masas de A y B
respectivamente, CA y CB los centros de masa de A y B respectivamente.
Es claro que el centro de masa del cilindro esta ubicado en el punto CA= (xA, yA, zA) =(0, 0, 1).Por otro lado CB = (xB, yB, zB) = (0, 0, zB).
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zB = Bkz dV
mB=
Bkz dV
Bk dV = Bz dV
23R
3
Calculemos ahora
B
z dV. Para ello anotaremos el solido en coordenadas esfericas,
con lo cualB
z dV =
20
/20
R0
cos()2 sen() ddd
=
20
d
/20
sen()cos() d
R0
3 d
= 2
1
2
R4
4
=
R4
4
Por lo tanto
zB = 32R3
R4
4 =3
8R
Se tiene entonces CAB = (0, 0, zAB).
Ahora
zAB
= mA
mA+ mBzA+
mB
mA+ mBzB =
1
mA+ mB(mAzA+mBzB)
Las condiciones del problema exigen que zAB
= 0.
zAB
= 0 mAzA+ mBzB = 0 2
(1) +23
R3 3
8R= 0
Resolviendo esta ultima ecuacion se obtiene R= 42.
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Problema 4: Suponga que la curva r(s) esta parametrizada por longitud de arcoy tiene curvatura y torsion constantes,k y respectivamente. Sus vectores tangenteunitario, normal principal y binormal son T(s), N(s) y B(s).
Se define la curva (s) por
(s) = 1
kT(s) +
ss0
B(u) du
Pruebe que todas las rectas normales a (s) son paralelas al plano generado por losvectoresT(s) y B(s) N(s).Solucion:
(s) = 1
kT(s) +
s
s0
B(u) du = (s) = 1k
T(s) + B(s) = 1
kkN(s) + B(s)
es decir (s) =N(s) + B(s).
Derivando nuevamente
(s) =N(s) + B(s) =k T(s) + B(s) N(s) =kT(s) + (B(s) N(s))
o sea
(s) =kT(s)+(B(s)N(s)), y esto justamente quiere decir que las rectasnormales (con vector director paralelo a (s)) son paralelas al plano generado porlos vectores T(s) y N(s) B(s).