CF-20 Residuo. EI residuo en un node sefiala el error cometi · 2014-04-23 · CF-20 . 9[...
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Residuo. EI residuo en un node sefiala el error cometi
do allf; en un nodo 0, de vecinos cercanos eguidistan
tes, 1, 2, 3 Y 4, aguel se define con:
R 0 == cD 1 + cD 2 + cD 3 + cD 4 - 4cD o·
Procedimiento. EI siguiente:
Inicializar, como en el metodo iterativo, y cal9ular el
residuo en cada nodo.
Relajar el nodo de mayor valor absoluto; para ello:
.. Anular su residuo, al sumarle: ~ Ro == - Ro'
• Cambiar su potencial, con: ~cDo == Ro /4.
" Cambiar residuos vecinos, con: ~Ri == ~cDo == Ro /4.
Repetir el paso anterior.
. Parar, cuando el residuo es cero en todos los nodos de
la malla de calculo, 0 casi cero.
Los pasos y calculos del procedimiento se adaptan, '
con vecinos no equidistantes, a la ecuaci6n respectiva.
--- --
CF-20 9[
Problclll(l. Hallar <D dentro de un prisma cuadrado; tres
de las caras tienen potencial cero, en la cuarta es 100.
Solucioll. Por diferencias finitas. Se traza una cuadri
cula para determinar 9 nodos y 9 ecuaciones: 100
I
} 2 3
,
4 5 , 6 0- - + -- .. o
789 -- - ---- .. _- --- -- "
u
Las ecuaciones de nodo se resuelven simultaneamen/
te; algunas son, por ejemplo:
Nodo 1: 4<P) - <P 2 - <P 4 == 100.
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Por iteraciol1cs. Con igual cuadrfcula:
v = 100
v =o v =0
I
~ /
43,8 53,2 43,8 43,0 52,8 . 43,0 42,6 52,5 42,6 42,8 52,6 42,8 42,8 52,6 42,8
18,8 25·0, 18,8 18,6 24,8 18,6 18,6 24,8 18,6 18,7 25,0 18,7 18,7 25,0 18,7
6,2 9,4 6,2 7,0 9,7 7,0 7,1 9,8 7,1 7,1 9,8 7,1 7,1 9,8 7,1
-
v =0
Final. <DI == 42,8; <D2 == 52,6; <D3 == 42,8; <D4 == 18 , 7~
<Ds == 25,O~ <D6 == 18,7; <D7 == 7,1; <Dg == 9,8 y <Dg == 7,1.
CE-20 93
Por rclajacion. Con igual cuadrfcula:
v = 100 /
/j\
-, ,
-3 ,2 43,8 -0 ,2 53,2 -3 ,2 43 ,8 0,0 43,0 -1 ,0 52,7 0,0 43,0
-0 ,5 42,9 I ,8 -0 ,5 42,9 -0, ) 0,2 -0 , I
0,1 v =o 0,0 v = 0
)8,8 0,2 J 8,8 0,6
25,0 -0,2-0,2 0,6
-0,2 -0 ,3 0, ) -0,2
-0 , ) -0 ,1 -0 ,2 -0 ,2
3,4 9,4 3,4 6,2 0,2
6,2 -0,2 7,0
0,6 7,0 0,6 9,8 0,2
0,67,1 1,4 7,1 0,2 0,2
-0,1 0,0
-0,2
v=o
Los residuos se corrigen, para facilitar los caJculos,
con cantidades divisibles por 4.
, ,)-t(1\-21
-' : 1 ~ '1 r :\ l :\ S I.
lllterdependencia. Cada campo es fuente del otro si
varian con el tielnpo, y las ecuaciones de Maxwell son
simultaneas; ella complica su soluci6n y conduce a
ecuaciones de onda, de Helmoltz y de la telefonia.
Problema. Un capacitor de placas superconductoras,
paralelas, rectangulares, de lados a y I, separadas d,
donde 1» a » d, tiene un material de parametros E Y
)..1, Y esta conectado a una fuente de voltaje distribuida
entre los bordes largos de uno de los lados de las ar
maduras, que produce entre los bordes opuestos el
voltaje: V = Vo COSCDt. GCual es "Ia capacitancia"?
Paso I. Coordenadas. Cartesianas; origen, en un verti
ce, el eje X es perpendicular a las placas y el Y para
lela a los lados largos de estas.
Region. Definida por: 0 < x < d, 0 < y < I, -a < z< O.
<)5CE-21
(~onsidrracionps. En la region enunciada:
a/ay == 0 ~ simetria aproximada.
p == 0, J == 0; dielectrico .
. D == EE Y B == J.lH; segun enunciado.
E == ix Ex (x, z, t); conjetura, segun caso electrostatico.
H == iy Hx (x, z, t); conjetura, segun caso estacionario.
'_l' ll acion es. De las de Maxwell resultan, en Ia region:
8E 8I-l 8H_x==Oy y ==Oy y ==0. 8x ay ax
. 8E x :::: _~ 8Hy Y 8H y :::: -I': 8E x •
8z at 8z at
Paso II. Ecuaciones de onda. En la region:
Fasor. Una funcion, R(z,t), que depende de la posicion
y el tiempo en fonna senoidal, se puede expresar faso
CE-21 I)()
rialmente, usando la exponencial imaginaria, can:
R(z, t) = Re{ R(z )eiw ! } .
ejrot == coscot + j sen CDt.
Derivadas de fasor. Los fasores de las derivadas, can
respecto a la posicion 0 el tiempo, de una funcion,
R(z,t), que varia senoidalmente en el tiempo, son:
Fa{anR(z, t)} == (. co)n R(z) Fa{anR(z, t)} . d n R(z). dz llat n J - Y 8z n
Paso III. Condiciones de frontera.
• En: z = 0, °< y < I; Yo = - lExdX.
En: z == 0, 0 < y < I; Hy == O.
Soluci6n. E y H. Si ~ es la constante de fase, 11 la im
pedancia caracteristica de onda en el dielectrico, c la
rapidez de la luz Y A la longitud de la onda, entonces:
E . -i x
Yo coswt cos13z y H = -iy Yo sen wt sen 13z. d ~d '
CE-21
C.' arga. Carga en las arnladuras:
Q = fa dA=~!Yosen(Ra)cos(wt).1 x= d d0 I--'
\ /olfaje. Entre las annaduras es:
v ( I ., l) Vo cos((I) t) cos(pl.).
~ ~ C: ~lJ a citancia~". Las ideas circuitales sobre los para
Inetros R, L Y C pierden sentido en alta frecuencia,
pues los dispositivos se vuelven elementos de para
rnetros distribuidos. Al extrapolar la definicion elec
trostatica y evaluar el voltaje en la alimentacion, don-
de / , - -():
Q(t) EIC d == ==-tan(~a).
V(-a, t) f3d
expresion que depende de la frecuencia.
C.:apa citancia apl·oximada. La capacitancia calculada
tiene a la estacionaria, Ce:
CE-21 n
Si: pa« 1 0 A» 2na, Cd ~ E:l = Ceo
~ Cuasiestacionarios. Si la longitud media de un sistema
es mucho menor que la de onda de la oscilaci6n debi
da al movimiento de sus cargas, aquel es cuasiestacio
nario, se pueden suponer pequefias las rapideces de
sus cargas COIn paradas con 1a de 1a ·luz e ignorar 1a co
rriente de desplazamiento. Los campos resultantes son
similares a los de fuentes que no varian en el tiempo,
y el sistema se comporta, aproximadamente, como
estacionario; estas soluciones son de pri.mer orden,
puesto que s610 satisfacen las ecuaciones de Maxwell
a la frecuencia cero.
:irc ui tos. Usados en muchas apiicaciones de la inge
11 ieria; pueden estar formados por tuberfas que trans
portan fluidos, por conductores que llevan corriente
electrica 0 por nucleos ferrolnagneticos que conducen
el flujo Inagnetico. Las magnitudes fisicas del circuito
se calculan con ecuaciones de circuitos y de nodos,
basadas en leyes de la fisica; estas se silnplifican al
suponerlos esqueletales, pues las dimensiones de la
secci6n recta son despreciables con respecto a la lon
gitud. Los componentes topol6gicos relevantes son:
Nodo; punto donde dos 0 mas ramas concurren .
. Rama; tramo donde hay, por 10 menos, un elemento.
Circuito; camino cerrado, formado por varias ramas.
Red; fonnada por varios circuitos.
Tc r ia de circuitos cicctricos. Poderosa herramienta
99
CE-22 100
de analisis, es una aproxinlacion cuasiestacionaria de
la teoria electromagnetica; intrinsecamente simple,
usa una matematica faci] de lnanipular. La simplicidad
de la teoria reside en suponer que un circuito esta
formado por elementos, cuyas conductas individuales
y mutuas se expresan en funci6n de voltajes y co
rrientes en sus terminales; ella elimina los detalles
geometricos de los elementos circuitales y del sistema,
salvo la fonna simple en que se interconecten aque
11os.
Hipotesis de la teoria. Las siguientes:
La diferencia de potencial y el voltaje entre dos pun
tos son iguales.
Resistencias, capacitancias e inductancias son propias
de los dispositivos e independientes de la frecuencia.
La corriente electrica libre es uniforme en una rama.
Las relaciones entre voltaje, carga, flujo magnetico y
(, E-22 10 1
corriente, en los terminales de los elenlentos, son:
" V ( t) = RI(t), V ( t) = Q( t) y A(t) = LI (t) . C
Las leyes de Kirchoff electricas en nodos y circuitos,
si N es el numero de ralnas que llegan al nodo y M el
de ramas del circuito, son:
j:=:N i:=:M
"'. IIj == 0 y I Vi == O. i=l i=l
La potencia que ingresa a un circuito por N nodos,
donde cDi e Ii , en el nodo i, son el potencial con res
pecto a tierra y la corriente que entra, es:
i=N )D J (() ::( e1 - e~P == ~ <D .I. ('~ 1 I'
i:=: 1 k· 1/ r r .
Las hip6tesis anteriores son exactas en un sistema es
tacionario; aproximadas, en uno cuasiestacionario;
falsas, cuando la frecuencia es muy alta.
102 CE-22 ,
~ I rr
Voltaje. El voltaje entre los puntos 1 y 2, en condiciones no
estacionarias, evaluado a 10 largo de una curva arbitraria, es:
V12 ==-!Ee ds ==<l>1-<l>2+ :t JAme dS .
por tanto, el voltaje y la diferencia de potencial entre
esos puntos no coinciden y aquel depende de la tra
yectoria; en tal caso, el voltaje no es una magnitud fi
sica. El concepto de voltaje usado en la teoria de cir
cuitos electricos es una extrapolacion del empleado en
sistemas estacionarios; extension val ida solo si la tra
yectoria esta contenida en una region donde el campo
es cuasiestacionario y se desprecian derivadas tenlpo
rales como la que aparece en la expresion anterior.
FEM. Un ingenio que convierte energias, como: meca
nica, termica 0 quimica, en electrica, es una fuente de