Chaparron Bonaparte,´ Alvaro Bustos´ Prof. Salome Mart´ ´ınez · 2013. 1. 22. · ´Indice...

Universidad de Chile

Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas

Ecuaciones Diferenciales OrdinariasVersion 0.99α

Chaparron Bonaparte, Alvaro BustosProf. Salome Martınez

Indice general

Parte 1. Introduccion a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 7

Capıtulo 1. El concepto de ecuacion diferencial 91.1. ¿Que se busca con esto? 91.2. Concepto de ecuacion diferencial 10

Capıtulo 2. Ecuaciones diferenciales de primer orden 132.1. Ecuaciones integrables directamente y variables separables 132.2. Ecuaciones de funcion homogenea 152.3. Ecuaciones exactas 162.4. Ecuaciones lineales de primer orden 182.5. Ecuaciones reducibles a casos anteriores. Bernoulli y Ricatti 202.5.1. Ecuacion de Bernoulli 202.5.2. Ecuacion de Ricatti 202.5.3. Ecuacion de Clairaut 212.5.4. Algunas ecuaciones de segundo orden 222.6. Teorema de Existencia y Unicidad (Primer orden) 22

Parte 2. Ecuaciones lineales y metodos de resolucion 27

Capıtulo 3. Ecuaciones diferenciales de orden superior 293.1. Ecuaciones lineales de orden n 293.2. Ecuaciones lineales de orden 2 323.2.1. Ecuaciones diferenciales lineales de orden 2 a coeficientes

constantes. 323.2.2. La ecuacion de Euler-Cauchy 373.2.3. Coeficientes variables. 383.2.4. Variacion de parametros en orden 2 413.3. Resolucion en orden n 443.3.1. Notas sobre ecuaciones a coeficientes constantes 443.3.2. Ecuaciones lineales no homogeneas. Wronskiano 473.3.3. Variacion de parametros 503.3.4. Coeficientes indeterminados 533.4. Interpretacion desde el algebra lineal 553.4.1. Valores propios de los operadores diferenciales 553.4.2. Analogıas entre ecuaciones lineales y ecuaciones diferenciales 56

Capıtulo 4. Transformada de Laplace 59

3

4 Indice general

4.1. Funciones de orden exponencial 594.2. Estudio de la transformada 614.2.1. Definicion de la transformada de Laplace 614.2.2. Propiedades de la transformada 654.2.3. Aplicacion de la transformada 694.3. Funciones generalizadas 724.3.1. La delta de Dirac 724.3.2. Derivada generalizada 75

Parte 3. Sistemas de ecuaciones y Teorema de Existencia y Unicidad 77

Capıtulo 5. Sistemas de ecuaciones diferenciales 795.1. Sistemas de EDO 795.2. Teorema de Existencia y Unicidad 815.2.1. Espacios de Banach 815.2.2. Demostracion del Teorema de Existencia y Unicidad 855.3. Sistemas lineales 875.3.1. Propiedades de los sistemas lineales 875.3.2. Solucion fundamental de un sistema lineal 905.3.3. La matriz exponencial 935.3.4. Resolucion de sistemas lineales a coeficientes constantes 985.4. Diagramas de pendiente y de fase 1075.5. Analisis de sistemas no lineales 1125.5.1. Linealizacion y equilibrio 1125.5.2. Analisis del modelo de Lotka-Volterra 1165.5.3. Funciones de Liapunov 119

Parte 1

Introduccion a las EcuacionesDiferenciales Ordinarias

Capıtulo 1

El concepto de ecuacion diferencial

1.1. ¿Que se busca con esto?

Imagine la siguiente situacion: usted es un famoso ecologista que estudia la pobla-cion de una determinada especie en peligro de extincion. Ud. ha observado que,en otra region del paıs, se introdujo una pareja de estos animales, la cual escapo yse volvio una plaga, por lo que tuvo que ser exterminada. ¿Como explica estefenomeno?

Para empezar, probablemente serıa bueno estudiar como evoluciona esta especieen su habitat original. Tenemos que en este habitat la especie se vera enfrentadaa depredadores de distintos tipos, y a una cantidad limitada de alimentos parasubsistir. Supongamos, para simplificar el problema, que los depredadores en estazona son inexistentes y que lo que mantiene a la especie bajo control es la limitadacantidad de alimento, por lo cual individuos de esta especie compiten directamen-te entre sı por subsistir. Tambien asumiremos que la variable N(t), la cantidad deanimales transcurrido un tiempo t, es una variable continua (con valores reales)en vez de tomar valores discretos.

Tenemos que en el nuevo habitat en el que fue introducida esta especie hay unacantidad practicamente ilimitada de alimento, por lo que los miembros de esta es-pecie no compiten entre sı. Tendremos entonces que la tasa a la que se reproducendeberıa ser proporcional al numero de individuos presentes en un determinadoinstante, lo que podemos escribir como:

(1.1.1)dN

dt= λN(t), con λ > 0, constante.

Si sabemos que al inicio hay una poblacion N0 de animales, es facil ver que unafuncion que satisface la relacion anterior serıa N∗(t) = N0e

λt, a simple vista, yque esta permite explicar por que la poblacion se dispara cuando invade el nuevoterritorio y se convierte en plaga.

En cambio, en su habitat original, hay una cantidad limitada de alimento, por loque la relacion entre N(t) y N ′(t) es mas compleja. Evidentemente la tasa de creci-mientoN ′(t) sigue siendo proporcional, en principio, aN(t); sin embargo, cuandoN(t) aumenta lo suficiente, el alimento comienza a agotarse, por lo que los anima-les comienzan a morir y N(t) decrece. Tentativamente podemos proponer comomodelo el siguiente:

(1.1.2)dN

dt= N(α− βN), con α, β > 0, constantes.

9

10 1. EL CONCEPTO DE ECUACION DIFERENCIAL

Encontrar una funcion N(t) que satisfaga la relacion anterior es mas difıcil. Nospreguntamos si habra un metodo sistematico para encontrar dicha funcion.

Este ejemplo es solamente una muestra del tipo de problemas con el que nos en-frentaremos. Vemos que problemas de esta clase llevan a alguna relacion entre lasvariables estudiadas y sus tasas de cambio, es decir, sus derivadas. Esto nos hacellegar a la siguiente definicion:

DEFINICION 1.1. Una ecuacion diferencial ordinaria de primer orden es una re-lacion entre una funcion y : A ⊆ R→ R, a la que llamaremos1 y(x), y su derivaday′(x), dada por una funcion f : A×R×R→ R, en la forma

(1.1.3) f(x, y(x), y′(x)) = 0

Esta definicion es solamente un caso particular del concepto de ecuacion diferen-cial, un concepto muy potente con aplicaciones teoricas y practicas en muchoscampos de la ciencia y la matematica. Como podemos ver, muchos problemas queinvolucran el cambio en el tiempo de algun valor terminan llevando a una ecua-cion que relaciona una funcion con sus derivadas, tipo de ecuaciones que seran elproposito de este libro.

1.2. Concepto de ecuacion diferencial

Como dijimos previamente de manera informal, una ecuacion diferencial es unarelacion entre una funcion y(x) y sus n primeras derivadas y′, y′′, . . . , y[n]. Formal-mente, podemos decir lo siguiente:

DEFINICION 1.2. Una ecuacion diferencial ordinaria de orden n (EDO) es unarelacion entre una funcion real2 y con dominio A ⊆ R, y sus n primeras derivadasy, y′, y′′, . . . , y[n], dada por una funcion F : A×Rn → R, de modo que se cumpla:

(1.2.1) F (x, y(x), y′(x), y′′(x), . . . , y[n](x)) = 0

Cualquier funcion y(x) que satisfaga la igualdad anterior se denomina solucionde la ecuacion.

En algunos casos podemos despejar la derivada mas alta y escribir la ecuacion(1.2.1) de manera simplificada como:

(1.2.2) y[n] = f(x, y(x), y′(x), . . . , y[n−1](x))

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

mx+ kx = sen(t)

La cual es una ecuacion de segundo orden, con variable dependiente x y variableindependiente t

y′′′ + y′ + y = tan(x)

1Los nombres que daremos a las variables dependientes e independientes en una ecuacion dife-rencial son en realidad irrelevantes y dependen mas que nada en el contexto; en muchos casos llama-remos x o y a la(s) variable(s) dependiente(s), y la variable independiente sera t o u, o cualquier otracombinacion de letras que acomode a la situacion.

2El requerimiento de que sea una funcion real es solamente para simplificar los conceptos; pode-mos hacer ecuaciones diferenciales con funciones que toman valores en cualquier conjunto en que sepueda definir sin ambiguedad el concepto de derivada.

1.2. CONCEPTO DE ECUACION DIFERENCIAL 11

Ecuacion de tercer orden; su variable dependiente es y, mientras que la indepen-diente es x.

Cabe notar que, para una EDO dada, existiran en la mayor parte de los casos in-finitas soluciones. Por lo tanto, para saber si la solucion que escogemos para unadeterminada situacion muchas veces es util conocer el estado del sistema al co-mienzo. Por lo tanto conviene introducir la siguiente definicion:

DEFINICION 1.3. Un problema de valor inicial (o problema de Cauchy) es unsistema de la forma:

F (x, y, y′, . . . , y[n]) = 0

y(x0) = y0

y′(x0) = y1

...y[n−1](x0) = yn−1

en que los valores x0, y0, y1, . . . , yn−1 son conocidos y constituyen la condicioninicial del problema.

Otro tipo de problema muy comun es el problema de condicion de borde o defrontera, en el que se especifica el valor de y en varios puntos x1, x2, . . . , xk:

DEFINICION 1.4. Un problema con condicion de borde es un sistema de la forma:

F (x, y, y′, . . . , y[n]) = 0

y(x0) = y0

y(x1) = y1

...y(xk) = yk

A lo largo de este libro se dara algo mas de importancia a los PVI que a los pro-blemas de frontera; sin embargo, estudiaremos situaciones interesantes en el quesolamente disponemos de condiciones de borde.

Capıtulo 2

Ecuaciones diferenciales de primer orden

2.1. Ecuaciones integrables directamente y variables separables

Tal vez el tipo mas simple de ecuacion diferencial de primer orden no trivial es lade la forma:

(2.1.1) y′ = f(x)

en que f(x) es una funcion conocida (en particular, podemos asumir que es conti-nua). En este caso simplemente recurriremos al teorema fundamental del Calculo,el cual, por completitud, enunciaremos a continuacion:

TEOREMA 2.1. (Teorema Fundamental del Calculo) Toda funcion continua f : [a, b]→ R

tiene primitivas, las cuales estan dadas por la integral:

F (x) =

∫ x

x0

f(t) dt+ C, x0 ∈ [a, b], C constante.

En este caso, nos basta con obtener una primitiva de la funcion f en la ecuacion(2.1.1), eligiendo la constante C en forma adecuada si es un problema de valorinicial, para conocer la identidad de la funcion y(x).

Notemos que la ecuacion:

(2.1.2) y′ = g(y)

en apariencia tiene una estructura bastante simple tambien, por lo que podemossuponer que tal vez haya una manera facil de encontrar una funcion y(x) que sirvacomo solucion. Comencemos estudiando un caso simple:

y′ = y

es decir, una funcion que coincida con su derivada. ¿Como resolvemos esto? Porinspeccion, podemos ver inmediatamente que las funciones del tipo y = λex sonsoluciones de la ecuacion anterior. Pero si no lo supieramos, ¿como podrıamosllegar a esta conclusion? Ademas, ¿este tipo de soluciones es el unico posible?

Comencemos imponiendo que y 6= 0 al menos en un punto x0 ∈ R, y dividamospor y a ambos lados. Obtenemos:

y′

y= 1

13

14 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Intentemos integrar1 a ambos lados; haciendo esto obtenemos:∫ x

x0

y′(u)

y(u)du =

∫ x

x0

1 du = (x− x0)

Aplicando el cambio de variable2 z = y(u), dz = y′(u) du, de modo que y0 = y(x0),obtenemos:∫ x

x0

y′(u)

y(u)du =

∫ y

y0

dz

z= ln(|y|)− ln(|y0|) = ln

(∣∣∣∣ yy0

∣∣∣∣) = (x− x0)

de modo que, aplicando exponencial a ambos lados, obtenemos:y

y0= ex−x0 ⇒ y(x) = y0e

x−x0

y haciendo λ = y0e−x0 , obtenemos todas las soluciones de la forma y = λex.

Notese la primera consecuencia evidente: si asumimos que existe al menos unpunto x0 en el que la funcion y(x) no se anula, entonces y(x) no se anula en ningunpunto. Por lo tanto, la unica solucion que se anula en algun punto es la solucionconstante y ≡ 0. A partir de esto podemos obtener una conclusion mucho masfuerte y de gran importancia: dos soluciones que coincidan en algun punto de sudominio comun coinciden en todo punto de este; es decir, el problema de valorinicial: {

y′ = y

y(x0) = y0

tiene siempre solucion y esta es unica3.

Para el caso general de la ecuacion (2.1.2), primero debemos notar que si g tieneun cero en algun punto y1, la funcion constante y ≡ y1 es una solucion de la EDO.Luego, de haber considerado ese caso, podemos asumir que existe un punto x0

tal que y0 = y(x0) no se anula y proceder de igual forma que en el caso anterior,dividiendo por g(y) e integrando, con lo que llegamos a la identidad :∫ x

x0

y′(u) du

g(y(u))= x− x0

de la cual, al menos hipoteticamente, podemos despejar y en funcion de x. Unageneralizacion de esta solucion es la ecuacion de variables separables, dada por:

(2.1.3) y′ = f(x)g(y)

La cual se resuelve de manera similar, observando primero si g(y) se anula pa-ra algun y1. Luego de abordado ese caso, se repite el procedimiento de dividir e

1Tecnicamente la integracion siempre es definida entre lımites que dependen de las condicionesdadas; sin embargo, por simplicidad podemos considerar integracion indefinida a ambos lados, com-binar todas las constantes de integracion en una constante C y determinar su valor a partir de lascondiciones iniciales; en este caso, se tendrıa

∫ dyy

=∫dx⇒ ln(|y|) = x+ C.

2Nos permitiremos un pequeno abuso de notacion y utilizaremos el diferencial dy. Este es elteorema del cambio de variable en integrales de Riemann.

3Esto es consecuencia del importante Teorema de Existencia y Unicidad que enunciaremos alfinal de este capıtulo y demostraremos posteriormente.

2.2. ECUACIONES DE FUNCION HOMOGENEA 15

integrar, con lo cual se obtiene la identidad sin derivadas:∫ y

y0

du

g(u)=

∫ x

x0

f(v) dv

O bien, en integrales indefinidas:∫1

g(y)dy =

∫f(x)dx+ C

Donde eventualmente se podrıa despejar la constante C, si es el caso de un pro-blema de valor inicial.

2.2. Ecuaciones de funcion homogenea

DEFINICION 2.1. Una funcion f : A ⊆ Rn → R se denomina homogenea de gradon si para todo λ ∈ R se cumple la identidad:

(2.2.1) f(λ~x) = λnf(~x)

Notese que en el caso particular de una funcion homogenea de grado 0 de dosvariables, se tiene la identidad:

(2.2.2) f(x, y) = f(

1,y

x

)Decimos que una EDO y′ = f(x, y) es homogenea de grado n si la funcion f(x, y)lo es. En el caso particular de la EDO homogenea de grado 0 (o simplemente ho-mogenea) podemos resolverla facilmente haciendo los cambios de variable u = y

xo v = x

y , de modo que y = ux ⇒ y′ = u′x + u. Esto es un ejemplo muy comun deun cambio de variable; estudiaremos este caso en particular.

Tenemos que la EDO estudiada se puede escribir como:

y′ = f(x, y) = f(

1,y

x

)y haciendo u = y

x , f(1, u) = g(u) (ya que no hay dependencia explıcita con respec-to a la primera variable) la EDO se transforma en:

xu′ + u = g(u)⇔ u′ =g(u)− u

x

que es de variables separiables; luego, podemos resolverla con el metodo anterior,con lo que obtenemos: ∫

du

g(u)− u=

∫dx

x= ln(|x|) + C


2.3. Ecuaciones exactas

DEFINICION 2.2. Llamamos ecuacion pseudoexacta a cualquier ecuacion diferen-cial de primer orden de la forma:

(2.3.1) M(x, y) +N(x, y) · y′ = 0

Muchas veces se utiliza la notacion diferencial dy = y′(x)dx para representar estaecuacion, obteniendose la forma alterna (mas informal):

(2.3.2) M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0

Esta notacion, aunque tecnicamente incorrecta, es bastante sugerente; nos permitenotar la relacion entre la ecuacion (2.3.1) y la integral curvilınea

∫ΓM(x, y) dx +

N(x, y) dy. Nos conviene introducir la siguiente definicion anexa:

DEFINICION 2.3. Sea f : A ⊆ Rn → R una funcion real de n variables diferenciableen algun punto ~x0. El diferencial de esta funcion es una funcion de 2n variablesdf : D ×Rn → R (en que D = {~x ∈ A|f es diferenciable en ~x}) dada por:

(2.3.3) df(~x; d~x) = ∇f(~x) • d~x =n∑k=1

∂f

∂xkdxk

Notese que esta funcion, al corresponder a un producto escalar de dos vectores, eslineal en las n variables dx1, dx2, . . . , dxn. Tambien es importante exigir la diferen-ciabilidad de f en el punto ~x; no basta con la existencia de las derivadas parcialesen ese punto. Si fijamos el punto ~x0, el diferencial corresponde a la ecuacion del(hiper)plano tangente a f en el grafo de la funcion.

Notese que la expresion (2.3.2) se parece sospechosamente al diferencial de algunafuncion. ¿Sera este el caso? La respuesta es “no siempre” y estudiaremos los casosen los que sı se cumple y en los que no.

Estudiemos primero el caso mas “amigable”. Nos interesa demostrar el siguienteteorema:

TEOREMA 2.2. Dada la ecuacion diferencial pseudoexacta (2.3.1) o su expresion (2.3.2),si conocemos una funcion F : A ⊆ R2 → R que satisfaga:

(2.3.4) ∇F (x, y) =

[M(x, y)N(x, y)

]⇔ dF (x, y; dx, dy) = M(x, y) dx+N(x, y) dy

entonces la solucion general de la ecuacion (2.3.1) esta dada por la relacion sin derivadas:

(2.3.5) F (x, y) = C, C ∈ R

DEMOSTRACION. Supongamos que la funcion F (x, y) satisface la relacion da-da por (2.3.4) y que existe una funcion y : D ⊆ R → R tal que para una constanteC ∈ R dada se satisfaga (2.3.5) para todo x ∈ D, es decir, se tenga F (x, y(x)) = C.Si aplicamos el metodo de derivacion implıcita a la relacion (2.3.4) a ambos ladosobtenemos:

∂F

∂x+∂F

∂y· dydx

= 0, o bien, por (2.3.4), M(x, y) +N(x, y) · y′ = 0

2.3. ECUACIONES EXACTAS 17

y por lo tanto, se tiene que si puede despejarse4 y de la ecuacion F (x, y) = C, y Fsatisface (2.3.4), entonces y(x) es una solucion de (2.3.1). �

¿Bajo que casos se cumple esto? Evidentemente, si la expresion (2.3.2) correspondea un diferencial dF , deberıa tenerse queM(x, y) = DxF (x, y) y, asimismo, debe serqueN(x, y) = DyF (x, y). Si F tiene segundas derivadas continuas, deberıa tenersela igualdad de las derivadas cruzadas. De ahı tenemos el teorema siguiente:

TEOREMA 2.3. Una condicion necesaria para que la ecuacion (2.3.1) tenga una soluciondirecta de la forma (2.3.5) es que se cumpla que:

(2.3.6)∂M

∂y=∂N

∂x

Esta condicion tambien es suficiente si se imponen restricciones de continuidadpara N y M , y restricciones topologicas sobre el dominio de estas funciones5. Enparticular, esta condicion es suficiente para conjuntos convexos, y entre ellos, pararectangulos [a, b] × [c, d]. Si una ecuacion de la forma (2.3.1) satisface la condicion(2.3.6) decimos que es una ecuacion exacta.

Pero ¿como deducimos cual es F (x, y), aun sabiendo que (2.3.6) se cumple? Paraesto, procedemos como sigue: ya que sabemos queDxF = M, DyF = N , haremos“integrales indefinidas parciales” respecto a cada una de las variables, es decir:

(2.3.7) F (x, y) =

∫M(x, y) dx+ ϕ(y) =

∫N(x, y) dy + ψ(x)

Notese que al derivar F respecto a x desaparecen todos los terminos que depen-den solamente de y; por lo tanto, la “constante” de integracion respecto a x debeconsiderar todos estos terminos que son eliminados y por lo tanto es una funcionde y. Lo mismo vale para la integral respecto a y. Igualando las dos expresionesque aparecen en (2.3.7) se obtiene la solucion.

EJEMPLO 2.1. resolver la ecuacion exacta:

(2x+ 16xy) + (8x2 − 30y2)dy

dx= 0

Tenemos queM(x, y) = 2x+16xy, N(x, y) = 8x2−30y2. IntegrandoM respecto dex obtenemos que F (x, y) = x2 +8x2y+ϕ(y); asimismo, integrandoN con respectoa y obtenemos que F (x, y) = 8x2y − 10y3 + ψ(x). Igualando los terminos faltantesobtenemos que ψ(x) = x2, ϕ(y) = −10y3, y deducimos que F (x, y) = x2 + 8x2y −10y3; cualquier funcion y(x) que satisfaga la relacion x2 + 8x2y − 10y3 = 0 es unasolucion de la EDO.

¿Que ocurre en el caso en el queM yN no satisfacen la igualdad (2.3.6)? Para estoscasos, introducimos el siguiente teorema:

4Por ejemplo, si se dan las condiciones para poder aplicar el Teorema de la Funcion Implıcita quese ve en el curso de Calculo en Varias Variables.

5Omitimos la demostracion de la suficiencia ya que parte de la demostracion requiere la aplica-cion del Teorema integral de Green, el cual es parte de los contenidos del curso Calculo Avanzado yAplicaciones.


TEOREMA 2.4. Para toda EDO de la forma (2.3.1) que no satisfaga la ecuacion (2.3.6),tales que M,N ∈ C1 en un subconjunto abierto de R2, existe una funcion µ(x, y), a laque llamaremos factor integrante de la ecuacion, tal que µM y µN satisfacen la ecuacion(2.3.6) y por lo tanto puede resolverse como en el caso anterior.

Por ejemplo, en el caso de la EDO

y − xy′ = 0

un factor integrante simple es x−2. Notese que esta EDO es tambien de variablesseparables.

Debe tenerse en cuenta que, dependiendo del factor integrante escogido, puedenganarse o perderse soluciones, por lo que debe comprobarse que las soluciones dela nueva EDO sean soluciones de la EDO original.

2.4. Ecuaciones lineales de primer orden

DEFINICION 2.4. Una ecuacion diferencial lineal de primer orden es una ecua-cion de la forma:

(2.4.1) a1(x)y′ + a0(x)y = b(x)

En el caso particular en que a1 ≡ 1, constante, decimos que es una ecuacion nor-malizada, de la forma:

(2.4.2) y′ + a(x)y = b(x)

Decimos que la ecuacion diferencial (2.4.1) o (2.4.2) es homogenea6 si la funcionb(x) del lado derecho es la funcion nula (b(x) ≡ 0). En este caso (EDO homogeneay normalizada) podemos ver que la ecuacion diferencial resultante es de variablesseparables y podemos resolverla en forma directa, de modo que:

y′ = −a(x)y ⇒ y′

y= −a(x)

y por lo tanto la solucion general esta dada por:

(2.4.3) y(x) = Ce−∫a(x) dx

Notese que esta ecuacion se denomina lineal ya que, como podemos comprobar, siy1, y2 son dos soluciones de la EDO lineal homogenea, se tiene que para cualquierpar de constantes α, β ∈ R, αy1 + βy2 tambien es una solucion de la EDO, lo quepuede comprobarse de forma directa mediante un simple calculo. De aquı deduci-mos directamente que el conjunto V = {f : R→ R|f(x) es solucion de y′ + a(y) =0} es un espacio vectorial sobre R, subespacio del conjunto F(R,R) de todas lasfunciones reales de variable real. Ademas si y es solucion y no es identicamentenula, entonces no se anula en ningun punto, ni cambia de signo. Tenemos entoncesque:

V =⟨e−

∫a(x)dx

⟩=⇒ dim(V) = 1

6A pesar del nombre, una EDO lineal homogenea no tiene relacion con las EDOs homogeneasvistas previamente en este capıtulo.

2.4. ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN 19

Para el caso no homogeneo, comencemos observando que si conocemos una solu-cion cualquiera yp de la EDO no homogenea y una solucion de la EDO homogenea,yh, tenemos que si hacemos y = yp + λyh y reemplazamos en el lado izquierdo de(2.4.1) obtenemos:

a1y′ + a0y = a1(yp + λyh)′ − a0(yp + λyh)

o bien:

(a1y′p + a0yp) + λ(a1y

′h − a0yh) = b(x) + λ · 0 = b

ya que yp es solucion de la EDO (2.4.1) y por lo tanto igual a b(x), y asimismoyh es solucion de la EDO homogenea subyacente, por lo que la expresion en elsegundo parentesis es nula. Entonces, podemos deducir7 que encontrando unasolucion cualquiera de (2.4.1) podemos usar (2.4.3) para encontrar todas las solu-ciones. Otra manera de decir esto es senalar que la diferencia de dos soluciones de(2.4.1) siempre es una solucion de 2.4.2).

¿Como encontramos esta solucion? Notemos que la ecuacion (2.4.2) es una ecua-cion “potencialmente” exacta, susceptible de ser resuelta con la formula (2.3.7), porlo que debe tener un factor integrante. ¿Cual es el adecuado? Observemos que eltermino y′ + a(x)y en (2.4.2) se parece a la derivada de un producto: (f · g)′ =f ·g′+f ′ ·g. Probablemente, si multiplicamos por una funcion adecuada, logremosllevar esta expresion a esa forma.

Probemos con una expresion similar a (2.4.3)8. Hacemos µ(x) = e∫a(x) dx, µ′(x) =

a(x)e∫a(x) dx y multiplicamos (2.4.2) por este factor, con lo que obtenemos:

y′(x) · e∫a(x) dx + y(x) · a(x) · e

∫a(x) dx = y′(x) · µ(x) + y(x) · µ′(x) = µ(x)b(x)

¡Hemos logrado que aparezca la derivada de un producto! Tenemos entonces:d

dx(y · µ) = µ(x) · b(x)

o bien:

y · µ =

∫µ(x) · b(x) dx+ C

Por lo tanto, hemos obtenido el resultado general:

7Podemos justificar esto con la aplicacion del Teorema de Existencia y Unicidad que veremosposteriormente en este capıtulo.

8¿Como justificamos esta eleccion? Una justificacion proviene de multiplicar la EDO por el fac-tor integrante desconocido µ(x) > 0 de modo que µ(x)y′ + µ(x)a(x)y = µ(x)b(x); si imponemosµ′(x) = a(x)µ(x) tenemos que el lado izquierdo de la ecuacion se convierte en la derivada del produc-to µ(x)y(x), y µ es solucion de la ecuacion lineal homogenea µ′−aµ = 0, por lo que podemos obteneruna expresion de esta funcion en la forma (2.4.3).


TEOREMA 2.5. La solucion general de la ecuacion diferencial y′+a(x)y = b(x) esta dadapor:

(2.4.4) y(x) = e−∫a(x) dx

∫b(x)e

∫a(x) dx dx︸︷︷︸

yp

+Ce−∫a(x) dx︸︷︷︸yh

que es la suma de la solucion general de la ecuacion homogenea y′h + a(x)yh = 0 y unasolucion particular yp.

El resultado es analogo si se utilizo integracion definida.

Es posible resolver cualquier ecuacion diferencial lineal de primer orden norma-lizada mediante esta formula. Sin embargo, es preferible comprender y utilizar elprocedimiento, el cual es aplicable a diversos otros casos.

2.5. Ecuaciones reducibles a casos anteriores. Bernoulli y Ricatti

2.5.1. Ecuacion de Bernoulli.

DEFINICION 2.5. La ecuacion de Bernoulli es la siguiente ecuacion no lineal:

(2.5.1)dy

dx+ a(x)y = b(x)yn

La importancia de esta ecuacion radica en que se puede convertir en una ecuacionlineal mediante un cambio de variable. El lado derecho nos sugiere hacer un cam-bio del tipo y = zα, y′ = αzα−1z′. Con esto obtenemos que (2.5.1) se convierteen:

αzα−1z′ + a(x)zα = b(x)znα

Multiplicando todo por 1αz

1−α, obtenemos:

z′ +1

αa(x)z =

1

αb(x)z1+(n−1)α

De este modo, escogemos α de modo que 1 + (n − 1)α = 0 ⇒ α = 11−n , con lo

que deducimos que el cambio de variable buscado es z = y1−n. Con este cambio,(2.5.1) se transforma en:

z′ + (1− n)a(x)z = (1− n)b(x)

2.5.2. Ecuacion de Ricatti.

DEFINICION 2.6. La ecuacion de Ricatti esta dada por:

(2.5.2)dy

dx= P (x)y2 +Q(x)y +R(x)

Si conocemos una solucion particular yp de (2.5.2), podemos obtener la soluciongeneral haciendo el cambio de variable y = yp + 1

z ⇒ y′ = y′p − z′

z2 , con lo que seobtiene:

y′p −z′

z2= P (x)

(y2p + 2 · yp ·

1

z+

1

z2

)+Q(x)

(yp +

1

z

)+R(x)

2.5. ECUACIONES REDUCIBLES A CASOS ANTERIORES. BERNOULLI Y RICATTI 21

y reordenando:

y′p −z′

z2=(P (x)y2

p +Q(x)yp +R(x))︸︷︷︸

y′p

+2 · yp · P (x) +Q(x)

z+P (x)

z2

Eliminando terminos repetidos, recordando que yp es conocido y multiplicandopor z2 obtenemos la ecuacion para z:

(2.5.3) z′ + (2 · yp(x) · P (x) +Q(x))z + P (x) = 0

que es lineal. Tambien, si hacemos el cambio y = yp + z, la ecuacion se reduce auna ecuacion de Bernoulli, lo cual queda propuesto.

Propuesto: Sea y1, y2 soluciones conocidas de la ecuacion de Ricatti. Demuestreque toda otra solucion cumple que:

y − y1

y − y2= C exp

(∫P (x)(y1 − y2)dx

), C ∈ R

2.5.3. Ecuacion de Clairaut.

DEFINICION 2.7. La ecuacion de Clairaut es la ecuacion de la forma:

(2.5.4) y = xy′ + f(y′)

para una funcion f : R→ R, diferenciable, dada.

Esta ecuacion puede resolverse derivando respecto a x, con lo que obtenemos:

y′ = y′ + xy′′ + f ′(y′)y′′ ⇒ y′′(x+ f ′(y′)) = 0

con lo que obtenemos que y′′ = 0 o x + f ′(y′) = 0. En el primer caso, se tiene quey = ax + b, con a, b ∈ R constantes; reemplazando en (2.5.4) obtenemos que lasolucion general esta dada por

(2.5.5) y = Cx+ f(C), C ∈ R

En el segundo caso, supongamos que la solucion esta dada por una curva pa-rametrica x = x(t), y = y(t), con t ∈ I ⊆ R. Se deja propuesto demostrar que lasolucion de (2.5.4) en este caso esta dada por:

(2.5.6)

{x(t) = −f ′(t)y(t) = f(t)− tf ′(t)

Notese que esta solucion no tiene constantes de integracion. Decimos que esta esuna solucion singular, ya que no esta dada por ningun valor de C en la soluciongeneral (2.5.5). Si graficamos la curva dada por (2.5.6) notaremos que todas lasrectas dadas por (2.5.5) son tangentes a esta curva; decimos que esta curva es unaenvolvente de la familia de rectas dada por (2.5.5).


2.5.4. Algunas ecuaciones de segundo orden. Algunas ecuaciones diferen-ciales de segundo orden F (x, y, y′, y′′) = 0 pueden reducirse facilmente a ecuacio-nes de primer orden mediante cambios simples de variable. En general, esto puedehacerse cuando esta ausente o la variable independiente x o la independiente y.

En el caso en que la variable dependiente y esta ausente de la ecuacion, esta tienela forma F (x, y′, y′′) = 0. Haciendo el cambio de variable p = y′, se obtiene unaecuacion para p que es de primer orden; de este modo, tras resolverla, tenemosque y =

∫p(x) dx+ C.

En el caso en el que la variable independiente x es la ausente (ecuacion de la formaF (y, y′, y′′) = 0), podemos hacer un cambio de variable de modo que y pase a ser lavariable independiente y su derivada y′ sea la dependiente. Por regla de la cadena,tenemos que si hacemos p = y′, entonces:

d2y

dx2=d(y′)

dx=d(y′)

dy· dydx

=dp

dy· p

De este modo, la EDO pasa a ser de la forma F (p · p′, p, y) = 0, que es de primerorden. Si conseguimos resolver p = ϕ(y), entonces y es la solucion de la ecuaciony′ = ϕ(y), que es de primer orden tambien, y ademas, de variables separables.

2.6. Teorema de Existencia y Unicidad (Primer orden)

Ahora nos dispondremos a introducir uno de los teoremas mas importantes y po-derosos en relacion con el ambito de las ecuaciones diferenciales: El Teorema deExistencia y Unicidad. Necesitamos herramientas mas complejas para demostrareste teorema, por lo que postergaremos su demostracion para un capıtulo poste-rior.

Comencemos estudiando un par de ejemplos de problemas de valor inicial:

EJEMPLO 1. Considere el siguiente problema con condicion inicial:{y′ =

√y

y(x0) = 0

Directo se observa que y(x) ≡ 0 es solucion del problema. Ahora, siguiendo elprocedimiento regular:

y′√y

= 1 =⇒∫ x

x0

y′√ydx =

∫ x

x0

dx =⇒∫ y(x)

y(x0)

dy√y

= 2√y = x− x0

=⇒ y(x) =(x− x0)2

4

Se verifica quedy

dx=

(x− x0)

2y por otro lado

√y =

|x− x0|2

, lo cual implica quela igualdad solo es valida si x ≥ x0. Notemos ahora que la siguiente funcion essolucion del problema de valor inicial:

y(x) =

(x− x0)2

4si x ≥ x0

0 si x < x0

2.6. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD (PRIMER ORDEN) 23

La cual es una funcion de clase C1; por lo tanto, para este problema de valor inicialexiste mas de una solucion.

EJEMPLO 2. Veamos ahora el siguiente problema de valor inicial:{y′ = y2

y(x0) = y0

Una solucion de la EDO serıa y(x) ≡ 0, en cuyo caso solo habrıa solucion si y0 = 0.Luego se resuelve regularmente:

y′

y2= 1 =⇒

∫ x

x0

y′

y2dx =

∫ x

x0

dx =⇒∫ y(x)

y(x0)

dy

y2= − 1

y(x)+

1

y0= x− x0

=⇒ y(x) =1

y−10 + x0 − x

La cual desarrolla una asıntota cuando x → y−10 + x0 ; no sabemos cuan grande

puede ser el intervalo de definicion.

Observamos que un algunos casos, el problema de valor inicial posee una unicasolucion que pasa por el punto (x0, y0) , como es el caso de la EDO lineal de primerorden; en cambio observamos que en otros casos habıa mas de una solucion po-sible. Previamente, debemos introducir unos conceptos que seran necesarios paraenunciar el teorema de la manera mas completa posible.

DEFINICION 2.8. Una funcion F : A ⊆ R2 → R se dice globalmente Lipschitzcon respecto a su segunda variable (o que satisface una condicion uniforme deLipschitz de primer orden en su segunda variable) en el conjunto A si existe unaconstante L > 0 tal que ∀(x, y1), (x, y2) ∈ A se cumpla que:

(2.6.1) |F (x, y1)− F (x, y2)| ≤ L · |y1 − y2|

Recordemos que si una funcion es Lipschitz, entonces es continua. Geometrica-mente es equivalente a que las pendientes de las rectas obtenidas al unir 2 puntoscualquiera del grafico de la funcion, tengan valores acotados.

Ademas si una funcion es de derivada acotada, tambien es Lipschitz, pues bastaaplicar el teorema del valor medio y concluir.

EJEMPLO 3. Podemos ver que para la funcion f : [0,+∞[→ R, y → √y, NO es unglobalmente Lipschitz pues:∣∣√y −√0

∣∣|y − 0|

=1√y→∞ cuando y → 0

Ası tambien para la funcion f : R × R → R, (x, y) → y2, tampoco es uniforme-mente Lipschitz en su variable y, ya que:

|f(x, y1)− f(x, 0)||y1 − 0|

= |y1| → ∞ cuando y1 →∞


TEOREMA 2.6. (TeoremadeExistencia y UnicidadGlobal, para ecuaciones deorden 1). Consideremos una ecuacion diferencial de primer orden de la forma (1.2.2), esdecir, y′ = F (x, y), con F : I1 × I2 → R, I1, I2 ⊆ R intervalos abiertos, tal que Fsea globalmente Lipschitz respecto a y, continua respecto a x, y sea (x0, y0) ∈ I1 × I2.Entonces, el problema de valor inicial (1.2.4) dado por

(2.6.2)

{y′ = F (x, y)

y(x0) = y0

tiene una y solo una solucion y : I1 → R.

La importancia de este teorema queda de manifiesto inmediatamente con los si-guientes corolarios:

COROLARIO 2.1. Si la ecuacion diferencial y′ = F (x, y) satisface las condiciones delteorema 2.6.2, y existe x0 ∈ I1 tal que dos soluciones y∗, y∗ coinciden en este punto, esdecir, y∗(x0) = y∗(x0), entonces estas funciones son identicas, es decir, coinciden en todoI1.

DEMOSTRACION. Tenemos que, si hacemos y0 = y∗(x0), la funcion y∗ es solu-cion de un problema de valor inicial del tipo (2.6.2). Como y∗ tambien es solucionde este problema de valor inicial, y el teorema (2.6.2) nos asegura que esta soluciones unica, debe tenerse y∗ = y∗. �

De aquı tambien podemos deducir:

COROLARIO 2.2. Dada la ecuacion diferencial lineal homogenea de primer orden y′ +a(x)y = 0, si una solucion y de esta se anula en algun punto de su dominio, entonces esidenticamente nula.

DEMOSTRACION. Basta notar que esta ecuacion satisface las condiciones delTeorema de Existencia y Unicidad y que la funcion nula es solucion de esta ecua-cion, y concluir aplicando el corolario (2.6.3). �

COROLARIO 2.3. El espacio vectorial V de todas las soluciones de la ecuacion y′+a(x)y =0 tiene dimension 1.

Para aplicar el Teorema de Existencia y Unicidad, muchas veces conviene aplicarla forma simplificada dada por:

COROLARIO 2.4. Sea la EDO y′ = F (x, y) con F : I1 × I2 → R tal que F es continua

en x y existe una constante L tal que ∀x0 ∈ I1, |∂F (x0, y)

∂y| ≤ L. Entonces F satisface

las condiciones del teorema (2.6.2) y por lo tanto el problema de valor inicial (2.6.2) tienesolucion unica.

Muchas veces se enuncia el corolario anterior en lugar del teorema (2.6.2) como elteorema de unicidad principal. Sin embargo, el teorema (2.6.2) es mas fuerte en elsentido que no exige que exista la derivada parcial DyF para poder ser aplicado.

Sin embargo, la condicion de que F sea globalmente Lipschitz en y es una condi-cion muy restrictiva. Enunciaremos una version mas general del teorema que no

2.6. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD (PRIMER ORDEN) 25

nos permite llegar a una conclusion tan fuerte, pero es aplicable en una variedadmas general de casos.

TEOREMA 2.7. (TeoremadeExistencia y UnicidadLocal, para ecuaciones deorden 1) Sea I ⊆ R, y0 ∈ R y que f : I × R → R es continua respecto a su primeravariable en un punto x0 ∈ I dado y que existe un entorno abierto N ⊆ R2 del punto(x0, y0) de modo que f sea Lipschitz9 enN ∩(I×R). Entonces existe un entorno abierto10

J ⊆ R de x0 tal que localmente existe una unica solucion y ∈ C1(I ∩ J) del problema devalor inicial (2.6.2) que pasa por (x0, y0).

EJEMPLO 4. Sea f : R → R con f ′ acotada y par (i.e. f(y) = f(−y)). Considere elsiguiente problema de valor inicial para y : R→ R:{

y′ = f(y)

y(0) = 0

Pruebe entonces que y es impar.

Dado que f ′ es acotada y depende solamente de y, satisface las hipotesis necesariaspara aplicar el teorema.

Sea y(x), una solucion, probaremos entonces que−y(−x) satisface la misma EDO,con la misma condicion inicial. En efecto, por regla de la cadena se tiene que:

d

dx(−y(−x)) = −y′(−x) · (−1) = y′(−x)

Dado que y(x) es solucion del problema, se cumple que:

y′(−x) = f(y(−x))

Usando la paridad de f , se cumple ademas que:

y′(−x) = f(−y(−x))

Por lo tanto:d

dx(−y(−x)) = f(−y(−x))

De manera que −y(−x) resuelve la EDO.

Note que para x = 0 tenemos que −y(−0) = −y(0) = 0 , por lo que tambiencumple con la condicion inicial. Luego, por Teorema de Existencia y Unicidad, elproblema tiene solucion unica, lo cual implica que y(x) = −y(−x), probando lopedido.

9Es decir, que existan ρ, δ, L > 0 tales que ∀x ∈ I ∩ [x0 − δ, x0 + δ], y, z ∈ [y0 − r, y0 + r] secumpla que |f(x, y)− f(x, z)| ≤ L|y − z|.

10Podemos caracterizar este entorno J indicando el “tamano mınimo” que este tendra. LlamemosM = sup{|f(x, y)| |x ∈ I, |x−x0| < ε, |y− y0| < δ}, δ0 = mın(ε, δ

M) y luego J sera (al menos) igual

a I∩]x0 − δ0, x0 + δ0[.

Parte 2

Ecuaciones lineales y metodos deresolucion

Capıtulo 3

Ecuaciones diferenciales de orden superior

3.1. Ecuaciones lineales de orden n

DEFINICION 3.1. Una ecuacion diferencial lineal homogenea de orden n es unaEDO de la forma:

(3.1.1) y[n] + an−1(x)y[n−1] + an−2(x)y[n−2] + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = 0

donde an−1(x), an−2(x), . . . , a0(x) son funciones continuas definidas en un inter-valo I → R, con I0 6= ∅ (interior no nulo).

Recordemos que Cn(I) ={f : I → R|f, f ′, f [n] : I → R continuas

}, el conjunto de

las funciones continuas con sus primeras n-esimas derivadas continuas, el cualforma un espacio vectorial.

Notemos que de (3.1.1) se deduce directamente que toda solucion de esta ecuaciondebe ser n veces diferenciable y su n-esima derivada es continua en I , ya que po-demos despejar y[n] en funcion de y y sus derivadas previas y′, y′′, . . . , y[n−1] (queson continuas) y las funciones continuas an−1, an−2, . . . , a0. Luego toda solucionde (3.1.1) es una funcion de Cn(I); probaremos que el conjunto de las solucionesforma un espacio vectorial1 real de dimension n.

PROPOSICION 3.1. La suma y la ponderacion por escalares de soluciones de (3.1.1)tambien son soluciones de esta ecuacion. De esto se deduce inmediatamente queel conjunto V de todas las soluciones de (3.1.1) forma un espacio vectorial real.

DEMOSTRACION. Primero, notemos que y ≡ 0 es solucion de (3.1.1).

Veamos ahora la linealidad de las soluciones. Sean y1, y2 soluciones de (3.1.1), en-tonces αy1 + βy2tambien es solucion, con α, β ∈ R. En efecto dado que y1, y2 sonsoluciones, satisfacen que:

y[n]1 + an−1(x)y

[n−1]1 + · · ·+ a0(x)y1 = 0

y[n]2 + an−1(x)y

[n−1]2 + · · ·+ a0(x)y2 = 0

Ponderando las igualdades anteriores por α, β respectivamente y sumandolas ob-tenemos que:

αy[n]1 + βy

[n]2 + αan−1(x)y

[n−1]1 + βan−1(x)y

[n−1]2 + · · ·+ αa0(x)y1 + βa0(x)y2 = 0

1El corolario (2.6.5) de la seccion anterior es un caso particular de esta proposicion.

29

30 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Luego, por linealidad de la derivacion se tiene que:

(αy1 + βy2)[n]

+ an−1(x) (αy1 + βy2)[n−1]

+ · · ·+ a0(x) (αy1 + βy2) = 0

Por lo tanto, αy1 + βy2 tambien es solucion de (3.1.1)

De lo anterior, se tiene que el conjunto V = {y : I → R|y solucion de (3.1.1)} es unsubespacio vectorial de Cn. �

TEOREMA 3.1. (TeoremadeExistencia y Unicidad para ecuaciones linealeshomogeneas de orden n).2

Sea una EDO lineal homogenea de orden n, con an−1(x), an−2(x), . . . a0(x) funcionescontinuas definidas en un intervalo I → R, I0 6= ∅, y ademas sean x0 ∈ I, {yk}n−1

k=0 ⊆ R,entonces el problema de valor inicial:

(3.1.2)

y[n] + an−1(x)y[n−1] + an−2(x)y[n−2] + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = 0

y(x0) = y0

y′(x0) = y1

...y[n−1] = yn−1

tiene una unica solucion y : I → R.

PROPOSICION 3.2. Si y : I → R, solucion de (3.1.1) y ∃x0 ∈ I tal que:

(3.1.3)

y(x0) = 0

y′(x0) = 0...

y[n−1](x0) = 0

Entonces y ≡ 0 .

DEMOSTRACION. Notemos que y ≡ 0, es solucion de (3.1.1) y satisface lashipotesis de (3.1.3), luego por Teorema de Existencia y Unicidad, es la unica solu-cion. �

PROPOSICION 3.3. El conjunto V = {y : I → R|y solucion de (3.1.1)} cumple quedim(V ) = n.

DEMOSTRACION. Sea x0 ∈ I , fijo. Considere y1, y2, . . . , yn ∈ V soluciones, detal forma que cumplan que:

2Al igual que el caso enunciado en el capıtulo anterior, la demostracion de este teorema se abor-dara posteriormente.

3.1. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN n 31

y1(x0)y′1(x0)

...y

[n−1]1 (x0)

=

10...0

y2(x0)y′2(x0)

...y

[n−1]2 (x0)

=

01...0

...

yn(x0)y′n(x0)

...y

[n−1]n (x0)

=

00...1

De manera mas compacta:

(3.1.4)

yi(x0)y′i(x0)

...y

[n−1]i (x0)

= ~ei

Donde ~ei es el i-esimo vector de la base canonica de Rn. Notar ademas que efec-tivamente es posible escoger de esa manera las soluciones, en virtud del Teoremade Existencia y Unicidad.

Probaremos en efecto que y1, y2, . . . , yn son linealmente independientes. Es decir:

n∑i=1

αiyi ≡ 0 =⇒ αi = 0 ∀i, 1 ≤ i ≤ n

Asumimos que∑ni=1 αiyi(x) = 0 ∀x ∈ I

Evaluando la expresion anterior en x0 y asumiendo las igualdades de (3.1.4), setiene que

∑ni=1 αiyi(x0) = α1y1(x0) = 0 . Con lo cual α1 = 0.

Derivando la igualdad anterior se tiene que:∑ni=2 αiy

′i(x) = 0 ∀x ∈ I

Luego se evalua en x0 la expresion derivada y considerando nuevamente (3.1.4),se obtiene que

∑ni=2 αiy

′i(x0) = α2y

′2(x0) = 0. Con lo cual α2 = 0.

Repitiendo el mismo procedimiento de derivar una vez mas las igualdades y eva-luarlas en x0, se concluye finalmente que αi = 0 ∀i, 1 ≤ i ≤ n.

∴ y1, y2, . . . , yn son linealmente independientes

Probaremos ahora que y1, y2, . . . , yn son generadores del espacio V . Es decir, ∀w ∈V, solucion, ∃α1, α2, . . . , αn ∈ R tal que:

32 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

w(x) =n∑i=1

αiyi(x) ∀x ∈ I

Notemos que por (3.1.4), se tienen las siguientes igualdades:

(3.1.5)

n∑i=1

αiyi(x0) = α1

n∑i=1

αiy′i(x0) = α2

...n∑i=1

αiy[n−1]n (x0) = αn

Ademas para w ∈ V , podemos escoger:

(3.1.6)

α1 = w(x0)α2 = w′(x0)

...αn = w[n−1](x0)

Como w es solucion con condicion inicial de (3.1.6) y tambien es solucion la fun-cion dada por

∑ni=1 αiyi(x) que satisface la misma condicion inicial en (3.1.5), por

Teorema de Existencia y Unicidad, se concluye que w(x) =∑ni=1 αiyi(x) ∀x ∈ I ;

por lo tanto, y1, y2, . . . , yn son generadores de V .

De lo anterior, obtenemos finalmente que {y1, y2, . . . , yn} es una base del espaciovectorial de soluciones V y que dim(V ) = n. Es decir, si encontramos n solucionesl.i. del espacio, la solucion general se escribira como combinacion lineal de lasanteriores. �

3.2. Ecuaciones lineales de orden 2

3.2.1. Ecuaciones diferenciales lineales de orden 2 a coeficientes constan-tes. De la EDO lineal homogenea de orden n (3.1.1), estudiaremos el caso en n = 2, en que a1(x), a0(x) sean funciones constantes. Es decir, una EDO de la forma:

(3.2.1) y′′ + a1y′ + a0y = 0, a0, a1 ∈ R

Para hacer un estudio detallado de esta ecuacion, debemos introducir una defini-cion previa:

DEFINICION 3.2. Para todo n, el operador diferencial D es la funcionD : Cn+1(I)→ Cn(I) dada por

D(f) = Df =df

dx

5.3. SISTEMAS LINEALES 93

5.3.3. La matriz exponencial. Considere el siguiente sistema lineal a coefi-cientes constantes:

x′ = Ax, A ∈Mn×n(R)

DEFINICION 5.6. Definimos la Matriz exponencial etA, como la solucion funda-mental W : R→Mn×n(R) de:

dW

dt= AW

W (0) = I , matriz identidad.

La cual esta bien definida, en virtud del Teorema de Existencia y Unicidad.

Dentro de las matrices fundamentales, la exponencial de una matriz resulta muyutil, pues tiene propiedades que facilitan la resolucion del sistema lineal a coefi-cientes constantes.

PROPOSICION 5.7. La matriz exponencial satisface las siguientes propiedades:1. e(t+s)A = etAesA

2.(etA)−1

= e−tA

3. A y etA conmutan.4. A,B conmutan si y solo si etA, B conmutan.5. A,B conmutan si y solo si etAetB = et(A+B)

6. etAT

=(etA)T . Propiedad de la traspuesta.

7. Si D es una matriz diagonal, entonces se tiene que:

D =

λ1 . . . 0...

. . ....

0 . . . λn

=⇒ etD =

eλ1t . . . 0...

. . ....

0 . . . eλnt

En la demostracion de estas propiedades, haremos el uso del Teorema de Existen-cia y Unicidad.

DEMOSTRACION. 1. Sea s ∈ R fijo. entonces definimos:

W1(t) = e(t+s)A,W1(0) = esA

W2(t) = etAesA,W2(0) = InesA = esA

De modo que satisfacen la misma condicion inicial. Derivando y aplicando la de-finicion, se tiene que:

dW1(t)

dt=d(e(t+s)A)

dt= Ae(t+s)A = AW1

dW2(t)

dt= AetAesA = AW2

Por lo tanto, W1(t),W2(t) resuelven el mismo sistema con la misma condicion ini-cial. Luego, por Teorema de Existencia y Unicidad, la propiedad queda demos-trada.

2. Usando la propiedad anterior, tenemos que:

e(t+(−t))A = IetAe−tA = I

∴(etA)−1

= e−tA. Con lo cual la exponencial de una matriz es facilmente inver-tible, pues simplemente se reduce a cambiar t por −t; esto nos sera muy util en

94 5. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

el metodo de variacion de parametros, en el cual es necesario invertir la matrizfundamental.

3. Note que en t = 0 se cumple que Ae0A = e0AA = A, por lo que ambas matricessatisfacen la misma condicion inicial. Luego derivando:

dAetA

dt= A

d(etA)

dt= A2etA = A(AetA)

detAA

dt= AetAA = A(etAA)

Satisfaciendo ası el mismo sistema. Finalmente por Teorema de Existencia y Uni-cidad, ambas matrices son iguales.

4. =⇒. Suponga que A,B conmutan y note que BetA, etAB coinciden en t = 0.Luego, derivando se tiene que:

dBetA

dt= B

d(etA)

dt= BAtA = ABetA

detAB

dt= AetAB = A(etAB)

Entonces, por Teorema de Existencia y Unicidad se prueba lo pedido.

⇐=. Dado que etAB = BetA, derivando a ambos lados tenemos que:

AetAB = BAetA

Evaluando en t = 0,obtenemos que AB = BA.

5.=⇒. Claramente et(A+B) = etAetB si t = 0. Derivando las expresiones y usandoel hecho de que A,B conmutan, obtenemos que:

det(A+B)

dt= et(A+B)

detAetB

dt= AetAetB + etAB︸︷︷︸

conmutan

etB

= AetAetB +BetAetB

= (A+B)et(A+B)

Usando el Teorema de Existencia y Unicidad, tenemos la implicancia directa.

⇐=. Suponga que et(A+B) = etAetB ∀t. Derivando 2 veces la igualdad tenemosque:

(A+B)2et(A+B) = A2etAetB +AetABetB

+AetABetB + etAB2etB

Evaluando en t = 0, tenemos que (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. Desarrollando laexpresion del lado derecho, obtenemos que:

A2 +AB +BA+B2 = A2 + 2AB +B2

Con lo que finalmente se concluye que AB = BA


6. En t = 0, tenemos que(e0A)T

= IT = I y e0AT

= I . Derivando y usando lapropiedad 3, tenemos que:

d(etA)T

dt=

(detA

dt

)T= (AetA)T = (etAA)T = AT (etA)T

Por otro lado tenemos que:detA

T

dt= AT etA

T

�

Finalmente, el resultado se concluye por Teorema de Existencia y Unicidad.

7. Sea D, matriz diagonal:

D =

λ1 . . . 0...

. . ....

0 . . . λn

Note que la matriz: eλ1t . . . 0

.... . .

...0 . . . eλnt

en t = 0 es igual a la matriz identidad I . Ademas, por definicion se cumple que:etD = I y (etD)′ = DetD. Derivando se tiene que:

d

dt

eλ1t . . . 0...

. . ....

0 . . . eλnt

=

λ1eλ1t . . . 0

.... . .

...0 . . . λne

λnt

= D

eλ1t . . . 0...

. . ....

0 . . . eλnt

Donde se ha usado la propiedad de pre-multiplicacion de matrices diagonales.Luego, por Teorema de Existencia y Unicidad, queda demostrada la propiedad.

Esta propiedad nos sera muy util en la resolucion de sistemas lineales, pues laexponencial de una matriz diagonal es facil de determinar explıcitamente.

DEFINICION 5.7. Sea || · ||, la norma euclidiana en Rn y A ∈Mn×n(R). Definimosla norma subordinada de A como:

|||A||| = sup||~x||≤1

||A~x||

Note que el supremo existe, pues f(~x) = ||A~x|| es una funcion continua sobre uncompacto. Probemos que en efecto es una norma.1. Directamente se observa que |||A||| ≥ 0. Suponga ahora que:

|||A||| = 0

Como el conjunto donde se determina un supremo, es de terminos no negativos;entonces ∀~x ∈ Rn ||A~x|| = 0, lo cual implica que A~x = 0. Tomando 2 vectoresdistintos de norma 1: ~x1, ~x2 y restando tenemos que:

A( ~x1 − ~x2) = 0


Lo cual implica necesariamente que A = 0. Ademas, claramente |||0||| = 0.2. Note ahora que para λ ∈ R:

|||λA||| = sup||~x||≤1

||λA~x|| = sup||~x||≤1

|λ| · ||A~x|| = |λ| sup||~x||≤1

||A~x|| = |λ| · |||A|||

3. Probemos que satisface la desigualdad triangular:

|||A+B||| = sup||~x||≤1

||(A+B)~x|| ≤ sup||~x||≤1

||A~x||+ ||B~x||

≤ sup||~x||≤1

||A~x||+ sup||~x||≤1

||B~x|| = |||A|||+ |||B|||

Dado que cumple con las 3 condiciones, queda demostrado que efectivamente esuna norma.

PROPOSICION 5.8. La norma subordinada satisface las siguientes propiedades:1. ||A~x|| ≤ |||A||| · ||~x||2. |||An||| ≤ |||A|||n

DEMOSTRACION. 1. Usando la continuidad de f(~x) = ||A~x|| en el compactoB(0, 1); tenemos que ∀~b en ese conjunto, se cumple que:

||A~b|| ≤ sup||~y||≤1

||A~y||| = |||A|||

Aplicando esta desigualdad para ~x normalizado, se tiene que:∥∥∥∥ A~x||~x||∥∥∥∥ ≤ |||A|||

Con lo cual se obtiene directamente que:

||A~x|| ≤ |||A||| · ||~x||2. Note que para A2, tenemos que:

|||A2||| = sup||~x||≤1

||A2~x|| = sup||~x||≤1

||A(A~x)||

= sup||~x||≤1

∥∥∥∥A A~x

||A~x||

∥∥∥∥ · ||A~x||≤ sup||~x||≤1

∥∥∥∥A A~x

||A~x||

∥∥∥∥ · sup||~x||≤1

||A~x||

= |||A||| · |||A|||Pues (A~x) tambien aparece normalizado. Aplicando recursivamente el resultado,se tiene la propiedad. �

PROPOSICION 5.9. La serie matricial:∞∑k=0

(tA)k

k!

es convergente ∀t.


DEMOSTRACION. Probaremos que es de Cauchy, la siguiente sucesion:

Xn =n∑k=0

(tA)k

k!

En efecto, usando la norma subordinada, para n > m se tiene que:

|||Xn −Xm||| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

n∑k=m+1

(tA)k

k!

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤

n∑k=m+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (tA)k

k!

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ≤ n∑k=m+1

|||tA|||k

k!

Recordando que la sucesion cn = an

n! → 0, podemos asegurar que los terminos dela ultima sumatoria pueden hacerse menores a ε

n−m y ası tener que:

|||Xn −Xm||| ≤n∑

k=m+1

|||tA|||k

k!≤ ε

Lo cual implica que la sucesion es de Cauchy con esta norma. Dado que el espaciovectorial es el de las matrices, entonces tenemos que la serie matricial es conver-gente. �

Dada la convergencia de la serie anterior, se cumple ademas que:

d

dt

∞∑k=0

tkAk

k!=∞∑k=0

d

dt

tkAk

k!=∞∑k=1

ktk−1Ak

k!

=∞∑k=1

tk−1Ak

(k − 1)!=∞∑k=0

tkAk+1

k!

= A ·∞∑k=0

tkAk

k!

Por lo tanto:d

dt

∞∑k=0

tkAk

k!= A ·

∞∑k=0

tkAk

k!

Es decir, esta serie matricial es solucion del sistema W ′ = AW .

PROPOSICION 5.10. ∀t ∈ R se cumple:

etA =∞∑k=0

(tA)k

k!

DEMOSTRACION. Note que la serie en t = 0 es la identidad; lo cual tambien,por definicion, lo satisface la exponencial de la matriz. Como se vio anteriormente,la serie tambien es solucion del mismo sistema. Luego, por Teorema de Existenciay Unicidad, se tiene que las expresiones son equivalentes. �

Por desigualdad triangular, podemos concluir directamente que:

|||etA||| ≤ e|t|·|||A|||

Una consecuencia directa de la equivalencia demostrada, es la siguiente:


PROPOSICION 5.11. Sea A = PDP−1, una matriz diagonalizable, entonces:

etA = PetDP−1

DEMOSTRACION. Usando que (PDP−1)k = PDkP−1,se tiene:

etA =∞∑k=0

tkAk

k!=∞∑k=0

tk(PDP−1)k

k!

=∞∑k=0

tkPDkP−1

k!= P

∞∑k=0

tkDk

k!P−1

= PetDP−1

Donde la exponencial de una matriz diagonal es simple de determinar. Ademasconcluimos que la matriz exponencial tambien es diagonalizable en este caso. �

La propiedad anterior nos sera muy util en la siguiente seccion; pues en caso deser la matriz diagonalizable, podremos encontrar de manera explıcita la matrizexponencial y ası disponer de una solucion fundamental.

5.3.4. Resolucion de sistemas lineales a coeficientes constantes. En estaseccion estudiaremos como calcular la solucion del sistema lineal:

d~x

dt= A~x

Como se realizo en la EDO lineal de orden n a coeficientes constantes, supondre-mos soluciones del tipo:

~x(t) = eλt~b

con~b ∈ Rn, λ ∈ R a determinar. Reemplazando, obtenemos que:d~x

dt= λeλt~b

A~x = Aeλt~b

=⇒ Aeλt~b = λeλt~b

Como eλt nunca se anula, tenemos que:

(5.3.4) A~b = λ~b

Lo anterior nos dice que debemos encontrar los vectores propios ~b de A, con susrespectivos valores propios λ y ası construir una matriz fundamental que nos per-mita determinar la matriz exponencial.

Caso 1. A es diagonalizable, con todos sus valores propios reales.

Dado queA es diagonalizable, existe una base {~b1,~b2, . . . ,~bn} de vectores propios y{λ1, . . . , λn} los valores propios asociados. De esta forma, construimos una matrizfundamental por columnas, obteniendo que:

W (t) =[eλ1t~b1

∣∣∣ . . . ∣∣∣eλnt~bn

]


La cual es una matriz fundamental; pues W (0) = P = [~b1| . . . |~bn] es invertible,dado que sus columnas forman una base y son linealmente independientes, locual implica que W (t) es siempre invertible. De esta forma tenemos que:

etA = W (t)W (0)−1

=[eλ1t~b1

∣∣∣ . . . ∣∣∣eλnt~bn

]P−1

por Teorema de Existencia y Unicidad, pues satisfacen la misma condicion inicialy ambas son solucion del mismo sistema. Finalmente concluimos que:

etA = P

eλ1t . . . 0...

. . ....

0 . . . eλnt

P−1

Luego de determinada la matriz exponencial, la solucion general estara dada poretA~c, con ~c ∈ Rn. Si es el caso de un problema de valor inicial con ~x(t0) = ~x0, lasolucion es simplemente ~x(t) = etA~x0.

EJEMPLO 5.1. Encontrar la solucion del sistema:[x′

y′

]=

[1 22 1

] [xy

]Con x(0) = 1, y(0) = 2.Solucion. Determinemos los valores propios de A, resolviendo det(A− λI) = 0:∣∣∣∣ 1− λ 2

2 1− λ

∣∣∣∣ = (1− λ)2 − 4 = 0

Los valores propios son λ1 = −1 y λ2 = 3. Determinemos ahora los vectorespropios. Para λ1 = −1 resolvemos ker(A+ I), es decir:[

2 22 2

] [ab

]=

[00

]De lo cual, se concluye que a = −b y que los vectores de la forma:

~v1 = a

[1−1

]son solucion. Ası, escogemos a = 1 y tenemos un vector propio.Repitiendo el procedimiento para λ2 = 3, luego de resolver ker(A − 3I) tenemosque las soluciones son de la forma:

~v2 = a

[11

]Encontrando ası, el otro vector propio necesario. De esta forma, la matriz expo-nencial esta dada por:

etA =

[1 −11 1

] [e−t 00 e3t

] [1 −11 1

]−1

Luego, la solucion se obtiene post-multiplicando la matriz anterior por el vectorde condiciones iniciales, es decir:[

x(t)y(t)

]= etA

[12

]


Finalmente: [x(t)y(t)

]=

1

2

[3e−t − e3t

3e−t + e3t

]Caso 2. A es diagonalizable, con valores propios complejos.

Suponga que ~p = ~u + i~v, con ~u,~v ∈ Rn l.i., es un vector propio con componentescomplejas y λ = α+ iβ, con α, β ∈ Rβ 6= 0 su valor propio. Es decir:

A(~u+ i~v) = (α+ iβ)(~u+ i~v)

Note que se cumple lo siguiente:d

dtet(α+iβ)(~u+ i~v) = (α+ iβ)et(α+iβ)(~u+ i~v) = Aet(α+iβ)(~u+ i~v)

De modo que si ~x = eλt~p es solucion de ~x′ = A~x, entonces su parte real < eimaginaria =, tambien son solucion. En efecto:

x′ = Ax

<(x′) = <(Ax)

(<x)′ = A<(x)

Igualdad que es valida, pues el sistema es a coeficientes reales. Ası, la parte real de~x tambien es solucion y sucede lo mismo para la parte imaginaria.

Note que el polinomio de la ecuacion det(A − λI) = 0 es a coeficientes reales, locual implica que para un valor propio complejo, su conjugado tambien sera un va-lor propio. Escogemos solo uno de los dos valores propios, al cual le calcularemossus vectores propios y posteriormente tomaremos parte real e imaginaria.

Debido a que <(~x),=(~x) son solucion, se tiene que:

~x = e(α+iβ)t(~u+ i~v)

<(~x) = eαt cos(βt)~u− eαt sen(βt)~v

=(~x) = eαt sen(βt)~u+ eαt cos(βt)~v

Si A es diagonalizable, con ~b1, . . . ,~bk, vectores propios asociados a λ1, . . . , λk, susvalores propios reales. Asimismo, si α1 + iβ1, . . . , αm+ iβm son los valores propioscomplejos asociados a los vectores propios ~u1 + i~v1, . . . , ~um + i~vm, se obtienensoluciones del tipo:1. eλj~bj2. eαjt cos(βjt)~uj − eαjt sen(βjt)~vj3. eαjt sen(βjt)~uj + eαjt cos(βjt)~vj

Con lo cual podemos construir las columnas de la matriz fundamental:

W (t) =[eλ1~b1 |. . . . . . | eαmt sen(βmt)~um + eαmt cos(βmt)~vm

]De modo que:

W (0) = [~p1| . . . |~pk|~u1|~v1| . . . |~um|~vm]

Cuyas columnas son linealmente independientes. Finalmente, la matriz exponen-cial esta dada por:

etA = W (t)W (0)−1

a causa del Teorema de existencia y Unicidad.


Caso 3. A no es diagonalizable.Previamente, revisemos el siguiente ejemplo:

EJEMPLO 10. Calcular la exponencial de la matriz:

A =

[a 10 a

]Calculemos los valores propios de A:∣∣∣∣ a− λ 1

0 a− λ

∣∣∣∣ = (a− λ)2 = 0

Donde λ = a es el unico valor propio. Determinemos ahora el vector propio:[0 10 0

] [xy

]=

[00

]Obteniendo +como vector propio:

[01

]. Esto implica que A no es diagonalizable,

pues falta otro vector l.i. que complete la base; sin embargo note que:

A = a

[1 00 1

]︸︷︷︸

I

+

[0 10 0

]︸︷︷︸

N

Donde evidentemente NI = IN y N2 = 0. Ası, aplicamos la Propiedad 5 de lamatriz exponencial y tenemos que:

etA = et(aI+N) = eatIetN = eat(I + tN +

tN2

2+ . . .

)= eat(I + tN)

Finalmente, la exponencial de la matriz esta dada por:

etA =

[eat teat

0 eat

]Ahora surge la pregunta: ”¿Como proceder en el caso general?”Para ello es necesario recordar el siguiente teorema, visto en el curso de algebralineal.

TEOREMA 5.8. (Teorema de la descomposicion espectral)Sea A ∈ Mn(C) (R si sus elementos son reales) con λ1, . . . , λk valores propios distintosy n1, . . . , nk sus respectivas multiplicidades correspondientes (tal que n1 + · · ·+nk = n),es decir:

pA(λ) = det(A− λI) = (−1)n(λ− λ1)n1 · · · (λ− λk)nk

Entonces se cumple que:

Cn(o bien Rn) =k⊕j=1

ker(A− λjI)nj

Mas aun, dim ker(A− λjI)nj = nj .

DEFINICION 5.8. Se dice que ~v 6= 0 es vector propio generalizado si~v ∈ ker(A− λjI)nj . Es decir:

~v es vector propio generalizado ⇔ (A− λjI)nj~v = 0


Tenemos entonces que etA~v, es solucion de ~x′ = A~x. Note queA = λjI + (A − λjI), donde las matrices conmutan, lo cual permite utilizar laPropiedad 5. De esta forma obtenemos que:

etA~v = etλjIet(A−λjI)~v

= etλj ·∞∑m=0

tm

m!(A− λjI)m~v

= etλj ·nj−1∑m=0

tm

m!(A− λjI)m~v

Donde la serie resulto ser una suma finita, pues ~v es un vector propio generalizadoque cumple con (A− λj)nj~v = 0.

En el caso λj = αj + iβj , con ~u+ i~v vector propio generalizado, tenemos que:

etA(~u+ i~v) = (e(αj+iβ)t)

nj−1∑m=0

tm

m!(A− (αj + iβj)I) (~u+ i~v)

Y podemos tomar parte real e imaginaria de esta igualdad, que corresponden aetA~u y etA~v, respectivamente.

Para resolver un sistema lineal x′ = Ax, donde A no es diagonalizable, debemosseguir el siguiente procedimiento:1. Determinar los valores propios λ de A.2. Luego, para cada valor propio λj con multiplicidad algebraica nj , debemos de-terminar una base de vectores que forman cada sub-espacio:

ker(A− λI), ker(A− λ)2, . . . , ker(A− λ)nj

Donde claramente un sub-espacio es un subconjunto del siguiente, con lo cual, enla determinacion de los vectores que componen cada sub-espacio, apareceran losdel sub-espacio anterior. De esta forma podremos determinar los vectores propiosgeneralizados y habremos completado la base.

En caso de tener valores propios complejos, donde el conjugado tambien es unvalor propio, realizaremos el proceso escogiendo solamente uno de la pareja.

3. Calcularemos etA~v para cada vector propio generalizado y tomaremos partereal e imaginaria, cuando corresponda. De esta manera, construimos unas matrizfundamental W (t), cuyas columnas son etA~v (o su parte real o imaginaria), lascuales seran linealmente independientes, debido al teorema de descomposicion.

4. Finalmente la matriz exponencial esta dada por: etA = W (t)W (0)−1.

EJEMPLO 11. Sea ~x(t) : R3 → R. Encontrar la solucion general de:

d~x

dt=

4 −1 −30 4 10 0 2

~xEncontremos los valores propios de la matriz, es decir, resolvamos det(A−λI) = 0.∣∣∣∣∣∣

4− λ −1 −30 4− λ 10 0 2− λ

∣∣∣∣∣∣ = (4− λ)2(2− λ) = 0


Donde los valores propios son λ1 = 4, λ2 = 2, de multiplicidades algebraicas 2 y 1respectivamente.Ahora, determinemos los vectores propios asociados a λ1 = 4, es decir, hallemosker(A− 4I). 0 −1 −3

0 0 10 0 −2

abc

= 0

Al resolver obtenemos que b = c = 0 y a ∈ R es variable libre. Ası los vectoressolucion son de la forma [a 0 0]T y escogiendo a = 1, tenemos como vector propioa:

~v1 =

100

Dado que la multiplicidad geometrica de λ = 4 es 1, pues solo hemos obtenidoun vector l.i., debemos recurrir a los vectores propios generalizados. Resolvamosentonces ker(A− 4I)2, es decir: 0 0 5

0 0 −20 0 4

abc

= 0

De donde c = 0 y a, b ∈ R son variables libres. Ası las solucion general de estesistema esta dada por:

a

100

+ b

010

Escogemos a = b = 1, obteniendo como vector base a ~v1 = [1 0 0]T , el cual yahabıamos determinado anteriormente, y a ~v2 = [0 1 0]T como vector propio gene-ralizado.Para λ2 = 2, resolvemos ker(A− 2I), es decir: 2 −1 −3

0 2 10 0 0

abc

= 0

Donde obtenemos como vector propio a ~v3 = [5 − 2 4]T .Procedamos a calcular etA~v1, e

tA~v2, etA~v3. Dado que ~v1, ~v3 son vectores propios de

la matriz, directamente obtenemos que:

etA~v1 =

e4t

00

, etA~v3 =

5e2t

−2e2t

4e2t

Note que para etA ~v2 la sumatoria es finita y se tiene que:

etA~v2 = et(A−4I+4I) ~v2 = e4tIet(A−4I) ~v2 = e4tet(A−4I) ~v2

= e4t(I~v2 + t(A− 4I)~v2 +��t2

2(A− 4I)2~v2

)= e4t (I~v2 + t(A− 4I)~v2)

Finalmente reemplazando:

etA~v2 = e4t

1 −t −3t0 1 t0 0 1− 2t

010

=

−te4t

e4t

0


Ası hemos encontrado 3 vectores l.i. solucion del sistema, con lo cuales construi-remos la siguiente matriz fundamental:

W (t) =

e4t −te4t 5e2t

0 e4t −2e2t

0 0 4e2t

De esta forma la solucion general esta dada por: ~x(t) = W (t)~b, ~b ∈ Rn. Si ademasdeseamos recuperar la matriz exponencial, por Teorema de Existencia y Unicidad,tenemos que:

etA = W (t)W (0)−1

=

e4t −te4t 5e2t

0 e4t −2e2t

0 0 4e2t

1 0 50 1 −20 0 4

−1

=

e4t −te4t 54e

2t − (2t+5)4 e4t

0 e4t 12 (e4t − e2t)

0 0 e2t

Cambio de variable base. Dado que x′ = Ax, podemos hacer un cambio de varia-ble x = Py, con P invertible, con lo cual se tiene:

Py′ = APy =⇒ y′ = (PAP−1) = D

matriz diagonal y se cumple que:

y′ = Dy =⇒ y = etD~y0 =⇒ ~x = PetD~y0

Otro caso simple es cuando la matriz D es ”diagonal por bloques”, es decir:B1 . . . . . . 0... B2

......

. . ....

0 . . . . . . Bk

Con Bj , matriz de nj × nj . Entonces, por Teorema de Existencia y Unicidad, po-demos probar que:

eB1t . . . . . . 0... eB2t

......

. . ....

0 . . . . . . eBkt

y recordando que etA = et(PDP

−1) = PetDP−1.Por ejemplo, si consideramos que la matrizA esta en la forma canonica de Jordan,A = PJP−1, con J es la matriz diagonal por bloques, en que cada bloque es de laforma:

Bj =

λj 1 . . . 0... λj

. . . 1...

. . ....

0 . . . . . . λj

= λjI +Nj


Donde λj es un valor propio y Nj = [nik], con nik dado por:

nik =

{1 si k = i+ 1

0 si no.

De modo que Nj es nilpotente, pues:

Nj =

0 1 0 0

0 1. . .

. . . . . . 0. . . 1

0

=⇒ N2

j =

0 0 1 0

0. . . . . .. . . . . . 1

. . . 00

Donde los 1’s se han desplazado un espacio hacia arriba y el que se encontraba enla primera fila ha desaparecido, es decir:

Nkj = [nim] =

{1 si m = i+ k

0 si no.

Lo cual implica que para un r finito, Nrj = 0 y por lo tanto la matriz es nilpotente.

Luego, como evidentemente λjI y N conmutan, se tiene que:

etA = etPJP−1

= PetJP−1 = Pet(N+λjI)P−1 = PetλjIetNP−1 = etλjPetNP−1

Y solo basta calcular etN , es decir:

etN =∞∑k=0

tkNk

k!=

r−1∑k=0

tkNk

k!

Finalmente deducimos que:

etNj =

0 t t2

2!t3

3!

. . . tr−1

(r−1)!

0 t. . . . . . . . .

. . . . . . t2

2!t3

3!. . . t t2

2!0 t

0

=⇒ etN =

etN1

etN2

. . .. . . etNk

Resolucion usando transformada de Laplace.Para el sistema ~x′ = A~x +~b(t), ~x(0) = ~x0, podemos aplicar transformada de La-place a cada una de las igualdades que componen dicho sistema, es decir:

L[~x′] = L[A~x+~b(t)]

Donde hemos supuesto que todas las funciones son de orden exponencial. Dadoque el sistema es a coeficientes constantes, usando las propiedades de la transfor-mada, se tiene que:

sL[~x]− ~x(0) = AL[~x] + L[~b](s)

=⇒ (A− sI)L[~x] = −(~x(0) + L[~b](s))


El cual es un sistema de ecuaciones algebraico, donde las incognitas son las trans-formadas de las funciones del sistema original. Para que el sistema de ecuacionesanterior tenga solucion unica, la matriz (A− sI) debe ser invertible, es decir, s nodebe ser un valor propio de A. Sea Mλ, el mayor de los valores propios y s0, elmayor valor determinado por las cotas exponenciales de las funciones, entoncesconsideramos que:

s > max{Mλ, s0}Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos que:

L[~x] = (sI −A)−1(~x(0) + L[~b](s))

Donde debemos encontrar las respectivas anti-transformadas. Finalmente la solu-cion esta dada por:

~x(t) = L−1[(sI −A)−1(~x(0) + L[~b])

]EJEMPLO 12. Consideremos el ejemplo 5.1, es decir:

x′(t) = x(t) + 2y(t)

y′(t) = 2x(t) + y(t)

Con la condicion inicial x(0) = 1, y(0) = 2. Aplicando transformada de Laplacetenemos que:

L[x′] = L[x+ 2y]

L[y′] = L[2x+ y]

Usando sus propiedades y la condicion inicial:

sL[x]− 1 = L[x] + 2L[y]

sL[y]− 2 = 2L[x] + L[y]

Resolviendo el sistema anterior y usando fracciones parciales, se obtiene que:

L[x](s) =s+ 3

(s− 3)(s+ 1)=

1

2

(3

s− 3− 1

s+ 1

)L[y](s) =

2s

(s− 3)(s+ 1)=

1

2

(3

s− 3+

1

s+ 1

)Recordando que L[eax] = 1

s−a , las soluciones estan dadas por:

x(t) =1

2(3e3t − e−t)

y(t) =1

2(3e3t + e−t)

Sobre Estabilidad del sistema. Dado el sistema:

x′ = Ax , con ~x : R→ Rn y A ∈Mn(R).

1. ¿Cuando las soluciones convergen a 0 si t→∞?Esto ocurre si y solo si los valores propios de A tienen parte real menor que 0.2. ¿Cuando las soluciones son acotadas en R?Esto ocurre si y solo si A es diagonalizable y todos los valores propios satisfacenque <(λ) = 0 (imaginarios puros).

5.4. DIAGRAMAS DE PENDIENTE Y DE FASE 107

En las secciones siguientes, haremos un analisis cualitativo de los sistemas deecuaciones diferenciales, estudiando el comportamiento de sistemas lineales y no-lineales.

5.4. Diagramas de pendiente y de fase

En la seccion anterior vimos herramientas para resolver sistemas de ecuacioneslineales con coeficientes constantes. Sin embargo, la situacion se vuelve muchomas difıcil de analizar en el caso de sistemas de ecuaciones no lineales, ya que ladependencia entre ~y y sus derivadas es mas compleja.

Muchas veces es imposible hallar una solucion explıcita para el sistema de ecuacio-nes. Sin embargo, el analisis de la ecuacion diferencial ~y′ = F (t, ~y) otorga muchainformacion sobre el comportamiento del sistema. En particular, podemos hacerun analisis grafico para determinar como evoluciona el sistema en un caso dado,para lo cual introducimos el concepto de diagrama de pendientes. Este consisteen una representacion, en el plano o espacio, de la direccion de la curva solucionen cada punto (que se obtiene del valor de ~y′, ya que este vector representa laorientacion de la tangente a esta curva) mediante pequenos segmentos de recta.Evidentemente, una representacion grafica no incluye todos los puntos del espa-cio, pero permite hacerse una idea bastante clara del comportamiento del sistema.

Por ejemplo, consideremos la ecuacion diferencial dada por:

y′ =1

5y

Sabemos que la solucion general de esta ecuacion es un multiplo de la funcionexponencial, y = λet/5. Observemos el diagrama de pendientes de la solucion:

y

t

Vemos que la curva de la funcion exponencial dibujada es tangente a las flechasde pendiente que dibujamos. Tambien podemos observar que todas las curvassoluciones corresponden a una traslacion en el eje horizontal de una de ellas cua-lesquiera. Esto se debe a que en la ecuacion diferencial no se halla explicitada ladependencia entre y′ y t, la variable independiente; esta situacion es muy comun,por lo que merece un nombre en particular.


DEFINICION 5.9. Se denomina sistema autonomo a un sistema de ecuaciones di-ferenciales en que la derivada ~y′ no depende explıcitamente de la variable inde-pendiente t, es decir, un sistema de la forma:

(5.4.1) ~y′ = F (~y)

Un ejemplo de un sistema no autonomo esta dado por la ecuacion:

y′ = − ty

El diagrama de pendientes de esta ecuacion es de la forma:

y

t

Podemos ver que las soluciones corresponden a curvas del tipo y = ±√a2 − t2,

y evidentemente dos curvas solucion no son traslaciones la una de la otra. Tam-bien podemos ver que la ecuacion no tiene soluciones constantes, y que su com-portamiento es erratico cuando x se aproxima a 0 (no se cumple el Teorema deExistencia y Unicidad) ya que la pendiente de cada curva solucion se hace muygrande.

Otro tipo de diagrama a considerar es aquel que representa la relacion entre doso mas funciones de la solucion de un sistema de ecuaciones diferenciales, el cualdenominamos diagrama de fase. En general, esta representacion se puede haceren el plano para un sistema autonomo de dos ecuaciones diferenciales (lineal ono). En el caso de uno lineal, al ser autonomo, este sera de la forma:

x′(t) = ax(t) + by(t)

y′(t) = cx(t) + dy(t)

Para este caso, cada solucion (x(t), y(t) representara una curva en el plano. Nues-tro diagrama de fase representara la direccion de la curva en cada punto, y el sen-tido de esta, junto con dibujos de algunas de las curvas correspondientes a casoslımite. Por ejemplo, consideremos el sistema de ecuaciones dado por:


x′(t) = x(t)y(t)

y′(t) = 1− x(t) + y(t)

El diagrama de fase correspondiente es el siguiente:

y

t

Mediante un simple analisis grafico podemos ver que los vectores tangentes for-man ciclos en un entorno de (1,0). Esto nos indica que la pareja de funciones cons-tantes x0 ≡ 1, y0 ≡ 0 resulta ser una solucion del sistema, y que las curvas solucionen un entorno de este punto son cerradas (es decir, tienen un comportamiento pe-riodico). Podemos observar que se cumple lo siguiente:

TEOREMA 5.9. Sea ~y′ = ~F (~y) una ecuacion diferencial autonoma que satisface las con-diciones del Teorema de Existencia y Unicidad (es decir, la funcion ~F es globalmenteLipschitz en un intervalo). Entonces, si dos trayectorias del diagrama de pendientes (dosde las curvas trazadas por las soluciones de la ecuacion) se cortan en un punto, entoncesson identicas.

DEMOSTRACION. Es directo de observar que ambas son soluciones del mismoproblema de Cauchy. �

Tambien es directo observar que:

TEOREMA 5.10. Sea ~y′ = ~F (~y) una ecuacion diferencial autonoma que satisface las con-diciones del Teorema de Existencia y Unicidad Local (es decir, la funcion ~F es local-mente Lipschitz). Entonces, las curvas que son cerradas en torno a un centro correspondena soluciones periodicas.

DEMOSTRACION. Podemos usar el Teorema de Existencia y Unicidad Localpara extender una solucion cualquiera de modo que recorra toda la curva. Ası,existen dos valores t1, t2 para los cuales ~y(t1) = ~y(t2); por el Teorema de Existenciay Unicidad Local corresponden a la misma solucion, de lo que deducimos que siT = t2 − t1 entonces ~y(t+ T ) = ~y(t). �


En el analisis de sistemas de ecuaciones diferenciales, conviene conocer los puntosen que alguna de las derivadas se anula. Esto nos lleva a la siguiente definicion:

DEFINICION 5.10. Dado un sistema ~y′ = F (~y), denominamos nulclina4 a una cur-va Γ en la cual alguna de las componentes de ~y′ (es decir, alguna de las derivadasy′k(t)) se anula.

Por ejemplo, consideremos el sistema de ecuaciones dado por:

x′ = 1 + x+ y

y′ = xy − 1

Ası, podemos ver que la nulclina correspondiente a x(t) es la recta del plano y =−1 − x, mientras que la asociada a y(t) es la hiperbola xy = 1. Los puntos deinterseccion de ambas curvas corresponden a soluciones constantes (puntos deequilibrio).

Consideremos ahora el caso de la ecuacion ~y′ = A~y, con ~y : R2 → R2, A matriz de2×2. Esbozaremos un bosquejo de los diagramas de fase de la ecuacion en funcionde los valores propios, en algunos casos (los no considerados se dejan propuestosal lector). Por simplicidad asumiremos que los vectores propios de la matriz, deexistir, son una base ortonormal de R2 (en particular, los vectores ı y ).

Caso diagonalizable, λ1 > λ2 > 0.y

x

Podemos observar que los ejes X e Y corresponden a nulclinas. Observe-mos que las soluciones tienden a alejarse rapidamente del origen a medidaque t→∞.Caso diagonalizable, λ1 < 0 < λ2.

4Este es un caso particular del concepto de isoclina, que es una curva Γ en la cual una de lasderivadas y′k permanece constante.


y

x

Este comportamiento es lo que se denomina punto de silla. Existen doscurvas solucion que convergen al origen y las demas divergen desde este.Caso no diagonalizable en R, diagonalizable en C, valores propios imagi-

narios puros. Ej.: A =

[0 1−1 0

]y

x

Notemos el comportamiento periodico de las soluciones. Si una solucionse halla lo suficientemente cerca del origen, se mantendra cerca del origendurante toda su trayectoria.Caso C-diagonalizable de valores propios imaginarios con parte real ne-

gativa. Ej.: A =

[0 1−2 −2

]


y

x

Esto es lo que llamamos un punto espiral; la curva se acerca al origen y lorodea infinitas veces, nunca alcanzandolo.

5.5. Analisis de sistemas no lineales

Ahora disponemos de las herramientas suficientes para analizar un sistema deecuaciones no lineal. Por ahora, dedicaremos nuestra atencion a sistemas en que laderivada de la funcion incognita puede despejarse, es decir, sistemas de la forma:

~y′ = ~F (t, ~y)

.

5.5.1. Linealizacion y equilibrio. Recordemos que si la dependencia de t enla ecuacion no es explıcita, el sistema se denomina autonomo. Una de las ventajasde un sistema autonomo es que, si la funcion ~F es diferenciable, puede ser “apro-ximado” como un sistema lineal. Recordemos el siguiente concepto, visto en elcurso de Calculo en Varias Variables:

DEFINICION 5.11. Sea ~F : Rm → Rn una funcion diferenciable en ~x0. Su matrizjacobiana es la matriz dada por:

J~F (~x0) =

[∂Fi∂xj

(~x0)

]1≤i≤m, 1≤j≤n

La propiedad principal del Jacobiano es la siguiente: nos otorga una aproximacionde ~F cerca del punto ~x0, como senala el siguiente teorema:

TEOREMA 5.11. Sea ~F una funcion diferenciable en un entorno U de ~x0. Entonces existenε, δ > 0 tales que, para todo ~x ∈ U :

‖~x− ~x0‖ ≤ δ =⇒ ‖(~F (~x)− ~F (~x0))− J~F (~x0) · (~x− ~x0)‖ ≤ ε

5.5. ANALISIS DE SISTEMAS NO LINEALES 113

A esta aproximacion se le denomina aproximacion de primer orden. Este teo-rema nos indica, en particular, que el sistema no lineal autonomo ~y′ = ~F (~y) secomportara aproximadamente igual al sistema lineal afın autonomo dado por~y′ = ~F (~y0) + J~F (~y0) · (~y − ~y0). Ası, sabiendo resolver sistemas lineales podemoshacernos una idea del comportamiento de las funciones solucion cerca del punto~y0.

Otro concepto de utilidad es el siguiente:

DEFINICION 5.12. Dado un sistema diferencial autonomo ~y′ = ~F (~y), diremos que~y0 es un punto de equilibrio, si es un cero de la funcion ~F .

Evidentemente la funcion constante ~y ≡ ~y0 es una solucion del sistema. Podemosobservar que la interseccion de las nulclinas correspondientes a cada una de lasfunciones componentes yi corresponde a un punto de equilibrio.

La importancia de los puntos de equilibrio radica en el hecho de que el sistemapermanece estatico en ellos. Sin embargo, esto no garantiza que el sistema se man-tenga cercano al equilibrio si sufre una perturbacion pequena. Eso nos lleva a in-troducir la siguiente definicion:

DEFINICION 5.13. Un punto de equilibrio ~y0 se denomina punto de equilibrioestable del sistema diferencial autonomo ~y′ = ~F (~y) si existe un ε > 0 tal que paratoda solucion ~y(t) de la ecuacion diferencial se cumple que:

∃t0 ∈ R : ‖~y(t0)− ~y0‖ ≤ ε =⇒ ∀t > t0, ‖~y(t)− ~y0‖ ≤ εSi ademas se cumple que ∃δ > 0 tal que, si ‖~y(t0)− ~y0‖ < δ, entonces:

lımt→∞

~y(t) = ~y0

entonces el punto se denomina asintoticamente estable. Un punto de equilibrioque no satisface lo anterior se denomina inestable.

Tambien introducimos algunas clasificaciones para los puntos de equilibrio:

Un punto de equilibrio inestable se denomina punto silla si existen algu-nas soluciones que convergen al equilibrio y otras que divergen.Un punto de equilibrio asintoticamente estable se denomina punto espiralsi toda solucion de la ecuacion suficientemente cercana al equilibrio davueltas rodeando al punto de equilibrio infinitas veces.Un punto de equilibrio asintoticamente estable se denomina punto de es-trella si no es un punto espiral, de modo que las curvas solucion conver-gen directamente al equilibrio, fundiendose en este.

De este modo, vemos que las soluciones tienden a permanecer cercanas a un equi-librio estable, y a escapar de los equilibrios inestables. Podemos pensar, comoejemplo, en un pendulo:


θ

Mediante un simple analisis fısico podemos ver que la ecuacion que rige el movi-miento de este pendulo bajo el influjo de la gravedad es:

θ = sen(θ)

la cual, si hacemos ω = θ, es equivalente al sistema de ecuaciones diferenciales deprimer orden:

d

dt

[θω

]=

[ω

sen(θ)

]Podemos ver que los puntos de equilibrio con θ ∈ [0, 2π) son ω = 0, θ = 0 yω = 0, θ = π. Pero el comportamiento del pendulo es distinto en estos dos puntos:si θ = 0 y se produce una pequena perturbacion, ocurriran pequenas oscilaciones,y el pendulo se mantendra cerca de θ = 0. En cambio, si θ = π, una perturbacionhara que el pendulo se aleje rapidamente de esta posicion, hacia el punto de equi-librio θ = 0. Concluimos que 0 es un equilibrio estable, mientras que π constituyeun equilibrio inestable.

Equilibrio inestable

Equilibrio estable

¿Como reconocer un equilibrio estable? Para ello, utilizaremos el metodo de linea-lizacion del sistema, mediante la matriz jacobiana:

~y′ ≈��~F (~y0) + J~F (~y0) · (~y − ~y0)

Sin perdida de generalidad, supondremos que el punto crıtico ~y0 es ~0, de modoque el ((sistema aproximado)) queda en la forma:

~y′ ≈ J · ~y

Recordemos la definicion de punto de equilibrio estable: las soluciones cuya con-dicion inicial este lo suficientemente cerca del equilibrio se mantendran en el equi-librio. Ası, como sabemos que, por definicion, la solucion de la ecuacion anterior


es ~ya(t) = eJt~y1, en que ~y1 es la condicion inicial del sistema. Supongamos queJ 6= 0 y que consideramos una condicion inicial ~y1 del sistema suficientementecercana al punto crıtico ~y0 = ~0. De este modo, la funcion ~ya = eJt · ~y1 se com-portara en forma aproximadamente igual a y(t); en particular, se preservaran laspropiedades de equilibrio estable o inestable. Tenemos lo siguiente:

1. Si J es diagonalizable y todos los valores propios λi de J tienen parte realnegativa, entonces las funciones componentes de ~ya seran combinacioneslineales de terminos de la forma e−at(p+ cos(qt) + sen(rt)), los cuales con-vergen a 0 cuando t→∞. De este modo, ~ya es asintoticamente estable; de-ducimos entonces que la solucion ~y(t) del sistema que satisface ~y(t1) = ~y1

tambien lo es.2. Si J es diagonalizable, y no hay valores propios con parte real positiva,

pero existe al menos uno con parte real nula, al menos una de las compo-nentes de ~ya contendra una combinacion lineal que incluira terminos de laforma sen(pt) o cos(pt), o funciones constantes; de este modo no podemosasegurar que ~ya → ~0 cuando t→∞. Deducimos, entonces, que ~y(t) es unequilibrio estable, pero no asintoticamente estable.

3. Cuando J es diagonalizable y tiene valores propios con parte real posi-tiva, existiran terminos de las componentes de ~ya(t) que contengan fun-ciones exponenciales crecientes. Como el crecimiento de la funcion expo-nencial es muy rapido comparado con las otras soluciones posibles, ~ya(t)tendera a alejarse del origen (punto crıtico) y, por consiguiente, deducimosque el punto crıtico de ~y(t) es un punto de equilibrio inestable.

4. Si J no es diagonalizable, apareceran terminos polinomicos en la solu-cion. Aun ası, si todos sus valores propios son negativos, podemos utili-zar el mismo argumento que en el caso anterior y el hecho de que tne−t →0 cuando t → ∞ para argumentar que el equilibrio de ~y sigue siendoasintoticamente estable.

5. Cuando J no es diagonalizable y tiene algun valor propio λ∗ con parte realno negativa, no podemos asegurar estabilidad. En particular, si λ∗ es unvalor propio cuya multiplicidad algebraica sea mayor que la multiplicidadgeometrica5 deducimos que podrıan existir terminos de ~ya de la formap(x) cos(ax) + q(x) sen(bx), con p y q polinomios de grado no nulo, lascuales tenderıan a alejarse del origen; de este modo, el equilibrio serıainestable.

Este analisis esta hecho observando el comportamiento de la solucion aproximadadel sistema. Para un resultado formal, tenemos el siguiente teorema (que enuncia-remos sin demostracion) aplicable a matrices de 2× 2:

5Es decir, corresponde a un bloque de Jordan de la formaλ∗ 1 0 · · · 0

0 λ∗ 1 · · · 0

0 0 λ∗ · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · λ∗


TEOREMA 5.12. (Poincare) Consideremos el sistema ~y′ = ~F (~y), con ~F : R2 → R2 y sea~y0 un punto de equilibrio. Sean λ1, λ2 los valores propios de la matriz J~F (~y0). Se tiene losiguiente:

Si <(λ1) < 0 ∧ <(λ2) < 0, el punto de equilibrio es asintoticamente estable.Si λ1 > 0, λ2 < 0, el punto de equilibrio es un punto de silla. En este caso, hay dostrayectorias convergentes al equilibrio cuando t→ +∞, las cuales son tangentesal vector propio asociado a λ2, y dos trayectorias convergentes al equilibrio cuandot→ −∞, tangentes al vector propio asociado a λ1.Si los valores propios son complejos conjugados, λ± = α± iβ, con α 6= 0, β > 0,todas las trayectorias rotan en torno al equilibrio infinitas veces (punto espiral),convergiendo a este en t→ +∞ si α < 0, y en t→ −∞ si α > 0.Si λ1, λ2 ∈ R, distintos, el equilibrio es un nodo. Todas las trayectorias convergena ~y0 en +∞ si λ1, λ2 < 0, y lo hacen en −∞ si ambos son positivos. Mas aun,todas las trayectorias, salvo 2, son tangentes al vector propio asociado al λ demenor modulo; las otras dos son tangentes al vector propio asociado al otro valorpropio.

5.5.2. Analisis del modelo de Lotka-Volterra. Nos dedicaremos ahora a ana-lizar dos ejemplos de ecuaciones diferenciales de gran importancia. Estos se hallanbasados en el modelo llamado sistema competitivo de Lotka-Volterra, el cual re-presenta la poblacion de dos especies, N1 y N2, que interactuan entre sı.

El primer caso que estudiaremos es el sistema de Lotka-Volterra competitivo. Po-demos suponer que la tasa a la que se reproduce la primera especie, dN1/dt, esproporcional a la poblacion existente; sin embargo, esta se halla limitada por elalimento existente, el cual es consumido por ambas especies. Luego, podemos su-poner que tambien es proporcional a un termino de la forma A− BN1 − CN2 (enque A es la cantidad inicial de alimento disponible, y BN1 y CN2 representan losrecursos ya consumidos por ambas especies, con A,B,C > 0). Podemos hacer unanalisis similar para el comportamiento de N2, con lo que obtenemos un sistemade ecuaciones diferenciales de la forma:

dN1

dt= N1(A−BN1 − CN2)

dN2

dt= N2(D − EN1 − FN2)

Bosquejemos el diagrama de fase de las ecuaciones. Para ello, conviene notar que,en el plano N1N2, los ejes y las rectas BN1 + CN2 = A, EN1 + FN2 = D corres-ponden a nulclinas. Por lo tanto, tenemos que:


N2

N1

Observemos que cuando una de las dos especies no se halla presente, la otra es-pecie se halla en libertad para expandirse; sin embargo, se halla limitada por lacantidad de alimento disponible y por lo tanto no puede reproducirse mas alla deun cierto lımite (equilibrio). Si la poblacion inicial de dicha especie es mayor alequilibrio esta tendera a decrecer hasta alcanzarlo. Vemos entonces que en los ejesquedan determinados dos puntos de equilibrio, los cuales son inestables, ya quesolamente se producen cuando una de las especies no se halla presente en canti-dades apreciables; su comportamiento es el de un punto de silla.

En cambio, cuando ambas especies se hallan presentes y compiten por los recur-sos, vemos que cada especie se ve limitada tanto por su poblacion como por lapoblacion de la especie competidora. En el grafico, vemos que existe, por lo tanto,un punto de equilibrio asintoticamente estable que corresponde a la interseccionde ambas nulclinas; dado suficiente tiempo, la poblacion de ambas especies ten-dera a converger a este equilibrio si no hay intervenciones externas: las especiespueden coexistir.

Sin embargo, la posibilidad de coexistencia depende de las relaciones entre lasconstantes A,B, . . . , F . Mediante un simple analisis geometrico podemos ver queuna condicion suficiente para asegurar la coexistencia de las especies es que:

A

C>D

F∧ AB<D

E

y en este caso, el punto de equilibrio (N∗1 , N∗2 ) queda dado por:

N∗1 =FA− CDBF − CE

,N∗2 =BD − EABF − CE

Dejamos propuesto al lector investigar lo que ocurre en los otros casos.

Ahora estudiaremos otra version del modelo, la cual representa la relacion entrela poblacion de dos especies, en la cual una de ellas es un depredador de la otra.Este es el modelo Depredador-Presa de Lotka-Volterra.

Podemos suponer que si P (t) es el depredador y N(t) es la presa, la tasa de repro-duccion de N es directamente proporcional a la poblacion de N ; sin embargo, amayor poblacion de depredadores mas difıcil es la reproduccion de N . Asimismo,mientras mas depredadores haya, menos comida habra disponible para cada uno;


pero si hay mas poblacion disponible de N , existe mas alimento disponible paralos depredadores y por lo tanto hay un incentivo para reproducirse. De este modo,podemos suponer que la evolucion de este sistema queda representada por:

dN

dt= N(q − rP )

dP

dt= P (sN − u)

con q, r, s, u > 0 constantes positivas. Podemos ver inmediatamente que las rectasN = 0, P = q/r corresponden a las nulclinas de N , mientras que P = 0 y N = u/scorresponden a las nulclinas de P .

Bosquejaremos el diagrama de pendientes de esta ecuacion:

P

N

Vemos inmediatamente que, en ausencia de predadores, la poblacion de la otraespecie crece sin lımites, mientras que en ausencia de presas, la poblacion de de-predadores decrece a cero. Ası, vemos que el origen es un punto de equilibrioinestable, y como hay soluciones convergentes al equilibrio y otras divergentes,vemos que es un punto de silla.

Asimismo, el punto de interseccion de ambas nulclinas resulta ser un equilibirio,el cual es estable. Sin embargo, vemos que no es asintoticamente estable: las solu-ciones no escapan, pero tampoco convergen a este equilibrio. Mediante un simpleanalisis grafico vemos que las soluciones se desplazan de manera periodica, for-mando curvas cerradas en torno al equilibrio; es decir, una alta poblacion de presasestimula la reproduccion de depredadores, lo que redunda en una menor pobla-cion de estas presas. Esto causa que, a su vez, decrezca la poblacion de presas, yesto ocasiona que baje la poblacion de depredadores por falta de alimentos. Ası, sedan condiciones favorables para que aumente nuevamente la poblacion de presas,produciendose un fenomeno cıclico.

De las expresiones para P y N podemos despejar de la siguiente forma:

dP

dN=P (sN − u)

N(q − rP )=⇒

∫q − rPP

dP =

∫sN − uN

dN


Desarrollando las integrales indefinidas anteriores, con K como la constante arbi-traria de integracion, obtenemos la expresion:

q ln(P )− rP = sN − u ln(N) +K

(5.5.1) K(P,N) = q ln(P ) + u ln(N)− rP − sN

Podemos ver que, para una curva solucion (N(t), P (t)) dada, la expresionK(P,N)se mantiene constante a lo largo de toda la curva. Es mas, si dibujamos las curvasde nivel de la funcion K(P,N), las curvas solucion dada una cierta condicion ini-cial (N0, P0) seran subconjuntos de la curva de nivel que contenga a dicho punto.

A esta funcion K(P,N) la denominamos energıa del sistema. Podemos suponerque, por analogıa con la definicion fısica, la energıa de un sistema corresponde auna funcionK(~y) que permanece invariante a lo largo de una curva solucion dadacualquiera; la proxima seccion estudiara este concepto con mayor atencion.

5.5.3. Funciones de Liapunov. .En nuestro analisis del modelo de Lotka-Volterra encontramos una expresionK(P,N) que se mantenıa invariante a lo largo de una curva solucion del sistema.Este comportamiento es similar al de la energıa de los sistemas fısicos; por ejemplo,para una partıcula puntual sujeta al influjo de la gravedad, la ecuacion diferencialque rige su movimiento en el eje Z es:

z = −gPor regla de la cadena, tenemos lo siguiente:

z =dz

dz

dz

dt=⇒ dz

dzz = −g =⇒ 1

2z2 = K − gz

de modo que la expresion K(z, z) = z2 + 2gz se mantiene constante a lo largode toda la trayectoria de la partıcula, dadas ciertas condiciones iniciales. Esta ex-presion (salvo unas constantes) es la energıa del sistema fısico, lo que explica quehayamos dado el nombre de energıa a estos valores invariantes.

Mas formalmente, definimos una funcion de Liapunov como una generalizacionde este concepto. A grandes rasgos, estas funciones cumplen el rol de “energıas”,tal como las expresiones K(·) que obtuvimos previamente; son funciones que sonmonotonas decrecientes a lo largo de cada curva solucion (como la energıa en unsistema con roce).

DEFINICION 5.14. Consideremos el sistema no lineal autonomo de 2×2 siguiente,con F,G ∈ C1:

x′ = F (x, y)

y′ = G(x, y)

Sea (x, y) un punto crıtico del sistema y Br una bola abierta de radio r en torno aeste punto6. Denominamos funcion de Liapunov del sistema en torno a este puntocrıtico a una funcion V : Br → R si satisface las siguientes condiciones:

1. V (x, y) ∈ C1(Br) (continuamente diferenciable).2. V (x, y) = 0, y V (x, y) > 0 para todo (x, y) ∈ Br\{(x, y)}.

6Es decir, un conjunto de la forma {(x, y) ∈ R2 | ‖(x, y)− (x, y)‖ < r}.


3.∂V

∂xF +

∂V

∂yG ≤ 0 para todo punto de Br\{(x, y)}.

Si la igualdad en esta ultima condicion es estricta, decimos que V es una funcionde Liapunov estricta.

Inmediatamente vemos el siguiente resultado:

TEOREMA 5.13. Dada una curva solucion del sistema (x(t), y(t)), la funcion de Liapunoves decreciente a lo largo de la curva.

DEMOSTRACION. Como consecuencia de la regla de la cadena:d

dtV (x(t), y(t)) =

∂V

∂xx′(t) +

∂V

∂yy′(t)

=∂V

∂xF (x(t), y(t)) +

∂V

∂yG(x(t), y(t))

≤ 0

�

Este teorema nos muestra que las funciones de Liapunov se comportan de formasimilar a lo que llamamos habitualmente “energıa”.

La importancia de las funciones de Liapunov radica en que nos permiten estudiarde forma sencilla las funciones solucion y sus equilibrios. Observamos, en primerlugar, el siguiente teorema preliminar:

TEOREMA 5.14. Si un sistema no lineal autonomo tiene una funcion de Liapunov estrictaV (x, y), entonces las curvas solucion (x(t), y(t)) son subconjuntos de las curvas de nivelde V .

DEMOSTRACION. Esto es consecuencia directa del teorema anterior: vemosque en toda curva solucion la funcion ϕ(t) = V (x(t), y(t)) tiene derivada nula ypor tanto es constante; luego la imagen de la funcion (x(t), y(t)) es un subconjuntode la curva de nivel correspondiente. �

Por ejemplo, consideremos las ecuaciones del pendulo que analizamos previamen-te:

θ = ω

ω = sen(θ)

Como θ = sen(θ), obtenemos la siguiente ecuacion que relaciona θ y ω:

dθ

dθ· dθdt

= ωdω

dθ= sen(θ)

de la cual, integrando, obtenemos:1

2ω2 = K − cos(θ)


Despejando la constante de integracion K obtenemos la ecuacion de energıa delpendulo, que resulta ser una funcion de Liapunov estricta en torno al punto deequilibrio (θ, ω) = (0, 0):

(5.5.2) K(θ, ω) = cos(θ) +1

2ω2

Podemos observar un bosquejo de las curvas de nivel de esta funcion en el siguien-te grafico:

θ

ω

Podemos ver que cuando se esta lo suficientemente cerca del equilibrio las curvasde nivel son cerradas y no se cortan, de modo que estas corresponderan a solucio-nes periodicas de la ecuacion (oscilaciones del pendulo). En cambio, las curvas denivel que pasan por los puntos de equilibrio inestable se cortan. En los puntos deinterseccion, la unica forma de que se satisfaga el Teorema de Existencia y Uni-cidad es que la solucion sea constante en estos puntos; en el resto de estas curvasde nivel vemos que las soluciones correspondientes se acercan asintoticamente aestos puntos de equilibrio, por lo que estos son puntos de silla. En las restantescurvas de nivel, vemos que θ aumenta indefinidamente, lo que puede interpretar-se como que el pendulo da infinitas vueltas en torno a su punto de apoyo.

El teorema mas importante relativo a estas funciones es el siguiente, que nos indicacomo estudiar equilibrios usando esta herramienta:

TEOREMA 5.15. (Estabilidad por funciones de Liapunov) Sea ~y∗ ∈ R2 un punto crıticoaislado del sistema no lineal autonomo. Se tiene lo siguiente:

Si existe una funcion de Liapunov en torno a ~y, entonces el punto crıtico es estable.Si, ademas, la funcion de Liapunov es estricta, entonces el punto es asintotica-mente estable.Si existe una funcion que satisfaga las condiciones (1) y (2) de las funciones deLiapunov, pero la desigualdad opuesta a (3) (es decir, FVx+GVy > 0 enBr\{0},entonces el punto crıtico es inestable.


DEMOSTRACION. Supongamos que existe una funcion de Liapunov para elsistema, en el conjunto Br(~y∗), r > 0 y sea ~y0 un punto tal que ‖~y∗ − ~y0‖ < ε, paraalgun r > ε > 0, y sea ~y(t) la solucion del sistema que cumple la condicion inicial~y(t0) = ~y0 para un t0 dado (el cual es irrelevante, ya que el sistema es autonomo).Como la funcion de Liapunov es decreciente para toda curva solucion del siste-ma ~y(t), y positiva para todo ~y ∈ Br\~y∗, anulandose en el punto de equilibrio,vemos que este es un mınimo de la funcion de Liapunov. En funcion de la tercerapropiedad de las funciones de Liapunov, esto implica que el Jacobiano de las fun-ciones (F,G) del sistema es una matriz semidefinida positiva; por lo tanto, por elteorema de Poincare, el punto ~y∗ es un punto de equilibrio estable. Es mas, si lafuncion de Liapunov es estricta, el equilibrio es asintoticamente estable ya que lamatriz es definida positiva. En cambio, si se satisface la desigualdad opuesta, elpunto corresponde a un maximo de la funcion V y, por lo tanto, la matriz J(F,G) essemidefinida positiva. Por lo tanto, el punto de equilibrio es inestable. �

Chaparron Bonaparte,´ Alvaro Bustos´ Prof. Salome Mart´ ´ınez · 2013. 1. 22. · ´Indice...

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