PRUEBAS PARAMETRICAS

Los métodos paramétricos se basan en el muestreo de

una población con parámetros específicos , como la

media poblacional, la desviación estándar o la

proporción p .

Además deben de reunir ciertos requisitos como lo es,

que los datos muestrales provengan de una población

que se distribuya normalmente.

Las pruebas parámetricas se emplean con datos en

una escala ordinal, de intervalo o de razón

PRUEBAS PARAMETRICAS Y

PRUEBAS NO PARAMETRICAS

Juan José Hernández Ocaña

Pruebas no paramétricas

1.- Los métodos no paramétricos se aplican a una gran

variedad de situaciones

Cuando empleamos tamaños de muestras muy pequeños

Si no sabemos como es la distribución de los datos

O ya se realizó un prueba que nos permite saber que los datos no

tienen una distribución normal

2.- Sus cálculos son más sencillos y nos permiten una

interpretación mas fácil de entender y aplicar, aunque la

potencia de las pruebas es menor a las pruebas parámetricas

Chi cuadrada

1.- A diferencia de las distribuciones normal y t student,

la distribución de ji cuadrada no es simétrica.

2.- Los valores χ2 son mayores o iguales que cero

3.- El área bajo la curva de χ2 y sobre el eje

horizontal es 1

4.- La forma de una distribución de χ2 depende de los

grados de libertad, por lo cuál hay un número infinito de

distribuciones de ji cuadrada.

Prueba de bondad de ajuste

Chi cuadrada

CHI CUADRADA supuestos

Los datos se seleccionan aleatoriamente

Los datos muestrales consisten en conteos de frecuencias para cada una de las diferentes categorías

Para cada categoría, la frecuencia esperada tiene un valor no menor a 5

Prueba de Bondad de ajuste

La prueba de bondad de ajuste nos permite saber si la

distribución muestral sigue la distribución especificada

bajo la hipótesis nula

El objetivo es determinar si la distribución concuerda con

alguna distribución que se asevera en la hipótesis nula

Básicamente es establecer una comparación entre la

distribución de frecuencias observadas con la de

frecuencias esperadas.

Prueba de Bondad de ajuste

fe es la frecuencia esperada bajo el supuesto de que

se realice un muestreo aleatorio de la población de la

hipótesis nula

f o es la frecuencia observada de la muestra

Si la diferencia es pequeña, esto es, que el valor

encontrado sea menor al valor crítico, no se rechaza la

hipótesis nula. Ello nos indicaría que la diferencia de los

valores de la frecuencia esperada y de la frecuencia

observada se deben al azar.

Xi cuadrada

Básicamente se trata de tomar una decisión comparando

los valores de las frecuencias que esperaríamos obtener

si se realizará un muestreo aleatorio de la población (fe)

, respecto a los valores que en realidad se obtienen ( fo

frecuencia observada)

Es razonable pensar que entre más cercano se encuentre

el valor de fo al de fe tanto más razonable será pensar

que los valores observados son similares a los de la

población

Calculo de χ2

X2 = ∑ ( fo - fe ) 2

fe

Los grados de libertad son k -1, donde k es el número de grupos

Como la dirección de la diferencia no es importante, la prueba de Ji cuadrada es una prueba no direccional ( de dos colas)

Básicamente χ2 es una medida de la diferencia entre las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas, por ello mientras mayor sea el valor de χ2 es más probable rechazar Ho.

Criterios

Si X2obt ≥ X2

cri Rechazo Ho

Esto significa que las diferencias entre las frecuencias

esperadas y las frecuencias observadas son significativamente

grandes y que no se deben al azar

Esta prueba es no direccional , la región critica para el

rechazo siempre está en la cola derecha de la distribución Chi

cuadrada

La composición histórica de una población en un ciudad europea es la

siguiente: 53% noruegos, 32% suecos, 8% irlandeses, 5% hispanos y 2%

italianos. Un científico social realiza un estudio con el fin de comprobar dicha

composición.

Consideremos que el valor

esperado es el teórico o el

histórico

noruegos suecos Irlandeses hispanos Italianos total

F

observada

399 193 63 82 13 750

noruegos suecos Irlandeses hispanos Italianos total

F

esperada

397.5

(750 x

0.53)

240

(750x.32

)

60

( 750 x

0.08)

37.5

(750x 0.05)

15

(750x0.02)

750

Para experimentos con una sola variable existen k -1 grados de

libertad k ( grupos)

De acuerdo a nuestra formula

χ2 = 0.006 + 9.24+ 0.15+ 52.8+ .26= 62.4

Gl= 5-1 =4

Χ2 critico= 9.48

Por lo que rechazo H0: la composición étnica parece haber cambiado

Ejercicio

Un investigador quiere determinar si en verdad existe una opinión mayoritaria en el sentido de que las personas con sobrepeso son más alegres. A una muestra aleatoria de 80 individuos se les preguntó: ¿ cree usted que las personas con sobrepeso son más alegres?. Las opciones de respuesta eran: a) sí, b) no

Los resultados obtenidos fueron

SI……………44

No…………..36

Usando un alfa de 0.05, cuál serían sus conclusiones

χ2 obt es de 0.8

y Ji critica es de 3.841

No rechazamos Ho, lo que significa que los datos no avalan la opinión inicial

Tabla de contingencia

Una de las aplicaciones de la Ji cuadrada consiste en determinar si dos variables categóricas son independientes o están relacionadas entre sí

Para ello empleamos una tabla de contingencia que muestra la relación contingente entre dos variables,

cuando éstas han sido clasificadas en categorías mutuamente excluyentes y cuando se conocen sus

frecuencias

Pruebas de independencia entre variables

Esta prueba nos permite saber si una variable es

independiente de otra, esto es, si tienen alguna relación de

ciertos atributos en una población.

Para su análisis se emplea una tabla de contingencia

que se compone de dos o más entradas y muestra la relación

contingente entre dos variables, siempre y cuando hayan sido

clasificadas en categorías mutuamente excluyentes y los datos

en cada celda representan las frecuencias.

Hay que considerar que contingencia se refiere a

dependencia, pero sólo en el sentido estadístico… no es una

determinación de causa y efecto

Consideraciones

Los datos muestrales se seleccionan aleatoriamente

La hipótesis nula , es la afirmación de que las variables de renglón y de columna son independientes

La hipótesis alternativa es la afirmación de que las variables de renglón y columna son dependientes

Consideraciones

No se conocen las proporciones reales en la población… hay que estimarlas a partir de la muestra

Cada una de las observaciones registrada en la tabla de contingencia es independiente de las demás.

El tamaño de la muestra deberá ser lo suficientemente grande.

La frecuencia esperada en cada celda debe ser por lo menos 5

SÍ la tabla es 1 x 2 o 2 x 2 la frecuencia esperada debe ser por lo menos de 10

Consideraciones

La hipótesis nula se rechaza si el valor obtenido

es igual o mayor al valor critico

Ello significa que las diferencias encontradas

son debido al muestreo aleatorio

Hay que considerar que los grados de

libertad se calculan como

(r-1) ( c-1) , donde r son los renglones y c

las columnas en la tabla de contingencia

Consideraciones

El estadístico de prueba nos permiten medir el grado de discordancia entre las frecuencias que se observan en la realidad y aquellas que se esperarían

Los valores pequeños del estadístico de prueba Chi implica una gran concordancia entre las frecuencias que se esperan y las que se observan

Valores grandes del estadístico de prueba Chi reflejan diferencias significativas entre las frecuencias que se esperan y las observadas.

FRECUENCIA ESPERADA PARA TABLA DE CONTIGENCIA

Frecuencia

esperada = (total del renglón) ( total de la columna)

( gran total)

Ejercicio resuelto

Esta Universidad estudia la posibilidad de implantar uno de los tres sistemas

de evaluación: E-A; E-B y E-C. Se realiza una encuesta para determinar si

existe alguna relación entre el área de licenciatura que estudia cada alumno y

la preferencia que manifiesta por algún sistema de evaluación en particular.

Se elige una muestra de 200 estudiantes del área de ingeniería; 200 del área

de ciencia sociales y 100 del área de administración . Se pregunta a cada

lumno que sistema de evaluación prefiere. Con un alfa de 0.05 cuales serían

sus conclusiones?

Se supone que lo que buscamos es encontrar que existe un relación

entre el área de formación y la preferencia del sistema de

evaluación

Por lo tanto nuestra Ho sería: que el área de estudio y su

preferencia por algún sistema de evaluación son independientes

entre sí

E - A E - B E- C total

Administración 26 55 19 100

Sociales 24 118 58 200

Ingeniería 20 112 68 200

total 70 285 145 500

El 14 % ( 70/ 500) del total prefiere el método A

El 57% ( 285/ 500) del total prefiere el método B

El 29% ( 145/ 500) del total prefiere el método C

E - A

Administración 26 ( 14)

Sociales 24 (28)

Ingeniería 20 ( 28)

70

E - B

55 (57)

118 ( 114)

112 (114)

285

E- C

19 (29) 100

58 (58) 200

68 ( 58) 200

145 500

Estudiantes de UNITEC, están tratando de probar si existe

una diferencia entre el nivel de stress mostrado antes de

los exámenes por las diferentes áreas de estudio. Para

ello somete a alumnos de Ingeniería y de Ciencias Sociales

a un test que determina niveles altos o bajos en stress. Si

considera un nivel de 0.05 de significancia, cuáles serían

sus conclusiones?

Nivel de

stress

Bajo Alto

Ingeniería 15 15

Ciencias

Sociales

25 45

Nivel de stress Bajo Alto total

Ingeniería 15 (12) 15 (18) 30

Ciencias

Sociales

25 (28) 45 ( 42) 70

Total 40 60 100

Dado que X obt es menor que X cri ( 1.78< 3.84) no se

rechaza Ho, y se concluye que el nivel de stress que se

presenta ante los exámenes es independiente del área del

conocimiento

EJERCICIOS

EJERCICIO para resolver

Un psicólogo social está interesado en determinar si existe

alguna relación entre el nivel de educación de los padres y el

número de hijos que tienen. Para ello realiza una encuesta y

obtiene los siguientes resultados. Si emplea un alfa de 0.05 ,

cuáles serían sus conclusiones?

Nivel de

educación

Dos o menos Mas de dos TOTAL

Universidad 53 22 75

Bachillerato 37 38 75

total 90 60 150

Ejercicio clase

Cierta compañía manufacturera ha desarrollado un nuevo producto. La

compañía ha empleado publicidad a nivel nacional para licitar posibles

franquicias. En la compañía se ha dividido al país en diez regiones que son

relativamente iguales con respecto al tamaño de la población y posibilidades

de ventas de acuerdo a su ingreso económico. Se esperan en cada una los

mismos resultados. Los resultados reales se muestran en la tabla siguiente. Si

tiene un alfa de 0.05 cual es su conclusión. ¿Formule la hipótesis nula y hipótesis

alternativa y cuales son sus conclusiones

Región 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 total

22 23 18 16 21 17 19 23 20 21 200

Un estudio en Estados Unidos sobre los niveles educativos de

los votantes y su afiliación política tuvo los siguientes

resultados

Use un alfa de 0.01 y determine si la afiliación política es

independiente del nivel educativo de los votantes

Demócrata Republicano Independiente

No terminó

secundaria

40 20 10

Preparatoria

completa

30 35 15

Licenciatura 30 45 25

TAREAS

Una compañía está interesada en saber si la preferencia de compra para

los viajeros de negocios está en función si éstos viajan al extranjero o en

vuelos locales. En una encuesta reciente se les preguntó: durante los

últimos 12 meses en sus viajes de negocios,¿ qué tipo de boleto de avión

compró con más frecuencia? .Las respuestas obtenidas en la siguiente tabla

de contingencia

Usando un alfa de 0.05, pruebe la independencia del destino del vuelo

y tipo de boleto? ¿Cuáles son sus conclusiones?

nacional internacional

Primera clase 29 22

Clase de negocios 95 121

Clase económica 518 135

La compañía M&M patrocinó una encuesta en la que más de 10 millones personas indicaron su preferencia por los colores de sus chocolates. Los resultados mostraron la siguiente distribución:

Café 30%; amarillo 20%; rojo 20%; naranja 10%; verde 10%

AZUL 10%

De acuerdo a ello se supone que las bolsas de chocolate siguen dicha distribución. Para probarlo la compañía realizo un estudio empleando una muestra de 506 bolsas que revelaron los siguientes resultados: café 177; amarillo 135; rojo 79; naranja 41; verde 36; azul 38

Use un alfa de 0.05 para determinar si estos datos respaldan lo que publicó la empresa

Los resultados de un estudio llevado a cabo por el

área de mercadotecnia, se les pregunto a hombres y

mujeres a qué personas se les dificulta más, comprar

regalos

Use un alfa de 0.05 y pruebe si hay independencia entre

el sexo y la persona más difícil para regalar

Persona a la que

se le regalará

Hombres Mujeres

Consorte 37 25

Padres 28 31

Hijos 7 19

Hermanos 8 3

Pariente político 4 10

Otros 16 12

Ejercicio clase

Un año después de los ataques del 11 de septiembre se realizó una

encuesta a 2000 estadounidenses donde se les pregunto: ¿ asistió

usted a la iglesia la semana pasada?. Considerando los resultados

obtenidos en una encuesta similar realizada seis meses antes de los

ataques, se emplearon los datos obtenidos para averiguar si el

sentimiento religioso sufrió alguna modificación un año después de

los ataques terroristas. Considerando un alfa de 0.05 y los datos

presentados en la tabla siguiente, cuál serían sus conclusiones

SI NO Totales

6 meses antes 360 540

1 año después 420 680

Tarea

Se taladró un hoyo en un dado y se le rellenó de plomo, luego se

procedió a lanzarlo 200 veces. Las siguientes son las frecuencias que se

observaron para los resultados de 1,2,3,4,5,6 respectivamente:

27,31,42,40,28 y 32. Si emplea un nivel de significancia de 0.05

para probar la aseveración de que los resultados no son igualmente

probables

¿Parece que el dado cargado se comporta de forma diferente a un

dado balanceado?