CICLO DE LA TAREA

Clariza MercedesQuiguanas Campo

Tutora Patricia Leguizamn

Cdigo34330788

Grupo asignado208046-75

Universidad Nacional Abierta y A DistanciaEscuela De Ciencias Bsicas Tecnologas e Ingenieralgebra Lineal

CEAD Popayn Cauca2014

INTRODUCCION

El trabajo realizado logra abarcar una serie de conocimientos de la parte algebra lineal en algunas de sus ramas como son la unidad 1,2 y 3 quienes a travs de los conocimientos expuestos en la material de trabajo y en la investigaciones hechas, nos dan solucin a una serie a ejercicios y problemas que contienen vectores, matrices y determinantes; de esta forma se lograra el desarrollo del contenido y conceptos ya estudiados.

DEFINICIONES

1. VECTORES: sean P Y Q dos puntos de R2 o R3, al segmento de la recta de P o Q se le denomina vector anclado en el punto P, con punto inicial en P y punto final en Q, el cual denotaremos por PQ. En general si P y Q son puntos de R el vector anclado PQ ser aquel que tiene su punto inicial en P y punto final en Q.2. MATRIZ: una matriz es un ordenamiento rectangular de escaleras (nmeros) en filas y columnas, encerradas en un corchete o en un parntesis; son numricas o alfanumricas, es decir compuestas de nmeros o de nmeros y letras. Simblicamente se escribe A= (A) = {A}.3. ORDEN O DIMENTCIONES DE UNA MATRIZ: Es el nmero de filas y columnas que posee. Se representa por (m, n) donde M es el nmero de filas y n el de columnas. As una matriz de orden (5,3) tendr 5 filas y 3 columnas.4. Operaciones con matrices: 5. suma algebraica de matrices: para sumar o restar matrices debern tener el mismo orden y la operacin se realizara sumando los trminos que ocupan igual posicin en las matrices implicadas. 6. Producto de matrices: para multiplicar dos matrices necesarias cumplir, el nmero de columnas de la primera matriz deber ser igual al nmero de las filas de la segunda. 7. potencia de matrices: para elevar una matriz a una potencia, se deber multiplicar por si misma tantas veces como indique el exponente. 8. ECUACIONES LINEALES: sea K un cuerpo a1 x1+..+an xn=b donde los trminos a1 ,.., an son elementos (conocidos) de K y se llaman coeficientes el termino b es de nuevo un elemento de K y recibe el nombre de termino independiente, y por ultimo x1.. xn son smbolos que llamamos incgnitas para un nmero pequeo de incgnitas ser usual denotarlo por la letra x,y,z,r..9. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: se le llama sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas se le llama solucin de sistema a cada asignacin de valores a las incgnitas digamos x1 =k1xn= kn que sea solucin de todas las ecuaciones del sistema, esto es que haga verificar todas las igualdades simultneamente. Se dice tambin que (k1kn) es solucin del sistema, se llama solucin general del sistema al conjunto de todas las soluciones del sistema. Dos sistemas se dice que son sistemas equivalentes si tienen igual solucin general, esto es si tienen exactamente las mismas soluciones.10. DISCUSIN DE UN SISTEMA: segn su nmero de soluciones clasificaremos los sistemas de ecuaciones lineales: un sistema es compatible si tiene alguna solucin, compatible determinado si tiene una nica solucin, compatible indeterminado si tiene ms de una solucin e incompatible si no tiene ninguna solucin.11. METODO DE GAUSS JORDAN: como resolver un sistema de ecuaciones lineales. La filosofa de los mtodos de Gauss y Jordn es simple: a partir de un sistema dado, conseguir otro con exactamente las mismas soluciones (sistema equivalente) pero ms simple y as sucesivamente hasta llegar a un sistema con las mismas soluciones que el de partida pero estas sean conocidas. 12. FACTORIZACIONES DE MATRICES: la factorizacin de una matriz A es una ecuacin que se expresa a A como un producto de dos o ms matrices. Mientras que la multiplicacin de matrices implica una sntesis de datos ( combinando el efecto de dos o ms formaciones lineales en una sola matriz), la factorizacin de matrices es un anlisis de datos.13. REGLA DE CRAMER: la regla de cramer se necesita en clculos tericos, se puede utilizar para estudiar cmo se modifica soluciones de Ax = b cuando cambian las entradas de b. sin embargo la frmula es para clculos a mano excepto para matices de 2x2 o quizs 3x3. Para toda matriz A de n x n b en Rn sea A/ b la matriz obtenida a partir de A mediante el reemplazo de la i por el vector b.14. RECTA EN R3: si se especifican su direccin y uno de sus puntos sea U = (a,b,c) un vector no nulo distinto de cero en R3, y sea Po = (xo,yo,zo)un punto en r3 sea wo el vector asociado con Po y X el vector asociado con el punto P(x,y,z) la recta L que pasa por Po y es paralela a U consiste de los puntos P (x,y,z).tales que x= wo + IU. - / .15. APLICACIONES DE LAS COMBINACIONES LINEALES: la idea de espacio generado, independencia lineal, dependencia lineal y base se fundamentan en la formacin de la combinacin lineal de vectores.16. ESPACIOS VECTORIALES: Es una terna formada por un conjunto V y dos + * operaciones que satisfacen unas propiedades; los elementos de V se llaman vectores: los nmeros reales se llaman escalares. La operacin + es la suma vectorial. La operacin * es la multiplicacin por un escalar.17. CONJUNTOS GENERADORES un conjunto de generadores es linealmente independiente y el otro es linealmente dependiente.18. SISTEMA DE GENERADORES DE UN ESPACIO VECTORIAL: un conjunto de vectores S se dice que es un sistema de generadores del especio vectorial V si todo vector de V es combinacin lineal de los vectores de S (S para el caso de S es infinito se considera combinaciones lineales de un numero finito de vectores de S).19. VECTORES LINEALES DEPENDIENTES: diremos que son linealmente independientes (I. d) si alguno de ellos se puede expresar como combinacin lineal de los otros vectores).20. VECOTRES LINEALMENTE DEPENDIENTES: diremos que son linealmente dependientes (I d) si alguno de ellos se puede expresar como combinacin lineal de los otros vectores

PARTE 1 PROBLEMAS DE APLICACIN (VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES)

1. Resolver el siguiente problema, graficando la situacin presentada.

Un helicptero vuela 220 km rumbo al oeste desde la zona A hasta la zona B y despus 150 km en la direccin de 60 grados al noroeste de la zona B hasta la zona C. a) En lnea recta, que tan lejos est la zona C de la zona A. b) Respecto de la zona A en qu direccin est la zona C?

Solucin:

Para hallar la distancia de BX resolvemos

Hallamos la distancia de R en X:

Hallamos la distancia de C en Y

Por teorema de Pitgoras hallamos la distancia de A a C

Para hallar la distancia de C con respecto a A, resolvemos:

La zona C se encuentra a 322,37 km de distancia de la zona A en una direccin de 24,70 al noroeste.

2. En 4 semanas, las dos compaas, Alvarez y McGinnis, necesitan las siguientes cantidades de materia prima de levadura, malta y agua (unidades de cantidad: ME):

1 semana: Alvarez: 8 ME levadura, 4 ME malta, 12 ME agua. McGinnis: 6 ME levadura, 3 ME malta, 12 ME agua. 2 semana: Alvarez: 10 ME levadura, 6 ME malta, 5 ME agua McGinnis: 9 ME levadura, 5 ME malta, 4 ME agua 3 semana: Alvarez: 7 ME levadura, 8 ME malta, 5 ME agua McGinnis: 7 ME levadura, 0 ME malta, 5 ME agua.

Actividades 1. Representa los datos para saber el consumo de las dos compaas. 1. Compara los consumos respondiendo la siguiente pregunta: Qu cantidad de materia prima se necesita para ambas compaas en cada semana? Cul es la diferencia de consumo de ambas compaas en cada semana? 1. Cunto es el consumo de materia prima por semana para 7 compaas como Alvarez, suponiendo que necesitan la misma cantidad de materia prima que la compaa Alvarez? 1. Consideremos que la Compaa Alvarez recibe materia prima de dos proveedores (ALFA Ltda. y Malt S.A.) Cul de los dos proveedores es mejor?

ALFA Ltda.Malt S.A.

Levadura5055

Malta136127

Agua8079

1. Halla a la inversa de la matriz de consumo de la compaa McGinnis por Gauss Jordn y luego por Determinantes y compara los resultados adquiridos.

Solucin:

Teniendo en cuenta que:

X = Semana 1A = Levadura

Y = Semana 2B = Malta

Z = Semana 3C = Agua

La representacin grfica para cada compaa quedara, lo podemos presentar por medio de un arreglo de la informacin como se muestra a continuacin

Alvarez

XYZ

A8107

B468

C1255

McGinnisXYZ

A697

B350

C1245

Para saber la cantidad de materia prima se necesita para ambas compaa en cada semana se hace una suma de matrices donde la empresa Alvarez es la matriz A y la empresa McGinnis es la empresa B

Para saber la diferencia de consumo de ambas compaas por semana se hace una resta entre la matriz A y la matriz B

Para determinar el consumo de 7 compaas como a Alvarez por semana multiplicamos la primera columna de la matriz A por 7

Matriz inversa de la compaa Alvarez por Gauss Jordan

Divido la fila 1 sobre 8

Resto la fila 2 de la fila 1 multiplicada por 4 y resto la fila 3 de la fila 1 multiplicada por 12

Sumamos la fila 3 de la fila 2 multiplicada por 10

Dividimos la fila 3 por 316/8

Restamos la fila 2 de la fila 3 multiplicada por 36/8

Restamos la fila 1 de la fila 3 multiplicada por 7/8

Resto la fila 1 de la fila 2 multiplicada por 10/8

Se halla el determinante

8(6x5-5x8)-4(10x5-5x7)+12(10x8-6x7) = 316

PARTE 2 PROBLEMAS DE APLICACIN (SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS Y PLANOS)

1. Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere20 kg del A, 30 kg del B, Y 50 kg del C. Una unidad III requiere 50 kg del A y 50 kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A, 1200 kg del B Y 3200 del C. Cuntas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se usa todo el material qumico disponible? Resolver el problema a travs de Gauss Jordan para hallar el valor de las variables establecidas.

Solucin:Llamemos

X = Fertilizante tipo IY = Fertilizante tipo IIZ = Fertilizante tipo III

Como cada tipo de fertilizante tiene una cantidad de compuestos A, B y C entonces tenemos:

ABC

X103060

Y203050

Z50050

Como se sabe que

1. Del compuesto A se tienen 16001. Del compuesto B se tienen 12001. Del compuesto C se tienen 3200

Establecemos el sistema de ecuaciones

Reescribimos el sistema de ecuaciones en forma de una matriz y lo resolvemos por el mtodo de gauss Jordn

Dividimos la primera fila por 10

De la fila 2 restamos la fila multiplicados por 30 y de la fila 3 restamos la fila 1 multiplicada por 60

Dividimos la fila 2 por -30

De la fila 1 restamos la fila 2 multiplicada por 2 y de la fila 3 restamos la fila 3 multiplicada por -70

Dividimos la fila por 100

De la fila 1 restamos la fila 3 multiplicada por -5 y de la fila 2 restamos la fila 3 multiplicada por 5

Lo que nos por resultado que de cada tipo de fertilizante se deben fabricar 20 unidades para consumir la totalidad de los compuestos.

1. De la ecuacin de la recta que pasa por el punto (1, -1,1) y es paralela a la recta que pasa por los puntos A (-2, 0,1), B (1,2,3).

Solucin:

Hallamos la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A (-2, 0,1) y B(1,2,3).

Las ecuaciones simtricas para una recta cualquiera son:

Ahora debemos encontrar las constantes a, b, c y para encontrarlas debemos definir un vector dado por los puntos dados

Y este vector AB est dado por la diferencia de B menos A en X, Y y Z.

Por lo tanto podemos definir que:

Con los anteriores valores la ecuacin simtrica de la recta que contiene los puntos A(-2, 0, 1) y B(1,2,3)

Tendiendo la ecuacin de la recta paralela podemos hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto P(1, -1, 1)

Con la ecuacin de la recta paralela podemos determinar que:

A = 3B = 2C = 2

Y con esto hallamos el vector director que nos permitir hallar la ecuacin de la recta solicitada

Despejamos y de esta forma hallamos la ecuacin de la recta solicitada

1. Encuentre las ecuaciones simtricas y paramtricas de la recta que contiene a los puntos P=(7, -1,1) y Q= (-1, 5,3).

Solucin:

Ecuaciones paramtricas que definen una recta cualquiera

Y las ecuaciones simtricas para una recta cualquiera son :

Ahora debemos encontrar las constantes a, b, c y para encontrarlas debemos definir un vector dado por los puntos dados

Y este vector PQ esta dado por la diferencia de Q menos P en X, Y y Z.

Por lo tanto podemos definir que:

Con los anteriores valores las ecuaciones paramtricas de la recta que contiene los puntos P=(7, -1,1) y Q= (-1, 5,3) :

Y las ecuaciones simtricas son:

1. Encuentre la ecuacin general del plano que contiene a los puntos P=(-8,5,0), Q=(5, -4,-8) y R= (-3, -5,1)

Solucin:

Para calcular la ecuacin del plano podemos utilizar la formula:

Reemplazamos los valores de los puntos dados:

Resolviendo el determinante por producto cruz y aplicando la ley de los cofactores tenemos la ecuacin del plano.

1. Encuentre todos los puntos de interseccin de los planos :

Solucin:

Teniendo los planos

Debemos hallar los puntos de interseccin entre ellos, como sabemos, los puntos de interseccin entre dos planos es una recta, entonces vamos a hallar la ecuacin simtrica de esa recta que por teora define los puntos de interseccin de dos planos.

La ecuacin simtrica de una recta est definida como:

Para determinar la ecuacin simtrica que me define los puntos de interseccin, vamos a encontrar X en funcin de Y y X en funcin de Z con las ecuaciones de los planos dados.

Para hallar X en funcin de Z, multiplicamos por -1 al plano 1 y se lo sumamos al plano 2

Para hallar X en funcin de Y, multiplicamos por -7 al plano 1 y se lo sumamos al plano 2 multiplicado por 8.

Ahora igualamos para obtener la ecuacin simtrica de la recta que forma la interseccin de los dos planos dados

PARTE 3. PROBLEMAS DE APLICACIN (ESPACIOS VECTORIALES)

1. Dado el conjunto S = {u1, u2} donde u1 = (5,1) y u2 = (-3, -2). Demuestre que S genera a R2.

SolucinSegn la definicin cualquier conjunto contenido en un determinado especio vectorial se considera conjunto generador si todo vector se puede considerar una combinacin lineal del conjunto original.

Por lo tanto:S = { u1, u2}

U1 = (5, 2)

U2 = (-3, -2)

S = {(5, 2), (-3, -2)}

V = (x, y)

(x, y) = k1(5, 2) + k2(-3, -2)

V = k1(5, 2) + k2(-3, -2)

Se puede demostrar que S es generador de R2 ya que cualquier vector en dichos espacios se puede escribir como combinacin lineal.

1. Dado el conjunto V = {v1, v2, v3} definido en R4. Donde v1 = (-1, 2, -3,5), v2 = (0, 1, 2, 1), v3 = (2, 0, 1, -2). Determinar si los vectores de V son linealmente independientes.

SolucinDado un conjunto de vectores S= { V1, V2, , Vk } en un espacio vectorial V se dice que S es linealmente independiente si la ecuacin C1V1 + C2V2 + + CkVk = 0

Por lo tanto

A la fila 1 la dividimos por -1

Si a la fila 2 le sumo la fila 1 multiplicado por -2, a la fila 3 le sumo la fila 1 multiplicada por 3 y a la fila 4 le sumo la fila 1 multiplicada por -5 la matriz reducida quedara

Para poder tener una solucin debemos seguir reduciendo la matriz entonces hacemos nuevamente las siguientes operaciones: a la fila 3 le sumo la fila 2 multiplicada por -2 y a la fila 4 le sumo la fila 2 multiplicado por -1

A la fila 3 la divido por -13

A la fila 4 le sumo la fila 3 multiplicada por -4

A la fila 2 le sumo la fila 3 multiplicada por -4 y a la fila 1 le sumo la fila 3 multiplicada por 2

Con lo anterior se deduce que

C1 = 0C2 = 0C3 = 0

Por lo tanto C1V1 + C2V2 + C3V3 = 0 es una solucin trivial por lo que se pudo de demostrar que los vectores V son linealmente independientes

1. Dada la matriz

Hallar el rango de dicha matriz.

Solucin

A la fila 2 le restamos la fila 1 multiplicada por 3 y a la fila 3 le restamos la fila 1 multiplicada por 3

Dividimos la fila 2 por -1

A la fila 1 le restamos la fila 2 y a la fila 3 le restamos la fila 2 multiplicada por 3

Dividimos la fila 3 por -42

A la fila 1 le restamos la fila 3 multiplicada por -6 y a la fila 2 le restamos la fila 3 multiplicada por 11

Al simplificar la matriz nos muestra que hay 3 fila no nulas por lo que se determina que el rango de la matriz es de 3.

1. Dados los vectores u = -6i + 9 j y v = -i + 9 j es correcto afirmar que el vector w = -11i - 9 j es una combinacin lineal de u y v ? Justifique su respuesta.

Solucin:

La forma de comprobar que W es una combinacin lineal de U y de V es hallando escalares tales que

Para esto hallamos la matriz y la reducimos por el mtodo de gauss jordan

Dividimos la primera fila por -6

De la fila 2 restamos la fila 1 multiplicada por 9

Dividimos la fila 2 por 45/6

De la fila 1restamos la fila 2 multiplicada por 1/6

Como se puede comprobar que el sistema es consistente se puede afirmar que el vector W es una combinacin lineal de los vectores U y V.

CONCLUSIONES

Se logr la trasferencia de conocimientos de los conceptos bsicos tericos prcticos a travs de anlisis y solucin de problemas y ejercicios; tambin se reconoce la importancia del dominio bsico de algebra lineal como formacin en cualquier rea permitindonos desarrollar competencias en cualquier campo.

BIBLIOGRAFIA

1. Ziga, C.A. (2010). Algebra lineal (1a. ed.). Bogot: Copyright UNAD

1. Multiplicacin de matrices. (s.f.). Recuperado el 5 de octubre de 2012 de http://www.youtube.com/watch?v=eRBuGozq6Us

Calculo del determinante. (s.f.). Recuperado el 4 de octubre de 2012 de http://www.youtube.com/watc