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Problemas de Hidrología

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CICLO HIDROLÓGICO

PROBLEMA 1 En la Figura 1 se muestra una cuenca donde se han seleccionado cinco estaciones pluviométricas, de las cuales se conocen las precipitaciones medias anuales (Tabla 1). Se pide:

1) Dibujar el gráfico de precipitaciones en función de la altura. Comentar los resultados.

2) Calcular la precipitación media anual aplicando el método de los polígonos de Thiessen, la media aritmética y el método de las isoyetas. Comentar los resultados.

3) Calcular el número de estaciones necesario para obtener una precisión del 10% en el cálculo de la precipitación media.

4) Rellenar el dato correspondiente a la estación A en el mes de febrero de 1990 (Tabla 1) utilizando las estaciones B, C y D.

5) Contrastar los datos de las estaciones B y C en el período comprendido entre 1979 y 1987 usando el método de las dobles masas (Tabla 2).

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

Figura 1. Cuenca


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Tabla 1. Precipitaciones año 1990.

ESTACIÓN ALTITUD (m) P febr. (mm) P jul. (mm) PMA A 38 - 16.9 997.4 B 460 54.9 4.9 1905.6 C 500 98.9 12.6 1663.8 D 905 124.9 6 1401 E 1249 90.5 19.4 1423.6

P febr.: precipitación total en el mes de febrero, P jul.: precipitación total en el mes de julio, PMA : Precipitación media anual en mm.

Tabla 2. Precipitaciones anuales totales en las estaciones B y C (mm).

AÑO ESTACION B ESTACIÓN C 1979 2077.4 2306.4 1980 1631.9 1649 1981 1754.2 1871.2 1982 1815.8 1878.1 1983 1610.6 1964.7 1984 2424.9 3412.7 1985 1937.2 2588.1 1986 1806.8 1645.1 1987 1802 1558.2

1) Si se representan los valores de lo Módulos Pluviométricos anuales medios de las cinco estaciones con respecto a la altitud (Tabla 1) se obtiene el gráfico siguiente:

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

1000

1200

1400

1600

1800

2000

E D

C

A

B

PREC

. (m

m)

ALTURA (m)

Figura 1.1. Representación de la Precipitación con respecto a la Altitud.


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De la Figura 1.1. se deduce que las precipitaciones medias anuales aumentan conforme la altitud es mayor, aunque dicho incremento no se cumple para altitudes superiores a los 430 m. Ello puede ser consecuencia a que no sólo la altitud influye sobre el valor de la precipitación, sino que la distancia al mar condiciona también dicho valor.

2) Para calcular la precipitación media en la cuenca se pueden aplicar los métodos

de los polígonos de Thiessen, de las isoyetas, una combinación de ambos métodos, o bien, una media aritmética. En nuestro caso vamos a aplicar el método simple de la media aritmética, el de los polígonos de Thiessen y el de las isoyetas.

a) Media aritmética

Se dispone de cinco estaciones, por lo que su media es:

( ) mm28.147814016.14238.16636.19054.99751Pma =++++⋅=

b) Polígonos de Thiessen

Se unen mediante una línea de trazos las estaciones con las que se encuentran más próximas, tal y como se representa en la siguiente figura

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

Figura 1.2. Método de los Polígonos de Thiessen. Unión de estaciones mediante líneas.


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A continuación se trazan las mediatrices de los segmentos anteriores, de tal forma que dichas mediatrices van delimitando las zonas de influencia de cada estación.

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

Figura 1.3. Método de los Polígonos de Thiessen. Mediatrices (trazo continuo).

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

Figura 1.4. Método de los Polígonos de Thiessen. Zona de influencia de cada estación.


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A cada estación le corresponde un área de influencia donde se supone que la precipitación ha sido homogénea. Dicha área está delimitada por las mediatrices y por el contorno de la cuenca, tal y como se puede apreciar en la Figura 1.4. Se trata de planimetrar cada área (por ejemplo, la zona rayada para la estación D) y realizar la media ponderada calculando el porcentaje de cada área con respecto al total de la superficie de la cuenca. De este modo, se obtiene para las cinco áreas de influencia:

521

552211Th A....AA

PA.....PAPAP

+++⋅++⋅+⋅

=

1401152.06.1423304.08.1663152.06.1905218.04.997174.0PTh ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

mm37.1487PTh =

c) Isoyetas

En este caso se trazan líneas de igual precipitación interpolando a partir de los Módulos Pluviométricos anuales medios medidos en cada estación (ver Figura 1.5).

1000

1200

1400

1600

1800

2000

A

B

C

D

E

1000

1200

1400

1600

1800

2000

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

Figura 1.5. Método de las Isoyetas. Trazado de las líneas de igual precipitación.


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Una vez trazadas las isoyetas se planimetra la superficie comprendida entre isoyetas consecutivas con el propósito de asignarle a dicha área la precipitación media cuyas isoyetas limita, tal y como se muestra en la Figura 1.6.

A

B

C

D

E

1000

1200

1400

1600

1800

2000

ISOYETAS

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

1000

1200

1400

1600

1800

2000

ISOYETAS

Figura 1.6. Método de las Isoyetas. Área comprendida entre isoyetas.

La precipitación media obtenida aplicando este método consiste en asignar a cada isoyeta un área de influencia o a cada área comprendida entre dos isoyetas consecutivas una precipitación media de los valores que tienen ambas. En nuestro caso se obtiene:

( ) ( ) ( )

1n21

n1n1n

322

211

Is A....AA2

PPA.....2PPA2

PPAP

−

−−

+++

+⋅+++⋅++⋅=

( ) ( ) ( )[ (

)] ( ) ( ) ( )[ ] mm8.15102000152.02000180013.01800160013.0211600

1400152.014001200195.012001000152.01000086.021PIs

=⋅++⋅++⋅⋅+

+⋅++⋅++⋅+⋅⋅=

Los resultados obtenidos aplicando los tres métodos proporcionan valores similares a pesar de las diferencias cuantitativas de los Módulos Pluviométricos que presentan las estaciones. La ubicación de éstas, y el área de influencia, también ha influido en los resultados obtenidos.


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3) Para calcular el número de estaciones necesarias para obtener una precisión del 10% en el cálculo de la precipitación media aplicaremos las siguientes expresiones:

2vC

N

ε=

siendo N el número de estaciones y ε es el tanto por cien de error para estimar la lluvia media,

P100C 1m

v−σ⋅

= ; ∑=

=m

1iiP

m1P ;

( )1m

PPm

1i

2i

1m −

−=σ

∑=

−

Sustituyendo valores:

( ) mm28.147814016.14238.16636.19054.99751P =++++⋅=

( )mm09.338

1m

PPm

1i

2i

1m =−

−=σ

∑=

−

En consecuencia,

87.2228.1478

09.338100P

100C 1mv =

⋅=

σ⋅= −

y

estaciones623.510

87.22CN

22v ≈=

=

ε=

4) Para estimar y rellenar el dato que falta en el mes de febrero hay que tener en

cuenta los módulos pluviométricos anuales medios de cada una de las tres estaciones. Como éstos difieren entre sí en mas de un 10%, aplicaremos una expresión ponderada:

++=

D

AD

C

AC

B

ABA N

NP

NN

PNN

P31P

mm98.581401

4.9979.1248.16634.9979.98

6.19054.9979.54

31PA =

⋅+⋅+⋅=


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5) El método de la doble masa consiste en representar los valores acumulados de las precipitaciones en un sistema de ejes cartesiano y comprobar si dichos datos representados se encuentran en una recta o si, por el contrario, se alejan de ella

Tabla 1.1. Valores acumulados de precipitaciones

AÑO ESTACION B ESTACIÓN C PREC. ACUM. B PREC. ACUM. C1979 2077.4 2306.4 2077.4 2306.4 1980 1631.9 1649 3709.3 3955.4 1981 1754.2 1871.2 5463.5 5826.6 1982 1815.8 1878.1 7279.3 7704.7 1983 1610.6 1964.7 8889.9 9669.4 1984 2424.9 3412.7 11314.8 13082.1 1985 1937.2 2588.1 13252 15670.2 1986 1806.8 1645.1 15058.8 17315.3 1987 1802 1558.2 16860.8 18873.5

Representando

0 4000 8000 12000 160000

4000

8000

12000

16000

20000

Esta

ción

C

Estación B

Figura 1.7. Contraste de estaciones.

De la Figura 1.7 se deduce que las estaciones están bien contrastadas y que a partir de una de ellas se pueden extrapolar datos incompletos en la otra.


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PROBLEMA 2 Dadas las precipitaciones máximas diarias registradas en una estación (Tabla 1), se pide calcular la precipitación diaria máxima para los períodos de retorno de 10 y 50 años.

Tabla 1. Precipitaciones máximas diarias (mm).

AÑO 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 PREC. 31.6 38.7 29.7 31.2 60.5 31.5 46 57.5 37.8 AÑO 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978

PREC. 77.2 65 50 45 72.8 57.3 31.2 56 40.5

Para resolver el problema hay que seguir los siguientes pasos:

a) Ordenar de mayor a menor todos los datos b) Asignar a cada valor un número ordinal que representa el número de veces que

dicho valor se ha igualado o superado c) A cada valor asignarle la probabilidad o frecuencia relativa

1nmP+

=

donde m es el número ordinal y n el número de datos totales correspondientes a los n años.

d) La inversa de la frecuencia relativa será el período de retorno e) Dibujar en un gráfico, semilogarítmico en abscisas, las precipitaciones máximas

en función de los períodos de retorno o recurrencia

En la Tabla 2.1 se presentan los pasos anteriores

Tabla 2.1. Cálculo del período de retorno.

m Prec. 1n

mP+

=P1T = m Prec.

1nmP+

= P1T =

1 77.2 0.052 19 10 45 0.526 1.9 2 72.8 0.105 9.5 11 40.5 0.578 1.72 3 65 0.157 6.33 12 38.7 0.631 1.58 4 60.5 0.21 4.75 13 37.8 0.684 1.46 5 57.5 0.26 3.8 14 31.6 0.736 1.357 6 57.3 0.31 3.16 15 31.5 0.789 1.26 7 56 0.368 2.71 16 31.2 0.842 1.187 8 50 0.421 2.375 17 31.2 0.894 1.11 9 46 0.473 2.11 18 29.7 0.947 1.05


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En la Tabla 2.1 se puede comprobar que el valor 31.2 mm de precipitación se repite. Para elaborar dicha tabla hay que escribir todos los valores y, en aquellos que se repitan, asignarle la probabilidad más alta (período de retorno menor). En la Figura 2.1 se ha representado, en escala semilogarítmica, la precipitación máxima diaria con respecto al período de retorno. Posteriormente, se ha dibujado la recta de regresión y, a partir de ella, se han obtenido los valores de la precipitación máxima diaria para los períodos de retorno de 10 y 50 años.

1 10 100

30

40

50

60

70

80

90

100

50

P d

T

Figura 2.1. Precipitación máxima diaria con respecto al período de Retorno

Para un período de retorno de 10 años se ha obtenido un valor de

mm69Pd =

valor que resulta más bajo que los valores de 77.2 mm y 72.8 mm de los períodos de retorno de 19 y 9.5 años, respectivamente. Ello es debido a la recta de regresión que no pasa por todos los puntos dibujados. Por ello, cuantos más datos se tengan de series históricas mejores resultados se obtendrán. Para un período de retorno de 50 años se ha obtenido un valor de

mm95Pd =


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PROBLEMA 3 Tomando los datos anuales de una estación genérica A (43º 18’ 15” N, 08º 22’ 42”) (Tabla 1) se pide, calcular la ETP utilizando los métodos de Thornthwaite y Turc y Penman en el año 1983 y suponiendo que la cuenca está constituida por un 40% de bosque de pináceas, un 20% de bosque de frondosas, un 25% de praderas y cultivos (albedo 0,24), un 7,5% de labor intensa (zonas urbanizadas) y un 7,5% de matorral sin arbolado (albedo 0,16).

Tabla 1. Datos anuales.

MES T medias (ºC)

HUMEDAD (%)

VEL. VIENTO (km/d)

HORAS DE SOL (%)

Octubre 14.9 77 165 50 Noviembre 14.2 82 199 28 Diciembre 10 75 259 32

Enero 9.5 73 218 42 Febrero 7.9 80 222 25 Marzo 11.2 76 194 36 Abril 11.1 74 277 29 Mayo 12.4 78 257 34 Junio 16.9 71 218 46 Julio 18.9 81 189 30

Agosto 19.2 80 177 33 Septiembre 18.3 76 190 50

Método de Thornthwaite Se calcula la ETP a partir del índice de calor mensual y anual, y la temperatura T

( ) 514.15Ti = Índice de calor mensual

∑=12

1iI Índice de calor anual

( )a

IT1016KETP ⋅⋅⋅= ETP en mm/mes

donde

49239.0I101792I10771I10675a 52739 +⋅+⋅−⋅= −−−

30d

12NK ⋅=


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siendo d el número de días del mes y N el número máximo de horas de sol que depende de la latitud y del mes. Para calcular N se ha interpolado los valores correspondientes a los 40º y 45º para cada mes de la Tabla 3.1, ya que la posición de la estación es de 43º 18’ 15”.

Tabla 3.1. Número máximo diario de horas de sol según latitud Norte en h/d.

Lat. Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sept. Oct. Nov. Dic.0º 12.1 12.1 12.1 12.1 12.1 12.1 12.1 12.1 12.1 12.1 12.1 12.1

5º 11.9 12.0 12.1 12.2 12.4 12.4 12.3 12.3 12.1 12.0 11.9 11.8 10º 11.6 11.8 12.1 12.3 12.6 12.7 12.6 12.4 12.2 11.9 11.7 11.5 15º 11.4 11.6 12.1 12.4 12.8 13.0 12.9 12.6 12.2 11.8 11.4 11.2

20º 11.1 11.4 12.0 12.6 13.1 13.3 13.2 12.8 12.3 11.7 11.2 10.9 25º 10.8 11.3 12.0 12.8 13.4 13.7 13.6 13.0 12.3 11.6 10.9 10.6

30º 10.5 11.1 12.0 12.9 13.7 14.1 13.9 13.2 12.4 11.5 10.7 10.2 35º 10.2 10.9 12.0 13.1 14.1 14.6 14.3 13.5 12.4 11.3 10.3 9.8

40º 9.7 10.6 12.0 13.3 14.4 15.0 14.7 13.7 12.5 11.2 10.0 9.4 45º 9.2 10.4 11.9 13.6 14.9 15.6 15.3 14.1 12.5 11.0 9.5 8.8 50º 8.6 10.1 11.9 13.8 15.5 16.3 15.9 14.5 12.6 10.8 9.1 8.1 55º 7.7 9.6 11.8 14.2 16.4 17.5 17.0 15.1 12.7 10.4 8.4 7.2

60º 6.8 9.1 11.8 14.6 17.2 18.7 18.0 15.6 12.7 10.1 7.6 6.3

En la Tabla 3.2 se muestran los distintos valores obtenidos de los diferentes parámetros para calcular la ETP mensual.

Tabla 3.2. Cálculo de la ETP mediante el método de Thornthwaite

MES T (ºC) i I N a K ETP (mm/mes) Octubre 14.9 5.22 56.82 11.07 1.38 0.953 57.67

Noviembre 14.2 4.85 56.82 9.67 1.38 0.806 45.64 Diciembre 10 2.85 56.82 9 1.38 0.775 27.05

Enero 9.5 2.64 56.82 9.37 1.38 0.806 26.21 Febrero 7.9 1.99 56.82 10.47 1.38 0.814 20.52 Marzo 11.2 3.39 56.82 11.93 1.38 1.027 41.91 Abril 11.1 3.34 56.82 13.5 1.38 1.125 45.35 Mayo 12.4 3.95 56.82 14.74 1.38 1.27 59.63 Junio 16.9 6.32 56.82 15.4 1.38 1.28 92.17 Julio 18.9 7.48 56.82 15.1 1.38 1.3 109.25

Agosto 19.2 7.66 56.82 13.97 1.38 1.203 103.3 Septiembre 18.3 7.13 56.82 12.5 1.38 1.041 83.66


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Método de Turc Para estimar la ETP mediante el método de Turc es necesario conocer la humedad relativa media mensual, la temperatura, posición de la estación y las horas reales de insolación. La ETP se calcula aplicando la siguiente expresión:

( ) ( )ε⋅+⋅

+⋅= g50R

15TT4.0ETP i

donde T es la temperatura media diaria en ºC y g(ε) es una función de la humedad relativa ε cuya expresión es

( )

<ε⇒

ε−

+

≥ε⇒=ε

%5070

501

%501g

y Ri viene dado por

⋅+⋅=

Nn62.018.0RR ai

donde Ra es la intensidad teórica de radiación incidente sobre una superficie horizontal, suponiendo que no existe atmósfera en cal/cm2.d. Su valor depende del mes y la latitud, n el número real de horas de insolación y N el número máximo de horas de insolación (Tabla 3.1).

Tabla 3.3. Intensidad teórica de radiación incidente en cal/cm2.d

Lat. Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sept. Oct. Nov. Dic.0º 858 888 890 862 816 790 804 833 875 880 860 842 5º 809 855 882 878 851 832 842 857 874 855 814 789

10º 759 821 873 894 885 873 879 880 872 830 767 735 15º 701 777 854 898 908 904 905 891 858 793 712 673 20º 642 732 834 902 930 934 930 902 843 755 656 610 25º 575 678 799 891 940 954 942 896 815 708 593 539 30º 508 624 764 880 950 972 955 891 788 658 528 469 35º 436 559 719 856 947 979 957 874 749 597 459 395 40º 364 495 673 833 944 985 958 858 710 536 390 323 45º 293 427 616 798 932 984 948 829 658 470 317 251 50º 222 360 560 764 920 983 938 800 607 404 246 180 55º 155 288 496 720 900 977 923 764 547 333 179 118 60º 88 215 432 676 880 970 908 728 487 262 111 56

En nuestro caso al ser la humedad relativa superior al 50% la función g(ε) es igual a 1. Los valores de N ya han sido interpolados en la Tabla 3.1 en el apartado anterior. El


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valor Ra se calculará a partir de la Tabla 3.3 interpolando entre la latitud 40º y 45º para cada mes. Con todos estos datos se ha elaborado la Tabla 3.4 donde se muestran los valores de los diferentes parámetros estimados y conocidos.

Tabla 3.4. Cálculo de la ETP mediante el método de Turc

MES T (ºC) Ra N n/N ε g(ε) ETP (mm/mes) Octubre 14.9 492.44 11.07 0.50 77 1 58.06

Noviembre 14.2 341.82 9.67 0.28 82 1 33.23 Diciembre 10 275.48 9 0.32 75 1 24.67

Enero 9.5 317.14 9.37 0.42 73 1 29.41 Febrero 7.9 450.12 10.47 0.25 80 1 27.7 Marzo 11.2 635.38 11.93 0.36 76 1 52.35 Abril 11.1 809.9 13.5 0.29 74 1 58.07 Mayo 12.4 937.78 14.74 0.34 78 1 75.39 Junio 16.9 984.34 15.4 0.46 71 1 107.63 Julio 18.9 951.4 15.1 0.30 81 1 88.8

Agosto 19.2 838.86 13.97 0.33 80 1 83.67 Septiembre 18.3 675.68 12.5 0.50 76 1 83.76

En este caso en el enunciado del problema se aportan directamente los valores de la relación n/N en tanto por cien. En la Tabla 3.4 aparecen en tanto por uno. Método de Penman Para estimar la ETP por el método de Penman se necesitan, además de la posición de la estación, la humedad relativa, el número de horas reales de insolación, velocidad del viento, temperatura y tipo de superficie. La expresión que se aplica es:

dfEETP ⋅⋅=

siendo f un coeficiente reductor que depende del mes (Tabla 3.5), d el número de días del mes y E la evapotranspiración en mm/d y cuya expresión viene dada por:

1

ERE

an

+γ∆

+γ∆

=

con ∆ (pendiente de la curva de vapor saturante) obtenida interpolando a partir de la Tabla 3.6.


15

Tabla 3.5. Coeficiente reductor.

MES f Enero 0.6

Febrero 0.6 Marzo 0.7 Abril 0.7 Mayo 0.8 Junio 0.8 Julio 0.8

Agosto 0.8 Septiembre 0.7

Octubre 0.7 Noviembre 0.6 Diciembre 0.6

Tabla 3.6. Relación ∆/(∆+γ). T en ºC.

T ∆/(∆+γ) T ∆/(∆+γ) T ∆/(∆+γ) T ∆/(∆+γ) 0. 0.401 8. 0.522 16. 0.633 24. 0.725

0.5 0.409 8.5 0.530 16.5 0.640 24.5 0.730 1. 0.418 9. 0.537 17. 0.646 25. 0.735

1.5 0.426 9.5 0.544 17.5 0.652 25.5 0.740 2. 0.432 10. 0.552 18. 0.658 26. 0.745

2.5 0.440 10.5 0.559 18.5 0.664 26.5 0.750 3. 0.448 11. 0.566 19. 0.670 27. 0.755

3.5 0.445 11.5 0.573 19.5 0.676 27.5 0.760 4. 0.462 12. 0.580 20. 0.682 28. 0.764

4.5 0.470 12.5 0.587 20.5 0.688 28.5 0.768 5. 0.478 13. 0.593 21. 0.694 29. 0.772

5.5 0.485 13.5 0.600 21.5 0.699 29.5 0.776 6. 0.493 14. 0.607 22. 0.705 30. 0.780

6.5 0.500 14.5 0.614 22.5 0.710 7. 0.508 15. 0.621 23. 0.715

7.5 0.515 15.5 0.627 23.5 0.720

Rn es la radiación neta, expresada en mm de agua que puede evaporar en un día:

lNn cRR =

donde cl es el calor de vaporización (Tabla 3.7) y RN es la radiación neta en cal/cm2/d:

( ) eiN R1RR −α−⋅=

Ri se calcula a partir de


16

⋅+⋅=

Nn55.018.0RR ai

donde Ra se ha calculado previamente en el apartado anterior y n/N es conocido. α es el albedo y se estima a partir de los datos del enunciado y de la Tabla 3.8 y Re (radicación emitida) se calcula con la siguiente expresión:

( )

−⋅−⋅⋅−⋅⋅=

Nn19.01e092.056.0T0.826·101440R d

4a

10-e

con la presión de vapor

100ee ad

ε⋅=

siendo la tensión de saturación ea dada en función de la temperatura (Tabla 3.9).

Tabla 3.7. Calor de vaporización necesario para evaporar 1 mm de agua por cada cm2 de superficie (en calorías).

T(ºC) cl T(ºC) cl T(ºC) cl T(ºC) cl

0 59.6 8 59.1 16 58.7 24 58.3 1 59.6 9 59.1 17 58.7 25 58.2 2 59.5 10 59. 18 58.6 26 58.2 3 59.5 11 59. 19 58.6 27 58.2 4 59.4 12 58.9 20 58.5 28 58.1 5 59.3 13 58.9 21 58.5 29 58.1 6 59.3 14 58.8 22 58.4 30 58. 7 59.2 15 58.8 23 58.3

Tabla 3.8. Valores de albedo para distintas superficies evaporantes.

Superficie evaporante α Superficie evaporante α Agua libre a T < 30 ºC 0.02-0.06 Césped verde 0.26 Agua libre a T > 30 ºC 0.06-0.4 Césped seco 0.19

Arcillas húmedas 0.02-0.08 Hielo 0.36-0.5 Arcillas secas 0.16 Lechugas 0.22 Arenas claras 0.34-0.4 Limos 0.16-0.23

Arenas oscuras 0.35 Nieve 0.4-0.9 Arenas ribereñas 0.43 Patatas 0.19

Bosques de pináceas 0.1-0.14 Rocas 0.12-0.15 Bosques de frondosas 0.18 Sabanas 0.05-0.22

Cereales 0.1-0.25 Zonas urbanizadas 0.15-0.25


17

Tabla 3.9. Tensión de vapor saturante (en mm de Hg) a la temperatura T (en ºC).

T ea T ea T ea T ea 0. 4.6 8. 8.0 16. 13.6 24. 22.4

0.5 4.8 8.5 8.3 16.5 14.1 24.5 23.0 1. 4.9 9. 8.6 17. 14.5 25. 23.8

1.5 5.1 9.5 8.9 17.5 15.0 25.5 24.5 2. 5.3 10. 9.2 18. 15.5 26. 25.3

2.5 5.5 10.5 9.5 18.5 16.0 26.5 26.0 3. 5.7 11. 9.8 19. 16.5 27. 26.7

3.5 5.9 11.5 10.2 19.5 17.0 27.5 27.5 4. 6.1 12. 10.5 20. 17.5 28. 28.3

4.5 6.3 12.5 10.9 20.5 18.1 28.5 29.2 5. 6.5 13. 11.2 21. 18.7 29. 30.0

5.5 6.8 13.5 11.6 21.5 19.2 29.5 30.9 6. 7.0 14. 12.0 22. 19.8 30. 31.8

6.5 7.3 14.5 12.4 22.5 20.4 7. 7.5 15. 12.8 23. 21.1

7.5 7.8 15.5 13.2 23.5 21.7

Por último Ea viene dado en mm/d en función del déficit higrométrico y la velocidad del viento V2 (m/s):

( ) ( )da2a eeV54.05.035.0E −⋅⋅+⋅=

El albedo se estima a partir de la media ponderada siguiente (Tabla 3.10):

Tabla 3.10. Albedo.

ALBEDO (%) α TOTAL Bosque Pináceas 40 0.12 0.048 Bosque frondosas 20 0.18 0.036

Praderas y cultivos 25 0.24 0.06 Labor intensa 7.5 0.2 0.015

Matorral 7.5 0.16 0.012 SUMA 0.173

En la Tabla 3.11 se estima la radiación emitida a partir de la presión de vapor y el número de horas reales de insolación. En la Tabla 3.12 se calcula la radiación incidente a partir de las horas de insolación y en la Tabla 3.13 la radiación neta teniendo en cuenta el calor latente de vaporización y el albedo. Por último ,Ea se calcula en la Tabla 3.14 y en la Tabla 3.15 el valor de la ETP.


18

Tabla 3.11. Radiación emitida.

MES T (ºC) ea ε ed n/N Re

Octubre 14.9 12.72 77 9.79 0.50 122.24 Noviembre 14.2 12.16 82 9.97 0.28 73.47 Diciembre 10 9.2 75 6.9 0.32 108.16

Enero 9.5 8.9 73 6.49 0.42 117.68 Febrero 7.9 7.96 80 6.36 0.25 78.7 Marzo 11.2 9.96 76 7.56 0.36 100.67 Abril 11.1 9.88 74 7.31 0.29 86.99 Mayo 12.4 10.82 78 8.43 0.34 93.55 Junio 16.9 14.42 71 10.23 0.46 114.43 Julio 18.9 16.4 81 13.28 0.30 71.56

Agosto 19.2 16.7 80 13.36 0.33 76.76 Septiembre 18.3 15.8 76 12 0.50 113.52

Tabla 3.12. Radiación incidente.

MES T (ºC) Ra n/N Ri Octubre 14.9 492.44 0.50 224.06

Noviembre 14.2 341.82 0.28 114.16 Diciembre 10 275.48 0.32 98.07

Enero 9.5 317.14 0.42 130.34 Febrero 7.9 450.12 0.25 142.91 Marzo 11.2 635.38 0.36 240.17 Abril 11.1 809.9 0.29 274.96 Mayo 12.4 937.78 0.34 344.16 Junio 16.9 984.34 0.46 426.21 Julio 18.9 951.4 0.30 328.23

Agosto 19.2 838.86 0.33 303.24 Septiembre 18.3 675.68 0.50 307.43

Comparando la Tabla 3.11 con la Tabla 3.12 se puede comprobar que los meses de Enero y Diciembre la radiación incidente multiplicada por (1-α) es inferior a la reflejada por lo que la radiación neta ha de ser nula puesto que no se puede reflejar radiación si no hay radiación incidente; es decir, se refleja aquella radiación que incide. Por ello, en la Tabla 3.13 los valores de la radiación neta en dichos meses es nula, puesto que

0RRRR aarglondareflejada

cortaondareflejadaiN ≤−−=


19

Tabla 3.13. Radiación neta

MES T c1 Ri α Ri(1-α) Re RN Rn Octubre 14.9 58.8 224.06 0.173 185.3 122.24 63.05 1.07

Noviembre 14.2 58.8 114.16 0.173 94.41 73.47 20.9 0.35 Diciembre 10 59 98.07 0.173 81.1 108.16 0 0

Enero 9.5 59.05 130.34 0.173 107.79 117.68 0 0 Febrero 7.9 59.1 142.91 0.173 118.18 78.7 39.48 0.66 Marzo 11.2 59 240.17 0.173 198.62 100.67 97.95 1.66 Abril 11.1 59 274.96 0.173 227.39 86.99 140.4 2.37 Mayo 12.4 58.9 344.16 0.173 284.62 93.55 191.07 3.24 Junio 16.9 58.7 426.21 0.173 352.47 114.43 238.04 4.05 Julio 18.9 58.6 328.23 0.173 271.44 71.56 199.8 3.41

Agosto 19.2 58.58 303.24 0.173 250.78 76.76 174.01 2.97 Septiembre 18.3 58.6 307.43 0.173 254.24 113.52 140.7 2.4

Tabla 3.14. Cálculo de Ea

MES T (ºC) ea ed V2 Ea Octubre 14.9 12.72 9.79 165 1.57

Noviembre 14.2 12.16 9.97 199 1.33 Diciembre 10 9.2 6.9 259 1.69

Enero 9.5 8.9 6.49 218 1.56 Febrero 7.9 7.96 6.36 222 1.04 Marzo 11.2 9.96 7.56 194 1.43 Abril 11.1 9.88 7.31 277 2 Mayo 12.4 10.82 8.43 257 1.75 Junio 16.9 14.42 10.23 218 2.72 Julio 18.9 16.4 13.28 189 1.82

Agosto 19.2 16.7 13.36 177 1.87 Septiembre 18.3 15.8 12 190 2.23

Comparando los resultados obtenidos con los distintos métodos, el método que tiene en cuenta más parámetros hidrometeorológicos es el de Penman, por lo que es el que proporciona datos más acordes con la realidad, aunque, lógicamente, la aplicación de un método u otro dependerá de las posibilidades de medición de todos los parámetros necesarios. El método de Thornthwaite es el método que necesita menos parámetros para estimar la ETP y el de Penman el que más parámetros precisa.


20

Tabla 3.15. Cálculo de la ETP (mm/mes).

MES T (ºC) ∆/γ Rn Ea E f d ETP

Octubre 14.9 1.63 1.07 1.57 1.26 0.7 31 27.34 Noviembre 14.2 1.56 0.35 1.33 0.73 0.6 30 13.19 Diciembre 10 1.23 0 1.69 0.75 0.6 31 14.09

Enero 9.5 1.2 0 1.56 0.70 0.6 31 13.18 Febrero 7.9 1.09 0.66 1.04 0.84 0.6 28 14.14 Marzo 11.2 1.31 1.66 1.43 1.56 0.7 31 33.86 Abril 11.1 1.3 2.37 2 2.20 0.7 30 46.39 Mayo 12.4 1.41 3.24 1.75 2.62 0.8 31 65.01 Junio 16.9 1.81 4.05 2.72 3.57 0.8 30 85.84 Julio 18.9 2.02 3.41 1.82 2.88 0.8 31 71.51

Agosto 19.2 2.04 2.97 1.87 2.60 0.8 31 64.68 Septiembre 18.3 1.95 2.4 2.23 2.34 0.7 30 49.18


21

PROBLEMA 4 Con los datos de precipitaciones que se incluyen en la Tabla 1, se pide calcular la escorrentía superficial con el método del Número de Curva para los aguaceros producidos entre el 17 y el 24 de Abril, el 7 y el 8 de Octubre, el 20 de Octubre y el 3 de Noviembre y el 9 y el 13 de Diciembre de 1990, sabiendo que los datos han sido tomados en la estación termopluviométrica de Alvedro (Coruña), y la vegetación de la cuenca está dividida en tres partes iguales aproximadamente de: cultivos y praderas (tomar los datos correspondientes a praderas permanentes), matorrales (sin cultivo) y arbolado (bosque natural normal). Cada parte tiene un 10% de suelo caracterizado por arenas con poco limo, un 60% de arenas finas, un 15% de arenas muy finas y un 15% de arcillas. Comparar los valores de Pn en función de P para los cuatro aguaceros. Comentar los resultados. Para el aguacero del 17 al 24 de Abril, se pide realizar el cálculo de la precipitación neta diaria.

Tabla 1. Precipitaciones diarias para distintos aguaceros.

AGUACERO DÍAS PRECIPITACIÓN (mm)

1

17 abril 18 abril 19 abril 20 abril 21 abril 22 abril 23 abril 24 abril

6.5 4.6

12.9 3.5 7.6

13.9 5.5 3.5

2 7 octubre 8 octubre

16.6 4.5

3

20 octubre 21 octubre 22 octubre 23 octubre 24 octubre 25 octubre 26 octubre 27 octubre 28 octubre 29 octubre 30 octubre 31 octubre

1 noviembre 2 noviembre 3 noviembre

13.4 12.2 7.5

16.3 15.6 17.5 15.4 20.5 13.2 16.5 20.4 20.6 16.5 14.2 3.2

4

9 diciembre 10 diciembre 11 diciembre 12 diciembre 13 diciembre

2.5 27.6

3 4.5 2.2


22

Nota: Para todos los aguaceros se tendrá en cuenta que la lluvia en los cinco días anteriores ha sido inferior a 25 mm. En primer lugar se evalúa el valor del Número de curva teniendo en cuenta las Tablas 4.1 y 4.2.

Tabla 4.1. Valores de N (no corregidos).

Uso de la tierra y cobertura

Tratamiento del suelo

Pendiente del terreno

Tipo de suelo

A B C D Sin cultivo Surcos rectos -- 77 86 91 94 Cultivos en surco Surcos rectos

Surcos rectos Contorneo Contorneo Terrazas Terrazas

> 1 % < 1 % > 1 % < 1 % > 1 % < 1 %

72 67 70 65 66 62

81 78 79 75 74 71

88 85 84 82 80 78

91 89 88 86 82 81

Cereales Surcos rectos Surcos rectos Contorneo Contorneo Terrazas Terrazas

> 1 % < 1 % > 1 % < 1 % > 1 % < 1 %

65 63 63 61 61 59

76 75 74 73 72 70

84 83 82 81 79 78

88 87 85 84 82 81

Leguminosas o praderas con rotación

Surcos rectos Surcos rectos Contorneo Contorneo Terrazas Terrazas

> 1 % < 1 % > 1 % < 1 % > 1 % < 1 %

66 58 64 55 63 51

77 72 75 69 73 67

85 81 83 78 80 76

89 85 85 83 83 80

Pastizales Contorneo Contorneo

> 1 % < 1 % > 1 % < 1 %

68 39 47 6

79 61 67 35

86 74 81 70

89 80 88 79

Pradera permanente < 1 % 30 58 71 78 Bosques naturales: Muy ralo Ralo Normal Espeso Muy espeso

56 46 36 26 15

75 68 60 52 44

86 78 70 62 54

91 84 77 69 61

Caminos: De terracería Con superficie dura

72 74

82 84

87 90

89 92


23

Tabla 4.2. Tipos de suelos en función de la textura.

Tipo de suelo

Textura del suelo

A Arenas con poco limo y arcilla; suelos muy permeables B Arenas finas y limos C Arenas muy finas, limos, suelos con alto contenido en arcilla D Arcillas en grandes cantidades; suelos poco profundos con

subhorizontes de roca sana; suelos muy impermeables

Se trata de calcular una media ponderada de los números de curva asignados a cada tipo de vegetación y suelo con los porcentajes dados en el enunciado. En la Tabla 4.3 se muestran los valores seleccionados de la tabla 4.1 para el cálculo de N.

Tabla 4.3. Selección de los Número de Curva.

VEGETACIÓN SUELO BOSQUE

NATURAL 33%SIN CULTIVO

33% PRADERA

33% Arenas con poco limo (A) 10% 36 77 30

Arenas finas (B) 60% 60 86 58 Arenas muy finas (C) 15% 70 91 71

Arcillas (D) 15% 77 94 78

El valor de N ponderado será:

( ) ( ) ( )( ) 61.6933.078947715.0

33.071917015.033.05886606.033.03077361.0N=⋅++⋅

+⋅++⋅+⋅++⋅+⋅++⋅=

Debido a que la lluvia los cinco días anteriores a cada aguacero fue inferior a los 25 mm el valor de N se corrige de acuerdo con la corrección A de la Tabla 4.4

Tabla 4.4. Valores de N corregidos.

N N con corrección A N con corrección B 0 0 0 10 4 22 20 9 37 30 15 50 40 22 60 50 31 70 60 40 78 70 51 85 80 63 91 90 78 96 100 100 100


24

El valor de N está comprendido entre 60 y 70, por lo que interpolando se obtiene el valor de la Tabla 4.5.

Tabla 4.5. Valores de N corregidos para cada aguacero.

AGUACERO PRECIPITACIÓN LOS 5 DÍAS ANTERIORES CORRECCIÓN N

CORREGIDO1 P5 < 25 mm A 50.57 2 P5 < 25 mm A 50.57 3 P5 < 25 mm A 50.57 4 P5 < 25 mm A 50.57

Una vez calculado N se estima el umbral de escorrentía según:

mm65.49cm965.408.557.50

50808.5N

508P0 ==−=−=

que será el mismo para los cuatro aguaceros ya que el N es el mismo. Para calcular el coeficiente de escorrentía para cada aguacero se estima la precipitación total de cada uno de ellos.

Tabla 4.6. Precipitación acumulada Aguacero 1. AGUACERO FECHA P (mm) P ACUMULADO (mm)

17 ABRIL 6.5 6.5 18 ABRIL 4.6 11.1 19 ABRIL 12.9 24 1 20 ABRIL 3.5 27.5 21 ABRIL 7.6 35.1 22 ABRIL 13.9 49 23 ABRIL 5.5 54.5 24 ABRIL 3.5 58


2 7 OCTUBRE 16.6 16.6 8 OCTUBRE 4.5 21.1


25


20 OCTUBRE 13.4 13.4 21 OCTUBRE 12.2 25.6 22 OCTUBRE 7.5 33.1 23 OCTUBRE 16.3 49.4 24 OCTUBRE 15.6 65 25 OCTUBRE 17.5 82.5 26 OCTUBRE 15.4 97.9 3 27 OCTUBRE 20.5 118.4 28 OCTUBRE 13.2 131.6 29 OCTUBRE 16.5 148.1 30 OCTUBRE 20.4 168.5 31 OCTUBRE 20.6 189.1 1 NOVIEMBRE 16.5 205.6 2 NOVIEMBRE 14.2 219.8 3 NOVIEMBRE 3.2 223


9 DICIEMBRE 2.5 2.5 10 DICIEMBRE 27.6 30.1 4 11 DICIEMBRE 3 33.1 12 DICIEMBRE 4.5 37.6 13 DICIEMBRE 2.2 39.8

Para calcular el coeficiente de escorrentía se aplican las siguientes fórmulas:

( )0

20

n P4PPP

P+−

=

PPC n=

En la Tabla 4.10 se muestran los cálculos realizados. En aquellos aguaceros cuyo valor total de precipitación es inferior al umbral de escorrentía el coeficiente es nulo ya que no se ha producido la suficiente lluvia para alcanzar el valor a partir del cual se comienza a generar la escorrentía superficial.


26

Tabla 4.10. Coeficientes de escorrentía para cada aguacero

AGUACERO N P0 (mm) P (mm) Pn (mm) C

1 50.57 49.65 58 0.27 0.004 2 50.57 49.65 21.1 - - 3 50.57 49.65 223 71.26 0.32 4 50.57 49.65 39.8 - -

Para el primer aguacero, si se quiere calcular el coeficiente de escorrentía diario, se aplicará la misma metodología. En la Tabla 4.11 se muestran los resultados diarios del coeficiente de escorrentía. Se puede apreciar que hasta que la lluvia acumulada no supera el umbral de escorrentía no se produce ésta, lo cual ocurre a partir del 23 de Abril.

Tabla 4.11. Coeficientes de escorrentía para cada aguacero

FECHA P0 (mm) P (mm) Pn (mm) C 17 ABRIL 49.65 6.5 - - 18 ABRIL 49.65 11.1 - - 19 ABRIL 49.65 24 - - 20 ABRIL 49.65 27.5 - - 21 ABRIL 49.65 35.1 - - 22 ABRIL 49.65 49 - - 23 ABRIL 49.65 54.5 0.093 0.0017 24 ABRIL 49.65 58 0.271 0.0046


27

PROBLEMA 5 Un aguacero de 10 cm de lluvia ha producido una Escorrentía Superficial de 5.8 cm, medida al aforar el río al que vierte la cuenca. Se conoce el hidrograma de la lluvia, se pide estimar el índice de infiltración φ sin tener en cuenta la Interceptación, la Detención Superficial y la Evapotranspiración.

Tabla 1. Precipitación en cada hora

Tiempo (h) 1 2 3 4 5 6 7 8 Precipitación en cada

hora (cm) 0.4 0.9 1.5 2.3 1.8 1.6 1.0 0.5

Al no existir Retención Superficial ni Evapotranspiración todo aquello que no se infiltra escurre superficialmente. En esta caso sabiendo que la precipitación total es 10 cm (0.4 + 0.9 + 1.5 + 2.3 + 1.8 + 1.6 + 1.0 + 0.5 = 10 cm) y la escorrentía superficial es 5.8 cm, la infiltración será:

cm2.48.510Inf =−=

Como el aguacero ha durado 8 h, el índice de infiltración es:

h/cm525.082.4

==φ

Al ser este valor mayor que 0.4 cm/h y 0.5 cm/h, el tiempo de duración de la lluvia eficaz es, en realidad, 6 horas y sustrayendo ambas cantidades de la infiltración total, se obtiene:

cm3.35.04.08.510Inf =−−−=

y el índice o tasa de infiltración será:

h/cm55.063.3

==φ

que sigue siendo mayor que 0.4 cm/h y 0.5 cm/h. A partir de estos datos se puede construir la evolución del aguacero y de la escorrentía superficial como sigue (Tabla 5.1). En dicha tabla los valores de la escorrentía se han obtenido restando a la precipitación en cada tiempo el valor de 0.55:

0.9 – 0.55 = 0.35 cm, por ejemplo.


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Tabla 5.1. Precipitación y escorrentía superficial en cada hora

Tiempo (h) 1 2 3 4 5 6 7 8 Precipitación en cada hora

(cm) 0.4 0.9 1.5 2.3 1.8 1.6 1.0 0.5

Escorrentía sup. (cm) 0. 0.35 0.95 1.75 1.25 1.05 0.45 0.

La escorrentía superficial será:

0.35 + 0.95 + 1.75 + 1.25 + 1.05 + 0.45 = 5.8 cm

valor que coincide con el dado en el enunciado. En consecuencia, el valor estimado del índice de infiltración es correcto. En la Figura 5.1 se muestra la evolución temporal del aguacero y del índice de infiltración.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

escorrentíasuperficial

0.55 cm/hprec

(cm

) y e

sc (c

m)

Tiempo (h)

Figura 5.1. Evolución de la Precipitación y Escorrentía Superficial.


29

PROBLEMA 6 Deducir la expresión del tiempo de anegamiento Ta, del volumen de escorrentía superficial VE y del volumen de infiltración, VI para un aguacero de duración D e intensidad I a partir de la curva de capacidad de infiltración exponencial de Horton

( ) Kt- e CICICICI 0 ∞∞ −+= Calcular los valores de Ta, VE y VI para

a) Un aguacero nº 1 de intensidad 10 mm/h y duración 20 horas b) Un aguacero nº 2 de intensidad 50 mm/h y duración 12 horas c) Un aguacero nº 3 de intensidad 30 mm/h y duración 6 horas

NOTA: Se adoptarán los valores de CI0 = 100 mm/h; CI∝ = 10 mm/h y K = 0.1 horas-1. Se pueden dar tres situaciones:

a) I < CI∝ para cualquier duración.

En este caso todo lo precipitado se infiltra y no existe escorrentía superficial ni tiempo de anegamiento. El volumen de agua infiltrada será:

DIVI ⋅=

b) I > CI∝ pero D < Ta.

En este caso el aguacero dura menos que el tiempo a partir del cual se genera escorrentía superficial por lo que tampoco se produce ésta. El volumen infiltrado es:

DIVI ⋅=

c) I > CI∝ pero D > Ta.

En este último caso si se produce la escorrentía superficial. El tiempo de anegamiento vendrá dado a partir de despejar Ta en la siguiente expresión:

( ) a0

KT- e CICICICI I ∞∞ −+==

obteniéndose,


30

−

−⋅=

∞

∞

CIICICI

lnK1T 0

a

El volumen infiltrado se obtiene integrando la expresión de la capacidad de infiltración entre el inicio del aguacero y el tiempo D:

( ) ( )[ ] dttKexpCICICIdtIVD

T 0

T

0Ia

a ⋅⋅−⋅−++⋅= ∫∫ ∞∞

Integrando, se obtiene

( ) ( ) ( ) ( )[ ]a0

aaI TKexpDKexpK

CICITDCITIV ⋅−−⋅−⋅

−−−⋅+⋅= ∞

∞

La escorrentía generada será la diferencia del agua caída entre el tiempo Ta y D y lo infiltrado en dicho intervalo:

( ) ( )[ ] dttKexpCICICIdtIVD

T 0

D

TEaa

⋅⋅−⋅−+−⋅= ∫∫ ∞∞

Integrando, se obtiene

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

⋅−−⋅−⋅

−−−⋅−−⋅= ∞

∞ a0

aaE TKexpDKexpK

CICITDCITDIV

Para los distintos valores del enunciado se obtienen los siguientes resultados:

a) Un aguacero nº 1 de intensidad 10 mm/h y duración 20 horas.

En este caso I = CI∝, por lo que no se produce escorrentía superficial. El volumen infiltrado valdrá:

mm2002010DIVI =⋅=⋅=

b) Un aguacero nº 2 de intensidad 50 mm/h y duración 12 horas

En este caso I > CI∝. El tiempo de anegamiento calculado aplicando la expresión anterior es:

h1.8105010100ln

1.01

CIICICI

lnK1T 0

a =

−−

⋅=

−

−⋅=

∞

∞

Al ser D > Ta, se producirá escorrentía superficial. El valor del volumen infiltrado y el volumen de escorrentía es:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1.81.0exp121.0exp1.0101001.812101.850VI ⋅−−⋅−⋅

−−−⋅+⋅=


31

mm29.573VI =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

⋅−−⋅−⋅

−−−⋅−−⋅= 1.81.0exp121.0exp

1.0101001.812101.81250VE

mm52.26VE =

c) Un aguacero nº 3 de intensidad 30 mm/h y duración 6 horas

En este último caso I > CI∝. El tiempo de anegamiento calculado aplicando la expresión anterior es:

h15103010100ln

1.01

CIICICI

lnK1T 0

a =

−−

⋅=

−

−⋅=

∞

∞

Al ser D < Ta, no se producirá escorrentía superficial. El valor del volumen infiltrado es

mm180630DIVI =⋅=⋅=

En la Figura 6.1 se representan los tres casos y la curva de capacidad de infiltración.

0 5 10 15 200

20

40

60

80

100

VE

Ta

Cap

. Inf

il. In

t. (m

m/h

)

Tiempo (h)

Capacidad de infiltración Aguacero 1 Aguacero 2 Aguacero 3

Figura 6.1. Evolución temporal de la Capacidad de infiltración e Intensidad de precipitación.


32

PROBLEMA 7 Calcular el balance hidrológico en el año hidrológico 1982/1983 con los datos dados a continuación tomando la ETP calculada mediante el método de Turc en el problema 3. La Intercepción se calculará a partir de la siguiente fórmula: INT = 0.1*P La reserva de agua es 100 mm. Realizar otros dos balances hidrológicos con 50 mm y 150 mm de reserva de agua.

Tabla 1. Precipitación total mensual (mm) OCT. NOV. DIC. ENE. FEB MAR ABR. MAY JUN. JUL. AGO. SEP.46. 85.4 183. 45. 107. 63. 182. 125. 22. 60. 57. 35.5

Para calcular el balance hidrológico con los distintos valores de la reserva de agua utilizable en el suelo se pueden dar dos situaciones:

1) Que la reserva de agua inicial sea nula (suelo seco) 2) Que la reserva de agua inicial sea la máxima (máxima agua retenida)

A partir de estas dos situaciones los balances hidrológicos variarán fundamentalmente al principio. En las tablas que a continuación se presentan se han tenido en cuenta ambas situaciones iniciales para cada uno de los valores de la RAU (reserva de agua utilizable). En la Tabla 7.1 se muestra el balance hidrológico en el suelo para un valor de RAU de 50 mm con el suelo inicialmente seco. Para calcular el balance hidrológico se sustrae a la precipitación el valor de la interceptación, siendo ese valor el que alcanza el suelo. A continuación se detrae el valor de la ETP (valores obtenidos en el problema 3). Para el caso del mes de octubre se puede apreciar que el valor neto es negativo (-16.66 mm), lo que implica que, al no existir más agua (ni en el suelo ni precipitada) hay un déficit, por lo que el valor de la ETR (Evapotranspiración Real) no coincide con la ETP, calculándose su valor como:

ETR = ETP- Déficit = 58.06 – 16.66 = 41.4 mm

En el siguiente mes, Noviembre, el balance neto de la lluvia (detrayendo la interceptación y evapotranspiración potencial) es positivo (43.63 mm) produciéndose un superávit que va a llenar los poros del suelo sin alcanzar el máximo de la RAU (50 mm).


33

Tabla 7.1. RAU = 50 mm. Inicialmente las reservas son nulas.

OCT. NOV. DIC. ENE. FEB. MAR. ABR. MAY. JUN. JUL. AGO. SEP. TOT. P 46 85.4 183 45 107 63 182 125 22 60 57 35.5 1010.9

INT 4.6 8.54 18.3 4.5 10.7 6.3 18.2 12.5 2.2 6 5.7 3.55 101.09 P-INT 41.4 76.86 164.7 40.5 96.3 56.7 163.8 112.5 19.8 54 51.3 31.95 909.81 ETP 58.06 33.23 24.67 29.41 27.7 52.35 58.07 75.39 107.63 88.8 83.67 83.76 722.81

P-INT-ETP

-16.66 43.63 140.03 11.09 68.6 4.35 105.73 37.11 -87.83 -34.8 -32.37 -51.81

RAU 0 43.63 50 50 50 50 50 50 0 0 0 0 EXC 0 0 133.66 11.09 68.6 4.35 105.73 37.11 0 0 0 0 360.54 DEF 16.66 0 0 0 0 0 0 0 37.83 34.8 32.37 51.81 173.47 ETR 41.4 33.23 24.67 29.41 27.7 52.35 58.07 75.39 69.8 54 51.3 31.95 549.27

Tabla 7.2. RAU = 50 mm. Inicialmente RAU = 50 mm.


INT 4.6 8.54 18.3 4.5 10.7 6.3 18.2 12.5 2.2 6 5.7 3.55 101.09 P-INT 41.4 76.86 164.7 40.5 96.3 56.7 163.8 112.5 19.8 54 51.3 31.95 909.81 ETP 58.06 33.23 24.67 29.41 27.7 52.35 58.07 75.39 107.63 88.8 83.67 83.76 722.81

P-INT-ETP

-16.66 43.63 140.03 11.09 68.6 4.35 105.73 37.11 -87.83 -34.8 -32.37 -51.81

RAU 33.34 50 50 50 50 50 50 50 0 0 0 0 EXC 0 26.97 140.03 11.09 68.6 4.35 105.73 37.11 0 0 0 0 393.98 DEF 0 0 0 0 0 0 0 0 37.83 34.8 32.37 51.81 156.81 ETR 58.06 33.23 24.67 29.41 27.7 52.35 58.07 75.39 69.8 54 51.3 31.95 565.93


34

En el mes de Diciembre el superávit producido (140.03 mm) se distribuye en completar la capacidad máxima de retención del suelo (50 – 43.63 = 6.37 mm) y el sobrante (140.03 – 6.37 = 133.66 mm), que es el excedente, será la escorrentía (hipodérmica, superficial y subterránea). Habrá parte que drene (agua gravitacional) a través de la porosidad drenable para, posteriormente constituir escorrentía hipodérmica y subterránea. El resto escurrirá superficialmente. Los siguientes meses (enero, febrero, marzo, abril y mayo) se sigue produciendo superávit, pero como el suelo no puede retener más agua, dicho superávit alimenta directamente el flujo de escorrentía (superficial, hipodérmica y subterránea). En los meses con superávit la ETR coincide con la ETP. En el mes de junio se produce déficit, en lugar de superávit se vuelve a producir un balance negativo (87.83 mm). Ahora bien como, el suelo tiene retenida una cantidad de agua igual a 50 mm, que es agua evapotranspirable, dicho balance mengua en 50 mm quedando 87.83 – 50 = 37.83 mm que es el déficit producido. En consecuencia, la ETR no coincide con la ETP, valiendo

ETR = ETP – Déficit = 107.63 – 37.83 = 69.8 mm

vaciándose el suelo quedando la RAU con valor nulo. A partir de ese momento, los balances negativos proporcionan el valor del déficit que figura en las distintas casilla de la Tabla en los meses de Julio, Agosto y Septiembre. Para el caso de que inicialmente el suelo tenga agua en condiciones de máxima retención (mes de Octubre) el valor del balance es positivo con un superávit de 50 – 16.66 = 33.34 mm, coincidiendo la ETR con la ETP. El mes siguiente el superávit producido (43.63 mm) sirven para rellenar de nuevo hasta los 50 mm la RAU (50 – 33.34 = 16.66) y el resto ( 44.63 – 16.66 = 26.97 mm) para generar escorrentía (excedente). A partir del mes de diciembre el cuadro es similar al presentado en la Tabla 7.1. Para el caso de RAU = 100 mm y RAU = 150 mm se procedería de igual manera. En las Tablas 7.3, 7.4, 7.5 y 7.6 se muestran los resultados de los distintos balances hidrológicos. Hay que hacer constar que los valores totales proporcionados en las últimas columnas son las sumas totales de la precipitación, interceptación, ETP, ETR, excedente de los doce meses del año hidrológico. Si se observa el valor de la ETR para los distintos casos de RAU con valores de 50, 100 y 150 mm, respectivamente, y con las mismas condiciones iniciales, se puede comprobar que aquella aumenta la misma cantidad que el aumento en el valor en la RAU. Así, por ejemplo, la ETR total para una RAU de 50, 100 y 150 mm con condiciones inicialmente secas, resultan 549.27 (Tabla 7.1), 599.27 (Tabla 7.3) y 649.27 mm (Tabla 7.5), respectivamente, que coincide con el aumento de la RAU (50 y 100 mm, respectivamente). Por el contrario, el déficit va disminuyendo en 50 mm cada vez que se aumenta la RAU en dicha cantidad: 173.47 (Tabla 7.1), 123.47 (Tabla 7.3) y 73.47 mm (Tabla 7.5), respectivamente; y 156.81 (Tabla 7.2), 106.81 (Tabla 7.4) y 56.81 mm (Tabla 7.6), respectivamente.


35



INT 4.6 8.54 18.3 4.5 10.7 6.3 18.2 12.5 2.2 6 5.7 3.55 101.09 P-INT 41.4 76.86 164.7 40.5 96.3 56.7 163.8 112.5 19.8 54 51.3 31.95 909.81 ETP 58.06 33.23 24.67 29.41 27.7 52.35 58.07 75.39 107.63 88.8 83.67 83.76 722.81

P-INT-ETP

-16.66 43.63 140.03 11.09 68.6 4.35 105.73 37.11 -87.83 -34.8 -32.37 -51.81

RAU 0 43.63 100 100 100 100 100 100 12.17 0 0 0 EXC 0 0 83.66 11.09 68.6 4.35 105.73 37.11 0 0 0 0 310.54 DEF 16.66 0 0 0 0 0 0 0 0 22.63 32.37 51.81 123.47 ETR 41.4 33.23 24.67 29.41 27.7 52.35 58.07 75.39 107.63 66.17 51.3 31.95 599.27



INT 4.6 8.54 18.3 4.5 10.7 6.3 18.2 12.5 2.2 6 5.7 3.55 101.09 P-INT 41.4 76.86 164.7 40.5 96.3 56.7 163.8 112.5 19.8 54 51.3 31.95 909.81 ETP 58.06 33.23 24.67 29.41 27.7 52.35 58.07 75.39 107.63 88.8 83.67 83.76 722.81

P-INT-ETP

-16.66 43.63 140.03 11.09 68.6 4.35 105.73 37.11 -87.83 -34.8 -32.37 -51.81

RAU 83.34 100 100 100 100 100 100 100 12.17 0 0 0 EXC 0 26.97 140.03 11.09 68.6 4.35 105.73 37.11 0 0 0 0 393.88 DEF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22.63 32.37 51.81 106.81 ETR 58.06 33.23 24.67 29.41 27.7 52.35 58.07 75.39 107.63 66.17 51.3 31.95 615.93


36



INT 4.6 8.54 18.3 4.5 10.7 6.3 18.2 12.5 2.2 6 5.7 3.55 101.09 P-INT 41.4 76.86 164.7 40.5 96.3 56.7 163.8 112.5 19.8 54 51.3 31.95 909.81 ETP 58.06 33.23 24.67 29.41 27.7 52.35 58.07 75.39 107.63 88.8 83.67 83.76 722.81

P-INT-ETP

-16.66 43.63 140.03 11.09 68.6 4.35 105.73 37.11 -87.83 -34.8 -32.37 -51.81

RAU 0 43.63 150 150 150 150 150 150 62.17 27.37 0 0 EXC 0 0 33.66 11.09 68.6 4.35 105.73 37.11 0 0 0 0 260.54 DEF 16.66 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 51.81 73.47 ETR 41.4 33.23 24.67 29.41 27.7 52.35 58.07 75.39 107.63 88.8 78.67 31.95 649.27



INT 4.6 8.54 18.3 4.5 10.7 6.3 18.2 12.5 2.2 6 5.7 3.55 101.09 P-INT 41.4 76.86 164.7 40.5 96.3 56.7 163.8 112.5 19.8 54 51.3 31.95 909.81 ETP 58.06 33.23 24.67 29.41 27.7 52.35 58.07 75.39 107.63 88.8 83.67 83.76 722.81

P-INT-ETP

-16.66 43.63 140.03 11.09 68.6 4.35 105.73 37.11 -87.83 -34.8 -32.37 -51.81

RAU 133.34 150 150 150 150 150 150 150 62.17 27.37 0 0 EXC 0 26.97 140.03 11.09 68.6 4.35 105.73 37.11 0 0 0 0 393.98 DEF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 51.81 56.81 ETR 58.06 33.23 24.67 29.41 27.7 52.35 58.07 75.39 107.63 88.8 78.67 31.95 665.93


37

HIDROGRAMAS

PROBLEMA 8 Dada una cuenca rectangular de 40 km2 de área y 2 h de tiempo de concentración, se pide deducir y calcular los hidrogramas para aguaceros de 10 mm/h de intensidad neta de lluvia y duraciones de 1, 2 y 4 horas A = 40 Km2. ; TC = 2 h. ; In = 10 mm/h

Figura 8.1. Cuenca. Los hidrogramas correspondientes son:

1 2 3 Tiempo (h)

Q (m /h)3

2 105

4 105

Tiempo (h)2 4

Q (m /h)3

4 105

Tiempo (h)42 6

Q (m /h)3

4 105

T = 2 hc

t = 4 ha

T = t = 2 hc a

t = 1 ha

T = 2 hc

tb = ta + Tc = 1 + 2 = 3 h; tb = ta + Tc = 2 + 2 = 4 h; tb = ta + Tc = 4 + 2 = 6 h

Figura 8.2. Hidrogramas.

Q = In A = 10 mm/h * 40 km2 Q = 4 .105 m3/h. En el punto de desagüe: Para ta = 1 h. => 2. 105

Para ta = 2 h. => 4. 105 Para ta > 2 h. => 4. 105


38

PROBLEMA 9 Dado el hidrograma unitario sintético de Snyder de 2 h que figura en el gráfico adjunto, se pide hallar y calcular el hidrograma compuesto cuyo hietograma neto se muestra en dicha figura.

Tiempo (h)

I (mm/h)n

1040

15

2 4 6

q (m /h/cm)3

Tiempo (h)

5

83

Figura 1. Hidrograma y hietograma

El tiempo base del hidrograma unitario es tb = 8 h, por lo que el tiempo de concentración de la cuenca Tc será:

h628ttT abc =−=−=

El hidrograma unitario cumple el primer Principio del Hidrograma Unitario:

5ó3T

t ca ≤

En este caso cumple la condición menos restrictiva:

3T

t ca ≤

sustituyendo,

362 ≤

Para calcular el hidrograma compuesto habrá que componer los hidrogramas desplazados 2 horas obtenidos de multiplicar el unitario por la lluvia caída cada 2 horas. Para las 2 primeras horas, la lluvia caída es: cm2mm20210h2IP n ==⋅=⋅= Para las dos siguientes: cm1mm1025h2IP n ==⋅=⋅=


39

Para las dos últimas: cm3mm30215h2IP n ==⋅=⋅= Los hidrogramas unitarios multiplicados por la lluvia caída en cada intervalo del hietograma son:

0 2 4 6 8 10 12 140

20

40

60

80

100

120

140

Hietograma

Tiempo (h)

In

Q (m

3 /h)

Tiempo (h)

Hidr. Unit. 2 h Hidr. para 2 cm de lluvia Hidr. para 1 cm de lluvia

desplazado 2 h Hidr. Unit. 2 h desplazado

4 h Hidr. para 3 cm de lluvia

desplazado 4 h

Figura 9.1. Hidrogramas producidos por las distintas lluvias.

El hidrograma compuesto suma de los tres anteriores se obtiene de forma sencilla al tratarse de segmentos rectilíneos. En la siguiente tabla se muestran los valores numéricos de los tres hidrogramas y del hidrograma compuesto o total.

Tabla 9.1. Composición numérica de hidrogramas.

Tiempo (h)

Hidrograma producido por 2 cm de lluvia

Hidrograma desplazado 2 h de

1 cm de lluvia

Hidrograma desplazado 4 h de

3 cm de lluvia

Hidrograma total

Q (m3/h) 0 0 0 1 26.66 26.66 2 53.33 0 53.33 3 80 13.33 93.33 4 64 26.66 0 90.66 5 48 40 40 128 6 32 32 80 144 7 16 24 120 160 8 0 16 96 112 9 8 72 80

10 0 48 48 11 24 24 12 0 0


40

En la figura adjunta se muestra la representación de los tres hidrogramas y el hidrograma compuesto obtenido correspondiente a los valores que figuran en la tabla anterior.

0 2 4 6 8 10 12 140

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Hietograma

Tiempo (h)

In

Hidr. 2 cm de lluvia Hidr. 1 cm de lluvia

desplazado 2 h Hidr. 3 cm de lluvia

desplazado 4 h Hidr. compuesto

Q (m

3 /h)

Tiempo (h)

Figura 9.2. Hidrograma compuesto.


41

PROBLEMA 10 Dados los datos de la tabla adjunta dibujar el hidrograma correspondiente y separar las componentes del mismo con los métodos que se conozcan. El área de la cuenca es 1200 km2.

Tabla 1. Hidrograma

TIEMPO (d) Q (m3/s) 22/1/01 3.398 23/1/01 3.186 24/1/01 3.163 25/1/01 3.194 26/1/01 3.357 27/1/01 5.803 28/1/01 16.913 29/1/01 43.57 30/1/01 55 31/1/01 42.669 1/2/01 37.103 2/2/01 17.895 3/2/01 9.662 4/2/01 6.438 5/2/01 4.963 6/2/01 3.119 7/2/01 3.033 8/2/01 2.461 9/2/01 2.277 10/2/01 2.273 11/2/01 2.22 12/2/01 2.083 13/2/01 2.025

El hidrograma correspondiente a la Tabla anterior figura en el gráfico adjunto (Figura 10.1). Para separar las componentes del hidrograma en Escorrentía Superficial, Hipodérmica y Subterránea se siguen cuatro métodos diferentes. Los tres primeros distinguen exclusivamente entre Escorrentía Superficial y Subterránea, incluyendo la Escorrentía Hipodérmica en las anteriores.

a) Método del flujo subterráneo constante. En este caso se supone que existe un flujo de base constante correspondiente a la Escorrentía Subterránea. Se traza una recta paralela al eje de abcisas desde el punto en que comienza la curva de


42

concentración. La Escorrentía Superficial corresponderá a la superficie existente entre el hidrograma y dicha recta (Figura 10.2)

25/1/01 29/1/01 2/2/01 6/2/01 --0

10

20

30

40

50

60C

auda

l (m

3 /s)

Tiempo (días)

Hidrograma

Figura 10.1. Hidrograma.

25/1/01 29/1/01 2/2/01 6/2/01 --0

10

20

30

40

50

60

Escorrentía SuperficialCau

dal (

m3 /s

)

Tiempo (día)

Hidrograma Escorrentía Subterránea

Figura 10.2. Método del flujo subterráneo constante.


43

b) Método de Linsley. Se calcula el tiempo transcurrido entre la punta del hidrograma y el instante en que se acaba la Escorrentía Superficial:

dias4.31200827.0A827.0N 2.02.0 =⋅=⋅=

25/1/01 29/1/01 2/2/01 6/2/01 --0

10

20

30

40

50

60

prolongación de la curva

N días

Escorrentía Subterránea

Escorrentía Superficial

Cau

dal (

m3 /s

)

Tiempo (dia)

Hidrograma Método de Linsley

Figura 10.3. Método de Linsley.

Se prolonga la curva de crecimiento hasta el punto A, que es el tiempo correspondiente al caudal punta, y a partir de dicho punto se traza la vertical desplazada 3.4 días (en la figura no se ha representado dicho punto de corte al no ser un día entero). El punto de corte de dicha vertical es el tiempo a partir del cual no existe Escorrentía Superficial (Caudal de 14.6018 m3/s). Los valores entre este caudal y el caudal del tiempo punta 3.317 m3/s están interpolados (Figura 10.3).

c) Método de aproximación de la curva de agotamiento (Figura 10.4). Se determina la curva de agotamiento calculando la pendiente de la recta del hidrograma representado en escala semilogarítmica:

t

0 eQQ α−⋅=

Eligiendo los caudales para los días 6/02/2001 y 13/02/2001 se calcula el coeficiente de agotamiento α y el caudal Q0:

t)Qln()Qln( 0 ⋅α−=

particularizando para ambos días:


44

26/1/01 31/1/01 5/2/01 10/2/01 --1

10

100

log(Q) = log(Q0)-α.log(e).t

Recta de agotamiento

log

Q

Tiempo (día)

Figura 10.4. Método de la curva de agotamiento.

25/1/01 29/1/01 2/2/01 6/2/01 10/2/010

10

20

30

40

50

60

Escorrentía Superficial

Curva aproximada deunión del punto A y lacurva de agotamiento

Punto de comienzode crecida A

Curva de agotamiento

Punto de inflexión ECau

dal (

m3 /s

)

Tiempo (día)

Hidrograma Método de la curva

de agotamiento

Figura 10.5. Método de la curva de agotamiento. Determinación de escorrentías.

16)Qln()119.3ln( 0 ⋅α−= ; 23)Qln()025.2ln( 0 ⋅α−=

se obtiene:


45

0617.0=α ; 371.8Q0 =

por lo que

t0617.0e371.8Q −⋅=

representando la curva de agotamiento hasta el punto de inflexión E y uniendo este punto con el punto A de crecida se obtiene el Hidrograma de Escorrentía Subterránea (Figura 10.5).

En la siguiente tabla se muestran los resultados numéricos para cada uno de los tres métodos anteriores:

Tabla 10.1. Resultados numéricos.

Hidrograma Met. Hid. Subt. Cte. Mét. Linsley Mét. C. Agota. Tiempo

(d) Q

(m3/s) Hidr. Esc.

Subt. Hidr.

Esc Sup.Hidr.

E. Sub.Hidr.

E. Sup. Hidr.

E. Sub. Hidr.

E. Sup.22/1/01 3.398 3.357 ≈ 0 3.398 0 3.398 0 23/1/01 3.186 3.357 ≈ 0 3.186 0 3.186 0 24/1/01 3.163 3.357 ≈ 0 3.163 0 3.163 0 25/1/01 3.194 3.357 ≈ 0 3.194 0 3.194 0 26/1/01 3.357 3.357 0 3.357 0 3.357 0 27/1/01 5.803 3.357 2.446 3.347 2.456 3.447 2.355 28/1/01 16.913 3.357 13.556 3.337 13.576 3.538 13.374 29/1/01 43.57 3.357 40.213 3.327 40.243 3.628 39.941 30/1/01 55 3.357 51.643 3.317 51.683 3.719 51.280 31/1/01 42.669 3.357 39.312 6.636 36.033 3.81 38.859 1/2/01 37.103 3.357 33.746 9.955 27.148 3.9 33.202 2/2/01 17.895 3.357 14.538 13.274 4.621 3.991 13.903 3/2/01 9.662 3.357 6.305 9.662 0 3.752 5.909 4/2/01 6.438 3.357 3.081 6.438 0 3.528 2.909 5/2/01 4.963 3.357 1.606 4.963 0 3.317 1.645 6/2/01 3.119 3.357 ≈ 0 3.119 0 3.118 ≈ 0 7/2/01 3.033 ≈ 0 3.033 0 2.932 ≈ 0 8/2/01 2.461 ≈ 0 2.461 0 2.756 ≈ 0 9/2/01 2.277 ≈ 0 2.591 ≈ 0

10/2/01 2.273 ≈ 0 2.436 ≈ 0 11/2/01 2.22 ≈ 0 2.290 ≈ 0 12/2/01 2.083 ≈ 0 2.153 ≈ 0 13/2/01 2.025 ≈ 0 2.024 ≈ 0

d) Método de Barnes. Permite obtener las tres escorrentías (Superficial, Hipodérmica y Subterránea). Se representa el hidrograma original en escala semilogarítmica en el eje de ordenadas (Figura 10.6). La curva de agotamiento se convierte en una recta que se prolonga hasta el tiempo punta. Dicho punto se une con el tiempo de crecida mediante una recta (tiempo correspondiente al 26/01/2001). El hidrograma obtenido es el de Escorrentía Subterránea. La


46

diferencia entre el original y éste origina el hidrograma de Escorrentía Hipodérmica y Superficial.

26/1/01 31/1/01 5/2/01 10/2/01 --1

10

100

Hidrograma de EscorrentíaSubterránea

tiempo punta

log(Q) = log(Q0)-α.log(e).t


log

Q

Tiempo (día)

Figura 10.6. Método de Barnes. Separación de la componente subterránea.

25/1/01 29/1/01 2/2/01 6/2/01 10/2/010

10

20

30

40

50

60

Cau

dal (

m3 /s

)

Tiempo (día)

Hidr. de Escorrentía Superficial e Hipodérmica

Figura 10.7. Método de Barnes. Hidrograma de escorrentías superficial e hipodérmica.

Hay que hacer constar que para restar ambos hidrogramas se restan los valores originales y no los logaritmos decimales de caudales, tal y como se muestra en la


47

tabla siguiente. En dicha tabla los valores de los caudales en el Hidrograma de Escorrentía Subterránea del 26/01/2001 al 30/01/2001 están interpolados. Tabla 10.2. Resultados numéricos del hidrograma de Escorrentía Superficial e

Hipodérmica.

TIEMPO (d) Hidr. Original. Q (m3/s) Hidr. Esc. Subt. Diferencia 22/1/01 3.398 3.398 0 23/1/01 3.186 3.186 0 24/1/01 3.163 3.163 0 25/1/01 3.194 3.194 0 26/1/01 3.357 3.357 0 27/1/01 5.803 3.718 2.084 28/1/01 16.913 4.08 12.832 29/1/01 43.57 4.441 39.128 30/1/01 55 4.803 50.196 31/1/01 42.669 4.516 38.152 1/2/01 37.103 4.245 32.857 2/2/01 17.895 3.991 13.903 3/2/01 9.662 3.752 5.509 4/2/01 6.438 3.528 2.909 5/2/01 4.963 3.317 1.645 6/2/01 3.119 3.118 ≈ 0 7/2/01 3.033 2.932 ≈ 0 8/2/01 2.461 2.756 ≈ 0 9/2/01 2.277 2.591 ≈ 0

10/2/01 2.273 2.436 ≈ 0 11/2/01 2.22 2.290 ≈ 0 12/2/01 2.083 2.153 ≈ 0 13/2/01 2.025 2.024 ≈ 0

Para obtener el de Escorrentía Superficial se procedería de igual forma, representando el hidrograma en escala semilogarítmica, prolongando la recta de agotamiento hasta el tiempo punta y uniendo éste mediante una recta con el tiempo de crecida. Restando ambas figuras se obtendría el Hidrograma de Escorrentía Superficial. En este caso la recta de agotamiento tomando los caudales correspondiente al 4/02/2001 y al 5/02/2001 se tiene la expresión siguiente:

14)Qln()909.2ln( 0 ⋅α−=

15)Qln()645.1ln( 0 ⋅α−=

resolviendo,

570.0=α


48

11.8508Q0 =

por lo que

t570.0e11.8508Q −⋅= y representado tanto en escala semilogarítmica como normal se puede apreciar que el valor en el tiempo punta supera al del propio Hidrograma, lo que significa que no se puede aplicar el método de Barnes en este caso. No existe la Escorrentía Hipodérmica y la obtenida en la figura anterior es directamente la Escorrentía Superficial.

25/1/01 29/1/01 2/2/01 6/2/011

10

100

Log

Q

Tiempo (dia)

Hidr. de Escorrentía Superficial e Hipodérmica


Figura 10.8. Método de Barnes. Separación de las Escorrentías Superficial e

Hipodérmica.

En consecuencia, los valores de los caudales correspondientes al Hidrograma de Escorrentía Superficial son los que figuran en la cuarta columna de la anterior Tabla, cuyo encabezamiento se titula “Diferencia” (Tabla 10.2). En la Figura 10.9 se muestra el hidrograma anterior pero en ejes normales. Se puede ver que se acentúan las diferencias en el valor máximo.

En la figura siguiente (Figura 10.10) se muestran los hidrogramas de escorrentía superficial de forma conjunta, obtenidos con los cuatro métodos. Como se puede apreciar, en este caso, los resultados obtenidos con los diferentes métodos son similares a excepción de los obtenidos con el método de Linsley, donde el hidrograma de escorrentía superficial es algo menor.


49

25/1/01 29/1/01 2/2/01 6/2/01

10

20

30

40

50

60

70

Caudal en el tiempo punta menor que el dado por la curva de agotamiento

Cau

dal (

m3 /s

)

Tiempo (dia)

Hidr. Escorrentía Superficial e Hipodérmica

Curva de agotamiento

Figura 10.9. Método de Barnes. Separación de las Escorrentías Superficial e

Hipodérmica en ejes normales.

24/1/01 27/1/01 30/1/01 2/2/01 5/2/01 8/2/010

10

20

30

40

50

60

Q (m

3 /s)

Tiempo (día)

Hidr. Esc. Sup. Método de flujo subt. constante

Hidr. Esc. Sup. Método de Linsley

Hidr. Esc. Sup. Método de la curva de agotamiento

Hidr. Esc. Sup. Método de Barnes

Figura 10.10. Comparación de Escorrentías Superficiales obtenidas con los diferentes

métodos.

Los hidrogramas de Escorrentía Subterránea calculadas para cada método se muestran en la siguiente figura (Figura 10.11).


50

25/1/01 29/1/01 2/2/01 6/2/01 10/2/01 --23456789

1011121314

Q (m

3 /s)

Tiempo (día)

Hidr. Esc. Subt. Método de flujo subt. constante

Hidr. Esc. Subt. Método de Linsley

Hidr. Esc. Subt. Método de la curva de agotamiento

Hidr. Esc. Subt. Método de Barnes

Figura 10.11. Comparación de Escorrentías Subterráneas obtenidas con los diferentes métodos.


51

PROBLEMA 11

Dada una cuenca de área 100 km2, y tiempo de concentración 6 h, se pide:

a) Determinar y dibujar el hidrograma unitario sintético de 2 h de duración según el método de S.C.S. (Hidrograma adimensional).

b) Determinar el hidrograma compuesto de la avenida producida por

un aguacero cuyo hietograma neto es el siguiente:

Tiempo (h)

I (mm/h)n

10

20

15

2 4 6

Figura 1. Hietograma.

NOTA: Se determinarán 7 ordenadas como mínimo del hidrograma unitario.

a) Al ser el tiempo de concentración Tc = 6 h , el hidrograma unitario de ta = 2 h pedido cumple la condición menos restrictiva del primer Principio del Hidrograma Unitario:

3T

t ca ≤

sustituyendo,

362 ≤

Una vez comprobado el cumplimiento de las condiciones del método del Hidrograma Unitario hay que hallar el valor del caudal y tiempo punta. Para ello se emplean las siguientes expresiones:


52

ca

p T6.02t

t ⋅+=

pp t

A08.2Q ⋅=

donde Tc es el tiempo de concentración de la cuenca, ta es el tiempo de duración del aguacero, tp es el tiempo punta en horas, A es el área de la cuenca en km2 y Qp es el caudal unitario punta en m3/s/cm. Sustituyendo,

h6.466.022t p =⋅+=

cm/s/m21.456.4

10008.2Q 3p =⋅=

Multiplicando estos valores por los valores adimensionales del Hidrograma del S.C.S se obtienen los valores dados en la siguiente tabla.

Tabla 11.1. Hidrograma unitario.

Hidrograma adimensional Hidrograma Unitario 2h t/tp q/Qp t (h) q (m3/s/cm) 0 0 0 0

0.2 0.1 0.92 4.521 0.4 0.31 1.84 14.017 0.6 0.66 2.76 29.843 0.8 0.93 3.68 42.052 1 1 4.6 45.217

1.2 0.93 5.52 42.052 1.4 0.78 6.44 35.269 1.6 0.56 7.36 25.321 1.8 0.39 8.28 17.634 2 0.28 9.2 12.660

2.2 0.21 10.12 9.495 2.4 0.15 11.04 6.782 2.6 0.11 11.96 4.973 2.8 0.08 12.88 3.617 3 0.05 13.8 2.260

3.5 0.02 16.1 0.904 4 0.01 18.4 0.452

4.5 0.005 20.7 0.226 5 0 23 0

La representación del hidrograma Unitario se muestra en el gráfico adjunto.


53

0 5 10 15 20 250

10

20

30

40

50

Cau

dal (

m3 /s

/cm

)

Tiempo (h)

Hidrograma unitario de 2 h

Figura 11.1. Hidrograma Unitario de 2 h de duración.

b) Inicialmente se comprueba si cumple con el Primer Principio del Hidrograma Unitario. El tiempo de concentración es 6 h y la duración del aguacero es también 6 h. En este caso,

5T

t ca >

sustituyendo,

566 >

o también la condición menos restrictiva:

3T

t ca >

sustituyendo,

366 >

lo que implica que el hidrograma compuesto se calculará a partir de la suma de los hidrogramas unitarios multiplicados por la precipitación neta cada 2 h.

En este caso la lluvia neta caída cada 2 h es el área del hietograma:


54

Las primeras 2 h: cm2mm20h/mm10h2 ==⋅ Las dos siguientes: cm4mm40h/mm20h2 ==⋅ Las dos últimas: cm3mm30h/mm15h2 ==⋅

Por lo tanto, el hidrograma unitario se multiplicará por 2, 4 y 3 cm, respectivamente, obteniéndose tres hidrogramas desplazados cada 2 h, como muestra la figura adjunta

0 5 10 15 20 25 300

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

caud

al (m

3 /s)

tiempo (h)

Hidrograma Unitario 2 h Hidrograma para 2 cm de lluvia Hidrograma para 4 cm de lluvia

desplazado 2 h Hidrograma para 3 cm de lluvia

desplazado 4 h

Figura 11.2. Hidrogramas producidos por los distintos volúmenes de caídos.

El hidrograma compuesto es la suma de los tres anteriores tal y como se muestra en la Figura 11.3. Para calcular los valores numéricos se han hallado las ordenadas del hidrograma unitario cada 2 h interpolando a partir de los valores en los tiempos conocidos (Tabla 11.2). El hidrograma compuesto calculado numéricamente se halla multiplicando por 2, 4 y 3 cm el hidrograma unitario anterior y sumando los tres hidrogramas desplazados convenientemente. En la Tabla 11.3 se muestran los resultados numéricos obtenidos.


55

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 300

50

100

150

200

250

300

350

Hietograma

Tiempo (h)

In

Cau

dal (

m3 /s

)

Tiempo (h)

Hidr. para 2 cm de lluvia Hidr. para 4 cm de lluvia

desplazado 2 h Hidr. para 3 cm de lluvia

desplazado 4 h Hidrograma total


Tabla 11.2. Hidrograma unitario Interpolado cada 2 h.

Hidrograma Unitario 2 h Hidr. Unit. 2h interpolado

t (h) q (m3/s/cm) t (h) q (m3/s/cm) 0 0 0 0

0.92 4.521 2 16.769 1.84 14.017 4 43.153 2.76 29.843 6 38.513 3.68 42.052 8 19.974 4.6 45.217 10 9.908

5.52 42.052 12 4.9141 6.44 35.269 14 2.142 7.36 25.321 16 0.963 8.28 17.634 18 0.530 9.2 12.660 20 0.294

10.12 9.495 22 0.098 11.04 6.782 24 0 11.96 4.973 12.88 3.617 13.8 2.260 16.1 0.904 18.4 0.452 20.7 0.226 23 0


56

Tabla 11.3. Resultados numéricos. Hidrograma compuesto.

t (h) H.U. x 2cm H.U. x 4 cm H.U. x 3 cm Hidr. Total 0 0 0 2 33.539 0 33.539 4 86.306 67.078 0 153.384 6 77.026 172.612 50.309 299.947 8 39.948 154.053 129.459 323.460

10 19.816 79.897 115.540 215.254 12 9.829 39.633 59.922 109.386 14 4.285 19.659 29.725 53.670 16 1.926 8.571 14.744 25.243 18 1.061 3.853 6.428 11.343 20 0.589 2.123 2.889 5.603 22 0.196 1.179 1.592 2.968 24 0 0.393 0.884 1.277 26 0 0.294 0.294 28 0 0


57

PROBLEMA 12 Dado el hidrograma unitario de un aguacero de cuatro horas de duración, se pide: a) Hallar el hidrograma unitario de un aguacero de 2 horas de duración

utilizando el método del Hidrograma en S. b) A partir del hidrograma unitario de un aguacero de 2 horas de duración

hallar el hidrograma unitario de 12 h.

Tabla 1. Hidrograma unitario de 4 h

Tiempo (h) 0 4 8 12 16 20 24 q (m3/s/cm) 0 12 75 132 180 210 183

Tiempo (h) 28 32 36 40 44 48 52 q (m3/s/cm) 156 135 124 96 87 66 54

Tiempo (h) 56 60 64 68 72 76 80 q (m3/s/cm) 42 33 24 18 12 6 0

a) Para utilizar el método del Hidrograma en S se deben calcular las ordenadas del hidrograma de intensidad unidad. En este problema se proporcionan las ordenadas del hidrograma de volumen unidad (m3/s/cm), por lo que el hidrograma unitario de intensidad unitaria q* se hallará de la siguiente forma:

Si el hietograma correspondiente al hidrograma de volumen unidad de duración ta es el que se muestra (Figura 12.1), la intensidad correspondiente a ese volumen unidad será 1/ta. De esta manera:

aa t

1tcm1Vol ⋅==

Si definimos la intensidad unitaria como 1 mm/h, para definir el hidrograma unitario (q*) producido por una lluvia de intensidad unitaria (1 mm/h) a partir del hidrograma unitario (q) de volumen unidad (1 cm) habrá que dividir este último por la intensidad (1/ta cm/h ó 10/ta mm/h):

( ) )h/mm/s/m(10t

qt10

qq 3a

a

* ⋅==

En la Tabla 12.1 se calcula el hidrograma unitario producido por una lluvia de intensidad unidad (1 mm/h) y duración ta = 4 h.


58

Tiempo (h)

I (cm/h)n

1 cm

1/ta

ta

Figura 12.1. Hietograma.

Tabla 12.1. Transformación de las ordenadas unitarias

Tiempo (h) q (m3/s/cm) 4 h q* (m3/s/mm/h) 4 h 0 0 0 4 12 4.8 8 75 30 12 132 52.8 16 180 72 20 210 84 24 183 73.2 28 156 62.4 32 135 54 36 124 49.6 40 96 38.4 44 87 34.8 48 66 26.4 52 54 21.6 56 42 16.8 60 33 13.2 64 24 9.6 68 18 7.2 72 12 4.8 76 6 2.4 80 0 0

En la figura siguiente se muestran los hidrogramas unitarios de intensidad unitaria y volumen unitario, respectivamente. También se han representado los hietogramas correspondientes que originan ambos hidrogramas.


59

0 20 40 60 80 1000

70

140

210

280 HietogramaIntensidad neta unitaria

1

1/ta

In

ta

HietogramaVolumen 1 cm

q (m

3 /s/c

m) /

q* (m

3 /s/m

m/h

)

Tiempo (h)

Hidrograma unitario de 4 h (volumen unidad: 1 cm)

Hidrograma unitario de 4 h (intensidad unidad: 1 mm/h)

Figura 12.2. Hidrogramas unitarios (volumen unidad e intensidad unidad).

Hay que hacer notar que la duración de la lluvia que originan ambos hidrogramas es la misma (ta = 4 h), lo único que varía es la intensidad neta que en un caso es 1 mm/h y en el otro (volumen unidad) es 1/ta. Una vez calculadas las ordenadas del hidrograma unitario de intensidad 1 mm/h, se halla el hidrograma en S a partir de sumar infinitos hidrogramas desplazados ta (4 h) horas producidos por una lluvia indefinida de intensidad unidad. En la Tabla 12.2 se muestra los resultados numéricos. Para obtener el hidrograma en S se van hallando los valores acumulados en cada tiempo. A partir de la hora 76 el valor ya es constante (658). Para hallar el hidrograma unitario de duración 2 h (cuarta columna de la siguiente tabla) se desplaza el hidrograma en S 2 horas (tercera columna) y se resta del hidrograma en S original (segunda columna). Para hacerlo numéricamente hallaremos las ordenadas cada 2 h interpolando de la figura del Hidrograma en S. Estos resultados se muestran en la Tabla 12.3.

Para obtener el hidrograma unitario (de volumen unidad: 1 cm) se tendrá que hacer la conversión inversa:

)cm/s/m(t10qq 3

*a

* ⋅=

donde h2t*

a = .


60

Tabla 12.2. Obtención del Hidrograma en S

Tiempo (h)

q* (m3/s/mm/h) 4 h

Valor acum.

Hidrograma en S

0 0 0 0 4 4.8 0 + 4.8 = 4.8 4.8 8 30 4.8 + 30 = 34.8 34.8 12 52.8 34.8 + 52.8 = 87.6 87.6 16 72 87.6 + 72 = 159.6 159.6 20 84 159.6 + 84 = 243.6 243.6 24 73.2 243.6 + 73.2 = 316.8 316.8 28 62.4 316.8 + 62.4 = 379.2 379.2 32 54 379.2 + 54 = 433.2 433.2 36 49.6 433.2 + 49.6 = 482.8 482.8 40 38.4 482.8 + 38.4 = 521.2 521.2 44 34.8 521.2 + 34.8 = 556 556 48 26.4 556 + 26.4 = 582.4 582.4 52 21.6 582.4 + 21.6 = 604 604 56 16.8 604 + 16.8 = 620.8 620.8 60 13.2 620.8 + 13.2 = 634 634 64 9.6 634 + 9.6 = 643.6 643.6 68 7.2 643.6 + 7.2 = 650.8 650.8 72 4.8 650.8 + 4.8 = 655.6 655.6 76 2.4 655.6 + 2.4 = 658 658 80 0 658 + 0 = 658 658

0 20 40 60 800

100

200

300

400

500

600

700

Hietograma

Hidrograma en S

1t

In (mm/h)

Q (m

3 /s)

Tiempo (h)

Figura 12.3. Hidrograma en S.


61

Tabla 12.3. Obtención de ordenadas unitarias con el Hidrograma en S.

Tiempo (h)

Hidrograma en S

Hidrograma en S desplazado 2 h

q* (m3/s/mm/h) 2 h

0 0 0 2 1.6 0 1.6 4 4.8 1.6 3.2 6 16.8 4.8 12 8 34.8 16.8 18 10 58.6 34.8 23.8 12 87.6 58.6 29 14 122 87.6 34.4 16 159.6 122 37.6 18 202 159.6 42.4 20 243.6 202 41.6 22 282 243.6 38.4 24 316.8 282 34.8 26 349 316.8 32.2 28 379.2 349 30.2 30 407 379.2 27.8 32 433.2 407 26.2 34 459 433.2 25.8 36 482.8 459 23.8 38 503 482.8 20.2 40 521.2 503 18.2 42 539.5 521.2 18.3 44 556 539.5 16.5 46 570 556 14 48 582.4 570 12.4 50 593.8 582.4 11.4 52 604 593.8 10.2 54 613 604 9 56 620.8 613 7.8 58 628 620.8 7.2 60 634 628 6 62 639.2 634 5.2 64 643.6 639.2 4.4 66 647.5 643.6 3.9 68 650.8 647.5 3.3 70 653.5 650.8 2.7 72 655.6 653.5 2.1 74 657.1 655.6 1.5 76 658 657.1 0.9 78 658 658 0 80 658 658


62

En la siguiente figura se muestra el hidrograma unitario obtenido de la diferencia entre el Hidrograma en S desplazado 2 h y el original.

0 20 40 60 800

100

200

300

400

500

600

700t

In (mm/h)Q

(m3 /s

)

Tiempo (h)

Hidrograma en S Hidrograma en S desplazado 2 h Hidrograma unitario 2 h

(intensidad unidad) (q*)

Figura 12.4. Hidrograma S desplazado. Obtención del Hidrograma unitario.

En la Tabla 12.4 se muestran los valores numéricos del hidrograma unitario (volumen unidad) de 2 h (q), después de hacer la conversión descrita anteriormente. En las figuras adjuntas (Figura 12.5 y 12.6) se muestran los hidrogramas unitarios (intensidad neta unidad) de 2 y 4 h, respectivamente, y los hidrogramas unitarios (volumen unidad) de 2 y 4 h, respectivamente. Se puede comprobar que los hidrogramas unitarios de volumen de lluvia unidad de 2 y 4 h se diferencian en el tiempo y caudal punta y el tiempo base. En el hidrograma de 4 h el tiempo base es 80 h, el tiempo punta es 20 h y el caudal punta es 210 m3/s/cm. En el hidrograma de 2 h, el tiempo base es 78 h, el tiempo punta 18 h y el caudal punta 212 m3/s/cm. Se puede comprobar que el tiempo punta de uno y otro están desplazados por un tiempo de 2 h, justamente la diferencia de duración de ambos aguaceros.


63

Tabla 12.4. Obtención del Hidrograma Unitario (volumen unidad) de 2 h.

Tiempo (h) q* (m3/s/mm/h) 2 h q (m3/s/cm) 2 h 0 0 0 2 1.6 8 4 3.2 16 6 12 60 8 18 90 10 23.8 119 12 29 145 14 34.4 172 16 37.6 188 18 42.4 212 20 41.6 208 22 38.4 192 24 34.8 174 26 32.2 161 28 30.2 151 30 27.8 139 32 26.2 131 34 25.8 129 36 23.8 119 38 20.2 101 40 18.2 91 42 18.3 91.5 44 16.5 82.5 46 14 70 48 12.4 62 50 11.4 57 52 10.2 51 54 9 45 56 7.8 39 58 7.2 36 60 6 30 62 5.2 26 64 4.4 22 66 3.9 19.5 68 3.3 16.5 70 2.7 13.5 72 2.1 10.5 74 1.5 7.5 76 0.9 4.5 78 0 0 80


64

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

20

40

60

80

100

q* (m3 /s

/mm

/h)

Tiempo (h)

Hidrograma unitario (intensidad unitaria) 4 h

Hidrograma unitario (intensidad unitaria) 2 h

Figura 12.5. Comparación de Hidrogramas Unitarios de intensidad unidad.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

50

100

150

200

250

q (m

3 s/cm

)

Tiempo (h)

Hidrograma unitario (volumen unidad) 4 h

Hidroagrama unitario (volumen unidad) 2 h

. Figura 12.6. Comparación de Hidrogramas Unitarios de volumen unidad.

b) Para hallar el hidrograma unitario (volumen unidad) de 12 h de duración a partir del de 2 h, sumaremos 6 hidrogramas unitarios de 2 h (ya que 12 h / 2 h = 6) desplazados cada 2 h y el hidrograma resultado lo dividiremos por 6 cm.

En la figura siguiente (Figura 12.7) se muestra el procedimiento de cálculo seguido: Se desplaza el hidrograma unitario de 2 h 6 veces y se suman. En la parte superior de la figura se ha representado el hietograma correspondiente a


65

cada hidrograma unitario de 2 h. En consecuencia, el volumen del hidrograma total es de 6 cm. Para convertirlo en unitario se dividen las ordenadas por 6.

0 20 40 60 80 1000

200

400

600

800

1000

1200 Tiempo (h)

1 cmIn (mm/h)

Q (m

3 /s)

Tiempo (h)

Hidr. unit. (vol. 1 cm) 2 h Hidr. unit. (vol. 1 cm) 2 h

desplazado 2 h Hidr. unit. (vol. 1 cm) 2 h




desplazado 10 h Hidr. compuesto


0 20 40 60 80 1000

200

400

600

800

1000

1200

1 cm

Tiempo (h)1/12

In (mm/h)

q (m

3 /s/c

m)

Tiempo (h)

Hidrogram unitario 12 h (volumen unidad)

Hidrograma compuesto (suma de los 6 unitarios de 2 h)

Figura 12.8. Hidrograma unitario de 12 h.

En la Tabla 12.5 se muestra el procedimiento de cálculo. La última columna representa el hidrograma unitario de 12 h. Se puede comprobar que el tiempo base de este hidrograma es 88 h. Para el cálculo del tiempo base, calcularemos


66

previamente el tiempo de concentración a partir del hidrograma unitario de 2 h ó del de 4 h.

Tabla 12.5. Obtención de Hidrograma de 12 h.

Hidrogramas unitarios desplazados 2, 4, 6, 8 y 10 h, respectivamente

T (h) q 2h q 2 h q 2 h q 2 h q 2 h q 2 h suma q 12 h 0 0 0 0 2 8 0 8 1.33 4 16 8 0 24 4 6 60 16 8 0 84 14 8 90 60 16 8 0 174 29

10 119 90 60 16 8 0 293 48.83 12 145 119 90 60 16 8 438 73 14 172 145 119 90 60 16 602 100.33 16 188 172 145 119 90 60 774 129 18 212 188 172 145 119 90 926 154.33 20 208 212 188 172 145 119 1044 174 22 192 208 212 188 172 145 1117 186.16 24 174 192 208 212 188 172 1146 191 26 161 174 192 208 212 188 1135 189.16 28 151 161 174 192 208 212 1098 183 30 139 151 161 174 192 208 1025 170.83 32 131 139 151 161 174 192 948 158 34 129 131 139 151 161 174 885 147.5 36 119 129 131 139 151 161 830 138.33 38 101 119 129 131 139 151 770 128.33 40 91 101 119 129 131 139 710 118.33 42 91.5 91 101 119 129 131 662.5 110.41 44 82.5 91.5 91 101 119 129 614 102.33 46 70 82.5 91.5 91 101 119 555 92.5 48 62 70 82.5 91.5 91 101 498 83 50 57 62 70 82.5 91.5 91 454 75.66 52 51 57 62 70 82.5 91.5 414 69 54 45 51 57 62 70 82.5 367.5 61.25 56 39 45 51 57 62 70 324 54 58 36 39 45 51 57 62 290 48.33 60 30 36 39 45 51 57 258 43 62 26 30 36 39 45 51 227 37.83 64 22 26 30 36 39 45 198 33 66 19.5 22 26 30 36 39 172.5 28.75 68 16.5 19.5 22 26 30 36 150 25 70 13.5 16.5 19.5 22 26 30 127.5 21.25 72 10.5 13.5 16.5 19.5 22 26 108 18 74 7.5 10.5 13.5 16.5 19.5 22 89.5 14.91 76 4.5 7.5 10.5 13.5 16.5 19.5 72 12 78 0 4.5 7.5 10.5 13.5 16.5 52.5 8.75 80 0 4.5 7.5 10.5 13.5 36 6 82 0 4.5 7.5 10.5 22.5 3.75 84 0 4.5 7.5 12 2 86 0 4.5 4.5 0.75 88 0 0 0


67

El hidrograma unitario de 4 h tiene un tiempo base de 80 h. La expresión del tiempo base tb en este caso es:

cab Ttt +=

donde ta es el tiempo de duración del aguacero (en este caso 4 h) y Tc es el tiempo de concentración. En consecuencia,

Tc = 80 – 4 = 76 h

Así, el tiempo base del hidrograma unitario de 12 h será:

tb = 76 + 12 = 88 h


68

PROBLEMA 13 Deducir un hidrograma unitario a partir del hidrograma neto de caudales registrado en la tabla adjunta, sabiendo que el tiempo de concentración es Tc = 6 h y el hietograma neto el registrado en la figura.

Tabla 1. Hidrograma de caudales

T (h) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Q (m3/s) 0.25 1 3.25 6.75 9.75 10 6 2 0

Tiempo (h)

I (mm/h)

5

10

1 2 3

Figura 1. Hietograma

El tiempo base del hidrograma dado es 9 h y el tiempo de concentración es 6 h, lo que implica que el tiempo de duración del aguacero es

h369Ttt cba =−=−= que coincide con el tiempo del aguacero cuyo hietograma es el expuesto en el enunciado. Veamos, ahora si cumple el primer Principio del Hidrograma Unitario, ya que si lo cumple, el hidrograma unitario pedido tendrá el mismo tiempo base que el hidrograma dado y lo único que habrá que hacer es dividir las ordenadas por el volumen de precipitación caída. En nuestro caso

Condición más restrictiva: ( )

==>= 2.1

56

5T

3t ca

Condición menos restrictiva: ( )

==>= 2

36

3T

3t ca


69

es decir, el tiempo de duración del aguacero es superior a la quinta y tercera parte del tiempo de concentración, por lo que no cumple el primer Principio del Hidrograma Unitario. Ello implica que es un hidrograma compuesto obtenido a partir de la composición de varios hidrogramas unitarios. Elegiremos el hidrograma unitario de duración 1 h (que es inferior a 1.2) por lo que cumple la condición más restrictiva del primer Principio, además de que, para ese intervalo de tiempo, el valor de la intensidad es constante. Se necesitan, en consecuencia 3 hidrogramas unitarios, cuyo tiempo base es:

h761Ttt cab =+=+=

Si aplicamos el método de composición tendremos:

0QPqtIqQ

PqPqtIqtIqQPqPqPqtIqtIqtIqQPqPqPqtIqtIqtIqQPqPqPqtIqtIqtIqQ

PqPqPqtIqtIqtIqQPqPqtIqtIqQ

PqtIqQ0Q

9

363368

26352263357

1625341162253346

1524331152243335

1423321142233324

1322311132223313

12211122212

111111

0

==∆=

+=∆+∆=++=∆+∆+∆=++=∆+∆+∆=++=∆+∆+∆=++=∆+∆+∆=

+=∆+∆==∆=

=

donde Q son las ordenadas del hidrograma compuesto (m3/s), Ii es la intensidad neta en el tiempo i (hora i), Pi es la precipitación neta en el tiempo i y qj es la ordenada del hidrograma unitario en el tiempo j (hora j) (m3/s/cm). Este sistema se expresa matricialmente:

⋅

=

6

5

4

3

2

1

3

23

123

123

123

123

12

1

8

7

6

5

4

3

2

1

qqqqqq

P00000PP0000PPP0000PPP0000PPP0000PPP0000PP00000P

QQQQQQQQ

con Q0 = Q9 = 0. La expresión simplificada:

qPQ ⋅=


70

donde Q es el vector de caudales, P es la matriz de precipitaciones y q es el vector de caudales unitarios. Para resolver el sistema premultiplicamos por la matriz traspuesta de precipitaciones para obtener una matriz cuadrada y poderla invertir. Se obtiene,

qPPQPtt

⋅⋅=⋅

qQPPPt1t

=⋅⋅

⋅

−

Los valores de las precipitaciones netas son: Para la primera hora, la lluvia caída es: cm5.0mm515h1IP 11 ==⋅=⋅= Para la siguiente: cm5.0mm515h1IP 22 ==⋅=⋅= Para las dos últimas: cm1mm10110h1IP 33 ==⋅=⋅= Si sustituimos estos valores en el sistema anterior se obtiene

⋅

=

6

5

4

3

2

1

qqqqqq

1000005.0100005.05.01000

05.05.0100005.05.0100005.05.0100005.05.0000005.0

26

1075.975.625.3125.0

Premultiplicando por la traspuesta, se obtiene

⋅

=

6

5

4

3

2

1

qqqqqq

5.175.05.000075.05.175.05.0005.075.05.175.05.00

05.075.05.175.05.0005.075.05.175.00005.075.05.1

10875.1525.1875.14

875.8875.3

y resolviendo el sistema de 6x6, se llega

q0 = 0.0 m3/s/cm q1 = 0.5 m3/s/cm q2 = 1.5 m3/s/cm q3 = 4.0 m3/s/cm


71

q4 = 6.5 m3/s/cm q5 = 5.0 m3/s/cm q6 = 2.0 m3/s/cm q7 = 0.0 m3/s/cm

En la figura adjunta se muestran el hidrograma compuesto y los tres hidrogramas cuya suma es igual al compuesto. En la siguiente figura se muestra el hidrograma unitario de 1 h de duración. La combinación de este hidrograma multiplicado por la lluvia neta caída y desplazado 1 y 2 horas da como resultado el hidrograma compuesto.

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12Hietograma

Tiempo (h)

I

Q (m

3 /s)

Tiempo (h)

Hidr. producido por 0.5 cm de lluvia

Hidr. producido por 0.5 cm de lluvia desplazado 1 h

Hidr. producido por 1 cm de lluvia desplazado 2 h

Hidr. total


0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

1

2

3

4

5

6

7

8

q (m

3 /s)

Tiempo (h)

Hidrograma unitario de 1 h

Figura 13.2. Hidrograma Unitario de 1 h.


72

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

q6

q5

q4

q3

q2

q1

q (m

3 /s/c

m)

Tiempo (h)

Hidr. unitario 1 h Hidr. unitario 1 h desplazado 1 h Hidr. unitario 1 h desplazado 2 h

Figura 13.3. Hidrograma Unitarios desplazados.


73

PROBLEMA 14 Deducir la expresión del hidrograma unitario instantáneo. (hidrograma correspondiente a un aguacero de duración infinitesimal dt y altura de lluvia 1 cm). A partir del hidrograma unitario instantáneo, deducir el hidrograma unitario de duración D.

Si una cuenca recibe una entrada unitaria (1 cm) de lluvia aplicada instantáneamente en el tiempo t*, la respuesta de dicho impulso unitario está definida por una función u(t-t*) en un tiempo t posterior, donde t-t* es el tiempo de retardo (ver figura).

I (t), Q(t)n

u(t-t )Función impulso respuesta

*

t*

1Impulso unitario

Tiempo t

Figura 14.1. Pulso y respuesta.

Si la intensidad neta de una lluvia ocurrida en t* en un intervalo infinitesimal dt* es I(t*), la altura de precipitación será ( ) ** dttI ⋅ , cuyo valor será 1 cm; lluvia que entrará en la cuenca originando un hidrograma de escorrentía directa como respuesta. El valor de la respuesta se obtendrá integrando:

( ) ( ) ( )∫ ⋅−⋅=t

0

*** dtttutItQ

que es la integral de convolución. La entrada de pulso unitario es una entrada unitaria (1 cm) que ocurre con una duración D = ∆t. La intensidad de precipitación será 1/∆t para conseguir que la precipitación sea 1 cm. En consecuencia, la función respuesta será


74

( ) ( )∫ ⋅−∆

=t

0

** dtttut

1tQ

Si hacemos el cambio de variable l = t – t*, dl = -dt*. Los límites: Para t* = 0, l = t; y para t* = t, l = 0,

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ⋅∆

=⋅∆

−=⋅−∆

=t

0

0

t

t

0

** dllut

1dllut

1dtttut

1tQ

Tiempo (h)

I (cm/h)n

1 cm

1/ t∆

∆t

Figura 14.2. Hietograma.

Si el intervalo no es infinitesimal si no que es discreto de duración ∆t, la respuesta, aplicando el Principio de Superposición del Hidrograma unitario, será:

( ) ( ) ( ) ( ) dllut

1dlludllut

1tQt

tt

t

0

tt

0

⋅∆

=

⋅−⋅

∆= ∫∫ ∫

∆−

∆−

El valor de la integral dependerá del valor de la función u(l). Si estos valores corresponden a una función discreta, se puede linealizar y, por tanto, aplicar la regla del trapecio,

( ) ( ) ( ) t2

ttutudllut

tt

∆⋅

∆−+

=⋅∫∆−

donde ( ) ( )

∆−+

2ttutu es el hidrograma unitario de duración ∆t. La aproximación

lineal de la integral se puede hacer siempre y cuando ∆t sea muy pequeño. Una vez


75

obtenido este hidrograma unitario de duración ∆t, para hallar el hidrograma unitario de duración D > ∆t, se procedería con otro método, como el del Hidrograma en S, a partir de dicho hidrograma unitario de duración ∆t.


76

PROBLEMA 15 Dada la cuenca geométrica de la figura adjunta con un flujo canalizado de 1 m/s y un flujo superficial de 0.5 m/s, se pide:

a) Deducir el tiempo de concentración de la cuenca Tc. b) Dibujar 10 isocronas. c) Deducir el hidrograma para un aguacero de duración Tc/10 e

intensidad neta de 3.6 mm/h. d) Deducir el hidrograma para un aguacero de duración infinita e

intensidad neta de 3.6 mm/h.

V = 1 m/s

V = 0.5 m/s

1000 m

1000 m

Figura 1. Cuenca

Nota: No tener en cuenta el factor de uniformidad ni el coeficiente reductor por área.

a) Para hallar el tiempo de concentración habrá que seleccionar el punto más alejado del punto de desagüe de la cuenca. En este caso, al ser la cuenca rectangular, el punto más alejado cuyo recorrido hasta llegar al punto de desagüe observando las líneas de corriente serán los puntos de las esquinas A ó B (ver Figura 15.1).

El tiempo de concentración será:

s2000s/m1m1000

s/m5.0m500

Tc =+=


77

V = 1 m/s

V = 0.5 m/s

1000 m

1000 m

A B

Figura 15.1. Recorrido del punto más alejado.

b) Las isocronas son líneas de igual tiempo de escurrimiento, de forma que cualquier gota de agua precipitada a lo largo de ella tarda el mismo tiempo en alcanzar el punto de desagüe de la cuenca.

Del dibujo se deduce que un punto A situado a 500 m del cauce tarda en alcanzar éste:

s1000s/m5.0

m500T ==

el mismo tiempo que tarda en recorrer una gota caída en el extremo opuesto al punto de desagüe la longitud del río:

s1000s/m1m1000

T ==

por lo que la isocrona de 1000 s será la representada en la Figura 15.2. Como el tiempo de concentración es 2000 s se dibujarán 10 isocronas correspondientes a 200, 400, 600, 800, 1000, 1200, 1400, 1600, 1800, 2000 s (incremento de tiempo s20010Tt c ==∆ ). En la figura siguiente se muestran las 10 isocronas.


78

1000 m

1000 m

T = 1000 s

Figura 15.2. Isocrona de 1000 segundos.

1000 m

1000 m

200400 600800 1000

1200

1400

1600

1800

ISOCRONAS

Figura 15.3. Representación de las 10 isocronas.

c) El área existente entre las isocronas se puede calcular fácilmente al ser figuras

geométricas trapezoidales y triangulares. Las áreas calculadas se muestran en la siguiente tabla (Tabla 15.1).


79

Tabla 15.1. Áreas comprendidas entre isocronas.

ISOCRONAS ÁREA (m2) 0 – 200 s 20000

200 – 400 s 60000 400 – 600 s 100000 600 – 800 s 140000 800 – 1000 s 180000 1000 – 1200 s 180000 1200 – 1400 s 140000 1400 – 1600 s 100000 1600 – 1800 s 60000 1800 – 2000 s 20000

La expresión del cálculo del caudal que se obtiene a partir de un aguacero de intensidad neta In y duración D es:

ini AI6.3

1Q ⋅⋅=

donde In es la intensidad neta uniforme (en mm/h) producida sobre la cuenca, Ai es el área (en km2) comprendida entre dos isocronas cuyo intervalo de separación temporal es D y Qi es el caudal (en m3/s) producido en el punto de desagüe cada intervalo D. En nuestro caso la duración del aguacero es

s20010TD c == e In = 3.6 mm/h. En la tabla siguiente se muestran los cálculos realizados para obtener el hidrograma.

Tabla 15.2. Caudales

Tiempo (s) Qi = In Ai /3.6 200 3.6 0.02/3.6 = 0.02 400 3.6 0.06/3.6 = 0.06 600 3.6 0.1/3.6 = 0.1 800 3.6 0.14/3.6 = 0.14 1000 3.6 0.18/3.6 = 0.18 1200 3.6 0.18/3.6 = 0.18 1400 3.6 0.14/3.6 = 0.14 1600 3.6 0.1/3.6 = 0.1 1800 3.6 0.06/3.6 = 0.06 2000 3.6 0.02/3.6 = 0.02

El agua caída los primeros 200 s producen un caudal de 0.02 m3/s. En ese momento cesa la lluvia y al cabo de otros 200 s (tiempo 400 s) llega al punto de desagüe el agua caída en el área comprendida entre la isocrona 200 s y 400 s, y


80

así sucesivamente hasta llegar a 2000 s que es el tiempo de concentración. En la figura adjunta se muestra el hidrograma producido y el histograma (Figura 15.4).

0 400 800 1200 1600 2000 24000.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.203.6

200 Tiempo (s)

In (mm/h)Q

(m3 /s

)

Tiempo (s)

hidrograma producido por una lluvia de 3.6 mm/h de intensidad neta y duración 200 s

Figura 15.4. Hidrograma e Hietograma

d) Para obtener el hidrograma producido por una lluvia de duración infinita se calculará el hidrograma con valores acumulados tal y como se realiza para obtener el hidrograma en S, sólo que en este caso la intensidad neta es 3.6 mm/h en lugar de 1 mm/h. En la tabla adjunta se muestran los cálculos realizados para la obtención de dicho hidrograma.

Tabla 15.3. Cálculos para obtener el hidrograma.

Tiempo (s)

Hidrograma Q (m3/s)

Valor acumulado Hidrograma

0 0 0 200 0.02 0.02 400 0.06 0.08 600 0.1 0.18 800 0.14 0.32 1000 0.18 0.5 1200 0.18 0.68 1400 0.14 0.82 1600 0.1 0.92 1800 0.06 0.98 2000 0.02 1 2200 0 1


81

Se puede observar que a partir del tiempo 2000 s, que es el tiempo de concentración el valor del caudal es constante (igual a 1 m3/s). En la siguiente figura se muestra el hidrograma obtenido y el hietograma.

0 400 800 1200 1600 20000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.23.6

Tiempo (s)

In (mm/h)

Q (m

3 /s)

tiempo (s)

Hidrograma

Figura 15.5. Hidrograma e Hietograma producido.


82

PROBLEMA 16 Dada la cuenca geométrica de la figura adjunta con las líneas de flujo convergiendo al punto de desagüe , se pide:

a) Deducir el tiempo de concentración de la cuenca Tc. b) Dibujar 4 isocronas. c) Deducir el hidrograma para un aguacero de duración Tc/5 e

intensidad neta de 3.6 mm/h. d) Deducir el hidrograma para un aguacero de duración infinita e

intensidad neta de 3.6 mm/h.

400 m

300 m

V = 0.75 m/s

V = 1 m/s

Figura 1. Cuenca

a) Para deducir el tiempo de concentración se calcula el tiempo que tarda en llegar la gota que cae en el punto más alejado de la cuenca al punto de desagüe:

Tc = 400/1 = 400 seg. = 300/0.75

b) Para dibujar las cuatro isocronas se calcula el valor de éstas, que corresponderán

al dividir el tiempo de concentración entre 5:

Isocronas 400/5= cada 80 seg.

En la Figura 16.1 se muestran las isocronas obtenidas.


83

400 m

300 m

V = 0.75 m/s

V = 1 m/s

80 s 160 s240 s 320 s400 s

Figura 16.1. Isocronas.

c) Para obtener el hidrograma generado por un aguacero de la intensidad dada se ha de aplicar la fórmula

ini AI6.3

1Q ⋅⋅=

En la Tabla 16.1 se muestran los cálculos realizados. En dicha tabla la columna correspondiente al título de ÁREAS se ha obtenido restando las superficies de cada triángulo con el anterior para hallar las superficies comprendidas entre isocronas.

Tabla 16.1. Cálculos para obtener el hidrograma.

ALTURA (m) BASE (m) AREA TRIAN. (m2) ÁREAS (m2) Q (m3/s) 80 60 x 2 4800 4800 0.0048

160 120 x 2 19200 14400 0.0144 240 180 x 2 63200 24000 0.024 320 240 x 2 76800 33600 0.0336 400 300 x 2 120000 43200 0.0432

En la Figura 16.2 se muestra el hidrograma correspondiente al aguacero producido.

d) En este caso la duración del aguacero es infinito, por lo que al punto de desagüe

le va a ir llegando el agua caída en todas las superficies de la cuenca, es decir se va a acumular la cantidad de agua, aumentando el caudal hasta que se alcance un estacionario cuando el tiempo transcurrido sea el de concentración de la cuenca. En la Tabla 16.2 se muestran los cálculos realizados. En las Figuras 16.3 y 16.4 se muestra el hidrograma obtenido.


84

Tabla 16.2. Cálculos para obtener el hidrograma generado por una lluvia de larga duración.

ALTURA (m) BASE (m) ÁREAS (m2) Q (m3/s) Q (m3/s) ACUM.

80 60 x 2 4800 0.0048 0.0048 160 120 x 2 14400 0.0144 0.0192 240 180 x 2 24000 0.024 0.0432 320 240 x 2 33600 0.0336 0.0768 400 300 x 2 43200 0.0432 0.12

Figura 16.2. Hidrograma producido por una lluvia de duración 80 s.

Figura 16.3. Hidrograma producido por una lluvia de duración infinita.

Q

t (s)80 160 240 320 400

0.0048

0.0144

0.024

0.00336

0.0432

480

Q

t (s)80 160 240 320 400

0.0048

0.0144

0.024

0.00336

0.0432

480

0 100 200 300 400 500 6000.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

Q (m

3 /s)

T (seg)


85

Figura 16.4. Hidrograma producido por una lluvia de duración infinita. Detalle.

Q

t (s)80 160 240 320 400

0.0048

0.0192

0.0432

0.0768

Q

t (s)80 160 240 320 400

0.0048

0.0192

0.0432

0.0768


86

PROBLEMA 17 Dado de Hidrograma unitario de un aguacero de 4 horas de duración se pide calcular:

a) El hidrograma en S b) El hidrograma unitario de un aguacero de 12 horas para la misma

cuenca c) Tiempo de concentración de la cuenca

Tabla 1. Hidrograma Unitario de 4 h

Tiempo (h) 0 2 4 6 8 10 12 16 18 q (m3/s/cm) 0 8 20 45 80 100 130 150 143 Tiempo (h) 20 24 26 28 32 34 36 40 44 q (m3/s/cm) 130 90 66 52 27 19 15 5 0

Al ser un hidrograma unitario de 4 horas de duración sólo tendremos en cuenta las ordenadas cada cuatro horas.

a) Hidrograma en S

Para calcula el Hidrograma en S hay que hacer la conversión de las ordenadas unitarias m3/s/cm a ordenadas m3/s/mm/h mediante la conversión:

( ) ( )10t

cmsmqhmmsmq a33* ⋅=

donde ta = 4 h. En la siguiente tabla se muestra los valores numéricos del Hidrograma en S.

Tabla 17.1. Cálculo del Hidrograma en S. Tiempo (h) q (m3/s/cm) q* (m3/s/mm/h) Valor acum. Hidr. en S

0 0 0 0 0 4 20 8 0 + 8 = 8 8 8 80 32 8 + 32 = 40 40

12 130 52 40 + 52 = 92 92 16 150 60 92 + 60 = 152 152 20 130 52 152 + 52 = 204 204 24 90 36 204 + 36 = 240 240 28 52 20.8 240 + 20.8 = 268.8 268.8 32 27 10.8 268.8 + 10.8 = 271.6 271.6 36 15 6 271.6 + 6 = 277.6 277.6 40 5 2 277.6 + 2 = 279.6 279.6 44 0 0 279.6 + 0 = 279.6 279.6 48 - 0 279.6 279.6


87

b) Hidrograma unitario de un aguacero de 12 horas de duración.

En este caso se desplaza el hidrograma en S anterior 12 horas y se resta del original. El hidrograma obtenido está dado en m3/s/mm/h. Para obtener el Hidrograma unitario (volumen unidad) de un aguacero de 12 horas de duración se aplica la conversión:

( ) ( )'a

3*3

t10hmmsmqcmsmq ⋅=

donde ta’ = 12 h. En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos.

Tabla 17.2. Cálculo del Hidrograma Unitario de 12 h.

Tiempo (h) Hidr. en S Hidr. en S desplazado 12 h

q* (m3/s/mm/h) 12 h

q (m3/s/cm) 12 h

0 0 0 0 4 8 8 6.7 8 40 40 33.3

12 92 0 92 76.7 16 152 8 144 120 20 204 40 164 136.7 24 240 92 148 123.3 28 268.8 152 108.8 90.7 32 271.6 204 67.6 56.3 36 277.6 240 37.6 31.3 40 279.6 268.8 18.8 15.7 44 279.6 271.6 8 6.7 48 279.6 277.6 2 1.7 52 279.6 279.6 0 0 56 279.6 279.6 0 0

En los siguientes gráficos se muestran los diferentes hidrogramas obtenidos: - Hidrograma unitario q 4 h (Figura 17.1). - Hidrograma unitario q* 4 h (Figura 17.1). - Hidrograma en S (Figura 17.2). - Hidrograma en S desplazado (Figura 17.2). - Hidrograma unitario q 12 h (Figura 17.3). - Hidrograma unitario q* 12 h (Figura 17.3).


88

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 520

20

40

60

80

100

120

140

160

Cau

dal u

nita

rio

Tiempo (h)

Hidrograma unitario q(m3/s/cm) 4 h

Hidrograma unitario q*(m3s/mm/h) 4 h

Figura 17.1. Hidrogramas Unitarios de 4 h.

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 600

50

100

150

200

250

300

Cau

dale

s

Tiempo (h)

Hidrograma en S (m3/s/mm/h) Hidrograma en S desplazado 12 h Hidrograma unitario q*(m3/s/mm/h) 12 h

Figura 17.2. Hidrogramas en S.


89

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 520

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Cau

dale

s un

itario

s

Tiempo (h)

Hidrograma unitario q*(mm3/s/mm/h) 12 h

Hidrograma unitario q(m3/s/cm) 12 h

Figura 17.3. Hidrogramas Unitarios de 12 h.

c) Tiempo de concentración de la cuenca.

El tiempo de concentración de la cuenca es:

Tc = tb – ta = 44 – 4 = 40 h

Tanto el hidrograma unitario de un aguacero de 4 h de duración como el hidrograma unitario de un aguacero de 12 h de duración cumplen el Primer Principio del hidrograma unitario:

3T

4 c≤ y 3T

12 c≤

ya que

h3.13340

3Tc ==


90

AFOROS Y AVENIDAS

PROBLEMA 18 Calcular el caudal en una estación de aforo siendo las medidas de velocidades en la sección, a profundidad 0.2 y 0.8 del calado, las contenidas en el cuadro siguiente (Marín, 2001). En la figura adjunta se muestra el sistema de referencia.

Tabla 1. Medidas

Medida número

Distancia origen (m)

Ancho (m)

Calado (m)

Velocidad a 0.2 d (m/s)


1 0 1 0 0 0 2 2 2.25 0.5 0.3 0.12 3 4.5 2.4 1.4 0.8 0.35 4 6.8 2.75 2.4 1.12 0.45 5 10 4.1 1.9 1.2 0.51 6 15 5 2.7 1.4 0.62 7 20 5.25 3.1 1.55 0.67 8 25.5 5.1 2.6 1.45 0.63 9 30.2 6.5 3 1.62 0.72

10 38.5 7.5 2.4 1.2 0.43 11 45.2 6.05 1.8 1.97 0.37 12 50.6 6.2 0.9 0.82 0.28 13 57.6 6 0.3 0.25 0.11 14 62.6 2.5 0 0 0

0 origen

Ancho

Calado

Distancia0.2 calado

0.8 calado

Figura 1. Esquema


91

Para hallar el caudal se calcula una media ponderada de los caudales parciales con las superficies asociadas a cada franja. La velocidad en una franja es la media aritmética de las velocidades de 0.2 y 0.8 d. Para calcular el área se aproxima la superficie de cada franja a rectángulos. Posteriormente se multiplicará cada velocidad media por cada superficie parcial para obtener un caudal en cada franja. La suma total de los caudales parciales es el caudal total buscado. En la tabla siguiente se muestran los valores obtenidos.

Tabla 18.1. Cálculos.

Medida número

Ancho(m)

Calado (m)

Área(m2)



Velocidad media (m/s)

Caudal(m3/s)

1 1 0 0 0 0 0 0 2 2.25 0.5 1.125 0.3 0.12 0.21 0.2 3 2.4 1.4 3.36 0.8 0.35 0.58 1.9 4 2.75 2.4 6.6 1.12 0.45 0.79 5.2 5 4.1 1.9 7.79 1.2 0.51 0.86 6.7 6 5 2.7 13.5 1.4 0.62 1.01 13.6 7 5.25 3.1 16.27 1.55 0.67 1.11 18.1 8 5.1 2.6 13.26 1.45 0.63 1.04 13.8 9 6.5 3 19.5 1.62 0.72 1.17 22.8 10 7.5 2.4 18 1.2 0.43 0.82 14.7 11 6.05 1.8 10.89 1.97 0.37 0.72 7.8 12 6.2 0.9 5.58 0.82 0.28 0.55 3.1 13 6 0.3 1.8 0.25 0.11 0.18 0.3 14 2.5 0 0 0 0 0 0

Totales 117.7 108.2

El caudal resultante es 108.2 m3/s que corresponde a una velocidad media de

s/m92.07.1172.108v ==


92

PROBLEMA 19 Determinar los caudales característicos y dibujar la curva de caudales clasificados del año hidrológico 1989/1990 a partir de los datos de la tabla adjunta. Se pide también deducir la expresión analítica de Coutagne y la curva de caudales adimensionalizada. ¿Cuántos días podría operar una central hidroeléctrica cuyo caudal mínimo de funcionamiento es Qmin = 1 m3/s y el caudal máximo admisible es Qmax = 12 m3/s.

Tabla 1. Datos

Día Oct Nov Dic En Feb Mar Abr May Jun Jul Ag Sep 1 0.8 1.36 5.84 19.32 32.2 10 5.28 5.28 3.32 2.2 0.8 0.64 2 0.8 1.36 5.84 16.22 40.92 9.64 5.56 5.28 3.32 2.2 0.8 0.64 3 0.8 3.04 5.56 15.6 41.9 9.28 5.56 5 3.32 2.2 0.72 0.64 4 0.8 3.6 4.72 14.48 35.4 8.92 5.28 5 3.32 2.2 0.72 0.64 5 0.8 3.6 4.16 13.92 30.6 8.56 5.56 4.72 3.04 2.2 0.72 0.64 6 0.8 5.84 4.16 13.36 28.28 8.56 6.12 4.72 3.04 2.2 0.72 0.64 7 0.8 10 3.88 13.92 24.68 8.56 6.76 4.44 3.04 2.2 0.72 0.64 8 0.8 8.92 3.88 13.36 24.68 8.56 6.12 4.44 3.04 2.2 0.72 0.64 9 0.8 8.2 3.88 12.8 23.96 8.56 5.84 5 3.04 1.92 0.72 0.64 10 0.8 7.48 3.88 11.68 23.24 7.84 5.84 5 2.76 1.64 0.72 0.64 11 0.8 5.56 4.16 11.12 26.12 7.84 5.56 4.72 2.76 1.64 0.72 0.64 12 0.8 5.56 5 10.56 37 8.2 5.56 4.72 2.48 1.64 0.72 0.64 13 0.8 4.72 10.56 10 31.4 8.2 5.56 5 2.48 1.64 0.72 0.64 14 0.8 4.44 8.2 9.64 27.56 8.2 5.56 5.28 2.48 1.36 0.72 0.64 15 0.8 4.44 17.46 9.28 25.4 7.84 5.56 5 2.48 1.36 0.72 0.64 16 0.72 4.16 29.8 8.92 23.24 7.48 6.12 4.72 2.48 1.08 0.72 0.64 17 0.72 4.16 47.82 8.56 21.18 7.12 6.12 4.44 2.48 1.08 0.72 0.64 18 0.72 6.4 41.9 8.2 19.94 6.76 5.84 4.44 2.48 1.08 0.72 0.64 19 0.8 10.56 37.98 7.84 18.7 6.76 5.84 4.44 2.48 1.08 0.72 0.64 20 0.8 6.76 29 7.48 18.08 6.4 5.84 4.44 2.2 0.8 0.72 0.64 21 0.72 6.76 81.9 7.48 17.46 6.4 6.4 4.44 2.2 0.8 0.72 0.64 22 1.08 11.12 106.7 7.12 15.6 6.4 6.4 4.44 2.48 0.8 0.72 0.64 23 2.48 9.64 77.28 6.76 14.48 6.12 6.4 4.44 2.48 0.8 0.72 0.64 24 3.32 9.28 47.82 7.12 13.92 6.12 6.76 4.16 2.48 0.8 0.72 0.64 25 3.04 9.28 41.9 7.48 13.36 5.84 6.76 4.16 2.48 0.8 0.72 0.64 26 2.76 8.92 42.88 10 12.24 5.56 6.4 3.88 2.48 0.8 0.72 0.64 27 2.48 7.84 35.4 14.48 11.68 5.56 6.12 3.88 2.48 0.8 0.72 0.56 28 2.2 7.48 30.6 23.96 11.12 5.56 5.84 3.88 2.48 0.8 0.72 0.56 29 2.2 7.12 26.84 20.56 5.56 5.56 3.88 2.48 0.8 0.72 0.64 30 1.92 6.12 23.96 29.8 5.28 5.28 3.88 2.48 0.8 0.64 0.64 31 1.64 21.8 30.6 5.28 3.6 0.8 0.64

En primer lugar se ordenan los caudales de mayor a menor y contamos las veces que se repiten dichos caudales a lo largo del año. En la tabla adjunta se muestran los valores de los caudales con la frecuencia absoluta que se ha producido en el año dado. Se han seleccionado unos intervalos de valores para agrupar los caudales de forma más sencilla. En la primera figura se muestra la representación de dichos caudales con respecto a la frecuencia absoluta (número de veces que se ha repetido dicho valor).


93

Tabla 19.1. Datos ordenados.

Caudal (m3/s)

Número de días que se alcanza o

supera

Caudal(m3/s)


supera

Caudal (m3/s)


supera 106.7 1 20.56 37 6.76 115 81.9 2 19.94 38 6.4 123 77.28 3 19.32 39 6.12 131 47.82 5 18.7 40 5.84 141 42.88 6 18.08 41 5.56 157 41.9 9 17.46 43 5.28 164 40.92 10 16.22 44 5 171 37.98 11 15.6 46 4.72 178

37 12 14.48 49 4.44 189 35.4 14 13.92 52 4.16 196 32.2 15 13.36 55 3.88 205 31.4 16 12.8 56 3.6 208 30.6 19 12.24 57 3.32 213 29.8 21 11.68 59 3.04 220 29 22 11.12 62 2.76 223

28.28 23 10.56 65 2.48 242 27.56 24 10 69 2.2 254 26.84 25 9.64 72 1.92 256 26.12 26 9.28 76 1.64 261 25.4 27 8.92 80 1.36 265 24.68 29 8.56 86 1.08 270 23.96 32 8.2 92 0.8 301 23.24 34 7.84 97 0.72 332 21.8 35 7.48 103 0.64 363 21.18 36 7.12 107 0.56 365

Los caudales característicos que se pueden obtener de la figura o de la tabla anterior son los siguientes: • Caudal medio (Q): 7.74 m3/s • Caudal máximo absoluto (QC): 106.7 m3/s • Caudal máximo característico (igualado o superado en 10 días) (QMC): 40.92 m3/s • Caudal superado o igualado en 90 días (Q90): 8.32 m3/s (valor interpolado a partir de

la tabla) • Caudal semipermanente (Qs): 4.58 m3/s • Caudal igualado o superado en 270 días (Q270): 1.08 m3/s • Caudal mínimo característico (Qmc): 0.66 m3/s (valor interpolado a partir de la tabla) • Caudal del día más seco (Qc): 0.56 m3/s La curva de Coutagne tiene la siguiente expresión:


94

( ) ( ) ( )nn

mcmc tT

Tn1QQ

Qq −⋅+⋅−

+=

donde q es el caudal igualado o superado durante t días en el curso de un período de observación de T días, y n es el coeficiente de irregularidad:

mc

mcsn QQ

QQ2

1n−−

=+

Sustituyendo los valores:

55367.0QQQQ

21n

mc

mcsn =

−−

=+

y resolviendo: n = 2.77 La expresión de la curva para T = 365 días es:

( ) 77.26 t3651013.266.0q −⋅+= −

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 4000

20

40

60

80

100

120

Q (m

3 /s)

Días

Curva de caudales clasificados

Figura 19.1. Curva de caudales clasificados.

La curva de Coutagne se ajusta bien con respecto a la de caudales clasificados para caudales inferiores, caudales producidos a partir de 40 días. En cuanto a los días que puede operar la central hidroeléctrica en el año, a partir de la figura se obtiene el número de días que se iguala o supera el caudal mínimo de 1 m3/s y


95

el caudal máximo de 12 m3/s, que son 278 y 57 días, respectivamente. Por tanto, la central podrá operar 278 – 57 = 221 días al año (Figura 19.4). Por último, se muestra también la curva de caudales clasificados adimensionalizada: % de tiempo en el eje de abcisas (% con respecto a 365 días) y Q/Qmed en el eje de ordenadas, donde Qmed es el caudal medio anual. En la Tabla 19.2 se muestran los valores numéricos de la curva adimensionalizada de caudales clasificados.

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

5

10

15

20

25

30

Q (m

3 /s)

Días

Curva de Coutagne

Figura 19.2. Curva de Coutagne.

0 20 40 60 80 100 1200

2

4

6

8

10

12

14

16

Q/7

.74

t/365 (%)

Curva adimensionalizada de caudales clasificados

Figura 19.3. Curva adimensionalizada de caudales clasificados.


96

Tabla 19.2. Valores numéricos de la curva adimensionalizada de caudales clasificados.

Q/7.74 Caudal

Medio: 7.74

tiempo/365 (%)

Período:365

Q/7.74 Caudal

Medio: 7.74

tiempo/365 (%)

Período:365

Q/7.74 Caudal

Medio: 7.74

tiempo/365(%)

Período:36513.78 0.27 2.65 10.13 0.87 31.50 10.58 0.54 2.57 10.41 0.82 33.69 9.98 0.82 2.49 10.68 0.79 35.89 6.17 1.36 2.41 10.95 0.75 38.63 5.54 1.64 2.331 11.23 0.71 43.01 5.41 2.46 2.25 11.78 0.68 44.93 5.28 2.73 2.09 12.05 0.64 46.84 4.90 3.01 2.01 12.60 0.60 48.76 4.78 3.28 1.87 13.42 0.57 51.78 4.57 3.83 1.79 14.24 0.53 53.69 4.16 4.10 1.72 15.06 0.50 56.16 4.05 4.38 1.65 15.34 0.46 56.98 3.95 5.20 1.58 15.61 0.42 58.35 3.85 5.75 1.50 16.16 0.39 60.27 3.74 6.02 1.43 16.98 0.35 61.09 3.65 6.30 1.36 17.80 0.32 66.30 3.56 6.57 1.29 18.90 0.28 69.58 3.46 6.84 1.24 19.72 0.24 70.13 3.37 7.12 1.19 20.82 0.21 71.50 3.28 7.39 1.15 21.91 0.17 72.60 3.18 7.94 1.10 23.56 0.13 73.97 3.09 8.76 1.05 25.20 0.10 82.46 3.00 9.31 1.01 26.57 0.09 90.95 2.81 9.58 0.96 28.21 0.08 99.45 2.73 9.86 0.91 29.31 0.07 100

0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 4000123456789

1011121314

57 d278 d

Q (m

3 /s)

Días

Curva de caudales clasificados

Figura 19.4. Valores de caudales para distintos tiempos.


97

PROBLEMA 20 Para la medición del caudal en un arroyo se ha recurrido al aforo químico de inyección instantánea de un trazador. En este caso se inyectó una solución concentrada de cloruro sódico (100 g en 15 litros de agua). En una sección situada aguas abajo se extraen muestras a intervalos regulares de tiempo, cuyas concentraciones se muestran en la siguiente tabla. Se pide calcular el caudal y la longitud de mezcla sabiendo que el arroyo tiene 2 m de ancho, 0.5 m de profundidad y el coeficiente de Chezy es 17.

Tabla 1. Datos

Tiempo (s) Concentración (gr/l)0 0

15 0.3 30 1.7 45 2.5 60 2.4 75 2.1 90 1.6 105 1.1 120 0.5 135 0.3 150 0.1

En la Figura 20.1 se representa la evolución temporal de las concentraciones obtenidas en una sección situada aguas abajo correspondiente a la tabla del enunciado. Haciendo un balance de masa el caudal viene expresado por:

∑∫∆

≈⋅

=

iii

T

o

tCM

dtC

MQ

donde M es la masa vertida en el río y representa el área que delimita la curva de la figura. Para aplicar la anterior fórmula se ha construido una tabla (Tabla 20.1) en la que se dan los resultados del cálculo de la integral mediante la aproximación de la superficie con figuras geométricas sencillas (triángulos y trapecios).


98

Tabla 20.1. Cálculo de la masa

Tiempo (s) Concentración (gr/l) Concentración media en

el intervalo Cmed

Cmed x ∆t

0 0 15 0.3 0.15 2.25 30 1.7 1 15 45 2.5 2.1 31.5 60 2.4 2.45 36.75 75 2.1 2.25 33.75 90 1.6 1.85 27.75 105 1.1 1.35 20.25 120 0.5 0.8 12 135 0.3 0.4 6 150 0.1 0.2 3 165 0 0.05 0.75

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Con

cent

raci

ón (g

r/l)

Tiempo (s)

Concentración

Figura 20.1. Evolución temporal de la concentración.

El valor total:

l/sgr189tCi

ii ⋅=∆⋅∑

En consecuencia,


99

s/l53.0189100

tCM

dtC

MQ

iii

T

o

==∆

≈⋅

=∑∫

La longitud de mezcla viene dada por la expresión:

( )6C7.0gC

HB13.0L

2

+⋅⋅⋅⋅=

donde B es la anchura del arroyo en metros, H la profundidad en metros, g la aceleración de la gravedad y C el coeficiente de Chezy. En nuestro caso L vale:

( ) m26.326177.081.9

175.0

213.0L2

=+⋅⋅⋅⋅=


100

PROBLEMA 21 Calcular el caudal máximo para períodos de retorno de 25, 50, 75, 100 y 500 años utilizando los métodos estadísticos de Gumbel, Log-Pearson y log-Normal y el método empírico de Gete, sabiendo que el área de la cuenca es 248 Km2. Comparar los resultados obtenidos. Calcular el intervalo de confianza del 95% para la avenida de T = 500 años. NOTA: En la tabla adjunta se presentan los dos caudales máximos para cada año hidrológico. Considerar los 32 datos para el cálculo de los parámetros de la distribución.

Tabla 1. Caudales máximos

Año hidrológico Caudal 1 (m3/s) Caudal 2 (m3/s) 1970-71 61.0 58.0 1971-72 260.6 249.5 1972-73 111.0 52.0 1973-74 96.0 85.2 1974-75 105.0 66.0 1975-76 52.85 48.65 1976-77 77.0 78.0 1977-78 307.0 210.0 1978-79 172.0 114.0 1979-80 40.0 40.1 1980-81 156.0 79.51 1981-82 55.3 43.35 1982-83 65.18 49,2 1983-84 58.83 50.31 1984-85 63.06 38.94 1985-86 56.0 56.0

a) La expresión del caudal por el método empírico de Gete es:

( ) 5.0T ATlog164Q ⋅⋅+=

donde

A es el área en km2 T el período de retorno en años QT el caudal de la avenida en m3/s para el período de retorno T

Sustituyendo los valores se obtiene la siguiente tabla (Tabla 21.1).


101

Tabla 21.1. Método de Gete.

Período de retorno T (años) Cálculo QT (m3/s) 25 ( ) 5.024825log164 ⋅⋅+ 415.22 50 ( ) 5.024850log164 ⋅⋅+ 491 75 ( ) 5.024875log164 ⋅⋅+ 535.4 100 ( ) 5.0248100log164 ⋅⋅+ 566 500 ( ) 5.0248500log164 ⋅⋅+ 743.04

b) La expresión del cálculo del caudal de avenida por el método de Gumbel es:

σ⋅+= KQQ medT

donde Qmed es la media de los caudales, K es el factor de frecuencia y σ es la desviación típica:

∑⋅=i

imed QN1Q

( )∑ −⋅−

=σi

2medi QQ

1N1

siendo N el tamaño de la muestra. En nuestro caso N = 32. En consecuencia, la media y desviación típica de los 32 caudales es:

48.95QN1Q

iimed =⋅= ∑

( ) 41.70QQ1N

1i

2medi =−⋅

−=σ ∑

Para calcular el factor de frecuencia, calcularemos la función de distribución y la variable de Gumbel yT:

[ ] ( )[ ]TT yexpexp1QQobPr −−−=≥

o bien

−⋅

α−=

1TTLnLn1aQT

con


102

( )aQy TT −⋅α=

donde α y a son dos parámetros de distribución cuya expresión es

σσ

=α*

α−= N

medy

Qa

donde σ* y yN son dos parámetros que dependen del tamaño N de la muestra. En nuestro caso al ser N = 32, se obtiene

1193.1* =σ

538.0y N =

de la Tabla 21.2.

Tabla 21.2. Valores de los parámetros en función del tamaño de muestra.

N yN σ* N yN σ*

14 0.5100 1.0094 32 0.538 1.1193 15 0.5128 1.0206 36 0.541 1.1313 16 0.5154 1.0306 37 0.5418 1.1339 17 0.5176 1.0396 38 0.5424 1.1363 18 0.5198 1.0480 39 0.5430 1.1388 19 0.5202 1.0544 40 0.5436 1.1413 20 0.5236 1.0628 41 0.5442 1.1436 21 0.5252 1.0696 42 0.5448 1.1458 22 0.5268 1.0754 43 0.5453 1.1480 23 0.5283 1.0811 44 0.5458 1.1499 24 0.5296 1.0864 45 0.5463 1.1519 25 0.5309 1.0915 46 0.5468 1.1538 26 0.5320 1.0961 47 0.5473 1.1557

Sustituyendo,

01589.041.70

1193.1*

==σσ

=α

64.6101589.0

538.048.95y

Qa Nmed =−=

α−=


103

El factor de frecuencia viene dado por

*NT yy

Kσ−

=

Se puede calcular cada caudal QT a partir de la expresión de la función de distribución anteriormente dada

−⋅−=

−⋅

α−=

1TTLnLn

01589.0164.61

1TTLnLn1aQT

En la tabla siguiente se dan los caudales obtenidos para cada período de retorno, al sustituir su valor en la ecuación anterior.

Tabla 21.3. Valores de Q mediante Gumbel para los distintos períodos de retorno.

Período de retorno T (años) QT (m3/s) 25 262.9 50 307.2 75 332.9 100 351.14 500 452.67

Para calcular el intervalos de confianza del 95% se sabe que

[ ] %95QQQobPr icT =≤− donde Qic es el semiancho del intervalo de confianza β% que viene dado por

( ) eic SfQ ⋅β=

donde f(β) = f(95%) = 1.96 es una función que depende de β, y Se es el error probable que se calcula a partir de

⋅+⋅+⋅σ=

NK1.1K3.11S

2

e

Al ser el factor de frecuencia K

σ−

=σ−

= medT*

NT QQyyK

y sustituyendo el valor de QT para T = 500 años, se obtiene


104

07.541.70

48.9567.452QQK medT =

−=

σ−

=

por lo que

58.7432

07.51.107.53.1141.70N

K1.1K3.11S22

e =

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅σ=

y

( ) 18.14658.7496.1SfQ eic =⋅=⋅β= Así,

18.14667.452Q18.14667.452QQQQQ icTicT +<<−⇒+<<−

85.598Q49.306 << que es el intervalo de confianza c) En el método de Log-Pearson la variable es el logarítmo del caudal:

Qlogz =

zzmedT Kzz σ⋅+=

con

∑⋅=i

imed zN1z

( )∑ −⋅−

=σi

2mediz zz

1N1

( )T,CfK sz =

Kz está tabulado en función del coeficiente de asimetría Cs y del período de retorno T,

( )

( ) ( ) 3z

i

3medi

s 2N1N

zzNC

σ⋅−⋅−

−⋅=

∑

Sustituyendo se obtiene,

zmed = 1.897 ; σz = 0.25 ; Cs = 1.00055


105

En consecuencia,

25.0K897.1Kzz zzzmedT ⋅+=σ⋅+=

Teniendo en cuenta los valores de Kz dados en función de Cs y T de la Tabla 21.4 se calcula el caudal para los distintos períodos de retorno. En los períodos de retorno que no se tengan datos el valor se obtendrá interpolando.

Tabla 21.4. Valores de Kz en función de Cs y de T.

T = 25 años T = 50 años T = 100 años T = 200 años T = 1000 añosCs = 1.2 2.087 2.626 3.149 3.661 4.820 Cs = 1.0 2.043 2.542 3.022 3.489 4.540 Cs = 0.8 1.998 2.453 2.891 3.312 4.250 Cs = 0.6 1.939 2.359 2.755 3.132 3.960 Cs = 0.4 1.880 2.261 2.615 2.949 3.670 Cs = 0.2 1.818 2.159 2.472 2.763 3.380 Cs = 0.0 1.751 2.054 2.326 2.576 3.090 Cs = -0.2 1.680 1.945 2.178 2.388 2.810 Cs = -0.4 1.606 1.834 2.029 2.201 2.540 Cs = -0.6 1.528 1.720 1.880 2.016 2.275 Cs = -0.8 1.448 1.606 1.733 1.837 2.035 Cs = -1.0 1.366 1.492 1.588 1.664 1.880 Cs = -1.4 1.198 1.270 1.318 1.351 1.465 Cs = -1.8 1.035 1.069 1.087 1.097 1.130

En la tabla siguiente se muestran los resultados para cada período de retorno. Los caudales se han calculado sabiendo que

TzT 10Q =

Tabla 21.5. Cálculo de Q mediante log-Pearson para los distintos períodos de retorno.

Período de retorno T (años) Cs Kz zT QT (m3/s) 25 1.00055 2.043 2.407 255.7 50 1.00055 2.542 2.532 340.8 75 1.00055 2.782 2.592 391.29 100 1.00055 3.022 2.652 449.26 500 1.00055 3.883 2.867 737.47

d) El método Log-Normal es un caso particular del método de Log-Pearson en el cual Cs = 0. En este caso los resultados obtenidos son:


106

Tabla 21.5. Cálculo de Q mediante log-Normal.

Período de retorno T (años) Cs Kz zT QT (m3/s) 25 0 1.751 2.335 216.14 50 0 2.054 2.410 257.33 75 0 2.19 2.444 278.29 100 0 2.326 2.478 300.95 500 0 2.59 2.544 350.52

Comparando los anteriores resultados se puede comprobar que el método empírico de Gete proporciona valores de caudales mayores que el resto de los métodos estadísticos empleados.


107

PROBLEMA 22 Calcular el caudal máximo para períodos de retorno de 10, 25, 50, 100 y 500 años utilizando el método de la Instrucción de Carreteras sabiendo que la longitud del cauce del río Mandeo es 35 Km, el desnivel del mismo es 450 m y el área de la cuenca es 248 Km2. La cuenca está constituida por un 40% de suelo de tipo B y un 60% de suelo de tipo C y el uso de la tierra es un 55% de pradera buena (> 3) y un 45% de masa forestal media. El coeficiente corrector local del umbral de escorrentía es 1.5 y los valores ya corregidos de Pd para los diferentes períodos de retorno están en la tabla adjunta:

Tabla 1. Precipitaciones máximas diarias.

T (años) 10 25 50 100 500 Pd (mm) 87.9 100.6 110.1 119.5 141.2

Los pasos a seguir para el cálculo de una avenida por el método empleado en la Instrucción de Carreteras son los siguientes:

a) Evaluar el tiempo de concentración Tc:

76.0

25.0c JL3.0T

⋅=

donde L es la longitud del cauce principal en km, J es su pendiente. Así, se obtiene

0128.045.035

45.0J22

=−

= ; h22.100128.0

353.0J

L3.0T76.0

25.0

76.0

25.0c =

⋅=

⋅=

Al ser Tc > 6 la cuenca es grande por lo que habrá que aplicar el factor de uniformidad al caudal obtenido. El factor de reducción por área de la precipitación máxima diaria no se aplica ya que en el enunciado nos dan las precipitaciones máximas diarias ya corregidas.

b) Calcular la intensidad diaria Id:

24P

I dd =

En la Tabla 22.1 se muestran los cálculos de la intensidad diaria máxima para los distintos períodos de retorno.


108

Tabla 22.1. Cálculo de Id.

T (años) 10 25 50 100 500 Pd (mm) 87.9 100.6 110.1 119.5 141.2

Id (mm/h) 3.66 4.19 4.58 4.97 5.88

c) Calcular la relación I1/Id a partir del mapa de isolíneas. En nuestro caso la cuenca del río Mandeo está comprendida entre la isolínea 8 y 9. Tomaremos I1/Id = 8.5 (Figura 22.1).

Figura 22.1. Isolíneas en la zona Norte.

d) Calcular la intensidad horaria I a partir de la expresión:

−

⋅=

4.0T28

d

1d

1.0c

1.0

IIII

sustituyendo para cada período de retorno se obtiene

Tabla 22.2. Cálculo de I.

T (años) 10 25 50 100 500

Id (mm/h) 3.66 4.19 4.58 4.97 5.88 I (mm/h) 7.5 8.58 9.39 10.19 12.05

e) Calcular el umbral de escorrentía. El valor del umbral de escorrentía P0 se obtendrá ponderándolo con el área y las características de la vegetación y suelo. De las tablas se obtienen los umbrales correspondientes:

II11//IIdd == 99

II11//IIdd == 88


109

Tabla 22.3. Cálculo del umbral de escorrentía.

Suelo B Suelo C Pradera buena pendiente mayor 3 33 18

Masa forestal media 34 22

El valor del umbral de escorrentía será:

26.2545.06.02245.04.0341855.06.03355.04.0P0 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

valor que hay que mayorar consultando el mapa de mayoración. El factor de mayoración dado en el enunciado es 1.5; por lo que,

89.3726.255.1P0 =⋅=

f) Calcular el coeficiente de escorrentía el cual viene dado mediante la fórmula siguiente:

( ) ( )

( )20d

0d0d

P11PP23PPP

c⋅+

⋅+⋅−=

sustituyendo,

Tabla 22.4. Cálculo del coeficiente de escorrentía.

T (años) 10 25 50 100 500 Pd (mm) 87.9 100.6 110.1 119.5 141.2

c 0.18 0.22 0.25 0.28 0.33

g) Calcular el caudal de la avenida mediante la expresión:

AIc6.3

1Q ⋅⋅⋅=

donde la intensidad está en mm/h y el área A en km2, y el caudal en m3/s. El área de la cuenca es 248 km2. Teniendo en cuenta todos los parámetros anteriormente calculados se llega a los resultados que se muestran en la siguiente tabla (Tabla 22.5):


110

Tabla 22.5. Cálculo del caudal de avenida.

T (años) 10 25 50 100 500 I (mm/h) 7.5 8.58 9.39 10.19 12.05

c 0.18 0.22 0.25 0.28 0.33 Q (m3/s) 97 134.59 165.15 197.39 278.92

Sabiendo que el factor de uniformidad es:

56.11422.10

22.10114T

T1f 25.1

25.1

25.1c

25.1c =

++=

++=

En consecuencia, el caudal corregido se obtiene multiplicando los caudales anteriores por el factor de uniformidad:

Tabla 22.6. Cálculo del caudal de avenida corregido.

T (años) 10 25 50 100 500 Q (m3/s) 97 134.59 165.15 197.39 278.92

Q (m3/s) corregido 151.32 209.96 257.63 307.92 435.11


111

PROBLEMA 23 En una cuenca de 400 Km2 de área y tiempo de concentración 24 h se quiere encauzar el río principal. Para ello se dispone de las curvas Intensidad-duración-frecuencia que se ajustan a la expresión siguiente:

( ) 8780

0.189

0.5DT6.93I .+

⋅=

donde I es la intensidad en cm/h, T es el período de retorno en años y D es la duración del aguacero en horas. Se sabe que los coeficientes de escorrentía para los períodos de retorno de 10, 150 y 500 años son 0.4, 0.6 y 0.95, respectivamente. Se pide el hidrograma de la avenida producido por un aguacero de 4 h de duración para los períodos de retorno de 10, 150 y 500 años. Se supondrá que los factores de uniformidad y de reducción por área valen 1. La curva Intensidad-duración-frecuencia se representa en la figura siguiente:

0 5 10 15 20 250

2

4

6

8

10

12

14

16

18

I (cm

/h)

Duración (h)

Período de retorno: 10 años Período de retorno: 150 años Período de retorno: 500 años

Figura 23.1. Curva de Intensidad-Duración-frecuencia.

Sabiendo que el aguacero ha tenido una duración de 4 h , por lo que entrando en las curvas para los diferentes períodos de retorno o aplicando la fórmula dada se obtiene la intensidad del aguacero.


112

El tiempo de concentración de la cuenca es 24 h, por lo que el aguacero de 4 h de duración cumple el primer Principio del Hidrograma Unitario:

5T

t ca ≤

sustituyendo,

5244 ≤

Tabla 23.1. Intensidad.

T (años) Cálculo Intensidad (cm/h)

10 ( ) ( ) 878.0

189.0

878.0

0.189

5.041093.6

0.5DT6.93

+⋅

=+

⋅

2.85

150 ( ) ( ) 878.0

189.0

878.0

0.189

5.0415093.6

0.5DT6.93

+⋅

=+

⋅

4.76

500 ( ) ( ) 878.0

189.0

878.0

0.189

5.0450093.6

0.5DT6.93

+⋅

=+

⋅

5.98

para calcular el hidrograma de la avenida vale con calcular el hidrograma unitario y multiplicarlo por la precipitación neta caída, ya que el tiempo base no cambia. Vamos a aplicar dos métodos para obtener dicho hidrograma: el método racional y el método del hidrograma unitario. a) El método racional. Se supone que la cuenca se comporta como un canal

rectangular. El caudal de avenida viene dado por la siguiente expresión:

AIc6.3

1Qmax ⋅⋅⋅=

donde I es la intensidad en mm/h, A el área en km2, el coeficiente de escorrentía y Q el caudal en m3/s. Los caudales obtenidos para los distintos períodos de retorno se muestran en la Tabla 23.2. Al ser el la duración del aguacero (4 h) inferior al tiempo de concentración (24 h) el caudal que se obtendrá será proporcional a la relación de tiempos. El hidrograma a partir del tiempo de duración del aguacero hasta el tiempo de concentración tendrá una meseta, y a partir de dicho tiempo disminuirá. En la Tabla 23.3 se calculan los valores de los caudales y en la Figura 23.2 se muestran los hidrogramas para cada período de retorno.


113

Tabla 23.2. Caudales máximos.

T (años) Cálculo Caudal máx. (m3/s)

10 2km400h/mm5.284.0AIc

6.31

⋅⋅=⋅⋅⋅

1270.66

150

2km400h/mm6.476.0AIc6.3

1⋅⋅=⋅⋅⋅

3179.82

500

2km400h/mm8.5995.0AIc6.3

1⋅⋅=⋅⋅⋅

6321.19

Tabla 23.3. Caudales calculados.

T (años) Cálculo del Caudal (m3/s) Caudal (m3/s)

10 77.21124466.1270

Tt

QQc

amax =⋅=⋅=

211.77

150 97.529

24482.3179

Tt

QQc

amax =⋅=⋅=

529.97

500 53.1053

24419.6321

Tt

QQc

amax =⋅=⋅=

1053.53

0 4 8 12 16 20 24 28 320

200

400

600

800

1000

1200

Tc

ta

I

Q (m

3 /s)

Tiempo (h)

Período de retorno 10 años Período de retorno 150 años Período de retorno 500 años

Figura 23.2. Hidrogramas.

Al ser el tiempo de concentración (24 h) superior a 6 h, la cuenca se considera grande (según la Instrucción de Carreteras 5.2-IC), por lo que habría que aplicar


114

los coeficientes de corrección correspondientes. En este caso valen la unidad según el enunciado del problema. El tiempo base del hidrograma será:

h28424tTt acb =+=+=

b) El método del Hidrograma unitario del S.C.S. Al carecer de datos de aforos

aplicaremos este método. El tiempo del aguacero son 4 h y el de concentración 24 h, por tanto el tiempo punta y el caudal punta unitario será:

h4.16246.024T6.0

2t

t ca

p =⋅+=⋅+=

cm/s/m73.504.16

40008.2tA08.2Q 3

pp =⋅=⋅=

La lluvia neta para cada período de retorno se calcula a partir de la intensidad neta. En la tabla adjunta se muestran los cálculos realizados:

Tabla 23.4. Cálculo de la lluvia neta.

T (años)

Intensidad (cm/h)

Coef. de escorrentía c

In = c I (cm/h)

Pn = In ta (cm)

10 2.85 0.4 1.14 4.57 150 4.76 0.6 2.86 11.44 500 5.98 0.95 5.68 22.75

El hidrograma unitario de 4 h para cada período de retorno se calcula en la siguiente tabla, así como las ordenadas de los diferentes hidrogramas producidos por las distintas lluvias netas correspondientes a cada período de retorno. El tiempo base de los tres hidrogramas es el mismo, lo que varía es el caudal punta. En dicha tabla se han multiplicado las coordenadas del eje de abcisas y de ordenadas por los valores del tiempo punta y del caudal punta, respectivamente, obteniéndose así un Hidrograma Unitario (volumen unidad e igual a 1 cm) de 4 h. Para obtener el hidrograma correspondiente a una lluvia neta de volumen no unitario, se multiplicarán las ordenadas obtenidas del Hidrograma Unitario de 4 h por el volumen caído. En el caso de que el tiempo de duración del aguacero hubiese sido distinto a 4 h habría que haber obtenido el hidrograma de dicha lluvia a partir de la composición de hidrogramas unitarios desplazados 4 h.


115

Tabla 23.5. Cálculo de los hidrogramas de volumen no unitario.

Hidrograma adimensional

Hidrograma unitario 4 h

Hidrogramas para 4.57, 11.44 y 22.75 cm de lluvia, respectivamente. Q = q Pn

t/tp q/Qp t (h) q (m3/s/cm) Q (m3/s) Q (m3/s) Q (m3/s) 0 0 0 0 0 0 0

0.2 0.1 3.28 5.073 23.18361 58.03512 115.41075 0.4 0.31 6.56 15.7263 71.869191 179.908872 357.773325 0.6 0.66 9.84 33.4818 153.011826 383.031792 761.71095 0.8 0.93 13.12 47.1789 215.607573 539.726616 1073.31998 1 1 16.4 50.73 231.8361 580.3512 1154.1075

1.2 0.93 19.68 47.1789 215.607573 539.726616 1073.31998 1.4 0.78 22.96 39.5694 180.832158 452.673936 900.20385 1.6 0.56 26.24 28.4088 129.828216 324.996672 646.3002 1.8 0.39 29.52 19.7847 90.416079 226.336968 450.101925 2 0.28 32.8 14.2044 64.914108 162.498336 323.1501

2.2 0.21 36.08 10.6533 48.685581 121.873752 242.362575 2.4 0.15 39.36 7.6095 34.775415 87.05268 173.116125 2.6 0.11 42.64 5.5803 25.501971 63.838632 126.951825 2.8 0.08 45.92 4.0584 18.546888 46.428096 92.3286 3 0.05 49.2 2.5365 11.591805 29.01756 57.705375

3.5 0.02 57.4 1.0146 4.636722 11.607024 23.08215 4 0.01 65.6 0.5073 2.318361 5.803512 11.541075

4.5 0.005 73.8 0.25365 1.1591805 2.901756 5.7705375 5 0 82 0 0 0 0

En la figura siguiente se representan los hidrogramas correspondientes a los hidrogramas de las avenidas para los distintos períodos de retorno.

0 20 40 60 80 1000

200

400

600

800

1000

1200

1400

ta

I

Q (m

3 /s)

Tiempo (h)

Período de retorno 10 años Período de retorno 150 años Período de retorno 500 años

Figura 23.3. Hidrogramas producidos para distintos períodos de retorno.


116

PROBLEMA 24 Calcular el hidrograma de la avenida por el método de Puls, conociendo el caudal y el volumen del embalse en función del nivel de agua en el mismo, suponiendo que el hidrograma de entrada de agua al embalse se produce cuando el embalse está a una cota de 300.2 m. Evaluar la magnitud del despunte y el retraso en el pico de la avenida producido por el embalse.

Tabla 1. Flujos y capacidades del embalse

NIVEL (m)

CAPACIDAD (Mm3)

FLUJO SALIDA (m3/s)

299.5 4.8 0 300.2 5.5 0 300.7 6.0 15 301.2 6.6 40 301.7 7.2 75 302.2 7.9 115 302.7 8.8 160

Tabla 2. Hidrograma de entrada

T (h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 I (m3/s) 5 20 52 60 53 43 32 22 16 5

El método de Puls consiste en integrar mediante diferencias el balance de masa en el embalse en un determinado tiempo. La ecuación que se obtiene es la siguiente:

( )

∆⋅

+=

∆⋅

−+∆⋅+

2tQS

2tQSt

2II 2

21

121

donde I1 e I2 es el caudal de entrada en el embalse al principio y al final del intervalo ∆t, Q1 y Q2 es el caudal de salida del embalse al principio y al final del intervalo ∆t, S1 y S2 es el volumen del agua en el embalse al principio y al final del intervalo ∆t.

En primer lugar representaremos las curvas de

∆⋅

+2

tQS y caudal de salida Q con

respecto al nivel del agua en el embalse h. Para ello se dispone de la tabla del enunciado. El incremento de tiempo que se va a tomar es ∆t = 3 h ya que los valores del hidrograma de entrada se dan cada 3 h.


117

Ms0108.0s100108.0h3t 6 =⋅==∆

Con este incremento de tiempo se van a ir obteniendo los valores

∆⋅

+2

tQS con

respecto al nivel de la lámina libre del embalse. En las siguientes figuras se muestran el

caudal de salida y

∆⋅

+2

tQS con respecto a dicha lámina, respectivamente.

Tabla 24.1. Caudal de salida y volumen.

NIVEL (m)

CAPACIDAD S (Mm3)

Q (m3/s)

∆⋅

+2

tQS

299.5 4.8 0 4.8 300.2 5.5 0 5.5 300.7 6.0 15 6.081 301.2 6.6 40 6.816 301.7 7.2 75 7.605 302.2 7.9 115 8.521 302.7 8.8 160 9.664

299.5 300.0 300.5 301.0 301.5 302.0 302.5 303.00

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Q (m

3 /s)

Nivel (m)

Caudal de salida

Figura 24.1. Caudal de salida con respecto al nivel.


118

299.5 300.0 300.5 301.0 301.5 302.0 302.5 303.04

5

6

7

8

9

10

11

(S+Q

∆t/2

) (M

m3 )

Nivel (m)

(S+Q∆t/2)

Figura 24.2. Volumen con respecto al nivel.

Una vez representadas las funciones anteriores, la secuencia de cálculo es como se describe a continuación: Se parte de un nivel inicial de 300.2 m que corresponde a un volumen de 5.5 Mm3 y un caudal de salida del embalse de 0 m3/s, por lo que,

3

1

Mm5.520108.005.5

2tQS =

⋅−=

∆⋅

−

Del hidrograma de entrada se obtiene

( ) 321 Mm135.00108.02205t

2II

=⋅+

=∆⋅+

En consecuencia,

( )635.55.5135.0

2tQSt

2II

2tQS

1

21

2

=+=

∆⋅

−+∆⋅+

=

∆⋅

+

valor que llevado a la gráfica (ver figuras adjuntas) corresponde a un nivel de h2 = 300.32 m (Figura 24.3) Para este nivel el caudal de salida es Q2 = 2 m3/s (Figura 24.4). Por otra parte,

32

22

Mm6134.50108.02635.5tQ2

tQS2

tQS =⋅−=∆⋅−

∆⋅

+=

∆⋅

−


119

y con este nuevo valor se procedería de igual forma para el cálculo de Q3:

( ) 3

2

32

3

Mm002.66134.50108.02

52202

tQSt2

II2

tQS =+⋅+

=

∆⋅

−+∆⋅+

=

∆⋅

+

299.5 300.0 300.5 301.0 301.5 302.0 302.5 303.04

5

6

7

8

9

10

11

300.32

5.635

(S+Q

∆t/2

) (M

m3 )

Nivel (m)

(S+Q∆t/2)

Figura 24.3. Estimación del nivel para un volumen dado.

299.5 300.0 300.5 301.0 301.5 302.0 302.5 303.00

20

40

60

80

100

120

140

160

180

300.322

Q (m

3 /s)

Nivel (m)

Caudal de salida

Figura 24.4. Estimación del caudal de salida para un nivel dado.


120

En la tabla siguiente se resume el proceso seguido de los cálculos realizados:

Tabla 24.2. Método de Puls.

Tiempo

(h)

Entr. I

(m3/s) 2II 1nn ++ t

2II 1nn ∆⋅

+ +

n2tQS

∆⋅

−

(Mm3) 1n2

tQS+

∆⋅

+

(Mm3)

NIVEL

(m)

Q

(m3/s)

0 5 300.2 0 3 20 12.5 0.135 5.5 5.635 300.32 2 6 52 36 0.38 5.6134 6.002 300.636 10.01 9 60 56 0.60 5.8938 6.4986 300.95 26.2 12 53 56.5 0.61 6.2156 6.8258 301.21 40.4 15 43 48 0.51 6.3895 6.9079 301.26 43 18 32 37.5 0.40 6.4435 6.8485 301.21 40.7 21 22 27 0.29 6.4089 6.7005 301.12 34.8 24 16 19 0.20 6.3247 6.5299 301. 28.5 27 5 10.5 0.11 6.2221 6.3355 300.88 23

En las figuras siguientes se muestran los hidrogramas de las avenidas de entrada y salida al embalse. Se puede comprobar el desfase y despunte existente entre ambos:

Desfase: 6 h

Despunte: 60 – 43.0 = 17.0 m3/s En la última figura se muestra la evolución temporal del nivel.

0 5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

50

60

Desfase

Despunte

Cau

dal (

m3 /s

)

Tiempo (h)

Hidrograma de entrada Hidrograma de salida

Figura 24.5. Hidrogramas de entrada y salida.


121

0 5 10 15 20 25 30

300.2

300.4

300.6

300.8

301.0

301.2

301.4

Niv

el (m

)

Tiempo (h)

Figura 24.6. Evolución temporal del nivel.

En la Figura 24.5 se puede comprobar que el máximo del hidrograma de salida coincide con el punto de corte de ambos hidrogramas.


122

PROBLEMA 25 En un tramo de río se observó un hidrograma de entrada y otro de salida cuyos valores numéricos se dan en la siguiente tabla. Estimar los valores de K y x aplicables a dicho tramo mediante el método de Muskingum.

Tabla 1. Hidrogramas

Tiempo (h) 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66

Hidr. entrada (m3/s) 5 20 50 50 32 22 15 10 7 5 5 5 Hidr. salida (m3/s) 5 6 12 29 38 35 29 23 17 13 9 7

El principio que se aplica para el cálculo de K y x es la de la conservación de la masa que en el método de Muskingum es

( ) ( ) 122121 SSS2tQQ

2tII −=∆=

∆⋅+−

∆⋅+

ó

( ) ( )12

2211 SSSt2

QIQI−=∆=∆⋅

−+−

donde I1, Q1 y S1 son la entrada, salida y volumen de agua en el tramo del río al inicio del intervalo de tiempo ∆t, respectivamente. I2, Q2 y S2 son la entrada, salida y volumen de agua en el tramo del río al final del intervalo de tiempo ∆t, respectivamente. S se expresa

( )[ ]Qx1IxKS ⋅−+⋅⋅=

Aplicando un incremento de tiempo de 6 h, los cálculos se muestran en forma de tabla (Tabla 25.1). El incremento del almacenamiento se calculan en las columnas 6 y 7, respectivamente. Los valores (I1 – Q1) y (I2 – Q2) se calculan en la columna 4. En la columna 5 se calcula su media; de esta manera el primer valor (7) es la media de 0 y 14; el segundo valor (26) es la media de 14 y 38 y así sucesivamente. En las columnas 8, 9 y 10 se calculan los valores de S mediante la expresión de Muskingum dada anteriormente para tres valores distintos de x. Posteriormente se representan y confrontan los valores de S obtenidos con las distintas x con los valores de S obtenidos del balance de entradas y salidas. La solución más exacta será aquella cuyos puntos estén más próximos a una recta, es decir que la correlación sea la más aceptable. A partir de la recta obtenida se puede deducir el valor de K, ya que será precisamente la pendiente de la misma.


123

Tabla 25.1. Método de .Muskingum.

( )[ ]Qx1IxKS ⋅−+⋅⋅= Tiempo

(h) I

(m3/s)Q

(m3/s) I – Q Media (I – Q)

∆t x Media

S = Σ ∆S (m3/s h)

x = 0.35

x = 0.3

x = 0.25

0 5 5 0 0 5 5 5 6 20 6 14 7 42 42 10.9 10.2 9.5 12 50 12 38 26 156 198 25.3 23.4 21.5 18 50 29 21 29.5 177 375 36.4 35.3 34.3 24 32 38 -6 7.5 45 420 35.9 36.2 36.5 30 22 35 -13 -9.5 -57 363 30.5 31.1 31.8 36 15 29 -14 -13.5 -81 282 24.1 24.8 25.5 42 10 23 -13 -13.5 -81 201 18.5 19.1 19.8 48 7 17 -10 -11.5 -69 132 13.5 14 14.5 54 5 13 -8 -9 -54 78 10.2 10.6 11 60 5 9 -4 -6 -36 42 7.6 7.8 8 66 5 7 -2 -3 -18 24 6.3 6.4 6.5

En las siguientes figuras se puede comprobar que el valor x = 0.25 es el que más aproxima los puntos a una recta. Así pués, tomaremos este valor como válido. La pendiente de la recta nos proporcionará el valor de K:

h3.1330400K ==

0 100 200 300 400 5000

5

10

15

20

25

30

35

40

(I.x+

(1-x

).Q) (

m3 /s

)

Almacenamiento (m3/s.h)

x = 0.35

Figura 25.1. Curva para x = 0.35.


124

0 100 200 300 400 5000

5

10

15

20

25

30

35

40

(I.x+

(1-x

).Q) (

m3 /s

)


x = 0.3

Figura 25.2. Curva para x = 0.3.

0 100 200 300 400 5000

5

10

15

20

25

30

35

40

(I.x+

(1-x

).Q) (

m3 /s

)


x = 0.25

Figura 25.3. Curva para x = 0.25. También se ha representado el hidrograma de la avenida de entrada y el de salida en la última figura (Figura 25.4).


125

0 10 20 30 40 50 60 70 800

10

20

30

40

50

60Desfase

Despunte (atenuación)Q

(m3 /s

)

Tiempo (h)



De la Figura 25.4 se puede observar que el máximo del hidrograma de salida no coincide con el punto de corte de ambos hidrogramas, ya que la solución de x es aproximada.


126

PROBLEMA 26 En un tramo de un río se observó el hidrograma de una avenida donde K = 12 h y x = 0.2. Si inicialmente el caudal de salida de dicho tramo es 10 m3/s se pide el hidrograma de caudales de salida

Tabla 1. Hidrograma de entrada

Tiempo (h) 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 Hidr. Entrada (m3/s) 10 20 50 60 55 45 35 27 20 15

A partir de la ecuación de Muskingum se obtiene el hidrograma de salida de un tramo de río con la siguiente expresión:

1n21n1n0n QCICICQ −− ⋅+⋅+⋅=

donde Qn e In son los valores de los caudales en el tiempo n de salida y de entrada, respectivamente; Qn-1 e In-1 son los valores de los caudales en el tiempo anterior, respectivamente. C0, C1 y C2 vienen dados por las siguientes expresiones:

t5.0xKKt5.0xKC0 ∆⋅+⋅−

∆⋅+⋅−=

t5.0xKKt5.0xKC1 ∆⋅+⋅−

∆⋅+⋅=

t5.0xKKt5.0xKKC2 ∆⋅+⋅−

∆⋅−⋅−=

Como K = 12 h y h8.42.0122xK2 =⋅⋅=⋅⋅ , el incremento de tiempo a elegir debería estar comprendido entre ambos valores: 12 > ∆t > 4.8. Por ello elegiremos ∆t = 6 h. Sustituyendo los datos se pueden obtener C0, C1 y C2:

048.065.02.01212

65.02.012t5.0xKK

t5.0xKC0 =⋅+⋅−

⋅+⋅−=

∆⋅+⋅−∆⋅+⋅−

=

429.065.02.01212

65.02.012t5.0xKK

t5.0xKC1 =⋅+⋅−

⋅+⋅=

∆⋅+⋅−∆⋅+⋅

=

523.065.02.0121265.02.01212

t5.0xKKt5.0xKKC2 =

⋅+⋅−⋅−⋅−

=∆⋅+⋅−∆⋅−⋅−

=

Para el primer intervalo,


127

29.4IC10I 111 =⋅⇒=

96.0IC20I 202 =⋅⇒=

23.5QC10Q 121 =⋅⇒=

por lo que

s/m48.10QCICICQ 31211202 =⋅+⋅+⋅=

Para los siguientes valores se procedería de igual forma. En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos.

Tabla 26.1. Resultados obtenidos.

Tiempo (h) I (m3/s) 0.048 In 0.429 In-1 0.523 Qn-1 Q (m3/s) 0 10 4.29 5.23 10 6 20 0.96 8.58 5.48 10.48 12 50 2.4 21.45 8.61 16.46 18 60 2.88 25.74 17.23 32.94 24 55 2.64 23.6 23.85 45.61 30 45 2.16 19.3 25.95 49.61 36 35 1.68 15.02 24.55 46.93 42 27 1.3 11.58 21.38 40.87 48 20 0.96 8.58 17.74 33.92 54 15 0.72 27.04

En la siguiente figura se muestran los hidrogramas de entrada y de salida (Figura 26.1). En dicha figura se puede ver que el valor máximo del hidrograma de salida no coincide con el punto de corte de ambos hidrogramas. El método aplicado es un método aproximado lo que origina que el desfase no coincida con dicho punto de corte de ambos hidrogramas.


128

0 10 20 30 40 50 600

10

20

30

40

50

60

70 Desfase

Despunte (atenuación)Q

(m3 /s

)

Tiempo (h)




129

HIDROLOGÍA SUBTERRÁNEA

PROBLEMA 27 Se pretende realizar una excavación de 8 m de profundidad (ver figura), para lo cual se quiere bajar el nivel freático por debajo de la cota de la excavación a un mes vista. Para ello se quieren perforar dos tipos de configuraciones de pozos (A y B), a partir de los cuales bombear. Se pide:

a) El caudal necesario que se ha de bombear en cada pozo en la configuración de pozos A.

b) El caudal necesario que se ha de bombear en cada pozo en la configuración de pozos B

c) El caudal necesario que se ha de bombear en cada pozo en las configuraciones A y B conjuntas.

d) Obtener la expresión del descenso en los pozos A y B por superposición de los efectos producidos por los bombeos en los demás pozos.

NOTA: K = 100 m/d, Ss = 0.0001 m-1.

50 m

100 m

100 m5 m

3 m

Alzado

Planta

A

BB

A

10 m

1 m

Figura 1. Esquema de la excavación.


130

a) Tanto en la configuración A como en la B, el nivel en el punto más alejado de los sondeos tiene que quedar por debajo de 3 m, lo que implica que en el propio pozo el nivel ha de quedar a nivel inferior. En el caso de la configuración A el punto más alejado de ambos sondeos son los puntos C y C’ de la figura adjunta.

Figura 27.1. Representación del bombeo. Alzado.

l50 m

P antaA

1 m

C’C

A

51 m

001 m

Figura 27.2. Representación del bombeo. Planta.

La distancia es:

m79.562551d 22 =+= Para obtener el caudal que hay que bombear en cada pozo A durante un mes para bajar el nivel por debajo de la excavación obligaremos a que el descenso producido en C o C’ sea 3 m. El descenso producido en C (o C’) será la suma de los descensos producidos por el bombeo en ambos pozos (principio de superposición).


131

En nuestro caso, como la función u es:

03.0106.230100479.560001.0

tK4rS

tbK4rbS

tT4rSu 5

22s

2s

2

≤⋅=⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅⋅

= −

se puede aplicar la aproximación de Jacob en la fórmula de Theis:

⋅⋅⋅

⋅π

= 2rStT25.2ln

T4Qs

El descenso total se calcula sumando los descensos parciales producidos por cada pozo:

⋅⋅⋅

⋅π

⋅=

⋅⋅⋅

⋅π

+

⋅⋅⋅

⋅π

== ∑ 222i

iT rStT25.2ln

T4Q2

rStT25.2ln

T4Q

rStT25.2ln

T4Qss

donde r = 56.79 m, T = K b = 100*100 m2/d, S = Ss b = 0.0001*100, t = 30 días. Como en C (ó C’) el descenso ha de ser sT = 3 m,

⋅⋅⋅

⋅π

⋅=

⋅⋅⋅

⋅π

⋅= 242 79.560001.03010025.2ln

104Q2

rStT25.2ln

T4Q23

donde, despejando Q = 220 l/s para cada pozo.

b) En el caso de la segunda configuración el valor de la distancia al punto más alejado es (ver Figura 27.3):

m03.613550d 22 =+=

El valor de u es:

03.0101.3301004

03.610001.0tK4

rStT4

rSu 522

s2

≤⋅=⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅= −

por lo que se puede aplicar la aproximación de Jacob a la fórmula de Theis. Haciendo el mismo razonamiento que en el caso anterior,

303.610001.03010025.2ln

104Q2

rStT25.2ln

T4Q2ss 242

iiT =

⋅⋅⋅

⋅π

⋅=

⋅⋅⋅

⋅π

⋅== ∑

despejando, Q = 222.5 l/s por cada pozo. Se necesita más caudal de extracción en la segunda configuración que en la primera.


132

Planta

B10 m

B

d

50 m

100 m

C

C’

Figura 27.3. Representación del bombeo. Planta. Posición B.

c) En el caso de utilizar ambas configuraciones conjuntamente, el punto más lejano de los cuatro pozos es el punto central del rectángulo (punto C) (ver figura).

50 m

100 m

Planta

A

BB

A

10 m

1 m

C

Figura 27.4. Representación conjunta.


133

En este caso la distancia AC = 51 m y la distancia BC = 35 m. Los valores de u son:

03.0101.2301004510001.0

tK4rS

u 522

s ≤⋅=⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅= −

03.010301004350001.0

tK4rS

u 522

s ≤=⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅= −

En consecuencia se puede aplicar la aproximación de Jacob. El descenso en C es la suma de los descensos producidos por cada bombeo:

3rS

tT25.2lnT4

Q2rS

tT25.2lnT4

Q2ss 22

21i

iT =

⋅

⋅⋅⋅

π⋅+

⋅

⋅⋅⋅

π⋅== ∑

es decir,

3350001.0

3010025.2ln104Q2

510001.03010025.2ln

104Q23 2424 =

⋅⋅⋅

⋅π

⋅+

⋅⋅⋅

⋅π

⋅=

despejando, Q = 103 l/s para cada uno de los cuatro pozos.

d) Para obtener la expresión de los descensos en los pozos A y B por el efecto producido conjuntamente por todos los pozos se aplicará el principio de superposición. Para el caso del pozo A el descenso total sAT será:

AABAAAABABAAi

iAT ss2sssssss +⋅+=+++== ∑

donde sAA es el descenso producido por el pozo simétrico A por el bombeo de caudal, sA es el descenso producido en el propio pozo A por bombear un caudal Q y sAB es el descenso producido en A por el bombeo en los pozos B.:

⋅⋅⋅

⋅π

=

⋅

⋅⋅⋅

π= 242

AAAA 1020001.0

3010025.2ln104Q

rStT25.2ln

T4Qs

⋅⋅⋅

⋅π

=

⋅

⋅⋅⋅

π= 2

A42

AA r0001.0

3010025.2ln104Q

rStT25.2ln

T4Qs

( )

+⋅⋅⋅

⋅π

=

⋅

⋅⋅⋅

π= 2242

ABAB 35510001.0

3010025.2ln104Q

rStT25.2ln

T4Qs

donde rA es el radio del pozo A, rAB es la distancia entre el pozo A y el B y rAA es la distancia entre los pozos A. La expresión queda,


134

( )

⋅⋅⋅

+

+⋅⋅⋅

⋅+

⋅⋅⋅

⋅π

= 2A

222AT r0001.03010025.2ln

35510001.03010025.2ln2

1020001.03010025.2ln

T4Qs

Para el caso del pozo B el descenso total sBT será:

BBABBBBABABBi

iBT ss2sssssss +⋅+=+++== ∑

donde sBB es el descenso producido por el pozo simétrico B por el bombeo de caudal, sB es el descenso producido en el propio pozo B por bombear un caudal Q y sBA es el descenso producido en B por el bombeo en los pozos A.:

⋅⋅⋅

⋅π

=

⋅

⋅⋅⋅

π= 242

BBBB 700001.0

3010025.2ln104Q

rStT25.2ln

T4Qs

⋅⋅⋅

⋅π

=

⋅

⋅⋅⋅

π= 2

B42

BB r0001.0

3010025.2ln104Q

rStT25.2ln

T4Qs

( )

+⋅⋅⋅

⋅π

=

⋅

⋅⋅⋅

π= 2242

BABA 35510001.0

3010025.2ln104Q

rStT25.2ln

T4Qs

donde rB es el radio del pozo B, rBA es la distancia entre el pozo A y el B (= rAB) y rBB es la distancia entre los pozos B. La expresión queda,

( )

⋅⋅⋅

+

+⋅⋅⋅

⋅+

⋅⋅⋅

⋅π

= 2B

222BT r0001.03010025.2ln

35510001.03010025.2ln2

700001.03010025.2ln

T4Qs


135

PROBLEMA 28 Deducir a partir de la ecuación de Thiem la ecuación de Goodman (1965) para el cálculo del caudal que fluye hacia un túnel por unidad de longitud, q, sabiendo que el radio del túnel es r, la profundidad del túnel por debajo del nivel freático es H0 y la conductividad hidráulica es K. Aplicar dicha ecuación al cálculo del caudal en un túnel de r = 2.5 m, H0 = 200 m y K = 10 m/d.

La ecuación de Thiem es la solución del descenso producido en régimen permanente en un pozo situado en un terreno de extensión infinita cuando se bombea un caudal constante Q. Se supone el medio homogéneo e isótropo:

⋅

π=−

rRln

T2QhH0

donde H0 es el nivel fijo existente en el caso de que no existiese el pozo, R es el radio de influencia a partir del cual el nivel es invariable e igual a H0, h es el nivel producido por el bombeo a una distancia r del centro del pozo (ver figura).

Q

H0

R

r

h

Figura 28.1. Esquema de pozo.

En el caso de un túnel el problema a resolver equivale al de un pozo vertical completo que bombea en un acuífero con un límite (túnel) situado a una distancia H0 que está siendo recargado con un caudal igual que el que fluye al túnel, consiguiéndose el


136

régimen estacionario. En este caso el límite se sustituye con un pozo imagen que introduce un caudal Q a una distancia de 2H0 (igual que si el límite fuese un río). En la figura adjunta se representa el túnel (Figura 28.2) y el problema equivalente a resolver (Figura 28.3).

H0

r

s

Figura 28.2. Esquema de túnel.

La fórmula de Thiem se puede expresar en logaritmos decimales:

⋅

π⋅=−

rRlog

T2Q3.2hH0

Q Q

H0

Figura 28.3. Esquema de funcionamiento análogo.


137

Aplicando la teoría de las imágenes, el descenso en el propio túnel es

⋅

π⋅=

⋅

π⋅=

⋅

π⋅−

⋅

π⋅=

rH2

logT2

Q3.2H2RrRlog

T2Q3.2

H2Rlog

T2Q3.2

rRlog

T2Q3.2s 0

00

como T = k b y b en este caso es la longitud del túnel,

⋅π

⋅=

⋅⋅π

⋅=

⋅π

⋅=rH2

logK2

q3.2rH2

logbK2

Q3.2rH2

logT2

Q3.2s 000

siendo q el caudal por unidad de longitud del túnel (Q/b). Despejando y sabiendo que el descenso es s = H0 – h ≈ H0, se obtiene

00

H

rH2log3.2

K2q ⋅

⋅

π=

que es la ecuación de Goodman. Para el caso en que r = 2.5 m, H0 = 200 m y K = 10 m/d, sustituyendo se obtiene

( ) dm04.24762005.2

2002log3.2102H

rH2log3.2

K2q 20

0

=⋅⋅⋅

π=⋅

⋅

π=


138

PROBLEMA 29 Para la construcción de un depósito enterrado circular es necesario realizar una excavación circular de 50 m de diámetro y 5 m de profundidad. Para trabajar en seco se precisa rebajar el nivel freático 3 m por debajo de su cota natural situada a 2 m de profundidad. Para ello se propone bombear en un pozo existente de 0.4 m de diámetro situado a 50 m del centro de la excavación. Este pozo es totalmente penetrante. El acuífero tiene un espesor saturado de 50 m. Como paso previo se decide realizar un ensayo de bombeo bombeando un caudal de 20 l/s y midiendo los descensos en un piezómetro de observación perforado a 20 m de distancia del pozo de bombeo. En este piezómetro se registraron los descensos a distintos tiempos (ver Tabla).

Tabla 1. Descensos medidos en el punto de observación

Tiempo (h) 10 14 18 22 26 30 34 38 100 Descenso (m) 1.735 1.92 2.059 2.169 2.261 2.34 2.409 2.47 3.002

Se pide:

a) Dibujar los datos de los descensos medidos en el piezómetro de observación en un gráfico semilogarítmico y razonar porqué los datos se ajustan a una línea recta.

b) Determinar a partir de dicho gráfico, suponiendo válida la aproximación de Jacob, la transmisividad y el coeficiente de almacenamiento del acuífero.

c) Determinar a partir de qué tiempo es aplicable la aproximación de Jacob.

d) Determinar el caudal que es necesario bombear en el pozo de bombeo para garantizar que la excavación quede en seco al cabo de 30 días de iniciar el bombeo.

e) Calcular el descenso producido en el propio pozo de bombeo cuyo radio es de 0.2 m al cabo de 30 días, sabiendo que la eficiencia del pozo es de 0.8 (la eficiencia es la relación entre el descenso teórico y el real).

a) La representación de los descensos en un gráfico semilogarítmico se muestran en la figura adjunta.

La explicación de que la representación obtenida es una recta es debido a que la solución de Jacob establece que los descensos s son proporcionales al logaritmo del tiempo. La relación entre el logaritmo neperiano y el decimal es una constante de 2.3, por ello la representación de los descensos en ejes logarítmicos neperianos daría también una recta. La pendiente de dicha recta es:


139

T4Qπ

en el caso de que en el eje de abcisas se representasen los logaritmos neperianos. En el caso de que el eje de abcisas sea de logaritmos decimales, la pendiente sería,

T4Q3.2π

⋅

10 1001.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

3.2

desc

enso

s (m

)

log (t)

Figura 29.1. Representación de los descensos.

b) Para calcular la transmisividad y el coeficiente de almacenamiento, conociendo el valor del descenso en dos tiempos cualquiera y suponiendo válida la aproximación de Jacob se tiene,

⋅⋅⋅

⋅π

⋅=

⋅⋅⋅

⋅π

= 21

21

1 rStT25.2log

T4Q3.2

rStT25.2ln

T4Qs

⋅⋅⋅

⋅π

⋅=

⋅⋅⋅

⋅π

= 22

22

2 rStT25.2log

T4Q3.2

rStT25.2ln

T4Qs

restando ambas,


140

⋅

π⋅=

⋅

π=

1

2

1

212 t

tlog

T4Q3.2

tt

lnT4

Qs-s

Tomando los tiempos t2 = 100 h y t1 = 10 h y sabiendo que el caudal bombeado es Q = 20 l/s = 1728 m3/d, se deduce,

T417283.2

10100log

T417283.2735.1002.3

π⋅=

⋅

π⋅=−

y despejando, T = 249.62 m2/d. Sabiendo que el espesor saturado es b = 50 m, la permeabilidad es K = T/b = 249.62 / 50 = 5 m/d.

Q

Pozo de observación

20 m

Figura 29.2. Esquema de bombeo.

Para calcular S se sustituye el valor del descenso en un tiempo cualquiera y se despeja. Escogemos el tiempo t2 = 100 h = 4.16 d,

002.320S

16.462.24925.2ln62.2494

1728rS

tT25.2lnT4

Qs 222

2 =

⋅⋅⋅

⋅⋅π

=

⋅⋅⋅

⋅π

=

de donde S = 0.025.

c) La aproximación de Jacob es aplicable siempre que u < 0.03, es decir,

03.0tT4

rSu2

=≤⋅⋅

⋅=

Para los valores de T y S calculados y r = 20 m, el tiempo a partir del cual la ecuación de Jacob es válida se deduce de


141

03.0t62.2494

20025.0tT4

rSu22

≤⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅

=

obteniéndose t > 0.33 d ó t > 8 h, por lo que los datos están en el rango donde es válida la aproximación de Jacob.

d) Para conseguir que la excavación quede en seco al cabo de 30 días, se debe

bombear un caudal Qe que garantice que el descenso en el punto más desfavorable sea de 3 m (ver figura). El punto más desfavorable es el punto de la excavación más alejado del pozo de bombeo. Este punto está situado en el extremo del diámetro de la excavación que pasa por el pozo de bombeo resultando por tanto que la distancia re es igual a 75 m.

Entrando en la ecuación de Jacob con t = 30 días e imponiendo un descenso de 3 m, se obtiene el caudal Qe

50 m

50 m

3 m5 m

d = 0.4 m

Figura 29.3. Representación del nivel y excavación cuando se bombea.

375025.0

3062.24925.2ln62.2494

QrS

tT25.2lnT4

Qs 2

e2

ee =

⋅⋅⋅

⋅⋅π

=

⋅⋅⋅

⋅π

=

Operando se obtiene Qe = 22.75 l/s (1966.25 m3/d).


142

e) Para calcular el descenso en el pozo de bombeo se aplica ecuación de Jacob con r = 0.2. El descenso teórico es

m43.102.0025.0

3062.24925.2ln62.2494

25.1966rS

tT25.2lnT4

Qs 22

pp =

⋅⋅⋅

⋅⋅π

=

⋅⋅⋅

⋅π

=

El descenso real es 10.43/0.8 = 13.04 m.


143

PROBLEMA 30 En el plano de la figura se recogen los niveles piezométricos medidos en una serie de pozos y piezómetros perforados en un acuífero formado por los materiales de alteración de esquistos. A partir de estos datos y sabiendo las cotas del arroyo próximo, se pide:

a) Dibujar el mapa de isopiezas con equidistancia de 2 m entre los valores 240 y 260.

b) Razonar a qué pueden ser debidas la diferencias existentes en el espaciamiento de las isopiezas e identificar las zonas de mayor y menor permeabilidad.

c) Dibujar las líneas de corriente que pasan por los puntos A, B, C y D. d) En uno de los sondeos disponibles de 0.4 m de diámetro se realizó

un ensayo hidráulico de bombeo, bombeándose un caudal constante de Q = 1 l/s. Sabiendo que al cabo de 10 minutos el descenso del nivel fue de 2.04 m y que al cabo de 100 minutos el descenso había aumentado hasta 4.1 m, se pide determinar la transmisividad del acuífero. Deducir el valor de la conductividad hidráulica K sabiendo que el espesor saturado es de 10 m.

e) Calcular el tiempo de tránsito desde el punto C hasta el arroyo suponiendo que la porosidad del acuífero es 0.2 y que la conductividad hidráulica K es la obtenida en el apartado anterior.

MAPA DE ISOPIEZAS

262

242

245

256

252.5

254.5

252.4

256

258.7

250.4

248 245.7244

240.3239

240

246252248

242244

250

238Arroyo

Cotas del Arroyo

A B C D

244 Nivel piezométrico (m.s.n.m.)

100 m

MAPA DE ISOPIEZAS

262

242

245

256

252.5

254.5

252.4

256

258.7

250.4

248 245.7244

240.3239

240

246252248

242244

250

238Arroyo

Cotas del Arroyo

A B C D


100 m

Figura 1. Mapa de pozos y piezómetros


144

a) y c) El mapa de isopiezas se muestra en la Figura adjunta. Las isopiezas indican la existencia de flujo hacia el arroyo. Nótese que el arroyo no es un límite de nivel constante y por ello las isopiezas no son paralelas a la traza del arroyo. Por el mismo motivo, tampoco son ortogonales al arroyo las líneas de corriente que pasan por los puntos A, B, C y D.

MAPA DE ISOPIEZAS

262

242

245

256

252.5

254.5

252.4

256

258.7

250.4

248 245.7244

240.3

239

240

246252 248 242

244250

238

Arroyo

Cotas del Arroyo

A B C D


100 m262

242

245

256

252.5

254.5

252.4

256

258.7

250.4

248 245.7244

240.3

239

250

260

Figura 30.1. Mapa de isopiezas.

b) Se observa cómo aguas abajo de los puntos A, B, C y D existe una zona donde las isopiezas están más juntas y por tanto en esta zona el gradiente piezométrico es mayor alcanzando valores del orden de 0.12 (ver Figura 30.2).

En la zona situada a la derecha y cerca del arroyo, el gradiente es menor (del orden de 0.05), lo que significa una mayor transmisividad, suponiendo el flujo en régimen permanente.

Las posibles explicaciones de este comportamiento son que en la primera zona la transmisividad es menor que en el resto del acuífero. Esta menor transmisividad puede ser debida a dos motivos:

1. un menor espesor saturado, 2. una menor conductividad hidráulica (posiblemente asociada a la

existencia de un menor espesor de materiales cuaternarios).

d) Se conocen los descensos a dos tiempos, t1 y t2. Si s1 y s2 son los descensos en estos dos tiempos, aplicando la ecuación de Jacob para el caudal Q = 1 l/s = 86.4 m3/d se obtiene


145

MAPA DE ISOPIEZAS

262

242

245

256

252.5

254.5

252.4

256

258.7

250.4

248 245.7244

240.3239

240

246252248

242244

250

238

Arroyo

Cotas del Arroyo

A B C D

244 Nivel piezométrico(m.s.n.m.)

100 m

Fuerte gradiente de nivel (0.12)Baja transmisividad

Menor gradiente piezométrico (0.05)Mayor permeabilidad

Figura 30.2. Zonas de mayor y menor permeabilidad.

⋅⋅⋅

⋅π

⋅=

⋅⋅⋅

⋅π

= 21

21

1 rStT25.2log

T4Q3.2

rStT25.2ln

T4Qs

⋅⋅⋅

⋅π

⋅=

⋅⋅⋅

⋅π

= 22

22

2 rStT25.2log

T4Q3.2

rStT25.2ln

T4Qs

restando ambas expresiones,

⋅

π⋅=

1

212 t

tlog

T4Q3.2s-s

Puesto que t2 es 10 veces t1, el término del logaritmo de t2 /t1 es reduce a 1. Por tanto, se obtiene

T44.863.2

10100log

T44.863.2

tt

logT4

Q3.2s-s1

212 π

⋅=

⋅

π⋅=

⋅

π⋅=

luego,

T44.863.204.21.4

π⋅=−


146

De esta ecuación se puede obtener la transmisividad, T = 7.68 m2/d. Por tanto, la conductividad hidráulica K es igual a K = T/b = 0.768 m/d.

e) A partir de la línea de corriente que pasa por el punto C se calculan las

longitudes, Li correspondientes a cada tramo entre isopiezas cuyo espaciamiento es , h∆ = 2 m y siendo φ la porosidad igual a 0.2.

Para calcular el tiempo de tránsito se aplica la ecuación de Darcy:

φ⋅=⋅−= vdxdhKq

siendo v la velocidad real. Aproximando la anterior ecuación mediante diferencias incrementales

φ⋅∆∆

=φ⋅=∆∆

⋅txv

xhK

donde ∆h es positivo. Despejando el incremento de tiempo ∆t

hKxt

2

∆⋅∆⋅φ

=∆

En nuestro caso ∆x = L. El tiempo de tránsito se calcula sumando todos los incrementos de tiempo parciales de los 11 tramos (12 isopiezas, ver figura del apartado a).

Tabla 30.1. Tiempo de tránsito.

Tramo longitud

Li (m)

cuadrado

Li2

Conductividad

K (m/d)

Tiempo parcial

hKLt

2i

∆⋅⋅φ

=∆ (días)

1 30.30 918.27 0.768 119.57 2 30.30 918.27 0.768 119.57 3 18.18 330.58 0.768 43.04 4 21.21 449.95 0.768 58.59 5 15.15 229.57 0.768 29.89 6 15.15 229.57 0.768 29.89 7 15.15 229.57 0.768 29.89 8 18.18 330.58 0.768 43.04 9 45.45 2066.12 0.768 269.03 10 48.48 2350.78 0.768 306.09 11 81.82 6694.21 0.768 871.64

Total 1920 días (5.26 años)


147

El valor que se obtiene es T = 5.26 años

Ahora bien, hay una zona donde la permeabilidad puede ser menor, por ello los cálculos se han rehecho considerando que en la zona menos permeable la conductividad hidráulica es el valor obtenido en el apartado d) dividido por un factor de 2.4: K = 0.768/2.4 = 0.32 m/d, ya que la relación de gradientes es aproximadamente 2.4. En régimen permanente, con el espesor saturado constante, se cumple

2211 hKhKq ∇⋅−=∇⋅−=

Sustituyendo,

05.0K12.0K 21 ⋅=⋅

es decir,

4.2KK 2

1 =

En la tabla siguiente se muestran los valores obtenidos. Hay 9 isopiezas más juntas (zona de mayor gradiente) y 3 isopiezas más espaciadas (zona de menor gradiente).

Tabla 30.2. Tiempo de tránsito. Opción 2ª.

Tramo longitud

Li (m)

cuadrado

Li2

Conductividad

K (m/d)

Tiempo parcial

hKLt

2i

∆⋅⋅φ

=∆ (días)

1 30.30 918.27 0.32 286.95 2 30.30 918.27 0.32 286.95 3 18.18 330.58 0.32 103.30 4 21.21 449.95 0.32 140.6 5 15.15 229.57 0.32 71.74 6 15.15 229.57 0.32 71.74 7 15.15 229.57 0.32 71.74 8 18.18 330.58 0.32 103.30 9 45.45 2066.12 0.768 269.03 10 48.48 2350.78 0.768 306.09 11 81.82 6694.21 0.768 871.64

Total 2583 días (7 años)

En este caso el tiempo de tránsito es de 7 años.


148

PROBLEMA 31 Para realizar una excavación de 40 x 60 m y 10 m de profundidad es necesario rebajar el nivel freático que se encuentra a 5 m de profundidad. En la zona existe un acuífero libre de 50 m de espesor inicial; su conductividad hidráulica es de 5 m/d y la porosidad drenable es 0.1. Se pide:

a) Calcular la transmisividad del acuífero. b) Calcular la difusividad hidráulica del acuífero. c) Calcular el caudal que es necesario bombear de forma permanente

en ambos pozos (ambos al mismo caudal) para mantener la excavación en seco al cabo de 30 días.

d) Calcular el caudal que es necesario bombear de forma permanente en ambos pozos (ambos al mismo caudal) para mantener la excavación en seco al cabo de 60 días.

e) Calcular el volumen total bombeado del acuífero en hm3 al cabo de

6 meses en los dos supuestos anteriores (apartados c y d). Indicar las ventajas e inconvenientes de cada uno de los dos supuestos.

a) La transmisividad es el producto de la conductividad, 5 m/d, y el espesor saturado inicial, 50 m, es decir T = K b = 250 m2/d.

Acuífero

Pozos de Bombeo

20 20 20 10

40

Excavación

A B


149

b) La difusividad hidráulica del acuífero D es el cociente entre la transmisividad T y el coeficiente de almacenamiento, S. Para un acuífero libre S coincide con la porosidad drenable, es decir, S = 0.1, por tanto, D = T/S = 2500 m2/d.

c) Para rebajar el nivel freático 5 m, bombeando en los pozos A y B, es necesario

bombear un caudal Q tal que el descenso total (la suma de los descensos producidos por ambos bombeos) sea al menos 5 m en el punto más desfavorable de la excavación (punto C ó C’). El punto más desfavorable es el punto de la esquina inferior, que es el más alejado.

Acuífero

Pozos de Bombeo

20 m 20 m 20 m 10 m

40 m

Excavación

A B

C C’

d1d1d2

Acuífero

Pozos de Bombeo

20 m 20 m 20 m 10 m

40 m

Excavación

A BAcuífero

Pozos de Bombeo

20 m 20 m 20 m 10 m

40 m

Excavación

A B

C C’

d1d1d2

Figura 31.1. Esquema de pozos y excavación.

Las distancias d1 y d2 desde A y B a C (ó C’) son

m85.535020d 221 =+=

m03.645040d 22

2 =+=

El descenso total se calcula mediante la fórmula de Jacob:

⋅

⋅⋅⋅

π+

⋅

⋅⋅⋅

π= 2

221

T dStT25.2ln

T4Q

dStT25.2ln

T4Qs

Sustituyendo, T = 250 m2/d, S = 0.1, t = 30 días, se obtiene


150

⋅⋅⋅

⋅⋅π

+

⋅⋅⋅

⋅⋅π

= 22 03.641.03025025.2ln

2504Q

85.531.03025025.2ln

2504Q5

El caudal por pozo que se deduce es 23.39 l/s, es decir el caudal total es 46.8 l/s equivalentes a 4042 m3/d. Para el cálculo del descenso se ha aplicado la fórmula de Jacob ya que la función u es inferior a 0.03 para las distancias d1 y d2:

03.0009.0302504

1.085.53tT4

Sdu22

1 ≤=⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅=

03.0013.0302504

1.003.64tT4

Sdu22

2 ≤=⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅=

d) Para rebajar el nivel freático 5 m al cabo de 60 de días bombeando en los pozos

A y B, es necesario bombear un caudal Q tal que el descenso total en el punto C (ó C’) sea al menos 5 m. El cálculo sería igual que en el apartado anterior pero con un tiempo de 60 días en lugar de 30 días:

⋅

⋅⋅⋅

π+

⋅

⋅⋅⋅

π= 2

221

T dStT25.2ln

T4Q

dStT25.2ln

T4Qs

Sustituyendo, T = 250 m2/d, S = 0.1, t = 60 días, se obtiene

⋅⋅⋅

⋅⋅π

+

⋅⋅⋅

⋅⋅π

= 22 03.641.06025025.2ln

2504Q

85.531.06025025.2ln

2504Q5

El caudal por pozo deducido es 19.83 l/s, es decir el caudal total es 39.7 l/s equivalentes a 3426.8 m3/d. En este caso también se aplica la fórmula de Jacob ya que se cumple

03.00045.0602504

1.085.53tT4

Sdu22

1 ≤=⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅=

03.00065.0602504

1.003.64tT4

Sdu22

2 ≤=⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅=

e) El volumen bombeado al cabo de 6 meses (180 días) en el caso del apartado c)

es:

33 hm72.0m7275601804042tQVol ==⋅=⋅=

En el caso del apartado d):


151

33 hm61.0m6168241808.3426tQVol ==⋅=⋅=

Se deduce que la primera opción (secar la excavación al cabo de 30 días), requiere un mayor caudal de bombeo y conlleva un mayor volumen de extracción de agua. La segunda opción requiere menos bombeo y menor volumen bombeado, pero tiene el inconveniente de que hay que esperar 30 días más que en la primera opción para que la excavación quede en seco.


152

REGULACIÓN

PROBLEMA 32 En la Tabla se dan los caudales medios mensuales en una cuenca. Calcular la capacidad mínima y el volumen inicial que debe tener un embalse que regule las aportaciones de la cuenca para garantizar una demanda media mensual de 30 m3/s. NOTA: Aplicar el método analítico para resolverlo.

Tabla 1. Aportaciones.

MES Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio APOR. (m3/s) 60 45 35 25 15 22

MES Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

APOR. (m3/s) 50 80 105 90 80 70

En la tabla siguiente se muestran los valores de aportaciones y demandas y la diferencia de ambas, ordenando los meses considerando el año hidrológico. A partir de estos valores se pueden deducir los meses en los cuales se produce déficit.

Tabla 32.1. Cálculos.

Mes Aportaciones (m3/s) Demanda (m3/s) Diferencia Octubre 90 30 60

Noviembre 80 30 50 Diciembre 70 30 40

Enero 60 30 30 Febrero 45 30 15 Marzo 35 30 5 Abril 25 30 -5 Mayo 15 30 -15 Junio 22 30 -8 Julio 50 30 20

Agosto 80 30 50 Septiembre 105 30 75


153

El déficit total será la suma de los valores de los caudales negativos (-5, -15, -8) multiplicados por el número de días de cada mes (abril, mayo y junio):

Déficit = (5 x 30 + 15 x 31 + 8 x 30) x 86400 = 73.872 hm3

La capacidad mínima a embalsar será el déficit acumulado. La suma acumulada de la diferencia de aportaciones y demanda de los meses anteriores a abril superan el déficit total,

60 x 31 + 50 x 30 + 40 x 31 + 30 x 31 + 15 x 28 + 5 x 31 = 527.472 hm3 por lo que la cantidad de agua inicial embalsada a 1 de octubre (inicio del año hidrológico) puede ser nula, además de que en octubre la diferencia de aportaciones y demandas es positiva (60 m3/s). El volumen del embalse, como mínimo tendrá que tener una capacidad de Emin = 73.872 hm3, para poder almacenar dicha cantidad los meses de octubre a marzo y hacer frente al déficit producido los tres meses siguientes.


154

PROBLEMA 33 El río Zújar es un afluente del río Guadiana. Para regar 40000 ha se dispone de un embalse de capacidad E = 50 hm3. A partir de los datos de las aportaciones mensuales de los años hidrológicos 80/81 y 81/82 (ver Tabla) se pide determinar:

a) La magnitud de los déficits y vertidos. b) La garantía de suministro. c) La garantía de regulación.

Se supondrá que inicialmente el embalse está vacío y que la dotación para riego es de 5000 m3/ha/año.

Tabla 1. Aportaciones.

AÑO 80/81 OCT. NOV. DIC. ENERO FEBR. MARZO APORT. (Hm3) 0.06 21.4 2.88 2.61 3.67 4.45

AÑO 80/81 ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SEPT. APORT. (Hm3) 14.78 10.27 2.48 0 1.64 2.64

AÑO 81/82 OCT. NOV. DIC. ENERO FEBR. MARZO APORT. (Hm3) 0.56 0.35 92.13 123.69 36.35 14.74

AÑO 81/82 ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SEPT. APORT. (Hm3) 13.94 2.38 0.73 0 0.61 3.14

Para calcular la magnitud de los déficits y vertidos calcularemos la demanda correspondiente total:

Demanda total = 5000 m3/ha/año x 40000 ha x 2 años = 400 hm3

Tabla 33.1. Cálculo de la demanda mensual.

Mes Nº de días Cálculo Demanda mensual (hm3) Octubre 31 31 x 400/730 16.986

Noviembre 30 30 x 400/730 16.438 Diciembre 31 31 x 400/730 16.986

Enero 31 31 x 400/730 16.986 Febrero 28 28 x 400/730 15.342 Marzo 31 31 x 400/730 16.986 Abril 30 30 x 400/730 16.438 Mayo 31 31 x 400/730 16.986 Junio 30 30 x 400/730 16.438 Julio 31 31 x 400/730 16.986

Agosto 31 31 x 400/730 16.986 Septiembre 30 30 x 400/730 16.438


155

En la Tabla 33.1 se ha tenido en cuenta los números de días de cada mes, calculando la demanda correspondiente proporcionalmente:

Demanda del mes i = Nº de días del mes x 400/(2 x 365)

En la siguiente tabla se muestran los valores de déficits, vertidos, volumen de agua almacenado en el embalse al final del mes y volumen regulado.

Tabla 33.2. Cálculo del volumen regulado.

Mes Aport. (hm3)

Demanda (hm3)

Déficit (hm3)

Vertido (hm3)

Volumen embalsado

Volumen regulado

Octubre 80/81 0.06 16.986 16.926 0 0 0.06 Noviembre 80/81 21.4 16.438 0 0 4.962 16.438 Diciembre 80/81 2.88 16.986 9.144 0 0 7.842

Enero 80/81 2.61 16.986 14.376 0 0 2.61 Febrero 80/81 3.67 15.342 11.672 0 0 3.67 Marzo 80/81 4.45 16.986 12.536 0 0 4.45 Abril 80/81 14.78 16.438 1.658 0 0 14.78 Mayo 80/81 10.27 16.986 6.716 0 0 10.27 Junio 80/81 2.48 16.438 13.958 0 0 2.48 Julio 80/81 0 16.986 16.986 0 0 0

Agosto 80/81 1.64 16.986 15.346 0 0 1.64 Septiembre 80/81 2.64 16.438 13.798 0 0 2.64

Octubre 81/82 0.56 16.984 16.424 0 0 0.56 Noviembre 81/82 0.35 16.438 16.088 0 0 0.35 Diciembre 81/82 92.13 16.986 0 25.144 50 16.986

Enero 81/82 123.69 16.986 0 106.704 50 16.986 Febrero 81/82 36.35 15.342 0 21.008 50 15.342 Marzo 81/82 14.74 16.986 0 0 47.754 16.986 Abril 81/82 13.94 16.438 0 0 45.256 16.438 Mayo 81/82 2.38 16.986 0 0 30.65 16.986 Junio 81/82 0.73 16.438 0 0 14.942 16.438 Julio 81/82 0 16.986 2.044 0 0 14.942

Agosto 81/82 0.61 16.986 16.376 0 0 0.61 Septiembre 81/82 3.14 16.438 13.298 0 0 3.14

TOTAL 400 197.346 152.856 202.644 Para el cálculo de los volúmenes regulados en cada mes hay que tener en cuenta el volumen almacenado en el embalse al final del mes anterior, ya que lo que se resuelve es la ecuación de balance de masa:

nn1nn DAEE −+= − si En < 50 hm3


156

donde En y En-1 es el volumen de agua almacenado al final del mes n y n-1, respectivamente; An y Dn son la aportación y demanda producida en dicho mes n. La garantía de regulación es:

%5050.0400

644.202TotalDemanda

reguladoVolumenG r ====

Para calcular la garantía de suministro se calculan los días en lo cuales no se ha producido déficit. Los meses donde no se ha producido déficit son: Noviembre del año 80/81, Diciembre, Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo y Junio del año 81/82. El número total de días es:

30 + 31 + 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 = 242 días

En consecuencia, la garantía de suministro es:

%3333.0730242

TotalTiempodéficitsinTiempo

Gs ====


157

PROBLEMA 34 Para abastecer a una población urbana se ha construido un embalse A de capacidad EA = 50 hm3 en un río determinado. La demanda media mensual es de 15 hm3 y las aportaciones mensuales en dos años hidrológicos característicos son las que se detallan en la Tabla 1.

Tabla 1. Aportaciones al embalse A.

AÑO 1 OCT. NOV. DIC. ENERO FEBR. MARZO APORT. (Hm3) 5 10 15 30 40 45

AÑO 1 ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SEPT. APORT. (Hm3) 30 20 0 0 0 20


AÑO 2 ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SEPT. APORT. (Hm3) 25 10 5 0 3 24 Para regar una importante plantación se dispone de un embalse B de capacidad EB = 50 hm3 en otro río distinto del anterior, que inicialmente se encuentra al 50% de su capacidad. A partir de los datos de las aportaciones mensuales de los años hidrológicos característicos 1 y 2 (ver Tabla 2) se ha podido comprobar que la demanda media mensual de 17 hm3 no se garantiza adecuadamente. Por ello, se ha pensado reutilizar las aguas residuales provenientes de la población urbana, las cuales representan el 70 % de la demanda, y canalizar los vertidos del embalse A hasta la zona de regadío. Tanto el agua reutilizada como la proveniente del vertido del embalse A servirá, en caso de que se necesite, para reducir el déficit y evitar vaciar el embalse B, y no para llenarlo. Se pide: a) Calcular el volumen inicial de llenado del embalse A para satisfacer al

100 % la demanda de la población urbana. b) Calcular la garantía de regulación y suministro cuando sólo se utiliza

el embalse B para satisfacer la demanda de regadío. c) Calcular la garantía de regulación y suministro cuando se utilizan las

aguas residuales de la población urbana y los vertidos canalizados del embalse A.

Tabla 2. Aportaciones al embalse B.






158

a) En este caso se realiza un estudio de regulación únicamente con el primer río y suponiendo que el embalse inicialmente está vacío. En la tabla adjunta se detallan los déficits, vertidos, volúmenes embalsados al final de un determinado mes y el volumen regulado.

Al igual que en el problema anterior, para el cálculo de los volúmenes regulados en cada mes hay que tener en cuenta el volumen almacenado en el embalse al final del mes anterior, ya que lo que se resuelve es la ecuación de balance de masa:

nn1nn DAEE −+= − si En < C

donde En y En-1 es el volumen de agua almacenado al final del mes n y n-1, respectivamente; An y Dn son la aportación y demanda producida en dicho mes y C es la capacidad máxima del embalse. En caso de que la suma de las aportaciones y del volumen embalsado al final del mes anterior menos la demanda sea superior a la capacidad máxima del embalse, éste quedará lleno:

En = C

Tabla 34.1. Cálculo de volúmenes. Embalse A.

Mes Aport.

(hm3) Demanda

(hm3) Déficit (hm3)

Vertido (hm3)

Volumen embalsado

Volumen regulado

Octubre año 1 5 15 10 0 0 5 Noviembre año 1 10 15 5 0 0 10 Diciembre año 1 15 15 0 0 0 15

Enero año 1 30 15 0 0 15 15 Febrero año 1 40 15 0 0 40 15 Marzo año 1 45 15 0 20 50 15 Abril año 1 30 15 0 15 50 15 Mayo año 1 20 15 0 5 50 15 Junio año 1 0 15 0 0 35 15 Julio año 1 0 15 0 0 20 15

Agosto año 1 0 15 0 0 5 15 Septiembre año 1 20 15 0 0 10 15




TOTAL 360 15 40 345


159

La garantía de regulación es:

%9595.0360345

TotalDemandareguladoVolumen

G r ====

El volumen inicial de llenado, al comienzo del año hidrológico 1 tendrá que ser el valor del déficit acumulado 15 hm3. Si inicialmente el embalse tiene 15 hm3, no existirá déficit.

b) En el caso del segundo río, con el embalse B para satisfacer el regadío, se obtienen

los vertidos, déficits, volúmenes embalsados y regulados que se detallan en la tabla siguiente.

En este caso el embalse se encuentra al 50 % de su capacidad, es decir 25 hm3, lo que implica que disponemos de ese volumen de agua adicionalmente.

Tabla 34.2. Cálculo de volúmenes. Embalse B.

Mes Aport. (hm3)

Demanda (hm3)

Déficit (hm3)

Vertido (hm3)

Volumen embalsado

Volumen regulado







TOTAL 408 159 67 249

En estas condiciones la garantía de regulación es:


160

%6161.0408249


G r ====

teniendo en cuenta que el tiempo total en el que se ha producido déficit es

31 + 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 31 + 31 + 30 = 427 días la garantía de suministro vale:

%4141.0730

427730TotalTiempo

déficitsinTiempoGs ==

−==

c) Si se reutilizan las aguas residuales (0.7 x Demanda de abastecimiento = 10.5 hm3)

y los vertidos del embalse A se obtiene los valores de la tabla adjunta. Hay que tener en cuenta que tanto el agua reutilizada como la procedente del vertido del embalse A no sirven para llenar el embalse B, pero se utilizan antes que vaciar dicho embalse.

Tabla 34.3. Cálculo de volúmenes.

Mes Aport. (hm3)

Demanda (hm3)

0.7 x dem población

Vertido Embalse B

Déficit (hm3)

VertidoA (hm3)

Volumen embalsado

Volumen regulado

Oct. 1 0 17 10.5 0 0 0 18.5 17 Nov. 1 21 17 10.5 0 0 0 22.5 17 Dic. 1 3 17 10.5 0 0 0 19 17 En. 1 2 17 10.5 0 0 0 14.5 17 Feb. 1 4 17 10.5 0 0 0 12 17 Mar. 1 5 17 10.5 0 0 20 12 17 Abr. 1 15 17 10.5 0 0 15 12 17 May. 1 10 17 10.5 0 0 5 12 17 Jun. 1 2 17 10.5 0 0 0 7.5 17 Jul. 1 1 17 10.5 0 0 0 2 17 Ago. 1 3 17 10.5 0 1.5 0 0 15.5 Sept. 1 1 17 10.5 0 5.5 0 0 11.5 Oct. 2 15 17 10.5 0 0 0 0 17 Nov. 2 72 17 10.5 5 0 0 50 17 Dic. 2 60 17 10.5 43 0 0 50 17 En. 2 36 17 10.5 19 0 0 50 17 Feb. 2 15 17 10.5 0 0 0 50 17 Mar. 2 14 17 10.5 0 0 0 50 17 Abr. 2 5 17 10.5 0 0 0 48.5 17 May. 2 1 17 10.5 0 0 0 43 17 Jun. 2 0 17 10.5 0 0 0 36.5 17 Jul. 2 0 17 10.5 0 0 0 30 17 Ago. 2 3 17 10.5 0 0 0 26.5 17 Sept. 2 3 17 10.5 0 0 0 23 17 TOT. 408 252 67 8.5 40 401

La garantía de regulación es:


161

%9898.0408401


G r ====

Teniendo en cuenta que el tiempo en que el sistema ha permanecido con déficit es 31 + 30 = 61 días la garantía de suministro vale:

%9191.0730

61730TotalTiempo

déficitsinTiempoGs ==

−==

es decir, se mejora sustancialmente la garantía del sistema. Se han reutilizado 401 – 249 = 152 hm3.

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