Ciencia - Atlas Tematico de Matematicas Analisis y Ejercicios

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M A T E M Á T I C A S

(análisis) + ejercicios

IDEA BO OKS, S.A.

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Título de la colección ATLAS TEMÁTICOS

Texto e ilustración © 1996 IDEA BOOKS, S.A.

Redacción / Ferran Hurtado, Licenciado en Matemáticas

Ilustraciones / Equipo editorial

Diseño de la cubierta / Lluís Lladó Teixidó

Printed in Spain byEmegé, Industria Gráfica, Barcelona

EDICIÓN 1997

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Las cuarenta y dos fichas de texto de este libro constituyen una síntesis, con profusión de ilustraciones, del Análisis real de una variable, cubriendo el contenido clásico de esta disciplina en el ciclo medio e inicio del superior. En la serie A se trata del conjunto de los números reales y se define C a partir de R x R, señalándose propiedades que incidirán en temas posteriores. La serie B, elemental sólo en parte de B/1, versa sobre sucesiones y series en R. La serie C introduce las funciones reales de variable real, siendo C/3, sobre sucesiones y series funcionales, correspondiente al nivel superior. En la serie D se define la continuidad y se comentan los teoremas más significativos. Las cuestiones sobre continuidad uniforme, sucesiones y series de funciones exceden aquí el nivel elemental. La serie E aborda la derivabilidad y varios temas asociados; optimización, gráficas, indeterminaciones, aproximación de raíces, etc. Finalmente, la serie F trata de la integración y de sus aplicaciones a la medida. Las integrales trigonométricas, irracionales e impropias de F/8, F/10 y F/13 se incluyen en el nivel superior, y también los temas de sucesiones y series funcionales que se ven en F/15.Aunque el resumen teórico está salpicado de numerosos problemas y ejemplos, a llí donde no han tenido cabida, oportunidad o abundancia suficiente se ha recurrido a la amplia colección de ejercicios resueltos del final del volumen, cuya numeración (por ejemplo E/7-3) permite buscarlos a partir de la ficha teórica (en este caso la E-7) o, al revés, retroceder a ella desde el ejercicio, si es que conviene consultarla.Esperamos que la obra sea de gran utilidad para sus lectores.

EL AUTOR

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D e l o s n ú m e r o s r e a l e s a l o s c o m p l e j o sSi el proceso de contar nos conduce a N, los números naturales, las necesidades de la medida -de dinero, longitudes, pesos, etc - conllevan el uso de fracciones, con lo que se llega hasta los números racionales, Q. En los primeros tiempos de las matemáticas se creía que dada una unidad, pongamos de longitud, cualquier otra longitud era expresión racional de la unidad anterior. En otras palabras, dos longitudes cualesquiera eran conmensurables, es decir, ambas un número natural de veces cierta unidad adecuada. El descubrimiento pitagórico de la inconmensurabilidad de la diagonal con el lado del cuadrado (véase fig. 1), dio al traste con tal creencia, pero una construcción y comprensión completa de los nuevos números, los irracionales, puestos al descubierto, hubo de esperar hasta el siglo XIX, con Weierstrass, Cantor y Dedekind.

NÚMEROS REALES

El cuerpo de los números reales, que se denota por R, es un conjunto que contiene a Q , en el que se tienen una relación entre sus elementos (orden), denotada x < y (o y > x indistintamente), que leeremos x es menor o igual que y (respectivamente, y es mayor o igual que x), y dos operaciones internas, es decir, sendas aplicaciones R x R -> R, denotadas

(x, y) -*• x + y, (x, y) -*• x • y a las que se da el nombre de suma y producto de números reales, respectivamente, cumpliéndose los axiomas que a continuación se enumeran. Fhra mayor sencillez, están distribuidos en cinco grupos, I a V, e incluso de manera sobreabundante, es decir, puede caracterizarse R mediante una colección más reducida de axiomas, de los cuales se deducirán los que nosotros hemos añadido de más, por razones de claridad.(I). R, con la suma y el producto es un cuerpo conmutativo. Es decir, se cumple:1.1. x + (y + z) = (x + y) + z V x, y, z ¡s R.1.2. x + y = y + x V x, y e R.1.3. Existe un elemento de R, que designaremos0 (cero), tal que 0 + x= x V x e R .1.4. Rara cada elemento x de R existe un elemento de R, denotado -x , tal que (—x) + x = 0.1.5. x ■ (y • z) = (x • y) ■ z V x , y, z e R.1.6. x • y = y ■ z V x, y z e R.1.7. Existe un elemento de R, que designaremos1 (uno), distinto de 0, tal que 1 x = x V x e R .1.8. Para cada elemento x e R distinto de 0, existe un elemento de R, denotado x A (o tam

bién 1 ) tal que x • x 1 = 1.I.9 x • (x + y) = x ■ y + x ■ z V x, y, z e R.(II). R está totalmente ordenado como cuerpo. Desglosadamente:II .1 . Cualesquiera que sean x, y de R, se cumple x < y o bien y < x.11.2. x = y equivale a que simultáneamente se cumplan x < y e y < x. Escribiremos x < y e y< x. Escribiremos x < y cuando x + y con x < y.11.3. x < y e y < z implican x < z, cualesquiera que sean x, y z e R.11.4. Si x, y z e R, de x < y se deduce x + z < y + z .11.5. Si x, y e R cumplen x > 0, y > 0, se tiene x • y> 0 .(III) El orden es arquimediano. Es decir, si x, y e R cumplen 0 < x, 0 < y, existe n e N tal que y < n ■ x.Los axiomas de (I), (II) y (III) son también válidos para Q, que también es cuerpo conmutativo totalmente ordenado y arquimediano, por lo que el lector ya está familiarizado con sus consecuencias sencillas y con el lenguaje usado.(IV). Q es denso en R. En otras palabras, V x, y e R tales que x< y existe un q-¡ e Q entre ellos, o sea x < q, < y. Obsérvese que, por la misma razón, existirán q2, q3 etc., con x < ... < q3 < q2< q1 < y. En definitiva, entre cada dos reales distintos hay infinitos racionales.Fára formular el axioma (V) precisamos ciertas definiciones previas. Sean a y b números reales cualesquiera con a < b. Se denomina intervalo abierto de origen y extremo b al conjunto de x e R tales que a < x< b , denotándose tal conjunto por (a, b). Se llama intervalo cerrado de origen a y extremo b al conjunto de í e R tales que a < t< b y se le denota [a, b}. Es habitual llamar intervalo de centro a y radio h a (a - h, a + h). Si c e R, se llama entorno de c a cualquier intervalo (a,b) tal que c e (a, b), en particular los centrados en c.Aunque no se trate de intervalos, es frecuente denotar (a, +°°) al conjunto de x e R tales que a < x (y análogamente para (-°°, a), [a, +°°) y H » , al).Utilizaremos también las notaciones

R+ = (0, + <*0, R~ = {— co( 0),conjuntos cuyos elementos son llamados, respectivamente, positivos y negativos.El conjunto R suele representarse gráficamente por una recta, situando x a la izquierda de y cuando x < y.

ATLAS DE MATEMÁTICAS6

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N ú m e r o s ñ / i

Fig. 1 - La conmensurabilidad significaría la existencia de una Ion- Fig. 2 - Aparte del famoso teorema, la escuela reunida engitud a tal que torno a Pitágoras (s. VI a.C.) hizo su más importante aporta-

V "2 = ma 1 = na (m n e N) c '®n descubrir existencia de los números irracionales.

con lo que, dividiendo, V T = m/n sería racional, lo que es absurdo, pues si la fracción es irreducible elevando al cuadrado m y n resultan pares.

I A § 4 ( t1 10 100 1. 000 10. 000 100. 000 1. 000. 000 152. 113

. = ^ _ s n E 7j L 7V - £ l / Z y , ^ - l -1 2 3 4 5 6 7 8 , 9 10

f - — — ■4 - _2 H - E E 7+12 20 30 40

4 51 4 - 5 "

17.594Fig. 3 - Símbolos de numeración (jeroglífica) egipcia (arriba) y china (abajo).

DE LOS NÚMEROS REALES A LOS COMPLEJOS7

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De l o s n ú m e r o s r e a l e s o l o s c o m p l e j o s

Si A es un subconjunto de R, diremos que b es ) una cota superior de A (o una mayorante de A) cuando sea x< b para todo x de A. También se dice que A está acotado superiormente por b, o mayorado por b. Análogamente se definen las cotas inferiores o minorantes. Un conjunto se dice que está acotado inferiormente si existe alguna cota inferior. De estarlo en ambos sentidos se dice, sencillamente, que está acotado.Por ejemplo, R+ está acotado inferiormente, pero no superiormente, R está en situación inversa, Q no está acotado en ningún sentido, y cualquier intervalo (a, b) lo está en ambos.Si A C R y existe un elemento a a A tal que sea cota superior de A (es decir, un elemento de A mayor que todos los restantes de A), diremos que a es el máximo de A. Se llamaría mínimo de A a una cota inferior de A que perteneciera a A.Por supuesto que si un conjunto tiene máximo o mínimo está mayorado o minorado, respectivamente, pero, en cambio, el mero hecho de ( estar acotado superiormente o inferiormente no implica que posea máximo o mínimo, como, por ejemplo, sucede con cualquier intervalo abierto.Ahora sí estamos en condiciones de formular el axioma de R que nos faltaba:(V). Si un subconjunto A de R, no vacío, está acotado superiormente, el conjunto M de las mayorantes de A posee elemento mínimo.La menor de las cotas superiores de A, si existe, se llama extremo superior de A (o también supremo de A). El axioma V, o axioma del extremo, dice que todo subconjunto de R no vacío y acotado superiormente posee extremo superior. Consecuencia inmediata es que cualquier subconjunto de R minorado y no vacío / posee extremo inferior (también llamado ínfimo), es decir, elemento máximo entre sus cotas inferiores.El axioma V no se cumple en Q . Por ejemplo, el conjunto de números racionales cuyo cuadrado es menor que 2 , es no vacío y está acotado en Q , pero carece de extremos racionales. Al sumergir Q en R sí aparecen extremos: V T y - x / T .Para cada x e R s e definevalor absoluto de x = |x| = { * s' x ~1 1 l - x si x < 0siendo sus principales propiedades(a) |x| > 0 V x e R. |x| = 0 equivale a x = 0.(b) |x + y| < |x| + |y| V x, y a R.(c) |x • y\ = |x| • |y| V x, y e R.(d¡ | x - y | > |x| - |y| V x, y e R.La reforma del Análisis, comenzada por Boiza- no y Cauchy, se completó en la segunda mitad /

del siglo XIX en torno a Weierstrass, cuya construcción de los números reales parte, como la de Cantor-Heine y la de Dedekind, de Q. El método de este último, el que más conecta con la antigüedad clásica, consiste en considerar cortaduras de Q, es decir, particiones de Q en dos subconjuntos A, A2 no vacíos y disjuntos, tales que cualquier elemento de A, minore A2. Cada una de estas cortaduras hace de número real en la construcción de Dedekind. En definitiva, cada a e R queda individualizado por los racionales menores que él y los mayores o iguales. Lo difícil estriba en construir estos conjuntos antes de que exista a.

NÚMEROS COMPLEJOS

En virtud de la regla de los signos, el cuadrado de cualquier real es un número positivo, o nulo. Por ello, no existe en R raíz cuadrada de los negativos. Sin embargo, es posible construir un conjunto, el de los números complejos, en cuyo asentamiento se distinguieron Gauss, Hamilton y Cauchy, que contiene como subconjunto a R, en el que tal problema tiene solución.

Definición y operaciones

Consideremos el conjunto R x R formado por los pares ordenados (a, b) de números reales (el contexto evita, pese a las notaciones coincidentes, la confusión con los intervalos). Se definen una suma y un producto mediante

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)(a, b) • (c, d) = (ac - bd, ad + be)

cumpliéndose, V a, b, c, d, e, f a R,1. (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)2. [(a, b) + (c, d)I + (e, /) = (a, b) + [(c, d) + (e, /)]3. El elemento (0, 0) cumple

(a, b) + (0, 0) = (a, b)

4. Para cada (a, b) a R x R se tiene (a, b) + (-a, -b) = (0 , 0 ).

5. (a, b) • (c, d) = (c, d) ■ (a, b)6. (a, b) ■ |(c, d) ■ (e, / ) | = [(a, b) • (c, d)] ■ (e, f )7. El elemento (1, 0) cumple

(1, 0)- (a, b) = (a, b)

8. Para cada (a, b) de R x R distinto de (0, 0),

(a, b ) ( — — ) = (1, 0 )a-’+ o-' aJ + b ’

( 9. (a, b) ■ [(c • d) + (e, f)\ - (a, b )(c ,d ) + (a, b) (e, f ) R x R, estructurado como cuerpo conmutativo con las anteriores operaciones, es denotado C, y sus elementos llamados números complejos.


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F u n d a m e n t a c i ó n R / 2

Karl Weierstrass (1815-1897) Richard Dedekind (1831-1916)

Fig. 1 - Matemáticos que, en el siglo XIX, movidos por la preocupación de los fundamentos de la Matemática, se dedicaron al estudio de la construcción de los conjuntos numéricos.

Georg Cantor (1854-1918)


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De l o s n ú m e r o s r e a l e s a l o s c o m p l e j o s

Representación gráficaLos números complejos, que, como conjunto, despojados de sus operaciones, constituyen R x R, pueden representarse como los puntos de un plano coordenado mediante dos ejes perpendiculares, en cuya intersección se toma el 0 de ambas rectas reales (fig. 1), identificándose (a, b) con el punto por el que al trazar las paralelas a los ejes, cortan al primero, o de abscisas, en el punto de coordenada a, y al segundo, o de ordenadas, en el punto de coordenada b. Suponemos al lector familiarizado con este tratamiento del plano.

ConjugaciónDado un número complejo z = (a, b) se llama parte real de z al número real a y parte imaginaria de z a l número real b. Se llama complejo conjugado de z = (a, b) al número z = (a, - b) que tiene la misma parte real y la parte imaginaria cambiada de signo. Los complejos de parte real nula se llaman imaginarios puros.La aplicación R -> C que hace corresponder a cada número real a el complejo (a, 0), de parte real a y parte imaginaria nula, asocia a diferentes números reales diferentes números complejos. Además, como(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0) (b, 0) = (ab, 0), puede identificarse cada real x con el complejo (x, 0). O sea, x = (x, 0) V x e R.Con ello, se tiene la cadena de inclusiones

N C Z C Q C R C C .El número complejo (0,1) se designa por la letra i, recibiendo el nombre de unidad imaginaria. Se cumple

/2 = (0, 1) (0, 1) = ( - 1, 0 ) = - 1,por lo que en C sí es posible hallar raíces cuadradas de los reales negativos:

si x e R-, (± i V -"x )2 = x-Cualquiera que sea (a,b) e C se cumple

(a, b) = (a, 0) + (b, 0) (0, 1),igualdad que con los convenios y notaciones anteriores, escribiremos

(a, b) = a + b i.

El segundo término de esta igualdad, o expresión binómica del complejo (a, b), es la que más se usa. El número queda descrito como suma de un real, a, y de un imaginario puro, bi. Con esta notación, las operaciones en C se hacen cómodamente, usando la estructura de cuerpo y que i2 = - 1.

) Teorema fundamental del álgebra. Toda ecua- \ ción polinómica de coeficientes complejos / tiene al menos una solución en C.

Se sigue queanxn + ... + a, x + a0 = 0 (a, e C , an + 0)

tiene exactamente n soluciones en C, eventualmente coincidentes entre sí.Si los coeficientes a¡ son reales, las soluciones

( pueden ser unas reales y otras complejas, pero ) en este segundo caso con cada solución a + bi \ (b 0), se presenta también la conjugada, a - ( bi, admitiendo el polinomio el divisor ( (x - a )2+ ) + b2), que es primo entre los polinomios de \ coeficientes reales. Como consecuencia, si n es / impar habrá, por lo menos, una solución real.

Coordenadas polares del plano.) Aplicación a C) Cada punto del plano cartesiano puede descri- ( birse, además de por su abscisa x y su ordenada / y (coordenadas cartesianas), por sus coordena- ) das polares, r y <p, donde <p es el ángulo medido ( desde el semieje positivo de abscisas hasta la ) semirrecta por el punto desde el origen, y res la \ distancia entre el punto y el origen (fig. 3)./ A partir de las coordenadas polares obtenemos

las cartesianas mediante \ x = r eos <p, y = r sen ¡p,

( e, inversamente, se tiene) y

r = V x 2 + y2, tg <p = — .

( Puesto que tg ip = tg (<p + ir), la determinación de ip a partir de (x, y) deberá tener también en cuenta el cuadrante en que esté situado el punto.

( La ecuación de algunas curvas es especialmen- ) te sencilla cuando se usan coordenadas polaca res. Por ejemplo, r = K es la circunferencia de / centro en el origen y radio K.\ Cuando cada número complejo a + bi se iden- ( tífica con el punto (a,b) del plano cartesiano R / x R, también podrá describirse por sus coorde- \ nadas polares r = x ja 1 + b1 (llamada módulo / del número complejo) y tg ¡p = (tía) (<p es el ) argumento del número). Se escribe a + bi = rf . ( Las propiedades del módulo |z| de z e C son) (a) |z| > 0 z e C y |z|= 0 equivale a z = 0.\ (b) ¡z + ¿ \ < [z| + jz"! z, z/ e C.( (c) ¡z- z'| = |z| ■ Iz'l z, z' e C.\ (di ¡ z - z ' l > |z| - |z'| z, z' e C.( (obsérvese que si z e C es además real, su / módulo es exactamente su valor absoluto).

Es cómodo utilizar

'• rv ■ % = (rs)v + , (rv)n = (rí,)nv.


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R e p r e s e n t a c i ó n R , •* g r á f i c a d e C H ó

Fig. 2 - Conjugación.

Fig. 4 - Espiral hiperbólica.

Fig. 6 - Espiral logarítmica.

Fig. 1 - Representación gráfica de C.

Fig. 3 - Coordenadas polares.

Fig. 5 - Lemniscata de Bernoulli.

r= — (r 9

Fig. 7 - Rosa de tres pétalos. Fig. 8 - Rosa de cuatro pétalos.


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S u c e s i o n e s q s e r i e sSUCESIONES DE NUMEROS REALESUna sucesión de números reales es una aplicación f. N —> R. Es frecuente referirse a una sucesión

a2' ■■■' an> ■■■también denotada por {a„}, sobrentendiendo la aplicación ftal que An) = an, para cada n e N. Se denomina primer término de la sucesión a ai, segundo a a2, etc. El término enésimo, a„, es llamado también término general.Los ejemplos más clásicos los constituyen las sucesiones an = an + b, con a y b e R, llamadas progresiones aritméticas, caracterizables también por ser constante la diferencia (razón) entre cada término y el anterior, pues

an + 1 — an = (a(n + 1) + b) - (an + b) = a, y las sucesiones de la forma bn = s ■ r", en las que se ve fácilmente es una constante (razón) el cociente entre cada término y el anterior, llamadas progresiones geométricas.Si {a,,} es una progresión aritmética

y a - a 4 - + a n ( a 1 + a » }g 1a i - a l + + a n - 2

y si {bn} es una progresión geométrica de razón r, entonces

i b , = b i + b 2 + . . . + b n = b l - rt>n ,¡=i 1 - ry también

n , b¡ = bi ■ b2 ■ ... ■ bn = V(í>i ' £>„)"■

Se pueden sumar y multiplicar dos sucesiones término a término obteniéndose una sucesión, y dividirlas si todos los términos de la segunda son distintos de 0 .Una sucesión se dice que es acotada superiormente cuando existe un número (cota) mayor o igual que todo término de la sucesión. Análogamente se define la acotación inferior. Cuando se cumplen ambas se habla, sin más, de sucesiones acotadas.Si una sucesión cumple an < a„ + , V n e N se dice que es creciente, y estrictamente creciente cuando an < an+ i V n e N. Análogamente se define el decrecimiento, estricto o no. Las sucesiones constantes son las que tienen todos sus términos iguales entre sí.Un número real a será llamado límite de la sucesión (an) si para cada e > 0 puede hallarse un natural v tal que de a„ en adelante los términos de la sucesión difieran de a en menos de

s . Es decir, si n > v entonces |a„ - a| < e. Puesto que e puede tomarse arbitrariamente pequeño, el límite puede concebirse intuitivamente como un valor al cual se parecen tanto como sea imaginable los términos de la sucesión, según ésta avanza. Por ello, será natural tener: Proposición. El límite de una sucesión, si existe, es único.Diremos que una sucesión es divergente si carece de límite y convergente si lo tiene. Si el límite es a, escribiremos

lim a„ = a o bien a . ' a,siendo también frecuente decir que a» tiende a a. • Ejemplo.

7n + 3 7 7n + 3 7 1lim ■—----- + — ,pues — = - <e2n + 1 2 r 2n + 1 2 4n + 2

desigualdad ciertamente satisfecha a partir del n adecuado.

Toda sucesión convergente es acotada, aunque no al contrario. Sin embargo,Proposición. Toda sucesión creciente acotada superiormente (o decreciente acotada inferiormente) es convergente.Se dice que una sucesión {a„} es fundamental si para cada e > 0 puede hallarse un natural ¡'tal que si p, q son mayores que v, entonces |dp — 3q\ < e. De forma imprecisa, pero intuitiva, las sucesiones fundamentales son aquellas cuyos términos son cada vez más parecidos entre sí. Pues bien:Proposición (Criterio de Cauchy). Una sucesión es convergente si, y sólo si, es fundamental. Este criterio, que permite conocer la convergencia sin saber el límite, se cumple por tratarse de números reales (que por ello constituyen un cuerpo completo), mas no sería así si nos constriñéramos, por ejemplo, a Q.Decimos que una sucesión diverge a "más infinito" cuando para cada número positivo M existe un término de la sucesión tal que todos los siguientes son mayores que M. En tal caso escribiremos lim a„ = +°c. Análogamente escribiremos lim a„ = -<» para indicar que

V M < 0 B ^ e N t a l que an < M si n > v

Cuando {a,.} no tenga límite + oc ni - oo pero lim |a„| = + oo diremos que lim an = °o (sin signo). Debe tenerse presente que + * - « e ^ n o son números reales, por lo que "tener límite infinito" es una expresión simbólica que no corresponde a una sucesión convergente.


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Fig. - 1 Según la hipótesis de Malthus, mientras el crecimiento de la población está siguiendo una progresión geométrica, los alimentos crecen según una progresión aritmética.

KA 1 f l k

^ —

/ kV

( C 1 / 1V : J * ± •

J - mDO

• ~

RE MI FA SOL LA SI DO

DO

■ H■ • • • • |■Fig- 2 - Las frecuencias de vibración que caracterizan las notas musicales constituyen una sucesión geométrica de ra zó n ''^ 2 (de medio tono en medio tono), duplicándose la frecuencia entre cada nota y la misma de la siguiente escala.

SUCESIONES Y SERIES13

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S u c e s i o n e s u s e r i e s

CÁLCULO DE LÍMITES DE SUCESIONES

Si lim a„ = a y lim bn = b entonces

lim(an+fan) = a+fa, lim(a„ ■ bn)=a ■ b,\im^3- = - ^ ,

teniendo esta última igualdad sentido para b + 0; en caso contrario se distingue

lim¿>n = 0+ o limfan = 0_que indican, respectivamente, que los términos de la sucesión son positivos o negativos de cierto lugar en adelante. Si a 0 el resultado es +x, - x o x , determinándose el posible signo según que a sea positivo o negativo y el denominador 0 , 0+ o 0“ , mediante la regla aritmética de los signos. Si ambas sucesiones tienen límite 0 , el límite del cociente es indeterminado, lo cual significa que puede exisitir o no, y su valor depende de cada problema concreto: diremos que se presenta la indeterminación 0/0 .Los casos en que una o ambas sucesiones divergen a infinito se hallan recogidos en la tabla contigua en la que aparecen asimismo las indeterminaciones x _ x , x • o, x /x .Es interesante señalar que

lim (a0 + a^n + a2n2 + ... + amnm) = ± xsiendo el signo escogido el de am y que

a„,nm + ... + a,n + anlim —íáí-------------->-------ybpnP + ... + b tn + bn

si m = p es a„/bp, si m < p es 0 , y si m > p es ± x con el signo de a„/bp.Es frecuente abordar las indeterminaciones x/x dividiendo numerador y denominador por una misma expresión adecuada (véanse ejemplos de ello y de lo que sigue, al final del libro). Una indeterminación 0/0 puede conducirse a x /x escribiendo

a „ _ (1 !bn) ,bn (1/a„) '

la indeterminación 0 • * pasa a x / x con

y la del tipo x - x pasa a 0 • * poniendo

an ~ bn — \ 7" ~ ) (an ■ bn)°n an

También es usual abordar esta última indeterminación mediante

, an2 - bn2a " - fa" = - ^ 7 b 7 -

Utilizaremos tambiénlim ( an = (lim an)"'"'bJ

siempre y cuando existan tales límites y potencias (el significado de a* cuando x es irracional puede verse en C2).Esta regla se completa con los esquemas siguientes (y con a- * = 1/a+“ )

a = + x a > 1 0 < a < 1 0+ - 1 < a< 0 a< - 1

¿3+ x = + OG - f OC 0+ 0+ 0 3

b = + x b > 0 b < 0 - x

+xí> = + x + X 0+ 0+

siendo indeterminaciones 1*, x 0 y 0o.Cuando lim an = 1 y lim bn = ± ®, lim (a„ bn) presenta la indeterminación 1*.

Escribiendo an = ( i + ——) tenemos

lim (an)b» = lim ( i + -— ) c" = e llITI cn ,“-n

ya que si limcn = ± x entonces

lim (1 + s— ) = e.LnLas indeterminaciones 0o e x 0 Se tratan por métodos funcionales (E/7), útiles también para los casos expuestos.Además, se tienen los siguientes criterios:Stolz. Si {a„} y {6,,} tienen ambas límite 0, o ambas divergen a infinito, o lo hace {/:>„} crecientemente a partir de algún término, y existe

M = lim — f n ~1, entonces lim -p1 = M.b „ - b n . , bn

Raíz. Si a„ > 0 Vn e N y lim 3n = M e R, an -1

entonces lim \/a jj = M.

Media aritmética. Si lim a„ = a se tiene. . 3 1 "H 39 *t" . . . H- 3 .-i _lim — ! = 3 (3 G R)

n

Media geométrica. Si an > 0 V n e N y eslim an = a e R, entonces

lim y)a^ ■ a2 ■ ... ■ an = a.

Stirling. Cuando n tiende a + x puede reemplazarse n! por e~n ■ nn ■ \Z 2 ñ K


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L í m i t e B / 2

ENCYCLOPÉDIE,o uD IC TIO N N A IR E RAISONNÉ

D E S S C I E N C E S ,DES ARTS E T DES M É T IE R S ,

R^* 4a loaba *ra«. *<•*)*•**». fe ¿bboMIUT** La**.

D É D I É EA SON A L r E S 3 X H 0 r A L s

MONSE1GNEÜR L'ARCHIDUCP I E R R E L É O P O L D

Paorct Rota! m Homui IT i» Boraut, Aicinouc D’Aomera, GRAND-DÜC DE TOSCANE te. «*. i*.

T o m i Pr e m ier .

Á L I V O Ü R N EDRW» f IMPRIMERIE DE LA IQClETft

M. D C C. L X X.

Fig. 1 - D'Alembert (1717-1783) redactó el artículo «Límite» Fig. 2 - Portada de la Enciclopedia Francesa, de la Enciclopedia.

lim a„ = a > 0 a < 0 0+ 0- 0 +00 —00 +0 0 +00 ^00 X

+30 +00 +CC +00 +0 0

lim b„ = —90 —00 —00 —00 —oc +00 —00 —00 00 oc X

00 oc 00 00 •CC

+CC +00 +00 +00 +00

ind.lim(a„ + b j =: —PC —00 —CC —00 —oó +00 —00 ind. ind. ind.00 00 00 00 00

+00 —oc +00

lim(a„ ■ b„) - —00 +00 ind. ind. ind. +00 +00 Óp: 00 00 —po 00

00

0+ 0- 0+ 0-ind.lim -ÍU = 0- 0+ 0- 0+ 0 ind. ind. ind. ind. ind.

b „ 0 0 0 0

+00 —00 +00 —00ind.■■lim — = —00 +00 - 00 +oc 00 ind. ind. ind. ind. ind.

a„ 00 00 00 00

0 • 00 Indeterminación o c - x Indeterminación X


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S u c e s i o n e s u s e r i e s

SERIES DE NÚMEROS REALESA partir de una sucesión [an] formamos otra (s„ = a, + ... + a„} llamada serie infinita y denotada^ an (o sencillamente, X a„, si el índice nempieza valiendo 1). El emésimo término de la serie es am y snsu enésima suma parcial. Si existe s = lim sn se dice que la serie converge, siendo s su suma, y es divergente de no existir tal límite.• Ejemplo.La serie (1/3) + (1/32) + (1/3-’ ) + ... = X (1/3n)

cumple lim s„ = lim y ( i - - y j = y por lo que

converge con suma 1/2.Este es un caso particular de las series geométricas H a r " - 1 = a + ar+ a r2 + ... + a r n que divergen para r> 1 y convergen con suma (a/( 1 - r)) si r< 1.

La serie armónica

1 + (1/3) + (1/2) + ... = X(1/n)es divergente. La serie armónica generalizada

(1/1P) + (1/2P) + (1/3P) + ... = X(l/nP)es convergente si p > 1 y diverge si p < 1.Si X a„ = a y X bn = b entonces X (an + bn) = = a+ b y X a a n = a a .No afecta a la convergencia la supresión o adición de un número finito de términos. Condición de Cauchy. X an converge si y sólo si V e > 0 3 v s N tal que si n > v, p e N im p lica |a „ + a„ + , + . . . + an + p| < e . Como consecuencia, si X an converge, será lim an = 0 (la recíproca es falsa).Se dice que X an es absolutamente convergente cuando X |an| converge. Si X a„ converge, pero no absolutamente, se dice que su convergencia es condicional. La convergencia absoluta conlleva la convergencia, pero no al revés aunque sí para series de términos no negativos. Una serie obtenida reordenando una absolutamente convergente es también absolutamente convergente y tiene la misma suma, pero la reordenada de una condicionalmente convergente puede hacerse diverger o converger a cualquier número deseado.Para series de términos positivos, se tiene:1. La convergencia equivale a la acotación a la sucesión de sumas parciales.2. (comparación). Si an < bn a partir de algún término.a) Si X bn converge, X an también;b) Si X an diverge, X bn también.

3. (cociente comparativo).a) Si lim (aybn) = M (=é 0 y de + * ) , ambas series convergen o ambas divergen.b) Si M = 0 y X br converge, X an también.c) Si M = + y X bn diverge, X a„ también.4. (Pringsheim). Si p e R cumple lim nP ■ an = M, X an converge si p > 1 y M es finito, y X a„ diverge si p < 1 y M # 0.5. (Knopp o de condensación). Si (ad es decreciente, X an y X 2n-an convergen o divergen ambas.

6. (D'Alembert o de la razón). Si lim'1'1 1 1 = M,an

X a„ converge si M < 1 y diverge si M > 1.

7. (Raabe). Si lim n ( l 3n * 1 )= P, X a»a n

converge si P > 1 y diverge si P > 1.

8. (Cauchy o de la raíz). Si lim \ /an = M, X an converge si M < 1 y diverge si M > 1.Criterio de Dirichlet. Si X an es una serie cualquiera cuya sucesión de sumas parciales está acotada, y (bn) es decreciente de límite 0 , Xa„ • b„ converge.

) Criterio de Abel. Si X an converge y {bn} es monótona acotada, X an bn converge,

i Una serie en que los términos son alternativamente uno positivo, uno negativo, es denomi-

\ nada serie alternada. Si X a„ es alternada, con {|a„|} decreciente y lim a„ = 0, entonces X an converge (y además la enésima suma parcial difiere de la suma total en menos de |an+ ,|).• Ejemplos.

i X [l/(n2 + 3n + 11)] converge por comparación con armónica generalizada, pues

[lAn2 + 3/7 + 11)] < (1/n2).X [(4o2 + 5n - 2)/V(n2 + D ’ n2] converge, pues usando Pringsheim,

lim n2 ■ |(4n2 + 5n - 2)A/ (n 2 + 1 )’ n2] = 4 X r)5 - e-"3 converge, pues, con el criterio de la

) razón,S lim |(n + 1)5 e _(n+1>3/(n5 e _n3)| =

= lim [(n + 1 )/n]5 • e n3-(n+l)3 = i . o = 0

X|n/(4n - I)]'" 1 converge, pues el criterio de

la raíz hallamos que lim v ra^= 1/2.La serie alternada siguiente converge:

(1/3 )-(1/5 ) + ... + [(- l ) n + 1/(1 + 2") + ... pues ( 1/(1 + 2n)} es decreciente de límite 0 .


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Fig. 1 - S¡ la tortuga empieza la carrera con cierta ventaja sobre Aquiles, cuando éste alcance su posición inicial P0- la tortuga se habrá desplazado a la posición Pv por cercana que sea. Cuando Aquiles llegue a Pv la tortuga ya estará en PT y así sucesivamente, por lo que parece que Aquiles jamás dará alcance a la tortuga. Sin embargo, si suponemos que Aquiles corre diez veces más deprisa que la tortuga y que tarda un segundo en llegar a P0< necesitaría una décima para llegar a Pv una centésima para llegar a P2..., pero

1+— +— + ... = i + V — =1 + 110 100 ^ 10" 9n> 1

por lo que en 1 seg y 1/9 de seg la alacanzará. En un seg y dos décimas la habrá rebasado. La intuición fracasa al parecer que una suma de infinitos términos positivos ha de dar necesariamente infinito.

1

YFig. 2 - El área de la región coloreada, suma de las infinitas áreas triangulares, es:


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F u n c i o n e s r e a l e s d e v a r i a b l e r e a lUna función real de variable real es una aplicación f.A -» R donde A C R es llamado dominio de la función y í(A) su recorrido. Suele escribirse y = Ax), diciéndose que x es la variable independiente e y la variable dependiente. Es decir, se pondrá y = 3x + 2 para referirse a la función f definida por Ax) = 3x + 2. Cuando se hace así, se supone que el dominio se extiende a todos los x para los que son posibles las operaciones indicadas. Por ejemplo, el dominio de Ax) = 3x + 2 es R; sin embargo, la función y = (1 íx / x ) tiene dominio (0, + °°), pues sólo tienen raíz cuadrada real los números no negativos, y 0 no puede aparecer como divisor.A partir de dos funciones f y g, y un número real k, se definen las funciones.

(f+ g) (x) = Ax) + gfx), (kf) (x) = k-f (x),

(f ■ g) (x) = Ax) ■ gfx), — (x) = Ax)

gix)(g o l) (x) = g( f (x) )

llamadas, respectivamente, suma de f y g, producto de f por el número k, producto de f y g, y función compuesta de f con g. Sus dominios se tomarán lo más amplios que sea posible en cada caso.Merece especial atención la función compuesta g o f. Si f asocia a x un número y, y = Ax), y g asocia a y un número z, z = g(y), la función go f hace correponder a x el número z

(g o f) (x) = g (Ax)) = g(y) = z.Si Ax) = x2 — 1 y gfx) = 2x + 3,

(go f) (x) = gfx2 - 1) = 2(x2 - 1) + 3 = 2x2 + 1. Obsérvese que ( f o g) (x) =

= A2x + 3) = (2x + 3)2 - 1 = 4x2 + 12x + 8, por lo que sucede f o g A g o f , salvo en casos muy particulares.Las funciones más sencillas son las polinómicas pfx) = a0+ a , x + . . . + anxn, donde a0, . . . , an son números reales), cuyo dominio es R, y las funciones racionales, que se expresan

= a0 + ^ x + ...+ a^xnb 0 + O , X + . . .+ DnX "

cuyo dominio excluye los números reales que hacen nulo el denominador.La función ffx) = x que asocia cada número a sí mismo, recibe el nombre de función identidad. Si i o g = g o f = /, se dice que g es la función inversa de f (y al revés), escribiéndose g = H . En definitiva, si /ja) = b , es H ( b ) = a. Para la existencia de tal H está claro que no pueden existir elementos a , , a2 con a, A a2, tales que Aa-¡) = b = Aa2), pues entonces no podría hacerse simultáneamente M(i>) = a, y H(i>) = a2.

No debe confundirse la función inversa H con la función (1 tf), a menudo llamada recíproca de f. Por ejemplo, si

Ax) = 7x + 3, es H (x) = (x - 3)/7

pues ( f o f) (x) = f~H7x + 3) = -7x + 3 =x

( f o H ) (x) =/( x - 3 = 7-7 ' 7en cambio (1 /f)(x) = 1/(7x + 3)

- +3 = x

Cuando se tiene una ecuación en dos variables x e y, se dice que define implícitamente a y como función de x, cuando se puede despejar y correspondiendo a cada valor de x un solo valor de y que cumpla la igualdad; por ejemplo, x2 - 3xy + 7 = 0 define implícitamente la función y = (x2 + 7)/3x obtenida despejando y de la ecuación anterior.Tomando ejes cartesianos sobre el plano, el conjunto de puntos (x, ffx)) se llama gráfica de la función f. La visualización de la gráfica poporciona una información rápida sobre el comportamiento de f, por lo que es importante su construcción y estudio. Para n valores de la variable x 1( ..., x„ obtenemos n puntos de la gráfica (x ,, ffx,)), . . . , (x„ Axn)), que nos orientarán sobre la posición de la figura (fig. 1), pero está claro que por grande que sea n, el paso de cada punto al siguiente puede imaginarse de varias maneras (fig. 2 ).Decimos que una función está acotada superiormente en un conjunto A C R si existe K e R tal que fjx) < K para todo x de A que sea del domino de f. Análogamente se define la acotación inferior. Se dice sencillamente función acotada para expresar que lo está en ambos sentidos. Usualmente A será un intervalo (fig. 3).Se dice que f es creciente en [a, b] cuando para todos los x, y que sean del intervalo y del dominio, con x < y, se tiene Ax) < Ay). Si además se tiene Ax) < Ay), se dice que f es estrictamente creciente. Análogamente se define el decrecimiento. Formulísticamente, f crece en [a, b\ cuando

fjx) - Ay)X - V

para todos los x, y de [a, b] del dominio (sepondría < 0 para el decrecimiento)• Ejemplo Ax) = (x - 1 )2 decrece en (-» , 1) ycrece en (1, + =°), pues(x - 1 )2 - ( y - 1 )2 (x - y)(x + y - 2)--------------------= — 7— \ = x + y - 2x - y (x - y)que es positivo en (1, + «0 y negativo en (-<«, 1)

-> 0


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G r á f i c a s . A c o t a c i o n e s . r / , C r e c i m i e n f o L

Fig. 1 - Puntos para el trazado de una gráfica. Fig. 2 - Diferentes gráficas por los puntos anteriores.

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL19

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F u n c i o n e s r e a l e sd e v a r i a b l e r e a l

FUNCIONES CIRCULARES

Si x es un número real positivo, construyamos el punto Px de la circunferencia de centro 0 = (0,0) y radio 1, situado a distancia x del punto P= (1,0 ) medida a lo largo de la circunferencia en sentido contrario al de avance de las agujas de un reloj (al revés si x < 0). Las razones trigonométricas del ángulo definido por las semirrectas OP, OPx serán las funciones circulares del número x. Explícitamente: coseno de x = eos x = abscisa de Px, seno de x = sen x = ordenada de Px. Como Px = Px + 2%n V n e Z, decimos que tales funciones son periódicas, con período 2n.A partir de estas funciones definimos tangente de x = tg x = (sen x)/(cos x) cotangente de x = cotg x = 1/tg x cosecante de x = cosec x = 1/sen x secante de x = sec x = 1/cos x Las razones de uso más frecuente son:

sen 0 = 0, eos 0 = 1, tg 0 = 0 , sen (2/71) = 1, eos (n/2) = 0, tg (n/2) = « ,

sen 7t = 0, eos 7t = - 1, tg 7t = 0,y las de n/4, tc/3, ti/6 (véanse problemas del final).Las propiedades más usadas son:cos2x + sen2x = 1, sen (- x) = - sen x, eos (- x) = eos x,sen (x + y) = sen x eos y + eos x sen y,sen (x - y) = sen x eos y - eos x sen yeos (x + y) = eos x eos y - sen x sen y,

te (x + y) = tg * t lg iL tg ( x - y ) = t g X ~ tg>/1 - tgx tgy ' 8 Y 1 + tgxtgy

Puede visualizarse en las gráficas contiguas el comportamiento de estas funciones, en cuanto a acotación, crecimiento y dominio.Como hay infinitos números reales con las mismas razones trigonométricas, se consideran las restriccionessen: [ -jt12, nJ2] -> [-1, 1] eos: [ 0 , tc] —> [-1, 1] tg: [ —n /2 ,7t/2] —» Rque, definidas entre tales conjuntos, admiten inversas llamadas arcoseno, arcocoseno y arco- tangente, respectivamente:aresen: [-1, 1] —> [ -n/2, tc/2] árceos: [1 —1, 1] —> [ 0 , 7t] arctg: R —> [ -n/2, tc/21con aresen x = y equivaliendo a sen y= x(pero -1< x <1, - (7t/2) < y < (n/2), etc. Las funciones inversas de cotg, sec y cosec son muy raramente empleadas.

FUNCIÓ N EXPONENCIAL.FUNCIÓ N LOGARÍTM ICASea a un número real positivo diferente de 1.Si n e N an = a ■ a-.?, -a, a° = 1, arn = (1/an),

m n,___si m e Z , n e N a " = \ fa w

con lo que hemos llegado hasta los exponentes racionales. Ahora si x e R - Q , será un decimal no finito ni periódico x = E'd: d2. . . dn. . . , límite de la sucesión {£ ' d , d2 .. . dn\. Se define

a* = a lim p d] = lim a e d '" d"

Las propiedades de la función exponencial de base a, Ax) = a*, son:I. ax > 0 x e R.II. a*-ax= ax+Y V x, y é R.II I. (a*)y= ax-y V x, y e R.IV. (a-b)x= ax-b* V x e R.V. a~x = (Max) V x e R .V I. arx= 1 si y sólo si h = 0V II. Si ax = ay, entonces x = yV III. Si 0 < a < 1, /(x) es estrictamente decreciente, y si a > 1, Ax) es estrictamente creciente.IX. Si a > b> 0 entonces as > b5 Vs e R+ y a( < f / V í e R-.X . V z e R* existe x tal que ax = z.

Se llaman funciones hiperbólicas sh x= seno hiperbólico de x y ch x = coseno hiperbólico de x a

e* + e-* . ex - e-*ch x = — ------- , sh x = — -------

(veánse también las gráficas en F/15)La función R+-»R que a x le asigna el y tal que ay = x, inversa de la exponencial de base a, recibe el nombre de función logarítmica de base a. Es decir, y = logax equivale ax = y.

Así, a'°gax = x e R+, loga (ax) = x x e R.Se pone In x o Lx o Ix en vez de logeX, para designar a la función logarítmica de base e, también llamada logaritmo neperiano, y para el logaritmo de base 10, o decimal log x en vez de log10x.Las principales propiedades son:I. logax = logay implica x = yII. V y e R existe x e R+ tal que logax = yIII. logaa= 1; loga1 = 0 .IV. loga(x-y) = logax + logay V x, y e R+.

V- loga - y = logax - logay V x, y e R+.

V I. logb M = (logaM)/(logab)V II. Si a > 1, loga es estrictamente creciente, y si 0 < a < 1, loga decrece estrictamente.V III . Si 1 < a < b o bien 0 < a < b < 1

logax > logbx (x > 1); logax < logbx (x < 1)IX . Si 0 < a < 1 < b, para 0 < x < 1 es

logax > logbx, y si x < 1 logax < logbx.


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F u n c i o n e s p / p c i r c u l a r e s L / d

Fig. 1 - y = senx

Fig. 2 - y = cosx

Fig. 4 - y = are. sen x Fig. 5 - y = are. tg x


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SUCESIONES Y SERIES FUNCIONALESSupongamos que para cada n e N tenemos una función fn de dominio A, es decir, una sucesión de funciones. Rara cada x de A tendremos una sucesión de números {f,,(x)}. Al conjunto de x e A para los cuales {fn(x)} converge, se le llama dominio de convergencia puntual de {fn}. Si x es uno de tales puntos, se define una función /mediante

Ax) = limf„(x) diciéndose que {fn} tiende a f, o que fe s la función límite de {/„}, escribiéndose fn —» f o bien limf„ = f. Según vimos (B1) ello significa que Ve> 0 existe d e N tal que si n > tt es | fn(x) - f(x)| < e, donde u dependerá, en principio de e y de x. Si sólo depende de e, se dice que {/„} converge uniformemente hacia f. La convergencia uniforme conlleva la puntual, pero no recíprocamente.Condición de Cauchy. Una sucesión {f„} de funciones converge uniformemente en un conjunto A si y sólo si V s > 0 existe v e N tal que si p, q> v entonces V x e A se tiene \ fp(x) - fq(x) \ < e.Si {fn} es una sucesión de funciones de dominio A, se llama serie funcional de términos fn a la sucesión {s„= f-¡+f2+ ....+ fn)Las s„ reciben el nombre de sumas parciales.

La serie se denota 2 fno 2 fn.n > 1

Se dice que una serie funcional 2 fn es puntualmente convergente si lo es la sucesión {sn} de sumas parciales, cuyo límite se llama entonces suma de la serie; el dominio don le ello ocurre se llama dominio de convergen a puntual de la serie. Si la sucesión de sumar parciales es uniformemente convergente, se dirá que 2 fn converge uniformemente. Cuando converge 2 | fn (x) | se dice que 2 fn(x) converge absolutamente, y donde ello sucede recibe el nombre de dominio de convergencia absoluta. Criterio de Cauchy. 2 fn converge uniformemente si y sólo si V s > 0 existe v e N tal que si n > v, entonces|fn+1(x) + . . . + fn+p[x)| < £ V p e N , V x e A.

Criterio de Weierstrass. Si puede hallarse una sucesión {a,,} de reales positivos tal que V x e A es fn(x) < an para cada n e N, entonces 2 fn converge uniformemente y absolutamente en A. Criterio de Dirichlet. Si 2 fn es una serie funcional de sumas parciales uniformemente acotadas

|/j(x) + . . . + f„(x) | < M V n e N , V x e A ,y {g„} es una sucesión funcional de límite 0 tal que gn(x) > gn+](x) V x e A, V n e N, entonces 2 fn(x) -gn(x) converge uniformemente en A.n> 1

Criterio de Abel. Si 2 fn converge uniformemente en A y {gn) es una sucesión de funciones crecientes (o todas decrecientes), uniformemente acotadas en A, o sea, 3 M > 0 tal que |g„(x)|< M, V n e N, V x é A, entonces 2 fn(x) gn(x) convergente uniformemente en A.Merecen especial mención las series trigonométricas y las de potencias. Las trigonométricas (o de Fourier) tienen por término generalfn(x) = ancos(nnx/p) + bnsen(Knx/p),

donde an y bn son números reales. Obsérvese que, si esta serie converge, la suma es una función de período 2p, es decir, tal que fn(x) = = Ax + 2p). En F15 damos la condición para que una función de período 2p sea suma de una serie trigonométrica. En sentido inverso, se tiene:Proposición. Si 2 a„ y 2 bn son series numéricas absolutamente convergentes ( a j2) + 2 [ancos (nnxlp) + bnsen(nnx/p)] converge absoluta y uniformemente en todo R.Una serie de potencias es una serie funcional de forma 2 an(x - a)" donde n e N y a es un real fijo. Existe un intervalo (a - r, a + r) en el que converge absolutamente, siendo divergente si | x — a| > r. En ios extremos del intervalo, la convergencia o no depende de cada caso particular. El número r se llama radio de convergencia (eventualmente 0 o +=c), se halla mediante

r = 1/lim V~an , r = \\m\ajan |. Proposición. Una serie de potencias converge uniformemente en todo intervalo cerrado contenido en el dominio de convergencia.Una función f es desarrollable en serie de potencias de (x - a) si es f¡x) = 2 a„(x - a)n para todo x de campo de convergencia de cierta serie de potencias (véase también F/15). Por ejemplo, para - » < x < +*

x3 x5 . x2n_1s e n x = _ + _ + " . + (_ i ) ^ _ _ _ + . . .

y para -1 < x < 1x"

In 11+ x| = x - — + — + . . . + H )11-1 — + . . .2 3 n

• Ejemplo (veáse también F/15)2[(sennx)/n5| converge uniformemente en R, pues |(sennx)/ns| < [1/n5] y 2 |1/n5] converge (Criterio de Weierstrass)La serie de potencias 2n-2-3-"xn tiene radio de convergencia 3, pueslim |(x+ 1)2 3_n_1 xn+1 : n-23"nx n| = |x|/3 (además converge también si x ± 3).


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F u n c i o n e s e x p o n e n c i a l e s M l o g a r í t m i c a s C / 3

Fig. 2 - Joan Neper (1550-1617), introductor del cálculo logarítmico.

Fig. 3 - En la regla de cálculo de Oughtreed, las multiplicaciones y divisiones se hacen añadiendo o sustrayendo segmentos de dos escalas deslizantes en las que las distancias son proporcionales a los logaritmos.

Fig. 4 - Funciones logarítmicas.


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LÍMITE FUNCIONALPara no referirnos permanentemente al dominio, en adelante, cuando pongamos «fjx) cumple...» deberá entenderse «Kx), si existe, cumple...»Se dice que la función /Tiene límite s e R cuando x tiene a a, escribiéndose

lim f(x) = sx —>a

si V e > 0 existe S > 0 tal que si x e Dom f y |x - a| < 8, entonces |f(x) - s|. Es decir, intuitivamente, que para x suficientemente cercano a a el valor de Kx) es tan semejante a s como se puede imaginar.Si V s > 0 3 8 > 0 tal que si x e Dom f y x e(a , a + 8) es |/jx) - s| < e, diremos que s es el límite lateral por la derecha de f cuando x tiende a a, escribiéndose lím Kx) = s. Análogamente se

x —>a+

definiría el límite por la izquierda lim Kx).x —>a~

Proposición. El límite de una función en un punto existe si y sólo si existen los límites laterales y, además, coinciden.Diremos que f tienda a +=c cuando x -» a escobándose lim f(x) = +x cuando V M e R existe

x —>a

8 > 0 tal que si |x - a| < 8 entonces Kx) > M (intuitivamente Kx) se hace tan grande como sea imaginable para x suficientemente cerca de a). Análogamente se definiría lim Kx) =

x —> a

Si V M e R existe 8> 0 tal que | x - a| < S implique \Kx)\ > M, pondremos lim Kx) = x -

x —>a

Obsérvese que las tres definiciones anteriores corresponden a convenios de símbolos, no a límites propiamente dichos. Se utiliza también el convenio lim Kx) = M que significa que

X —H-oc

Vs>0B/C>0tal que x> K implica |/jx) - M\ < e . Análogamente se definen lim y el lim

X - > X X

(que no es más que lim ). Son evidentes las|x| -> +=C

modificaciones necesarias para interpretar los símbolos cuando se tiene ± <* en vez de M. Por ejemplo, si a > 1 > b > 0 es

lim a* = + *, lim a* = 0

lim logax = l i mx —>0 x —»+*

b* = 0,

+ lim log/rx= + ^ ,lim bx —»-oo x —> 0

lim log,,x= +=c, lim logbX = - *X->+oc ‘ X —>+oc

Las siguientes proposiciones relacionan el límite funcional con el de sucesiones.Proposición. Si dada una sucesión {a„} construimos la funciónKx) = (an+, - a„) (x - n) + an, x e |n„ n + 11 entonces lim an = b equivale a lim Kx) = b.

Proposición. Si f es una función tal que lim = fe y an es una sucesión de puntos delx-»a

dominio (distintos de a) que tiende a a, entonces lim Kan) = b. Al revés, si esta condición se cumple para toda sucesión {an} en las condiciones descritas, entonces lim Kx) = b

x —>a

Las dos proposiciones anteriores comportan una analogía completa entre el cáculo de límites de sucesiones y funcionales. Se tiene: Proposición. Si existe lim Kx), es único.

X —>3

Proposición. Si existen lim Kx) = ex y lim g(x) = ¡5,x —>a x —>a

entonces existe lim ( f + g) (x) = a + /8, si /J # 0X —>3

existe lim (Kx))&x) = efi (a y p no ambos nulos).x —>a

Con la inclusión de la simbología infinito, estas reglas se mantienen respetando el esquema descrito en la tabla de B/2.Proposición. Si en un entorno de a se tiene Kx) ág(x) entonces lim Kx) < lim g(x) en caso de

x —>a x —>a

que tales límites existan.Proposición. Si Kx) < gfx) < h(x) en un entorno de a, y lim Kx) - lim h(x), entonces también

x x —>a

existe lim glx) y coincide con los anteriores.X —>3

Proposición. Si existe lim Kx), entoces en algúnX —>3

entorno de a la función está acotada.Las afirmaciones anteriores son también ciertaspara cada uno de los límites laterales.El esquema A de la página contigua recoge losposibles límites de una función polinómica.• Ejemplo (véanse otros en D/1 y D/2).Consideremos la función. f (6x + 1 )/(3x - 2) si x > 1 Kx) =

l (x'+3)/(2x) si x < 1 Por el carácter de Kx) habrá que distiguir si la variable está a la izquierda o a la derecha de 1. Como Dom f = R - (0), si a ^ 0 será lim Kx) = lim |(x2 + 3)/2x] = (a2+ 3)/2aX —>3 X —>3

lim Kx) = |(6x + 1)/(3x + 2)| = (6a + 1 )/(3a + 2)X —>3

según que a < 1, a > 1, respectivamente. Además lim Kx) = lim |(x2 + 3)/2x]=x —>0 x —>0

lim Kx) = lim |(x2 + 3)/2x]= 2;X —>1" X - »1

lim Kx) = lim |(6x + 1 )/(3x - 2)1= 7;X —»1 + X —>1

por lo que no existe lim Kx). Por otra parteX —>1

lim Kx) = lim l(6x + 1 )/(3x - 2 )]= 2X - » + « : X

lim Kx) = lim |(x2 + 3)/2x]= - *


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L í m i t e p . . f u n c i o n a l L / ^

ESQUEMA A b „> 0 b„<0

+0C

+0C —oo

X-4-ocn impar - +00

x-> a -e R b0 + bj a + ... +

lim (60 + b^x + ... + bnxn) =

Fig. 1 - Posibles límites de una función polinómica.


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C o n t i n u i d a dFUNCIONES CONTINUASSea f una función ñ A->R. Diremos que f es continua en a e A si y sólo si existe lim Hx) y

X —>3

además, su valor es Ha). Es decir, según la definición de límite, fserá continua en a e A si y sólo si para cada e > 0 existe un S > 0 tal que | x - a| < ¿im plique |/¡x) - /¡a)| < e .

Con menor precisión fes continua en a cuando para x muy cercano a a, Hx) es muy semejante a Ha). O, visualmente, la gráfica de Hx) en las cercanías de a no debe presentar interrupciones ni saltos ni oscilaciones.Se dice que fe s continua en un conjunto cuando lo es en cada punto. Los puntos en los que f no es continua son llamados de discontinuidad. f será discontinua en a bien porque cuando x tienda a a, Hx) no tienda a un número real, bien porque, existiendo tal número, no coincida con fija). Se usan los siguientes términos: Discontinuidad evitable: cuando 3 lim Hx)

x —>apero no es Ha). En tal caso una función g(x)= Hx) si x¥= a, g(a) = lim /(x)

x-»así sería continua en a.Discontinuidad inevitable de primera especie (o de salto): cuando existen los límites laterales y son finitos pero no coinciden.Discontinuidad inevitable de segunda especie (o esencial): cuando no existe, o es * , alguno de los límites laterales.• Ejemplo, Hx) = { X X “ (fig. 1)

l4/(x - 3) x > 3 tiene una discontinuidad esencial en x = 3, pues

lim Hx) = lim x2 = 9x-»3- x - x i

lina Hx) = lim (4 /(x- 3)) = + xx —>3+ x —»3+

La función g(x) = í X X “ 2 (fjK. 2)14/x x > 2

tiene en x = 2 una discontinuidad de salto, pues, lim g(x) = lim x2 = 4x-»2~ x->2“

lim e(x) = lim (4/x) = 2x —»2+ x -»2‘

Íx2 x <21/x x > 1 (fig. 3)2 x = 1

tiene en x = 1 una discontinuidad evitable pueslim h(x) = lim x2 = 1 = lim A>(x) = lim (1/x) x - » r x - > r x —>i+ x -> rpor lo que lim h(x) = 1 # 2 M i).

x -» l. , . . , . , sen (1/x) x > 0La función s(x = 1 .—1 V ^ x x < 0presenta en x = 0 una discontinuidad esencial, pues lim s(x) = lim sen (1/x) no existe.

x— x—>0'

Proposición. Si f y g son continuas en a, tam- S bién lo serán f + g y f - g , como asimismo (fíg) ( en el supuesto de que g(a) no sea 0 .

Proposición. Si ges continua en a y f io es en \ g(a), f o g es continua en a./ Las dos proposiciones anteriores se derivan del ) cálculo de límites. Su utilidad radica en que a

partir de la continuidad de las funciones más ) elementales, como las polinómicas, trigonomé- \ tricas, exponenciales y logarítmicas (que lo son

en todo su dominio), puede demostrarse la continuidad de funciones de aspecto muy complicado sin tener que recurrir a la definición.Si una función continua en un punto es allí positiva, también lo es en las cercanías, pues la continuidad significa que los valores en las inmediaciones son muy parecidos. Más exactamente:Proposición. Si fe s continua en a, y Ha) > 0, 3 S > 0 tal que si x e (a - 5, a + 5) entonces Hx) > 0 (análogamente si Ha) es menor que 0). Teorema de Bolzano. Si f es continua en un intervalo [a, 6 | y Ha) < 0 < Hb), esiste c e(a , b) tal que He) = 0 (véase ilustración en D/2). El resultado es análogo para Ha) > 0 > Hb).Este teorema, que se obtiene al considerar la proposición anterior y el mayor de los puntos tales que los x e [a, b] con Hx) > 0 queden a su derecha, tiene una clara visualización: si la gráfica está por debajo del eje de abscisas en a, (Ha) < 0), y por encima en b, (Hb) > 0), en algún punto c deberá cortar al eje (He) = 0), siempre que no se produzcan interrupciones ni saltos (D/2 fig 2). Este resultado puede utilizarse para hallar soluciones de ecuaciones de forma aproximada, dividiendo de manera cada vez más fina el intervalo del teorema.• Ejemplo. Busquemos una solución de x3 - - 4x + 1 = 0. La función Hx) = x3 - 4x + 1 es continua en todo R. Como fj l ) = -2 < 0 y H2) = 1 > 0 , existirá c e (1,2 ) tal que /je) = 0 . Avanzando ahora décima a décima f(1,1) < 0, . . . , /j1,8) < 0, /(1,9) > 0. Descendiendo ahora por centésimas f(1,89) > 0, ftjl ,88) > 0, /(1,87) > 0, /II ,86) < 0, lo que sitúa la solución en fjl ,86, 1,87). Así sucesivamente, puede lle-

■ garse, por ejemplo a /X1,86080) < 0 ,/(1,860801) > 0 con lo que puede tomarse la solución x = 1,860805 y el error cometido no exceda 5 millonésimas (y se puede seguir aproximando tanto como se desee).


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D i s c o n t i n u i d a d e sD/l

Fig. 4 - 5 es continua en el origen.

CO N TIN UIDAD27

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C o n t i n u i d a d

Proposición. Si fes continua en [a, b], entonces festá acotada en [a, b\.Es decir, existen números reales í t y m tales que k < f[x) < m V x e la, b].Además las cotas pueden encontrarse como valores tomados por la propia función:Teorema de Weiertrass. Si fes continua en [a, b\, entonces f alcanza máximo y mínimo en ¡a, b] es decir, existen a, p e [a, b\ tales que Ha) < f{x) < HP), V x e [a, ¿>|.Este teorema se completa con:Si fes continua en [a, b], donde alcanza un máximo M = ft.[f)y un mínimo m = f(a), para todo k e (m, M) existe un c e (a, b) tal que He) = k.Es decir, f toma todos los valores intermedios entre su mínimo y su máximo.Se dice que fe s uniformemente continua en el conjunto A cuando para todo e > 0 existe 5> 0 tal que si a, b e A cumple |a - b\ < S, entonces |Ha) - fib)\ < s.Teorema de Heine. Si fe s continua en [a, b], f es uniformemente continua en dicho intervalo.

Convergencia uniforme y continuidadSi [fn] es una sucesión funcional que converge en A uniformemente a f, y cada fes continua en un punto x0 e A, también fes continua en x0. Si la serie 2 f„ converge uniformemente en A hacia la función f, y cada f„ es contina en x0 e A, también fe s continua en x0. En particular, toda función desarrollable en serie de potencias es continua en todo punto del intervalo de convergencia.

Cálculo de limites funcionalesSi en el cálculo de límites cuando x->a las funciones que intervienen son continuas en a, bastará sustituir x por a en la expresión cuyo límite se busca y, eventualmente, resolver una posible indeterminación.

• Ejemplos.

Al sustituir x por - 2 en. 3x2 + 14x2 + 20x - 8 '2x4 + 8x3 + 7x2- 4x - 4

obtenemos la indeterminación 0/0. Sin embargo 3x2+ 14x2 + 20x - 8 = (x + 2)2 (3x + 2),

2x4+ 8x3 + 7x2- 4x - 4 = (x + 2)2 (2x2 - 1), 3x2 + 14x + 2 0 x - 8lim -2 2 x4 + 8x3+ 7 x2 - 4 x -

3x+ 2 42x2 - 1 ~ 7lim

lim ( - L - _ _ ! _ ) = lim* - » l \ x — 1 1 - X 3 / H l ( x - 1 ) ( 1 - x 3)

( x - 1 ) ( - 1 — x — x2) — (x — 1): limX —>1 ( x - 1)(1 - x 3)

4

Hra, — x2 49— es indeterminado 0/0, pero

2 - V x - 3 2 + V x - 3 2 + V x - 3x—>7 x1 - 49

lim ___________ 4 - < * - 3>_________x-»7 (x + 7 ) (x - 7)(2 + V i n )

156

lim (2 + x)Vx = 2X que no existe pues

2+“ = +oo y 2Jlim (2 + x )Wx^0

0. Sin embargo2+” = +oo

Si lim /(x) = 0+, lim (1 +/tx))/b) = e,

y si lim g(x) = oo l¡m (1 + —— )1/g<x) = x->b g(x)

Por ejemplo,

: lim (1 + — ■■*-»i+ V x - 1

= lint (1 + — ■ —x->i+ V x - 1

V x + 1

- e ¡ ¡m y / x + 1 = e V " 2

Algunos límites se calculan cambiando la variable:

\/~ x- 8 V~ x+ 8 i / x - 4 y /x + 8

1 .. x - 64 = —r- l |m -------- :1 6 x—>64 _ 4

(haciendo x = y3, x—>64 equivale a y—>4)

3

,. V ^ x- 8lim -------------= limx_ 64 ’s/'x - 4 x_>64, x - 64lim ----------------------

( ^ 7 - 4) (V3T+ 8)

1 y3 - 64: — lim 2----1 6 y->4 y - 4


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P r o p i e d a d e s d é l a s n . p f u n c i o n e s c o n t i n u a s

Fig. 2 - Teorema de Bolzano. Si la gráfica está en a por debajo de la horizontal, en b por encima y es continua en [a, b] (no se rompe), parece claro que deberá «cortarla». La dificultad está en la «densidad» de la horizontal.

Fig. 3 - En el intervalo [a, b] la función alcanza en a su valor máximo y en p su valor mínimo. En el intervalo [b, c] el valor mínimo lo toma en y y el máximo en c.

Fig. 1 - Frecuentemente el volumen de un aparato de radio no responde con continuidad al mando regulador: una pequeña variación en su posición a veces acrecienta enormemente el sonido sin pasar por los volúmenes intermedios.

CO NTINUIDAD29

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F u n c i o n e s d e r i v o b l e sSe dice que la función f es derivable en el punto a, cuando existe el límite

Ax) - Ka)lim ■x —»a

cuyo valor, en tal caso, se denota f(a) y se denomina derivada d e fe n el punto a. Son expresiones absolutamente equivalentes a la anterior

f'(a) = lim <« + {»>-<*>/>-» o n

. • tu \ i- + Ax) “o bien f (a ) = lim --------7---------A x ->o A x

sin más que hacer x - a = h = Ax.

c . Aa + h ) - fia) ,Si observamos q u e -------- es la pen

diente de la recta secante que corta a la gráfica de fen los puntos (a fia)) y (a Aa + h)), y recordamos que la tangente a la gráfica en el punto de abscisa a no es sino la posición límite de tales secantes (véase fig. 1), tendremos:La derivada de f en el punto de abscisa a, es la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (a, f(a)).• Ejemplo. La derivada de la función f{x) = x2 en el punto 2 es el número 4 pues

A x )-A 2) x 2 — 'X2 ,l im --------- -= lim r— = 4x->2 X 2 x_>2 X 2por lo que la recta tangente a la parábola y = x2 (fig. 2) en el punto (2, 4) es

y - 4 = 4(x - 2) o sea 4x - y - 4 = 0.

La inexistencia de tangente conlleva la inexistencia de la derivada. Ambos conceptos son identifi- cabies salvo en las tangentes verticales, de pendiente no finita, en cuyo caso, aunque escribamos

,. Ax)-A a)lim ------------= oo*->a x - a

el límite (es decir, f'(a)), no existe propiamente. Se dice que fes derivable por la izquierda en el punto a cuando existe el límite lateral

,. Ah) - Aa)l im -----------x - a

cuyo valor se denota f/(a) y se denomina derivada lateral de f por la izquierda en el punto a. Sería la pendiente de la tangente por la izquierda, posición límite de las secantes por la izquierda. Análogamente, si existiera, se definiría la derivada por la derecha f+(a) tomando el límite para x->a+ que correspondería a la tangente por la derecha (véase fig. 3).

Si a tiene un entorno contenido en el dominio de f, la derivada f'(a) existe si y sólo si existen las derivadas laterales, f_'(a) y f((a) y, además, coinciden.La relación entre funciones continuas y funciones derivables es la siguiente:Proposición. Si ftiene derivadas laterales (iguales o no) en el punto a, entonces fe s continua en a.Corolario. Si fe s derivable en a, fe s continua

Las recíprocas, sin embargo, no son ciertas. • Ejemplos. La función (fig. 3 )

fx2 si x < 1 2 - x3 si x > 1

es continua en x = 1, pueslim Ax) = lim Ax) = 1 = /(l);X - » l X ->1 +

pero fno es derivable en 1, ya que x2 - 1,. Ax) - 1 ,.

lim — = lim

limx-»!-1

x - 1

Ax) -1X - 1

- X - 1

= lim —X->1+ X — 1

= 2 = f '(1)

- 3 = f '+(l)

La función (fig. 4)

gix) = {x sen (1/x) si x # 0

0 si x = 0es continua en el origen, pues el seno está entre -1 y 1, |xsen(1/x)|<|x|, con lo que hallamos

lim xsen (1/x) = 0 (= g(0)). x->0

En cambio lim = lim sen —x-»0+ X - 0 X—>0+ X

que sería g'+(0) no existe, como tampoco gLIO).

Los dos ejemplos anteriores ponen de manifiesto que la continuidad no permite asegurar la existencia de la derivada, ni siquiera de las laterales.Rara funciones sencillas, la no derivabilidad en un punto se reconocerá en la gráfica porque la función no será ahí continua, o bien siéndolo, presenta un ángulo.Pueden encontrarse funciones, aunque no sencillas, continuas en todos los puntos y no derivables en ninguno, como la suma de la serie

2(D (2n+1x))/2"+l donde D(y) es la distancia de y al entero más próximo (véase lámina E/2).


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I n t e r p r e t a c i ó n g e o m é t r i c a

Fig. 3 - Tangentes laterales no coincidentes. Fig. 4 - Inexistencia de tangentes laterales.

FUNCIONES DERIVABLES31www.FreeLibros.me

F u n c i o n e s d e r i v a d l e s

CÁLCULO DE DERIVADASLa función que asigna a cada número real el valor que en él tiene la derivada de f(a llí donde ésta exista), recibe el nombre de función derivada de f, y se denota f ' .• Ejemplo. Sea f(x) = x2. La derivada en a es

por lo que la función derivada de fe s f'(x) = 2x, o sea (x2)' = 2x.

El dominio de f ' no será, en general, igual al de f, sino un subconjunto de él (pero en lo sucesivo no nos detendremos en tales consideraciones).La función derivada de f ‘ es denominada función derivada segunda de f, denotada f" . O sea, (f'Y = f" . Por recurrencia se define fi>\ enésima derivada de la función f.El cálculo directo de las derivadas de las funciones más sencillas, y la obtención de unas reglas de derivación, permiten eludir el recurso a la definición cuando se buscan derivadas de funciones elementales.

Reglas de derivación[S] Derivada de la suma. Si f y g son derivables en a, también lo es f + g, siendo

( f + g)'(á) = f'(a) + g'(a).[P] Derivada del producto. Si fg son derivables en a, también lo es fg , siendo

(,f ■ g)'(a) = f'(a) g(a) + Ha)g'(a).

|C] Derivada del cociente. Si fyg so n derivables en a, con g(a) # 0, también lo es f/g, siendo

g (g(a))2[RC] Regla de la cadena (derivada de la función compuesta). Si fe s derivable en a y g lo esen Ha), g o fe s derivable en a, siendo

(go f)'(a) = g ’(f{a)) • f'(a).[P] Derivada de la función inversa. Se tiene

1

(si existen las expresiones involucradas).Las generalizaciones de [S], [P] y [RC], obtenibles por recurrencia, son:ISG]. (fj + fj + ... + fnTía) — f ' r (a) + f'2(a) + ... + f'„(a).

(PCI - ((] ' fj ' fn)*(a) — f'](a) • f2(a) ■ . . . • fn(a) + + fj (a) • f '2(a) ■ f3(a) • ■ f„(a) ++ fj (a) • f2(a) ■ f ' ¡(a) ■ .. . • f„(a) +

+ fj(a) • f2(a) • ... • f„_,(a) • f'n(a). [RCG]. (fj o f2 o . . . o fn)'(a) = f',((f2 o . . . o fn)(a)). f '2({f3 o . . . o f„)(a)) •...• f ' n^ (fn(á)) ■ f 'n(a).

Derivadas de las funciones elementalesFunciones constantes. Usando la definición de f ' , si ffx) = K (K e R) entonces f'(x) = 0, además ( M ' = K'- f+ K ■ f '= 0 ■ f+ K- f = K ■ f'. Función potencial de exponente natural. Laderivada de f(x) = xn es f'(x) = nx"-1.• Ejemplos. Sea ffx) = 2x3 + 3x - 7.Si f'(x) = 2 • (x3)' + 3 • (x)' - (-7)' =

= 2 ■ 3x2 + 3 - 1 - 0 = 6 x 3 + 3

3x - 5 (3x - 5)' (x2 + 3) - (3x - 5) (x2 + 3)'x2 + 3} _ (x2 + 3)2

3 (x2 + 3) - (3x - 5) 2x - 3x2 + fOx + 9 (x2 + 3)2 x4 + 6x2 + 9

f(x) = (x2 + 1) + (x3 + 2) + (x4 + 3)

f(x) = 2x • (x3+ 2) + (x4 + 3) ++ (x2 + 1) 3x2 ■ (x4 + 3) + (x2 + 1)(x3 + 2) • 4x3.

Para derivar g(x) = (x2 + 3)17, basta tener en cuenta que si p(x) = x2 + 3 y q(x) = x17 se tiene g = q o p, c((a) - 17a16, p'(a) = 2a con lo que g'(x) = q'(p(x))-p'(x) = q'(x2 + 3) ■ 2x = = 1 7(x2 + 3)16 ■ 2x.

Derivada de las funciones circulares. Con la

definición y sen x - sen a = 2 eos X 3 sen se obtiene la derivada del seno. Como eos x =

= sen( -j- - x), aplicando [RC]:

(sen x)' = eos x, (eos x)' = - sen x

<tg x)' = ¿ 7 = 1 + tg2x' (cotg x)' = ¿ 7 '


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F u n c i ó n c o n t i n u a F ~ n u n c a d e r i v a b l e 1 ü

y=fi <*>

y - f ^ x ) + í>(x) + 6 W

. / N / X / X Z Ü n,1 1 3 1 5

y = í] (x) + f2W + /3(x) + f4(x)

\ A A A A A A A A A A A A A A A A A /

y = /4CX)

y = ^(x) + f2(x) + 4(x) +Fig. 1 - Aproximaciones sucesivas de la función continua en todo punto, pero no derivable en ninguno, £ fn(x) donde fn(x) ■ = [D(2n+1 x)]/2"+1 siendo D(y) la distancia de y al entero más cercano. n¿

FUNCIONES DERIVABLES33

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Para las funciones circulares inversas, es (arctg x)' = 1 /(1 + x2)

(arcsen x)' = 1 / y/1 - x2

— (x2 + 1)-2« • 2x = , 2x —3 3^(x2 + l)2

(árceos x)' = -1 / \/1 - x2 Derivada de la función logarítmica. Como

_j_I n x - Ina , , x , x_ 1-------------- = ln —x - a a

la definición de /', y [RC], nos dan (ln x)' = 1/x, (longax)' = 1 / (x • ln a). También se tiene

(ln | x | ) '= ^ - .

Derivación logarítmica. Si fixj = (g(x)Wx) tomando logaritmos, ln Ax) = b(x) ■ ln g(x), con lo que, derivando,

Í g = b ' ( x ) l n g í x ) + b ( x ) . ^

f'(x) = Ax) lh '(x) ln gix) + h(x) • I-g(x)

Es usual no memorizar esta fórmula, pero sí el procedimiento.Derivada de la función exponencial. Con [I], o con derivación logarítmica, resulta

(a*)' = ax ■ ln a (a e R) y, en particular, (e*)' = ex.(Obsérvese la mayor sencillez proporcionada por logaritmos y exponenciales de base e). A partir de aquí es inmediato obtener las derivadas de las funciones hiperbólicas definidas en C/3

1(sh x)' = ch x, (ch x)' = sh x (th x)' = .

Derivada de la función potencial. Si k e R, porderivación logarítmica se obtiene

(xkY = k • xk- ]

• Ejemplos.

(x7 - -5 - x5 + 2 x 3 + 7 ^ - 1 0 )' =

r = (7x<--^-x* + 6x2 + ^ - .

(e (x2 + 3)y = e (x2 + 3) . 2x

[ ln(x2 + 3 ) ] ' = - ^ — (x2 + 3)

é2x 2e2x • x - e2x x x2

(sen e*)' = (eos ex) • e*.

fj(x) = 7 eos x, f ',(x ) = -7 sen x f2(x) = eos 7x, f '2(x) = -sen 7x ■ (7x)',

f'yix) = -sen 7x • 7./3(x) = x • eos 7, f '3(x) = eos 7.

f4(x) = eos (x7) ■ f '4(x) = -sen(x7) • (x7)' f '4(x) = - 7x6sen (x7).

f5(x) = cos7x, f '5(x) = -7 cos6x (eos x)' f's(x) = - 7cos6x sen x .

4 ( x ) = cos(7x), f ' 6(x ) = -sen (7 X) • (7 X) ',

f ' 6 (x ) = - 7 X • ln 7 ■ sen (7 X).

f 7(x ) = 7cosx, f'y(x) = 7cosx ln 7(cos x ) '

f ' 7 (x ) = -7 C0SX • ln 7 ■ sen x .

fB(x) = (eos 7)x, f 'a(x) = (eos 7 )x ln eos 7 .

fg(x ) = x 0057, / 'g ( x ) = eos 7 x *cos7)_1.

(cos3(3x2 + 1))' == 3cos2(3x2 + 1) • (-sen (3x2 + 1)) • 6x.

Si A x ) = [(xs + 3 X 4 + 1)8 + sen32x]5, f'(x) = 5[(x5 + 3 X 4 + 1 )8 + sen32x]4 •

■ [8 (x5 + 3x4 + 1 )(5x4 +12x3) + 3 sen32x ■ cos2x-2]

(x2 ex sen x)' == 2xe* sen x + x2 ex sen x + x2 excos x.

{'tyxr T T + ^ 2 Y = I(x2 + I )373 + $ T 2 y =


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S i g n i f i c a d o f í s i c o t / , í

Fig. 1 - Leonard Euler (1707-1783), uno de los más importantes matemáticos de la historia, especialmente en el campo del Análisis.

Fig. 2 - La velocidad o variación del espacio recorrido en función del tiempo sólo puede definirse en sentido instantáneo mediante el uso de la derivada.

80km/h

40 20 0km/h km/h km/h

Fig. 3 - La aceleración instantánea es el límite del cociente del incremento de velocidad por el incremento de tiempo, cuando este último tiende a cero, es decir, la derivada de la velocidad con respecto al tiempo.


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F u n c i o n e s d e r i v a b l e s

[sen3x • cos4x]' == (3sen2x • cosx) • cos4x +

+ sen3x -(4cos3x ■ (-senx)) = 3sen3x cos5x - 4 sen4x cos3x.

[gsen 4 X]' _ gsen 4x . c o s 4 X . 4

[senfe2*)]' = cos é2* ■ e2* • 2 .(xsen 2ey _ s e n 2 e • X ^ " 2 e “ ' .

[cos(ln(x3 - 1))]' = —sen(ln(x3 - 1)) ■ 3x2x3 - 1

[ln(cos(x3 - 1))]' =1

cos(x3 - 1) ■ ■ (-sen(x3 - 1)) • 3x2.

= 3 ln2(co s(x- 1))

[ln3(co s(x- 1))]' = 1

cos(x - 1)

[ln(cos3( x - 1))]'1

cos3(x - 1)

[tg3(cos4(ln5(x6)))]

3 cos2(x - 1) • (-sen(x - 1)).

1- 3 tg2(cos4(ln5(x6))) cos2(cos4(,n5(x6))) ■

4 cos3(ln5(x6)) • (—sen(ln5(x6)).6x55 ln4(x6) ■ x6

[arctg3(arctg2(arctg x))]'== 3 arctg2(arctg2(arctg x))-

12 arctg(arctg x) ■1 + arctg4(arctg x)

1 11 + arctg2 x 1 + x2

|log3(sh 10**)]' =11

In 3 sh 10x2 ■ ch 10*2 ■ 10x2 • In 10 • 2x.

Sea g(x) = V sen (x2 + e* ■ sen ■

g '(x) = — sen x2 + e* • sen -------3 L ' cosx

cos (x2 + e* • sen -

■ (2x + e* ■ sen - - + e* • coscosx

cosx + x senx, cosx cos2x

Sea Hx) = (senx) x / x . Tomando logaritmos In Hx) = x/x • In senx. Derivando

H x ) 12 \ / x

f'(x) = (senx) x/x

l /— cosx■ In senx + x /x ■------

In senx x /xco sx + —-------2x/x

Sea g(x) = [ln (2e*- 1)]cosx. Tomando logaritmos In g(x) = cos x • ln[ln(2e * - 1)].

g 'M) Derivando -gM

= -senx • ln[ln(2e* - 1)] +

1 1

(-s e n (x -U ) /• l e ,ln(2e * - 1) 2 ex- 1

depejándose a continuación g ’ .

Derivemos f,(x ) = x561” 1, f2(x) = (senx)x, f3(x) = senxx.In f|(x) = senx ■ Inx, In f2(x) = x • In senx, con lo

f't(x) . 1que 7 = cosx • Inx + se n x ,11 (x) X

f '2(x)f2(x)

In senx -

Rara la tercera, pongamos k(x) = xx; serák'(x)In k(x) = x ■ Inx, :k(x)

= 1 + Inx,

es decir (xx)' = xx + xx Inx. Tendremos , senx

f ,(* ) = xSenx • (cosx ■ Inx + -------

X cosxf '2(x) = (senx)x • (In senx + )

f 3(x) = cosxx ■ (xx + xx Inx).

Rara derivar h(x) = (senx)[(x2 +3)c“ '0"] pongamos j(x) = (x2 + 3)C05l°x'Será h(x) = (senx)i(x), In h(x) = j(x) ■ In senx, con lo que bastará hallar j '(x ) . Como In j(x) = cos (10X • In (x2 + 3), tendremos

2xj '(x ) = (x2 + 3 )cosiox [e o s 1 0X ■ -^-+ 3

+(-sen 10x) 10x ln 10 In (x2 + 3)]


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T a b l a F / 4 d e d e r i v a d a s

FUNCIÓN DERIVADA

Kx) = arcsenxf,(x)= v n ^

Kx) = arccosx f M 2

Kx) = arctgx í ‘{x) = 11 -X 2

Kx) = arccotgx n x ) = 1 +x2

Kx) = arcsecxÍ(X) x V * 2-1

Kx) = arccosecx nx) x V x 2-1

Kx) = shx K'(x) = chx

Kx) = chx K'(x) = shx

Kx) = tghx f'iX)= ch2x

Kx) = cotghx f'(X> = sh2x

Kx) = argshx f (x) = - T 4 = r V *2 + 1

Kx) = argchx

Kx) = arctghx ' 'W = 1 -X 2

FUNCIÓN DERIVADA

II f ‘(x) = 0

«x) = xMK e R)

En particular g(x) = x

Hx) = \/x

/Kx) = \/x

f\x) = k ■ x*-’

g'(x) = 1

h'(x) = ---- Lm’t¡/xm~]

k '{X)=2 ^

Kx) = Inx

Kx) = logax > 1 1r x -------- i—x Ina

Kx) = e* f'(x) = e*

Kx) = a* f'(x) = a* • Ina

Kx) = senx f\x) = cosx

Kx) = cosx f ‘(x) = -senx

Kx) = tgx K'(x) = —í-=— cos2x

Kx) = cotgx K'(x) = 1 sen2x

Kx) = secx . senxf (x) = ----5—cos2x

Kx) = cosecx . -cosxF (x) = ----5---sen2x


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TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLESSi A es un subconjunto del dominio de una función f, se dice que f alcanza en A su máximo absoluto en el punto a e A, cuando Ha) es el mayor valor que la función toma cuando la variable recorre A. Es decir, Hx) < Ha) V x e A. Análogamente se define el mínimo absoluto. Por ejemplo, 1 es el máximo absoluto de la función Hx) = senx en R, alcazándose en los puntos

^ - + 2b t (fceZ)

Se dice que f tiene un máximo relativo (o local) en a, cuando Hx) < Ha) para todos los x de algún entorno de a distintos de a (aunque algunos autores ponen <). Análogamente se definen los mínimos locales. Este concepto no equivale al anterior (véanse figuras). Sin embargo, es inmediato que el máximo (y el mínimo) que una función continua alcanza en un intervalo (por el Teorema de Weierstrass, D/2), deberá tomarlo en un punto de máximo relativo (respectivamente, mínimo), o bien en los extremos del intervalo. La derivada proporciona información sobre la posición de tales puntos: Teorema. Si una función f definida en un intervalo (a, b) presenta un máximo o mínimo local en c e(a, b), donde es derivable, forzosamente f'(c) = 0.La demostración se basa en la observación de que los valores cuyo límite es f'(c) tienen signo opuesto a izquierda y derecha de c.Los puntos x tales que f '(x ) = 0 son llamados puntos singulares de f. Ello significa que la tangente estará en posición horizontal (fig. 2).No es cierto el recíproco del teorema anterior, pues no en todo punto singular se alcanza extremo relativo. Por ejemplo, la función Hx) = x3 cumple f '(0) = 0, con lo que 0 es un punto singular; sin embargo, en cualquier entorno de 0 se obtienen cubos negativos a la Izquierda y cubos positivos a la derecha, por lo que en 0 no hay ni máximo ni mínimo local (fig. 3). También se cumple: Teorema. Si f alcanza un máximo (o mínimo) absoluto en (a, b) en el punto c, en el que es derivable, forzosamente f'(c) = 0.Como consecuencia, el máximo y el mínimo absoluto de una función f continua en la, b], deberán buscarse en a, en b, en puntos singulares, o allí en donde no haya derivada.Otros resultados importantes son:Teorema de Rolle. Si fes continua en [a, b] y derivable en (a, b), cumpliéndose Ha) = Hb), forzosamente existe algún c e(a, b) singular (figs. 4 y 5). Teorema de Cauchy. Si f y g son derivables en (a, b) y continuas en [a, b], existe algún c e (a, b) tal que

(Hb) - Ha)) ■ g'(c) = (g(b) - g(a)) ■ f'(c).Los dos teoremas anteriores permiten llegar al siguiente, muy importante por sus consecuencias: Teorema del valor medio (o de Lagrange). Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe algún c e(a, b) tal que

Corolario. Si f'(x) = 0 para todos lo x de un intervalo, fes constante en tal intervalo.De hecho, en el Cálculo Integral usaremos este resultado bajo la forma siguiente:Proposición. Si f'(x) = g'(x) para todos los x de un intervalo, existe una constante C e R tal que Hx) = g(x) + C en tal intervalo.En las dos proposiciones siguientes se pone de relieve cómo la derivada informa sobre el comportamiento de la función.Proposición (crecimiento y decrecimiento local). Si f'(x) > 0 para todos los x de un intervalo, f es creciente en tal intervalo (análogamente, f'(x) < 0 conlleva el decrecimiento).El crecimiento o la singularidad no siempre bastan para ubicar máximos y mínimos (fig. 6). La siguiente condición, que sí es suficiente, permite abordar numerosos problemas. Proposición. Si f'(a) = 0 y f"(a) < 0, ftiene un máximo relativo en a. SI f'(a) = 0 y f"(a) > 0, ftiene un mínimo relativo en a.Debe observarse que si f"(a) = 0, la proposición no decide, pudiendo presentarse un extremo relativo (como así sucede, en x = 0, con Hx) = = x4 + 2, fig. 8), o bien no haberlo (por ejemplo, en x = 0, para Hx) = x3, fig. 3).• Ejemplo. Hallar las zonas de crecimiento y de decrecimiento de la función

Hx) = x4 - 8x3 - 2x2 + 120x + 7.Como es

f "(x) = 4x3 - 24x2 - 4x + 120 == 4(x + 2)(x — 3)(x- 5),

tendremos que -2, 3 y 5 son puntos singulares. En (5, +°°) los tres factores de f ' son positivos, por lo que f crece: en (3, 5) los dos primeros son positivos, pero el último es negativo, luego f'(x) < 0 en (3, 5), donde fdecrecerá. Análogamente se ve que crece en (-2, 3) y decrece en (-« , - 2).

Puede suceder que f ' delate la presencia «consecutiva» de dos intervalos en que f tenga el mismo sentido de crecimiento, (a, m), (m, b), que algunas veces pueden fundirse en uno sólo, (a, b), tras examen directo de la situación (véase, por ejemplo, el caso f(x) = x3, fig. 3).

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P r o p i e d a d e s

Fig. 1 - En el intervalo [a, fe] la función presenta en a un máximo relativo y absoluto. En [fe, c] tiene en p un máximo relativo, que no es absoluto. En [c, fe] carece de máximo relativo.

Figs. 2 y 3 - Máximos y mínimos relativos. Inflexiones.

Figs. 4 y 5 - El teorema de Rolle (izquierda) asegura la existencia de puntos singulares si la función es derivable. Véase un contra-ejemplo a la derecha.

Fig. 6 - La función no es creciente ni tampoco decreciente a ningún lado del máximo relativo.

VI y = X 2 + 2

Fig. 7 - La primera derivada se anula para x = 0, donde la segunda derivada es positiva, por lo que se presenta un mínimo.


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OPTIMIZACIÓN POR MÁXIMOS Y MÍNIMOSLa última proposición de E/5 suele usarse para resolver problemas de optimización: se desea que cierta cosa sea máxima o mínima; si ello puede expresarse mediante una variable, o varias ligadas entre sí, que despejando permitan conducir el problema al de hallar los extremos de una función real de variable real, tenemos ya algún Instrumental para Intentarlo. Deberá atenderse, sin embargo, no al dominio de la función obtenida, sino a aquél en el que el problema tenga sentido.• Ejemplos. ¿Qué rectángulo de perímetro 20 tiene mayor área? Si x e y son los lados, el área es A = x ■ y, pero como 2x + 2 y = 20, será y = 10 - - x, con lo que deberemos hallar el máximo de

f(x) = x (l 0 - x) = 10x - x2en el dominio (0, 10) (pues no tienen sentido rectángulos de lados negativos o nulos). Tenemos f ' ( x ) = 10 - 2x, presentándose un punto singular en x = 5, que es un máximo retativo prque f ‘‘(x) = -2 , f (5) = -2 < 0 .Así pues, la solución es x = 5 = 5, es decir, un cuadrado.

Un individuo, que va corriendo por la orilla de un canal acuático de 16 metros de anchura, decide llegar a un punto situado 100 metros más adelante, pero en la otra orilla. Si corre a una velocidad de 6 metros por segundo, nada a 2 m/s y empieza por pasar a nado rectilíneamente, ¿a qué punto debe dirigirse para que el tiempo invertido sea mínimo?La trayectoria a nado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo uno de cuyos lados es 16 m, y el otro, desconocido, x metros. El tiempo invertido en nadar y en correr, son, por ese orden

siendo x + y = 100, por lo que el tiempo total es

100- x V * 2 + 162 — + 2-------

con lo que T'(x) = - 7- + — , ,. * . que se anula6 2 \ Jx 2 + 162

en x = 4 V 2 . Como T '(4 \ r 2) >0, se trata de un mínimo relativo. Como además T(0) =24,6 , 71100) = 50,6, T(4\/2) = 24,18, es también mínimo absoluto en [0 , 100], intervalo fuera del cual nuestro individuo tendría que retroceder, por lo que no hay mejor solución.

Se desea construir bidones cilindricos de volumen dado K, de manera que el total de chapa (área) sea el menor posible. ¿Cómo debe hacerse?Si el radio de la base del cilindro es r y la altura h, el área es

A = 2nr2 + 2n rh debiendo cumplirse la condición de volumen

n fih = K

por lo que, despejando r y sustituyendo,

A(h) = 2 -jp- + y/ñKE j

nos da el área en función de h.

Derivando A'(ti) = ^ nKh3 ~ 2 K , h¿

que se anula cuando lo hace su numerador, es decir, cuando

h = \/4K/n

en el punto h = -fy4K/n se tiene

A"(^/4K/ñ) = 37t/4

que es positiva, por lo que en\^4K/ic la función A(h) presenta un mínimo relativo, con lo que el problema está resuelto si no se imponen nuevas restricciones, pues hasta aquí la única es h > 0, para que el problema tenga sentido.En la práctica real, sin embargo, por imperativos estéticos, comerciales o industriales, como en nuestro ejemplo podría ser el que se tratara de latas que hubieran de ser abarcadas con la mano, o condiciones de apilado de los bidones, o limitaciones en la cadena de fabricación, puede suceder que el dominio se vea afectado por una restricción, por ejemplo

0 < h < T

donde T acotaría la altura deseada de los bidones. Entonces, si T >n]/4 K/k el mínimo absoluto coincide con el anterior mínimo relativo, pero si T es menor que tal valor, el punto ~y/4 K/'n carecería de sentido en el contexto del problema, 0 < h < T, por lo que, siendo la función decreciente en tal intervalo, el mínimo absoluto se alcanzaría en h = T, como puede apreciarse en la gráfica de la función A(h) de la figura 3.


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O p t i m i z a c i ó n F / c p o r m á x i m o s q m í n i m o s t / b

Fig. 1 - Rectángulos del mismo perímetro con área diferente.

Fig. 3 - Gráfica de la función A(h).

Fig. 2 - Cilindros del mismo volumen con área lateral diferente


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REGLA DE L'HÓPITAL. INDETERMINACIONESTeorema de L'Hopital [RH]. Si f y gson derivables en un entorno a, con

lim Ax) = lim g(x)x—>a x—>a

siendo ambos 0, o ambos infinitos, entonces

lim M -f'(x)

x-»a g(x) x->a g'(x) 'siempre y cuando este segundo límite exista (o sea infinito). El resultado es también cierto si x -> +=c o x -» -oo, a condición de que existan las derivadas en las semirrectas adecuadas. Si el segundo límite de [RH] es nuevamente indeterminado de la forma 0/0 o s»/00 se reitera el procedimiento, si es que se dan las condiciones. Como veremos a continuación, este teorema resuelve otros muchos casos de indeterminación. Si lim (f- g) es ¡determinado de la forma °° - <*, haciendo

f - (1/g) - (1 /fi Vfg

tendremos una ¡determinación 0/0 abordable por la Regla de L'Hopital.Si lim (f- g) es indeterminado de la forma 0 • °°, haciendo

f- g = f/(Mg) o bien f - g = g/{Mf) se pasa a las indeterminaciones 0/0 o *>/*, escogiéndose la que resulte más cómoda para la aplicación de [RH].Si lim (fS) es indeterminado de alguna de las formas 1“ , 0o o °°0, tomando logaritmos

In lim (fS) = lim ln(f*) = lim (g • ln/), siendo este último indeterminado de la forma 0 • x o 00 • 0, reconducible a [RH].• Ejemplos.

e * - 1lim es indeterminado del tipo 0/0 .x—>o senx

Aplicando [RH] lim — — — = lim =1x->o senx x-»o cosx

lim — - 6nx es indeterminado de la forma °c/oc. x-»o cotgxAplicando [RH]

ln senxlim -x->0 cotgx

= limx-»0

cosx/senx- 1/sen2x

= -lim senx eos x = 0 .x-»0

lim ( — -x-»n \ x

1x-»o t x cotgx

x_oo . Aplicando [RH]

es indeterminado de la foma

lim ( 2 — ) = lim _x->o' x tgx / x—>o x tgx

= |im — + ~ 1 =X—>o x + xtg x + tgx

. | i m ______________ 2tgx • (1 + tg2x)____________x-»o1 +tg2x + x - 2tgx-(1 + tg2x) + (1 + tg2x)

= lim 2!pX . 0 .2 + 2xtgx

lim (cos4x)x2 es indeterminado de la forma 1“x—>0su valor fuera A, sería

ln A = lim - V • ln cos4x =x—>0 x2

-4sen4x.. ln cos4x .. cos4x = lim =-------= lim -

x->o x2 x-»o 2x

_ .. sen4x .. 4cos4x= -2 lim = -2 lim ------= - 8 .x-»o x x->0 1

Por lo tanto, A = e-8

lim x's* es indeterminado de la forma 0o. Si sux—>0valor fuera B, sería

ln B = lim tgx • Inx =x—>0

.. Inx .. 2senx cosx _= lim — -— = - lim = 0.x->0 cotgx x->0 1

Por lo tanto, B = e° = 1.

lim (— ) es indeterminado de la forma «A Six-»o \ x /su valor fuera M, sería

ln M = lim x • ln (1/x) =X—>0

,. In(1/x) ,. (-x/x2) n= lim — — = lim , , . = U.x—>0 x-^0 (—1/^ )

tras aplicar [RH] y simplificar. Será M = e° = 1 .


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I n d e t e r m i n a c i o n e s ^ ^

Fíg. 1 - La figura recoge diferentes funciones de límite 0 para x -> 0 . Sin embargo, los límites de sus cocientes toman diferentes valores, midiendo comparativamente la «rapidez» con que se acercan a 0.

«. x3 .. senxlim — - 0 lim = 1*->0 x x-tO x

.. x3 + 1x V *lim = 2 lim —------= oo*->0 x *-*0 x

La función ^ x es la que se acerca más «lentamente» a 0, y x3 la más «rápida».

Fig. 2 - Guillaume de L'Hópital (1661-1704).


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EQUIVALENCIA DE VARIABLES

Variables equivalentes

Cuando lim -44— = 1 decimos que f y g sonx- m g(x)

equivalentes para x->a. Si Ax)lim —— = m * 0 .

x-»a gMserán equivalentes f y m - g .Si f y g son equivalentes para x->a, como se tiene f = (f/g) ■ g, tendremos que si f aparece como factor o divisor en una expresión cuyo límite para x->a queremos hallar, puede ser reemplazada por g sin que se altere el límite, pues estaríamos multiplicando o dividiendo por 1.Son, por ejemplo, equivalentes, x y senx, para x->0. Por ello, el siguiente límite, que mediante la Regla de L'Hópital conllevaría una tediosa derivación, ahora es

.. sen5x _ x5x-ÍJo 9x5cos36x x™o 9x5cos36x

,. 1 _ 1 xhS 9cos36x 9

Infinitos e infinitésimos

Si es infinito el límite de ffx) para x—>a, donde a es un número real o también +=°, -<» o * , diremos que Hx) es un infinito para x—>a.Si f y g son infinitos para x->a, tales que

diremos que f es un infinito de mayor orden que g cuando a sea infinito, que f tiene menor orden que g cuando a = 0 , y que son infinitos del mismo orden cuando a sea finito no nulo. Si f es un infinito para x-»+=c, x->=° o x->«, decimos que su orden es mayor, igual o menor que m según resulte de compararlo con xm. Si f es un infinito para x->a (e R), decimos que su orden es mayor, igual o menor que m según resulte de compararlo con 1/(x - a)m. Se puede decir, intuitivamente, que el orden mide la rapidez con que f tiende a =°.Proposición. Si a un infinito se le suma uno de orden inferior se obtiene un infinito equivalente al primero. La diferencia de dos infinitos equivalentes es otro de orden no inferior, o una función no infinita.Obsérvese que la suma de dos infinitos del mismo orden tiene resultado indeterminado.

Si 3p 0, el polinomio + a^x + . . . + apXP es un infinito de orden p, para x—»oc Proposición. Para x—>=<=, son infinitos

( lo g aX )m, X " , fox, XP*

(a, b > 1; m, n, p > 0 ) llamados infinito logarítmico, potencial, exponencial y potencial-exponencial, respectivamente, siendo el orden de cada uno inferior al del siguiente, según se han enumerado.Si lim fjx) = 0, decimos que fes un infinitésimo

X—>3

para x->a. Si f y g son infinitésimos para x->a, cuando

sea infinito, cero, o finito no nulo, diremos, respectivamente, que el orden del infinitésimo fes menor, mayor o igual que el de g. En particular, diremos que el orden de fe s menor, mayor o igual que n según resulte de compararlo con (x - a)n. Por ejemplo, para x-»0, sen27x es un infinitésimo de orden dos, pues

lim j(sen27x)/x2] = 49.x->0

El orden mide la «rapidez» con que ftiende a 0 (véase la figura contigua).Está claro que si fes un infinito para x->a, (Mf) será un infinitésimo. Así se obtiene: Proposición. Si a un infinitésimo se le suma uno de orden superior, se obtiene un infinitésimo equivalente al primero.

Orden de contacto de dos curvasSi dos funciones f(x) y g(x) cumplen Ha) = g{á), con lo que sus gráficas se cortan, la diferencia e(h) = Ha + h) - g(a + h) será un infinitésimo cuando h->0. Tal diferencia no es más que la porción de ordenada comprendida entre las dos gráficas en el punto de abscisa a + h de las cercanías de a. Diremos que las dos curvas tienen en (a Ha)) un contacto de orden m cuando e(h) sea un infinitésimo de orden m + 1. Se tieneProposición. Si las funciones f y g tienen iguales las m primeras derivadas en un punto a en el que Ha) = g(a), siendo finitas pero distintas las de orden m + 1,1a curvas y = Hx) y y = g(x) tienen en (a, Ha)) un contacto de orden m. Obsérvese que si el contacto es de primer orden o más, será Ha) = g(a), f'(a) = g'(a), con lo que las curvas tienen en (a, Ha)) la misma tangente: se dice que en ese punto son tangentes entre sí.

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I n f i n i t é s i m a s . P / P C o n t a c t o t / 0

Ax) = senx

ZtO) = 0

f'(0) = 1

n o = o

f"(0) = 1

g(x) = x

g<0) = 0

g'(0) = 1

g"(0) = o

g"(0) = o

h(x) = ln(1 + x)

/)(0) = O

h'(0) = 1

/)"(0) = -1

/?"(0) = 2

Fig. 1 - Contacto entre ias gráficas de x, senx.y !n(1 + x).

Fig. 2 - Invirtiendo ios tipos fundamentales de infinitud para x -> +=c se obtienen los tipos fundamentales de infinitésimos: (Inxi ,n, x~p, a-x, x~kx(a > 1, p, K, m > 0) logarítmico, potencial, exponencial y potencial-exponencial respectivamente cada uno de menor orden que el siguiente.


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APROXIMACIÓN POLINÓMICAComo las funciones polinómicas son las de más fácil manejo, dada una función Hx) es interesante ver si se puede sustituir por una polinó- mica que sea «aproximadamente igual». Está claro que ello difícilmente va a poder hacerse en todo el dominio de la función con un solo polinomio. La aproximación se hará, pues, con carácter local, es decir, en las cercanías de cierto punto a, ajustando diferentes polinomios a diferentes segmentos de curva. Por otra parte, la ¡dea de aproximación podemos precisarla más: si la función Hx) se reemplaza por un polinomio p(x) en las cercanías de un punto a, lo que se desea es que la diferencia f(x) - p(x) sea un infinitésimo para x-»a, y cuanto mayor sea su orden, mejor será la aproximación. Supongamos un punto a del dominio de f, arbitrario, pero fijo en adelante. SI p(x) = a0 + + a ,(x - a) + . . . + am(x - a)m es un polinomio, escrito en potencias de (x - a) (lo que es preferible para analizar caracteres Infinitesimales), se obtiene fácilmente a*. = (pk(a))/k\ derivando k veces p(x). Por consiguiente

p(x) = p(a) + p '(a)(x - a) + (x - a)2 +2 !

3!— ( x - a)3 +nKa)m\

(x - a)n

p„(x) = f(a) + f'(a)(x - a) +

3! - ( x - a)3 + . . . +

f"(a)2 !

H a )r¡\

(x - a)2 +

(x - a )" ,

recibiendo pnl(x) el nombre de m-ésimo polinomio de Taylor de la función fen el punto a. Desde k = 0 hasta k= n tendremos p£(a) = H a ) por lo que, según se dijo en E/8,Proposición. La gráfica / y la de su enésimo

polinomio de Taylor en a tienen en tal punto un contacto de orden no inferior a n.También puede enunciarse así:

En la anterior expresión, que liga los coeficientes del polinomio con sus derivadas, se basa el método de aproximación polinómica de Taylor:Supongamos que fadmlte al menos n derivados f ‘(a), f “ (á), . . . , Ha) en el punto a. Construimos los polinomios

p0(x) = Ha)

p ,(x) = Ha) + f ‘ (a)(x - a)

p2(x) = Ha) + f'(a)(x - a ) + p p (x - a)2

Proposición, lim Hx) - p„(x) = 0 .(x - a)n

Esto significa que, para x-*a , la diferencia Hx) - p„(x) es un infinitésimo de orden superior a n.La diferencia Hx) - p n(x) = Rn(x) recibe el nombre de resto enésimo (o término complementario). Al reemplazar Hx) por p„(x), el error cometido será Rn(x), por lo que interesa disponer de expresiones apreciadoras del resto enésimo, de modo que si no se conoce exactamente, se pueda, al menos, acotar, con lo que se podrá calibrar la magnitud del error cometido.La expresión

Ha)

f"(a )3!

Ha) + - y p (x - a) + —p (x - a)2 +

( x - a)3 + . . . +H a ) (x - a) + Rn(x),

recibe el nombre de fórmula de Taylor para fen torno al punto a.Cuando a = 0 la fórmula de Taylor se escribirá

f (x) = f( 0) + f ‘ ( 0 )x + n o) 2 !

HO)+ .. . + p P - x " + R„(x),

llamada (Innecesariamente) fórmula de MacLaurin.Cuando en un entorno de x se dispone de la derivada se tiene

fh+1) (?)* " (x)= a r n ) í ( x - a)n+1'

( forma de Lagrange del término complementa- ) rio, donde £ es algún punto entre a y x. Si f"+1>\ tiene su valor absoluto acotado por M en el

intervalo, será

S I n(x)| — (n + 1 )!

\ expresión que nos permite estimar el error./ Pueden ser también útiles las expresiones

R Jx ) = (X - a)P(x - ?)"+1-P) ni pV (forma de Schlomilch, con 0 < p < n + 1), que' para p = 1 es la forma de Cauchy

/n+1) ©Rn(x) ■■ n\

■ ( x - a )(x - tyn.


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A p r o x i m a c i ó n r í a p o l i n ó m i c a '

Fig. 1 - Brook Taylor (1685-1731). Fig. 2 - Colín M acLaurin (1698-1746). Fig. 3 - Louis de Lagrange (1736-1813).


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Desarrollo de la función exponencial. Si Kx) == e*, se tinen /">(*) = e*, con lo que /")(0) = 1, V n e N, luego el desarrollo de MacLaurin es

e* = 1 + x + ■2 !X" X"’1'1

+ n! + (n + 1)! e0*

SI para calcular e°-12 tomamos el segundo polinomio, se obtiene el valor

e0-12 = 1 + 0,12 + (0,12)2/2 = 1,1272 Como el tercer término complementario es r 2(x ) = x3 e* 6, teniendo en cuenta que ge* < eü,i2 < 2, una acotación posible será

|R2(x)| < (0,12)3 2/6 = 0,000576.

Desarrollo de las funciones circulares. Lasderivadas sucesivas de g(x) = senx cumplen

(0) = 0, (0) = (-1)", obteniéndose el desarrollo

X3 x5 x 7 senx = x - 3 r + - ^ - - 7 r + . . . +

v2n-1 v2n+ (_1 )n - 1 ---------- + )n — s e n 0 X+ l U (2 n - 1)1 1 1 (2n)l 5 ™

Análogamente

cosx = 1 r2 x4 — + x64 i" “ 6r

(-1)nx2n (-1)"+1x2n+l+ — - + — jz---- ttt senSx.(2n)l (2n + 1)!

Si, por ejemplo, quisiéramos calcular eos 89°, que es eos [(rc/2) - (tt/180)] desarrollaríamos cosx en torno a tt/2. Veríamos entonces que basta llegar al grado 3 para que el error sea menor que una millonésima.Desarrollo de la función potencial. Si h(x) = xk y k no es un número natural, no puede hacerse el desarrollo de MacLaurin. Desarrollaremos f(x) = 1 + xk que sí es indefinidamente derivable en el origen, teniéndose

/nl(x) = k(k - 1) ■ . . . ■ (k - n +1 )(1 + x)k~n, con lo que /">(0) = k(k - 1) • . . . • (k - n + 1),

y el desarrollo será, con 0 e (0, 1),

(1 + x)* = 1 + kx + k k - 1)

k (k - 1) • . . . ■ (fc — n + 1)+ --------------- ;---------------- X" +n!

k (k - 1) ■ . . . • (Ar — n) (n+ 1)! (1 + ex^-n+l ■ xn+1

Si calculamos ^1,21 a través de este desarrollo hasta el grado 2, tomaremos

(1 +0 ,2 1 )1 '3 = 1 + l o , 2 1 + = | (0 ,2 1 )2 = 1,0651.J I O

Podemos acotar el error mediante

m m ------------- (1,21)-2/3 . (0 ,21 ) < 0 ,0 0 0 5 7 6

que corresponde al valor 0 = 1, el «peor posible», por lo que la inexactitud de^2 1,21 = = 1,0651 no llega a 6 diezmilésimas.Desarrollo de la función logarítmica. Como el logaritmo y sus derivadas no están definidos para x = 0, no puede hacerse el desarrollo de MacLaurin. En vez de tomar el desarrollo de Taylor en x = 1, es preferible tomar el desarrollo de MacLaurin de ln(1 + x). Se tiene

(ln(1 + x))"> = (-D^Hn - 1)! ■ (1 + x K por lo que la deriva a enésima en el origen es (- ly ^ fn - 1)1, y el desarrollo

x3 x4

1

i „ x2ln(1 + x) = x - — + — -

, ^ , xn (-1)+ 7r + 7m o +e)«i A"

donde 0 e (0, 1). Pueden verse en la lámina adjunta las gráficas de varias aproximaciones sucesivas.Para calcular In 1,1 con un error menor que una dizmilésima, al tomar x = 0,1 será 1 < (1 + 8x) < 1, 1, con lo que [1/(1 + 0x)] < 1 y el resto enésimo quedará acotado por [1/(n+ 1)10n+1] en valor absoluto. Habrá de ser

—~rr —r < o sea 104 < (n + 1 )10"+1n + 1 10n+1 104desigualdad que ya se satisface para n - lo que bastará tomar

3, por

In 1,1 110

1200 3000

: 0,0050.


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A p r o x i m a c i ó n p o l i n ó m i c a F / m de l l o g a r i t m o

Fig. 1 - Función ln(1 + x) Fig. 2 - ln(1 + x) aproximado (en torno a 0) por x.

Fig. 5 - Comparación de las aproximaciones.


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ESTUDIO LOCAL DE LAS GRÁFICAS DE FUNCIONES

Supondremos en adelante que las funciones genéricas que aparezcan poseen tantas derivadas como convenga a la exposición.

Posición con respecto a la tangentePuesto que la ecuación y = g(x) de la recta tangente en un punto de abscisa a, a la curva y = Hx) es

g(x) = Ha) + f ‘ (a)(x - a), al sustraer del desarrollo de Taylor

Hx) = Ha) + f'(a)(x - a) +

obtenemos

f “ (a)2 ! ( x - a)2 + .. .

Hx) - g(x) = (x - a)2 + - ^ p ( x - a )3 +2 ! 3!

expresión cuyo significado, en las cercanías de a, es /a ordenada de la función menos la ordenada de la tangente, y según que sea positiva o negativa, que la curva esté por encima o por debajo de la tangente, respectivamente. Sabemos que si a un infinitésimo se le suma otro de orden superior, se obtiene un infinitésimo equivalente al primero (E/8). Al ser (x - á)n un infinitésimo de orden n para x—>a, el signo de Hx) - g(x) dependerá tan sólo del signo de la primera derivada, empezando con la segunda, que sea no nula en a.Proposición. Si, empezando por la segunda derivada, la primera que no es nula en a es fh> (a), se dan los casosI. n par y ft’> (a) < 0. La función está por debajo de la tangente, con la concavidad dirigida hacia las y negativas (fig. 1).II. n par y /"> (a) > 0. La función está por encima de la tangente, con la concavidad hacia las y positivas (fig. 1).III. n impar. La función atraviesa la tangente (fig. 1). En este caso se dice que la función tiene en el punto (a, Ha)) un punto de inflexión (o, sencillamente, una inflexión).

Máximos y mínimos relativosYa sabemos (E/5) que para que una función alcance en a un extremo relativo, es imprescindible que f'(a) = 0 , pero que ello no basta. Pero ahora podemos precisar la posición con respecto a la tangente:

Proposición. Condición necesaria y suficiente para que una función Hx) con derivadas sucesivas alcance en a un máximo relativo es que la primera derivada no nula en a sea de orden par y de valor negativo. La condición para un mínimo relativo es que la primera derivada no nula sea de orden par y positiva.Por lo tanto, para hallar máximos y mínimos relativos de y = Hx), habremos de buscar los puntos singulares, es decir, resolver la ecuación Hx) = 0 examinando después el valor de las sucesivas derivadas en tales puntos.Para hallar las inflexiones de la curva y = Hx), resolveremos la ecuación f "(x) = 0, examinando las siguientes derivadas en los puntos solución.• Ejemplos. La función Hx) = - ( x - 3 )4 tiene derivada f ‘(x) = - 4 ( x - 3)3, nula solamente en x = 3. Siendo f"(x) = -12(x - ’i ) 2,Hll(x) = -24 (x - 3), f v(x) = -24 , tendremos H(3) = 0, HK3) = 0, f™(3) = 0, f v(3) = 24 y en x = 3 se presenta un máximo relativo. No hay inflexiones porque el único punto en que HHx) es nula es precisamente en x = 3 (fig. 2).

La función gfx) = (1/5)x5 + x - 2 tiene derivada g '(x) = x4 + 1, que no es nula en ningún punto, por lo que la curva carece de máximos y mínimos locales. Su segunda derivada es g "(x) = = 4x3, nula para x = 0. Como g "'(x ) = 12x2, glv(x) = 24x, gv = 24, se tiene

g"(0) = 0, g"H 0) = 0, g'nO) = 0, gV(0) = 24, por lo que la función presentará en x = 0 su única inflexión (fig. 3).

La función h(x) = (x + 1)4 tiene derivada h'(x) = = 4(x + 1 )3, nula en x = -1 , siendo

/)"(-!) = 0, /)'"(-1) = 0, hlv(-1) = 24 > 0 por lo que, en x = - 1, b(x) alcanza un mínimo relativo (fig. 2), careciendo de inflexiones pues h"(x) = 12 (x + 1 )4, nula sólo en x = - 1 .

La función j(x) = (IM jx4 + x tiene derivada ( j \x ) = x3 + 1, nula tan sólo en x = - 1, siendo

j"(x) = 3x2, / '(-1 ) = 3 > 0, por lo que en x = -1 se presenta un mínimo relativo. Por otra parte,

( la derivada segunda es nula en x = 0. Como /«(O) = 0, y™(0) = 0, j iv(0) = 6

\ en x = 0 la función es cóncava hacia las y posi- ( tivas (fig. 3), careciendo de puntos de inflexión.

I --------------------- -


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E s t u d i o l o c a l F . , , de l a s g r á f i c a s de f u n c i o n e s

Fig- 2 - Concavidades sin inflexión. Fig. 3 - Abajo: cambio de concavidad (inflexión).

r*?’ 4. *>ara x - a estas dos funciones carecen de derivada finita, por lo que acudimos a la representación para hablar de inflexiones.


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F u n c i o n e s ú e r i v a b l e s

DIRECCIONES ASINTÓTICAS. ASÍNTOTAS

Para cada valor d e m e R podemos considerar la familia de rectas y = mx + k (k cualquiera). Se trata de la familia de paralelas de pendiente m, todas ellas en la misma dirección.Si tenemos una curva de manera que resulta ser que cuando (x, y) pertenece a ella, se tiene

lim —Y— = m (m e R),x-» + 00 X

ello significará, intuitivamente, que la curva se aleja hacia la derecha (x—>+=*=) en la misma dirección que las rectas y = mx + k. En esta situación se dice que la dirección de pendiente m es una dirección asintótica de la curva (por la derecha). Reemplazando x->-H* por x > -x! tendremos el concepto de dirección asintótica por la izquierda.Puede además suceder que, al alejarse idefini- damente, la distancia de los puntos de la curva a una recta tiende a cero: diremos que tal recta es una asíntota de la curva. Puede pensarse la situación imaginando que la curva, al alejarse hacia el infinito, tiende a confundirse con una recta. Por supuesto, si una curva tiene a una recta por asíntota, también tendrá la dirección asintótica que corresponde a dicha recta. Sin embargo, una curva puede tener la misma dirección asintótica que una familia de paralelas, pero no tener a ninguna de ellas como asíntota. Veamos antes cómo se formalizan estas nociones.

Proposición. Si limX—> +=C

Hx)m (m

además lim (/(x) - mx) = n (n e R) la rectaX—> +*>

y = mx + n es una asíntota por la derecha de la curva y = Hx).La misma proposición caracteriza a las asíntotas por la izquierda sin más que tomar ambos límites con x—> -=c.Obsérvese que pueden darse los siguientes casos:a) m no existe. No hay dirección asintótica.b) Existen m y n, ambos números reales. Hay asíntota. Se dice que la curva se aleja hiperbólicamente.c) Existe m e R y n e s + x o -=°. Diremos que la curva se aleja parabólicamente. No hay asíntota, pero sí dirección asintótica.d) Existe m e R pero no existe n (ni finito ni infinito). La curva se aleja en la dirección asintótica, pero ni hiperbólicamente ni parabólicamente (sin asíntota, desde luego).En el caso particular en que m = O y n e R, tendremos una asíntota horizontal. Este caso

puede ser directamente reconocido por la condición única, de que n = lim Hx) exista y sea finito. x->*Si a e R y se tiene lim Hx) = . -00 o 00

x—» adecimos que la recta x = a es una asíntota vertical de la curva y = Hx). Este concepto puede ampliarse considerando límites laterales x->a+ y x->a~.Es usual llamar asíntotas oblicuas a las que no son ni horizontales ni verticales.• Ejemplos. La curva y = senx (fig. 2) tiene la dirección asintótica del eje y = 0, pues

.. senx lim = 0X-»oc X

(derecha e izquierda), pero como el límite de senx para x->x¡ no existe, no se aleja hiperbólicamente ni parabólicamente.

La curva y = (x senx)/4 se aleja infinitamente, pero sin dirección asintótica, pues no existe lim senx (fig. 3).

La curva y = x /x + sen(7t/x) + nx se aleja parabólicamente en la dirección de y = ttx (fig. 4) pues

, . x /x + sen(7t/x) + nx l im — = 71x-> + 00 X

lim (x/x + sen (7t/x)) = +«=.X —> + =C

La c u rv a y = sen(7t/x) se a le ja h ip e rb ó lic a m e n te (f ig . 1) c o n a s ín to ta y = 0 p u e s

l im sen(7t/x) = 0X—> *

En la figura 5 pueden verse difirentes casos de asíntotas verticales. Sean

r 1- si x > 4

Hx)

Se tiene

^ T ' g (x )= / Z J ' h (x )= (r si x< 4

1 1 1lim —r- = lim —r- = lim — 7 = -t00 *_>o+ x 2 x->0 x 2 x-^0 x ¿

1l im — = +x, lim rx—>2+ X — 2 x->2_ X Z

: —00

lim

lim

x->2 X - 2

- 1, lim


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R e p r e s e n t a c i ó n F . , pg r á f i c a L 7 1

Fig. 1 - Alejamiento hiperbólico por la derecha, con asíntota y = 0.

Fig. 2 - Alejamiento no hiperbólico y no parabólico, pero con dirección asintótica según el eje.

F'g- 4 - Alejamiento parabólico Fig. 5 - Varias asíntotas verticales, (curva verde)


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TRAZADO DE LA GRÁFICA DE LAS FUNCIONESPara proceder a representar gráficamente una función, conviene resolver los puntos que a continuación se exponen:— Dominio de la función.— Posibles simetrías elementales. Si Ax) = = A-x) V x e R, la gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas, si A-x) = -Ax) V x e R, simétrica respecto al origen.— Zonas de crecimiento y de decrecimiento.— Concavidades.— Máximos, mínimos y puntos de inflexión.— Comportamiento asintótico.— Construcción de algún punto de la gráfica. En particular, es usual hallar los valores de x que dan una y nula, y qué valor de y se obtiene para x = 0 (intersección con los ejes).Para trazar la gráfica, se representan las asíntotas, máximos, mínimos, inflexiones y puntos conocidos, atendiéndose, finalmente, a las instrucciones sobre concavidades, crecimiento y decrecimiento.• Ejemplos. Representar gráficamente la función

„ s (x — 1 )3

El domino de la función es R - {2}, en todo el cual es continua. Su derivada, que existe en todo el dominio, es

( x - 1 ) 2 ( x - 4)1 (x - 2)3

y podemos esquematizar su signo mediante 0 ^ 0

siendo fl'(x) =

0

H -2

6 (x -

+

( X - 2 )4

z¡

, cuyo signo es

i--------- 1-------------------------------------1 2

por lo que en (4, 27/4) tendremos un mínimo y en (1, 0 ) una inflexión (la derivada segunda pasa, sin dejar de existir, de negativa a positiva, cambiando la concavidad.Puesto que si x tiende a un número la función tiene límite finito, salvo quizás para x—>2, debemos hacer ese límite, siendo lim Ax) = +°°

x—>2por lo que x = 2 es asíntota vertical.

(x - 1 )3 = x. no hay asíntotas

horizontales. Sin embargo,. (x - 1 )3 (x — 1 )3lim — — = 1, lim x = 1,x ( x - 2)2 x—t?. (x - 2 )2

por lo que y - x + 1 es asíntota oblicua por ambos lados. La gráfica se ve en la figura 1.

— 2x2 8Al representar g(x) = ^ + Q----

se observa en primer lugar que el dominio es todo R, pues todas las operaciones indicadas pueden hacerse para cualquier valor real de x. La derivada primera es

,. . x4 + 12x2 ^ <X) “ 2 (x2 + 8 4 F

positiva salvo en x = 0, donde se anula, por lo que g es siempre creciente. Como

- W - 2 6 L g W (x2 + 4)3 '

el signo de g" sigue el esquema 0 0 0

+ - + -

1 1 1----------------------------4 0 4

con inflexiones (4, 0,6), (0, -1) y (-4, -2,6). Carece de asíntotas verticales y como

x3 - 2x2 - 8 J _2 'lim

X->°0

limX—

x(2x2 + 8 ) 1 - 2x2 - 8 2x2 + 8 = -1

Como limX— (x - 2)2

la recta Y = es asíntota oblicua por ambos

lados. Puede verse la gráfica en la fig. 2.

Representemos gráficamente /i(x) = •

El dominio de h es R - (-3 ). Su derivada, 4(x + 1) ,primera es h (x) = + ^ , de signo positivo en

(- * , -3) U (-1, +*), negativo en (-3, -1) y nula en - 1.

- 8xLa derivada segunda es h"(x) = + signo

positivo en (-jc, -3) U (-3, 0), negativo en (0, +*) y nula en 0 por lo que presenta un mínimoen (-1 ,0) y una inflexión en (0, — ). La recta

x = -3 es asíntota vertical, pues,. í x + ' ] \ 2 ,. ( x + 1 \ 2 ,hm ----— = + ccyco m o lim ------— =1X—>3 \x — 3 / 1 x->=o\ X + 3 /la recta y = 1 es asíntota horizontal por ambos lados. Puede verse la gráfica en la figura 3.


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Fig. 1 - Gráfica de la función y ~ —— ^ 2


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Representar gráficamente j(x) ='y/1 - x2.Su dominio es todo R, siendo la función par y, por ello, simétrica su gráfica respecto al eje de ordenadas. Es continua en todo punto, pero su derivada

i'(x) : -2x

V ( T - x2)2'no es finita en los puntos de abscisa -1 y 1. El signo / es negativo en (0 ,1) U (1, + *), positivo en ( - * , -1) U (-1, 0) y es nula en 0. La segunda derivada es positiva en ( - » , -1) U (1, +=) y negativa en (-1, 1), no anulándose.No hay asíntota horizontal, pues

limX-»oc

i/T- = 0 ,

y como limX—

tendremos que la curva se aleja parabólicamente en la dirección asintótica del eje horizontal. Véase toda esta información en la figura 1.

Representar gráficamente la función |x| |x| x * 0

x = 0fc(x) = { i 'Se trata de una función par, por lo que basta estudiar x* para x > 0. El dominio de k es R, siendo continua en todo punto, pues el único peligroso sería x = 0 y, sin embargo, lim x* = 1

x->0+

La derivada de xx es xx • (1 + Inx) finita para x > 0, siendo su signo negativo en (0 , e~'), nulo en (1/e) y positivo en (e_1, +x) y además

lim xx(l + Inx) = - x .x—>0

k"(x) - x x(1 + Inx)2 + xx_1 es positiva V x > 0, por lo que en (e_1, (e_1)e_1), que es aproximadamente (0,37, 0,69), habrá un mínimo. Atendiendo a la simetría, tendremos la figura 2 .

Representar gráficamente la función s(x) = x + 2 arcotg x.

En una función impar, definida en todo R. s' es positva en (- x , -1) U (1, +x), negativa en (-1, 1) y nula en -1 y 1. s" es negativa en (- x , 0), positiva en (0, +*) y nula en 0 .Se presenta, por tanto, un mínimo en (1, 1 + it/2), un máximo en (-1, 1 + tt/2) y una inflexión en (0, 7t).

Comox + 2arccotgx _ ,.

Ilm y - 1, lim 2arccotgx = 0 ,X-Í+3C X x—M-sclim 2L ± 2arccotgx = 1 J .

2arccotg x = 2it,

y = x es asíntota por la derecha mientras que y = x + 2n lo es por la izquierda (fig. 5).

Representar gráficamente f(x) = (lnx )/V x .El dominio de f(x) es R+.

f es positiva en (-=, e2), nula en e2 y negativa en (e2, +»). f es negativa en (- * , e823), nula en

' e®/3 y positiva en (e®/3, +x) por lo que

\ (e2, 2e-1,) habrá un máximo y en e823, e~<4/3>j

i una inflexión._ .. Inx Inx/ Como lim = — ^ = +x, lim — ^ - = 0.

x-»0+ V X x -» -» V x

x = 0 es asíntota vertical e y = 0 es asíntota horizontal por la derecha (fig. 3).

Representar gráficamenteu(x) = cosx - cos2x.

Es una función par y de período 2ti, por lo que basta su estudio para x e [0, 7t| u' es positiva en (0, n/3), negativa en (n/3, Jt) y nula en 0, 7c/3 y 7t • u" es positiva en (0, a) U ((3, jt), negativa en (a, |3) y nula en a y p, donde

1 + V 3 3 . 1 - V 3 3a = árceos — ------- , p = árceos ----- .O oNo hay asíntotas, pero sí la dirección asintótica y = 0 (fig. 6).

Representar gráficamente v(x) = e5enx.El dominio es todo R, y tiene período 2ji por lo que se estudia en [-jt, ji].

v ' es negativa en (-Jt, -n /2 ) U (Jt/2 ,Jt), positiva en (-Jt/2 , n/2) y nula en ± Jt/2. v" es positiva en (-Jt, a) U (P, Jt), negativa en (a, P) y nula en a y en p donde

V ? - 1 2a = are sen - - r e

teniendo mínimo en (-Jt/2 , 1/e), máximo en (n/2, e) e inflexiones en los puntos de abscisa a y p. Carece de asíntotas pero se aleja en la dirección horizontal (fig. 4)


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R e p r e s e n t a c i ó n F / 1 4g r á f i c a

fix iH x * o \> n ,x = o V j 7

Fig. 3 - Gráfica de y = ——V *

Fig. 5 - Gráfica de y - x + 2 arcotgx. Fig. S - Gráfica de y = eos* - eos2*


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CÁLCULO APROXIMADO DE RAÍCES DE ECUACIONES

Una vez hallados los Intervalos en los que la ecuación Ax) = 0 tenga solución única (separación de raíces) hay diversos métodos para resolver aproximadamente la ecuación. Si fe s continua en un intervalo [a, b] de su dominio, y tía) • f(b) < 0, el Teorema de Bolzano (D/2) nos asegura la existencia de una raíz en (a, b). Si f'ix) es siempre positiva o siempre negativa en [a, b\ tal raíz será única. El propio Teorema de Bolzano nos proporciona un método para hallarla, aunque los hay menos lentos.

Método de las cuerdas (o de las partes proporcionales)

Si a es la raíz única de Ax) = 0 en [a, b], reemplazando la curva y = Ax) por la cuerda desde (a, f{a)), hasta (b, f(b)) se obtiene (fig. 1) la primera aproximación

X i = a - i b r W ( b~ a)'repitiéndose el procedimiento en aquel de los intervalos [a, x ,] , [x1; b] en cuyos extremos f tome valores de signo opuesto. Él error absoluto a - xn de la enésima aproximación puede acotarse por

donde m es el mínimo de la derivada f'(x) en la, b], supuesta existente y no nula.

Método de Newton

Si f'{x) # 0 y f"(x) 0 V x e|a , b] cumpliéndose f(a) ■ f(b)< 0 y además Aa) ■ f'(a) > 0, se pueden hallar aproximaciones sucesivas mediante

Axn)x0 = a ,x n+1 = x n - — .

A este método se le llama también el de las tangentes, pues se reemplaza la curva por las tangentes en los sucesivos puntos (x„, Ax,,)) (fig. 2 ). La última condición exigida, fia) ■ f ' ( a ) > 0 (o bien fib) ■ f “ (b) > 0 ) nos asegura la mejora de la aproximación. Puede verse un contraejemplo en la figura 3. El error absoluto se acota como en el Método de las cuerdas. A menudo

fixn)fia )

Método de iteraciónSi k * 0 los x que cumplan Ax) = 0 son los mismos que satisfacen x = x - k ■ Ax), con lo que estamos intersectando y = x con y = x - k ■ Ax) en vez de cortar y = 0 con y = Ax), tal como hacíamos anteriormente (fig. 4). Si se toma A: tal que |1 - k ■ f'(x) \ sea pequeño en un entorno de xn (en particular si 1 - k ■ f ' (x0) = 0) , se tienen las sucesivas aproximaciones

XfH-1 = x n ~ k ’ Axn)• Ejemplo. Resolver aproximadamente la ecuación x2 - 2 Inx - 3 = 0.La representación gráfica (fig. 5) nos muestra la presencia de una raíz en (0, 1) y otra en (2, e). Hallaremos esta última.Por el método de las cuerdas es

x0 = 2 , x , = 2 - (e - 2,1 ) = 2,118,

x3 = 2 ,121, x4 = 2, 122, x5 = 2, 122, valor que tomaremos ya al haberse estancado la sucesión. Como en [2, e]

2(x2 - 1f'ix) = - , ^ 1 L < 6 ,39,

x ~ 2el error se puede acotar por

Q-°018 < 0 0003 6,39 6,39 U'UUUJ-Por el método de Newton (simplificado) tenemos

f 'ix ) = 2 (x2 - 1)/x, f “ (x) = 2 (x2 - 1)/x2no nulas en [2, el. Además A2) ■ Ae) < 0,A2) ■ f" (2) < 0, Ae) ■ f “(é) > 0 , por lo que será

Ae)x0 = e=2,718, x , = e - y p - = 2 ,21,

«2 ,21)x2 = 2,21 - -f'(é)

f ‘(e)

- = 2,146, x3 = 2,129,

x4 = 2,124, x5 = 2,122, x6 = 2,122 mientras que por el método no simplificado es

Ae)x0 = e, x,

f'ie)“ 2,21,

-•>11 ñ2'21)X¿ ' «'(2,21) “ 2,125,

más sencillo y de una exactitud similar.

X , = 2,122, x 4 = 2,122.Por iteración, si hacemos 1 - k ■ f'(2) = 0 obtenemos k= 1/3, por lo que la sucesión es

xo = 2 Xl = 2- —jjp- — 2,128

x 2 = 2 ,1 2 8 - 2,122

X3 = 2 i 1 2 2 _ « M 2 2 ) • 2 , 122 .


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S o l u c i o n e s c / 1 q a p r o x i m a d a s ' 1 b

Fig. 3 - * i sería una aproximación peor que x0.


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I n t e g r a c i ó nINTEGRAL DEFINIDASea fuña función acotada en [a, b] y a = x0 < x , < .. . < xn = h una subdivisión del intervalo [a, b]. Si tomamos n puntos t¡ e [x^ , x¡¡ la suma 2 Ht¡) (x¡ - x M) se dice que es una suma integral de fen [a, b]. Cada valor Ht¡) (x ¡ - x M) representa el área de un paralelogramo (fig. 1), tomada negativamente si Ht¡) < 0.Si existe límite de las sumas integrales cuando n tiende a infinito de tal manera que la mayor de las diferencias x ¡ - x¡_-¡ tienda a 0, recibe el nombre de integral definida de f entre a y b, diciéndose también que fes integrabie-Riemann en [a,b] (aunque en adelante diremos integrable, simplemente). La integral definida se denota

, Hx) dxy se interpreta como área de la región limitada por y = f(x), y = 0 , x = a y x = b (fig. 2 ) cuando Hx) > 0 en a, b, y como suma algebraica de áreas si el signo de fvaría, computando negativamente las figuras bajo el eje (fig. 3).• Ejemplo. Hallar el área limitada por x = 0, x = k , y = 0 e y = e x.Dividamos el segmento [0, k] en n partes iguales

~k 2 k "0 , - n . k A k

n n

lim k k — e° + en + .. n '

k 1 - e*

+ e~

lim 1 rk

- eK

luego

•k - 1,

e* dx = ek - 1.

Propiedades de las funciones integrables

(f + g)(x) dx = Hx) dx + g(x) dx.

a ■ Hx) dx = a ■■b

Hx) dx = -

bHx) dx =

1 b

Hx) dx V a e R.

Hx) d x .

Hx) dx +

Hx) dx = 0.

Hx) dx .

a ■ dx = a • (6 - a).

_n ny tomemos t¡ como el primer punto de cada subintervalo. La suma integral es

f A km = 1 n 6 n

con lo que el área es

Si Hx) < g(x), es í ba Hx) dx < j ba g(x) dxProposición. Si f es continua en [a, b] también es integrable en [a, b].Proposición. Si fes discontinua tan sólo en un número finito (o infinito numerable) de puntos de [a, b], fes integrable en [a, b].Primer teorema del valor medio. Si f es integrable en [a, 6], existe X tal que

fbI a Hx) dx= X ■ (b - a).

donde inf fen [a, b] < X sup fen [a, b]. Además, si fe s continua en [a, b], existe c e [a, b] tal que X = He) (fig. 4)AI valor X que aparece en el teorema,

IbX = -

1Hx) dx,

se le llama valor medio de la función fe n el intervalo [a, b}. Esta noción, que promedia los infinitos valores de fen el intervalo, generaliza de manera natural el concepto de media aritmética de un número finito de cantidades.• Ejemplo. Si para hallar la media de Hx) = x2 en [0, 1] promediamos sus valores en 0, 1 obtenemos

O2 + (ir)2 + ■■■ + (Ar)2 + I 2n+ 1n + 1 bn

valor que es diferente para cada n. Si n tiende a infinito, el valor límite es 1/3, el mismo que se obtiene buscando la X del teorema precedente.Segundo teorema del valor medio. Si f y g soncontinuas en [a, b] siendo g positiva decreciente, existe c e (a, b) tal que

'b fea Hx) g(x) dx = g(a) Hx) dx.

Teorema fundamental del cálculo integral. Si fes integrable en [a, b], la función integral

F (X ) ■ Ht) dt

es continua en ja, b] y además, si f era continua en x0, Fes derivable en x0, siendo F(x0) = f(x0). Regla de Barrow. Si fes integrable en [a, b] y G es una primitiva de f, es decir, una función tal que G'(x) = Hx), se tiene

Hx) dx = G(b) - G(a)IDebe señalarse la importancia de esta última propiedad, pues permite calcular integrales definidas mediante primitivas de las funciones y ya no como límite de sumas integrales.Es usual denotar G(b) - G(a) = [G(x)]b.


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I n t e g r a l , , , d e f i n i d a

Fig. 4 - El área encerrada en la figura de la izquierda coincide, según el teorema del valor medio, con la de un rectángulo con la misma base y cuya altura (valor medio) es el valor de la función en cierto punto del intervalo.

INTEGRACION61

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I n t e g r a c i ó n

CALCULO DE PRIMITIVASSi Fes una primitiva de f, es decir, F= f, las restantes primitivas se obtienen (según se dijo en E/5), sumando a F cualquier constante C. El conjunto de primitivas de f se denomina integral indefinida de f y se denota

j Hx) d x ,por lo que, si Fes una primitiva de f, pondremos

j (fx) dx = F(x) + C.El conocimiento directo de las derivadas conlleva el conocimiento de la integral indefinida en sentido contrario. Estas integrales directas se hallan recogidas en la tabla adjunta. Por otra parte, la derivación de función de función —o regla de la cadena— , nos permite considerar como inmediatas las integrales recogidas en la tabla de la página siguiente. Puden ya integrarse numerosas funciones con estas tablas y las dos reglas que siguen:

j (f + g)(x) dx = \ fx ) dx + \ g(x) dx,\ m ■ t\x) dx - m J fx ) dx V m <= R.

• Ejemplos.

(3x5 + 7x + 2) dx = 3 — + 7 — + 2x + C.6 2

3 \Vx"- 2x \/x + 4dx =

í 3_ 2: i .= J (3x5 + 2x5 + 4) x ¡ dx -f -17 5 2_

= J(3x >5-2x6 + 4x > )dx =

1 3 - 4 - 6 J l . X= 3 — x 15 - 2 — x 11 + 4 ■ 3 • x ! + C 8 11

7x ■ dx = — 2x ■ (x2 + 1) 2 dx —

V V + 1 2 ■7 3 2.= — — • (x2 + 1) * + C.2 2

V arcsen x ,------------dx =1 - x2 V I

- (arcsen x )1/2 dx =

2 4= — ■ (arcsen x) 7+ C.3

ln2x , f 1 . , , (lnx):i dx = \ — (Inx)2 dx = — + Cx ¡ x 3

1 + xb dx = 7 1TVTV)2 dx " I arctg xJ + Cx2+ 1 1 í 3x2 + 3 ,- dx = — — ------— dx =x ! + 3x - ! 3 J x* + 3 x - 5

- 1n|x3 + 3 x - 5| + C.

dx = ■ dx = I n 11 n x ] + C.

e*V i - e2x

dx = arcsen e* + C

ch(5 + x / x ) = 2 1

1

x V l + ln2x

2 V x = 2 sh v 'x + C.

■ dx -

ch(5 + x/x ) dx --

V i + (Inx)2- dx =

- arcsh (Inx) + C.

4iRx 4tgxdx = i— — + C.cos2x In 4

senx ■ cosxdx =

tg*• dx ■-

In |tgx¡ + C.

1-dx =

V x - x 2 J V x V i - x1 ■ dx :

= 2_l__2 V x

V1 “ (v 'x )2■ dx = 2arcsen x/x + C.

7 ; 7*-'- f - dx = 2 ■ 7'-' dx = 2 -j—— + C. 71-* J In 7

tgx dx = | senx dx = - f Sg— dx = cosx J cosx= -In jcosxj + C.

dx= 1ex

ex + 1 ”” J V e" + 1 = x - In (1 + e*) + C.

dx =

lsen2T dx = l1 - cosx dx =

x senx + C.


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C á l c u l o F . p de p r i m i t i v a s

Fig. 1 - Pierre de Fermat (1601-1665). Fig. 2 - Charles Hermite (1822-1901).

senx dx = -cosx + C

j e ,cosx dx = senx + C

- dx = -cotgx + C

- dx = secx + C

- dx = cosecx + C

shx dx = chx + C

chx dx = shx + C

ch2x dx = tghx + C

y/xi + 1dx = argshx + C

— 1-------dx = argchx + C

r dx = argtghx + C

Fig. 3 - Integrales directas.

INTEGRACION63

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓNSi se hace x = g(t), donde f es una variable nueva y g derivable, se tiene

j Ax) dx = \ Agit)) ■ g(t) ■ dt teniendo el método interés cuando se aplica de tal manera que la segunda integral sea más fácil que la primera. Una vez resuelta, se hace f = g~1(x) para retornar a la variable inicial. Las integrales inmediatas de la tabla contigua son en realidad cambios de variable que por su sencillez se efectúan mentalmente.La diferencial en un punto a de una función derivable f es la aplicación lineal que hace corresponder a cada h (o incremento de x, Ax) el incremento de la ordenada de la tangente en (a, A a)) al pasar al punto de abscisa x + Ax, o sea df= diferencial de f = f‘ (x) • Av en cada punto, y como dx = Ax, será

df= f ‘ (x) dx.

El lenguaje de la diferenciación se usa habitualmente, pues se diferencia x = g(f) cuando con tal cambio quiere resolverse una integral.

• Ejemplos. La integral / = — C0S X dx puedeV se n x

resolverse haciendoz = senx, dz = cosx dx;

/ = cos2xV se n x

cosx dx = 1 — z2V i

dz =

“ T _ dX:1 7

:2 Z ? - 2-s_

¿?+ C =

= —— V se n x [4 + cos2x] + C.

9 x x V 9 - x2— aresen — + + c

En la integral K = j x (3 x - 4 )17 dx hagamos

3x - 4 = v ; 3 dx = d v ;

[ v + 4 dv 1 fK- J — ~ = ~g~ J + 4W'7) rfv =

1 r U9 v1 8 1+ C =i + 4 —9 L 19 1?

[9v+ 38] + C = ( V Í l l ! _ y Z í± 2 ) c8 1 -1 9 1539 L -

Naturalmente, puede suceder que una misma integral sea resoluble por distintos procedimientos, y entre ellos diversas sustituciones.

CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRAL DEFINIDA

Al hacer una sustitución los límites de integración deberán modificarse de acuerdo con el cambio hecho. Si hacemos x = g(t), siendo a = gdd, b = g(t2),

’b [ 12| Ax) dx = J 0 fAg(t)) ■ g'(f) d t.

• Ejemplo. Al hacer x = 2 sen í es 0 = 2 sen 0,

2 = 2 sen - j— , teniéndose

x3 V 4 - x2 dx =

La integral

i = J V~"9~haciendo el cambio

x2 dx

x = 3 sen f, dx = 3 eos dt, t = aresen —— se

transforma en

J = | V 9 - 9 sen2f ■ 3 eos f ■ di = j 9 eos2f dt que se resuelve mediante la identidad trigonométrica que da costa partir de eos 2 f, pues

7 = 91 + cos2f , 9 9— dt = — f + — sen 2f + C =

8 - sen3f ■ V 4 - 4sen2f • 2 cost ■ dt =

= 32 (1 - eos2f) eos2f • senf ■ d t--

■32 cos3t eos5t l * 72 6415

Debe prestarse atención al dominio del cambio. Por ejemplo, no puede hacerse J 3 V f ^ x 7 dx con x = sen t, pues sen t varía en [-1, 1] y x lo hace en [0, 3].


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Cá l CUl O r / n de p r i m i t i v a s

Fíg. 1 - John Wallis (1616-1703).

Fig. 2 - Isaac Barrow (1630-1677).

f'(x) [f(x))"dx J - M l C L + c (n í 1) n + 1

fix)dx = ln|/(x)| + C

f'tx) • e/*x) dx = + C

f\x ) ■ a*»1 rfx = + c ____________ Ina

f'(x) sen fx ) • dx ■= -cosfx ) + C

f'(x) eos /(x) • dx — senfx) + C

ü i dx=,sfa, + c

? t y - dx = -cotgfx) + C sen¿x

H*> -senm . dx = s e c W ±eos-?7Ü) C

C

f fo- 7 dx = a resen fx ) * C.VJ . ~ (W

, f ^ F rfx = arOg/ix)+ C

_Qx)fa )V (íx ))2 - 1

dx = arcsec/tx) + C

f'(x) • sh/(x) • dx = ehfx) + C

f'(x) • eh/íx) • dx = shfx) + C

¿ J | L < íx = tSh/ix) + Ceh2fx)

^ dx = argsh/tx) + CV(«x))2 + 1

■ ^ — dx = argeh/tx) + CV(/íx))2 - 1

dx = argtghrtx) + C1 - [ftx))2

Fig. 3 - Integrales inmediatas.

INTEGRACIÓN65

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INTEGRACIÓN POR PARTESLa fórmula de integración por partes \ Hx) ■ g (x ) ■ dx = f(x) ■ g(x) - j f (x ) ■ g d x) ■ dx puede usarse cuando(a) la función que se desea integrar se pueda concebir como producto, de tal modo que(b) a un factor se le pueda hallar una primitiva, no complicadamente, y(c) tal primitiva y la derivada del otro factor proporcionen una integral más sencilla que la anterior.• Ejemplos.La Integral A = ¡x cosx dx puede resolverse haciendo

f= x, g = cosx, con lo que f = 1, g = senx, y es A = x senx - j senx • dx = x senx + cosx + C.

Cuando una función que se desea Integrar tiene derivada sencilla es a veces conveniente Integrar por partes, usando como segundo factor un 1. Por ejemplo, la integral

\ Inx dx se resuelve haciendo

Hx) = Inx, g (x ) = 1

con lo que f ‘ (x) = — , gfx) = x y será

E = x Inx - j 1 • dx = x Inx - x + C.

La Integral 8 =

haciendo

InxV *

dx puede resolverse

f= Inx, g = M x f x ,

con lo que f = — , g = 2 x /x , siendo

B = 2 x /x Inx

1

12 x/x dx =

= 2\ / x ln x - 2 dx = 2x/x Inx - Ax/x + C. (

La Integral D =

partes, haciendo

— dx puede solucionarse por 2*

En algunas ocasiones la aplicación reiterada del método conduce a ecuaciones en la Integral que se busca. Por ejemplo, en

F = j sen Inx ■ dx

Hx) = sen Inx, g'(x) = 1, f ‘(x) = ■— eos Inx,

g x ) = x;

F = x sen Inx - j eos Inx dx

y si para esta última ponemos

/j(x) = eos Inx, g 'i(x) = 1,

f \ (x) = - — sen Inx, g ,(x) = x,

llegamos a

F = x sen Inx - x eos Inx - J sen Inx dx,

por lo que, , xsen In x - x e o s Inx

sen Inx dx = -------------- -------------+ L .

Hx) = x2, g (x) = 2* '

con lo que f'(x) = 2x, gfx) ■-1

2X ■ In2 '

D--- x 2

2* dx.

La integral haciendo

con lo f'(x)

x aresenx dx puede resolverse

Hx) = aresenx, g (x) = x, 1

2* ■ In 2 In 2 Resolviendo esta nueva integral por partes

12 x '

1

v T "x2

- , g x ) = — - ,

G =f , ( x ) = X , g j (x ) = -

x^aresenx

f iM = h g x ) = 572* In2

o x / T ^ x 1= dx =

cos2f f-sení dt)

D = 2x2* Inx 2* • ln22 ln22

- x 2 2xdx =

2X In 2 2X • ln22 2X ln32

2X

+ C.

2 2 lx /2 sent(tras haber hecho el cambio x = cosí en la última integral),

[ f - V sen 2 f

ATLAS DE MATEMÁTICAS6 6

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A r q u í m e d e s

Cuadratura de la parábola

Espiral de Arquímedes

íedá dentada

Arquímedes (287-216 a.C .), uno de los mayores sabios de la humanidad, precursor del cálculo integral (método de exhaución), descubridor, entre otras cosas, de la Ley de la Palanca, del Principio de Empuje, de los volúmenes de los sólidos de rotación, inventor del tornillo sin fin, y de la rueda dentada. Se mostraba tan satisfecho de haber establecido la proporción de volumen entre una esfera y un cilindro circunscrito que la hizo esculpir en su tumba, posteriormente descubierta por Cicerón.

INTEGRACIÓN67

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INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

Resolveremos la Integral P[x)Q(x) dx donde P y

Q son polinomios. Supondremos que el grado de P e s estrictamente inferior al de Q (si no, dividiendo, P(x) = Q(x) ■ c(x) + R(x) y J P/Q = j c + J R1Q) y que el coeficiente de mayor grado de Q es 1 (si no, se le saca de factor común fuera de la integral).Caso I. Las rafees de Q(x) son reales y simples:

Q(x) = ( x - a ,) ( x - a2) • . . . ■ ( x - an).P(x) A , A2 A„Pongamos = ---- — + — — + .. . + — ,

Q(x) x - a1 x - a2 x - an

donde A-¡, A2, . . . , An son coeficientes indeterminados; tras hallarlos, será

dx = ■ dx =

Ejemplo. Hallar / =x* - 2x2 - 5x + 6

dx.

x3 - 2x2 - 5x + 6 = (x - 1 )(x - 3)(x + 2),B C

algunas son múltiples:Q(x) = (x - a, )mi • .

Pondremos

^ x> _ ^ 1.1 , A \.i

Q(x) ( x - a , ) ( x - a , ) 2

. A2.\ , ^2.2

' (x - ar)n

M.roi( x - a ,)mi

(x - a2) (x -' a2>2 ++ .. . +

"2,m2

+ ..

( x - a2)m2

A r,mr

Pix)Q(x)

= A , In |x — a ,| + .. . + A „ ln |x — a„| + C.Para encontrar A ,, . . . , A„, al sumar las fracciones se obtiene

FXx) = A , (x - a2) ■ .. . • (x - a„) ++ A2(x - a-])(x - a:!) ■ .. . ■ ( x - a„) + .. . +

+ A n( x - a,) • . . . • ( x - an_,), pudiéndose igualar cada coeficiente de P(x) con el del mismo grado del polinomio de la derecha, efectuando previamente los productos y sumas indicados. También es posible dar a x, en ambos miembros de la igualdad, tantos valores como coeficientes haya que determinar, obteniéndose nuevamente un sistema. Sin embargo, en este Caso I, lo más rápido es dar a x los valores a-¡, . . . , an.

4x2 — 12x — 10

4x2 - 12x - 10 A _____________ _x3 - 2x2 - 5 x + 6 x - 1 + x - 3 + x + 2 '

4x2 - 12x — 10 = A(x - 3)(x + 2) +

+ B(x - 1 )(x + 2) + C(x - 1 )(x - 3). Haciendo sucesivamente x = 1, x = 3, x = -2 , obtenemos, -18 = -6A , -10 = 10B, 30 = 15C o sea A = 3, B = -1 , C = 2 , por lo que

/ = 3 In|x — 1 1 — In¡x — 3 1 + 2 ln |x + 2|+ C

Caso II. Las raíces de Q(x) son reales, pero

(x - ar) (x - ar)2 ( x - ar)n

una vez hallados los coeficientes indeterminados A ¡i bastará tener en cuenta que si m * 1

A , Aí dx = -

J =

(x - a)m (1 - m)(x - a)m Ejemplo. Resolver

3x5 - 2X4 - 23x3 + 3x2 + 7 2 x + 28

+ C

dxx6 + x5 - 10x4 - 8x3 + 32x2 + 16x - 32El denominador se descompone en (x - 1) (x — 2)2 (x + 2)3 por lo que escribiremos

3xs - 2X4 - 23x3 + 3x2 +72x + 28 A x6 + x5 - 10x4 - 8x3 + 32x2 + 16 x - 32~ x - 1 +

B C D E Fx - 2 ( x - 2 )2 (x + 2) (x + 2)2 (x + 2)3 '

Efectuando la suma de fracciones e igualando numeradores, tendremos

3xs _ 2X4 - 23x3 + 3x2 + 72x + 28 == A (x - 2)2 (x + 2)3 + 8 ( x - 1) ( x - 2) (x + 2)3 + + C(x - 1) (x + 2)3 + D(x - 1) (x - 2)2 (x + 2)2 +

+ E(x - 1) ( x - 2 ) 2 (x + 2) + F(x - 1) ( x - 2 ) 2. Dando a x los valores 1, 2, -2 , 0, -1 , -3, obtenemos, respectivamente,

81 = 27A, 64 = 64C, -48 = -48F,28 = 32A + 1 6 6 - 8 C - 1 6 D - 8 E - 4 F ,-23 = 9A - 6B - 2 C - 18D - 1 8 F - 18F,

-427 = -25A - 20B + 4C + 100D ++ 1 0 0 F - 100F.

sistema cuya solución es A = 3, B - D = 2, F = -1 , F= 1, por lo que

-2, C = 1,

1I = 3 ln |x - 11 - 2 In |x — 2[ - ( x _ 2)2

1+ 2 ln |x + 2 1 +x + 2 2(x + 2)2

+ C


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B o n a v e n t u r a C a v a l i e r i F / 5

Fig. 1 - Bonaventura Cavalieri (1598-1647) enunció el principio según el cual tienen igual volumen sólidos cuyas secciones por cada plano de una familia de planos paralelos tengan igual área.

es decir: nR2 2 R - ^ x R 2 2R = y nR3 .

INTEGRACIÓN69

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I n f e g r a c i ó n

Caso III . Q(x) tiene algunas raíces imaginarias, pero simples.Si a + bi es una de tales raíces, también lo es a - bi, por lo que producen un factor primo ((x - a)2 + b2) (b * 0) en la descomposición; a tal factor se le asocia una fracción

M x + N( x - a ) 2 + b2 '

que se añade a las descritas en el Caso II, siendo M y N coeficientes indeterminados, Para integrar se aplica la fórmula

M x + N . M . „ , , , , ,— dx = — ln ( ( x - a )2 + b2) +(x

Arla + N x - • arctg -b 6 b Ejemplo. Hallar la integral

8x3 - 47x2 + 129x-

- + C

K--170

dx.

4 ± V i 6 - 52 = 2 ± 3/

por lo que la descomposición será 8x3 - 47x2 + 1 2 9 x - 170

x4 - 9x3 + 39x2 - A B

89x + 78 C x+ D

x - 2 x - 3 ( x - 2)2 + 32Efectuando la suma de fracciones e igualando denominadores, obtenemos

8x3 - 47x2 + 1 2 9 x - 170 == A(x - 3) (x2 - 4x + 3) ++ B(x - 2) (x2 — 4x + 13) ++ (Cx + D) (x - 2) (x - 3) =

= (A + B + Q x3 + (-7 A - 68 - 5C + D)x2 ++ (25A + 218+ 6 C - 5D)x + (-39A - 268 + 6D). Igualando coeficientes se halla un sistema cuya solución es A = 4, B = 1, C = 3, O = 2, con lo que tendremos

/C = 4 ln |x — 2 1 + ln |x — 3 1 +

+ ~y ln (x2 - 4x + 13) + - j- arctg * - 2 + C

Caso IV. Q(x) presenta alguna raíz imaginaria múltiple.Aunque es posible utilizar un procedimiento semejante al del Caso II, es preferible aplicar directamente el llamado Método de Hermite (que, por otra parte, puede usarse también en los casos II y III). Si

Q(x) = ( x - c ,)mi • . . . ■ ( x - cr)mr-• [ ( x - a , ) 2 + b ^ i- . . . • [ (x - as)2 + b |" s.

designemos

Q i(x) = ( x - c ,)mi - 1 • . . . • ( x - c r)mr —1.• [ ( x - a , ) 2 + ¿>2]ni—1 • . . . • [(x — as)2 + bgAr1.

Poniendo

x4 — 9x3 + 39x2 - 89x + 78 Halladas por el método de Ruffini las raíces 2 y 3 del denominador, se tiene

x4 — 9x3 + 39x2 - 89x + 78 == ( x - 2) (x - 3) (x2 — 4x + 13)

siendo las raíces de este último factor

m

Q MPÁx)

LQi(x)A jX + 8,

- a-¡ x - ar A cx + Bc

(x - a ,)2 + b\ ( x - as)2 + b2 'S donde P^x) es un polinomio de coeficientes

indeterminados de grado inferior en una unidad de Q](x); bastará hallar los coeficientes por los métodos ya descritos e integrar término a término.

• Ejemplo.

Resolver la integral indefinida W de la función x®-6x7 + 6x6-1 2 x5-1 2 x4 + 27x3- 31x2 + 6x + 5

(x2 + 1)3 (x + 2)2 ( x - 1)

La fracción racional p(x)q(x)

que deseamos inte

grar, la descompondremos de la formap(x) _ q(x)

Ax4 + 8x3 + Cx2 + D x + E

F

(x2 + 1)2 ( x - 2)

C M x + Nx - 1 x - 2 x2 + 1

Una vez efectuada la derivada, se suman las fracciones; igualando numeradores se obtiene un sistema de ecuaciones en los coeficientes cuyas soluciones son A = 1, 8 = C = D = 0, E = -1 , F = 2, C = -1 , A4 = 3, N = 2, por lo que

x4 - !tv= (X2 + 1 )2 (X - 2)+ 2 ln |x — 1 1 - ln |x — 2 1 +

+ — ln(x2 + 1) + arctgx + C.


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J o h a n n e s p # c H e p l e r h / b

Fig. 2.

Fig. 1 - Johannes Kepler (1571-1630). Fig. 3.

~ eP*er estableció que los planetas describen órbitas elípticas (arriba) barriendo áreas iguales en tiempos iguales (fig. 2). Fue observando el planeta Marte como descubrió (fig. 3) que es la elipse la que posee tal propiedad. Estudió también los volúmenes de los cuerpos engendrados al girar sobre la cuerda un segmento circular, a los que llamó citriformes o meliformes (limón y manzana), según girase la porción menor o la mayor (fig. 4).

INTEGRACIÓN71

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INTEGRALES TRIGONOMÉTRICASI. Para resolver integrales de las formas

J sen ax ■ eos fax • dx, ¡ sen ax • sen fax • dx

y j eos ax ■ eos fax • dx,

se utilizan las fórmulas

senax • eos fax = y (sen (a + b) x + sen (a - fa) x),

senax ■ senfax = — (eos (a - fa) x - eos (a + fa) x),

1cosax • cosfax = y (eos (a + fa) x + eos (a - fa) x).

tg r-1- - x + C.

La integral I - 12 + 3senx+2cosx dx mediante el

cambio t = tg y se transforma en

1 1df = T ln|1 + 3f| + C :1 + 3f

1 ln|1 + 3 tg — | + C

Ejemplo.

sen7x • sen3x dx = — (cos4x - cosí Ox) dx -

= sen4x - senl Ox + C o 2 U

Este método general conduce frecuentemente a cálculos engorrosos. Veamos a continuación algunas alternativas para ciertos casos singulares.III. Si R(senx, cosx) = R(-senx, -cosx) , puede hacerse el cambio

II. Fbra resolver integrales de la forma j R(senx, eosx)dx,

donde R (senx, cosx) es una función racional (es decir, cociente de polinomios en las variables senx y cosx), se utiliza el cambio

y = tgx (o sea, x = arctgy)con lo que

JL _

t = tg — (o sea, x = 2 arctgt)

V i -• Ejemplo.La integral

: , cosx = — ! = , d x = - ^ - 2V Í + y2 1 + X2

con lo que

2 1L =

1 + fi, COSX :

1 - t 2 1 + f2 , dx = 2dt

1 + f2 '

1sen2x + 3senx cosx - 4 cos2x ■ dx

transformándose la integral anterior en una racional en la variable f.

se transforma, haciendo t = tg — , en

•Ejemplos. La integral J =

L =senx1 - senx dx hacien- \

dt

do t = tg — tg se transforma en

J =

2t 1 + f2

+ 6f2 + 3 f - 2 mientras que al hacer y = tgx es

_ J d y _1 + y2

3y 4 r

2t 1 + f2dt =

1 -

4fdt,( f - 1)2 (í + 1) (

1 + y2 1 + y2 1 + y2

dy

1 + t2 : y2 + 3 y - 4 \ y _ 1 y + 4 - dy-

racional que se resuelve según vimos en F/5- F/6, siendo

2 2 \ —2, —-rr— =— 7~)dt = — — -2 a rc tg f+ C =,( í- 1 )2 f2 + 1 / f - 1 6

= y - ( ln |y - 11 - ln[y + 4| + C =

= -4- (In |tgx - 11 - In|tgx + 4| + C =


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I s a a c r / 7 N e w t o n 1 1

Portada de Principios Matemáticos de Filosofía Natural. Sistema solar

Descomposición de la luz

Isaac Newton (1642-1727), uno de los mayores genios de todos los tiempos, fue el creador (con Leibniz) del cálculo infinitesimal y descubridor de la naturaleza de la luz y de la Ley de la gravitación universal. Sus Principios Matemáticos de Filosofía Natural han fundamentado la ciencia moderna y sus métodos.

INTEGRACIÓN73

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IV. Si m, n e Z, pongamoslm n = j senmx • cosnx ■ dx

Esta integral se resuelve, en general, mediante recurrencia sobre m y n (fórmulas de reducción), lo que se obtiene integrando por partes o por métodos más singularizados, como los que se expondrán tras un primer ejemplo.• Ejemplo. lm o = lm = j senmx dx (m > 2), al hacer f(x) = se n ^ 'x , g'(x) = senx, cos2x = = 1 - sen2x nos da

lm = l(m - 1) /„_2 - cosx ■ senm-1x]/m.

Tras hacer 1 — sen2x + cos2x en el numerador por partes se obtiene una fórmula de reducción.

Ejemplo. ;5 ; dx sen2x + cos2x

=á +

sen5xcosxco sx------— dx =sen3x

dx =

sen9x11 - + C

IV b. Cuando m y n son pares positivos, se suelen usar las fórmulas

cos2x = (1 + cos2x)/2 , sen2x = (1 - cos2x )/2 senx ■ cosx = (sen2x )/2

• Ejemplo.

sen4x-cos2x-dx

1

'1 - cos2x z/1 + cos2xl2 / \ 2

(1 - cos2x - cos22x + cos32x) dx =

x sen2x x sen4x sen32x

IV e. dx,n 2 k + 1 ■y

dx

IV a. Cuando m (o n) es impar positivo, por ejemplo, n = 2k + 1, será cos2(í+,x = (1 - se^x)*• cosx por lo que el cambio f = senx racionaliza la integral (cosx = y si m es impar).• Ejemplo.} sen8x-cos3xdx= jsen8x- (1 -sen2x) - cosx • dx =

= j í»(1 - fi) dt = (P/9) - (f> V11) + C =

con lo que, integrando por partes,cosx 1 cosx 5 ,

5 3 4sen4x 4 3 4sen4x + 4pudiéndose proseguir la reducción.

dx =

8 16 16 16 ' 48 + C(Usando IV b en el tercer sumando y IV a en el cuarto).

IV c. Si m y n son ambos pares negativos, o ambos impares negativos, se usa directamente y = tgx (véase final de la serie F/7).IV d. Si m y n son pares de signo opuesto se hace y = tgx, o, eventualmente, se usa en el numerador sen2x + cos2x = 1 y luego y = tgx.

IV f. Si m y n son uno par positivo y el otro impar negativo, se utiliza en el numerador 1 = sen2x + cos2x para pasar a tipos anteriores. • Ejemplo.

1 d x -1 - cos2x

cos5x dx --dx dx

resolviéndose éstas según IV e.

IV g. Si m y n son negativos y de paridad opuesta, se pone en el numerador 1 = (sen2x + + cos2x)k de modo que 2k exceda o iguale el grado de senx y cosx en el denominador.

Ejemplo. dxsenzx ■ cos^x

(sen2x + cos2x)2

( cosx 2 sen2x \\sen2x CO SX cos3x /

sen2x • cos’x

dx

dx

que proporcionan tipos ya conocidos.

V. } tgnx dx y j cotgnx • dx son inmediatas para n = 1, 2 , y si n > 2. se separa del integrando

tg2x = 1 9 1 1 cotg2x = ---- 5-0 <;pn¿xCOS2X

obteniéndose grado inferior.

-1

Ejemplo.

tg3*

tg4x • dx =

tg2x dx =

tg2x-

tg3x

-1 dx =

tgx - x + C.

(reiterando el procedimiento).


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G o t í f r i e d W. F . B L e i b n í z h ' 0

Fig. 1 - Gottfried W. Leibniz (1646-1716) formuló, al propio tiempo que lo hacía Newton, los principios del cálculo infinitesimal.

Fig. 2 - Muchas de nuestras notaciones actuales, como dx o S (luego í), provienen de Leibniz. En la foto, una obra española de 1782 sobre los principios del cálculo diferencial.

Fig. 3 - Máquina calculadora de Leibniz.

INTEGRACION75

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INTEGRALES HIPERBÓLICAS E INTEGRALES IRRACIONALESIntegrales hiperbólicas

Puesto que sh x = e*- p -X pX .

, ch x = -----

el cambio y = e* nos da

sh x £ z i (Chx=. £ ± i , dx=^ y -2 2 y

por lo que cualquier integral de la formaj R(shx, chx) dx

será racional en y, con el cambio mencionado. Por otra parte, el comportamiento de estas funciones es análogo al de las trigonométricas, por lo que pueden usarse métodos paralelos a los descritos para aquéllas, utilizando

sh2x - ch2x = 1, shx ■ chx = - s^ x

sh2x = ch2x - 1 , ch2X :

Ejemplo, j sh2x • ch2x dx =

2

ch2x + 1 2

ch22 x - 1dx =

4 | ch2te . A _ J L , J _ ( £ « | ± J A ^ ,

■ 1 5 sh4” T - T * cdonde el método usado es el de F/8-IV b.

Integrales irracionalesI. Las integrales de la forma

v ex + di nk dx

donde m^/n1( . . . , mk/nk son fracciones irreducibles se hacen racionales con el cambio

\cx + d i

donde n es el mínimo común múltiplo de n1( . . . , nk. Si n = n; ■ a¡, será

i m l i/ax + ¿a ñ7 _ í ax + b \cx + di \ ex + d

mi g¡ i ni ai= yn¡ai, x =

b - dyn cyn- a

Un caso particular lo contituyenm¡ m¡ .

R¡ x, xñ., ...,xñ ) dx.

-_dx hacemos• Ejemplo. En / =

x + 1 = y6, con lo que x = y6 - 1, dx = 6y5 dy.

y6 - 1 6y5 dy = y9 ~ K3y - 1

dy =

¿ + j f + z + ¿ + / u c =9 8 6 5 4 /

= -6 (X+ 1)6 . (X+ 1)6 (X+ l ) 6+ o + . . . +9 8 4

II. Integrales } r (x , V a x 2 + bx + c j dx. II a. Si a > 0 el cambio

+ C

V a x 2 + bx + c = V a x + í conduce, tras elevar al cuadrado, simplificar y despejar x, a un racional en t.II b. Si c > 0 el cambio

V ax2 + bx + c = tx + V e proporciona una racional en í, tras elevar al cuadrado, simplificar y despejar.

II c. Cuando a < 0, c < 0, si esax2 + bx + c = a(x - a) (x - (5)

el cambio siguiente da una racional en t

x/ax2 + bx + c = V a (x - a) (x - (3) = (x - a) f

xEjemplo. Para hallar k =V x 2 + 4 x - 4

dx

haremos V x 2 + 4x - 4 = x + t, con lo quef2 + 4 , 8 í - 2f2 + 8 .

X = T— , dx = — — dt4 - 2 1 (4 - 2 f)2

f — f2 + 4 4 t - f2 + 4V x 2 + 4 x - 4 = x + f = ^ + t =

k =

4 - 2 f

t2 + 4 4 - 2f 8 f - 2 f2 + 8 rff_ J _

4 í — í2 + 4 (4 - 2 í)2 2

4 — 2f

í2 + 4

( í - 2)2 df =

4 - 2 f

= - y + 2 ln|f — 2 1 - 7 V T + c

donde haremos t = V x 2 + 4x - 4 - x.


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Ca r i F r i e d r i c h F . q G a u s s h / 3

Fig. 1 - Cari Friedrich Gauss (1777-1855), llamado Príncipe de los Matemáticos, es considerado como uno de los mayores genios de la humanidad junto con Arquímedes y Newton. Estudió las formas cuadráticas, la constructibi- lidad de polígonos regulares, la capilaridad, el magnetismo, la telegrafía, los mínimos cuadrados, la teoría de los errores... y en general tuvo influencia en todos los campos de la astronomía, la matemática y la física.

f

F'g- 5 - Capilaridad. Fig. 6 - El polígono de diecisiete lados también es construible.

INTEGRACIÓN77

Fig. 2 - Curvatura de las superficies.

Fig. 3 - Telégrafo Morse, al cual se llegó gracias a estudios hechos por Gauss, entre otros.

Fig. 4 - Curva de Gauss.

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II I . Las integrales P„MV a x 2 + fax + c

donde P„ (x)

es un polinomio de grado n, son subcaso de II; también puede ponerse

PnOOV a x 2 + bx + c

dx = P „ V a x 2 + bx +c +

dx

IV 1. Cuando p e Z, pues haciendo x n = í se pasa al tipo irracional I.

IV 2. Cuando m — 1 e Z, haciéndose entonces a + £>xn = M, siendo q el denominador de p.

m + 1IV 3. Cuando • - p e Z, haciéndose

V ax2 + bx + c

donde P „_ , es un polinomio indeterminado de grado n - 1, cuyos coeficientes se hallan derivando (a también).

ax“ n + b = W, siendo qe l denominador de p.

• Ejemplo. La integral á/i^ + V x~ (jx

Ejemplo. Para hallar K =

x3 + 1 V x 2 + r

x3 + 1V x 2 + 1

dx

dx hacemos

V^ 3puede escribirse de la forma

S = j x2 ( i + x4 ) 3 dx, tratándose de una binomia con

1

= (ax2 + bx + c) V x2 + 1 + i

m = —- ( 2

dx / por lo cjue

V x 2 + 1 = (1 + X 4 )

• p = — ;1 m + 1 =2,

que al derivar nos da

x3 + 1V x 2 + 1

= (2ax + b) V x2 + 1 +

+ (ax2 + bx + c) ■V x2 + 1 V x 2 + 1

con lo que, multiplicándolo todo por V x 2 +1,1 2 se obtiente a = y 6 = 0, c = - y a = 1

Por lo tanto,

x2 - 2

3— x 4 dx = 3 f2 dt, x 4 dx = 4t2 dt,4A

x 2 dx = x4 ■ x 4 dx = (í3 -1) • 4f2 dt, por lo que

4f7S = (f3 - D - 4 f 2 'd í = — - d + C,

donde sólo resta sustituir f= '’y /1 -1- V x 3.

K = -

x2 - 2

V x 2 + 1 + 1V x 2 +1

dx =

V x 2 + 1 + arg shx + C.

III'. Las integrales dx

(ax +(3)n V a x 2 + bx +ctransforman en las III con el cambio previo (ax + ¡3) = t -1.

IV. Las integrales llamadas binomias J xm (a + bxn)Pdx,

donde m, n y p son fracciones irreducibles, se integran elementalmente en los casos siguientes;

V. Las integrales } R\x, V a x 2 + bx + c j dx, si se escribe el radicando como suma o resta de cuadrados, se transforman en

V 1. j p(y, Vm2 - y2) dy

V 2. j R[y, Vm2 + y2) dy

V 3. j /?(y, V y 2 - m2) dy

que se pueden resolver, respectivamente, medianteV 1. y = m senz o y = m thz,

V 2. y = m tgz o y = m shz,

V 3. y = m secz o y = m chz.


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C á l c u l o r / i n i n t e g r a l * ' , u

Bernhard Riemann (1826- Augustin Cauchy (1789-1857)

Henry Lebesgue (1875-1941)

f'8- 1 - Personalidades del mundo de las Matemáticas, que, aparte de sus otras importantísimas contribuciones a esta ciencia, tuvieron especial papel en el desarrollo del cálculo integral.

i

INTEGRACION79

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APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL Áreas planasSegún vimos, la integral \a ftx) dx nos da la suma algebraica de las áreas de las regiones limitadas por la curva y = f(x), el eje de abscisas y las verticales x = a y x = ¿>, computándose como negativas las de las zonas bajo el eje, por lo que habrá de integrarse en cada intervalo en que f no se anule y tomar el valor absoluto del resultado.• Ejemplos. El área que encierran el eje y una semionda de y = senx es (fig. 1)

Josenx dx = -cosx = 1 + 1Jo

Hallemos el área entre x = 0,5 y x = 6 limitada por el eje de abscisas y la función

x3 - 8x2 + 1 7 x - 10 Ax) = ------------ r------------- .

debiendo restarse varias de estas expresiones si es necesario, por ejemplo, si los radios cortan en más de un punto.

• Ejemplos. El área de la elipse — +

usando la simetría (fig. 6),

, t , , = 1 es, a2 o2

S = 4 dx = nab

tras hacer x = a ■ cosí y usar F/8-IV b. Obsérvese que para a = b = r tenemos una circunferencia.

El área de la luneta limitada por las curvas y = x2 e y = x3 entre los puntos de abscisa 0 y 1 (fig. 4), es

1(x2 — x3) dx = V = 4 - .4 Jo 12 '

Como en [0,5, 6] la función corta al eje en los puntos de abscisa 1, 2 y 5 (fig. 3), hallaremos el área en cada segmento. AI ser primitiva de ffx) F(x) = x - 8 Inx - (17/x) + (5/x2) se tiene F( 1) - F(0,5) = -3,0451774, F(2) - F(1) = 0,204823, F(5) - F(2) = -0,280326, F(6) - F(5) = 0,046982, cuyos valores absolutos sumamos para obtener el área 3,5773084. En cambio

f 6Ax) dx = F(6) - F(0,5) = -3,0736984.

El área de una figura limitada por y = í(x) e y = g(x) y dos verticales x = a, x = b, será el valor absoluto de

El área A limitada (fig. 5) por las curvas y = senx e y = cos2x entre n/6 y 3tt/2, al haber un punto de corte intermedio en x = 5tt/6 la hallaremos mediante

[5rc/6| (senx - cos2x) dx =

= [-cosx-

y como [-cosx -

, 3 V T

sen2x n5lt/6 \ r i' 2 J*/6~ 2 '

sen2x ]3,t/2 _ 3 V T 2

3 V TJ Slt/6 4

9 V J - 4 = 2,897.

J (Ax) - g(x)) dx

calculada como diferencia de las áreas bajo ellas (fig. 2); del mismo modo se halla el área encerrada por las curvas si se cortan en puntos de abscisa a y b, teniendo en cuenta que si se cortan en puntos intermedios habrá que calcular varias integrales y sumar sus valores absolutos.Si la curva y = Ax) viene descrita paramétrica- mente por las ecuaciones x = a(f), y = p(f), la integral que nos da el área sería

| y dx = f p(f) • a'(f) • dt a J 'i

donde q y f2 son tales que c(q ) = a, o(t2) = b. En coordenadas polares, el área limitada por la curva r = /(cp) y los radios de argumento rp, y rp2 es

1 í^2— r2 ■ dcp ,J (Di

Si una circunferencia de radio r rueda sin deslizar sobre una recta, su punto de contacto inicial describe, hasta volver al eje, una cicloide (fig. 7), cuyas ecuaciones paramétricas son

x = r (t- sení), y = r(1 - cosí),con lo que el área encerrada es

t2nT = /(I - cosí) • ti 1 - eost) dt = 3nr2

'o(tras usar F/8-IV b)

El área encerrada por la cardioide

r= a( 1 + cosrp) (fig. 1 de F/12)

es 2 [~Y a2 ( 1 + coscp)2 d<f } = - y na2.


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Á r e a s p l a n a s F / l l

Fig. 6 - Área encerrada por ia elipse.

INTEGRACIÓN81

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Longitud del arco de curvaLa longitud del arco de y = Ax) comprendido entre los puntos (a, Aa)) y es (6, Ab)) es

V 1 + (y')2 dx.

Si la curva venía descrita por x = a(f), y = p(f) basta sustituir para hallar

L - f’2 V ( o '( f))2 + (p'(f))2 dt

donde o(t,) = a, o(f2) = b.En coordenadas polares, la longitud de r = A<p) entre los radios de argumento cp, y tp2 es

La sección a altura z (fig. 6) tiene área nab(c2 - z2)/c2

por lo que el volumen es

nab (c2 - z2) , 4 ~2 dz = y ju abe

fSi a = b = c = r sería una esfera.)

Volumen de cuerpos de revolución) Al girar la figura limitada por y = f[x), x = a, x =\ b, y = 0 en torno al eje de abscisas o al de orde-/ nadas, se obtienen cuerpos de volúmenes res-) Pectivos , ,b\ Vx = y2 dx, Vy = 2n\ xy dx.¡ I Ja

• Ejemplo. Entre 0 y 1 la parábola y = x2 gene-Ejemplos. ( ra a l g¡rar en torno al eje y un tronco de para-

La longitud del arco de la parábola y = x2 entre ) boloide de revolución (fig. 4), cuyo volumen es

L= r v cj(p.r')2 + r2

(0, 0) y (1 ,1 ) es

p = [ V 1 + (2x)2 dx. lo

iV„ = 2tt I x • x2 • dx = 27ü I 4 -*o

nT

con lo que, haciendo V i + 4x2 = 2x + t, como se vio en F/9-II a., se tiene p = 1,478929.

Al girar en torno al eje x, se origina un cuerpo trompetiforme (fig. 3), cuyo volumen será

Vx = k J’ (x2) cíx = k [ ^ ¿ = - ^ .

La longitud de la cicloide (F/11) es

,J 0f V r 2 ( 1 - cosf)3 + r2sen2f dt = J o

= 2 r sen — dt = 8 r. 0 2

La longitud de la cardioide (fig. 1) de ecuación ( r= a ( 1 + costp) es

L = 2 í V a 2sen2rp + a2 (1 + coscp)2 dtp =Jo

= 2 a [ 2 eos dtp = 8a.J o 2

Área lateral de una superficie de revoluciónAl girar alrededor del eje de abscisas el arco de la curva y = Jjx) entre (a, Aa)) y (b , Ab)) se obtiene una superficie de área

A = 2n í y V 1 + (y ')2 dx.J a

Si la curva viene descrita paramétricamente por ) x = o(f), y = p(f) con ofí,) = a, a[t2) = b, es;

A = 2tt f 2 p(f) V (a '(f ))2 + (p'(f))2 dt

• Ejemplos. El área A4 de la cinta generada por / y = x /x al girar entre 2 y 3 es (fig. 5)

Volúmenes por seccionesSi de cada sección de un sólido, paralela a uno de los planos de coordenadas, por ejemplo, el xy, se conoce el área Kz), el volumen entre z = a y z = b es f(z) dz, resultado claramente relacionado con el Principio de Cavalieri (F/5). • Ejemplo. Hallar el volumen del elipsoide

M = 2n \ y , . v 1 + _ J _ . d x = 10,405042. 4x

x¿ y¿ a2 + b2 := 1.

Las ecuaciones paramétricas de la esfera de radio r son x = r cosf, y = r senf, por lo que su área S es

A = 2 n ¡ r senf ■ V r2 sen2f + r2 cos2t ■ dt = lo .n

= 2nr2 - cosf = 4ftr2.

ATLAS DE MATEMATICAS82

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Fig. 1 - Cardioide.

L o n g i t u d . C á l c u l o c / i p d e v o l ú m e n e s

Fig. 6 - Volumen por secciones de un elipsoide.

INTEGRACION83

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Centro de gravedad. Teoremas de Pappus-GuldinLas coordenadas (xg, yg) del centro de gravedad de un arco de curva y = fíx) desde (a, fía)) hasta (,b, fíb)) son

rb _______ r b _______) „ x V 1 + (y')2 dx J a y V 1 + (y')2 dx

*g~ i ' Yg~ i

donde L es la longitud del arco.Las coordenadas (xg, y j del centro de gravedad de la región plana ae área 5 limitada pory = fíx), y = 0, x = a, x = b, son

f b 1 f b_¡_ í xydy

• S 1 y g -~, y2dx

Primer teorema de Guldin. El área de la superficie engendrada al girar un arco de curva plana en torno a un eje coplanario que no lo corta, es el producto de la longitud del arco por la de la circunferencia descrita por su centro de gravedad.Segundo teorema de Guldin. El volumen engendrado por rotación de una figura en torno a un eje coplanario que no la corte, es el producto de su área por la longitud de la circunferencia descrita por su centro de gravedad. Aunque en el caso general deberá hallarse el centro de gravedad mediante las anteriores fórmulas, a veces consideraciones sobre la simetría de la figura acortan notablemente el cálculo.

• Ejemplo. Una circunferencia C de radio r gira en torno a un eje que dista R de su centro (.R > r), engendrando un cuerpo llamado toro (fig. 1). Por simetría el centro de gravedad de círculo y circunferencia es el centro de C. El área lateral del toro y su volumen serán

A = 2nr (2reR) = 4n2rR,

V = n r2 (2nR) = 2n2r2R.

INTEGRALES IMPROPIASI. Si fíx) es continua en [a, +°°], definimos

r+» rrfíx) dx = lim fíx) dx,

¡ a r—y+cc Ja

integral impropia denominada convergente si el límite existe y es finito y divergente en caso contrario. Análogamente se definen

Ib f + “fíx) dx y J fíx) dx.

En particular, si para x —> » , fíx) es un infinitésimo de orden m, la integral í+“ fíx) dx converge si m > 1 y diverge si m < 1.

) II. Si f no está acotada en ningún entorno de c e [a, b] y es continua en [a ,c)(c, b], definimos

f fíx) dx = lim [ f fíx) dx + í fíx) dx] ,J a e—>0 U a J c+ e J

integral llamada convergente de existir y ser finito tal límite. Puede aplicarse la Regla de Barrow con cualquier primitiva de f, para x * c.Si, para x -» c, fíx) es un infinito de orden m, la anterior integral converge cuando m < 1 y diverge si m > 1.Las integrales de I y II son llamadas, respectivamente, impropias de primera y segunda especie, habándose de tercera especie en caso de concurrir ambas situaciones. Siempre valdrán: Criterio de comparación. Si | fíx) | < g(x) y converge la integral de g, también converge la integral de f. Si 0 < h(x) < fíx) y la integral de h diverge, también la de f.Criterio del cociente. Sea fíx) • gfx) > 0 y lim (fíx)/g(x)) = a , donde p = c en el Caso II, yX—>P

p = +co en el Caso I.a) Si a * 0, a * » , las integrales de fíx) y gfx) convergen o divergen ambas.b) Si a = 0 y la integral de g(x) converge, la de fíx) también.c) Si a = o» y la integral de g(x) diverge, la de fíx) también.

• Ejemplos. Inx • dx = lim Inx • dx =I 0 e-r0 > b

= lim [x • Inx - x] = -1e->0 L

por lo que es convergente (área en fig. 2).

lim£—>0

i:-dx

dx( x - 1 ) 2

dx( X - 1 ) 2 J 1+e (X — 1 )2 _

es decir, diverge (fig. 3).

f — - j- = lim [arctg x] = n ,J - o c 1 + X2 r-H-ce ~r

convergiendo, por tanto (fig. 5).

r dx : lim [in : +3°,

con lo que diverge también J dx (fig. 4).


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T e o r e m a s de G u l d i n . p / i g I n t e g r a l e s i m p r o p i a s

Fig. 1 - Toro. Fig. 2 - Área finita.

y = Inx

INTEGRACIÓN85www.FreeLibros.me


INTEGRACIÓN NUMÉRICACuando la integral í^/jx)dí no puede calcularse mediante primitivas, ni como límite de sumas integrales, se recurre a métodos de evaluación aproximada.Método de los trapecios. Consiste en subdividir el intervalo [a, 61 en n subintervalos

[X0, X ,], [x ,, x2], ..., [x „_ |, x„],de igual longitud 8 = x ; + , - x¡ = (b - a)/n

y en cada uno de ellos, poniendo = y¡ sustituir el arco de curva desde (x;, y¡) a (xí+1, yi+-¡) por la recta que une estos puntos. Sumando las áreas -con signo- de estos trapecios (fig. 1), se obtiene la aproximación

J^ x ) dx = 8 ( ^ 2+ Y* + y, + ••• + yn- 1).

Si M = máx|f"(x)[ en [a, b], el error absoluto, E, se puede acotar mediante

82E< — ( b - a ) M .

Para conseguir un error inferior a e habrá de

tomarse n > — — donde 8 se habrá tomado o1 2 epreviamente de modo que cumpla S2 <-^— ^ M

(2 ex• Ejemplo. Hallar A = I — dx con error inferior

a 0,015.

se tiene

_ /e*\» x2 - 2x + 2Como — = ---------------\ X / X

e * < 2 c 2

12 ■ 0 01 5en [1, 2], será S2 < -----^ -----= 0,0121, por lo

que podemos tomar 8 = 0,11, con lo que 1

n > 0,11 ■ 9,09, y bastará hacer n = 10. Será

Ík 5/(x) d x = y (T + 4 I+ 2 P ),

con error

f ■ w ( í , _ a ) ' N'

siendo N = máx | f v(x)| en [a, b}. Tomando

180c . b - aó 4 < - , n > -

351 eM\Í T +X + T T + T 2 + - +_ i ,9y

= 3,366719, con error inferior a 15 milésimas.

( b - a) N ' " ~ 5el error obtenido no excede e .

• Ejemplo. Hallar In2 con error inferior a una millonésima.Buscaremos, por el Método de Simpson,

>2 11 x

■ d x .

Como év(x) = 24 x-5 < 24, habrá de ser

S4 < 18CV , 1° 6 = 0,000075241

con lo que 8<0,093, n<~^~ =11/1 y tomaremosn = 12, 8 = 1/12 = 0,83, obteniendo los puntos x0 = 1, x , = 1,083, x2 = 1,16, x3 = 1,25 y así sucesivamente hasta x n = 1,916, x12 = 2. En este caso es y¡ = Mx¡, con lo que T = 1,5, / = 4,1488916, P= 3,428867

y es In2 ^ ° ' ° 8— ( T + 4/+ 2P) = 0,693147.

Método de Taylor. Consiste en desarrollar fi,x) por el método de Taylor hasta el grado n, e integrar término a término. Naturalmente, si acotamos por /Cel resto enésimo, tendremos un error e < K(b - a).

• Ejemplo.fi fi / x4 x8 t ,j e x 2 d x = J 1 + x 2 + ~ y f + ••■ + ~ ) d x -

1L 1 1(1 +T + T0 + - + 9 - 4 !

4!

I = 1,4618.

Método de Simpson. Consiste en reemplazar el arco de curva por arcos de parábola (fig. 3). Entonces, si n es par y

T = Y o + y n ' 1 = H + >á + + Y n - i /

P= y2 + y4+ ... + yn- 2

Como Rn = | p x i° en [0, 1 ] podemos acotar el

error cometido por

E < | j R n(x)| d x íS y y fg í— < 0,0021.


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I n t e g r a c i ó n c / i a n u m é r i c a

INTEGRACIÓN87

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SUCESIONES Y SERIES FUNCIONALES: DERIVACIÓN E INTEGRACIÓNProposición. Si { fn} es una sucesión de funciones derivables tales que {f '„ ) converge uniformemente a g en (a, b) y en algún x0 e (a, b) {f„(x0)} converge, entonces [fn] converge uniformemente en (a, b) hacia cierta f que, además, cumple f'(x) = g(x).

Proposición. Si {f„} es una sucesión de funciones integrables que convergen uniformemente a f en [a, b], entonces f es integrable y { J* fn(t)dt] converge uniformemente a j * Hfídt.

Proposición. Si 2 fn(x) es una serie de funciones derivables tales que 2 f'n(x) converge uniformemente en (a, b) y en algún x0 e (a, b) 2 fn(x0) converge, entonces 2 fn{x) converge uniformemente en [a, b] y (2 fn (x))'= 2 f ‘n (x).Proposición. Si 2 fn(x) es una serie de funciones integrables que converge a fen [a, b], entonces fes integrable en [a, b] y

’ rí>í{x) dx = 2 n fn (x)

3 Jadx.

(a)n!

(x - a)n

ao , V / , Knx u 7tnx \ y + 2 * (¿n cos ~ p — + bn sen — — J

cuyos coeficientes son

= y - | o W • cos ■ d x ,

A = y - | o /(x) • sen ■ d x ,

converge hacia fí.x) si fes continua en x, y hacia“r (lim Hx) + lim Hx)) en caso contrario. Losl *->0 x->0límites de integración 0 , 2P pueden sustituirse por k, k+ 2Pcon k <= R cualquiera.

Criterio integral para series numéricasProposición. Si f es positiva y decreciente en [1, +oo) la serie 2 Hn) converge si y sólo si es

.+00

convergente la integral j Hx) dx.

• Ejemplos. La serie de términos positivos decrecientes 2 n ■ 2~ n converge, pues

x In2 + T

Proposición. La suma de una serie de potencias 2 an (x - x0)n es derivable e integrable en su dominio de convergencia absoluta, siendo su derivada y función integral las sumas de las correspondientes término a término.

Series de Taylor

Entre las series de potencias tienen singular interés las de Taylor: si fe s infinitamente derivable en a, la serie

se llama serie de Taylor de fen a. Tal serie converge hacia Hx) solamente cuando la sucesión de restos enésimos tiende a 0. Cualquier serie de potencias convergentes es, precisamente, la serie de Taylor de su función suma.

Series de FourierCondiciones de Dirichlet. Si fe s una función de período 2 P, definida en [0, 2P|, salvo quizás en un número finito de puntos, tal que f y f son continuas en [0, 2 P] salvo (salvo en finitos puntos), entonces la serie trigonométrica (o de Fourier)

x ■ 2~* dx= lim1 r-»+o. 2*ln2 21 + In2 2 ln22

La función Hx) de período 2tt definida por y = x en l - n , ji] (fig. 1) tiene el siguiente desarrollo de Fourier, cuyos coeficientes han sido hallados mediante las condiciones de Dirichlet,

2 2 Hx) = — senx - — sen2x + ... +

+ — (-1 )n+1 sennx + ... n

El desarrollo en serie de potencias de arctg x es tedioso, pero como

(1/(1-x)) = 1 + x + x2 + ... + x" + ...

converge en |x| < 1, cambiando la variable por - x 2, e integrando, en (-1 , 1) será

11 + x2

= 1 — x2 + x + ... + (— 1 )nx2n + ...,

( - 1) .a r c t g x = x - — + — + - + - 2 n + 1


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S e r i e s t r i g o n o m é t r i c a s . r / i c F u n c i o n e s h i p e r b ó l i c a s l _ / , b

—5jj^—— -3;

Fig. 1 - Función periódica.

Fig. 2 - Joseph Fourier (1768-1830).

Fig. 4 - Los cables suspendidos por sus extremos adoptan la forma de una catenaria, que es la de los cosenos hiperbólicos.

INTEGRACIÓN89

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Ejercicio A/1-1. Demuéstrese que si la fracción racional p/q (p y q primos entre sí) es una solución de la ecuación polinómica a0 + a ,x + . . . + anxn = 0, donde cada a¡ es un entero, entonces p es divisor de a0 y q es divisor de an. Apliqúese este resultado para demostrar que V T , " V f y \ Í2 + V5"son números irracionales.Si p/q fuera solución, tendríamos a0 + a,(p/q) + .. . + an(p/q)n = 0, con lo que, multiplicando por qn, anpn + a ^ p "-1 + .. . + a ,p q"-1 + a0 qn = 0, de donde

anPn = -q (an-iP"“1 + + ao aoqn = ~P (aiq"-1 + . . . + a„p"-i).En la primera vemos que a„pn es múltiplo de q, con lo que ha de serlo an, pues p es primo con q. Análogamente en la segunda a0 es múltiplo de p por serlo a0qn.Ahora vemos que x2 - 3 = 0 no tiene solución racional, pues ésta habría de tener numerador ±1 o ±3 (divisores de a0 = 3) y el denominador ±1 (divisores de a2 = 1), pero -1 , 1, -3 , 3 no tienen cuadrado 3. Del mismo modo se ve que t Q considerando x3 - 7 = 0. Finalmente, si V 2 + V iT = x, elevando al cuadrado, x2 = 7 + 2 V i 0 o sea x2 - 7 = 2 VTO ; elevando al cuadrado x4 - 14x2 + 49 = 40, o sea x4 - 14x2 + 9 = 0, que sólo podría tener las soluciones racionales ±1, ±3, ±9, ninguna de las cuales cumple la ecuación, de donde resulta lo propuesto.

Ejercicio A/3-1. Resolver la ecuación x2 - 4x + 13 = 0. Descomponer en C el polinomio de la izquierda.

4 ± V 1 6 - 4 - 1 3 4 ± V O fT 4 ± 6/ „Sera x = = = = 2 ± 3/.

Tendremos x2 - 4x + 13 = ( x - 2)2 + 32 = [ x - (2 + 3/)] [ x - (2 - 3/)|. El polinomio carece de raíces reales, por lo que no admite divisores de grado 1 con coeficientes reales, pero sí con coeficientes complejos.

Ejercicio A/3-2. Hallar en forma polar. Apliqúese para descomponer (en R) el polinomio x4 + 1.Si una solución es sK, ha de ser (s )" = ra o sea s" = r, np - a = 2 kn. De ello resultan como argumentos posibles -5p y + y y - , y + y y - -2, . . . , j¡- + ( n - 1) y el módulo ha de ser s = \/T , la únicaraíz enésima real y positiva de r.Rara descomponer x4 + 1, resolvemos x4 + 1 = 0 . Será x4 = -1 , x = 'ty -T = por lo que x = 1 ^4,* = 1 3tV4- * = 1 5jV4' x = 1 7H/4- Así Pues

x4 + 1 _ (x - 1 ^4) (x - 17^4) (x - 13ll/4) (x - 15lt/4) -

Ejercicio B/1-1. Estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la sucesión de término

general an = 2 n + 1 ' as como su acotación.

Los cinco primeros términos de la sucesión son - y - , , - y - ca^a uno de ellosmayor que el anterior, lo que sugiere que comprobemos si es creciente:

a „ < a w l equivale a + \\ + ] osea2 n +1 2 ( n + 1) + 1 2 n + 1 2n + 2

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS91

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E j e r c i c i o s r e s u e l t o s

al ser los denominadores positivos para todo n, podemos multiplicar por ambos los dos miembros de la desigualdad, sin que ésta altere su sentido, con lo que a„ < a„+, equivale ahora a (7n + 3) (2n + 2) < (2n + 1) ( 7n + 10) es decir 14n2 + 20n + 6 < 14n2 + 27n + 10 que simplificada es 0 < 7n + 4. Al ser esta última cierta para todo n e N, lo mismo ocurre con la primera de la cadena de desigualdades equivalentes, luego la sucesión cumple an < an_ , V n, siendo estrictamente creciente.Como sus términos son todos positivos, tenemos la acotación 0 < an. Para n muy grande 7n + 3 es muy parecido a 7n y 2n + 1 lo es a 2 n, lo que sugiere que an será muy semejante a 7/2. Parece,pues, razonable, intentar demostrar la acotación an < 4. Ello equivaldría a — + < 4 qU6/ a su

vez, equivale a 7 n + 3 < 8 n + 4 y ésta a 0 < n + 1 que se satisface para todo n natural, con lo que 0 < a „ < 4 V n e N y la sucesión está acotada.

Ejercicio B/1-2. La sucesión de término general c„ = ^ tiene ^m'te Hállese el lugar apartir del cual los términos de la sucesión difieren del límite en menos de 0,000001.La sucesión crece estrictamente, manteniéndose todos los términos por debajo del límite. Queremos

que — cn < 0 ,000001, es decir — -----4 " + 12 < ° ' 000001 ' clue podemos escrib ir

+ + < 0,000001 o también — < 0,000001, lo que equivale a —— ----- < n + 3,4n + 1 2 n + 3 ' -1 n 0,000001es decir 1000000 < n + 3, lo que sucede desde n = 999998 en adelante.

3 1Obsérvese que la diferencia — cn = n + ' aunque se hace menor que cualquier númeropreviamente escrito, por pequeño que sea siempre es positiva. Es decir, los términos se acercan al límite tanto como sea imaginable, pero nunca lo alcanzan.

Ejercicio B/2-1. Hallar lim [y/9rf* - n + 3/(2n2 + 3 n - 1)].Pára resolver esta indeterminación <»/•*> dividiremos numerador y denominador por n2 que es el mayor grado presente,

V 9 n 4 - n + 3 y 'g _ 1,. V 9 n 4 - n + 3 n2 n3 rr4 3'im 2n2 + 3 n ~ 1 ~ = ' 'm 2n2 + 3n - 1 ~ = ''m 2 , 3------1------- = ~ T

n2 n n2

Ejercicio B/2-2. Calcular lim (2n - V 4 rí2 - 3 n + 2).

i- /n , r r ¡— 3------ ^ i- (2n - V 4 n 2 - 3n + 2) (2n + V 4 n 2 - 3n + 2)lim (2n - V 4 n 2 - 3n + 2) = lim ------- -

lim

2n + V 4 n 2 - 3n + 2

4o2 - (4n2 - 3n + 2) 3 n ~ 22n + V 4 n 2 - 3n + 2 2 n + V 4 n 2 - 3n + 2

23 - , ... n 3 3: lim ---------------- ■ = --------- =-----a \ L 3 2 + 2 4+ y 4 - i

a t l a s de M a t e m á t i c a s92

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Ejercicio B/2-3. Hallar lim en, lim (V3/2 )n, lim (-V 2 )n, lim (-VÜ75)".lim e" = +<*>, pues e > 1. Como 0 < (V3/2) < 1, lim (V3/2 )n = 0. Al ser \ Í2 >1, es lim (V 2 )n = +°°, lim (-V 2 )n = °° (sin signo, por irse alternando en la sucesión). De 0 < V0J> < 1 llegamos a lim (-VCL5)n = 0, donde el signo hace que la tendencia a 0 se haga «saltando» de positivos a negativos y al revés.

Ejercicio B/2-4. Calcular lim 4<4 - " W + rt, lim 16<n + 3)/<2n + lim f-|2+ n ^ y lim 25,,’/<3n + 2), lim [n3/(5n3 + 7)]<3 - " W - n). Vn2 + 3 /Recordemos que estos límites se resuelven con lim (anb") = [lim an] limi>", siendo indeterminados tan sólo 0o, 00o y 1” . Así pues,

lim 4(4- " W + n) = 4— = 0, lim 16<n + 3«2" + ’> = 16'« = 4, lim 0+“ = 0,

lim 2Sn3,an + 2'1 = 2+“ = +00, lim ">= (~5)+°”=

Ejercicio B/2-5. Determinar lim Se trata de una indeterminación del tipo 1“ Entonces

7 n - 2 \ 3 n - 5

7 n + 3/

l¡m ( j^ ) 3n~S = l¡m (1 + tn5—T ~ S)= lim f1 +-5(3n — 5) \ 15

7n + 3 l = e 7 .

7n + 3 -5

Ejercicio B/2-6. Hallar lim n2 - 5n + 6 V"2 + 5)/(n + 1) n2 - 2 n + 1 /

Es indeterminación del tipo 1“ . La división polinómica de n2 - 5n + 6 por n2 - 2n + 1 nos da cociente 1 y resto 5 - 3 n, por lo que

lim 4 - ^ +4 f + 6)/(" + ” = lim (1 + 5 - 3 " 1 y -2 + W(" + ;ni2 - 2 n + ) \ n2 - 2 n + 1 / ■

n2 - 2n + 1 / 5 - 3n n2 + 5 \5 - 3 n \ ri2 - 2 n + 1 n+ 1 / =

-3 n2 + 5n7 - 15n + 25lim (1 + . ) 5 - 3n I n2 - 2n + 1 ' n+1 ¡ = e*im n J- r f-n + l = e“A

n2 - 2 n + 1

Ejercicio B/2-7. Hallar lim x/ñ.Consideremos la sucesión an = n. Como an > 0 V n, y lim j - 5— = lim — - = 1, aplicando elcriterio de la raíz, tenemos lim x/ff= 1

Ejercicio B/2-8. Hallar lim 't/ñíConsideremos la sucesión an = n. Se tiene lim a„ = +°°. Aplicando ahora el criterio de la media geométrica,

lim y/ñ í = x/a , ■ . . . • a„ = +00

Ejercicio B/2-9. Hallar limn

El límite del numerador es +<*>, según se ha visto en B/2-8, luego estamos ante una indeterminación °%°. Aplicando la fórmula de Stirling, se tiene

i „ Vñ \ Ve~n ■ nn ■ (271 n)'« ,. e-' ■ n ■ (2n)U2n ■ rt'/2n , , , 1l im = l i m ------------------------- = l im = e _ l-l -1 = —n n n e

donde se ha hecho que lim n1/2n = lim (n1/n)1/2 = 1,/2 = 1, usando B/2-7.


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Ejercicio B/2-10. Calcular lim — + 2 + ••• + n2n3

Consideremos las sucesiones {a„} y {bn} definidas por an = I 2 + 22 + .. . + n2 y bn = n3. Ambas divergen a +<*>. Además

|im ^ ^ = |im (12 + 22 + .. . + n2) - ( 1 2 + 22 + .. . + (n - 1 )2) =____________ ,g______ ^bn - bn_, rfl - (n - 1 )3 3n2 - 3n + 1 3 '

a 1por lo que, aplicando el Criterio de Stolz, lim —A - = -5-, que es el límite buscado.

un j

Ejercicio B/3-1. Estudiar la convergencia de la serie 2 3^3 + 5n - 2 'Haciendo cociente comparativo con la armónica

lim ( 7 n2 - 2n + 3 1\ 3 n3 + 5n - 2 j'/(i = lim 7n3 - 2 n 2 + 3n _ 7

3n3 + 5n - 2 3 'éste es un real no nulo, luego ambas tienen el mismo carácter, y la serie estudiada diverge.

Ejercicio B/3-2. Estudiar la convergencia de la serie 2

Utilicemos el Criterio de Raabe. Como

n • 5 • . . . • (4n - 3)\2V 4 • 8 • .. . • (4n) I

/ 1 ■ 5 • ,. ■ (4n + 1) y 'II 1 • 5 ■ .. - ( 4 n - 3 ) \ 2 ,t 4 r + 1 \2\ 4 - 8 . . . • (4n + 4) )/ { 4 ■ 8 •

IroIC \ 4n + 4 /

/ / 4n + 1 \2\ (4n + 4)2 - (4n + 1 )2 .. 40n2 + 15n 40 .sera lim n (l - ( 4n + 4 ) ) = lim n --------= l.m 16n2 + 32n+T ^ " l e " ' P° r '°

que converge. Obsérvese que al ser lim (a^ a^ ) = 1, el Criterio de la razón no hubiera decidido.

(-1 )n + 1Ejercicio B/3-3. Estudiar la convergencia de 2 ——z—— p- .(_1 )n + 1

La serie 2 ——^ ------ es convergente, pues es una geométrica de razón -1/2. En consecuencia, sus

sumas parciales están acotadas. Ademas, la sucesión j es decreciente y acotada. Aplicando

el Criterio de Dirichlet, vemos ahora que la serie objeto de estudio converge.

Ejercicio B/3-4. Estudiar la convergencia de la serie 2

Aplicando el Criterio de la razón, veamos que converge:

lim (an+I/a„) = lim

(n + 1)1nn

[/ (n + 1)! \{ (n + 1)n+1 1 nn j .

nn= lim ~ + = lim -(n + 1)n+1 (n + 1)n : limn + 1

,. (n+ 1)!nn= nm — 7- -----' =n! n + 1 n+1

= lim (1 +n + 1

lim (1 + n + 1-1 n+1 = e n+1 = e-1 -< 1

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Ejercicio B/3-5. Estudiar la convergencia de 2 - .

Como la sucesión f— 1 es decreciente, 2 — y 2 2 " ---- = 2 — convergen o divergen ambas,L n J n • z " n • z n npor Criterio de Knopp. Pero esta última es la serie armónica, divergente, con lo que también diverge la estudiada.

4 n7 n - 1Ejercicio B/3-6. Estudiar la convergencia de la serie 2

Aplicando el Criterio de la raíz:

l¡mVKKr^= lim ( 7 ^ r ) <3" ,,/n= (f)3=w < luego la serie converge-

Ejercicio B/3-7. Estudiar la serie 2 (-1 )n+' ( y ^ y ) •

Se trata de una serie alternada en la que, si an es un término enésimo, {|a„|} = í n + 1 j es decreciente,

( 1 \n ^ i I _J2 + J = 0/ luego converge.

Ejercicio C/1-1. Hallar los dominios de las funciones I) /fx) = —- - — , II) g(x) = V x 2 - 16,

Ml) hM=i ^ w h r ' ,V ) ''W =v é m - V) te ) =I. Numerador y denominador de ftienen sentido V x e R, pero el cociente no es posible si el denominador, x - 2, es cero, o sea cuando x = 2, luego Dom f = R - {2}.II. Sólo poseen raíz cuadrada real los números no negativos, luego habrá de ser x2 - 16 > 0, es decir, (x + 4)(x - 4) > 0, lo que sucede cuando o bien x + 4 > 0 y x - 4 > 0 , o bien x + 4 < 0 y x - 4 < 0 , lo que se puede reducir a las situaciones x < -4 o x > 4. Luego Dom g = (-«o, -4] u |4, +«■)•III. El numerador de h sólo tiene sentido en (-°°, -3] u [3, +°°) (lo que se ve como en II). El denominador, siempre posible, es nulo cuando x = 1 o x = -3 , valores que imposibilitarían la división. Por tanto, Dom h = (-<*>, -3) u [3, +<*>).IV. Habrá de ser x - 3 > 0, es decir, x > 3, para que sea posible la raíz que aparece en el denominador. Pero se habrá de excluir x = 4 pues en tal caso el denominador es cero. Así pues, Dom j = (3, 4) u (4r -t-oa).V. Ha de ser 4 > V x2 - 9 por lo que será 16 > x2 - 9, 25 > x2, luego x e [-5, 5], Pero, además, ha de ser x2 - 9 > 0, o sea x2 > 9, con lo que x £(-3 , 3). Por lo tanto, Dom k = [-5, -3] u [3, 5].

Ejercicio C/1 -2. Sean Ax) = 1 + x, g(x) = x2, h(x) = -jU Hállense h o g o f , g o f o h y f o h o g . (h o g o t) (x) = (h o g) (1 + x) = /)(g(l + x)) = h(1 + x2 + 2x) = — -g — ■

, s ° ' ° « « - i * » » & ) - « ( ' * i ) ■ « ( y 1 -) ■ y e -

(fo h o g) (x) = ( f o h) (x2) = fP^J = 1 + 1


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: E j e r c i c i o s r e s u e l l o s

Ejercicio C/1-3. Hallar la función inversa de /¡x) = V x - 1 y su dominio.El recorrido de fe s R+, por su definición. Si b = V a - 1 será b2 = a - 1 , a = ¿>2 + 1 Por tanto la inversa de fe s A1 : R+ -+ |1, +°°) definida por f-'(x) = x2 + 1 . Podemos comprobarlo:

(A1 o f) (x) = A1 (V x - 1) = (V x - 1)2 + 1 = (x - 1) + 1 = x( fo H ) = f (x 2 + 1) = V (x 2 + 1 ) - 1 = V x 2"= x (pues x s R+).

Ejercicio C/2-1. Hállense los valores de las funciones trigonométricas en -5- y Í - .

Puesto que seno, coseno y tangente de los números y , y -5- son el seno, coseno y tangente,

respectivamente, de los ángulos de medida respectiva en radianes y , 2 y I que en grados

sexagesimales miden 60°, 30° y 45°, podemos apoyarnos en las figuras adjuntas:1 71 x V ?

2sen — = sen 45°

4 xV2 — 7= , cos — V 2 4

7t = sen y = = cos 'r r

x v T "

; p = ~yí^ yv T

2

-tg- = 1,

= J L t e J L =2 ' 8 3 y 12

I = v Z -’ 6 3

■ V3"

Ejercicio C/2-2. Hallar x e [0, 7t] tal que V T ■ tgx = 4 sen2x.La ecuación se puede escribir ^ ~ senx = 4 sen2x, o sea v T s e n x = 4 ■ sen2x ■ cosx. Salvo que

cosxsenx = 0, en cuyo caso x = 0 x = i , podemos simplificar y tendremos v T = 4 senx ■ cosx. Como sen2x = sen (x + x) = 2 senx ■ cosx, la última ecuación puede escribirse V3" = 2 sen2x, es decirsen2x = —y A por lo que 2x = jt/3 o 2x = 27t/3. Las soluciones son, pues, x = 0, x = 7t, x = | - y


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Ejercicio C/2-3. Buscar solución, en [0, 7t] al sistema f * '’ Lsenx = seny

Despejando x en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda senx = sen [y + -S-j = seny, pero

sen [y + es cosy, luego ha de ser seny = cosy, o sea tgy = 1, y = -5-, x = i + -5- =

Ejercicio C/2-4. Resolver en R la ecuación log2x2 - log2 (x “ qf) = 2 -

Como logap - log^q = loga (,p/q) la ecuación se puede escribir log2 _ * 3/4)) = 2 por lo que

— = 4, o sea x2 = 4x - 3, x2 - 4x + 3 = 0, x = 1 o x = 3.x - (3/4)

, . fx + y = 25Ejercicio C/2-5. Resolver el sistema <. ,’ Uogx + logy = 2

La segunda ecuación puede escribirse log (x ■ y) = 2, por lo que x • y = 102. Como y = 25 - x, será x (25 - x) = 100, o sea x2 - 25x + 100 = 0, x = 5 o x = 20 (e y =20 o y = 5, respectivamente).

Ejercicio C/3-1. Estudiar la convergencia puntual de la sucesión funcional {fn(x) = x2n}.Sea a e R. lim a 2n es 0 si a e (-1, 1), es 1 si a = +1 y ningún número real si |a | > 1. Luego si consideramos f : [-1, 1] —» R definida por f(1) = f(-1) = 1, Hx) = 0 si x e (-1, 1), tendremos que lim fn = f e n 1-1, 1] (el lector que haya llegado a D/2 observará que la convergencia no es uniforme, pues, en tal caso, por ser las fn continuas en todo R, lo sería también f, que, sin embargo, no lo es en ±1).

Ejercicio C/3-2. Estudiar la convergencia de 2x" (serie geométrica de razón x).

Como lim | 1 = lim |x|, el Criterio de la razón para series numéricas nos asegura la convergencia

en -1 < x < 1. En -1 y en 1 diverge (pues lim an * 0). Además la suma enésima s„ = x + x2 + .. . + xn = x x ' x - x(1 x 1-— -— = -3— -— — por lo que la suma de la serie en su dominio de convergencia es

W "| x^~i ) Xlim s„ = lim = — ya que lim x"-1 = 0 al ser Ixl < 1.

n-> ~ 1 - x 1 - x n -> +->

3nEjercicio C/3-3. Estudiar la serie 2 (n + 1 )lComo I—— cosnxl < - —3'’ , , el Criterio de Weierstrass nos dice que de converger la serie I (n + 1)! I (n + 1)1 n

numérica 2 - — ,1a serie funcional lo haría absoluta y uniformemente en todo R. Pero, (n + 1)! 1aplicando a la numérica el Criterio de la razón, vemos que converge, pues

l¡m | b r ^ l / f , ) I = l¡m = 0 < 1.r/ 3n+l \ /( 3"[ \ (n + 2)\ h' V (n+ 1)1 l\

EJERCIC IO S DE M ATEM ÁTICAS97

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Ejercicio C/3-4. ¿Dónde converge X — | ^ n ?

Se tiene lim (7 1 V ( 1 'll r[I. (n + 1 )(1 + x2)n+1 /' \ n(1 + x2)n 1•j " l< 1 si x * 0 1 si x = 0

luego la serie converge V x * 0.

Ejercicio C/3-5. Hallar el radio de convergencia de las series de potencias

( * - 2 ) n, £ - x "n - 5 ' 3n+2 ■ nn

Sean r, y r2 sus radios de convergencia respectivos.

= l¡m [ ( " ^ f " )/1 (“n ^ r ) ] = Nm (n - 5)(n - 0 = 1' ,Ueg° la Ser'e conver§e en <2 - 1, 2 + 1) = (1, 3).

En 1 y 3 tenemos sendas series numéricas cuyo término general no tiende a 0, por lo que divergen.

\ = l¡m ^ 3 n J . n n = lim 3 ( n J / n . n = ° ' lu e 8 ° r2 = +°°-

Ejercicio C/4-1. Sea f(x) = x + \ . Demostrar que lim f(x) = 2 utilizando solamente la definición de’ x + 3 x-> ilímite funcional.Sea e > 0. Tenemos que encontrar un S > 0 tal que |x — 11 < 5 Implique |/jx) - 2| < e. Pero

I x + 7 nl I x + 7 - 2x - 6 i i 1 - x i | x - 1 |AX - 2 = 2 = r- = =7-----' ! x + 3 1 1 x + 3 1 x + 3 | x + 3 1

|x - 11 |x — 1 ISi suponemos que x > 0, será |x + 3| = x + 3 > 3, y en tal casoj + j | < —3— ■ además |x - 11 < 3e,

|x - 11 3eentonces -—-— - < = e. Sea pues 8 el menor de los números 1 y 3e. Si |x - 1 1 < 8, se tendrá

| x - 11 < 1 o sea -1 < x - 1 <1 por lo que 0 < x . Como además | x - 11 < 8 < 3e la cadena que hemos establecido nos l le v a a ¡f (x ) - 2 | < E.

Ejercicio C/4-2. Demuéstrese que lim senx = 1 (usando razonamientos geométricos a partir de lax —» 0 X

definición de senx).En C/2 se vio cómo se definían las funciones circulares de x mediante la circunferencia de radio 1. Vemos ahora que área triángulo M QO < área sector PQO < área triángulo PNO, es decir

1 1 1 1 senx— cosx ■ senx < — x < — tgx = -----------.2 2 2 0 2 cosx

Dividiendo por senx (que para x cercano a 0+ es positivo) y multiplicando por 2, tenemos

cosx < — —— <--------- . Como lim cosx = 1, los dos miembros extremos de la desigualdad tiendensenx cosx

a 1, y necesariamente también el central, o sea lim — - — = 1, y su recíproco será 1/1 = 1 .' senx


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Ejercicio D/1-1. Consideremos las funciones

Í (x — 5) ■ sen — — si x * 5 f arete — si x * 5X^5 ,g M = X " 5

p si x = 5 l q si x = 5

Dígase si es posible dar valores a p y a q de manera que f y gsean continuas en todo R.Salvo en x = 5, f se obtiene por producto, composición y cociente de funciones continuas, luego sólo en este punto podría ser discontinua. Otro tanto sucede con g, por lo que se trata de ver si se pueden definir p y q de manera que

p = H 5) = lim Hx), q - g(5) = lim g(x) x -»5 x -» 5

Ahora bien, como -1 < senz <1 V z e R, tenemos - (x - 5) < (x - 5) • sen - (x ~ 5). Al pasara limólos dos extremos de la cadena tienen límite 0, luego lirn /(x) = 0 y haremos p = 0. En cambio,

se tiene lim arctg —E— = arctg (_oo) = - lim arctg — = arctg (+■*>) = por lo que, cualquiera x —> 5 X j jl x —r 5 X j 2.

que sea el valor de q, g presenta en 5 una discontinuidad inevitable de primera especie.

Ejercicio D/2-1. Hallar M = lim (**— 3x + 2 \1/(x n i \x2 - 6x + 5/

Resolvamos primero, mediante descomposición, la indeterminación 0/0 de la base:

x2 - 3 x + 2 (x - 1) (x - 2) -1 1 /1lim = lim ------------------= -----= ------. Por tanto M = [— ) = 0.x->i x2 - 6 x + 5 m (x - 1) ( x - 5 ) -4 4

Ejercicio D/2-2. Sea /jx) = — + J x — Hallar lim /jx) y lim /jx).x * - 3 x J + 2x2 x-»o x->+~Para hallar el primero dividiremos el numerador y el denominador por el término de menor gradoque es x2. Para el segundo, por el de mayor grado, que es x6:

x5 + 7x3 - 4x2 x3 + 7x - 4lim — = lim -----------------= -2,x-> o x6 - 3 x 3+ 2x2 x-«ü x4 - 3x + 2

1 7 4x5 + 7x3 - 4x2

lim -------------------x —x +°° x6 - 3x4 + 2x2

EJERC IC IO S DE M ATEM ATICAS99 H8

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1 1E j e r c i c i o s r e s u e l t o s

r - • • r w - , , u II l- ln<1 + * ~ In 1 - XEiercicio D/2-3. Hallar lim-------------------------' x -* o xln(1 + x) - ln(1 - x) 1lim ------------------------ = lim — ■ In

x - > 0 x x -»o x

= In lim ( l -4-——- V/x= In lim h -H¡—- "j 2* ~ = In e*™<i 0 - x)x = |n e2 = 2x -> 0 \ 1 -X x -> 0 \ 1 - x / *"

/1 + X \ = lim In |( 1 + x >v1/x . + X(1 - * ) V 1 - X ,

I = In limx-> 0 ' ' x -> 0 \J - X

Ejercicio D/2-4. Hallar lim ^’ x —> i ( x - 1 ) 2

Se trata de un límite indeterminado del tipo 0/0. Si y = V x ! es decir, y3 = x, entonces x —> 1 equivale a y3 —> 1 y esto a y —> 1. Luego

|lm J % 2 ^ ± l . | ¡ m . i i z V + 1 = |¡m J V z J f 1x —»i ( x - 1 ) 2 y->i (y3 — 1 )2 y->i [ (y - 1) (y2 + y+ 1)|2 9 '

Ejercicio E/1-1. Demostrar, utilizando la definición de derivada, que la función Hx) = x3 + 2 es derivable en el punto x = 2 y aprovechar el resultado para calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica dada por ten el punto de abscisa citada.r .. H2 + h )-H 2 ) .. (2 + /V + 2 - 1 0 8 + 12/i + 6/i2 + /73 + 2 - 1 0Es lim---------¡ = lim = lim ¡------------------- =h-> o h h -*o h o n

.. h3 + 6/r2 + 12/7= lim ------------,---------= 12./1 -»o h

Consiguientemente fe s derivable en x = 2 y es f'(2) = 12, lo que nos dice que la ecuación de la recta tangente pedida es y - 10 = 12(x — 2).

Ejercicio E/1-2. Demostrar que la gráfica dada por la función /fx) = |x - 2| carece de tangente en el punto x = 2.En efecto, es Hx) = x - 2 si x > 2 y Hx) = 2 - x si x < 2. Por tanto, será:

f'(2) = lim + = lim ——r — — f / y+ h-> 0+ h h - , 0* h ’

f (2) = lim f l + Z g -M ) = |im Í f ° = -1 , h -> o- /i h - ,o - h

lo que indica que las tangentes por la derecha y por la izquierda a la gráfica dada por f e n el punto de abscisa x = 2 sí existen, pero que son distintas, en otras palabras, f carece de tangente en dicho punto.

Ejercicio E/2-1. Hallar los puntos de la curva dada por /jx) = x3 + 9x2 - 9x + 15 donde la tangente es paralela a la recta y - 12x + 5.La pendiente de la recta dada es 12. Luego, buscamos puntos x tales que f\x) = 12. Por tanto, resolvemos la ecuación 3x2 + 18x - 9 = 12, obteniendo como resultado x = 1 y x = -7 , que corresponden a los puntos (1, 16) y ( -7 , 1 76).

Ejercicio E/5-1. Demostrar que si fe s continua en [a, b] y derivable en (a, b) con Ha) = Hb), entonces entre dos raíces consecutivas de f en (a, b), existe a lo sumo una raíz de f.En efecto, así es, ya que si c y d pertenecen a (a, b) y son tales que f'(c) = f'(d) = 0, siendo además raíces consecutivas de f\ y entre ellas hubiera dos raíces p y q de f, es decir, si fuese Hp) = Hq) = 0 con c < p < q < d, por el teorema de Rolle existiría un valor f tal que p < t< q con f\t) = 0, contradiciéndose el hecho de ser c y d raíces consecutivas de f'.

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Ejercicio E/5-2. Averiguar cuántas raíces tiene la ecuación 2x3 - 9x2 + 12x + 1 = 0 . dx) = 2x3 - 9x2 + 12x + 1 es continua en todo R por ser polinómica. Su derivada A'(x) = 6x2 - 18x + 12 tiene dos únicas raíces que son x = 1 y x = 2. Luego, en el intervalo (1, 2) hay a lo sumo una raíz de A. Como M ) = 6 y f{2) = 5, si hubiese una raíz de Centre 1 y 2, la función en parte del intervalo (1, 2) sería creciente, cosa no posible pues f\x) < 0 en todos los puntos de dicho intervalo. A partir de x = 2 la función es siempre creciente, pues es f'(x) > 0 para x > 2, con lo cual la ecuación no tiene ninguna raíz mayor que 2. La función es en (-» , 1) creciente, por ser ahí su derivada positiva, con lo cual en (-» , 1) hay a lo sumo una raíz, pero como todo polinomio de grado impar tiene cuando menos una raíz real, la ecuación dada tiene exactamente una raíz que se halla en (-<*>, 1).

Ejercicio E/5-3. Comprobar si se cumplen las condiciones del teorema de Cauchy para las funciones f(x) = senx y g(x) = cosx en el intervalo [0, n/2] y hallar el valor intermedio.Las funciones seno y coseno son derivables y por tanto continuas en todo R.Es cos (n/2) - cosO = -1 , y (cos)'(x) = -senx, una función que no se anula en ningún punto del intervalo (0, n/2), por tanto, existe í e (0, n/2) tal que

sen(;t/2) - senO _ 1 sen'f costcos(it/2) - cosO -1 cos'f - se n f '

de donde tdebe cumplirse que senf = cosf, lo que Indica que es f = 7t/4.

X3Ejercicio E/5-4. Hallar dónde crece y decrece fí,x) = —¿

3x2(x2 "| x3 . 2x X^ 3x2Es f'(x) = -------- ------------------ =_(x2— W P0r tanto s'§no de f es en todo punto distinto de+1 y de -1 igual al signo de x4 - 3x2. Al descomponerse dicho polinomio en la forma x2(x2 - 3), queda claro que f' es en el intervalo (-<*>, v T ) positiva, y por tanto Acreciente en dicho intervalo, que f' es en el intervalo (-V 3 J + V 3) negativa, y por tanto A decreciente en dicho intervalo, excluyendo claro está los puntos +1 y -1 , y por fin que A'es positiva en (+ V T , +<*>), y por tanto Acreciente en dicho intervalo.

Ejercicio E/6-1. Se sustituye el lado superior de una ventana rectangular de perímetro 10 m por una semicircunferencia. Hallar las dimensiones que ha de tener la ventana para que la luz que deje entrar sea máxima.

Sea x el radio de la circunferencia y 2y la altura de la ventana. Será y = — - x. La luz que entrará

será máxima cuando la función área í[x) = 4xy + —1 - = 4x - x j i presente un máximo.

Es A'(x) = 10 - 8x + 7tx, lo que implica que x = ^ es un punto crítico de f, y como f"(x) = -8 + jt, en dicho punto hay un máximo.

Así pues, los lados de la ventana deberán medir y — 571 .8 - n ' 8 - rt

EJERC IC IO S DE MATEMÁTICAS101

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Ejercicio E/6-2. Dividir un alambre de 1 m de longitud en dos trozos, de modo que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo formados con ellos sea mínima.Sean x y 1 - x las longitudes en metros de los dos trozos. El cuadrado de perímetro x tiene una superficie de x2/16 m2 y la circunferencia de perímetro 1 - x tiene una superficie de (1 - x)2/2rt m2. Luego

buscamos para que la función Hx) = |yg- + x2 ~ Presente un mínimo.

Es í\x) = f4- + — ) x - — . Lo que nos indica que sólo x = 8/(8 + tc) es punto crítico de f.\ o re / 7t

Como es f\x) = (-1- + > 0, para dicho punto / presenta un mínimo.

Consiguientemente los dos trozos de alambre deben medir y ” — m.

Ejercicio E/6-3. La suma de todas las aristas de un prisma recto de base cuadrada es 96 cm. Hallar las dimensiones del de volumen máximo y este volumen máximo.Sean x e y las longitudes de las aristas distintas de dicho prisma. Deberá ser 8x + 4y = 96, de donde, y = 24 - 2x.El volumen de dicho prisma viene dado por v(x) = x2 • y = x2(24 - 2x) = 24x2 - 2x3. Por ser V'(x) = 4 8 x - 6x2, los puntos críticos de la función V(x) son x = 0 y x = 8. Es obvio que la solución x = 0 no interesa (no hay prisma), y por otra parte, por ser V"(x) = 48 - 12x, es V"(8) = -8 , lo que indica que el volumen máximo se alcanza cuando la arista de la base mide 8 cm. En este caso, por ser y = 24 - 2x = 8, se deduce que el prisma en cuestión es un cubo. Por tanto, el volumen del mismo valdrá 83 = 512 cm3.

e* — 1Ejercicio E/7-1. Calcular lim — =-----.1 x -»o 2xSe trata de una indeterminación del tipo 0/0. Aplicando [RH] tenemos:

e* - 1 .. e* 1lim — = lim — = — .x -> o 2x x —i o 2 2

Ejercicio E/7-2. Calcular lim (1 + x)n - 1 - nx

(1 + x )n - 1 - nx ,. n(1 + x)n~1 - n ,. n(n - 1) (1 + x )^ 2 n (n -1 )lim — x = lim =--------- = lim- - -----------2x

Obsérvese que se ha aplicado la regla de L'Hopital dos veces.

Ejercicio E/7-3. Calcular lim (e* - x2).X - » +<*>

Se presenta indeterminación de tipo <*> - <». Sin embargo podemos escribir:

lim (e>r- x 2) = lim x2 ■ l~ - 1) = lim x2 ■ lim 1 .

pX .. pX .. q Xlim — = lim = lim — = +00,' —> +O0 X1 X —»+oo 2x X ^ + o o ¿

habiendo aplicado dos veces la regla de L'Hopital, será lim {— - i ) = +°° - 1 - +00- Por l° ‘fue

el límite ¡nicialmente buscado es (+«>) • (+<*>) = +«>.

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Ejercicio E/7-4. Calcular lim x'.

Pongamos lim x ' = A. Tomando logaritmos neperianos, obtenemos:

x. . .. i i i - 1°* I- *In A = lim (Inx') = lim x ■ Inx = lint — -— = lim — — = lim l-x) = 0

*-.«• \ -o- »-.()+ X ' -»• n i '-*(>•x x-

Por tanto, será InA = 0, o lo que es igual, .4 = c° = I, es decir, el límite pedido vale 1.

Ejercicio E/7-5. Calcular lim ( * + | ) ' + ' .

El límite propuesto presenta la indeterminación del tipo 1". Tomando logaritmos se tendrá, llamando A al valor del límite pedido, que:

x + I (x + 1 )-

Así, pues, el límite propuesto valdrá e^2.

In A = In lim

Ejercicio E/7-6. Calcular lim (e5* + 5x)1/v.X -> +<»

Es un caso o>n. Llamando A al límite pedido y tomando logaritmos, se tiene:

lnA = l¡m - !H .(e3,/ 54 = |¡m 3- f + 5 =Mm _ 9 C ' = , ¡m 2 7 X =x x-»-™ e ! ' + 5x v^+o. 3e2* + 5 9eu

de donde, el límite propuesto vale e f.

Ejercicio E/7-7. Calcular lim _Jn ícos3x) x-»o* In (cos2x)

Es

l¡m In (cos3x) |jm (-3sen3x)/lcos3x) _ |. 3 • sen3x • cos2xx-.o* In (cos2x) '-»()«■ (-2sen2x)/(cos2x) »-»o* 2 • sen2x ■ cos3x

= |¡m ^ e n y . | im J ■ cos2x = |¡m 3 ■ cos3x . X = A . J . = j ,sen2x x —» t>' 2 - cos2x x-*o+ 2 • cos2x 2 2 2 4

Obsérvese que en el cuarto paso se ha utilizado el hecho de que el límite de un producto es el producto de los límites a fin de simplificar operaciones.

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Ejercicio E/7-8. Calcular lim (1 - x) ■ tg p p -jEste límite presenta la indeterminación 0 ■ Ahora bien, escribiéndolo de la forma

, « ( ¥ ) lim ,X-* 1 11 - x

presenta la indeterminación del tipo oa/», pudiendo entonces aplicar la RH, obteniendo:

Mf)lim = lim> l 1 x-> 1 _ / TTX \

eos- r y )

■ 2 • (1 - x) • (-1)KX \ n x \ fn\2 ■ C O S H r - • s e n • h r\ 2 / \ 2 ¡ \2

= lim -x-> I

1 - x -1 2= lim ------------- = lim = — .>i / n x \ x -> 1 f n x \ k Jt

2(— )

X —> 1 (nx\\ 2 j — s e n i 2 )

Ejercicio E/7-9. Calcular lim (1 + sen2x)1/2x.x^O

El límite propuesto presenta la indeterminación 1“ Tomando logaritmos y llamando A a dicho límite, tendremos:

i . In (1 + sen2x) ,. cos2.v ,InA = lim -t— -= lim — — = 1,x -o 2x x^o I + sen2x

de donde se deduce que el límite pedido vale e.

Ejercicio E/8-1. Demostrar que en x = 0:(a) tgx - x y x !/3; (b) x - senx y x 5/6; (c) 1 - cosx y x2/2, son parejas de infinitésimos equivalentes.

im(a) Es lim = ]¡m cos2x = |¡m ■ , 5g^ - = — _v 0 X ! n O X 2 X 2 • C O S 2 X X -> 0 X 2 x ^ O coszx

3de donde, los infinitésimos tgx - x y xJ/3 son equivalentes en el origen.

„ .. x - s e n x .. 1 - cosx .. senx(o) Es lim ; = lim ------~------= lim = 1,í -x o x ' x -> o x2 v , ;í xI T ~

lo que prueba que las parejas de infinitésimos dadas en (£>) y en (c) son equivalentes.

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E jercicio E/8-2. Hallar el orden de contacto de las curvas Hx) = 6x2 - 8x + 3 y g(x) = x4 en el punto de abscisa x = 1.Es /O) = g(1) = 1 ■ Luego, las curvas dadas por f y g se cortan en el punto (1, 1).Por otra parte, es f'O ) = g'(1) = 4, f" (1) = g"( 1) = 12 y 0 = f" \ 1) * g'"(1) = 24, lo que pone de manifiesto que las gráficas dadas por f y por g presentan un contacto de orden 2 en el punto (1, 1).

Ejercicio E/9-1. Demostrar que(sena) • (x - a)2 (cos0) ■ (x - a)3senx = sena + (cosa) (x - a) - 2! 3!

donde 0 está entre a y x.Utilizar este desarrollo para calcular sen 51° evaluando el error cometido.Tomando Hx) - senx, es f(x) = cosx, f"(x) - -senx y í"'(x) = -cosx, de donde, es Ha) = sena, f'(a) = cosa, f"(a) = -sena y f"'(0) = -cos0.Sustituyendo entonces en la fórmula de Taylor en el caso n = 2, es decir: en

f"(a) ■ (x - a)2 f"(0 ) • (x - a)3/(x) = Ha) + f'(a) ■ (x - a) + - 2! 3!donde 0 está entre a y x, se obtiene el resultado deseado.Entonces, si tomamos, x = 45n/180 - 45° y a = 517c/180 = 51°, se tendrá que es x - a = tu/30. Utilizando la fórmula en cuestión y recordando que es sen 45° = eos 45° = V2/2 , obtenemos:

íp n c í o _ V T ,V2( Tí \ (V 2 /2 ) ■ (jc/30)2 (COS0) ■ (tc/30)32 2 U O / 2 ! 3!

Si tomamos como sen 51° la suma de los tres primeros términos tendremos que sen 51° = 0,7775 y que el error cometido será

I d s - j J Í B Í I < ± & ) T 0,0002,

es decir, menor que 2 diezmilésimas, con lo que al dar sen 51° = 0,7775 damos tres decimales exactos.

Ejercicio E/9-2. Demostrar que la catenaria y = a ■ ch(x/a) para pequeños valores de x puede aproximarse por la parábola y = a + (x2/2a).Desarrollaremos en serie de MacLaurin la función Hx) = a • ch(x/a) hasta el término de segundo grado.Es Hx) = a ■ ch(x/a), f\x) = sh(x/a), f"(x) = (1/a) • ch(x/a) y f"'(x) = (1 la2) ■ sh(x/a), y por tanto, es H0) = a, f'{0) = 0 y f"(0) = 1/a.4 ' U S X2 ? " $ ) ¡ I IAsi pues, es Hx) = a + — + x3, donde 0 esta entre 0 y x.

Al ser |^ m .x 3

el límite de dicha expresión cuando x tiende a 0 es 0. Luego, para valores x tales que |x| —> 0, esf(x) = a +-^—.2a

a „ a - X3 = - L - I s h A l3! 6a2 I a |

EJERCIC IO S DE MATEMÁTICAS105

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Ejercicio E/9-3. Obtener el desarrollo de MacLaurin de la función shx.

Es shx = ---- . Consiguientemente se tendrá:

f ix ) = , f"(x) = , n x ) = , y en general C»(x) =

ef + (—1 • fx-tPor tanto, es HO) = 0, f'(0) = 1, f"(0) = 0, t" 'l0) = 1, y /é”(f) = --------- _

Luego, el desarrollo pedido es

x : x5 x" -1 ef + (-1 )nt 1 • e4shx = X + -X -+ — + ... + - — + ----- \ - L - — E _x"3 1 5 ! (n - 1)! 2 ■ n!donde t es un punto intermedio entre 0 y x.

Ejercicio E/11-1. Hallar máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función Ax) = (1/7) ■ x7 - xP. Es f\x ) = x6 - 6x5 = x5(x - 6), de donde los puntos críticos son x = 0 y x = 6.Es f'\x ) = 6x5 - 30X4 = 6\4(x - 5), de donde, f"(0) = 0 y f" (6) = 65, lo que nos dice que en x = 6 se presenta un mínimo.Por otro lado, las soluciones de f'Xx) = 0 son x = 0 y x = 5.Es f" \x ) = 30X4 - 120x3 = 30x3(x - 4), lo que nos dice que f " \ 0) = 0 y f" '(5) * 0, y que en consecuencia en x = 5 hay un punto de inflexión.Es M x ) = 120x3 - 360x2, f'Xx) = 360x2 - 720x y tvl(x) = 720x - 720, de donde la primera derivada que no se anula en x = 0 es la de orden 6, y como fv,(0) = -720, en x = 0 se presenta un máximo. Así, pues, f presenta un mínimo en x = 6, un máximo en x = 0 y un punto de inflexión en x = 5.

Ejercicio E/12-1. Estudiar el comportamiento asintótico para x —> ±~ de las funciones f(x) = x + 2X, g(x) = |lnx]2, h(x) = x + senx

Se tiene lim x + ~— = + « . |¡m x + 2— = 1, lim |(x + 2*) - xj = 0X -* +«> X X -> -■» X X —* -oo

por lo que x + 2* carece de dirección asintótica para x —» +°°, pero se aleja hiperbólicamente, según la asíntota y = x para x —>

(Inx)2Como lim — —— = 0, lim (Inx)2 = +°°, la curva y = gíx) se aleja parabólicamente cuando x —> +°°

en la dirección horizontal.

Al ser lim x + senx _ -p y no ex¡sq r |¡m + senx) - x], la curva se aleja en ambos sentidos según

la dirección de y = x, pero no lo hace ni hiperbólica ni parabólicamente.


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E j e r c i c i o s r e s u e l T o s

Ejercicio E/13-1. Estudiar y representar gráficamente la funciónsenx • cosx

Hx) ■ senx + cosx

Al ser Hx) = Hx + 2jc), fe s periódica de período 2n y bastará, pues, con estudiarla en el intervalo [0, 2ti].La función dejará de estar definida y de ser continua sólo en los puntos en los que se anula el denominador, es decir, para los x tales que en senx + cosx = 0, o sea para x = (3n)/4 y x = (7tc)/4. A sí,

pues, en general, f está definida y es continua en el conjunto D = R - l ~ - + 2kx, -^L + 2kiti.

Los puntos en los que corta a los ejes corresponden a las abscisas 0, tt, 4p-, 2n. Rasemos a estudiar el crecimiento de f. Rara ello:

4 ' ~4~ T3jt

2 " " 2

^ . _ (cos2x - sen2x) (senx + cosx) - senx • cosx (cosx - senx) _ cos3x - sen3x(senx + cosx)2 (senx + cosx)2

lo que nos dice que los puntos críticos corresponden a los x tales que cosx = senx, es decir, son x = jt/4, y x = 571/4. Mejor aún, el signo de f en el Intervalo [0, 2tt] viene dado según indica el siguiente esquema:

f + / 0 - \ _ \ 0 + / + / ’E t 1--------------------1--------------------1 El0 jz_ 37t 5tt 7k 2n

4 4 4 4

lo que, aparte de indicar el comportamiento de fen cuanto a crecimiento y decrecimiento, indica que en x = tt/4 se presenta un máximo y que en x = 57t/4 se presenta un mínimo.Pasemos a estudiar la derivada segunda. Es:

_ -3cosx senx (senx + cosx)3 - 2(cos3x - sen3x) (cos2x - sen2x)(senx + cosx)4

quedando el signo de la misma descrito en el esquema:

- + +E 1------------------- 1------------------- 1------------------- 1 i0 r " 3ii ' " 5jt ' " 7n ^ ** 2n

4 4 4 4

lo que indica que fes cóncava hacia y < 0 en [0, 3k/4), cóncava hacia y > 0 en (3tt/4, 7tt/4) y cóncava hacia y < 0 en (7tt/4, 2 teJ. Nótese que los puntos x = 37t/4 y x = 7tt/4 no son de inflexión ya que no pertenecen al dominio de f.Por fin, indiquemos que las rectas x = 3n/4 y x = 7rc/4 son asíntotas verticales, como el lector comprobará fácilmente.Así las cosas, la gráfica de fserá:


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E j e r c i c i o s r e s u e l f o s

Ejercicio E/13-2. Estudiar y representar gráficamente la función t(x) = x ■ e,/x.El dominio de fe s R - {0}. La función /no es par ni impar ni corta a los ejes.Es f\x) = e1/x ■ 1 - -Á-j, con lo que las zonas de crecimiento y decrecimiento vienen dadas por

' + / - \ + /- - - - - - - - - i- - - - - - - - - - - - - - - - 1- - - - - - - - - - - - -

o i

lo que en particular nos dice que en x = 1 hay un mínimo.Es f"(x) = (1/x3) • e1/x, con lo cual las concavidades de / son como se indica

0

Es lim Ax) = +°o, lo que implica que x = 0 es una asíntota vertical.x-*o+Por otro lado es lim Ax) = lim x • e1/x = lim -x ■ ^ 1/x = lim = 0,x->o- x->o- x -»o+ x^o+ e1/xlo que unido al hecho de ser Ax) < 0, para todo x e R" nos da el comportamiento de /en un entorno del origen.Además, es

lim _ A É _ _ |¡m ei/x = 1 = Iim yx —> +°° X x —> +°° x —> X

lim (/ fx )-x ) = lim (A x )- x ) = 1,

lo que implica que y = x + 1 es asíntota oblicua por ambos lados.La gráfica de fe s :


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Ejercicio E/13-3. Estudiar y representar gráficamente la función Hx) = x + Inx.Está claro que R+ es el dominio de /. Por otra parte, por ser f\x ) = 1 + (1/x), es /' positiva en todo el dominio de f, lo que indica que / es estrictamente creciente, lo que unido al hecho de ser f|1/e) = (1/e) - 1 < 0 y /J1) = 1 > 0 , nos dice, haciendo uso del teorema de Bolzano, que la gráfica de /corta exactamente al eje de abscisas en un punto que está comprendido entre 1/e y 1. A consecuencia de ser /estrictamente creciente es obvio que /carece de máximos y mínimos.Por otro lado, es f"(x) = -1/x2, es decir, es f"(x) < 0, para todo x de R+, lo que nos dice que /es cóncava hacia y < 0 en todo su dominio.Comprobemos ahora el comportamiento asintótico de /. Es:

limx -» 0+

Hx) = im (x + Inx) = lim x +-x 0* X -»0+ : lint Inx =-: -> 0+

lo que indica que la recta x = 0 es asíntota vertical. Por otra parte es:

f(x)X

= lim 1 + Inxx

lo que nos dice que /carece de asíntotas horizontales e Inclinadas, pero que se aleja de forma parabólica en dirección horizontal cuando x tiende hacia más infinito.

Ejercicio E/13-4. Estudiar y representar gráficamente la función Hx) =

Es t de dominio R - 1-1, +1 j. En dicho dominio /es continua y derivable. Además /es una función par, es decir, su gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas. Por tanto, estudiaremos la función para valores mayores que 1.

Es /'(x) =• x2 - 2x(x2 1 )3/2 ' ue8°' si x > 1, el signo de f ' es igual al signo de x3 - 2x, y por tanto al de

x(x2 - 2), lo que nos dice que el crecimiento de /viene dado según el esquema:

/'\ + /

V T

es decir, estrictamente decreciente en el intervalo (1, V 2 ) , estrictamente creciente en el intervalo ( V I , +c»), y con un mínimo en el punto x = V 2 .


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E j e r c i c i o s r e s u e l l a s

Es f"(x) =~j^ — 1 j5/2 , por lo que para todo x la función es cóncava hacia y > 0. Es

fí V/\ v/-= 1< ylim /jx) = +<*>, lim _ Í * L = |¡m

lim - - x

= lim - (x2 - X V x 2 - i) (x2 + X V x2 - 1) V x 2 - 1 (x2 + X V x 2 - 1)

V x2 - 1 X2 - x V x 2 - 1

V x 2 - 1

X2 V x2 - 1 + X3 -

lo que nos dice que la recta x = 1 es una asíntota vertical y que la recta y = x es una asíntota inclinada por la derecha. Por cuestiones de simetría, la recta x = -1 será a su vez asíntota vertical y la recta y = - x es asíntota inclinada por la izquierda.De todo lo dicho, deducimos que la gráfica de fes:

Ejercicio E/13-5. Estudiar y representar gráficamente la función Hx) = ■

El dominio de fe s R - {0}; en dicho dominio fe s continua y derivable.Es f'(x) = „ ^ , y por tanto, f e s estrictamente creciente en todo su dominio, careciendo de(1 - e*)2máximos y mínimos.

Es f"(x) ~ + ^*¡ ' Y Por 'anto< signo de f " es el signo de 1 - e*, es decir, negativo en R+ ypositivo en R , luego fe s cóncava hacia y > 0 en R y hacia y < 0 en R+.Es lim — í---- = + » y lim — -----= -°», lo que nos dice que x = 0 es asíntota vertical.x -»o- 1 - ex ’ x-,0* 1 - e* M M

ATLAS DE M ATEM ÁTICAS1 1 0

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lo que nos dice que las rectas y = 0 e y = 1 son asíntotas horizontales, respectivamente por la derecha y por la izquierda.

Ejercicio E/15-1. Resolver aproximadamente la ecuación x5 - 12X4 + 28x3 + 45x2 - 160x + 55 = 0. Sea fix) = x5 - 1 2X4 + 28x3 + 45x2 - 1 60x + 55. Antes de tener que acudir a yna representación gráfica de la función, hacemos un estudio de los valores de f erTalgunos enteros, para ver de aislar las soluciones. El resultado es

fi-5) < o, fi-4) < o, fi-3) < 0, fi-2) > 0, / (- I) > 0, m > 0, «1) < 0, fl2) < 0, fl3) > 0, fiA) < 0,K5) < o, fifi) < o, fi7) < o, fia) < o, fi9) > o,

con lo que hemos ubicado una solución en cada uno de los intervalos (-3, -2), (0, 1), (2, 3), (3, 4) y (8, 9). Procediendo análogamente para la derivada f\x ) = 5X4 - 48x3 + 84x2 + 90x - 160, tenemos

f\ -5) > 0, f'(-4) > 0, f\ -3) > 0, f\ -2) > 0, n - 1) < 0, f\0) < 0, f\ 1) < 0, f'(2) > 0, f\3) < 0, f\4) < 0,f\5) < 0, f'(b) < 0, f \ 7) > 0

y f' tiene sus raíces en (-2, -1), (1, 2), (2, 3) y (6, 7).De los intervalos en que tenemos separadas las raíces de fsólo en (2, 3) presenta f' un punto de anulación. Vamos a proceder en él mediante el Teorema de Bolzano. Tomaremos como primera aproximación el punto medio del intervalo, a continuación el de la mitad de intervalo en que f tengacambio de signo, y así sucesivamente. Está claro que si la raíz está entre a y 6, y se toma la aproximación (a + b)/2, el error máximo es medio intervalo, o sea, (b - a)/2. Tendremos x-¡ = (2 + 3)/2 = 2,5. Como fi2,5) > 0, x2 = (2 + 2,5)/2 = 2,25. Al ser fi2,25) < 0, x3 = (2,25 + 2,5)/2 = 2,375. Reiterando el procedimiento, llegamos, por ejemplo, a x26 = 2,42 9 8851 6, siendo el error acotable por (3 - 2)/226 = 0,000000015.

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En (-3, -2) f 'y f " no se anulan (/""tiene una raíz en (-1, 0), una en (2, 3) y una en (5, 6)). Como í{-3) ■ ,- W , > O, peem os „ elM M c , de N « „ „ con x„ = -3 . A t a , „ „ . . 3 - « . _2, „ , j 6655

x2 = -2,49136655 - 49136655) = ~2'36391534 Y así sucesivamente hasta, por ejemplo,xb = 2,1910834. Como f es positiva y decreciente en [-3, -2 ], toma el valor mínimo en -2,, , . I/ j-2 ,36391534)r (-2) = 460, pudiéndose acotar el error por ------- —-------- = 0,00000000045I 460 I

En (0, 1) aplicaremos el Método de las cuerdas. Será x-¡ = 0 — ^ ^ \ o ) = 0<38122449.

Como /j0,56122449) < 0, será x2 = 0 - 56122449) _ flo) = 0'429863139. Como f[x2) < 0, elproceso se repite en [0, x2], intervalo en cuyos extremos /"tiene diferente signo. Así llegamos, por ejemplo, a x 10 = 0,39731 7547. f' es negativa y creciente en [0, 11, luego su valor mínimo en [0, 1]es f'(0) = -160, con lo que el error se puede acotar por j 0 '3973^ 7547) | 0,000000024.

En (3, 4) f'y f"no se anulan; como /(4) • f"(4) > 0 podemos aplicar el Método de Newton simplificado conx0 = 4. Se ráx , = 4 - 3,51209678, x2 = 3 ,51209678---- 3'512° 9678) = 338994257 etc

Por ejemplo, x70 = 3,17514383.

En (8, 9) aplicaremos el Método de iteración con x0 = 8 y k siendo x , = 8 - k ■ f,8), x2 = x , - k ■ t[Xf) etcétera. Por ejemplo, x 17 = 8,18873692.El carácter reiterativo de estos métodos los hace especialmente aptos para ser programados (y, de hecho, el elevado número de decimales que hemos puesto se debe a que ha sido una calculadora programable quien ha hecho todos los cálculos anteriores).

Ejercicio F/1-1. Hallar el valor medio de la función fix) = (x2 - 1)/x2 en el intervalo [1, 4 |.

Es J — ■ dx = j ( i — -y-j dx = ¡ dx - j x-2 ■ dx = x + — - + C, y por tanto, J x 2— - • dx =

= í*+X-T=-r-L x Ji 4

Luego, si X es el valor medio de la función fix) en el intervalo [1, 4], entonces debe ser A. ■ (4 - 1) = 9/4, es decir, es X = 3/4.

Ejercicio F/3-1. Resolver por sustitución las siguientes Integrales:

(a) ¡ x (x+ I ) '2 ■ dx; (b) | v ^ 2 ■ c/x; (c) j (eXf 1)2 ■ dx.

(a) Haciendo el cambio x + 1 = f, la integral dada se convierte en J ( f - 1) ■ t17 ■ dt = { (í18 - t17) ■ dt = f19 f18 (X + I ) ’ "» ( x + l p

“ 19 18 + “ 19 18 + '

ATLAS DE M ATEM ÁTICAS1 1 2

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f f2(.b) Hacemos x = t2. En este caso es dx = 2t • dt, y la integral será 2 J— • dt que con t - 2 = z

pasa a ser 2 . dz = 2 j* z2 + 4 z + 4 . dz = 2 J (z + 4 + A ) . dz = 2 ( | + 4z + 4 ■ Inz) + C =

= z2 + 8z + 8 ■ lnz+ C, lo que, deshaciendo los cambios realizados, nos lleva a que la integral pedida vale (V x - 2)2 + 8 (V x- 2) + 8ln (V x - 2) + C.

(c) Hacemos el cambio e* = t, o lo que es igual, x = Iní, con lo que es dx = (1/f) • dt, y la integral

dada se convierte en f— ■ - i • dt = 1 dt.J (t+ 1)2 t J(f + 1)2

Haciendo ahora z = t + 1, la integral se convierte en j ~ ■ dz = j z~2 ■ dz = - ~ + C, loqu e

deshaciendo los cambios realizados nos dice que la integral pedida v a le - — 1— + C.e* + 1

Ejercicio F/4-1. Resolver por partes las siguientes integrales:

(a) j x • arctgx ■ dx; (b) j x2 ■ cosx ■ dx; (c) J e2x ■ cos3x ■ dx.

(a) Sea g\x) = x y í(x) = arctgx. Será g(x) = x2/2 y f(x) = 1/(1 + x2).Por tanto, la integral J x • arctgx ■ dx, según la fórmula de integración por partes valdrá

f • arcts * - y b T r dx-

Al ser J 2X' ■ dx = J ^ ^ j ■ ■ dx - J ^ ^ ■ dx = x - arctgx, se tiene que | x ■ arctgx • dx =

^2 "j= — ■ arctgx - y [x - arctgx] + C.

(¿>) Llamemos / a la integral propuesta. Si tomamos Hx) = x2 y g'(x) = cosx, será f'(x) = 2xy g(x) = senx. Con ello tendremos:

I = I x2 ■ cosx ■ dx = x2 ■ senx - 2 J x • senx ■ dx.Rasamos a resolver esta segunda integral. Tomamos ahora u{x) = x y v'(x) = senx, con ello será u\x) = 1y v(x) = -cosx, y por tanto tendremos

| x ■ senx ■ dx = - x ■ cosx + J cosx ■ dx = -x ■ cosx + senx,

lo que nos lleva a

I = x2 ■ senx + 2x • cosx - 2 ■ senx + C.

(c) Llamemos I a la integral propuesta. Si tomamos Hx) = e2x y g\x) = cos3x, será f\x) = 2 ■ e2x ygíx) = (1/3) • sen3x, y por tanto:

f 1 2 f/ = \ e2x ■ cos3x • dx = — ■ e2x ■ sen3x e2* • sen3x ■ dx.1 3 í 1

EJERC IC IO S DE M ATEM ÁTICASI 13www.FreeLibros.me

E j e r c i c i o s r e s u e l t a s

Repetimos el proceso para esta segunda integral, tomando ñx) = e2* y g\x) = sen3x, con lo que es f\x) = 2 ■ e2x y g(x) = (-1/3) • cos3x, y por tanto:

} e2* ■ sen3x ■ dx = - - - • e2* • cos3x + -y J e2* • cos3x • dx,

[— | • e2* ■ cos3x + -y • /j,

3 3lo que nos conduce a

/ = —| ■ e2* • sen3x — | ^

es decir, a

I = 4 - ■ e2x • sen3x + • e2* • cos3x - 4- ■ /,3 9 9de donde, despejando / se obtiene:

9 T 1 2 1 = 13 I T * ' sen x + -g-' e2* ' cos3xl, salvo una constante aditiva.

Ejercicio F/5-1. Calcular J -3x2 - 2x + 2 ,—j =;-----=— dxx3 - 3x + 2

Descomponiendo el denominador por Ruffini se llega a que dicho denominador vale ( x - 1)2 ■ (x + 2), lo que indica que la fracción que pretendemos integrar se descompone en una suma del tipo

* + - ^ + _ C _(x - 1 )2 x - 1 X + 2 '

Rara que así sea, los polinomios 3x2 - 2x + 2 y A(x + 2) + 6 ( x - 1) ( x - 2 ) + C (x - 1)2 deben ser iguales. Dando a x el valor 1 se ve que necesariamente es A = 1, dando a x el valor -2 , necesariamente es C = 2 y al igualar los coeficientes de segundo grado de ambos polinomios se obtiene B = 1. Así pues, es:

■ dx = p — dx + f - L dx + f - i y dx,J x3 - 3 x + 2 J (x - 1 )2 J x - 1 J x + 2

■ dx = - L - + In | x - 11 + 2 • In |x + 2| + C.

con lo que tendremos:f 3x2 - 2x + 2

x3 - 3x + 2

Ejercicio F/6-1. Resolver W = \- J .

5X4 + 7x3 + 3x2 + 13x + 1 7 -• dxxs + 3X4 + 7x3 + 13x2 + 12x +4 El denominador descompuesto es (x + I ) 3 ■ (x2 + 4). Por tanto, la fracción que integramos se descompone en una suma de tipo

A B C D x + E(x + 1 )3 (x + 1 )2 x + 1 x2 + 4 '

^TEMATICAS114www.FreeLibros.me


cuya suma esA(x2 + 4) + B(x + 1) (x2 + 4) + C(x + 1 )2 ■ (x2 + 4> + lD x + 8) (x + 1 Ó

(x + 1)J ■ (x2 + 4)

Al ser ¡guales los denominadores, necesariamente deben ser ¡guales los numeradores, es decir:

5x4 + 7x + 3x2 + 13x 4- 1 7 = A(x2 + 4) + 8(x + 1) ix2 + 4) + C(x + 1 )2 (x2 + 4) ++ <Dx + a (x + 1 y\

o lo que es igual

5x4 + 7x! + 3x2 + 13x + 17 = (C + Dlx4 + (8 + 2C + 3D + 8)x¡ +

+ (A + B + 5C+ 3D + 3£)x2 + (48 + 8C + D + 38)x + (4A + 48 + 4C + 8),

lo que nos conduce al sistema de ecuaciones siguiente:

C + D = 5 8 + 2 C + 3 D + 8 = 7

A + 8 + 5 C + 3 D + 38= 13 4A + 4B + 4 C + + 8=17 .

Con un poco de paciencia se resuelve el sistema llegando a la solución, que resulta ser:

A = 1, 8 = 2, C = 3, D = 2 y 8 = -7.

Consiguientemente, se tendrá:

W = [ ^ d x + M ^ x + f A , x + [.i (x + 1) ! J (x + 1 2 J x + 1 J

2x - 7 x2 + 4 dx,

de donde, la Integral / buscada vale

, = - y 'TATT7 - T T T + 3 ■ln (x+1) + in (x2 + 4) - y ■ arcts ( y ) + c

Ejercicio F/6-2. Demuéstrese la fórmula dada en F/6 (caso III) para f— M x * N dx.J ( x - a)2 + o2

Descompondremos la integral en dos inmediatas, una de tipo logarítmico, y otra de tipo arcotan- gente:

J M x + N(x - a)2 + b2

+ N

dx = M

dx

(x - a)2 + b2 dx + N 1( x - a)2 + b2

rr dx =-A4 f 2 x - 2a + 2a2 J ( y - a)2 + b2

dx +

M( x - a ) 2 + b2 2 J ( x - a ) 2 + b2

-yp- In | ( x - a )2 + b2] + 'Vfa,+ N i b

fy— , dx + (Ma + /V) í- — dx =J (x - a)2 + b2 J (x - a)2 + b2

\ b /

dx =+ 1

A l ¡n |(x - a )2 + b21 + + N arctg + C.


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E j e r c i c i o s r e s u e l l o s

Ejercicio F/6-3. Resolver [ X 3x 4x * 7 dx.' J (x2 - 4x + 7)2

F.l polinomio x2 - 4x + 7 es indescomponible en R, pudiéndose escribir de la forma í ( x - 2)2 + (V T )2 Utilizaremos ahora el Método de Hermitte:

>r3 - 3x2 + 4x + 7 [ ax + b T Lx2 - 4x + 7](x2 - 4x + 7)2 [* 2 - 4x + 7\ x2 - 4x + 7

de donde obtenemosx3 - 3x2 + 4x + 7 _ (x2 - 4x + 7) ■ a - (ax + b) (2x - 4)

(x2 - 4x + 7)2 (x2 - 4x + 7)2 X2 - 4x + 7

mx3 + (-a - 4m + n)x2 + (-26 + 7m - 4 n)x + (7a + 4b + 7rí)(x2 - 4x + 7)2

lo que nos conduce al sistema

m = 1, -a - 4ra + n = -3 , -2b + 7 m - 4 n = 4, 7a + 4b + 7n = 7

cuya solución es m = 1, n = 4/3, a = 1/3, b = -7/3.Así pues

x3 - 3x2 + 4x + 7 _ f (1 /3 )x - (7/3)1' x + (4/3)(x2 - 4x + 7)2 L x2 - 4x + 7 J x2 - 4x + 7 '

f x3 - 3 x + 4 x+ 7 ■ (1/3 )x- (7/3) f x + (4/3) ,J (x2 - 4x + 7)2 x2 - 4x + 7 J x2 - 4x + 7

(1/3 )x- (7/3) 1 | , , „ , , , 10 x - 2 ^= — s— r-----=- + n (x2 - 4x + 7) h 7= arete + C.x2 - 4x + 7 2 3 V I 6 V Í

Ejercicio F/6-4. Resolver la integral / = J j p p j dx.

Para descomponer el denominador x4 + 1 es necesario hallar las raíces de este polinomio que son las raíces cuartas de - 1, es decir, tomando complejos, las raíces cuartas de 1180» que son 145», 1135«, 1225o y 13is=, o bien, escritas en forma binómica

v T V Í - _ Y 2 ~ v i • _ v i _ V 2 • v i _ v i •2 2 '' 2 2 '' 2 2 ' 2 2

lo que nos dice que


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Esta descomposición del polinomio x4 + 1 nos permitirá escribir1

x4 + 1Ax + B C x+ D

para ciertos números reales A, B, C y D que deben de cumplir que:

1 = (Ax + B) (x2 + \ Í1 x + 1) + (Cx + O) (x2 - \ í l x +1),

o lo que es igual, que

1 = (A + Q x3 + ( V T A + B - V 2 C + D)x2 + (A + V T B + C - V I D)x + (B + O),

lo que nos conduce al sistema

que tiene por solución

Luego, será:

A + + C = 0V 2 A + B - V 2 C + D = 0

A + V 2 B + C - V 2 D = 0B + + D = 1,

A = -12 V 2

/ =1 x + A-

2V 2 2 dx +- J ^ x + A- 2V2 2 dx.

Así, pues, resulta ser

' = Jx*TT ' = “ Í V T ln (*2 - V 2 * + 1) +^ 7 T arcts ^

arctg (V 2 x + i ) + C,+ In (x2 - V 2 x + 1) + ~ ,

Ejercicio F/7-1. Calcular J sen4x • cos2x • dx.

La expresión sen4x • cos2x se puede escribir del modo ~ (senóx + sen2x). Por tanto, será

sen4x • cos2x • dx = -i- • í sen6x • dx + 4- • í sen2x ■ dx = - • cosóx - — cos2x + C.J 2 J 2 1 12 4


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Ejercicio F/7-2. Resolver la integral /= [ ] + cosx • dx.J 1 + senx

Haciendo el cambio tg -y = f será:

■J* i . ' - r

1 | 2 t 1 + f 2 J ( f+ 1)2 ■ (fi + 1)1 + fi

-]La fracción ■ — + se descompone en suma de fracciones de la forma

A _+ B , C t+ D(f+ 1)2 f + 1 t2 + 1 '

donde 1 = /\(f2 + 1) + fi(f + 1) (f2 + 1) + (Cf + D) (fi + 2f + 1), lo que nos dice que A = 1/2, B = 1/2,C = -1/2 y D = 0, de donde:

= 4 - [ - - L . - L . + Í - . I n ( t + 1 ) - - 1 - ln ( t2 + 1) + c ] =

- ~2 + 2 • ln (t + 1) - ln (t2 + 1) + C =t + 1

2 + 2 - ln ( tg - f+ 1j - ln (tg2 4 + 1) + C1 + t g ^ v 2 / \ 2

Ejercicio F/8-1. Calcular la integral: (a) tg6x ■ dx.

n2 cos2x

_ r , , f sen2x . , f 1 - cos2xEs / tg&x • dx = *g4x ■ dx = j — ■ tg4x • dx =

= [ tg 4x — L - d x - J t g * * • dx = _ [J - c OS2X 2x _J ° cos2x J ° 5 J cos2x °

“ N tg2x' dx + í tg2x ' dx] = ~ H r + Jtg2x' dx z^ x_ x+c

5 3 J cos2x 5 3 °

ATLAS DÉ M ATEM ÁTICAS118

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f COS XEjercicio F/8-2. Resolver la integral J senix • dx.

r fco s11x , fco s10x - c o s x , f (1 - sen2x)5Es r— dx = = ■ dx = -------- - ■ dsenx,J sen2x J sen2x 1 sen2xy por tanto, haciendo el cambio senx = f, la integral se convierte en

J(1 - f 2)5 d( _ J 1 - 5f2 + 1 0r> - 10(6 + 5(6 _ fio _ df =

= ¡ (t2 - 5 + 10f2 - 10Í4 + 5 f>- (») • = 5 í + 1|L 3 + ^ - _ ^ _ + c,

lo que, deshaciendo el cambio, indica que la integral propuesta vale:

- — _____ 5 • senx + 10sf n3* + 5 Sef X - + C.

Ejercicio F/8-3. Calcular H = ¡ sen33x • cos23x • dx.

Es H = f sen23x ■ cos23x • sen3x ■ dx = - - j - ¡ (1 - cos23x) ■ cos23x ■ dcos3x =

[f cos43x • dcos3x- J cos23x ■ dcos3x] =JL 3

1 i v I+ c .1 r coss3x cos33x

3 L 5 3

Ejercicio F/8-4. Calcular J sen22x • cos22x • dx.

Es / = f sen22x • cos22x • dx = J (sen2x • cos2x)2 • dx = ■ sen4x]2- dx =

= i - J s e n 24x- dx = - j - J 1~ c° s8x ■ dx = l [ ^ - ^ { c o s 8 x - dx] =

= - - L • sen8x + C.8 64

Ejercicio F/8-4. Resolver la integral dx.

Será I = í— dx = í—L — ■— ■ dx = f (1 + tg2x)2 ■ tg'x • dx, J cos6x J cos4x cos2x 1

lo que haciendo el cambio tgx = I nos permite escribir:

/ = J 0 + f2)2 • dt = j 0 + 2f2 + t4) • df = f + | - • f3 + Á- • f3 + C =

= tgx + | - • tg3x + i ■ tg3x + C.


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Ejercicio F/8-5. Resolver la integral J senJx • cos5x dx.

Es 1 = ---- 1— ■ dx= f cosec3x • secx • tg'x • dx =J servx • cos3x J b

=/ (1 + w )V2' (1 + tg2x)l/2' t g ' x ' d x = • tg'x ■dx -tg2x / ' u • J tg3x

lo que haciendo tgx = f nos permite escribir:

, = JJ^±lg .tfr=J.<4 + 2f + 1. rff=J f . cfr+2J. L.A + J^.

= | + 2 . | n , - | . ^ + C = ^ + 2 . | n ( , g x ) - ^ - + C

Ejercicio F/9-1. Resolver la Integral J ch2x • dx.

Es f ch2x • dx = [ —V h 2 x + 1) ■ dx = — • sh2x +\— x + C.J Z 4 2

dt =

Ejercicio F/9-2. Resolver la integral J ch!x • dx.Es J ch3x ■ dx = J ch2x ■ chx ■ dx = J ch2x • d (shx) = f (1 + sh2x) ■ d(shx) :

= s h x + ^ + C.

Ejercicio F/9-3. Resolver la integral — dx.J sh2x + ch2x

En este caso sustituiremos shx y chx respectivamente por sus valores en función de e*, es decir, shx = e* ~ e * y chx = e" ~t ^ . Tendremos pues:

í 1sh2x + ch2x • dx =

e* - e x :2+ /eA + e_v\2dx = 2

I * .- ■ dx.

Haciendo ahora el cambio e2x = t, o lo que es igual, x = (1/2) ■ Iní, lo que implica en particular que dx = (1/2/) ■ dt, la integral nos queda:

1 = 2 _ J 1_f+! 2t

dt J t2 + 1 dt = arct§ f + = arctg e2x + C-

Ejercicio F/9-4. Resolver la integral J tgh3x • dx.

■ * ■ J S t • - í f v '

= í-4 d chx - í— — ■ d chx = In (chx) + - 1 — + C.Jch x Jc h ’x ch2x

i ATLAS DE M ATEM ÁTICAS1 2 0www.FreeLibros.me

Ejercicio F/9-5. Resolver la integral J + i Z. V x + 1 dx'

Hacemos el cambio x + 1 = í6, con lo que es x = í6 - 1 y dx = bfi ■ dt. La integral se nos convertirá pues en:

> - f 3


g f f 6f5 ' <* = & ' í3 ' <* = 6 ' d t = 6 Í t ^ T ' dt = ^ J i f f

= -6 | (<® + f7 + í6 + í5 + í4 + f3) ■ dt = - 6 + y + + -y + + C,

con lo que nos bastará sustituir í por (x + 1 )l/f>.

Ejercicio F/9-6. Resolver la integral / = J y x ', x■

dt -

_____________ 1 — 2fHacemos el cambio V - x 2 + x + 1 = fx + 1, que nos dice que es x - + y que por tanto es

¿ x = ^ ^ ' * y ^ T 7 T T = ^ ± l

La integral se nos convertirá por tanto en:

I =

1 - 2tt2 + 1 2 f2 - 2 f - 2

- í2 + f+ 1 (í2 + 1)2 J ( f2 + 1)2dt 2 - f -d t 2 - ] .

t2 + 1Para calcular 7 utilizaremos el Método de Hermite, para ello escribimos:

2 f — 1 _ f At + B \ '^ Ct + D(f2 + I ) 2 Vi2 + 1 ¡ f2 + 1 '

lo que nos lleva a que sea

2 f — 1 = Cf3 + (-A + D)t2 + (-26 + Q t + (A + D)

y que consiguientemente sea

A = -1/2, 6 = -1 , C = 0 y D = -1/2,

’ 2 t - 1 2 f 1J(t2 + 1)2 t2 + 1

1 - 4 f - 1

v r T rff= - i b ^ - T - arctgí'

y que, por tanto, es

1 - V - x 2 + x + 1 0 _/ = - arctgt = — ----- arctg ( V - x 2 + x + Í - .1.) + c

f2 + 1 / V - x 2 + x + 1 - 1 \ 2+1 ' x ’

EJERC IC IO S DE M ATEM ÁTICAS12 1

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Ejercicio F/10-1. Resolver la integral j

Haciendo el cambio x = 3 ■ sent, la integral se nos convierte en

1=3 \ ¿ ° ^ - d t = 3 ^ - ie f l -d t = 3 [ [ —!— • d t - í sent - dt J sent J sent LJ sent

y como la integral J J ■ dt al hacer el cambio y = tg (tí2), se nos convierte en

2 , , ^ - » - l n r - l n ( . e f ) .1 + y2

y, por tanto, será

í arcsen T/ = 3 ■ In (tg y - j + 3 cosí + C = 3 In I tg — —

: 3 • ln ('3 - V 9 - x 2y « + + c .\3 + V 9 - x 2/

Ejercicio F/10-2. Resolver la integral J x2 • (1 - x2)~3/2 ■ dx.Hacemos en primer lugar el cambio x2 = t, o lo que es igual, x = f1/2, con lo que es dx = (1/2) ■ H /2 ■ dt, lo que convierte a la integral dada en:

/ = 1 1 ■ (1 - f}-3/2 • (1 /2 ) ■ r 1/2 • r f í = y J í1/2 • (1 - f)-3/2 • cft = y { H • <*.

1 — f 1Llegados a esta situación, hacemos el cambio y2 = — -— , o lo que es Igual t = - ^ y , con lo que_2

es dt = —-7— 777—, y la integral I se convierte en(y2 + 1 )2 7 0

/ = f (y2 + 1) ■ - r • , n -dy = - f - j— — • dy.2 1 x y3 (y2 + 1 )2 7 J y2 (y2 + 1) 7

La fracción que aparece en la última integral se descompone en una suma de la forma

debiendo ser

lo que fuerza a que sea

Consiguientemente, es

A B Cy + Dy2 + y + y2 + 1 '

1 = (6 + Q y3 + (A + D)y2 + By + A,

A = 1, B = 0, C = 0 y D = -1.

l=- ¡ Y ' dy+í f ^ • d y = ^ + arct g y + c = V r f ^ + arctg V x r r + c =

= V l ^ T + a r c t g V ^ c .

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Ejercicio F/10-3. Resolver la integral / = J - = = - ■ dx.

Hacemos el cambio x3 = t, con lo que la Integral se convierte en

I = J • (1 + fl-1/3 . _L . f-2/3 . ¿t = i J (-1 . (1 + f)-i/3 . d, Hacemos ahora el cambio 1 + t = z3. con lo que es

r = - L f ^ _ 3 J z 3 - 1 • -í- ■ 3z2 ■ dz

z

3

- ! z - 1dz.

La fracción — — se descompone de la forma - 1 - 1 z2 + z + 1 , con lo que tenemos:

/= l í i l r d- l J ^ 7 T T c,- l l n U - 1 ) - l l :

' Í f t t t t dz=

z - 1z2 + z + 1 dz.

Al ser z - I dz

aplicando ahora la fórmula de F/6, caso III, hallamos su valor, que resulta ser

■ In (z2 + z + 1) - V T ■ arctg 2 z + 1

V T+ C, con lo que

I = -Á- In (z - 1) - J L |n I (M i + f)2 + i f i + t + 1 ] + arctg 2^1 + f +1V3"

+ C =

= ± In (V T T ld - 1) - - L In [ (V T + x3)2 + M T T x 3 + i ] arctg + 1 + C.

EJERCIC IO S DE MATEMÁTICAS123

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Ejercicio F/11-1. Calcular el área de la región delimitada por la parábolas y = x2, y = (1/2) ■ x2 y la recta y = 2 x.La región delimitada por las tres líneas es la de la figura 1, y por tanto su área será:

f f x 2 ■ d x - Í'Á L X2 • dx] + [ f 1 2x dxLJo Jo 2 J J 2 2

= f 4 - x 2 d x + r Í2x- 1 xA • dx =Jo 2 ¡ 2 \ 2 !

( 16- 64\ - \' 4 - 8 ) 1L 6 Jo L 6 J2 6 L 6/ \ 6 /J

Fig. 1 Fig. 2

Ejercicio F/11-2. Calcular el área de la región limitada por las curvas y = x e y = x2 - 2.La representación gráfica de dicha región queda en parte por debajo del eje de abscisas. Si hacemos una traslación según el vector (0, 2), las funciones que delimitan dicha región serán y = x + 2 e y = x2, con lo que la región se transforma en la indicada en la figura 2, quedando toda ella por encima del eje de abscisas. Al ser invariante por traslaciones el área de una región, tendremos que el área pedida valdrá:

A = J > + 2 ) - x 2H x = [ f + 2 x ^ = f .

Ejercicio F/11-3. Hallar el área de la figura limitada por la lemniscata de Bernoulli r2 = a2 ■ cos2rp. Como la curva es simétrica, determinamos primero el área de una cuarta parte, siendo ésta

r n ^A = Y Í f a2- C0s2(p ■ d<p = y [ y • sen2cpj04 = ¿p

de donde el área de la lemniscata es a2.


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Ejercicio F/12-1. Calcular la longitud del arco de curva dada por Hx) = x3/2 desde el origen hasta el punto (4, 8).

Será ¿ = J4V 1 + x ' dx i Y haciendo el cambio 1 + (9/4)x = t2, es dx = (8/9)t ■ dt, de donde es

Ejercicio F/12-2. Hallar el volumen del paraboloide elíptico a2x2 + b2/2 - z = 0 desde la altura z = 0 hasta la altura z = k. (Ver figura 1).La sección del paraboloide dado con cada plano paralelo a z = 0 es una elipse; la ecuación de la

elipse relativa a la altura z es = l Y Por tanto sus semiejes son ydonde el área de esta elipse es (jtz)/ab. Así, pues, la función K¿) = nz/ab que nos da el área de la sección para cada altura ze s continua, de donde el volumen del paraboloide desde la altura z = 0 hasta la altura z = k es

- * i £ -

EJERC IC IO S DE MAT125

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Ejercicio F/12-3. Hallar el volumen engendrado por la superficie limitada por la función fix) = x3/2, el eje de abscisas y la recta x = 1 al revolucionar alrededor del eje de abscisas. Lo mismo si revoluciona alrededor del eje de ordenadas (fig. 2 ).(а). Revolucionando alrededor del eje de abscisas. Es:

V = k f1 x i - d x = K - M '= - 2 L . x Jo L 4J0 4

(б) Revolucionando alrededor del eje de ordenadas. Se tiene

Vy = 2 n ¡'o xy dx = 2 n ¡'o x x3/2 dx = 2 tí j'o x5/2 dx = 2 n = -4p- ■

Ejercicio F/13-1. Hallar los mismos volúmenes que en F/12-3, pero mediante los Teoremas de Culdin.

El área S de la región es S = x3/2 dx = Su centro de gravedad tiene coordenadas

f„ X ■ X3/2 dx r r 9 lo X dx = J L f v5/2 ,jx = J L v _ - —±___________7/5 7 Jox ox 7 ' 7/5

5XG 2/5 2 Jo ” 7 ' /G 2/5 1 6 '

Por tanto, los volúmenes Vx, Vy generados al girar en torno al eje de abscisas y de ordenadas, respectivamente, son

Vx = j - - 2 n y c = j - - 2 n - f 6 = f , V y = f 2 n x c = j - - 2 n - j r = p .

Ejercicio F/13-2. Calcular las siguientes integrales impropias:

(a) f —t ' dx y (b) f —7 1 ■ dx.Jo 1 + x2 r J -1 V 1 - x 2

(a) Es f ---■—7- d x= lim í — -—7-c/x= lim larctgxl' = lim arctgf = 4r<Jo 1 + x2 Jn 1 + x¿ r-»+~ 1 Jo 2

(b) En primer lugar observamos que la integral propuesta es efectivamente impropia ya que la función 1

fix) = —, no está definida en los extremos del intervalo [-1, +11. Será:V 1 - x 2

f+i 1 * 1 r i —— ■ dx - lim — dx = lim arcsenx , =J-1 V i - X2 f-»0+ J-l+í V i - x2 r ^ o + L ¡ - I H

= lim farcsen (1 - í) - arcsen (-1 + í)} = arcsenl - arcsen (-1) =(-»o+ 1 1


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Ejercic io F/13-3. Demostrar que J dx converge si a > 1 y diverge si cc < 1.

Es f+~— dx = lim fX — d x =l i m [inx]* = lim [in K - In a l = +~.X X /C-i+oo L la X-.+o° L >

Luego, para a = 1 la integral es divergente, y por el criterio de comparación lo será para a < 1. Sea ahora, pues, a > 1. Será:

í +“ — ■ dx = lim [* j t “ ■ dx = lim [ f '* 1 = lim ^1~aJ,i Xa K /C-i +<x> L1 — OCJc3 K-.+0.1-CX 1 - a 1 - a

por seHim = 0, a consecuencia de ser a > 1 . Luego, la integral es convergente para a > 1.

Ejercicio F/14-1. Calcular j 1 dxpor el Método de los trapecios y por el Método de Simpson,tomando en ambos casos n = 4. Calcular 7t aprovechando el resultado obtenido en ambos métodos, comparando de este modo la bondad de los mismos.(a) Subdividiendo [0, 11 en cuatro partes iguales, tendremos S = 1/4 y la siguiente tabla de valores

X x0 = 0 x, = 1 /4

CsJIIX x¡ = 3 /4 x4 = 1

y Yo = 1 y, = 0 ,9 4 1 2 y2 = 0 ,8 0 0 0 y¡ = 0 ,6 4 0 0 y 4 = 0 ,5 0 0 0

de donde, por la fórmula de los trapecios será:

í ' , 1 , ■ dx= 4 “ 1 + iL 5000 + 0,942 + 0,8000 + 0,7828] = - L (3,1312), J o 1 + x2 4 L 2 J 4

Como por otro lado, es j ’ — J 2- dx = [arctgx]¿ = -5-, por éste método, y con esta subdivisión del intervalo, tenemos que es n - 3,1312.(b) Con la misma subdivisión que en el apartado (a) y por tanto, con la misma tabla de valores, tendremos por el Método de Simpson que

' dx = “ ¡V K 0000 + ° ' 50001 + 4(0,9412 + 0,6400) + 2(0,8000)] = -i- 13,1416|

lo que pone de manifiesto que por este método y con la misma subdivisión del intervalo el valor hallado para 7t es de 3,1416, lo que indica ya, de cierto modo, que la precisión lograda con el Método de Simpson suele ser superior a la que se logra con el Método de los trapecios.

EIERC IC IO S DE MATEMATICAS127

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Ejercicio F/14-2. Calcular senx2 ■ dx, por el Método de Taylor, y valorar el error cometido. Sabemos que es

V3 v-5 v7 , , y2n+1 (seíl)(2/7+2V0)senx = X - ^ 7 + ^ 0 - ^ 7 + ... + (-1)n+l - - x r— TTT+- '3! 5! 7! (2n+1) ! (2n + 2)!

estando 0 comprendido entre O y x.Por tanto, será

senxt = ... + H)n+, . + jseny^e, . x4n+43! 5! 7! (2 n + 1)! (2 n + 2)!

con O < 0 < x. Luego, si tomamos

i o \ 3! 5! 7! / L 3 7- 3! 11- 5 ! 15 ■ 7!Jo

1 1 , 1 1 1 258.019 n n m c o iL3 42 1.320 75.600 J 831.600

cometemos un error e que cumple:sen<2"c2)(9) | = _______1______

“ I (2n + 2)1 I 10! 3.628.800 '

lo que en particular nos dice que el error cometido es inferior a una millonésima, lo que indica que cuando escribimos

senx2 • dx = 0,310268

las cinco primeras cifras decimales son exactas.

Ejercicio F/15-1. Desarrollar en serie de potencias la función exponencial e*.Mediante la Fórmula de Taylor se puede establecer el desarrollo finito

ex = 1 + Á r + + ... +DÓL+ x n+' e hx (donde 0 < h < 1)1! 2! ni (n + 1)!

Por otra parte, la serie

es absolutamente convergente en todo R, pues su radio de convergencia es

-= lim (n + 1) = +<*>.1/(n + 1)1

■ xQ ' ni'

de Taylor tienda a 0. Pero

Por lo tanto, será e* = V x e R, siempre y cuando la sucesión de restos enésimos de la Fórmula

lim — , ehx = ehx ■ lim — x"+\ , = ehx ■ lim ------------------(n + 1 ) ! ' n ->+>■> (n + 1 ) ! e - l m - ' l . ( n + 1 ) n + l \ / 2 7 i ( n + 1 )

; eln ■ lim 1 = e*x ■ 0 • 0 = 0.n -,w \n + 1f V27t (n + 1)


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CUADRO DE MATERIAS

E ÍNDICE

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M AT E RI A S

d e l o s n ú m e r o s rea le s a l o s n ú m e r o s c o m p l e j o s

Números reales............................................ A/1Números complejos..................................... A/2Números complejos..................................... A/3

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES.........B/1Cálculo de límites de sucesiones................ B/2Series de números reales..............................B/3

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL C/1Funciones circulares. Función exponencial.Función logarítmica..................................... C/2Sucesiones y series funcionales................ C/3Límite funcional........................................... C/4

CONTINUIDAD.............................................. D/1Funciones continuas.................................... D/2

FUNCIONES DERIVABLES..............................E/1Cálculo de derivadas.................................... E/2Cálculo de derivadas.................................... E/3Cálculo de derivadas.................................... E/4Teoremas sobre funciones derivables........... E/5Optimización por máximos y mínimos E/6Regla de L'Hópital. Indeterminaciones........E17Equivalencia de variables.............................E/8Aproximación polinómica............................E/9Aproximación polinómica......................... E/10

Estudio local de las gráficasde funciones................................................................. E/11Direcciones asintóticas. Asíntotas....................E/12Trazado de la gráfica de las funciones..........E/13Trazado de la gráfica de las funciones......... E/14Cálculo aproximado deraíces de ecuaciones...............................................E/15

INTEGRACIÓNIntegral definida............................................................F/1Cálculo de prim itivas................................................ F/2Integración por sustitución. Cambio devariables en la integral definida...........................F/3Integración por partes...............................................F/4Integración de funciones racionales F/5Integración de funciones racionales F/6Integrales trigonométricas........................................F/7Integrales trigonométricas........................................F/8Integrales hiperbólicas eintegrales Irracionales................................................ F/9Integrales hiperbólicas eintegrales Irracionales F/1 0Aplicaciones del cálculo integral....................F/11Aplicaciones del cálculo integral....................F/12Integrales impropias................................................ F/13Integración num érica............................................. F/14Sucesiones y series funcionales:derivación e Integración........................................F/15

EJERCICIOS RESUELTOS...................................... p.91

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Í N D I C E

SERIE AA / 1 D e los números reales

a los números complejosA/2.-A/3.- »

SERIE BB / 1 S u c e s i o n e s de números realesB / 2 »B/3- » »

SERIE CC / 1 F u n c i o n e s reales de variable realC /2 - » » »C /3 - » » »C /4 - » » »

SERIE DD / 1C o nt in u id a dD/2.- »

SERIE EE / 1 F u n c i o n e s derivablesE / 2 » »E/3.— »E/4.- » »

E/5. — Funciones derivables E/6.—E/7— » »E/8.-E/9— » »E/10 - » »E/11 » »E/12 .- »E/13 .- »E/14 .- » »E/15.-

SERIE FF / 1 I n t e g r a c i ó n F/2F / 3 »F/4F/5.- »F/6.- »F/7 —F/8.- »F/9.-F/10 .- »F/11 > »F/12 .- »F/13.—F/14F/15 .- »

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A T L A S

T E M Á T I C O SR E L A C I Ó N D E T Í T U L O S

Atlas de Matemáticas (Análisis + Ejercicios) Atlas de Matemáticas (Álgebra + Geometría)

Atlas de Física Atlas de Química

Atlas de Prácticas de Física y Química

Atlas de Geología Atlas de Mineralogía

Atlas de la Naturaleza Atlas de los Fósiles

Atlas de la Arqueología

Atlas de Zoología (Invertebrados) Atlas de Zoología (Vertebrados)

Atlas de Parasitología Atlas de Biología Atlas de Botánica

Atlas del Átomo Atlas de la Astronomía

Atlas de la Meteorología Atlas de la Microscopía Atlas de la Informática

Atlas de Anatomía Animal Atlas de Anatomía Humana Atlas del Cuerpo Humano

Atlas del Hombre Atlas de la Cirugía

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Ciencia - Atlas Tematico de Matematicas Analisis y Ejercicios

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